Effectiviteit van Cohorting op een Intensive Care Afdeling

Transcriptie

1 Effectiviteit van Cohorting op een Intensive Care Afeling Serieke Kloet Stuentnummer Bachelorscriptie voor e stuie wiskune Oner begeleiing van: Martin Bootsma Faculteit Bètawetenschappen Universiteit Utrecht 4 maart 203 Samenvatting Op een intensive care eenhei liggen patiënten ie kwetsbaar zijn voor het verkrijgen van infecties. De verspreiing van ziekenhuisbacteriën, zoals MRSA, is een groot probleem. Besmetting van e ene naar e anere patiënt gaat via meewerkers. Het invoeren van een cohortingsschema, at wil zeggen at patiënten meestal oor ezelfe meewerker behanel woren, kan it vermineren. We bekijken een moel voor e verspreiing van bacteriën op een intensive care zoner cohorting en vergelijken it met twee moellen met cohorting. Bij eerste ore cohorting heeft elke patiënt voorkeur voor een bepaale meewerker. Als eze meewerker bezet is, an is het om het even welke anere meewerker komt helpen. Bij tweee ore cohorting heeft elke patiënt een eerste keus en een tweee keus van meewerkers ie e voorkeur hebben. Als e eerste bezet is, an helpt e tweee en als ie ook bezet is, an helpt een willekeurige anere meewerker. De effectiviteit van cohorting wort bepaal oor e reuctie in e gemiele prevalentie ie het teweeg brengt. Als er met 80% gecohort wort, blijkt it minstens % reuctie op te leveren. Voor elke bacterie is f, e kans at een patiënt ie wort opgenomen e bacterie al heeft, verschillen. We beschouwen e moellen us voor een paar vast gekozen waaren en zien at e effectiviteit van cohorting kleiner is naarmate f groter is. Ook blijkt e snelhei waarmee e bacterie zich verspreit in en maagelijke populatie, R A, van invloe te zijn. Voor kleine waaren van f stijgt e reuctie wanneer R A groter wort. Voor grote waaren van f aarintegen, aalt e reuctie wanneer R A groter wort. Tweee ore cohorting blijkt in veel gevallen een nuttige toevoeging te zijn op eerste ore cohorting. Vooral voor grote waaren van R A is er een aanzienlijk verschil. Tweee ore cohorting is aarnaast een zinvolle toevoeging op eerste ore cohorting als een patiënt ongeveer e helft van e keren oor e meewerker van zijn eerste keus wort geholpen, en e rest oor e meewerker van zijn tweee keus. In het moel voor eerste ore cohorting betekent at us een ranom meewerker en in het moel voor tweee ore cohorting is at een vast gekozen meewerker. We conclueren at het invoeren van een cohortingsschema een goekope en efficiënte maatregel is om e verspreiing van ziekenhuisbacteriën tegen te gaan. Bovenien is het uitbreien naar tweee ore cohorting vaak zinvol met oog op e reuctie.

2 Inhousopgave Introuctie 3 2 Aannames 3 3 Moel zoner cohorting 4 3. Het kolonisatiemoel Toelichting moel geen cohorting: Quasi Steay State Toelichting moel toestan IC Cohorting type 2 4. Differentiaalvergelijkingen toestanen cohorting type Cohorting type Infectierates 5 7 Resultaten 7 8 Conclusie en iscussie 9 9 Bronvermeling 2 A Bijlage: breuksplitsing vergelijking B Bijlage: afbeelingen stabiele vereling moel zoner cohorting 23 C Bijlage: ifferentiaalvergelijkingen cohorting type 25 D Bijlage: ifferentiaalvergelijkingen cohorting type 2 26 E Bijlage: afbeelingen gemiele prevalentie 27 F Bijlage: Mathematica invoer cohorting type 3 G Bijlage: Mathematica invoer cohorting type 2 en gemiele prevalenties 35 H Bijlage: Mathematica invoer Figuur 5 39 I Bijlage: Mathematica invoer eigenwaaren 39 J Lijst van parameters en symbolen 4 2

3 Introuctie Op een intensive care eenhei liggen patiënten ie kwetsbaar zijn voor het verkrijgen van infecties. De verspreiing van ziekenhuisbacteriën, zoals MRSA, is een groot probleem. Kolonisatie gaat oorgaans aan infectie vooraf: e patiënt raagt e bacterie bij zich, maar is er nog niet ziek van (en hoeft at ook niet per se te woren). In eze scriptie richten we ons puur op verspreiing van e bacterie en niet op e mogelijkhei tot infectie ie aarop volgt, omat kolonisatie gemakkelijker te moelleren is. Er zijn verschillene interventies om e prevalentie van kolonisatie te vermineren. Zo kunnen patiënten met kolonisatie woren behanel oor het wassen met chloorhexiine en smeren met een speciale neuszalf. Een anere aanpak om besmetting tegen te gaan is hanhygiëne van e meewerkers of cohorting, at wil zeggen at patiënten meestal oor ezelfe meewerker behanel woren. In eze scriptie bekijken we e effectiviteit van cohorting oor een moel zoner ohorting en twee moellen met cohorting met elkaar te vergelijken. Bij eerste ore cohorting (type ) heeft elke patiënt voorkeur voor een bepaale meewerker. Als eze meewerker bezet is, an is het om het even welke anere meewerker komt helpen. Bij tweee ore cohorting (type 2) heeft elke patiënt een eerste keus en een tweee keus van meewerkers ie e voorkeur hebben. Als e eerste bezet is, an helpt e tweee en als ie ook bezet is, an helpt een willekeurige anere meewerker. De onerzoeksvraag is: oner welke conities is cohorting zinvol en wanneer is type 2 een effectieve/nuttige uitbreiing op type? We zullen beginnen met enkele veronerstellingen ie in al onze moellen gelen. Vervolgens beschrijven we het moel zoner cohorting, oor te kijken naar een eterministisch moel en een stochastische tegenhanger aarvan. We kunnen ons moel vereenvouigen oor aan te nemen at e patiënten elkaar irect besmetten. Uiteraar tonen we aan at it in ons moel in wezen niets veranert. Na verloop van tij ontstaat er een evenwichtssituatie, ie we gebruiken om e gemiele prevalentie mee te berekenen. Voor cohorting type en 2 beschrijven we gelijkwaarige moellen. Door het schalen van e parameters kunnen we e verschillene moellen en in het bijzoner e gemiele prevalenties met elkaar vergelijken. Uiteinelijk bepalen we e effectiviteit van cohorting aan e han van e bijbehorene reuctie oner verschillene omstanigheen. Op het ein is een lijst met parameters en symbolen toegevoeg. 2 Aannames Sommige veronerstellingen nemen we in al onze moellen aan. Zo onerscheien we patiënten op e intensive care (IC) alleen op basis van aanwezighei/afwezighei van kolonisatie. C is het aantal gekoloniseere patiënten en U is het aantal ongekoloniseere patiënten. Verer gaan we ervan uit at e mensen bewusteloos op e IC liggen. Besmetting gaat an ook via e ziekenhuismeewerkers, in het Engels, health care workers (hcws), ie e bacterie in contact met e patiënt kunnen oplopen. We gaan ervan uit at een meewerker e bacterie weer kwijt kan raken oor irect na het contact met e patiënt zijn hanen te wassen. In sectie 3.2 zal aangetoon woren at e moellen voor e IC simpeler geschreven kunnen woren zoner e meewerkers. De wiskunige beschrijving van e werkelijkhei blijkt namelijk hetzelfe te zijn als wanneer e patiënten elkaar irect besmetten. Een patiënt ie eenmaal besmet is, raakt e bacterie niet spontaan kwijt. Dat zou op lange termijn wel kunnen, maar omat ons moel gaat over een IC waar mensen reelijk kort liggen laten we ie mogelijkhei buiten beschouwing. De kans at een patiënt bij opname al gekoloniseer is noteren we met f. We nemen aan at e liguur exponentiëel vereel is met gemiele µ, en at e kans op ontslag onafhankelijk is van e kolonisatietoestan van e patiënt. Tot slot nemen we aan at er op e IC een constante bebezetting is. Hoe e bacterie zich op e IC verspreit beschrijven we later. 3

4 3 Moel zoner cohorting Allereerst bekijken we een IC waar zoner cohorting gewerkt wort. Dit hout in at e hcw ie een patiënt gaat helpen, ranom gekozen wort. Figuur geeft een boomiagram weer van e situatie op een IC met acht been en vier meewerkers. Hierin staat e onerste rij punten voor e patiënten en e bovenste rij voor e meewerkers. We zien at elke meewerker met elke patiënt verbonen is oor een lijnstuk, wat aangeeft at e hcw ranom gekozen wort. Figuur : Boomiagram voor moel zoner cohorting met 8 patiënten en 4 meewerkers Met e zojuist geane aannames, is het aantal patiënten at gekoloniseer is een zinvolle efinitie voor e toestan van e IC. De toestan van e IC op tijstip t noteren we met X t. Er zijn n been, us X t {0,,..., n}. In moelvorm kan e toestan van e IC weergegeven woren zoals te zien is in Figuur 2. Met moelleren is het hanig als e toestanen voloen aan e Markoveigenschap, i.e. voor t > τ gelt P (X t X τ ) = P (X t X (,τ] ). In sectie 3.3 laten we zien at at voor it moel het geval is. 0 2 i n- n Figuur 2: Moel voor e toestan van een IC afeling zoner cohorting 3. Het kolonisatiemoel We willen een moel maken at beschrijft hoe ongekoloniseere patiënten e bacterie kunnen verwerven. Daartoe veronerstellen we at patiënten irect contact met elkaar hebben en at een patiënt q contacten heeft per tijseenhei. Deze contacten zijn ranom gekozen. Als er i gekoloniseere patiënten op een IC van n been zijn, is een fractie i n van e contacten met een gekoloniseere patiënt. Een ergelijk contact is voor een gekoloniseere patiënt vanuit het oogpunt van transmissie zinloos. Een fractie n i n van e contacten is met een niet gekoloniseere patiënt. Als een contact van een gekoloniseere patiënt met een niet gekoloniseere patiënt met een kans p tot transmissie leit, besmet een gekoloniseere patiënt gemiel p q n i n patiënten per tijseenhei. We efiniëren p q := β en zien at het verwachte aantal besmette patiënten per tijseenhei oor i gekoloniseere patiënten wort gegeven oor uitrukking

5 β i (n i). (3..) n In het kolonisatiemoel at te zien is in Figuur 3 is eze uitrukking opgenomen als e snelhei waarmee patiënten gekoloniseer raken. ( f) μ f μ U β' i (n i) n C μ μ Figuur 3: Kolonisatiemoel Als slechts patiënt besmet is in een grote populatie, an is β µ e hoeveelhei anere patiënten ie een patiënt geurene zijn liguur gemiel besmet. De stanaarnotatie voor het verwachte aantal secunaire gevallen at een besmet iniviu infecteert geurene zijn infectueuze perioe in een maagelijke populatie is R 0. Wanneer it groter is an zal er een uitbraak komen, wanneer eze groothei kleiner is an zal e bacterie uitsterven. In het vervolg zullen we werken met e groothei R A. R A is het verwachte aantal secunaire gevallen at een besmet iniviu infecteert in een maagelijke populatie, geurene zijn/haar opname. Als e kans at een gekoloniseere patiënt ontslagen wort en e bacterie nog stees bij zich raagt wanneer hij/zij weer wort opgenomen verwaarloosbaar klein is, zijn R 0 en R A gelijk aan elkaar. Als f (e kans at een patiënt bij opname al gekoloniseer is) gelijk is aan nul, is er kritisch gerag bij e waare β µ =. Voor toelichting aarop, zie het eine van sectie 3.2. Wanneer f 0 is er geen kritische waare voor β µ. Doorat het kolonisatiemoel aantallen mensen beschrijft is e toestansruimte iscreet. Wanneer het aantal patiënten echter groot is, kunnen we het moel benaeren oor over te gaan van het aantal patiënten at gekoloniseer/ongekoloniseer is naar e fractie van patiënten ie gekoloniseer/ongekoloniseer is. Het moel kan an geïnterpreteer woren als een beschrijving van fracties. De fracties noteren we met kleine letters: u = U n waarvoor u [0, ] wort us e fractie niet gekoloniseeren en c = C n waarvoor c [0, ] wort e fractie gekoloniseeren. Ervan uitgaane at e populatie zeer groot is, geeft it een goee benaering van e (iscrete) werkelijkhei. 3.2 Toelichting moel geen cohorting: Quasi Steay State In sectie 3. zijn we ervan uitgegaan at patiënten elkaar onerling kunnen besmetten. Echter op een IC liggen patiënten meestal bewusteloos en hebben ze geen irect contact met elkaar. Meewerkers woren als e belangrijkste factor gezien ie bacteriën van e ene naar e anere patiënt brengen. In eze sectie laten we zien at we eze situatie goe kunnen benaeren oor een moel waarin patiënten irect contact met elkaar hebben. We oen aarvoor e aanname at er een groot aantal patiënten op e IC ligt. Nu hebben we niet alleen te maken met e fractie gekoloniseere patiënten, c, maar ook met een fractie meewerkers (hcws) ie e bacterie bij zich ragen: ie fractie noemen we c H. Op ezelfe manier efiniëren we u H als e fractie ongekoloniseere meewerkers. We introuceren in it moel twee nieuwe parameters: α en γ. De parameter α beschrijft e frequentie waarmee gekoloniseere hcws e bacterie kwijtraken. Stel een 5

6 meewerker is gekoloniseer geraakt tijens een bezoek aan een gekoloniseere patiënt. Dan wast hij met een bepaale kans, zeg p w, zijn hanen. Hanen wassen leit met e kans p tot ekolonisatie. Een patiënt heeft per aanname q contacten per tijseenhei, us als we aannemen at er b keer zoveel patiënten als hcws zijn, an heeft een meewerker bq contacten per tijseenhei waarna hij zijn hanen wast. Er gelt α = bq p w p. De parameter γ beschrijft e snelhei waarmee een gekoloniseere patiënt een ongekoloniseere hcw besmet. Een meewerker heeft bq contacten, waarvan een fractie c met gekoloniseere patiënten is. Stel at contact van een ongekoloniseere meewerker met een gekoloniseere patiënt met kans p k tot kolonisatie van e hcw leit. Dan gelt γ = bq p k en e kans per tijseenhei at een meewerker besmet wort is γ c. We nemen aan at α en γ beie groot zijn, wat in praktijk betekent at (respectievelijk) e kans groot is at meewerkers besmet raken wanneer ze in aanraking komen met een gekoloniseere patiënt en at meewerkers vaak hun hanen wassen. We nemen ook aan at α γ. Dit wort onerbouw oor e onerzoeken van Crossley (979), Thompson (982) en McBrye (2004), waarin uit het kweken van e bacteriën na het hanen wassen bleek at een grote meererhei niet gekoloniseer was geraakt. De situatie op e IC kan in moelvorm weergegeven woren, zoals te zien is in Figuur 4. ( f) μ f μ μ u kolonisatie c μ β γ u H α c H Figuur 4: Moel voor e situatie op een IC afeling zoner cohorting Fracties beschouwen we als continue variabelen. Er gelt u + c = en u H + c H =. De veranering in e tij van e fracties gekoloniseere patiënten en meewerkers, kan woren beschreven met ifferentiaalvergelijkingen. De fractie besmette meewerkers infecteert met snelhei β e fractie ongekoloniseere patiënten. Daaroor neemt u af. Afname kan ook veroorzaakt woren oor ontslag van een patiënt uit e fractie niet gekoloniseeren, waar een patiënt voor terug komt in e fractie gekoloniseeren. Tot slot kan u toenemen wanneer na ontslag van een patiënt uit e fractie gekoloniseeren, e nieuwe patiënt in e fractie niet gekoloniseeren e IC binnenkomt. t u = β c H u µ u f + µ c ( f) De beschrijving van e veranering van c is precies omgekeer aan e beschrijving van e veranering van u, omat er maar twee toestanen voor patiënten mogelijk zijn. t c = t u = β c H u + µ u f µ c ( f) Tot slot beschouwen we e veranering van e fractie besmette meewerkers, c H. De parameter γ beschrijft e snelhei waarmee een gekoloniseere patiënt een ongekoloniseere hcw besmet. De parameter α beschrijft e frequentie waarmee een gekoloniseere hcw e bacterie kwijtraakt. t c H = γ c u H α c H 6

7 t c H = γ c ( c H ) α c H We hebben eerer in eze sectie aangenomen at zowel γ als α groot zijn. We introuceren nu ε voloene klein, zoanig at e parameters β en µ van ezelfe ore van grootte zijn als γ en α. β = ε β, µ = ε µ Daarmee herschrijven we e ifferentiaalvergelijkingen voor c tot e volgene. t c = ε β c H ( c) + ε µ ( c) f ε µ c ( f) De onerstaane vergelijking toont e veraneringen van c en c H. ( ) ( ) c ε[ β ch ( c) + µ ( c) f µ c ( f)] = t γ c ( c H ) α c H c H We zien at c lineair is aan ε en us langzaam veranert. Echter c H is niet afhankelijk van ε en veranert wel snel. Als we een nule-ore benaering in ε maken, veranert c niet. ( ) ( ) c 0 = t γ c ( c H ) α c H c H Als ε voloene klein is, komt c H willekeurig icht bij een evenwicht. We nemen aan at c constant is. Als e tijstappen klein zijn past c H zich veel sneller aan an c. Als ε heel klein is, gaat c t naar nul, us is c constant. We nemen us aan at c H voor gegeven c altij naar het volgene evenwicht gaat. γ c ( c H ) α c H = 0 c H = γ c α + γ c. Nu is c H in een quasi steay state. Deze quasi steay state vullen we in in e ifferentiaal vergelijking voor c. Dat was: t c = β c H u + µ u f µ c ( f). Met het gevonen evenwicht wort het us: Nu gebruiken we e aanname at α γ. Dan is γ c α t c = β γ c u + µ u f µ c ( f) α + γ c erg klein en gelt β γ t c α ( c) c + µ ( c) f µ c ( f). In e rest van eze scriptie gebruiken we = in plaats van het benaeringsteken. Nu efiniëren we ˆβ = β γ α en zoner benaeringsteken vinen we nu t c = ˆβ ( c) c + µ ( c) f µ c ( f). Deze vergelijking hangt niet meer expliciet af van e fractie meewerkers ie besmet is. Wanneer zij zeer vaak hun hanen wassen, is e voorgaane situatie us wiskunig gezien hetzelfe als wanneer patiënten elkaar irect besmetten. Alleen e parameter ˆβ is nog afhankelijk van het gerag van e meewerkers. De ifferentiaalvergelijking voor c kunnen we als volgt herschrijven: 7

8 t c = ˆβ c 2 + c ( ˆβ µ) + µ f Patiënten liggen gemiel µ tijseenheen. We schalen e tij zo at tijseenhei overeenkomt met e gemiele liguur van een patiënt, at betekent: µ τ = t τ = µ t en ifferentiëren naar τ in plaats van t. c τ = µ c t = µ ( ˆβ c 2 + c ( ˆβ µ) + µ f) We vullen nu ook R A = ˆβ µ in. c τ = R A c 2 + c (R A ) + f Er blijft een vergelijking over ie alleen afhankelijk is van e parameters f en R A. Deze ifferentiaalvergelijking kunnen we als volgt oplossen met scheiing van variabelen: c c 2 ( R A )c f R A = R A τ (3.2.2) De nulpunten van c 2 ( R A ) c f R A Waarin e iscriminant gegeven wort oor zijn: D = C = R A + D 2 C 2 = R A D 2 ( R A ) 2 + 4f R A. Het linkereel van e oplossing in vergelijking herschrijven we met e gevonen nulpunten als volgt: c c 2 ( R A ) c f = (C C R )(C C 2 ) A In bijlage breuksplitsing vergelijking staat uitgewerkt hoe we met breuksplitsing tot e volgene vorm van vergelijking zijn gekomen. (C C 2 ) ( R A τ + ξ) = log ( c C c C 2 ) (3.2.3) Definieer e exponent van e linkerkant van vergelijking als x(τ): x(τ) = exp((c C 2 ) ( R A τ + ξ)) Deze vullen we in in vergelijking en wanneer we c naar links halen vinen we e volgene vergelijking, ie afhangt van e parameter τ: Wanneer we nu C, C 2 en x(τ) uitschrijven staat er c(τ) = C 2 x(τ) C. x(τ) 8

9 c(τ) = R A D 2 exp(d ( R A τ + ξ)) 2 exp(d ( R A τ + ξ)) waarin e integratieconstante ξ gelijk is aan e volgene uitrukking: ( log ) R +R A 2c(0)+ A ( 2+4f+R A ) R A ( 2 ) +R +R A +2c(0)+ A ( 2+4f+R A ) R A 2 +RA ( 2+4f+R A ) R A +D., R 2 A Als c = 0 is er sprake van een evenwicht. Een negatief evenwicht heeft geen betekenis, omat c gaat over e fractie gekoloniseeren. In it geval ligt het evenwicht van c us op C. Dat is een globale attractor, want c(τ) C als τ. Als R A = an ligt het evenwicht op f. Als f = 0 en R A an is e globale attractor C = 0. Voor R A > is het evenwicht C = 0 instabiel. In Figuur 5 is een afbeeling te zien van e evenwichten voor verschillene vast gekozen waaren van f. Van beneen naar boven zijn eze waaren f = 0, f = 0.05, f = 0.3 en f = 0.8. We verwijzen naar e bijlage Mathematica invoer Figuur 5 voor e coe ie in Mathematica gebruikt is om e afbeeling te maken. Prevalentie Figuur 5: Fractie gekoloniseere patiënten in e evenwichtssituatie. Van beneen naar boven f = 0, f = 0.05, f = 0.3 en f = 0.8 We hebben nu e quasi steay state in het meest simpele geval gezien. Bij een klein aantal patiënten blijven e ieeën erachter hetzelfe, maar wort het moel wiskunig ingewikkeler. Dit valt buiten e beooge afbakening van eze scriptie, us gaan we er verer niet op in. 3.3 Toelichting moel toestan IC In het moel van paragraaf 3.2 hebben we e aanname gemaakt at het aantal patiënten op e IC groot is, zoat een eterministische beschrijving met behulp van ifferentiaalvergelijkingen zinvol is. In eze paragraaf bekijken we wat er gebeurt als het aantal patiënten op e IC klein is. We efiniëren p i (t) := P (X(t) = i) als e kans at het systeem in toestan i is op tij t. Weerom is i het aantal gekoloniseere patiënten, i {0,,..., n}. We beschrijven nu hoe e kans at het systeem in toestan i zit veranert. 9

10 De bovenste regel in vergelijking beschrijft e kans at het systeem van toestan i naar toestan i gaat. Dit is e kans at een onbesmet persoon ontslagen wort en at aarvoor een besmet persoon in e plaats komt, plus e kans at een patiënt gekoloniseer wort. De mielste regel beschrijft e kans at het systeem van toestan i naar een anere toestan gaat, aarom staat er een min voor. Achtereenvolgens staat er: e kans at een ongekoloniseere persoon ontslagen wort en er een gekoloniseere persoon in zijn plaats komt, e kans at een gekoloniseere persoon ontslagen wort en er een ongekoloniseere persoon in zijn plaats komt, plus e kans at een patiënt gekoloniseer wort. Tot slot beschrijft e ere regel e kans at het systeem van toestan i + naar toestan i gaat, oorat er een gekoloniseere persoon ontslagen wort en aarvoor een ongekoloniseer persoon in e plaats komt. Het voorgaane bij elkaar genomen geeft ifferentiaalvergelijking 3.3.4, met voorwaare i (n ). t p i = p i ((n (i )) µ f + β (i ) (n (i )) n ) p i ((n i) µ f + i µ ( f) + β i (n i) n ) +p i+ (µ (i + ) ( f)) Op ezelfe manier gelen e volgene vergelijkingen voor i = 0 en i = n. t p 0 = p 0 n µ f + p µ ( f) t p n = p n (µ f + β (n ) ) p n n µ ( f) n We vervolgen met e schaling µ = en voeren e onerstaane notatie in. Met eze notatie herschrijven we vergelijking g i = (n i) f + β i (n i) n r i = i ( f) t p i = g i p i (r i + g i ) p i + r i+ p i+ (3.3.4) We nemen aan at g = p = r n+ = p n+ = 0. Ons moel voor e toestan van e IC vullen we met eze notatie aan en komen zo tot Figuur 6. Merk op at e toestanen van het moel nu voloen aan e Markoveigenschap, zoals gewenst. g 0 g g 2 g i- g i g n-2 g n- n- 0 2 i n r r 2 r 3 r i r i+ r n- r n Figuur 6: Moel toestan IC De veranering van e toestanen van het hele systeem wort beschreven oor t p = A p, met 0

11 A = g 0 r g 0 r g r 2 0 g r 2 g 2 r g n 2 r n g n r n g n r n Een stanaaroplossing voor e vergelijking t p = A p wort gegeven oor p = exp(ta) p(0), waarin p(0) e beginconitie is. Er gelt at p(0) = n+ i= p(0), v i v i, waarin e vectoren v i e eigenvectoren van A met eigenwaare λ i zijn. n+ p(t) = exp(ta) p(0) = exp(ta) p(0), v i v i = i=. n+ p(0), v i exp(ta) v i Als v i een eigenvector van A is met multipliciteit en λ i e bijbehorene eigenwaare, an gelt at exp(ta) v i = exp(λ i t) v i. De vergelijking wort us i= n+ p(t) = p(0), v i exp(λ i t) v i. i= Voor e toestan op lange termijn beschouwen we e limiet van p(t) voor t. De bijlage Mathematica invoer eigenwaaren laat zien at voor n = 4 een van e eigenwaaren nul is. Dit gelt voor elke n, oor e eigenschap at e som van e getallen in elke kolom nul is. Elk element in e onerste rij kan us geschreven woren als e negatieve waare van e som van e overige elementen in e kolom, at is n i= a ij voor e j-e kolom. Door ie afhankelijkhei kan e onerste rij van A λi geschreven woren met λ op elke positie. Waaroor λ buiten e eterminant gehaal kan woren, waaroor λ = 0 altij een oplossing is voor e vergelijking et(a λi) = 0. De overige eigenwaaren zijn allemaal negatief, voor een wiskunige onerbouwing aarvan verwijzen we naar hoofstuk 6.4 uit Introuction to Stochastic Processes with Applications in the Biosciences (Anerson, 20). Wanneer t groot is, zal exp(λ i t) v i voor e negatieve eigenwaaren erg klein woren. Voor e eigenvector v i ie bij eigenwaare λ i = 0 hoort, gelt at v i = p s, waarin p s e stabiele vereling is, i.e. e vereling waarmee er een evenwicht is voor elke toestan ie in e loop van e tij niet meer veranert, p s = (p 0 s, p s,..., p n s ). Dat betekent at over een lange tij verwacht kan woren at het systeem een fractie p i s van e tij in toestan i zit. De limiet wort us De gemiele prevalentie wort gegeven oor lim p(t) = p(0), p s p s. t n n ip i s. We berekenen e stabiele vereling als volgt (bron: Pelupessy, Bonten, Diekmann (2002)) p s (i, β, f, n) = ( f f + n k= i=0 ) i i ( ( f f j= ( n j+ β (j ) j f ) k k j= ) n + ( ) ). n j+ j ( β j f n + ) Met eze uitrukking berekenen we e stabiele vereling voor n = 0. Eerst stellen we β = 2 en variëren e waare van f. Vervolgens stellen we f = en variëren we e waare van β. De resultaten zijn te zien in e bijlage afbeelingen stabiele vereling moel zoner cohorting.

12 4 Cohorting type In sectie 3 bekeken we een IC waar zoner cohorting gewerkt wer. In eze sectie bekijken we wat er gebeurt als we wel cohorting toepassen op e IC. We beschouwen e situatie waarin patiënten vereel zijn in groepjes van 2. Voor elk uo is er een vast aangewezen hcw beschikbaar, verer is er geen bovenliggene structuur. We noemen it cohorting type. In het boomiagram (zie Figuur 7) staat e onerste rij punten voor patiënten en e mielste rij punten voor hcw. Wanneer een patiënt hulp noig heeft volg je het lijntje omhoog en kom je aan bij e hcw tot wie hij als eerste is toegewezen. Wanneer eze al ieman aners helpt, is e hulp van elke anere hcw even waarschijnlijk. Dat wort in het iagram geïllustreer oorat er evenveel lijntjes gevolg moet woren om naar elke anere hcw te komen. Figuur 7: Boomiagram Cohorting Type We orenen e toestanen van it systeem op e volgene manier. Noem het aantal uo s m, er zijn us 2m patiënten in totaal. Noem het aantal uo s waarvan beie patiënten onbesmet zijn k en waarvan patiënt besmet is j. Het aantal uo s waarvan beie patiënten besmet zijn is us m k j. Het aantal verschillene toestanen van het systeem wort bereken met een sommatie over k en j. Waarbij k {0,, 2,..., m} en j {0,, 2,..., m} met e extra conitie at k + j m. Dus gelt at het aantal verschillene toestanen in het systeem gelijk is aan m m k k=0 j=0 m m = m k + = (m + )(m + ) k = (m + ) 2 (m + ) m 2 k=0 = (m + )(m + m 2 ) = (m + )(m (m + )(m + 2) + ) =. 2 2 Beschouwen we een IC met 8 been, an zijn er 5 verschillene toestanen mogelijk. In Tabel staan eze lexicografisch georenen. Merk op at het nummer van e toestan niet meer overeenkomt met het aantal gekoloniseere patiënten. Het beschrijven van e overgang van een toestan naar een anere toestan is aaroor iets ingewikkeler geworen. De volgene subsectie gaat aar verer op in. 4. Differentiaalvergelijkingen toestanen cohorting type In eze subsectie bekijken we hoe e kans at het systeem in een bepaale toestan zit veranert oner cohorting type. We beschouwen een IC met 8 been en bekijken eerst toestan 0. Van aaruit kan het systeem naar toestan oorat ieman ontslagen wort en aar een gekoloniseere persoon voor in e plaats komt. De enige mogelijkhei om in toestan 0 te komen is vanuit toestan, oorat e enige gekoloniseere persoon wort ontslagen en aarvoor een ongekoloniseere persoon in e plaats komt. We krijgen us: t p 0 = 8f p 0 + ( f) p. Nu bekijken we toestan. Het omgekeere van wat gelt voor toestan 0 is waar voor toestan. Ook is het mogelijk om van toestan naar toestan 2 te gaan en anersom. Tot slot kan het systeem van k=0 2

13 Toestan k j m k j aantal gekoloniseere patiënten representant van e toestan Tabel : Orening toestanen cohorting type toestan naar toestan 3 en anersom. Welke vorm eze veraneringen in e praktijk hebben, is equivalent aan e beschrijving ie gegeven is bij het moel zoner cohorting. Echter, nu maakt het uit in welk uo e veranering plaatsvint. Ter illustratie volgt hier e beschrijving van e mogelijke veraneringen van toestan naar toestan 2 en omgekeer. Allereerst kan er in toestan ieman ontslagen woren ie niet gekoloniseer is en ieman binnenkomen ie gekoloniseer is. Om in toestan 2 terecht te komen, moet het zo zijn at ie wissel in het uo plaatsvint at e gekoloniseere bevat. Daarom kan het maar bij een persoon gebeuren. De kans per tijseenhei hierop is us f p. Ook kan er binnen het uo besmetting plaatsvinen. Hiervoor introuceren we e parameter β, ie aangeeft hoe groot e kans per tijseenhei is at een gekoloniseere patiënt zijn ongekoloniseere irecte buurman besmet. We krijgen us β p. Om van toestan 2 naar toestan te gaan moet een van e twee gekoloniseere patiënten uit het betreffene uo ontslagen woren en vervangen woren oor een ongekoloniseere patient. Daarom wort it (2 2f) p 2. Wanneer we aan eze veraneringen ook nog e wisselwerking tussen toestan en toestan 3 toevoegen, komen we tot vergelijking Merk aarbij op at β 2 e parameter is ie beschrijft hoe groot e kans per tijseenhei is at een gekoloniseere patient een willekeurige ongekoloniseere patient besmet, ie niet zijn irecte buurman is. We merken op at e veraneringen ie uit toestan gaan negatieve waaren hebben in e ifferentiaalvergelijking. De opsomming voor p geeft hier us e kansen van alle mogelijke manieren om uit toestan te gaan, bij elkaar opgetel. t p = 8fp 0 + ( 6f β 6β 2 )p + (2 2f)p 2 + (2 2f)p 3 (4..5) Op ezelfe manier volgen e vergelijkingen behoren bij e overige toestanen, ie zijn uitgeschreven in e bijlage ifferentiaalvergelijkingen cohorting type. We merken op at ook hier e toestanen zo geefinieer zijn at ze voloen aan e Markoveigenschap. We kunnen nu e stabiele vereling berekenen. Dit hebben we geaan met behulp van Wolfram Mathematica. We verwijzen naar e bijlage Mathematica invoer cohorting type voor verere toelichting aarop. De stabiele vereling gebruiken we in sectie 7 voor het bepalen van e gemiele prevalentie. 3

14 5 Cohorting type 2 We behouen e structuur van cohorting type en voegen er een bovenliggene structuur aan toe. Noem e afbakening van een uo het eigen cohort voor e patiënten in het uo. Twee uo s zijn aan elkaar gekoppel, oorat ze bij afwezighei van hun eigen hcw, inien mogelijk hulp krijgen van e hcw van het anere uo. Pas als ook ie hcw bezet is, helpt een van e overige hcws. Het uo waaraan het eigen cohort gekoppel is noemen we het buurcohort. De anere uo s noemen we het verre cohort. We noemen e zojuist beschreven structuur cohorting type 2. We beschouwen weerom een IC met 8 been. In het boomiagram in Figuur 8 staat e onerste rij punten voor e patiënten en e rij aarboven voor e hcws. Merk op at e afstanen naar e hcws ie niet bij het eigen cohort horen, verschillen. De hcw met 3 lijntjes afstan vanaf e patiënt heeft e tweee voorkeur. De resterene hcws hebben gezamelijk e laatste voorkeur oor een afstan van 5 lijntjes. Figuur 8: Boomiagram cohorting type 2 Er zijn 2 n toestanen mogelijk en net als voorheen zijn er groepen toestanen gelijkwaarig in het moel. Als er een patiënt gekoloniseer is, maakt het niet uit waar eze patiënt ligt: e toestanen en zijn in het moel niet verschillen. Als er twee patiënten gekoloniseer zijn, maakt het net als bij cohorting type uit of eze patiënten in hetzelfe uo zitten of niet. Als e twee gekoloniseere patiënten niet in hetzelfe uo zitten, an maakt het bij cohorting type 2 ook nog uit of ze in een gekoppel paar uo s zitten of niet. De toestanen en zijn namelijk wel verschillen in het moel. We efiniëren e toestanen zo at gelijkwaarige toestanen bij elkaar horen en orenen ie als in Tabel 2. Stel at er n = 2 l patiënten op e IC liggen, an noemen we het aantal verschillene toestanen oner cohorting type 2 S(l). Voor l = gelt us at S(l) = 3. Het aantal verschillene toestanen voor twee keer zoveel patiënten S(l + ) kan als volgt bereken woren: S(l) S(l) = (S(l) i + ) = (S(l) + )S(l) i= j=i S(l) i= S(l) i= i = (S(l) + )S(l) S(l) S(l) + 2 = S(l) + S(l). 2 Voor l = 2, n = 4, zijn er us (4/2) 3 = 6 verschillene toestanen mogelijk. Dit aantal loopt al snel op: voor l = 3, n = 8, zijn er 2 toestanen, voor l = 4, n = 6, zijn er 23 toestanen en voor l = 5, n = 32, zijn at er Het opstellen van e ifferentiaalvergelijkingen voor een IC met 8 been gaat hetzelfe in zijn werk als bij cohorting type. Nu is p i us e kans at het systeem in een toestan i valt zoals geefinieer in Tabel 2. We gebruiken nog stees e transmissieparameters β en β 2. Nu is β 2 e parameter ie beschrijft hoe groot e kans per tijseenhei is at een gekoloniseere patiënt een ongekoloniseere patiënt besmet ie in zijn buurcohort zit. Voor transmissie naar het verre cohort introuceren we e parameter β 3. Voor een overzicht van e ifferentiaalvergelijkingen verwijzen we naar e bijlage ifferentiaalvergelijkingen cohorting type 2. 4

15 Toestan Representant toestan aantal gekoloniseere patiënten Tabel 2: Orening toestanen cohorting type 2 Net als voor cohorting type berekenen we aarmee e stabiele vereling. We verwijzen naar e bijlage Mathematica invoer cohorting type 2 en gemiele prevalenties voor verere toelichting aarop. De stabiele vereling gebruiken we in sectie 7 voor het bepalen van e gemiele prevalentie. 6 Infectierates In sectie 4 en 5 zijn e transmissieparameters β, β 2 en β 3 geïntrouceer voor e moellen met cohorting. Deze parameters zullen geschaal moeten woren om ze te kunnen vergelijken met e resultaten uit sectie 3.3. We oen at op e volgene manier. In cohorting type en 2 stellen we at e fractie contacten binnen het eigen cohort x is. Een meewerker heeft us een fractie x van e contacten buiten zijn cohort. In cohorting type 2 stellen we e fractie contacten met het buurcohort gelijk aan y. De fractie van e contacten ie plaatsvint met het verre cohort is us gelijk aan x y. Cohorting is alleen nuttig oner e voorwaare x y x y 2. Voor x kleiner an 4 is e efinitie van e cohorting zinloos, omat it betekent at miner an een kwart van e contacten binnen het eigen cohort is. Dan is er us een cohort aan te wijzen waar e hcw vaker komt an in zijn eigen cohort en an is e cohorting zoals in eerste instantie aangenomen us totaal niet effectief uitgevoer. Daarom wort het geval x < 4 in het vervolg buiten beschouwing gelaten. We zullen nu met e voorgaane aannames beschrijven hoe vaak twee opeenvolgene contacten relatief voorkomen en wat e bijbehorene infectierate is. We oen it eerst voor cohorting type 2 en zullen aarna laten zien at it moel ook alle informatie bevat voor het vinen van e uitrukkingen van cohorting type. Om te beginnen beschouwen we e contacten binnen het eigen cohort, us van patiënt naar patiënt 2 (neem aan at e patiënten in e boom van Figuur 8 van links naar rechts t/m 8 genummer zijn en e hcws van links naar rechts t/m 4). Als we ranom twee opeenvolgene contacten van een meewerker kiezen, an is e kans 4 at it contact van hcw is. De kans at hij eerst naar patiënt moet en at zijn volgene contact met patiënt 2 is, is gelijk aan x 2 x 2. Dat is namelijk een van e twee patiënten binnen het eigen cohort en at an twee keer achter elkaar. Voor hcw 2 gelt een zelfe soort reernering, met e 5

16 opmerking at contact met patiënt en 2 voor hem in het buurcohort zijn. Daarom krijgen we 4 y 2 y Voor hcw 3 en 4 samen wort e kans 2 ( x y 4 ) 2. Een fractie ( x y2 6 + ( ) ) 2 x y 2 4 van alle opeenvolgene contacten is us eerst met patiënt en an met patiënt 2. We introuceren β als e kans at een opeenvolgen contact voor kolonisatie zorgt als het eerste contact gekoloniseer was en het tweee contact niet vermenigvulig met het aantal contacten per tijseenhei. Wanneer we us e bovenstaane fractie met β vermenigvuligen krijgen we e infectierate van patiënt naar patiënt 2. De fractie contacten van patiënt naar patiënt 3 wort op ezelfe manier beschreven. Voor hcw gelt: 4 x 2 y 2. Hetzelfe gelt voor hcw 2, namelijk: 4 y 2 x 2. Tot slot gelt voor hcw 3 en 4 samen weerom: 2 ( x y 4 ) 2. De totale infectierate van patiënt naar patiënt 3 wort us ( xy 8 + ( ) ) 2 x y 2 β. 4 Wanneer we kijken naar opeenvolgen contact tussen patiënt en 5 vinen we voor hcw : 4 x 2 ( ) x y 4. Voor hcw 2 vinen we: 4 y 2 ( ) x y 4. Voor hcw 3 en 4 gelt nu niet precies hetzelfe. Voor hcw 3 is patiënt 5 namelijk in het eigen cohort en we vinen in it geval us hetzelfe als voor hcw : 4 x 2 ( ) x y 4. Voor hcw 4 gelt eenzelfe situatie als voor hcw 2, hij moet een keer in zijn buurcohort en een keer naar het verre cohort: 4 y 2 ( ) x y 4. De totale infectierate van patiënt naar patiënt 5 is ( ) (x + y)( x y) β. 6 Merk op at met e beschrijvingen vanuit patiënt naar patiënt 2, 3 en 5, alle infectierates in principe beschreven zijn. De infectierate van patiënt 7 naar patiënt 4 zal bijvoorbeel precies gelijk zijn aan ie van patiënt naar patiënt 5. Zoals aangekonig zullen we nu laten zien at eze uitrukkingen ook alle informatie bevatten over cohorting type. Hiervoor gelt namelijk at e contacten ie in het moel van cohorting type 2 beschreven woren met y, voloen aan e volgene vergelijking: y = 2 ( x y). Deze vergelijking stelt at e fractie contacten met het buurcohort gelijk is aan e helft van e fractie contacten in het verre cohort i.e. e fracties contacten met e patiënten buiten het kleinste cohort zijn allemaal even groot. Uitwerken van e vergelijking levert y = x 3 met e eis x y. Als we ie y-waare invullen in e beschrijvingen behoren bij e tweee ore cohorting vinen we e infectierates ie bij eerste ore cohorting horen. Tot slot merken we op at invullen van e waaren x = 4 en y = 4 beschrijvingen levert behoren bij het moel zoner cohorting. In het moel zoner cohorting gelt at e infectierate tussen twee willekeurige patiënten altij β 64 is. Dat is gemakkelijk in te zien oor x = y = 4 in te vullen in een van e voorgaane infectierates. In formulevorm: β = β 2 = β 3 = β 64. Een besmet iniviu besmet us met snelhei 7 β 64 als alle anere patiënten niet gekoloniseer zijn. We nemen aan at alle secunaire gevallen irect na e meling van e zaal woren weggehaal en oor een ongekoloniseere patiënt woren vervangen. R A is het verwachte aantal secunaire gevallen at een besmet iniviu infecteert in een maagelijke populatie geurene zijn/haar opname. Dat is oner e zojuist geane aanname us gelijk aan 7β 64. Er gelt β = 64R A 7. Het gebruik van e parameter R A heeft onze voorkeur boven β omat e betekenis ervan concreet en inzichtelijk is. 2. 6

17 7 Resultaten We hebben in e vorige paragraaf gezien hoe we e parameters moeten schalen zoat we onze moellen goe met elkaar kunnen vergelijken. Met ie informatie hebben we afbeelingen gemaakt van e gemiele prevalentie afhankelijk van x. Voor een volleig overzicht verwijzen we u naar e bijlage afbeelingen gemiele prevalentie. Voor e totstankoming van e afbeelingen verwijzen we u naar e bijlage Mathematica invoer cohorting type 2 en gemiele prevalenties. Van boven naar beneen horen e lijnstukken in elke afbeeling bij: moel zoner cohorting (roo), cohorting type (paars), cohorting type 2 (oranje) met y = 4( x)/5 en cohorting type 2 (groen) met y = x. Dat laatste betekent uiteraar at een hcw nooit in het verste cohort komt. We hebben voor verschillene waaren van R A e waare van f gevarieer. Merk op at het kiezen van R A boven e 4 niet erg realistisch is, aangezien it in evenwichtssituatie betekent at meer an 75 procent van e patiënten besmet is. De keuze R A = 2 komt overeen met 50 procent besmetting in e evenwichtssituatie en is us al een stuk realistischer. De overige waaren van R A kiezen we om ezelfe reen gelijk aan 0.5, en.5. Verer plaatsen we een kanttekening bij het lijnstuk at hoort bij het moel zoner cohorting. In it moel is x namelijk altij gelijk aan 4. De gemiele prevalentie heeft an us een vaste waare. Echter om gemakkelijker inzicht te krijgen in het verschil met e moellen met cohorting, is bij elke x e gemiele prevalentie afgebeel ie behoort bij x = 4. Voor moellen met cohorting is e gemiele prevalentie evenzo niet voor alle x-waaren zinvol. Natuurlijk gelt e eis x 4. Bij cohorting type gelt bovenien (zie sectie 6) e eis x y, waarbij y = ( x)/3. Voor cohorting type 2 gelt e eis x y ( x)/3, ie samen met e keuze van y bepaalt voor welke waare van x het beschouwen van e gemiele prevalentie zinvol is. De lijnstukken in e afbeelingen van e gemiele prevalentie beginnen vanaf e minimale waare van x ie voloet aan e gestele eisen oner e omstanigheen ie gelen voor ie afbeeling. De lijnstukken behoren bij cohorting type en 2 einigen in hetzelfe punt. Dat is niet verrassen, want voor x = vinen alle contacten plaats in het eigen cohort. Er is in ie situatie us geen verschil meer tussen cohorting type en 2. Er is geen informatie beken over een haalbare waare voor e fractie x in e uitvoering van een cohortingsschema zoals type en 2. We enken at 0.8 een realistische schatting is en kijken us in het bijzoner bij x = 0.8 naar e gemiele prevalentie voor e verschillene moellen. Soms zal echter blijken at het beschouwen van anere waaren van x aarop een interessante toevoeging is. Wat we belangrijk vinen, is of e gemiele prevalentie significant lager is bij invoering van een cohortingsschema of niet. En zo ja, of het invoeren van cohorting type 2 een significante verlaging teweeg brengt ten opzichte van type. Een hanige maatstaaf om it mee te bepalen is e reuctie. De maximale winst ie te behalen valt is het verschil tussen e gemiele prevalentie van het moel zoner cohorting en e waare van f. De reuctie is in wooren: het percentage waarmee e maximale winst aalt bij invoering van cohorting. De reuctie is in formulevorm: Reuctie := ( ) gemiele prevalentie met cohorting f 00%. gemiele prevalentie zoner cohorting f Om een uielijk overzicht te krijgen zetten we e reuctie van alle gevallen voor x = 0.8 in een tabel. De laagste waare in e tabel is.5%. Op jaarbasis kan it een enorme verlaging van het aantal gekoloniseere patiënten betekenen. Dat is oner anere afhankelijk van e gemiele prevalentie. Als een ziekenhuis kolonisatie op e IC wil reuceren, an blijkt cohorting in alle besproken gevallen een forse bijrage te kunnen leveren. We zien ook at met cohorting type 2 veel winst valt te behalen. Het effect van cohorting type 2 is optimaal als y = x. Kijken we bijvoorbeel naar het geval R A = 0.5 en f = 0.00 an kan cohorting type 2 maximaal een reuctie van 4.7% teweeg brengen. Dit is ten opzichte van cohorting 7

18 x = 0.8 f cohorting type cohorting type 2 cohorting type 2 met y = 4( x)/5 met y = ( x) R A = R A = R A = R A = R A = Tabel 3: Reuctie in procenten bij x = 0.8 type een winst van 5.9%. Wat opvalt is at een hoge waare van f het effect van cohorting verzwakt. Dat kunnen we als volgt verklaren: ontslag van een patiënt is willekeurig en onafhankelijk van kolonisatie. Cohorting beperkt kolonisatie oor patiëntgroepen als het ware te isoleren. Binnen een cohort is e kans op overracht aaroor groter, maar naar e rest van e patiënten is e kans op overracht van e bacterie kleiner. Echter wanneer f groot is, is e kans groot at er in een willekeurig cohort een patiënt binnenkomt ie gekoloniseer is. Grote kans us at veel cohorten gekoloniseer raken, terwijl voor een lage f slechts enkele cohorten met kolonisatie kampen en zo e verspreiing effectiever beperkt wort. We kijken in het bijzoner naar het geval R A =.5. Voor f = 0. is e reuctie van eerste ore cohorting 36.7% bij x = 0.8. We merken op at bijna hetzelfe effect bereikt wort als x = 0.5 en y = x = 0.5 bij cohorting type 2. Dat is e situatie waarin een hcw nooit naar het verste cohort gaat en e helft van e contacten in zijn eigen cohort heeft en us e anere helft in het buurcohort. Dit is alsof er twee aparte kamers zijn met vier patiënten en in elke kamer twee meewerkers ie willekeurige patiënten in hun kamer helpen. Het is zeker ook interessant om te bekijken of het nut heeft te streven naar een lagere/hogere waare van x. Als x in e buurt zit van 0.5 an is met cohorting type 2 en y x in alle gevallen uielijk veel winst te boeken ten opzichte van type. In e afbeelingen is te zien: hoe groter x, hoe kleiner het verschil tussen cohorting type en 2. We beschouwen in het bijzoner e resultaten voor R A = 4. In het begin van eze sectie is al besproken at it een vrij extreem geval is. De reuctie bereikt oner R A = 4 e hoogste en laagste waare van Tabel 3. Bovenien merken we op at e gemiele prevalentie zoner cohorting vrij hoog is. In zo n geval kan cohorting extra belangrijk zijn, omat hoge prevalenties ongewenst zijn. Voor x 0.9 zien we at cohorting e gemiele prevalentie extreem laat alen. Dan is het us zeker een goe streven om e waare van x te verhogen. In het geval f = 0.0 leit x = zelfs tot een reuctie van 96.6%. 8

19 Kijken we naar x = 0.8, an zien we at voor f = 0.00 en f = 0.0 cohorting type 2 beuien effectiever is an type. Voor f = 0.0 kan e reuctie zelfs ruim verubbelen. Dat effect wort sterker naarmate x kleiner is en y groter. Voor kleine y-waaren heeft cohorting type 2 logischerwijs weinig toe te voegen aan type. 8 Conclusie en iscussie Met e resultaten uit e voorgaane sectie beantwooren we e vraag: oner welke conities is cohorting zinvol en wanneer is type 2 een effectieve/nuttige uitbreiing op type? Oner e conitie at f klein is, blijken beie vormen van cohorting effectiever te woren naarmate R A toeneemt. Voor grote waaren van f is een R A -waare ron e juist vooreliger. Daarnaast gelt: hoe groter f is, hoe miner effectief e cohorting relatief is. Dat blijkt uit een lagere reuctie. Een grotere waare van f geeft echter wel een hogere gemiele prevalentie, waaroor het absolute effect van cohorting groter kan zijn. Als e gemiele prevalentie hoog is, kan het van groot belang zijn at een maatregel als cohorting uitkomst biet om it te verlagen. In e gevallen ie we bekeken hebben leie it altij tot minstens % reuctie. Eerste ore cohorting is us effectief oner alle besproken conities en boekt hoofzakelijk betere resultaten als f klein is. In het geval at f klein is, is e reuctie hoger bij een grote waare van R A. Des te hoger R A, es te groter het verschil in effect tussen cohorting type en 2. Cohorting type 2 is in het bijzoner een zinvolle toevoeging op type als x klein is en y groot. Een groot vooreel van zowel eerste als tweee ore cohorting is at het een maatregel is ie met weinig kosten gepaar gaat. Eerste ore cohorting is al vrij gangbaar in ziekenhuizen. Onze moellen hebben aangetoon at het zeker e moeite waar lijkt te zijn om it oner bepaale omstanigheen uit te breien naar tweee ore cohorting. We realiseren ons at e praktijk nooit precies zo is als het moel. Wanneer een IC bijvoorbeel maar 7 been heeft, an is e situatie niet met ons moel voor tweee ore cohorting te benaeren. Ook zijn e aannames ie we geaan hebben, zoals constante bebezetting en een exponentiële vereling van e liguur, slechts benaeringen van e realiteit. Als e afelingen klein zijn, an kan er een aanzienlijk verschil ontstaan tussen eze aannames en e praktijk. Een voorbeel aarvan is at op een kleine afeling e kans groter is at een bacterie per toeval uitsterft an op een grote afeling. Het is an ook niet aan te raen om op basis van eze moellering meteen overal tweee ore cohorting in te voeren. Desonanks geeft het zeker aanleiing tot verer onerzoek naar eze optie oner complexere omstanigheen. Zo kan onerzocht woren wat er gebeurt als er met een bepaale frequentie getest wort op kolonisatie, waarna bijvoorbeel e gekoloniseere patiënten in hetzelfe cohort terecht komen. Een anere mogelijkhei voor vervolgonerzoek heeft betrekking op e quasi steay state. We hebben e quasi steay state in het meest simpele geval gezien. In een vervolgonerzoek zou gekeken kunnen woren naar e gevolgen als er met een klein aantal patiënten rekening wort gehouen. Bij e efinitie van β = 64R A 7 hebben we e aanname geaan at patiënten bij wie kolonisatie wort vastgestel, meteen geïsoleer woren en at er een ongekoloniseere patiënt voor in e plaats komt. Op ie manier bootsen we een maagelijke populatie na. Het kan natuurlijk nooit zo zijn at it op e IC altij het geval is, us oor eze aanname is het moel enigszins onnauwkeurig. We realiseren ons at e reuctie behoren bij cohorting type 2 met y = x in praktijk niet haalbaar is. Toch zijn e waaren ie aarbij berken zijn nuttig, omat ze e marge aangeven van hoeveel winst er nog maximaal te behalen valt. Bij R A = 4 zagen we aaroor bijvoorbeel at het streven naar een hogere waare van x een zeer efficiente manier is om e reuctie te verhogen. Iets wat at bemoeilijkt in e praktijk is at we te maken hebben met verschillene soorten meewerkers. Een cohortingsschema is effectief voor verpleegkunigen, maar voor artsen is strikte cohorting niet haalbaar: ie moeten bij alle 9

20 patiënten langs. Het is beken at meewerkers zich niet perfect aan e regels voor hanhygiëne houen. Een manier om e cohorting toch zo effectief mogelijk te laten zijn, is oor artsen te verplichten in ieer geval bij e wisseling van een cohort hun hanen te wassen. 20

21 9 Bronvermeling Crossley, K., Lanesman, B. en Zaske, D. (979). An outbreak of infections cause by strains of Staphylococcus aureus resistant to methicillin an aminoglycosies. II. Epiemiologic stuies. J Infect Dis, vol. 39, p McBrye, E.S., Braley, L.C., Whitby, M. en McElwain, D.L.S. (2004). An investigation of contact transmission of methicillin-resistant Staphylococcus aureus. J Hosp Infect, vol. 58, p Pelupessy, Bonten, Diekmann (2002). How to assess the relative importance of ifferent colonization routes of pathogens within hospital settings. PNAS, vol. 99, no. 8, p Thompson, R.L., Cabezuo, I. en Wenzel, R.P. (982). Eemiology of nosocomial infections cause by methicillin-resistant Staphylococcus aureus. Ann Intern Me, vol. 97, p Internet Anerson, D. F. (20). Introuction to Stochastic Processes with Applications in the Biosciences, chapter 6: Continuous Time Markov Chains. Geraapleeg op om 00: uur, anerson/605f/notes/stochbio.pf Computerprogramma Verwijzingen naar (Wolfram) Mathematica gaan over het programma Wolfram Mathematica (Copyright Wolfram Research, Inc.) versie

22 A Bijlage: breuksplitsing vergelijking In eze bijlage werken we e breuksplitsing van het linkereel van vergelijking uit. We beginnen met e breuk ie binnen e integraal staat en splitsen ie met tellers A en B. c 2 ( R 0 )c f = (c C R )(c C 2 ) = A (c C ) + B (c C 2 ) 0 Vervolgens maken we e breuken gelijknamig en tellen we ze bij elkaar op. We orenen e termen in e teller op een anere manier. A(c C 2 ) + B(c C ) (c C )(c C 2 ) = c(a + B) (AC 2 + BC ) (c C )(c C 2 ) Combineren we it met e breuk ie we in eerste instantie wilen splitsen an krijgen we e onerstaane vergelijking. = c(a + B) (AC 2 + BC ) Om it op te lossen stellen we at A + B = 0 wat impliceert at A = B. Met het uitwerken van e overgebleven vergelijking vinen we e waaren van A en B uitgerukt in termen van C en C 2. B = We vullen eze waaren in e integraal in. c c 2 ( R 0 )c f = R 0 Vergelijking wort in zijn geheel us: C C 2 AC 2 + BC = BC 2 + BC = B(C C 2 ) = (C 2 C ) A = C C 2 c C C C 2 C C 2 c C C C 2 c = c C 2 c C 2 c R A τ. Integratie geeft ons e volgene vergelijking, waarin ξ een integratieconstante is ie aan het ein van sectie 3.2 wort uitgewerkt. R 0 τ + ξ = C C 2 log (c C ) C C 2 log (c C 2 ) = Wat we vereenvouigen tot e vorm waarmee we in sectie 3.2 verer werken: (C C 2 )( R 0 τ + ξ) = log ( c C c C 2 ). C C 2 log ( c C c C 2 ) 22