Local Moufang sets. Erik Rijcken. Promotor: Prof. Dr. Tom De Medts. Faculteit Wetenschappen Universiteit Gent 14 juni 2017

Transcriptie

1 µ xµy M(U, τ) Local Moufang sets x Erik Rijcken Promotor: Prof. Dr. Tom De Medts U HτU Faculteit Wetenschappen Universiteit Gent 4 juni 207

2 Overzicht Groepsacties: symmetrie gebruiken 2 Moufang sets Velden 4 Het verband 5 De lokale aanpak Erik Rijcken Local Moufang sets 2 / 22

3 Groepsacties: symmetrie gebruiken Erik Rijcken Groepsacties: symmetrie gebruiken / 22

6 Symmetrieën van een matras Vier mogelijke symmetrieën voor een matras: Erik Rijcken Groepsacties: symmetrie gebruiken 4 / 22

7 Symmetrieën van een matras Vier mogelijke symmetrieën voor een matras: id: niets doen Erik Rijcken Groepsacties: symmetrie gebruiken 4 / 22

8 Symmetrieën van een matras Vier mogelijke symmetrieën voor een matras: id: niets doen : omdraaien rond de korte kant Erik Rijcken Groepsacties: symmetrie gebruiken 4 / 22

9 Symmetrieën van een matras Vier mogelijke symmetrieën voor een matras: id: niets doen : omdraaien rond de korte kant : omdraaien rond de lange kant Erik Rijcken Groepsacties: symmetrie gebruiken 4 / 22

10 Symmetrieën van een matras Vier mogelijke symmetrieën voor een matras: id: niets doen : omdraaien rond de korte kant : omdraaien rond de lange kant : 80 draaien Erik Rijcken Groepsacties: symmetrie gebruiken 4 / 22

11 Wat is een groepsactie? Een groepsactie is een lijstje acties die je kan uitvoeren op een object, met de volgende eigenschappen: {id,,, } op een matras 2 Elke actie kan je ongedaan maken met één actie uit de lijst. Als je twee acties uitvoert, doe je hetzelfde als één actie uit de lijst. = id, = id... =, =, id =, = id... Het lijstje acties is een groep. Erik Rijcken Groepsacties: symmetrie gebruiken 5 / 22

12 Het draaien van een tetraëder 2 manieren om te draaien. Erik Rijcken Groepsacties: symmetrie gebruiken 6 / 22

13 Het draaien van een tetraëder 2 manieren om te draaien. Interessante manieren? Houd een top vast! U O = {id,, } Erik Rijcken Groepsacties: symmetrie gebruiken 6 / 22

14 Het draaien van een tetraëder 2 manieren om te draaien. L R Interessante manieren? Houd een top vast! V U O = {id, O, O } U V = {id, V, V } U L = {id, L, L } U R = {id, R, R } O Erik Rijcken Groepsacties: symmetrie gebruiken 6 / 22

15 Het draaien van een tetraëder 2 manieren om te draaien. L R Interessante manieren? Houd een top vast! V U O = {id, O, O } U V = {id, V, V } U L = {id, L, L } U R = {id, R, R } O Door deze acties na elkaar uit te voeren kan je de andere draaiingen bekomen. Voorbeeld: O en L wisselen kan via O V. Erik Rijcken Groepsacties: symmetrie gebruiken 6 / 22

16 Wat als je de tetraëder niet kan zien? Erik Rijcken Groepsacties: symmetrie gebruiken 7 / 22

17 Wat als je de tetraëder niet kan zien? Erik Rijcken Groepsacties: symmetrie gebruiken 7 / 22

18 Wat als je de tetraëder niet kan zien? De tetraëder is niet te zien, maar de mogelijke acties blijven dezelfde! U O ={id, O, O } U V ={id, V, V } U L ={id, L, L } U R ={id, R, R } (en andere) Erik Rijcken Groepsacties: symmetrie gebruiken 7 / 22

19 Wat als je de tetraëder niet kan zien? De tetraëder is niet te zien, maar de mogelijke acties blijven dezelfde! U O ={id, O, O } U V ={id, V, V } U L ={id, L, L } U R ={id, R, R } (en andere) Vraag Hoe herkennen we de tetraëder aan de mogelijke acties? Erik Rijcken Groepsacties: symmetrie gebruiken 7 / 22

20 2 Moufang sets: een specifiek soort groepsacties of Erik Rijcken Moufang sets: een specifiek soort groepsacties 8 / 22

21 Eigenschappen van de actie op een tetraëder Hou top O vast. Er is een unieke manier uit U O = {id, O, O } om V te verplaatsen naar V, L en R. We noemen de actie van U O regulier. O Erik Rijcken Moufang sets: een specifiek soort groepsacties 9 / 22

22 Eigenschappen van de actie op een tetraëder V Hou top O vast. Er is een unieke manier uit U O = {id, O, O } om V te verplaatsen naar V, L en R. We noemen de actie van U O regulier. O L verplaatst O naar V, L maakt die actie ongedaan We vinden L O L = V Algemeen is L U O L = U V We noemen U O en U V toegevoegd. Erik Rijcken Moufang sets: een specifiek soort groepsacties 9 / 22

23 Wat is een Moufang set? Een Moufang set is een verzameling punten met voor elk punt x een actie van een wortelgroep U x op de punten, zodat U O = {id, O, O } elke U x het punt x vasthoudt; 2 elke U x regulier werkt op de andere punten; de wortelgroepen allemaal toegevoegd zijn. L U O L = U V, O U R O = U L... Erik Rijcken Moufang sets: een specifiek soort groepsacties 0 / 22

24 Velden: 0,, +,, en Een veld is een structuur met zeker 0 waarin je kan optellen aftrekken vermenigvuldigen delen zoals je gewoon bent. Rationale getallen (breuken) = 5 4 = = = = 0 = 2 + (5 2) 4 8 = 2 Erik Rijcken Velden: 0,, +,, en / 22

25 Modulorekenen: een klok met 5 uur Getallen: 0,, 2, en Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen: trek 5 af of tel 5 op, tot je 0,...,4 hebt u Erik Rijcken Velden: 0,, +,, en 2 / 22

26 Modulorekenen: een klok met 5 uur Getallen: 0,, 2, en Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen: trek 5 af of tel 5 op, tot je 0,...,4 hebt u Delen: zoek naar getallen die tot vermenigvuldigen: 2 6, dus 2 = u +2u +2u Dit is rekenen modulo 5 en is een veld. Erik Rijcken Velden: 0,, +,, en 2 / 22

27 4 Het verband tussen Moufang sets en velden constructie voor elk veld velden Moufang sets Erik Rijcken Het verband tussen Moufang sets en velden / 22

28 4 Het verband tussen Moufang sets en velden constructie voor elk veld velden Moufang sets 4 0 constructie met voorwaarden 2 Erik Rijcken Het verband tussen Moufang sets en velden / 22

29 Van veld naar Moufang set Erik Rijcken Het verband tussen Moufang sets en velden 4 / 22

30 Van veld naar Moufang set 4 0 Punten: het veld en een extra punt 2 Wortelgroep: U = {+0, +, +2, +, +4} Erik Rijcken Het verband tussen Moufang sets en velden 4 / 22

31 Van veld naar Moufang set Punten: het veld en een extra punt 2 Wortelgroep: U = {+0, +, +2, +, +4} Erik Rijcken Het verband tussen Moufang sets en velden 4 / 22

32 Van veld naar Moufang set Punten: het veld en een extra punt 2 Wortelgroep: U = {+0, +, +2, +, +4} Erik Rijcken Het verband tussen Moufang sets en velden 4 / 22

33 Van veld naar Moufang set 4 0 Punten: het veld en een extra punt 2 Wortelgroep: U = {+0, +, +2, +, +4} Andere wortelgroepen: vinden we door toevoeging Erik Rijcken Het verband tussen Moufang sets en velden 4 / 22

34 Van Moufang set naar veld Neem een wortelgroep: U O = {id, O, O } De elementen worden de getallen: id 0 O O 2 O Erik Rijcken Het verband tussen Moufang sets en velden 5 / 22

35 Van Moufang set naar veld Neem een wortelgroep: U O = {id, O, O } De elementen worden de getallen: id 0 O O 2 De optelling vinden we door de acties na elkaar uit te voeren: O =? O id = O = 2 + =? O O = O + = =? O O = O = Erik Rijcken Het verband tussen Moufang sets en velden 5 / 22

36 Van Moufang set naar veld Neem een wortelgroep: U O = {id, O, O } De elementen worden de getallen: id 0 O O 2 De optelling vinden we door de acties na elkaar uit te voeren: O =? O id = O = 2 + =? O O = O + = =? O O = O = We vinden rekenen modulo terug. Erik Rijcken Het verband tussen Moufang sets en velden 5 / 22

37 5 De lokale aanpak: dichtbij en ver weg Punten liggen dicht bij elkaar of ver van elkaar. Er is een lokale structuur. Erik Rijcken De lokale aanpak: dichtbij en ver weg 6 / 22

38 Groepsacties die dichtbij en ver weg bewaren Een groepsactie op een object met een lokale structuur bewaart die lokale structuur als 2 Punten die dicht bij elkaar liggen, blijven dicht bij elkaar na alle acties. Punten die ver van elkaar liggen, blijven ver van elkaar na alle acties. Erik Rijcken De lokale aanpak: dichtbij en ver weg 7 / 22

39 Wat is een local Moufang set? Een lokale Moufang set is een verzameling punten met lokale structuur, met voor elk punt x een actie van een wortelgroep U x die de lokale structuur bewaart, zodat elke U x het punt x vasthoudt; 2 elke U x regulier werkt op de punten die ver van x liggen; elke U x regulier werkt op de groepjes punten behalve dat van x; 4 de wortelgroepen allemaal toegevoegd zijn. Erik Rijcken De lokale aanpak: dichtbij en ver weg 8 / 22

40 Rekenen modulo 9: geen veld, maar een lokale ring Getallen: 0,, 2,, 4, 5, 6, 7 en 8 Optellen, aftrekken en vermenigvuldigen: zoals vorige keer (9 bijtellen of aftrekken) Erik Rijcken De lokale aanpak: dichtbij en ver weg 9 / 22

41 Rekenen modulo 9: geen veld, maar een lokale ring Getallen: 0,, 2,, 4, 5, 6, 7 en 8 Optellen, aftrekken en vermenigvuldigen: zoals vorige keer (9 bijtellen of aftrekken) Om te delen door : zoek een getal zodat?, maar? is altijd een drievoud! Delen door, 6 en 0 kan niet. Rekenen modulo 9 geeft geen veld, maar een lokale ring u u +u Erik Rijcken De lokale aanpak: dichtbij en ver weg 9 / 22

42 Lokale structuur van modulo Getallen liggen dicht bij elkaar als het verschil 0, of 6 is. Erik Rijcken De lokale aanpak: dichtbij en ver weg 20 / 22

43 Van lokale ring naar local Moufang set Punten: de lokale ring en drie extra punten Wortelgroep: U = {+0, +, +2, +, +4, +5, +6, +7, +8} Erik Rijcken De lokale aanpak: dichtbij en ver weg 2 / 22

46 Van lokale ring naar local Moufang set Punten: de lokale ring en drie extra punten Wortelgroep: U = {+0, +, +2, +, +4, +5, +6, +7, +8} Andere wortelgroepen: vinden we door toevoeging Erik Rijcken De lokale aanpak: dichtbij en ver weg 2 / 22

47 Lokale ringen en local Moufang sets: het verband constructie voor elke lokale ring lokale ringen local Moufang sets Erik Rijcken De lokale aanpak: dichtbij en ver weg 22 / 22

48 Lokale ringen en local Moufang sets: het verband constructie voor elke lokale ring lokale ringen local Moufang sets constructie met voorwaarden Erik Rijcken De lokale aanpak: dichtbij en ver weg 22 / 22

49 Tijd voor de receptie Bedankt om te komen! Jullie zijn uitgenodigd voor de receptie in Auditorium A e verdieping einde van de gang. Erik Rijcken Tijd voor de receptie