Dynamische modellen VWO Een lesmodule voor Wiskunde en Natuur, Leven & Technologie

Transcriptie

1 Dynamische modellen VWO Een lesmodule voor Wiskunde en Natuur, Leven & Technologie Ook geschikt als startmodule voor modelleren bij natuurkunde en/of biologie Versie 1.4 februari 2012 Werkgroep Dynamische Modellen Gecertificeerde NLT module voor vwo

2 Colofon De module Dynamisch Modelleren is bestemd voor de lessen Natuur, Leven en Technologie (NLT). De module is op 11 oktober 2007 gecertificeerd door de Stuurgroep NLT voor gebruik op het vwo in domein B (Fundament van wetenschap en technologie). Het certificeringsnummer van de module is VB. De originele gecertificeerde module is in pdf-formaat downloadbaar via Op deze website staat uitgelegd welke aanpassingen docenten aan de module mogen maken, voor gebruik in de les, zonder daardoor de certificering teniet te doen. Deze module is ontwikkeld door Kees Hooyman (auteur, docent Bonifatius College, Utrecht) Elwin Savelsbergh (adviseur, vakgroep Modelleren bètafaculteit UU) Alice Veldkamp (redacteur) Aangepaste versies van deze module mogen alleen verspreid worden, indien in dit colofon vermeld wordt dat het een aangepaste versie betreft, onder vermelding van de naam van de auteur van de wijzigingen. Versie 1.2 bevat tov versie 1.1 de volgende wijzigingen: toegevoegde figuren: 5.16 blz 110 en 5.39 blz 129 Versie 1.3 is aangepast voor gebruik met Coach ipv Powersim Versie 1.4 een aantal spelfouten en andere kleine verbeterpunten zijn doorgevoerd. Bij het ontwikkelen van de module is dankbaar gebruik gemaakt van het werk van Paul Drijvers en Carel van de Giessen. Voor bronvermeldingen en copyrights: zie docentenhandleiding Materialen die leerlingen nodig hebben bij deze module zijn beschikbaar via het vaklokaal NLT: Materialen die leerlingen nodig hebben bij deze module zijn beschikbaar via het vaklokaal NLT: Op dit vaklokaal staat ook de meest recente versie van de URL-lijst Versie 1.4 Het auteursrecht op de module berust bij SLO (nationaal expertisecentrum leerplanontwikkeling). SLO is derhalve de rechthebbende zoals bedoeld in de hieronder vermelde creative commons licentie. De auteurs hebben bij de ontwikkeling van de module gebruik gemaakt van materiaal van derden en daarvoor toestemming verkregen. Bij het achterhalen en voldoen van de rechten op teksten, illustraties, enz. is de grootst mogelijke zorgvuldigheid betracht. Mochten er desondanks personen of instanties zijn die rechten menen te kunnen doen gelden op tekstgedeeltes, illustraties, enz. van een module, dan worden zij verzocht zich in verbinding te stellen met SLO. 2

3 Foto voorpagina: La condition Humaine1935, René Magritte De module is met zorg samengesteld en getest. Landelijk Ontwikkelpunt NLT, Stuurgroep NLT, SLO en auteurs aanvaarden geen enkele aansprakelijkheid voor onjuistheden en/of onvolledigheden in de module. Ook aanvaarden Landelijk Ontwikkelpunt NLT, Stuurgroep NLT, SLO en auteurs geen enkele aansprakelijkheid voor enige schade, voortkomend uit (het gebruik van) deze module. Voor deze module geldt een Creative Commons Naamsvermelding-Niet-commercieel-Gelijk delen 3.0 Nederland Licentie Bij gebruik van de module of delen van de module dient bij de naamsvermelding te worden vermeld: dat het gaat om een gecertificeerde NLT module; de licentiehouder, zoals vermeld in dit colofon; de titel van de module, zoals vermeld in dit colofon; de instellingen die de module ontwikkeld hebben, zoals vermeld in dit colofon. 3

4 Wat gaan we doen? Beste leerlingen, Bij vrijwel al het wetenschappelijk onderzoek wordt gebruik gemaakt van computermodellen. In veel gevallen zijn dat dynamische modellen. Dit zijn modellen waarbij een situatie in de loop van de tijd verandert. In deze module maak je kennis met enkele eenvoudige modellen en leer je om zelf modellen te bouwen. Daarbij komt natuurlijk ook aan bod hoe die modellen werken. Daarbij blijkt de wiskunde een belangrijke rol te spelen. Opbouw van de module Hieronder een kort overzicht van de inhoud van de hoofdstukken. 1. Een eenvoudig model Kennismaking met modellen en dynamische modellen. Met een eenvoudig model simuleer je met een griepepidemie. Na enkele rondes testen, evalueren en aanpassen blijkt zo n eenvoudig model een griepepidemie redelijk na te bootsen. 2. Hoe werkt een model? Hierbij wordt gekeken naar de manier waarop de computer de berekeningen uitvoert en de manier waarop de verschillende variabelen invloed op elkaar hebben. 3. Zelf modellen bouwen Hier leer je hoe je zelf ingewikkelder modellen bouwen, testen en verbeteren. 4. De wiskunde in een model Om een model te bouwen is natuurlijk wat wiskunde nodig, maar ook in de resultaten van het model valt veel wiskunde te ontdekken. 5. Toepassingen Twee belangrijke gebieden waar modellen gebruikt worden zijn allerlei bewegingen (denk aan sport en verkeer) en populatiedynamica (denk aan het voorspellen van bevolkingsgroei of het uitsterven van diersoorten). Werkwijze tijdens de module Bij een groot gedeelte van de opdrachten in een computer nodig. Daarbij wordt meestal in tweetallen gewerkt. Op sommige plaatsen bestaat de mogelijkheid van differentiatie of keuzeopdrachten. Na hoofdstuk 3 en/of 4 is er een (voortgangs)toets. Hoofdstuk 5 bestaat uit keuzeopdrachten die als een praktische opdracht gebruikt kunnen worden. Leerdoelen Het beschrijven van een realistische/natuurwetenschappelijk verschijnsel met behulp van een rekenen/of computermodel. Daarbij leer je: 1. Problemen te herkennen die opgelost kunnen worden met behulp van een computermodel 2. Verschijnselen te modelleren in termen van toestandsvariabelen, stroomvariabelen, rekengrootheden en beïnvloedingsrelaties. 3. Modellen te schetsen en te bouwen in de modelleeromgeving Coach. 4. De gekozen modelvariabelen en -relaties in te vullen met waarden en formules 5. Het model door te rekenen en de juiste instellingen (tijdstap) te kiezen om bruikbare modeluitkomsten te krijgen 6. De uitkomsten te interpreteren en het model te testen door vergelijking met de werkelijkheid. (Om daarna eventueel het model te verbeteren en verder te gaan bij 2.) 7. De beïnvloedingsrelaties binnen een model te beschrijven als een recursieve betrekking en daarbij de tijdstap te betrekken. 8. De invloed van modelvariabelen op het resultaat te verklaren aan de hand van de beïnvloedingsrelaties. 9. De invloed van terugkoppeling op het proces te herkennen en te beschrijven. 4

5 10. De begrippen helling en oppervlakte te gebruiken om de relatie tussen de grafieken van de toestandsvariabelen en de stroomvariabelen te beschrijven. 11. Met behulp van differentiaalrekening het modelgedrag te verklaren en voorspellen aan de hand van de modelrelaties. 12. De beïnvloedingsrelaties binnen een model te schrijven als een differentiaalvergelijking. 13. Bij een proces van continue en evenredige groei de differentiaalvergelijking te gebruiken om een exacte oplossing te vinden. 14. Een algemeen model voor bewegingen te gebruiken om verschillende situaties te modelleren. Ook krijg je zicht op de vele studies en beroepen waarin wordt gemodelleerd. Meer informatie over modelleren in studie en beroep, kun je vinden op: Bij deze module hoort ook digitaal lesmateriaal. Vraag je docent waar deze voor jou ter beschikking staat. Noteer dat hier Voorkennis In deze module wordt de volgende kennis bekend verondersteld: - Verbanden en formules kunnen interpreteren als evenredigheid (of omgekeerd evenredigheid) en omgekeerd een eenvoudige relatie kunnen beschrijven als een formule - Basiskennis over kwadratische en exponentiële verbanden. - De afgeleide van een functie bepalen en de betekenis van de afgeleide als veranderingsgetal.toepassen. - Eenvoudig gebruik van Excel - Keuzeopdrachten mechanica: kracht, versnelling, snelheid, grafieken, (lucht)weerstand. (om de ontbrekende voorkennis bij te werken: zie bijlage 1) - Bij de keuzeopdrachten populatiedynamica wordt de benodigde voorkennis in de opdracht zelf beschreven. Voor leerlingen die geen biologie in hun vakkenpakket hebben, is op de laatste bladzijde een verklarende woordenlijst met biologische begrippen opgenomen. Succes en plezier met deze module, De auteurs 5

6 INHOUDSOPGAVE Hoofdstuk 1 Kennismaken met dynamische modellen 1.1 Wat is een dynamisch model? Model voor een griepepidemie Het model verbeteren Griep met een modelleerprogramma Een realistischer griepmodel 29 Hoofdstuk 2 De toestand en de verandering 2.1 Hoe rekent het model? Herhaald optellen; rekenen volgens recept Grafiek van toestand en verandering 44 Hoofdstuk 3 Modellen bouwen in een systeemdynamische modelleertaal 3.1 Waterstromen als voorbeeld Meer doen met waterstromen De toestand en de verandering 64 Hoofdstuk 4 De wiskunde in een model 4.1 Tijdstap, helling en oppervlakte De helling en de afgeleide Het gedrag voorspellen Differentiaalvergelijkingen Differentiaalvergelijkingen oplossen 96 Hoofdstuk 5 Toepassingen van dynamische modellen 5.1 Modelleren in studie en beroep Een beweging onderzoeken Een algemeen model voor bewegingen Keuze-opdrachten bij bewegingen Bevolkingsgroei in Noordwijkerhout Biologen en modelleren De vrije val van de lemming 156 Bijlage I Herhaling van de theorie van bewegingen 159 Bijlage II Verklarende woordenlijst biologische begrippen 161 Bijlage III Overzicht knoppen op de taakbalk Coach 163 6

7 Hoofdstuk 1 Kennismaken met modellen 1.1 Wat is een dynamisch model? Wat gaan we doen? Deze module gaat over dynamische modellen. Met name over dynamische modellen waarbij de computer gebruikt wordt om berekeningen aan het model uit te voeren en om met het model voorspellingen te kunnen doen. In hoofdstuk 1 wordt in drie stapjes een model opgebouwd om een griepepidemie te voorspellen. Het is een voorbeeld van de manier waarop modellen gebouwd, getest en verbeterd worden. In de eerste paragraaf zijn de centrale vragen: Wat is een dynamisch model? Welke gegevens heb je nodig om een model voor een griepepidemie te bouwen? Inleiding Wetenschappers werken aan vragen zoals: Zijn hersenen van jongeren geschikt voor planningstaken? Is te voorspellen hoe het nieuwe vogelgriepvirus eruit zal zien? En of deze variant voor mensen gevaarlijk is? De wetenschap probeert verschijnselen te beschrijven, te verklaren en te voorspellen. Het beschrijven van verschijnselen krijgt vaak de vorm van regels of wetten. Voorbeelden van dergelijke wetten zijn de wetten van Newton voor kracht en beweging. Deze wetten zijn bruikbaar om vrij eenvoudige situaties direct te verklaren. Maar in meer ingewikkelde situaties wordt dat lastiger. Dan gebruikt men modellen als hulpmiddel. Modellen zijn hulpmiddelen om de processen in de wereld om je heen en ook de wereld in jezelf te leren begrijpen. Figuur 1.1 Een schaalmodel van een havenmonding. Schaalmodellen en rekenmodellen Bij de modellen in figuur 1.1 en 1.2 gaat het om schaalmodellen; verkleinde kopieën van de werkelijkheid. Met zulke schaalmodellen is het stromingspatroon van het water bij een nieuw aan te leggen havenmonding te voorspellen, of de krachten op een nieuw type vliegtuig. Onderzoek aan zo n 7

8 schaalmodel kan leiden tot verbeteringen in het ontwerp. Voor het testen van zo n verbeterd ontwerp is dan weer een nieuw schaalmodel nodig. Figuur 1.2 Een schaalmodel van een vliegtuig in een windtunnel. In de praktijk worden de schaalmodellen steeds vaker vervangen door rekenmodellen. Het schaalmodel wordt dan als het ware virtueel in de computer gebouwd. Daardoor is zo n schaalmodel vrij gemakkelijk te wijzigen, en is snel na te gaan welk effect die wijziging heeft. Deze rekenmodellen beschrijven vooral verschijnselen waarbij grootheden in de tijd veranderen en/of elkaar beïnvloeden. In deze rekenmodellen wordt gebruik gemaakt van bekende wetten en van gegevens die in het verleden verzameld zijn. De berekeningen die hiermee worden uitgevoerd zijn vaak ingewikkeld. Bovendien gaat het meestal om een zeer groot aantal berekeningen. Door het gebruik van computers zijn rekenmodellen veel realistischer geworden. Ontwerpers willen computers verbeteren door ze informatie te laten verwerken zoals hersenen dat doen. Hersenmodellen zijn hiervoor helaas nog niet gedetailleerd genoeg. Natuurwetenschappelijk model Een model in de natuurwetenschap is een hulpmiddel bij het beschrijven, verklaren en voorspellen van natuurverschijnselen. 1 Ga bij elk van de onderstaande modellen na of het een wetenschappelijk model is.. I. Model werking lichaam van Galenus II. Model baby Triceratops (2007) ( na Chr ) III. Model ideale vrouw (2006). IV. Model DNA molecuul (1954) De robot reageert op 1000 commando s 8

9 Dynamische modellen En dan nu de weersverwachting voor morgen, overwegend zonnig.. Bij het maken van voorspellingen voor de toekomst wordt vaak gebruik gemaakt van dynamische modellen. Het woord dynamisch geeft aan dat het gaat om veranderingsprocessen. Bij een dergelijk proces hebben meer factoren invloed op de veranderingen in de bestaande situatie. Die factoren zijn bovendien vaak zelf niet constant. Neerslagradar Een vrij eenvoudig voorbeeld van het maken van een voorspelling met behulp van een model, is de neerslagradar. Deze is op internet te vinden op Figuur 1.3 Beelden van de buienradar van 10.25, en uur 2 De beelden laten eerst de neerslag van het afgelopen uur zien, met een tijdstap van 5 minuten. Daarna verschijnt een prognose van de neerslag voor het komende anderhalf uur met een tijdstap van 15 minuten. a. Bekijk de beelden van de neerslagradar op internet. Welk verschil zie je tussen de beelden van de metingen en de beelden van de prognose? De buien in de prognose veranderen niet meer van vorm, ze bewegen alleen nog over het scherm. b. Welk gegeven gebruikt de computer om de prognose op te stellen? In figuur 1.4 wordt de weerssituatie beschreven door verschillende variabelen zoals de temperatuur en de windsnelheid op verschillende plaatsen. c. Noem twee andere variabelen die de beginsituatie bepalen. De weerssituatie kan veranderen door bijvoorbeeld aanvoer van warme of koude lucht. d. Noem twee andere factoren die invloed kunnen hebben op de verandering van de weerssituatie. Figuur 1.4 De weerssituatie wordt beschreven door verschillende variabelen. De huidige computers kunnen het weer voor zeven dagen voorspellen, maar door de vele variabelen zit er altijd een onnauwkeurigheid in de voorspelling. 9

10 Dynamische modellen Een dynamisch model beschrijft hoe een bepaalde situatie verandert in de loop van de tijd. Het model wordt vaak gebruikt om te voorspellen hoe de variabelen die de situatie beschrijven in de loop van de tijd veranderen. Op allerlei terreinen wordt gebruik gemaakt van dynamische modellen en computersimulaties. Een nadeel van computermodellen is, net als bij alle andere modellen, dat het nooit een exacte weergave van de situatie is. De plaatjes uit de computer lijken heel nauwkeurig, maar schijn bedriegt. De jaarlijkse griepgolf: een dynamisch model in praktijk Afgelopen winter werd in een gerespecteerd tijdschrift het volgende advies gegeven: Alle docenten met een mondkapje voor de klas bij dreiging van een griepepidemie! Helpt zo n maatregel effectief tegen verspreiding? Hoe verloopt een epidemie eigenlijk? Welke factoren spelen een rol? Dynamische modellen worden gebruikt om dit soort vragen te beantwoorden. De overheid gebruikt ze om te voorspellen hoe de jaarlijkse griepgolf verloopt. Jaarlijks overlijden er in Nederland namelijk mensen aan het griepvirus. De overheid wil in een vroeg stadium weten hoe ernstig de situatie kan worden, zodat er nog maatregelen genomen kunnen worden. Figuur Kamagurka, De Volkskrant 1 juni 2006 Opdracht: bouw een griepmodel In dit hoofdstuk ontwikkel je een computermodel dat een realistische voorspelling doet voor het verloop van een griepgolf. Na een oriëntatie op het verschijnsel griep wordt een zeer eenvoudig model gebouwd. Het model wordt steeds getest en verbeterd totdat een realistisch model ontstaat. 3 Welke vragen wil je beantwoord hebben voordat je een model van griep kunt bouwen? Noteer een aantal vragen. Oriëntatie op de ziekte griep en het griepvirus Je model is een vereenvoudigde beschrijving van de werkelijkheid, die je kunt gebruiken voor het maken van een voorspelling. Het bouwen van een computermodel begint dan ook meestal met een oriëntatie op het verschijnsel, in dit geval griep. Markeer in de teksten op de volgende pagina de informatie die je nodig hebt voor je model. Fig 1.6 Elektronenmicroscopische foto griepvirus. Daarnaast een model van het griepvirus 10

11 Van griepgolf tot epidemie Elk jaar komt de griep in grotere of kleinere golven, treft sommigen wel en anderen niet. Gemiddeld krijgt ongeveer 10% van de mensen jaarlijks griep. In Nederland wordt het verloop van de griep de laatste jaren bijgehouden via internet. Op de website vind je gegevens over de griep in Nederland. De onderstaande grafiek laat zien hoe de griepgolf uit het seizoen verliep. Het hoogste punt in de grafiek noemt men de piek. piek op 10 februari ,6% heeft de griep Figuur Tijdens de GroteGriepMeting wordt via internet bijgehouden hoeveel procent van de deelnemers verkouden is of de griep heeft dag Figuur 1.7 De griepgolf van het seizoen Hij heeft een griepje. Het klinkt onschuldig. Griep kan levensgevaarlijk zijn. Een variant van het griepvirus heeft in het begin van de vorige eeuw miljoen slachtoffers geëist. Meer slachtoffers dan in WOI. Er wordt gesproken van een epidemie wanneer het aantal gevallen van griep in een bepaald gebied gedurende een bepaalde periode veel hoger is dan gebruikelijk. Voor Nederland is dat bij een aantal van meer dan 6 per inwoners. Buiten een griepepidemie hebben er gemiddeld 3 op de mensen griep in Nederland. Een pandemie, zoals de Spaanse griep van , is niets meer dan een epidemie die zich afspeelt in een groot gebied. Maar wat is groot? Enkele landen samen? Een heel werelddeel? Meer werelddelen? Pandemie is dus een wat vage term voor een fikse epidemie. Mogelijke maatregelen Er zijn antivirale middelen op doktersrecept te krijgen. Ze worden maar weinig gebruikt. Het werkt vaak maar bij één type griepvirus. Met welke typen virus je besmet bent, is met het blote oog niet te zien. Dit laten onderzoeken duurt te lang. De middelen moeten namelijk binnen uur na de eerste ziekteverschijnselen ingenomen worden. Alleen dan verkorten ze de ziekte met (gemiddeld) 1 dag. Sommige mensen, bijvoorbeeld ouderen, krijgen jaarlijks een oproep voor de griepprik. Dit is een vaccin dat ingespoten wordt. Het werkt na ongeveer 10 dagen. Kortom, voorkomen is beter dan genezen! 4 De overheid wil in een vroeg stadium een voorspelling hebben van het verloop van een griepepidemie. a. Geef twee redenen waarom de overheid bijtijds een voorspelling wil hebben. 11

12 Een voorspelling van het verloop van een griepepidemie zal verschillende gegevens opleveren. b. Noem twee gegevens waarin de overheid geïnteresseerd zal zijn. Griepgegevens verzamelen De overheid kan pas een voorspelling laten maken als er voldoende gegevens zijn verzameld over de situatie aan het begin van het griepseizoen. Die griepgegevens komen uit verschillende landen en gaan over vragen zoals: I. Welke type griepvirussen zijn er gesignaleerd? II. Hoe snel verandert het virus? (Oftewel hoe snel veranderen de antigenen?) III. Hoe besmettelijk zijn de virussen? IV. Welk deel van de bevolking is het meest vatbaar voor de ziekte? V. Op welke plaatsen is het virus gesignaleerd? VI. Hoeveel personen zijn er met het virus besmet? VII. Hoe groot is de kans dat een persoon die ziek is, overlijdt aan de griep? 5 Bij het begin van een griepgolf worden verschillende gegevens over de bevolking verzameld. a. Welke van de bovenstaande griepgegevens hebben betrekking op de beginsituatie van de bevolking? Noteer de nummers. Bij de beginsituatie horen ook enkele eigenschappen van het virus, die tijdens de griepepidemie meestal niet veranderen. b. Welke van de bovenstaande griepgegevens hebben betrekking op de beginsituatie met betrekking tot het virus? Noteer de nummers. Grafiek van een griepgolf Het model moet voorspellen hoe snel het aantal zieken verandert. Het aantal zieke personen verandert in de loop van de tijd. In figuur 1.9 zie je de griepgolf van het seizoen Kenmerkend voor een griepgolf is dat de grafiek eerst langzaam en daarna steeds sneller stijgt. Figuur Bij een griepepidemie neemt het aantal zieken steeds sneller toe. 12

13 6 De grafiek van een griepgolf heeft een karakteristieke vorm; zie fig.1.9. a. Beschrijf en verklaar de vorm van de grafiek. Gebruik de begrippen besmettingen en zieken. Voor een voorspelling berekent het computermodel hoe de situatie verandert. b. Welke van de griepgegevens hebben invloed op de snelheid waarmee het aantal zieke personen verandert? Tijdstap Bij een computermodel hoort ook een tijdstap. Dat is vaak de periode waarover de computer de verandering moet berekenen, uitgaande van de beginsituatie en het tempo van verandering. De computer berekent telkens opnieuw hoe de situatie zal zijn één tijdstap later. De tijdstap wordt door de bouwers van het model zo gekozen dat het past bij het onderwerp. 7 Bij een dynamisch model van een griepepidemie is een tijdstap van een maand niet handig omdat er binnen één tijdstap erg veel kan veranderen in de situatie. Een tijdstap van een seconde of een minuut zou het model erg nauwkeurig maken, maar daar kleeft een ander nadeel aan. a. Welk nadeel kleeft er aan een te kleine tijdstap in je griepmodel? b. En welk nadeel aan een te grote? c. Welke tijdstap is voor je griepmodel een logische keuze? Licht kort toe. Leerdoelen Wat heb je nu geleerd? Na deze paragraaf moet je een antwoord kunnen geven op de volgende vragen: Wat is een dynamisch model? Welke twee soorten gegevens heb je nodig om een dynamisch model te bouwen? 13

14 Kennismaken met modellen 1.2 Een model voor een griepepidemie Wat gaan we doen? Met enkele gegevens over de griep kan een eerste model voor het verloop van de epidemie gebouwd worden. Dit eenvoudige model laat ook zien op welke manier het rekenwerk in een model loopt. In de eerste paragraaf zijn de centrale vragen: Hoe kan een eenvoudig model voor de griep gebouwd worden? Op welke manier rekent het model? Een simpel griepmodel Het bouwen van een model begint meestal met een zeer simpel model dat het basisprincipe weergeeft. Dat model wordt vervolgens net zolang verbeterd totdat de resultaten van het model redelijk overeen komen met de werkelijke resultaten uit het verleden. Dat biedt overigens nog niet de garantie dat het model goede voorspellingen voor de toekomst kan maken. Bij griep kan het basisprincipe als volgt beschreven worden: je bent gezond, je wordt ziek, je wordt beter en dan ben je, voor korte of langere termijn, immuun voor de ziekte. Dat proces is hieronder in beeld gebracht met behulp van een zogenaamd stroomschema. elke dag worden 10 mensen ziek elke dag geneest 20% van de zieken beginsituatie gezond ziek immuun na 1 dag gezond ziek immuun na 2 dagen gezond ziek immuun na 3 dagen gezond ziek immuun Figuur 1.10 Een simpel griepmodel De aantallen in de mandjes stellen de gezonde, zieke en immune mensen voor. De beginsituatie gaat uit van 990 gezonde mensen en 10 zieke mensen. Er is nog niemand immuun. 14

15 Veranderingen Een dynamisch model wordt beschreven door de veranderingen vanuit de beginsituatie. De pijlen in het schema geven deze veranderingen aan. In deze situatie beginnen we met een heel simpele aanname: - elke dag worden er 10 mensen ziek - van de zieke mensen geneest elke dag 20% 8 Met dit simpele griepmodel valt de situatie op de volgende dagen uit te rekenen. Voor de situatie na 1 dag is het stroomschema deels ingevuld. a. Leg uit dat er na één dag 18 personen ziek zijn. b. Lees af hoeveel personen na één dag immuun zijn. c. Bereken voor de situatie na 2 en 3 dagen het aantal personen dat gezond, ziek of immuun is. Reken door met de niet afgeronde getallen. Noteer de afgeronde getallen in het schema (figuur 1.10). Het verloop van een griepgolf berekenen De berekeningen bij het simpele model voor griep kunnen vrij eenvoudig gedaan worden door een programma als Excel. Figuur Let op: Excel geeft de afgeronde getallen weer, maar rekent door met de niet afgeronde getallen. 9 Bij de kolommen gezond, ziek en immuun zijn op dag 0 de aantallen voor de beginsituatie ingevuld. De aantallen op de volgende dagen worden berekend met behulp van formules. a. Open het Excel-bestand Simpel griepmodel. b. Welke inhoud (formule) staat er in cel B6, gezond op dag 1? Vul de formule in: B6 = De inhoud van elke cel is zichtbaar in de formulebalk. c. Leg uit dat je de formule voor gezond op dag 1 ook kunt lezen als: gezond(1) = gezond(0) - besmetting 15

16 d. Kopieer de inhoud van gezond op dag 3 naar beneden, naar de andere cellen van de kolom. Gebruik de vulgreep (zie fig. 1.12) of de combinatie Ctrl-C en Ctrl-V. Het model bevat 50 dagen. De inhoud van elke cel wordt berekend uit de vorige situatie. In de wiskunde wordt zoiets een recursieve betrekking genoemd. e. Noteer de formule voor het aantal gezonde personen op dag n+1 als een recursieve betrekking gezond(n+1) = Fig.1.12 Met de vulgreep kun je een formule snel naar beneden kopiëren. Klik hiervoor de cel aan, pak de rechterhoek vast en sleep deze naar beneden. 10 De variabele immuun heeft beginwaarde 0. De variabele neemt toe doordat zieke personen genezen en daarna immuun zijn geworden. a. Welke inhoud staat er in cel D6, voor immuun op dag 1? D6 = D5 + b. Schrijf deze formule op dezelfde manier als hierboven: immuun(1) = immuun(0) c. Kopieer op dezelfde manier de inhoud van ziek op dag 3 naar beneden, naar de andere cellen van de kolom, zie fig d. Kopieer op dezelfde manier de inhoud van immuun op dag 3 naar beneden, naar de andere cellen van de kolom, zie fig Ook hier is sprake van een recursieve betrekking. e. Vul aan: immuun(n+1) = immuun(n) Het aantal zieke personen groeit door besmetting van gezonde personen, maar neemt af door genezing. a. Welke inhoud staat er in cel C6, voor ziek op dag 1? C6 = C5 + b. Schrijf deze formule op dezelfde manier als hierboven: ziek(1) = ziek (0) Ook hier is sprake van een recursieve betrekking. c. Vul aan: ziek (n+1) = 16

17 Werken met het Excel-model 12 Met Excel is het eenvoudig om een grafiek van de resultaten te maken. Figuur 1.13 Selecteer de cellen voor de grafiek. Selecteer met de muis alle cellen (A4 t/m D55) waarmee je een grafiek wilt maken. a. Kies onder Invoegen voor Grafiek. b. Selecteer bij Grafiektype Spreiding. c. Kies steeds voor Volgende en tot slot Voltooien tot de grafiek op het scherm staat. d. Bij welke variabele is de grafiek een rechte lijn (vanaf het begin)? Figuur 1.14 Kies een spreidingsgrafiek met als subtype een vloeiende lijn door de punten. e. Waardoor loopt de grafiek van ziek vanaf een bepaald moment horizontaal? Wat is er dan aan de hand? f. Waardoor loopt de grafiek van immuun in het begin niet recht? 13 Met het model in Excel kan worden onderzocht wat er verandert als er sprake is van een meer besmettelijke griep of een griep waarbij mensen langer ziek zijn. a. Verander het aantal besmettingen per dag in 20. Wat zie je nu veranderen aan de tabel en aan de drie grafieken? b. Verander vervolgens het genezingspercentage in 10%. Welke grafiek verandert niet als het genezingspercentage verandert? c. Opnieuw zie je dat het aantal zieken na verloop van tijd constant wordt. Bij welk aantal zieken is dit? Licht je antwoord met een berekening toe. 17

18 Model testen en evalueren 14 Hoe realistisch is je griepmodel? Modellen worden getoetst aan de werkelijkheid. We wachten niet op de volgende griep, maar gebruiken de grafiek van het seizoen ; zie figuur Figuur 1.15 Griepepidemie in Nederland, seizoen Als je deze grafiek vergelijkt met de grafiek zieken in jouw model dan zijn er twee opvallende verschillen te zien. a. Noem deze twee verschillen. b. Geef een biologische verklaring voor de (bijna) exponentiële stijging in figuur c. Na het hoogtepunt van de griepepidemie is een daling zichtbaar (figuur 1.15). Geef twee biologische oorzaken van deze daling. De voorspelling van je model is niet realistisch genoeg. Het model is te simpel. Om het model te verbeteren, kunnen een aantal variabelen preciezer beschreven worden. d. Noem 2 variabelen die je preciezer zou beschrijven om je model betrouwbaarder te krijgen. Leerdoelen Wat heb je nu geleerd? Na deze paragraaf moet je een antwoord kunnen geven op de volgende vragen: Hoe kan een eenvoudig model voor de griep gebouwd worden? Wat is een recursieve betrekking? Op welke manier berekent een model de toestand in de nieuwe situatie? 18

19 Kennismaken met modellen 1.3 Het model verbeteren Wat gaan we doen? Het eerste model is te eenvoudig om een griepgolf na te bootsen. In deze paragraaf wordt het model aangepast door de formules waarmee de veranderingen berekend worden te verbeteren. In deze paragraaf is de centrale vraag: Hoe kun je de formules in een model verbeteren? Genezingsfactor Om het simpele model te verbeteren kijken we als eerste naar de genezing, de stroomvariabele die bepaalt hoe snel het aantal zieke personen afneemt. Fig Het genezingsproces in het model bepaalt hoe snel zieke mensen weer beter worden. In het model is de aanname gemaakt dat elke dag 20% van de zieke mensen geneest en dus immuun geworden is. De genezingsfactor is het deel dat een dag later genezen is. a. Hoe groot is de genezingsfactor? Noteer het antwoord als een decimaal getal. b. Hoe lang is iemand dan gemiddeld ziek? c. Vind je dit een realistische aanname? Gebruik indien nodig de informatie van de website Wat is griep? Griep is een acute infectie van de bovenste luchtwegen (neus, keel, longen) en wordt veroorzaakt door het influenza virus. Griep is waarschijnlijk de meest onderschatte ziekte die er is. Ieder jaar krijgt 5 tot 10% van de Nederlandse bevolking griep; dit zijn dus 1 tot 1,5 miljoen mensen. Het griepvirus ondergaat regelmatig mutaties, veranderingen. De antistoffen die het lichaam het ene jaar aanmaakt tegen het griepvirus, herkennen niet automatisch het virus van het jaar daarop. Hierdoor kan het griepvirus ons afweersysteem steeds opnieuw verrassen en kun je elk jaar opnieuw griep krijgen. Tijd tussen besmetting en begin griepklachten Na het binnenkrijgen van het griepvirus duurt het gewoonlijk 2 3 dagen voordat je ziek wordt,. Dit wordt de incubatietijd genoemd. Ondertussen kun je wel, zonder dat je het weet, weer andere mensen besmetten. Volwassenen zijn besmettelijk vanaf twee dagen voordat de symptomen zich openbaren tot 5 dagen daarna. Hoe lang duurt de griep? Bij griep zijn gezonde mensen al gauw een week ziek. De koorts (38-40 C) is binnen één dag na het begin van de klachten het hoogst en duurt 1 tot 5 dagen. Als je griep hebt, wil je het liefst gewoon in bed blijven. Griep is zeer besmettelijk Via de lucht, maar ook via direct contact (zoenen, hand geven) of indirect contact (via een deurkruk of telefoon bijvoorbeeld) kun je het griepvirus oplopen. Het inademen van maar drie griepvirussen is al genoeg om zelf besmet te raken. Bijvoorbeeld: Als een vliegtuig met één grieppatiënt 3 uur aan de grond staat met een kapot ventilatiesysteem, dan krijgt 72% van de passagiers in de daaropvolgende dagen griep. Informatie van de site 19

20 Een beter formule voor besmetting De volgende variabele die we bekijken is besmetting. In het eerste model worden elke dag 10 mensen besmet. Het is niet erg realistisch dat het aantal besmettingen constant is. Een meer realistische aanname is dat elke zieke voor nieuwe besmettingen zorgt. Als er meer zieke mensen zijn, zullen er ook meer mensen besmet worden. De besmettingsfactor geeft weer hoeveel nieuwe besmettingen er per dag en per zieke plaatsvinden (gemiddeld). 16 De recursieve betrekkingen voor de variabel gezond in het model wordt dan: gezond(n+1) = gezond(n) ziek(n) besmettingsfactor Figuur 1.17 Gedeelte Excel-bestand a. Open het Excel-bestand Verbeterd Griepmodel b. Noteer in de cellen C6 en D6 de formules voor ziek en immuun op dag 1 in de tabel met behulp van deze recursieve betrekking (de besmettingsfactor $F$5, de genezingsfactor is $F$6). Noteer de formules hieronder. C6 = D6 = c. Kopieer de formules voor gezond, ziek en immuun naar de cellen eronder tot dag In dit model spelen de besmettingsfactor en de genezingsfactor een vergelijkbare rol. Met Excel kan de invloed van deze factoren op de epidemie onderzocht worden. De onderstaande grafiek is gemaakt met een besmettingsfactor van 0,25 en een genezingsfactor van 0,20. Verbeterd Griepmodel 6000 personen ziek, gezond of immuun tijd in dagen gezond ziek immuun Figuur 1.18 Grafieken van de aantallen voor gezond, ziek en immuun Bekijk de grafiek met de aantallen voor gezond, ziek en immuun. Het model explodeert, de lijnen lijken op exponentiële functies. a. Kies een andere waarde voor de besmettingsfactor. Bij welke waarde(n) explodeert het model niet meer? 20

21 b. Leg kort uit hoe het komt dat in dit model het aantal zieke personen blijft toenemen als de besmettingsfactor groter is dan de genezingsfactor. c. Hoe zou je het model realistischer kunnen maken? Figuur Besmettingsbron. Besmettingsfactor en immuniteit Besmetting kan alleen optreden als zieke en gezonde mensen elkaar ontmoeten. Als het aantal gezonde mensen afneemt moet ook het aantal besmettingen afnemen. Na enige tijd is een deel van de bevolking immuun en kan niet meer besmet worden. Het aantal besmettingen daalt als het aantal gezonde mensen ten opzichte van het totaal afneemt. Een betere formule voor het aantal besmettingen is dan: gezond besmetting c ziek totale bevolking In deze formule is c de besmettingsfactor (het aantal nieuwe besmettingen per zieke per dag, gerelateerd aan de totale bevolking) 18 Bekijk de formule voor het aantal besmettingen. a. Stel dat bij 990 gezonde personen en 10 zieke personen er per dag 5 besmettingen zijn, welke waarde heeft c dan? b. In het begin van de epidemie neemt het aantal besmettingen per dag snel toe. Hoe is dat met deze formule te verklaren? Na verloop van tijd daalt het aantal besmettingen per dag. c. Hoe kun je met de formule uitleggen dat op een bepaald moment het aantal besmettingen weer daalt? Conclusie: besmetting en genezing Om het model te verbeteren moet rekening gehouden worden met de volgende verbanden: Het aantal personen dat per dag geneest hangt af van de genezingsfactor. De gemiddelde ziekteduur hangt ook van de genezingsfactor af. Het aantal personen dat per dag besmet raakt hangt af van de besmettelijkheid van het virus, het aantal personen dat ziek is én het aantal personen dat gezond is en nog niet immuun. 21

22 Symbolen Coach De symbolen in dit model zijn de toestandsvariabele, de stroomvariabele en de constante. Op weg naar een computermodel Het onderstaande schema geeft het verbeterde model weer. De figuur is afkomstig van het modelleerprogramma Coach dat net als Excel alle berekeningen kan uitvoeren. Figuur 1.20 Een verbeterd griepmodel Figuur De waarde van een toestandsvariabele verandert door instroom en uitstroom. De variabelen gezond, ziek en immuun zijn weergegeven als een rechthoek. Zo n variabele wordt een toestandsvariabele of niveauvariabele genoemd. De veranderingen in het model zijn weergegeven met stroompijlen. Elke stroompijl of stroomvariabele bevat een formule waarmee berekend wordt hoeveel personen er per dag verschuiven. In het model zijn twee constante factoren opgenomen. Het symbool voor een constante is een rondje. - de genezingsfactor is het deel van de zieken dat de volgende dag genezen is - de besmettingsfactor is de variabele c uit de formule voor het aantal gezond besmettingen: besmetting c ziek totale bevolking De dunne pijlen in het stroomschema zijn de relatiepijlen. Die pijlen geven aan welke factoren invloed hebben op de veranderingen. Figuur De waarde van de stroomvariabele geeft de verandering aan. De stroompijl bevat een formule om dit te berekenen 19 De twee constanten genezingsfactor en besmettingsfactor hebben een bepaalde waarde (een decimaal getal). a. Welke waarde heeft de constante genezingsfactor als per dag 20% van de zieke personen geneest? In de vorige opgave is voor de besmettingsfactor een waarde van 0,5 gevonden. Bij 1000 gezonde en 10 zieke personen betekent dit dat er elke dag 5 personen besmet raken. Hoeveel besmettingen zijn er per dag bij 400 gezonde personen, 100 zieken en 500 personen die immuun zijn? Figuur Het rondje stelt een constante voor. De relatiepijl geeft aan dat de genezingsfactor invloed heeft op de variabele genezing. Leerdoelen Wat heb je nu geleerd? Na deze paragraaf moet je een antwoord kunnen geven op de volgende vraag: Hoe kun je de formules in een model verbeteren? 22

23 Kennismaken met modellen 1.4 Griep met een modelleerprogramma Wat gaan we doen? In deze paragraaf wordt het verbeterde griepmodel gebouwd met behulp van het modelleerprogramma Coach. In het model zijn de verbeterde formules opgenomen waarmee de invloed van de modelvariabelen beschreven wordt. In deze paragraaf zijn de centrale vragen: Geeft het verbeterde model realistischer resultaten? Welke invloed hebben de verbeterde modelvariabelen op de resultaten? Computermodellen ophalen Bij dit lespakket horen computermodellen die via een website of schoolnetwerk beschikbaar zijn. Op de eerste pagina van deze module heb je genoteerd waar de bestanden op te halen zijn. Start het model Griepepidemie1. Je krijgt op het scherm een model voor een griepepidemie dat je kunt laten doorrekenen. Figuur 1.24 Model griepepidemie 1 20 Het model Griepepidemie1 is gereed voor gebruik. a. Open met de rechtemuisknop in het modelvenster het modeluitvoer-paneel. Plaats de schuif van de afspeelsnelheid helemaal links. Klik op de knop, de play-knop in het modeluitvoer-paneel. Dit paneel is zodanig ingesteld dat de berekening altijd start vanuit de beginsituatie en de toestand in opeenvolgende stappen doorrekent. Tevens staan de momentane toestandswaarden in het model bij de grafische elementen. b. Stop de computerberekeningen na 7 dagen door op de blauwe stop-knop in het modeluitvoer-paneel te klikken. Neem de berekende getallen over. Figuur 1.25 Afspeelbuttons in de menubalk. 23

24 c. Heeft de epidemie na een week het maximum al bereikt? Je kunt met het model verder rekenen tot 100 dagen. d. Maak eerst een voorspelling over de situatie op dag 100. e. Sluit het modeluitvoer-paneel en klik op om het model snel door te rekenen en controleer de voorspelling. f. Noteer vanaf welke dag de situatie stabiel is. 21 Belangrijke vragen die de overheid beantwoord wil zien door het gebruik van een model zijn: - Hoe wordt de piek? Met andere woorden: wat is het maximum aantal mensen dat tegelijkertijd ziek is? - Hoeveel procent van de bevolking krijgt uiteindelijk griep? Beantwoord de twee vragen met dit model. 22 Open met de rechtermuisknop in het modelvenster het modeluitvoer-paneel. Plaats de schuif van de afspeelsnelheid helemaal links. Klik op de knop, de play-knop in het modeluitvoer-paneel. Stop de computerberekeningen na 21 dagen door op de blauwe stop-knop in het modeluitvoer-paneel te klikken. Volg nu in de grafiek de waarden van gezond, ziek en immuun. 24

25 Figuur 1.26 Model griepepidemie 1 23 De grafieken in figuur 1.26 laten zien hoe het verloop van de griepgolf volgens het model Griepepidemie1 is. In het diagram is het aantal zieke, gezonde en immune personen weergegeven. a. Is de vorm van de grafiek van de griepgolf (het aantal zieke personen) realistischer dan in vraag 14? Licht toe. b. Controleer of de hoogte van de piek in de griepgolf overeen komt met de waarde die je bij de vorige opgave gevonden hebt. Noteer de waardes. c. Hoe zou je in de grafiek kunnen aflezen hoeveel procent van de bevolking uiteindelijk de griep gehad heeft? d. De grafieken van gezond en immuun hebben de vorm van een langgerekte S. Verklaar voor beide grafieken afzonderlijk het verloop van de grafiek. 25

26 Invloed van veranderingen Het model kent twee factoren die invloed hebben op de griepepidemie, de genezingsfactor en de besmettingsfactor. Met het computermodel kunnen we snel nagaan wat de invloed van deze twee factoren is, maar eerst wordt er een voorspelling opgesteld over de invloed die deze twee factoren hebben. 24 De besmettingsfactor hangt onder andere af van het type virus. Er zijn veel verschillende griepvirussen. Bij het ene virus is de kans op besmetting groter dan bij een ander virus. Voorspel hoe de griepgolf zal verlopen als de besmettingsfactor niet 0,5 maar 1,0 is. Teken je voorspelling in de grafiek van figuur Zal een grotere besmettingsfactor ook invloed hebben op het aantal personen dat uiteindelijk de griep krijgt? 25 De genezingsfactor heeft ook invloed op de griepgolf. Als mensen korter ziek zijn, kunnen ze minder personen besmetten. Door het gebruik van antivirale middelen kan de genezingsfactor groter worden. a. Voorspel hoe de griepgolf zal verlopen als de genezingsfactor 0,10 is. Teken met een andere kleur je voorspelling in figuur b. Zal een lagere genezingsfactor ook invloed hebben op het aantal personen dat de griep krijgt? Leg uit. 26

27 Modelvariabelen veranderen Om de waarde van de besmettingsfactor en de genezingsfactor te veranderen moet je de eigenschappen van de variabele veranderen. Klik daarvoor dubbel op het modelsymbool waarvan de waarde veranderd moet worden. Figuur 1.28 Door dubbel te klikken op het symbool voor de besmettingsfactor opent het volgende scherm en kan de waarde van de variabele veranderd worden. 26 De getalswaarde van de constante besmettingsfactor is zichtbaar. Het scherm kan alleen geopend wordt als het model gestopt is. a. Open het eigenschappenvenster van de besmettingsfactor b. Stel de besmettingsfactor in op 1.0 en laat het model lopen. c. Klopte jouw voorspelling van de griepgolf bij opgave 24 ongeveer? Zo nee, leg dan uit waarom de grafiek anders is. d. Hoeveel % van de bevolking krijgt volgens dit model de griep? Fig De waarde van de variabelen verandert pas als het model loopt. 27 De invloed van de genezingsfactor kan op dezelfde manier veranderd worden. a. Open het eigenschappenvenster van de genezingsfactor. b. Stel de genezingsfactor in op 0.10 en laat het model lopen. c. Klopte jouw voorspelling van de griepgolf bij opgave 25 ongeveer? Zo nee, leg dan uit waarom de grafiek anders is. d. Hoeveel % van de bevolking krijgt volgens dit model de griep? 27

28 28 Bij een ernstige griepepidemie kan de overheid besluiten om op grote schaal antivirale middelen te verstrekken. (Zie blz.11 Mogelijke maatregelen) Een dergelijke aanpak is echter wel erg duur. In je model wordt de genezingsfactor 0,30. a. Verwacht je dat een dergelijk medicijn veel invloed kan hebben op de griepgolf? Wat zal die invloed dan zijn? Op welk deel van de grafiek? b. Test je antwoord bij a. door het programma te laten lopen. Noteer de uikomsten. Werken met een computermodel Een computermodel biedt veel mogelijkheden tot testen en uitproberen. Het model kan verschillende malen gerund worden onder verschillende condities. Zo kan de invloed van één onderdeel goed onderzocht worden. Enkele mogelijkheden zijn: De beginsituatie (de niveauvariabelen) kan anders gekozen worden. De invloed van de constante factoren kan vergeleken worden. De tijdsduur en de tijdstap kan aangepast worden. Model testen en evalueren Een model moet niet alleen de werkelijkheid zo goed mogelijk beschrijven, het moet ook geschikt zijn om voorspellingen te doen voor de toekomst. Dat betekent dat verschijnselen die in werkelijkheid optreden ook zichtbaar moeten zijn in het model. Daarnaast moet getest worden of het model betrouwbaar is. 29 Het model Griepepidemie 2 houdt op een bepaalde manier rekening met de genezingsfactor en de kans op besmetting. a. Noem twee eigenschappen van het model Griepepidemie 2 die goed passen bij de werkelijkheid. b. Noem één aspect aan het model dat verbeterd kan worden of waarmee het model uitgebreid kan worden. Leerdoelen Wat heb je nu geleerd? Na deze paragraaf moet je een antwoord kunnen geven op de volgende vragen: Welke invloed hebben de modelvariabelen op het resultaat? Hoe kun je de resultaten van het model verklaren aan de hand van de formules in het model? 28

29 Kennismaken met modellen 1.5 Een realistischer griepmodel Wat gaan we doen? Het model Griepepidemie1 geeft een realistischer voorspelling van een griepgolf dan de voorgaande Excel modellen. Maar enkele belangrijke biologische aspecten ontbreken nog. Hierdoor is het model nog niet goed betrouwbaar genoeg. Het derde griepmodel is een voorbeeld van een uitgebreid model waarbij veel factoren een invloed hebben. Dit model wordt getest met behulp van een échte griepgolf. In deze paragraaf zijn de centrale vragen: Welke factoren maken het griepmodel meer realistisch? Hoe test je een model testen aan de werkelijkheid? Het verbeterde griepmodel geeft al een veel realistischer beeld van een griepepidemie, maar er ontbreken nog veel factoren en verschijnselen die bij een echte epidemie een rol spelen. Het model kan dus nog verder verbeterd worden. Verbeteringen aan het griepmodel Om het model van de griepepidemie nog beter aan te laten sluiten op de werkelijkheid moeten de onderstaande verschijnselen en factoren aan het model worden toegevoegd: Personen die besmet raken zijn niet direct ziek. De virussen vermenigvuldigen zich. Na een dag of twee beginnen de eerste ziekteverschijnselen. In deze (incubatie)tijd kunnen anderen wel besmet worden. Niet iedereen die besmet raakt wordt ook ziek. Bij een behoorlijk deel van de bevolking werkt het afweersysteem goed genoeg om het virus uit te schakelen. Deze personen zijn daarna immuun (immuun_1). De griep kan ook dodelijk zijn. Elk jaar overlijden er in Nederland honderden mensen aan de griep. De kans op overlijden is sterk afhankelijk van het type virus dat de ziekte veroorzaakt. In het model Griepepidemie2 zijn deze drie verschijnselen opgenomen. Figuur 1.30 Griepepidemie 2 29

30 30 Het model Griepepidemie2 kent een nieuwe niveauvariabele besmet, het aantal personen dat al wel besmet maar nog niet ziek is. a. Hoe is in het model te zien dat een deel van de personen die besmet is geraakt niet ziek wordt? Wat gebeurt er bij deze personen? b. Welke constante in het model bepaalt welk deel van de besmette personen wel ziek wordt en welk deel niet? Bij mensen die besmet én vatbaar zijn neemt het aantal virusdeeltjes toe, waarna ze ziek worden en dus anderen kunnen besmetten. c. Welke twee niveauvariabelen zorgen voor nieuwe besmettingen? 31 Het model houdt ook rekening met het feit dat er elk jaar mensen overlijden aan de griep. De stroomvariabele sterfte is in het model afhankelijk van het aantal zieke personen en de sterftefactor (de kans per dag om te overlijden aan de griep). a. Geef in je eigen woorden aan wat de stroomvariabele sterfte voorstelt. Gebruik in je uitleg ook de eenheid van de variabele. b. Met welke formule zal de variabele sterfte berekend worden? c. Leg uit dat de constante sterftefactor een zeer klein getal moet zijn. Ontwikkelen en testen Het ontwikkelen van modellen gaat vaak op dezelfde manier. Het eerste model is vrij eenvoudig, daarna worden er steeds verbeteringen aangebracht. Verschijnselen en factoren die in de werkelijkheid een rol spelen worden aan het model toegevoegd. Dat proces gaat door totdat het model goed genoeg is voor het doel waarvoor het gebruikt moet worden. Om een verbeterd model te testen wordt de uitkomst van het model vergeleken met gegevens uit de werkelijkheid. Daarbij wordt onderzocht of het mogelijk is het model zo in te stellen dat de resultaten redelijk overeen komen met de werkelijkheid. 30

31 Open het model Griepepidemie 2. Je krijgt op het scherm het uiteindelijke model voor een griepepidemie. 32 Het model start met gezonde personen, 100 personen die besmet zijn en 10 personen die ziek zijn. Boven in het scherm vind je de menubalken waarmee je het model kunt laten werken. a. Open met de rechtemuisknop in het modelvenster het modeluitvoer-paneel. Plaats de schuif van de afspeelsnelheid helemaal links. Klik op de knop, de play-knop in het modeluitvoer-paneel. Noteer hoeveel personen er aan het einde gezond, besmet, ziek of immuun zijn. Figuur 1.31 Afspeelknoppen in de menubalk gezond: ziek: besmet: immuun: b. Hoeveel personen liggen tijdens de piek van de griepgolf in bed? c. Hoeveel personen overlijden er in totaal aan de griep? d. Vind je de resultaten van dit model realistisch? Leg uit waarom wel/niet. Het model testen Het model is nu compleet genoeg om een test uit te voeren. Bij een test wordt onderzocht of het model in staat is om een werkelijke situatie na te bootsen. Als voorbeeld worden de gegevens gebruikt van de griepgolf die in februari 2005 Zuid-Nederland trof. Lees eerst het artikel. In februari hogere sterfte in Zuid-Nederland Bron: In Zuid-Nederland zijn in februari 2005 bijna 3 duizend mensen overleden. Dit is bijna 600 meer dan in de vier weken daarvoor en ook 600 meer dan gemiddeld voor februari. De hogere sterfte in Zuid-Nederland valt vrijwel samen met een griepgolf die door het NIVEL is waargenomen. In de week van 14 tot en met 20 februari bereikte deze een piek. Toen waren er per 10 duizend inwoners van Zuid-Nederland 48 patiënten met een ziektebeeld dat op griep wijst. Week na griepgolf hoogste sterfte De sterfte in Zuid-Nederland was het hoogst in de week van 21 tot en met 27 februari, een week na de piek in de griepgolf overleden 210 personen aan de gevolgen van de griep. Uit onderzoek is bekend dat er enige tijd verstrijkt tussen het optreden van griep en het eventuele overlijden aan de gevolgen van griep. Figuur Griepepidemie in Zuid-Nederland, februari