Inhoud college Quantumfysica I

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Inhoud college Quantumfysica I"

Transcriptie

1 Inhoud college Quantumfysica I Docent: Erik Verlinde Overzicht door: Lodewijk Koopman 0 mei lkoopman@science.uva.nl 1

2 College 1: 9 februari 005 onderscheid klassieke en kwantummechanica: klassiek zijn er deeltjes en golven, kwantummechanisch is dit onderscheid minder duidelijk Historie kwantummechanica: 1900: Planck-kromme voor zwarte stralers. Theoretische beschrijving m.b.v. introductie constante van Planck: kwantisatie van straling (E = hf). 1905: Postulaat Einstein: kwantum van het elektromagnetisch veld is een foton. Verklaring foto-elektrisch effect: E k = hf φ, φ = hf : Beschrijving van het atoom door Bohr, nog deels klassiek. 193: De Broglie postuleert symmetrie tussen deeltjes en golven: materie is ook een golf. Afleiding De Broglie relaties: λ = h/p, f = E/h. Gedachte experiment Feynman: interferentie elektronen. Er is geen bewijs voor de kwantummechanica: deze is gepostuleerd. Voorbeeld van een golffunctie: ψ(x) = A sin(πx/λ) PAUZE Beschrijving Bohr atoom en afleiding energieniveaus met behulp van De Broglie relaties, staande golven en F el = F cp. Betekenis negatieve energieën in spectrum. Energieniveaus: overgangen tussen energieniveaus gaan gepaard met het opnemen, of uitzenden van een foton. Energie is gekwantiseerd (kwantumgetal n = 1,, 3,...). Uitleg potentiële energie (klassiek). Verband tussen kracht en potentiële energie. Voor een conservatieve kracht geldt: energie behouden en F = dv/dx. Minteken wordt uitgelegd a.d.h.v. een knikkertje in een potentiaal. Afleiden de/dt = 0 voor deeltje met kinetische en potentële energie.

3 College : 16 februari 005 Afleiding/motivatie Schrödingervergelijking (tijdsonafhankelijk): Energie voor een vrij deeltje: E = 1 mv + V, V = 0 (potentiële energie). Gebruik De Broglie: mv = p h/λ, dan volgt E = h mλ. Invoering golffunctie ψ(x, t); geeft aan waar het deeltje zich bevindt en bezit golflengte en frequentie. In klassieke mechanica hebben we de plaats van een deeltje: x(t). Voorbeeld golffunctie op t = 0: ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx). Hierin is k het golfgetal: k = π/λ. Differentiëren sin(x) en cos(x). Afgeleide golffunctie: d ψ/dx = k ψ. Verband tussen k en λ enerzijds en λ en E anderzijds geeft met de tweede afgeleide van de golffunctie: d m dx ψ(x) = Eψ(x). Tijdafhankelijkheid volgt door te kijken naar de frequentie f: e iωx, met ω = πf de hoekfrequentie. [ ] De Schrödingervergelijking is: i t ψ(x, t) = + V (x) ψ(x, t) Verband tussen i ψ t PAUZE en E. Interpretatie golffunctie: maat voor kans. m x Golffunctie is in het algemeen complex en kan ook negatief zijn. Intensiteit golf kwadraat amplitude golf, analoog: ψ geeft de waarschijnlijkheidsdichtheid van de kwantummechanische golf. De kans is evenredig met het oppervlak onder ψ. b a dx ψ(x, t) = P a b (t). In het algemeen: Voor het experimenteel bepalen van de kans, moet de meting worden herhaald. Verband ψ en meting is een van de moeilijke vragen in de kwantummechanica. Voorbeeld: deeltje in een doos (Griffiths, H.): beschrijven m.b.v. Schrödingervergelijking, eerst tijdsafhankelijk: V (x) = 0, probeer speciale golffuncties: Ψ(x, t) = ψ(x)e iωt, invullen in tijdsafhankelijke Schrödingervergelijking, geeft tijdsonafhankelijke vergelijking, 3

4 oplossing tijdsonafhankelijke vergelijking; aanname: ψ(x) = A sin(kx)+ B cos(kx), kies verder de randen van de doos: a = 0, b = L, uit de randvoorwaarden, ψ(0) = 0 en ψ(l) = 0, volgt: B = 0 en kπ/l, energie is gekwantiseerd: E = π n m L, tekenen van verschillende golffuncties in ψ(x)-diagram, kortere golflengte grotere energie, interpretatie ψ(x) in deze context: P a x b = b a dx ψ, maar: L 0 dx ψ = 1, hieruit volgt normering (voorwaarde voor A). Beweging betekent in de kwantummechanica: beweging van de kansverdeling (tekening van een kansverdeling op twee tijdstippen). 4

5 College 3: 3 februari 005 Herhaling kansinterpretatie golffunctie ψ(x): ψ(x, t) dx geeft de kans om het deeltje aan te treffen tussen x en x + dx. Interpretatie is een van de moeilijkheden van de kwantummechanica: Kans: PAUZE Kwantummechanica kan niet voorspellen waar het deeltje is, het geeft alleen de kans het ergens aan te treffen. Is kwantummechanica dan geen volledige theorie? Waar was het deeltje voor de meting? Vraag kan niet worden gesteld. Wat wordt gemeten kort na het uitvoeren van een meting? Golffunctie na meting is veranderd: sterk gepiekt rond plaats waar deeltje is aangetroffen. discrete kansverdeling: leeftijden in een klas, totaal aantal leerlingen N, dan Σ j=0n(j) = N, met N(j) aantal leerlingen met leeftijd j, kans wordt dan gegeven door: P (j) = N(j)/N, met Σ j P (j) = 1, meest voorkomende leeftijd, interessanter is: gemiddelde leeftijd, j = ΣjN(j) N = ΣjP (j), gemiddelde van leeftijd in het kwadraat: j = Σj P (j), maat voor spreiding: j = j j, niet handig, want j = 0, gebruik: ( j) = σ, met σ de standaarddeviatie, σ blijkt belangrijk te zijn in de kwantummechanica: snelheid en positie zijn niet willekeurig precies te meten. Vervolg kans: makkelijkere vorm voor spreiding, ( j) uitwerken geeft: ( j) = j j, continue kansverdeling: observabelen in kwantummechanica, nu is er een kansdichtheid ρ(x), met dxρ(x) = 1 en ρ(x)dx geeft kans tussen x en x + dx. nu kun je ook definiëren x en x : x = x = dxxρx, dxx ρx, σ = x x. 5

6 Hoe moet je nadenken over kans in de kwantummechanica? experimenten met gelijke golffunctie laten kansverdeling zien. Meerdere ψ(x) geeft de kansverdeling: ρ(x) = ψ(x) 6

7 College 4: maart 005 Aantonen dat Schrödingervergelijking met een kansinterpretatie houdbaar is. Twee vormen van de Schrödingervergelijking: tijdsafhankelijk en tijdsonafhankelijk. Tijdsafhankelijk: i ψ t = ψ + V ψ, (1) m x waarbij ψ = ψ(x, t) C en V = V (x) R, de potentiaal. Zegt iets over hoe het deeltje klassiek zou bewegen. Als ψ voldoet aan (1), dan voldoet Aψ ook. Als ψ 1 en ψ oplossingen zijn van (1), dan is ψ = Aψ 1 + Bψ ook een oplossing. Vergelijking (1) is een lineaire differentiaalvergelijking. Deze eigenschap geeft aanleiding tot interferentie. De factor A is belangrijk, omdat ψ een kansdichtheid is. A wordt vastgelegd door de eis: ψ dx = 1 (normering van ψ). Toepassen normering bij deeltje in een doos. Normering geldt op ieder tijdstip en is nog afhankelijk van de tijd. Op ieder tijdstip moet echter gelden dat totale kans 1 is. De kans moet behouden zijn: d ψ dx = 0. () dt Uitwerken van () met gebruik making van (1) en partiële integratie geeft: ( ) ψ d dt ψ(x, t) dx = mi x ψ ψ ψ x. (3) Integreerbaarheid van ψ geeft dat ψ en ψ snel genoeg naar nul gaan voor x ±, daarmee is voldaan aan (). Met behulp van () kunnen we een waarschijnlijkheidsstroom definiëren: met: d dx P a b(t) = J(b, t) J(a, t), (4) J(x, t) = P a b (t) = ( ) ψ ψ ψ ψ, mi x x b a ρ(x, t)dx, ρ(x, t) = ψ (x, t)ψ(x, t). 7

8 PAUZE Vergelijking (4) geeft de verandering van de kans het deeltje aan te treffen in het interval a x b, uitgedrukt in het verschil van de waarschijnlijkheidsstroom ter plaatse van x = a en x = b. Conclusie afleiding voor de pauze: Schrödingervergelijking is consistent met de kansinterpretatie. Schrödingervergelijking is soort wet van behoud van energie. Positie en snelheid niet gedefinieerd in kwantummechanica. Wel kans en verwachtingswaarde: x = ψ xψdx. Geen verwachtingswaarde voor de snelheid, want dx dt onafhankelijke variabele is. Wel kunnen we bekijken: geeft: m d x dt We definiëren nu: p = m d x dt. = i Overeenstemming met De Broglie relatie. = 0, omdat x een x. Uitwerken d dt ψ ψdx. (5) x Operatoren: beelden een functie op een functie af. Zo definiëren we: ˆx : ψ(x, t) xψ(x, t), ˆp : ψ(x, t) ψ(x, t). i x Verwachtingswaarden van operatoren: x = p = ψ (xψ) dx, ψ ( i ) x ψ dx. Met uitdrukkingen voor x en p kunnen alle functies afhankelijk van plaats en impuls worden berekend: draai-impuls, energie. In het algemeen kan grootheid Q worden uitgedrukt in termen van plaats en impuls: Q(x, p). Energie: E = p m + V (x), som van potentiële en kinetische energie: V (x) : ψ(x, t) V (x)ψ(x, t), p ( ) 1 : ψ(x, t), m m i x = ψ(x, t). m x Deze twee uitdrukkingen geven samen weer de Schrödingervergelijking. 8

9 College 5: 9 maart 005 N.B.: Overzicht op basis van aantekeningen Erik Verlinde. Operatoren: x : Ψ xψ, p : Ψ i Ψ x, Hamiltoniaan: H = p V (x)ψ, t : Ψ tψ, E : Ψ i Ψ t. Schrödingervergelijking: i Ψ t m = HΨ (tijdsafhankelijk), Ĥψ = Eψ (tijdsonafhankelijk). Verwachtingswaarden: d x dt x = Ψ xψdx, p = Ψ i Ψ x dx, H = Ψ ĤΨdx = i Ψ Ψ Eherenfest: m +V (x), Hamiltonoperator: H : Ψ Ψ m x + ( ) Ψ Ψ t Ψ t Ψ dx. Met behulp van partiële integratie: x dx = Ψ x d x dt d p dt = i = i [ˆx, Ĥ], [ˆp, Ĥ]. Ψdx (onder aanname dat Ψ 0 voor x ± ) 9

10 College 6: 16 maart 005 Onzekerheidsrelatie: bij een meting kunnen we ofwel x, ofwel p bepalen. Meting van plaats: na meting x = a, golffunctie scherp gepiekt rond x = a. Meting van impuls: differentiëren van ψ, na meting p = k ( ψ i x = kψ), golffunctie: ψ(x) = e ikx/, kansverdeling voor x: ψ(x) = 1, x is onbepaald. Algemene vorm voor een golffunctie: spreiding in x en p. Heisenberg onzekerheidsrelatie: σ x σ p /, σ x, σ p eindig. Denk aan een rechthoek met zijden σ x en σ p en minimaal oppervlak. Hoe smaller het rechthoekje, hoe langer en vice versa. Bepalen grondtoestand waterstof atoom met behulp van Heisenberg onzekerheidsrelatie: Potentiaal: V (x) = αx. Klassiek zal het deeltje zich in het minimum van V (x) bevinden met snelheid nul. Dit kan kwantummechanisch niet. Totale energie: E = p m + V (x). Neem aan: x = 0 en p = 0 x = σ x en p = σ p. Kies de gelijkheid in de onzekerheidsrelatie: σxσ y = Minimaliseer E in σ x : σ x = mω, E 0 = 1 ω. Schrödingervergelijking in twee vormen: tijdsafhankelijk en tijdsonafhankelijk. Tijdsafhankelijke Schrödingervergelijking: Ψ(x, t) i = Ψ(x, t) t m x + V (x)ψ(x, t) (6) Scheiding van variabelen, probeer Ψ(x, t) = ψ(x)φ(t). Invullen in (6) geeft: i ψ(x) dφ(t) dt = d ψ(x) m dx φ(t) + V (x)ψ(x)φ(t). (7) 4. 10

11 Delen door ψ(x)φ(t) geeft: i 1 dφ(t) = φ dt m 1 ψ(x) d ψ(x) dx + V (x) (8) Linkerkant is functie van t, rechterkant is functie van x: beiden moeten constant zijn (E). Dit geeft twee differentiaalvergelijkingen: i dφ(t) dt = Eφ(t), (9) d ψ(x) m dx + V (x)ψ(x) = Eψ(x). (10) Oplossing eerste vergelijking: φ(t) = e iet, Oplossing tweede vergelijking moeilijker; hangt af van vorm V (x). PAUZE Oplossing tijdsafhankelijke Schrödingervergelijking: Ψ(x, t) = ψ(x)e iet. Kansverdeling: Ψ(x, t) = ψ(x), onafhankelijk van de tijd (stationaire toestanden). Vergelijk dit met het bepalen van impuls en plaats. Als p bekend, dan ψ onafhankelijk van x. d ψ Hamiltoniaan: Ĥψ = m dt + V (x)ψ, Ĥψ = Eψ. ψ is een eigenfunctie van de Hamiltoniaan met eigenwaarde E. Verwachtingswaarde Ĥ: H = = E = E ψ Ĥψdx, ψ ψdx, Zo volgt ook: H = E, conclusie: onzekerheid in energie is nul. Meest algemene oplossing van de Schrödingervergelijking is te schrijven als een lineaire combinatie van stationaire toestanden. Meest algemene oplossing: Ψ(x, t) = c n ψ n (x)e ient. (11) n Normering geeft conditie voor {c n }. Tijdsafhankelijke Schrödingervergelijking is nu te schrijven als: i tψ(x, t) = ĤΨ(x, t). 11

12 College 7: 3 maart 005 Oneindige potentiaalput: deeltje is beperkt tot 0 < x < a. Potentiaal is echter kunstmatig; in praktijk zijn potentialen niet oneindig. Oplossen Schrödingervergelijking voor oneindige potentiaalput, tussen x = 0 en x = a: Algemene vorm: i Ψ(x, t) = t m Ψ(x, t) + V (x)ψ(x, t). x Probeer speciale oplossingen Ψ(x, t) = ψ(x)e iet/. Invullen geeft tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking: d ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x). m dx Meest algemene oplossing van de Schrödingervergelijking zal een lineaire combinatie zijn van oplossingen tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking. Intermezzo: Schrödingervergelijking is complex Ψ(x, t) is ook complex. Tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking is reëel ψ(x) is reëel, of imaginair te kiezen. We kiezen in het vervolg dat ψ(x) R. Vervolg oplossing: Invullen potentiaal V (x) = 0: m dx ψ(x) = Eψ(x). Schrijf: E = k m, dan volgt: d dx ψ(x) = k ψ(x). Oplossing is stationair met één bepaalde energie. Meest algemene oplossing: ψ(x) = A sin kx + B cos kx. Randvoorwaarden: ψ(0) = 0 en ψ(a) = 0, wegens V (x) = op de randen. Drie onbekenden (A, B en k), twee vergelijkingen: d ψ(0) = 0 B = 0, ψ(a) = 0 A sin ka = 0. Aan de laatste conditie kan alleen worden voldaan wanneer ka = nπ, n = 1,, 3,... B = 0 en n = 0 zijn niet toegestaan, omdat dan ψ(x) = 0, deze oplossing is niet normeerbaar. A wordt vastgelegd door ψ te normeren: a 0 dxa sin nπx a = 1 A = a. 1

13 Oplossing: ψ n (x) = a nπx sin a, E n = n π m a. De potentiaalput had ook kunnen liggen tussen x = a en x = a. De vorm van de oplossingen is dan gelijk, maar de functies zijn afwisselend cos nπx nπx a, voor n oneven en sin a, voor n even. De waarde van A hangt niet af van de positie van de integraal. PAUZE Oplossing tijdsafhankelijke Schrödingervergelijking: Ψ(x, t) = ψ n (x)e ient/, niet meest algemene oplossingen. Oplossingen zijn opgeteld weer een oplossing: zoek naar een basis van functies waarin iedere functie is uit te drukken: f(x) = n c nψ n (x). Net als bij vectoren is er een inproduct tussen twee functies: dxψ (x)ψ(x). Eigenfuncties ψ n zijn orthonormaal: n = m : n m : dxψ nψ m = 1, dxψ nψ m = 0. Verkorte notatie: dxψ nψ m = δ nm, met δ nm, de Kronecker delta: { 1 n = m δ nm = 0 n m Tijdsafhankelijke Schrödingervergelijking oplossen met behulp van oplossingen tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking: Stel Ψ(x, 0) is bekend, dan volgt Ψ(x, t) = n c nψ n (x)e iet/. Bepaal nu c n met behulp van orthonormaliteit eigenfuncties: c n = dxψ n(x)ψ(x, 0). Dit geldt voor iedere V (x), mits ψ n een basis vormt. Bij verschillende eigenwaarden zijn eigenfuncties orthonormaal. 13

14 College 8: 6 april 005 Herhaling besproken stof tot nu toe: Schrödingervergelijking besproken in twee vormen: tijdsonafhankelijk. tijdsafhankelijk en Schrödingervergelijking is gemotiveerd vanuit De Broglie relaties en is te zien als vergelijking voor de totale energie. Operatoren: ˆp = i x, Ĥ = m x + V (x). Een operator werkt op wat er achter staat. Zo is ĤΨ(x, t): ĤΨ(x, t) = Ψ(x, t) m x + V (x)ψ(x, t). Operatoren zijn lineair: Ĥ(ψ 1 + ψ ) = Ĥψ 1 + Ĥψ. Interpretatie golffunctie: maat voor kansdichtheid. Schrödinger schreef zijn vergelijking op zonder interpretatie voor ψ. Kansdichtheid wordt gegeven door: Ψ(x, t). Verwachtingswaardes worden als volgt uitgerekend: x = x Ψ(x, t) dx. Idem voor andere grootheden, zoals impuls: p = Ψ(x, t) i xψ(x, t)dx. Kortere notatie voor verwachtingswaarden (Dirac): ψ ˆp ψ. ψ vormt een vectorruimte. Onzekerheidsrelaties: σ x σ p, σ x = x x, analoog voor σ p. Interpretatie: golf is niet te localiseren, er is onzekerheid in zijn plaats en impuls. Niet besproken: kansstroomdichtheid en stelling van Ehrenfest. Verder wordt het deeltje in een potentiaalput herhaald: Tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking: d ψ(x) m dx + V (x)ψ(x) = Eψ(x). Volgt door Ψ(x, t) = ψ(x)e iet/ in Schrödingervergelijking in te vullen. 14

15 Potentiaal V (x) voor de put: V (x) = 0, voor 0 < x < a en V (x) = elders. Oplossingen: ψ n (x) = A sin nπx a, E n = n π ma. Kwantisatie volgt uit randvoorwaarden. A volgt door normering ψ n. Deze set oplossingen vormt een volledige basis waarin iedere functie uit te drukken is. Willekeurige toestand ψ(x) = n c nψ n (x). Coëfficienten c n interpreteren als kans: c n is de kans om energie E n te meten. Daarom moet gelden: n c n = 1. Verwachtingswaarde wordt ook bepaald door c n. Oplossen Schrödingervergelijking bestaat uit bepalen ψ n en bijbehorende E n. PAUZE Vervolg deeltje in potentiaalput: Golffunctie: ψ n (x) = a nπx sin a. De ψ n zijn orthonormaal: ψ nψ m (x)dx = δ nm. Dit geldt voor elke golffunctie waarvan de eigenwaarden ongelijk zijn: ψ nĥψ mdx = E m ψnψ m dx. Maar Ĥ kan ook naar links werken, door twee keer partieel te integreren: ) (Ĥψn ψ m dx = E n ψnψ m dx. Maar omdat deze twee uitdrukkingen gelijk moeten zijn en E n E m volgt dat de integraal nul is. Willekeurige golffunctie is te schrijven als ψ(x) = de truck van Fourier: c n = a a 0 nπx sin a ψ(x)dx. a n c n sin nπx a. Met Tijdsontwikkeling: stel Ψ(x, 0) = ψ(x), dan voor willekeurige t, Ψ(x, t) = a n c n sin nπx a e ient/. 15

16 Normeren Ψ(x): 1 = = = = a 0 Ψ (x)ψ(x)dx a c mc n ψmψ n dx m,n 0 c mc n δ mn m,n c n. n Dus: n c n = 1 en elke c n is een kans. Meting geeft een van de waarden E n. Dit is in het algemeen niet gelijk aan de verwachtingswaarde E = Ĥ : Ĥ = Ψ Ψdx, = = = = Dit geldt ook voor Ψ(x, t). c mc n ψ m(x)ĥψ n(x)dx, m,n c mc n ψm(x)e n ψ n (x)dx, m,n c mc n E n δ nm, m,n c n E n. d Tijdsafgeleide is nul: dt H = 0. n 16

17 College 9: 13 april 005 Bespreken harmonische oscillator: belangrijk systeem (wellicht even belangrijk als waterstofatoom). Potentiaal tot nu besproken: oneindige potentiaalput. Dit is geen gebruikelijke vorm voor een potentiaal (zie figuur 1). Figuur 1: Schets van een meer gebruikelijke vorm voor de potentiaal. De gestippelde grafiek geeft een benadering voor de potentiaal in het lokale minimum. Oplossen tijdsonafhankelijk Schrödingervergelijking voor harmonische oscillator: d ψ(x) m dx + V (x)ψ(x) = Eψ(x). V (x) is eenvoudige potentiaal; een kwadratische functie. Harmonische oscillator is een benadering voor (meeste) potentialen voor lokaal minimum, bij lage energie: Taylorontwikkeling van potentiaal: V (x) = V (x 0 ) + V (x 0 )(x x 0 ) + 1 V (x 0 )(x x 0 ). Constante V (x 0 ) heeft geen fysische betekenis en voor een minimum in x 0 is V (x 0 ) = 0. Het resultaat is een kwadratische functie (zie gestippelde grafiek in figuur 1). Potentiaal harmonische oscillator: V (x) = 1 mω x. Klassiek is dit de potentiaal voor bijvoorbeeld een massa m aan een veer, met kracht F = kx, ω = k/m. ω is dan de frequentie waarmee de massa trilt. Twee methoden om dit probleem op te lossen: 1. oplossen differentiaalvergelijking,. met gebruikmaking van commutatoren (algebraïsch). Hier wordt de tweede methode gebruikt. Eerst kwalitatief oplossen: 17

18 herschrijf Schrödingervergelijking: eisen aan deze vergelijking: d ψ dx = m (V (x) E) ψ (1) 1. V R, E R,. ψ(x) R, 3. ψ(x) normeerbaar lim x ± V (x) =. Constante in V (x) is niet van belang, wel verschil. Verschillende gevallen/eigenschappen: E = 0 is niet mogelijk wegens onzekerheidsrelatie. Voor E = 0 zouden zowel x als p bepaald zijn. d Voor E < V (x) en ψ > 0, volgt uit vergelijking (1): ψ dx > 0 (toenemende helling). Als dit voor alle x zou gelden, dan is ψ niet normeerbaar, dus volgt: E V min. d Voor E > V (x) en ψ > 0, volgt uit vergelijking (1): ψ dx < 0 (afnemende helling). Conclusie: ψ oscilleert. V symmetrisch: V ( x) = V (x) ψ is symmetrisch, of antisymmetrisch. Hoe zien golffuncties er uit? Op basis van bovenstaande eigenschappen: Energie grondtoestand: E 0 > 0, golffunctie: zie figuur. Figuur : Schets van ψ 0. Hogere energieniveaus: verschil opeenvolgende niveaus constant, golffunctie: zie figuur 3. Figuur 3: Schets van ψ 1. 18

19 Precieze afleiding: PAUZE Gebruik making van operatoren Ĥ, ˆp en ˆx. Vanaf nu: geen hoedjes meer zetten, uit de context is het duidelijk dat we met operatoren te maken hebben. Hamiltoniaan voor harmonische oscillator: d H = m dx + 1 mω x, schrijven als product van twee operatoren. Voor niet operatoren: u + v = ( iu + v)(iu + v), u, v R. Dit is niet geldig voor operatoren, omdat de volgorde uit maakt. Definieer: a ± 1 mω ( ip + mωx). Bereken a a + : Analoog voor a + a. a a + = 1 mω (p + m ω x + imω(px xp)). Vervolg oplossing harmonische oscillator: Merk op dat (px xp) = [p, x]. Uitwerken commutator geeft: [p, x] = i. Hiermee vinden de commutator van a en a + : [a, a + ] = 1. a a + geeft bijna H: H = 1 m (p + m ω x ), = ω(a a + 1 ), = ω(a + a + 1 ). a en a + kunnen worden gebruikt om nieuwe oplossingen te vinden. Stel Hψ = Eψ, dan H(a + ψ) = (E + ω)(a + ψ). Dit volgt door H, uitgedrukt in a ±, op a + ψ te laten werken. a ± heten ladderoperatoren, door herhaaldelijk toepassen worden hogere energietoestanden gevonden: H(a n +ψ) = (E + n ω)(a n +ψ) en analoog: H(a n ψ) = (E n ω)(a n ψ). a kan niet willekeurig vaak worden toegepast, omdat moet gelden: E n > V min, voor alle n. Daarom bestaat er een ψ 0 waarvoor geldt: a ψ 0 = 0 (ψ wordt geannihileerd.) Berekenen energie grondtoestand: Hψ 0 = 1 ωψ 0 (de a in H annihileert ψ 0 ) en dus E 0 = 1 ω. 19

20 Berekenen golffunctie grondtoestand, uitwerken a ψ 0 = 0 geeft differentiaalvergelijking: dψ 0 (x) dx + mωx ψ 0(x) = 0. Oplossing: ψ 0 (x) = Ae mωx. (Uit normalisatie ψ 0 volgt A.) Wegens hun eigenschappen worden a ± creatie- en annihilatieoperatoren genoemd. 0

21 College 10: 0 april 005 Vrij deeltje beschrijven in kwantummechanica brengt problemen met zich mee. Speciale oplossing is nodig. Klassiek: fasesnelheid en groepssnelheid: Voortbewegende golf: sin(kx ωt) = sin k(x ω k t) Golven met verschillende frequentie optellen: ω 0 ω < ω < ω 0 + ω. Resultaat: golven krijgen omhullende, bult. Snelheid bult : groepssnelheid, v gr. Snelheid golven binnen omhullende: fasesnelheid, v ph. Bovenstaande gebruiken om in kwantummechanica golfpakketje te maken. Deeltje correspondeert met speciale combinatie van golven. Wanneer er een potentiaal is (b.v. V (x) = 1 kx voor harmonische oscillator), is er geen probleem. Zonder potentiaal wel een probleem (voor vrij deeltje: V (x) = 0). Schrödingervergelijking voor vrij deeltje: i Ψ t = Ψ m x. Oplossen door scheiding van variabelen: Ψ(x, t) = f(t)ψ(x). Scheidingsconstante: E. Oplossing tijdsafhankelijk deel geeft: f(t) = e iet/, integratieconstante is 1 gekozen. Oplossing ruimtelijk deel: ψ(x) = Ae ikx + Be ikx, k = me. Som van oplossingen is ook weer een oplossing. PAUZE k ik(x Oplossing Schrödingervergelijking: Ψ(x, t) = Ae m t) k ik(x+ + Be m t). Eerste term is een naar rechts lopende golf. Punten met constante fase bekijken: x k mt = const. Snelheid (kwantummechanisch) van de golf is: v qu = k m = E m. Klassieke snelheid: E = 1 mv cl, dus v E cl = m. Probleem: v cl = v qu, dit is onzin. Mogelijke oplossing (flauw). Ψ normeren geeft: Ψ Ψdx =. Ψ is niet genormeerd en is dus geen fysische toestand. 1

22 Conclusie moet zijn: vrije deeltjes met vaste energie bestaan niet. Betere oplossing: deeltje beschrijven door golfpakketje. Definieer: Ψ k (x, t) := 1 k ik(x π Φ(k)e m t), dan Ψ(x, t) = Ψ k (x, t) + Ψ k (x, t), met: Φ(k) = { πa, k > 0 πb, k < 0 Optellen van deze functies (zie ook introductie): Ψ(x, t) = 1 π Deze functie is wél te normeren. k ik(x Φ(k)e m t) dk. Fouriertransformatie: F (k) = F (x) = 1 π 1 π F (x)e ikx dx, F (k)e ikx dk. De functies F (k) en F (x) moeten kwadratisch integreerbaar zijn, er geldt: F (x) dx < F (k) dk <. Hieruit volgt: als Φ(k) dk < dan Ψ(x) dx < en hebben we met een fysische toestand te maken. Vervang k m door ω(k). Snelheid groep (bult) berekenen. Taylorreeks tot op eerste orde van ω(k): ω(k) = ω(k 0 ) + dω dk (k k 0) +... invullen in uitdrukking voor ψ en verder uitrekenen. Dan blijkt: v gr = dω dk en v ph = ω k.

23 College 11: 7 april 005 Herhaling vrij deeltje: Vrij deeltje kan geen eigenfunctie van de energieoperator zijn. Oplossing van tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking met V (x) = 0: ψ(x) = Ae ikx + Be ikx, met E = k m = ω k. Met deze oplossing zijn de oplossingen van de tijdsafhankelijk Schrödingervergelijking te maken: met k > 0. Ψ(x, t) = Ae ikx iω kt + Be ikx iω kt, Gebruik deze oplossingen om normeerbare oplossingen te maken. Meest algemene oplossing: Ψ(x, t) = 1 π φ(k)e ikx iω kt dk, ω k = k m. Deze functie beschrijft een golfpakketje. Pakketje heeft andere snelheid dan golven in het pakketje: groep- en fasesnelheid. Groepsnelheid blijkt te zijn: v g = dω dk k0, met φ(k) gecentreerd rond k 0 met bepaalde breedte. Als φ(k) scherp gepiekt zou zijn, dan is Ψ niet meer normeerbaar. Afleiding v g : Neem voor ω(k) een algemene functie van k (dispersierelatie), Taylorexpansie: ω(k) ω(k 0 ) + sω (k 0 ), met k = k 0 + s. Invullen in uitdrukking voor golfpakketje Ψ(x, t) geeft: Ψ(x, t) = 1 π e iω(k0)t+iω (k 0)k 0t φ(k 0 + s)e i(k0+s)(x ω (k 0)t). De laatste factor heeft met snelheid te maken: ω (k 0 ) is de snelheid. φ(k) kan als volgt berekend worden: φ(k) = 1 π Ψ(x, 0)e ikx dx. 3

24 Vergelijk met deeltje in een doos, dan kunnen we een willekeurige functie f(x) schrijven als: f(x) = c n = 1 a n= a a c n e inπx a, f(x)e inπx a dx. Voor a worden de stapjes in n kleiner en wordt de som een integraal. De norm zal wel aangepast moeten worden. Toepassing vrije deeltje. In experimenten kunnen vrije deeltjes op een gegeven moment een potentiaal tegenkomen. Neem volgende potentiaal: V (x) = 0, voor x < 0 en V (x) = V 0, voor x > 0. Geen grote verandering voor x > 0; de energie E krijgt een andere waarde. Oplossen tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking in twee gebieden: m d ψ = Eψ voor x < 0, dx m d ψ dx + V 0ψ = Eψ voor x > 0. Oplossingen voor twee gebieden (respectievelijk): met l k. ψ(x) = e ikx, E = k m, ψ(x) = e ilx, E V 0 = l m, Voor tweede gebied: kleinere golflengte, kleinere snelheid en lagere energie. k kan zowel positief als negatief zijn: er is een kans dat het deeltje door gaat, of terugkomt. Wat gebeurt er tussen de twee gebieden? afgeleide dψ dx moeten continu zijn. PAUZE Golffunctie ψ en zijn eerste Deeltje van links heeft kans om terug te kaatsen, of door te gaan. Golffunctie: { Ae ψ(x) = ikx + Be ikx, voor x < 0, Ce ilx, voor x > 0, 4

25 met: k = l = me, m(e V0 ). In het vervolg: E > V 0. Oplossen twee continuïteitseisen op x = 0 geeft: A + B = C, ik(a B) = ilc. B geeft informatie over kans op reflectie, C over transmissie. Reflectiecoëfficient: R = B A, B A = k l k+l < 1 (want k > l). Zo ook transmissiecoëfficient te bepalen. Stel V 0 < 0, dan m(e + V0 ) l =, Dan nog steeds R < 1, dus het deeltje heeft nog steeds een kans om terug te gaan. Vergelijk dit met klassieke situatie waar een deeltje alleen maar naar rechts zou blijven gaan. Beschouw nu de potentiaal: { 0, voor x > a, V = V 0, voor x < a. Vergelijk met deeltje in oneindig diepe potentiaalput. Stel V 0 < E < 0, twee vergelijkingen: m d ψ = Eψ voor x > a, dx m d ψ dx V 0ψ = Eψ voor x < a. Tweede vergelijking geeft weer sinussen en cosinussen. Eerste vergelijking is anders doordat E < 0: d ψ dx = κ ψ, E = κ m, ofwel κ = ψ(x) me. Oplossingen: { e κx, voor x < 0, e κx, voor x > 0. 5

26 Vergelijking in de put: d ψ dx = l ψ, Oplossingen van de vorm: ψ = e ±ilx, ofwel: ψ = C sin lx + D cos lx. Wegens symmetrie in V (x) kunnen we kiezen C = 0. Oplossen continuïteitseis geeft vergelijking voor k en l: l tan la = κ. Oplossen van deze vergelijking geeft bepaalde (discrete) waarden voor E. Niet analytisch op te lossen, grafisch wel. Herschrijf de vergelijking tot: ( tan z = z0 ) z 1, met z = la en z0 = a mv0. Tekenen van twee grafieken (linker en rechter deel vergelijking) geeft eindig aantal oplossingen voor z (en dus ook voor E). Voor hogere energie is het deeltje niet meer gebonden. 6

27 College 1: 11 mei 005 In de eerste helft van het college wordt een aantal conceptuele vragen gesteld. PAUZE Korte herhaling harmonische oscillator. Grondtoestand harmonische oscillator: a ψ 0 (x) = 0, ψ 0 (x) = ( mω π ) 1/4 e mω x. ψ 0 is genormeerd op 1. Hoe de normering van de andere golffuncties bepalen? ψ n = A n (a + ) n ψ 0 (x), met A n de normeringsconstante van de n-de toestand. Uit vorm a + volgt: ψ n (x) = P n (x)e mω x, met P n polynoom van n-de orde. Omdat ψ n+1 (x) = (const) a + ψ n (x) volgt: Hψ n+1 = ω(a + a + 1 ) (const) a +ψ n, = ωa + (a a ) (const) ψ n, = E n consta + ψ n + ω (const) a + ψ n, = (E n + ω)ψ n+1. Conclusie: E n+1 = E n + ω, dus E n = ω(n + 1 ). Daarom heet a +a de nummeroperator. Bepalen normeringsconstante A n : gebruik ladderoperatoren en algebra: ψ(x) dx = A n dx (a + ) n ψ 0 (x), = A n dx(a n +ψ 0 ) (a n +ψ 0 ), = A n dxψ0a n a n +ψ 0, = A n dxψ0a n 1 (a a + )(a n 1 + ψ 0 ), = n A n dxψ0a n 1 a n 1 + ψ 0, = n(n 1) A n dxψ0a n a n + ψ 0, = n! A n. 7

28 Dus A n = 1/ n!. Hierbij is gebruik gemaakt van de volgende eigenschappen van a ± : a + = a, a + a ψ n = nψ n, a n 1 + ψ 0 = (const) ψ n 1. Controle dat a + a de nummer operator is. 8

29 College 13: 18 mei 005 Tunneling door potentiaal barrière. Uitwerken opgave 9.3 uit syllabus werkcollege. Potentiaal barrière: V (x) = V 0 voor 0 < x < a en V (x) = 0 elders. Golffunctie in drie gebieden: 1. ψ(x) = e ikx + Re ikx, R geeft de verhouding tussen inkomende golf en reflecterende golf. Totale golffunctie kan nog vermenigvuldigd worden met willekeurige waarde. Verder: E = k m, dus k = me.. ψ(x) = Ae κx + Be κx. Nu geldt: E < V 0, ofwel E V 0 < 0, met E = V 0 κ m. 3. ψ(x) = T e ikx, met k gelijk als in gebied 1. Oplossen m.b.v. plakcondities op x = 0 en x = a. Waarom moet ψ en ψ continu zijn? continuïteit ψ: stel dat ψ niet continu is, dan dψ dx = ±, niet goed gedefinieerd. ( Verder ) gaat het mis in de kansstroomdichtheid J = m ψ dψ dx ψ dψ dx. continuïteit ψ : wanneer dψ dx niet continu, dan is de tweede afgeleide niet goed gedefinieerd. Tweede afgeleide komt ook direct voor in de Schrödingervergelijking en oneindigheid hierin kan niet wegens V en E. Tweede afgeleide hoeft niet continu te zijn, wanneer V niet continu is. Doel: bereken T en R, hiervoor A en B oplossen. Voor x = 0 geven de continuïteitseisen: 1 + R = A + B, ik(1 R) = κ(a B). Voor x = a geven de continuïteitseisen: T e ika = Ae κa + Be κa, ikt e ika = κ(ae κa Be κa ). 9

30 Oplossen van A en B uit deze vier vergelijkingen geeft de volgende uitdrukkingen voor T en R: T = R = 4ikκe ika e κa (κ + ik) e κa (κ ik), (κ + k )(e κa e κa ) (κ + ik) e κa (κ ik) e κa. T en R zijn waarschijnlijkheden voor respectievelijk transmissie en reflectie. Er moet dus gelden: T + R = 1. Limiet voor a groot: R κ+ik κ ik, dus R 1: kans op transmissie wordt nul. Conclusie: kwantummechanisch zijn dingen mogelijk die klassiek niet kunnen. PAUZE Bespreken oude tentamenopgave. Oneindig diepe potentiaalput tussen x = a en x = a, golffunctie op t = 0: { 0, voor a < x < 0, ψ(x) = a Buiten de put is de golffunctie ook nul. πx sin a, voor 0 < x < a. Schrijf golffunctie als som symmetrisch en anti-symmetrisch deel: ψ(x, t) = ψ S (x, t) + ψ A (x, t). ψ S (x, t) en ψ A (x, t) zijn te schrijven als: ψ S (x, t) = ψ A (x, t) = c n+1 e ien+1t/ cos k n+1 x, n=0 c n e ient/ sin k n x. n=1 Op t = 0 is ψ(x, 0) te schrijven als: ψ A (x, 0) = 1 πx sin a a, ψ S (x, 0) = 1 sin πx, a a 30

31 M.b.v. van Fourieranalyse is ψ S te schrijven als lineaire combinatie van cos. Voor ψ A is dit heel makkelijk: c = 1 a, de overige coëfficienten zijn nul. Energie van deze toestand: E = π ma. Na hoeveel tijd ziet het anti-symmetrische deel er weer hetzelfde uit? Bepaal T waarvoor geldt: ψ A (x, t+t ) = ψ A (x, t) e ie(t+t )/ = e iet/, dus: E T/ = π en T = 4ma π. Na tijd T is de macht in ψ S : exp ie n+1 (t + T )/ = exp( ie n+1 t/ ) exp( ie n+1 T/ ), ( = exp( ie n+1 t/ ) exp i π (n + 1)), ( = exp( ie n+1 t/ ) exp i π ) exp( iπ(n + n)), ( = exp( ie n+1 t/ ) exp i π ), = exp( ie n+1 t/ )( i). Conclusie: ψ S (x, t + T ) = iψ S (x, t), ψ S (x, t + T ) = ψ S (x, t). Op een tijdstip T later bevindt het deeltje zich in de andere helft van de doos. (Volgt na optellen van ψ S (x, t + T ) en ψ A (x, t + T ).) 31

Verstrooiing aan potentialen

Verstrooiing aan potentialen Verstrooiing aan potentialen In deze notitie zullen we verstrooiing beschouwen aan model potentialen, d.w.z. potentiaal stappen, potentiaal bergen en potentiaal putten. In de gebieden van de potentiaal,

Nadere informatie

Kwantummechanica HOVO cursus. Jo van den Brand Lecture 2: September 29, 2016

Kwantummechanica HOVO cursus. Jo van den Brand Lecture 2: September 29, 2016 Kwantummechanica HOVO cursus Jo van den Brand Lecture 2: September 29, 2016 Copyright (C) VU University Amsterdam 2016 Overzicht Algemene informatie Jo van den Brand Email: jo@nikhef.nl 0620 539 484 /

Nadere informatie

Kwantummechanica HOVO cursus. Jo van den Brand Lecture 3: 6 oktober 2016

Kwantummechanica HOVO cursus. Jo van den Brand Lecture 3: 6 oktober 2016 Kwantummechanica HOVO cursus Jo van den Brand Lecture 3: 6 oktober 2016 Copyright (C) VU University Amsterdam 2016 Overzicht Algemene informatie Jo van den Brand Email: jo@nikhef.nl 0620 539 484 / 020

Nadere informatie

Voorbeeld 1: Oneindig diepe potentiaalput

Voorbeeld 1: Oneindig diepe potentiaalput Voorbeeld : Oneindig diepe potentiaalput In de onderstaande figuren bevindt zich een deeltje in een eendimensionale ruimte tussen x 0 en x a. Binnen dat gebied is de potentiële energie van het deeltje

Nadere informatie

Kwantummechanica HOVO cursus. Jo van den Brand Lecture 4: 13 oktober 2016

Kwantummechanica HOVO cursus. Jo van den Brand Lecture 4: 13 oktober 2016 Kwantummechanica HOVO cursus Jo van den Brand Lecture 4: 13 oktober 2016 Copyright (C) VU University Amsterdam 2016 Overzicht Algemene informatie Jo van den Brand Email: jo@nikhef.nl 0620 539 484 / 020

Nadere informatie

Quantum Tunneling. Rob Hesselink. Maart Introductie 2. 2 De Schrödingervergelijking 2. 3 Eigentoestanden van de barrière 3

Quantum Tunneling. Rob Hesselink. Maart Introductie 2. 2 De Schrödingervergelijking 2. 3 Eigentoestanden van de barrière 3 Quantum Tunneling Rob Hesselink Maart 08 Inhoudsopgave Introductie De Schrödingervergelijking 3 Eigentoestanden van de barrière 3 4 Methode: Ψx, t 4 5 Resonantie 5 6 Appendix 6 Figuur : Een -dimensionale

Nadere informatie

Tentamen. Kwantumchemie & Fysica (4051QCHFY-1314FWN) Datum: 10 April Tijd/tijdsduur: 3 uur

Tentamen. Kwantumchemie & Fysica (4051QCHFY-1314FWN) Datum: 10 April Tijd/tijdsduur: 3 uur Tentamen Kwantumchemie & Fysica (4051QCHFY-1314FWN) Datum: 10 April 2014 Tijd/tijdsduur: 3 uur Docent(en) en/of tweede lezer: Dr. F.C. Grozema Prof. dr. L.D.A. Siebbeles Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven:

Nadere informatie

Overzicht Fourier-theorie

Overzicht Fourier-theorie B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van

Nadere informatie

TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER

TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES

Nadere informatie

Schrödinger vergelijking. Tous Spuijbroek Cursus Quantumwereld Najaar 2013

Schrödinger vergelijking. Tous Spuijbroek Cursus Quantumwereld Najaar 2013 Schrödinger vergelijking Tous Spuijbroek Cursus Quantumwereld Najaar 2013 Inhoud presentatie Algemene opmerkingen Aannemelijk maken van de vergelijking Oplossingen van de vergelijking De situatie rond

Nadere informatie

Beschouw allereerst het eenvoudig geval van een superpositie van twee harmonische golven die samen een amplitude gemoduleerde golf vormen:

Beschouw allereerst het eenvoudig geval van een superpositie van twee harmonische golven die samen een amplitude gemoduleerde golf vormen: 60 Hoofdstuk 8 Modulaties en golfpakketten Met een lopende harmonische golf kan geen informatie overgebracht worden. Teneinde toch een boodschap te versturen met behulp van een harmonische golf dient deze

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Quantumchemie (MST1171)

Tentamen Inleiding Quantumchemie (MST1171) Datum: 3 April 7 Tentamen Inleiding Quantumchemie (MST1171) *** Schrijf duidelijk je naam, je Leidse studienummer en studierichting op je antwoordblad *** *** Het tentamen bestaat uit vijf opgaven. Maak

Nadere informatie

Geleid herontdekken van de golffunctie

Geleid herontdekken van de golffunctie Geleid herontdekken van de golffunctie Nascholingscursus Quantumwereld Lodewijk Koopman lkoopman@dds.nl januari-maart 2013 1 Dubbel-spleet experiment Er wordt wel eens gezegd dat elektronen interfereren.

Nadere informatie

Tentamen Functies en Reeksen

Tentamen Functies en Reeksen Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy

Nadere informatie

-- I HOOFDSTUK I INLEIDING TOT ENKELE QUANTUMMECHANISCHE BEGRIPPEN

-- I HOOFDSTUK I INLEIDING TOT ENKELE QUANTUMMECHANISCHE BEGRIPPEN -- I - 1 - HOOFDSTUK I INLEIDING TOT ENKELE QUANTUMMECHANISCHE BEGRIPPEN Inleiding Op basis van de klassieke mechanica kunnen het bestaan van stabiele atomen en de vorming van moleculen niet verklaard

Nadere informatie

QUANTUM FYSICA 1 3NB50. donderdag 28 oktober uur. Dit tentamen omvat 2 opgaven.

QUANTUM FYSICA 1 3NB50. donderdag 28 oktober uur. Dit tentamen omvat 2 opgaven. 1 QUANTUM FYSICA 1 3NB5 donderdag 8 oktober 1 14. 17. uur Dit tentamen omvat opgaven. Bij ieder onderdeel wordt aangegeven wat de maximale score is op een schaal van 1 punten. Het formuleblad voor dit

Nadere informatie

Tentamen Quantum Mechanica 2

Tentamen Quantum Mechanica 2 Tentamen Quantum Mechanica 9 juni 5 Het tentamen bestaat uit 4 opgaven, waarmee in totaal 9 punten zijn te verdienen. Schrijf op elk vel dat je inlevert je naam, voorletters en studentnummer.. (a) (5 punten)

Nadere informatie

-- V HOOFDSTUK V STORINGSREKENING

-- V HOOFDSTUK V STORINGSREKENING -- V - 1 - HOOFDSTUK V STORINGSREKENING Storingsrekening is een in eerste benadering goedkopere methode dan variatierekening. Indien de storingsreeks convergeert, is het in principe net zo exact als variatierekening.

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Stralingsfysica (3D100) d.d. 16 januari 2006 van 14:00 17:00 uur

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Stralingsfysica (3D100) d.d. 16 januari 2006 van 14:00 17:00 uur TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Tentamen Stralingsfysica (3D d.d. 6 januari 6 van 4: 7: uur Vul de presentiekaart in blokletters in en onderteken deze. Gebruik van boek, aantekeningen of notebook is

Nadere informatie

Tentamen TCl l8 januari 2008' 9-12uur, zaal Cl (Gorlaeus).

Tentamen TCl l8 januari 2008' 9-12uur, zaal Cl (Gorlaeus). I Tentamen TCl l8 januari 2008' 9-12uur, zaal Cl (Gorlaeus). 1. Basisinzichten Geef van de onderstaande beweringen aan of zewaar of niet waar zijn (er hoeven geen argumenten gegeven te worden; het mag

Nadere informatie

Opgave 1 Golven op de bouwplaats ( 20 punten, ) Een staalkabel met lengte L hangt verticaal aan een torenkraan.

Opgave 1 Golven op de bouwplaats ( 20 punten, ) Een staalkabel met lengte L hangt verticaal aan een torenkraan. TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Opleiding Elektrotechniek EE1200-B - Klassieke en Kwantummechanica - deel B Hertentamen 13 maart 2014 14:00-17:00 Aanwijzingen:

Nadere informatie

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom 8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer

Nadere informatie

ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA 2 VAN 8 JUNI e +" 1 = 1. e (" )=(k BT )

ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA 2 VAN 8 JUNI e + 1 = 1. e ( )=(k BT ) ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA VAN 8 JUNI ) (Andere antwoorden zijn niet noodzakelijk (geheel) incorrect) (a) Volgens het Pauli-principe kunnen fermionen zich niet in dezelfde quantumtoestand

Nadere informatie

Quantum theorie voor Wiskundigen. Velden en Wegen in de Wiskunde

Quantum theorie voor Wiskundigen. Velden en Wegen in de Wiskunde Quantum theorie voor Wiskundigen door Peter Bongaarts (Rotterdam) bij het afscheidssymposium Velden en Wegen in de Wiskunde voor Henk Pijls Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam,

Nadere informatie

Quantummechanica. P.J. Mulders

Quantummechanica. P.J. Mulders Quantummechanica P.J. Mulders Afdeling Natuurkunde en Sterrenkunde, Faculteit der Exacte Wetenschappen, Vrije Universiteit Amsterdam De Boelelaan 1081, 1081 HV Amsterdam email: mulders@few.vu.nl December

Nadere informatie

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D020. Datum: Vrijdag 26 maart 2004. Tijd: 14.00 17.00 uur. Plaats: MA 1.41 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf

Nadere informatie

(Permitiviteit van vacuüm)

(Permitiviteit van vacuüm) TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Tentamen Stralingsfysica (3D1) d.d. 5 juni 1 van 9: 1: uur Vul de presentiekaart in blokletters in en onderteken deze. Gebruik van boek, aantekeningen of notebook is niet

Nadere informatie

Tentamen Quantum Mechanica 2

Tentamen Quantum Mechanica 2 Tentamen Quantum Mechanica 9 juni 5 Het tentamen bestaat uit 4 opgaven, waarmee in totaal 9 punten zijn te verdienen. Schrijf op elk vel dat je inlevert je naam, voorletters en studentnummer.. (a) (5 punten)

Nadere informatie

Uitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C Januari uur

Uitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C Januari uur Uitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C030 25 Januari 2007-4.00-7.00 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina s. Op pagina 3 staat voor

Nadere informatie

Hoofdstuk 11: Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie

Hoofdstuk 11: Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie Hoofdstuk : Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie.. Tweepunts randwaardeproblemen. Bij het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen met behulp van de methode van scheiden van variabelen

Nadere informatie

Tentamen Quantum Mechanica 2

Tentamen Quantum Mechanica 2 Tentamen Quantum Mechanica mei 16 Het tentamen bestaat uit 4 opgaven, waarmee in totaal 6 punten zijn te verdienen. Schrijf op elk vel dat je inlevert je naam, voorletters en studentnummer. 1. (a) (4 punten)

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

-- IX (q)e - ie 2 t/h

-- IX (q)e - ie 2 t/h -- IX - -- HOOFDSTUK IX TIJDSAFHANKELIJKE PROCESSEN Dit oofdstuk is bedoeld om enig inzict te geven in de manier waarop de intensiteiten van de lijnen in een spectrum berekend kunnen worden. Omdat een

Nadere informatie

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Donderdag 8 juli 4. Tijd: 14. 17. uur. Plaats: MA 1.44/1.46 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015, Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd

Nadere informatie

Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C110 3 juli uur

Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C110 3 juli uur Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C0 3 juli 0-4.00-7.00 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina s. Op pagina 3 staat voor iedere opgave het

Nadere informatie

TENTAMEN. Van Quantum tot Materie

TENTAMEN. Van Quantum tot Materie TENTMEN Van Quantum tot Materie Prof. Dr. C. Gooijer en Prof. Dr. R. Griessen Vrijdag 22 december 2006 12.00-14.45 Q105/ M143/ C121 Dit schriftelijk tentamen bestaat uit 5 opdrachten. Naast de titel van

Nadere informatie

Antwoorden Tentamen Fysica van de Vaste Stof woensdag 2 maart 2011, uur

Antwoorden Tentamen Fysica van de Vaste Stof woensdag 2 maart 2011, uur Antwoorden Tentamen ysica van de Vaste Stof woensdag 2 maart 2011, 14.00 17.00 uur 1. ermigassen in astrofysica (3 + 4 +3 = 10) a. Gegeven dat de massa van de zon M z = 2 x 10 30 kg is (voornamelijk waterstof),

Nadere informatie

Aanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen

Aanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen de Bachelor EIT 2de en de Bachelor Wiskunde Academiejaar 215-216 1ste semester 26 januari 216 Aanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen 1. Gegeven een homogene lineaire partiële

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Uitwerking Tentamen Quantumfysica van 15 april 010. 1. (a) De ket α is een vector in de Hilbertruimte H, en de bra β een co-variante vector

Nadere informatie

Hoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen

Hoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Hoofdstuk : Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Partiële differentiaalvergelijkingen zijn vergelijkingen waarin een onbekende functie van twee of meer variabelen en z n partiële afgeleide(n)

Nadere informatie

1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.

1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0. Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en

Nadere informatie

Tentamen Simulaties van Biochemische Systemen - 8C110 en 8CB19 4 Juli uur

Tentamen Simulaties van Biochemische Systemen - 8C110 en 8CB19 4 Juli uur Tentamen Simulaties van Biochemische Systemen - 8C0 en 8CB9 4 Juli 04-900-00 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 7 opgaven verdeeld over pagina s Op pagina 4 staat voor iedere opgave

Nadere informatie

What does it all mean?

What does it all mean? What does it all mean? Nogmaals tweespleten experiment Ter herinnering: golffunctie voor enkele spleet elektron wordt alleen aangetroffen bij één spleet golffunctie voor twee spleten elektron kan bij beide

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij

Nadere informatie

Quantum Chemie II 2e/3e jaar

Quantum Chemie II 2e/3e jaar Quantum Chemie II e/3e jaar Universiteit Utrecht Faculteit Bèta Wetenschappen Departement Scheikunde Vakgroep Theoretische Chemie 008 Het college Quantumchemie wordt met wisselende omvang en naam, al sinds

Nadere informatie

Aanvullingen van de Wiskunde

Aanvullingen van de Wiskunde 3de Bachelor EIT - de Bachelor Fysica Academiejaar 014-015 1ste semester 7 januari 015 Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven is een lineaire partiële differentiaalvergelijking van orde 1: a 1 (x 1,,

Nadere informatie

college 6: limieten en l Hôpital

college 6: limieten en l Hôpital 126 college 6: ieten en l Hôpital In dit college herhalen we enkele belangrijke definities van ieten, en geven we belangrijke technieken om ieten van functies (eigenlijk en oneigenlijk) te bepalen. In

Nadere informatie

5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm

5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm 5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm x y + xy + (x ν )y = met ν R (1) heet een Bessel (differentiaal)vergelijking. De waarde van ν noemt men ook wel de orde

Nadere informatie

Eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen

Eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen Eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen Vakgroep Differentiaalvergelijkingen 1995, 2001, 2002 1 Eerste orde golf-vergelijking De vergelijking au x + u t = 0, u = u(x, t), a ɛ IR (1.1) beschrijft

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra B

Tentamen Lineaire Algebra B Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een

Nadere informatie

3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.

3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n. Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.

Nadere informatie

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D00. Datum: vrijdag 3 juni 008. Tijd: 09:00-:00. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Fourier transformatie

Fourier transformatie Les 8 Fourier transformatie 8.1 Periodieke functies met perioden verschillend van In de vorige les hebben we naar de Fourier reeksen voor periodieke functies met periode gekeken. De reden hiervoor was,

Nadere informatie

Het Spectrum van Kwantumoperatoren

Het Spectrum van Kwantumoperatoren Het Spectrum van Kwantumoperatoren Anne Keune 1 december 5 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 1.1 De Schrödingervergelijking...................... Voorbeelden 4.1 De oneindige potentiaalput.....................

Nadere informatie

HOOFDSTUK II BIJZONDERE THEORETISCHE VERDELINGEN

HOOFDSTUK II BIJZONDERE THEORETISCHE VERDELINGEN HOOFDSTUK II BIJZONDERE THEORETISCHE VERDELINGEN. Continue Verdelingen 1 A. De uniforme (of rechthoekige) verdeling Kansdichtheid en cumulatieve frequentiefunctie Voor x < a f(x) = 0 F(x) = 0 Voor a x

Nadere informatie

Doe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle.

Doe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle. De n-de term van de numerieke rij (t n ) (met n = 0,, 2,...) is het rekenkundig gemiddelde van zijn twee voorgangers. (a) Bepaal het Z-beeld F van deze numerieke rij en het bijhorende convergentiegebied.

Nadere informatie

Klassieke Mechanica a (Tentamen 11 mei 2012) Uitwerkingen

Klassieke Mechanica a (Tentamen 11 mei 2012) Uitwerkingen Klassieke Mechanica a (Tentamen mei ) Uitwerkingen Opgave. (Beweging in een conservatief krachtenveld) a. Een kracht is conservatief als r F =. Dit blijkt na invullen: (r F) x = @F z =@y @F y =@z = =,

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit

Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoewel we reeds vele methoden gezien hebben om allerlei typen differentiaalvergelijkingen op te lossen, zijn er toch nog veel differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Infi A oefententamen ψ

Infi A oefententamen ψ Infi A oefententamen ψ Aanwijzingen Motiveer alle antwoorden. Werk rustig, netjes en duidelijk. Zorg dat je uitwerking maar één interpretatie toelaat. Alle informatie op dit opgavenblad mag bij alle (deel)opgaven

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 2 oktober 200, 3.45 6.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

Deeltjes en velden. HOVO Cursus. Jo van den Brand 10 oktober 2013. jo@nikhef.nl

Deeltjes en velden. HOVO Cursus. Jo van den Brand 10 oktober 2013. jo@nikhef.nl Deeltjes en velden HOVO Cursus Jo van den Brand 10 oktober 2013 jo@nikhef.nl Docent informatie Overzicht Jo van den Brand & Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl en gkoekoek@gmail.com 0620 539 484 / 020 592

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op maandag 4 januari 2, 8.45.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie week 4.8, maandag Faculteit EWI TU Delft Delft, 6 juni, 2016 1 / 33 Outline 1 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz 2 2 / 33 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz Maximum-modulusprincipe Stelling

Nadere informatie

Universiteit Antwerpen Departement fysica

Universiteit Antwerpen Departement fysica Universiteit Antwerpen Departement fysica 2e kandidatuur fysica academiejaar 2004-2005 Prof. dr. F. Peeters dr. B. Baelus Contactinformatie: Prof. dr. François Peeters Universiteit Antwerpen (Campus Middelheim)

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Stralingsfysica (3D100) d.d. 21 januari 2005 van 14:00 17:00 uur

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Stralingsfysica (3D100) d.d. 21 januari 2005 van 14:00 17:00 uur TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Tentamen Stralingsfysica (3D) d.d. januari 5 van 4: 7: uur Vul de presentiekaart in blokletters in en onderteken deze. Gebruik van boek, aantekeningen of notebook is niet

Nadere informatie

Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,

Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013, Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.

Nadere informatie

ax + 2 dx con- vergent? n ln(n) ln(ln(n)), n=3 (d) y(x) = e 1 2 x2 e 1 2 t2 +t dt + 2

ax + 2 dx con- vergent? n ln(n) ln(ln(n)), n=3 (d) y(x) = e 1 2 x2 e 1 2 t2 +t dt + 2 Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NPB 8 januari 3, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Stralingsfysica (3D100) d.d. 16 november 2004 van 14:00 17:00 uur

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Stralingsfysica (3D100) d.d. 16 november 2004 van 14:00 17:00 uur TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Tentamen Stralingsfysica (3D) d.d. 6 november 4 van 4: 7: uur Vul de presentiekaart in blokletters in en onderteken deze. Gebruik van boek, aantekeningen of notebook is

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra

Tentamen Lineaire Algebra Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische

Nadere informatie

Elementaire Deeltjesfysica

Elementaire Deeltjesfysica Elementaire Deeltjesfysica FEW Cursus Jo van den Brand 24 November, 2008 Structuur der Materie Inhoud Inleiding Deeltjes Interacties Relativistische kinematica Lorentz transformaties Viervectoren Energie

Nadere informatie

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Vrijdag juli 3. Tijd: 9.. uur. Plaats: AUD 5. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 3 november 0 Normering voor pt vragen andere vragen naar rato): pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

3 De duale vectorruimte

3 De duale vectorruimte 3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3.1 (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 4 november 2013

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 4 november 2013 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 4 november 0 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato): 4pt pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Stralingsfysica (3D100) d.d. 9 januari 2008 van 9:00 12:00 uur

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Stralingsfysica (3D100) d.d. 9 januari 2008 van 9:00 12:00 uur TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Tentamen Stralingsfysica (3D d.d. 9 januari 8 van 9: : uur Vul de presentiekaart in blokletters in en onderteken deze. Gebruik van boek, aantekeningen of notebook is niet

Nadere informatie

Fourier transformatie

Fourier transformatie Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 7/8 Les 8 Fourier transformatie 8.1 Periodieke functies met perioden verschillend van In de vorige les hebben we naar de Fourier reeksen voor periodieke functies

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking Proeftentamen 3 Functies van één veranderlijke (15126 De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk

Nadere informatie

WI1708TH Analyse 3. College 5 23 februari Challenge the future

WI1708TH Analyse 3. College 5 23 februari Challenge the future WI1708TH Analyse 3 College 5 23 februari 2015 1 Programma Vandaag Richtingsafgeleide (14.6) Gradiënt (14.6) Maximalisatie richtingsafgeleide (14.6) Raakvlak voor niveauoppervlakken (14.6) 2 Richtingsafgeleide

Nadere informatie

Hoofdstuk 7: Stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen

Hoofdstuk 7: Stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen Hoofdstuk 7: Stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen Bij het vak Lineaire Algebra hebben we reeds kennis gemaakt met stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen We hebben

Nadere informatie

Voorblad bij tentamen

Voorblad bij tentamen Voorblad bij tentamen (in te vullen door de examinator) Vaknaam: Inleiding Quantumfysica Vakcode: 3BQX Datum: -6-6 Begintijd: 8. uur Eindtijd: 9. uur Aantal pagina s: Aantal vragen: vellen A4 Opgave Aantal

Nadere informatie

18.I.2010 Wiskundige Analyse I, theorie (= 60% van de punten)

18.I.2010 Wiskundige Analyse I, theorie (= 60% van de punten) 8.I.00 Wiskundige Analyse I, theorie 60% van de punten) Beantwoord elk van de vragen I,II,III en IV op één van de dubbele geruite bladen. Schrijf op elk van die dubbele geruite bladen, bovenaan de eerste

Nadere informatie

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D2. Datum: dinsdag 29 april 28. Tijd: 14: 17:. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Opgave 1 Vervormd vierkant kristal en elektronische structuur (totaal 24 punten)

Opgave 1 Vervormd vierkant kristal en elektronische structuur (totaal 24 punten) 3NC2 Gecondenseerde materie 215 Extra tentamen, 1 april 215 Algemeen: Beargumenteer je antwoorden. Vermeld zowel de gebruikte basisformules als de tussenstappen in de afleiding. Mogelijk te gebruiken formules:

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C Juni uur

Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C Juni uur Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C110 8 Juni 010-900-100 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 7 opgaven verdeeld over 3 pagina s Op pagina 3 staat voor iedere opgave

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op donderdag 23 oktober 28, 9. 2. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

Commutatie-relaties voor impulsmoment

Commutatie-relaties voor impulsmoment Commutatie-relaties voor impulsmoment Inleiding De operatoren voor impulsmoment in de quantum-mechanica zijn gedefiniëerd door de volgende commutatierelaties: i, j = i hε ijk k, 1) met ε ijk het evi-civita

Nadere informatie

Chapter 10. Quantumveldentheorie

Chapter 10. Quantumveldentheorie Chapter 10 Quantumveldentheorie In het voorgaande hebben we de relativistische quantummechanica in groot detail bestudeerd. We hebben gezien hoe we de speciale relativiteitstheorie kunnen inbouwen in de

Nadere informatie

Hoofdstuk 23 Electrische Potentiaal. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Hoofdstuk 23 Electrische Potentiaal. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Hoofdstuk 23 Electrische Potentiaal Elektrische flux Een cilinder van een niet-geleidend materiaal wordt in een elektrisch veld gezet als geschetst. De totale elektrische flux door het oppervlak van de

Nadere informatie

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18 Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18 Rocco van Vreumingen 29 augustus 2014 1 Inhoudsopgave 1 Hints 1 3 2 Hints 2 4 3 Hints 3 5 4 Hints 4 5 5 Hints 5 6 6 Hints 6 6 7 Hints 7 6 8 Antwoorden

Nadere informatie

Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde.

Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde. Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde. Dinsdag 9 maart 2010, 9.00-11.00. Het gebruik van een rekenmachine is toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een berekening of redenering.

Nadere informatie

Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65. 6 juli 2012, uur

Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65. 6 juli 2012, uur Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65 6 juli 2012, 14.00-17.00 uur Het tentamen bestaat uit drie, de hele stof omvattende opgaven, onderverdeeld in 15 deelopgaven die bij

Nadere informatie