Kosmische straling Bronnen en detectie

Transcriptie

1 HiSPARC High-School Project on Astrophysics Research with Cosmics Toelichting Kosmische straling Bronnen en detectie Doelgroep Leerlingen VWO 5/6 NT Doelen Het lespakket geeft leerlingen inzicht in: de aard, de oorsprong en enkele fysische aspecten van kosmische straling de interactie van kosmische straling met de aardatmosfeer de bouw en werking van scintillatiedetectoren voor kosmische straling en het gebruik hiervan in astrofysisch onderzoek het karakter van wetenschappelijk onderzoek aan kosmische straling: dataverzameling en -verwerking, samenwerking. Opzet Het lespakket bestaat uit de volgende onderdelen: Kosmische straling een korte overzichtstekst van waaruit kan worden doorgeklikt naar een aantal deelonderwerpen rond de ontdekking van kosmische straling, de interactie van kosmische straling en aardatmosfeer, en de detectie van kosmische straling. Profielwerkstukken een verzameling suggesties voor een profielwerkstuk op het gebied van constructie en ijking van een scintillatiedetector, onderzoek aan kosmische straling met een scintillatiedetector, kosmische straling, relativiteitstheorie, GPS (global positioning system) enzovoort. Deelonderwerpen Hieronder staat een korte uitwerking van de opdrachten uit de verschillende deelonderwerpen, voor zover deze opdrachten niet het karakter hebben van een suggestie voor verdere verdieping naar eigen keuze van de leerling. Bij opdrachten die betrekking hebben op het uitvoeren van experimenteel onderzoek is een indicatie van het werkplan gegeven. 1.1 Sterevolutie Centrale vraag Hoe ontstaan supernova s, zwarte gaten en quasars? De opdrachten 1 en 2 zijn suggesties voor verdieping in het kader van een profielwerkstuk. 1 Oppervlaktetemperatuur volgt uit spectraalanalyse en vergelijking met stralingskrommes van zwarte stralers. Uit gemeten helderheid is bij bekende afstand de absolute helderheid te berekenen. 2 Waterstoffusie, heliumfusie, koolstoffusie en verder leidend tot explosie en implosie. 1.2 Onderzoek Centrale vraag Hoe is in het begin van de vorige eeuw het bestaan van kosmische straling ontdekt? 1 De elektroscoop slaat uit door de afstotende elektrische kracht die gelijksoortige ladingen op elkaar uitoefenen. Hoe groter de lading is, des te groter is de afstotende elektrische kracht en des te groter is de uitslag van de elektroscoop. Bij het weglekken van lading zal de uitslag van de elektroscoop dus geleidelijk kleiner worden. Een vlam of een radioactieve bron veroorzaakt ionisatie van de lucht rondom de elektroscoop, waardoor de lading op de elektroscoop geleidelijk wordt geneutraliseerd. 2 Een met de hoogte afnemende ontlaadsnelheid van de elektroscoop zoals waargenomen door Theodor Wulf wijst op het aardoppervlak als stralingsbron.

2 De toenemende ontlaadsnelheid op grotere hoogte zoals waargenomen door Victor Hess wijst op de kosmos als stralingsbron. Vergelijkbare metingen s nachts (of, zoals Victor Hess deed, tijdens een zonsverduistering) zouden kunnen uitwijzen of de ioniserende straling van de Zon afkomstig is. 3 Deze waarnemingen wijzen op geladen deeltjes als aard van kosmische straling. Het effect is te vergelijken met het verschijnsel Noorderlicht dat wordt veroorzaakt door van de Zon afkomstige geladen deeltjes een verschijnsel dat alleen op hogere geografische breedtes zichtbaar is als gevolg van de stand van het magnetisch veld van de Aarde. 1.3 Bronnen Centrale vraag Waar liggen de bronnen van hoogenergetische kosmische straling? 1 De lengte-eenheid parsec (pc) is gekoppeld aan het begrip parallax. Een ster met een parallax van 1 heeft een afstand van 1 pc of AE, zodat 1 pc = 3, km = 3,26 lichtjaar. Het Melkwegstelsel heeft een diameter van pc = 0,03 Mpc. Hoog-energetische deeltjes met een energie van meer dan ev kunnen dus uit ons Melkwegstelsel afkomstig zijn. Het Andromedastelsel als voorbeeld van een ander sterrenstelsel bevindt zich op een afstand van lichtjaar = 0, pc = 0,8 Mpc. Er moeten dus binnen een afstand van 100 Mpc voldoende sterrenstelsels zijn die als bron van hoogenergetische kosmische straling in aanmerking komen. 2.1 Elementaire deeltjes Centrale vraag Hoe ontstaan pionen en muonen bij de inslag van een primair kosmisch deeltje? 1 Een vergelijking tussen de elektrische kracht F e en de gravitatiekracht F g tussen twee elektronen op een afstand r levert: F e = (1, ) 2 /r 2 = 2, /r 2 F g = 6, (9, ) 2 /r 2 = 5, /r 2 Bij deze vergelijking is de elektrische kracht ruwweg een factor /10 71 = groter dan de gravitatiekracht. De invloed van de gravitatiekracht is toch over grote afstanden merkbaar doordat in het heelal sprake is van zeer grote massa s vergeleken met de eenheidsmassa van 1 kg. 2 In de tabel hieronder is de lading van de deeltjes berekend uit de lading van de quarks waaruit het is samengesteld. deeltje quarksamenstelling lading p + uud (2/3 + 2/3 1/3) e = +e n 0 udd (2/3 1/3 1/3) e = 0 π + uđ (2/3 + 1/3) e = +e π ud ( 2/3 1/3) e = e π 0 uū + dđ (2/3 2/3 1/3 + 1/3) e = 0 3 Bij de eerste reactie ontstaat door creatie een uū- en dđ-paar. Dit mengsel is een ongeladen pion (π 0 ): uud + uud uud + uud + uū + dđ Bij de tweede reactie ontstaat door creatie een dđ-paar. Hergroepering van de quarks in een van de protonen (p + : uud) en dit dđ-paar levert een neutron (n 0 : udd) en een positief pion (π + : uđ): uud + uud uud + uud + dđ uud + udd + uđ 2.2 Muon-verval Centrale vraag Hoe ver komt een muon met een levensduur van slechts 2, s in de richting van het aardoppervlak? 1 m µ = 207 m e

3 E k = ½ m v 2 v = (2 E k /m µ ) = 1, m/s v > c: een dergelijke snelheid is niet mogelijk. 2 m 0,µ = 105,6 MeV/c 2 = 1, kg m 0,µ /m e = E 0 = m 0 c 2 = 105,6 MeV E 0 /E = 0,1 E = m c 2 en m = m 0 /( (1 v 2 /c 2 )) v = c (1 E 0 2 /E 2 ) v = c (1 0,1 2 ) = 0,995 c = 2, m/s s = v t = 0,7 km (met t de gemiddelde vervaltijd van het muon) 4 v 2 /c 2 = 1 E 0 2 /E 2 = 0,99 t = t 0 /( (1 v 2 /c 2 )) = t 0 /0,1 = 2, s E = 10 E 0 t = 10 t 0 s = v t = 7 km 5 E 2x zo groot (dus: E 0 /E = 0,05) t 2x zo groot (dus: t = 4, s) s 2x zo groot (dus: s = 14 km). De snelheid v verandert namelijk nauwelijks als E 2x zo groot wordt: v c. 2.3 Airshowers Centrale vraag Welke soorten airshowers zijn er, wat zijn hun eigenschappen en hoe is daaruit de richting en de energie van een primair kosmisch deeltje te bepalen? 1 F L = B q v = F c = m v 2 /r B q r = m v = p v c (zie 2.2 Muonverval) p = m c = E/c (want: E = m c 2 ) = 1 GeV/c q = e r = p/(b e) = m Op een showerhoogte van 10 km levert een baanstraal van 70 km een baankromming die wel te verwaarlozen is ten opzichte van een rechtlijnige voortplanting. Bovendien is voor meer energetische deeltjes de impuls, en dus de baanstraal groter. 2 In het verticale showerprofiel van figuur 7 neemt het aantal elektronen in eerste instantie toe door productie bij interacties, en daarna (als het productieproces gestopt is vanwege de afgenomen deeltjesenergie) weer af als gevolg van verstrooiing in de atmosfeer. In het horizontale showerprofiel van figuur 8 is het aantal deeltjes in de buurt van de shower-as het grootste vanwege impulsbehoud en neemt het aantal deeltjes door verstrooiing af naarmate de afstand tot de shower-as groter wordt. Het aantal muonen in de kern van een shower is voor hadronische showers (p en Fe) een factor 10 groter dan voor elektromagnetische showers (γ), bij ruwweg dezelfde aantallen elektronen resp. fotonen: grootte-orde 10 resp 1. Het onderscheid is (dus) te maken op grond van de gemeten verhoudingen tussen het aantal muonen enerzijds en het aantal elektronen en/of fotonen anderzijds. 3 De energie van het primaire deeltje is te schatten uit de energie-inhoud van de shower: sommeren van het product van de energie per deeltje en het aantal deeltjes voor de drie verschillende soorten deeltjes (muonen, elektronen en fotonen). De inslagrichting van het primaire deeltje is te schatten uit het verschil in aankomsttijd van de shower op de verschillende detectiestations. 4 De HiSPARC-detectiestations meten alleen muonen, en kunnen dus geen onderscheid maken tussen hadronische en elektromagnetische showers. Er wordt gewerkt met een door ander onderzoek onderbouwde aanname dat een gedetecteerde shower hadronisch van aard is. 5 De HiSPARC-detectiestations meten alleen de muonendichtheid en niet de energie van de gedetecteerde muonen. De energie van het primaire deeltje moet worden geschat op grond van de overeenkomst tussen de resultaten van deze metingen en simulaties. De HiSPARC-detectiestations meten wel de aankomsttijd van de shower, zodat het in vraag 3 gegeven antwoord over het schatten van de inslagrichting van het primaire deeltje juist is.

4 3.1 Detector Centrale vraag Hoe werkt een scintillatiedetector? 1 k = 2 MeV/(g/cm 2 ) bij E = 1 GeV E = k ρ l = 4 MeV 2 N f = /100 = (fotonen) 3 n = 1,58 i g = 40 In de getekende tweedimensionale situatie zullen alle fotonen met een invalshoek i kleiner dan de grenshoek i g de scintillator verlaten. Omdat i g = 40 gaat het hier om bijna de helft van de geproduceerde fotonen. In een driedimensionale situatie zal de weglengte tot aan de PMT voor de fotonen die door totale reflectie wel binnen de scintillator blijven sterk verschillen. Naarmate die weglengte voor een foton groter is, is de kans op absorptie door het scintillatormateriaal groter. Daardoor zal een deel van de geproduceerde fotonen die binnen de scintillator blijven toch onderweg verloren gaan. De afwijkende geometrie van de lichtgeleider zorgt voor een kleinere invalshoek i voor de fotonen die de lichtgeleider uiteindelijk bereiken, zodat extra fotonenverlies kan optreden doordat niet meer aan de voorwaarde voor totale reflectie (i > i g ) is voldaan. N f,k = 0,01 N f = (fotonen) 4 N e,k = ε N f,k = 1, (elektronen) N e,a = G N e,k = 3, (elektronen) 5 t 10 ns (pulslengte zie opmerking in bijschrift bij figuur 2) I = Q/ t = N e,a e/ t = 5, A (5,4 ma) U = I R = 0,27 V (270 mv) Dit resultaat klopt qua grootte-orde met de hoogte van de spanningspuls in figuur 2. Belangrijkste onzekerheden: het percentage van de bij het passeren van een muon geproduceerde fotonen dat de PMT bereikt (opdracht 3) en de voedingsspaningsafhankelijke waarde van de versterkingsfactor G van de PMT (opdracht 4). 6 De energie-afgifte van een muon bij het passeren van de scintillatorplaat is een statistisch proces. Het pulshoogtehistogram zal dus dezelfde vorm vertonen als de Landau-verdeling (zie ook 3.3 Detector testen). 7 De afstand tussen de geselecteerde detectieplaats op de scintillatorplaat en de PMT zou invloed kunnen hebben op het pulshoogtediagram: hoe groter deze afstand is, des te kleiner is het deel van de geproduceerde fotonen dat uiteindelijk de PMT bereikt, en des te kleiner is de pulshoogte. Op grond van deze redenering is te verwachten dat de pulshoogtehistogrammen voor de twee detectieplaatsen wel dezelfde vorm hebben (de bij opdracht 6 genoemde Landau-verdeling), maar dat deze ten opzichte van elkaar enigszins horizontaal verschoven zijn. 8 Een klein deel van de grote detector is te selecteren met een kleine detector boven of onder de grote detector, aangesloten op een triggerschakeling. Dan wordt de puls vanuit de grote detector alleen geregistreerd als de kleine detector een puls geeft, wat betekent dat de geregistreerde puls zijn oorsprong heeft in het deel van de grote detector onder of boven de kleine detector. Dit deel zal overigens groter zijn dan het oppervlak van de kleine detector, omdat rekening moet worden gehouden met een mogelijk schuine inval van muonen. De selectie van een deel van de grote detector is te verscherpen door het gebruik van twee kleine op een coïncidentieschakeling aangesloten detectors met daartussen de grote detector (zie 3.3 Detector testen). In dat geval is het geselecteerde deel van de grote detector even groot als het oppervlak van de kleine detectors. 3.2 Detector bouwen Centrale vraag Hoe bouwen we een scintillatiedetector? 1 Detector controleren op lichtdichtheid:

5 De PMT aansluiten op de scoop, ingesteld op een waarde van de tijdbasis waarmee de lichtsterktevariatie van het TL-licht zichtbaar te maken is (f = 100 Hz). Dit geeft een globale indicatie van het wel of niet aanwezig zijn van lichtlekken, maar zegt nog niets over de plaats daarvan. In een volledig verduisterde ruimte de scintillatorplaat en lichtgeleider volledig (van boven-/onderaf en van opzij) aftasten met een smalle lichtbundel en daarbij het scoopsignaal volgen. De op deze manier gevonden plaatsen van lichtlekken extra afdichten met zwart (landbouw)plastic. 3.3 Detector testen Centrale vraag Hoe testen we een gebouwde scintillatiedetector: hoe bepalen we de juiste instelling en hoe meten we de efficiëntie van zo n detector? 1 De top van de Landau-verdeling ligt bij 60 à 70 mv. Wat de beide andere pieken in het diagram voorstellen is nog onduidelijk: het zou ruis kunnen zijn, maar het is niet onmogelijk dat het hier om een ander soort deeltje gaat. Hier wordt nog onderzoek naar gedaan. 2 Bij het instellen van een grotere waarde van de hoogspanning over de PMT zal het spectrum langs de horizontale as worden uitgerekt. Bij het instellen van een langere meettijd zal het spectrum langs de verticale as worden uitgerekt. 3 Instellen PMT-hoogspanning en meetprogramma: PMT-hoogspanning zo regelen dat de Landau-piek in het pulshoogtehistogram op een redelijke waarde boven de ruis uitkomt (zo n 60 à 70 mv pulshoogte), startend vanuit een voldoend lage waarde van de PMT-hoogspanning (bijvoorbeeld niet meer dan 500 V) om opblazen van de PMT te voorkomen. Dit kan in eerste instantie op het oog door het bekijken van de pulshoogtes op het oscilloscoopscherm. In tweede instantie moet het pulshoogtehistogram worden gemeten met behulp van de onderstaande instellingen. Redelijke waarde van het aantal muondetecties (counts) bepalen (1000). Redelijke drempelwaarde voor ruisfiltering bepalen in het gebied tussen ruis en het begin van de Landau-verdeling in het pulshoogtehistogram (zo n 30 à 40 mv). Redelijke waarde voor de horizontale resolutie van het pulshoogtehistogram bepalen (bijvoorbeeld 1 mv). 4 Meten detectorefficiëntie: Efficiëntiemeting op minstens zes geschikt (verspreid over links/rechts en voor/achter) gekozen plaatsen op het oppervlak van de scintillatorplaat. NB: de PMThoogspanning en het meetprogramma steeds instellen op de eerder bepaalde, geschikt gekozen waarden. 7 Relatieve onzekerheid: N/N = ( N)/N = 1/ N Langere meettijd: N groter 1/ N kleiner. 8 Als voorbeeld van het bepalen van de detectorefficiëntie zoals bedoeld bij opdracht 5, 6 en 8 een samenvatting van de meetresultaten aan een van de detectoren en de verwerking daarvan. meetplaats N µ N m ε ,972 ± 0, ,953 ± 0, ,962 ± 0, ,979 ± 0, ,973 ± 0, ,958 ± 0, ,951 ± 0,031 Gemeten is bij een instelling van ruwweg N µ = 1000 counts (door de muonenteller getelde muonen). De detectorefficiëntie ε = N m /N µ is op zeven verschillende plaatsen

6 gemeten, met als resultaat een aantal waarden tussen de 0,95 en 0,98. Zonder rekening te houden met de meetonzekerheid lijkt sprake van een (geringe) plaatsafhankelijkheid van de detectorefficiëntie, zonder dat daarin echter een duidelijk patroon is te herkennen. Bij N µ = 1000 counts is de relatieve meetonzekerheid 3% ( N/N = 1/ 1000 = 0,03). De variatie in de zeven gemeten detectorefficiënties (0,95 tot 0,98) is ruwweg 3%, en daarmee van dezelfde grootte als de relatieve meetonzekerheid. Conclusie: er is geen sprake van een significante plaatsafhankelijkheid van de detectorefficiëntie. Omdat er geen sprake is van een significante plaatsafhankelijkheid is de detectorefficiëntie te bepalen als het gemiddelde van de zeven efficiëntiemetingen. Of, op een andere manier: door het optellen van de meetresultaten op elk van de meetplaatsen. Dit levert een detectorefficiëntie ε = N m /N µ = 6834/7089 = 0,964. De relatieve meetonzekerheid bij N m = 6834 counts is 1,21% ( N/N = 1/ 6834 = 0,0121). De absolute meetonzekerheid in de bepaalde detectorefficiëntie is dan dus 0,013 (1,21% van 0,964), zodat de detectorefficiëntie kan worden opgegeven als ε = 0,96 ± 0,013. Dat betekent: 67% van een zeer groot aantal gemeten detectorefficiënties zal binnen dit interval liggen. Uit de zeven efficiëntiemetingen blijkt dat deze op een enkele uitzondering na keurig binnen dit interval liggen. 3.4 Detectiestation Centrale vraag Hoe werkt een detectiestation? 1 In een tijdsduur t nadat A een puls heeft gegeven telt B f B t pulsen. Dit doet zich f A keer per seconde voor. De telsnelheid van dit proces wordt dus gegeven door f BnaA = f A f B t. Analoog geldt: f AnaB = f B f A t De telsnelheid van toevallige coïncidenties wordt dus gegeven door f t = 2 f A f B t Grootte-orde: f t = 2 f A f B t = = toevallige coïncidenties per seconde. 2 Als voorbeeld van het bepalen van de telsnelheid van echte coïncidenties tussen twee detectors een samenvatting van de meetresultaten aan een van de detectiestations en de verwerking daarvan. Detectiestation N A (m 1 ) N B (m 1 ) N m (h 1 ) BBL, UU De telsnelheid f e van echte coïncidenties volgt uit de telsnelheid f m van gemeten coïncidenties en de telsnelheid f t van toevallige coïncidenties: f e = f m f t. Een meting van de telsnelheid f m wordt uitgevoerd met twee scintillatorplaten aangesloten op een coïncidentieschakeling. Meetresultaat: N m = 580 coïncidenties per uur. Dus: f m = 0,161 Hz. De telsnelheid f t is te bepalen door meting van de telsnelheden f A en f B van de afzonderlijke scintillatorplaten en de ingestelde waarde van t. Meetresultaat: N A = 5702 resp. N B = 5339 coïncidenties per minuut. Dus: f A = 95 Hz en f B = 89 Hz. Hiermee is de telsnelheid van toevallige coïncidenties te berekenen: f t = 2 f A f B t = = 0,017 Hz. Uit het voorgaande volgt de telsnelheid van echte coïncidenties: f e = f m f t = 0,161 0,017 = 0,144 Hz. 3 Als voorbeeld van het bepalen van de onzekerheid in de telsnelheid van echte coïncidenties tussen twee detectors gebruiken we weer de meetresultaten aan het detectiestation bij opdracht 2. Daarbij gebruiken we de rekenregels voor statistische meetonzekerheden en moeten we uitgaan van de statistische meetonzekerheid in de gemeten waarden van N A, N B en N m. Daarbij gaan we er van uit dat de relatieve meetonzekerheid in de tijdmetingen verwaarloosbaar klein is. De telsnelheid f m volgt direct uit N m, zodat de relatieve onzekerheid in f m gelijk is aan de relatieve onzekerheid in N m : f m /f m = N m /N m = 1/ N m = 1/ 580 = 0,0415 f m = 0,161 ± 0,007 Hz De telsnelheid f t volgt uit het product van f A en f B, zodat de relatieve onzekerheid in f t gegeven wordt door de wortel van de som van de kwadraten van de relatieve

7 onzekerheden in f A en f B die op hun beurt weer volgen uit de relatieve onzekerheden in N A en N B : f t /f t = (( f A /f A ) 2 + ( f B /f B ) 2 ) = (( N A /N A ) 2 + ( N B /N B ) 2 ) = ((1/ N A ) 2 + (1/ N B ) 2 ) = ((1/ 5702) 2 + (1/ 5339) 2 ) = 0,019 f t = 0,017 ± 0,0003 Hz De telsnelheid f e volgt uit het verschil van f m en f t, zodat de absolute onzekerheid in f e gelijk is aan de wortel van de som van de kwadraten van de absolute onzekerheden in f m en f t : f e = (( f m ) 2 + ( f t ) 2 ) = (0,007) 2 + (0,0003) 2 ) = 0,007 f e = 0,144 ± 0,007 Hz 3.5 Detectiestation installeren Centrale vraag Hoe bouwen en installeren we een detectiestation met twee scintillatiedetectors en apparatuur voor signaalregistratie en -verwerking? 1 Een controle op de juiste werking van het detectiestation kan onder andere het volgende inhouden: Meting van de telsnelheid van de afzonderlijke detectors (grootte-orde: 100 Hz) en meting van de telsnelheid van coïncidenties tussen beide detectors (grootte-orde: 0,1 Hz) (zie 3.4 Detectiestation). Controleren van de instelling van de hoogspanning over de afzonderlijke PMT s: Landau-piek in het energiespectrum bij 60 tot 70 mv (zie 3.3 Detector testen). 3.6 Detectienetwerk Centrale vraag Hoe ziet een gewenst netwerk van detectiestations er uit, gegeven de lokale situatie? De gewenste configuratie van het detectienetwerk voor het HiSPARC-cluster Utrecht is (minstens) een drietal op onderlinge afstanden van 0,5 tot 1 km in een ruwe driehoek geplaatste detectiestations: zie de pagina Detectienetwerk op deze website. 3.7 Richting primair deeltje Centrale vraag Hoe bepalen we de inslagrichting van het primair kosmisch deeltje uit de data bij een coïncidentie tussen tenminste drie detectiestations? 1 Uit overwegingen van impulsbehoud is de veronderstelling dat de showerkern in het verlengde ligt van de baan van het primaire deeltje acceptabel. Op grond van de geometrie van de airshower (bron op 40 tot 10 km hoogte, showerdiameter met grootteorde 1 km bij het aardoppervlak) mogen het showerfront en het aardoppervlak worden opgevat als een plat vlak. Eventuele hoogteverschillen tussen de detectiestations zijn op een afstand van 40 tot 10 km tot de bron eveneens verwaarloosbaar klein. 5 Het aangepaste coördinatenstelsel is weergegeven in de tabel hieronder. detectiestation x-coördinaat (m) y-coördinaat (m) aankomsttijd ( µs ) A B ,29 C ,42 Uit deze data volgt: Azimut-hoek: m = 2,05 ξ = 116 φ = 26 Zenit-hoek: v = 1, m/s θ = 15 6 Uit de GPS-data volgen de aankomsttijden van de shower bij de detectiestations B en C: 0,1 resp. 1,2 µs. Hieruit volgt: Azimut-hoek: m = 0,819 ξ = 219 φ = 129 Zenit-hoek: v = 6, m/s θ = Energie primair deeltje Centrale vraag Hoe maken we een schatting van de energie van dat primair kosmisch

8 deeltje? 1 Met fictieve waarden voor α en (η α) beide groter dan 1 in formule [1] neemt de waarde van de deeltjesdichtheid S bij toenemende waarde van de afstand r tot de showerkern in eerste instantie vrij snel en daarna langzaam af richting 0. Opmerking: het bedoelde diagram is snel te maken in een Excel-rekenblad. Bij een grotere waarde van de energie van het primaire deeltje is de waarde van de constante k in formule [1] groter, waardoor de deeltjesdichtheid S bij alle waarden van r groter is. 2 Zenit-hoek θ = 15 η = 3,91. Uit S(r 0 ) = 100 met α = 1,2 en η =3,91 volgt een eerste schatting van de constante k in formule [1]: k = 667. Met Excel-rekenblad_1 volgt een eerste schatting van de positie P van de showerkern ( 150, 250) bij een aangepaste waarde van k (2000). Opmerkingen: - Uit een vergelijking tussen de berekende en gemeten waarden van de deeltjesdichtheid is te zien of en zo ja in welke richting de eerste schatting van de waarde van k moet worden bijgesteld. - Bij deze bijgestelde waarde van k is de afstand tussen de showerkern en de drie detectiestations op het rekenblad af te lezen bij de gemeten deeltjesdichtheid. Op de kaart kan nu rond elk van de drie detectiestations een cirkel worden getekend met deze afstand als straal. Uit de ligging van deze cirkels volgt dan een eerste schatting van de positie P van de showerkern. Met Excel-rekenblad_2 volgt een beste schatting van de positie P van de showerkern ( 205, 225) bij een verder aangepaste waarde van k (2250). De berekende waarden van de deeltjesdichtheid in de detectiestations A, B en C zijn dan resp. 10,2, 7,3 en 11,9 (wat redelijk in overeenstemming is met de gemeten waarden 10, 7 en 12). Opmerkingen: - In het rekenblad wordt gestart met de eerste schatting van de positie P van de showerkern en de bijgestelde waarde van k in formule [1] zoals bepaald in de vorige stap. Uit een vergelijking tussen de berekende en gemeten waarden van de deeltjesdichtheid is af te leiden of en zo ja in welke richting de positie P moet worden verschoven, en of en zo ja in welke richting de waarde van k verder moet worden bijgesteld. - Het is mogelijk om de overeenstemming tussen berekende en gemeten waarden van de deeltjesdichtheid nog beter te maken, maar dat blijkt niet tot nauwelijks meer invloed te hebben op de beste schatting van de energie van het primaire deeltje. Dit is goed te zien als ook deze energieberekening in het rekenblad wordt opgenomen. Met deze waarde van k in formule [1] toegepast in formule [2] komt de beste schatting van de energie van het primaire deeltje uit op E = 2, ev. Deze beste schatting van de energie van het primaire deeltje is een ondergrens, omdat we ervan uitgaan dat de showerkern binnen de driehoek ABC ligt. 3 Procedure: zie opdracht 2. 4 Voor het maken van een beste schatting voor de ondergrens van de energie van het primaire deeltje is de waarde van de constante η in formule [1] nodig, en dus de waarde van de zenit-hoek θ. Die hoek is alleen te bepalen uit een coïncidentie op minstens twee detectiestations. De aanname is dan dat de showerkern op de verbindingslijn tussen de twee detectiestations ligt. 5 Zenit-hoek θ = 28 η = 3,73. Uit S(r 0 ) = 100 met α = 1,2 en η =3,73 volgt een eerste schatting van de constante k in formule [1]: k = 577. Met Excel-rekenblad_1 volgt een eerste schatting van de positie P van de showerkern (400, 275) bij een aangepaste waarde van k (2000). Met Excel-rekenblad_2 volgt een beste schatting van de positie P van de showerkern (400, 275) bij een verder aangepaste waarde van k (2350). De berekende waarden van de deeltjesdichtheid in de detectiestations A, B en C zijn dan resp. 3,1, 2,0 en 3,0 (wat redelijk in overeenstemming is met de gemeten waarden 3, 2 en 3). Met deze waarde van k in formule [1] toegepast in formule [2] komt de beste schatting van de energie van het primaire deeltje uit op E = 3, ev.