WEEK 1: Rekenen met Ongelijkheden bij Foutschattingen

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "WEEK 1: Rekenen met Ongelijkheden bij Foutschattingen"

Transcriptie

1 WEEK 1: Rekenen met Ongelijkheden bij Foutschattingen 1. Beschouw twee stukken touw met lengten, respectievelijk L 1 = 7m en L 2 = 6m. Over deze lengten bestaat onzekerheid: L 1 kan fluctueren met maximaal ±ɛ 1, met ɛ 1 = 0.3m ɛ 2 = 0.5m, L 2 kan fluctueren met maximaal ±ɛ 2, met ɛ 2 = 0.5m. De twee stukken touw worden aan elkaar geknoopt, waardoor een verkorting K = 0.5m optreedt. Echter de verkorting K kan fluctueren met maximaal ±ɛ 3 en ɛ 3 = 0.4m. Bereken het interval waarbinnen de totale lengte van de aan elkaar geknoopte touwen kan fluctueren. 2. Een rechthoekig stuk grond is A km lang en B km breed. A en B zijn niet precies bekend: A = 5 ± 0.3 km, B = 3.5 ± 0.4 km. Bereken een zo zuinig mogelijk interval waarbinnen de oppervlakte van het stuk grond ligt. 3. Een metalen cylinder heeft een diameter D = 5 cm, een lengte L = 20 cm, en gewicht G = 4 kg. Helaas bestaat ook over deze gegevens onzekerheid: D kan fluctueren met maximaal ±d, d = 1 cm, L met maximaal ±l, l = 1 cm, G met maximaal ±γ, γ = 0.5 kg. Bereken het kleinst mogelijke interval waarbinnen het soortelijk gewicht van het metaal ligt. 4. Beantwoord 1. uitsluitend met de letters L 1, L 2, K, ɛ 1, ɛ 2, ɛ Beantwoord 2. uitsluitend met de letters A, B, a, b. Geef zelf aan wat a en b zijn. 6. Beantwoord 3. uitsluitend met de letters D, L, G, d, l, γ. WEEK 2: Toepassingen op 17e eeuwse geometrische optica 1. Reflectie aan een vlakke spiegel De x-as van het xy-vlak beschouwen we als een ideale spiegel. Voorts beschouwen we de rechte lijn beschreven door y = αx + β, met vast gekozen α > 0 en β. Het deel van deze rechte dat in het bovenhalfvlak ligt wensen we te zien als een op de spiegel invallende lichtstraal. Bereken de vergelijking van de gereflecteerde lichtstraal via het principe hoek van inval = hoek van terugkaatsing. 2. Net als bij 1. Nu ligt de ideale spiegel langs de rechte y = Ax. Met A vast gekozen. 3. Reflectie aan een parabolische spiegel. We willen nu rekenen aan een ideale parabolische spiegel. Hierbij gaan we uit van het principe dat een lichtstraal die een kromme treft in een punt P wordt teruggekaatst alsof P een punt is van de vlakke spiegel die zich bevindt op de raaklijn in P aan de kromme. a) Beschouw de parabool gegeven door y = x2 a2, met p > 0 vast gekozen. Laat Q = (a, ) 4p 4p 1

2 een willekeurig punt op de parabool zijn. Bereken de afstand van Q tot het punt (0, p) en ook de afstand van Q tot de rechte y = p. Wat valt U op? b) Bereken het snijpunt met de x-as van de rechte door de punten (0, p) en (a, p). c) Bereken de vergelijking van de rechte door Q en het onder b) gevonden punt. Laat vervolgens zien dat deze rechte in Q raakt aan onze parabool. Bijvoorbeeld door te laten zien dat 4p( 1 x 2 2ax a 2) > 0, als x a. d) Beschouw nu het boven de parabool gelegen deel van de verticale rechte x = a als een invallende straal en bereken de gereflecteerde straal. Aanwijzing: Maak gebruik van een speciale eigenschap van de driehoek met hoekpunten (0, p), Q, (a, p) en de speciale positie van het deel van de raaklijn aan Q dat binnen genoemde driehoek ligt. e) Vind het snijpunt van de gereflecteerden van twee willekeurige verticaal invallende stralen. Wat valt U op? 4. Brandgebied van een parabolische spiegel. We willen onderzoeken of er bij een scheef invallende lichtbundel op een parabolische spiegel ook sprake van een brandpunt is. De spiegel wordt beschreven door de parabool y = x 2 op het interval [ 6 1 3, 1 6 3]. De lichtstralen vallen schuin van rechtsboven in en maken een hoek π met de verticaal (de y-as). Aanwijzing: Bereken de gereflecteerde stralen die 6 de spiegel treffen in, respectievelijk, de punten (0, 0) en ( 6 1 3, 1 ) en bepaal hun snijpunt. 12 Kies nog een geschikte derde straal en kijk waar die de vorige twee snijdt. Is hier ook sprake van een brandpunt? Poog een cirkelschijfje aan te geven waarbinnen de gereflecteerde stralen snijden. WEEK 3: Toepassingen van goniometrische formules 1. Behandel opgave 2 van WEEK 2 onder gebruikmaking van een formule voor tan(x + y). Veronderstel dat de spiegel langs de rechte y = Ax ligt en dat de invallende lichtstraal beschreven wordt door (de helft van) de rechte y = Bx + b. 2. Amplitudemodulatie Een amplitudegemoduleerd signaal wordt wiskundig beschreven door een functie t A(t) sin(ωt). Hierin is de cirkelfrequentie Ω een groot getal, 100 Mhz, bijvoorbeeld. Voorts is A(t) een langzaam variërende amplitude, een audiosignaal bijvoorbeeld. Voor dit audiosignaal neem wij een fluittoon. We komen dan uit op de functie t ( B +b sin(ωt) ) sin(ωt), met B en b constante getallen. Splits de laatstgenoemde functie in 3 termen: De draaggolf + twee nevenfrequenties. 3. Het 3-phasen energienet. We rekenen wat aan het wisselstroom energienet. 2

3 a) Vind getallen A en B zodat bij vast gekozen a en voor alle x geldt sin(x + a) sin(x) = A cos(x + B). b) Electrische energie wordt aan huis afgeleverd via een drie-phasen net: Een nuldraad (0) en drie phasedraden (1, 2, en 3). De wisselspanning tussen de nuldraad en de drie phasedraden wordt respectievelijk gegeven door V 01 (t) = A sin(ωt), V 02 (t) = A sin(ωt + 2π 3 ), V 03 (t) = A sin(ωt + 4π 3 ). Hierin is de amplitude A = 220Volt, ω = 2π50 Hz. De phaseverschuiving is dus telkens 120. Bereken de amplitude B en de phase φ van de wisselspanning tussen de 1e en de 2e phasedraad: V 12 (t) = V 02 (t) V 01 (t) = B sin(ωt + φ). c) Bereken de amplitude B ook numeriek. Komt dit getal U bekend voor? 4. Niet-lineaire Versterkers. Een eenvoudig model voor een (niet-lineaire) versterker. De werking van een versterker beschrijven we, eenvoudigweg, met behulp van een vast gekozen functie F ( ) : IR IR. Als het ingangssignaal beschreven wordt door de functie t x(t), dan is het uitgangssignaal t y(t) = F ( x(t) ). Wij nemen, als speciaal geval, een sinusvormig ingangssignaal x(t) = a + b sin(ωt). Hier is a het instelpunt, ω is een vast gekozen cirkelfrequentie en b is de amplitude. a) Neem F (x) = Ax + B, een lineaire versterker. Bereken het uitgangssignaal en de versterkingsfactor van de amplitude. b) Neem vervolgens F (x) = Cx 2, een niet-lineaire versterker. Bereken het uitgangssignaal. Bereken de versterking van de grondtoon (frequentie ω) en merk op dat het instelpunt nu een grote rol speelt. Door het niet-lineair zijn van F wordt er een boventoon geproduceerd met een frequentie groter dan ω (niet-lineaire vervorming). Bereken de amplitude en de frequentie van deze boventoon. c) Verzin zelf een functie F zodat meerdere boventonen geproduceerd worden. WEEK 4: Physische toepassingen van het limietbegrip De physische concepten (momentane) snelheid en (momentane) versnelling worden gedefiniëerd via het wiskundige begrip afgeleide. Een afgeleide is, op zijn beurt, een bijzonder soort limiet. De opgaven van deze week moeten alle details van dit procedé zichtbaar maken. 3

4 We maken, ondermeer, gebruik van het binomium: (x + a) n = x n + nx n 1 a + 1n(n 2 1)xn 2 a 2 + 1n(n 1)(n 6 2)xn 3 a a n, } {{ } n+1 termen hierin is n IN, x IR en a IR. 1. Schrijf het binomium uit voor n = 2, 3, Gemiddelde Snelheid. Veronderstel dat de positie ten tijde t op de x-as van een massapunt P beschreven wordt door de functie t x(t). De gemiddelde snelheid van P op het tijdsinterval [t h, t + h] wordt gegeven door x(t + h) x(t h) v gem, h (t) = a) Neem x(t) = t 3, bereken v gem, h (t) en vereenvoudig de verkregen uitdrukking zoveel als mogelijk is. b) Laat vervolgens in de verkregen uitdrukking h naar 0 naderen. De verkregen functie is de (momentane) snelheid v(t) ten tijde t. Herkent U de verkregen uitdrukking voor lim h 0 v gem, h (t)? c) Beantwoord de vragen a) en b) ook voor het geval x(t) = 1 t 3. d) Idem voor x(t) = At n, met A IR en n IN beide vast gekozen. e) Idem voor x(t) = Bt m, met B IR en m IN beide vast gekozen. 3. Gemiddelde Versnelling. We definiëren een gemiddelde versnelling van het massapunt P op het interval [t h, t + h] door a gem, h (t) = v gem, h(t + h) v gem, h (t h) = x(t+) x(t) x(t) x(t ) a) Neem x(t) = t 3, bereken a gem, h (t) en vereenvoudig de verkregen uitdrukking zoveel als mogelijk is. b) Laat vervolgens in de verkregen uitdrukking h naar 0 naderen. De verkregen functie is de (momentane) versnelling a(t) ten tijde t. Herkent U de verkregen uitdrukking voor lim h 0 a gem, h (t)? v(t+h) v(t) c) Ga na dat ook a(t) = lim h 0, met v(t) uit 2b). h d) Beantwoord de vragen a), b) en c) ook voor het geval x(t) = 1. t 3 e) Idem voor x(t) = At n, met A IR en n IN beide vast gekozen. f) Idem voor x(t) = Bt m, met B IR en m IN beide vast gekozen.. 4

5 WEEK 5: De regels van Leibniz en de kettingregel in de physica De physische concepten (momentane) snelheid en (momentane) versnelling komen nogmaals ter sprake. Bij onderstaande problemen mag/moet U gebruik maken van de sin(ξ) standaardlimiet : lim = 1. ξ 0 ξ 1. We beschouwen een massapunt P dat een harmonische trilling uitvoert: De positie x(t) ten tijde t op de x-as wordt beschreven door de functie t x(t) = 5 sin(7t). a) Schrijf een uitdrukking op voor de gemiddelde snelheid van P op de, respectievelijke, tijdsintervallen [ h, h], [ h, ] en [T, T + h]. Hierin zijn h > 0 en T willekeurige getallen (tijdstippen). b) Vereenvoudig de onder a) verkregen uitdrukkingen en neem de limiet voor h 0. U vindt dan telkens een (momentane) snelheid v(t) op de tijdstippen t = 0, dan wel t = T. Wat zijn uw conclusies? 2. We nemen vervolgens x(t) = 5t cos(7t), een trilling waarvan de amplitude aanzwelt. a) Schrijf een uitdrukking op voor de gemiddelde snelheid op de tijdsintervallen [h, 3h] en [T h, T ]. b) Vereenvoudig de onder a) verkregen uitdrukkingen en neem, teneinde uitdrukkingen voor momentane snelheden te vinden de limiet voor h 0. Wat zijn uw conclusies? 3. We nemen vervolgens x(t) = 5 sin(7t 2 ), een trillende beweging waarvan de amplitude gelijk blijft, maar die steeds heftiger wordt. a) Schrijf een uitdrukking op voor de gemiddelde snelheid op de tijdsintervallen [0, h], [ h, h] en [T, T + h]. b) Vereenvoudig de onder a) verkregen uitdrukkingen en vind momentane snelheden ten tijde t = 0 en t = T door de limiet voor h 0 te nemen. Wat zijn uw conclusies? 4. We keren terug naar geval 1. Neem dus x(t) = 5 sin(7t). a) bereken de gemiddelde versnelling van het massapunt P op het interval [t h, t + h] door a gem, h (t) = v x(t+) x(t) gem, h(t + h) v gem, h (t h) x(t) x(t ) =. b) Vereenvoudig de verkregen uitdrukking zoveel als mogelijk is en laat vervolgens in de verkregen uitdrukking h naar 0 naderen. De verkregen functie beschrijft de (momentane) versnelling a(t) ten tijde t. Herkent U de verkregen uitdrukking voor lim h 0 a gem, h (t)? v(t+h) v(t) c) Ga na dat ook a(t) = lim h 0, met v(t) uit 1b). h 5

6 WEEK 6 en 7: Impliciet Differentëren en Kinematica 1. Beweging langs een cirkel. Een (massa)punt P beweegt langs de cirkelomtrek x 2 +y 2 = R 2 in het xy-vlak. De straal R van de cirkel is een gegeven constante. De beweging van P wordt beschreven met functies t X(t) en t Y (t). Hier staat t voor de tijd. Er wordt (natuurlijk!) voldaan aan de relatie X 2 (t) + Y 2 (t) = R 2, op alle tijdstippen t. De 1e en 2e afgeleiden van de functies X en Y noteren we, zoals in de mechanica gebruikelijk is, met Ẋ, Ẏ, Ẍ en Ÿ. Deze grootheden betreffen de snelheid, respectievelijk versnelling, in de x-richting en de y-richting. a) Vind, door differentiëren, een verband tussen X, Y, Ẋ, Ẏ. b) Vind, door verder differentiëren, een verband tussen X, Y, Ẋ, Ẏ, Ẍ, Ÿ. c) Controleer de bij a) en b) gevonden relaties aan de hand van de concrete keuze X(t) = R cos(7t), Y (t) = R sin(7t). Dit is een eenparige cirkelbeweging. Bereken voorts de grootte van de snelheid: v(t) = Ẋ2 (t) + Ẏ 2 (t), de tangentiële versnelling: dv(t) dt en de centripetale versnelling: v2 (t) op ieder tijdstip t. R d) Controleer de bij a) en b) gevonden relaties aan de hand van de concrete keuze X(t) = R cos(5t 2 ), Y (t) = R sin(5t 2 ). Dit betreft een eenparig versnelde cirkelbeweging. Bereken ook de overige, onder c) genoemde, grootheden. e) De grootte van de totale versnelling wordt gegeven door a(t) = Ẍ2 (t) + Ÿ 2 (t). Laat zien dat in bovenstaande gevallen geldt: a 2 (t) = ( dv(t) ) 2 +( v2 (t) dt R )2. Waarom volgt hieruit dat de tangentiële versnellingsvector en de centripetale versnellingsvector loodrecht op elkaar staan? f) Het onder e) doorgevoerde programma werkt ook voor de algemene cirkelbeweging. Ga dit na! Dit kan met de boven gevonden relaties. Een mogelijk, en eenvoudiger, alternatief is: Beschrijf de algemene cirkelbeweging via X(t) = R cos(α(t)) en Y (t) = R sin(α(t)), met t α(t) een willekeurige gladde functie. 2. De perkenwet van Kepler. Een massapunt ( komeet ) Q beschrijft een paraboolbaan, gegeven door y = x2 a. Hierin 4a is a > 0 een constante. Merk op dat de beschrijving van de paraboolbaan zodanig gekozen is dat het brandpunt van de parabool in de oorsprong ligt. De beweging van Q wordt beschreven met functies t X(t) en t Y (t). Hier staat t voor de tijd. Voor elk tijdstip t is (X(t), Y (t)) een punt op de parabool. a) Geef op elk tijdstip t twee verbanden tussen X, Y, Ẋ, Ẏ, Ẍ, Ÿ. b) We gaan ervan uit dat tijdens de beweging het impulsmoment behouden blijft. Meetkundig betekent dit dat het lijnsegment dat de oorsprong met Q verbindt (= de voerstraal) 6

7 gedurende gelijke tijdsintervallen gelijke oppervlakken veegt. In wiskundige notatie : XẎ Y Ẋ = L = Constant. Geef een uitdrukking voor de snelheden Ẋ en Ẏ als functie van X en Y. In de te vinden uitdrukking zullen ook de constanten a en L figureren. c) Veronderstel X(0) = 0. Vind t als functie van x gedurende de beweging. d) Laat met (impliciet) differentiëren zien dat Ÿ Ẍ = Y. Overtuig U ervan dat dit betekent X dat, op elk punt van de baankromme, de versnellingsvector naar de oorsprong toe, of juist van de oorsprong af, wijst. e) Bereken Ẍ en Ÿ, elk afzonderlijk, als functies van X en Y. f) Bereken de grootte van de versnelling Ẍ2 + Ÿ 2 als functie van X en Y op elk tijdstip t. Blijkbaar geldt Ẍ2 + Ÿ 1 2 = c X 2 + Y. 2 Bereken c. Die hangt blijkbaar alleen af van a en L. Blijkbaar is de grootte van de uitgeoefende kracht omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand tot het brandpunt. Aanwijzing: Het is comfortabel eerst een eenvoudige uitdrukking te vinden voor de afstand tussen de oorsprong en een punt op onze parabool. Opm 1: De constante c is, practisch, vaak het product van twee massa s en de gravitatieconstante. Dus op voorhand gegeven. Dit betekent dat je L en a niet los van elkaar kunt kiezen. Opm 2: Bovenstaande beschouwingen kunnen ook gehouden worden met parabolen en hyperbolen. De Perkenwet van Kepler, modern gezegd het constant zijn van L, was ten tijde van Newton bekend uit astronomische waarnemingen. Newton leidde daar, als eerste, zijn gravitatiewet uit af. 3. Gedwongen trilling van een vrij deeltje De positie (als functie van de tijd) op de x-as van een massapunt met massa m, onder invloed van een voorgeschreven kracht F, wordt beschreven door m d2 x(t) d t 2 = F (t). a) Neem F (t) = sin(ωt) met ω een constante. Neem voor de beginpositie x(0) = x 0 en voor de beginsnelheid ẋ(0) = v 0. Bereken de positie x(t) voor alle tijdstippen t door F twee maal te primitiveren en geschikte integratieconstanten te kiezen. b) Voer dezelfde opdracht uit voor F (t) = e at, met a > 0 een constante. Bereken ook de limietsnelheid van het deeltje als t. 7

8 WEEK 8: Functies Toepassingen van Cyclometrische en Hyperbolische 1. De kettinglijn (Catenoïde). We beschouwen een vrij hangende homogene ketting die slechts onder invloed van zijn eigen gewicht verkeert. We pogen de vorm die de ketting aanneemt te beschrijven met behulp van de grafiek van een gladde functie F : I IR : x F (x), hier is I = [a, b] een geschikt gekozen interval op de x-as. De y-as wordt verticaal verondersteld. Het gewicht per lengte-eenheid van de ketting noteren we met σ. De trekkracht ter plekke (x, F (x)) in de ketting, dus loodrecht boven het punt x, noteren we met S(x). De hoek die de raaklijn aan de ketting ter plekke (x, F (x)) maakt met de horizontaal noteren we met α(x). Behalve de functie F hebben we dus ook nog de functies S : I IR en α : I IR. a) Maak een schets en geef, per x, het verband tussen F (x) en α(x). Schrijf α als iets met F. b) Beschouw een piepklein stukje van de ketting boven het interval [x, x + h]. Dit stukje ketting verkeert in evenwicht. Ontbind de respectievelijke krachten S(x) en S(x + h) op de eindpunten in horizontale en verticale componenten. In de te vinden uitdrukkingen speelt de waarde van α ter plekke van de eindpunten een rol. c) Het beschouwde stukje ketting verkeert in evenwicht. Deel de som van de horizontaal werkende krachten door h en neem de limiet h 0. Waarom komt U tot de conclusie dat S(x) cos ( α(x) ) = C, met C een, vooralsnog, onbekende constante? d) Bereken het gewicht van het beschouwde stukje ketting onder de aanname dat h zo klein is dat de grafiek van F, nabij (x, F (x)), best wel beschreven mag worden door de raaklijn ter plekke. Druk dit gewicht uit in σ, h en α. e) Ook de som van de verticaal werkende krachten is 0. Dit betreft de krachten die op de eindpunten werken + het gewicht van het stukje ketting. Deel ook deze som door h en neem de lim h 0. f) Laat zien dat c), d) en e) te combineren zijn tot met als gevolg d d x arcsinh{tan ( α(x) ) } = σ C, F (x) = C σ cosh{ σ x + D} + E. (1) C Hierin zijn C, D en E onbekende constanten, vooralsnog. Genoemde drie constanten worden vast gelegd door de positie van de ophangpunten (a, F (a)) en (b, F (b)) en door de totale lengte L van de ketting. Ook daar gaan we wat aan rekenen. g) Kies a = A en b = A, met A > 0 en F ( A) = F (A) = 0. Beredeneer dat D = 0 en druk de constante E uit in de constanten A en C. (Het soortelijk gewicht σ van de ketting is van te voren gegeven!) h) Poog tenslotte de waarde van C uit de gegeven lengte L van de ketting te vinden. 8

9 Daartoe hebt U de volgende formule nodig ter bepaling van de lengte van een kromme: A L = 1 + { df d x }2 dx. (2) A Deze vergelijking is niet expliciet op te lossen. Ga wel na voor welke gegeven L er een C gevonden kan worden die voldoet. Aanwijzing: Maak een ruwe schets van de functie x sinh x x. i) Bereken bij gegeven C de trekspanning S(x) in elk punt van de ketting. j) Kies de ophangpunten willekeurig en schrijf de vergelijkingen op voor de drie constanten C, D en E. WEEK 9: Toepassingen van Lineaire 2e orde GDV met constante coëfficiënten. 1. Vrij vallend massapunt met visceuze wrijving Kies een positieve x-as die naar het middelpunt van de aarde wijst. Een vrij vallend voorwerp onder invloed van visceuze wrijving (denk aan man aan parachute of regendruppel ) wordt beschreven door de gewone differentiaalvergelijking mẍ = κẋ + mg. Hierin is m de massa, κ de visceuze wrijvingscoëfficiënt en g de versnelling van de zwaartekracht. a) Vind de algemene oplossing van de homogene vergelijking. b) Vind één particuliere oplossing. c) Vind de beweging t x(t) als de beginpositie x(0) = 0 en de beginsnelheid ẋ(0) = v 0 gegeven zijn. d) Bereken de limietsnelheid lim t ẋ(t). e) Bereken het hoogste punt van het deeltje als v 0 < 0 genomen wordt. 3. Gedwongen trilling van een vrij deeltje De positie (als functie van de tijd) op de x-as van een massapunt met massa m, onder invloed van een voorgeschreven kracht F, wordt beschreven door m d2 x(t) = F (t). d t 2 a) Neem F (t) = sin(ωt) met ω een constante. Neem voor de beginpositie x(0) = x 0 en voor de beginsnelheid ẋ(0) = v 0. Bereken de positie x(t) voor alle tijdstippen t door F twee maal te primitiveren en geschikte integratieconstanten te kiezen. b) Voer dezelfde opdracht uit voor F (t) = e at, met a > 0 een constante. Bereken ook de limietsnelheid van het deeltje als t. 9

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm college 3: differentiaalvergelijkingen Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we y = y (t) of y (1) = y (1) (t) voor de afgeleide dy dt, en y = y (t) of y (2) = y (2) (t) voor de tweede afgeleide

Nadere informatie

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk 11. Daar worden deze begrippen echter

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3

Nadere informatie

BIOFYSICA: WERKZITTING 1 (Oplossingen) KINEMATICA

BIOFYSICA: WERKZITTING 1 (Oplossingen) KINEMATICA 1ste Kandidatuur ARTS of TANDARTS Academiejaar 00-003 Oefening 1 BIOFYSICA: WERKZITTING 1 (Oplossingen) KINEMATICA Kan de bewegingsrichting van een voorwerp, dat een rechte baan beschrijft, veranderen

Nadere informatie

2012 I Onafhankelijk van a

2012 I Onafhankelijk van a 0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Eenheidscirkel In de figuur hiernaast

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 015 tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 17 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback IJkingstoets juni 4 - reeks - p. / Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op juni 4: algemene feedback In totaal namen studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel ingenieur

Nadere informatie

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking

Nadere informatie

Ijkingstoets 4 juli 2012

Ijkingstoets 4 juli 2012 Ijkingtoets 4 juli 2012 -vragenreeks 1 1 Ijkingstoets 4 juli 2012 Oefening 1 In de apotheek bezorgt de apotheker zijn assistent op verschillende tijdstippen van de dag een voorschrift voor een te bereiden

Nadere informatie

BIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing

BIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing 1 ste jaar Bachelor BIOMEDISCHE WETENSCHAPPEN Academiejaar 006-007 BIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing 1 Opgave 1 Een blokje met massa 0, kg heeft onder aan een vlakke helling een snelheid van 7,

Nadere informatie

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 4 juni 2010. Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 4 juni 2010. Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine EUROPEES BACCALAUREAAT 2010 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 4 juni 2010 DUUR VAN HET EXAMEN : 4 uur (240 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen I : separabele en lineaire 1ste orde DV

Differentiaalvergelijkingen I : separabele en lineaire 1ste orde DV WISKUNDIGE ANALYSE OEFENZITTING 0 c D. Keppens 2004 Differentiaalvergelijkingen I : separabele en lineaire ste orde DV Onderwerp : separabele differentiaalvergelijkingen van de eerste orde en vergelijkingen

Nadere informatie

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen 1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING Veel fysische systemen, van groot tot klein, mechanisch en elektrisch, kunnen trillingen uitvoeren. Daarom is in de natuurkunde het bestuderen van trillingen van groot

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2009 - I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2009 - I en benadering van een nulpunt Voor elke positieve startwaarde 0 is een rij 0,, 2, gegeven door de volgende recursievergelijking: n+ = 2 n +. n Deze recursievergelijking kunnen we ook schrijven als n+ =

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Analyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville.

Analyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville. Academiejaar 006-007 1ste semester februari 007 Analyse I 1. Toon aan dat elke begrensde rij een convergente deelrij heeft. Geef de definitie van een Cauchy rij, en toon aan dat elke Cauchy rij begrensd

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

7. Hamiltoniaanse systemen

7. Hamiltoniaanse systemen 7. Hamiltoniaanse systemen In de moleculaire dynamica, maar ook in andere gebieden zoals de hemelmechanica of klassieke mechanica, worden oplossingen gezocht van het Hamiltoniaanse systeem van differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel

Nadere informatie

13.1 De tweede afgeleide [1]

13.1 De tweede afgeleide [1] 13.1 De tweede afgeleide [1] De functie is afnemend dalend tot het lokale minimum; Vanaf het lokale minimum tot punt A is de functie toenemend stijgend; Vanaf punt A tot het lokale maimum is de functie

Nadere informatie

KINEMATICA 1 KINEMATICA

KINEMATICA 1 KINEMATICA KINEMATICA 1 KINEMATICA 1 Inleidende begrippen 1.1 Rust en beweging van een punt 1.1.1 Toestand van beweging 1 Inleidende begrippen Een punt is in beweging ten opzichte van een referentiepunt wanneer

Nadere informatie

a. Bepaal hoeveel langer. b. Bepaal met figuur 1 de snelheid waarmee de parachutist neerkomt.

a. Bepaal hoeveel langer. b. Bepaal met figuur 1 de snelheid waarmee de parachutist neerkomt. Deze examentoets en uitwerkingen vind je op www.agtijmensen.nl Bij het et krijg je in 100 minuten ongeveer 22 vragen Et3 stof vwo6 volgens het PTA: Onderwerpen uit samengevat: Rechtlijnige beweging Kracht

Nadere informatie

5.1 Lineaire formules [1]

5.1 Lineaire formules [1] 5.1 Lineaire formules [1] Voorbeeld : Teken de grafiek van y = 1½x - 3 Stap 1: Maak een tabel met twee coördinaten van deze lijn: x 0 2 y -3 0 Stap 2: Teken de twee punten en de grafiek: 1 5.1 Lineaire

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Uitwerkingen Tentamen Natuurkunde-1

Uitwerkingen Tentamen Natuurkunde-1 Uitwerkingen Tentamen Natuurkunde-1 5 november 2015 Patrick Baesjou Vraag 1 [17]: a. Voor de veerconstante moeten we de hoekfrequentie ω weten. Die wordt gegeven door: ω = 2π f ( = 62.8 s 1 ) Vervolgens

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Programmeren en Wetenschappelijk Rekenen in Python. Wi1205AE I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 6 mei 2014

Programmeren en Wetenschappelijk Rekenen in Python. Wi1205AE I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 6 mei 2014 Programmeren en Wetenschappelijk Rekenen in Python Wi1205AE, 6 mei 2014 Bijeenkomst 5 Onderwerpen Het maken van een model Numerieke integratie Grafische weergave 6 mei 2014 1 Voorbeeld: sprong van een

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

Een kogel die van een helling afrolt, ondervindt een constante versnelling. Deze versnelling kan berekend worden met de formule:

Een kogel die van een helling afrolt, ondervindt een constante versnelling. Deze versnelling kan berekend worden met de formule: Voorbeeldmeetrapport (eenparig versnelde beweging stopwatch en meetlat) Eenparig versnelde beweging stopwatch en meetlat. Doel van de proef Een kogel die van een helling afrolt, voert een eenparig versnelde

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Grafieken van functies en krommen (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Grafieken van functies en krommen (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 8 Grafieken van functies en krommen (versie 4 augustus 8) Grafieken van functies en krommen Inleiding In deze module bestuderen we grafieken van functies van reële

Nadere informatie

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

1 Analytische meetkunde

1 Analytische meetkunde Domein Meetkunde havo B 1 Analytische meetkunde Inhoud 1.1. Coördinaten in het vlak 1.2. Vergelijkingen van lijnen 1.3. Vergelijkingen van cirkels 1.4. Snijden 1.5. Overzicht In opdracht van: Commissie

Nadere informatie

6. Goniometrische functies.

6. Goniometrische functies. Uitwerkingen R-vragen hodstuk 6 6. Goniometrische functies. R1 Wat heeft een cirkelomwenteling te maken met een sinus cosinus? ls een punt met constante snelheid een cirkelbeweging uitvoert en je zet hoogte

Nadere informatie

1 Analytische meetkunde

1 Analytische meetkunde Domein Meetkunde havo B Analytische meetkunde Inhoud.. Coördinaten in het vlak.. Vergelijkingen van lijnen.3. Vergelijkingen van cirkels.4. Snijden.5. Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst Wiskunde

Nadere informatie

Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten

Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten 1 Differentiaalvergelijkingen Als we een functie y : t y(t) expliciet, in formulevorm, kennen, dan is het niet zo moeilijk hiervan de afgeleide

Nadere informatie

Theory Dutch (Netherlands) Lees eerst de algemene instructies uit de aparte enveloppe voordat je begint met deze opgave.

Theory Dutch (Netherlands) Lees eerst de algemene instructies uit de aparte enveloppe voordat je begint met deze opgave. Q1-1 Twee problemen uit de Mechanica (10 punten) Lees eerst de algemene instructies uit de aparte enveloppe voordat je begint met deze opgave. Deel A. De verborgen schijf (3.5 punten) We beschouwen een

Nadere informatie

Controle: Bekijk nu of aan het evenwicht wordt voldaan voor het deel BC, daarvoor zijn immers alle scharnierkracten bekend

Controle: Bekijk nu of aan het evenwicht wordt voldaan voor het deel BC, daarvoor zijn immers alle scharnierkracten bekend Hints/procedures voor het examen 4Q130 dd 25-11-99 ( Aan het einde van dit document staan antwoorden) Opgave 1 Beschouwing vooraf: De constructie bestaat uit twee delen; elk deel afzonderlijk vrijgemaakt

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Grootheid: eigenschap die je kunt meten (met een meetinstrument) Eenheid: maat waarin de grootheid wordt uitgedrukt

Grootheid: eigenschap die je kunt meten (met een meetinstrument) Eenheid: maat waarin de grootheid wordt uitgedrukt 1.3 Grootheden en eenheden Grootheid: eigenschap die je kunt meten (met een meetinstrument) Eenheid: maat waarin de grootheid wordt uitgedrukt BINAS : BINAS 3A: BINAS 4: vermenigvuldigingsfactoren basisgrootheden

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

Relativiteitstheorie met de computer

Relativiteitstheorie met de computer Relativiteitstheorie met de computer Jan Mooij Mendelcollege Haarlem Met een serie eenvoudige grafiekjes wordt de (speciale) relativiteitstheorie verduidelijkt. In vijf stappen naar de tweelingparadox!

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 5 september 204 - reeks 4 - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 204: algemene feedback In totaal namen 286 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) cursus 2011/2012

Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) cursus 2011/2012 Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) cursus 2011/2012 Inleiding In de cursus Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) wordt gebruikt het boek Calculus, Early T ranscendental F unctions, Robert T. Smith,

Nadere informatie

Oefening 1. Welke van de volgende functies is injectief? (E) f : N N N : (n, m) 7 2m+n. m n. Oefening 2

Oefening 1. Welke van de volgende functies is injectief? (E) f : N N N : (n, m) 7 2m+n. m n. Oefening 2 IJkingstoets 30 juni 04 - reeks - p. /5 Oefening Een functie f : A B : 7 f () van verzameling A naar verzameling B is injectief als voor alle, A geldt: als 6=, dan is f () 6= f (). Welke van de volgende

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-II

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-II Drinkbak In figuur staat een tekening van een drinkbak voor dieren. De bak bestaat uit drie delen: een rechthoekige, metalen plaat die gebogen is tot een symmetrische goot, een voorkant en een achterkant

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 23 Voorlopige versie 29 januari 23 Opgave a Schrijf f ) g) met g) 9 2. g) 9 2 ) /2, dus g ) 2 9 2 ) /2 2 Dit geeft

Nadere informatie

Een symmetrische gebroken functie

Een symmetrische gebroken functie Een symmetrische gebroken functie De functie f is gegeven door f( x) e x. 3p Bereken exact voor welke waarden van x geldt: f( x). 00 F( x) xln( e x) is een primitieve van f( x) e x. 4p Toon dit aan. Het

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Formules en grafieken. 1.1 Lineaire verbanden

Hoofdstuk 1: Formules en grafieken. 1.1 Lineaire verbanden Hoofdstuk : Formules en grafieken.. Lineaire verbanden Opgave : in 0 minuten daalt het water 40 cm, dus 4 cm per minuut dus na minuut geldt: h 40 4 6 cm en na minuten geldt: h 40 4 cm b. formule II Opgave

Nadere informatie

BIOFYSICA: WERKZITTING 08 en 09 (Oplossingen) ELEKTRISCHE KRINGEN

BIOFYSICA: WERKZITTING 08 en 09 (Oplossingen) ELEKTRISCHE KRINGEN 1ste Kandidatuur ARTS of TANDARTS Academiejaar 2002-2003 Oefening 11 (p29) BIOFYSICA: WERKZITTING 08 en 09 (Oplossingen) ELEKTRISCHE KRINGEN Bereken de stromen in de verschillende takken van het netwerk

Nadere informatie

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2 Formulekrt VWO wiskunde B en B2 De Formulekrt Wiskunde hvo/vwo is gepubliceerd in Uitleg, Gele Ktern nr. 2, CEVO- 98/257. Deze versie vn de Formulekrt is die officiële versie. Vierkntsvergelijking Als

Nadere informatie

EXAMEN VOORBEREIDEND WETENSCHAPPELUK ONDERWIJS IN 1979 , I. Dit examen bestaat uit 4 opgaven. " '"of) r.. I r. ',' t, J I i I.

EXAMEN VOORBEREIDEND WETENSCHAPPELUK ONDERWIJS IN 1979 , I. Dit examen bestaat uit 4 opgaven.  'of) r.. I r. ',' t, J I i I. .o. EXAMEN VOORBEREDEND WETENSCHAPPELUK ONDERWJS N 1979 ' Vrijdag 8 juni, 9.00-12.00 uur NATUURKUNDE.,, Dit examen bestaat uit 4 opgaven ',", "t, ', ' " '"of) r.. r ',' t, J i.'" 'f 1 '.., o. 1 i Deze

Nadere informatie

Diagrammen Voor beide typen beweging moet je drie diagrammen kunnen tekenen, te weten een (s,t)-diagram, een (v,t)-diagram en een (a,t)-diagram.

Diagrammen Voor beide typen beweging moet je drie diagrammen kunnen tekenen, te weten een (s,t)-diagram, een (v,t)-diagram en een (a,t)-diagram. Inhoud... 2 Diagrammen... 3 Informatie uit diagrammen halen... 4 Formules... 7 Opgaven... 8 Opgave: Aventador LP 700-4 Roadster... 8 Opgave: Boeiing 747-400F op startbaan... 8 Opgave: Fietser voor stoplicht...

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 5 juni 2008 ( s morgens) Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 5 juni 2008 ( s morgens) Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine EUROPEES BACCALAUREAAT 2008 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 5 juni 2008 ( s morgens) DUUR VAN HET EXAMEN : 4 uur (240 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare,

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 19 juni 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

De twee schepen komen niet precies op hetzelfde moment in S aan.

De twee schepen komen niet precies op hetzelfde moment in S aan. Gevaar op zee Schepen die elkaar te dicht naderen worden gewaarschuwd door de kustwacht. Wanneer schepen niet op zo n waarschuwing hebben gereageerd, stelt de Inspectie Verkeer en Waterstaat een onderzoek

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2013: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2013: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september 203 - reeks - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 203: algemene feedback In totaal namen 245 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

Mechanica. Contents. Lennaert Huiszoon. November 14, 2010. 1 Inleiding 2

Mechanica. Contents. Lennaert Huiszoon. November 14, 2010. 1 Inleiding 2 Mechanica Lennaert Huiszoon November 14, 2010 Abstract Dit is een samenvatting van de stof voor het eerste schoolexamen Natuurkunde. De onderwerpen die behandeld worden zijn: beweging, krachten, energie

Nadere informatie

Klassieke Mechanica a (Tentamen 11 mei 2012) Uitwerkingen

Klassieke Mechanica a (Tentamen 11 mei 2012) Uitwerkingen Klassieke Mechanica a (Tentamen mei ) Uitwerkingen Opgave. (Beweging in een conservatief krachtenveld) a. Een kracht is conservatief als r F =. Dit blijkt na invullen: (r F) x = @F z =@y @F y =@z = =,

Nadere informatie

Theorie: Snelheid (Herhaling klas 2)

Theorie: Snelheid (Herhaling klas 2) Theorie: Snelheid (Herhaling klas 2) Snelheid en gemiddelde snelheid Met de grootheid snelheid geef je aan welke afstand een voorwerp in een bepaalde tijd aflegt. Over een langere periode is de snelheid

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II Pompen of... Een cilindervormig vat met een hoogte van 32 dm heeft een inhoud van 8000 liter (1 liter = 1 dm 3 ). figuur 1 4p 1 Bereken de diameter van het vat. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.

Nadere informatie

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, d.w.z. dv s van de vorm a 0 y + a 1 y + a

Nadere informatie

Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld

Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld Willem Elbers 5 april 013 Inleiding Het traditionele brachistochroonprobleem betreft de vraag welke weg een object onder invloed

Nadere informatie

De Afgeleide. ) = 2y. 2 = 4y = 4.(2x+1)

De Afgeleide. ) = 2y. 2 = 4y = 4.(2x+1) De Afgeleide DE AFGELEIDE FUNCTIE VAN EEN GEGEVEN FUNCTIE y = f(x) = u is een andere functie genoteerd met y' die uit f'(x) wordt verkregen door toepassing van enkele basisformules. Zo is (u n ) =n.u n-1.u,

Nadere informatie

vwo: Het maken van een natuurkunde-verslag vs 21062011

vwo: Het maken van een natuurkunde-verslag vs 21062011 Het maken van een verslag voor natuurkunde, vwo versie Deze tekst vind je op www.agtijmensen.nl: Een voorbeeld van een verslag Daar vind je ook een po of pws verslag dat wat uitgebreider is. Gebruik volledige

Nadere informatie

STUDIERICHTING:... NAAM:... NUMMER:... VOORNAAM:... SCHRIFTELIJKE OVERHORING VAN 23 JANUARI 2006 MECHANICA

STUDIERICHTING:... NAAM:... NUMMER:... VOORNAAM:... SCHRIFTELIJKE OVERHORING VAN 23 JANUARI 2006 MECHANICA FYSICA I J. DANCKAERT SCHRIFTELIJKE OVERHORING VAN 3 JANUARI 006 MECHANICA OPGEPAST - Deze schriftelijke overhoring bevat 3 verschillende soorten vragen : A) Meerkeuzevragen waarbij je de letter overeenstemmend

Nadere informatie

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 11 juni 2007 ( s morgens) Zakrekenmachine die niet grafisch en niet programmeerbaar is.

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 11 juni 2007 ( s morgens) Zakrekenmachine die niet grafisch en niet programmeerbaar is. EUROPEES BACCALAUREAAT 007 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 11 juni 007 ( s morgens) DUUR VAN HET EXAMEN : 4 uur (40 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Formuleboekje voor de Europese scholen. Zakrekenmachine

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 6 van een vectorveld collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 6 22 september 214 51 1 2 3 4 5 Gradiënt van een vectorveld 1 VA vandaag Section 16.2 Hoofdstu 4 Definitie Een vectorveld

Nadere informatie

8. Differentiaal- en integraalrekening

8. Differentiaal- en integraalrekening Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen HAVO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Vliegende parkieten Opgave 1. Het energieverbruik van de parkiet als deze vliegt met

Nadere informatie

Eindexamen natuurkunde 1-2 vwo 2007-I

Eindexamen natuurkunde 1-2 vwo 2007-I Opgave 5 Kanaalspringer Lees onderstaand artikel en bekijk figuur 5. Sprong over Het Kanaal Stuntman Felix Baumgartner is er als eerste mens in geslaagd om over Het Kanaal te springen. Hij heeft zich boven

Nadere informatie

college 2: partiële integratie

college 2: partiële integratie 39 college 2: partiële integratie Zoals de substitutieregel voor integratie de inverse van de kettingregel voor differentiatie genoemd zou kunnen worden, zo is partiële integratie de inverse van de productregel:

Nadere informatie

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB Deel 3 havo De hoeveelheid leerstof is gebaseerd op drie lesuren per week. Met drie lesuren is het in ieder geval mogelijk om de basisstof van tien hoofdstukken door te werken, eventueel met de verkorte

Nadere informatie

Topic: Fysica. Dr. Pieter Neyskens Monitoraat Wetenschappen pieter.neyskens@wet.kuleuven.be. Assistent: Erik Lambrechts

Topic: Fysica. Dr. Pieter Neyskens Monitoraat Wetenschappen pieter.neyskens@wet.kuleuven.be. Assistent: Erik Lambrechts Introductieweek Faculteit Bewegings- en Revalidatiewetenschappen 25 29 Augustus 2014 Topic: Fysica Dr. Pieter Neyskens Monitoraat Wetenschappen pieter.neyskens@wet.kuleuven.be Assistent: Erik Lambrechts

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 24 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 24 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 009 tijdvak woensdag 4 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B 1,2

Examen HAVO. wiskunde B 1,2 wiskunde 1, Examen HVO Hoger lgemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak Woensdag 1 juni 13.30 16.30 uur 0 06 Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen; het examen bestaat uit 18 vragen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: eerste ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 009-00: eerste ronde Hoeveel is 5 % van 5 % van? (A) 6 (C) 5 (D) 5 (E) 65 Wat is de ribbe van een kubus als zijn volume 5 is? (A) 5 5 (C) 5 (D) 5 (E) 5 De oplossingen van de

Nadere informatie

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x )

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x ) G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / spiegelen in de y -as y = sin( x f ( x = sin( x f ( x = sin( x heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. spiegelen in de y -as y = cos( x g(

Nadere informatie

Toegepaste mechanica 1. Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven

Toegepaste mechanica 1. Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven Toegepaste mechanica 1 Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven Academiejaar 29-21 Inhoudsopgave Vectorrekenen 5 Oefening 1.......................................

Nadere informatie

Eerste en derdegraadsfunctie

Eerste en derdegraadsfunctie Eerste en derdegraadsfunctie Gegeven zijn f (x) = (x 2 1)(x 1½) en g (x) = x + 1½ ; De grafieken van f en g snijden beide de y-as in A(0, 1½) en de x-as in B(1½, 0). De grafiek van g raakt in punt A aan

Nadere informatie

Voorbeeldopgaven Meetkunde voor B

Voorbeeldopgaven Meetkunde voor B Voorbeeldopgaven Meetkunde voor B Hoofdstuk 2: Opgave 2 1 Gegeven zijn de vlakken U : x + y + z = 0 en V : x y + az = 0 waarbij a een parameter is. a) Bereken de cosinus van de hoek tussen de twee vlakken

Nadere informatie

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein

Nadere informatie

De Wageningse Methode 5&6 VWO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk 2 Regels voor differentiëren

De Wageningse Methode 5&6 VWO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk 2 Regels voor differentiëren De Wageningse Methode &6 WO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk egels voor differentiëren Paragraaf Opnieuw sinus en inus a. -, 0, ; -, ; -, ; -, b. (,sin) (-0, ; 0,9), met de G Op dezelfde hoogte:,

Nadere informatie

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong Hoofdstuk 4 Verloop van functies Met DERIVE is het mogelijk om tal van eigenschappen van functies experimenteel te ontdekken. In een eerste paragraaf onderzoeken we het verband tussen de grafieken van

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

vergelijkingen 6.1 Systematisch onderzoek Inhoud P Q x Q Grafieken van functies en vergelijkingen Grafieken van functies 6-2 en vergelijkingen

vergelijkingen 6.1 Systematisch onderzoek Inhoud P Q x Q Grafieken van functies en vergelijkingen Grafieken van functies 6-2 en vergelijkingen Grafieken van functies en vergelijkingen Grafieken van functies 6-0 en vergelijkingen Grafieken van functies en vergelijkingen Inhoud 1. Sstematisch onderzoek van grafieken Conveiteit en uigpunten Asmptoten

Nadere informatie