Deel 1. Kinematica en dynamica

Transcriptie

1 Deel 1 Kinemaica en dynamica Ineracie_6._Lb.indb 5

2 1 Beweging 1.1 Inleiding Bovensaande woordenwolk beva begrippen die je vorige jaren in de lessen fysica zag. Om die begrippen op e frissen, gebruiken we ze bij he beschrijven van een srafschop. Terech of onerech een srafschop zorg voor heel wa emoies als de bal op de sip gelegd word, de juise posiie van de bal bij he nemen van een srafschop. De bal is nog even in rus wan de zwaarekrach en de normaalkrach compenseren elkaar zoda de resulerende krach nul is. Op he momen van de rap word gedurende een fracie van een seconde een conackrach op de bal uigeoefend en waardoor de bewegingsoesand van de bal verander: hij kom van rus in beweging en krijg snelheid. De riching, de zin en de grooe van de snelheid bepalen waar de bal zal erechkomen: snelheid is dan ook een vecor! Gelukkig is de bal geen punmassa wan noch de schuer, noch de keeper zouden er va op krijgen. De baan van de bal is nie rechlijnig, dus zeker nie Ineracie_6._Lb.indb 6 eenparig rechlijnig (ERB), maar kromlijnig: de riching van de snelheidsvecor buig af naar beneden door de zwaarekrach. Die krach is geen conackrach, maar een veldkrach. We laen de weersandskrach van de luch buien beschouwing, hoewel he die krach is die voor een effecbal kan zorgen! Als de riching van de snelheidsvecor verander, is er ook een snelheidsverandering. In een voldoende klein ijdsinerval is die vecor vericaal en naar beneden gerich, juis zoals de zwaarekrach. De resulerende krach op een syseem en de snelheidsverandering die he syseem daardoor krijg, zijn dus aan elkaar gekoppeld! Gelukkig hoef de voeballer da alles nie e ween! Een srafschop leg een groe druk op de speler die de penaly gaa nemen. Vanaf 11 meer de bal op doel schieen me een gemiddelde snelheid van meer dan 100 km/h beeken da de keeper slechs ongeveer 0,3 à 0,4 s heef om e reageren! De kans om een srafschop e soppen is dus miniem! Toch word ongeveer 1 op 4 srafschoppen gemis, wa ervoor zorg da elke srafschop spannend blijf!

3 7 Deze afbeelding illusreer ook da zien een acief proces is: zien word beïnvloed door wa je denk! To in de Middeleeuwen dach men zoals Arisoeles da een voorwerp maar in beweging kan blijven als er een krach op word uigeoefend. De baan van de kanonskogel op deze zesiendeeeuwse figuur illusreer di denken: de suwkrach doe de kogel volgens een reche baan voorbewegen o de suwkrach opgebruik is. Dan val de kogel rech naar beneden. K INE M ATICA E N DY NA M ICA He arikel gaa over krach en beweging. He besuderen en beschrijven van beweging is he domein van de kinemaica. He verband ussen krach en beweging word besudeerd in de dynamica. De publicaie van Newons Principia in 1686 beekende he einde van he arisoelische denken. In da werk publiceerde Newon drie ween die de basis vormen van de dynamica. Naure and Naure's laws lay hid in nigh; God said: 'Le Newon be!' and all was ligh. (Aleander Pope) Isaac Newon ( ) Ineracie_6._Lb.indb 7

4 8] Kinemaica en dynamica 1. Begrippen Ineracie_6._Lb.indb 8 7 Rus en beweging zijn relaief: je ben in rus en opziche van de aarde erwijl je deze eks lees, maar je beweeg me de aarde me een snelheid van 30 km/s rond de zon! We moeen een referenieselsel afspreken en opziche waarvan je beweging beschouw. We bekijken bewegingen en opziche van de aarde. 7 Als een voorwerp beweeg, verplaas he zich door de ruime. De baan is de verzameling punen die he voorwerp daarbij doorloop. Die baan kan bijzonder ingewikkeld zijn zoals de kromlijnige baan van een sunvlieguig of zeer eenvoudig zoals de reche baan van een auo op een snelweg. 7 In realiei is he dikwijls moeilijk e spreken van dé baan van hé voorwerp. Bekijk bijvoorbeeld een hoogspringer ijdens een sprong: de verschillende delen van he lichaam (hand, heup, voe ) volgen een verschillende en ingewikkelde baan! Daarom sellen we een voorwerp voor door een pun: we herleiden he voorwerp o een punmassa. Bij zo n punmassa kun je wel spreken van dé baan van he voorwerp.

5 9 1.3 Of voor een aanal posiies he ijdsip waarop he syseem daar passeer. De beweging van een syseem e beschrijven beeken enerzijds de baan vasleggen, anderzijds de beweging op die baan regisreren. Voor een kromlijnige beweging zoals van een sunvlieguig gebruiken we daarvoor een driedimensionaal assenselsel en moe je voor elk momen de posiie van he syseem (de -, yen z-coördinaa) vasleggen. In de prakijk is da onmogelijk voor elk momen en regisreer men de posiie voor een aanal ijdsippen. z y (s) (m) y (m) z (m) 0, , , , , , , , , K INE M ATICA E N DY NA M ICA Een beweging beschrijven De beweging van een syseem regisreren beeken voor elk ijdsip de posiie (, y, z) van he syseem bepalen. Regisreren van een beweging kan op verschillende manieren: me chronomeer en la: je bepaal voor een aanal posiies he ijdsip da he syseem daar passeer (of je bepaal voor een aanal ijdsippen de posiie op da ogenblik). Hoe meer meepunen, hoe nauwkeuriger de beweging beschreven is. Ineracie_6._Lb.indb (m) 0,00 4,15 7,58 11,19 (s)

6 10 ] Kinemaica en dynamica CSM Moion II je kun een video-opname maken van de beweging: worden er bv. 4 beeldjes per seconde opgenomen, dan kun je om de 1/4 s ( 0,04 s) de posiie van he syseem bepalen. Op deze manier kun je bv. de beweging van he hoofd van een dummy ijdens een crashes onderzoeken. je kun gebruik maken van een ikker : die ze bv. om de 0,0 s een sip op een srook die me he bewegend syseem verbonden is. De eerse sip kom overeen me 0 s, de weede me 0,0 s, de derde me 0,04 s Ui de posiie van de sip op de srook kun je de posiie van he syseem op da momen bepalen. je kun ook gebruik maken van een afsandssensor: daar word bv. om de 0,10 s een ulrasone puls uigezonden. Die word weerkaas op he syseem. Ui de ijd ussen verrek en aankoms van de gerefleceerde puls word de posiie van he syseem op da ogenblik bepaald. Me een pc of je grafisch rekenmachine kun je de resulaen verwerken. WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN: de geziene begrippen zoals rus, beweging, referenieselsel, baan, punmassa... omschrijven uileggen wa men versaa onder een beweging regisreren verschillende mehodes beschrijven om een beweging e regisreren Ineracie_6._Lb.indb 10

7 De rechlijnige beweging Tijdens een 100 m-sprin voer de alee een rechlijnige beweging ui. He beschrijven van zo n beweging is eenvoudig: - laa de -as samenvallen me de (reche) baan - kies een oorsprong (meesal he pun waar he voorwerp verrek) - kies de zin van de -as (meesal de zin waarin he voorwerp beweeg) - sar de chronomeer (meesal he momen waarop he voorwerp verrek of de oorsprong passeer) - noeer voor een aanal ijdsippen de posiie (-coördinaa) van he syseem of voor een aanal posiies he ijdsip waarop he syseem daar passeer. 0 Ineracie_6._Lb.indb (m )

8 1 ] Kinemaica en dynamica.1 Posiie en verplaasing De abel en de grafiek onen he resulaa van de regisraie van een rechlijnige beweging. (s) (m) 0,00 0,00 0,0 4,11 0,40 6,98 0,60 8,78 0,80 9,73 1,00 10,00 1,0 9,79 1,40 9,30 1,60 8,70 1,80 8,1,00 8,00,0 8,7,40 9,,60 11,0,80 13,89 3,00 18,00 0 (m) (s) 0,0 0,5 1,0 1,5,0,5 3,0 Soms kun je een beweging ook beschrijven me een ()-funcie. Die funcie noem men de bewegingsvergelijking. Bovensaande beweging word beschreven door de funcie 4,00 m/s3 3-18,0 m/s + 4,0 m/s Da klop me de abelwaarde. De posiie op een ogenblik is de -coördinaa van he syseem op da momen. Op he ogenblik 1,40 s is de posiie (1,40 s) 4,00 m/s3 (1,40 s)3-18,0 m/s (1,40 s) + 4,0 m/s 1,40 s 9,30 m De verplaasing in een ijdsinerval is de verandering van de posiie in da ijdsinerval: - 1 Le op: is de Eindposiie min de Beginposiie! Ineracie_6._Lb.indb 1 In he ijdsinerval [0,0 s ; 0,40 s] is de verplaasing gelijk aan 6,98 m - 4,11 m +,87 m In he ijdsinerval [1,00 s ; 1,0 s] is de verplaasing gelijk aan 9,79 m - 10,00 m - 0,1 m De eindposiie is groer dan de beginposiie: de verplaasing gebeur in de posiieve zin van de -as. De ()-grafiek is sijgend. De eindposiie is kleiner dan de beginposiie: de verplaasing gebeur in de negaieve zin van de -as. De ()-grafiek is dalend.

9 13 K INE M ATICA E N DY NA M ICA Opmerking: De afgelegde weg (symbool s) waarmee we meesal werken in he dagelijkse leven, is verschillend van de verplaasing! In he ijdsinerval [0 s ;,00 s] gaa he syseem van de posiie 0,00 m naar de posiie 10,00 m en gaa dan,00 m erug (naar de posiie 8,00 m). De afgelegde weg in da ijdsinerval is 10,00 m +,00 m 1,00 m. De verplaasing in da ijdsinerval is - 1 8,00 m - 0,00 m 8,00 m Een rechlijnige beweging van een syseem kun je beschrijven me een (,)-abel, een ()-grafiek of me de ()-funcie (bewegingsvergelijking). De posiie van he syseem op een ogenblik is de ()-waarde voor da ogenblik. De verplaasing van he syseem in een ijdsinerval is - 1 Als he syseem beweeg in de posiieve zin van de -as is posiief. Als he syseem beweeg in de negaieve zin van de -as is negaief.. Gemiddelde snelheid 70 km/u op rajecconrole: 10 jaar rijverbod km/uur: da Een gemiddelde snelheid van 70 jaar op de rahaalde S. B. in sepember vorig n. Me zijn jecconrole op de E40 in Weere a zelfs pieken Mercedes AMG zou de wegpira Giseren moes o 300 km/uur hebben gehaald. ond verschijhij voor poliierecher Peer D H ond was nie nen, maar hij daagde nie op. D H celsraf van 9 mals: hij gaf de wegpiraa een lang nie meer maanden. B. mag ook ien jaar e. Zijn auo rijden en krijg euro boe werd verbeurd verklaard. (s) bron: Bij rajecconrole regisreren camera s de ijdsduur die een auomobilis nodig heef om een bepaald rajec af e leggen. Daarui word de gemiddelde snelheid berekend door de lenge van he rajec e delen door die ijdsduur. Als die waarde hoger lig dan de oegesane snelheid, krijg je een boee. Ook op een fiescompuer kun je je gemiddelde snelheid aflezen: he oesel deel daarvoor de weg die je heb afgelegd door de ijdsduur die je daarvoor nodig had. In de fysica gebruiken we volgende definiie: + Ineracie_6._Lb.indb 13 DEFINITIE Δ 1 De gemiddelde snelheid v,g.o.v. de -as in he inerval is v,g 1 Snelheid word uigedruk in m/s.

10 14 ] Kinemaica en dynamica In de definiie gebruiken we nie de afgelegde weg s, maar de verplaasing! Daarui volg da de gemiddelde snelheid ook negaief kan zijn. Bekijk erug de abel me resulaen op pagina 1. Waarom is alijd posiief? Wiskundig gezien is - 40 m/s kleiner dan + 14 m/s, maar bij - 40 m/s beweeg he syseem sneller dan bij + 14 m/s. He eken van de snelheid heef e maken me de zin waarin he syseem beweeg. 7 In he ijdsinerval [0,0 s ; 0,40 s] is de gemiddelde snelheid v,g In he ijdsinerval [1,00 s ; 1,0 s] is de gemiddelde snelheid Δ 6,98 m 4,11 m + 14 m/s 0,40 s - 0,0 s De verplaasing gebeur in de posiieve zin van de -as: dan is en dus ook v,g posiief. De ()-grafiek is sijgend. v,g Δ 9,79 m - 10,00 m - 1,1 m/s 1,0 s -1,00 s De verplaasing gebeur in de negaieve zin van de -as: dan is en dus ook v,g negaief. De ()-grafiek is dalend. Grafische bepaling van de gemiddelde snelheid in een ijdsinerval: De gemiddelde snelheid in een ijdsinerval is v,g Δ an a Da is de helling van de lijn door begin- en eindpun (fig. a). Hoe seiler die lijn, hoe groer de gemiddelde snelheid in he inerval. Voor he ijdsinerval [0,0 s ; 0,40 s] is de lijn seiler dan voor he ijdsinerval [1,00 s ; 1,0 s]. De gemiddelde snelheid is he groos in he inerval [0,0 s ; 0,40 s]. (m) fig. a Ineracie_6._Lb.indb ,0 (s) 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 fig. b

11 15 (m) 0,00 0,0 0,40 0,60 0,80 1,00 1,0 1,40 1,60 1,80,00,0,40 0,00 4,11 6,98 8,78 9,73 10,00 9,79 9,30 8,70 8,1 8,00 8,7 9, midden (s) v,g (m) 0,10 0,30 0,50 0,70 0,90 1,10 1,30 1,50 1,70 1,90,10,30 Consrueren van de snelheidsgrafiek ui de (,)-abel: ,0 4,8 1,4-1,1 -,5-3,0 -,5-1,1 1,4 4,8 5 Ui de (,)-abel kun je he verloop van de snelheid van he syseem bepalen. Je moe daarvoor de gemiddelde snelheid voor de opeenvolgende (kleine) ijdsinervallen berekenen en die uizeen in de v,g()-grafiek. Op de horizonale as saan de verschillende ijdsinervallen, op de vericale as de gemiddelde snelheid in de ijdsinervallen. De gemiddelde snelheid ze je ui in he midden van he ijdsinerval. K INE M ATICA E N DY NA M ICA (s) v,g (m/s) ,10 0 0,10 Ineracie_6._Lb.indb 15 0,30 0,50 0,70 0,90 1,30 1,50 1,70 (s) 1,90,10,30,50

12 16 ] Kinemaica en dynamica.3 Ogenblikkelijke snelheid Naas de weg saa er soms een bord da auomobilisen aen maak op de snelheid waarmee ze op da ogenblik rijden. Da is de ogenblikkelijke snelheid. Een ogenblik is een oneindig kor ijdsinerval. Vandaar de definiie: + DEFINITIE De snelheid v.o.v. de -as op he ogenblik is: v() lim Da is de afgeleide van naar : v() 0 Δ d. d De v()-funcie is de snelheidsvergelijking. Om de snelheid in pun 1 e bepalen, laen we pun naderen o pun 1 (fig. a). Voorbeeld: (s) 1,00 0,50 0,0 0,10 0,05 0,01 Δ (m) 0,10 10,6 4,310,17 1,090 0,181 Δ / (m/s) 0,10 1,4 1,55 1,7 1,80 1,81 0s 0m v() 0,10 m ,00 s 1 1 fig. a fig. b Me de snelheid bedoelen we de ogenblikkelijke snelheid. In realiei kun je die snelheid nooi meen, omda je geen oneindig kleine verplaasingen of ijden kun meen. In de prakijk (bv. snelheidsbord) mee men de gemiddelde snelheid in een klein ijdsinerval. De snelheid is de helling van de raaklijn aan de ()-kromme (fig. b). Hoe seiler de kromme, hoe seiler de raaklijn en hoe groer de snelheid op da ogenblik. In ondersaande figuur is v(1) groer dan v(); de snelheid v(3) is 0. 1 Ineracie_6._Lb.indb

13 17 + als je de bewegingsvergelijking ken (de ()-funcie), kun je daarui de snelheidsvergelijking bepalen: d v() d Daarmee kun je dan de snelheid op gelijk welk momen berekenen. als de ()-grafiek gekend is, kun je de snelheid op he ogenblik grafisch bepalen als je beschik over een ()-abel me meeresulaen, Δ kun je de snelheid op ogenblik benaderend bepalen door de verhouding e berekenen voor een klein inerval rond da ijdsip. OEFENING K INE M ATICA E N DY NA M ICA Je kun de snelheid van een syseem op een ogenblik op verschillende manieren bepalen: Rekenen me de bewegingsvergelijking Voor de beweging van een syseem en opziche van de -as geld volgende bewegingsvergelijking: -1,0 m/s ,50 m/s - 4,00 m/s +,00 m a) b) c) d) e) f) Conroleer de eenheden Maak en inerpreeer de ()- en de v()-grafiek voor he inerval [0 s;,8 s] Bereken de gemiddelde snelheid v,g voor he inerval [1,00 s; 1,40 s] Bereken de snelheid voor he ogenblik 1,0 s Bereken de verplaasing voor he inerval [1,00 s;,00 s] Bereken de oppervlake onder de v()-kromme voor he inerval [1,00 s;,00 s] Oplossing: a) De bewegingsvergelijking is: - 1,0 Voor de eenheden geld: m s3 m s ,50 s ,5 1,0 1,5,0,5 m - 4,00 s m s - s m +,00 m s m s + m m s b) Nevensaande figuur geef de ()-grafiek. Daarui kun je he volgende afleiden: - he syseem beweeg o ongeveer 0,6 s in de negaieve zin van de -as en keer dan om - van 0,6 s o ongeveer,0 s beweeg he in de posiieve zin van de -as en keer dan om - vanaf,0 s beweeg he in de negaieve zin van de -as ()-grafiek Voor de snelheidsvergelijking vind je v() d d (- 1,0 m/s ,50 m/s - 4,00 m/s +,00 m) d d - 3,60 m/s3 + 9,00 m/s - 4,00 m/s Ineracie_6._Lb.indb 17

14 18 ] Kinemaica en dynamica De snelheid is - negaief van 0 o ongeveer 0,6 s - posiief van 0,6 o ongeveer,0 s - negaief vanaf,0 s v 0 0,00 0,50 1,00 1,50,00,50 3, Op he ogenblik,8 s beweeg he syseem sneller dan op he ogenblik 0 s: de (absolue waarde) van de snelheid is groer op,8 s. Da zie je ook op de ()-grafiek: de helling van de raaklijn aan de kromme is groer op,8 s dan op 0 s. -8 v()-grafiek c) De gemiddelde snelheid in he inerval [1,00 s; 1,40 s] is v,g Δ (1,40 s) - (1,00 s) 1,40 s - 1,00 s We berekenen de posiies van he syseem op die wee ijdsippen: (1,00 s) -1,0 m/s3 (1,00 s)3 + 4,50 m/s (1,00 s) - 4,00 m/s 1,00 s +,00 m 1,30 m Voor he ogenblik 1,40 s vind je: (1,40 s) 1,93 m De gemiddelde snelheid is v,g 1,93 m - 1,30 m 1,6 m/s 1,40 s - 1,00 s d) Me de snelheidsvergelijking v() - 3,60 m/s3 + 9,00 m/s - 4,00 m/s kun je de snelheid op he ogenblik 1, s berekenen: v (1, s) - 3,60 m/s3 (1, s) + 9,00 m/s 1, s - 4,00 m/s 1,6 m/s Als je deze waarde vergelijk me c), zie je da de snelheid op he ogenblik 1,0 s ongeveer gelijk is aan de gemiddelde snelheid in he (kleine) ijdsinerval [1,00 s; 1,40 s] da rond die waarde van 1,0 s lig. e) Op he ogenblik 1,00 s is de posiie (1,00 s) - 1,0 m/s3 (1,00 s)3 + 4,50 m/s (1,00 s) - 4,00 m/s (1,00 s) +,00 m 1,30 m Voor he ogenblik,00 s vind je: (,00 s),40 m De verplaasing in he inerval [1,00 s;,00 s] is: - 1,40 m - 1,30 m 1,10 m Ineracie_6._Lb.indb 18

15 19 + De oppervlake onder de v()-kromme ussen wee ijdsippen, is gelijk aan de verplaasing van he syseem.o.v. de -as ussen die wee ijdsippen. v K INE M ATICA E N DY NA M ICA f) Als je de oppervlake onder de v()-kromme bepaal voor he inerval [1,00 s;,00 s] (bv. me je grafisch rekenoesel) vind je de waarde 1,10 m. Da is gelijk aan hegeen je in e) vond voor de verplaasing in da ijdsinerval. 0,0 m/s 0,10 s Opmerking: De oppervlake van zo'n blokje word hier nie uigedruk in m, maar in m. Elk blokje heef immers een basis in seconden (bv. 0,10 s) en een hooge in m/s (bv. 0,0 m/s). De oppervlake van da blokje is 0,10 s 0,0 m/s 0,00 m. Ineracie_6._Lb.indb 19

16 0 ] Kinemaica en dynamica Snelheid berekenen me je grafisch rekenoesel. Als de bewegingsvergelijking gegeven is, kun je de gemiddelde snelheid, de ogenblikkelijke snelheid en de verplaasing ook grafisch berekenen. Voorbeeld: () 1,0 m/s3 3 4,50 m/s + 4,00 m/s +,00 m Voer de bewegingsvergelijking in, bv. als Y1 en maak de grafiek. Bepalen van de gemiddelde snelheid Druk Mah en kies Mah > nderive(y1, X,., 0.) Y1 is de funcievariabele die gebruik word voor de bewegingsvergelijking ( VARS > Y-VARS > Y1). X is de onafhankelijke variabele. He ijdsinerval waarvoor de gemiddelde snelheid berekend word, is [, 0, (s);, + 0, (s)]. Bepalen van de ogenblikkelijke snelheid Druk nd CALC en kies 6: De TI-83/84 Plus kan geen funcie afleiden en bereken de ogenblikkelijke snelheid dus nie me de v()-funcie zoals in de oefening. Om de snelheid op he ogenblik, s e bepalen, bereken de TI de gemiddelde snelheid in een ijdsinerval van 0,001 s rond da ijdsip me de insrucie nderive (Y1, X,., 0.001). dy. d Voer he ijdsip in waarvoor je de ogenblikkelijke snelheid wil kennen, bv.. (s). Bepalen van de oppervlake onder de v()-kromme Voer de snelheidsvergelijking v() 3,60 m/s3 9,00 m/s + 4,00 m/s in, bv. als Y en maak de grafiek. Druk nd CALC en kies 7: f()d. Voer de ijdsippen in waarussen je de oppervlake wil bepalen. Die ijdsippen moeen ussen Xmin en Xma liggen. Om de gearceerde oppervlake e wissen: druk nd DRAW en kies 1: ClrDraw. Ineracie_6._Lb.indb 0

17 1.4 Gemiddelde versnelling + DEFINITIE De gemiddelde versnelling a,g.o.v. de -as in he inerval is a,g "a" kom van he Laijnse acceleraio, wa versnelling beeken. De grooheid a noem men de versnelling, ook bij een verraagde beweging! K INE M ATICA E N DY NA M ICA Ason Marin is de favoriee wagen van James Bond 007. He nieuwse model, de V1 Vanage S gaa van 0 naar 100 km/h in 3,9 s. Als de snelheid van een syseem verander spreken we van versnelling. Als de grooe van de snelheid oeneem, versnel he syseem. Als de grooe van de snelheid afneem, verraag he syseem. Δv v v1 1 Versnelling word uigedruk in m/s. Ze geef weer me hoeveel m/s de snelheid oeneem of afneem per s. We onderzoeken nu he eken van de versnelling aan de hand van volgende voorbeelden: 10 s m/s 3 m/s He syseem versnel in posiieve zin: Δv v v1 1 3 m/s m/s 11 s 10 s -3 m/s - m/s He syseem versnel in negaieve zin: Ineracie_6._Lb.indb 1-1 m/s 10 s -1 m/s m/s Δv v v1 1 m/s 3 m/s 11 s 10 s 11 s Δv v v1 1-3 m/s (- m/s) 11 s 10 s 3 m/s a,g +1 m/s a,g 11 s He syseem verraag in posiieve zin: a,g Als he syseem in de negaieve zin van de -as beweeg, is v negaief! 10 s 11 s 11 s 10 s - m/s -3 m/s He syseem verraag in negaieve zin: Δv v v1 1 - m/s (-3 m/s) 11 s 10 s a,g +1 m/s 5/08/15 11:14

18 ] Kinemaica en dynamica Daarui blijk: + De gemiddelde versnelling a,g is posiief als he syseem versnel in posiieve zin van de -as of verraag in negaieve zin; negaief als he syseem versnel in negaieve zin van de -as of verraag in posiieve zin. Je kun de gemiddelde versnelling a,g in een ijdsinerval ook grafisch bepalen ui de v()-grafiek: a,g Δv an a De verhouding Δv /Δ is de helling van de lijn door he begin- en eindpun. Hoe seiler die lijn, hoe groer de gemiddelde versnelling in da ijdsinerval. v v 1 v1 1 - OEFENING Gemiddelde versnelling In 1973 vesigde Craig Breedlove me de Spiri of America op de zouvlake van Bonneville (VS) een nieuw record. In 4,654 s behaalde hij me zijn dragser een snelheid van 377,75 mph. Bereken zijn gemiddelde versnelling. Oplossing We rekenen eers de snelheid om naar m/s. 1 mile 1609 m 377,75 mph 377, m/3600 s 168,8 m/s ( 607,7 km/h) 1 0 m/s 168,8 m/s 4,654 s We kiezen de -as volgens de baan, de oorsprong in he verrekpun en de zin van de -as in de bewegingszin. De snelheid v is dan posiief: v +168,8 m/s De gemiddelde versnelling is a,g Δv v v ,8 m/s 0 m/s +36,7 m/s 4,654 s Elke seconde nam zijn snelheid oe me 36,7 m/s! De versnelling is posiief omda he syseem versnel in de posiieve zin van de -as. Ineracie_6._Lb.indb 5/08/15 11:14

19 3.5 Ogenblikkelijke versnelling + DEFINITIE K INE M ATICA E N DY NA M ICA De gemiddelde versnelling in een ijdsinerval zeg nies over de versnelling op een ogenblik in da inerval. Een ogenblik is een oneindig kor ijdsinerval. Vandaar de definiie: De versnelling a.o.v. de -as op he ogenblik is: a() lim 0 Δv Da is de afgeleide van v naar : a() dv d De a()-funcie is de versnellingsvergelijking. Me de versnelling bedoelen we de versnelling op een ogenblik, dus de ogenblikkelijke versnelling. De versnelling is de helling van de raaklijn aan de v()-kromme. Hoe seiler de v()-grafiek, hoe seiler de raaklijn en hoe groer de versnelling op da ogenblik. In ondersaande figuur is de versnelling op he ogenblik 3 (in absolue waarde!) groer dan op 1. Op ijdsip is de v()-grafiek horizonaal en is de versnelling a nul. v Je kun de versnelling van een syseem op een ogenblik op verschillende manieren bepalen: als je de snelheidsvergelijking ken (de v()-funcie), kun je de afgeleide berekenen; als de v()-grafiek gekend is, kun je de versnelling op da ogenblik grafisch bepalen; Δv als je beschik over een v()-abel me meeresulaen, kun je de versnelling benaderen door e bepalen voor een klein ijdsinerval rond da ijdsip. Ineracie_6._Lb.indb 3 5/08/15 11:14

20 4 ] Kinemaica en dynamica.6 De eenparig veranderlijke beweging v.6.1 Definiie 1 + DEFINITIE De snelheid van he verkeer op een snelweg is nie consan, maar verander voordurend. De grafiek oon een mogelijke v()-grafiek voor een wagen. In he ijdsinerval [1; ] verander de snelheid van de wagen volgens een reche (lineair). Da kan bv. he geval zijn bij een wagen die erug sneller gaa rijden na een zone me een snelheidsbeperking. Een syseem voer in he ijdsinerval [1; ] een eenparig veranderlijke beweging (EVB) ui langs de -as als de snelheid v lineair verander. De v()-grafiek is in da inerval dan een schuine reche..6. Eigenschappen In di hoofdsuk onderzoeken we rechlijnige bewegingen. He voorwerp voer dan een eenparig veranderlijke rechlijnige beweging (EVRB) ui. We bewijzen volgende eigenschappen voor een voorwerp da een EVB uivoer.o.v. de -as. 7 De versnelling a is consan Da volg onmiddellijk ui de definiie: de v()-grafiek is een schuine reche. Dus v() m + q (1) De versnelling is a() dv m consane d De richingscoëfficiën m van de v()-reche is de versnelling. v v kleine helling kleine versnelling Ineracie_6._Lb.indb 4 groe helling groe versnelling 5/08/15 11:14

21 5 7 De gemiddelde versnelling a,g is dezelfde voor elk ijdsinerval en is gelijk aan a De gemiddelde versnelling in een ijdsinerval is Δv v v1 1 K INE M ATICA E N DY NA M ICA a,g Invullen van (1) geef a,g m + q (m 1 + q) 1 () a,g m a 7 Voor de snelheidsverandering Δv in een ijdsinerval geld Δv a Ui a,g Δv (definiie) volg Δv a,g Dan geld volgens () Δv a (3) Di verklaar ook he begrip eenparig veranderlijk: eenparig beeken gelijkmaig, overal gelijk. In gelijke ijdsinervallen is de snelheidsverandering even groo. 7 De snelheidsverandering in een inerval is dus rech evenredig me. 0 m/s m/s 4 m/s 0:00 0:01 0:0 0:03 Voor de snelheid v op een ogenblik geld v() vo + a ( o) Op he beginijdsip o is de snelheid vo. Op he ijdsip is de snelheid v. Dan geld volgens (3) Dikwijls kiezen we he beginijdsip o gelijk aan 0 s. Dan geld v vo + a 6 m/s Δv a v - vo a ( o) of v vo + a ( o) 0 vo v (4) Da is een eersegraadsfuncie. De v()-grafiek is dus een reche. De rico van de reche is a. ym +q 7 Voor de verplaasing Δ in een ijdsinerval geld Δ v (v1 + v) v v 1 1 Ineracie_6._Lb.indb 5 5/08/15 11:15

22 6 ] Kinemaica en dynamica De verplaasing Δ is gelijk aan de oppervlake onder de v()-reche (zie eigenschap p. 19). Δ opp. + opp. (v v1) v1 + v v1 (v1 + v) (5) v1 + Wee je welke bewijzen je moe kennen? 7 Voor de posiie op he ogenblik geld o + vo ( o) + a ( o) We verrekken van de formule (5) (v1 + v) Δ 1 0 a 0 v0 v (v1 + v) ( 1) Voor he ijdsip 1 nemen we he beginijdsip o. Op da ijdsip is de posiie o en de snelheid vo. He ijdsip noemen we. Op da ijdsip is de posiie en de snelheid v. Dus o vo + v ( o) en vermis volgens (4) geld v vo + a ( o) verkrijgen we Dikwijls kiezen we he beginijdsip o gelijk aan 0 s. Dan geld o + vo + a o vo + vo + a ( o) ( - o) Daarui volg o + vo ( o) + a ( o) Da is een weedegraadsfuncie. De ()-grafiek is dus een parabool: y p + q + r versnelde beweging Ineracie_6._Lb.indb 6 0 verraagde beweging 5/08/15 11:15

23 7 Je kun de formule ook schrijven als a ( - o) of + Δ vo + a () Deze formule geef de verplaasing bij een EVB.o.v. de -as in een ijdsinerval als de beginsnelheid vo en de versnelling a is. - OEFENING K INE M ATICA E N DY NA M ICA o vo ( o) + Inerpreeren van een v()-grafiek De beweging van een syseem word beschreven door ondersaande v()-grafiek. Teken de bijbehorende ()-grafiek. v 1 3 Oplossing De snelheid verander lineair: he syseem voer dus een EVB ui.o.v. de -as. De ()-grafiek is een parabool. Van 1 o verraag he syseem wan de snelheid gaa naar nul. Vermis de snelheid negaief is, beweeg he syseem in de negaieve zin van de -as. Op is de snelheid nul. Van o 3 versnel he syseem. Vermis de snelheid posiief is, beweeg he syseem in de posiieve zin van de -as. De ()-parabool zie er dan als volg ui: He pun 1 mag willekeurig gekozen worden omda de beginposiie nie gegeven is. 1 Hoe zie je op de ()-grafiek da de snelheid daal in he ijdsinerval [1; ]? 1 Ineracie_6._Lb.indb 7 3 5/08/15 11:16

24 8 ] Kinemaica en dynamica - OEFENING De remafsand van een auo Een wagen rijd aan 70 km/h ( 19 m/s) en kom door e remmen o silsand na 3,0 s. Bereken de remafsand. Beschouw de beweging als eenparig veranderlijk. Oplossing We kiezen de -as volgens de baan en in de zin van de beweging. De beginsnelheid van de auo is dan posiief. De wagen voer een EVB ui. Je kun deze oefening op wee manieren oplossen: 1e manier e manier Welke manier je ook kies, maak seeds een sches me de gegevens. v 1 19 m/s v 0 m/s o 0 s o 0 m e 3,0 s e 3,0 s De remafsand is de verplaasing. Daarvoor geld (v 1 + v ) Invullen van de gegevens geef (19 m/s + 0 m/s) 9 m 3,0 s v o 19 m/s v e 0 m/s () o + v o ( o ) + a ( o) v () v o + a ( o ) Invullen van de gegevens geef e 0 m + 19 m/s ( e 0 s) + a ( e 0 s) v e 19 m/s + a ( e 0 s) en dus e 19 m/s 3,0 s + a (3,0 s) (1) 0 m/s 19 m/s + a 3,0 s () Ui () volg a 6,3 m/s Da invullen in (1) geef e 9 m WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN: uileggen hoe je een rechlijnige beweging regisreer de definiie geven van posiie, afgelegde weg, gemiddelde en ogenblikkelijke snelheid.o.v. de -as, snelheidsvergelijking, gemiddelde en ogenblikkelijke versnelling.o.v. de -as de gemiddelde en ogenblikkelijke snelheid en versnelling.o.v. de -as zowel wiskundig als grafisch bepalen de beekenis geven van he eken van snelheid en versnelling.o.v. de -as de definiie geven van een EVB.o.v. de -as en de geziene eigenschappen bewijzen oefeningen op de EVB.o.v. de -as oplossen Ineracie_6._Lb.indb 8 5/08/15 11:16