WISNET-HBO NHL. update aug. 2008

Transcriptie

1 Eenheden WISNET-HBO NHL update aug Inleiding Een belangrijk houvast bij het werken met formules in de praktijk is te kijken naar de eenheden en daarover goede afspraken te maken. De betekenis van de gebruikte letters voor de grootheden (entiteiten) zoals kracht (F) en snelheid (v) en eenheden zoals meter (m) en seconde (s) moet in de praktijk wel volkomen duidelijk zijn en goed worden afgesproken. Merk op dat de letters voor de grootheden cursief genoteerd worden en de eenheden rechtop. In een vergelijking kun je controleren of links en rechts uiteindelijk dezelfde eenheden staan. Het komt vaak neer op het werken met breuken en je moet iets weten van de eenheden die in toepassingen worden gebruikt. (Voor een les over breuken zie cursus Breuken bij Wisnet en eventueel een voorbereiding daarop de cursus Algebra 0 en Algebra 1) Als er geen eenheden vermeld worden, wordt het stelsel kilogram=kg (voor de massa), meters=m (voor de lengte), seconde=s (voor de tijd), kelvin=k voor temperatuur en ampère=a (voor de stroom) gebruikt. (Het internationaal afgesproken m k s A-stelsel). Alle andere eenheden zijn daarvan afgeleid middels de natuurkundige wetten en andere wetmatigheden en afspraken in de toepassingen. (Zie ook paragraaf 7 samengestelde eenheden en basiseenheden.) Let ook eens op gebruik van hoofdletters en kleine letters: De eenheid newton is met een kleine letter, de afkorting is met hoofdletter N en als je het over de wet van Newton hebt, dan gaat het over de persoon Newton. Verder is het belangrijk om niet te slordig met hoofdletters en kleine letters om te gaan Voor de grootheid "volume" wordt vaak de hoofdletter V gebruikt en voor de grootheid "snelheid" wordt vaak de kleine letter v gebruikt. 1

2 In de tekst kun je bij een getal een eenheid aangeven op de volgende manier: De snelheid is 6 m/s. m Het mag ook tussen vierkante haken: 6. s Bij de eenheden gebruik je absoluut géén schuine letters: bijvoorbeeld m is voor meter en m is voor massa. Je kunt grootheden van verschillende eenheden op elkaar delen of met elkaar vermenigvuldigen. Je kunt grootheden alleen van elkaar aftrekken en bij elkaar optellen als ze van dezelfde soort zijn en dan moet je de eenheden gelijk maken: 2 meter + 3 decimeter = 2.3 meter of 23 decimeter. Als je nog meer informatie wilt van onderstaande onderwerpen, ga dan eens kijken bij en kies dan voor tabblad VMBO en HAVO. Een beschouwing aan de hand van eenheden geeft inzicht in een formule uit de toepassingen. Deze les pretendeert niet compleet te zijn, maar geeft een opstapje om te leren kijken naar eenheden en je voordeel ermee te doen. Deze les hoeft ook niet van begin tot eind doorgenomen te worden. Je kijkt gewoon wat er van je gading is met behulp van de onderwerpen van de inhoudsopgave en de links. De bedoeling van deze les over eenheden is het inzicht krijgen in formules bij de toegepaste vakken. Het is de bedoeling dat met pen en papier wat oefeningen worden gedaan en hier en daar wat voorbeelden worden uitgewerkt. Onderaan (paragraaf 8 samengestelde eenheden en basiseenheden ) is een lijstje met basiseenheden en een lijstje met samengestelde eenheden te zien. Meer over het internationale eenhedensysteem is te vinden op de volgende website 2

3 1 Snelheid en versnelling De snelheid (velocity) (v) van een voorwerp wordt meestal uitgedrukt in m/s. snelheid = afstand tijd v = 6s 6t Bij een voertuig op de weg hanteren we meestal km/h (kilometer per uur). Een en ander is in elkaar om te rekenen. kilometer 1000 meter = uur 3600 seconden 1 kilometer per uur = 1000 m per 3600 seconde 1km/h = 1000/3600 m/s = m/s 50 km/h = /3600 m/s = 13.8 m/s 1 meter per seconde = km per 1/3600 uur 1 m/s = 3.6 km/h De versnelling (acceleratie) (a) is de toename van de snelheid van een voorwerp per tijdseenheid. versnelling = toename snelheid tijdseenheid a = 6v 6t Als een voorwerp in één seconde van een snelheid van 3 m/s naar 5 m/s gaat, dan ondervindt dat voorwerp een versnelling van a =2 m/s². Als een voorwerp versnelt, dan is de oorzaak van die versnelling altijd een kracht F (Force) geweest. Afhankelijk van de massa m krijgt een voorwerp een grotere versnelling a als de kracht F op dat voorwerp groter wordt. (Zie ook paragraaf 2.1 bij newton.) Kracht = massa versnelling F = m a 3

4 Vraag 1.1 Een fiets rijdt ongeveer 20 km/h (kilometer per uur). Bereken de snelheid in m/s. Antwoord 1.1 Een fiets rijdt ongeveer 20 km/h (kilometer per uur). Bereken de snelheid in m/s. De snelheid is afgelegde weg gedeeld door de tijd. v = 20 kilometer uur = m 3600 s z 5.56 m s Vraag 1.2 Een auto vertrekt vanuit stilstand en heeft na 12 seconden een snelheid van 35 m/s. Bereken de gemiddelde versnelling op dit traject. Antwoord 1.2 Een auto vertrekt vanuit stilstand en heeft na 12 seconden een snelheid van 35 m/s. Bereken de gemiddelde versnelling op dit traject. De toename van de snelheid is 35 m/s en dit gebeurt in 12 seconden m 35 s a = = 35 m 12 s 12 s 2 z 2.9 m s 2 4

5 2 Kracht 2.1 De eenheid newton De newton (afkorting N) is een samengestelde eenheid en is afkomstig van de wet van Newton: Hier wordt de persoon Newton bedoeld en dan is het met een hoofdletter. De eenheid voor de kracht (F ) is newton met een kleine letter. De massa m is in kg en de versnelling a is in m/s². kracht = massa # versnelling F = m$a N = kg $ De eenheid van newton in SI-eenheden is dus: 2.2 Wrijvingskracht N = 5 kg m s Voorbeeld Een wrijvingskracht of dempingskracht, werkt altijd tegengesteld aan de beweging. In een bepaalde situatie (bijvoorbeeld twee vaste stoffen die over elkaar heenschuiven of een massa die afgeremd wordt door een demper) kan de grootte van de wrijvingskracht F w evenredig zijn met de snelheid v van een voorwerp. F w = c v Dit noemen we wel dynamische wrijving en c is de evenredigheidsconstante die afhangt van de soort stoffen die over elkaar heenschuiven of van de eigenschappen van de demper waaraan de massa vastzit. Soms gebruikt men ook wel de letter k voor deze evenredigheidsconstante Voorbeeld In sommige andere situaties, bijvoorbeeld een voorwerp dat door een vloeistof heen valt, is de grootte van de wrijvingskracht F w evenredig met het kwadraat van de snelheid v van het voorwerp. F w = c v Voorbeeld Als een voorwerp op een vlak rust, dan oefent dat voorwerp een kracht uit loodrecht op dat vlak. Dat kan de zwaartekracht zijn, maar dat kan ook de zwaartekracht plus nog een extra kracht zijn die iemand op dat voorwerp uitoefent, waarmee het voorwerp in totaal op het vlak drukt. Deze kracht die door het vlak (loodrecht op het vlak) op het voorwerp wordt m s 2

6 uitgeoefend als reactie, noemen we de Normaalkracht F N. Wordt nu geprobeerd het voorwerp in beweging te zetten langs het vlak, dan zal de wrijvingskracht F w dat proberen tegen te gaan. We noemen dit statische wrijving. F w = f F N De eenheidsloze wrijvingscoëfficiënt f is bijvoorbeeld bijna gelijk aan 1 als het om schuurpapier gaat en bijna gelijk aan 0 als het om zeep gaat. Vraag 2.1 Wat is de eenheid van de evenredigheidsconstante c in de formule F w = c v? (wrijvingsconstante of dempingconstante genoemd.) Hierin is F w de wrijvingskracht en v is de snelheid van een voorwerp. (Eventueel kan de snelheid v van het voorwerp ook nog afhankelijk zijn van de tijd en dan noteer je dat als vt.) Antwoord 2.1 Wat is de eenheid van de evenredigheidsconstante c in de formule F w = c v? Hierin is F w de wrijvingskracht en v is de snelheid van een voorwerp. De kracht is altijd in newton (afkorting N), de snelheid is in m/s. Om de eenheden in de vergelijking kloppend te maken staat links dus newton en rechts staat de eenheid van de evenredigheidsconstante c (die we nog niet weten...), en verder meter per seconde (m/s) voor de snelheid. F w = c v m N =... s De eenheid van de evenredigheidsconstante c is dus Ns/m als je het links en rechts kloppend maakt. N s m N = m s Deze eenheid kan eventueel verder ontleed worden tot: N s m = kg m s s 2 m = kg s Zie eventueel bij de eenheid newton (paragraaf 2.1) om te weten hoe je deze eenheid N verder kunt ontleden in de standaardeenheden van het SI-stelsel. Vraag 2.2 Wat is de eenheid van de evenredigheidsconstante k in de formule voor de wrijvingskracht F w = k v 2? Deze formule zegt dus dat de wrijvingskracht evenredig is met de snelheid van het voorwerp in het kwadraat. Antwoord 2.2 Wat is de eenheid van de evenredigheidsconstante k in de formule 6

7 F w = k v 2? Deze formule zegt dus dat de wrijvingskracht evenredig is met de snelheid van het voorwerp in het kwadraat. De kracht is altijd in newton (afkorting N), de snelheid is in m/s. Om de eenheden in de vergelijking kloppend te maken, staat links dus newton en rechts staat de eenheid van de evenredigheidsconstante k en verder meter per seconde in het kwadraat (m²/s²). F w = k v 2 N = eenheid van k De eenheid van de evenredigheidsconstante k is dus Ns²/m² om het links en rechts kloppend te maken. N s 2 2 m N = m 2 s 2 De eenheid N kan eventueel verder ontleed worden (zie bij newton in paragraaf 2.1). m 2 s 2 Eenheid van k is dus N s 2 m 2 = kg m s 2 s 2 m 2 = kg m Zie eventueel bij de eenheid newton in paragraaf 2.1 om te weten hoe je deze eenheid Ns²/m² dus verder kunt ontleden in de standaardeenheden. 2.3 Veerkracht (wet van Hooke) Lees de volgende formule en interpreteer de natuurwet die er achter steekt. De grootte van de veerkracht F veer is evenredig met de uitwijking x (die een functie kan zijn van de tijd t). De veerkracht is evenredig met de uitrekking F veer = k$x Als je ook nog tot uitdrukking wilt brengen dat deze veerkracht tegengesteld is aan de uitwijking, dan kun je dat nog aangeven met een minteken. Deze evenredigheidsconstante k is afhankelijk van de sterkte van de veer. Bij een sterke veer met een grote k-waarde, moet je een grote kracht uitoefenen om de veer een eindje uit te rekken en bij een slappe veer met een kleine k-waarde is de kracht minder groot om de veer even ver uit te rekken. Zie een applet voor de veerkracht op Vraag 2.3 7

8 Wat is de eenheid van de evenredigheidsconstante k in de formule van de grootte van de veerkracht F veer = k x? Hierin is x de uitrekking van de veer (die eventueel af kan hangen van de tijd). Antwoord 2.3 Wat is de eenheid van de evenredigheidsconstante k in de formule van de grootte van de veerkracht F veer = k x? Hierin is x de uitrekking van de veer (die eventueel af kan hangen van de tijd). De kracht is altijd in newton (afkorting N), de afstand is in meter. Om de eenheden in de vergelijking kloppend te maken, staat links dus newton en rechts staat de eenheid van de evenredigheidsconstante k die we nog niet weten en verder meter voor de afstand x. F veer = k x N = eenheid van k m De eenheid van de evenredigheidsconstante k is dus N/m. N N = m m Deze eenheid van k kan eventueel verder ontleed worden tot N m = kg m s 2 m = kg s 2 Zie voor het ontleden van de eenheid N hieronder bij newton in paragraaf Gravitatiewet van Newton Elke massa oefent een kracht uit op een andere massa. Dat heet gravitatie. Deze kracht is afhankelijk van hoe groot de massa's zijn en van de afstand tussen de middelpunten van de massa's. Dus ook de massa van de aarde en de massa van de maan oefenen een wederzijdse aantrekkingskracht op elkaar uit. Volgens de graviatiewet van Newton is deze gravitatiekracht F (in newton) die bijvoorbeeld de aarde op de maan uitoefent en andersom, gegeven door de formule: F = G M m r 2 De afstand r tussen de middelpunten van de twee massa's (van aarde en maan) is in meters. Stel de massa van de aarde is M en die van de maan is m, allebei in kg. De graviatieconstante is G en is een universele constante die voor alle massa's geldt die in elkaars buurt zijn en de volgende waarde heeft: Newtonian_constant_of_gravitation, symbol = G, value = , uncertainty = , units = m 3 kg s 2 mass_of_earth, symbol = M Earth, value = , uncertainty = , units =kg 8

9 radius_of_earth, symbol = R Earth, value = , uncertainty = , units =km 9

10 Vraag 2.4 Volgens de graviatiewet van Newton is de kracht F (in newton) die de aarde op de maan uitoefent gegeven door de formule F = G M m r 2 De afstand r tussen de middelpunten van aarde en maan is in meters. Stel de massa van de aarde is M en die van de maan is m, allebei in kg. Wat is de eenheid van de graviatieconstante G in dr formule F = G M m r 2? Antwoord 2.4 Wat is de eenheid van de graviatieconstante G in dr formule F = G M m r 2? De afstand r tussen de middelpunten van aarde en maan is in meters. Stel de massa van de aarde is M en die van de maan is m, allebei in kg. Aan de linkerkant van het =-teken is de kracht in newton = wrijvingskrachten mogen verwaarloosd worden. 10 kg m s 2 (zie ook paragraaf 2.1 de eenheid newton) dus rechts moeten de eenheden ook kloppend gemaakt worden en dus newton opleveren. De massa's M en m hebben beide als eenheid kg en r 2 heeft als eenheid m², want r is immers de afstand tussen de middelpunten van beide hemellichamen. F = G M m r 2 kg m kg 2 s 2 = eenheid van G $ Maak het links en rechts kloppend. kg m s 2 = m 3 kg s 2 $ m 3 dus de eenheid van G is kg s 2. Is deze berekening moeilijk, maak dan een paar oefeningen in de les over breuken. Er is in Wisnet ook een cursus over Breuken waar je leert om breuken met elkaar te vermenigvuldigen en delen. 2.5 Zwaartekracht (gewicht) In feite worden alle voorwerpen op aarde aangetrokken door de graviatiekracht volgens de Gravitatiewet van Newton. Als een voorwerp valt en alleen de zwaartekracht werkt op dat voorwerp, dan zal dat voorwerp op de aarde altijd met een vaste versnelling vallen. Daarbij wordt aangenomen dat er geen andere krachten werken op dat voorwerp, dus de kg 2 m 2 m 2

11 Een voorwerp op de aarde heeft massa m en de afstand tot het middelpunt van de aarde van dat voorwerp is precies de straal van de aarde R. De massa van de aarde is M. Volgens de gravitatiewet van Newton én de algemene wet van Newton F = m a (zie ook paragraaf 2.4 en de wet van Newton paragraaf 2.1) is dan de zwaartekracht (gewicht) die op het voorwerp met massa m werkt gelijk aan: F z = G$m$M = m$a g Een ander woord voor zwaartekracht is ook wel gewicht. Hierin is a g de versnelling van de zwaartekracht. Anders geschreven: R 2 m G$M R 2 = m$a g Dus de versnelling van de zwaartekracht a g ook wel kortweg g genoemd, is gelijk aan: a g = G$M m R 2 z 9.81 s 2 Hieruit is ook goed te zien dat in feite ALLE voorwerpen op aarde dezelfde versnelling krijgen als ze vallen én als de wrijvingskracht verwaarloosd mag worden. De versnelling is alleen afhankelijk van de universele gravitatieconstante G en de massa M van de aarde en de afstand R tot het middelpunt. Het blijkt wel zo te zijn dat op verschillende plekken op de aarde de versnelling g van de zwaartekracht niet overal precies hetzelfde is. Hoe verder je je bevindt van het middelpunt van de aarde, hoe kleiner de versnelling zal zijn. Gewicht = zwaartekracht = massa # versnelling zwaartekracht F z = m$g Vraag 2.5 Wat is het gewicht van een heiblok met massa 2.5E+3 kg? Antwoord 2.5 Wat is het gewicht van een heiblok met massa 2.5E+3 kg? Het gegeven is in wetenschappelijke notatie en betekent 2500 kg. De versnelling van de zwaartekracht g = 9.81 m/s². De zwaartekracht of ook wel het gewicht genoemd is dus met de wet van Newton F = m a. F w = 2500$9.81 = kg m s 2 = N 11

12 3 Druk en dichtheid 3.1 De eenheid pascal voor druk (spanning) Soms gebruikt men voor het woord druk ook wel het woord spanning (p), bijvoorbeeld in situaties van een gas (de spanning van de banden van een auto). Ook is het gebruikelijk om in de doorsnede van een balk van een constructie niet over druk maar over spanning (σ) te spreken. Stel je een vloer voor van een pakhuis. De vloerconstructie moet grote krachten kunnen weerstaan. Het maakt echter uit of je veel goederen opstapelt op een klein oppervlak of dat je alles verspreidt over een groter oppervlak A (aerea). In de constructieleer gaat het dus vaak niet om de kracht F op een vloer, maar om de druk p (pressure). Voor spanning gebruikt men ook wel de letter σ in plaats van de letter p. Druk = Kracht Oppervlakte p = F A druk (p) = hoeveelheid kracht (F) per oppervlakteeenheid (A) Ook gassen kunnen (botsings)krachten uitoefenen op bijvoorbeeld het oppervlak van een zuiger of op de wanden van het vat waarin het gas zich bevindt. We hebben het dan ook over gasdruk (of spanning). De standaardeenheid van druk is pascal (Pa) en komt overeen met een kracht van één newton op een oppervlakte van één vierkante meter. N Pa = m 2 In SI-eenheiden is de eenheid pascal dan gelijk aan N Pa = m 2 = kg m s 2 m 2 = kg s 2 m 3.2 Luchtdruk De luchtdruk wordt ook uitgedrukt in pascal (Pa), maar in de praktijk hanteert men voor luchtdruk liever hectopascal (hpa) of millibar (mbar). (hecto betekent 100.) Eén bar is 1000 mbar = N/m² = Pa = 1000 hpa. De gemiddelde luchtdruk van 1 atmosfeer (atm) staat gelijk aan 1013 hpa = 1013 mbar. Bij een stormdepressie is de luchtdruk bijvoorbeeld 993 mbar = 993 hpa = Pa. Er drukt dan newton op een oppervlakte van één vierkante meter. 3.3 Sterkte 12

13 Als je moet uitrekenen hoe sterk een vloer moet zijn, moet je rekening houden met de hoeveel gewicht (de zwaartekracht van de spullen die de vloer moet dragen) verdeeld over het oppervlak van de vloer. Dat wil zeggen, je moet een schatting maken van de belasting van die vloer. Hoeveel druk (p) de vloer kan weerstaan in N/m². Als je bijvoorbeeld een balk hebt, kan het zijn dat je de balk belast met een zogenoemde lijnbelasting (q) De lijnbelasting (q) wordt dan opgegeven in N/m of kn/m. Dat wil dan zeggen dat op iedere meter van de balk een bepaalde kracht werkt. Vraag 3.1 Stapel 10 kubussen met ribbe 2 dm boven op elkaar. Elke kubus heeft massa 3 kg. Wat is de druk op het oppervlak waarop ze staan als ze gestapeld zijn? Bereken ook de druk op het oppervlak waarop ze rusten als ze allemaal naast elkaar geplaatst worden. Reken voor de versnelling van de zwaartekracht 9.81 m/s². Antwoord 3.1 Stapel 10 kubussen met ribbe 2 dm boven op elkaar. Elke kubus heeft massa 3 kg. Wat is de druk op het oppervlak waarop ze staan als ze gestapeld zijn? Reken voor de versnelling van de zwaartekracht 9.81 m/s². De totale massa is 30 kg. Het gewicht F is dan = N Deze stapel drukt op de vloer op een oppervlakte van 4 dm². De druk is dus: p = F A = N 4 dm 2 = N dm 2 Bereken ook de druk op het oppervlak waarop ze rusten als ze allemaal naast elkaar geplaatst worden. De oppervlakte waarmee de kubussen op de vloer drukken als ze allemaal naast elkaar liggen is 10 4 dm². De druk is dan p = F A = N 40 dm 2 = N dm 2 De druk is dus 10 maal zo klein geworden als alle kubussen naast elkaar liggen. 3.4 Gasdruk Bij een gas botsen de gasdeeltje tegen de wanden van het vat waarin het gas opgesloten zit. Deze botsende deeltjes oefenen krachten uit op de wanden van het vat. Het betekent dus ook dat het gas een druk uitoefent op de wanden van het vat. Als het gas wordt samengeperst, kun je je voorstellen dat er meer deeltjes tegen de wanden botsen en dat de druk op de wanden dan groter wordt. Als het volume van het gas groter wordt, heb je dus minder druk op de wanden. Als het gas verwarmd wordt, gaan de gasdeeltjes sneller bewegen en dan kun je je ook voorstellen dat de druk groter wordt. 13

14 3.4.1 Absolute temperatuur in kelvin Reken met de temperatuur altijd in kelvin (K). Dat wordt ook wel de absolute temperatuur genoemd. Bij een temperatuur van 0 kelvin (absolute nulpunt) staan alle deeltjes stil. Een lagere temperatuur bestaat niet. Het absolute nulpunt is 0 K wat overeenkomt met -273 C Een mol gas Een mol is de hoeveelheid stof van een systeem dat evenveel deeltjes bevat als er atomen zijn in 12 gram koolstof-12. Net als een dozijn (12) of een gros (144) is een mol een aanduiding voor een aantal. Het aantal deeltjes dat in één mol gaat, is gelijk aan N A mol, waarin N A de constante van Avogadro is. Deze constante van Avogadro is ongeveer gelijk aan E+23 = Er zijn dus altijd E+23 deeltjes per mol van een bepaalde stof Ideaal gas (wet van Boyle-Gay Lussac) Voor een afgesloten hoeveelheid ideaal gas geldt dat de gasdeeltjes heel klein zijn en dat ze onderling geen aantrekkingskracht op elkaar uitoefenen. De formule van een ideaal gas luidt: p V T = Constant of in een andere vorm p V = n R T Hierin is p de druk (spanning) van het gas, V is het volume van het gas en T is de temperatuur (in kelvin) van het gas. De Constante is afhankelijk van de hoeveelheid gas namelijk: De constante is het aantal mol (zie paragraaf 3.4.2) van een gas maal de universele gasconstante R. De wet van Boyle-Gay Lussac wordt ook vaak als volgt genoteerd: p V = n R T VanderWaals-gas Een "VanderWaals-gas" is niet ideaal. De gasdeeltjes zijn niet meer te beschouwen als oneindig klein en de deeltjes oefenen ook aantrekkingskracht op elkaar uit. De wet van Boyle-Gay Lussac is dan niet helemaal goed meer en we passen correctietermen toe. De VanderWaals-formule voor een gas (hoeveelheid van n mol) luidt: pc a V Kb = n R T V 2 De druk p is in pascal (Pa) en V is het volume in kubieke meters. De temperatuur T is in kelvin (K). Verder is R de universele gasconstante (niet verwarren met de weerstand bij de elektriciteitsleer). 14

15 Vraag 3.2 Wat zijn de eenheden van a en b en R in de formule van VanderWaals? pc a V 2 V Kb = n R T Antwoord 3.2 Optellen van eenheden kan alleen als ze van dezelfde soort zijn! Antwoord eenheid van a De eenheid van a V 2 pc a V 2 is pascal = N/m² V Kb = n R T (want anders kan de optelling niet gedaan worden binnen de haakjes, immers de druk p is ook in pascal). Dus a heeft zelf als eenheid N m 4. 1 Immers de eenheid van V 2 is 1 m 6. Antwoord eenheid van b pc a V 2 V Kb = n R T De eenheid van b moet dezelfde zijn als die van het volume V. Immers deze twee grootheden moeten van elkaar afgetrokken worden. Dus is b in m³. Eenheid van de universele gasconstante R pc a V 2 15 V Kb =n R T De VanderWaals-formule wordt gebruikt voor níet-ideale gassen (dus als a en b niet gelijk zijn aan 0) en is eigenlijk de formule van Boyle-Gay-Lussac die voor ideale gassen geldt (dus als a en b wel gelijk zijn aan 0): p V = n R T Hierin is de druk p in pascal (Pa), V is het volume in kubieke meters. De temperatuur T in kelvin (K) en n het aantal mol van het ideale gas. Verder is R de universele gasconstante. Links en rechts van de volgende vergelijking: p V = n R T moeten de eenheden weer kloppen. Links: Druk volume heeft als eenheid: Pa m 3 N = m 2 m 3 N m 3 = m 2 = N m = J. Dit is dus eigenlijk de eenheid van energie en arbeid.

16 Zie ook paragraaf 4 arbeid en energie. In de VanderWaals-formule pc a V 2 V Kb = n R T moet rechts van het isgelijkteken (n$r$t) dus ook de eenheid joule staan. J = mol $ eenheid van R $ K J = mol $ J mol K $ K De eenheid van de universele gasconstante R moet dus zijn: J mol K. Als je met Maple werkt kun je meer te weten komen over natuurkundige constanten bijvoorbeeld de gasconstante R. (Zie paragraaf 7 bij opvragen van informatie.) 3.5 Dichtheid Dichtheid ρ = massa m volume V ρ = m V Op internet kun je opzoeken wat de dichtheid (soortelijke massa) is van verschillende stoffen. Er staat dan wel steeds bij dat de waarden opgegeven zijn bij 293 K (= kamertemperatuur 20 C). Immers stoffen zetten uit bij verwarming en dat beïnvloedt de dichtheid. Een tabelletje met enkele dichtheden staat op (tabel).html. Vaak staat de dichtheid opgegeven in g/cm³. Dat is natuurlijk hetzelfde als kg/dm³ = kg/l Lineaire dichtheid Soms gebruik je niet de dichtheid in de zin van massa per volumeëenheid, maar is het handiger, bijvoorbeeld voor snaren of touwen, de lineaire dichtheid (μ) te gebruiken, dus kg per meter. De eenheid is dan kg/m of soms g/m Oppervlaktedichtheid Soms gebruik je niet de dichtheid in de zin van massa per volumeëenheid, maar is het handiger, bijvoorbeeld voor staalplaten of vloerbedekking, de oppervlaktedichtheid te gebruiken. De eenheid is dan kg/m² of g/cm². 16

17 Vraag 3.3 Een plastic jerrycan met 3 liter olie heeft een massa van 2.7 kg. De lege jerrycan heeft een massa van 300 g. Wat is de dichtheid van de olie? Antwoord 3.3 Een plastic jerrycan met 3 liter olie heeft een massa van 2,7 kg. De lege jerrycan heeft een massa van 300 g. Wat is de dichtheid van de olie? Je kunt eerst uitrekenen wat de massa is van de olie zonder jerrycan. Dat is 2.7 kg g = 2700 g g = 2400 g. Het volume is 3 liter = 3 dm³ = 3000 cm³. De dichtheid is dus ρ = massa volume = $ g cm 3 = 0.8 g cm 3 17

18 4 Arbeid en energie Energie komt in zeer veel verschijningsvormen voor (warmte, beweging, licht enz.). Energie betekent niets anders dan het vermogen om arbeid te verrichten. Door middel van arbeid kan de ene vorm van energie omgezet worden in een andere vorm. De eenheid van arbeid is J (joule) en is een samengestelde eenheid. Omdat de arbeid die geleverd wordt ten goede komt aan de toename of afname van energie, heeft energie ook dezelfde eenheid namelijk J (joule). Hieronder worden enige voorbeelden gegeven van verschillende vormen van energie. 4.1 De eenheid joule De eenheid van arbeid is J (afkorting van joule). Er is een bekende wet in de natuurkunde die luidt Arbeid W = Kracht F maal Weg s (De grootheid arbeid heeft als symbool W vanuit het Engelse Work.) (De grootheid kracht heeft als symbool F vanuit het Engelse Force.) (De grootheid verplaatsing heeft als symbool s vanuit het Engelse space.) De formule W = F$s is een simpele vorm; het is eigenlijk een vermenigvuldiging van twee vectoren. Immers een kracht F heeft een grootte én een richting en de afgelegde weg s heeft ook grootte én richting. In formulevorm: W joule = F newton $s meter Het resultaat W (arbeid) heeft géén richting. De samengestelde eenheid van arbeid (joule) is nu gemakkelijk te achterhalen: joule = newton$meter De eenheid N kan weer verder ontleed worden. Zie daarvoor bij paragraaf 2.1 bij de eenheid newton. kg m 2 J = N m = s 2 Energie biedt de mogelijkheid om arbeid te verrichten. Bekend zijn enkele vormen van energie zoals kinetische energie, potentiële energie, warmte,elektrische energie en dergelijke. De arbeid die verricht wordt, komt vaak ten goede aan de toe- of afname van de energie. De eenheid joule is dus voor energie én voor arbeid. 18

19 4.2 Kinetische energie Elk voorwerp dat in beweging is, heeft energie (bewegingsenergie). Bekend is de formule van de kinetische energie E k in joule, van een voorwerp met massa m (kg) en snelheid v (m/s). E k = 19 m v 2 Vraag 4.1 Bekend is de formule van de kinetische energie E k in joule, van een voorwerp met massa m en snelheid v. m v 2 E k = 2 Trek conclusies uit de deze formule om te zien uit welke eenheden de samengestelde eenheid J (joule) is opgebouwd. Antwoord 4.1 De formule van de kinetische energie E k van een voorwerp met massa m en snelheid v. E k = 2 m v 2 De eenheid joule is dus dezelfde als de eenheid van m v2 kg m 2 en dat is 2 s 2. (Merk op dat ½ dus eenheidsloos is net als bij een halve meter blijft de eenheid gewoon in meters.) Zie ook paragraaf 4.1 de eenheid joule. 4.3 Potentiële energie Een voorwerp met massa m krijgt een grotere potentiële energie Δ E p (in het zwaartekrachtsveld van de aarde) als het Δh meter omhoog wordt gebracht. 2 Δ E p = m$g$δh Er zijn ook andere vormen van potentiële energie als een lichaam in een ander krachtveld (dan de zwaartekracht van de aarde) wordt geplaatst. Bijvoorbeeld een massa in het krachtveld van een veer (een massa aan een gespannen veer) heeft potentiële engergie en dit noemt men wel elastische energie. Ook een samengeperst gas bezit potentiële engergie als je je voorstelt dat de deeltjes in

20 elkaars krachtveld zitten. De lading die in een accu opgeslagen zit heeft ook potentiële energie. Vraag 4.2 De toename van de potentiële energie in het zwaartekrachtsveld van de aarde is Δ E p = m g h m Hierin is g de versnelling van de zwaartekracht in s 2. Lees uit deze formule de samengestelde eenheid van de energie (joule) af. Antwoord 4.2 Een voorwerp met massa m krijgt een grotere potentiële energie Δ E (in het p zwaartekrachtsveld) als het h meter omhoog wordt gebracht. De toename van de potentiële energie is Δ E p = m g h m Hierin is g de versnelling van de zwaartekracht in s 2. Lees uit deze formule de samengestelde eenheid van de energie (joule) af. De toename van (potentiële) energie is in joule, want dat is de eenheid van energie.. Deze eenheid moet gelijk zijn aan de eenheid van m$g$h is dus m kg m 2 kg s 2 m = N m = s 2 = J. Zie ook paragraaf 4.1 de eenheid joule. 4.4 Warmte Warmte is een vorm van energie. Dus de eenheid van warmte is ook joule. In het algemeen zal de temperatuur T (in kelvin) van een hoeveelheid stof met massa m (in kg) toenemen als hieraan warmte Q (joule) wordt toegevoerd. De deeltjes van het gas gaan immers sneller bewegen en is dus een vorm van toename van de kinetische energie. De warmte Q (in joule) die aan een stof met massa m wordt toegevoegd, kan worden berekend als behalve de massa m van het voorwerp ook de soortelijke warmte c van de stof bekend is én het temperatuursverschil Δ T bekend is. Q = m$c $Δ T Vraag 4.3 De toegevoegde warmte Q is evenredig met het temperatuursverschil Δ T in kelvin van het voorwerp en ook evenredig met de massa m. In formule: 20

21 Q = m c Δ T Wat is de eenheid van de evenredigheidsconstante c die ook wel soortelijke warmte genoemd wordt? Antwoord 4.3 De warmte Q (in joule) die aan een stof met massa m wordt toegevoegd, kan worden berekend als behalve de massa m van het voorwerp ook de soortelijke warmte c van de stof bekend is én het temperatuursverschil Δ T bekend is. De toegevoegde warmte Q is evenredig met het temperatuursverschil Δ T in kelvin van het voorwerp en ook evenredig met de massa m. In formule: Q = m c Δ T Wat is de eenheid van de evenredigheidsconstante c die ook wel soortelijke warmte genoemd wordt? Links in de formule van het model staat de eenheid joule voor energie, dus rechts moet ook eenheid J komen te staan. J = kg eenheid van c K Maak het links en rechts kloppend. J J = kg K kg K Dus de eenheid van de soortelijke warmte c is J kg K. 4.5 Arbeid door expansie van een gas Een gas kan arbeid W (joule) verrichten (door een zuiger te verplaatsen met een bepaalde kracht over een bepaalde afstand). Het gas bevat dus een vorm van potentiële energie. Deze arbeid W (verricht door het gas) is gelijk aan de druk (spanning) p van het gas maal de toename van het volume Δ V. In formule: W = p Δ V Deze arbeid komt ten goede aan de potentiële energie van de moleculen in elkaars krachtveld. De moleculen komen verder van elkaar af te zitten, immers het volume neemt toe. Omdat de druk p in het algemeen niet gelijk blijft tijdens het veranderen van het volume V wordt deze wet ook wel geschreven in integraalvorm: het optellen van kleine stukjes arbeid bij kleine toename van volume waarbij de druk tijdens deze kleine toename van het volume even constant wordt verondersteld. Zie voor de cursus Integreren 1 bij Wisnet een les over het gebruik van integralen. Vraag

22 We gaan uit van een ideaal gas. (Voor niet ideale gassen, zie paragraaf vanderwaals-formule.) W = V 2 p V $dv V 1 De betekenis van bovenstaande integraal is: De arbeid W is gelijk aan de optelling van steeds de druk p maal een kleine toename van het volume dv van volume V 1 tot volume V 2. Tijdens deze verandering van volume is de druk in het algemeen niet steeds gelijk, maar verandert en is een functie van het volume V. Ga na dat uit bovenstaande integraal ook weer de samengestelde eenheid van joule te lezen valt voor de arbeid W. (Zie ook paragraaf 4.1 de eenheid joule.) Antwoord 4.4 (deel 1) W = V 2 p V $dv V 1 Ga na dat uit bovenstaande integraal ook weer de samengestelde eenheid van joule te lezen valt voor de arbeid W. De druk p is in N/m² (= pascal). (Zie ook paragraaf 3. met uitleg over de eenheid pascal en paragraaf de eenheid joule voor toelichting op de eenheid joule.) De toename van het volume dv is in m³. Totaal komt de eenheid van p dv weer neer op de eenheid van arbeid: N m 2 m 3 = N m = J Ook is te beredeneren bij het verrichten van arbeid door het gas op bijvoorbeeld een zuiger met oppervlakte A m² dat de druk een kracht in newton per oppervlakte van de zuiger is, met een verplaatsing van de zuiger van Δs meter. Als de druk niet constant is maar wellicht een functie is van de plaats s van de zuiger, is het handiger om te gaan integreren en hele kleine stapjes ds te nemen bij de verplaatsing. Alle stukjes arbeid (kracht p A ds) worden met integreren opgeteld waarbij s loopt van s 1 tot s 2 W = 22 s 2 p A ds De eenheden worden dus in totaal Nm. Immers p$a$ds = druk oppervlakte afstand = kracht afstand. N m 2 m 2 m = N m s 1

23 4.5 Elektrische energie Zie paragraaf 6 Elektriciteit. 5 Vermogen De eenheid van vermogen is watt (afgekort W). De definitie van vermogen (P) is arbeid (W) per tijdseenheid (t) of energie toe- of afname per tijdseenheid. P W = W J t s P = 6E t vermogen = energieverschil tijd = arbeid tijd Uit deze definitie is gemakkelijk de samengestelde eenheid van watt ( W = leiden. J W = = s Kijk anders nog even bij de eenheid newton. N m s = kg m 2 s 3 J s ) af te Vraag 5.1 Een heimachine is in staat om een heiblok van 2500 kg in 12 seconden 23 meter omhoog te trekken. Bereken het vermogen van de motor dat in de heimachine zit. Antwoord 5.1 Een heimachine is in staat om een heiblok van 2500 kg in 12 seconden 23 meter omhoog te trekken. Bereken het vermogen van de motor dat in de heimachine zit. Het vermogen is de toename van de energie gedeeld door de tijd. De toename van de (potentiële) energie van het heiblok is m g h = = J. Deze toename van energie in 12 seconden is geleverd door het vermogen van de motor: P = J 12 s = W 23

24 6 Elektriciteit Hieronder volgt een aantal wetten van de Elektriciteitsleer. Als je op een eenvoudige manier wat meer over elektriciteitsleer wilt weten, wordt verwezen naar de website be/content/projects/2003_2004/6tiw/leh1_elektrische_energie.htm. 6.1 Wet van Ohm Een stroom I (ampère) van geladen deeltjes, veroorzaakt door een spanningsverschil U (volt), loopt door een stroomkring (een gesloten draad) met totale weerstand R (ohm). Soms wordt voor het spanningsverschil ook wel de letter V gebruikt maar dat is verwarrend in verband met de eenheid V van volt. Het spanningsverschil U wordt veroorzaakt door een accu met een + en een - pool. De accu werkt als een soort pomp om geladen deeltjes van de ene kant naar de andere kant van de accu te transporteren, zodat er een ladingsverschil ontstaat tussen de polen van de accu. Verder is er nog een weerstand in de stroomkring (als de polen van de accu door een draad worden verbonden) in de vorm van bijvoorbeeld een lampje. Als het circuit gesloten wordt, gaat de stroom door de draad lopen en ook door de lamp (met weerstand R). De weerstand van de draad zal vrij klein zijn, zodat de stroom weinig hinder ondervindt. De weerstand van de lamp zal een stuk groter zijn en de stroom ondervindt zóveel hinder van deze weerstand dat er wrijving en licht ontstaat. U volt = I ampère $R ohm spanning = stroom maal weerstand De eenheid van elektrisch spanningsverschil (U) is volt (V) is een maat voor het elektrisch veld tussen de polen van de accu. Hoe groter het spanningsverschil (de elektrische potentiaal) is, des te harder zal de stroom gaan lopen. De eenheid van weerstand (R) is ohm (Ω) is een maat voor de weerstand van de onderdelen van het elektrische circuit (draden, lampjes etc.). 24

25 Hoe meer weerstand, des te meer de stroom wordt belemmerd. Een dikke draad heeft bijvoorbeeld weinig weerstand.) De eenheid van stroom (I) is ampère (A) is een maat voor het aantal geladen deeltjes dat per seconde een bepaald punt passeert. Hoe meer geladen deeltjes per seconde een bepaald punt van het circuit passeert, hoe groter de stroom. 6.2 Eenheid van lading De eenheid van lading (Q) is coulomb (C) I A = Q C t s Stroom (ampère) = lading coulomb tijd seconde Met dit laatste gegeven, kun je ook begrijpen dat een van de eigenschappen van een accu bijvoorbeeld kan zijn: "De hoeveelheid lading van de accu is 80 Ah (ampère uur)." Ampère is namelijk hoeveelheid lading per seconde. Vermenigvuldig je dat met 3600 seconden, dan heb je dus een hoeveelheid lading. Het betekent ook dat je bijvoorbeeld met deze accu van 80Ah een stroom van 2lmen. De coulomb is een vrij grote lading. In de praktijk gaat het dan ook vaak over mc (milli coulomb) en μc (micro coulomb). 1 coulomb is gelijk aan de elektrische lading in $10 18 protonen. 1 coulomb in SI eenheden is dus gelijk aan 1As. 6.3 Elektrisch vermogen De eenheid volt is in feite gedefinieerd als het potentiaalverschil U dat bestaat tussen twee punten van een elektrisch circuit, wanneer tussen die punten een stroom van 1 ampère precies 1 watt vermogen verbruikt. P W = U V $I A vermogen (watt) = potentiaalverschil (volt) maal stroom (ampère) Het elektrisch vermogen (energie per tijdseenheid) heeft als eenheid dus ook VA (volt ampère) wat hetzelfde is als watt (W). Gecombineerd met de wet van Ohm (U = I$R kan de formule P = U$I ook anders geschreven worden met bijbehorende eenheden: P W = U$I VA = I 2 $R A 2 Ω = U2 V 2 R Ω De eenheid van elektrisch vermogen wordt meestal in W of in VA uitgedrukt. Vraag 6.1 Wat is de eenheid van volt (elektrische potentiaal) in SI-eenheden? Leidt dit af uit de wet van het elektrisch vermogen P = U$I. 25

26 Antwoord 6.1 Wat is de eenheid van volt (elektrische potentiaal) in SI-eenheden? Leidt dit af uit de wet van het elektrisch vermogen P = U$I. De eenheid volt in SI-eenheden is dus watt ampère = J s$a = kg$m2 s 3 $A = joule coulomb. Vraag 6.2 Wat is de eenheid van ohm (elektrische weerstand) in SI-eenheden? Leidt dit af uit de wet van Ohm (U = I R) en de wet van het elektrisch vermogen. Antwoord 6.2 Wat is de eenheid van ohm (elektrische weerstand) in SI-eenheden? Leidt dit af uit de wet van Ohm en de wet van het elektrisch vermogen. U = I R. De eenheid ohm in SI-eenheden is dus volt ampère = kg$m2 s 3 $A Elektrische energie In het algemeen is vermogen de hoeveelheid energie (joule) per tijdseenheid (seconde). Elektrische energie is dus ook elektrisch vermogen maal de tijd. E J = P W $t s energie (joule) = vermogen (watt) maal tijd (seconden) De eenheid van elektrisch vermogen is W maar ook VA. De eenheid van elektrische energie is is dus Ws = J of wat vaak voorkomt kwh (kilowatt uur). Uitgaande van het elektrisch vermogen met als eenheid VA, kan de elektrische energie weergegeven worden met de eenheid VAs = J. Omdat de stroom (ampère) per definitie een hoeveelheid lading (coulomb) per tijdseenheid (seconde) is, kun je de eenheid VAs ook schrijven als VC = volt maal coulomb. Het betekent dus dat elektrische spanning (potentiaal) maal lading gelijk staat aan elektrische energie. In de deeltjesfysica wordt de energie van een klein deeltje ook wel uitgedrukt in ev = electron volt, omdat de joule een onhandelbare grote eenheid is. Het betekent de lading van een elektron vermenigvuldigd met het elektrische potentiaalverschil Electronvolt Een elektronvolt (afkorting ev) is de energietoename die een enkel vrij deeltje, met een lading die gelijk is aan de elementaire lading, ondervindt wanneer het deeltje in een elektrisch veld een weg aflegt tussen twee punten die een onderling potentiaalverschil U van 1 volt hebben. 26

27 Een elektronvolt is dus een zeer kleine hoeveelheid energie, want de elementaire lading is 1.602$10 K19 coulomb. 1 ev z 1.602$10 K19 joule ev = 1.602$10 K19 joule energie (joule ) = lading (coulomb) maal spanning (volt) Vraag 6.3 Een tv met een vermogen P = 330 W staat 1 uur (= 3600 seconden) aan. Hoeveel energie heeft dat gekost? Antwoord 6.3 Een tv met een vermogen P = 330 W staat 1 uur (= 3600 seconden) aan. Hoeveel energie heeft dat gekost? E = P$t = 330 W $3600 s = J = 1.19 MJ Vraag 6.4 Een computer met een vermogen P = 0.5 kw staat 2 uur aan. Wat is de energie die verbruikt is? Antwoord 6.4 Een computer met een vermogen P = 0.5 kw staat 2 uur aan. Wat is de energie die verbruikt is? E = P$t = 0.5 kw $2 h = 1 kw h Ga nog even na dat kilowatt uur ook een goede eenheid is voor energie. Vraag 6.5 Een wasdroger (230 V) gebruikt een stroom van 12 A. Na 45 minuten is de was droog. Hoeveel energie is er verbruikt tijdens het drogen? Antwoord 6.5 Een wasdroger (230 V) gebruikt een stroom van 12 A. Na 45 minuten is de was droog. Hoeveel energie is er verbruikt tijdens het drogen? E = U$I$t = 230 V $12 A $45$60 s = V A s = 7452 kj 7 Opvragen van informatie over constanten Als je met Maple (vanaf versie 8) werkt, kun je informatie opvragen over constanten die in de natuur voorkomen. 27

28 In het volgende vragen we bijvoorbeeld gegevens op van de universele gasconstante R. O restart; with(scientificconstants): O GetConstant(R); J molar_gas_constant, symbol = R, value = , uncertainty = , units = mol K Als output komt de waarde van deze constante tevoorschijn en de nauwkeurigheid waarmee deze waarde bekend is. Verder krijg je ook nog de eenheden van deze constante te zien. Eventueel kunnen deze eenheden omgezet worden naar de elementaire eenheden van kg, m, s, K en A. Een mol van een stof is per definitie een hoeveelheid deeltjes van de stof waarvan het aantal gelijk is aan het getal van Avogadro (N ). Hoe groot dat getal van Avogadro is, kun je A opvragen met het volgende commando. O GetConstant(N[A]); Avogadro_constant, symbol = N A, derive = A[r](e) M u m e Meer constanten zijn te vinden in het overzicht dat je krijgt bij het volgende commando: O GetConstants(); A[r](alpha), A[r](d), A[r](e), A[r](h), A[r](n), A[r](p), E h, F, G, G 0, K J, M Earth, M Sun, M u, N A, Φ 0, R, R Earth, R K, R N, V m, Z 0, a 0, a e, a μ, α, b, c, c 1, L, c 1, c 2, e, ε 0, g, g e, g μ, g n, g p, γ e, γ n, γ p, gamma_prime h, gamma_prime p, h, hbar, k, l P, λ C, μ, λ C, n, λ C, p, λ C, τ, λ C, m P, m α, m d, m e, m[e]/m[mu], m h, m μ, m n, m p, m τ, m[tau]c^2, m u, μ 0, μ B, μ N, μ d, mu[d]/mu[e], μ e, mu[e]/mu[p], mu[e]/mu_prime[p], μ μ, μ n, mu[n]/mu_prime[p], μ p, mu_prime h, mu_prime[h]/mu_prime[p], mu_prime p, n 0, r e, σ, σ e, sigma_prime p, t P Als je dus niet weet hoe de constante heet, kun je alle bekende constanten te zien krijgen door bovenstaande commando te typen. 8 Samengestelde eenheden en basiseenheden Een megabyte, afgekort MB, is gelijk aan 1000 kilobytes ofwel bytes. Een byte bestaat in deze context uit 8 bits. Er wordt nog steeds veel gerekend met 1 MB = 1024 kb, waarbij 1 kb = 1024 B. Eén megabyte is dan B (220 B). Dit gebruik wordt ontraden sinds er een nieuwe standaard is voor binaire voorvoegsels (zie Veelvouden van bytes). Nu heet 220 B een mebibyte, afgekort MiB. Omdat er veel gerekend wordt met 1 MB = B, bestaat er nog steeds verwarring. Over het algemeen geven fabrikanten van opslagmedia de capaciteit op in (decimale) mega- of gigabytes. Een flashgeheugenkaartje van 256 MB heeft daardoor eigenlijk 'maar' een capaciteit van 244 MiB. Historisch gezien worden de capaciteiten van RAM-geheugens wel als (binaire) MiB's aangegeven. Duizend megabytes zijn gelijk aan een gigabyte. 28

29 De zeven basiseenheden van het Système International (SI) staan in onderstaande tabel. Alle andere eenheden kunnen ALTIJD tot deze zeven basiseenheden herleid worden. Een formule die een fysische situatie, wet of proces beschrijft, wordt transparanter als je de eenheden in beschouwing neemt. Een paar voorbeelden van samengestelde eenheden volgt hieronder 29

30 Q newton (kracht) paragraaf 2.1 Q joule (energie) paragraaf 4.1 Q watt (vermogen) paragraaf 5 Q pascal (druk) paragraaf 3.1 Q coulomb (lading) paragraaf 6.2 Q volt (elektrische potentiaal of spanning) Antwoord van vraag 6.1 Q ohm (elektrische weerstand) Antwoord van vraag 6.2 Q Hz (eenheid van frequentie) betekent aantal (trillingen) per seconde. 30