Sesam, open U! Edward Omey KU campus Brussel, Faculteit Economie Warmoesberg 26, 1000 Brussel, België

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Sesam, open U! Edward Omey KU Leuven @ campus Brussel, Faculteit Economie Warmoesberg 26, 1000 Brussel, België edward.omey@kuleuven."

Transcriptie

1 Inleiding Sesam, open U! Edward Omey KU Leuven campus russel, Faculteit Economie Warmoesberg 26, russel, elgië edward.omeykuleuven.be ij uurwerken zijn we het gewoon om om 8 uur s morgens naar school te vertrekken om 8 uur later om 4 uur in de namiddag terug te komen. Of we gaan slapen om uur s avonds en staan 8 uur later om 7 uur s morgens op. ehalve in de stations en luchthavens staan we er meestal niet bij stil dat "8 + 8 = 6" vervangen wordt door "8 + 8 = 4". Dit tijdsgebonden rekenen modulo 2 vinden we zo vanzelfsprekend! In dit artikel bespreken we eerst modulo rekenen. We geven de de nities en formuleren enkele eigenschappen bij het rekenen met getallen en met matrices. Vervolgens komen twee toepassingen aan bod waarbij modulo rekenen uiterst nuttig blijkt. We bekijken een toepassing i.v.m. de IN-rekeningnummers die nu gebruikt worden en we openen de grot van li aba met een cijferslotprobleem. Er zijn nog veel meer toepassingen gerelateerd aan modulo-rekenen. We vermelden hier - toepassingen in cryptogra e (RS), zie Rivest et al. (978); - constructie vand pseudo-toevalsgeneratoren, zie hou (995) of Eichenauer- Herrmannn (99); - permutaties en het schudden van kaarten, zie Omey (22); - het gebruik van modulo-rekenen bij ISN-nummers, zie website ISN; - kunstwerken en modulo-rekenen, zie J. ritton (z.d.); - het zoeken van de laatste cijfers van bijvoorbeeld , zie Omey en Vangulck (24). enzovoort. 2 Modulo rekenen 2. De nitie Stel dat n > een natuurlijk getal is. Twee gehele getallen a en b zijn congruent modulo n indien het verschil a b een geheel veelvoud is van n. Notatie: a b mod(n). Het getal n wordt de modulus genoemd. Uiteraard geldt a b mod(n) indien er een geheel getal k bestaat waarvoor a = b + k n. Voorbeelden 9 3 mod(6) omdat 9 3 = 6 een geheel veelvoud is van 6;

2 2 mod(6) omdat 2 = 2 een geheel veelvoud is van 6; 25 mod(6) omdat 25 = 24 een geheel veelvoud is van mod(6) omdat 4 2 = 6 een geheel veelvoud is van 6. ij het rekenen modulo 6, vinden we dat alle gehele getallen a kunnen geschreven worden als a b mod(6), waarbij b 2 R 6 = f; ; 2; 3; 4; 5g. Het symbool R 6 is afkomstig van "rest bij het delen door 6". Opmerking Wanneer r > een reëel getal is, dan zijn de reële getallen x en y congruent modulo r indien x y een geheel veelvoud is van r. Notatie x y mod(r). In goniometrie rekenen we veelal mod(2). 2.2 Optellen en vermenigvuldigen ij het modulo rekenen kunnen we sommen nemen, verschillen nemen, vermenigvuldigen, machten berekenen, enzovoort Voorbeeld Omdat 8 2 mod(6) en 4 mod(6) vinden we 8 mod(6) + mod(6) 2 mod(6) + 4 mod(6) 6 mod(6) mod(6); 8 mod(6) mod(6) 2 mod(6) + 2 mod(6) 4 mod(6); 8 mod(6) mod(6) 2 mod(6) 4 mod(6) 8 mod(6) 2 mod(6); (8 (4 mod(6))) mod(6) (8 4) mod(6) 2 mod(6) 8 3 mod(6) 2 3 mod(6) 2 mod(6). Het voorbeeld illustreert de volgende eigenschap. Eigenschap Er geldt () a mod(m) + b mod(m) (a + b) mod(m) (2) (a mod(m) b) mod(m) = a mod(m) b mod(m) = (a b) mod(m) Voorbeeld 2 We bekijken in detail de mogelijkheden bij het berekenen van sommen en vermenigvuldigingen modulo 7. Voor de som vinden we de tabel links, voor het product de tabel rechts:

3 In de tabel vinden we bijvoorbeeld dat 4 mod(7) + 5 mod(7) 9 mod(7) 2 mod(7) of kortweg " ". Voor de vermenigvuldiging vinden we de tabel rechts. In de tabel vinden we bijvoorbeeld dat 4 mod(7) 5 mod(7) 2 mod(7) 6 mod(7) of kortweg "4 5 6". ij het rekenen mod(7) zien we dat de bewerkingen "+" en "" steeds leiden tot een resultaat in de verzameling R 7 = f; ; 2; 3; 4; 5; 6g. Dit betekent dat "+" en "" inwendig zijn en overal gede nieerd zijn. ij "+" merken we dat een neutraal element is: voor a 2 R 7 vinden we inderdaad dat a + + a a. De bewerking "+" is tevens commutatief en associatief. Ten slotte vinden we voor elke a 2 R 7 steeds een b 2 R 7 waarvoor a + b b + a. ij "" merken we dat het getal een neutraal element is en dat de bewerking commutatief is en associatief. Tevens vinden we voor elke a 2 R 7 ; a 6=, steeds een b 2 R 7 waarvoor a b b a. Dit betekent in dit geval dat alle elementen van R 7 n fg inverteerbaar zijn m.b.t. "" Voorbeeld 3 We bepalen de tabellen voor "+" en "" bij mod(6) ij het vermenigvuldigen zien we terug dat een neutraal element is. Tevens merken we dat het voor a 2 R 6 ; a 6= niét steeds mogelijk is om b 2 R 6 te vinden zodat a b b a. De verzameling van inverteerbare getallen in R 6 is gelijk aan f; 5g. De verzameling van niet-inverteerbare elementen is gelijk aan f; 2; 3; 4g. emerk dat GGD(2; 6) 6= ; GGD(3; 6) 6= en GGD(4; 6) 6=. De volgende eigenschap veralgemeent wat we vaststelden in deze voorbeelden. Eigenschap 2. ij de bewerking "" in R m heeft a 6= een invers element enkel en alleen als GGD(a; m) = Oefeningen.. In R is verzameling van inverteerbare getallen is gelijk aan f; 3; 7; 9g. 2. In R 5 zijn alle getallen a 6= inverteerbaar. 3. Welke zijn de inverteerbale elementen van R 97? 4. Hoeveel inverteerbare elementen heeft R? En R? 3

4 2.3 a mod(m) voor grote getallen a Om mod(3) te berekenen kunnen we een rekentoestel gebruiken en we vinden = en dus mod(3) = 9. Er kan ook een andere werkwijze gevolgd worden die tevens kan gebruikt worden bij grote getallen. Deze alternatieve werkwijze bestaat er in het groot getal te splitsen in kleinere, doenbare eenheden Voorbeeld In ons voorbeeld isoleren we de eerste 2 cijfers en we vinden: = Nu is het eenvoudig om te zien dat 74 = 9 mod(3) en dus dat = k = k We vinden dat mod(3) = 9954 mod(3). Het nieuw te onderzoeken getal is nu We isoleren terug 2 cijfers 99 en we vinden 99 = 8 mod(3). Dit leidt vervolgens tot mod(3) = 9954 mod(3) = 854 mod(3). Omdat 85 = 7 mod(3) vinden we We besluiten dat mod(3) = Voorbeeld mod(3) = 74 mod(3) = 9. We berekenen mod(77) en we isoleren telkens een groepje van 5 cijfers: - start getal: ! 2345 = 25 mod(77) - nieuw getal: ! = 37 mod(77) - nieuw getal: ! = 26 mod(77) - nieuw getal: ! = 2 mod(77) - nieuw getal: 232! 232 = mod(77) We besluiten dat mod(77) = Oefeningen. ereken: mod(7) (gebruik groepjes van 5 cijfers). 2. ereken: mod(3) (gebruik groepjes van 6 cijfers). 3. ereken: 4 mod(9) (gebruik groepjes van 7 cijfers). 4

5 2.4 Matrices We kunnen ook matrices bestuderen in R m. De berekeningen gebeuren zoals gebruikelijk, maar we rekenen hier mod(m) ewerkingen + en We kunnen eenvoudigweg matrices optellen en vermenigvuldigen. In R 6 bekijken we bijvoorbeeld de matrices = ; = We vinden hier en en + = = = = = Determinant en inverse matrix ; Voor vierkante matrices kunnen we de determinant bepalen en de cofactorenmatrix. Voor de matrix uit het vorige voorbeeld vinden we via de eerste rij de determinant van :. ; det() = = = ( 3) = 2 4 mod(6). Voor de cofactorenmatrix van vinden we of() =

6 De adjunct van de matrix : dj() = (of()) T In ons voorbeeld geldt dat: dj() = = Deze eigenschap geldt zoals in de gewone matrixleer altijd: dj() dj() det()i m. waarbij I m de m m - eenheidsmatrix is. Indien det() 6= een inverse b heeft in R m, dan volgt uit de vorige formule dat b dj() b dj() I m, en dus ook dat de matrix inverteerbaar is in R m. In het voorbeeld vonden we dat dj() = 4 I 3 en rekenden we in R 6. Volgens Eigenschap 2 heeft 4 geen inverse in R 6 omdat GGD(4; 6) = 2 6=. In ons voorbeeld is dus niet inverteerbaar in R 6. Eigenschap 3. ij de bewerking "" in R m heeft de vierkante matrix een inverse matrix enkel en alleen als det() een inverse heeft in R m of indien GGD(det(); m) =. ewijs. Dit volgt uit de algemene eigenschap van matrices dj() dj() det()i m en eigenschap Oefeningen epaal de determinant en indien mogelijk de inverse van de matrix en van de matrix, waarbij = 3 2, = 5, a) in R 6 b) in R 7 c) in R 6

7 3 Toepassingen 3. IN Sedert enkele jaren hebben alle bankrekeningen in elgië en in Europa een IN nummer. IN is de afkorting van "International ank ccount Number". Een typisch IN-nummer in elgië ziet er uit als volgt: E In andere landen zijn er andere, maar vaste en vergelijkbare afspraken. Veel informatie is beschikbaar op de website van ES (European ommittee for anking Standards): emerk dat voor een gegeven land (hier E) en een code (hier 46) er 2 = miljard mogelijke rekeningnummers zijn! Uiteraard worden niet alle nummers toegekend. 3.. eveiliging Er zijn in IN verschillende beveiligingsmechanismen ingebouwd. Zo is de vorm van het nummer steeds gelijk aan landcode + controle nummer + 2 cijfers (in elgië). Een ander mechanisme is het volgende. We vertrekken van het rekeningnummer E We veranderen de letters E in getallen als volgt: =, =, = 2,... en we vinden in het voorbeeld: Nu worden de eerste 6 cijfers verplaatst van vooraan naar achteraan: a = Het nieuwe getal bestaat uit 8 cijfers. Van dit getal moet gelden dat a = mod(97). Indien deze voorwaarde niet vervuld is, dan gaat het om een ctief bankrekeningnummer. Voor de meeste rekentoestellen is dit getal echter te groot om onmiddellijk en in één stap te berekenen hoeveel a mod(97) is en daarom wordt een procedure gevolgd zoals in de vorige paragraaf. We isoleren nu telkens 9 cijfers en kunnen alle berekeningen maken met (bijvoorbeeld) Excel. In ons voorbeeld vinden we: - getal: ! = 32 mod(97) - nieuw getal: ! = 82 mod(97) - nieuw getal: 8246! 8246 = mod(97) We vinden als eindcijfer het getal en dit bevestigt dat het om een echt IN-nummer gaat. 7

8 3..2 Het controlegetal In het rekeningnummer E is het getal 46 een soort controlegetal. De oorsprong van het getal is als volgt. We vertrekken van het nummer E en vervangen "E46" door "E". We vervangen nu de letters ; ; ; ::: door getallen als volgt: = ; = ; :::. We vinden We verplaatsen nu de eerste 6 cijfers naar achter en we vinden een getal a dat bestaat uit 8 cijfers: a = Van dit getal berekenen we nu de rest na deling door 97. We vinden (groepjes van 8): - getal: ! = 7 mod(97) - nieuw getal: 77364! 7736 = 55 mod(97) - nieuw getal: 554! 554 = 52 mod(97) en we vinden a mod(97) = 52. Zoek nu zelf de oplossing van de vergelijking 52+x = mod(97) en controleer dat x = 46, het controlegetal! Opmerking. Indien alles correct is verlopen vinden we natuurlijk dat a a = 46 of a = a 46. Omdat a mod(97), vinden we dat a mod(97) ( 46) mod(97) 45 mod(97) 52 mod(97) Oefeningen. ekijk het volgend rekeningnummer: E Zoek het controlegetal. 2. Ga na of de volgend nummers echte IN rekeningnummers zijn! a) een nummer uit Saudi-rabië: S b) een nummer uit Groot-ritannië: G82 WEST c) een nummer uit elgië: E Sesam, Open U "Sesam, Open U" is het magische wachtwoord dat li aba gebruikte om de ingang van de grot te openen in het sprookje van li aba en de veertig rovers. In deze toepassing bestuderen we het volgende slotenvraagstuk! 3.2. Vraagstuk Een kluis heeft 3 speciale cijfersloten die vooruit kunnen gedraaid worden. Elk slot kan de waarden ; ; 2; :::; 9 aannemen en de begintoestand van de sloten is (bijvoorbeeld) gelijk aan 4. De kluis kan enkel geopend worden indien de drie sloten de getalwaarde 9 hebben:

9 De sloten kunnen eindeloos gedraaid worden en wanneer er 8 maal gedraaid wordt aan bijvoorbeeld slot 3 komen we terecht bij = 2 = 2 mod(). ij het verdraaien van de sloten rekenen we dus in R. De sloten van deze kluis zijn echter speciaal en wanneer het eerste slot van stand naar een andere stand gaat, dan heeft dat een invloed op de andere sloten. In dit voorbeeld gaan we er van uit dat bij een toename van eenheid bij slot, ook slot 2 toeneemt met eenheid en slot 3 toeneemt met 2 eenheden. We vinden dan de volgende situatie bij de sloten: 4 S+! 2 6. Wanneer we het 2de slot met eenheid verhogen, dan verandert ook slot met 2 eenheden en verandert slot 3 niet. We vinden dus 2 6 S2+! Wanneer we het 3de slot verhogen met eenheid, dan veranderen sloten en 2 met eenheid. Dit is S3+! Het probleem is nu om te zien hoe en of we bij de eindstand kunnen geraken. Om dit probleem op te lossen kunnen we gewoon alle mogelijkheden (er zijn er = ) uitproberen en zien welke mogelijkheden leiden tot de schat! Dit is niet alleen een groot werk, maar we weten vooraf zelfs niet of het probleem wel een oplossing bezit! Zie voorbeeld 3 verderop. In dit artikel volgen we de werkwijze die werd voorgesteld door Hulsizer (24). We maken een tabel die de gevolgen weergeeft bij het opschuiven van eenheid op één slot op de andere sloten. De tabel in dit voorbeeld is de volgende (de sloten zijn S, S2 en S3): invloed op #: S S2 S3 S 2 S2 S3 2 Stel nu dat de startpositie gelijk is aan 4 en dat we slot met x eenheden, slot 2 met y eenheden en slot 3 met z eenheden verdraaien. Dan is de eindstand van de drie sloten gelijk aan slot : + x + 2y + z slot 2 : + x + y + z slot 3 : 4 + 2x + z ij slot gebeuren x stappen omwille van slot, 2y stappen omwille van slot 2 en z stappen omwille van slot 3. Voor de andere sloten is de redenering gelijkaardig. 9

10 We willen dat de eindstand gelijk is aan Dit betekent dat we eisen dat: of dat slot : + x + 2y + z = 9 () slot 2 : + x + y + z = 9 slot 3 : 4 + 2x + z = 9 slot : x + 2y + z = 9 (2) slot 2 : x + y + z = 8 slot 3 : 2x + z = 5 De stelsels (), (2) kunnen we m.b.v. matrixnotatie herschrijven als volgt: + 2 x y z 9 of 2 2 x y z Voor de matrix vinden we dat de determinant gelijk is aan 2 det() = 2. Omdat inverteerbaar is in R heeft de matrix van het stelsel een inverse in R. We vinden (in R ) dat en bijgevolg x y z = mod() ls oplossing kunnen we dus de kluis openen bij de keuze (x; y; z) = (8; ; 9). Opmerking. We kunnen de kluis ook openen bij de keuze (x; y; z) = (8; ; 9)+ k (; ; ), met k = ; ; 2; :::

11 3.2.2 Vraagstuk 2 Een kluis heeft 4 speciale cijfersloten die kunnen gedraaid worden. Elk slot kan de waarden ; ; 2; :::; 9 aannemen en de begintoestand van de sloten is (bijvoorbeeld) gelijk aan De kluis kan enkel geopend worden indien de sloten de volgende getalwaarden hebben: Zoals in Voorbeeld, beinvloeden de sloten elkaar. Hier gaan we uit van de volgende beïnvloedingstabel: invloed op # S S2 S3 S4 S S2 S3 S4 Om het probleem op te lossen moeten we het volgend stelsel oplossen in R : of, in matrixnotatie of S : 8 + x + y = 2 S2 : 8 + x + y + z = 7 S3 : 4 + y + z + w = 4 S4 : 5 + z + w = 6 x y z w = 6 x y z w = mod() De determinant van de matrix van het stelsel is gelijk aan det() = 9 mod(). Omdat 9 inverteerbaar is in R bestaat de inverse matrix en we vinden (via excel of een ander rekentoestel): mod() 9 Hieruit volgt dat x y z = w mod().

12 3.2.3 Vraagstuk 3 Een kluis heeft 3 speciale cijfersloten die kunnen gedraaid worden. Elk slot kan de waarden ; ; 2; :::; 9 aannemen en de begintoestand van de sloten is gelijk aan De kluis kan enkel geopend worden indien de drie sloten de volgende getalwaarde hebben: De beïnvloedingstabel in dit voorbeeld is de volgende: invloed op #: S S2 S3 S 2 S2 S3 Stel nu dat we slot met x eenheden, slot met y eenheden en slot 3 met z eenheden verdraaien. We vinden nu het volgend stelsel: In matrix notatie vinden we slot : 2 + x + 2y = 5 slot 2 : 3 + x + y + z = 6 slot 3 : 4 + y + z = 7 2 x y z = De determinant van de matrix van het stelsel is gelijk aan 2 = 2 8 mod(). Nu is 8 niet inverteerbaar in R. Vraagstuk 3 heeft dus géén oplossing Oefening Een kluis heeft 3 speciale cijfersloten die kunnen gedraaid worden. Elk slot kan de waarden ; ; 2; 3; 4 aannemen en de begintoestand van de sloten is gelijk aan 3 2. De kluis kan enkel geopend worden indien de drie sloten de getalwaarde hebben:. emerk dat we nu moeten rekenen in R 5! De beïnvloedingstabel in dit voorbeeld is de volgende: invloed op #: S S2 S3 S S2 S3 Ga na dat (x; y; z) = (4; ; 3) een oplossing is van dit vraagstuk. 2

13 4 ronnen. J. ritton, Modular art. 2. W.S. hou,on inversive Maximal Period Polynomials over Finite Fields, pplicable lgebra in Engineering, ommunication and omputing, No. 4/5, 995, pp ES (European ommittee for anking Standards): IN - International ank ccount Number. ES, russels 23. Website: 4. J. Eichenauer-Herrmannn. Inversive congruential pseudorandom numbers avoid the planes, Math.omp., Vol. 56,99, pp H. Hulsizer (24). Mod ern Mathematical dventure in "all of Duty alck Ops". Math Horizons, Mathematical ssociation of merica, February 24, pp ISN: https://www.isbn-international.org/ 7. E. Omey (23). Spelen met kaarten. Wiskunde en Onderwijs nr. 6, E. Omey, S. Van Gulck (24). What are the last digits of...?. To appear in the International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 9. Rivest, R.;. Shamir; L. dleman (978). " Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key ryptosystems". ommunications of the M 2 (2):

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002 RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

Projectieve Vlakken en Codes

Projectieve Vlakken en Codes Projectieve Vlakken en Codes 1. De Fanocode Foutdetecterende en foutverbeterende codes. Anna en Bart doen mee aan een spelprogramma voor koppels. De ene helft van de deelnemers krijgt elk een kaart waarop

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1 WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit

Nadere informatie

Groepen, ringen en velden

Groepen, ringen en velden Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:

Nadere informatie

HOE BEWAAR JE SAMEN EEN GEHEIM

HOE BEWAAR JE SAMEN EEN GEHEIM HOE BEWAAR JE SAMEN EEN GEHEIM KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. Dit artikel gaat over hoe een groep mensen samen een waardevol document of een grote som geld in een kluis kunnen bewaren, en wel op zo n manier

Nadere informatie

Hoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties

Hoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties Hoofdstuk 6 Congruentierekening 6.1 Congruenties We hebben waarschijnlijk allemaal wel eens opgemerkt dat bij vermenigvuldigen van twee getallen de laatste cijfers als het ware meevermenigvuldigen. Stel

Nadere informatie

De Chinese reststelling

De Chinese reststelling De Chinese reststelling 1 Inleiding 1. De Chinese reststelling is een stelling binnen de getaltheorie. De stelling werd voor het eerst beschreven in de vierde eeuw na Chr. door de Chinese wiskundige Sunzi

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

Inhoudsopgave. I Theorie 1

Inhoudsopgave. I Theorie 1 Inhoudsopgave I Theorie 1 1 Verzamelingen 3 1.1 Inleiding........................................ 3 1.2 Bewerkingen met verzamelingen........................... 6 1.2.1 Vereniging (unie) van twee verzamelingen.................

Nadere informatie

Functies van vectoren

Functies van vectoren Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.

Nadere informatie

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen? In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.

Nadere informatie

Bijlage 11 - Toetsenmateriaal

Bijlage 11 - Toetsenmateriaal Bijlage - Toetsenmateriaal Toets Module In de eerste module worden de getallen behandeld: - Natuurlijke getallen en talstelsels - Gemiddelde - mediaan - Getallenas en assenstelsel - Gehele getallen met

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 : REKENEN

Hoofdstuk 1 : REKENEN 1 / 6 H1 Rekenen Hoofdstuk 1 : REKENEN 1. Wat moet ik leren? (handboek p.3-34) 1.1 Het decimaal stelsel In verband met het decimaal stelsel: a) het grondtal van ons decimaal stelsel geven. b) benamingen

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

4. Determinanten en eigenwaarden

4. Determinanten en eigenwaarden 4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

De inverse van een matrix

De inverse van een matrix De inverse van een matrix Laat A een n n matrix zijn. Veronderstel dat de matrixvergelijking A X = I n de oplossing X = C heeft. Merk op dat [ A I n ] rijoperaties [ I n C ] [ I n A] inverse rijoperaties

Nadere informatie

POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding

POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 2/59 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding Stijn Lievens (Stijn.Lievens@hogent.be) Noemie Slaats (Noemie.Slaats@hogent.be) Lieven Smits (Lieven.Smits@hogent.be) Martine Van Der Weeen

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal

Nadere informatie

Afspraken hoofdrekenen eerste tot zesde leerjaar

Afspraken hoofdrekenen eerste tot zesde leerjaar 24/04/2013 Afspraken hoofdrekenen eerste tot zesde leerjaar Sint-Ursula-Instituut Rekenprocedures eerste leerjaar Rekenen, hoe doe ik dat? 1. E + E = E 2 + 5 = 7 Ik heb er 2. Er komen er 5 bij. Dat is

Nadere informatie

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud

Nadere informatie

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:

Nadere informatie

Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen

Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen 2.1 Natuurlijke getallen 1 Rangschik de volgende natuurlijke getallen van klein naar groot. 45 54 56 78 23 25 77 89 2 050 2 505 2 055 2 500 2 005 879

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 11 3 11 = () 11 2 3 () 11 5 6 () 11 1 12 11 1 4 11 1 6 2 ls a en b twee verschillende reële getallen verschillend van 0 zijn en 1 x + 1 b = 1, dan

Nadere informatie

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Trainingsweek juni 2008 Inleiding Voor a relatief priem met m hebben we de orde van a modulo m gedefinieerd als ord m (a) = min { n Z + a n 1 (mod m) }. De verzameling

Nadere informatie

Het wegen van bollen? Edward Omey EHSAL (Stormstraat 2, 1000 Brussel)

Het wegen van bollen? Edward Omey EHSAL (Stormstraat 2, 1000 Brussel) Het wegen van bollen? Edward Omey EHSAL (Stormstraat 2, 1000 Brussel) [edward.omey@ehsal.be] 1 Inleiding Het volgend vraagstuk is een klassieker! "We beschikken over 12 bollen die er uiterlijk hetzelfde

Nadere informatie

Migrerende euromunten

Migrerende euromunten Migrerende euromunten Inleiding Op 1 januari 2002 werden in vijftien Europese landen (twaalf grote en drie heel kleine) euromunten en - biljetten in omloop gebracht. Wat de munten betreft, ging het in

Nadere informatie

Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie

Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Jan De Beule, Tom De Medts en Jeroen Demeyer Voorwoord 1 Voorwoord Beste leerling, Deze nota s zijn bedoeld als begeleiding bij 6 lesuren Opgeloste

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Lineaire algebra (versie 15 september 2008)

Zomercursus Wiskunde. Lineaire algebra (versie 15 september 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Lineaire algebra (versie 15 september 2008) 2 Lineaire algebra Deze module wordt zowel gegeven in het A-programma als in het B-programma van de zomercursus

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden

Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Leerkracht: Koen De Naeghel Schooljaar: 2012-2013 Klas: 5aLWi8, 5aWWi8 Aantal taken: 19 Aantal repetities: 14 Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Taken Eerste trimester: 11 taken indienen op taak

Nadere informatie

Combinatoriek en rekenregels

Combinatoriek en rekenregels Combinatoriek en rekenregels Les 1: Wegendiagrammen, bomen en geordende grepen (deze les sluit aan bij de paragrafen 1 en 2 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

b + b c + c d + d a + a

b + b c + c d + d a + a Voorwoord De wiskundige vorming die in de wiskundig sterke richtingen van het Vlaamse secundair onderwijs wordt aangeboden, vormt een zeer degelijke basis voor hogere studies in wetenschappelijke, technologische

Nadere informatie

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214 Open Inhoud Universiteit Appendix A Wiskunde voor milieuwetenschappen Voorkennis getallenverzamelingen en algebra Introductie Leerkern Natuurlijke getallen Gehele getallen 8 Rationele getallen Machten

Nadere informatie

Inleiding tot groepentheorie

Inleiding tot groepentheorie Hoofdstuk Inleiding tot groepentheorie 1 Basisdefinities Een algebraïsche structuur bestaat meestal uit een verzameling waarop één of meerdere bewerkingen gedefinieerd zijn. Definitie Een inwendige bewerking

Nadere informatie

Derive in ons wiskundeonderwijs Christine Decraemer

Derive in ons wiskundeonderwijs Christine Decraemer Dag van de Wiskunde 003 de en 3 de graad Module 6: Eerste sessie Derive in ons wiskundeonderwijs Christine Decraemer Je kunt Derive het best vergelijken met een uitgebreid rekentoestel. Niet enkel numerieke,

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr. Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk

Nadere informatie

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =

Nadere informatie

Toepassingen op differentievergelijkingen

Toepassingen op differentievergelijkingen Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

Determinanten. , dan is det A =

Determinanten. , dan is det A = Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is

Nadere informatie

Les A-03 Binaire en hexadecimale getallen

Les A-03 Binaire en hexadecimale getallen Les A-03 Binaire en hexadecimale getallen In deze les wordt behandeld hoe getallen kunnen worden voorgesteld door informatie die bestaat uit reeksen 0-en en 1-en. We noemen deze informatie digitale informatie.

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale

Nadere informatie

Getallen, 2e druk, extra opgaven

Getallen, 2e druk, extra opgaven Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in

Nadere informatie

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID

Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID 1 H6. Deelbaarheid Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 203-230 ) 6.1 Delers en veelvouden Verklaren waarom een natuurlijk getal (wel of geen) deler is van een ander natuurlijk

Nadere informatie

Goed aan wiskunde doen

Goed aan wiskunde doen Goed aan wiskunde doen Enkele tips Associatie K.U.Leuven Tim Neijens Katrien D haeseleer Annemie Vermeyen Maart 2011 Waarom? Dit document somt de belangrijkste aandachtspunten op als je een wiskundeopgave

Nadere informatie

Binair Binair = tweewaardig Beperkt aantal mogelijke waarden (discreet aantal in amplitude) Wij zijn gewoon aan decimaal (tiendelig)

Binair Binair = tweewaardig Beperkt aantal mogelijke waarden (discreet aantal in amplitude) Wij zijn gewoon aan decimaal (tiendelig) Binair Binair = tweewaardig Beperkt aantal mogelijke waarden (discreet aantal in amplitude) Wij zijn gewoon aan decimaal (tiendelig) In elektronische realisatie zijn 10 verschillende toestanden moeilijk

Nadere informatie

De partitieformule van Euler

De partitieformule van Euler De partitieformule van Euler Een kennismaking met zuivere wiskunde J.H. Aalberts-Bakker 29 augustus 2008 Doctoraalscriptie wiskunde, variant Communicatie en Educatie Afstudeerdocent: Dr. H. Finkelnberg

Nadere informatie

Het RSA Algoritme. Erik Aarts - 1 -

Het RSA Algoritme. Erik Aarts - 1 - Het RSA Algoritme Erik Aarts - 1 - 1 Wiskunde... 3 1.1 Het algoritme van Euclides... 3 1.1.1 Stelling 1... 4 1.2 Het uitgebreide algoritme van Euclides... 5 1.3 Modulo rekenen... 7 1.3.1 Optellen, aftrekken

Nadere informatie

1 Hele getallen. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden

1 Hele getallen. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden 1 Hele getallen Peter Ale Martine van Schaik u i t g e v e r ij c o u t i

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk

Nadere informatie

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n

Nadere informatie

NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN

NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN II NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN Iedereen ent getallen: de natuurlije getallen, N = {0,1,2,3,...}, gebruien we om te tellen, om getallen van elaar af te unnen treen hebben we de gehele getallen,

Nadere informatie

Overzicht rekenstrategieën

Overzicht rekenstrategieën Overzicht rekenstrategieën Groep 3 erbij tot tien Groep 3 eraf tot tien Groep 4 erbij tot twintigt Groep 4 eraf tot twintigt Groep 4 erbij tot honderd Groep 4 eraf tot honderd Groep 4 en 5 tafels tot tien

Nadere informatie

CIJFEREN: DE TRAPVERMENIGVULDIGING

CIJFEREN: DE TRAPVERMENIGVULDIGING CIJFEREN: DE TRAPVERMENIGVULDIGING Luc Cielen Ik noem dit een trapvermenigvuldiging omdat deze bewerking een trap vormt als de vermenigvuldiger een getal is met 2 of meer cijfers. In een opbouw die 10

Nadere informatie

Antwoorden. 32-jarige vrouwen op 1 januari Zo gaan we jaar per jaar verder en vinden

Antwoorden. 32-jarige vrouwen op 1 januari Zo gaan we jaar per jaar verder en vinden Antwoorden 1. De tabel met bevolkingsaantallen is niet moeilijk te begrijpen. We zullen gebruik maken van de bevolkingsaantallen volgens geslacht en leeftijdsklassen van 1 jaar (de cijfers die in het midden

Nadere informatie

Module 3. Maximale stromen

Module 3. Maximale stromen Module In november 00 legde een stroomstoring een gedeelte van Europa plat. Overal moesten de kaarsen aan. oordat een gedeelte van het elektriciteitsnet uitviel, was er te weinig capaciteit om aan de vraag

Nadere informatie

Wiskundige beweringen en hun bewijzen

Wiskundige beweringen en hun bewijzen Wiskundige beweringen en hun bewijzen Analyse (en feitelijk de gehele wiskunde) gaat over het bewijzen van beweringen (proposities), d.w.z. uitspraken waaraan de karakterisering waar of onwaar toegekend

Nadere informatie

Extra oefeningen Hoofdstuk 8: Rationale getallen

Extra oefeningen Hoofdstuk 8: Rationale getallen Extra oefeningen Hoofdstuk 8: Rationale getallen 1 Noteer met een breuk. a) Mijn stripverhaal is voor de helft uitgelezen. Een kamer is voor behangen. c) van de cirkel is gekleurd. 15 Gegeven : 18 teller

Nadere informatie

Kernbegrippen Handig met getallen 1, onderdeel Bewerkingen

Kernbegrippen Handig met getallen 1, onderdeel Bewerkingen Kernbegrippen Handig met getallen 1, onderdeel Bewerkingen 1.12 Kernbegrippen van de Kennisbasis Hele getallen, onderdeel Bewerkingen Aftrekker De aftrekker in een aftreksom is het getal dat aangeeft hoeveel

Nadere informatie

1 Rekenen met gehele getallen

1 Rekenen met gehele getallen 1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9

Nadere informatie

1. REGELS VAN DEELBAARHEID.

1. REGELS VAN DEELBAARHEID. REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden

Nadere informatie

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel) 1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht

Nadere informatie

Mogelijke Onderwerpen Projectwerk Bachelor 3 Wiskunde

Mogelijke Onderwerpen Projectwerk Bachelor 3 Wiskunde Mogelijke Onderwerpen Projectwerk Bachelor 3 Wiskunde E. Jespers Departement of Mathematics Vrije Universiteit Brussel 2 Voorbeelden van algebra s van kleine dimensie Een theorie steunt steeds op het goed

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.

Nadere informatie

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen 46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

II. ZELFGEDEFINIEERDE FUNCTIES

II. ZELFGEDEFINIEERDE FUNCTIES II. ZELFGEDEFINIEERDE FUNCTIES In Excel bestaat reeds een uitgebreide reeks van functies zoals SOM, GEMIDDELDE, AFRONDEN, NU enz. Het is de bedoeling om functies aan deze lijst toe te voegen door in Visual

Nadere informatie

Proefexemplaar. Mark De Feyter Filip Geeurickx Jan Thoelen Roger Van Nieuwenhuyze. Wendy Luyckx Els Sas. Dave Vanroye

Proefexemplaar. Mark De Feyter Filip Geeurickx Jan Thoelen Roger Van Nieuwenhuyze. Wendy Luyckx Els Sas. Dave Vanroye Mark De Feyter Filip Geeurickx Jan Thoelen Roger Van Nieuwenhuyze bewerkt voor het GO! onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door Wendy Luyckx Els Sas artoons Dave Vanroye Leerwerkboek Eigenschappen van

Nadere informatie

1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14

1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 INHOUD 1 De cirkel 9 1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen 11 1.2 Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 1.3 Onderlinge ligging van een rechte en een cirkel 20 1.3.1 Aantal snijpunten van een rechte

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 De getallenverzameling C 1 2 Het complex vlak of het vlak van Gauss 7 3 Vierkantsvergelijkingen

Nadere informatie

De enveloppenparadox

De enveloppenparadox De enveloppenparadox Mats Vermeeren Berlin Mathematical School) 6 april 013 1 Inleiding Een spel gaat als volgt. Je krijgt twee identiek uitziende enveloppen aangeboden, waarvan je er één moet kiezen.

Nadere informatie

Toepassingen op discrete dynamische systemen

Toepassingen op discrete dynamische systemen Toepassingen op discrete dynamische systemen Een discreet dynamisch systeem is een proces van de vorm x k+ Ax k k met A een vierkante matrix Een Markov-proces is een speciaal geval van een discreet dynamisch

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN

Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN 1-6 H3. Negatieve getallen Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 96 123) 3.1 Positieve en negatieve getallen Het verschil verwoorden tussen positieve en negatieve getallen.

Nadere informatie

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1) Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen

Nadere informatie

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5 INHOUDSTABEL 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3 2. TEKENREGELS (fiche 2)... 5 2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) - TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b)... 6 2c. OMGEKEERDE

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Elementaire rekenvaardigheden

Elementaire rekenvaardigheden Hoofdstuk 1 Elementaire rekenvaardigheden De dingen die je niet durft te vragen, maar toch echt moet weten Je moet kunnen optellen en aftrekken om de gegevens van de patiënt nauwkeurig bij te kunnen houden.

Nadere informatie

Antwoorden bij Rekenen met het hoofd

Antwoorden bij Rekenen met het hoofd Antwoorden bij Rekenen met het hoofd Hoofdstuk Basisbewerkingen. Bewerkingen in beeld a. : splitsen in 5 en. Eerst min 5, dan min 0 en tenslotte nog min : splitsen in 5 en, die uitvoeren en dan nog stapsgewijs

Nadere informatie

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014 Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden en eigenvectoren Eigwaard eigvector Als A e vierkante matrix is, dan heet e vector x e eigvector van A als Ax e veelvoud van x is : Definitie Stel dat A e (n n-matrix is E vector x R n met x o heet e eigvector van A als

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T

Nadere informatie

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl OP WEG NAAR WISKUNDE Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl Voor kinderen die iets meer willen weten en begrijpen van wiskunde, bijvoorbeeld als voorbereiding op de middelbare

Nadere informatie