Sesam, open U! Edward Omey KU campus Brussel, Faculteit Economie Warmoesberg 26, 1000 Brussel, België edward.omey@kuleuven.

Transcriptie

1 Inleiding Sesam, open U! Edward Omey KU Leuven campus russel, Faculteit Economie Warmoesberg 26, russel, elgië edward.omeykuleuven.be ij uurwerken zijn we het gewoon om om 8 uur s morgens naar school te vertrekken om 8 uur later om 4 uur in de namiddag terug te komen. Of we gaan slapen om uur s avonds en staan 8 uur later om 7 uur s morgens op. ehalve in de stations en luchthavens staan we er meestal niet bij stil dat "8 + 8 = 6" vervangen wordt door "8 + 8 = 4". Dit tijdsgebonden rekenen modulo 2 vinden we zo vanzelfsprekend! In dit artikel bespreken we eerst modulo rekenen. We geven de de nities en formuleren enkele eigenschappen bij het rekenen met getallen en met matrices. Vervolgens komen twee toepassingen aan bod waarbij modulo rekenen uiterst nuttig blijkt. We bekijken een toepassing i.v.m. de IN-rekeningnummers die nu gebruikt worden en we openen de grot van li aba met een cijferslotprobleem. Er zijn nog veel meer toepassingen gerelateerd aan modulo-rekenen. We vermelden hier - toepassingen in cryptogra e (RS), zie Rivest et al. (978); - constructie vand pseudo-toevalsgeneratoren, zie hou (995) of Eichenauer- Herrmannn (99); - permutaties en het schudden van kaarten, zie Omey (22); - het gebruik van modulo-rekenen bij ISN-nummers, zie website ISN; - kunstwerken en modulo-rekenen, zie J. ritton (z.d.); - het zoeken van de laatste cijfers van bijvoorbeeld , zie Omey en Vangulck (24). enzovoort. 2 Modulo rekenen 2. De nitie Stel dat n > een natuurlijk getal is. Twee gehele getallen a en b zijn congruent modulo n indien het verschil a b een geheel veelvoud is van n. Notatie: a b mod(n). Het getal n wordt de modulus genoemd. Uiteraard geldt a b mod(n) indien er een geheel getal k bestaat waarvoor a = b + k n. Voorbeelden 9 3 mod(6) omdat 9 3 = 6 een geheel veelvoud is van 6;

2 2 mod(6) omdat 2 = 2 een geheel veelvoud is van 6; 25 mod(6) omdat 25 = 24 een geheel veelvoud is van mod(6) omdat 4 2 = 6 een geheel veelvoud is van 6. ij het rekenen modulo 6, vinden we dat alle gehele getallen a kunnen geschreven worden als a b mod(6), waarbij b 2 R 6 = f; ; 2; 3; 4; 5g. Het symbool R 6 is afkomstig van "rest bij het delen door 6". Opmerking Wanneer r > een reëel getal is, dan zijn de reële getallen x en y congruent modulo r indien x y een geheel veelvoud is van r. Notatie x y mod(r). In goniometrie rekenen we veelal mod(2). 2.2 Optellen en vermenigvuldigen ij het modulo rekenen kunnen we sommen nemen, verschillen nemen, vermenigvuldigen, machten berekenen, enzovoort Voorbeeld Omdat 8 2 mod(6) en 4 mod(6) vinden we 8 mod(6) + mod(6) 2 mod(6) + 4 mod(6) 6 mod(6) mod(6); 8 mod(6) mod(6) 2 mod(6) + 2 mod(6) 4 mod(6); 8 mod(6) mod(6) 2 mod(6) 4 mod(6) 8 mod(6) 2 mod(6); (8 (4 mod(6))) mod(6) (8 4) mod(6) 2 mod(6) 8 3 mod(6) 2 3 mod(6) 2 mod(6). Het voorbeeld illustreert de volgende eigenschap. Eigenschap Er geldt () a mod(m) + b mod(m) (a + b) mod(m) (2) (a mod(m) b) mod(m) = a mod(m) b mod(m) = (a b) mod(m) Voorbeeld 2 We bekijken in detail de mogelijkheden bij het berekenen van sommen en vermenigvuldigingen modulo 7. Voor de som vinden we de tabel links, voor het product de tabel rechts:

3 In de tabel vinden we bijvoorbeeld dat 4 mod(7) + 5 mod(7) 9 mod(7) 2 mod(7) of kortweg " ". Voor de vermenigvuldiging vinden we de tabel rechts. In de tabel vinden we bijvoorbeeld dat 4 mod(7) 5 mod(7) 2 mod(7) 6 mod(7) of kortweg "4 5 6". ij het rekenen mod(7) zien we dat de bewerkingen "+" en "" steeds leiden tot een resultaat in de verzameling R 7 = f; ; 2; 3; 4; 5; 6g. Dit betekent dat "+" en "" inwendig zijn en overal gede nieerd zijn. ij "+" merken we dat een neutraal element is: voor a 2 R 7 vinden we inderdaad dat a + + a a. De bewerking "+" is tevens commutatief en associatief. Ten slotte vinden we voor elke a 2 R 7 steeds een b 2 R 7 waarvoor a + b b + a. ij "" merken we dat het getal een neutraal element is en dat de bewerking commutatief is en associatief. Tevens vinden we voor elke a 2 R 7 ; a 6=, steeds een b 2 R 7 waarvoor a b b a. Dit betekent in dit geval dat alle elementen van R 7 n fg inverteerbaar zijn m.b.t. "" Voorbeeld 3 We bepalen de tabellen voor "+" en "" bij mod(6) ij het vermenigvuldigen zien we terug dat een neutraal element is. Tevens merken we dat het voor a 2 R 6 ; a 6= niét steeds mogelijk is om b 2 R 6 te vinden zodat a b b a. De verzameling van inverteerbare getallen in R 6 is gelijk aan f; 5g. De verzameling van niet-inverteerbare elementen is gelijk aan f; 2; 3; 4g. emerk dat GGD(2; 6) 6= ; GGD(3; 6) 6= en GGD(4; 6) 6=. De volgende eigenschap veralgemeent wat we vaststelden in deze voorbeelden. Eigenschap 2. ij de bewerking "" in R m heeft a 6= een invers element enkel en alleen als GGD(a; m) = Oefeningen.. In R is verzameling van inverteerbare getallen is gelijk aan f; 3; 7; 9g. 2. In R 5 zijn alle getallen a 6= inverteerbaar. 3. Welke zijn de inverteerbale elementen van R 97? 4. Hoeveel inverteerbare elementen heeft R? En R? 3

4 2.3 a mod(m) voor grote getallen a Om mod(3) te berekenen kunnen we een rekentoestel gebruiken en we vinden = en dus mod(3) = 9. Er kan ook een andere werkwijze gevolgd worden die tevens kan gebruikt worden bij grote getallen. Deze alternatieve werkwijze bestaat er in het groot getal te splitsen in kleinere, doenbare eenheden Voorbeeld In ons voorbeeld isoleren we de eerste 2 cijfers en we vinden: = Nu is het eenvoudig om te zien dat 74 = 9 mod(3) en dus dat = k = k We vinden dat mod(3) = 9954 mod(3). Het nieuw te onderzoeken getal is nu We isoleren terug 2 cijfers 99 en we vinden 99 = 8 mod(3). Dit leidt vervolgens tot mod(3) = 9954 mod(3) = 854 mod(3). Omdat 85 = 7 mod(3) vinden we We besluiten dat mod(3) = Voorbeeld mod(3) = 74 mod(3) = 9. We berekenen mod(77) en we isoleren telkens een groepje van 5 cijfers: - start getal: ! 2345 = 25 mod(77) - nieuw getal: ! = 37 mod(77) - nieuw getal: ! = 26 mod(77) - nieuw getal: ! = 2 mod(77) - nieuw getal: 232! 232 = mod(77) We besluiten dat mod(77) = Oefeningen. ereken: mod(7) (gebruik groepjes van 5 cijfers). 2. ereken: mod(3) (gebruik groepjes van 6 cijfers). 3. ereken: 4 mod(9) (gebruik groepjes van 7 cijfers). 4

5 2.4 Matrices We kunnen ook matrices bestuderen in R m. De berekeningen gebeuren zoals gebruikelijk, maar we rekenen hier mod(m) ewerkingen + en We kunnen eenvoudigweg matrices optellen en vermenigvuldigen. In R 6 bekijken we bijvoorbeeld de matrices = ; = We vinden hier en en + = = = = = Determinant en inverse matrix ; Voor vierkante matrices kunnen we de determinant bepalen en de cofactorenmatrix. Voor de matrix uit het vorige voorbeeld vinden we via de eerste rij de determinant van :. ; det() = = = ( 3) = 2 4 mod(6). Voor de cofactorenmatrix van vinden we of() =

6 De adjunct van de matrix : dj() = (of()) T In ons voorbeeld geldt dat: dj() = = Deze eigenschap geldt zoals in de gewone matrixleer altijd: dj() dj() det()i m. waarbij I m de m m - eenheidsmatrix is. Indien det() 6= een inverse b heeft in R m, dan volgt uit de vorige formule dat b dj() b dj() I m, en dus ook dat de matrix inverteerbaar is in R m. In het voorbeeld vonden we dat dj() = 4 I 3 en rekenden we in R 6. Volgens Eigenschap 2 heeft 4 geen inverse in R 6 omdat GGD(4; 6) = 2 6=. In ons voorbeeld is dus niet inverteerbaar in R 6. Eigenschap 3. ij de bewerking "" in R m heeft de vierkante matrix een inverse matrix enkel en alleen als det() een inverse heeft in R m of indien GGD(det(); m) =. ewijs. Dit volgt uit de algemene eigenschap van matrices dj() dj() det()i m en eigenschap Oefeningen epaal de determinant en indien mogelijk de inverse van de matrix en van de matrix, waarbij = 3 2, = 5, a) in R 6 b) in R 7 c) in R 6

7 3 Toepassingen 3. IN Sedert enkele jaren hebben alle bankrekeningen in elgië en in Europa een IN nummer. IN is de afkorting van "International ank ccount Number". Een typisch IN-nummer in elgië ziet er uit als volgt: E In andere landen zijn er andere, maar vaste en vergelijkbare afspraken. Veel informatie is beschikbaar op de website van ES (European ommittee for anking Standards): emerk dat voor een gegeven land (hier E) en een code (hier 46) er 2 = miljard mogelijke rekeningnummers zijn! Uiteraard worden niet alle nummers toegekend. 3.. eveiliging Er zijn in IN verschillende beveiligingsmechanismen ingebouwd. Zo is de vorm van het nummer steeds gelijk aan landcode + controle nummer + 2 cijfers (in elgië). Een ander mechanisme is het volgende. We vertrekken van het rekeningnummer E We veranderen de letters E in getallen als volgt: =, =, = 2,... en we vinden in het voorbeeld: Nu worden de eerste 6 cijfers verplaatst van vooraan naar achteraan: a = Het nieuwe getal bestaat uit 8 cijfers. Van dit getal moet gelden dat a = mod(97). Indien deze voorwaarde niet vervuld is, dan gaat het om een ctief bankrekeningnummer. Voor de meeste rekentoestellen is dit getal echter te groot om onmiddellijk en in één stap te berekenen hoeveel a mod(97) is en daarom wordt een procedure gevolgd zoals in de vorige paragraaf. We isoleren nu telkens 9 cijfers en kunnen alle berekeningen maken met (bijvoorbeeld) Excel. In ons voorbeeld vinden we: - getal: ! = 32 mod(97) - nieuw getal: ! = 82 mod(97) - nieuw getal: 8246! 8246 = mod(97) We vinden als eindcijfer het getal en dit bevestigt dat het om een echt IN-nummer gaat. 7

8 3..2 Het controlegetal In het rekeningnummer E is het getal 46 een soort controlegetal. De oorsprong van het getal is als volgt. We vertrekken van het nummer E en vervangen "E46" door "E". We vervangen nu de letters ; ; ; ::: door getallen als volgt: = ; = ; :::. We vinden We verplaatsen nu de eerste 6 cijfers naar achter en we vinden een getal a dat bestaat uit 8 cijfers: a = Van dit getal berekenen we nu de rest na deling door 97. We vinden (groepjes van 8): - getal: ! = 7 mod(97) - nieuw getal: 77364! 7736 = 55 mod(97) - nieuw getal: 554! 554 = 52 mod(97) en we vinden a mod(97) = 52. Zoek nu zelf de oplossing van de vergelijking 52+x = mod(97) en controleer dat x = 46, het controlegetal! Opmerking. Indien alles correct is verlopen vinden we natuurlijk dat a a = 46 of a = a 46. Omdat a mod(97), vinden we dat a mod(97) ( 46) mod(97) 45 mod(97) 52 mod(97) Oefeningen. ekijk het volgend rekeningnummer: E Zoek het controlegetal. 2. Ga na of de volgend nummers echte IN rekeningnummers zijn! a) een nummer uit Saudi-rabië: S b) een nummer uit Groot-ritannië: G82 WEST c) een nummer uit elgië: E Sesam, Open U "Sesam, Open U" is het magische wachtwoord dat li aba gebruikte om de ingang van de grot te openen in het sprookje van li aba en de veertig rovers. In deze toepassing bestuderen we het volgende slotenvraagstuk! 3.2. Vraagstuk Een kluis heeft 3 speciale cijfersloten die vooruit kunnen gedraaid worden. Elk slot kan de waarden ; ; 2; :::; 9 aannemen en de begintoestand van de sloten is (bijvoorbeeld) gelijk aan 4. De kluis kan enkel geopend worden indien de drie sloten de getalwaarde 9 hebben:

9 De sloten kunnen eindeloos gedraaid worden en wanneer er 8 maal gedraaid wordt aan bijvoorbeeld slot 3 komen we terecht bij = 2 = 2 mod(). ij het verdraaien van de sloten rekenen we dus in R. De sloten van deze kluis zijn echter speciaal en wanneer het eerste slot van stand naar een andere stand gaat, dan heeft dat een invloed op de andere sloten. In dit voorbeeld gaan we er van uit dat bij een toename van eenheid bij slot, ook slot 2 toeneemt met eenheid en slot 3 toeneemt met 2 eenheden. We vinden dan de volgende situatie bij de sloten: 4 S+! 2 6. Wanneer we het 2de slot met eenheid verhogen, dan verandert ook slot met 2 eenheden en verandert slot 3 niet. We vinden dus 2 6 S2+! Wanneer we het 3de slot verhogen met eenheid, dan veranderen sloten en 2 met eenheid. Dit is S3+! Het probleem is nu om te zien hoe en of we bij de eindstand kunnen geraken. Om dit probleem op te lossen kunnen we gewoon alle mogelijkheden (er zijn er = ) uitproberen en zien welke mogelijkheden leiden tot de schat! Dit is niet alleen een groot werk, maar we weten vooraf zelfs niet of het probleem wel een oplossing bezit! Zie voorbeeld 3 verderop. In dit artikel volgen we de werkwijze die werd voorgesteld door Hulsizer (24). We maken een tabel die de gevolgen weergeeft bij het opschuiven van eenheid op één slot op de andere sloten. De tabel in dit voorbeeld is de volgende (de sloten zijn S, S2 en S3): invloed op #: S S2 S3 S 2 S2 S3 2 Stel nu dat de startpositie gelijk is aan 4 en dat we slot met x eenheden, slot 2 met y eenheden en slot 3 met z eenheden verdraaien. Dan is de eindstand van de drie sloten gelijk aan slot : + x + 2y + z slot 2 : + x + y + z slot 3 : 4 + 2x + z ij slot gebeuren x stappen omwille van slot, 2y stappen omwille van slot 2 en z stappen omwille van slot 3. Voor de andere sloten is de redenering gelijkaardig. 9

10 We willen dat de eindstand gelijk is aan Dit betekent dat we eisen dat: of dat slot : + x + 2y + z = 9 () slot 2 : + x + y + z = 9 slot 3 : 4 + 2x + z = 9 slot : x + 2y + z = 9 (2) slot 2 : x + y + z = 8 slot 3 : 2x + z = 5 De stelsels (), (2) kunnen we m.b.v. matrixnotatie herschrijven als volgt: + 2 x y z 9 of 2 2 x y z Voor de matrix vinden we dat de determinant gelijk is aan 2 det() = 2. Omdat inverteerbaar is in R heeft de matrix van het stelsel een inverse in R. We vinden (in R ) dat en bijgevolg x y z = mod() ls oplossing kunnen we dus de kluis openen bij de keuze (x; y; z) = (8; ; 9). Opmerking. We kunnen de kluis ook openen bij de keuze (x; y; z) = (8; ; 9)+ k (; ; ), met k = ; ; 2; :::

11 3.2.2 Vraagstuk 2 Een kluis heeft 4 speciale cijfersloten die kunnen gedraaid worden. Elk slot kan de waarden ; ; 2; :::; 9 aannemen en de begintoestand van de sloten is (bijvoorbeeld) gelijk aan De kluis kan enkel geopend worden indien de sloten de volgende getalwaarden hebben: Zoals in Voorbeeld, beinvloeden de sloten elkaar. Hier gaan we uit van de volgende beïnvloedingstabel: invloed op # S S2 S3 S4 S S2 S3 S4 Om het probleem op te lossen moeten we het volgend stelsel oplossen in R : of, in matrixnotatie of S : 8 + x + y = 2 S2 : 8 + x + y + z = 7 S3 : 4 + y + z + w = 4 S4 : 5 + z + w = 6 x y z w = 6 x y z w = mod() De determinant van de matrix van het stelsel is gelijk aan det() = 9 mod(). Omdat 9 inverteerbaar is in R bestaat de inverse matrix en we vinden (via excel of een ander rekentoestel): mod() 9 Hieruit volgt dat x y z = w mod().

12 3.2.3 Vraagstuk 3 Een kluis heeft 3 speciale cijfersloten die kunnen gedraaid worden. Elk slot kan de waarden ; ; 2; :::; 9 aannemen en de begintoestand van de sloten is gelijk aan De kluis kan enkel geopend worden indien de drie sloten de volgende getalwaarde hebben: De beïnvloedingstabel in dit voorbeeld is de volgende: invloed op #: S S2 S3 S 2 S2 S3 Stel nu dat we slot met x eenheden, slot met y eenheden en slot 3 met z eenheden verdraaien. We vinden nu het volgend stelsel: In matrix notatie vinden we slot : 2 + x + 2y = 5 slot 2 : 3 + x + y + z = 6 slot 3 : 4 + y + z = 7 2 x y z = De determinant van de matrix van het stelsel is gelijk aan 2 = 2 8 mod(). Nu is 8 niet inverteerbaar in R. Vraagstuk 3 heeft dus géén oplossing Oefening Een kluis heeft 3 speciale cijfersloten die kunnen gedraaid worden. Elk slot kan de waarden ; ; 2; 3; 4 aannemen en de begintoestand van de sloten is gelijk aan 3 2. De kluis kan enkel geopend worden indien de drie sloten de getalwaarde hebben:. emerk dat we nu moeten rekenen in R 5! De beïnvloedingstabel in dit voorbeeld is de volgende: invloed op #: S S2 S3 S S2 S3 Ga na dat (x; y; z) = (4; ; 3) een oplossing is van dit vraagstuk. 2

13 4 ronnen. J. ritton, Modular art W.S. hou,on inversive Maximal Period Polynomials over Finite Fields, pplicable lgebra in Engineering, ommunication and omputing, No. 4/5, 995, pp ES (European ommittee for anking Standards): IN - International ank ccount Number. ES, russels 23. Website: 4. J. Eichenauer-Herrmannn. Inversive congruential pseudorandom numbers avoid the planes, Math.omp., Vol. 56,99, pp H. Hulsizer (24). Mod ern Mathematical dventure in "all of Duty alck Ops". Math Horizons, Mathematical ssociation of merica, February 24, pp ISN: 7. E. Omey (23). Spelen met kaarten. Wiskunde en Onderwijs nr. 6, E. Omey, S. Van Gulck (24). What are the last digits of...?. To appear in the International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 9. Rivest, R.;. Shamir; L. dleman (978). " Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key ryptosystems". ommunications of the M 2 (2):