Sesam, open U! Edward Omey KU campus Brussel, Faculteit Economie Warmoesberg 26, 1000 Brussel, België

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Sesam, open U! Edward Omey KU Leuven @ campus Brussel, Faculteit Economie Warmoesberg 26, 1000 Brussel, België edward.omey@kuleuven."

Transcriptie

1 Inleiding Sesam, open U! Edward Omey KU Leuven campus russel, Faculteit Economie Warmoesberg 26, russel, elgië edward.omeykuleuven.be ij uurwerken zijn we het gewoon om om 8 uur s morgens naar school te vertrekken om 8 uur later om 4 uur in de namiddag terug te komen. Of we gaan slapen om uur s avonds en staan 8 uur later om 7 uur s morgens op. ehalve in de stations en luchthavens staan we er meestal niet bij stil dat "8 + 8 = 6" vervangen wordt door "8 + 8 = 4". Dit tijdsgebonden rekenen modulo 2 vinden we zo vanzelfsprekend! In dit artikel bespreken we eerst modulo rekenen. We geven de de nities en formuleren enkele eigenschappen bij het rekenen met getallen en met matrices. Vervolgens komen twee toepassingen aan bod waarbij modulo rekenen uiterst nuttig blijkt. We bekijken een toepassing i.v.m. de IN-rekeningnummers die nu gebruikt worden en we openen de grot van li aba met een cijferslotprobleem. Er zijn nog veel meer toepassingen gerelateerd aan modulo-rekenen. We vermelden hier - toepassingen in cryptogra e (RS), zie Rivest et al. (978); - constructie vand pseudo-toevalsgeneratoren, zie hou (995) of Eichenauer- Herrmannn (99); - permutaties en het schudden van kaarten, zie Omey (22); - het gebruik van modulo-rekenen bij ISN-nummers, zie website ISN; - kunstwerken en modulo-rekenen, zie J. ritton (z.d.); - het zoeken van de laatste cijfers van bijvoorbeeld , zie Omey en Vangulck (24). enzovoort. 2 Modulo rekenen 2. De nitie Stel dat n > een natuurlijk getal is. Twee gehele getallen a en b zijn congruent modulo n indien het verschil a b een geheel veelvoud is van n. Notatie: a b mod(n). Het getal n wordt de modulus genoemd. Uiteraard geldt a b mod(n) indien er een geheel getal k bestaat waarvoor a = b + k n. Voorbeelden 9 3 mod(6) omdat 9 3 = 6 een geheel veelvoud is van 6;

2 2 mod(6) omdat 2 = 2 een geheel veelvoud is van 6; 25 mod(6) omdat 25 = 24 een geheel veelvoud is van mod(6) omdat 4 2 = 6 een geheel veelvoud is van 6. ij het rekenen modulo 6, vinden we dat alle gehele getallen a kunnen geschreven worden als a b mod(6), waarbij b 2 R 6 = f; ; 2; 3; 4; 5g. Het symbool R 6 is afkomstig van "rest bij het delen door 6". Opmerking Wanneer r > een reëel getal is, dan zijn de reële getallen x en y congruent modulo r indien x y een geheel veelvoud is van r. Notatie x y mod(r). In goniometrie rekenen we veelal mod(2). 2.2 Optellen en vermenigvuldigen ij het modulo rekenen kunnen we sommen nemen, verschillen nemen, vermenigvuldigen, machten berekenen, enzovoort Voorbeeld Omdat 8 2 mod(6) en 4 mod(6) vinden we 8 mod(6) + mod(6) 2 mod(6) + 4 mod(6) 6 mod(6) mod(6); 8 mod(6) mod(6) 2 mod(6) + 2 mod(6) 4 mod(6); 8 mod(6) mod(6) 2 mod(6) 4 mod(6) 8 mod(6) 2 mod(6); (8 (4 mod(6))) mod(6) (8 4) mod(6) 2 mod(6) 8 3 mod(6) 2 3 mod(6) 2 mod(6). Het voorbeeld illustreert de volgende eigenschap. Eigenschap Er geldt () a mod(m) + b mod(m) (a + b) mod(m) (2) (a mod(m) b) mod(m) = a mod(m) b mod(m) = (a b) mod(m) Voorbeeld 2 We bekijken in detail de mogelijkheden bij het berekenen van sommen en vermenigvuldigingen modulo 7. Voor de som vinden we de tabel links, voor het product de tabel rechts:

3 In de tabel vinden we bijvoorbeeld dat 4 mod(7) + 5 mod(7) 9 mod(7) 2 mod(7) of kortweg " ". Voor de vermenigvuldiging vinden we de tabel rechts. In de tabel vinden we bijvoorbeeld dat 4 mod(7) 5 mod(7) 2 mod(7) 6 mod(7) of kortweg "4 5 6". ij het rekenen mod(7) zien we dat de bewerkingen "+" en "" steeds leiden tot een resultaat in de verzameling R 7 = f; ; 2; 3; 4; 5; 6g. Dit betekent dat "+" en "" inwendig zijn en overal gede nieerd zijn. ij "+" merken we dat een neutraal element is: voor a 2 R 7 vinden we inderdaad dat a + + a a. De bewerking "+" is tevens commutatief en associatief. Ten slotte vinden we voor elke a 2 R 7 steeds een b 2 R 7 waarvoor a + b b + a. ij "" merken we dat het getal een neutraal element is en dat de bewerking commutatief is en associatief. Tevens vinden we voor elke a 2 R 7 ; a 6=, steeds een b 2 R 7 waarvoor a b b a. Dit betekent in dit geval dat alle elementen van R 7 n fg inverteerbaar zijn m.b.t. "" Voorbeeld 3 We bepalen de tabellen voor "+" en "" bij mod(6) ij het vermenigvuldigen zien we terug dat een neutraal element is. Tevens merken we dat het voor a 2 R 6 ; a 6= niét steeds mogelijk is om b 2 R 6 te vinden zodat a b b a. De verzameling van inverteerbare getallen in R 6 is gelijk aan f; 5g. De verzameling van niet-inverteerbare elementen is gelijk aan f; 2; 3; 4g. emerk dat GGD(2; 6) 6= ; GGD(3; 6) 6= en GGD(4; 6) 6=. De volgende eigenschap veralgemeent wat we vaststelden in deze voorbeelden. Eigenschap 2. ij de bewerking "" in R m heeft a 6= een invers element enkel en alleen als GGD(a; m) = Oefeningen.. In R is verzameling van inverteerbare getallen is gelijk aan f; 3; 7; 9g. 2. In R 5 zijn alle getallen a 6= inverteerbaar. 3. Welke zijn de inverteerbale elementen van R 97? 4. Hoeveel inverteerbare elementen heeft R? En R? 3

4 2.3 a mod(m) voor grote getallen a Om mod(3) te berekenen kunnen we een rekentoestel gebruiken en we vinden = en dus mod(3) = 9. Er kan ook een andere werkwijze gevolgd worden die tevens kan gebruikt worden bij grote getallen. Deze alternatieve werkwijze bestaat er in het groot getal te splitsen in kleinere, doenbare eenheden Voorbeeld In ons voorbeeld isoleren we de eerste 2 cijfers en we vinden: = Nu is het eenvoudig om te zien dat 74 = 9 mod(3) en dus dat = k = k We vinden dat mod(3) = 9954 mod(3). Het nieuw te onderzoeken getal is nu We isoleren terug 2 cijfers 99 en we vinden 99 = 8 mod(3). Dit leidt vervolgens tot mod(3) = 9954 mod(3) = 854 mod(3). Omdat 85 = 7 mod(3) vinden we We besluiten dat mod(3) = Voorbeeld mod(3) = 74 mod(3) = 9. We berekenen mod(77) en we isoleren telkens een groepje van 5 cijfers: - start getal: ! 2345 = 25 mod(77) - nieuw getal: ! = 37 mod(77) - nieuw getal: ! = 26 mod(77) - nieuw getal: ! = 2 mod(77) - nieuw getal: 232! 232 = mod(77) We besluiten dat mod(77) = Oefeningen. ereken: mod(7) (gebruik groepjes van 5 cijfers). 2. ereken: mod(3) (gebruik groepjes van 6 cijfers). 3. ereken: 4 mod(9) (gebruik groepjes van 7 cijfers). 4

5 2.4 Matrices We kunnen ook matrices bestuderen in R m. De berekeningen gebeuren zoals gebruikelijk, maar we rekenen hier mod(m) ewerkingen + en We kunnen eenvoudigweg matrices optellen en vermenigvuldigen. In R 6 bekijken we bijvoorbeeld de matrices = ; = We vinden hier en en + = = = = = Determinant en inverse matrix ; Voor vierkante matrices kunnen we de determinant bepalen en de cofactorenmatrix. Voor de matrix uit het vorige voorbeeld vinden we via de eerste rij de determinant van :. ; det() = = = ( 3) = 2 4 mod(6). Voor de cofactorenmatrix van vinden we of() =

6 De adjunct van de matrix : dj() = (of()) T In ons voorbeeld geldt dat: dj() = = Deze eigenschap geldt zoals in de gewone matrixleer altijd: dj() dj() det()i m. waarbij I m de m m - eenheidsmatrix is. Indien det() 6= een inverse b heeft in R m, dan volgt uit de vorige formule dat b dj() b dj() I m, en dus ook dat de matrix inverteerbaar is in R m. In het voorbeeld vonden we dat dj() = 4 I 3 en rekenden we in R 6. Volgens Eigenschap 2 heeft 4 geen inverse in R 6 omdat GGD(4; 6) = 2 6=. In ons voorbeeld is dus niet inverteerbaar in R 6. Eigenschap 3. ij de bewerking "" in R m heeft de vierkante matrix een inverse matrix enkel en alleen als det() een inverse heeft in R m of indien GGD(det(); m) =. ewijs. Dit volgt uit de algemene eigenschap van matrices dj() dj() det()i m en eigenschap Oefeningen epaal de determinant en indien mogelijk de inverse van de matrix en van de matrix, waarbij = 3 2, = 5, a) in R 6 b) in R 7 c) in R 6

7 3 Toepassingen 3. IN Sedert enkele jaren hebben alle bankrekeningen in elgië en in Europa een IN nummer. IN is de afkorting van "International ank ccount Number". Een typisch IN-nummer in elgië ziet er uit als volgt: E In andere landen zijn er andere, maar vaste en vergelijkbare afspraken. Veel informatie is beschikbaar op de website van ES (European ommittee for anking Standards): emerk dat voor een gegeven land (hier E) en een code (hier 46) er 2 = miljard mogelijke rekeningnummers zijn! Uiteraard worden niet alle nummers toegekend. 3.. eveiliging Er zijn in IN verschillende beveiligingsmechanismen ingebouwd. Zo is de vorm van het nummer steeds gelijk aan landcode + controle nummer + 2 cijfers (in elgië). Een ander mechanisme is het volgende. We vertrekken van het rekeningnummer E We veranderen de letters E in getallen als volgt: =, =, = 2,... en we vinden in het voorbeeld: Nu worden de eerste 6 cijfers verplaatst van vooraan naar achteraan: a = Het nieuwe getal bestaat uit 8 cijfers. Van dit getal moet gelden dat a = mod(97). Indien deze voorwaarde niet vervuld is, dan gaat het om een ctief bankrekeningnummer. Voor de meeste rekentoestellen is dit getal echter te groot om onmiddellijk en in één stap te berekenen hoeveel a mod(97) is en daarom wordt een procedure gevolgd zoals in de vorige paragraaf. We isoleren nu telkens 9 cijfers en kunnen alle berekeningen maken met (bijvoorbeeld) Excel. In ons voorbeeld vinden we: - getal: ! = 32 mod(97) - nieuw getal: ! = 82 mod(97) - nieuw getal: 8246! 8246 = mod(97) We vinden als eindcijfer het getal en dit bevestigt dat het om een echt IN-nummer gaat. 7

8 3..2 Het controlegetal In het rekeningnummer E is het getal 46 een soort controlegetal. De oorsprong van het getal is als volgt. We vertrekken van het nummer E en vervangen "E46" door "E". We vervangen nu de letters ; ; ; ::: door getallen als volgt: = ; = ; :::. We vinden We verplaatsen nu de eerste 6 cijfers naar achter en we vinden een getal a dat bestaat uit 8 cijfers: a = Van dit getal berekenen we nu de rest na deling door 97. We vinden (groepjes van 8): - getal: ! = 7 mod(97) - nieuw getal: 77364! 7736 = 55 mod(97) - nieuw getal: 554! 554 = 52 mod(97) en we vinden a mod(97) = 52. Zoek nu zelf de oplossing van de vergelijking 52+x = mod(97) en controleer dat x = 46, het controlegetal! Opmerking. Indien alles correct is verlopen vinden we natuurlijk dat a a = 46 of a = a 46. Omdat a mod(97), vinden we dat a mod(97) ( 46) mod(97) 45 mod(97) 52 mod(97) Oefeningen. ekijk het volgend rekeningnummer: E Zoek het controlegetal. 2. Ga na of de volgend nummers echte IN rekeningnummers zijn! a) een nummer uit Saudi-rabië: S b) een nummer uit Groot-ritannië: G82 WEST c) een nummer uit elgië: E Sesam, Open U "Sesam, Open U" is het magische wachtwoord dat li aba gebruikte om de ingang van de grot te openen in het sprookje van li aba en de veertig rovers. In deze toepassing bestuderen we het volgende slotenvraagstuk! 3.2. Vraagstuk Een kluis heeft 3 speciale cijfersloten die vooruit kunnen gedraaid worden. Elk slot kan de waarden ; ; 2; :::; 9 aannemen en de begintoestand van de sloten is (bijvoorbeeld) gelijk aan 4. De kluis kan enkel geopend worden indien de drie sloten de getalwaarde 9 hebben:

9 De sloten kunnen eindeloos gedraaid worden en wanneer er 8 maal gedraaid wordt aan bijvoorbeeld slot 3 komen we terecht bij = 2 = 2 mod(). ij het verdraaien van de sloten rekenen we dus in R. De sloten van deze kluis zijn echter speciaal en wanneer het eerste slot van stand naar een andere stand gaat, dan heeft dat een invloed op de andere sloten. In dit voorbeeld gaan we er van uit dat bij een toename van eenheid bij slot, ook slot 2 toeneemt met eenheid en slot 3 toeneemt met 2 eenheden. We vinden dan de volgende situatie bij de sloten: 4 S+! 2 6. Wanneer we het 2de slot met eenheid verhogen, dan verandert ook slot met 2 eenheden en verandert slot 3 niet. We vinden dus 2 6 S2+! Wanneer we het 3de slot verhogen met eenheid, dan veranderen sloten en 2 met eenheid. Dit is S3+! Het probleem is nu om te zien hoe en of we bij de eindstand kunnen geraken. Om dit probleem op te lossen kunnen we gewoon alle mogelijkheden (er zijn er = ) uitproberen en zien welke mogelijkheden leiden tot de schat! Dit is niet alleen een groot werk, maar we weten vooraf zelfs niet of het probleem wel een oplossing bezit! Zie voorbeeld 3 verderop. In dit artikel volgen we de werkwijze die werd voorgesteld door Hulsizer (24). We maken een tabel die de gevolgen weergeeft bij het opschuiven van eenheid op één slot op de andere sloten. De tabel in dit voorbeeld is de volgende (de sloten zijn S, S2 en S3): invloed op #: S S2 S3 S 2 S2 S3 2 Stel nu dat de startpositie gelijk is aan 4 en dat we slot met x eenheden, slot 2 met y eenheden en slot 3 met z eenheden verdraaien. Dan is de eindstand van de drie sloten gelijk aan slot : + x + 2y + z slot 2 : + x + y + z slot 3 : 4 + 2x + z ij slot gebeuren x stappen omwille van slot, 2y stappen omwille van slot 2 en z stappen omwille van slot 3. Voor de andere sloten is de redenering gelijkaardig. 9

10 We willen dat de eindstand gelijk is aan Dit betekent dat we eisen dat: of dat slot : + x + 2y + z = 9 () slot 2 : + x + y + z = 9 slot 3 : 4 + 2x + z = 9 slot : x + 2y + z = 9 (2) slot 2 : x + y + z = 8 slot 3 : 2x + z = 5 De stelsels (), (2) kunnen we m.b.v. matrixnotatie herschrijven als volgt: + 2 x y z 9 of 2 2 x y z Voor de matrix vinden we dat de determinant gelijk is aan 2 det() = 2. Omdat inverteerbaar is in R heeft de matrix van het stelsel een inverse in R. We vinden (in R ) dat en bijgevolg x y z = mod() ls oplossing kunnen we dus de kluis openen bij de keuze (x; y; z) = (8; ; 9). Opmerking. We kunnen de kluis ook openen bij de keuze (x; y; z) = (8; ; 9)+ k (; ; ), met k = ; ; 2; :::

11 3.2.2 Vraagstuk 2 Een kluis heeft 4 speciale cijfersloten die kunnen gedraaid worden. Elk slot kan de waarden ; ; 2; :::; 9 aannemen en de begintoestand van de sloten is (bijvoorbeeld) gelijk aan De kluis kan enkel geopend worden indien de sloten de volgende getalwaarden hebben: Zoals in Voorbeeld, beinvloeden de sloten elkaar. Hier gaan we uit van de volgende beïnvloedingstabel: invloed op # S S2 S3 S4 S S2 S3 S4 Om het probleem op te lossen moeten we het volgend stelsel oplossen in R : of, in matrixnotatie of S : 8 + x + y = 2 S2 : 8 + x + y + z = 7 S3 : 4 + y + z + w = 4 S4 : 5 + z + w = 6 x y z w = 6 x y z w = mod() De determinant van de matrix van het stelsel is gelijk aan det() = 9 mod(). Omdat 9 inverteerbaar is in R bestaat de inverse matrix en we vinden (via excel of een ander rekentoestel): mod() 9 Hieruit volgt dat x y z = w mod().

12 3.2.3 Vraagstuk 3 Een kluis heeft 3 speciale cijfersloten die kunnen gedraaid worden. Elk slot kan de waarden ; ; 2; :::; 9 aannemen en de begintoestand van de sloten is gelijk aan De kluis kan enkel geopend worden indien de drie sloten de volgende getalwaarde hebben: De beïnvloedingstabel in dit voorbeeld is de volgende: invloed op #: S S2 S3 S 2 S2 S3 Stel nu dat we slot met x eenheden, slot met y eenheden en slot 3 met z eenheden verdraaien. We vinden nu het volgend stelsel: In matrix notatie vinden we slot : 2 + x + 2y = 5 slot 2 : 3 + x + y + z = 6 slot 3 : 4 + y + z = 7 2 x y z = De determinant van de matrix van het stelsel is gelijk aan 2 = 2 8 mod(). Nu is 8 niet inverteerbaar in R. Vraagstuk 3 heeft dus géén oplossing Oefening Een kluis heeft 3 speciale cijfersloten die kunnen gedraaid worden. Elk slot kan de waarden ; ; 2; 3; 4 aannemen en de begintoestand van de sloten is gelijk aan 3 2. De kluis kan enkel geopend worden indien de drie sloten de getalwaarde hebben:. emerk dat we nu moeten rekenen in R 5! De beïnvloedingstabel in dit voorbeeld is de volgende: invloed op #: S S2 S3 S S2 S3 Ga na dat (x; y; z) = (4; ; 3) een oplossing is van dit vraagstuk. 2

13 4 ronnen. J. ritton, Modular art. 2. W.S. hou,on inversive Maximal Period Polynomials over Finite Fields, pplicable lgebra in Engineering, ommunication and omputing, No. 4/5, 995, pp ES (European ommittee for anking Standards): IN - International ank ccount Number. ES, russels 23. Website: 4. J. Eichenauer-Herrmannn. Inversive congruential pseudorandom numbers avoid the planes, Math.omp., Vol. 56,99, pp H. Hulsizer (24). Mod ern Mathematical dventure in "all of Duty alck Ops". Math Horizons, Mathematical ssociation of merica, February 24, pp ISN: https://www.isbn-international.org/ 7. E. Omey (23). Spelen met kaarten. Wiskunde en Onderwijs nr. 6, E. Omey, S. Van Gulck (24). What are the last digits of...?. To appear in the International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 9. Rivest, R.;. Shamir; L. dleman (978). " Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key ryptosystems". ommunications of the M 2 (2):

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

Projectieve Vlakken en Codes

Projectieve Vlakken en Codes Projectieve Vlakken en Codes 1. De Fanocode Foutdetecterende en foutverbeterende codes. Anna en Bart doen mee aan een spelprogramma voor koppels. De ene helft van de deelnemers krijgt elk een kaart waarop

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1 WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit

Nadere informatie

HOE BEWAAR JE SAMEN EEN GEHEIM

HOE BEWAAR JE SAMEN EEN GEHEIM HOE BEWAAR JE SAMEN EEN GEHEIM KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. Dit artikel gaat over hoe een groep mensen samen een waardevol document of een grote som geld in een kluis kunnen bewaren, en wel op zo n manier

Nadere informatie

Groepen, ringen en velden

Groepen, ringen en velden Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:

Nadere informatie

De Chinese reststelling

De Chinese reststelling De Chinese reststelling 1 Inleiding 1. De Chinese reststelling is een stelling binnen de getaltheorie. De stelling werd voor het eerst beschreven in de vierde eeuw na Chr. door de Chinese wiskundige Sunzi

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

Inhoudsopgave. I Theorie 1

Inhoudsopgave. I Theorie 1 Inhoudsopgave I Theorie 1 1 Verzamelingen 3 1.1 Inleiding........................................ 3 1.2 Bewerkingen met verzamelingen........................... 6 1.2.1 Vereniging (unie) van twee verzamelingen.................

Nadere informatie

Functies van vectoren

Functies van vectoren Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 : REKENEN

Hoofdstuk 1 : REKENEN 1 / 6 H1 Rekenen Hoofdstuk 1 : REKENEN 1. Wat moet ik leren? (handboek p.3-34) 1.1 Het decimaal stelsel In verband met het decimaal stelsel: a) het grondtal van ons decimaal stelsel geven. b) benamingen

Nadere informatie

Bijlage 11 - Toetsenmateriaal

Bijlage 11 - Toetsenmateriaal Bijlage - Toetsenmateriaal Toets Module In de eerste module worden de getallen behandeld: - Natuurlijke getallen en talstelsels - Gemiddelde - mediaan - Getallenas en assenstelsel - Gehele getallen met

Nadere informatie

4. Determinanten en eigenwaarden

4. Determinanten en eigenwaarden 4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Afspraken hoofdrekenen eerste tot zesde leerjaar

Afspraken hoofdrekenen eerste tot zesde leerjaar 24/04/2013 Afspraken hoofdrekenen eerste tot zesde leerjaar Sint-Ursula-Instituut Rekenprocedures eerste leerjaar Rekenen, hoe doe ik dat? 1. E + E = E 2 + 5 = 7 Ik heb er 2. Er komen er 5 bij. Dat is

Nadere informatie

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:

Nadere informatie

Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen

Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen 2.1 Natuurlijke getallen 1 Rangschik de volgende natuurlijke getallen van klein naar groot. 45 54 56 78 23 25 77 89 2 050 2 505 2 055 2 500 2 005 879

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

Migrerende euromunten

Migrerende euromunten Migrerende euromunten Inleiding Op 1 januari 2002 werden in vijftien Europese landen (twaalf grote en drie heel kleine) euromunten en - biljetten in omloop gebracht. Wat de munten betreft, ging het in

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

b + b c + c d + d a + a

b + b c + c d + d a + a Voorwoord De wiskundige vorming die in de wiskundig sterke richtingen van het Vlaamse secundair onderwijs wordt aangeboden, vormt een zeer degelijke basis voor hogere studies in wetenschappelijke, technologische

Nadere informatie

Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden

Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Leerkracht: Koen De Naeghel Schooljaar: 2012-2013 Klas: 5aLWi8, 5aWWi8 Aantal taken: 19 Aantal repetities: 14 Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Taken Eerste trimester: 11 taken indienen op taak

Nadere informatie

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214 Open Inhoud Universiteit Appendix A Wiskunde voor milieuwetenschappen Voorkennis getallenverzamelingen en algebra Introductie Leerkern Natuurlijke getallen Gehele getallen 8 Rationele getallen Machten

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr. Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk

Nadere informatie

Het RSA Algoritme. Erik Aarts - 1 -

Het RSA Algoritme. Erik Aarts - 1 - Het RSA Algoritme Erik Aarts - 1 - 1 Wiskunde... 3 1.1 Het algoritme van Euclides... 3 1.1.1 Stelling 1... 4 1.2 Het uitgebreide algoritme van Euclides... 5 1.3 Modulo rekenen... 7 1.3.1 Optellen, aftrekken

Nadere informatie

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =

Nadere informatie

Toepassingen op differentievergelijkingen

Toepassingen op differentievergelijkingen Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

Determinanten. , dan is det A =

Determinanten. , dan is det A = Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is

Nadere informatie

Les A-03 Binaire en hexadecimale getallen

Les A-03 Binaire en hexadecimale getallen Les A-03 Binaire en hexadecimale getallen In deze les wordt behandeld hoe getallen kunnen worden voorgesteld door informatie die bestaat uit reeksen 0-en en 1-en. We noemen deze informatie digitale informatie.

Nadere informatie

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale

Nadere informatie

Goed aan wiskunde doen

Goed aan wiskunde doen Goed aan wiskunde doen Enkele tips Associatie K.U.Leuven Tim Neijens Katrien D haeseleer Annemie Vermeyen Maart 2011 Waarom? Dit document somt de belangrijkste aandachtspunten op als je een wiskundeopgave

Nadere informatie

Binair Binair = tweewaardig Beperkt aantal mogelijke waarden (discreet aantal in amplitude) Wij zijn gewoon aan decimaal (tiendelig)

Binair Binair = tweewaardig Beperkt aantal mogelijke waarden (discreet aantal in amplitude) Wij zijn gewoon aan decimaal (tiendelig) Binair Binair = tweewaardig Beperkt aantal mogelijke waarden (discreet aantal in amplitude) Wij zijn gewoon aan decimaal (tiendelig) In elektronische realisatie zijn 10 verschillende toestanden moeilijk

Nadere informatie

1 Hele getallen. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden

1 Hele getallen. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden 1 Hele getallen Peter Ale Martine van Schaik u i t g e v e r ij c o u t i

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk

Nadere informatie

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n

Nadere informatie

CIJFEREN: DE TRAPVERMENIGVULDIGING

CIJFEREN: DE TRAPVERMENIGVULDIGING CIJFEREN: DE TRAPVERMENIGVULDIGING Luc Cielen Ik noem dit een trapvermenigvuldiging omdat deze bewerking een trap vormt als de vermenigvuldiger een getal is met 2 of meer cijfers. In een opbouw die 10

Nadere informatie

Overzicht rekenstrategieën

Overzicht rekenstrategieën Overzicht rekenstrategieën Groep 3 erbij tot tien Groep 3 eraf tot tien Groep 4 erbij tot twintigt Groep 4 eraf tot twintigt Groep 4 erbij tot honderd Groep 4 eraf tot honderd Groep 4 en 5 tafels tot tien

Nadere informatie

1 Rekenen met gehele getallen

1 Rekenen met gehele getallen 1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9

Nadere informatie

Antwoorden. 32-jarige vrouwen op 1 januari Zo gaan we jaar per jaar verder en vinden

Antwoorden. 32-jarige vrouwen op 1 januari Zo gaan we jaar per jaar verder en vinden Antwoorden 1. De tabel met bevolkingsaantallen is niet moeilijk te begrijpen. We zullen gebruik maken van de bevolkingsaantallen volgens geslacht en leeftijdsklassen van 1 jaar (de cijfers die in het midden

Nadere informatie

1. REGELS VAN DEELBAARHEID.

1. REGELS VAN DEELBAARHEID. REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden

Nadere informatie

Kernbegrippen Handig met getallen 1, onderdeel Bewerkingen

Kernbegrippen Handig met getallen 1, onderdeel Bewerkingen Kernbegrippen Handig met getallen 1, onderdeel Bewerkingen 1.12 Kernbegrippen van de Kennisbasis Hele getallen, onderdeel Bewerkingen Aftrekker De aftrekker in een aftreksom is het getal dat aangeeft hoeveel

Nadere informatie

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel) 1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

II. ZELFGEDEFINIEERDE FUNCTIES

II. ZELFGEDEFINIEERDE FUNCTIES II. ZELFGEDEFINIEERDE FUNCTIES In Excel bestaat reeds een uitgebreide reeks van functies zoals SOM, GEMIDDELDE, AFRONDEN, NU enz. Het is de bedoeling om functies aan deze lijst toe te voegen door in Visual

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN

Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN 1-6 H3. Negatieve getallen Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 96 123) 3.1 Positieve en negatieve getallen Het verschil verwoorden tussen positieve en negatieve getallen.

Nadere informatie

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen 46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:

Nadere informatie

De enveloppenparadox

De enveloppenparadox De enveloppenparadox Mats Vermeeren Berlin Mathematical School) 6 april 013 1 Inleiding Een spel gaat als volgt. Je krijgt twee identiek uitziende enveloppen aangeboden, waarvan je er één moet kiezen.

Nadere informatie

Toepassingen op discrete dynamische systemen

Toepassingen op discrete dynamische systemen Toepassingen op discrete dynamische systemen Een discreet dynamisch systeem is een proces van de vorm x k+ Ax k k met A een vierkante matrix Een Markov-proces is een speciaal geval van een discreet dynamisch

Nadere informatie

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5 INHOUDSTABEL 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3 2. TEKENREGELS (fiche 2)... 5 2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) - TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b)... 6 2c. OMGEKEERDE

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Een rappere Newton-Raphson

Een rappere Newton-Raphson Een rappere Newton-Raphson Edward Omey EHSAL (Stormstraat, 000 Brussel) [edward.omey@ehsal.be]. Inleiding Bij vele kwantitatieve problemen is het nodig om nulpunten te bepalen van functies. Soms kunnen

Nadere informatie

Mogelijke Onderwerpen Projectwerk Bachelor 3 Wiskunde

Mogelijke Onderwerpen Projectwerk Bachelor 3 Wiskunde Mogelijke Onderwerpen Projectwerk Bachelor 3 Wiskunde E. Jespers Departement of Mathematics Vrije Universiteit Brussel 2 Voorbeelden van algebra s van kleine dimensie Een theorie steunt steeds op het goed

Nadere informatie

De verstrooide professor

De verstrooide professor Inleiding De verstrooide professor Edward Omey HU - Stormstraat 2 000 russel edward.omey@hubrussel.be In hun nota bestuderen Guido Herweyers en Ronald Rouseau (G. Herweyers en R. Rousseau, Een onverwacht

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

Getallen 1F Doelen Voorbeelden 2F Doelen Voorbeelden

Getallen 1F Doelen Voorbeelden 2F Doelen Voorbeelden A Notatie en betekenis - Uitspraak, schrijfwijze en betekenis van, symbolen en relaties - Wiskundetaal gebruiken - de relaties groter/kleiner dan - breuknotatie met horizontale streep - teller, noemer,

Nadere informatie

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl OP WEG NAAR WISKUNDE Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl Voor kinderen die iets meer willen weten en begrijpen van wiskunde, bijvoorbeeld als voorbereiding op de middelbare

Nadere informatie

Praktisch bestaan er enkele eenvoudige methoden om een decimaal getal om te zetten naar een binair getal. We bespreken hier de twee technieken.

Praktisch bestaan er enkele eenvoudige methoden om een decimaal getal om te zetten naar een binair getal. We bespreken hier de twee technieken. Talstelsels 1 Algemeenheden Digitale systemen werken met nullen en enen omdat dit elektronisch gemakkelijke te verwezenlijken is. De transistor kent enkel twee toestanden (geleiden of sperren) Hierdoor

Nadere informatie

5.1 Lineaire formules [1]

5.1 Lineaire formules [1] 5.1 Lineaire formules [1] Voorbeeld : Teken de grafiek van y = 1½x - 3 Stap 1: Maak een tabel met twee coördinaten van deze lijn: x 0 2 y -3 0 Stap 2: Teken de twee punten en de grafiek: 1 5.1 Lineaire

Nadere informatie

Oefening: Markeer de getallen die een priemgetal zijn.

Oefening: Markeer de getallen die een priemgetal zijn. Getallenkennis : Priemgetallen. Wat is een priemgetal? Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. (m.a.w. een priemgetal is een natuurlijk getal

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar 25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar Samenstelling en lay-out: Daniël Tant Luc Gheysens Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. VWO 1 1986 Vraag 17 Een

Nadere informatie

Matrixrekenen. Wilfried Van Hirtum. Versie 1.11 2015

Matrixrekenen. Wilfried Van Hirtum. Versie 1.11 2015 Matrixrekenen Wilfried Van Hirtum Versie 1.11 2015 2 Even opfrissen Het algemeen principe bij een matrixvermenigvuldiging is: ri j kolom. Voorbeeld: A 1 2 3 4 1 0 2 3 0 2 3 2 B 10 5 20 6 30 7 40 8 A B

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde A (oude stijl)

Examen HAVO. Wiskunde A (oude stijl) Wiskunde (oude stijl) Examen HVO Hoger lgemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak Donderdag 23 mei 3.3 6.3 uur 2 2 Voor dit examen zijn maximaal 9 punten te behalen; het examen bestaat uit 2 vragen. Voor elk

Nadere informatie

Zestigdelige graden radialen honderddelige graden

Zestigdelige graden radialen honderddelige graden Rekenen met hoeken Zestigdelige graden radialen honderddelige graden Hoeken kunnen uitgedrukt worden in verschillende hoekeenheden. De meest bekende hoekeenheid is de zestigdelige graad. Deze hoekeenheid

Nadere informatie

Wiskunde Module! Basisprogramma Psychologische Methodenleer! Alexander Ly (en Raoul Grasman)!

Wiskunde Module! Basisprogramma Psychologische Methodenleer! Alexander Ly (en Raoul Grasman)! Wiskunde Module! Basisprogramma Psychologische Methodenleer! Alexander Ly (en Raoul Grasman)! Inhoudsopgave! Wiskunde en psychologie! Doelstelling van de module! Opzet van de module! Algebra: reken regels!

Nadere informatie

Getallen vanaf 20 worden geschreven door deze te combineren.

Getallen vanaf 20 worden geschreven door deze te combineren. Wiskunde bij de Maya s inhoudstafel 1. 2. 3. 4. 5. 1 Inleiding Het talstelsel Het rekensysteem Heilige getallen Tijdsmeting Geraadpleegde bronnen De Maya s waren een groot en machtig volk dat leefde in

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

OEFENINGEN PYTHON REEKS 6

OEFENINGEN PYTHON REEKS 6 OEFENINGEN PYTHON REEKS 6 1. A) Schrijf een functie die een getal x en een getal y meekrijgt. De functie geeft de uitkomst van volgende bewerking als returnwaarde terug: x y x als x y x y y als x < y B)

Nadere informatie

Inhoud. 1 Ruimtefiguren 8. 4 Lijnen en hoeken 148. 2 Plaats bepalen 60. 5 Negatieve getallen 198. 3 Rekenen 100

Inhoud. 1 Ruimtefiguren 8. 4 Lijnen en hoeken 148. 2 Plaats bepalen 60. 5 Negatieve getallen 198. 3 Rekenen 100 1 BK deel 1 Voorkennis 1 Aan de slag met wiskunde 6 1 Ruimtefiguren 8 1.1 Wiskundige ruimte guren 10 1.2 Vlakken, ribben en hoekpunten 14 1.3 Kubus en vierkant 17 1.4 Balk en rechthoek 24 1.5 Cilinder

Nadere informatie

College 1. Complexe getallen Tijd en Plaats: Het tijdstip waarop het college gegeven wordt is maandagochtend van 10.45 tot 12.30. De colleges zijn in

College 1. Complexe getallen Tijd en Plaats: Het tijdstip waarop het college gegeven wordt is maandagochtend van 10.45 tot 12.30. De colleges zijn in College 1. Complexe getallen Tijd en Plaats: Het tijdstip waarop het college gegeven wordt is maandagochtend van 10.45 tot 12.30. De colleges zijn in de weken 37-42 in zaal S 209, in de weken 44-49 in

Nadere informatie

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be SOORTEN GETALLEN (Dit hoofdstukje geldt als inleiding en is geen te kennen leerstof). Natuurlijke getallen

Nadere informatie

Toepassingen op matrices - Opgave

Toepassingen op matrices - Opgave Toepassingen op matrices - Opgave Toepassing. Matrices en aantal verbindingen in grafen Op ontdekking. De onderstaande figuur is een voorbeeld van een graaf. Het toont het aantal dagelijkse internationale

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 De getallenverzameling C 1 2 Het complex vlak of het vlak van Gauss 7 3 Vierkantsvergelijkingen

Nadere informatie

Rekenen met verhoudingen

Rekenen met verhoudingen Rekenen met verhoudingen Groep 6, 7 Achtergrond Leerlingen moeten niet alleen met de verhoudingstabel kunnen werken wanneer die al klaar staat in het rekenboek, ze moeten ook zelf een verhoudingstabel

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of

Nadere informatie

Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 1

Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 1 Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 1 1.4.1 Basis Oefeningen Romeinse cijfers 1 Op deze zonnewijzer staan achtereenvolgens de getallen: I (= 1) II (= 2) III (= 3) IV (= 4) V (= 5) VI (= 6) VII (= 7) VIII

Nadere informatie

Modulewijzer InfPbs00DT

Modulewijzer InfPbs00DT Modulewijzer InfPbs00DT W. Oele 0 juli 008 Inhoudsopgave Inleiding 3 Waarom wiskunde? 3. Efficiëntie van computerprogramma s............... 3. 3D-engines en vectoranalyse................... 3.3 Bewijsvoering

Nadere informatie

Schoolagenda klas 5d GWi8-WWi8

Schoolagenda klas 5d GWi8-WWi8 Schoolagenda klas 5d GWi8-WWi8 Koen De Naeghel Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek schooljaar 2014-2015 Eerste trimester Toetsen 6 repetities en enkele kleine, aangekondigde testen (75% TTE) dag en datum

Nadere informatie

5.327 703 x 15.981 3.728.900 + 3.744.881. 2.160 3.007 x 15.120 6.480.000 + 6.495.120. 2.160 3.007 x 15.120 00.000 0 00.000 6.480.000 + 6.495.

5.327 703 x 15.981 3.728.900 + 3.744.881. 2.160 3.007 x 15.120 6.480.000 + 6.495.120. 2.160 3.007 x 15.120 00.000 0 00.000 6.480.000 + 6.495. Bij vermenigvuldigen van twee grote getallen onder elkaar staan de rijen onder de streep elk voor een tussenstap. De eerste rij staat voor het vermenigvuldigen met het cijfer dat de eenheden van het onderste

Nadere informatie

Mastermind met acht kleuren

Mastermind met acht kleuren Geschreven voor het vak: Wiskunde gedoceerd door H. Mommaerts Onderzoekscompetentie Mastermind met acht kleuren Auteurs: Tom Demeulemeester Pieter Van Walleghem Thibaut Winters 6LWIi 22 april 2014 1 Inleiding

Nadere informatie

1. Rekenen en formules

1. Rekenen en formules 9 1. Rekenen en formules Microsoft Excel is een zogenaamd spreadsheetprogramma. Het woord spreadsheet is zo n typische computerterm die u pas gaat begrijpen als u met zo n programma werkt. Te vertalen

Nadere informatie

Logische functies. Negatie

Logische functies. Negatie Pa ELO/ICT Logische functies inaire elementen slechts twee mogelijkheden voorbeeld : het regent slechts twee toestanden : waar of niet waar Voorstellen met LETTERSYMOOL = het regent overeenkomst :» als

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

Kerninzicht Matrix (cel) Kerndoel

Kerninzicht Matrix (cel) Kerndoel 1 2 In bovenstaande afbeeldingen kunt u zien welke kerninzichten (Oonk, W. et al., 2011) verband houden met de verschillende competenties in Matrix 1 (getalverkenning, optellen, aftrekken, meten en geld)

Nadere informatie

Voorbeeld theorie examen

Voorbeeld theorie examen Vooreeld theorie examen Het schriftelijk examen over de theorie en de oefeningen heeft plaats op 27 juni van 8u3 t/m 13u. 1 uur en 3 minuten zijn voorzien voor het theorie examen. De vragen zijn gericht

Nadere informatie

Praktische toepassing van functies

Praktische toepassing van functies Excellerend Heemraadweg 21 2741 NC Waddinxveen 06 5115 97 46 richard@excellerend.nl BTW: NL0021459225 ABN/AMRO: NL72ABNA0536825491 KVK: 24389967 Praktische toepassing van functies De laatste twee functies

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: Logaritmen en getal e 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Eenheidscirkel In de figuur hiernaast

Nadere informatie

Dossier 3 PRIEMGETALLEN

Dossier 3 PRIEMGETALLEN Dossier 3 PRIEMGETALLEN atomen van de getallenleer Dr. Luc Gheysens Een priemgetal is een natuurlijk getal met twee verschillende delers, nl. 1 en het getal zelf. De priemgetallen zijn dus 2, 3, 5, 7,

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Eindwerk wiskunde: De wiskunde achter de Rubik s kubus. Laurens Vanden Eynde 6 e jaar Latijn - Wiskunde

Eindwerk wiskunde: De wiskunde achter de Rubik s kubus. Laurens Vanden Eynde 6 e jaar Latijn - Wiskunde Eindwerk wiskunde: De wiskunde achter de Rubik s kubus Laurens Vanden Eynde 6 e jaar Latijn - Wiskunde Schooljaar 2010-2011 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Kubusnotatie 3 2.1 Design...............................

Nadere informatie

Het Land van Oct. Marte Koning Frans Ballering. Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs

Het Land van Oct. Marte Koning Frans Ballering. Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs Het Land van Oct Marte Koning Frans Ballering Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs Hoofdstuk 1 Inleiding Hoi, ik ben de Vertellende Teller, en die naam heb ik gekregen na mijn meest bekende reis, de reis

Nadere informatie