Perfecte matchings in kubische grafen

Transcriptie

1 Perfecte matchings in kubische grafen Feite Bakker 20 juli 2012 Bachelorscriptie Begeleider: prof. dr. Alexander Schrijver Korteweg-de Vries Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam

2 Samenvatting en gegevens Samenvatting In deze bachelorscriptie tellen we het aantal perfecte matchings in kubische grafen. Ten eerste bewijzen we een stelling van Voorhoeve, die stelt dat het aantal perfecte matchings voor een bipartiete kubische graaf met 2n punten minstens 6 ( 4 n 3 3) is. Daarna bewijzen we twee klassieke resultaten uit de theorie der matchings, de stelling van Tutte en de stelling van Petersen. Deze hebben we onder andere nodig om Edmonds perfecte matching polytoop stelling te bewijzen. De perfecte matching polytoop is een belangrijk instrument in het bewijs van het vermoeden van Lovász-Plummer, wat het hoofdresultaat van deze scriptie is. Het vermoeden stelt dat het aantal perfecte matchings van een kubische graaf zonder brug exponentieel toeneemt met het aantal punten. We volgen het bewijs van Esperet et al.([1]) uit 2010, die bewezen dat elke kubische graaf zonder brug met n punten tenminste 2 n/3656 verschillende perfecte matchings heeft. Gegevens Titel: Perfecte matchings in kubische grafen Auteur: Feite Bakker, feite1@gmail.com, Begeleider: prof. dr. Alexander Schrijver Einddatum: 20 juli 2012 Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Science Park 904, 1098 XH Amsterdam 1

3 Inhoudsopgave 1 Het aantal perfecte matchings in bipartiete kubische grafen Inleiding tot perfecte matchings Perfecte matchings en de permanent Stelling van Voorhoeve Stelling van Petersen Introductie Stelling van Tutte Stelling van Petersen De perfecte matching polytoop Introductie Edmonds perfecte matching polytoop stelling Gebalanceerde kansverdelingen Exponentieel veel perfecte matchings in kubische grafen Introductie Structuur van het bewijs Knoesten, twijgjes en foliages Snedes en hun contracties Snede-ontbindingen Relevante driehoeken Hoofdlemma voor grafen zonder kern Hoofdlemma voor grafen met kern Bewijs van hoofdstelling A Constanten 35 1

4 B Definities 36 Populaire samenvatting 38 Bibliografie 40 2

5 Hoofdstuk 1 Het aantal perfecte matchings in bipartiete kubische grafen 1.1 Inleiding tot perfecte matchings Elementaire definities zoals die van een graaf of cykel zijn te vinden in Appendix B. We zullen bij grafen geen lussen toestaan, maar wel meerdere lijnen tussen twee punten. Een matching M op een graaf G is een verzameling lijnen zodanig dat elk punt van G met hoogstens één lijn in M incident is. Een perfecte matching is een matching waar elk punt met exact één lijn incident is. We zullen het begrip van perfecte matching iets ruimer gebruiken. Daarvoor hebben we de definite van graaffragment nodig. Een graaffragment H = (W, F ) van een graaf G = (V, E) is een paar punten W V en lijnen F E. Ditmaal eisen we echter slechts van alle lijnen in F dat ze tenminste één punt uit W hoeven te verbinden. Een perfecte matching op H is dan een eveneens een verzameling lijnen zodanig dat elk punt in W aan een van die lijnen grenst. Merk op dat een perfecte matching in H geen matching in G hoeft te zijn. Deze definitie komt vooral in de latere hoofdstukken van pas waar we veel gebruik zullen maken van het door een X V (G) geïnduceerde graaffragment G X. Dit is het graaffragment met als puntenverzameling X en de lijnenverzameling maximaal in grootte. De verzameling van alle perfecte matchings van een graaf(fragment) G noteren we met M(G) en het aantal perfecte matchings met m(g). Neem twee perfecte matchings M en N van een graaf G. Een simpel feit wat we vaak zullen gebruiken is dat het symmetrisch verschil M N alleen even cykels en punten heeft als componenten. Elk punt grenst namelijk aan een lijn m M en n N. Of m = n, dan heeft het punt graad 0 in M N, 3

6 of m n, en dan heeft het punt graad 2 in M N. Stel dat we een matching M hebben in een graaf G en een pad v 0... v n zodanig dat v i v i+1 E(G) \ M en v i+1 v i+2 M voor even i tussen 0 en n 2. Als v 0 en v n nu niet aan een lijn in M grenzen, kunnen we een grotere matching M maken door de lijnen uit het pad toe te voegen die nog niet in M bevat waren, en de lijnen die al wel in M bevat waren te verwijderen. Nu hebben we M = M + 1. Zo een pad noemen we een M-vergrotend pad. 1.2 Perfecte matchings en de permanent Elke bipartiete kubische graaf G met 2n punten kan gerepresenteerd worden als een n n matrix A die uit slechts enen en nullen bestaat en waarvan alle kolom- en rijsommen precies drie zijn. Stel namelijk dat U = {u 1,..., u n } en W = {w 1,..., w n } de klassen van V (G) zijn. Dan identificeren we de i-de rij met u i en evenzo de j-de kolom met w j. Vervolgens definiëren we A i,j = 1 als u i w j E(G) en A i,j = 0 als u i w j / E(G). We noteren de verzameling van al deze matrices als G n. Als we een verzameling 1-en in A G n hebben zodanig dat elke rij/kolom precies één 1 uit die verzameling heeft, is de verzameling lijnen die correspondeert met de 1-en een perfecte matching in de graaf die bij A hoort. Als dus voor een σ S n geldt dat n i=1 A i,σ(i) = 1 is {u i w σ(i) } i {1,...,n} een perfecte matching voor de graaf die bij A hoort. We kunnen dus het aantal perfecte matchings tellen door de permanent van A uit te rekenen: per A = σ S n n i=1 A i,σ(i). 1.3 Stelling van Voorhoeve In deze sectie bewijzen we een stelling van Voorhoeve. Deze geeft een ondergrens voor het aantal perfecte matchings van bipartiete kubische grafen met 2n punten. We definiëren voor n 3: g(n) = min A Gn {per A}. De stelling van Voorhoeve bewijst dat g(n) 6 ( 4 n 3. 3) Voor het bewijs hebben we twee verzamelingen nodig (n 1): U n is de verzameling van alle n n matrices bestaande uit niet-negatieve gehele getallen waarvan de rij- en kolomsommen gelijk zijn aan 3. De verzameling V n bestaat uit alle matrices die we kunnen verkrijgen door 1 af te trekken van een willekeurig positief getal uit een matrix in U n. We definieren: u(n) = min A Un {per A} en v(n) = min A Vn {per A}. Voordat we Voorhoeve s stelling kunnen bewijzen schatten we eerst u(n) en v(n) af met twee lemma s. 4

7 Lemma 1. u(n) 3 v(n). 2 [ r Bewijs. Kies A U n zo dat per A = u(n). We schrijven A = A 1 ], waar r de eerste rijvector van A is en A 1 de rest van de matrix. We mogen aannemen dat r = (r 1, r 2, r 3, 0,..., 0). Omdat r 1 + r 2 + r 3 = 3: 2r = r 1 (r 1 1, r 2, r 3, 0,..., 0) + r 2 (r 1, r 2 1, r 3, 0,..., 0)+ r 3 (r 1, r 2, r 3 1, 0,..., 0) = r 1 v 1 + r 2 v 2 + r 3 v 3. Door gebruik te maken van een paar eenvoudige rekenregels van de permanent krijgen we: [ ] [ ] [ ] [ ] 2r v1 v2 v3 2 per A = per = r 1 per + r 2 per + r 3 per. Omdat [ vi A 1 A 1 A 1 ] V n behalve als r i = 0 kunnen we concluderen dat 2 per A de som is van drie permanenten van matrices uit V n. Aangezien u(n) geheeltallig is geldt dus u(n) 3 2 v(n). Lemma 2. v(n) 4 3 v(n 1). Bewijs. Kies nu A V n zo dat per A = v(n). We kunnen aannemen dat de eerste rijvector r nu ofwel (1, 1, 0,..., 0) of (2, 0, 0,..., 0) is. Stel r = (1, 1, 0,..., 0). Laat nu B 1 de matrix zijn die we verkrijgen door r uit A te verwijderen. We schrijven nu B 1 = [ c 1 c 2 B ] waar c 1 en c 2 de eerste twee kolommen zijn en B de rest van de matrix is. We verkrijgen de volgende uitdrukking: per A = per [ c 1 B ] + per [ c 2 B ] = per [ (c 1 + c 2 ) B ]. De som s van alle entries in c 3 = c 1 + c 2 is 3 of 4, want de som van de [ eerste twee kolommen in A is 5 of 6 per definitie van V n. Als s = 3 moet c3 B ] U n 1 en weten we door Lemma 1 3 v(n) = per A u(n 1) v(n 1). 2 Als s = 4 kunnen we dezelfde techniek als in Lemma 1 toepassen. We kunnen aannemen dat c 3 = (a 1, a 2, a 3, a 4, 0,..., 0). 3c 3 = a 1 (a 1 1, a 2, a 3, a 4,..., 0) + + a 4 (a 1, a 2, a 3, a 4 1,..., 0) = a 1 w 1 + a 2 w 2 + a 3 w 3 + a 4 w 4 A 1 A 1 5

8 Als a i 0 geldt [ w i B ] V n 1, want omdat s = 4 bevindt de kolom die niet optelt tot 2 zich in B. Dus 3 per A is de som van vier permanenten van matrices uit V n 1 en hieruit kunnen we afleiden dat v(n) 4 v(n 1). 3 Stel nu r = (2, 0, 0,..., 0). We kunnen aannemen dat de eerste kolomvector c van A ofwel (2, 1, 0,..., 0) of (2, 0,..., 0) is. Laat B de matrix zijn die we verkrijgen door de eerste kolom- en rijvector uit A te verwijderen. In het eerste geval B V n 1 en in het tweede geval B U n 1. Dus v(n) = per A 2 per B 2 min{u(n 1), v(n 1)} = 2v(n 1). De stelling van Voorhoeve volgt nu gemakkeljik: Stelling 1 (Voorhoeve). g(n) 6 ( 4 3 ) n 3 Bewijs. G n U n, dus g(n) u(n) voor n 3. Verder is v(1) = 2, en door Lemma 2 verkrijgen we v(2) 3, v(3) 4 en zo v(n) 4 ( 4 3 )n 3 voor n 3. Nu passen we hier Lemma 1 op toe en krijgen we u(n) 6 ( 4 3 voor n 3. ) n 3 Het aantal perfecte matchings van een bipartiete kubische graaf met 2n punten is dus minstens 6 ( 4 3) n 3. 6

9 Hoofdstuk 2 Stelling van Petersen 2.1 Introductie Voordat we aan het hoofdbewijs kunnen beginnen hebben we een paar klassieke resultaten over perfecte matchings nodig. Ten eerste de Stelling van Tutte, die de familie van grafen met een perfecte matching karakteriseert. Het hoofdresultaat van dit hoofdstuk is de Stelling van Petersen die aantoont dat elke kubische graaf zonder brug tenminste één perfecte matching heeft. 2.2 Stelling van Tutte Stelling 2 (Tutte). Een graaf G heeft een perfecte matching dan en slechts dan als voor elke S V (G) geldt dat q(g \ S) S, waar q het aantal componenten van oneven grootte van een graaf is. [4, 24.1a.] Bewijs. Als G een perfecte matching M heeft is er voor elk oneven component een lijn uit M tussen die component en S. Anderszijds kunnen er niet meer dan S lijnen uit M van S naar V (G) \ S lopen, dus q(g \ S) S. Neem aan dat q(g \ S) S voor alle S V (G) maar dat G geen perfecte matching heeft. We kunnen aannemen dat G een perfecte matching krijgt als er een lijn wordt toegevoegd. Neem U = {v V (G) v is verbonden met elk ander punt in G}. We claimen dat alle componenten van G \ U volledige grafen zijn. Neem namelijk incidente lijnen ab en bc in G \ U en veronderstel dat a en c niet verbonden zijn. Omdat elke lijn die we toevoegen een perfecte matching op moet leveren, kunnen we perfecte matchings M 1 van G {ac} en M 2 van G {bd} maken, waar d een punt is dat 7

10 niet incident is met b. De verzameling M = M 1 M 2 E(G) bestaat uit even cykels en paden waarvan de lijnen tussen M 1 en M 2 alterneren. De paden zijn van even lengte, anders bestaat er een M 1 - of M 2 -vergrotend pad en dus toch een perfecte matching in G. We maken nu in M een pad beginnende bij d. Zo alterneren we tussen lijnen uit M 1 en M 2, beginnende bij M 1 (want bd M 2 ). We komen niet bij d uit want er is geen andere lijn in M incident met d. Dus we komen uit bij a of c, zeg a. Maar dan kunnen we het pad uitbreiden met de lijn ab tot een M 2 -vergrotend pad (M 2 mist precies b en d). Dus elk component van G \ U moet een volledige graaf zijn. U q(g\u) is even want anders is V (G) oneven en gaat de voorwaarde sowieso niet op. Dus we kunnen een perfecte matching in G maken door voor elk oneven component van G\U een lijn tussen die component en een element in U te gebruiken. De overgebleven punten induceren een graaf die bestaat uit componenten van even volledige grafen dus hier kunnen we de perfecte matching gemakkelijk voor uitbreiden. 2.3 Stelling van Petersen De Stelling van Petersen volgt gemakkelijk uit de Stelling van Tutte en is het begin van onze zoektocht naar exponentieel veel verschillende perfecte matchings, daar deze aantoont dat elke kubische graaf zonder brug tenminste één perfecte matching bevat. Figuur 2.1: Deze graaf heeft een brug. Een perfecte matching is onmogelijk, elke matching laat minstens twee punten onoverdekt. Lemma 3 (Petersen). Elke kubische graaf zonder brug G bevat een perfecte matching. 8

11 Bewijs. Noem t het aantal lijnen tussen S V (G) en de oneven componenten van G \ S. Elk oneven component is in G door minstens 3 lijnen met S verbonden: met 1 lijn zou het een brug zijn, en met 2 lijnen kan de component niet oneven zijn. Dus 3q(G \ S) t. Aan de andere kant is t hoogstens 3 S, want de punten in S hebben allen graad 3. Samen geeft dit 3q(G \ S) t 3 S en dus q(g \ S) S, en met Tuttes stelling betekent dit dat G een perfecte matching heeft. De reden dat de Stelling van Petersen alleen over kubische grafen zonder brug gaat blijkt snel uit Figuur 2.1. Deze graaf is het kleinste voorbeeld van een kubische graaf die geen perfecte matching heeft. 9

12 Hoofdstuk 3 De perfecte matching polytoop 3.1 Introductie Het hoofdbewijs berust op veel stochastische resultaten. Omdat het moeilijk is iets te zeggen over de globale structuur van een kubische graaf zonder brug, werkt het bewijs met lokale waarschijnlijkheden. Bijvoorbeeld uitspraken als: Dit graaffragment draagt waarschijnlijk veel bij aan de hoeveelheid perfecte matchings. In dit hoofdstuk definiëren we met behulp van de perfecte matching polytoop het type kansmaat dat ons helpt om dit soort beweringen hard te maken. 3.2 Edmonds perfecte matching polytoop stelling De perfecte matching polytoop van een graaf G = (V, E) is een polytoop in R E. Schrijvende E = {e 1,..., e n } kunnen we aan elke matching M een indicatievector χ M R E toekennen: χ M = (1 [e1 M],..., 1 [en M]). De perfecte matching polytoop P G is nu het convexe omhulsel van alle indicatievectoren van perfecte matchings. Het convexe omhulsel C(A) van een verzameling A is de kleinste convexe verzameling die A omvat. Voor een eindige verzameling A = {A i } i {1,...,k} is C(A) gelijk aan alle convexe combinaties van vectoren in A: { } C(A) = a i A i a i = 1, a i 0. i Voordat we hiermee een bepaald type kansverdeling kunnen definiëren hebben we nog een andere, meer werkbare beschrijving nodig van de perfecte 10 i

13 matching polytoop. Die krijgen we met behulp van een stelling van Edmonds die in 1964 bewees dat de perfecte matching polytoop met de onderstaande voorwaarden kan worden beschreven. Stelling 3 (Edmonds perfecte matching polytoop stelling). De vector x = (x e1,..., x en ) P G dan en slechts dan als: [4, 25.1] [E1]. e E : x e 0 [E2]. v V : f δ({v}) x f = 1 [E3]. S V met S oneven: f δ(s) x f 1 Bewijs. Het is duidelijk dat indicatievectoren van perfecte matchings aan deze voorwaarden voldoen. Noem de polytoop die door de voorwaarden gedetermineerd wordt Q G. Stel nu dat Q G P G en neem een vertex x van Q G die niet in P G bevat is. We nemen G als het tegenvoorbeeld waarvoor V + E minimaal is. Als nu x e = 0 moet G \ e een kleiner tegenvoorbeeld zijn. Als x ab = 1, moet G met daaruit a, b en hun aangrenzende lijnen verwijderd een kleiner tegenvoorbeeld zijn. Dus 0 < x e < 1 en hieruit kunnen we vanwege [E2] concluderen dat de graad van elk punt in V groter dan 2 is en E V. Als E = V bestaat G uit even cykels en volgt de stelling gemakkelijk dus we nemen aan E > V. Bovendien is V is even, anders zijn P G en Q G vanwege [E3] allebei leeg. Er moet een verzameling U V zijn waarvoor f δ(u) x f = 1 en 3 U V 3. Omdat x een vertex is van een polytoop moet bij minstens E onafhankelijke lineaire ongelijkheden voor x gelijkheid optreden. Bij de ongelijkheden van [E1] treedt geen gelijkheid op, want x e > 0. Bij [E2] treden er V gelijkheden op. Dan moeten er nog E V > 0 lineaire ongelijkheden gelijk worden in [E3] met S 1, S V 1, want anders zijn ze niet onafhankelijk met [E2]. Maar deze gelijkheden impliceren het bestaat van zo een U. Beschouw nu de projecties x en x van x op G/U en G/(V \ U) respectievelijk. Per aanname van minimaliteit van G zijn Q G/U en P G/U hetzelfde (idem voor G/(V \ U)), en dus zijn er perfecte matchings m 1,..., m k van G/U en perfecte matchings m 1,..., m k van G/(V \ U) zodanig dat: x = 1 k k χ m i, i=1 x = 1 k k i=1 χ m i. Voor elke e δ(u) moet gelden kx e = kx e = kx e per definitie van projectie. Dus we kunnen aannemem dat voor elke i {1,..., k}, m i en m i 11

14 een lijn uit δ(u) gemeen hebben. Dit betekent precies dat m i = m i m i een perfecte matching van G is. Dus: x = 1 k k χ m i. i=1 Dit betekent x P G. 3.3 Gebalanceerde kansverdelingen Met behulp van deze beschrijving van de perfecte matching polytoop kunnen we gemakkelijk bewijzen dat elke kubische graaf zonder brug een zogenaamde gebalanceerde kansverdeling heeft. Een kansverdeling M met als uitkomstenruimte M(G) voor een graaf(fragment) G noemen we gebalanceerd als P(e M) = 1 voor alle e E(G). 3 Lemma 4. Voor elke kubische graaf zonder brug bestaat een gebalanceerde kansverdeling. Bewijs. We laten eerst zien dat het punt x met x e = 1 voor alle e E(G) 3 in P G ligt. Het is duidelijk dat x aan voorwaarde [E1] voldoet. Ook aan voorwaarde [E2] wordt voldaan, want de graad van een punt is precies 3. Neem nu een S V met S oneven. De snede δ(s) moet een oneven aantal lijnen bevatten vanwege de pariteit en kan geen brug zijn, dus δ(s) 3. Hieruit volgt direct voorwaarde [E3], dus x P G. Dit betekent per definitie van convex omhulsel dat er gewichten a m zijn zodat x = m M(G) a mχ m met m M(G) a m = 1. Als we nu de kansverdeling M op M(G) vastleggen door P(M = m) = a m voor alle m M hebben we een gebalanceerde kansverdeling geconstrueerd. Gevolg 1. Voor kubische grafen zonder brug geldt voor elke e E(G) dat deze in minstens één perfecte matching bevat is. We zullen dit resultaat vooral in de vorm van het onderstaande Gevolg toepassen. Gevolg 2. Voor een kubische graaf zonder brug G geldt m(g \ e) 2 voor elke e E(G). Een ander lemma dat het nut van gebalanceerde kansverdeling illustreert is het volgende: 12

15 Lemma 5. Laat G een kubische graaf zonder brug zijn en beschouw Y X V (G) waarvoor C = δ(y ) grootte 3 heeft. Voor elke gebalanceerde kansverdeling M op M(G X) en elke M M(G X) zodanig dat P(M = M) > 0 geldt M C = 1. Bewijs. We schrijven C = {c 1, c 2, c 3 } en P( M C = 3) = c. We passen de gebalanceerdheid van M toe op c i en verkrijgen: P(M C ) = P( M C = 3) + 3 P(M C = {c i }) = 1 2c. i=1 Vanwege de pariteit van Y moet M C voor elke perfecte matching op X, dus de bovenstaande som is gelijk aan 1 en c = 0. 13

16 Hoofdstuk 4 Exponentieel veel perfecte matchings in kubische grafen 4.1 Introductie In dit hoofdstuk zullen we het bewijs van Esperet et al. geven van het vermoeden van Lovasz-Plummer. Het vermoeden stelt dat er een ɛ > 0 is zodat voor alle kubische grafen zonder brug G geldt M(G) 2 ɛ V (G). Esperet et al. hebben dit bewezen voor ɛ = 1/3656. Dit getal is de grootste stambreuk die aan een aantal vergelijkingen voldoet die in het bewijs terug zullen komen (zie Appendix A voor de vergelijkingen). Aangezien het aantal verschillende perfecte matchings van een graaf het product is van het aantal perfecte matchings van zijn componenten, zullen we de stelling slechts bewijzen voor samenhangende grafen. We definiëren m (G) = min e E(G) {aantal perfecte matchings van G die e bevatten}. 4.2 Structuur van het bewijs We zullen aantonen dat elke kubische graaf aan één van deze twee voorwaarden moet voldoen (Stelling 4). [S1]. m (G) 2 V (G) /3656, [S2]. Er zijn M en M in M(G) zodanig dat M M minstens V (G) /3656 componenten van grootte 2 of hoger heeft. Deze twee voorwaarden zijn voldoende om het vermoeden van Lovasz- Plummer te bewijzen voor ɛ = 1/

17 Lemma 6. Elke kubische graaf zonder brug G die aan [S1] of [S2] voldoet heeft minstens 2 V (G) /3656 matchings. Bewijs. Als [S1] waar is volgt het resultaat meteen want m(g) m (G). We nemen dus [S2] aan. De componenten van M M zijn even cykels. We kunnen nu voor elke verzameling componenten {C 1,..., C k } 1 i k een verschillende perfecte matching maken: M ( 1 i k C i ). Omdat er minstens V (G) /3656 componenten zijn, kunnen we op deze manier 2 V (G) /3656 verschillende perfecte matchings construeren. Aan één voorwaarde hebben we niet genoeg. Figuur 4.1 toont een kubische graaf zonder brug G met m (G) = 1. Er zijn ook kubische grafen zonder brug die niet aan [S2] voldoen. De lengte van de kortste cykel in deze grafen is logaritmisch in V (G). Dit betekent ook dat er niet linear (in V (G) ) veel disjuncte cykels kunnen zijn en dus kan aan [S2] niet voldaan worden. Het bestaan van deze grafen wordt bewezen in [2]. Figuur 4.1: Er is maar één perfecte matching die de blauwe lijn bevat, dus m (G) = Knoesten, twijgjes en foliages In dit bewijs kijken we naar de structuur van kleine onderdelen van de graaf. We zoeken de zogenaamde knoesten, deelgrafen waarvan de kans groot is dat deze een matching-alternerende cykel bevatten. Een M-alternerende cykel in een graaf G = (V, E) is een cykel die om en om lijnen uit M en E \ M bevat, waar M M(G). Een verzameling punten X V noemen we dan een knoest als voor elke gebalanceerde kansverdeling M op M(G X) geldt dat E(a(M, G X)) 1, waar a(m, G) het maximale aantal disjuncte M- 3 alternerende cykels in een graaf(fragment) G is. 15

18 Een verzameling disjuncte knoesten {X i } 1 i k van G noemen we een foliage. Elke gebalanceerde kansverdeling M op M(G) induceert een gebalanceerde kansverdeling M E(G X i ) op M(G X i ). Vanwege de lineariteit van verwachting geldt daarom dat E(a(M, G)) minstens k/3 is als er een foliage van grootte k is. Het gewicht van een foliage X die k twijgjes bevat definiëren we als fw(x ) = β 1 k + β 2 ( X k), waar β i constanten zijn, zie Appendix A. Het maximum gewicht van een foliage van G noteren we met fw(g). We zullen met behulp van het gewicht en de grootte van een foliage het aantal verschillende perfecte matchings van een graaf af kunnen schatten. Gevolg 3. Als een kubische graaf zonder brug een foliage X heeft, zijn er perfecte matchings M en M van deze graaf zodanig dat M M minstens X /3 componenten heeft. [1, C4]. Een bepaald type knoesten speelt een belangrijke rol. Dit zijn de twijgjes, waarvan we later zullen bewijzen dat het altijd knoesten zijn. Een verzameling punten X V (G) noemen we een 2-twijg als δ(x) = 2, en een 3-twijg als δ(x) = 3 én X 5. We zullen we zonder het te bewijzen nog het volgende lemma aannemen: Lemma 7. Als een kubische graaf zonder brug 6 of meer punten heeft, zijn er minstens 4 perfecte matchings. Bovendien heeft elk punt een incidente lijn die in minstens twee perfecte matchings bevat is. [1, L5.2] 4.4 Snedes en hun contracties We hebben eerder al δ(x) gebruikt met X V (G) voor de verzameling van lijnen met het ene uiteinde in X en het andere in V (G) \ X. Iets algemener definiëren we nu een snede. Stel A, B V (G). Dan noemen we de verzameling lijnen tussen punten in A en punten in B de snede van A en B. Een k-snede is een snede van grootte k. De eerder gedefinieerde δ(a) is dus de snede van A en V (G) \ A. 2- en 3-snedes spelen een speciale rol. Op grafen met een dergelijke snede definiëren we respectievelijk een 2- en een 3-contractie. Neem S V (G) en C = δ(s). Als C een 2-snede is waarvan de lijnen verbonden zijn met punten v en w in S, definiëren we de 2-contractie met S door C als G S e n, waar e n een nieuwe lijn is tussen v en w. Als C een 3-snede is met lijnen e, f en g definiëren we de 3-contractie met S door C als G S v n, waar v n een nieuw punt is dat is verbonden met S door de lijnen e, f en g (zie Figuur 4.2). Wanneer deze 2- en 3-contracties worden toegepast op kubische grafen zonder brug is het resultaat opnieuw een kubische graaf zonder brug. 16

19 Figuur 4.2: De middel- en rechtergraaf zijn de twee mogelijke 3-contracties van de linkergraaf door de 3-snede die met blauw is aangegeven. Een contractie door C noemen we ook wel een C-contractie. Met behulp van deze constructies kunnen we bewijzen dat elk twijgje een knoest is. Lemma 8. Elk twijgje X in een kubische graaf zonder brug G is een knoest. [1, L6] Bewijs. Stel X is een k-twijgje. We definiëren X k als de k-contractie met X door δ(x) en nemen een gebalanceerde kansverdeling M op M(G X). Stel k = 2. Vanwege de pariteit van δ(x) moet voor een M M(G X) gelden M δ(x) {, δ(x)}. Indien deze doorsnede leeg is, is M ook een perfecte matching van X 2 die e n, de lijn die onstaat door 2-contractie, niet gebruikt. Vanwege Gevolg 2 weten we dat X 2 \ e n minstens twee perfecte matchings heeft. X 2 \e n (en dus G X) bevat dus zeker een M-alternerende cykel: het symmetrisch verschil van M met één van de twee verkregen perfecte matchings. We passen de gebalanceerdheid van M toe op een willekeurige lijn δ 1 in δ(x) en verkrijgen zo P(M δ(x) = ) = P(δ 1 / M) = 2. Hieruit 3 kunnen we afleiden dat E(a(M, G X)) 2 1 en dus is X een knoest. 3 3 Stel nu k = 3. Volgens Lemma 7 is er een lijn e incident met het punt onstaan door 3-contractie v n zodat er minstens twee perfecte matchings zijn van X 3 die e bevatten. Als voor een M M(G X) geldt M δ(x) = {e} is M ook een perfecte matching in X 3. Er is dan zeker een M-alternerende cykel in X 3 gemaakt door het symmetrisch verschil van M met één van de twee verkregen matchings. Deze cykel kan geen lijnen incident met v n bevatten, dus de verkregen M-alternerende cykel is bevat in G X. We weten ook door Lemma 5 dat P(M δ(x) = {e}) = P(e M) = 1, dus X is een knoest. 3 De volgende twee lemma s stellen ons in staat om te reduceren op 2- en 3-snedes. 17

20 Lemma 9. Laat G een kubische graaf zonder brug zijn met een 2- of 3-snede C. De twee grafen die we kunnen verkrijgen door een C-contractie noemen we G 1 en G 2. Dan geldt m (G) m (G 1 )m (G 2 ). [1, L7(2)] Bewijs. Stel C = 2 en beschouw e E(G V (G 1 )). Noem de lijnen die zijn onstaan door C-contractie e n1 en e n2 voor G 1 en G 2 respectievelijk. Neem een perfecte matching M van G 1 die e bevat. Als e n1 / M is M te combineren met elke perfecte matching van G 2 die e n2 (de lijn die ontstaat door 2-contractie in G 2 ) niet bevat. Dat zijn er minstens 2m (G 2 ). Als e n1 M, is M te combineren met elke perfecte matching van G 2 die wel e n2 bevat. Dat zijn er minstens m (G 2 ), dus m (G) m (G 1 )m (G 2 ). Ook als e C zijn de perfecte matchings van G 1 en G 2 die respectievelijk e n1 en e n2 bevatten te combineren tot minstens m (G 1 )m (G 2 ) perfecte matchings die e bevatten. Stel nu C = 3 en beschouw e E(G V (G 1 )) zodanig dat e niet het punt onstaan door 3-contractie v n1 als uiteinde heeft. Elke perfecte matching M van G 1 die e bevat is nu te combineren met alle perfecte matchings van G 2 die de bijpassende lijn aangrenzend met v n2 bevatten. Als e C zijn ook alle perfecte matchings van G 1 en G 2 die de juiste lijnen aangrenzend met de nieuwe punten bevatten te combineren tot perfecte matchings van G die e bevatten. In beide gevallen geldt m(g) m (G 1 )m (G 2 ). Lemma 10. Laat G een kubische graaf zonder brug zijn met een 2- of 3- snede C. De twee grafen die we kunnen verkrijgen door een C-contractie noemen we G 1 en G 2. Stel dat we voor elke G i een foliage X i hebben die voor elke X X i de eigenschap heeft dat als C = 2, de lijn verkregen door 2-contractie niet in E(G i X) bevat is en als C = 3, het punt verkregen door 3-contractie niet in X bevat is. Dan is X 1 X 2 een foliage in G waarvoor bovendien geldt fw(g) fw(g 1 ) + fw(g 2 ) 2β 1. [1, L7(3)] Bewijs. Stel dat X X i voor i {1, 2}. Een gebalanceerde kanverdeling op M(G X) is ook een gebalanceerde kansverdeling op M(G i X) vanwege de eis op X, dus een knoest in G i is ook een knoest in G. Omdat de knoesten uit X 1 en X 2 sowieso onderling disjunct zijn, is X 1 X 2 een knoest in G. De foliages met maximaal gewicht van G 1 en G 2 schelen in gewicht hoogstens β 1 (want β 1 A.1 β 2 ) van de foliages met maximaal gewicht die niet een nieuwe punt of lijn bevatten. Hieruit concluderen we fw(g) fw(g 1 ) + fw(g 2 ) 2β 1. 18

21 4.5 Snede-ontbindingen Om zoveel mogelijk gebruik te kunnen maken van de lemma s die we in de vorige sectie bewezen hebben maken we een afbeelding van een kubische graaf zonder brug G naar een boom T. Dit doen we op zo een manier dat elke lijn in de boom een snede voorstelt, en we dus contracties in de boom kunnen associëren met contracties in de graaf. Een paar (T, φ) noemen we een snedeontbinding van een kubische graaf zonder brug G als T een boom is en φ een afbeelding is van V (G) naar V (T ) zodanig dat φ 1 (t) + deg T (t) 3 voor alle t V (T ). Het nut van de laatste eis zal later blijken. Elke lijn e in T induceert een snede op G. De graaf T \ e heeft namelijk twee componenten T 1 en T 2 die V (G) partitioneren in G 1 = φ 1 (T 1 ) en G 2 = φ 1 (T 2 ). De snede van G 1 en G 2 noteren we dan met φ 1 (e). We zagen in de vorige sectie al dat we veel kunnen met 2- en 3-contracties. Vandaar dat we slechts gebruik zullen maken van snede-ontbindingen (T, φ) waar φ 1 (e) {2, 3} voor alle e E(T ). Dit noemen we kliefontbindingen. Een kliefontbinding stelt ons in staat om een spil te definiëren voor een T 0 V (T ) met φ 1 (T 0 ). Stel δ(t 0 ) = f 1,..., f n. Hieruit onstaan 2- en 3-snedes C i = φ 1 (f i ) en hiermee corresponderende componenten T i van T (V (T ) \ T 0 ). Neem nu achtereenvolgens de k-contracties met φ 1 (T 0 ) door C 1,..., C n. Het is gemakkelijk na te gaan dat de volgorde van contractie niet uitmaakt, en de graaf blijft kubisch zonder brug. De resulterende graaf is de spil van G op T 0. Een kliefontbinding maken is natuurlijk verre van uniek. Sommige kliefontbindingen geven echter meer informatie dan anderen. Zij Y een verzameling van disjuncte deelverzamelingen van V (G). Een kliefontbinding (T, φ) is een verfijning van Y als er voor elke Y Y een uiteinde t V (T ) is met φ 1 (t) = Y. Een verfijning noemen we Y-maximaal als V (T ) maximaal is voor Y. De voorwaarde φ 1 (t) + deg T (t) 3 zorgt ervoor dat V (T ) begrensd is. Op sommige grafen kunnen we geen niet-triviale kliefontbinding definiëren, bijvoorbeeld als deze geen 2- of 3-snedes bevatten. Op deze grafen zullen we een iets andere techniek toe moeten passen om toch genoeg knoesten te vinden. Een bijbehorende definitie is die van een cyclische snede. Een snede C = δ(x) met X V (G) in een samenhangende graaf G is een cyclische snede als G X en G (V (G) \ X) allebei een cykel bevatten. De graaf G heet cyclisch k-lijnsamenhangend als er geen cyclische snede van minder dan k elementen bestaat. Lemma 11. Laat G een kubische graaf zonder brug zijn en Y een verzameling disjuncte deelverzamelingen van V (G). Dan is er een kliefontbinding die Y 19

22 verfijnt als Y 2 en δ(y ) {2, 3} voor alle Y Y, en aan één van de volgende voorwaarden wordt voldaan: 1. Y = 0 en G is niet cyclisch 4-lijnsamenhangend, 2. Y = {Y } en V (G) \ Y > 1, 3. Y 2. [1, L14] Bewijs. We nemen aan dat Y 3, want de andere gevallen zijn triviaal. We maken nu een zogenaamde ster-graaf T. Deze heeft Y +1 punten t 0,..., t Y en de lijnen zijn t 0 t i voor i {1,..., Y }. Aan elke t i (voor 1 i Y ) associëren we een unieke Y i Y. De afbeelding φ maken we dan als volgt: φ(v) = t i als v Y i, en φ(v) = t 0 als v niet in een van de Y i Y bevat is. Het is duidelijk dat (T, φ) een kliefontbinding is die Y verfijnt. Het volgende lemma laat zien waarom we graag Y-maximale kliefontbindingen beschouwen. Lemma 12. Zij Y een verzameling van disjuncte deelverzamelingen van V (G) en (T, φ) een Y-maximale kliefontbinding, waar G een kubische graaf zonder brug is. Dan geldt voor alle t V (T ) ofwel φ 1 (t) =, of φ 1 (t) Y, of de spil van G op t is cyclisch 4-lijnsamenhangend. [1, L15] Bewijs. Stel dat φ 1 (t), φ 1 (t) / Y en dat de spil H op t niet cyclisch 4-lijnsamenhangend is. De spil H heeft dus een cyclische 2- of 3-snede C = δ(s). We zeggen X = φ 1 (t) en we nemen H 1 = H S en H 2 = H \ H 1. We kunnen nu een grotere boom T maken door t te splitsen in τ 1 en τ 2 met een nieuwe afbeelding ψ. Voor punten v V (G) \ X definiëren we ψ(v) = φ(v). Verder definiëren we ψ(v (H i ) X) = τ i. De componenten T i van T \ t hebben allen een unieke lijn t i t. In T verbinden we t i met τ j indien φ 1 (T i ) na contractie met X in H j terecht komt (zij het als lijn, zij het als punt). Als t i met τ j verbonden is, zijn de geïnduceerde snedes φ 1 (t i τ j ) en φ 1 (t i t) gelijk. Om aan te tonen dat (T, ψ) een kliefontbinding is hoeven we dus alleen nog te controleren dat voor τ 1 en τ 2 geldt ψ 1 (τ i ) +deg T (τ i ) 3. Stel h V (H 1 ). Indien h X, wordt ψ 1 (τ 1 ) met 1 opgehoogd. Als h V (H 1 )\X, is h het overblijfsel van een gecontraheerd component φ 1 (T i ) wat per constructie met τ 1 verbonden is, dus wordt deg T (τ 1 ) met 1 opgehoogd. Omdat H 1 een cykel heeft is V (H 1 ) 2. Bovendien zijn τ 1 en τ 2 met elkaar verbonden, zodat we kunnen concluderen ψ 1 (τ 1 ) +deg T (τ 1 ) 3. We kunnen hetzelfde argument toepassen om de voorwaarde voor τ 2 te bewijzen en komen tot de conclusie dat de originele kliefontbinding (T, φ) niet maximaal was, dus aan één van de drie voorwaarden moet worden voldaan. 20

23 We hebben nu bijna alle benodigde resultaten om met kliefontbindingen te werken, maar we kunnen door bepaalde driehoeken te contraheren nog iets meer zeggen over deze kliefontbindingen. 4.6 Relevante driehoeken Een driehoek T is relevant als er een andere drie- of vierhoek is die precies één lijn deelt met T. Anders is deze irrelevant. We noemen deze driehoeken relevant omdat elke relevante driehoek in een twijg bevat is, en volgens Lemma 8 dus in een knoest bevat is. Sterker nog, elke relevante driehoek is per definitie bevat in één van de vier zogenaamde elementaire twijgjes, zie Figuur 4.3. Figuur 4.3: De vier elementaire twijgjes. Elk elementair twijgje bevat op zijn beurt één of twee relevante driehoeken. We kunnen zo een overdekking maken van de relevante driehoeken met disjuncte elementaire twijgjes. Een gesnoeide graaf is een graaf die geen irrelevante driehoeken bevat. De irrelevante driehoeken hebben we namelijk niet nodig, dus hier passen we het volgende lemma op toe. Dit noemen we snoeien. Lemma 13. Elke kubische graaf G zonder brug met maximaal k disjuncte irrelevante driehoeken heeft een gesnoeide graaf G als minor met V (G ) V (G) 2k die we kunnen verkrijgen door de irrelevante driehoeken te contraheren. [1, L8] Bewijs. Dit bewijs gaat met inductie op het aantal irrelevante driehoeken. Wanneer we een irrelevante driehoek T contraheren tot t kan t niet bevat zijn in een driehoek, want T deelt geen enkele lijn met een vierhoek. Dus het maximale aantal disjuncte irrelevante driehoeken is hoogstens k 1 na een contractie (irrelevante driehoeken kunnen relevant worden na contractie, maar niet andersom). We passen de inductiehypothese toe op de graaf die het resultaat is van contractie van T. We eindigen met een gesnoeide graaf G met V (G ) V (G) 2k, want per contractie verliest de graaf 2 punten. 21

24 We moeten natuurlijk nog nagaan dat we niet meer perfecte matchings creëeren door driehoeken te contraheren. Dat doen we in Lemma 14. Lemma 14. Als G verkregen is van een kubische graaf zonder brug G door een driehoek te contraheren geldt m (G ) m (G) en dat een foliage van maximum grootte in G hoogstens zo groot is als een foliage van maximum grootte in G. [1, L10] Bewijs. Laat xyz de driehoek in G zijn en e x, e y, e z de lijnen incident met x, y, z die niet in de driehoek bevat zijn. Laat t het punt in G zijn wat uit contractie van deze driehoek ontaat. Elke perfecte matching M van G is uit te breiden tot een matching in G. Neem bijvoorbeeld aan dat e x M. Dan is M yz een perfecte matching op G. Andersom geldt dat als yz in een matching van G bevat is, ook e x in deze matching bevat moet zijn. Hieruit kunnen we precies concluderen dat m (G ) m (G). Van elke knoest X in G die t bevat kunnen we een knoest X in G maken. Neem namelijk X = X {x, y, z}\t en laat M een gebalanceerde kansverdeling op M(G X) zijn. Vanwege de opmerkingen hierboven en Lemma 5 kunnen we hier een gebalanceerde kansverdeling M op M(G X ) mee associëren zodanig dat E(a(M, G X)) = E(a(M, G X ). Omdat X een knoest is, is E(a(M, G X)) ook minstens 1 3 en dus is X een knoest. Een knoest X in G die t niet bevat is ook een knoest in G. De grootste foliage in G kan dus niet groter zijn dat de grootste foliage in G. Het onderstaande gevolg geeft ons de kliefontbinding die we nodig hebben. Het resulteert uit Lemma 11, Lemma 12 en de opmerkingen in deze sectie. Gevolg 4. Laat G een kubische graaf zonder brug zijn die niet cyclisch 4-lijnsamenhangend is en meer dan 8 punten heeft. Dan is er een verzameling Y van disjuncte elementaire twijgjes in G zodanig dat elke relevante driehoek bevat is in een element van Y. Bovendien kunnen we een Y-maximale kliefontbinding (T, φ) maken zodat voor elke t V (T ) geldt dat ofwel φ 1 (t) =, of φ 1 (t) is een elementair twijgje, of de spil van G op t is cyclisch 4-lijnsamenhangend. [1, C16] 4.7 Hoofdlemma voor grafen zonder kern We zeggen dat G een kern heeft als V (G) 6 en we door middel van 2- en 3-contracties een cyclisch 4-lijnsamenhangende graaf kunnen verkrijgen. We hebben voor het bewijs van Stelling 4 twee samenvattende lemma s nodig: één voor grafen zonder kern, en één voor grafen met kern. Deze lemma s stellen respectievelijk dat er een foliage bestaat met voldoende gewicht bestaat of 22

25 dat m (G) groot genoeg is. Voordat we deze hoofdlemma s kunnen bewijzen zullen we nog wat andere lemma s introduceren die voorwaardes geven voor een X V (G) om een knoest te zijn. Lemma 15. Als G een kubische graaf zonder brug is en X V (G) met δ(x) = 4 en m(g X) 2 dan is X een knoest. [1, L17] Bewijs. Voor een M M(G X) geldt dat als M δ(x) = dat G X een M- alternerende cykel moet bevatten vanwege onze aanname dat m(g X) 2. Vanwege de pariteit moet M δ(x) even zijn voor alle M M(G, X). Zeg δ(x) = {δ i } i {1,2,3,4}. 4 3 = i P(δ i M G X ) = E( M G X δ(x) ) = 2P( M G X δ(x) = 2) + 4P( M G X δ(x) = 4) 2P(M G X δ(x) ). Dus P(M G X δ(x) = ) 1 3 en dus is X een knoest. Lemma 16. Laat (T, φ) een kliefontbinding zijn van een kubische graaf zonder brug G, en zij P een pad in T met V (P ) = 10. Veronderstel verder dat voor alle t V (P ) geldt: deg T (t) = 2, de spil op t is isomorf met K 4, voor elke lijn f incident met t geldt φ 1 (f) = 3. Dan is X = φ 1 (V (P )) een knoest. [1, L18] Bewijs. Laat P = p 1 p 0 p 10 een pad in T zijn zodanig dat P = p 0 p 9. De snedes geïnduceerd door p i 1 p i noemen we C i. Voor elke p i met 0 i 9 geldt dat X i = φ 1 (p i ) twee punten zijn verbonden door een lijn, omdat de spil op p i isomorf moet zijn met K 4. We kunnen door Lemma 15 aannemen dat X geen 4-cykel bevat, anders is X sowieso een knoest. Laat A de verzameling uiteindes van C 0 buiten X zijn, en B de verzameling uiteindes van C 10 buiten X zijn. We beschouwen nu drie paden R 1, R 2 en R 3 die in A beginnen en via C 0, C 1,..., C 10 in B uitkomen. Deze paden zijn binnen G X onderling disjunct. We definiëren nu de index σ i van p i voor 0 i 9 als de twee paden {R j, R j } die door X i lopen. Dit zijn altijd twee verschillende paden, want de paden maken 23

26 geen gebruik van de lijn die de punten in X i verbindt. Omdat er geen 4- cykels in X zijn geldt σ i 1 σ i. We definiëren nu het type ψ i van p i voor 1 i 8 als 0 indien σ i 1 = σ i+1 en anders als 1. Voor gehele getallen a, b met 0 a < b 10 definiëren we X a,b = a i<b X i. We nemen nu een gebalanceerde kansverdeling M G X op M(G X) en definiëren hiervoor A a,b = a(m G X, G X a,b ) en Y l = M G X C l. We kiezen nu drie getallen i, j en k met 0 i < j < k 10 zodanig dat aan de onderstaande eisen wordt voldaan. Eerst zullen we aantonen dat indien deze getallen bestaan E(A i,k ) 1 en X dus een knoest is. Vervolgens laten we 3 zien dat we deze getallen altijd kunnen kiezen. [C1]. P(A m,n = 0 Y m = Y n = 0) = 0, voor elke {m, n} {i, j, k}, m < n. [C2]. Er is tenminste één snede uit {C i, C j, C k }, zeg C t, waarvoor geldt dat er een e C t is zodanig dat als voor een M M(G X) geldt Y i +Y j +Y k = 3 en e M er moet gelden dat a(m, G X m,n ) 1 (voor minstens één {m, n} {i, j, k}, m < n en m = t of n = t). We schrijven Y = Y i + Y j + Y k. Vanwege de pariteit van de X l moet gelden dat Y i Y j Y k mod 2. We splitsen E(A i,k ) op in het geval dat Y = 3 en Y 3. Stel Y 3: Voorwaarde [C1] impliceert dat E(A i,k Y = 0) 2. Immers, als Y = 0 dan zijn Y i, Y j en Y k ook 0 en dus geldt A i,k A i,j + A j,k 2. Op gelijke wijze verkrijgen we E(A i,k Y = 2) 1, want twee van de Y l moeten dan 0 zijn en A i,k max{a i,j, A j,k }. Vanwege de gebalanceerdheid van M G X hebben we E(Y ) = 3. Hiermee rekenen we verder: En dus: 3 P(Y = i) = i P(Y = i) i i 3 P(Y = 0) + P(Y = 2) P(Y 4) 4 P(Y = 0) + 2 P(Y = 2) P(Y 3). E(A i,k Y 3) E(A i,k Y = 0)P(Y = 0) + E(A i,k Y = 2)P(Y = 2) P(Y 3) 2 P(Y = 0) + P(Y = 2) 4 P(Y = 0) + 2 P(Y = 2)

27 Figuur 4.4: Patroon *1* (links) en *00* (rechts). De blauwe lijnen geven (een deel van) de matching N weer. De blauw-rode cykels zijn N-alternerend. Stel Y = 3: Laat C t = {e 1, e 2, e 3 } met e 1 = e (de lijn uit [C2]). We definiëren q i = P((M G X C t = {e i }) Y = 3). Het is duidelijk dat q 1 + q 2 + q 3 = P(Y = 3). Samen met het feit dat 1 q q q 3 3 verkrijgen we q 1 1 (P(Y = 3) 1). Ook weten we E(A 2 3 i,k Y = 3) P(Y = 3) q 1. Nu kunnen we de twee delen samenvoegen: E(A i,k ) = E(A i,k Y 3) P(Y 3) + E(A i,k Y = 3) P(Y = 3) 1 2 (1 P(Y = 3)) + 1 ( 2 P(Y = 3) 1 ) = Dus X is een knoest als we zulke i, j en k kunnen vinden. Om ze te vinden beschouwen we de rij van types Ψ = (ψ 1,..., ψ 8 ). Om te zorgen dat i, j en k aan [C1] voldoen is het voldoende om te eisen dat j i 4, of j i = 3 én ψ i+1 = 1 (idem voor j en k). Stel bijvoorbeeld dat j i 4. Er moet voor elke M M(G X) een M-alternerende cykel in G X i,j zijn als Y i = Y j = 0. Beschouw de perfecte matching N M(G X i,j ) die bestaat uit alle lijnen die de twee punten uit X q met elkaar verbinden voor q {i,..., j 1}. Als M N bestaat M N uit minstens één M- alternerende cykel in G X i,j omdat Y i = Y j = 0. Als M = N kunnen we ook M-alternerende cykels in G X i,j vinden omdat een van de twee patronen (Ψ = 1 en Ψ = 00 ) in X i,j bevat moet zijn, zie Figuur 4.4. Als j i = 3 en ψ i+1 = 1 kijken we opnieuw naar M N voor een M-alternerende cykel, en anders als M = N gebruiken we de M-alternerende cykel in Figuur 4.4 (links). Stel 1111 bevat is in Ψ, bijvoorbeeld ψ 2 = ψ 3 = ψ 4 = ψ 5 = 1. Dan voldoet i = 1, j = 4, k = 7 duidelijk aan [C1]. Ook aan [C2] wordt voldaan, zie Figuur 4.5. Op dezelfde manier vinden we dat als Ψ een van de volgende deelrijen bevat 00011, 01011, , , , , , , , , , , we ook i, j, k kunnen kiezen die aan beide voorwaarden voldoen. Het maakt hier niet uit of Ψ nu of het omgekeerde rijtje bevat. Tenslotte zien we nog dat 0001**1, 0001****, 111**1 en 111**** ook deelrijtjes zijn die het bestaan 25

28 Figuur 4.5: Links het patroon 1111, midden het patroon 111, rechts het patroon Te zien is dat de lijn linksonder steeds de lijn is die aan [C2] voldoet, want áls er een perfecte matching is (blauw) die de desbetreffende lijn bevat is er een alternerende cykel (blauw-rood). Op deze manier kan [C2] ook voor de andere opgenoemde patronen worden nagegaan. van volstaande i, j en k garanderen, zie Figuur 4.5. Het is nu gemakkelijk na te gaan dat elke Ψ wel een volstaande deelrij moet bevatten, en hiermee is het lemma dus bewezen. Lemma 17. We hebben een kliefontbinding (T, φ) van een kubische graaf zonder brug G. Stel t 1 en t 2 zijn twee incidente punten in T met deg T (t i ) = 2. Als voor elke f E(T ) incident met t 1 of t 2 geldt dat φ 1 (f) = 2, dan is φ 1 ({t 1, t 2 }) een knoest. [1, L19] Bewijs. We beschouwen een pad t 0 t 1 t 2 t 3 in T met geïnduceerde 2-snedes C i = φ 1 (t i 1 t i ). Door Lemma 15 hoeven we slechts aan te tonen dat G φ 1 ({t 1, t 2 }) ten minste twee perfecte matchings heeft. We nemen aan dat G φ 1 (t 1 ) en G φ 1 (t 2 ) hoogstens één perfecte matching hebben, anders volgt het resultaat gemakkelijk. Laat G 1 de spil op t 1 zijn en noem de twee lijnen die zijn verkregen door C 1 - en C 2 -contractie respectievelijk e 1 en e 2. We weten door Gevolg 2 dat G 1 \e 1 tenminste twee perfecte matchings heeft. Óf beide perfecte matchings bevatten e 2, óf precies één van deze matchings bevat e 2, want per aanname is er hoogstens één perfecte matching die zowel e 1 als e 2 niet bevat. We kunnen een analoge redenering toepassen op de spil G 2 op t 2. De gevonden 26

29 perfecte matchings op G 1 en G 2 kunnen hoe dan ook gecombineerd worden tot minstens twee verschillende perfecte matchings op G φ 1 ({t 1, t 2 }). Gevolg 5. Stel we hebben een kliefontbinding (T, φ) van een kubische graaf zonder brug G en er is een pad P in T zodat voor elke p P geldt deg T (p) = 2. Als er dan drie lijnen (incident met P ) 2-snedes induceren is φ 1 (P ) een knoest. [1, C20] Bewijs. We kunnen een nieuwe kliefontbinding maken waarop we direct Lemma 17 toe kunnen passen. Gevolg 6. Stel we hebben een kliefontbinding (T, φ) van een kubische graaf zonder brug G en er is een pad P in T met V (P ) = 32. Als bovendien voor elke p P geldt deg T (p) = 2 en de spil van G op p isomorf is met K 4 of B 3, dan is φ 1 (P ) een knoest. Bewijs. Als er minstens 3 lijnen incident met punten in P zijn die een 2-snede induceren geldt het gevolg direct vanwege Gevolg 5. Als dat niet het geval is, moet P vanwege zijn lengte een deelpad P bevatten met V (P ) = 10 en waarvoor alle lijnen incident met punten in P een 3-snede induceren. Maar dan volgt het resultaat uit Lemma 16. We kunnen nu het hoofdlemma voor kubische grafen zonder brug zonder kern bewijzen. Lemma 18 (Zonder kern). Zij G een gesnoeide kubische graaf zonder brug. Neem Z V (G) een twijgje. Als de contractie met Z door δ(z) geen kern heeft, dan is er een foliage X in G zodanig dat X X X Z en fw(x ) α Z + β 2. [1, L11] Bewijs. Het bewijs gaat met inductie op Z. Als Z 6 kunnen we de foliage bestaande uit alleen Z nemen met een gewicht van β 1 A.3 6α + β 2 = α Z + β 2. We nemen dus aan dat Z 7. De graaf G, verkregen door contractie met Z, is per aanname niet cyclisch 4-lijnsamenhangend. We kunnen dus Gevolg 4 toepassen op G en verkrijgen zo een verzameling Y van elementaire twijgjes en een Y-maximale kliefontbinding (T, φ). Elke relevante driehoek van G is bevat in een van deze elementaire twijgjes. Als φ 1 (t) niet leeg of een elementair twijgje is voor een t V (T ) moet de spil op t cyclisch 4-lijnsamenhangend zijn. Vanwege de maximaliteit betekent dat ook dat de spil op t isomorf is met K 4 of B 3. Stel dat deg T (t) = 2 voor een t V (T ). Dan moet φ 1 (t) 2. Als dit niet waar is moet de spil op t isomorf zijn met K 4 en omdat φ 1 (t) 3 27

30 moeten tenminste 3 van zijn punten in G liggen. Er moet dus minstens één lijn f incident met t zijn die een 2-snede induceert, anders zou de spil meer dan 4 punten hebben. Maar nu kunnen we een grotere boom maken die de maximaliteit van T tegenspreekt. Neem namelijk een punt v φ 1 (t) dat incident is met een lijn in φ 1 (f). We maken nu een nieuwe boom T door t te splitsen in t en t (die we met elkaar verbinden). We definiëren ψ(v) = t en ψ(u) = t voor u φ 1 (t) \ {v} en voor de andere punten ψ(u) = φ(u). Nu geldt ψ 1 (t t ) = φ 1 (f) δ({v}) = 3 en dus is (T, ψ) een klief-ontbinding die de maximaliteit van (T, φ) tegenspreekt. G kan hoogstens één irrelevante driehoek bevatten, want G was gesnoeid. Deze irrelevante driehoek moet de door Z-contractie verkregen lijn e n of punt v n bevatten. Kies een t 0 V (T ) zodanig dat ofwel e n incident is met een punt uit φ 1 (t 0 ), of dat v n φ 1 (t 0 ). Voor elk uiteinde t t 0 van T geldt dat φ 1 (t) een twijg moet zijn. Als φ 1 (t) geen twijg is moet de spil H op φ 1 (t) cyclich 4-lijnsamenhangend zijn en isomorf met K 4, maar dan bevat φ 1 (t) een irrelevante driehoek, dus t = t 0. Neem nu een t V (T ) \ t 0 met deg T (t ) 3 op zo n manier dat het component van T \ t dat t 0 bevat een maximaal aantal punten heeft. Als zo n punt niet bestaat, neem t = t 0. De componenten van T \ t die t 0 niet bevatten noemen we {T i } 1 i k. Alle punten in deze componenten hebben graad 2 per constructie. Stel dat er een T i is met V (T i ) 33. Laat dan T een deelboom zijn van T i met het uiteinde van T i en precies 32 andere punten. Laat f de unieke lijn tussen T en T \ T zijn. We definiëren nu H (respectievelijk H ) als de φ 1 (f)-contractie van G (respectievelijk G ) die V (G ) \ φ 1 (T ) bevat, en laat Z = V (H ) Z met daaraan toegevoegd het punt wat (eventueel) onstaan is door de φ 1 (f)-contractie. Als H niet al gesnoeid is bevat het een unieke irrelevante driehoek en contraheren we die. Per inductieaanname kunnen we een foliage X in Z vinden met fw(x ) α( Z 2) + β 2 of als Z 6 nemen we X =. De foliage X die we gevonden hebben kunnen we uitbreiden naar een foliage op G met het gewenste gewicht. Voor alle t T met deg T (t ) = 2 moet de spil op t isomorf moet zijn met K 4 of B 3. Dus φ 1 (T ) bevat een knoest (vanwege Gevolg 6) en een elementair twijgje (het inverse beeld van het uiteinde van T ) die onderling disjunct zijn. Bovendien weten we dat φ 1 (T ) = 72, want een elementair twijgje heeft hoogstens 8 punten en voor de andere punten t V (T ) van graad 2 hebben we aangetoond dat φ 1 (t ) 2. We kunnen nu met behulp van Lemma 10 een foliage X creeëren door de zojuist gevonden knoest en elementair twijgje toe te voegen aan X. Eventueel moeten we nog een knoest die een twijg kan zijn uit X te verwijderen als deze een punt van H bevat dat ontstond door 28

31 de φ 1 (f)-contractie. Als Z 7 (merk op dat β 1 β 2 ): fw(x ) α( Z 2) + 2β 2 (α Z + β 2 ) 74α + β 2 A.4 α Z + β 2 Als Z 6 moet Z 78 en dus zijn de knoesten van φ 1 (T ) genoeg: fw(x ) β 1 + β 2 A.5 78α + β 2 α Z + β 2. We nemen nu dus aan dat V (T i ) 32 voor alle T i. Neem eerst aan dat t t 0 en dat φ 1 (T 0 ) 7, waar T 0 het component is van T \ t dat t 0 bevat. Laat f 0 de unieke lijn tussen t en T 0 zijn. Net als hierboven vormen we H, H als φ 1 (f 0 ) contractie van G, G met φ 1 (T 0 ) en Z = V (H ) Z. Indien nodig contraheren we nog een enkele irrelevante driehoek in H. Zo vinden we opnieuw een foliage X in Z met fw(x ) α( Z 2) + β 2. Elke φ 1 (T i ) voor 1 i k moet een twijgje bevatten: het inverse beeld van het uiteinde in T i. Met behulp van Lemma 10 kunnen we nu een foliage X in Z maken door k 2 twijgjes toe te voegen en eventueel een knoest te verwijderen. Zo krijgen we: fw(x ) α( Z 2)+β 2 +(k 1)β 1 (1) α Z +β 2 76α+(k 1)(β 1 70α) α Z +β 2. Bij ongelijkheid (1) maken we gebruik van Z + 70k + 4 Z, want per aanname is φ 1 (T i ) = 70 (voor 1 i k) en φ 1 (t ) 4 (want de spil op t is isomorf met K 4 of B 3 ). Bij het geval dat t = t 0 of φ 1 (T 0 ) 6 voldoet de foliage X bestaande uit de k twijgjes die de inverse beelden van de uiteinden van de T i zijn. Als φ 1 (T 0 ) 6 en t t 0 is φ 1 (t ) 4 en dus geldt Z 70k Als t = t 0 moet opnieuw gelden φ 1 (t ) 4 óf φ 1 (t ) is een elementair twijgje. In het laatste geval moet k = 1 gelden want de elementaire twijgjes zijn de inverse beelden van uiteinden. Hoe dan ook geldt opnieuw Z 70k + 10 en dus: fw(x ) = kβ 1 (α Z + β 2 ) + k(β 1 70α) 10α β 2 A.6 α Z + β 2. We zullen het lemma hoofdzakelijk in de volgende vorm toepassen. Gevolg 7. Voor een gesnoeide kubische graaf zonder brug G die geen kern heeft geldt: fw(g) α( V (G) 1) + β 2 Bewijs. Pas Lemma 18 toe met Z = V (G) \ v voor een willekeurige v V (G). 29