Veeltermafbeeldingen. Pim Heesterbeek, Edo van Veen 9 juli 2009
|
|
- Barbara Boer
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Veeltermafbeeldingen Pim Heesterbeek, Edo van Veen 9 juli 2009
2
3 Inhoudsopgave 1 Inleiding 5 2 Theorie Definitie veeltermafbeelding Definitie strikte driehoeksvorm Definitie driehoeksvorm Maple Commando s D-animaties D-animaties Voorbeelden Het Nagata-automorfisme Het Van Veen-Heesterbeek-automorfisme Het Maubach-automorfisme Een optische illusie
4 4
5 1 Inleiding Beste lezer, Voor je ligt het resultaat van het eerstejaarsproject Plaatjes van veeltermafbeeldingen, dat wij onder begeleiding van Stefan Maubach hebben uitgevoerd in het voorjaar van In dit project hebben wij onderzocht op welke manier(en) met Maple 12 2D- en 3D-animaties kunnen worden gemaakt bij verschillende veeltermafbeeldingen. Onderzoeksdoel was daarbij het leveren van een (korte) beschrijving, waarmee iemand die niet of weinig bekend is met Maple, snel een dergelijke animatie kan maken. Dit verslag begint met een stukje theorie over veeltermafbeeldingen, waarna snel wordt doorgegaan naar het deel waarin wordt uitgelegd hoe zo n animatie tot stand komt. Tot slot geven we enkele voorbeelden die wij zelf hebben gemaakt, met de code erbij. Dit verslag gaat vergezeld van een Maple-bestand, waarin de daadwerkelijke animaties bij onze voorbeelden te zien zijn. Eventueel zou de code daaruit door een geïnteresseerde kunnen worden overgenomen en aangepast, teneinde zelf een dergelijke animatie te maken. Wij wensen je veel plezier met het lezen van dit projectverslag. Met vriendelijke groet, Edo van Veen en Pim Heesterbeek 5
6 6
7 2 Theorie 2.1 Definitie veeltermafbeelding Een veeltermafbeelding (Engels: polynomial map) is een afbeelding van de vorm F = (F 1,..., F n ) : R n R n, met veeltermen F i in n variabelen x 1,..., x n, met coëfficiënten in R. Zo n afbeelding F heet een automorfisme als deze een inverse heeft. Een voorbeeld van een veeltermafbeelding is F = (x, y) (x+y 2, y 2x+8). Een simpel voorbeeld van een automorfisme is G = (x, y) (x + y 2, y), met de inverse G 1 : (x, y) (x y 2, y). We zullen ons in dit project vooral bezighouden met de gevallen n = 2 en n = Definitie strikte driehoeksvorm Een automorfisme heeft een strikte driehoeksvorm (triangulaire vorm), als deze in het geval n = 3 van de vorm is F : (x, y, z) (x + f(y, z), y + g(z), z + d). We kunnen schrijven F = F z F y F x met F x is inverteerbaar met de inverse F x : (x, y, z) (x + f(y, z), y, z); (1) F y : (x, y, z) (x, y + g(z), z). (2) F 1 x F y is inverteerbaar met de inverse F 1 y en F z is inverteerbaar met de inverse F z : (x, y, z) (x, y, z + d). (3) F 1 z : (x, y, z) (x f(y, z), y, z), : (x, y, z) (x, y g(z), z). : (x, y, z) (x, y, z d). De samenstelling van deze afbeeldingen geeft F, dus F is ook inverteerbaar met inverse F 1 = F 1 x Fy 1 Fz 1 : (x, y, z) (x f(y g(z d), z d), y g(z d), z d). In strikte driehoeksvorm blijven inhouden (of, in het geval n = 2, oppervlaktes) gelijk. 7
8 2.3 Definitie driehoeksvorm In het algemeen is een triangulair automorfisme van de vorm F : (x, y, z) (ax + af(y, z), by + bg(z), cz + cd), met a, b, c 0. Dit kunnen we weer schrijven met F = F a F z F y F x. Hierin worden de F x, F y en F z uit formules 1, 2 en 3 gebruikt, en F a : (x, y, z) (ax, by, cz). Deze vier afbeeldingen hebben allemaal weer een inverse, dus F heeft ook een inverse ( ( ( ) x y z d F 1 : (x, y, z) a f b g, z d ), y ( ) z d c c b g, z d ). c c Twee samengestelde driehoeksvormen in verschillende richtingen geven al grillige vormen. We kunnen ook een bewegend plaatje maken, door een afbeelding F te gebruiken met en vervolgens λ te laten lopen. F : (x, y, z) (x + λf(y, z), y + λg(z), z + λd) 8
9 3 Maple Commando s Onderstaande commando s zijn nuttig bij het genereren van 2D of 3D-animaties in Maple 12. with(package) Laadt een package, zoals Plottools of Plot3d. transform(f) Genereert een procedure, die gebruikt kan worden om de procedure f op alle punten uit een plotstructuur toe te passen. Daarbij is f een afbeelding R m R n, met m, n {2, 3}. De input van f moet bestaan uit m argumenten, en de uitput uit een lijst van n argumenten. animate(plotcommando, plotargumenten, t=a..b, opties) Genereert een animatie over één parameter, hierboven weergegeven met t. plotcommando moet daarbij een procedure zijn die een 2D of 3D-plot levert (zoals display, plot en plot3d). plotargument(en) is/zijn de argumenten op welke het plotcommando moet worden toegepast. t is de parameter die gaat lopen in de animatie. a,b zijn de grenzen van de parameter options kunnen extra beperkingen opleggen aan het animate-commando of aan het plotcommando. (Bijvoorbeeld: axes=boxed, scaling=constrained of labels=[x,y,z].) restart Wist het tijdelijk geheugen van Maple. Het is zeer aan te bevelen dit commando te gebruiken aan het begin van elk programma, omdat anders misschien bepaalde variabelen nog ongewenste waarden zouden kunnen hebben van eerder uitgevoerde programma s D-animaties In tabel 1 is de globale opzet van een 3d-animatie bij een veeltermafbeelding gegeven. Hierbij zijn f(x,y,z), g(x,y,z), h(x,y,z) en k(x,y) vrij te kiezen functies. Als er sprake is van een veeltermafbeelding op driehoeksvorm kunnen f:=(x,y,z)->f(x,y,z), g:=(x,y,z)->g(x,y,z) en h:=(x,y,z)->h(x,y,z) worden vervangen door respectievelijk f:=(y,z)->f(y,z), g:=z->g(z) en h:=c, waarbij C een constante is. xmin, xmax, ymin en ymax bepalen het venster waarin de animatie zal plaatsvinden, en Amin en Amax bepalen het verloop van de animatie. Deze opzet lijkt ons het meest overzichtelijk. 9
10 Toelichting Laden van packages Definiëren van functies Definiëren van de plot waarop de afbeeling gaat werken Definiëren van een transformatie, afhankelijk van een variabele A Genereren van de animatie Code with(plottools): with(plot3d): f:=(x,y,z)->f(x,y,z); g:=(x,y,z)->g(x,y,z); h:=(x,y,z)->h(x,y,z); Q:=plot3d(k(x,y), x=xmin..xmax, y=ymin..ymax); V:=transform((x,y,z)-> [x+a*f(x,y,z),y+a*g(x,y,z), z+a*h(x,y,z)]); animate(display,[{v(q)}], Amin..Amax,axes=boxed); Tabel 1: format voor 3D-animaties op een plotstructuur 3.3 2D-animaties In tabel 2 en 3 zijn de globale opzet van een animatie in het platte vlak, bij een veeltermafbeelding gegeven. Hierbij zijn f(x,y), g(x,y) en k(x) vrij te kiezen functies. Merk daarbij op dat, als het een triangulair automorphisme betreft, f slechts een functie van y is, en g een constante functie. xmin, xmax, ymin en ymax bepalen weer het venster waarin de animatie zal plaatsvinden; Amin en Amax bepalen het verloop van de animatie. In 2D kan, net als in 3D, een transformatie worden toegepast op een plotstuctuur, bijvoorbeeld op een grafiek van een functie x y. Daarnaast kan het soms wenselijk zijn om een transformatie toe te passen op een rooster, bestaande uit horizontale en verticale lijnen. Maple heeft 1, geen functie om dat gemakkelijk te doen. Daarom is een handige truc benodigd. Deze truc bestaat uit het maken van 2-dimensionale contourplots 2 van de 3-dimensionale vlakken z = x en z = y. Dit doet de optie contourplot voor ons, waarbij als optie contours=[a,b,c,...] kan worden opgegeven, om de hoogtelijnen slechts op de x- danwel y-coördinaten a,b,c,... te plotten. Vervolgens kan de transformatie op beide contourplots tegelijk worden toegepast, en de resultaten daarvan leveren de gewenste animatie op. In tabel 2 wordt een format gegeven voor het maken van een animatie die werkt op een 2-dimensionale plot. In tabel 3 wordt een format gegeven voor een animatie op een rooster. 1 Voor zover ons bekend, en we hebben goed gezocht. 2 Hoogtelijnenkaartjes. 10
11 Toelichting Laden van packages Definiëren van functies Definiëren van de plot waarop de afbeeling gaat werken Definiëren van een transformatie, afhankelijk van een variabele A Genereren van de animatie Code with(plottools): with(plots): f:=(x,y)->f(x,y); g:=(x,y)->g(x,y); Q:=plot(k(x), x=xmin..xmax); V:=transform((x,y)-> [x+a*f(x,y),y+a*g(x,y)); animate(display,[{v(q)}], Amin..Amax,axes=boxed); Tabel 2: format voor 2D-animaties op de grafiek van een functie k : x y Toelichting Laden van packages Definiëren van functies Definiëren van contourplots waarop de afbeelding gaat werken Definiëren van een transformatie, afhankelijk van een variabele A Genereren van de animatie Code with(plottools): with(plots): f:=(x,y)->f(x,y); g:=(x,y)->g(x,y); Q:=contourplot(x, x=xmin..xmax, filled=false, colour=black, contours=[a,b,...]); P:=contourplot(y, x=xmin..xmax, filled=false, colour=black contours=[a,b,...]) V:=transform((x,y)-> [x+a*f(x,y),y+a*g(x,y)); animate(display,[v(q),v(p)], Amin..Amax,axes=boxed); Tabel 3: format voor 2D-animaties op een x, y-rooster 11
12 12
13 4 Voorbeelden De volgende voorbeelden kunnen allemaal worden bekeken in de Maple-bijlage, waarin ook de code te zien is. 4.1 Het Nagata-automorfisme Het Nagata-automorfisme wordt als volgt gedefinie erd: N : (x, y, z) 7 (x 2ya z(a )2, y + za, z) met = xz + y 2 en we laten a lopen. Dit levert de volgende plaatjes op: Figuur 1: het Nagata-automorfisme 4.2 Het Van Veen-Heesterbeek-automorfisme Het Van Veen-Heesterbeek-automorfisme wordt als volgt gedefinie erd: F : (x, y, z) 7 (x + a(y 2 + yz), y + asin(z), z) Als we a laten lopen, levert dit de volgende plaatjes op: Figuur 2: het Van Veen-Heesterbeek-automorfisme 13
14 4.3 De Maubach-veeltermafbeelding De Maubach-veeltermafbeelding wordt als volgt gedefinie erd: 1 1 A y 2, y + (1/6) A (x + A y 2 )2 ) 2 2 Als we A laten lopen, levert dit de volgende plaatjes op: M : (x, y) 7 (x + Figuur 3: de Maubach-veeltermafbeelding 4.4 Een optische illusie Voor een leuke optische illusie definie ren we: I : (x, y) 7 (x + Asin(y), y) Als we A laten lopen, levert dit de volgende plaatjes op: Figuur 4: een optische illusie In deze figuur zijn de horizontale lijnen allemaal evenwijdig aan elkaar, wat eenvoudig te zien is aan het functievoorschrift. 14
15 15
Het berekenen van coördinaten van bijzondere punten van een grafiek gaat met opties uit het CALC-menu.
Toppen en snijpunten We gaan uit van de formule y 0,08x 1,44x 6,48x 3. Voer deze formule in op het formule-invoerscherm (via!) en plot de grafiek met Xmin = 0, Xmax = 14, Ymin = 5 en Ymax = 14. In de figuur
Nadere informatiemaplev 2010/7/12 14:02 page 135 #137 Plaatjes in drie dimensies
maplev /7/ 4: page 35 #37 Module Plaatjes in drie dimensies Onderwerp Voorkennis Expressies Bibliotheken Zie ook Driedimensionale plots. Module 9. plot3d, spacecurve, contourplot, gradplot, cylinderplot
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieKorte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde
Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde 3 voor B. Functies van twee variabelen.. Een functie fx, y) van twee variabelen kan analoog aan een functie van één variabele in Maple
Nadere informatieKorte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B
Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B Deze handleiding sluit aan op en is gedeeltelijk gelijk aan de handleidingen die gebruikt worden bij de cursussen Wiskunde 2 en 3 voor B. Er zijn
Nadere informatieAntwoordmodel oefentoets - Formules en grafieken
Antwoordmodel oefentoets - Formules en grafieken Vraag 1 Teken in een figuur de lijnen. l : y = 1 2 x + 4 m : y = 3 2 x 5 n : y = 2x + 2 Voer in y 1 = 1 2 x + 4, y 2 = 3 2 x 5 en y 3 = 2x + 2. Gebruik
Nadere informatie3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
3.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatie2.1 Lineaire formules [1]
2.1 Lineaire formules [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte
Nadere informatieHoofdstuk 7 - veranderingen. getal & ruimte HAVO wiskunde A deel 2
Hoofdstuk 7 - veranderingen getal & ruimte HAVO wiskunde A deel 2 0. voorkennis Plotten, schetsen en tekenen Een grafiek plotten Een grafiek schetsen Een grafiek tekenen Na het invoeren van de formule
Nadere informatieBlok 5 - Keuzemenu. Verdieping - Veeltermen. genoemd zijn. met de functie van Brend: f(0) = = 288. niet gelijk aan 72.
Verdieping - Veeltermen a De oplossingen zijn x = 6, x =, x = 4 en x = 6. Als je (x + 6)(x + )(x 4)(x 6) = 0 oplost krijg je de oplossingen die ij opdracht a genoemd zijn. c Met de gegeven functie: f(0)
Nadere informatieParagraaf 1.1 : Lineaire verbanden
Hoofdstuk 1 Formules, grafieken en vergelijkingen (H4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden Les 1 Lineaire verbanden Definitie lijn Algemene formule van een lijn : y = ax + b a = richtingscoëfficiënt
Nadere informatieVergelijkingen van cirkels en lijnen
Vergelijkingen van cirkels en lijnen Rechthoekig coördinatenstelsel! Cartesisch coördinatenstelsel! René Descartes (1596-1650) Van hem is de uitspraak: Ik denk, dus ik besta! September 12, 2009 1 Vergelijkingen
Nadere informatiemaplev 2010/7/12 14:02 page 277 #279
maplev /7/ 4: page 77 #79 Module 8 Benaderende en interpolerende functies Onderwerp Voorkennis Expressies Bibliotheken Bestanden Zie ook Continue en differentieerbare functies door gegeven punten; kleinste
Nadere informatie( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong
Hoofdstuk 4 Verloop van functies Met DERIVE is het mogelijk om tal van eigenschappen van functies experimenteel te ontdekken. In een eerste paragraaf onderzoeken we het verband tussen de grafieken van
Nadere informatieVIDEO 4 4. MODULUSVERGELIJKINGEN
VIDEO 1 VIDEO 2 VIDEO 3 VIDEO 4 4. MODULUSVERGELIJKINGEN De modulus (ook wel absolute waarde) is de afstand van een punt op de getallenlijn tot nul. De modulus van zowel -5 als 5 is dus 5, omdat -5 ook
Nadere informatieFormules grafieken en tabellen
Formules grafieken en tabellen Formules invoeren Met kom je op het formule-invoerscherm. Reeds ingevoerde formules wis je met C. Krijg je niet een scherm waarop Y, Y,... te zien zijn kies dan bij eerst
Nadere informatie6.0 Voorkennis [1] Algemeen: u n = u n-1 + u n-2 met u 0 = 1 en u 1 = 1. Bereken de 12 de term van deze rij
6.0 Voorkennis [1] Voorbeeld 1: Gegeven is de getallenrij 1, 1, 2, 3, 5, 8, Dit is de rij van Fibonacci. Elke term is de som van de twee voorafgaande termen. Algemeen: u n = u n-1 + u n-2 met u 0 = 1 en
Nadere informatieFunctiewaarden en toppen
Functiewaarden en toppen Formules invoeren Met [Y=] kom je op het formule-invoerscherm. Reeds ingevoerde formules wis je met [CLEAR]. Krijg je niet een scherm waarop Y1, Y2,... te zien zijn, kies dan bij
Nadere informatieGaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:
Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van
Nadere informatie1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]
1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2
Nadere informatiex 0 2 y -1 0 x 0 1 y 2-1 y 3 4 y 0 2 G&R vwo A/C deel 1 2 Functies en grafieken C. von Schwartzenberg 1/15 1a 1b
G&R vwo A/C deel 1 Functies en grafieken C. von Schwartzenberg 1/15 1a 1b t =, 5 d 10, 5 + 46 = 1 (m). 1 minuut en 45 seconden geeft t = 1,75 d 10 1,75 + 46 = 8,5 (m). 1c 1d Per minuut wordt de diepte
Nadere informatieL A TEX-cursus 3 e sessie: Plaatjes, figuren en referenties in L A TEX
L A TEX-cursus 3 e sessie: Plaatjes, figuren en referenties in L A TEX TEXniCie A Eskwadraat 24 november 2014 Vorige week Vorige week hebben jullie het volgende geleerd: Wiskundige symbolen in L A TEX
Nadere informatieParagraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken
Hoofdstuk 7 Lijnen en cirkels (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier y =
Nadere informatiemaplev 2010/7/12 14:02 page 157 #159 Taylor-ontwikkelingen
maplev 200/7/2 4:02 page 57 #59 Module 2 Taylor-ontwikkelingen Onderwerp Voorkennis Expressies Zie ook Taylor-ontwikkelingen van functies van éń of meer variabelen. Taylor-ontwikkelingen. taylor, convert(expressie,polynom),
Nadere informatieVerbanden en functies
Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.
Nadere informatiexxii Handleiding Maple 10
xxii Handleiding Maple 10 dat geval kun je van de vectorvergelijking een stelsel vergelijkingen maken in de vorm van een verzameling of een lijst naar keuze en dit stelsel te lijf gaan met solve of andere
Nadere informatieAdditionele opmerkingen aangaande L A TEX op notebooks
Additionele opmerkingen aangaande L A TEX op notebooks Cor Hurkens 1 december Inhoudsopgave 1 Aanvullingen op L A TEX-introductie 1 1.1 Commando s voor accenten... 1. Commando s voor sub- en superscripts...............
Nadere informatieHoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R
- 229 - Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R Definitie: Een eerstegraadsfunctie in R is een functie met een voorschrift van de gedaante y = ax + b (met a R 0 en b R ) Voorbeeld 1: y = 2x Functiewaardetabel
Nadere informatieIn dit hoofdstuk komen korte onderwerpen aan bod die we uitwerken met DERIVE. Zo leer je heel wat functies van DERIVE kennen.
Hoofdstuk Een DERIVE-tour In dit hoofdstuk komen korte onderwerpen aan bod die we uitwerken met DERIVE. Zo leer je heel wat functies van DERIVE kennen..1 Exact en benaderend rekenen Met de standaardinstelling
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde B Leerboek 1 examenstof
Samenvatting Wiskunde B Leerboek 1 examenst Samenvatting door een scholier 1925 woorden 2 mei 2003 5,4 123 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde B Getal en ruimte Wiskunde boek 1. Hodstuk 1. Procenten.
Nadere informatieHoofdstuk 3. Matrices en stelsels. 3.1 Matrices. [[1,7]],[[12,8] ] of [ 1, 7; 12,8 ] bepaalt de matrix
Hoofdstuk 3 Matrices en stelsels 3.1 Matrices Een matrix is in DERIVE gedefinieerd als een vector van vectoren. De rijen van de matrix zijn de elementen van de vector. Op de volgende manier kan je een
Nadere informatieBreuksplitsen WISNET-HBO NHL. update juli 20014
Breuksplitsen WISNET-HBO NHL update juli 20014 1 Inleiding Bij sommige opleidingen is het belangrijk dat er enige vaardigheid ontwikkeld wordt om grote breuken te manipuleren en om te zetten in een aantal
Nadere informatie2. Een eerste kennismaking met Maxima
. Een eerste kennismaking met Maxima Als u nog niet eerder kennis heeft gemaakt met CAS (Computer Algebra System) software, dan lijkt Maxima misschien erg gecompliceerd en moeilijk, zelfs voor het oplossen
Nadere informatie7,7. Samenvatting door Manon 1834 woorden 3 mei keer beoordeeld. Wiskunde C theorie CE.
Samenvatting door Manon 1834 woorden 3 mei 2016 7,7 13 keer beoordeeld Vak Wiskunde Wiskunde C theorie CE. Permutaties: -Het aantal permutaties van drie dingen die je kiest uit acht dingen is: 8*7*6= 336.
Nadere informatieHoofdstuk 1 : De Tabel
Hoofdstuk 1 : De Tabel 1.1 Een tabel maken De GR heeft 3 belangrijke knoppen om een tabel te maken : (1) Y= knop : Daar tik je de formule in (2) Tblset (2nd Window) : Daar stel je de tabel in. Er geldt
Nadere informatieP is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).
Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie
Nadere informatieParagraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier
Nadere informatieConflictmeetkunde, dominante termen, GGD s en = 1.
Conflictmeetkunde, dominante termen, GGD s en + =. Jan Stienstra Mathematisch Instituut, Universiteit Utrecht Nationale Wiskunde Dagen, 8+9 januari Samenvatting We laten zien hoe het platte plaatje van
Nadere informatieFormules, grafieken en tabellen
Formules, grafieken en tabellen Formules invoeren Met Q* kom je op het formule-invoerscherm. Reeds ingevoerde formules wis je met» *!:. Ploti W1BX2-4X+2 Krijg je niet een scherm waarop Yl, Y2,... te zien
Nadere informatiei = 0, 1136 Zodra je één van die zeven getallen weer als rest krijgt, herhaalt zich dat.
Verdieping - Rationale en irrationale getallen a Bijvooreeld : 9 = 4 Bijvooreeld : = 4 4 a = = = d 0, = = = g, = = = 00 0 4 00 4 8 9 = = = e 0 4 9 8, = = = h 0, = = = 00 00 00 00 0 4 0 c = = = f, = = =
Nadere informatieHOOFDSTUK 4: GONIOMETRISCHE FUNCTIES
1 HOOFDSTUK 4: GONIOMETRISCHE FUNCTIES 1 Periodieke functies 2 1.1 Op verkenning 2 1.2 Periodieke functie 2 1.3 Periode-interval, evenwichtslijn en amplitude 4 1.4 De perioderechthoek 4 1.5 Oefeningen
Nadere informatieInleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
Nadere informatieWerk met de applet. Bedenk steeds welke parameter a, b, c en/of d je moet aanpassen. Experimenteer tot je de regelmaat kunt formuleren!
5 Transformaties Verkennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-b Functies en grafieken Transformaties Inleiding Verkennen Werk met de applet. Bedenk steeds welke parameter a, b, c en/of
Nadere informatieParagraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus
Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 1 van 9 Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus Les 1 : Lineaire Formules Definities Algemene formule van een lijn : y = ax + b a = hellingsgetal
Nadere informatieLesbrief GeoGebra. 1. Even kennismaken met GeoGebra (GG)
Lesbrief GeoGebra Inhoud: 1. Even kennismaken met GeoGebra 2. Meetkunde: 2.1 Punten, lijnen, figuren maken 2.2 Loodlijn, deellijn, middelloodlijn maken 2.3 Probleem M1: De rechte van Euler 2.4 Probleem
Nadere informatieWiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier
Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier najaar 2004 Deel I Voortgezette Analyse Les 1 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat
Nadere informatie(g 0 en n een heel getal) Voor het rekenen met machten geldt ook - (p q) a = p a q a
Samenvatting wiskunde h4 hoofdstuk 3 en 6, h5 hoofdstuk 4 en 6 Hoofdstuk 3 Voorkennis Bij het rekenen met machten gelden de volgende rekenregels: - Bij een vermenigvuldiging van twee machten met hetzelfde
Nadere informatie5.1 Constructie van de complexe getallen
Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder
Nadere informatieDe normale verdeling
De normale verdeling Les 2 De klokvorm en de normale verdeling (Deze les sluit aan bij paragraaf 8 en 9 van Binomiale en normale verdelingen van de Wageningse Methode) De grafische rekenmachine Vooraf
Nadere informatieVeeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm
Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n
Nadere informatieComplexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen
Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder
Nadere informatieExamen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)
Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,
Nadere informatieParameterkrommen met Cabri Geometry
Parameterkrommen met Cabri Geometry 1. Inleiding Indien twee functies f en g gegeven zijn die afhangen van eenzelfde variabele (noem deze t), dan kunnen de functiewaarden daarvan gebruikt worden als x-
Nadere informatieAlgebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies
Algebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies Trainingsweek juni 2008 Kwadraat afsplitsen Een kwadratische functie oftewel tweedegraads polynoom) px) = ax 2 + bx + c a 0) kan in verschillende
Nadere informatieDifferentiaalvergelijkingen Hoorcollege 11
Differentiaalvergelijkingen Hoorcollege 11 Partiële differentiaalvergelijkingen: De Eendimensionale Golfvergelijking; De Tweedimensionale Laplacevergelijking A. van der Meer DV HC11 p. 1/17 De eendimensionale
Nadere informatieRekenen met letters- Uitwerkingen
Rekenen met letters- Uitwerkingen Onder voorbehoud van rekenfouten RGO-Middelharnis 1 1 c RGO-wiskunde 1 2 Inhoudsopgave 1 Korter schrijven............................ 3 2 Opgaven................................
Nadere informatie10.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
10.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0, b) y = -4x + 8 kan
Nadere informatie. noemer noemer Voorbeelden: 1 Breuken vereenvoudigen Schrijf de volgende breuken als één breuk en zo eenvoudig mogelijk: 4 1 x e.
Tips: Maak de volgende opgaven het liefst voorin in één van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, werk hem dan uit tot waar je kunt en ga verder met de volgende
Nadere informatieArcade-toepassingen in ArcGIS Pro
Arcade-toepassingen in ArcGIS Pro Stel, we hebben het volgende scherm in ArcGIS Pro: Via de labelopties bestaat de mogelijkheid om een expressie toe te voegen. Zodra we de expressie $Feature.Straatnaam
Nadere informatieFuncties van meer variabelen voor dummy s
Functies van meer variabelen voor dummy s Dit is een 'praktische gids voor dummy s'. Hieronder kun je een aantal voorbeelden met uitleg vinden, oefeningen en uitwerkingen. De voorbeelden komen deels uit
Nadere informatiemaplev 2010/7/12 14:02 page 55 #57 lhs, rhs, assign, isolate, solve, identity, RootOf, allvalues, fsolve, avoid Module 3, 8, 14 en 25.
maplev 2010/7/12 14:02 page 55 #57 Module 5 Oplossen van stelsels vergelijkingen Onderwerp Voorkennis Expressies Zie ook Stelsels vergelijkingen. lhs, rhs, assign, isolate, solve, identity, RootOf, allvalues,
Nadere informatiePROJECT 1: Kinematics of a four-bar mechanism
KINEMATICA EN DYNAMICA VAN MECHANISMEN PROJECT 1: Kinematics of a four-bar mechanism Lien De Dijn en Celine Carbonez 3 e bachelor in de Ingenieurswetenschappen: Werktuigkunde-Elektrotechniek Prof. Dr.
Nadere informatieAntwoorden door K woorden 14 augustus keer beoordeeld. Wiskunde A. Supersize me. Opgave 1: leerstof: Formules met meer variabelen.
Antwoorden door K. 1901 woorden 14 augustus 2015 1 1 keer beoordeeld Vak Wiskunde A Supersize me Opgave 1: leerstof: Formules met meer variabelen. Formule energiebehoefte = =33,6 G 5000(kcal) = dagelijkse
Nadere informatieTips en trucs bij Surfer
Tips en trucs bij Surfer Frits Beukers, email: f.beukers@uu.nl 18 maart 2016 Surfer, te downloaden van https://imaginary.org/program/surfer, is een mooi programma, maar je zult merken dat het lukraak invoeren
Nadere informatieCentrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012
Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3
Nadere informatieHandleiding Maple T.A. 9 Items Maken Deel C
Handleiding Maple T.A. 9 Items Maken Deel C Copyright Metha Kamminga dec. 2013 Handleiding Maple T.A. 9 Items Maken Deel C Contents 1 Maple T.A.9 Toets items maken deel C... 1 1.1 Dynamische figuren...
Nadere informatieWerken met de CAS. in de tweede graad. R. Van Nieuwenhuyze. Oud-hoofdlector wiskunde aan Odisee, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet.
Werken met de CAS in de tweede graad R. Van Nieuwenhuyze Oud-hoofdlector wiskunde aan Odisee, Brussel Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com pag. 1 Van Nieuwenhuyze Roger CAS in
Nadere informatieEenvoud bij tekenen en rekenen
Eenvoud bij tekenen en rekenen Jan van de Craats In het decembernummer 2005 van Euclides doen Paul Drijvers, Swier Garst, Peter Kop en Jenneke Krüger verslag van een experimenteel project in vwo-5 wiskunde-b
Nadere informatieDe wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a.
98 Algebra 3.3 Variabelen 3.3.1 Inleiding F= 9 5 15+32= 27+32=59 15 C= 59 F In de inleidende tekst aan het begin van dit hoofdstuk staat een afkorting waarmee de temperatuur in graden Celsius in graden
Nadere informatieAntwoordmodel - Vlakke figuren
Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.
Nadere informatieBij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten.
Theorie lineair verband Bij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten. In het dagelijks leven wordt vaak gebruik gemaakt van
Nadere informatieI.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.
I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk
Nadere informatie15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1]
15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] Bereken: Bereken algebraisch: Bereken exact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte
Nadere informatieUitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
Nadere informatiemaplev 2010/7/12 14:02 page 149 #151
maplev 2010/7/12 14:02 page 149 #151 Module 11 Polynomen en rationale functies Onderwerp Expressies Zie ook Manipulaties met polynomen en rationale functies. factor, collect, coeff, degree, lcoeff, gcd,
Nadere informatieDe Notulen-class. A Eskwadraat TEXniCie hektex@a-eskwadraat.nl. 18 maart 2015
De Notulen-class A Eskwadraat TEXniCie hektex@a-eskwadraat.nl 18 maart 2015 1 Introductie De Notulen-class vormt de standaard notulen van A Eskwadraat. Dit document legt uit hoe je notulen maakt en hoe
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatieOm een zo duidelijk mogelijk verslag te maken, hebben we de vragen onderverdeeld in 4 categorieën.
Beste leerling, Dit document bevat het examenverslag voor leerlingen van het vak wiskunde B vwo, tweede tijdvak (2019). In dit examenverslag proberen we een zo goed mogelijk antwoord te geven op de volgende
Nadere informatieGa naar de website van Speurtocht. Klik op linksboven op de knop Inloggen software.
Ga naar de website van Speurtocht. Klik op linksboven op de knop Inloggen software. U krijgt nu een inlogscherm te zien: Log hier in met uw gebruikersnaam en uw wachtwoord. Speurtocht wordt opgestart.
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 97-9: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (Annual High School Mathematics Examination - USA en
Nadere informatieMore points, lines, and planes
More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)
Nadere informatie3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.
3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld
Nadere informatieActualiseren van offertes.
VERO Actualiseren van offertes. 1. Releases. Versie Beschikbaar Vanaf VERO-Vng VERO-Vxp Ja Nee Herfst 2014 (84) 2. Van toepassing op: VERO-Admin, module Offertes. 3. Omschrijving van de functie. Bestaande
Nadere informatieHandleiding teksteditor
In deze handleiding leggen we de werking van de teksteditor uit. De teksteditor wordt gebruikt voor het bewerken van tekst. Uw tekstpagina s bewerkt u met deze editor, maar u vindt m op vele plekken terug.
Nadere informatieParagraaf 5.1 : Machten en wortels
Hoofdstuk 5 Machten, exponenten en logaritmen (H Wis B) Pagina 1 van 1 Paragraaf 5.1 : Machten en wortels Machtsregels SPECIAAL GEVAL MACHTREGEL 1 : MACHTREGEL 2 : MACHTREGEL : a p a q = a p+q a p aq =
Nadere informatieHoofdstuk 5 - Recursie
Hoofdstuk 5 - Recursie Een banktegoed waarover je jaarlijks rente krijgt uitgekeerd is een voorbeeld van recursie. Je kunt steeds het nieuwe banktegoed berekenen op basis van het banktegoed van vorig jaar.
Nadere informatieBasiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Nadere informatieDe n-dimensionale ruimte Arjen Stolk
De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk In het vorige college hebben jullie gezien wat R 2 (het vlak) is. Een vector v R 2 is een paar v = (x,y) van reële getallen. Voor vectoren v = (a,b) en w = (c,d) in
Nadere informatieInhoudsopgave. Voorwoord... 7 Voordat je begint... 8 Wat heb je nodig?... 9 Voor ouders, verzorgers en leraren... 10
Inhoudsopgave Voorwoord... 7 Voordat je begint... 8 Wat heb je nodig?... 9 Voor ouders, verzorgers en leraren... 10 1. Je spreekbeurt voorbereiden 11 1.1 Een onderwerp kiezen... 12 1.2 Informatie verzamelen...
Nadere informatiePlaatjes in LaTeX/MiKTeX
Voor vragen en/of opmerkingen over dit document, kun je een e-mail sturen naar marko@win.tue.nl. Plaatjes in LaTeX/MiKTeX Inhoudsopgave 1. Inleiding 2. Met welk programma kan ik EPS plaatjes maken? 3.
Nadere informatieExacte waarden bij sinus en cosinus
acte waarden bij sinus en cosinus n enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus eact oplossen. Welke gevallen zijn dat? 0, π 0, π f() = sin π π 8 9 0, g() = cos π π π 8 9 π 0, ierboven zie
Nadere informatieImaginary - van bol naar kubus
Imaginary - van bol naar kubus Gommaar Maes en Tania Van Damme SLO Wiskunde - Universiteit Gent en Atheneum Mariakerke Inleiding: coördinaat en vergelijking. Vlak Coördinaat Als we werken binnen een orthonormaal
Nadere informatieL A TEX voor beginners
L A TEX voor beginners Yfke Dulek & Ruurdje Procee voorjaar 2013 Waarom L A TEX gebruiken? Makkelijk formules toevoegen Je krijgt wat je tikt zonder rare shit Je kunt de lay-out gemakkelijk in één keer
Nadere informatieMachten, exponenten en logaritmen
Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde
Nadere informatieHoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4
Hoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4 1. Lineair verband. 1a. na 1 min 36 cm, na min. 3 cm, daling 4 cm per minuut. b. h = 40 4t h in cm en t per minuut b. k: rc = -3 m: rc = 0.5 p: rc
Nadere informatieHandleiding voor de DWO-auteursomgeving voor het maken van eigen opdrachten
Handleiding voor de DWO-auteursomgeving voor het maken van eigen opdrachten 1 Inhoud Inleiding 3 Voorbereiding 3 Een bestaande activiteit aanpassen 4 Een volledig nieuwe activiteit ontwerpen 5 Berekeningen,
Nadere informatieDe Riemann-hypothese
De Riemann-hypothese Lars van den Berg 3 september 202 Laat ik je gelijk enthousiast maken om dit stukje te lezen: wie de Riemannhypothese oplost wint een miljoen. Wel zijn er waarschijnlijk eenvoudigere
Nadere informatieDe grafische rekenmachine en de afgeleide
Auteur Laatst gewijzigd Licentie Webadres Jan de Geus 11 January 2011 CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie http://maken.wikiwijs.nl/27841 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijsleermiddelenplein.
Nadere informatieBoek: A deel 1; A deel2; A deel 3 Hoofdstukken: 3, 5, 10
5 havo Wiskunde A 11 januari 2010 PTA 2 Boek: A deel 1; A deel2; A deel 3 Hoofdstukken: 3, 5, 10 Houd er rekening mee, dat aan een antwoord alleen in het algemeen geen punten worden toegekend wanneer een
Nadere informatie