De verdelingsfunctie van aandelenreturns

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "De verdelingsfunctie van aandelenreturns"

Transcriptie

1 Faculteit Economie & Management Studiegebied Handelswetenschappen en Bedrijfskunde Opleiding Master of Science in de handelswetenschappen Intern aangestuurde masterproef De verdelingsfunctie van aandelenreturns Een simulatie van minima en maxima Masterproef aangeboden door Gertjan VERDICKT tot het behalen van de graad van Master of Science in de handelswetenschappen Afstudeerrichting: Finance & Risk Management Promotor: Frank COLE Academiejaar: Verdedigd in: September 2012 Hogeschool-Universiteit Brussel, Warmoesberg 26, 1000 Brussel Tel: , Fax: ,

2

3 Hogeschool - Universiteit Brussel F a c u l t e i t E c o n o m i e & M a n a g e m e n t Masterproef - samenvatting Verdelingsfunctie van aandelenreturns een simulatie van minima en maxima Gertjan Verdickt Opleiding: Master of Science in de handelswetenschappen Afstudeerrrichting: Finance & Risk Management Type masterproef: Rapport Vertrouwelijk: neen Samenvatting 1. Probleemstelling en onderzoeksvraag Risico en return zijn twee samenhangende parameters voor de prestaties van een belegging. De return van beleggingen kan het beste worden beschreven aan de hand van een verdelingsfunctie. Fama (1976) gaf twee specifieke redenen: (1) voor de belegger is de verdelingsfunctie belangrijk om zijn risico te bepalen en (2) vanuit een economisch perspectief biedt de verdelingsfunctie van aandelenreturns indirecte informatie over de onderliggende economische factoren. Eén van de grootste uitdagingen binnen de financiële wiskunde is daarom het zoeken van een functie die niet enkel adequaat is voor beleggers, maar daarenboven ook bruikbaar is voor analyses. De onderzoeksvraag waarop deze meesterproef gebaseerd wordt, is: welke verdelingsfunctie geeft een zo adequaat mogelijke beschrijving van aandelenreturns?. Dat onderzoeken we zodat we die verdeling kunnen gebruiken voor een concrete toepassing, namelijk portefeuillebeheer. Het is onze bedoeling om de verdelingsfunctie te gebruiken om advies te kunnen geven aan klanten. We gaan te werk aan de hand van zes hypothesen die we over vier verschillende hoofdstukken behandelen. In een eerste hoofdstuk behandelen we het werk van onder meer Bachelier (1900). Hij maakte de assumptie dat aandelenprijzen een lognormale verdeling volgen. Het gevolg is dat aandelenreturns een normale verdeling volgen. We nemen zijn conclusie als de eerste hypothese. In dit hoofdstuk introduceren we ook de random walk theorie. Dat wordt de tweede hypothese. In een tweede hoofdstuk behandelen we het werk van Mandelbrot (1963). Hij verwierp de normale verdeling als beschrijving van aandelenreturns. Hij stelde een Pareto-verdeling voor. Dat wordt een derde hypothese. We gaan op zoek naar bewijs voor en tegen die conclusie. Als bewijs tegen de Pareto-verdeling introduceren we het artikel van Blattberg en Gonedes (1974). Zij maakten een rechtstreekse vergelijking tussen een Pareto- en een student t-verdeling voor de beschrijving van returns. Hun conclusie nemen we als een vierde hypothese. In een derde hoofdstuk spitsen we ons toe op recentere artikels. We behandelen daarin het werk van onder andere Cont (2001). Hij verrichtte onderzoek naar Lévy processen als de onderliggende verdelingsfunctie. We controleren de verschillende voordelen die dergelijke processen bieden en gaan na of deze adequaat genoeg zijn om als beschrijving voor returns te fungeren. Dat is de vijfde hypothese die we naar voren schuiven. Tot slot, in een laatste hoofdstuk, ligt de nadruk op het eigen onderzoek. De beschreven theorieën en verworven inzichten uit de vorige drie hoofdstukken vormen de basis van de simulaties. We maken een simulatie van Eurostoxx 50 vanuit drie verdelingsfuncties: (1) een simulatie volgens de

4 normale verdeling, (2) een simulatie volgens de variance gammaverdeling en (3) een simulatie volgens de student t-verdeling. De laatste hypothese die we zullen testen, zoekt een antwoord op de vraag of we de simulaties kunnen gebruiken voor het initiële doel van de meesterproef, namelijk portefeuillebeheer. Daarnaast onderzoeken we of er verschillen tussen de drie methodes ontstaan. 2. Onderzoeksmethode a. Verantwoording onderzoeksmethode De hoofdmethode die binnen het kader van deze meesterproef is gehanteerd is het simuleren van de historische data. We hebben gewerkt aan de hand van drie verschillende simulaties die allemaal gebaseerd zijn op een andere verdelingsfunctie. b. Verzameling en verwerking van de gegevens Binnen het kader van deze meesterproef is iedere hypothese getest op de Eurostoxx 50 index voor de periode 2000 en De reden dat we voor die periode hebben gekozen, is omdat dit een vrij belangrijke periode is binnen de recente economische geschiedenis. We zien zowel de naweeën van de internet-zeepbel rond 2000 als één van de meest desastreuze financiële crisissen sinds de Grote Depressie van 1930, vanaf We kiezen bewust voor Eurostoxx 50 omdat we dit onderzoek wilden doen binnen een Europese context. De historische data werd bekomen dankzij Prof. Dr. Lieven De Moor. Hij haalde ze van de databank Datastream. Zowel de koers van de Eurostoxx 50 index als de koersen van de individuele bedrijven werden verzameld om te verwerken binnen het kader van deze meesterproef. De eigenlijke verwerking van de gegevens is voornamelijk gedaan in Matlab. De reden hiervoor is dat het een programma is dat ons toelaat om zelf bepaalde scripts te schrijven. Zo hebben we een code geschreven voor een variance ratio test voor random walks, de klassieke en modified R/S analyse en voor de drie simulaties: (1) volgens een normale verdeling, (2) volgens een variance gammaverdeling en (3) volgens een student t-verdeling met drie vrijheidsgraden. Prof. Dr. Wim Schoutens heeft een code geschreven voor een deel van de Kolmogorov-Smirnov test voor de VGverdeling. Verder hebben we de Kolmogorov-Smirnov test voor de student t-verdeling en VGverdeling en de test op (exces van) cumulatieve relatieve frequentie in Excel uitgevoerd omdat dit overzichtelijker was dan in Matlab. Voorts hebben we de Kolmogorov-Smirnov test voor de normale verdeling in SPSS uitgevoerd omdat dit ook een grafische illustratie geeft. Tot slot heeft Prof. Dr. Goedele Dierckx de toepassing voor de Pareto-verdeling geschreven in R. 3. Bevindingen en besluiten De eerste hypothese was of aandelenreturns al dan niet een normale verdeling volgen. Aan de hand van een Kolmogorov-Smirnov test hebben we deze hypothese moeten verwerpen. Wanneer we ook een grafische en relatieve frequentie test gingen toepassen op de bestudeerde dataset, kwamen we tot gelijkaardige resultaten. Het bleek dat er meer cumulatieve relatieve frequentie zat binnen 0 en 1.5 standaardafwijkingen van het gemiddelde (of leptokurtosis). Een vervolg op de eerste hypothese kwam aan de hand van het random walk model dat door Kendall (1953) en Malkiel (1973) werd geïntroduceerd. Naar analogie van Lo en MacKinlay (1988) gingen we via een variance ratio of specificatietest de hypothese toetsen op de Eurostoxx 50 index. Hoewel we een onderscheid maakten tussen zowel homo- als heteroskedasticiteit, moesten we de hypothese in zijn geheel verwerpen. De Eurostoxx 50 index volgt geen random walk. Een derde hypothese was die van de Pareto-verdeling. Aan de hand van een grafische analyse zijn we die hypothese gaan testen voor zowel positieve als negatieve logreturns. Hoewel de positieve returns wel een Pareto-verdeling volgden, moesten we de hypothese toch verwerpen aangezien de negatieve returns dit niet deden. Een overschatting van het negatieve risico is namelijk meer van belang voor het initiële doel van deze meesterproef dan een overschatting van de winst.

5 Die verwerping vond in de academische literatuur steun door onder andere het werk van Blattberg en Gonedes (1974). We hebben hun conclusies getest aan de hand van een Kolmogorov-Smirnov test voor een student t-verdeling met drie, vijf en acht vrijheidsgraden. Het resultaat was dat we de hypothese niet konden verwerpen. De student t-verdeling met drie vrijheidsgraden bood de beste beschrijving voor de Eurostoxx 50 index. De vijfde hypothese was dat de Eurostoxx 50 dataset een variance gammaverdeling volgde. Aan de hand van een Kolmogorov-Smirnov test zijn we die nulhypothese gaan testen. Met een significantie van 5% moesten we de nulhypothese echter verwerpen. Van alle beschouwde verdelingsfuncties blijkt de student t-verdeling met drie vrijheidsgraden de beste fit te geven voor de Eurostoxx 50 index. Al deze theorieën hebben we geïntroduceerd om een simulatie te maken van de index. Binnen de simulatie zijn we te werk gegaan volgens drie processen: (1) een simulatie aan de hand van een normale verdeling, (2) een simulatie aan de hand van de variance gammaverdeling en (3) een simulatie aan de hand van de student t-verdeling. De eerste simulatie die we gingen uitvoeren was volgens de normale verdeling. Voor de simulatie maakten we gebruik van de data van 2000 om zowel het gemiddelde als de standaardafwijking te schatten. We simuleerden zowel de maand januari als de maand januari en februari. De conclusie was dat de variabiliteit veel groter was bij de gesimuleerde koersevolutie dan bij de werkelijke evolutie. We kunnen een simulatie volgens een normale verdeling niet gebruiken voor de koersevolutie van Eurostoxx 50 te voorspellen. De tweede simulatie werd ontwikkeld aan de hand van een variance gammaproces. Hoewel de verdeling zelf geen goede beschrijving voor de aandelenreturns bleek te zijn, gaf het proces ons wel een behoorlijke simulatie. We konden tot minder dan 3 nauwkeurig, op een periode van twee weken, de werkelijke koersevolutie gaan benaderen. Hoewel dit verschil te groot was om van praktisch nut te zijn, gaf dit ons belangrijke inzichten. Aan de hand van een dergelijke verdeling is het volgens ons dus weldegelijk interessant om de prijszetting van afgeleide producten te gaan doen. De laatste simulatie was gebaseerd op een student t-verdeling met drie vrijheidsgraden. Hoewel dit voor de beschouwde dataset de beste beschrijving opleverde, bleek de simulatie ons de slechtste voorspelling op te leveren. Wanneer de Eurostoxx 50 index een duik maakte van 800, maakte de simulatie slechts een neerwaartse sprong van 5. Dit was dus verre van accuraat. De conclusie was dat het variance gammaproces de beste simulatie gaf, hoewel de verdeling niet de beste beschrijving was voor de index. We kunnen die simulaties echter niet gebruiken voor de exacte beschrijving van de koersevolutie aangezien het menselijke aspect quasi onmogelijk in kaart te brengen valt. We kunnen de verdelingsfunctie niet gebruiken om de portefeuille van cliënten te beheren. Het verschil is te groot om van enige significante waarde te zijn. Daarnaast moesten we de deelhypothese verwerpen. De student t-verdeling bood ons namelijk geen betere beschrijving van de koersevolutie tegenover de andere beschouwde verdelingen. Dit wil daarom niet zeggen dat deze meesterproef gefaald is zijn opzet. De verdelingsfunctie van returns blijkt nog frequent gebruikt te worden als bijvoorbeeld een assumptie voor de prijszetting van afgeleide producten. Vooral het variance gammamodel wint steeds meer aan interesse als het onderliggende model binnen de financiële wiskunde.

6

7 Faculteit Economie & Management Studiegebied Handelswetenschappen en Bedrijfskunde Opleiding Master of Science in de handelswetenschappen Intern aangestuurde masterproef De verdelingsfunctie van aandelenreturns Een simulatie van minima en maxima Masterproef aangeboden door Gertjan VERDICKT tot het behalen van de graad van Master of Science in de handelswetenschappen Afstudeerrichting: Finance & Risk Management Promotor: Frank COLE Academiejaar: Verdedigd in: September 2012 Hogeschool-Universiteit Brussel, Warmoesberg 26, 1000 Brussel Tel: , Fax: ,

8

9 VOORWOORD Doorheen mijn opleiding kwam ik regelmatig in contact met financiële wiskunde. Mijn interesse in dit onderwerp werd nog meer geprikkeld door vakken zoals financiële algebra en portefeuillebeheer. Een meesterproef schrijven leek mij dan ook opportuun om meer kennis te vergaren in deze materie. Dat is ook de reden waarom ik gekozen heb voor een onderwerp waar ik vooraf weinig vanaf wist. De wereld van Lévy processen, Variance Gamma en andere stochastische modellen was voor mij namelijk vrij onbekend terrein. Tot op het laatste moment heb ik erg veel genot gehad van mijn keuze. Ik hoop dat ik dit enthousiasme ook kan overbrengen op de lezer. Graag wil ik enkele mensen bedanken voor hun bijdrage. Eerst en vooral wil ik mijn promotor, Dhr. Frank Cole, danken voor zijn nuttige feedback, zijn begeleiding en zijn aanmoediging doorheen dit jaar. Daarnaast wil ik Prof. Dr. Stefan Duchateau (HUB), Prof. Dr. Wim Schoutens (KU Leuven) en Prof. Dr. Goedele Dierckx (HUB) bedanken. Door hun expertise werd ik steeds meer en meer geprikkeld en gedoceerd in het onderwerp en gestimuleerd om mijn meesterproef naar een hoger niveau te tillen. Voorts wil ik Prof. Dr. Florence Guillame (KU Leuven), Prof. Dr. Peter Carr (Morgan Stanley), Dr. D. Paul Kaplan (Morningstar), Prof. Dr. Edward Omey (HUB), Prof. Dr. Lieven de Moor (HUB), Ivan Van de Cloot (Itinera Institute), Marc Leyder (Van Lanschot), Gregory Symons en Lize Maes bedanken. Hun inbreng was enorm bruikbaar. Aan de hand van hun expertise kreeg ik nieuwe invalshoeken en documentatie om mijn onderzoek tot een goed einde te brengen. Graag wil ik enkele vrienden bij naam vermelden: Gert Vanhaverbeke, Olivier Van den Bogaert, Koen De Keersmaecker, Marco Indigne, Pieterjan Spruyt, Pieter Anciaux, Bas De Cat, Sophie Meuwissen, Eline Dubin, Ilse De Clercq en Laure Verriest. Hun vriendschap, in het bijzonder dit jaar, was echt hartverwarmend. Tot slot zou ik mijn familie willen bedanken voor hun onvoorwaardelijke liefde en steun. Daardoor was ik in staat om in de eerste plaats te studeren en ook dit project tot een goed einde te brengen. Graag ook een bedanking in het bijzonder aan mijn ouders. Bedankt voor alles. Gertjan Verdickt, augustus 2012 i

10 INHOUDSOPGAVE Voorwoord...i Inhoudsopgave... ii Lijst van figuren en tabellen... iv Lijst met bijlagen...v Lijst van afkortingen... vi Inleiding... 1 Hoofdstuk 1: Stochastische calculus en inleidende concepten Inleidende concepten Return Efficiënte Markten Theorie Random Walk Theory Toevalsbewegingtheorie Indexkeuze Statistische concepten De normale verdeling De lognormale verdeling Overige inleidende concepten Statistische momenten Stochastische calculus Markov-eigenschap Brownian Motion (BM) Brownse Beweging (BB) Geometrische Brownian Motion (GBM) Geometrische Brownse Beweging (GBB) Hoofdstuk 2: Failliet van de Normale verdeling Introductie op het faillissement Inleidende opmerkingen Kernel Density Estimators Gemiddelde frequentie onder normaliteit Toepassing in Eurostoxx Test van relatieve frequentie Test op normaliteit Test van Random Walk Theory Stabiele verdelingen en empirische eigenschappen Introductie tot stabiele verdelingen Eigenschappen van stabiele verdelingen Mandelbrot en Fama De verwerping van de stabiele verdeling Financiële ondergang ii

11 4.1 On default Correlation Value-At-Risk Discussie en resultaten Hoofdstuk 3: Lévy processen Introductie tot Lévy processen Van random walk naar Lévy processen Empirische eigenschappen van aandelenreturns Het Variance Gammamodel Karakteristieke functie Variance Gamma Model Toepassing op Eurostoxx Moment matching methode Kolmogorov-Smirnov Test Discussie en resultaten Hoofdstuk 4: Simulatie van Eurostoxx Simulatie volgens een lognormale verdeling Simulatie volgens een variance gammaverdeling Simulatie volgens een student t-verdeling Hoofdstuk 5: Conclusie Eindnoten Bijlage Bibliografie iii

12 LIJST VAN FIGUREN EN TABELLEN Figuur 1: De onderlinge relaties tussen stochastische processen Figuur 2: Rekenkundige en logaritmische returns van Eurostoxx Figuur 3: Autocorrelatiefunctie voor returns en prijzen van Eurostoxx Figuur 4: De normale verdeling met veranderende standaardafwijking ( = 1, 2.5 en 5) Figuur 5: De lognormale verdeling met veranderende verwachte waarde ( = 0,1 en 2) Figuur 6: De evolutie van de maandelijkse standaardafwijking voor Eurostoxx Figuur 7: De evolutie van maandelijkse scheefheid voor Eurostoxx Figuur 8: De evolutie van maandelijkse kurtosis voor Eurostoxx Figuur 9: Brownse beweging met 3075 stappen tegenover 90 stappen Figuur 10: Brownse beweging vergeleken met de prijsevolutie van Eurostoxx Figuur 11: De evolutie van standaardafwijking voor Eurostoxx 50 met referentielijnen Figuur 12: De waarde van Eurostoxx 50 en kansplot tegenover de lognormale verdeling Figuur 13: Kernel Density Estimator voor Eurostoxx Figuur 14: Kolmogorov-Smirnov Test Figuur 15: De logreturns van Eurostoxx 50 tegenover de normale verdeling Figuur 16: Een histogram van de logreturns van Eurostoxx Figuur 17: QQplot en kansplot voor logreturns van Eurostoxx 50 tegenover normale verdeling Figuur 18: De Kolmogorov-Smirnov normaliteitstoets voor de logreturns van Eurostoxx Figuur 19: Pareto QQ-plot, EVI en schatting voor EVI voor positieve logreturns van Eurostoxx Figuur 20: Pareto QQ-plot en EVI voor negatieve logreturns van Eurostoxx Figuur 21: R/S Analyse op Eurostoxx Figuur 22: Kolmogorov-Smirnov test van variance gammaverdeling voor Eurostoxx Figuur 23: Simulatie van januari februari 2001 volgens een lognormale verdeling Figuur 24: Simulatie van januari februari 2002 volgens een lognormale verdeling Figuur 25: Simulatie van februari-maart 2001 volgens lognormale verdeling Figuur 26: Verdelingsfunctie van simulatie februari en februari-maart Figuur 27: Simulatie van januari februari 2001 volgens een variance gammaverdeling Figuur 28: Simulatie van een week in februari 2001 volgens een variance gammaverdeling Figuur 29: Simulatie van januari februari 2001 volgens student t-verdeling Tabel 1: Box-Ljung test op de logreturns van Eurostoxx Tabel 2: Autocorrelatietabel voor 5 bedrijven uit Eurostoxx Tabel 3: Vier statistische momenten voor 10 bedrijven uit Eurostoxx Tabel 4: Vier statistische momenten voor enkele indices in de periode Tabel 5: Gemiddelde frequentie onder normaliteit voor uitschieters van Eurostoxx Tabel 6: Cumulatieve relatieve frequentie voor 20 bedrijven van 2000 tot Tabel 7: Het exces van cumulatieve relatieve frequentie van 20 bedrijven van 2000 tot Tabel 8: Kolmogorov-Smirnov kritieke waarden Tabel 9: Variance Ratio test met homoskedasticiteit voor Eurostoxx 50: Tabel 10: Variance Ratio test met heteroskedasticiteit voor Eurostoxx 50: Tabel 11: Empirische en theoretische verdelingsfunctie voor student t-verdeling Tabel 12: Kolmogorov-Smirnov test voor student t-verdeling Tabel 13: Gemiddelde frequentie onder verschillende verdelingen voor Eurostoxx Tabel 14: Samenvattende tabel van logprijzen tegenover Lévy processen Tabel 15: Modified R/S Analyse op Eurostoxx Tabel 16: KPSS Test op Eurostoxx Tabel 17: Moment Matching methode op Eurostoxx 50 parameters Tabel 18: Kolmogorov-Smirnov test voor variance gammaverdeling Tenzij anders aangegeven, zijn alle figuren en tabellen die in deze meesterproef worden opgenomen eigen werk. De figuren zijn gemaakt in het programma Matlab, exclusief figuur 19 en 20 die gemaakt zijn in R door Prof. Dr. Goedele Dierckx. De tabellen en berekeningen zijn gemaakt in Matlab, Excel en/of SPSS. iv

13 LIJST MET BIJLAGEN Bijlage 1: Samenstelling van Eurostoxx Bijlage 2: Autocorrelatietabel van Eurostoxx Bijlage 3: De vier statistische momenten van de bedrijven uit Eurostoxx Bijlage 4: Cumulatieve relatieve frequentie van bedrijven uit Eurostoxx Bijlage 5: Exces van cumulatieve frequentie van bedrijven uit Eurostoxx v

14 LIJST VAN AFKORTINGEN Afkorting Engelse benaming Nederlandse benaming BB Brownse Beweging BGM Bilateral Gamma Model CAPM Capital Asset Pricing Model CDO Collateral debt obligation CDS Credit default swap CLT Central Limit Theorem Centrale limietstelling BM Brownian Motion Brownse Beweging EVI Extreme Value Index Extreme Waarde Index EVF Empirische verdelingsfunctie fbm Fractional Brownian Motion Fractale Brownse Beweging GBB Geometrische Brownse Beweging GBM Geometrical Brownian Motion Geometrische Brownse Beweging KDE Kernel Density Estimator Kernel dichtheidsschatting LM Long Memory LRD Long Range Dependence Lange termijn afhankelijkheid KS Kolmogorov-Smirnov IID Independent and identically distributed Identiek en onafhankelijk verdeeld MPT Modern Portfolio Theory Moderne portefeuilletheorie R/S Range over Standard deviation SDE Stochastic Differential Equation Stochastische differentiaalvergelijking SRD Short Range Dependence Korte termijn afhankelijkheid TVF Theoretische verdelingsfunctie VaR Value-at-Risk VGM Variance Gamma Model vi

15 INLEIDING Risico en return zijn twee samenhangende parameters voor de prestaties van beleggingen. Hoe meer rendement iemand wil halen op een belegging, hoe meer risico hij moet nemen. Het rendement van (onzekere) beleggingen kan het beste worden beschreven aan de hand van een verdelingsfunctie. De curve van de verdeling is belangrijk voor verschillende redenen. Fama (1976) gaf daarvoor twee specifieke redenen: (1) voor de belegger is de verdelingsfunctie belangrijk om zijn risico te bepalen en (2) vanuit een economisch perspectief biedt de verdelingsfunctie van aandelenreturns indirecte informatie over de onderliggende economische factoren. Eén van de grootste uitdagingen binnen de financiële wiskunde is daarom het zoeken van een functie die niet enkel adequaat is voor beleggers, maar daarenboven ook bruikbaar is voor analyses. Aangezien het mathematisch onmogelijk is om elk effect in een model te vervatten, is men genoodzaakt om gebruik te maken van vereenvoudigingen. Een foute assumptie kan echter nefaste consequenties hebben op financiële modellen. Het doel van deze meesterproef is het vinden van een zo adequaat mogelijke verdelingsfunctie van aandelenreturns. Dat doen we opdat we die verdeling kunnen gebruiken voor verscheidene domeinen in de financiële wereld, waaronder portefeuillebeheer, prijszetting van derivaten en risicomanagement. Wij beperken ons tot een concrete toepassing, het portefeuillebeheer. Het is onze bedoeling om de verdelingsfunctie te gebruiken om advies te kunnen geven aan klanten. Zo gaan we te werk aan de hand van zes hypothesen die we doorheen de meesterproef zullen behandelen. Iedere hypothese testen we op de Eurostoxx 50 index voor de periode 2000 en We kiezen die index omdat hij een representatief beeld geeft van de aandelenmarkt uit de Eurozone. Deze zes hypothesen brengen ons bij vier hoofdstukken: in een eerste hoofdstuk behandelen we het werk van onder meer Bachelier (1900). Hij maakte de assumptie dat aandelenprijzen een lognormale verdeling volgen. Het gevolg daarvan is dat aandelenreturns een normale verdeling zullen volgen. We nemen zijn conclusie als de eerste hypothese. In dit hoofdstuk introduceren we ook de random walk theorie. Dat wordt de tweede hypothese die we naar voor schuiven. In een tweede hoofdstuk behandelen we het werk van Mandelbrot (1963). Hij verwierp de normale verdeling en stelde een Pareto-verdeling voor als verdelingsfunctie (van aandelenreturns). In dit hoofdstuk gaan we in de literatuur op zoek naar zowel bewijs voor als tegen die conclusies. Dat wordt onze derde hypothese. Voor bewijs tegen de Pareto-verdeling introduceren we het artikel van Blattberg en Gonedes (1974). Zij maakten een rechtstreekse vergelijking tussen een Pareto- en een student t-verdeling voor de beschrijving van returns. Hun conclusie nemen we als vierde hypothese. In een derde hoofdstuk spitsen we ons toe op recentere artikels. We behandelen daarin het werk van onder andere Cont (2001) en Schoutens (2008). De beschouwde auteurs verrichtten onderzoek naar stochastische modellen met Lévy processen als onderliggende verdelingsfunctie. We controleren de verschillende voordelen die dergelijke processen bieden en gaan na of deze adequaat genoeg zijn om als beschrijving voor returns te fungeren. Dat is de vijfde hypothese die we naar voren schuiven. Tot slot, in een laatste hoofdstuk, ligt de nadruk op het eigen onderzoek. De beschreven theorieën en verworven inzichten uit de vorige drie hoofdstukken vormen de basis van onze simulatie. Met behulp van het programma Matlab, maken we een simulatie van Eurostoxx 50 vanuit drie assumpties: (1) een simulatie volgens de normale verdeling, (2) een simulatie volgens de variance gammaverdeling en (3) een simulatie volgens de student t-verdeling. De laatste hypothese die we zullen testen, zoekt een antwoord op de vraag of we die gesimuleerde gegevens kunnen gebruiken voor het initiële doel van deze meesterproef, namelijk portefeuillebeheer. Daarnaast onderzoeken we of er verschillen tussen de drie methodes ontstaan. Deze meesterproef vormt een nuttige bijdrage aan het onderzoeksdomein omdat we verschillende historische en hedendaagse theorieën toepassen om de validiteit ervan te controleren op de huidige marktsituatie, in een Europese context. 1

16 HOOFDSTUK 1: STOCHASTISCHE CALCULUS EN INLEIDENDE CONCEPTEN Een variabele waarvan de waarde op een onzekere manier verandert binnen een bepaald tijdsinterval, verloopt volgens een stochastisch proces. Dergelijke processen kunnen ingedeeld worden in discrete of continue tijd en via discrete of continue variabelen. Terwijl in een stochastisch proces met discrete tijdsvariabele, de waarden op bepaalde vaste punten kunnen veranderen, kunnen die waarden in een continu tijdsproces op ieder tijdstip veranderen. In een stochastisch proces met continue variabelen kunnen de onderliggende variabelen eender welke waarden aannemen binnen een bepaalde reeks. In een proces met discrete variabelen daarentegen, zijn enkel discrete waarden mogelijk. In deze meesterproef ligt de focus op stochastische processen met continue variabelen in continue tijd voor aandelenkoersen. We dienen te noteren dat we in de realiteit geen aandelenkoersen observeren die een stochastisch proces volgen met continue variabelen en met continue tijd. Aandelenprijzen zijn beperkt tot discrete waarnemingen (tot een vast aantal cijfers na de komma) en veranderingen kunnen slechts opgemerkt worden gedurende de openingsuren van de beurzen. Toch bekijken we ze als een continu stochastisch proces, omdat we bij onderzoek met aandelenprijzen geen rekening houden met weekends, maar werken we met een financieel jaar van 252 dagen. Op die manier krijgen academici in de sequentie van prijzen nauwelijks effect aangezien zij data, tijdsonafhankelijk, aan elkaar plakken. Enkel voor de high frequency traders, traders die wiskundig geschoold zijn om via computergestuurde modellen arbitragemogelijkheden op te sporen in data, maakt dat wel een verschil. Aangezien zij voornamelijk op arbitrage 1 handelen, proberen zij in de eerste minuten van een nieuwe tradingdag munt te slaan uit die informatie. In dit eerste hoofdstuk ligt onze focus op enkele basisconcepten. We starten met een diepgaande definitie van het concept return. Voorts behandelen we de hypothese van efficiënte markten, de random walk theorie, de normale en lognormale verdeling en andere statistische concepten. Tot slot overlopen we de Brownse beweging en zijn afgeleiden, met inbegrip van het Black-Scholes model. De beschouwde modellen maken namelijk de veronderstelling dat aandelenprijzen een normale verdeling volgen. We nemen de conclusies van de beschouwde theorieën als een eerste hypothese. Om een degelijk overzicht te geven van het paradigma waarin we zullen werken doorheen heel deze meesterproef, voegen we figuur 1 (Cont, 2004, p.6) toe. Die figuur toont de onderlinge relaties tussen stochastische processen. In dit hoofdstuk beperken we ons tot de verzameling van Gauss-processen (cfr. hoofdstuk 1, 1.2) en tot de doorsnede: de Brownian Motion (cfr. hoofdstuk 1, 3.2). Figuur 1: De onderlinge relaties tussen stochastische processen. 1 Arbitrage is de praktijk waarin voordeel genomen wordt door verschillende elementen. Statistische arbitrage is bijvoorbeeld de ongelijkheid in verwachte nominale waarde. Arbitrage traders willen deze ongelijkheden uitbuiten. 2

17 Arithmetic Return Logreturn 1. Inleidende concepten 1.1. Return Definitie Wanneer iemand investeert in een aandeel, kunst of een andere beleggingsvorm, gaat zijn hoofdzorg uit naar het rendement dat hij/zij op die investering zal halen. Steeds zal het iemands bedoeling zijn om een comfortabele return te krijgen op het geld dat hij/zij zal beleggen. Met rendement bedoelen we hier het percentage groei van een effect, eventueel met dividenden, over een bepaalde periode: Een belangrijk punt is dat we als belegger meer geïnteresseerd zijn in de return van een aandeel dan in de prijs. Bedenk twee effecten met respectievelijke waarde 5 en 50. De keuze tussen een van beide zal vrij moeilijk zijn omwille van het gebrek aan informatie. Maak vervolgens de selectie tussen twee effecten met een return van 5% of van 50%. Die keuze zal een stuk eenvoudiger zijn. Dat is een reden waarom we ons in deze meesterproef bezighouden met het modelleren van de return in plaats van de absolute waarde van aandelen. Wilmott (2006) somde enkele mogelijkheden op om het rendement van een bepaalde belegging te berekenen: via een tijdsgewogen 2, rekenkundige of een logaritmische return. Bij een berekening van de logaritmische return nemen we de natuurlijke logaritme van de koers op het einde van een periode gedeeld door de koers aan het begin van deze periode. We kunnen ook het verschil nemen tussen logaritmen omdat dit wiskundig equivalent is. Als we dit in een vergelijking gieten, krijgen we: (1) (2) (3) Eurostoxx Eurostoxx Tijd (in dagen) Tijd (in dagen) Figuur 2: Rekenkundige en logaritmische returns van Eurostoxx 50. We tonen het verschil tussen rekenkundige en logaritmische returns grafisch aan in figuur 2. Zoals we zien, zijn de grafieken bij benadering gelijkaardig. Dat komt omdat voor korte tijdsintervallen, zoals de dagelijkse return, de logaritmische return een erg goede benadering is voor de rekenkundige return 3 : (4) 2 Tijdsgewogen of time-weighted return is hetzelfde als geometrisch gemiddelde return: Indien is, gaat deze stelling op (Roseff & Kinney, 1976). 3

18 Doorheen deze meesterproef maken we gebruik van de logaritmische return. Aan die keuze zijn zowel voor- als nadelen verbonden. Hudson (2000) somde enkele van die voordelen op. Ten eerste kunnen de logaritmische returns worden geïnterpreteerd als een continu-samengestelde return. Dat betekent dat voor niet-stochastische processen, zoals de return op risicovrije effecten die tot vervaldag worden gehouden, we logaritmen eenvoudiger onderling kunnen vergelijken. Wanneer we de afgeleide van vergelijking 6 nemen, krijgen we opnieuw dezelfde functie, namelijk. Dat maakt dat logaritmische rendementen eenvoudiger kunnen gemanipuleerd worden voor het gebruik in financiële modellen tegenover rekenkundige rendementen. Ten tweede heeft het gebruik van de logaritmische return als voordeel dat het effectenprijzen verbiedt om negatieve waarden aan te nemen. Aangezien we in realiteit toch geen negatieve prijzen kunnen observeren, maakt dat dit een nuttige eigenschap is. Een derde voordeel volgens Hudson is dat indien een aandelenprijs een geometrische Brownse beweging volgt (cfr. hoofdstuk 1, 3.3), de logaritmische returns normaal verdeeld zullen zijn. De voordelen van de normale verdeling komen in volgende sectie aanbod. Een laatste voordeel van de logaritmische return doet zich voor wanneer we meerdere periodes zullen bestuderen. De logaritmische return van meerdere periodes is namelijk de som van de return van de enkelvoudige periodes. Deze eigenschap geldt niet voor rekenkundige rendementen. We mogen echter de nadelen van logaritmische returns niet vergeten. Hudson stelde dat het gebruik van logaritmische returns namelijk enkele onaangename eigenschappen in zich heeft. Zo geven dergelijke returns vooreerst geen directe maatstaf in de verandering van het vermogen van beleggers. Voor een belegging van 1000 in jaar 1 die in jaar 2 en opbrengt, zal de rekenkundige return gelijk zijn aan 100%, terwijl de logaritmische return 69,31% bedraagt. Daarenboven zijn logaritmische returns niet-lineair in een portefeuille: enkel bij rekenkundige returns is de return van een portefeuille het gewogen gemiddelde van de verschillende deelcomponenten Autocorrelatie Een tweede reden waarom we ons bezighouden met het modelleren van returns van aandelen komt door het concept autocorrelatie. Auto- of seriële correlatie beschrijft de correlatie tussen de waarden in een dataset op verschillende tijdstippen. Fama (1965, p.69) omschrijft dit gegeven als: de maatstaf van de verhouding tussen de waarde van een bepaalde toevalsvariabele op tijdstip t en de waarde periodes vroeger. De coëfficiënt van autocorrelatie voor lag 4 wordt gegeven als: (5) (6) (7) waar de variabele in de formule gedefinieerd wordt als de logaritme van de prijsverandering van een bepaald aandeel van het einde van dag tot het einde van dag, met standaardafwijking voor steekproeven met eindige variantie: (8) waar in de formule staat voor het aantal elementen in de dataset. 4 Met lag bedoelen we dus het aantal dagen tussen tijdstip en tijdstip. 4

19 Autocorrelation Autocorrelation Levich en Rizzo (1998) gaven twee toepassingen waar de aanwezigheid van autocorrelatie belangrijk kan zijn: bij het modelleren en de studie van data. Het klassieke regressiemodel veronderstelt dat zijn foutenterm geen autocorrelatie bevat. Wanneer het model dit echter wel bezit, volstaat het niet en kunnen we andere testen met deze voorwaarde niet toepassen. In dit geval is niet meer voldaan aan een enkelvoudige aselecte steekproef. De studie van financiële data kan echter leiden tot een vrij winstgevende tradingregel wanneer men zich baseert op beschikbare informatie. We gaan in sectie 1.2 dieper op de theorie van efficiënte markten in. Cont (2005) duidde op het verschil in autocorrelatie tussen aandelenkoersen en returns. Hij stelde dat er wel autocorrelatie te vinden is bij aandelenprijzen en dat dit minder significant is bij het modelleren van aandelenreturns. Enkel wanneer er gebruik gemaakt wordt van kleine intradagelijkse tijdschalen (ongeveer 20 minuten), wordt dat microstructuureffect belangrijk. Die bevindingen controleren we op de Eurostoxx 50 dataset. Dat doen we zowel via een grafische test, als via een Box-Ljung test. Autocorrelation Functie Returns Autocorrelation Functie Koersen Lag Lag Figuur 3: Autocorrelatiefunctie voor returns en prijzen van Eurostoxx 50. In figuur 3 staat de autocorrelatiefunctie voor de returns en de koersen van Eurostoxx 50. Via deze grafische manier zien we dat de autocorrelatie in de koersen groot is. Intuïtief valt dat eenvoudig te begrijpen: wanneer Eurostoxx 50 noteert op 4.000, is de kans reëel dat het de volgende tradingdag terug in die buurt noteert. Bij de returns ligt dat anders: wanneer de Eurostoxx 50 een return behaalt van 4%, is de kans significant lager dat de return van de volgende tradingdag in die buurt ligt. Box-Ljung Test Box en Ljung (1978) definieerden een statistische test om de willekeurigheid binnen een bepaalde dataset te bepalen. In plaats van randomness in iedere afzonderlijk lag te bepalen, berekent de Box- Ljung test de willekeurigheid over lags. Daarom wordt een dergelijke test ook een portemanteau-test genoemd. Een portemanteau-test is een bepaald type van hypothesetest waarbij de nulhypothese vrij specifiek is maar de alternatieve hypothese erg los is. Box en Ljung werkten met volgende testwaarde: (9) waar in de formule staat voor de autocorrelatie van de orde k, met en voor het aantal elementen uit de dataset. De nulhypothese voor de test houdt in dat de dataset onafhankelijk verdeeld is. In dat geval is er geen autocorrelatie aanwezig. We verwerpen de test wanneer de berekende groter is dan een kritiek punt. Dat kritiek punt wordt - afhankelijk van de lengte van de beschouwde dataset - gevonden uit een chi-kwadraatverdeling met een betrouwbaarheid van 95%. Tabel 1 toont ons de statistische gegevens voor Eurostoxx 50. 5

20 Lag Q STAT Kritieke waarde P-waarde Tabel 1: Box-Ljung test op de logreturns van Eurostoxx 50. We kunnen de nulhypothese niet verwerpen met een betrouwbaarheid van 95% wanneer. In dit punt hebben we een overschrijdingskans, p-waarde, die groter is dan het significantieniveau van 5%. In dat geval dienen we te besluiten dat er geen autocorrelatie in onze dataset is. Wanneer we echter rekening houden met zowel als moeten we de nulhypothese wel verwerpen. In beide gevallen is er statisch significante autocorrelatie aanwezig in onze dataset. Dat diepen we nu verder uit voor de individuele aandelen van Eurostoxx 50. Autocorrelatietabel Naar analogie van het artikel van Fama (1965) maken we een gelijkaardige tabel voor een steekproef van 20 bedrijven uit Eurostoxx 50. We berekenen de dagelijkse seriële correlatiecoëfficiënt voor lag. In tabel 2 geven we de seriële correlatie van vijf bedrijven uit de beschouwde index. De volledige tabel is opgenomen als bijlage (cfr. bijlage 2). Aandeel Autocorrelatie AB-Inbev -0,024-0,018-0,016-0,053-0,003-0,051 0,049 0,05-0,05 0,014 BASF -0,021-0,012-0,03-0,007-0,044-0,016-0,001 0,062-0,029-0,026 France Télécom 0,056-0,056-0,002 0,033-0,002 0,005-0,018-0,004-0,013 0,004 Nokia 0,028-0,041 0,038-0,015-0,036 0,013 0,003-0,047 0,047 0,04 Volkswagen Group 0,028-0,041 0,038-0,015-0,036 0,013 0,003-0,047 0,047 0,04 Tabel 2: Autocorrelatietabel voor 5 bedrijven uit Eurostoxx 50. In essentie toont tabel 2 ons of elke prijsverandering binnen tien dagen ons eventueel kan helpen om de verandering van morgen te voorspellen. Elke seriële correlatie in tabel 2 is relatief klein, zelfs in absolute waarde. Het grootste getal uit de tabel is 0,062. Wanneer we alle aandelen van Eurostoxx 50 erbij nemen, is de grootste waarde -0,134. Fama (1965) kwam tot gelijkaardige bevindingen. Hij stelde dat afhankelijkheid van dergelijke kleine orde en omvang vanuit praktisch standpunt zowel voor een statisticus, als voor een belegger onbelangrijk is Efficiënte Markten Theorie Fama (1970) ontwikkelde de theorie van de efficiënte markten. Hij definieerde een efficiënte markt als een markt waarin de prijzen op elk tijdstip alle mogelijke informatie bevatten. Op die manier kunnen drie informatieverzamelingen worden onderscheiden: (1) de zwakke vorm van efficiënte, waarin enkel de historische prijzen belangrijk zijn, (2) de semi-sterke vorm van marktefficiëntie, waar de prijzen tot stand komen door alle beschikbare informatie en (3) de sterke vorm van efficiëntie waarin de prijzen op elk tijdstip alle mogelijke (dus zowel publiek als privé-) informatie bevatten. De theorie van efficiënte markten is belangrijk voor deze meesterproef omdat bepaalde theorieën op deze assumptie gebaseerd zijn. De random walk theorie (cfr. hoofdstuk 1, 1.3) heeft als assumptie dat prijsveranderingen onafhankelijk van elkaar moeten zijn 6. In die theorie is het dus onmogelijk om geld te verdienen door gebruik te maken van technische of historische analyse. 5 In de literatuur krijgt dit fenomeen de naam statistical and practical significance (cfr. hoofdstuk 1, 1.3.1). 6 Dit is de Markov-eigenschap (cfr hoofdstuk 1, 3.1). 6

21 1.3. Random Walk Theory Toevalsbewegingtheorie Er heerst een lange traditie onder economen die verklaren dat de prijzen in speculatieve markten zich gedragen volgens een toevalsbeweging (random walk). Een random walk hield volgens Fama (1965, p.34) in dat de toekomstige reeks van aandelenprijzen even moeilijk te voorspellen is dan een reeks van cumulatieve willekeurige variabelen. In statistische termen wordt gezegd dat de opeenvolgende prijsveranderingen onafhankelijke en identieke verdeelde toevalsvariabelen zijn. Hoewel Bacheliers conclusies (1900) aan de basis lagen, was het Kendall (1953) die als een van de eersten wees op het feit dat de aandelenmarkt volgens een toevalsbeweging was opgebouwd. Hij concludeerde dat de beschouwde data zich gedroegen als een zwervende tijdsreeks. Daarnaast vond Malkiel (1973) in zijn werk A random walk down Wall Street ook bewijs voor de toevalsbeweging. Hij stelde eveneens dat het onmogelijk was om op consistente wijze een aandelenindex te kloppen. Malkiel besloot ook dat technische analisten of beleggingsadviseurs geen enkele meerwaarde kunnen bieden. Fama (1965) somde twee assumpties op waar de theorie aan moet voldoen: (1) prijsveranderingen zijn onafhankelijke toevalsvariabelen en (2) de veranderingen zijn conform aan een verdelingsfunctie. Van de assumpties wordt onafhankelijkheid als de belangrijkste gezien: ofwel zijn de opeenvolgende prijsveranderingen onafhankelijk (of toch minstens praktisch gezien onafhankelijk), ofwel niet. Indien dit niet het geval is, gaat de random walk theorie niet op voor de beschrijving van aandelenprijzen Onafhankelijkheid Onafhankelijkheid Praetz (1973) stelde dat onafhankelijk, in statistische termen, betekende dat een verdelingsfunctie van een reeks prijsveranderingen tijdens een bepaalde periode onafhankelijk moet zijn tegenover de reeks van returns tijdens voorgaande periodes. Dus, de kennis van de opeenvolging van prijsveranderingen die tot periode hebben geleid, helpt op geen enkele manier om een verdelingsfunctie te maken voor de prijsveranderingen tijdens een andere tijdsperiode. Concreet betekent onafhankelijkheid dat: In voorgaande uitdrukking staat de term aan de rechterkant voor de ongeconditioneerde kans dat de prijsverandering op tijdstip de waarde zal aannemen. Aan de linkerkant staat de conditionele kans: de kans dat een prijsverandering de waarde zal aannemen, met in het achterhoofd dat het reeds de reeks en heeft aangenomen. Er is dus geen invloed van het verleden op de huidige prijs. We kunnen nooit hopen om een tijdsreeks te vinden die perfecte onafhankelijkheid in zich heeft. Strikt genomen, kan een random walk nooit een compleet accuraat beeld geven van de werkelijkheid. Voor praktische redenen accepteren we de onafhankelijkheidassumptie zolang de afhankelijkheid in reeksen van opeenvolgende prijsveranderingen niet boven een minimum acceptabel niveau ligt. Acceptabel niveau Het minimum acceptabel niveau hing volgens Fama (1965, p.35) af van het probleem dat iemand wil oplossen. Iemand die statistische analyses maakt, wil weten of de afhankelijkheid van opeenvolgende prijsveranderingen voldoende is om er eigenschappen van de verdelingsfunctie uit te kunnen trekken. Indien de eigenlijke afhankelijkheid niet volstaat om conclusies uit te trekken, kan de statisticus de hypothese van onafhankelijkheid aanvaarden als een beschrijving van de realiteit. Fama concludeerde dat voor traders het fenomeen onafhankelijkheid belangrijk kan zijn. Voor zijn doeleinden is het cruciaal te weten of het random walk model geldig is en de reeks prijsveranderingen uit het verleden kunnen worden gebruikt om verwachte winsten te doen toenemen. De assumptie van onafhankelijkheid is een adequate beschrijving van de realiteit zolang de prijsveranderingen uit het verleden niet kunnen worden gebruikt om toekomstige prijzen te voorspellen. (10) 7

22 Afhankelijkheid die belangrijk is vanuit het standpunt van een trader, dient dus niet belangrijk te zijn vanuit het standpunt van een statisticus, en omgekeerd. Fama haalde een voorbeeld aan waarbij de prijs van een bepaald aandeel afwisselend stijgt en daalt met 7. Vanuit een statistisch standpunt geeft die afhankelijkheid ons informatie over de vorm van de verdeling. Wanneer we het standpunt van een trader bekijken, is die statistische afhankelijkheid onbelangrijk indien klein is. Elke winst die hij dan wil maken, kan verwaarloosbaar zijn tegenover de transactiekosten die hij moet betalen. Kendall (1953) wees in zijn studie van 22 aandelenindices 8 dat er weinig seriële correlatie binnen de tijdsreeksen en weinig lag correlatie tussen tijdreeksen was. Hij besloot dat enkel indien er aandelen waren die zich anders gedroegen dan het gemiddelde, er geen hoop was om bewegingen in de koers ervan te voorspellen voor een week, zonder insider trading. Praetz (1973) kwam in zijn studie van de Financial Times Actuaries 500 Share Index tot gelijkaardige conclusies. Hij stelde dat zelfs de grootste coëfficiënt te klein was om, statistisch gezien, significant te zijn. Het kon namelijk slechts 6% variantie uit de schatting verklaren. Marksituaties consistent met afhankelijkheid Een probleem dat Fama (1965) aanhaalde, was dat onafhankelijkheid van opeenvolgende prijzen een prijsmechanisme kan reflecteren dat ongerelateerd is aan de reële economie. Dus, aandelenprijzen kunnen in een dergelijke visie een accumulatie zijn van willekeurig gegenereerde ruis, waar die ruis psychologische of andere factoren in zich heeft. Zelfs voorstanders van de random walk theorie vinden een dergelijke marktvisie onaantrekkelijk. Fama (1965, p.36) stelde dat hoewel sommige mensen hun primaire motivatie ligt bij de theorie van random walk, sommigen hun beslissingen laten bepalen door een marktevaluatie van bepaalde economische of politieke omstandigheden. Er zijn namelijk erg veel (private) beleggers die geloven dat individuele aandelen intrinsieke waarde hebben die afhankelijk is van economische factoren. Het bestaan van die intrinsieke waarde is echter niet consistent is met de random walk hypothese. Wanneer we dit toch in rekening willen brengen, dienen we naar een intrinsieke-waarde-random-walk te gaan (Fama, 1965) Veranderingen conform aan een bepaalde verdelingsfunctie De tweede assumptie die Fama (1965) definieerde, stelde dat prijsveranderingen conform moeten zijn aan een verdelingsfunctie. Vanuit het standpunt van de belegger is de vorm van de verdelingsfunctie van prijsveranderingen erg behulpzaam. Algemeen gezien speelt de curve van de verdeling een grote rol in het bepalen van de risicogevoeligheid van beleggingen. Bijvoorbeeld, hoewel twee verschillende plausibele verdelingen voor prijsveranderingen dezelfde verwachte prijsverandering kunnen hebben, kan de standaardafwijking van beide verdelingen significant van elkaar verschillen. De verdeling van prijsveranderingen is ook erg belangrijk vanuit academisch perspectief aangezien de curve erg veel beschrijvende informatie verschaft over het proces dat de prijsveranderingen genereert. Bijvoorbeeld, indien heel grote prijsveranderingen vrij frequent voorkomen, kan het voorzichtiger zijn om te zeggen dat de economische structuur onderhevig is aan frequente en plotse verschuivingen in tijd. Indien de verdeling een grote verspreidingsraad heeft, is het bedachtzamer om te zeggen dat dit grotendeels te wijten is aan de variabiliteit in het proces Indexkeuze We maken doorheen deze meesterproef gebruik van data van de blue-chip 9 returnindex Eurostoxx 50. Eurostoxx 50 is een voorbeeld van een free-float index. Een free-float index is een index die berekend wordt door de aandelenkoers van een bedrijf te vermenigvuldigen met het aantal uitstaande aandelen beschikbaar voor trading. Dat is een adequate wijze om marktkapitalisatie te berekenen aangezien het op een accurate manier de reflecties van de markt weergeeft (FTSE, 2010). 7 In deze context staat voor een bepaalde factor binnen het beursmodel:, aldus Praetz (1973). 8 Kendall (1953, p.12) gebruikte tijdreeksen van aandelenindices uit Londen. 9 Een blue chip aandeel is een aandeel van een bepaald bedrijf met een nationale reputatie voor kwaliteit, betrouwbaarheid en de mogelijkheid om zowel in goede als slechte tijden operationeel actief te zijn. (New York Stock Exchange, 2000) 8

23 We kiezen bewust voor Eurostoxx 50 omdat hij een representatief beeld geeft van de Europese markt. Het is een gediversifieerde portefeuille met aandelen van de 50 grootste bedrijven uit de Eurozone. De huidige samenstelling van de index nemen we op als bijlage (cfr. bijlage 1). We moeten echter een kanttekening maken bij de representativiteit van deze samenstelling. De index is met een bijdrage van 14,3% en 10,8% vrij sterk geconcentreerd in respectievelijk de banksector en de olie- en gasindustrie (Stoxx 2011). Voor de analyses gebruiken we de data van de tijdsperiode 2000 tot Dat doen we omdat tijdens die periode twee belangrijke momenten uit de recente economische geschiedenis plaatsvonden: (1) de zichtbare naweeën van de internetzeepbel in 2000 en (2) één van de meest desastreuze financiële crisissen sinds de Grote Depressie uit de jaren 30 vanaf Hoewel deze periode een vertekend beeld zou kunnen geven op onze conclusies, gebruiken we die net bewust voor het initiële doel van deze meesterproef, portefeuilleadvies. Een overschatting van het neerwaarts risico kan dienen als een goede buffer voor klanten. We kiezen ook bewust voor een returnindex, omdat die vorm weergeeft wat een belegger gemiddeld verdient door op de desbetreffende beurs te mikken. Andere voorstellingsmogelijkheden zijn een prijsof koersindex, die, in tegenstelling tot een returnindex, geen rekening houden met dividenden. 2. Statistische concepten 2.1. De normale verdeling De normale verdeling is zonder twijfel een van de belangrijkste verdelingsfuncties in de statistiek en dankzij haar aantrekkelijke karakteristieken is het ook een van de meest gebruikte toepassingen in de financiële wiskunde. Rachev, Menn en Fabozzi (2005) overliepen de basiseigenschappen van deze klokkromme, beginnend met zijn dichtheidsfunctie: ( ) (11) Een eerste eigenschap van deze verdeling is dat het midden ervan gelijk is aan de verwachte waarde,, en dat de curve dus symmetrisch is rond die waarde. Een tweede eigenschap is dat het gemiddelde een locatieparameter is. Dit houdt in dat wanneer de verdeling een andere standaardafwijking heeft de verwachte waarde op dezelfde plaats blijft (cfr. figuur 4). De verdelingsfunctie zal smaller zijn en een hogere piek hebben voor kleinere waarden van zijn standaardafwijking, Figuur 4: De normale verdeling met veranderende standaardafwijking ( = 1, 2.5 en 5). 9

24 Een derde eigenschap van de normale verdeling is de zogenaamde location-scale invariance. Bedenk een willekeurige variabele X die normaal verdeeld is met parameters en. De variabele Y wordt gegeven volgens. Algemeen zal de verdelingsfunctie van substantieel verschillend zijn tegenover de verdeling van, maar indien normaal verdeeld zou zijn, zou de variabele ook een normale verdeling volgen met parameters: en. We verlaten de klasse van een normale verdeling niet wanneer we willekeurige variabelen vermenigvuldigen of verschuiven. We komen terug de gelijkheid,, bij de student t-verdeling (cfr. hoofdstuk 2, ). Een vierde eigenschap van de normale verdeling is stabiliteit bij optelling. Wanneer we de som nemen van verschillende onafhankelijke willekeurige variabelen die normaal verdeeld zijn met een verwachte waarde en standaardafwijking, dan zal de som ook een normale verdeling volgen Independent and identical distributed Defusco, McLeavey, Pinto en Runkle (2007) stelden dat in theorie, een eigenschap van returns is dat ze onafhankelijk en identiek normaal verdeeld zijn. Die statistische stelling noemt IID en ze staat voor independent and identically distributed of onafhankelijk identiek verdeeld: (12) Wanneer een reeks toevalsvariabelen niet onafhankelijk identiek verdeeld zijn, zitten we in de situatie waarbij een dataset autocorrelatie bevat. We hebben in sectie reeds verwezen naar het feit dat onder andere het klassieke regressiemodel niet meer volstaat bij autocorrelatie. Daarnaast zijn er ook andere testen die onmogelijk kunnen worden gedaan, bijvoorbeeld de t-test. Defusco et al. (2007) stelden dat de assumptie van de normale verdeling erg volgzaam is. Ze is, zoals eerder gezegd, eenvoudig in gebruik. De verdeling wordt door twee momenten helemaal beschreven en is stabiel onder optelling. Dat laat ons toe om een uitbreiding te doen vanuit portefeuillestandpunt. Indien de componenten van een portefeuille IID normaal verdeeld zijn, zal de hele portefeuille ook een normale verdeling volgen. We dienen daarbij wel een kanttekening te maken. De eigenschap IID staat los van de normale verdeling en kan ook bij andere verdelingen voorkomen. We komen hier nog op terug doorheen deze meesterproef Karakteristieke functie Volgens Schoutens (2003) kan een verdelingsfunctie op drie manieren worden beschreven: via een dichtheidsfunctie, een cumulatieve verdelingsfunctie of een karakteristieke functie. Ten eerste, een dichtheidsfunctie (of probability density function) is een functie die de relatieve waarschijnlijkheid geeft dat een toevalsvariabele een bepaalde waarde aanneemt. De kans dat een toevalsvariabele binnen een bepaald interval valt, wordt uitgedrukt als de integraal van een dichtheidsfunctie,. Ten tweede, de cumulatieve verdelingsfunctie,, omschrijft de kans dat een toevalsvariabele, binnen zijn verdelingsfunctie, zal gevonden worden kleiner dan of gelijk is aan een zekere waarde, x. Voor elk reëel getal zal de cumulatieve verdelingsfunctie van een toevalsvariabele X gegeven worden door: (13) Ten derde kan een bepaalde verdelingsfunctie omschreven worden door zijn karakteristieke functie. Dergelijke functie van een verdeling of van een toevalsvariabele X is de Fourier-Stieltjes transformatie van de verdelingsfunctie = (14) 10

25 De karakteristieke functie voor de normale verdeling wordt gegeven door: (15) De karakteristieke functie is wiskundig gezien equivalent aan de dichtheidsfunctie en cumulatieve verdelingsfunctie F. De connectie tussen die drie functies is gegeven door de twee integralenfunctie, de Fourier-Stieltjes inversieformule genoemd. De karakteristieke functie heeft meer eigenschappen, namelijk en voor iedere. De belangrijkste eigenschap is dat de verdeling F uniek omschrijft. De momenten kunnen eenvoudig afgeleid worden van de karakteristieke functie. Een andere eigenschap is dat de som van twee onafhankelijke toevalsvariabelen, met twee functies en, een karakteristieke functie heeft gelijk aan. De functie zet die kronkelingen om in vermenigvuldigingen Financiële toepassingen van de normale verdeling De moderne portefeuilletheorie van onder andere Markowitz (1952) en Sharpe (1964) maakt gebruik van de idee dat de waarde van beleggingsopportuniteiten gemeten kan worden in het gemiddelde (of de verwachte waarde) en de variantie van de return (Sharpe,1964). De theorie wordt daarom ook de mean variance analyse genoemd. In de economische theorie is de mean-variance analyse geldig wanneer beleggers risico-avers zijn, wanneer ze bepaalde beleggingen kiezen die hun verwacht nut of tevredenheid maximaliseren en wanneer rendementen een lognormale verdeling volgen of beleggers kwadratische nutsfuncties 10 hebben. Mean-variance analyse kan nog steeds bruikbaar zijn, maar dat is echter bij benadering, wanneer niet aan één van de twee basisveronderstellingen voldaan is. Omdat beoefenaars van het vak gebruik willen maken van waarneembare feiten zoals rendementen, is de stelling dat rendementen op zijn minst lognormaal verdeeld zijn, van cruciaal belang bij MPT (Defusco, McLeavey, Pinto, & Runkle, 2007) De lognormale verdeling Hull (2011) stelde dat de lognormale verdeling een verdeling is die erg gerelateerd is aan de normale verdeling. Een toevalsvariabele volgt een lognormale verdeling als zijn natuurlijke logaritme normaal verdeeld is. Het omgekeerde geldt ook: als het natuurlijke logaritme van een willekeurige variabele Y, ln (Y) normaal verdeeld is dan volgt dat Y een lognormale verdeling volgt. We hebben al gewezen (cfr. hoofdstuk 1, 1.1) op de gevolgen van de logaritmische returns. In de volgende sectie duiden we op de belangrijkheid ervan aan in de financiële wiskunde. Algemeen wordt aangenomen dat de normale verdeling een beschrijving geeft van aandelenreturns, terwijl de lognormale verdeling veeleer een beschrijving geeft van aandelenkoersen, aldus Hull (2011). Dat komt omdat de lognormale verdeling twee belangrijke eigenschappen in zich heeft: de functie is begrensd door 0 en bevat een scheefheid met een langere rechterstaart. Aangezien effectenprijzen in realiteit niet negatief kunnen zijn, geeft dit type van verdeling een meer waarheidsgetrouw beeld. Uit de grafische weergave van figuur 5 blijkt dat de verschillende verwachte waarden een curve hebben die begrensd blijft door 0. Net zoals de normale verdeling wordt de lognormale verdeling omschreven door twee parameters: de verwachte waarde en standaardafwijking van de normale verdeling. Veronderstel dat toevalsvariabele X normaal verdeeld is, dan is de dichtheidsfunctie van een lognormaal verdeelde toevalsvariabele V (Hull, 2011, Technical Note 2): ( ) (16) 10 Een nutscurve is de wiskundige voorstelling van het menselijk gedrag ten aanzien van risicorendement. 11

26 De uitdrukkingen voor de parameters van de lognormale variabele V zijn op zichzelf ook uitdagend en worden afgeleid uit deze dichtheidsfunctie. Veronderstel dat een normaal verdeelde toevalsvariabele een verwachte waarde en variantie heeft. De lognormale tegenhanger zal een verwachte waarde hebben van. De variantie bekomt men door:. Wanneer we dit concreet invullen, krijgen we de variantie voor de lognormale verdeling: (Hull, 2011, Technical Note 2) Figuur 5: De lognormale verdeling met veranderende verwachte waarde ( = 0,1 en 2) Overige inleidende concepten Centrale limietstelling Barbieri et al. (2009) definieerden de centrale limietstelling als een van de meest gebruikte stellingen in kanstheorie. Die stelling heeft belangrijke implicaties voor hoe we betrouwbaarheidsintervallen en hypothesetesten gaan maken. De centrale limietstelling laat ons toe om vrij accuraat kansverklaringen van het populatiegemiddelde te maken, gebruikmakend van zijn steekproefgemiddelde, gegeven de verdeling van de populatie. Dat kan omdat het steekproefgemiddelde, bij benadering, een normale verdeling volgt voor steekproeven met een groot aantal elementen. Wanneer de steekproefomvang groter dan of gelijk is aan 30 kunnen we veronderstellen dat het steekproefgemiddelde bij benadering normaal verdeeld is. Wanneer echter de onderliggende verdeling ver van normaliteit ligt, hebben we een steekproefomvang nodig die ver boven 30 ligt om dit toch te kunnen veronderstellen. Barbieri et al. (2009) somden nog eigenschappen op waaraan de steekproef moet voldoen vooraleer we de centrale limietstelling kunnen gebruiken. Enkele van deze eigenschappen zijn de autocorrelatie van een bepaalde dataset (cfr. hoofdstuk 1, 1.1.2), niet-stationaire eigenschap (cfr. hoofdstuk 1, 2.3.2) en een eindige variantie (cfr. hoofdstuk 2, 3). Indien niet aan die eigenschappen voldaan zijn, stelden ze een andere soort van centrale limietstelling voor Tijdsafhankelijkheid Financiële tijdsreeksen worden vaak gemodelleerd als niet-stationaire of tijdsafhankelijke processen, aldus Barbieri et al. (2009). Volgens hen toonden returns verschillende statistische eigenschappen op verschillende momenten. Zo kunnen extreme gebeurtenissen abrupte veranderingen in een bepaald regime voorstellen. Barbieri et al. stelden dat wanneer er echter genoeg data aanwezig is, het mogelijk is om die niet-stationaire eigenschap te negeren. Op die manier kan de centrale limietstelling toch worden toegepast op data die de tijdsafhankelijkheid in zich heeft. We komen hierop terug in het vervolg van deze meesterproef. (cfr. hoofdstuk 3, 1.2.2) Statistische momenten Statistici gebruiken verschillende maatstaven om een bepaalde verdelingsfunctie te beschrijven, ook wel de statistische momenten genoemd. Hier baseren we ons op de vier belangrijkste kengetallen. Een kansverdeling wordt namelijk uniek vastgelegd door deze momenten. Voor bepaalde verdelingen, bijvoorbeeld de Pareto-verdeling bestaan niet alle momenten (cfr. hoofdstuk 2, 3.3). 12

27 Standaardafwijking Het eerste statistische moment is de locatieparameter. We kunnen daarvoor verschillende maatstaven gebruiken: de verwachte waarde, mediaan of modus. Het meest gebruikte kengetal is de verwachte waarde: de centrale waarde van de verdelingsfunctie. Dat gebruiken we doorheen deze meesterproef. Het tweede statistische moment is de standaardafwijking (of variantie). De standaardafwijking wordt in een financiële context ook gezien als de volatiliteit. Volatiliteit is de bewegelijkheid van de koers van een effect over een beschouwde periode. Het wordt vaak als een maatstaf van risico gebruikt en kan zowel als een percentage of als een absolute waarde genoteerd worden. We dienen het onderscheid te maken tussen gerealiseerde volatiliteit en verwachte (of implied) volatiliteit. In deze context spreken we van gerealiseerde (of historische) volatiliteit. De verwachte volatiliteit behandelen we bij het Black- Scholes model (cfr. hoofdstuk 1, ). Voor beleggers is de volatiliteit om verschillende redenen erg van belang. Ten eerste, hoe breder de schommelingen van een aandelenkoers kunnen zijn, hoe moeilijker het is om het emotionele aspect uit te sluiten. Ten tweede, wanneer we de toekomstige cashflows moeten beoordelen, zal de kans op een shortfall hoger zijn als de volatiliteit of standaardafwijking groter is. Ten derde, volatiliteit kan men ook rechtstreeks verhandelen aan de hand van afgeleide producten, bijvoorbeeld opties en variance swaps 11. Eurostoxx Tijd (in dagen) Figuur 6: De evolutie van de maandelijkse standaardafwijking voor Eurostoxx 50 Figuur 6 toont de evolutie van de gerealiseerde volatiliteit over een periode van 1 maand. We nemen dus een tijdsvenster van 1 maand en verschuiven dat tot het einde van onze beschouwde periode, om het verloop van dit maatgetal weer te geven. Die techniek wordt ook moving average of rolling window genoemd. Op de x-as staan het aantal dagen weergegeven als een vast getal vanaf het jaar Aangezien we werken met een financiële jaartelling begint 2001 na 255 dagen, etc. Op die manier komen we tot waarneming 3075, wat overeenstemt met 3 januari Opvallend voor de beschouwde periode is dat we vanaf november 2008 in alle statistische momenten hogere waarden opmerken. Bij Eurostoxx 50 is er op dat moment een serieuze piek in de volatiliteit: we nemen namelijk een verviervoudiging van de standaardafwijking waar. De oorzaak daarvan ligt bij de financiële crisis. Daarnaast zien we ook een zogenaamd Minsky-moment in de periode net vóór de crisis. Dat economisch verschijnsel werd geïntroduceerd door Hyman Minsky en is vrij eenvoudig te begrijpen: wanneer het goed gaat in financiële markt, nemen beleggers meer risico; hoe langer het goed gaat, hoe risicovoller beleggers worden. Die dynamiek blijft duren tot de cash die gegenereerd wordt door beleggingen niet meer volstaat om de lopende schulden af te lossen. Beleggers zijn dan genoodzaakt om ook hun goede activa te verkopen. Dat heeft volgens Minsky een ineenstorting van het systeem tot gevolg, wat op zijn beurt leidt tot een stijging in de marktvolatiliteit (Minsky,1987). 11 Een variance swap is een afgeleid product waardoor we de volatiliteit van een onderliggend effect kunnen hedgen. 13

28 Scheefheid Asymmetrie Een niet-symmetrische verdeling wordt in een statistische context ook scheef genoemd (in het Engels skewness). Scheefheid is dus de graad van asymmetrie voor een bepaalde statistische verdeling. Het wordt gedefinieerd als het derde moment rond de verwachte waarde, gedeeld door de derde macht van de standaardafwijking. We krijgen dan (Schoutens, 2003, p.34): (17) Defusco et al. (2007) maakten een onderscheid tussen een positieve en negatieve scheefheid. Een positieve scheefheid heeft een frequent aantal van lage verliezen en een paar extreme winsten. Op die manier krijgen we een langere staart aan de rechterkant met een modus die minder is dan de mediaan, wat op zijn beurt minder is dan de verwachte waarde. Een negatieve scheefheid heeft daarentegen een frequent aantal kleinere winsten en een paar extreme verliezen. Voor dergelijke verdeling krijgen we een lange staart aan de linkerkant. We hebben te maken met de verwachte waarde dat lager is dan de mediaan, wat op zijn beurt lager is dan de modus. Voor de symmetrische verdelingen, zoals de normale verdeling, hebben we een scheefheid van 0. Beleggers worden aangetrokken tot een positieve scheefheid aangezien de verwachte waarde boven het mediane rendement valt. Relatief aan de gemiddelde return heeft een positieve scheefheid ook een gelimiteerde maar frequent voorkomende downside, vergeleken met de ongelimiteerde, doch minder frequent voorkomende upside. 2 Eurostoxx Tijd (in dagen) Figuur 7: De evolutie van maandelijkse scheefheid voor Eurostoxx 50. In figuur 7 hebben we de evolutie van skewness met een tijdsvenster van 1 maand geplot. We nemen dus een periode van 1 maand en verschuiven die tot het einde van onze beschouwde periode, om het verloop van dit maatgetal weer te geven. Zoals aangehaald bij de vorige figuur zien we andermaal een uitschieter rond januari De oorzaak daarvan ligt bij de financiële crisis, wat resulteert in een scheeftrekking naar links toe. De hoogste scheefheid die we waarnemen is -2,70 met een gemiddelde waarde van -0, We werken weer volgens hetzelfde principe als bij figuur 6. Op de x-as staan het aantal dagen weergegeven als een vast getal vanaf het jaar Aangezien we werken met een financiële jaartelling begint 2001 na 255 dagen, etc. Op die manier zitten we bij waarneming 2000 rond het jaar

29 Kurtosis Concentratie in de staart Defusco et al. (2007) introduceerden een andere manier waarin een returnsverdeling kan afwijken van de normale verdeling: een grotere concentratie rond de verwachte waarde en meer returns met grotere afwijkingen tegenover die verwachte waarde. In dat geval hebben we een verdeling die gekenmerkt wordt door een hogere piek en dikke staarten. Een verdelingsfunctie met dergelijke kenmerken heeft zowel een groter percentage aan kleine afwijkingen van de verwachte waarde, als een groter percentage aan extreme afwijkingen tegenover die verwachte waarde. Beleggers nemen dus een grotere kans waar van grotere afwijkingen van de verwachte waarde als het risico toeneemt. Het maatgetal dat we hiervoor gebruiken, heet kurtosis. In statistische context wordt dat ook wel het vierde moment genoemd. De berekening van kurtosis omvat de gemiddelde afwijkingen tegenover de verwachte waarde tot de vierde macht, op de vierde macht van de standaardafwijking 13. We krijgen dan (Schoutens, 2003, p.35): (18) Een verdeling met een hogere piek noemt men leptokurtic (lepto is Grieks voor slank); een verdeling die een kleinere piek heeft dan de normale verdeling noemt men platykurtic (platy is het Grieks voor breed). Een normale verdeling is tot slot een voorbeeld van mesokurtic (meso is Grieks voor middel) met een kurtosis gelijk aan 3. In een dergelijke verdeling gaat we de kans op extreme uitkomsten erg onderschatten. Veel statistici praten over de exces kurtosis. Dat is de gebruikelijke kurtosis met een correctie van drie. Op die manier geeft men de overmaat boven de normale verdeling sneller weer. In deze meesterproef maken we gebruik van de gewone kurtosis. Eurostoxx Tijd (in dagen) Figuur 8: De evolutie van maandelijkse kurtosis voor Eurostoxx 50. In bovenstaande figuur zien we de curve van kurtosis met een tijdsvenster van een maand 14. Identiek aan de twee voorgaande figuren, nemen we een tijdsinterval van 1 maand en schuiven dat zo tot het einde van onze periode op om de evolutie van dit moment weer te geven. Zoals aangehaald bij figuur 6 zien we weer een belangrijke uitschieter rond januari De oorzaak daarvan ligt bij de financiële crisis, wat leidt tot een serieuze piek in de verdelingsfunctie van Eurostoxx 50. We merken een maximale kurtosis van 11,9620 op. Voor de beschouwde data vinden we een gemiddelde kurtosis van 2, De populatievariantie is het kwadraat van de populatiestandaardafwijking. 14 Ook hier verwijzen we weer naar principe van de twee voorgaande figuren. Op de x-as staan het aantal dagen weergegeven als een vast getal vanaf het jaar Aangezien we werken met een financiële jaartelling begint 2001 na 255 dagen, etc. Op die manier zitten we bij waarneming 2000 rond het jaar

30 Statistische momenten voor Eurostoxx 50 In dit onderdeel bekijken we de vier statistische momenten voor een steekproef van tien bedrijven 15 uit Eurostoxx 50. Op die manier krijgen we een eerste indicatie of de dagelijkse logreturns een normale verdeling volgen. Zoals uit voorgaand onderdeel blijkt, zal elk individueel effect een serieuze afwijking van normaliteit 16 kennen. Voor AB-Inbev hebben we een scheefheid van -1,54869 en een kurtosis van 22,620. De reden waarom we met zulke uitschieters zitten, komt door de kapitaalverhoging dat het bedrijf doorvoerde op 24 november 2008 (Lambrecht, 2008). Dat zorgde voor een daling van net geen 20% in de prijs van het aandeel. De volledige tabel is opgenomen als bijlage (cfr. bijlage 1). Aandeel Gemiddelde Standaardafwijking Scheefheid Kurtosis AB-Inbev 0, , , , Arcelor Mittal -0, , , , BMW 0, , , , BNP Paribas -0, , , , Enel -0, , , , GDF Suez -0, , , , Iberdrola 0, , , , Nokia -0, , , , Philips -0, , , , TotalS.A. 0, , , , Gemiddelde -0, , , , Tabel 3: Vier statistische momenten voor 10 bedrijven uit Eurostoxx 50. Index Gemiddelde Standaardafwijking Scheefheid Kurtosis DAX 0,0000 0,0165-0,0464 3,8720 Eurostoxx 50-0,0002 0,0161 0,0267 4,1904 FTSE 100-0,0001 0,0132-0,1126 5,5931 Nasdaq-Composite 0,0001 0,0185-0,0655 4,2583 S&P 500 0,0000 0,0139 0,1532 7,0474 Tabel 4: Vier statistische momenten voor enkele indices in de periode Op Philips na zitten we steeds met een kurtosis die boven onze verwachting van de normale verdeling ligt. Met een gemiddelde kurtosis van 7,7 17 over alle individuele bedrijven, kunnen we besluiten dat het verdelingen zijn met vrij hoge pieken. Dit leptokurtosische karakter zullen we tegenkomen wanneer we kijken naar andere aandelen en indices. We voegen daarom tabel 4 18 toe om tot een algemener beeld te komen van deze statistische momenten. Ook bij andere indices merken we een kurtosis die boven drie ligt. Dat gegeven is een eerste indicatie dat we moeten afstappen van de klokkromme als meest adequate verdelingsfunctie voor financiële (log)rendementen. We bekijken daarom in volgende secties de dynamische tegenhanger van de normale verdeling: de stochastische modellen. Zo kunnen we aan de hand van een dergelijk stochastisch proces een adequatere beschrijving geven voor de evolutie van aandelenreturns. 15 De bedrijven uit de steekproef van tabel 3 zijn volledig willekeurig gekozen. 16 Met normaliteit bedoelen we de normale verdeling. 17 We dienen op te merken dat de gemiddelde waarde van alle individuele bedrijven niet noodzakelijk gelijk moet zijn aan de verwachte waarde van de hele index. Dat komt omdat we niet werken met een gelijk-gewogen maar een free-float index. 18 In deze tabel werken we met dagelijkse logaritmische returns. 16

31 3. Stochastische calculus Vooraleer we de stochastische modellen over aandelenreturns volledig behandelen, dienen we nog enkele basisbeginselen te introduceren. De termen die we in dit onderdeel zullen introduceren, zijn echter niet de enige grondbeginselen van de stochastische wiskunde. De anderen behandelen we op het moment dat we ze in de desbetreffende modellen introduceren. Hoewel het niet onze bedoeling is om alle wiskundige aspecten van iedere theorie tot in het detail te behandelen, kunnen we deze tot op bepaalde hoogte niet vermijden. We hernemen figuur 1 (Cont, 2004, p.6) om aan te tonen binnen welk kader we werken. Figuur 1: De onderlinge relaties tussen stochastische processen. Tot dusver hebben we ons beziggehouden met de Gaussiaanse processen, onderaan het diagram. Dat volstaat echter niet als de juiste keuze bij aandelenreturns. Daarom verdiepen we ons hier in de stochastische processen en bespreken we zowel de Markov-eigenschap, de Brownse beweging (BB) als de Geometrische Brownse beweging (GBB). Bij de Brownse beweging bespreken we ten eerste de eigenschappen van de beweging en ten tweede de invloed van de beweging in de financiële literatuur. Concreet staan we in dat onderdeel stil bij (a) Bachelier, (b) Osborne en (c) Merton. In het onderdeel omtrent de geometrische Brownse beweging, verdiepen we ons enerzijds in de assumpties en staan we anderzijds stil bij het Black-Scholes-Merton model Markov-eigenschap Een Markov-proces is een bepaald type van stochastisch proces waarbij enkel de huidige waarde van een bepaalde variabele relevant is voor het voorspellen van de toekomst. Indien een bepaald effect een Markov-proces volgt, zullen onze voorspellingen voor de toekomst niet bepaald worden door de prijs een week, een maand of zelfs een jaar geleden. Voorspellingen voor de toekomst zijn onzeker en moeten uitgedrukt worden in een kansverdeling. De Markov-eigenschap houdt in dat de verdeling van de prijs op ieder toekomstig tijdstip niet afhankelijk is van een bepaald pad dat gevolgd wordt door de prijs in het verleden (Hull, 2011). We kunnen dit mathematisch schrijven als: waar in de gelijkheid de natuurlijke filtratie van is. Dit houdt in dat alle marktinformatie bevat die op tijdstip beschikbaar is over het aandeel, enkel indien de Markov-eigenschap volgt. De Markov-eigenschap van aandelenkoersen is consistent met een zwakke vorm van marktefficiëntie. Fama (1970) stelde dat in die vorm van efficiëntie, de huidige waarde van een aandeel alle informatie van een reeks prijzen uit het verleden inhield. Indien die zwakke vorm van marktefficiëntie niet zou gelden, zouden analisten extra rendementen kunnen halen aan de hand van een technische analyse of door grafieken van het verleden te interpreteren. (19) 17

32 3.2. Brownian Motion (BM) Brownse Beweging (BB) De geschiedenis van de Brownian motion, ook wel een Brownse beweging genoemd, gaat terug tot 1828 wanneer Brown stuifmeeldeeltjes bestudeerde onder zijn microscoop. Hij concludeerde toen dat ze op een constante onregelmatige manier bewogen. Het duurde tot 1923 vooraleer Wiener voor de eerste maal de Brownse beweging op een diepgaande wijze uitwerkte. Het stochastisch proces dat daaruit voortvloeide, wordt daarom ook een Wiener proces genoemd. We noteren een dergelijk proces als:. De Brownse beweging is een voorbeeld van een Lévy proces (cfr. hoofdstuk 3). In 1900 schreef Bachelier de thesis Théorie de la spéculation. Daarin maakte hij voor de eerste maal gebruik van de Brownse beweging om de beweging van aandelenprijzen weer te geven. Dat model werd diepgaander uitgewerkt door Osborne (1953) in zijn artikel Brownian motion in the stock market. Daarenboven is het de thesis van Bachelier die aan de basis lag van het Black-Scholes-Merton model (Black & Scholes,1973) voor de prijszetting van opties Eigenschappen van de Brownse beweging: Schoutens (2008, p.5) stelde dat een stochastisch proces van de vorm: Brownse beweging is indien:, een standaard - ; - ; - ; - ; -. We hernemen een paar klassieke eigenschappen van de Brownse beweging (Schoutens, 2003): Schoutens (2003) stelde dat een eerste belangrijke eigenschap van de Brownse beweging betrekking heeft tot martingalen. De Brownse bewegingis een voorbeeld van een martingaal met een continue tijdsparameter genoemd. We hebben voor alle : Dit betekent dat de beste voorspelling van, gegeven de informatie op tijdstip t, de waarde geeft. Schoutens (2003, p.14) stelde dat een martingaal constant on average of een fair game is. Een martingaal is een stochastisch proces met een drift 19 nul. Een variabele volgt een martingaal als het een proces heeft van de vorm waar een Wiener proces volgt. De variabele is op zichzelf ook stochastisch. Het kan afhankelijk zijn van of van andere stochastische variabelen. Een martingaal heeft de conventionele eigenschap dat de verwachte waarde van elke toekomstig tijdstip gelijk is aan de waarde vandaag. Dat betekent dat: Om dat te begrijpen, noteren we dat over kleine tijdsintervallen veranderingen in normaal verdeeld zijn met gemiddelde 0. De verwachte verandering van over een erg klein tijdsinterval is daarom ook gelijk aan 0. De verandering in tussen tijdstip 0 en tijdstip t is de som van zijn wijzigingen over erg kleine tijdsintervallen en dus gelijk aan 0 (Hull, 2011). Dit is consistent aan de bevindingen van LeRoy (1973), die stelde dat veel studies de conclusie van martingalen in aandelenreturns ondersteunde. Williams (1991) stelde dat indien er wel tendensen aanwezig zijn in aandelenkoersen, we te maken hebben met respecievelijk een sub- en een supermartingaal. Bij een submartginaal hebben we een tendens om te stijgen:. Indien er een tendens is om te dalen, hebben we te maken met een supermartingaal:. (20) (21) 19 Een synoniem voor drift is de overloopsnelheid. Daarmee wordt de graad waarmee het gemiddelde wijzigt bedoeld. 18

33 Waarde Waarde Index Waarde Waarde Een volgende eigenschap, aldus Schoutens (2003), heeft betrekking op de padeigenschappen. Men kan namelijk bewijzen dat de Brownse beweging continue paden heeft en dus een continue functie van tijd is. De paden zijn wel vrij onregelmatig en ze zijn op geen enkele plaats differentieerbaar. We kunnen zelfs bewijzen dat de paden een oneindige variatie hebben. Dit valt echter buiten het bereik van deze meesterproef en we nemen deze eigenschap aan. 1.2 Brownian Motion 0.5 Brownian Motion Tijd Tijd Figuur 9: Brownse beweging met 3075 stappen tegenover 90 stappen. Een derde eigenschap van Brownse bewegingen is dat ze niet kunnen worden onderscheiden van tijdschalen (Schoutens, 2003). Of we nu het volledige tijdsinterval bekijken of inzoomen op de eerste drie maanden, het verloop ziet er gelijkaardig uit. Dat komt in figuur 9 tot uiting. Wiskundig gezien, zijn er een reeks van transformaties op Brownse bewegingen die ook een Brownse beweging zullen gaan produceren. Een van deze transformaties is de schaaleigenschap of zogenaamde scaling property. Die stelt dat indien een Brownse beweging is, dan geldt voor iedere dat: (22) ook een Brownse beweging is. Dat is een eigenschap die we ook in hoofdstuk 3 zullen tegenkomen. Het waren Mantegna en Stanley die in hun artikel: Scaling behaviour in the dynamics of an economic index (1995) tot de conclusie kwamen dat er scaling te zien was bij rendementsverdelingen. Dat houdt in dat de curve van de verdelingsfunctie hetzelfde blijft los van de tijdsschaal die wordt geobserveerd. Bij aandelenprijzen is dat helemaal niet het geval. Dergelijke prijzen bewegen met serieuze sprongen op dagelijkse schaal, met serieuze discontinuïteit op maandelijkse schaal en benaderen slechts op erg lange termijn gaat een Brownse beweging. We geven dat onderscheid grafisch weer in figuur Brownian Motion Eurostoxx Tijd Tijd Figuur 10: Brownse beweging vergeleken met de prijsevolutie van Eurostoxx

34 Théorie de la spéculation In het universum van stochastische processen die gebruikt worden om prijsfluctuaties te modelleren, is de Brownse beweging ongetwijfeld de belangrijkste. We kunnen die beweging beschouwen als de dynamische tegenhanger van de normale verdeling aangezien ze beiden zijn afgeleid uit de centrale limietstelling. Intuïtief vertelt dit ons dat een genormaliseerde som van erg veel kleine onafhankelijke toevalsvariabelen ook bij benadering een normale verdeling volgen. Schoutens (2003) stelde dat een Brownse beweging daarenboven een van de meest bestudeerde stochastisch processen is en gezien wordt als de moeder van de stochastische analyse. Bachelier (1900) ontwikkelde in zijn thesis Théorie de la spéculation een model voor de prijs van een effect te modelleren op de Beurs in Parijs: (23) waar in de vergelijking voor een Wiener proces staat. De bovenstaande vergelijking wordt gezien als een Brownse beweging, omdat er geen factordrift in de formule aanwezig is. De prijs van een aandeel op tijdstip t is dus gelijk aan de prijs op tijdstip nul opgeteld met een bepaalde factor die zich willekeurig gedraagt. Bachelier (1900, p.31) besloot dat er een onderscheid was tussen twee soorten van kansen: enerzijds de kans die iemand mathematisch noemt, wat in de statistiek bestudeerd wordt. Anderzijds de kans op toekomstige gebeurtenissen wat onmogelijk te voorspellen is binnen het wiskundig kader.. Centraal in het werk van Bachelier staat de martingaal (cfr. hoofdstuk 1, 3.2.1), hoewel hij het nooit bij naam vermeldde. Bachelier (1900, p.28) besloot: l espérance mathematique du spéculateur est nulle. Vrij vertaald, houdt dit in dat de verwachte return van beleggers gelijk zijn aan nul. Dit is volgens hem gebaseerd op het fenomeen marktsymmetrie : elke transactie heeft namelijk twee partijen, zowel een koper als een verkoper, die een bepaalde prijs moeten overeenkomen. Hieruit volgt dat er geen consistente voordelen kunnen bestaan voor ieder van hen. De prijs van een effect moet gelijk zijn aan de toekomstige prijs van dat effect: exact de martingaal-eigenschap (cfr. hoofdstuk 1, 3.2.1). Osborne (1953) werkte die stellingen dieper uit. In Brownian Motion in the stock market toonde hij aan dat aandelenkoersen en de prijs van geld kunnen worden bekeken als beslissingen in een statistisch evenwicht. Indien, waar en de prijs van een bepaald aandeel op de willekeurige tijdstippen en, dan is de verdelingsfunctie in dat evenwicht van Y gelijk aan: ( ) (24) wat equivalent is aan de formule voor één stap uit een Brownse beweging. Osborne duidde op het feit dat het subjectieve gevoel van waarde volgens een trader of belegger gerelateerd is aan de Weber-Fechner wet. De Weber-Fechner wet duidt dat de gelijke ratio s van een bepaalde fysieke stimulus, zoals de geluidsfrequentie in vibraties/seconden, overeenstemmen met gelijke intervallen van subjectieve waarnemingen zoals toonhoogte, helderheid, en andere. De waarde van een subjectieve waarneming is niet meetbaar maar de verandering in die gevoelens is dat wel. De Weber-Fechner wet kan dus best worden toegepast wanneer er een dominante of primaire stimulus is. Wanneer er bijvoorbeeld twee verschillende geluidsfrequenties met elkaar worden vergeleken, moeten die bij benadering gelijk zijn aan elkaar. Indien niet aan deze vereiste is voldaan, wordt de foutterm te groot. Osborne stelde dat de Weber-Fechner wet kan toegepast worden in een financiële context op onder andere dividenden en omzet. Onder die wet werden winsten gemeten volgens de verandering in de logaritme van de prijs en de verwachte winst van iedere verandering moest nul zijn. Dit is wat Osborne het statistisch evenwicht tussen koper en verkoper noemde (of de martingaal waar Bachelier over sprak). 20

35 De twee academici zijn echter niet de enigen die een Brownse beweging als uitgangspunt namen voor hun modellen. Volgens Merton, Nobelprijswinnaar door het Black-Scholes model, is het Wiener proces noodzakelijk om een model te creëren voor een portefeuilleselectie onder onzekerheid (Merton,1969). Hij stelde eveneens dat in de gebruikelijke modellen onder zekerheid, de vergelijking m.b.t. het budget een differentiaalvergelijking is. Wanneer er echter onzekerheid in het model wordt geïntroduceerd, wat alles realistischer maakt, moet de budgetvergelijking veralgemeend worden door een stochastische differentiaalvergelijking (SDE). Merton (1969, p.247) definieerde: De budgetvergelijking wordt dan als volgt opgeschreven: [ ] (25) waar en het tijdsinterval tussen de periodes gelijk is aan h. Door van beide kanten af te trekken en gebruik te maken van, herschreef Merton de vergelijking als: [ ] (26) Waar het rendement is per tijdseenheid van aandeel i. De term wordt verondersteld gegenereerd te worden door een bepaald stochastisch proces. In discrete termen maakt Merton net de veronderstelling dat in de vergelijking,, de verwachte rendementsgraad constant is en gegenereerd wordt door een normale verdeelde random walk: (27) waar iedere een onafhankelijke variabele is met een standaard normale verdeling voor elke t, de variantie per tijdseenheid is voor het proces en waar het gemiddelde van de verhoging van 0 is. De limiet van het proces kan worden omschreven door de volgende SDE: waar een Wiener proces voorstelt. (28) Voor een nog meer diepgaande uitwerking van stochastische differentiaalvergelijkingen, verwijzen we naar het Itô s proces (cfr. hoofdstuk 1, 3.3.2). Het was namelijk de Japanse wiskundige Itô (1943) die in zijn artikel On stochastic differential equations de SDE voor de eerste maal uitwerkte. We introduceren dit Merton-model omdat het o.a. in het gebied van portefeuillebeheer een belangrijk gegeven is. Hoewel de volledige uitwerking van het model ons te ver zou leiden, halen we het aan om de relevantie met ons onderwerp te duiden. Weerom wordt er gewerkt met foute assumpties waar een hele theorie op gevormd wordt. In hoofdstuk 3 bekijken we hoe we deze nadelen kunnen uitsluiten. Graag willen we de stelling uit de inleiding van deze meesterproef hernemen: het is wiskundig gezien onmogelijk om iedere variabele op een deugdelijke manier te incorporeren en nog een accuraat en werkbaar model over te houden. Men is dus verplicht om bepaalde vereenvoudigingen door te voeren en net daarom is het belangrijk om te vertrekken vanuit de correcte assumpties. We moeten de kanttekening maken dat deze assumpties heel moeilijk te bepalen zijn, omdat men in een (financieel) model bepaalde vereenvoudigingen moet maken die kunnen afwijken van de realiteit. 21

36 3.3. Geometrische Brownian Motion (GBM) Geometrische Brownse Beweging (GBB) Eigenschappen In het vorig onderdeel introduceerden we de standaard Brownse beweging. Die gebruiken we om een afgeleide beweging te berekenen, namelijk de geometrische Brownse beweging (GBB). Op die manier proberen we de nadelen van de standaard Brownse beweging op te lossen. De theorieën die we hier behandelen, kennen voornamelijk hun toepassing in het gebied van de afgeleide producten. Omdat aandelenreturns een belangrijke assumptie vormen voor deze financiële modellen, is het van belang deze sectie hier op te nemen. Een stochastisch proces wordt gezegd een geometrische Brownse beweging te volgen wanneer het aan de volgende stochastische differentiaalvergelijking (SDE) voldoet (Schoutens, 2008, p.9): In de vergelijking staat opnieuw voor een Wiener proces. De factor μ staat voor het percentage drift in de gelijkheid en σ staat voor het percentage volatiliteit. Het feit dat dit een vast percentage is, is een van de nadelen van de geometrische Brownse beweging. We formuleren daar een oplossing voor door de limiet van vergelijking 30 te nemen: (29) voor > 0 (30) Deze SDE heeft een unieke oplossing, wat als de geometrische Brownse beweging gezien wordt: (( ) ) (31) ( ) (32) Wanneer we de logaritme nemen van de SDE, krijgen we vergelijking 32, die een normale verdeling volgt. Dus volgt zelf een lognormale verdeling. De geometrische Brownse beweging heeft een aantal voordelen voor het gebruik binnen het financieel modelleren. Ten eerste zijn de verwachte rendementen onafhankelijk van de waarde van het proces, in dit geval de aandelenkoers. Dat kunnen we in de realiteit ook verwachten. Daarnaast kunnen we enkel positieve waarden verwachten, wat in de financiële wereld ook het geval is. Een negatieve prijs is namelijk onmogelijk. We kunnen dus, vanuit economisch perspectief verwachten dat deze return in twee delen zal worden gesplitst: een systematisch en een willekeurig gedeelte. Uit het systematische, eerste deel van vergelijking 32 blijkt het volgende: we veronderstellen dat de verwachte return van een aandeel over een gegeven periode proportioneel is met de lengte van de beschouwde periode. Dat betekent dat over een erg kort tijdsinterval de verwachte stijging in S wordt gegeven door, waar een parameter is die de gemiddelde return van een aandeel weergeeft. Met andere woorden, het deterministisch deel van het rendement wordt gemodelleerd door. Een aandelenkoers fluctueert stochastisch en een redelijke assumptie zou zijn dat de variantie van het rendement over een bepaald tijdsinterval evenredig is aan de lengte van dit interval. Het willekeurige, tweede deel van de return wordt op zijn beurt gemodelleerd door. Die factor stelt de normaal verdeelde verstoringsterm 20 voor die de dynamiek van de aandelenkoers zal gaan bepalen. De andere parameter,, bepaalt hoeveel effect die ruisterm heeft of hoe volatiel het aandeel is. 20 Op die manier wordt aangetoond dat autocorrelatie onwenselijk is binnen een financiële dataset. 22

37 De GBB en de lognormale verdeling liggen ook aan de basis van de dynamiek van aandelenkoersen in het Black-Scholes model (1973). We hebben reeds aangehaald dat die assumptie de werkelijkheid niet volledig beschrijft aangezien de aandelenreturns geen (log)normale verdeling volgen. In wat volgt, staan we stil bij de implicaties voor het Black-Scholes-Merton model Black-Scholes-Merton model Voorgaande concepten worden nog steeds gebruikt, doorgaans onder de vorm van het Black-Scholes model 21. Aan de hand van dit model kunnen we een eenheidsprijs berekenen voor opties. Omdat dit model dagelijks wordt gebruikt in verschillende financiële markten, is het van primordiaal belang dit te beschrijven. Dat doen we andermaal om de lezer een beter inzicht te verschaffen in de gevolgen die verkeerde assumpties hebben op modellen. Wilmott (2006) beschreef enkele assumpties waarop het model gebouwd is. We overlopen er vijf van: 1. Itô proces: Het Itô-proces, genoemd naar Itô (1945), is een van de fundamentele assumpties. Het Black-Scholes model wordt gekenmerkt door een stochastische variabele die onafhankelijk en identiek verdeeld is. Een Itô-proces wordt gezien als een veralgemening van een Brownse beweging waarin de parameters en functies zijn van de waarde van zowel een onderliggend effect als van tijd. Wilmott (2006, p.79) stelde dat een Itô-proces kan wiskundig geschreven worden als: Een bepaald financieel effect is een functie van zowel de waarde van het onderliggende effect, als van de tijd op zich. Dat is de vergelijking van Itô s lemma en wordt geschreven als (Wilmott, 2006, p.80): (33) (34) Aan de hand van deze deelstelling kunnen we op eenvoudige wijze naar de Black-Scholes vergelijking gaan. Als eerste stap nemen we een Itô proces. Wanneer we de logaritme nemen van dit proces met behulp van Itô s lemma, dan krijgen we: (35) waar ( (36) ( ) (36) Nemen we een kortere periode dan t (met als het heden), krijgen we: ( ) (37) Dat leidt uiteindelijk tot de vergelijking van een geometrische Brownse beweging (cfr. vergelijking 33): (( ) ) (38) 21 We spreken doorgaans van het Black-Scholes model hoewel de bijdrage van Robert C. Merton van enorm belang was voor de theorie. Dit is ook de reden waarom Scholes en Merton de Nobelprijs voor Economie hebben gekregen. De reden waarom dat Black de Nobelprijs niet gekregen heeft, is omdat hij reeds overleden was. Dat is waarom we doorheen deze meesterproef zowel gebruik maken van de benaming Black-Scholes als van Black-Scholes-Merton. 23

38 2. Frictieloze markten: Frictieloze markten was een volgende fundamentele assumptie die Wilmott (2006) aangaf. Het model gaat uit van een markt waar onder meer geen transactiekosten en aanpassingskosten aanwezig zijn. Taleb (1996) stelde dat die assumptie, samen met de voorgaande, ervoor zorgde dat beleggers grote hoeveelheden aandelen kochten en verkochten om hun delta te wijzigen. Delta slaagt immers op de mate waarin de prijs van een optie verandert als de prijs van het onderliggende effect wijzigt. Wanneer een belegger geen enkele impact meer wil van prijswijzigingen in het onderliggende effect, moet men zich deltaneutraal maken. 3. Constante volatiliteit: Het gegeven volatiliteit hebben we reeds besproken toen we de evolutie van volatiliteit in Eurostoxx 50 in figuur 6 geplot hebben. Opvallend daarbij is dat de standaardafwijking een fluctuerend gegeven is. In het Black-Scholes-Merton model wordt dit als een constante factor beschouwd (cfr. infra voor een diepere uitwerking). Zoals vermeld, maken we onderscheid tussen de actuele en de implied volatiliteit. Taleb (1996) stelde dat het begrip volatiliteit betrekking heeft op koersbewegingen uit het verleden. In de optieleer heeft het begrip volatiliteit echter betrekking op verwachte koersen. Daarom dat we bij het Black-Scholes model gebruik maken van de verwachte volatiliteit. Die volatiliteit kan worden gemeten. Een populaire maatstaf is de zogenaamde VIX-index 22. Naast het meten ervan, kunnen we via meer gesofisticeerde aanpakken de volatiliteit eveneens schatten, bijvoorbeeld met GARCH-modellen 23 (Hull, 2011). 4. Geometrische Brownse beweging: Wilmott (2006) stelde dat een veronderstelling van het Black-Scholes model was dat aandelenreturns een geometrische Brownse beweging volgden. We hebben die veronderstelling reeds in sectie uitvoerig besproken. Dat heeft echter serieuze implicaties met betrekking tot de verdelingsfunctie van de returns. Door die assumptie gaat men uit van een lognormale verdeling voor de beschrijving van de aandelenkoers. Zoals bewezen, wordt dit niet als waarheidsgetrouw aangenomen. 5. Constante driftfactor: Een laatste assumptie die Wilmott (2006) voorstelde was de constante driftfactor. De gemiddelde verandering per tijdseenheid van een bepaald stochastisch proces wordt ook wel de overloopsnelheid (in het Engels drift rate) genoemd en de variantie per tijdseenheid wordt de variance rate genoemd. Een standaard Brownse beweging heeft een overloopsnelheid van 0 en een variantiegraad van 1. Dat houdt in dat de verwachte waarde van een aandelenkoers op elk toekomstig tijdstip gelijk is aan zijn huidige waarde. Een variantiegraad van 1 betekent dat de variantie van een verandering in zeker tijdsinterval met lengte T gelijk is aan T. Binnen het Black-Scholes-Merton model beschouwen we de drift rate als een constante factor. Aangezien we hebben aangetoond dat er weldegelijk sprongen mogelijk zijn in aandelenkoersen, is deze assumptie niet gegrond (cfr. figuur 10). Hull (2011) voegde aan deze assumpties nog vier belangrijke assumpties toe: 1. De risicovrije rente, r, is constant en gelijk voor alle vervaldagen; 2. Er zijn risicoloze arbitrage mogelijkheden; 3. We hebben een continue handel; 4. Het short verkopen van effecten met volledig gebruikt van middelen wordt toegestaan. 22 De VIX-index of voluit de Chicago Board Options Exchange Markt Voltaility Index is een sleutelgetal van marktverwachtingen voor impliciete volatiliteit volgens de optieprijzen van S&P500-index (CBOE, 2012). 23 GARCH staat voor Generealised Autoregressive conditional heteroskedasticity en werd ontwikkeld door Bollerslev (1992). Dit zijn modellen die gebruikt worden om bepaalde tijdsreeksen te modelleren en karakteriseren. 24

39 De Black-Scholes formule wordt gebruikt voor het berekenen van de prijs van een Europese 24 call- en putoptie. De prijs van dergelijke opties is consistent met de theorie die we hierboven hebben gegeven. We kunnen dit omvormen tot de beroemde Black-Scholes prijsformule (Black & Scholes,1973) 25. De waarde van een calloptie voor een financieel effect dat geen dividend uitkeert, wordt gegeven door: (39) ( ) ( ) (40) (41) In de formules staat voor de tijd tot vervaldag, voor de spotkoers van het onderliggend effect, voor de strike price van de optie, voor de risicovrije rente, voor de implied volatiliteit van returns van het onderliggend aandeel en tot slot voor de cumulatieve verdelingsfunctie van de standaard normale verdeling. De interpretatie van en is respectievelijk de kans dat de optie in-themoney zal eindigen, gegeven de risicovrije rente, en de kans dat de call uitgeoefend zal worden als men ervan uitgaat dat de risicovrije rente de aandelendrift is. Zo zien we op een andere manier dat het Black-Scholes model gebruik maakt van de normale verdeling als onderliggende verdelingsfunctie Volatiliteitclusters De geometrische Brownse beweging heeft ook enkele nadelen. Zoals we in hoofdstuk 1 reeds hebben gezien, is de volatiliteit van financiële effecten een fluctuerend gegeven. Bij een GBB wordt dit als een vaste factor gezien (cfr. vergelijking 32). In figuur 6 wordt het gegeven van volatiliteitcluster duidelijk: een volatiliteitcluster duidt op het feit dat periodes van lage volatiliteit sneller zullen worden opgevolgd door andere periodes met een lage volatiliteit en omgekeerd. Om dat te visualiseren, hebben we aan figuur 11 lijnen toegevoegd. Cont (2001) vermeldde dit als een van de empirische eigenschappen die hij observeerde na een studie van aandelenreturns. We komen hier in hoofdstuk 3 nog uitgebreid op terug. Daarnaast wees hij eveneens op het feit dat er bewijzen en economische argumenten zijn die suggereren dat aandelenreturns en implied volatiliteit negatief gecorreleerd zijn. Dat noemt men het Leverage Effect (cfr. hoofdstuk 3) data 1 x std y mean y std Figuur 11: De evolutie van standaardafwijking voor Eurostoxx 50 met referentielijnen. 24 Een calloptie is het recht om een bepaald onderliggend effect te kopen op een afgesproken datum en prijs. Het Europese aspect slaat op het feit dat dit recht enkel op eindvervaldag kan gebruikt worden. Een putoptie is het recht om een onderliggend effect te verkopen (Wilmott, 2006, p.26). 25 We hebben de notatie van de formule licht gewijzigd om consistentie in het gebruik van symbolen te bewaren. 25

40 Zoals we in de formule van de geometrische Brownse beweging zien, hebben we zowel een constante driftfactor als een constante volatiliteitfactor. Dat wordt in het Heston-model (Heston, 1993) opgelost. Daarin vervangen we de constante impliciete volatiliteit door een functie,. Op die manier krijgen we een vergelijking van de vorm: (42) waar (43) waar en respectievelijk het prijs- en volatiliteitproces is. Daarnaast hebben we in dit model ook twee verschillende SDE s. We beschrijven met een Wiener proces de evolutie van het effect, terwijl het andere Wiener proces dient om de stochastische volatiliteit te beschrijven,. In bovenstaande vergelijking noemt men een CIR-proces 26, naar een Markov-proces met continue paden van de onderzoekers Cox, Ingersoll en Ron. Met het Heston-model geven we aan dat er modellen bestaan die de drawbacks van Black-Scholes proberen op te lossen. Daarom kan men dit model beschouwen als een van de belangrijkste modellen met stochastische volatiliteit. (44) 26 Een CIR-proces is een bepaald Markov-proces met continue paden dat wordt gedefinieerd door de volgende stochastisch differentiaalvergelijking:. is een Wiener proces en, en zijn de parameters van het proces (Schoutens, 2003). 26

41 HOOFDSTUK 2: FAILLIET VAN DE NORMALE VERDELING De eerste fundamentele kritiek op de assumptie dat de prijs- of rendementsverdeling geen normale verdeling volgt, werd in 1963 door Mandelbrot gedaan. Hij was de eerste die normaliteit verwierp als verdelingsfunctie van rendementen. Na onderzoek op verschillende tijdsreeksen van grondstofprijzen en rentes, vermoedde Mandelbrot dat financiële rendementen meer accuraat werden omschreven door een niet-normale verdeling. Zijn ondervindingen werden door Fama verder onderzocht en leidden samen tot de aanvaarding van de hypothese dat aandelenreturns beter kunnen worden beschreven als een stabiele Paretoverdeling. De bezorgdheid in de financiële wereld was dermate groot. Kort na de publicaties van Mandelbrot schreef Cootner zijn ontstemdheid over Mandelsbrots bevindingen neer (Rachev et al., 2005, p.2). Hij waarschuwde dat: Almost without exception, past econometric work is meaningless. Surely, before consigning centuries of work to the ash pile, we should like to have some assurance that all our work is truly useless. If we have permitted ourselves to be fooled for as long as this into believing that the Gaussian assumption is a workable one, is it not possible that the Paretian revolution is similarly illusory? In dit hoofdstuk overlopen we hoe en waar de normale verdeling tekort schiet. Waar het in hoofdstuk 1 besproken onderzoek zich grotendeels situeerde in de periode vòòr 1960, gaan we in dit hoofdstuk verder met onderzoek vanaf We overlopen het werk van onder andere Mandelbrot en Fama en vergelijken dat met eigen bevindingen van Eurostoxx 50 voor de periode Hoewel we al op een ruwe manier hebben aangetoond dat de normale verdeling geen juiste beschrijving is van returns, geven we in dit hoofdstuk een uitgebreidere analyse van onze eerste hypothese. 1. Introductie op het faillissement 1.1. Inleidende opmerkingen Als we de normale verdeling in de financiële context hanteren, merken we een aantal nadelen op. Ten eerste heeft een belegger slechts gelimiteerde verliezen en kan hij dus nooit een groter verlies maken dan datgene wat hij geïnvesteerd heeft. De normale verdeling geeft toch een kans, die niet nul is, voor een verlies groter dan de initiële investering. Een tweede nadeel heeft te maken met de optelbaarheid van returns uit een enkelvoudige periode. De som van twee normaal verdeelde toevalsvariabelen is op zichzelf ook normaal verdeeld. Wanneer we echter van een enkelvoudige naar een meervoudige periode gaan en dus het product moeten nemen, krijgen we geen normaal verdeelde toevalsvariabele meer. Een derde nadeel heeft betrekking op de uitschieters van kansvariabelen. We hebben het over erg grote verliezen of winsten of andere extreme uitkomsten zoals een faillissement. Het probleem van de normale verdeling is dat ze een voorbeeld is uit de categorie dunstaartige verdelingen (light tailed distribution). Verdelingen die beter passen bij returns, kunnen we categoriseren als de dikstaartig (heavy tailed distribution). Dat betekent dat de kansdichtheid in hun staart aanzienlijk langzamer afneemt dan bij dunstaartige verdelingen. In deze meesterproef behandelen we ook de lichtstaartige verdeling (semi-heavy tailed distribution), waaronder de gammaverdeling valt. Op die manier proberen we een zo volledig mogelijk beeld van de verdelingsfunctie van aandelenreturns te geven. Index Gemiddelde Standaardafwijking Scheefheid Kurtosis DAX 0,0000 0,0165-0,0464 3,8720 Eurostoxx 50-0,0002 0,0161 0,0267 4,1904 FTSE 100-0,0001 0,0132-0,1126 5,5931 Nasdaq-Composite 0,0001 0,0185-0,0655 4,2583 S&P 500 0,0000 0,0139 0,1532 7,0474 Tabel 4: Vier statistische momenten voor enkele indices in de periode

42 Dichtheid Kans We hernemen tabel 4 om te duiden dat op het eerste gezicht de dagelijkse logreturns van belangrijke indices geen normale verdeling volgen. We merken, zoals reeds aangegeven, een verdeling op die een leptokurtisch karakter heeft. In volgende sectie gaan we dieper in op deze problematiek. In sectie hebben we de lognormale verdeling geïntroduceerd. Algemeen wordt aanvaard dat deze verdeling een goede verdelingsfunctie is voor de prijs van aandelen, terwijl de normale verdeling doorgaans gebruikt wordt voor de beschrijving van aandelenreturns. Dat is een van de assumpties uit het Black-Scholes model (Black & Scholes,1973). We gebruiken deze verdeling omdat geen negatieve waarden mogelijk zijn, wat in het geval van prijzen ook niet het geval is. In figuur 12 plotten we links de slotkoersen van Eurostoxx 50 tegenover een lognormale verdeling en rechts zetten we een kansplot van Eurostoxx 50 tegenover een lognormale verdeling. Hoewel we een gelijk verloop verwachten, merken we op dat die veronderstelling niet opgaat voor de twee grafieken. Daaruit blijkt dat Eurostoxx 50 geen lognormale verdeling volgt. Zoals we reeds in de inleiding hebben gesteld, ligt onze focus niet op de verdeling van de index zelf, maar op de returns van deze index. In dit hoofdstuk zoeken we naar modellen die een adequatere beschrijving geven voor aandelenreturns. x 10-4 Eurostoxx 50 Eurostoxx Eurostoxx 50 Lognormal distribution Eurostoxx 50 Lognormal distribution Indexwaarde Indexwaarde Figuur 12: De waarde van Eurostoxx 50 en kansplot tegenover de lognormale verdeling Kernel Density Estimators Naar analogie met het artikel van Schoutens (2003) bekijken we de empirische dichtheidsfunctie van de logaritmische returns van Eurostoxx 50. Om een benadering te maken van deze dichtheidsfunctie, maken we gebruik van een zogenaamde Kernel dichtheidsschatter (Kernel Density Estimators). Het doel van deze schattingen is om een verdeling te ontwikkelen voor een bepaalde toevalsvariabele, de logreturns, op een niet-parametrische wijze 27. Wanneer we n-onafhankelijke observaties hebben van een bepaalde toevalsvariabele wordt de Kernel dichtheidsschatter voor de schatting van de dichtheid van functie op het punt x gedefinieerd door: (45) waar de Kernelfunctie is, de bandwijdte en het aantal elementen uit de dataset. Hoewel er nog andere mogelijkheden zijn voor een Kernel dichtheidsfunctie, kiezen we ervoor om hier te werken met de normale Kernelschatter: ( ). In deze formule kiezen we zelf de bandwijdte. We maken gebruik van de vuistregel van Silverman met (Schoutens, 2008, p.13). 27 Niet-parametrische testen worden ook verdelingsvrije testen genoemd. Bij dergelijke testen worden geen veronderstellingen gemaakt van de onderliggende verdeling. Ze zijn daarom ook minder sterk dan parametrische testen. 28

43 Dichtheid Kernel Density Estimators Logreturn Normaal verdeling Kernel DE Logreturn Figuur 13: Kernel Density Estimator voor Eurostoxx 50. In figuur 13 plotten we de Gaussiaanse KDE-functie met inbegrip van de normale verdeling voor onze toevalsvariabele, dagelijkse logreturns. Zoals we in tabel 2 aantoonden, zien we een verdelingsfunctie met een vrij hoge piek. Dat betekent dat het grootste deel van de tijd de aandelenkoersen niet veel bewegen. We zitten met een aanzienlijke hoeveelheid observaties rond 0. De echte analyse voor deze conclusies zal uitvoerig besproken worden in sectie Gemiddelde frequentie onder normaliteit Naar analogie met Schoutens (2003) en De Grauwe (2008), halen we de vijf grootste uitschieters uit de Eurostoxx 50 index, om zo de kans te berekenen dat een dergelijke waarneming onder een normale verdeling zou plaatsvinden. Wanneer we werken met een financieel jaar 28, zien we dat een logreturn van -8,18% één keer om de 22053,19 jaar zal voorkomen. Een logreturn van 10,435% komt zelfs maar één keer om de jaar voor. Dat is een kans die buiten de lijn van de verwachtingen ligt volgens de normale verdeling en dus nog een indicatie dat het staartgedrag van de verdeling niet goed in kaart wordt gebracht. We moeten op zoek naar een betere verdelingsfunctie voor de returns. Datum Slotkoers Logreturn (1) Gemiddelde frequentie 6/10/ ,97-0, Eens om de 20778,62 jaar 10/10/ ,87-0, Eens om de 22053,19 jaar 13/10/ ,32 0, Eens om de ,6 jaar (1) Dagelijkse rendementen zijn berekend met een gemiddelde -0, en standaardafwijking 0, Tabel 5: Gemiddelde frequentie onder normaliteit voor uitschieters van Eurostoxx We definiëren een financieel jaar als een jaar met 255 dagen. 29

44 2. Toepassing in Eurostoxx 50 Zoals we in hoofdstuk 1 al hebben aangetoond, zijn veel modellen gebaseerd op de eigenschap van normaal verdeelde aandelenreturns. In hoofdstuk 3 introduceren we verscheidende theorieën die deze assumptie zullen verwerpen. In de volgende sectie controleren we op verschillende manieren of we de normaliteitassumptie voor Eurostoxx 50 al dan niet moeten verwerpen Test van relatieve frequentie Naar analogie van de paper Fama (1965), controleren we zijn hypothesen op de vijftig verschillende componenten van de Eurostoxx 50. Zoals reeds gezegd, gingen zowel Fama als Mandelbrot ervan uit dat aandelenreturns een Pareto-verdeling volgden. Fama kwam tot het besluit dat er meer frequentie rond het gemiddelde zat dan we zouden verwachten bij de standaard normale verdeling. Een manier om deze feiten eenvoudigweg te controleren, is een frequentieverdeling te maken van de logrendementen voor ieder aandeel afzonderlijk. We bekijken dus de empirische eigenschappen van prijsveranderingen binnen gegeven standaardafwijkingen tegenover het gemiddelde en vergelijken we dat met de verwachting uit een normale verdeling. We maken een tabel op met observaties van 0.5, 1, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 4.0 en 5.0 standaardafwijkingen van het gemiddelde voor ieder individueel aandeel. We verwachten dat er tussen 0 en 1.5 standaardafwijkingen van het gemiddelde meer cumulatieve relatieve frequentie zal zitten dan bij een normale verdeling. We hebben de waarden van de normale verdeling telkens in de bovenste rij weergegeven om in tabel 6 de cumulatieve relatieve frequentie weer te geven en in tabel 7 het exces van relatieve frequentie boven de normale verdeling. We geven in de tabel 6 slechts een steekproef van twintig bedrijven uit de index weer. De volledige tabel hebben we opgenomen als bijlage (cfr. bijlage 2). Aandeel Intervals 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 > 5,0 Normale verdeling 0,3829 0,6827 0,8664 0,9545 0,9876 0,9973 0,9999 1,0000 0,0000 AB-Inbev 0,5434 0,7975 0,9079 0,9536 0,9716 0,9830 0,9934 0,9972 0,0841 AirLiquide 0,4760 0,7543 0,8856 0,9444 0,9719 0,9827 0,9920 0,9984 0,0010 BASF 0,5061 0,7869 0,8920 0,9505 0,9735 0,9840 0,9949 0,9974 0,0016 BMW 0,5006 0,7649 0,8837 0,9412 0,9725 0,9872 0,9955 0,9984 0,0010 Carrefour 0,5051 0,7649 0,8856 0,9431 0,9687 0,9818 0,9952 0,9994 0,0000 Deutsche Bank 0,5482 0,8042 0,9016 0,9495 0,9687 0,9824 0,9911 0,9952 0,0029 E.ON 0,5227 0,7875 0,8958 0,9457 0,9703 0,9847 0,9936 0,9974 0,0013 FranceTélécom 0,5767 0,8026 0,8901 0,9428 0,9652 0,9824 0,9942 0,9978 0,0016 GroupeDanone 0,5035 0,7735 0,8930 0,9457 0,9725 0,9843 0,9939 0,9978 0,0010 INGGroup 0,6141 0,8198 0,9089 0,9482 0,9690 0,9818 0,9898 0,9955 0,0029 L Oréal 0,4607 0,7511 0,8824 0,9441 0,9732 0,9875 0,9936 0,9984 0,0010 MunichRe 0,5508 0,7949 0,8914 0,9371 0,9639 0,9796 0,9933 0,9968 0,0013 Nokia 0,5323 0,7748 0,8882 0,9454 0,9719 0,9853 0,9946 0,9971 0,0003 Philips 0,5077 0,7620 0,8818 0,9364 0,9671 0,9847 0,9968 0,9994 0,0003 RWE 0,5086 0,7780 0,8987 0,9470 0,9696 0,9808 0,9952 0,9978 0,0010 Sanofi 0,4885 0,7626 0,8847 0,9409 0,9719 0,9840 0,9955 0,9990 0,0003 Siemens 0,5073 0,7658 0,8859 0,9409 0,9725 0,9856 0,9958 0,9981 0,0006 Telefónica 0,5144 0,7773 0,8840 0,9390 0,9652 0,9812 0,9952 0,9984 0,0013 UniCredit 0,5821 0,8144 0,9026 0,9428 0,9658 0,9827 0,9904 0,9962 0,0013 Volkswagen Group 0,5115 0,7716 0,8981 0,9495 0,9748 0,9885 0,9952 0,9968 0,0013 Tabel 6: Cumulatieve relatieve frequentie voor 20 bedrijven van 2000 tot

45 De belangrijkste eigenschap die uit deze tabel naar voren komt, is gelijkwaardig aan de conclusies van Fama (1965): bij iedere component uit de Eurostoxx 50 hebben we een empirische verdeling met zowel hogere pieken in het centrum, als met langere staarten dan we zouden verwachten bij een normale verdeling. Die eigenschap komt is duidelijkst in tabel 7, waar we de buitensporige frequentie bekijken, naar voren. Alle waarden tussen 0.5, 1 en 1.5 standaardafwijkingen van het gemiddelde 29 kennen een positieve waarde. Dat impliceert dat er meer relatieve frequentie is dan we normaalgezien zouden verwachten. De hypothese van leptokurtosis vinden we eveneens bij de componenten van de Eurostoxx 50 index terug. Dat werd overigens bevestigd in hoofdstuk 1 aangezien we een gemiddelde kurtosis hadden voor de individuele aandelen van 7,7. Aandeel Intervals 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 > 5,0 Normale verdeling 0,3829 0,6827 0,8664 0,9545 0,9876 0,9973 0,9999 1,0000 0,0000 AB-Inbev 0,1605 0,1148 0,0415-0,0009-0,0160-0,0143-0,0065-0,0028 0,0841 AirLiquide 0,0931 0,0716 0,0192-0,0101-0,0157-0,0146-0,0079-0,0016 0,0010 BASF 0,1231 0,1042 0,0256-0,0040-0,0141-0,0133-0,0050-0,0026 0,0016 BMW 0,1177 0,0822 0,0173-0,0133-0,0151-0,0101-0,0044-0,0016 0,0010 Carrefour 0,1222 0,0822 0,0192-0,0114-0,0189-0,0155-0,0047-0,0006 0,0000 Deutsche Bank 0,1653 0,1215 0,0352-0,0050-0,0189-0,0149-0,0089-0,0048 0,0029 E.ON 0,1398 0,1049 0,0295-0,0088-0,0173-0,0126-0,0063-0,0026 0,0013 FranceTélécom 0,1938 0,1199 0,0237-0,0117-0,0224-0,0149-0,0057-0,0022 0,0016 GroupeDanone 0,1206 0,0908 0,0266-0,0088-0,0151-0,0130-0,0060-0,0022 0,0010 INGGroup 0,2311 0,1371 0,0426-0,0063-0,0186-0,0155-0,0102-0,0045 0,0029 L Oréal 0,0778 0,0684 0,0160-0,0104-0,0144-0,0098-0,0063-0,0016 0,0010 MunichRe 0,1679 0,1122 0,0250-0,0174-0,0237-0,0177-0,0066-0,0032 0,0013 Nokia 0,1493 0,0921 0,0218-0,0091-0,0157-0,0120-0,0054-0,0029 0,0003 Philips 0,1247 0,0793 0,0154-0,0181-0,0205-0,0126-0,0031-0,0006 0,0003 RWE 0,1257 0,0953 0,0323-0,0075-0,0179-0,0165-0,0047-0,0022 0,0010 Sanofi 0,1056 0,0799 0,0183-0,0136-0,0157-0,0133-0,0044-0,0010 0,0003 Siemens 0,1244 0,0831 0,0196-0,0136-0,0151-0,0117-0,0041-0,0019 0,0006 Telefónica 0,1315 0,0946 0,0176-0,0155-0,0224-0,0162-0,0047-0,0016 0,0013 UniCredit 0,1992 0,1317 0,0362-0,0117-0,0218-0,0146-0,0095-0,0038 0,0013 Volkswagen Group 0,1286 0,0889 0,0317-0,0050-0,0128-0,0088-0,0047-0,0032 0,0013 Gemiddelde 0,1423 0,1005 0,0285-0,0085-0,0169-0,0136-0,0059-0, Tabel 7: Het exces van cumulatieve relatieve frequentie van 20 bedrijven van 2000 tot In tabel 7 bekijken we het exces van cumulatieve frequentie boven de normale verdeling. We maken een directe vergelijking tussen de empirische verdelingsfunctie en de standaard normale verdeling. Op die manier kunnen we rechtstreeks conclusies trekken. Zoals reeds vermeld, vinden we de hypothese van leptokurtosis ook in deze tabel terug. De laatste kolom uit tabel 7 toont ons dat gemiddeld gezien het exces van relatieve frequentie boven 5 standaardafwijkingen van het gemiddelde bij benadering 2,46% is. Die bevinding is erg misleidend, aangezien we onder normale hypothese een gemiddelde frequentie van % zouden verwachten: de geobserveerde frequentie is dus bij benadering keer groter dan de verwachte frequentie. 29 We dienen hier op te merken dat het afwijkingen zijn in zowel positieve als negatieve zin van het gemiddelde. 31

46 2.2. Test op normaliteit Kolmogorov-Smirnov Test Doorheen deze meesterproef maken we gebruik van een Kolmogorov-Smirnov test (KS-test) om de onderliggende verdeling van een bepaalde dataset te testen. Massey (1951) noemde dergelijke testen goodnes- of-fit testen omdat het een overeenkomst zoekt tussen de empirische en een theoretische verdeling. De nulhypothesen van dergelijke testen zijn telkens dezelfde: een bepaalde dataset volgt al dan niet een gegeven theoretische verdelingsfunctie. Dat kan zowel voor een normale verdeling, als een variance gamma- of een student t-verdeling zijn (cfr. infra voor toepassingen). De Kolmogorov-Smirnov test zoekt het absolute maximale verschil tussen een specifieke cumulatieve of een empirische verdelingsfunctie (EVF) en een theoretische verdelingsfunctie (TVF). We schrijven dit mathematisch als: waar staat voor een cumulatieve verdelingsfunctie van een toevalsvariabele en voor een theoretische verdeling met observaties. De waarde,, die we bekomen, zetten we tegenover een theoretische Kolmogorv-Smirnov waarde. Die theoretische waarde, ook de kritieke waarde genoemd, geven we weer in tabel 8 30 voor 4 verschillende significantieniveaus. Wanneer de berekende waarde,, uit de dataset groter is dan die theoretische waarde, dienen we de nulhypothese te verwerpen. n N > 45 Tabel 8: Kolmogorov-Smirnov kritieke waarden. Massay (1951, p.71) maakte een grafische voorstelling van de test: (46) Figuur 14: Kolmogorov-Smirnov Test. In figuur 14 zien we het grootste verschil tussen de empirische en theoretische verdelingsfunctie tevoorschijn komen. In formule 47 zagen we dat net dit verschil genomen wordt om de kritieke waarde te berekenen. In een volgende sectie passen we deze statistische test toe op de Eurostoxx 50 index voor de normale verdeling en in sectie 3.4 voor de student t-verdeling. 30 Tabel 8 bevat waarden van zodat. 32

47 Frequentie Logreturn Toepassing op Eurostoxx 50 We toonden in vorige sectie aan dat de individuele componenten een leptokurtotische vorm hebben. Hier bouwen we verder op die bevinding door zowel op een beschrijvende als een grafische manier dezelfde hypothese te testen voor de volledige Eurostoxx 50 index. We testen op enkele grafische manieren de normaliteitshypothese. Hoewel tabel 7 ons vrij afwijkende kengetallen liet zien, maken we dat in deze sectie op een andere manier duidelijk. Ten eerste plotten we de logaritmische returns van Eurostoxx 50 met daarnaast de plot van een normale verdeling. De resultaten zijn weergegeven in figuur 15. Het fluctuerende karakter doet ons de eerste hypothese verwerpen. Ten tweede maken we een histogram van de returns om op een grafische manier de verschillen tegenover de klokkromme te tonen. Uit figuur 16 blijkt dat de hoge piek perfect in de lijn ligt van de voorgaande bevindingen. 0.1 Eurostoxx Tijd (in dagen) Figuur 15: De logreturns van Eurostoxx 50 tegenover de normale verdeling. 400 Eurostoxx Logreturn Figuur 16: Een histogram van de logreturns van Eurostoxx

48 Kwantielen Logreturns Kans 0.12 QQ Plot Logreturn tegenover Normaal verdeling Kansdiagram voor de Normaal verdeling Standaad normaal kwantielen Logreturn Figuur 17: QQplot en kansplot voor logreturns van Eurostoxx 50 tegenover normale verdeling. Tot slot vergelijken we de standaardnormaal kwantielen met de geobserveerde kwantielen in het QQplot. Een perfect normaal verdeelde toevalsvariabelen heeft geen afwijkingen van de klokkromme. Bij dergelijke variabelen zien we een QQ-plot als een rechte door de oorsprong. Figuur 17 toont ons aan de linkerkant de geobserveerde kwantielen van de logreturns van Eurostoxx 50. De grote afwijkingen van deze rechte doen ons onze eerste hypothese verwerpen. Een gelijkaardig beeld zien we aan de rechterkant. In deze grafiek werken we niet meer met de kwantielen zoals in het QQplot maar met een kansdichtheid. Dezelfde tendens springt opnieuw in het oog: een normaal verdeelde toevalsvariabelen heeft een kansplot die overeenkomt met een rechte. Ook in deze grafiek zien we een afwijking van de normale verdeling. We hebben nu op drie verschillende manieren grafisch de normaliteitshypothese verworpen. Aan de hand van een meer beschrijvende test, willen we tot sluitende conclusies komen. Daarom testen we onze grafische bevindingen via een normaliteittoets 31. Zoals onder meer Mandelbrot (1963) en Fama (1965) reeds bewezen, volgen prijsveranderingen van financiële activa geen normale verdeling. Aan de hand van hun conclusies, stellen ze een alfa-stabiele verdeling voor. Hun initiële nulhypothese, een normale verdeling als onderliggende verdelingsfunctie, gaan we hier aan de hand van een Kolmogorv- Smirnov test na. In figuur 18 geven we via een Kolmgorov-Smirnov-test weer of Eurostoxx 50 al dan niet een normale verdeling volgt. Zoals we reeds op een grafische manier hebben aangetoond, moeten we onze eerste nulhypothese verwerpen omdat de overschrijdingskans klein is. Met een significantie van 5% kunnen we besluiten dat de logaritmische rendementen van Eurostoxx 50 geen normale verdeling volgen Figuur 18: De Kolmogorov-Smirnov normaliteitstoets voor de logreturns van Eurostoxx Zoals aangehaald behandelen we enkel de Kolmogorov-Smirnov test maar voor de volledigheid van onze analyse hebben we op de beschouwde dataset ook de Shapiro-Wilk-toets toegepast. We moeten echter de nulhypothese verwerpen aangezien de overschrijdingskans ook hier enorm klein is (0.000). 34

SPSS Introductiecursus. Sanne Hoeks Mattie Lenzen

SPSS Introductiecursus. Sanne Hoeks Mattie Lenzen SPSS Introductiecursus Sanne Hoeks Mattie Lenzen Statistiek, waarom? Doel van het onderzoek om nieuwe feiten van de werkelijkheid vast te stellen door middel van systematisch onderzoek en empirische verzamelen

Nadere informatie

Het verhaal van de financiële staart Jan Beirlant, Goedele Dierckx Universitair Centrum voor Statistiek en Departement Wiskunde, KULeuven

Het verhaal van de financiële staart Jan Beirlant, Goedele Dierckx Universitair Centrum voor Statistiek en Departement Wiskunde, KULeuven Het verhaal van de financiële staart Jan Beirlant, Goedele Dierckx Universitair Centrum voor Statistiek en Departement Wiskunde, KULeuven In het secundair onderwijs wordt de 8-uur wiskunde nauwelijks nog

Nadere informatie

Cursus TEO: Theorie en Empirisch Onderzoek. Practicum 2: Herhaling BIS 11 februari 2015

Cursus TEO: Theorie en Empirisch Onderzoek. Practicum 2: Herhaling BIS 11 februari 2015 Cursus TEO: Theorie en Empirisch Onderzoek Practicum 2: Herhaling BIS 11 februari 2015 Centrale tendentie Centrale tendentie wordt meestal afgemeten aan twee maten: Mediaan: de middelste waarneming, 50%

Nadere informatie

Grote investeringen, grote winsten? Roland de Bruijn en Dirk Korbee

Grote investeringen, grote winsten? Roland de Bruijn en Dirk Korbee Grote investeringen, grote winsten? Roland de Bruijn en Dirk Korbee Het Financieel Dagblad stond er een tijd geleden vol mee, met bedrijven die enorme investeringen doen. Miljarden guldens worden betaald

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek DD14) op vrijdag 17 maart 006, 9.00-1.00 uur. UITWERKINGEN 1. Methoden om schatters te vinden a) De aannemelijkheidsfunctie

Nadere informatie

HOOFDSTUK VI NIET-PARAMETRISCHE (VERDELINGSVRIJE) STATISTIEK

HOOFDSTUK VI NIET-PARAMETRISCHE (VERDELINGSVRIJE) STATISTIEK HOOFDSTUK VI NIET-PARAMETRISCHE (VERDELINGSVRIJE) STATISTIEK 1 1. INLEIDING Parametrische statistiek: Normale Verdeling Niet-parametrische statistiek: Verdelingsvrij Keuze tussen de twee benaderingen I.

Nadere informatie

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8 Tentamen Statistische methoden 4052STAMEY juli 203, 9:00 2:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het meerkeuzevragenformulier uw Delftse studienummer in (tbv automatische verwerking); en op het open

Nadere informatie

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur.

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (WS05), vrijdag 9 oktober 010, van 14.00 17.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback

Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback Correcte alternatieven worden door een sterretje aangeduid. 1 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Twee derden van de mannen

Nadere informatie

Oefenopgaven Hoofdstuk 7

Oefenopgaven Hoofdstuk 7 Oefenopgaven Hoofdstuk 7 Opgave 1 Rendement Een beleggingsadviseur heeft de keuze uit de volgende twee beleggingsportefeuilles: Portefeuille a Portefeuille b Verwacht rendement 12% 12% Variantie 8% 10%

Nadere informatie

Infosessie Datastream Handleiding

Infosessie Datastream Handleiding Infosessie Datastream Handleiding In onderstaande handleiding worden enkele basisprincipes van het zoeken naar gegevens in Datastream geïllustreerd. Voor meer achtergrond informatie over de software wordt

Nadere informatie

Financiële economie. Opbrengsvoet en risico van een aandeel

Financiële economie. Opbrengsvoet en risico van een aandeel Financiële economie Opbrengsvoet en risico van een aandeel Financiële economen gebruiken de wiskundige verwachting E(x) van de opbrengstvoet x als een maatstaf van de verwachte opbrengstvoet, en de standaardafwijking

Nadere informatie

Vertaling van enkele termen uit de kansrekening en statistiek alternative hypothesis alternatieve hypothese approximate methods benaderende methoden asymptotic variance asymptotische variantie asymptotically

Nadere informatie

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens

Nadere informatie

OEFENINGEN HOOFDSTUK 6

OEFENINGEN HOOFDSTUK 6 OEFENINGEN HOOFDSTUK 6 1 OEFENING 1 EEN INDIVIDU NEEMT EEN BELEGGING IN OVERWEGING MET VOLGENDE MOGELIJKE RENDEMENTEN EN HUN WAARSCHIJNLIJKHEDEN VAN VOORKOMEN: RENDEMENTEN -0,10 0,00 0,10 0,0 0,30 WAARSCHIJNLIJKHEID

Nadere informatie

We illustreren deze werkwijze opnieuw a.h.v. de steekproef van de geboortegewichten

We illustreren deze werkwijze opnieuw a.h.v. de steekproef van de geboortegewichten Hoofdstuk 8 Betrouwbaarheidsintervallen In het vorige hoofdstuk lieten we zien hoe het mogelijk is om over een ongekende karakteristiek van een populatie hypothesen te formuleren. Een andere manier van

Nadere informatie

Om in te tekenen. Stuur het bijgevoegde inschrijvingsformulier terug in de voorgefrankeerde omslag.

Om in te tekenen. Stuur het bijgevoegde inschrijvingsformulier terug in de voorgefrankeerde omslag. Om in te tekenen Stuur het bijgevoegde inschrijvingsformulier terug in de voorgefrankeerde omslag. Surf naar www.deutschebank.be en teken in via internet. Een eenvoudige, veilige en comfortabele manier

Nadere informatie

HOOFDSTUK IV TOETSEN VAN STATISTISCHE HYPOTHESEN

HOOFDSTUK IV TOETSEN VAN STATISTISCHE HYPOTHESEN HOOFDSTUK IV TOETSEN VAN STATISTISCHE HYPOTHESEN 4.1 PARAMETERTOESTEN 1 A. Toetsen van het gemiddelde Beschouw een steekproef X 1, X,, X n van n onafhankelijke N(µ, σ) verdeelde kansveranderlijken Men

Nadere informatie

Migrerende euromunten

Migrerende euromunten Migrerende euromunten Inleiding Op 1 januari 2002 werden in vijftien Europese landen (twaalf grote en drie heel kleine) euromunten en - biljetten in omloop gebracht. Wat de munten betreft, ging het in

Nadere informatie

Implementations of Tests on the Exogeneity of Selected Variables and Their Performance in Practice M. Pleus

Implementations of Tests on the Exogeneity of Selected Variables and Their Performance in Practice M. Pleus Implementations of Tests on the Exogeneity of Selected Variables and Their Performance in Practice M. Pleus Dat economie in essentie geen experimentele wetenschap is maakt de econometrie tot een onmisbaar

Nadere informatie

Rendement. 9 de jaargang maart 2015 nr 30 FINANCIEEL NIEUWS

Rendement. 9 de jaargang maart 2015 nr 30 FINANCIEEL NIEUWS Rendement 9 de jaargang maart 2015 nr 30 FINANCIEEL NIEUWS De voordelen van globale diversificatie Ondanks de sterk toegenomen globalisering blijft internationale diversificatie in aandelenportefeuilles

Nadere informatie

Bijlage bij Eindverslag van de Nomenclatuurcommissie Wiskunde september 2007

Bijlage bij Eindverslag van de Nomenclatuurcommissie Wiskunde september 2007 Bijlage bij Eindverslag van de Nomenclatuurcommissie Wiskunde september 2007 zie havo vwo aantonen 1 aanzicht absolute waarde afgeleide (functie) notatie met accent: bijvoorbeeld f'(x), f' notatie met

Nadere informatie

Marktwaarde per aandeel. Winst per aandeel (WPA)

Marktwaarde per aandeel. Winst per aandeel (WPA) Wat betekent k/boekwaarde (koers/boekwaarde)- of K/B-ratio? Een ratio die de marktwaarde van een aandeel vergelijkt met zijn boekwaarde. De ratio wordt berekend door de actuele slotkoers van het aandeel

Nadere informatie

6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling.

6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling. Opgaven hoofdstuk 6 I Learning the Mechanics 6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling. De random variabele x wordt tweemaal waargenomen. Ga na dat, indien de waarnemingen

Nadere informatie

Rentabiliteitsratio s

Rentabiliteitsratio s 18 Rentabiliteitsratio s Nu we de begrippen balans, resultatenrekening en kasstromentabel onder de knie hebben, kunnen we overgaan tot het meer interessante werk, nl. het onderzoek naar de performantie

Nadere informatie

Enkelvoudige ANOVA Onderzoeksvraag Voorwaarden

Enkelvoudige ANOVA Onderzoeksvraag Voorwaarden Er is onderzoek gedaan naar rouw na het overlijden van een huisdier (contactpersoon: Karolijne van der Houwen (Klinische Psychologie)). Mensen konden op internet een vragenlijst invullen. Daarin werd gevraagd

Nadere informatie

Portfolio-optimalisatie

Portfolio-optimalisatie Portfolio-optimalisatie Abdelhak Chahid Mohamed, Tom Schotel 28 februari 2013 Voorwoord Dit dictaat is geschreven ter voorbereiding op de presentatie van 5 maart die gegeven zal worden door twee adviseurs

Nadere informatie

De actuariële aspecten van het nieuw prudentieel kader voor IBP s. Verband tussen het nieuw prudentieel kader en de actuariële praktijken

De actuariële aspecten van het nieuw prudentieel kader voor IBP s. Verband tussen het nieuw prudentieel kader en de actuariële praktijken De actuariële aspecten van het nieuw prudentieel kader voor IBP s Verband tussen het nieuw prudentieel kader en de actuariële praktijken 6 december 2007 1 Verband tussen het nieuw prudentieel kader en

Nadere informatie

Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010

Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010 Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010 Het correcte antwoord wordt aangeduid door een sterretje. 1 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Een derde van de mannen is

Nadere informatie

Verklarende Statistiek: Toetsen. Zat ik nou in dat kritische gebied of niet?

Verklarende Statistiek: Toetsen. Zat ik nou in dat kritische gebied of niet? Verklarende Statistiek: Toetsen Zat ik nou in dat kritische gebied of niet? Toetsen, Overzicht Nulhypothese - Alternatieve hypothese (voorbeeld: toets voor p = p o in binomiale steekproef) Betrouwbaarheid

Nadere informatie

toetsende statistiek deze week: wat hebben we al geleerd? Frank Busing, Universiteit Leiden

toetsende statistiek deze week: wat hebben we al geleerd? Frank Busing, Universiteit Leiden toetsende statistiek week 1: kansen en random variabelen week 2: de steekproevenverdeling week 3: schatten en toetsen: de z-toets week 4: het toetsen van gemiddelden: de t-toets Moore, McCabe, and Craig.

Nadere informatie

Gender: de ideale mix

Gender: de ideale mix Inleiding 'Zou de financiële crisis even hard hebben toegeslaan als de Lehman Brothers de Lehman Sisters waren geweest?' The Economist wijdde er vorige maand een artikel aan: de toename van vrouwen in

Nadere informatie

Equitisation and Stock-Market Development

Equitisation and Stock-Market Development Samenvatting In deze dissertatie worden twee belangrijke vraagstukken met betrekking tot het proces van economische hervorming in Vietnam behandeld, te weten de Vietnamese variant van privatisering (equitisation)

Nadere informatie

EEN SIMULATIESTUDIE VAN DE SCHEDULE CONTROL INDEX

EEN SIMULATIESTUDIE VAN DE SCHEDULE CONTROL INDEX EEN SIMULATIESTUDIE VAN DE SCHEDULE CONTROL INDEX Universiteit Gent Faculteit economie en bedrijfskunde Student X Tussentijds Rapport Promotor: prof. dr. M. Vanhoucke Begeleider: Y Academiejaar 20XX-20XX

Nadere informatie

Nieuwe inzichten voor ALM analyse naar aanleiding van de krediet crisis

Nieuwe inzichten voor ALM analyse naar aanleiding van de krediet crisis Nieuwe inzichten voor ALM analyse naar aanleiding van de krediet crisis Peter Vlaar Hoofd ALM modellering APG VBA ALM congres 5 november 2009 Agenda Karakteristieken van de kredietcrisis? Hoe kunnen we

Nadere informatie

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2 1 INLEIDING 1 Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2 Volg stap voor stap de tekst en los de vragen op. Bedoeling is dat je op het einde van de rit een verzorgd verslag afgeeft

Nadere informatie

Statistiek 2 deel A 30 minuten over statistisch toetsen

Statistiek 2 deel A 30 minuten over statistisch toetsen Statistiek 2 deel A 30 minuten over statistisch toetsen R.J. Baars, MSc Kruytgebouw N710 r.j.baars@uu.nl februari 2014 Opbouw van statistiek Statistiek 1 (periode 2: vandaag) Dit college + zelfstudie +

Nadere informatie

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN IGNACE VAN DE WOESTNE. Inleiding In diverse wetenschappelijke disciplines maakt men gebruik van functies om fenomenen of processen te beschrijven. Hiervoor biedt

Nadere informatie

Monte Carlo-analyses waarschijnlijkheids- en nauwkeurigheidsberekeningen van

Monte Carlo-analyses waarschijnlijkheids- en nauwkeurigheidsberekeningen van Waarom gebruiken we Monte Carlo analyses? Bert Brandts Monte Carlo-analyses waarschijnlijkheids- en nauwkeurigheidsberekeningen van gebeurtenissen kunnen een bruikbaar instrument zijn om de post Onvoorzien

Nadere informatie

CVO PANTA RHEI - Schoonmeersstraat 26 9000 GENT 09 335 22 22. Soorten stochastische variabelen (discrete versus continue)

CVO PANTA RHEI - Schoonmeersstraat 26 9000 GENT 09 335 22 22. Soorten stochastische variabelen (discrete versus continue) identificatie opleiding Marketing modulenaam Statistiek code module A12 goedkeuring door aantal lestijden 80 studiepunten datum goedkeuring structuurschema / volgtijdelijkheid link: inhoud link leerplan:

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Technische Universiteit Delft Mekelweg 4 Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica 2628 CD Delft Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Formulebladen, rekenmachines,

Nadere informatie

Meervoudige ANOVA Onderzoeksvraag Voorwaarden

Meervoudige ANOVA Onderzoeksvraag Voorwaarden Er is onderzoek gedaan naar rouw na het overlijden van een huisdier (contactpersoon: Karolijne van der Houwen (Klinische Psychologie)). Mensen konden op internet een vragenlijst invullen. Daarin werd gevraagd

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek I Tjing Opgave 1. Het aantal hoofdstukken in de I Tjing correspondeert met het totale aantal

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamenopgaven Statistiek 2DD71: UITWERKINGEN 1. Stroopwafels a De som S van de 12 gewichten is X 1 + X 2 + + X 12. Deze is normaal

Nadere informatie

Het beste scenario voor uw belegging

Het beste scenario voor uw belegging db Best Strategy Notes Het beste scenario voor uw belegging gegarandeerd de beste strategie een gediversifieerde belegging een coupon van maximum 25% bruto* op vervaldag een korte looptijd van 2,5 jaar

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics

Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Discounters: Risicovol of Risicoloos? (Engelse titel: Discounters: Riskful or riskless?)

Nadere informatie

aandeelprijs op t = T 8.5 e 9 e 9.5 e 10 e 10.5 e 11 e 11.5 e

aandeelprijs op t = T 8.5 e 9 e 9.5 e 10 e 10.5 e 11 e 11.5 e 1 Technische Universiteit Delft Fac. Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tussentoets Waarderen van Derivaten, Wi 3405TU Vrijdag november 01 9:00-11:00 ( uurs tentamen) 1. a. De koers van het aandeel

Nadere informatie

Tentamen Principes van Asset Trading (WI3418TU) 21 januari 2015 van 18.30-21.30

Tentamen Principes van Asset Trading (WI3418TU) 21 januari 2015 van 18.30-21.30 Technische Universiteit Delft Tentamen Principes van Asset Trading (WI3418TU) 21 januari 2015 van 18.30-21.30 Het tentamen bestaat uit twee delen, die gelijk gewicht hebben. Het eerste deel bestaat uit

Nadere informatie

Klantonderzoek: statistiek!

Klantonderzoek: statistiek! Klantonderzoek: statistiek! Statistiek bij klantonderzoek Om de resultaten van klantonderzoek juist te interpreteren is het belangrijk de juiste analyses uit te voeren. Vaak worden de mogelijkheden van

Nadere informatie

Reële karakteristieken van beleggingscategorieën

Reële karakteristieken van beleggingscategorieën Reële karakteristieken van beleggingscategorieën Henk Hoek ORTEC Postbus 4074 3006 AB Rotterdam Max Euwelaan 78 Tel. +31 (0)10 498 6666 info@ortec.com www.ortec.com 6 november 2008 Inleiding: nominaal

Nadere informatie

Zowel correlatie als regressie meten statistische samenhang Correlatie: geen oorzakelijk verband verondersteld: X Y

Zowel correlatie als regressie meten statistische samenhang Correlatie: geen oorzakelijk verband verondersteld: X Y 1 Regressie analyse Zowel correlatie als regressie meten statistische samenhang Correlatie: geen oorzakelijk verband verondersteld: X Y Regressie: wel een oorzakelijk verband verondersteld: X Y Voorbeeld

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2), Vrijdag 24 januari 24, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Schriftelijk examen statistiek, data-analyse en informatica. Maandag 29 mei 1995

Schriftelijk examen statistiek, data-analyse en informatica. Maandag 29 mei 1995 Schriftelijk examen statistiek, data-analyse en informatica Maandag 29 mei 1995 Tweede jaar kandidaat arts + Tweede jaar kandidaat in de biomedische wetenschappen Naam: Voornaam: Vraa Kengetal g Blad 1

Nadere informatie

Tentamen Biostatistiek 1 voor BMT (2DM40), op maandag 5 januari 2009 14.00-17.00 uur

Tentamen Biostatistiek 1 voor BMT (2DM40), op maandag 5 januari 2009 14.00-17.00 uur Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen Biostatistiek voor BMT (2DM4), op maandag 5 januari 29 4.-7. uur Bij het tentamen mag gebruik worden gemaakt van een zakrekenmachine en van een onbeschreven

Nadere informatie

Formules Excel Bedrijfsstatistiek

Formules Excel Bedrijfsstatistiek Formules Excel Bedrijfsstatistiek Hoofdstuk 2 Data en hun voorstelling AANTAL.ALS vb: AANTAL.ALS(A1 :B6,H1) Telt hoeveel keer (frequentie) de waarde die in H1 zit in A1:B6 voorkomt. Vooral bedoeld voor

Nadere informatie

Uitkomen voor de beste resultaten. DB Star Performer

Uitkomen voor de beste resultaten. DB Star Performer Uitkomen voor de beste resultaten DB Star Performer Gestimuleerd rendement Voordelen Hoe het werkt Simulatie aan de hand van historische gegevens geeft consistente resultaten op lange termijn Voordelen

Nadere informatie

Dutch Summary. Dutch Summary

Dutch Summary. Dutch Summary Dutch Summary Dutch Summary In dit proefschrift worden de effecten van financiële liberalisatie op economische groei, inkomensongelijkheid en financiële instabiliteit onderzocht. Specifiek worden hierbij

Nadere informatie

Risk Management. "Don't focus on making money; focus on protecting what you have." - Paul Tudor Jones

Risk Management. Don't focus on making money; focus on protecting what you have. - Paul Tudor Jones Risk Management "Don't focus on making money; focus on protecting what you have." - Paul Tudor Jones Inleiding Het doel van dit document is het introduceren van wat, denken wij, de belangrijkste factor

Nadere informatie

Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur.

Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur. Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur. Deze opdracht bestaat uit vier onderdelen; in elk onderdeel wordt gevraagd een Matlabprogramma te schrijven. De vier bijbehore bestanden stuur

Nadere informatie

Jongeren en Gezondheid 2014: Seksualiteit en Relaties

Jongeren en Gezondheid 2014: Seksualiteit en Relaties Jongeren en Gezondheid 14: Seksualiteit en Relaties Inleiding Tijdens hun puberjaren, ondergaan jongens en meisjes diepgaande biologische, cognitieve, emotionele en sociale veranderingen. Deze periode

Nadere informatie

User Profile Repository Testrapportage kwaliteit

User Profile Repository Testrapportage kwaliteit CatchPlus User Profile Repository Testrapportage kwaliteit Versie 1.1 User Profile Repository Testrapportage kwaliteit Versie: 1.1 Publicatiedatum: 20-4-2012 Vertrouwelijk GridLine B.V., 2012 Pagina 1

Nadere informatie

HAVO 4 wiskunde A. Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet kennen en kunnen....

HAVO 4 wiskunde A. Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet kennen en kunnen.... HAVO 4 wiskunde A Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet kennen en kunnen.... 1. rekenregels en verhoudingen Ik kan breuken vermenigvuldigen en delen. Ik ken de rekenregel breuk Ik kan

Nadere informatie

7.1 Toets voor het gemiddelde van een normale verdeling

7.1 Toets voor het gemiddelde van een normale verdeling Hoofdstuk 7 Toetsen van hypothesen Toetsen van hypothesen is, o.a. in de medische en chemische wereld, een veel gebruikte statistische techniek. Het wordt vaak gebruikt om een gevestigde norm eventueel

Nadere informatie

Themaonderzoek 2011 Winst per aandeel (IAS 33)

Themaonderzoek 2011 Winst per aandeel (IAS 33) Themaonderzoek 2011 Winst per aandeel (IAS 33) Toezicht Financiële Verslaggeving 27 oktober 2011 Autoriteit Financiële Markten De AFM bevordert eerlijke en transparante financiële markten. Wij zijn de

Nadere informatie

Nederlandse samenvatting (summary in Dutch)

Nederlandse samenvatting (summary in Dutch) Nederlandse samenvatting (summary in Dutch) Relatiemarketing is gericht op het ontwikkelen van winstgevende, lange termijn relaties met klanten in plaats van het realiseren van korte termijn transacties.

Nadere informatie

Niet de hoogte, wel de oppervlakte. Aandachtspunten bij. - statistische technieken voor een continue veranderlijke

Niet de hoogte, wel de oppervlakte. Aandachtspunten bij. - statistische technieken voor een continue veranderlijke Niet de hoogte, wel de oppervlakte Prof. dr. Herman Callaert Aandachtspunten bij - statistische technieken voor een continue veranderlijke - de interpretatie van een histogram - de normale dichtheidsfunctie

Nadere informatie

Robeco Emerging Conservative Equities

Robeco Emerging Conservative Equities INVESTMENT OPPORTUNITY oktober 2013 Voor professionals INTERVIEW MET PORTFOLIO MANAGER PIM VAN VLIET Robeco Emerging Conservative Equities Beleggen in opkomende markten met een lagere kans op grote koersdalingen.

Nadere informatie

Single, Double or Triple!

Single, Double or Triple! VFB 11ste T.A. - DAG Single, Double or Triple! Door P. Gins Mark Schils Directeur CompuGraphics Uitgever van beursgrafiek.be CompuGraphics & TransStock Reeds gegeven onderwerpen Het belang van de Stop-Loss

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamenopgaven Statistiek (2DD71) op xx-xx-xxxx, xx.00-xx.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamenopgaven Statistiek (2DD71) op xx-xx-xxxx, xx.00-xx.00 uur. VOORAF: Hieronder staat een aantal opgaven over de stof. Veel meer dan op het tentamen zelf gevraagd zullen worden. Op het tentamen zullen in totaal 20 onderdelen gevraagd worden. TECHNISCHE UNIVERSITEIT

Nadere informatie

Vandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 4. Recap: Hypothese toetsen. Recap: One-sample t-toets

Vandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 4. Recap: Hypothese toetsen. Recap: One-sample t-toets Vandaag Onderzoeksmethoden: Statistiek 4 Peter de Waal (gebaseerd op slides Peter de Waal, Marjan van den Akker) Departement Informatica Beta-faculteit, Universiteit Utrecht Recap: Hypothese toetsen t-toets

Nadere informatie

Statistiek: Centrummaten 12/6/2013. dr. Brenda Casteleyn

Statistiek: Centrummaten 12/6/2013. dr. Brenda Casteleyn Statistiek: Centrummaten 12/6/2013 dr. Brenda Casteleyn dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 2 1. Theorie 1) Nominaal niveau: Gebruik de Modus, dit is de meest frequente waarneming 2) Ordinaal niveau:

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie Inleveren: Uiterlijk 15 februari voor 16.00 in mijn postvakje Afspraken Overleg is toegestaan, maar iedereen levert zijn eigen werk in. Overschrijven

Nadere informatie

Hoe profiteert u optimaal van hefboomproducten in de huidige volatiele markten? Neelie Verlinden Commerzbank AG

Hoe profiteert u optimaal van hefboomproducten in de huidige volatiele markten? Neelie Verlinden Commerzbank AG Hoe profiteert u optimaal van hefboomproducten in de huidige volatiele markten? Neelie Verlinden Commerzbank AG Overzicht - Hefboomeffect : definitie - Kies een product passend bij uw profiel - Speeders

Nadere informatie

Domein A: Vaardigheden

Domein A: Vaardigheden Examenprogramma Wiskunde A havo Het eindexamen bestaat uit het centraal examen en het schoolexamen. Het examenprogramma bestaat uit de volgende domeinen: Domein A Vaardigheden Domein B Algebra en tellen

Nadere informatie

5.0 Voorkennis. Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram:

5.0 Voorkennis. Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram: 5.0 Voorkennis Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram: De lengte van de staven komt overeen met de hoeveelheid; De staven staan meestal los van

Nadere informatie

Research Note Prestatie-analyse met behulp van box plots

Research Note Prestatie-analyse met behulp van box plots Research Note Prestatie-analyse met behulp van box plots Inleiding Voortdurend worden er wereldwijd enorme hoeveelheden beursdata gegenereerd en verzameld. Dit is mede te danken aan de opkomst van internet

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Voorwoord van Hester van Herk... iii Voorwoord van Foeke van der Zee... iv Verantwoording... vi

Voorwoord van Hester van Herk... iii Voorwoord van Foeke van der Zee... iv Verantwoording... vi Inhoudsopgave Voorwoord van Hester van Herk... iii Voorwoord van Foeke van der Zee... iv Verantwoording... vi INTRODUCTIE... 1 1. Wat is onderzoek... 2 1.1 Een definitie van onderzoek... 2 1.2 De onderzoeker

Nadere informatie

ETF. Brochure bestemd voor particuliere beleggers INTERMEDIATE. Een onderneming van de KBC-groep

ETF. Brochure bestemd voor particuliere beleggers INTERMEDIATE. Een onderneming van de KBC-groep Brochure bestemd voor particuliere beleggers Gepubliceerd door KBC Securities in samen werking met Euronext. p. 2 Index 1. Inleiding 3 2. Fysieke ETF s 4 3. Synthetische ETF s 5 Voor- en nadelen 5 4. Inverse

Nadere informatie

11 e editie. Inhoudsopgaven VWO 5

11 e editie. Inhoudsopgaven VWO 5 11 e editie Inhoudsopgaven VWO 5 Inhoudsopgave 5 vwo A 1 Formules herleiden 1-1 Lineaire formules 1-2 Gebroken formules 1-3 Wortelformules 1-4 Machtsformules 1-5 Gemengde opdrachten 2 Statistiek (op computer)

Nadere informatie

in alle mogelijke mediaformaten, - bestaande en in de toekomst te ontwikkelen -, aan de Universiteit Hasselt.

in alle mogelijke mediaformaten, - bestaande en in de toekomst te ontwikkelen -, aan de Universiteit Hasselt. Auteursrechterlijke overeenkomst Opdat de Universiteit Hasselt uw eindverhandeling wereldwijd kan reproduceren, vertalen en distribueren is uw akkoord voor deze overeenkomst noodzakelijk. Gelieve de tijd

Nadere informatie

WISKUNDE D VWO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0

WISKUNDE D VWO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0 WISKUNDE D VWO VAKINFORMATIE STAATSEAMEN 2016 V15.7.0 De vakinformatie in dit document is vastgesteld door het College voor Toetsen en Examens (CvTE). Het CvTE is verantwoordelijk voor de afname van de

Nadere informatie

Samenvatting (Summary in Dutch)

Samenvatting (Summary in Dutch) Samenvatting (Summary in Dutch) In de afgelopen twintig jaar zijn patronen in rendementen van aandelen gevonden die niet vanuit de neo-klassieke economische theorie kunnen worden verklaard. Modellen als

Nadere informatie

Risicoprofielen voor Vermogensbeheer A la Carte

Risicoprofielen voor Vermogensbeheer A la Carte Risicoprofielen voor Vermogensbeheer A la Carte Inleiding Onze risicoprofielen 1. Wat is een risicoprofiel? 2. Wat zijn vermogenscategorieën? 3. Welke risicoprofielen gebruiken wij? Uw risicoprofiel 4.

Nadere informatie

Factor Certificaten op Indices

Factor Certificaten op Indices Factor Certificaten op Indices Deze producten bieden geen kapitaalgarantie Het basisprospectus betreffende de Factor Certificaten is goedgekeurd door het BaFin, de Duitse regulerende instantie. De producten

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), woensdag 30 juni 2010, van 9.00 12.00 uur.

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), woensdag 30 juni 2010, van 9.00 12.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (WS4), woensdag 3 juni, van 9.. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de

Nadere informatie

Microsoft Excel en statistiek, een praktijkvoorbeeld. ann.deraedt@howest.be 25 Feb 2014 @ VLHORA- Brussel

Microsoft Excel en statistiek, een praktijkvoorbeeld. ann.deraedt@howest.be 25 Feb 2014 @ VLHORA- Brussel Microsoft Excel en statistiek, een praktijkvoorbeeld ann.deraedt@howest.be 25 Feb 2014 @ VLHORA- Brussel 38 INTRODUCTIE Over de spreker: wat vertelt mijn professioneel netwerk op Linkedin? 3 Mijn hobby's

Nadere informatie

4. Resultaten. 4.1 Levensverwachting naar geslacht en opleidingsniveau

4. Resultaten. 4.1 Levensverwachting naar geslacht en opleidingsniveau 4. Het doel van deze studie is de verschillen in gezondheidsverwachting naar een socio-economisch gradiënt, met name naar het hoogst bereikte diploma, te beschrijven. Specifieke gegevens in enkel mortaliteit

Nadere informatie

Statistiek Casus Van het rechte pad

Statistiek Casus Van het rechte pad Statistiek Casus Van het rechte pad Remco van der Hofstad 6 mei 2003 Inhoudsopgave 1 Introductie 2 1.1 Soorten afwijkingen.................................... 2 2 Software 3 3 Beschrijvende statistiek

Nadere informatie

Beoordeling van investeringsvoorstellen

Beoordeling van investeringsvoorstellen Beoordeling van investeringsvoorstellen C2010 1 Beoordeling van investeringsvoorstellen Ir. drs. M. M. J. Latten 1. Inleiding C2010 3 2. De onderneming C2010 3 3. Investeringen G2010 3 4. Selectiecriteria

Nadere informatie

Onderbouwing van de rendementsverwachtingen 2014

Onderbouwing van de rendementsverwachtingen 2014 Onderbouwing van de rendementsverwachtingen 2014 Portfolio Management Ostrica BV Januari 2014 Rendementsverwachtingen Ostrica 2014 In dit document wordt een onderbouwing gegeven van de rendementsverwachtingen

Nadere informatie

WAAR JE ZIT IS WAAR JE STAAT

WAAR JE ZIT IS WAAR JE STAAT WAAR JE ZIT IS WAAR JE STAAT Posities als antecedenten van management-denken over concernstrategie ACHTERGROND (H. 1-3) Concernstrategie heeft betrekking op de manier waarop een concern zijn portfolio

Nadere informatie

We berekenen nog de effectgrootte aan de hand van formule 4.2 en rapporteren:

We berekenen nog de effectgrootte aan de hand van formule 4.2 en rapporteren: INDUCTIEVE STATISTIEK VOOR DE GEDRAGSWETENSCHAPPEN OPLOSSINGEN BIJ HOOFDSTUK 4 1. Toets met behulp van SPSS de hypothese van Evelien in verband met de baardlengte van metalfans. Ga na of je dezelfde conclusies

Nadere informatie

Officiële uitgave van het Koninkrijk der Nederlanden sinds 1814.

Officiële uitgave van het Koninkrijk der Nederlanden sinds 1814. STAATSCOURANT Officiële uitgave van het Koninkrijk der Nederlanden sinds 1814. Nr. 7228 14 maart 2014 Regeling van de Staatssecretaris van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap van 22 februari 2014, nr. VO/599178,

Nadere informatie

HET COBB-DOUGLAS MODEL ALS MODEL VOOR DE NUTSFUNCTIE IN DE ARBEIDSTHEORIE. 1. Inleiding

HET COBB-DOUGLAS MODEL ALS MODEL VOOR DE NUTSFUNCTIE IN DE ARBEIDSTHEORIE. 1. Inleiding HET COBB-DOUGLAS MODEL ALS MODEL VOOR DE NUTSFUNCTIE IN DE ARBEIDSTHEORIE IGNACE VAN DE WOESTYNE. Inleiding In zowel de theorie van het consumentengedrag als in de arbeidstheorie, beiden gesitueerd in

Nadere informatie

Interim Toegepaste Biostatistiek deel 1 14 december 2009 Versie A ANTWOORDEN

Interim Toegepaste Biostatistiek deel 1 14 december 2009 Versie A ANTWOORDEN Interim Toegepaste Biostatistiek deel december 2009 Versie A ANTWOORDEN C 2 B C A 5 C 6 B 7 B 8 B 9 D 0 D C 2 A B A 5 C Lever zowel het antwoordformulier als de interim toets in Versie A 2. Dit tentamen

Nadere informatie

Onderbouwing van de rendementsverwachtingen

Onderbouwing van de rendementsverwachtingen Onderbouwing van de rendementsverwachtingen 2013 Portfolio Management Ostrica BV Februari 2013 Rendementsverwachtingen Ostrica 2013 In dit document wordt een onderbouwing gegeven van de rendementsverwachtingen

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1

Examen VWO. wiskunde A1 wiskunde A1 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen; het examen bestaat uit 19 vragen. Voor

Nadere informatie

Schriftelijk tentamen - UITWERKINGEN

Schriftelijk tentamen - UITWERKINGEN Business Administration / Bedrijfskunde Schriftelijk tentamen - UITWERKINGEN Algemeen Vak : Statistische Methoden Groep : niet van toepassing en Technieken Vakcode : BKB0019t Soort tentamen : gesloten

Nadere informatie

Schriftelijk tentamen - UITWERKINGEN

Schriftelijk tentamen - UITWERKINGEN Business Administration / Bedrijfskunde Schriftelijk tentamen - UITWERKINGEN Algemeen Vak : Statistische Methoden Groep : niet van toepassing en Technieken Vakcode : BKB0019t Soort tentamen : gesloten

Nadere informatie