m C Trillingen FREQUENTIE De periode is 0,73 s. Bereken de frequentie.

Transcriptie

1 Trillingen FREQUENTIE De periode is 0,73 s. Bereken de frequentie. PERIODIEKE BEWEGING Een schijf met één stip wordt snel rondgedraaid. Het toerental van de schijf is 0 Hz. Je belicht de schijf met een stroboscoop met een flitsfrequentie van 1 Hz. Beredeneer wat je ziet. Dat kan op de achterkant. VEER Een veer hangt aan het plafond. Door er een blokje van 100 g aan te hangen rekt de veer 6,3 cm uit. Bevestig je onder aan dat blokje nog zo n zelfde blokje en laat je dat los, dan blijkt dat blokje te gaan trillen. De opeenvolgende situaties zijn geschetst in figuur. Bereken de trillingstijd. Als je leest: Een veer.... dan schrijf je meteen op m C Dat betekent dat je m en C moet kennen om T te kunnen uitrekenen. Als je leest: Door een blokje van 100 g rekt het 6,3 cm uit, denk je: F = Cu. De kracht die de veer uitrekt, is de zwaartekracht. Dus 0,100 9,81 = C 0,063 C = 15,57 N/m.(3) De massa die gaat trillen aan de veer is 00 g. m 0, 00 0, 71 s C 15, 57 Dus. VEER Een veer hangt aan een statief. De lengte van de veer is 3,0 cm; de massa verwaarloosbaar. Hangen we een blokje van 50 g eraan dan wordt de lengte 61,7 cm. Door hem cm op te tillen en los te laten gaat het een harmonische beweging uitvoeren. Bereken de frequentie waarmee het blokje gaat trillen. f 1 T In en m en F v C u C evenwicht is F v = F z Cu = mg C (0,617-0,30) = 0,50 9,81 C = 6,34 N/m m 0, 50 1, 48 s C 6, 337 f 1 T , 801 Hz,

2 VEERTJE Een blokje van 100 g hangt aan een veer met een veerconstante van 10 N/m. We trekken het blokje dat zich in de evenwichtsstand bevindt,,0 cm omlaag en laten het los. Bereken waar het blokje na 1,0 s is. Aan een veer met een veerconstante van 0 Nm -1 hangt men een blokje van 100 g. Dit blokje tilt men,0 cm op en laat het los zodat het gaat trillen. De trilling mag je als ongedempt beschouwen. A Bereken de trillingstijd van het blokje. B Bereken de snelheid als de fase 0,30 is. Via energiebehoud C Bereken de terugdrijvende kracht op het moment dat = 0,30.

3 SLINGER Een voorwerp van 1,019 kg krijgt een uitwijking van 0,90 m en wordt losgelaten. De terugdrijvende kracht fzt wordt als functie van de uitwijking u gemeten en is de enige die arbeid verricht. De uitwijking is gemeten langs de baan. Zie de grafiek. Deze staat vergroot op het antwoordvel. A B A B Bepaal de arbeid die door fzt wordt verricht als de uitwijking afneemt van 0,90 m tot 0 m, de evenwichtsstand. Voor kleine uitwijkingen is de beweging van het slingerende voorwerp als harmonisch te beschouwen en is m C. Bepaal C uit de verstrekte gegevens. De verrichte arbeid is de oppervlakte onder de grafiek. Deze is niet recht! We zullen dus zo goed mogelijk moeten benaderen. De arbeid is meer dan ½ 0,9 7,9 = 3,6 J, gebruik maken van het eindpunt en minder dan ½ 0,9 9,0 = 4,1 J, wat zou gelden als de lijn recht was. De verrichte arbeid is 3,8 J via de driehoek van de oorsprong naar punt (-0,9 ; 8,5). Voor kleine uitwijkingen is de beweging harmonisch. Dan is ook de terugdrijvende kracht evenredig met de uitwijking. We moeten dus naar het rechte stuk door de oorsprong kijken. Het geldt binnen de nauwkeurigheid van de gegevens van -0,4 m tot +0,4 m. Bij u = 0,40 m hoort fzt = 4,0 N C = F/u = 4,0 / 0,40 = 10 N/m

4 SLINGER Een slinger slingert met een trillingstijd van 1,40 s en de amplitude is 7,0 cm. Bereken de tophoek die de slinger maakt met de verticaal als de fase 10,60 is. Bereken daartoe eerst de uitwijking op dat moment. Een slinger slingert met een slingertijd van 1,40 s... l l 1, 40 g 9, 81 l = 0,487 m. u = A sin = 7 sin( 10,60) = - 4,11 cm u 4, 11 o sin 4, 8 l 48, 7 l u A SCHOMMEL Een plank aan twee even lange touwtjes van 3,00 m slingert heen en weer. Bereken de frequentie waarmee dat gebeurt. 7,0 cm B A B Als ik op het plankje ga zitten, worden de touwtjes 3,05 m lang. Je denkt misschien even dat daardoor de periode groter wordt. Dat is echter niet het geval, die wordt juist kleiner. Leg uit waarom. T = (L/g) = (3,00 / 9,81) = 3,47 s f = 1 / T = 0,88 Hz. De periode = slingertijd is onafhankelijk van de massa en amplitude. Die is afhankelijk van de lengte l. Een kleinere T moet verklaard worden met een kleinere l. De vraag is dus waarom l kleiner wordt als ik erop ga zitten. Nou mijn zwaartepunt zit niet in mijn kleine teen, maar kennelijk meer dan 5 cm boven het plankje. A B SPEELTUIN Opa en kleinkind gaan naar de speeltuin. Daar zijn twee schommels. Opa zet het kind op de schommel en duwt regelmatig, zodat het kind van 5 kg rustig schommelt met een frequentie van 0,5 Hz en een amplitude van 1,50 m. Bereken de lengte van de schommel. Opa (80 kg) gaat ook schommelen met een amplitude van 1,50 m op een schommel ernaast, die even lang is. Toch blijken opa en kleinkind niet even snel te schommelen. Opa gaat sneller, terwijl hij verder toch geen moeite doet. Leg uit waarom opa sneller gaat. l l a. 4, 0 l 4, 0 m g 9, 81 b. Opa sneller kan alleen maar betekenen dat l kleiner is. Als je een tekening maakt met twee slingers, één met kleinkind en één met opa, dan zul je opa groter moeten tekenen en zien dat het zwaartepunt van opa dichter bij het ophangpunt van de slinger ligt.

5 A B C A B C D SLINGER Tarzan(85 kg) slingert met een periode van 7,0 s aan een liaan. Bereken hoeveel hij omhoog zou moeten klimmen als hij met een periode van 3,5 s wilde slingeren. Een aap van 10 kg springt en houdt zich om de middel van Tarzan vast. Leid af in hoeverre de slingertijd van Tarzan hierdoor wordt beïnvloed. Bereken de snelheid van dat koppel Tarzan-aap direct naar de botsing als vlak voor de botsing Tarzan een snelheid van 1,0 m/s naar links had en de aap een van 4,0 m/s naar rechts. SLINGER Aan een touw van,07 m hangt men een kogeltje van 75 g. Men pakt het touwtje 1,60 m onder het ophangpunt vast, trekt met de andere hand het kogeltje 10 cm opzij en laat het kogeltje los, zodat het kan slingeren. Bereken de maximale kinetische energie waarmee het kogeltje gaat trillen. Bereken hoeveel het kogeltje tijdens zijn slingerbeweging omhoog gaat. Bereken hoe lang het kogeltje erover doet om vanuit de uiterste stand 1,0 cm naar de evenwichtsstand toe te bewegen. Bereken de fase als de kinetische energie het dubbele is van de potentiële energie. SLINGER MET ENERGIE Aan een koord slingert een koperen bol van 87 g op en neer met een periode van 3,4 s; de bol bereikt tijdens het slingeren een maximale snelheid van 0,0 m/s. A Leid af wat je als lengte van het koord verwacht. B Bereken de amplitude waarmee de bol slingert. C Bereken het quotiënt van kinetische en potentiële energie als = 0,36. D Leid af bij welke fasen de snelheid even groot is als bij = 0,36. Bij de slingers hebben we tot nu toe altijd afgezien van demping. Dat wil zeggen dat de amplitude van een slinger niet kleiner wordt in de loop van de tijd. In het echte leven is dat niet altijd het geval. E Beredeneer wat er met de trillingstijd gebeurd is, als door demping de amplitude nog maar de helft is van de startwaarde. VEERTJE Een voorwerp gaat harmonisch trillen met een frequentie van 0,65 Hz als het 1, cm onder de evenwichtsstand op t = 0 wordt losgelaten. a Maak een schets van de uitwijking als functie van de tijd van t = 0 tot t = T. b Bereken de uitwijking op het tijdstip t = 1,0 s. c Bereken de maximale snelheid van het trillende voorwerp. EIGENTRILLING De tweede-klassers moeten een blokje van 36 g hangen aan een veerunster met een schaalbereik van 0-1,0 N. Deze schaal is 8,0 cm lang. Bereken de eigenfrequentie van het veer-blokje-systeem.

6 Kubus Aan een koperen kubus met ribben van,0 cm zit in een hoekpunt een nylon koord vast van 100,0 cm lengte. Ik knip er een stukje af, pak het uiteinde stevig vast en laat de kubus zo slingeren. De periode blijkt 1,79 s te zijn. Bereken zo goed mogelijk(?!?) hoeveel ik eraf geknipt heb. l l 1,79 l 0,796 m g 9,81 Die lengte is de lengte van zwaartepunt tot ophangpunt. Het koord moet dus 1,7 cm korter zijn. Aan de andere kant moet het ook vastgehouden worden tussen duim en wijsvinger of tussen de nagels geklemd worden. Doe er nog maar 0,5 cm bij. Het koord moet dus 78,4 cm lang zijn. Knip er maar 1 cm af. TRILLINGSENERGIE Als de gereduceerde fase van een 500 g zwaar trillend voorwerp 0,40 is, blijkt de snelheid,00 m/s te zijn. Bereken de trillingsenergie van het trillende voorwerp. v(t) = v max cos,00 = v max cos ( 0,40) v max =,47 m/s. De trillingsenergie is de maximale kinetische energie = ½mv = ½ 0,500,47 = 1,53 J

7 ZWEVING: Op een beeldscherm bekijken we een zweving. Zie de linker afbeelding. De zweving voldoet aan de vergelijking u ( t ) sin( 500 t ) sin( 0, 3 t ) Een stukje van het beeld is vergroot weergegeven in de rechter afbeelding. Leid af hoe groot het aangegeven tijdsinterval is tussen de streeplijnen in de rechter afbeelding. UITWERKING: De vergelijking geeft aan dat de snelle trilling met 500 Hz gaat en het langzame buitenpatroon met 0,3 Hz. Wat je rechts ziet is de snelle trilling. Hiervan is één trilling aangegeven. Dat betekent 1/500 s =,00 ms.

8 ENERGIE Een voorwerp van 450 g slingert aan een touw van 3,00 m lengte, waarbij het touw in de uiterste stand een hoek van 30 maakt met de verticaal. Het voorwerp passeert op t = 0 de verticaal. Bereken de maximale snelheid van het slingerende voorwerp. Bereken de gereduceerde fase van een moment waarop de snelheid 0% is van de maximale snelheid. Geef in een schets van de u,t-grafiek het bewuste moment aan. Uitwerking Voor het uitrekenen van de maximale snelheid kun uitgaan van de energie en van de vergelijkingen van een trillend voorwerp. je Energie: De potentiële energie van de uiterste stand wordt omgezet in kinetische energie in het laagste punt. Dus mgh = ½mv 9,81 h = ½ v. De hoogte leiden we af uit de geometrie en is h = 0,40 m, waarmee v =,80 m/s. Trilling/slinger: l 3, 00 3, 47s g 9, 81 en v max fa,, 3, m / s. De grootte van de amplitude leiden we af uit de geometrie. Als de snelheid 0% van de maximale snelheid is, dan is in de vergelijking v(t) = fa cos, de waarde van de cosinus 0,0. Vergeet niet je rekenmachine in radialen te zetten, als je deze formule gebruikt. Je vindt dan = 1,37 en = 0,. Dat is vlak voor de uiterste stand. SCHIJF Op de rand van een ronddraaiende schijf is een witte stip geplakt. De frequentie waar de schijf mee ronddraait is 4 Hz. Beredeneer wat ik zie als ik hem met 49 Hz belicht.

9 ENERGIE Een blok van 100 g hangt aan een veer. De veer is dan 17 cm lang. We trekken het blokje nog 1,0 cm naar beneden en laten het dan los. Het blokje gaat trillen met een frequentie van,0 Hz. a. Bereken de kinetische energie van het blokje als het door de evenwichtsstand gaat. We halen het blokje van de veer. b. Bereken de lengte van de hangende veer zonder blokje eraan. Uitwerking a E kin = ½mv = ½m ( fa cos ft). Gaat het blokje door de evenwichtsstand dan is de snelheid en dus de kinetische energie maximaal. De cosinus heeft dan de waarde 1 of -1 en dus is E kin, max = ½ 0,100 (,0 0,010 1) = 7, J b. We moeten achterhalen hoe groot l is en dat van de 17 cm aftrekken. Voor een veer geldt F v = C u = C l. In evenwicht is F v = F z C l = mg. Nu nog C bepalen. C = m( f) =15,79 Nm -1 l = 0,06 m l onbelast =17 6, = 11 cm TRILLEND DEELTJE Van een harmonisch trillend deeltje is het volgende bekend: m = 10 g; f = 11 Hz; A = 1 mm; (0) = 13 a. Bereken de (t = 1,00 s). b. Bereken u(0,10). c. Bereken F max. d. Bereken wanneer u(t) = 6,0 mm. e. Bereken de kinetische energie op t = 0,100 s UITWERKING: a Beter is het de formules met f te gebruiken dan met een afgeronde T. b. u(t) = A sin( ft) u(0,10) = 1 sin( 11 0,10) = 7,1 mm c. F max = m a max = m ( f) A = 0,010 ( 11) 0,01 = 0,57 N c. u(t) = A sin( ft) 6,0 = 1 sin( 11 t) t = 7, s. Als je het nog niet gedaan hebt, is dit een moment om een (u,t)-grafiek te tekenen. Je ziet dan dat de oplossing niet alleen 7,6 ms is, maar ook 38 ms. Bovendien natuurlijk modulo 0,091 s. e. E kin = ½mv = ½ m [ fa cos( ft)] = ½ 0,010 [ 11 0,01 cos( 11 0,10)] =,5 mj

10 GRAFIEK In de hierbij getekende (u,t)-grafiek is u op ware grootte weergegeven. De grafiek is getekend tot t =,4 s. a. Bepaal v max. b. Bepaal de uitwijking op t =,5 s. a b De meesten zijn gaan rekenen. Daar is niets mis mee, maar merk op dat als er staat 'Bepaal' dat aan een grafische oplossing wordt gedacht. u(,5) = u(0,1) = 0,5 A = 0,85 cm. ENERGIE Een voorwerp maakt een harmonische trilling. Bereken de verhouding van zijn kinetische en potentiële energie als = 0,30. PIRATENSCHIP Je gaat naar het piratenschip op de Efteling en ziet ervoor een geleerd uitziend figuur staan die probeert om een steentje heen en weer te laten slingeren in hetzelfde tempo als het piratenschip. Hij heeft een hele collectie stenen bij zich. Kleine en grote. Geef dat geleerd uitziend figuur een natuurkundig onderbouwd advies.

11 BONUS Aan een koperen kubus met ribben van,0 cm zit in een hoekpunt een nylon koord vast van 100,0 cm lengte. Ik knip er een stukje af, pak het stevig vast en laat het slingeren. De periode blijkt 1,79 s te zijn. Bereken zo goed mogelijk(?!?) hoeveel ik eraf geknipt heb. l l 1,79 l 0,796 m g 9,81 Die lengte is de lengte van zwaartepunt tot ophangpunt. Het koord moet dus 1,7 cm korter zijn. Aan de andere kant moet het ook vastgehouden worden tussen duim en wijsvinger of tussen de nagels geklemd worden. Doe er nog maar 0,5 cm bij. Het koord moet dus 78,4 cm lang zijn. Knip er maar 1 cm af. VEER Aan een veer met C =,0 N/m hangt een blokje van 50 g. a. Bereken de frequentie van het blokje als je het 1,0 cm naar beneden trekt en loslaat. b. Idem, als je het,0 cm naar beneden trekt en loslaat. m 0,050 0,99 s f 1,01 Hz C,0 Deze waarde in onafhankelijk van de amplitude.

12 Slinger Aan een 50 cm lang ideaal touw hangt een blokje van 0 g. We geven dat een uitwijking van 10 cm en laten het op t = 0 s los. a. Bereken de uitwijking op t =,0 s. b. Bereken wanneer het halverwege de maximale uitwijking en de evenwichtsstand is. c. Bereken de uitwijking als de fase ,1 is. d. Bereken de trillingsenergie van het blokje. d. Bereken de fase van een moment, waarop de kinetische energie en potentiële energie even groot zijn. l 0,50-1 1,418s f 0,70494Hz f 4,48s g 9,81 Houd er rekening mee dat u(0) = 10 cm. a. De vergelijking is u(t) = A cos( f t) u(,0) = 10 cos(4,43,0) = - 8,4 cm b. Er zijn per periode 4 momenten waarop de uitwijking halverwege evenwichtsstand en uiterste stand is. Zie de pijltjes is de bovenste grafiek. De tijd van de eerste rekenen we met de formule uit: u(t) = 10 cos(4,43 t) = 5 cm t = 0,4 s. Je kunt in de tekening zien dat dat wel zal kloppen. Het volgende tijdstip ligt evenver voor ½T als 0,4 s na 0 ligt: t = 0,47 s. En deze twee waarden gelden modulo ½T, dus modulo 0,71 s. c. Voor de fase gaan we uit van de passage van de evenwichtsstand. Dan is u(t) = A sin( ) = 10 sin( 0,1) = 6,8 cm d. E tril = ½mv max = ½ 0,00 ( fa)² = 0,010 (4,43 0,10)² = 0,00196 J =,0 mj e. Hier zijn vele mogelijkheden tot oplossing. In de grafiek kun je zien dat dat bij = 1/8 is. De kinetische en potentiële energie zijn gelijk als de kinetische energie de helft is van trillingsenergie, dus v = ½v max cos ( ) = ½ = 1/8 SPEELTUIN

13 In een wat ouderwetse speeltuin staan twee rijen identieke schommels tegenover elkaar. Op een zo'n schommel zit mijn 3 jaar oude neefje en op die er tegenover neem jij plaats. We verbinden de schommels met een elastiek. Het neefje begint met schommelen en jij wacht af. Beschrijf of je bij het schommelen resonantie-effecten verwacht en waarom je die al dan niet verwacht. Resonantie treedt op als de gedwongen trilling dezelfde frequentie heeft als de eigentrilling. De trilling van een mathematische slinger hangt bij kleine amplitude alleen af van de lengte. De lengte van de slingers/schommels zijn gelijk en dus verwacht je resonantie. Bij nader inzien echter ligt het zwaartepunt van mij hoger dan dat van mijn neefje en daarom is de slinger effectief korter. Hoe hoger mijn zwaartepunt ligt, des te meer wijkt mijn eigenfrequentie af van de door mijn neefje opgelegde frequentie en hoe minder je op resonantie mag rekenen. De massa zelf speelt hierin geen rol. De invloed daarvan is te merken aan de grote van de respectievelijke amplituden, maar niet in het optreden van de resonantie.

14 TRILLING Een punt voert een beweging uit, waarvan de uitwijking als functie van de tijd te schrijven is als : u 1 (t) = 0,010 sin( t) a. Bereken de snelheid op t = 0,10 s. b. Schets de grafiek van u 1 (t) voor 0 < t < 1 s. Neem voor de amplitude 1 cm en voor een trillingstijd 6 cm. c. Schets eveneens de grafiek van u (t) = 0,010 sin( t) cos( t) UITWERKING Uit de gegeven formule kun je de amplitude, 0,010 m, en de frequentie, Hz, afleiden. a. v(t) = f A cos( ft) = 0,010 cos( 0,10) = 0,039 m/s. Ook via v(t) = u'(t) b. Omdat de frequentie Hz, moeten we trillingen tekenen in het domein 0 < t < 1 s. c. Herleid cos( t) eerst tot cos( 0,5t). Er is in die ene seconde dus slechts een halve cosinus te tekenen. Zie de middelste van bovenstaande tekeningen. De gevraagde grafiek is het product van beide. Waar de cosinus negatief is, verandert niet alleen de grootte, maar ook het teken van u 1 Het resultaat is de onderste grafiek.

15 SLINGER Aan een touw met een lengte van,00 m hangt een blokje van 50 g. a. Bereken de frequentie van het blokje als je het 1,0 cm opzij trekt en loslaat. b. Idem, als je er 100 g aan hangt en het 4,00 cm opzij trekt. VEER Aan een 0 cm lange veer hangt een blokje van 0 g. Het is door het blokje 5,0 cm uitgerekt. We trekken het blokje 3,0 cm naar beneden en laten het op t = 0 s los. a. Bereken de uitwijking op t =,0 s. b. Bereken wanneer het halverwege de maximale uitwijking en de evenwichtsstand is. c. Bereken de uitwijking als de fase ,1 is. d Bereken de trillingsenergie van het blokje. TOUW Aan een touw van 1,00 m lengte hangt een blok van 400 g. Het ophangpunt wordt door een mechaniek heen en weer bewogen met een frequentie van 0 Hz. a. Beredeneer wat je van het blok verwacht aan bewegingen. De frequentie kunnen we regelen en laten we dalen. b. Beredeneer wat je verwachten moet en bij welke frequentie. AARDBEVING In Kobe, Japan, is de ellende niet te overzien. Als je naar uitleg op de TV gekeken hebt, weet je hoe dat gekomen is. De moderne gebouwen zijn gebouwd op rubber'voeten'. Ook zijn de grote gebouwen opgebouwd uit segmenten die ten opzichte van elkaar enigszins kunnen bewegen. Ze zijn niet 'star'. Als er een schok komt, kan de grond bewegen, zonder dat het gebouw mee wordt getrokken en breekt. Helaas kwam er niet alleen een grote schok, maar bleef de grond ook een tijdje door trillen. Leg uit waarom juist dat tot grote problemen kan leiden. UITWERKING: Tijdens het langzame trillen treedt resonantie op. De gebouwen gaan steeds heftiger trillen tot ze 'knappen'.

16 ZEEROVER In pretparken tref je grote boten aan, waarin de 'zeerovers' al gillend heen en weer bewegen. Uitgangspunt: een boot van 0 ton aan 50 m lange stalen stangen slingert met een maximale uitwijking van 5,0 m. a. Bepaal de fase als u =,0 m. We stoppen extra energie in de boot en maken zo de totale trillingsenergie van de boot 4,0 maal zo groot. Leg van onderstaande grootheden uit hoeveel keer zo groot zij worden: b. slingertijd c. amplitude d. maximum hoogte e. maximum snelheid. a. u(t)= A sin = 5 sin = 0,41 rad = 0,065 b. Deze waarde geldt voor de heenweg van evenwichtsstand naar uiterste stand. Op de terugweg is de fase juist die waarde van de 0,5 verwijderd. terug = 0,500-0,065 = 0,435 l ; de grootheden zijn alle onveranderd, T is niet veranderd. g c. E = ½ CA². Daar E viermaal zo groot is en C = 4 ²f² m ongewijzigd, is A verdubbeld. d. De energie wordt van kinetische in potentiële omgezet. Voor de potentiële kun je in deze situatie ook mgh schrijven. h wordt dus viermaal zo hoog. e. De energie en dus ook ½mv wordt viermaal zo groot, v dus tweemaal. SLINGERENERGIE We hangen een blokje van 80 g aan een touwtje, trekken het opzij en laten het los. De grafiek van de uitwijking als functie van de tijd staat hieronder. De uitwijking is op ware grootte. De trillingstijd is 1,0 s. Op een zeker moment als het blokje in de uiterste stand is, starten we de stopwatch. Dit tijdstip noemen we t = 0. a. Geef in de grafiek een mogelijke tijd voor t = 0 aan. Doe dit zover mogelijk naar links. b. Lees uit de grafiek af op welke tijdstippen u = +½A. c. Lees de waarde van de uitwijking u uit de grafiek af als t =,0 s. d. Bereken hoe groot de snelheid van het blokje is op t = 0,10 s. e. Bepaal grafisch de maximale snelheid van het blokje. e. Bereken de maximale trillingsenergie van het blokje.

17 TRILLING-ENERGIE-RESONANTIE Een blokje van 40 g hangt aan een veer en trilt. Het blijkt dat de tijd voor 10 trilllingen 3,0 s bedraagt. a. Bepaal de grootte van de veerconstante. Dit blokje trek ik 1,00 cm naar beneden en laat het los. Het gaat een ongedempte harmonische trilling maken. Op een zeker moment is = ,1. b. Bereken de uitwijking op dat moment. c. Met welke formule zou je de kinetische energie kunnen uitrekenen op dat moment. Bereken deze kinetische energie. c. Als je resonantie met dit trillende blokje wilt aantonen door een blokje van 100 g aan een slinger te hangen, bereken dan welke lengte die slinger moet hebben. EXPERIMENTEN Aan het plafond hangt een veer met een veerconstante van 10 N/m. Daaraan hangt een blok M. We trekken het blok een beetje naar beneden en laten het los. De trillingstijd blijkt hetzelfde te zijn als in een tweede experiment, dat er uitziet als in figuur 1. Twee blokjes van 100 en 00 g worden met elkaar via dezelfde veer verbonden en kunnen verder zonder wrijving bewegen langs een horizontale rechte lijn. De plaats-tijd-grafiek van elk van beide blokken tref je in figuur aan. a Bepaal de massa van blok M. b Uit de plaats-tijd-grafiek van een voorwerp kun je de snelheid afleiden. Wanneer de snelheid 0 m/s is, zie je zo, maar voor de snelheid in de evenwichtstand moet je iets meer doen. Bepaal de snelheid van het blokje van de bovenste grafiek op het moment dat dat door de evenwichtsstand gaat.

18 VEERENERGIE Uitgangspunt is een veer met een veerconstante C = 10 N/m. Hieraan hangt een blokje van 50 g. Vanuit de evenwichtsstand trekken we het blokje 1, cm naar beneden en laten het dan los. Het blokje gaat trillen. Bereken een positie van het blokje als de snelheid de helft van de maximale snelheid is. Door het blokje 1, cm naar beneden te trekken stop je er energie in ter waarde ½Cu² = ½ 10 0,01² = 7, 10-4 J. Als de snelheid de helft van de maximale snelheid is, dan is de kinetische energie van het blokje slechts een kwart. De veerenergie is dan driekwart van het totaal en dus ½Cu² = ¾ 7, 10-4 = 5, J, dus u = 0,010 m = 1,0 cm. v A De maximale snelheid is te berekenen uit ½mv² = 7, 10-4 J of met T en m C. VEERENERGIE Uitgangspunt is een veer met een veerconstante C = 10 N/m. Hieraan hangt een blokje van 15 g. Vanuit de evenwichtsstand trekken we het blokje 1 mm naar beneden en laten het dan los. Het blokje gaat trillen. Bereken de snelheid van het blokje als de uitwijking 6,0 mm is. Tijdens het trillen wordt veerenergie omgezet in kinetische energie en terug. De som van beide is constant en gelijk aan de veerenergie in de uiterste stand. ½CA² = ½Cu² + ½mv² 10 0,01² = 10 0,006² + 0,15 v² v = 0,093 m/s.

19 VEER Een voorwerp van 0,010 kg hangt aan een veer. Van dat voorwerp wordt de hoogte h boven t de grond gemeten. Voor die hoogte geldt h( t) 0,500 0,100 sin( ) 0,5 a Bereken de frequentie waarmee het voorwerp trilt. b Bereken de kleinst mogelijke hoogte h. c Bereken de hoogte van het voorwerp op t = 0,10 s d Bereken de veerconstante C van de gebruikte veer. Uitwerking a De frequentie is af te leiden uit het tijdsafhankelijke deel van de vergelijking. t t Je moet herkennen als met als conclusie T = 0,5 s en dus 0,5 T 1 1 f 4,0 Hz T 0,5 b De sinusfunctie in de vergelijking kan variëren van 1 tot +1. De kleinst mogelijke hoogte wordt bereikt als de sinus als waarde 1 heeft. h = 0, ,100 1 = 0,400 m. Misschien heb je overwogen om de afgeleide te nemen en die nul te stellen. Dan moet t 0,100 cos 0. Hieruit volgt de tijd t = 0,065 s modulo 0,15 s. 0,5 0,5 Je vindt dan de uiterste waarden voor h, als je die invult, met als laagste 0,400 m. 0 0,10 c Invullen: h(0,10) 0,500 0,100 sin 360 0,559 m 0,5 Je hebt de keuze voor met het rekenmachine in radialen of 360 met het rekenmachine in graden. d C = m ( f) = 0,010 ( 4,0) = 6,3 N/m.

20 TRILLING Een blokje van 100 g hangt aan een 0 cm lange veer met een veerconstante van 0,10 N/cm. Babette trekt het 4,6 cm naar beneden en laat het los. 1 Bereken de frequentie waarmee het blokje gaat trillen. Bereken de kinetische energie van het blokje als het door de evenwichtsstand gaat. m 0, ,68 s f 1,6 Hz C 10 T E E kin, max kin, max 1 E mv trilling max 1 A 1 0,046 0,100 0,100 T 0,68 1 CA 10 0,046 0,011J 1 0,011 J HARMONISCHE TRILLING FORMULE BEGRIJPEN Aan een haak aan een plafond hangt een zeer lange spiraalveer. Aan deze spiraalveer is een ijzeren bol met een massa van 13 g bevestigd. De door deze bol uitgerekte spiraalveer is 34 cm lang. De veerconstante C = 1,41 N m Bereken de lengte van de onbelaste spiraalveer. Hans vervangt de bol door een andere en beweegt deze verticaal omlaag. De veer rekt steeds verder uit. Dan laat hij hem los. De veer met bol gaat harmonisch trillen. Voor de snelheid v van de bol als functie van de tijd noteert Hans: v t 1,00 sin 3, 00 t. De snelheid is positief als de bol omhoog beweegt. Bereken de amplitude van deze trilling. UITWERKING: 1 F Cu 0,13 9,81 1,41 u u 0,856 m l,34 0,856 1,48 m onbelast De formule van de snelheid heeft de vorm v( t) vmax sin( ft ). En dus is f = 3,00. A vmax fa 1,00 3,00 A A 0,33 m T

21 VEERENERGIE Uitgangspunt is een veer met een veerconstante C = 10 N/m. Hieraan hangt een blokje van 50 g. Vanuit de evenwichtsstand trekken we het blokje 1, cm naar beneden en laten het dan los. Het blokje gaat trillen. Bereken een positie van het blokje als de snelheid de helft van de maximale snelheid is. uitwerking: Door het blokje 1, cm naar beneden te trekken stop je er energie in ter waarde ½Cu² = ½ 10 0,01² = 7, 10-4 J. Als de snelheid de helft van de maximale snelheid is, dan is de kinetische energie van het blokje slechts een kwart. De veerenergie is dan driekwart van het totaal en dus ½Cu² = ¾ 7, 10-4 = 5, J, dus u = 0,010 m = 1,0 cm. v A T De maximale snelheid is te berekenen uit ½mv² = 7, 10-4 J of met T en. VEERENERGIE Uitgangspunt is een veer met een veerconstante C = 10 N/m. Hieraan hangt een blokje van 15 g. Vanuit de evenwichtsstand trekken we het blokje 1 mm naar beneden en laten het dan los. Het blokje gaat trillen. Bereken de snelheid van het blokje als de uitwijking 6,0 mm is. uitwerking: Tijdens het trillen wordt veerenergie omgezet in kinetische energie en terug. De som van beide is constant en gelijk aan de veerenergie in de uiterste stand. ½CA² = ½Cu² + ½mv² 10 0,01² = 10 0,006² + 0,15 v² v = 0,093 m/s. -- m C