Groep I les 1/3 HS 8 verschillende functies

Transcriptie

1 Groep I les 1/3 HS 8 verschillende functies Hoi, dit is het eerste deel van jouw programma voor dit hoofdstuk. Er zijn verschillende soorten opgaven: O betekent ontdekkende opgaven, K om te kiezen, A afsluitend en U uitdagend. Je kunt uit K- en U-opgaven kiezen, hierbij heb je verschillende niveaus; als je een opgave te makkelijk vindt, ga dan met de volgende aan de slag. O- en A-opgaven zijn verplicht. In het totaal moet je bij dit deel 40 punten halen. Deze staan aan het rand bij iedere opgave. Veel succes! Vandaag gaat het om de zogenaamde omgekeerd evenredige functies. O1 Jij kent al recht evenredige functies. Zij hebben de vorm met a uit IR. Hier zie je twee evenredige functies en Welke twee opvallende eigenschappen hebben zij gemeen? 2 Dit soort formules kan je bijv. bij directe proportionaliteit gebruiken: 1 zak aardappels kost 2,50 ; 4 zakken dus 10,00 of bij een constante snelheid van 120 km/u rijd je 150 km in 75 min Bij omgekeerd evenredig heb je een andere situatie zo als bijv.: Na jouw verjaardagsfeest helpen je drie vrienden (jullie zijn dus met z n vieren) bij het schoonmaken. Je bent dankbaar omdat jij, als je alleen was, 4 uur nodig zou hebben. a) Hoe denk jij dat de grafiek hiervan eruit zou zien? Duur Maak een snelle schets, zonder iets te in berekenen of in je boek te kijken uren hiernaast in het assenstelsel. ( ) aantal personen ( ) 2 b) Maak vervolgens een tabel: 2, aantal personen, duur van het schoonmaken? 4 c) en teken de grafiek 2 d) Vergelijk jouw intuïtie van opgave a met deze oplossing. Wat zijn de verschillen? 1 y x e) Eén van deze formules hoort bij de opgave. Geef aan welke en leg uit waarom. 1

2 Hier zie je vier omgekeerd evenredige functies; o.a. uit ons voorbeeld en ook de standaardgrafiek O2 Schrijf op welke eigenschappen de grafieken van omgekeerd evenredige functies (=hyperbolen) hebben. 4 Vanaf dit punt kies je uit K- en U-opgaven; A-opgaven moet je maken. De volgorde maakt niet uit. Lees de opgaven door en kies dan. Als je iets met een medeleerling wilt bespreken, denk a.u.b. eraan zachtjes te praten. Veel succes! K3 Welke voorbeelden zijn evenredig en welke omgekeerd evenredig? Geef een voorbeeldformule aan. 2 a) Het aantal pakjes melk in de supermarkt en de totaalprijs ervan? b) Het aantal tuintjes op een terrein van 1 ha land en hun oppervlakte. c) Het aantal producten dat een machine aflevert binnen de productietijd. d) Het aantal auto s op een parkeerterrein en het ingenomen parkeerbedrag in euro. e) De snelheid van een auto en de benodigde tijd. K4 Geef twee voorbeelden van omgekeerd evenredig (a) en één voorbeeld van evenredig (b). 3 (a) (b) K5 Volgens een onderzoeksbureau is het aantal per maand verkochte vulpennen van het merk Waterman 4 omgekeerd evenredig met de prijs in euro s. Bij een prijs van 12,50 is de maandverkoop 6500 vulpennen. a) Stel de formule op van bij een prijs van euro. b) Bereken de maandelijkse verkoop bij een prijs van 15,00. c) Bereken welke prijs bij een maandelijkse verkoop van 5800 vulpennen hoort. K6 Onderzoek in de Stille Oceaan heeft uitgewezen dat de watertemperatuur in omgekeerd evenredig 5 is met de diepte in km. Dit verband blijkt alleen te gelden voor dieptes groter dan 500 meter. Op een diepte van 2500 meter is de watertemperatuur 1,6 C. a) Stel de formule op van de temperatuur op een diepte van km. b) Wat is de temperatuur op 4835 meter diepte? c) Op welke diepte is de temperatuur 1,4 C?

3 A7 De hyperbool met de formule gaat door het punt 7 a) Bereken de variabele. b) Laat met een berekening zien dat de grafiek met deze formule punt symmetrisch is m.b.t. de oorsprong. c) Teken de grafiek ; maak eerst een tabel. U8 Gegeven is de hyperbool met de formule 8 a) Hoe ontstaat deze hyperbool uit de standaardgrafiek? (2 mutaties (veranderingen); geen GR) b) Schets de grafiek. (Zonder GR) c) Geef de formules van de asymptoten aan. (Zonder GR) d) Voer?, en in je grafische RM in en onderzoek de translaties. U9 De rechte lijnen hieronder geven samen een toenadering aan de vorm van de hyperbool daarnaast. 6 Probeer met behulp van de coördinaten van de rechte lijnen de formule van de hyperbool op te schrijven. A10 Bij het nemen van een bocht hangt een wielrenner naar binnen. Bij een gegeven snelheid is de hoek 10 die hij maakt met een verticale lijn omgekeerd evenredig met de staal van de bocht. Bij een snelheid van 30 km/uur en een straal van 15 meter hoort een hoek van 25,5. Ga bij de volgende vragen uit van een snelheid van 30 km/uur. a) Maak een schets van de wielrenner met de Hoek. b) Stel de formule op van. Neem de straal in meter. c) Hoe kleiner de straal, hoe. d) Een bocht heeft een straal van 12,5 meter. Bereken de hoek. e) Een wielrenner gaat met een hoek van 23,2 door een bocht. Bereken de straal in dm nauwkeurig. f) * is de hoek die de wielrenner met de grond maakt. Druk * uit in. Laatste 5 minuten: Reflecteer nu over wat jij vandaag geleerd hebt en wissel met een medeleerling de informatie uit. Bespreek ook moeilijke opgaven en vergelijk je manier van oplossen, niet alleen de uitkomsten. Huiswerk: Getal en Ruimte HS 8, opgaven 5, 7 en 9

4 Groep I les 2/3 HS 8 verschillende functies Welkom bij het tweede deel van jouw programma voor dit hoofdstuk. Er zijn weer verschillende soorten opgaven: O betekend ontdekkende opgaven, K om te kiezen, A afsluitend en U uitdagend. Je kunt uit K- en U-opgaven kiezen, hierbij heb je verschillende niveaus; als je een opgave te makkelijk vindt, ga dan met de volgende aan de slag. O- en A-opgaven zijn verplicht. In het totaal moet je bij dit deel 40 punten halen. Deze staan aan de rand bij iedere opgave. Veel succes! Je kent al verschillende soorten formules en functies en de bijpassende grafieken. Hier bijv. een lineaire functie ( ), een parabool ( ) en een wortelfunctie ( ). (Wortel van is tot de macht 0,5) O1 3 Geef voor deze drie soorten functies de standaardformules en de algemene formules aan. Lineaire functies Kwadratische functies wortelfuncties Algemene formule of Standaardformule Standaardformule is de formule zonder veranderingen, die door de oorsprong /(0,0) gaat. Grafieken zie hieronder. 3 Hoe zijn de functies, en uit het voorbeeld ontstaan? translatie (verschuiving) Lineaire functie Kwadratische functie Wortelfunctie Mutatie (met factor) Standaardgrafieken van lineaire, kwadratische en wortelfuncties Deze inhoud is herhaling en basiskennis die ook het volgende jaar nog belangrijk is!

5 O2 5 Natuurlijk zijn dit soort mutaties bij alle functies, formules en grafieken mogelijk. In de vorige les heb je kennis gemaakt met de hyperbool, die eigenlijk uit twee delen bestaat. Bedenk, zonder op te zoeken, nog eens de eigenschappen van een hyperbool met de standaardformule : Waarom mag je niet in de formule invullen? Wat betekent dit grafisch? Je kunt de formule ook naar x oplossen:. Wat betekent dit voor de symmetrie van de hyperbool? Welke andere soorten symmetrie herken je verder? Noem ook de punten of symmetrieassen. 3 Terug naar mutaties van functies. Hier zie je de translatie van de hyperbool h1 met de formule, die 3 omhoog wordt verschoven. De Vector v toont de translatie (, ) aan. v Vul links in het algebravenster de formule van in. Geef de asymptoten aan van! Bedenk nu met de kennis van translaties bij de formules hoe een verschuiving van drie naar rechts en 5 omlaag eruit zou moeten zien. is overal 2. Let op: haakjes zetten! Lijn: Parabool: Translatie (0, -5) Translatie (3, 0) Translatie (3, -5) 4 Wortelfunctie : UITDAGING UITDAGING UITDAGING Hyperbool: y = 2/x Lineair: ; Kwadratisch: ; Omgekeerd evenredig: Teken nu de translaties (3, -5) in de assenstelsels bij de bijhorende grafieken en schrijf de bijbehorende formules, en, in het algebravenster. (Teken met potlood)

6 Evenredig ( ) en omgekeerd evenredig ( ) en verschoven (, ) 3 Kwadratische ( ) en Wortelfunctie ( ) en verschoven (, ): 3 Denkvraag: Een functie is recht evenredig als geldt. Wanneer is een functie dus omgekeerd evenredig? Schrijf de formule hiervoor op. 1 Bij welke opgave van de vorige les kan jij dit laten zien?

7 Vanaf dit punt kies je uit K- en U-opgaven; A-opgaven zijn verplicht. De volgorde maakt niet uit. Lees de opgaven door en kies dan. Als je iets met een medeleerling wilt bespreken, denk a.u.b. eraan zachtjes te praten. Veel succes! K3 Onderzoek naar omgekeerd evenredig. Dit betekent dat en uitwisselbaar moeten zijn en 2 moet gelden. Los dus naar op en kijk of de formules op elkaar lijken. Jouw conclusie: Een hyperbool met een translatie K4 Gegeven zijn volgende waardes en tabellen. Onderzoek de verbanden met evenredig en omgekeerd 4+8 evenredig. Indien mogelijk, geef de formule aan. UITDAGING: ,5-6, ,5 [ ] K5 De functie wordt door de translatie (-2,5 ; 4,25) verschoven. 2 Stel de formule van de door de translatie ontstane functie * K6 Gegeven is de functie f met de formule. 8 a) Geef de formules van de asymptoten aan. b) Maak een tabel met met en teken de grafiek. c) Verschuif de hyperbool met de translatie (2, -2) en teken deze nieuwe functie in het assenstelsel bij. op. A7 De firma Tulp produceert onder andere hardhouten tuinbankjes. De gemiddelde kosten per bankje 10 OF worden berekend met de formule. Hierin is B het aantal geproduceerde bankjes en zijn de gemiddelde kosten in euro. a) Bereken de gemiddelde kosten bij een productie van 10 bankjes, van 100 bankjes en van bankjes. b) Tot welke grenswaarde naderen de gemiddelde kosten bij een toenemend aantal bankjes? c) Het bedrijf wil dat de gemiddelde kosten lager uitvallen dan 15,75. Hoeveel bankjes moeten er dan minstens worden geproduceerd? d) Leg uit dat de totale kosten kunnen worden berekend met de formule. e) Hoe hoog zijn de vaste kosten voor de productie, dus ongeacht het aantal bankjes dat geproduceerd wordt? A8 Fruittelers bespuiten regelmatig hun fruitbomen met insecticiden om aantasting van het fruit tegen 10 te gaan. De opbrengst in kg van een gemiddelde perenboom hangt af van de hoeveelheid gebruikte insecticide per oogst. Hierbij is in een geschikte eenheid. met a) Hoeveel is de opbrengst als er niet bespoten wordt? b) Zal bij toename van de opbrengst toenemen of afnemen? Hoe volgt dat uit de formule? c) Teken de grafiek van. d) De fruitteler laat de hoeveelheid insecticide vergeleken met het jaar ervoor toenemen van 4,5 tot 6,5. Hoeveel procent is de toename van? U9 De punten en bewegen zich op de 6+4 hyperbooldelen van de functie. Hierbij zijn de -waardes van negatief, die van de punten positief. De lijnen lopen door de oorsprong (0, 0). Er ontstaan vierkantjes met het symmetriepunt (0, 0). a) Teken de hyperbool en het vierkant voor. b) Bereken de minimale oppervlakte van. Welke waarde heeft hierbij? (Hulp: hiervoor heb je de formule voor de lengte nodig) Huiswerk G&R HS 8: 14 en 17

8 Groep I les 3/3 HS 8 verschillende functies Welkom bij het laatste deel van jouw programma voor dit hoofdstuk. Er zijn weer verschillende soorten opgaven, maar deze keer gaat het alleen om ontdekken en oefenen. Dus helaas geen keuzemogelijkheid. Je krijgt hopelijk een duidelijk beeld van de samenhang tussen formules, variabelen en grafieken. Veel succes!!! O1 Je kent nu verschillende soorten formules en de bijbehorende grafieken. Hier zijn een paar standaardfuncties: Deze hebben alle te maken met verschillende machten van x, dus kan je deze formules ook als een potentie van x schrijven: Als je deze formules nu in de GR invoert, ontdek je wat deze standaardfuncties hoewel zij allemaal verschillend zijn gemeen hebben: ANTWOORD: Schets de functies,,, en en nu de functies,, en Wat is bij de tekening rechts bijzonder en waarmee heeft dat te maken? (5 eigenschappen) De eigenschappen van deze verbanden hebben allemaal met hun machten te maken. Deze functies heten dus machtsfuncties. Denkopgave: Wat zou je moeten doen, als je alle functies door het punt (2, 3) zou willen laten lopen. (Denk aan de inhoud van de afgelopen les!) Als je een idee hebt, probeer het met jouw GR en drie formules uit. (Check dan met behulp van intersection (ISCT) het snijpunt van alle grafieken)

9 Standaardfuncties: Standaardfuncties verschoven om (2,3): O2 Samenvatting standaardmachtsfuncties: Standaardmachtsfuncties met even macht (bijv., ) met oneven macht (bijv., ) Symmetrie (welke?, met wat?) Gemeenschappelijke punten (coördinaten?)

10 Natuurlijk kan ook bij alle machtsfuncties net zoals bij alle andere functies een factor a meespelen. Je kent al lang de algemene formules voor eerstegraads en tweedegraads machtsfuncties, dus voor rechte lijnen en parabolen. Verder voor hyperbolen en wortelfuncties. Ter herhaling: Rechte lijnen Lineaire, recht evenredige of verbanden Parabolen Kwadratische verbanden of Hyperbolen Wortelfuncties Omgekeerd evenredige verbanden of of Algemeen schrijf je voor machtsfuncties zonder translatie (verschuiving) de formule. Hierbij is de mutatiefactor (veranderingsfactor) en de exponent (het machtsgetal); (reële getallen) en (rationale getallen). O3 Hieronder staan verschillende formules en grafieken. Schrijf de juiste formule bij de bijpassende grafiek. Bedenk hierbij waarom de formule bij deze grafiek zou passen; welke rol spelen de factor en de macht van? Je mag deze opgave ook met z n tweeën doen. K4 Teken in de linke tekening en in de rechte tekening. O5 y x n n n 5 n n Hierboven heb je de veranderingen van machtsfuncties m.b.t. en n geanalyseerd. Als vast blijft en alleen verandert, kun je precies analyseren, hoe de formule verandert als je verschillende machten invult. (Zie de grafieken links met ) n n 6 Voor alle positieve a en x (, ) is de grafiek bij (negatief) ( ) toenemend stijgend toenemend stijgend toenemend stijgend afnemend stijgend afnemend stijgend afnemend stijgend afnemend dalend afnemend dalend afnemend dalend Wat is juist? Vink aan!

11 Ter informatie: Indien n negatief is, schrijf je de formule als in het voorbeeld: en : In plaats van schrijf je Vanaf dit punt kies je uit K- en U-opgaven; A-opgaven moet je maken. De volgorde maakt niet uit. Lees de opgaven door en kies dan. Als je iets met een medeleerling wilt bespreken, denk a.u.b. eraan zachtjes te praten. Veel succes! A6 a) De grafiek van gaat door het punt (5, 3) Bereken in twee decimalen nauwkeurig. (R) b) De grafiek van gaat door het punt (4, 8) Bereken n in twee decimalen nauwkeurig. (GR) Om dit soort problemen op te lossen moet je de uitkomst van met de formule van laten snijden. MAAR, wij hebben hier een variabelenwissel. is nu vast en wordt flexibel. Dus moet je bij je GR nu noemen. A7 De functie gaat door het punt. a) Bereken. b) Teken de grafiek met, (maak een tabel) c) Onderzoek de functie op symmetrie. d) wordt verschoven om (2, -1); het ontstaat *. Geef de formule van * aan. Huiswerk: Voor evenredig en omgekeerd evenredig met y en opgaven A28, A32 en A35 en A22, A23 lees a.u.b. theorieën B, C en D van G&R 8.3 en maak de

12 Groep II les 1/3 HS 8 verschillende functies Hallo allemaal, dit is het eerste deel van jullie programma voor dit hoofdstuk. Er zijn verschillende soorten opgaven: O betekent ontdekkende opgaven, K om te kiezen, A afsluitend en U uitdagend. Jullie kunnen uit K- en U-opgaven kiezen; O- en A-opgaven zijn verplicht. Verder zijn er indelingen in SINGLE-, DUO- of GROEPS-OPDRACHTEN. Negeer deze niet. Zij zijn belangrijk voor jullie leerproces! In het totaal moeten jullie bij dit deel minstens 40 punten halen. Deze staan aan de rand bij iedere opgave. VEEL SUCCES! Vandaag gaat het om de zogenaamde omgekeerd evenredige functies. O1 Hier zie je twee evenredige functies en Welke twee opvallende eigenschappen hebben zij gemeen? Hoe schrijf je een formule hiervoor op? SINGLE-/GROEPSOPDRACHT Bedenk verschillende voorbeelden voor evenredig uit het dagelijks leven en bespreek deze in jullie groep. Schrijf er twee op met bijbehorende formules. Bij omgekeerd evenredig heb je een andere situatie zo als bijv.: Na haar verjaardagsfeest helpen drie vrienden Bo bij het schoonmaken (zij zijn dus met z n vieren). Zij is dankbaar omdat zij, als ze alleen was, 4 uur nodig zou hebben. f) SINGLEOPDRACHT Hoe zou de grafiek hiervan eruitzien? Duur Maak een snelle schets, hiernaast in in het assenstelsel, zonder iets te uren bespreken, berekenen of in je boek ( ) te kijken. aantal personen ( ) SINGLE-/GROEPSOPDRACHT Vertel nu aan jouw groep waarom jij de grafiek zo hebt geschetst. Wat was jou intuïtie? Leg uit! Vergelijk dan jouw oplossing/idee met de van de anderen groepsleden. Waar zijn de verschillen? Wie heeft gelijk? Welke uitleg klinkt plausibel? g) SINGLEOPDRACHT Maak vervolgens een tabel:, aantal personen, duur van het schoonmaken? 4 h) en teken de grafiek y x i) DUO-OPDRACHT Eén van deze formules hoort bij de opgave. Geef aan welke en leg uit waarom. 10

13 Hier zie je vier omgekeerd evenredige functies; o.a. uit ons voorbeeld en ook de standaardgrafiek O2 Schrijf op welke eigenschappen de grafieken van omgekeerd evenredige functies (=hyperbolen) hebben. 4 Vanaf dit punt zullen jullie in DUO S werken en/of de opgaven in de GROEP bespreken. Laat je denkstapjes horen! Discussieer, leg uit, wees kritisch. Het gaat om de manier hoe jullie samen opgaven oplossen. Kies uit K- en U- opgaven; A-opgaven moeten jullie maken. De volgorde maakt niet uit. Bespreek de keuze in de groep. Let a.u.b. op de anderen in het lokaal en denk eraan zachtjes te praten. Veel succes! K3 Welke voorbeelden zijn evenredig en welke omgekeerd evenredig? Geef een voorbeeldformule aan. 2 f) Het aantal pakjes melk in de supermarkt en de totaalprijs ervan? g) Het aantal tuintjes op een terrein van 1 ha land en hun oppervlakte. h) Het aantal producten dat een machine aflevert binnen de productietijd. i) Het aantal auto s op een parkeerterrein en het ingenomen parkeerbedrag in euro. j) De snelheid van een auto en de benodigde tijd. K4 Geef twee voorbeelden van omgekeerd evenredig (a) en één voorbeeld van evenredig (b). 3 (a) (b) K5 Volgens een onderzoeksbureau is het aantal per maand verkochte vulpennen van het merk Waterman 4 omgekeerd evenredig met de prijs in euro s. Bij een prijs van 12,50 is de maandverkoop 6500 vulpennen. d) Stel de formule op van bij een prijs van euro. e) Bereken de maandelijkse verkoop bij een prijs van 15,00. f) Bereken welke prijs bij een maandelijkse verkoop van 5800 vulpennen hoort. K6 Onderzoek in de Stille Oceaan heeft uitgewezen dat de watertemperatuur in omgekeerd evenredig 5 is met de diepte in km. Dit verband blijkt alleen te gelden voor dieptes groter dan 500 meter. Op een diepte van 2500 meter is de watertemperatuur 1,6 C. d) Stel de formule op van de temperatuur op een diepte van km. e) Wat is de temperatuur op 4835 meter diepte? f) Op welke diepte is de temperatuur 1,4 C?

14 A7 De hyperbool met de formule gaat door het punt 7 d) Bereken de variabele. e) Laat met een berekening zien dat de grafiek met deze formule punt symmetrisch is m.b.t. de oorsprong. f) Teken de grafiek ; maak eerst een tabel. U8 Gegeven is de hyperbool met de formule 8 e) Hoe ontstaat deze hyperbool uit de standaardgrafiek? (2 mutaties (veranderingen); geen GR) f) Schets de grafiek. (Zonder GR) g) Geef de formules van de asymptoten aan. (Zonder GR) h) Voer?, en in je grafische RM in en onderzoek de translaties. U9 De rechte lijnen hieronder geven samen een toenadering aan de vorm van de hyperbool daarnaast. 6 Probeer met behulp van de coördinaten van de rechte lijnen de formule van de hyperbool op te schrijven. A10 Bij het nemen van een bocht hangt een wielrenner naar binnen. Bij een gegeven snelheid is de hoek 10 die hij maakt met een verticale lijn omgekeerd evenredig met de staal van de bocht. Bij een snelheid van 30 km/uur en een straal van 15 meter hoort een hoek van 25,5. Ga bij de volgende vragen uit van een snelheid van 30 km/uur. g) Maak een schets van de wielrenner met de Hoek. h) Stel de formule op van. Neem de straal in meter. i) Hoe kleiner de straal, hoe. j) Een bocht heeft een straal van 12,5 meter. Bereken de hoek. k) Een wielrenner gaat met een hoek van 23,2 door een bocht. Bereken de straal in dm nauwkeurig. l) * is de hoek die de wielrenner met de grond maakt. Druk * uit in. Laatste 5 minuten: SINGLE-/GROEPSOPDRACHT Reflecteer nu over wat jij vandaag geleerd hebt en wissel in je groep de informatie uit; bespreek de manier van oplossen, niet alleen de uitkomsten. Huiswerk: Getal en Ruimte HS 8, opgaven 5, 7 en 9

15 Groep II les 2/3 HS 8 verschillende functies Welkom bij het tweede deel van jullie programma voor dit hoofdstuk. Er zijn weer verschillende soorten opgaven: O betekend ontdekkende opgaven, K om te kiezen, A afsluitend en U uitdagend. Jullie kunnen uit K- en U-opgaven kiezen; O- en A-opgaven zijn verplicht. Verder zijn er indelingen in SINGLE-, DUO- of GROEPS-OPDRACHTEN. Negeer deze niet. Zij zijn belangrijk voor jullie leerproces! In het totaal moeten jullie bij dit deel minstens 40 punten halen. VEEL SUCCES! Jullie kennen al verschillende soorten formules en functies en de bijpassende grafieken. Hier bijv. een lineaire functie ( ), een parabool ( ) en een wortelfunctie ( ). (Wortel van is tot de macht 0,5) O1 GROEPSOPDRACHT 3 Geef voor deze drie soorten functies de standaardformules en de algemene formules aan. Bespreek in de groep. Lineaire functies Kwadratische functies wortelfuncties Algemene formule of Standaardformule Standaardformule is de formule zonder veranderingen, die door de oorsprong /(0,0) gaat. Grafieken zie hieronder. DUO-OPDRACHT 3 Hoe zijn de functies, en uit het voorbeeld ontstaan? Bespreek met jouw partner en vergelijk daarna in jouw groep. translatie (verschuiving) Lineaire functie Kwadratische functie Wortelfunctie Mutatie (met factor) Standaardgrafieken van lineaire, kwadratische en wortelfuncties Deze inhoud is herhaling en basiskennis die ook het volgende jaar nog belangrijk is!

16 O2 GROEPSOPDRACHT 5 Natuurlijk zijn dit soort mutaties bij alle functies, formules en grafieken mogelijk. In de vorige les heb je kennis gemaakt met de hyperbool, die eigenlijk uit twee delen bestaat. Bedenk, zonder op te zoeken, nog eens de eigenschappen van een hyperbool met de standaardformule : Waarom mag je niet in de formule invullen? Wat betekent dit grafisch? Je kunt de formule ook naar x oplossen:. Wat betekent dit voor de symmetrie van de hyperbool? Welke andere soorten symmetrie herken je verder? Noem ook de punten of symmetrieassen. SINGLEOPDRACHT 3 Terug naar mutaties van functies. Hier zie je de translatie van de hyperbool h1 met de formule, die 3 omhoog wordt verschoven. De Vector v toont de translatie (, ) aan. Vul links in het algebravenster de formule van in. v Geef de asymptoten aan van! Bedenk nu met de kennis van translaties bij de formules hoe een verschuiving van drie naar rechts en 5 omlaag eruit zou moeten zien. is overal 2. Let op: haakjes zetten! DUO- en DUO-OPDRACHT 4 Vul deze tabel in en bespreek met jouw partner. Als jullie klaar zijn, wissel van partner en bespreek je uitkomst. Translatie (0, -5) Translatie (3, 0) Translatie (3, -5) Lijn: Parabool: Wortelfunctie : UITDAGING UITDAGING UITDAGING Hyperbool: y = 2/x Lineair: ; Kwadratisch: ; Omgekeerd evenredig: Teken nu de translaties (3, -5) in de assenstelsels bij de bijhorende grafieken en schrijf de bijbehorende formules, en, in het algebravenster. (Teken met potlood)

17 Evenredig ( ) en omgekeerd evenredig ( ) en verschoven (, ) 3 Kwadratische ( ) en Wortelfunctie ( ) en verschoven (, ): 3 Denkvraag: Een functie is recht evenredig als geldt. Wanneer is een functie dus omgekeerd evenredig? Schrijf de formule hiervoor op. 1 Bij welke opgave van de vorige les kan jij dit laten zien?

18 Vanaf dit punt kiezen jullie uit K- en U-opgaven; A-opgaven zijn verplicht. De volgorde maakt niet uit. Lees de opgaven snel door en kies dan gemeenschappelijk. Denk a.u.b. eraan zachtjes te praten. Veel succes! K3 Onderzoek naar omgekeerd evenredig. Dit betekent dat en uitwisselbaar moeten zijn en 2 moet gelden. Los dus naar op en kijk of de formules op elkaar lijken. Jouw conclusie: Een hyperbool met een translatie K4 Gegeven zijn volgende waardes en tabellen. Onderzoek de verbanden met evenredig en omgekeerd 4+8 evenredig. Indien mogelijk, geef de formule aan. UITDAGING: ,5-6, ,5 [ ] K5 De functie wordt door de translatie (-2,5 ; 4,25) verschoven. 2 Stel de formule van de door de translatie ontstane functie * K6 Gegeven is de functie f met de formule. 8 d) Geef de formules van de asymptoten aan. e) Maak een tabel met met en teken de grafiek. f) Verschuif de hyperbool met de translatie (2, -2) en teken deze nieuwe functie in het assenstelsel bij. op. A7 De firma Tulp produceert onder andere hardhouten tuinbankjes. De gemiddelde kosten per bankje 10 OF worden berekend met de formule. Hierin is B het aantal geproduceerde bankjes en zijn de gemiddelde kosten in euro. f) Bereken de gemiddelde kosten bij een productie van 10 bankjes, van 100 bankjes en van bankjes. g) Tot welke grenswaarde naderen de gemiddelde kosten bij een toenemend aantal bankjes? h) Het bedrijf wil dat de gemiddelde kosten lager uitvallen dan 15,75. Hoeveel bankjes moeten er dan minstens worden geproduceerd? i) Leg uit dat de totale kosten kunnen worden berekend met de formule. j) Hoe hoog zijn de vaste kosten voor de productie, dus ongeacht het aantal bankjes dat geproduceerd wordt? A8 Fruittelers bespuiten regelmatig hun fruitbomen met insecticiden om aantasting van het fruit tegen 10 te gaan. De opbrengst in kg van een gemiddelde perenboom hangt af van de hoeveelheid gebruikte insecticide per oogst. Hierbij is in een geschikte eenheid. met e) Hoeveel is de opbrengst als er niet bespoten wordt? f) Zal bij toename van de opbrengst toenemen of afnemen? Hoe volgt dat uit de formule? g) Teken de grafiek van. h) De fruitteler laat de hoeveelheid insecticide vergeleken met het jaar ervoor toenemen van 4,5 tot 6,5. Hoeveel procent is de toename van? U9 De punten en bewegen zich op de 6+4 hyperbooldelen van de functie. Hierbij zijn de -waardes van negatief, die van de punten positief. De lijnen lopen door de oorsprong (0, 0). Er ontstaan vierkantjes met het symmetriepunt (0, 0). c) Teken de hyperbool en het vierkant voor. d) Bereken de minimale oppervlakte van. Welke waarde heeft hierbij? (Hulp: hiervoor heb je de formule voor de lengte nodig) Huiswerk G&R HS 8: 14 en 17

19 Groep II les 3/3 HS 8 verschillende functies Welkom bij het laatste deel van jouw programma voor dit hoofdstuk. Er zijn weer verschillende soorten opgaven, maar deze keer gaat het alleen om ontdekken en oefenen. Dus helaas geen keuzemogelijkheid. Je krijgt hopelijk een duidelijk beeld van de samenhang tussen formules, variabelen en grafieken. Veel succes!!! O1 Je kent nu verschillende soorten formules en de bijbehorende grafieken. Hier zijn een paar standaardfuncties: Deze hebben alle te maken met verschillende machten van x, dus kan je deze formules ook als een potentie van x schrijven: Als je deze formules nu in de GR invoert, ontdek je wat deze standaardfuncties hoewel zij allemaal verschillend zijn gemeen hebben: ANTWOORD: Schets de functies,,, en en nu de functies,, en Wat is bij de tekening rechts bijzonder en waarmee heeft dat te maken? (5 eigenschappen) 9 De eigenschappen van deze verbanden hebben allemaal met hun machten te maken. Deze functies heten dus machtsfuncties. Denkopgave: Wat zou je moeten doen, als je alle functies door het punt (2, 3) zou willen laten lopen. 3 (Denk aan de inhoud van de afgelopen les!) Als je een idee hebt, probeer het met jouw GR en drie formules uit. (Check dan met behulp van intersection (ISCT) het snijpunt van alle grafieken)

20 Standaardfuncties: Standaardfuncties verschoven om (2,3): O2 4 Samenvatting standaardmachtsfuncties: Standaardmachtsfuncties met oneven macht (bijv., ) met oneven macht (bijv., ) Symmetrie (welke?, met wat?) Gemeenschappelijke punten (coördinaten?)

21 Natuurlijk kan ook bij alle machtsfuncties net zoals bij alle andere functies een factor a meespelen. Je kent al lang de algemene formules voor eerstegraads en tweedegraads machtsfuncties, dus voor rechte lijnen en parabolen. Verder voor hyperbolen en wortelfuncties. Ter herhaling: Rechte lijnen Lineaire, recht evenredige of verbanden Parabolen Kwadratische verbanden of Hyperbolen Wortelfuncties Omgekeerd evenredige verbanden of of Algemeen schrijf je voor machtsfuncties zonder translatie (verschuiving) de formule. Hierbij is de mutatiefactor (veranderingsfactor) en de exponent (het machtsgetal); (reële getallen) en (rationale getallen). O3 Hieronder staan verschillende formules en grafieken. Schrijf de juiste formule bij de bijpassende grafiek. Bedenk hierbij waarom de formule bij deze grafiek zou passen; welke rol spelen de factor en de macht van? Je mag deze opgave ook met z n tweeën doen K4 Teken in de linke tekening en in de rechte tekening. O5 y x n n n 5 n n Hierboven heb je de veranderingen van machtsfuncties m.b.t. en n geanalyseerd. Als vast blijft en alleen verandert, kun je precies analyseren, hoe de formule verandert als je verschillende machten invult. (Zie de grafieken links met ) n n 6 Voor alle positieve a en x (, ) is de grafiek bij (negatief) ( ) toenemend stijgend toenemend stijgend toenemend stijgend afnemend stijgend afnemend stijgend afnemend stijgend afnemend dalend afnemend dalend afnemend dalend Wat is juist? Vink aan!

22 Ter informatie: Indien n negatief is, schrijf je de formule als in het voorbeeld: en : In plaats van schrijf je Vanaf dit punt kies je uit K- en U-opgaven; A-opgaven moet je maken. De volgorde maakt niet uit. Lees de opgaven door en kies dan. Als je iets met een medeleerling wilt bespreken, denk a.u.b. eraan zachtjes te praten. Veel succes! A6 a) De grafiek van gaat door het punt (5, 3) Bereken in twee decimalen nauwkeurig. (R) b) De grafiek van gaat door het punt (4, 8) Bereken n in twee decimalen nauwkeurig. (GR) Om dit soort problemen op te lossen moet je de uitkomst van met de formule van laten snijden. MAAR, wij hebben hier een variabelenwissel. is nu vast en wordt flexibel. Dus moet je bij je GR nu noemen. A7 De functie gaat door het punt. e) Bereken. f) Teken de grafiek met, (maak een tabel) g) Onderzoek de functie op symmetrie. h) wordt verschoven om (2, -1); het ontstaat *. Geef de formule van * aan. Huiswerk: Voor evenredig en omgekeerd evenredig met y en opgaven A28, A32 en A35 en A22, A23 lees a.u.b. theorieën B, C en D van G&R 8.3 en maak de

23 Groep III les 1/3 HS 8 verschillende functies Vandaag gaat het om de zogenaamde omgekeerd evenredige functies. O1 Hier zie je twee recht evenredige functies en Welke twee opvallende eigenschappen hebben zij gemeen? Hoe schrijf je een formule hiervoor op? Verschillende voorbeelden voor evenredig uit het dagelijks leven en passende formules. Bij omgekeerd evenredig heb je een andere situatie zoals bijv.: Na haar verjaardagsfeest helpen drie vrienden Bo bij het schoonmaken (zij zijn dus met z n vieren). Zij is dankbaar omdat zij, als ze alleen was, 4 uur nodig zou hebben. a) Hoe zou de grafiek hiervan eruitzien? Duur Maak een snelle schets, hiernaast in in het assenstelsel, zonder iets te uren bespreken, berekenen of in je boek ( ) te kijken. aantal personen ( ) Vertel nu aan jouw groep waarom jij de grafiek zo hebt geschetst. Wat was jou intuïtie? Leg uit! Vergelijk dan jouw oplossing/idee met de van je buurman/-vrouw. Waar zijn de verschillen? Wie heeft gelijk? Welke uitleg klinkt plausibel? a) Maak vervolgens een tabel:, aantal personen, duur van het schoonmaken? 4 b) en teken de grafiek y x c) DUO-OPDRACHT Eén van deze formules hoort bij de opgave. Geef aan welke en leg uit waarom.

24 Hier zie je vier omgekeerd evenredige functies; o.a. uit ons voorbeeld en ook de standaardgrafiek O2 Eigenschappen van de grafieken van omgekeerd evenredige functies (=hyperbolen): Vanaf dit punt gaan wij samen of in DUO S opgaven bespreken. Doe actief mee en laat je denkstapjes horen en wees kritisch! Het gaat om de manier hoe je opgaven oplost. Kies later uit K- en U-opgaven; A-opgaven moet je maken. De volgorde maakt dan niet uit. Bespreek de keuze met je partner naast je. Let a.u.b. op de anderen in het lokaal en denk eraan zachtjes te praten. Veel succes! K3 K4 Welke voorbeelden zijn evenredig en welke omgekeerd evenredig? Geef een voorbeeldformule aan. k) Het aantal pakjes melk in de supermarkt en de totaalprijs ervan? l) Het aantal tuintjes op een terrein van 1 ha land en hun oppervlakte. m) Het aantal producten dat een machine aflevert binnen de productietijd. n) Het aantal auto s op een parkeerterrein en het ingenomen parkeerbedrag in euro. o) De snelheid van een auto en de benodigde tijd. Geef twee voorbeelden van omgekeerd evenredig (a) en één voorbeeld van evenredig (b). (a) (b) K5 Volgens een onderzoeksbureau is het aantal per maand verkochte vulpennen van het merk Waterman omgekeerd evenredig met de prijs in euro s. Bij een prijs van 12,50 is de maandverkoop 6500 vulpennen. g) Stel de formule op van bij een prijs van euro. h) Bereken de maandelijkse verkoop bij een prijs van 15,00. i) Bereken welke prijs bij een maandelijkse verkoop van 5800 vulpennen hoort. K6 Onderzoek in de Stille Oceaan heeft uitgewezen dat de watertemperatuur in omgekeerd evenredig is met de diepte in km. Dit verband blijkt alleen te gelden voor dieptes groter dan 500 meter. Op een diepte van 2500 meter is de watertemperatuur 1,6 C. g) Stel de formule op van de temperatuur op een diepte van km. h) Wat is de temperatuur op 4835 meter diepte? i) Op welke diepte is de temperatuur 1,4 C?

25 A7 De hyperbool met de formule gaat door het punt g) Bereken de variabele. h) Laat met een berekening zien dat de grafiek met deze formule punt symmetrisch is m.b.t. de oorsprong. i) Teken de grafiek ; maak eerst een tabel. U8 Gegeven is de hyperbool met de formule i) Hoe ontstaat deze hyperbool uit de standaardgrafiek? (2 mutaties (veranderingen); geen GR) j) Schets de grafiek. (Zonder GR) k) Geef de formules van de asymptoten aan. (Zonder GR) l) Voer?, en in je grafische RM in en onderzoek de translaties. U9 De rechte lijnen hieronder geven samen een toenadering aan de vorm van de hyperbool daarnaast. Probeer met behulp van de coördinaten van de rechte lijnen de formule van de hyperbool op te schrijven. A10 Bij het nemen van een bocht hangt een wielrenner naar binnen. Bij een gegeven snelheid is de hoek die hij maakt met een verticale lijn omgekeerd evenredig met de staal van de bocht. Bij een snelheid van 30 km/uur en een straal van 15 meter hoort een hoek van 25,5. Ga bij de volgende vragen uit van een snelheid van 30 km/uur. m) Maak een schets van de wielrenner met de Hoek. n) Stel de formule op van. Neem de straal in meter. o) Hoe kleiner de straal, hoe. p) Een bocht heeft een straal van 12,5 meter. Bereken de hoek. q) Een wielrenner gaat met een hoek van 23,2 door een bocht. Bereken de straal in dm nauwkeurig. r) * is de hoek die de wielrenner met de grond maakt. Druk * uit in. Laatste 5 minuten: Reflecteer nu over wat jij vandaag hebt geleerd en deel jouw kennis in je groep; bespreek de inhoudelijke deel maar ook de manier waarop jij opgaven oplost. Huiswerk: Getal en Ruimte HS 8, opgaven 5, 7 en 9

26 Groep III les 2/3 HS 8 verschillende functies Jullie kennen al verschillende soorten formules en functies en de bijpassende grafieken. Hier bijv. een lineaire functie ( ), een parabool ( ) en een wortelfunctie ( ). (Wortel van is tot de macht 0,5) O1 Geef voor deze drie soorten functies de standaardformules en de algemene formules aan. Bespreek in de groep. Lineaire functies Kwadratische functies wortelfuncties Algemene formule of Standaardformule Standaardformule is de formule zonder veranderingen, die door de oorsprong /(0,0) gaat. Grafieken zie hieronder. DUO-OPDRACHT Hoe zijn de functies, en uit het voorbeeld ontstaan? Bespreek met jouw partner en vergelijk daarna in de groep. translatie (verschuiving) Lineaire functie f Kwadratische functie g Wortelfunctie h Mutatie (met factor) Standaardgrafieken van lineaire, kwadratische en wortelfuncties Deze inhoud is herhaling en basiskennis die ook het volgende jaar nog belangrijk is!

27 O2 Natuurlijk zijn dit soort mutaties bij alle functies, formules en grafieken mogelijk. In de vorige les heb je kennis gemaakt met de hyperbool, die eigenlijk uit twee delen bestaat. Bedenk, zonder op te zoeken, nog eens de eigenschappen van een hyperbool met de standaardformule : Waarom mag je niet in de formule invullen? Wat betekent dit grafisch? Je kunt de formule ook naar x oplossen:. Wat betekent dit voor de symmetrie van de hyperbool? Welke andere soorten symmetrie herken je verder? Noem ook de punten of symmetrieassen. Terug naar mutaties van functies. Hier zie je de translatie van de hyperbool h1 met de formule, die 3 omhoog wordt verschoven. De Vector v toont de translatie (, ) aan. v Vul links in het algebravenster de formule van in. Geef de asymptoten aan van! DUO-OPDRACHT Bedenk nu met de kennis van translaties bij formules hoe een verschuiving van drie naar rechts en 5 omlaag eruit zou moeten zien. a is overal 2. Let op: haakjes zetten! Vul deze tabel in en bespreek met jouw partner. Als jullie klaar zijn, wissel van partner en bespreek je uitkomst. Translatie (0, -5) Translatie (3, 0) Translatie (3, -5) Lijn: Parabool: Wortelfunctie : UITDAGING UITDAGING UITDAGING Hyperbool: y = 2/x Teken nu de translaties (3, -5) in de assenstelsels bij de bijhorende grafieken en schrijf de bijbehorende formules, en, in het algebravenster. (Teken met potlood)

28 Evenredig ( ) en omgekeerd evenredig ( ) en verschoven (, ) 3 Kwadratische ( ) en Wortelfunctie ( ) en verschoven (, ): 3 Denkvraag: Een functie is recht evenredig als geldt. Wanneer is een functie dus omgekeerd evenredig? Schrijf de formule hiervoor op. Bij welke opgave van de vorige les kan jij dit laten zien?

29 Vanaf dit punt kies je uit K- en U-opgaven; A-opgaven moet je maken. De volgorde maakt niet uit. K3 Onderzoek naar omgekeerd evenredig. Jouw conclusie: Een hyperbool met een translatie K4 Gegeven zijn volgende waardes en tabellen. Onderzoek de verbanden met evenredig en omgekeerd evenredig. Indien mogelijk, geef de formule aan. UITDAGING: ,5-6, ,5 [ ] K5 De functie wordt door de translatie (-2,5 ; 4,25) verschoven. Stel de formule van de door de translatie ontstane functie * K6 Gegeven is de functie f met de formule. g) Geef de formules van de asymptoten aan. h) Maak een tabel met met en teken de grafiek. i) Verschuif de hyperbool met de translatie (2, -2) en teken deze nieuwe functie in het assenstelsel bij. op. A7 OF A8 De firma Tulp produceert onder andere hardhouten tuinbankjes. De gemiddelde kosten per bankje worden berekend met de formule. Hierin is B het aantal geproduceerde bankjes en zijn de gemiddelde kosten in euro. k) Bereken de gemiddelde kosten bij een productie van 10 bankjes, van 100 bankjes en van bankjes. l) Tot welke grenswaarde naderen de gemiddelde kosten bij een toenemend aantal bankjes? m) Het bedrijf wil dat de gemiddelde kosten lager uitvallen dan 15,75. Hoeveel bankjes moeten er dan minstens worden geproduceerd? n) Leg uit dat de totale kosten kunnen worden berekend met de formule. o) Hoe hoog zijn de vaste kosten voor de productie, dus ongeacht het aantal bankjes dat geproduceerd wordt? Fruittelers bespuiten regelmatig hun fruitbomen met insecticiden om aantasting van het fruit tegen te gaan. De opbrengst in kg van een gemiddelde perenboom hangt af van de hoeveelheid gebruikte insecticide per oogst. Hierbij is in een geschikte eenheid. met i) Hoeveel is de opbrengst als er niet bespoten wordt? j) Zal bij toename van de opbrengst toenemen of afnemen? Hoe volgt dat uit de formule? k) Teken de grafiek van. l) De fruitteler laat de hoeveelheid insecticide vergeleken met het jaar ervoor toenemen van 4,5 tot 6,5. Hoeveel procent is de toename van? U9 De punten en bewegen zich op de hyperbooldelen van de functie. Hierbij zijn de -waardes van negatief, die van de punten positief. De lijnen lopen door de oorsprong (0, 0). Er ontstaan vierkantjes met het symmetriepunt (0, 0). e) Teken de hyperbool en het vierkant voor. f) Bereken de minimale oppervlakte van. Welke waarde heeft hierbij? Huiswerk G&R HS 8: 14 en 17

30 Groep III les 3/3 HS 8 verschillende functies O1 Je kent nu verschillende soorten formules en de bijbehorende grafieken. Hier zijn een paar standaardfuncties: Deze hebben alle te maken met verschillende machten van x, dus kan je deze formules ook als een potentie van x schrijven: Als je deze formules nu in de GR invoert, ontdek je wat deze standaardfuncties hoewel zij allemaal verschillend zijn gemeen hebben: ANTWOORD: Schets de functies,,, en en nu de functies,, en Wat is bij de tekening rechts bijzonder en waarmee heeft dat te maken? (5 eigenschappen) De eigenschappen van deze verbanden hebben allemaal met hun machten te maken. Deze functies heten dus machtsfuncties. Denkopgave: Wat zou je moeten doen, als je alle functies door het punt (2, 3) zou willen laten lopen. (Denk aan de inhoud van de afgelopen les!) Als je een idee hebt, probeer het met jouw GR en drie formules uit. (Check dan met behulp van intersection (ISCT) het snijpunt van alle grafieken)

31 Standaardfuncties: Standaardfuncties verschoven om (2,3): O2 Samenvatting standaardmachtsfuncties: Standaardmachtsfuncties met even macht (bijv., ) met oneven macht (bijv., ) Symmetrie (welke?, met wat?) Gemeenschappelijke punten (coördinaten?)

32 Natuurlijk kan ook bij alle machtsfuncties net zoals bij alle andere functies een factor a meespelen. Je kent al lang de algemene formules voor eerstegraads en tweedegraads machtsfuncties, dus voor rechte lijnen en parabolen. Verder voor hyperbolen en wortelfuncties. Ter herhaling: Rechte lijnen Lineaire, recht evenredige of verbanden Parabolen Kwadratische verbanden of Hyperbolen Wortelfuncties Omgekeerd evenredige verbanden of of Algemeen schrijf je voor machtsfuncties zonder translatie (verschuiving) de formule. Hierbij is de mutatiefactor (veranderingsfactor) en de exponent (het machtsgetal); (reële getallen) en (rationale getallen). O3 DUO-OPDRACHT Hieronder staan verschillende formules en grafieken. Schrijf de juiste formule bij de bijpassende grafiek. Bedenk hierbij waarom de formule bij deze grafiek zou passen; welke rol spelen de factor en de macht van? Bespreek met je partner. K4 Teken in de linke tekening en in de rechte tekening. y x n n n 5 n n O5 Hierboven heb je de veranderingen van machtsfuncties m.b.t. en n geanalyseerd. Als vast blijft en alleen verandert, kun je precies analyseren, hoe de formule verandert als je verschillende machten invult. (Zie de grafieken links met ) n 6 Voor alle positieve a en x (, ) is de grafiek bij n (negatief) ( ) toenemend stijgend toenemend stijgend toenemend stijgend afnemend stijgend afnemend stijgend afnemend stijgend afnemend dalend afnemend dalend afnemend dalend Wat is juist? Vink aan!

33 Ter informatie: Indien n negatief is, schrijf je de formule als in het voorbeeld: en : In plaats van schrijf je Vanaf dit punt kies je uit K- en U-opgaven; A-opgaven moet je maken. De volgorde maakt niet uit. Lees de opgaven door en kies dan. Als je iets met een medeleerling wilt bespreken, denk a.u.b. eraan zachtjes te praten. Veel succes! A6 a) De grafiek van gaat door het punt (5, 3) Bereken in twee decimalen nauwkeurig. (R) b) De grafiek van gaat door het punt (4, 8) Bereken n in twee decimalen nauwkeurig. (GR) A7 De functie gaat door het punt. i) Bereken. j) Teken de grafiek met, (maak een tabel) k) Onderzoek de functie op symmetrie. l) wordt verschoven om (2, -1); het ontstaat *. Geef de formule van * aan. Huiswerk: Voor evenredig en omgekeerd evenredig met y en opgaven A28, A32 en A35 en A22, A23 lees a.u.b. theorieën B, C en D van G&R 8.3 en maak de