UITWERKINGEN VAN DE OPGAVEN

Transcriptie

1 Basisboek kwantitatieve methoden Wiskunde en financiële rekenkunde met Exceltoepassingen UITWERKINGEN VAN DE OPGAVEN Donald van As Jaap Klouwen

2 Deze uitwerkingen horen bij Basisboek kwantitatieve methoden Wiskunde en financiële rekenkunde van Donald van As en Jaap Klouwen. Speciale dank gaat uit naar Rob Maas. 26 Uitgeverij Coutinho bv Alle rechten voorbehouden. Behoudens de in of krachtens de Auteurswet van 92 gestelde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van reprografische verveelvoudigingen uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 6 h Auteurswet 92 dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Reprorecht (Postbus 35, 23 KB Hoofddorp, Voor het overnemen van (een) gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 6h Auteurswet 92) kan men zich wenden tot Stichting PRO (Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie, Postbus 36, 23 KB Hoofddorp, Uitgeverij Coutinho Postbus 333 AH Bussum info@coutinho.nl Noot van de uitgever Wij hebben alle moeite gedaan om rechthebbenden van copyright te achterhalen. Personen of instanties die aanspraak maken op bepaalde rechten, wordt vriendelijk verzocht contact op te nemen met de uitgever. ISBN NUR 78, 99

3 Uitwerkingen van de opgaven p. 3/39 Lineaire verbanden. a dus 79 b. b a c. 7/8 d. q/p e. -t f. /r.2 bijv. 7/9 en 9/7 of,8 en,25.3 bijv. 3/5 en -3/ en /23.5 a. a + b + 2a 2b, dus 3a b b. a + b 2a + 2b, dus -a + 3b c. kan niet verder vereenvoudigd worden d. -3r + 8 r + r 2rt + tr = -3r + 8 rt.6 a. 8f + 8g f + g = 9f + 9g + 8 (opm.: in de opgave waren de haken om de tweede vorm f + g overbodig) b. 5t 5 5t, dus t 5 c. yw yx wy + wx = -yx + wx d. -2cr + 2cd rc + rd = -3cr + 2cd + rd.7 a. kr + tr + k + t + r 2kr t = -kr + tr + k + r b. p 8q 3p 2q p + pq = -2q + pq c. xy xz 2yz + 2yx + 3xz = 3xy + 2xz 2yz d. RS + 2S + R + SR = 2RS + 2S + R.8 a. b. c. d. e. f dus p 3p + + dus b a b + a + dus ab ab ab 2a 7 2a 7 dus 2b 2b 2b 5( + R) R + = + R + R + R g g dus g g g R + 5R = + R.9 a. b. c. p 2 ab wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk

4 Uitwerkingen van de opgaven p. /39 d. 7a 7a hetgeen kan worden geschreven als 2 b 2b 2b (zie hoofdstuk 2) e R f. g. a. b. c. d. e. f C 8 2 6C 3 dus 6C 5 dus 2y 2y 2y 8 p dus 6 p q 2q a + 3 a a dus c c 2 dus c + 2 c + 2 a a dus g g g a. (delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde, dus ) b. p 3p 3 dus c. b b dus a a d. a 2b a 2b a 2a dus dus 2 dus b 7 7 b R e. 5 = + R 5 f. g 2g dus 5 R R 6 + 3R R R.2 a. (2 + R) = 2 + R = = l65 l6 l65 l6 l65 b. haakjes uitwerken geeft: = = l l l l l - p + 6.3,p + q = 6 geeft,q = -p + 6, dus q = = -2,5p + 5, (delen door, is equivalent met vermenigvuldigen met 2,5, het omgekeerde van,). 5v = -2u + 5 dus v = -,u +.5 NB: F en C moeten in het gegeven functievoorschrift omgewisseld worden: De vraag moet dus luiden: 6 wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk

5 Uitwerkingen van de opgaven p. 5/39 9 Gegeven is F als functie van C: F = C Bepaal door middel van een berekening 5 het voorschrift van C als functie van F. De oplossing is: 9 9 F = C + 32, dus F - 32 = C, dus 5 (F 32) = C C als functie van F is dus 5 (F 32), 9 of, zonder haakjes: C = 5 F K(3) K(9) richtingcoëfficiënt (helling) = = = =,5 dus K(t) =,5t + constante 3 9 nu coördinaten van één van de punten invullen: 5 =,5 9 + c ofwel c =,5 hetgeen leidt tot het antwoord: K =,5t +,5 controle: vul de coördinaten van het andere punt in: 2 =,5 3 +,5 geeft 2 = 9,5 +,5 (klopt!) C(8) C() r.c. = = = = -, 75 dus C(Y) = -,75Y + constante; nu coördinaten van 8 één van de punten invullen: 5 = -,75 + c ofwel c = 22 hetgeen leidt tot het antwoord: C = -,75t + 22 controle: vul de coördinaten van het andere punt in: 8 = -, geeft 8 = (klopt!) ΔI.8 er geldt: =, 6 ofwel r.c. =,6 dus I =,6 Y + constante; invullen coördinaten (;2) ΔY geeft: 2 =,6 + c dus c = 6. Het antwoord: I =,6Y a. y = -6x + 5 dus y = x + 5 dus r.c. = - = -, 5-2 b. 6x = -y + 5 dus y = x + 2,5 dus r.c. = - = a. 3r = 9 dus r = 3 b. 2x = 25 dus 2x = 35 dus x = 7,5 c y = 6 dus y = 6 dus 2y = 63 dus y = 3,5 d. 3x + 2 2x 2 = dus x =.2 a n = 35n 38 dus n = -38 dus n = -6 dus n = -,6 b.,t,6 +,9t = t dus,3t -,6 = t dus,3t,6 = dus,3t =,6 dus t = 2-25 c. p p = p = 29p + 58 dus 7p 33 = 29p 58 dus -2p = -25 dus p = = R d. R + R = dus R + R = R dus R + = R dus R R = - dus R = - dus R = - = -7 = wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk

6 Uitwerkingen van de opgaven p. 6/39.22,5u + R vr = wr de termen met R naar één kant:,5u = wr + vr R R buiten haken halen:,5u = (w + v -)R,5u delen door w + v : R = w + v.23 a. vermenigvuldiging met respectievelijk 2 en geeft: x 6y = 6 -x +y = + 5y = dus y = 2 vermenigvuldiging met respectievelijk en 3 geeft: 22x 33y = 33-2x + 33y = 2 + x = 5 dus x =,5 oplossing: x =,5 y = 2. b. we herschrijven de tweede vergelijking als volgt: 8x 2y = x + 5; dit leidt tot: 8x 7y = 7x 2y = 5 vermenigvuldiging met respectievelijk 7 en -8 geeft: 56x 9y = 7-56x + 6y = y = -33 dus y = vermenigvuldiging met respectievelijk -2 en 7 geeft: -6x + y = -2 9x y = x = 33 dus x = oplossing: x = y = c. Er moet gelden:,6x + 3 =,x + 5 ; dit leidt tot,2x = 5 dus tot x = 75. Substitutie in de eerste vergelijking geeft y =, = 75. x = 75 oplossing: y = 75.2 a. vermenigvuldiging met respectievelijk 3 en -6 geeft: 5u + 2v = 6 -u 2v = 2 + u = 72 dus u = 8 wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk

7 Uitwerkingen van de opgaven p. 7/39 vermenigvuldiging met respectievelijk 3 en -3 geeft: 5u + 2v = 6-5u v = v = 2 dus v = -5 oplossing: u = 8 v = 5 b. substitutie van 2 de vergelijking in ste vergelijking geeft: 5v = (v 2) + 2,5 5v = v 8 + 2,5 v =,5 substitutie van v =,5 in 2 de vergelijking geeft: u =,5 2 = 2,5 oplossing: u = 2,5 v =,5 c. substitutie van 2 de vergelijking in ste vergelijking geeft: u = 3(-,5u ) 8 u = -,5u ,5u = -8 dus u = = -9, 2 2,5 Substitutie van u = -9,2 in de 2 de vergelijking geeft: v = -,5-9,2 - = -, oplossing: u = 9,2 v =,.25 De prijzen inclusief BTW worden berekend door te vermenigvuldigen met,9; ze bedragen respectievelijk 76,-, 28,32 en 8,93 (twee decimalen, het gaat immers om geldbedragen)..26 De prijzen exclusief BTW worden berekend door te delen door,9 ofwel te vermenigvuldigen met het omgekeerde van,9; ze bedragen respectievelijk 83,9, 73,5 en,83.27,9 9, dus 7,69,9.28 Vermeerderen met 5% betekent vermenigvuldigen met,5; verminderen met 5% betekent vermenigvuldigen met,5; in totaal dus,5,5 ofwel,75 hetgeen een vermindering met 25% oplevert. Het antwoord is dus -25%..29,65,7 =,55 dus in totaal 5,5% korting.3 De groeifactor bedraagt ofwel,79 dus 2,6% lager,26.3 De groeifactor (ruim), dus groeivoet is, dus groeipercentage ; dus % inflatie..32 De absolute groei bedraagt K(2) K() = 9. wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk

8 Uitwerkingen van de opgaven p. 8/39 K(2) K() 9 de relatieve groei bedraagt = =, 5 K() 6 dus 5%.33 a. K A (x) = 2 +,2x, en K B (x) = 5 +,7x (met x = aardgasverbruik per jaar in m 3 ; K in euro s). b. Bereken het break-evenpunt: K A (x) = K B (x). Dus 2 +,2x = 5 +,7x. Hieruit volgt:,3x = 26, dus x = 26/,3 = 866,7. Vanaf 867 m 3 is energiebedrijf B voordeliger. c. Zie hieronder K 5 5 K B =,7x + 5 K A =,2x x.3 a. De provisiekosten bij de NBA-bank zijn 9,5 +,5 3 = euro; bij de Baro-bank:,2 3 = 6 euro. b. K NBA (W) = 9,5 +,5W en K BARO (W) =,2W (euro), met W de waarde van het aandelenpakket. c. Het gelijkstellen van deze beide kostenfuncties geeft de vergelijking 9,5 +,5W =,2W; de oplossing is W = 9. euro. Voor W > 9. zal de NBA-bank goedkoper zijn..35 Uit q v = q a volgt -3p + 3 = 5p + 2, dus -8p = -32. Conclusie: p = ; invullen in bijvoorbeeld q v levert: q = 22. Evenwichtsprijs en -hoeveelheid zijn dus respectievelijk euro en 22. stuks..36 a. Stel de beide functies aan elkaars gelijk: 3p + 7 = -2p +. Hieruit volgt: 5p = 3, dus p =,6; invullen van deze waarde in q a of q v levert: q = 8,8. b. Zie grafiek: 6 5 vraag p 3 2 aanbod q wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk

9 Uitwerkingen van de opgaven p. 9/39.37 a. Als p toeneemt van tot 5, is p = ; als p = dan is q gelijk aan 6 en als p gelijk is aan 5 dan is q gelijk aan 59,25, dus q = -,75. Δq q -,25 6 De prijselasticiteit is gelijk aan = =-,5 Δp p Δq p Sneller is: Epq, = = -,75 = -,5 Δp q 6 p -,75p b. = -,75 = -, dus = -. Kruislings vermenigvuldigen geeft: 63,75p 2 63,75p 2,5p = 63,75p. Hieruit volgt 2,25p = 63, dus p = 63/2,25 = a. q = - 7 p + 2 b. E, q Δq = Δp p p q = = -, c. -,67 (kan alleen met de tweede methode uit antwoord opgave.37; dit heet puntelasticiteit).39 a. p(q) = -,6q + 5,6 (m.b.v. Excel trendline) b. Trendline met verwisseling van coördinaten levert: q(p) = -,67p + 9,33 (op 2 decimalen afgerond). c. Omwerken van p(q) naar q(p) klopt: ga uit van p = -,6q + 5,6, dus,6q = -p + 5,6. Deel links en rechts door,6: q = -,67p + 9,33.. Neem voor de aanbodfunctie bijvoorbeeld de (q;p)-punten (2;) en (5;), en voor de vraagfunctie (2;) en (;).. Zie figuur. in paragraaf.2. wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk

10 Uitwerkingen van de opgaven p. /39.2 Zie onderstaand aflossingsschema. A B C D E Lening 2 3 Type lening Lineair Kapitaal 5 Looptijd 6 Interest % 7 8 Aflossingschema 9 Jaar Aflossing Interest Totaal Restschuld Er geldt: A(t) =., I(t) = t, T(t) =. t, R(t) =..t (t =,,) wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk

11 Uitwerkingen van de opgaven p. /39.3 Zie onderstaande afschrijvingstabel: A B C D E Afschrijvingen 2 3 Type Lineair Aanschafwaarde 3 5 Looptijd 5 6 Interest 6% 7 Restwaarde Jaar Afschrijving Interest Totaal Boekwaarde 8666, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,67 2 Er geldt: A(t) = 8.666,67, I(t) = 92 2t, T(t) = 37786,67 2t, BW(t) = ,67t, voor t =,,5. BW(7,25) = ,67 7,25 = 6.666,67.. Ja, dit is een lineair afschrijvingsschema: zie tabel. A B C D E Afschrijvingen 2 3 Type Lineair Aanschafwaarde 75 5 Looptijd 8 6 Interest 6,3% 7 Restwaarde Jaar Afschrijving Interest Totaal Boekwaarde wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk

12 Uitwerkingen van de opgaven p. 2/39 Gemengde opgaven.5 a. -79 b. -d + m + 68 c d. e. - 3x f. -5R tegengestelde: - ; omgekeerde: a. xz + 8yz + 7x + 6y 22 b. 8t 5 c. pq 8pr 2 2T T + 2T d. + = (zie hoofdstuk 2) T T T.8 a. b. c. d. 9 D D 9 + D + = (zie hoofdstuk 2) 3D 3D 3D 2Y Y 7 x M(x) = -,75x +, a. 2 b. 22 c a. p = ; q = b. Tweede vergelijking moet zijn: p = q 5. Antwoord: p = 7 6 ; q = , respectievelijk 23,56 wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk

13 Uitwerkingen van de opgaven p. 3/39.53 a. Zie grafiek. 2 6 aanbod p 2 8 vraag q b. p = 7 2 ; q = a. q = -,8p + 2 b. -2 c. p = 7,5; q = 6.55 Bij de afschrijving van de Sum of Years Digits zijn alleen de afschrijvingen lineair: A(t) = 6..t, voor t = t/m 5. Het volledige afschrijvingsschema is: Jaar Interest Afschrijving Totaal Boekwaarde Ja, met kapitaal 2 miljoen, looptijd jaar en interest 5,6% per jaar. wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk

14 Uitwerkingen van de opgaven p. /39 2 Exponentiële verbanden 2. a. 5 7 b. - (niet te schrijven als macht van één grondtal) c. 2 3 d., 7 e = 2 3 f 3 5 g. - (niet te schrijven als macht van één grondtal) h,5 5 i., 35 j. - (niet te schrijven als macht van één grondtal) k l., of met het grondtal afgerond op 3 decimalen:, a. k b. p q 5 c. ( + r) 8 d. ( + m) [(+m) ] = ( + m) m = ( + m)m Of: + 2m + m 2 m = m + m 2 = m( + m) 2.3 a. t p q b. r c. (p + q) 2 (p q) 2 =p 2 +2pq +q 2 (p 2 2pq +q 2 ) = pq d a 2 2b 2 2. a. b. + 5R 2 ( + R) 2 i + i + i exponent: macht van 5: :5 - = 5 2 9,5 3, dus 5 is 9,5 3 keer zo groot als a. 5 3 b. 5 - = 5 3 c. a -6 b 3 b = 6 a d. 7 p e. 5 (= ) wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk 2

15 Uitwerkingen van de opgaven p. 5/39 f. p 9 g. 5 y h. b 5 a 2.7 a. ( + R) = ( + R) b. R 2.8 a. 7 6/3 = 7 2 b = = c 3 = 3 d., e. g 2 g 2 = g 2 f. f f 2 3 = f 25,6 =,6 2 3 = f 2.9 a. 3 b., 5/2 = 2, = f c. 2 3/2 3 / = 2 3 = 8 3 d. g -/3 = 3 g e. r -2/3 = 3 r 2 f. (p 7/5 ) 2 = p /5 = 5 p 3 25,6 =,6-5 =, a = 5 + = 5 + 2,5 = 7, b. = = c. 5(, +,2 + ) (,2,)= 5 3,6, = 82, = 77,6 d. (29/5) 2 /9 + /6 = 2. a = /3 + /9 = = 3, = 6 26 b ,5 = = = = 7 2 wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk 2

16 Uitwerkingen van de opgaven p. 6/39 c (2 3) 2 = 2 d = 2, a. p q b. 2 R c. - (kan niet verder vereenvoudigd worden) 5 6 d. g 2.3 a. F / b. x 2 + g + R = + R 2. Noemer uitwerken: ( ) R g 2.5 a. b. 52 c d. 72 e f. 2.6 a. 5 x = /,2 dus 5 x = 5. Hieruit volgt: x = log 5 / log 5 = 3,86 b., t = /6 =2/3, dus t = log (2/3) / log, =, c. g = 28/8 g = (28/8) / =,52, dus g =,5 d. n =,9 e. g =,3 f. x = 3 = g 5 = 3/5, dus g 5 = 2 g = 2 /5 =,87. Dan: F(t) = F(),87 t = 5,87 t 2.8 g 5 = 3/7, dus g 5 = (3/7) /5 =,2. Dan is: G(x) = G(),2 x. G() = G(5).2-5 = 963,33, dus G(x) = 963,33,2 x 2.9 Groeifactor is g = +,3 =,3. Los op:,3 t = 2. Hieruit volgt: t = log 2 / log,3 = 22,7 jaar (dus voor het eerst na 23 jaar). 2.2,5 t = 3 t = log 3 /log,5 = 22,5 jaar (dus voor het eerst na 23 jaar). 2.2 Bijvoorbeeld y(x) =,3 x 2.22 Met trendlijnmethode ; zie antwoorden bij 2.7 en 2.8. wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk 2

17 Uitwerkingen van de opgaven p. 7/ Met trendlijnmethode: H(x) = 2 e -,99x = 2,957 x. Grafiek met logaritmische y-schaal: y x 2.2 a. P(t) = 35,85 t (met t = op dit moment) b. P(5) = 35,85 5 = 55,3 (euro) c. 3, jaar, dus na 2 maanden 2.25 a. Groeifactor: g,5,5 = 2 dus g = 2 =,587. A(t) = A(),587 t. A(), het aantal op tijdstip t = is niet gegeven. b.,587 t =, dus t = log / log,587 = 5, jaar 2.26 Voor bijvoorbeeld een eindkapitaal van. en een interest van % (per jaar) kan als werkblad worden gebruikt: A B Eindkapitaal 2 Interest % 3 Looptijd 5 5 Startkapitaal =B*(+B2)^-B3 Het antwoord is dan 5552, ,2 +,2 2 +, ,2 5 = 86,27. Voorbeeld van Excelwerkblad: A B,2 2 =$B$^A copy =SUM(B2:B5) 2.28,2,2 2,2 3,2 5 = ,5. Gebruik hetzelfde werkbad als in opgave 2.27, maar zet nu in cel B52: =PRODUCT(B2:B5). wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk 2

18 Uitwerkingen van de opgaven p. 8/39 Gemengde opgaven 2.29 a. x 3 35 a b b. 7 c c. 5x 2 + 5y a b. 6 = 7,75 c. a 3 b d. 6 7 x e. 7 p f., a. 3 5 x b.,5 NB: opgave is misdruk. Moet zijn:,5 c -,5 c c -,5. Antwoord;,5 y = y y c a. 59 b. 75 c a. De verhouding in kracht tussen beide aardbevingen is b. 7,3,3 = 2 6 9,3 9, =, a. Excel geeft met de trendlijnmethode: y = 32,7 e -,55x = 32,7,95 x b. 32,7,95 8 en 32,7,95,5 78 c. Zie onderstaande grafieken 2 5 y 5 y x x wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk 2

19 Uitwerkingen van de opgaven p. 9/ a. De solver geeft x = 3,3 als snijpunt (y = 686). b. Grafiek: zie hieronder. 2 y x 2.36 a. De Solver voor de vergelijking 2 x = x +,8 geeft geen oplossingen. De grafiek van beide functies bevestigt dit: 3 y x b. a,9 (gevonden door trial and error ) 2.37, x = 2,3 x. Dan is x = log 2 / log(,/,3) = 7,7 jaar. Kan ook met Solver in Excel worden opgelost. wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk 2

20 Uitwerkingen van de opgaven p. 2/39 3 Andere economische verbanden 3. a. Los op: TO = -2q 2 +8q = q (-2q + 8) =, dus q = of q = 9. TO is een bergparabool en heeft dus alleen een economische betekenis als q 9. b. De symmetrieas heeft vergelijking x = -b/2a = -8/- =,5. De top van de parabool TO is dus TO(,5) =,5 en is een maximum. c. p = -2q + 8, direct af te lezen uit TO = p q d. Symmetrieas heeft vergelijking q = -b/2a =,5 (het midden van de twee nulpunten), dus p = -2,5q + 8 = 9 e. Zie de grafiek hieronder. 5 TO q 3.2 a. Symmetrieas heeft vergelijking q = -b/2a = -. Invullen geeft TK =. Economisch heeft dit punt geen waarde. b. Zie de grafiek hieronder; alleen getekend voor q. 5 TK q 3.3 a. Met de abc-formule: x = -3 en x = -,5. b. q 2 b ± b 2 ac 5 ± 37 5q 3 =. Oplossingen zijn: q = = = -,5 en 5,5 2a 2 c. Omdat hier al in twee factoren is ontbonden, zijn de oplossingen af te lezen: en 5. d. De discriminant van deze vergelijking is 2; er zijn dus geen oplossingen. e. Oplossingen zijn,5 en 2. wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk 3

21 Uitwerkingen van de opgaven p. 2/39 f. Schrijf als 6x 2 = -5. Links altijd positief of ; rechts -5. Er zijn dus geen oplossingen. g. x 2 x = x(x ) = x = of x = h. -q 2 + 2q 7 =. Heeft geen oplossingen: D = -8. i. 2x 2 + 8x + 8 =. Heeft één (D = ) oplossing: -2. Kan ook door als volgt te redeneren: x 2 + x + = (x+2) 2 = 3. a. (x )(x 6) = b. (x 7) 2 = c. x 2 = - d. q(q 6) = e. (x 7) 2 = 3.5 a. Zie onderstaande grafiek. TK 3 TO, TK, TW 2 TO TW q b. TO = TK -q 2 + q =,25q ,25q 2 + q 5 =. Met de abc-formule geeft dit de oplossingen ( ± 55)/-,5 =,57 en 3,87 c. De maximale wint treedt op bij q = (,57 + 3,87)/2 = 2,22 (of met de formule van de symmetrieas -b/2a). TW(2,22) = 6, d. Zie grafiek in onderdeel a. 3.6 Als er geen afzet is, is er ook geen omzet, m.a.w. als q = dan ook TO = p q =. 3.7 Zie de antwoorden aldaar. Als voorbeeld nemen we onderdeel b. We brengen de vergelijking op, dus q 2 5q 3 =. Kies bijvoorbeeld in A2 de waarde. Zet in cel B2 de formule: =A2^2-5*A2-3. A B x functiewaarde 2 =A2^2-5*A2-3 Voer de stappen uit:. Tools 2. Solver 3. Set Target Cell: B2. Equal to: vink Value of aan, en vul in 5. By Changing Cells: vul A2 in 6. Solve wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk 3

22 Uitwerkingen van de opgaven p. 22/39 Het resultaat is: A B x waarde 2 -,538-3,6E-7 Bij een startwaarde (A2) van 3 krijgen we met de solver de tweede oplossing 5, Kies een x-waarde in cel A2 (bijvoorbeeld ) en typ de formule voor de functie f(x) in cel B2: A B x f(x) 2 -,26*(x-56,6)^2+58 Roep de Solver op en laat dit programma naar een maximum (bergparabool!) zoeken. Resultaat: x f(x) 2 56, Met dezelfde methode als in opgave 3.8 moet nu het minimum worden gezocht. Dit is bij x = -52,72; het minimum is dan f(-52,72) = -8.2, De parabolen f(x) = x 2 en -x 2 snijden elkaar niet. Bij het bepalen van snijpunten met de Solver verschijnt de mededeling Solver could not find a feasible solution. 3. a. Ja, van graad 6. b. Ja, van graad. c. Nee, 2 x is geen polynoom, maar een exponentiële functie. d. Nee, /x = x - is wel een macht (van x), maar geen polynoom. e. Nee, x - 6 is wel een macht, maar geen polynoom. f. Ja, graad is 5. g. Ja, van graad 2. h. Ja, van graad (want = x ). wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk 3

23 Uitwerkingen van de opgaven p. 23/ Het (lokaal) minimum is,96, bij x =,5. Het (lokaal) maximum is 2,, bij x = -,5. Beide zijn te vinden met de Solver en de methode die in opgave 3.8 gebruikt is. De startwaarde moet niet te ver uit de buurt worden gekozen. De functie is degressief dalend tussen x = -,5 en x =,5 en progressief stijgend vanaf x =,5 3.3 a. Zie onderstaande grafiek b. Een dalende kostenfunctie voor waarden tussen en ongeveer 2 en vanaf ongeveer 2 is niet erg realistisch. c. Met de Solver volgt een lokaal minimum van TK = 23,99 bij q = 2,75 en een lokaal maximum van 72,93 bij q = 2,5. wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk 3

24 Uitwerkingen van de opgaven p. 2/39 3. a. f(x) = x x = x 3/2 = x,5 is een machtfunctie (van de variabele x). b. Zie de grafiek c. Ja, een lokaal (rand)minimum voor x =. d. Bereken met de Solver het enige snijpunt van de twee functies f(x) en k(x): (; ). 3.5 a. De functie m(x) is een machtfunctie. b. Zie bijbehorende grafiek c. De x-as is de horizontale en de y-as is de verticale asymptoot. d. Met de Solver (verschil tussen m(x) en y = x op waarde nul laten zetten) volgt het snijpunt (2,35;2,35). 3.6 BMI is een lineaire functie van g. wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk 3

25 Uitwerkingen van de opgaven p. 25/ a. y(x) = -3x 3 + 3x 2 x +6 (zie grafiek), bepaald met de trendlijn methode en keuze voor Polynomial, Order 3. 7 y = -3x 3 + 3x 2 - x y x b. Zie grafiek. y =,5833x - 2,5x 3 + 3,7x 2-23,5x y x c. Excel geeft y = 2 x,5, ofwel y =2 x. d. y = 9 x -,585 e. Niet mogelijk: een machtfunctie gaat niet door de x-as. 3.8 a. (3,q + 7)/q = 5, dus 3,q + 7 = 5q, dus,6q = 7 en daarmee q =,625. b. GTK = 3, +7/q, dus GTK 3, 3.9 Oplossen van de vergelijking GTK = 9 levert, met kruislings vermenigvuldigen:,3q 2 + 5q + 8 = 9q, dus,3q 2 q + 8 =. De oplossing van deze kwadratische vergelijking is (afgerond) bij 25 en 9 stuks per week 3.2 /d =,25 d. Na kruislings vermenigvuldigen volgt: =,25d d 2, ofwel d 2,25d + =. De oplossing van deze kwadratische vergelijking is d =,25 en d = =, dus =. Hieruit volgt: x = 3 en dus x = 3/. x x x wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk 3

26 Uitwerkingen van de opgaven p. 26/ Gelijkstellen van aanbod- en vraagfunctie levert: = 3p 5. dus = 3p 2 5p, p ofwel 3p 2 5p =. De positieve oplossing van deze kwadratische vergelijking is p = 7,32. Invullen levert q = Snijdt 7x met 2 6. Uitkomst 7,3. Dus bij 75 artikelen of meer is het economisch gunstiger is om 2 artikelen af te nemen. 3.2 a.,7%,6% Forfaitpercentage,5%,%,3%,2%,%,% WOZ-waarde (euro) b. Bedrag (euro) WOZ-waarde (euro) c. Alle stuksgewijs rechte lijnen gaan door de oorsprong (;). wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk 3

27 Uitwerkingen van de opgaven p. 27/ a.,25% Percentage bewaarloon,2%,5%,%,5%,% Waarde effecten ( * euro) b Bedrag (euro) Waarde effecten (* euro) wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk 3

28 Uitwerkingen van de opgaven p. 28/ % 5% Heffingspercentage % 3% 2% % % Belastbaar inkomen (euro) 5 tot 65 jaar Heffing (euro) 3 2 vanaf 65 jaar Belastbaar inkomen (euro) wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk 3

29 Uitwerkingen van de opgaven p. 29/39 Gemengde opgaven 3.27 a b. Nulpunten zijn - 3, en 3; lokaal minimum is (; -2), lokaal maximum is (-; 2). c. Progressief stijgen vanaf x = ; degressief stijgend tot aan x = -. d. Er zijn drie snijpunten (zie grafiek), gevonden met de Solver: (-,86; -,86), (-,25;,75) en (2,; 3,) De oplossingen zijn (- ± 5)/2, dus, afgerond op drie decimalen, -,68 en, Lokaal minimum (3,9; -3,); lokaal maximum (,9; -5,96) a. y=,x +,6 b. bijvoorbeeld y = -,x 2 +,x (door extra punt (; )) of y = -,5x 2 +,5x,3 (door (2; 2)) c. y =,83,26 x wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk 3

30 Uitwerkingen van de opgaven p. 3/ a. TK(3) = 2,5; dus 2,5 = 2.5. b TK q c. TK = 3 oplossen met Solver-techniek. Antwoord: q = 8,96,, dus 896 producten. d. Bij ongeveer 5 stuks per dag (q =,5) neemt TK het minst toe a. y = -,6667x 2 + 3,6667x 2 b. y =,2667x 3 2,8x 2 + 8,7333x 5,2 c. y = -x + 6 d. y =,2 x -,9 e. y =,25 e -,55 x =,25,667 x 3.33 a. Kwadratische vergelijking met oplossingen (6± 2)/.8 = 3, en,9. b. GTK is minimaal voor q = 5 (GTK is dan ). Techniek: Solver. 3.3 a. Prijs per stuk (euro) Aantal wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk 3

31 Uitwerkingen van de opgaven p. 3/39 b. 2 Bedrag (euro) Aantal c. Bij een oorspronkelijk plan tot aankoop van exemplaren kan men economisch beter aanschaffen NB: De URL voor de internetcase moet zijn: a. Taxatiekosten Kunsthandel Simonis en Buunk te Ede, b. Ja; vast tarief en daarbij: Bedragen Perc. t/m,6% over het meerdere van t/m 5,% over het meerdere van 5,2% c. Grafiek taxatietarief:,6% Percentage taxatie,%,2%,% 5... Waarde (euro) wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk 3

32 Uitwerkingen van de opgaven p. 32/39 d. Grafiek taxatiekosten: Taxatiekosten (euro) Waarde (euro) wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk 3

33 Uitwerkingen van de opgaven p. 33/39 Financiële rekenkunde. a..225 ( +,5 3.5) = 3.89,38 b..225 ( +,5 [5/2]) =.58,85 c..225 ( +,5 [55/2]) = 3.797, d..225 ( +,5 [278/365]) =.652,7.2 a. I = Interestvergoeding = K i n = 658,75 K,6 7/2 = 658,75 K = 7.75 b. I = K i n = 78, 26/2 =,27 c. I = K i n 368 = 96 i 72/2 =,55 dus 5,5% d. 65,725 n = 29,53 n = 29,53/(65,725) =,625 jaar,625 2 = 7,5 maanden.3 Interestvergoeding is 2.55, = 5,39 = K i n, dus 5,39 = 2.5,275 n. Dus n = 5,39/(2.5,275) =,662 jaar. In dagen is dit, = 2 dagen.. EW = =.896,.5 CW = 5., = = 5.59,2 2,6.6 EW = 5,35 + 2,35 = 5.,5.7 Het antwoord is de som van de contante waarde van die vier cashflows: 2.,8 - +., ,8-3 +.,8 - = 6.55,88.8 Dit is een meetkundige rij met termen, a =5,6 en g =,6. De som is:,6 s = 5,6 = 6.985,82,6.9 Dit is een meetkundige rij met 2 termen, a =56,5 - en g =,5 -. De som is: 2,5 CW = 56,5 = 72.8,,5. De maandinterest volgt uit,9 /2 =,399. Let op: de interest niet tussentijds afronden! De drie punten symboliseren onafgeronde waarden. De 36 maandbetalingen vormen een meetkundige rij met a = 2,399 - en g =, De som is: 36, CW = 2, = ,2, Er zijn twaalf stortingen ( december 22 tot en met december 23) van elk. De eindwaarde, vlak na de 2 e storting, is:,35 2 EW = =.6,96,35.2 De eindwaarde van de 8 stortingen (noem ze X) moet 3. zijn, dus: 8, EW = X = 3. X 25,65 = 3. X =.69,8, wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk

34 Uitwerkingen van de opgaven p. 3/39.3 De eindwaarde is die uit opgave., met een vermindering van de overgeslagen, 8 jaar opgerente storting van uit 25: 2,35 EW =,35 8 = 3.285,5,35. De maandinterest volgt uit,37 /2 =,33 De eindwaarde is: 2,33... EW = 5,33... =.26,56,33... De factor,33 is de extra oprenting omdat de eindwaarde één maand na de laatste storting wordt gevraagd. Dit is de formule van de prenumerando eindwaarde, zie paragraaf.9..5 CW 8, = 295 =.837,9,.6 De contante waarde van de 6 postnumerando termijnen (T) moet het geleende kapitaal van 5. opleveren: 6,6 5. = = T 5. = 5,262 T = 298,,6.7 CW,5 = 7.5 = 6.388,23,5.8 De tijdlijn bij deze opgave is: 5 T T T T T T T T De contante waarde van de acht termijnen T moet het bedrag.5 zijn. Vat die acht termijnen op als een postnumerando rente; dan moeten we die waarde nog twee jaar terugrenten:.5 =,3-2 8,3 T.5 = 6,66 T T = 68,9,3.9 3,3 EW = 3,3 = 3 9,26 = 63.73,8,3 wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk

35 Uitwerkingen van de opgaven p. 35/39.2 Dit is de eindwaarde van een prenumerando rente van 5 termijnen van 6 jaarlijks, bij een interest van 3,5% per jaar, onder aftrek van een jaar opgerente derving van. Zie de tijdlijn hieronder: EW ,35 EW = 6,35,35 =.8,38,35.2 De jaarpremie is steeds 2,96 =.267,2 euro. De (prenumerando) contante waarde van de 2 maandpremies is: 2,3 (i) CW =,3 =.298,5,3 2, (ii) CW =, =.29,6, 2,86 (iii) CW =,86... =.285,39,86... Van de gevallen (i) t/m (iii) heeft (iii) de laagste contante waarde (hoogste maandinterest!), maar de betaling ineens heeft economisch de voorkeur..22 De contante waarde van de op te nemen prenumerando bedragen (T) moet gelijk zijn aan het te ontvangen bedrag: 56. = T & a 2, ), dus, 56. = T, T = 6.638,7,.23 Dit is een postnumerando oneindige rente. De contante waarde is: CW = T = 2 = 5. r,.2 Dit is een prenumerando oneindige rente, met contante waarde: CW = T + r r, = 2 = 52.,.25 Reken eerst de jaarinterest om naar kwartaalinterest:,6 =,67... Dan is de contante waarde: CW = = 95.7,8,67... wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk

36 Uitwerkingen van de opgaven p. 36/39.26 a. Jaar Aflossing Interest Totaal Restschuld b. Het 6 e interestdeel is de restschuld aan het eind van het 5 e jaar maal het interestpercentage, dus.,65 = 6.5. c. De som van alle interestdelen is: Dit is een rekenkundige rij (zie paragraaf.3.3). Tel deze termen als volgt op: e + e : =.3 2 e + 9 e : =.3 3 e + 8 e : =.3 etc. Totaal 5.3 = 7.5 K...27 a. Ann = = = 35.22, 98. a n p a 5,9 b. Restschuld na 5 jaar = R 5 = CW toekomstige annuïteiten = 35.22,98 a 5 5, 9 = 57.69,76. c. Omdat bij een annuïteitenlening de aflossingen een meetkundige rij vormen, en (dus) relatief lager beginnen. K.. d. Nu wordt de annuïteit: Ann = = = & && a a n p 5,9.28 a. Reken bijvoorbeeld de jaarrente om naar maandrente: (,39) /2 =,39 ; dit is,39 % per maand, dus niet de gegeven maandrente in de tabel (,323%)! b. De maandelijks te betalen 9 bestaat uit aflossing en interest. Samen zijn ze constant, dus het betreft hier een annuïteitenlening. 2,323 c. CW = T a n p = 9 = Conclusie: men krijgt meer dan waar men,323 financieelrekenkundig recht op heeft..29 a. Er mist een zin in de opgave: De jaarrente is 3,9%. Dan is dit een voorbeeld van een oneindige lening: de looptijd staat blijkbaar niet vast. b. Rentevoet per maand is 6/2. =,32, dus rentefactor per jaar is,32 2 =,398, dus rente is (ongeveer) 3,9% per jaar. Klopt dus.,7.3 a. CW interestdelen is = 56. = ,57,7 b. CW aflossing is 8.,7 - = 6.679,3 c. De optelling van de antwoorden van a en b is samen de lening zelf: Noteer de e aflossing als a, het e interestdeel als r en de restschuld als R. In onderstaande tabel staan de antwoorden. Type a r R Lineaire lening Ineens aflosbare lening Annuïteitenlening wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk

37 Uitwerkingen van de opgaven p. 37/39 Toelichting: Lineair: Aflossing is telkens 25./2 = 2.5, R = = 2.5 R = 25., dus r = 25.,7 = 5875 Ineens aflosbaar: Aflossingen t/m 9 zijn ; rente is steeds maximaal, dus ook r = 25.,7 =.75 R is nog steeds 25.. Annuitair: Ann= 25.,7/(,7-2 ) = 9.553,5 r =.75, dus a = 9.553,5.75 = 783,5 Dus a = a,7 = (bij annuïteiten volgende aflossingen een meetkundige rij); r =Ann a = 72 R = CW van de 9 nog te betalen ann. = 9.553,5/(,7-9 )/,7 = a. (I) oorspronkelijke schuld = = (II) oorspronkelijke schuld = 93. [,7-5 ] /,7 = b. (I) schuldrest per 6 sept. a.s.: =.375.; betaling dus, = (II) betaling per 6 sept. is 93. (!) Totaal aan betalingen per 6/9/2 zal dus zijn: c. Schuldrest, incl. dan te betalen annuïteit, excl. extra betaling, per 6 sept. zal zijn: 93. [,7-7 ] /,7 = Verminder dit bedrag met de genoemde 93., dit geeft de nieuwe schuld: stel nieuwe annuïteit = T; nu moet gelden T [,7-7 ] /,7 = T = 83.56,7 / [,7-7 ] = 32.6 = wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk

38 Uitwerkingen van de opgaven p. 38/39 Gemengde opgaven.33 a. Annuïteit is 9.29,9; eerste aflossing is 69.29,9. b. Ja, PMT(,8;;-). c (= Ann a 5 8 ) d. RATE(2;-2.9,2;;;) =,7255% per maand, ofwel 9,6% per jaar..3 a. Zet in A t/m A8 de investering (- miljoen) en de 7 kasstromen. Typ dan in Excel =NPV(,65;A2:A8)+A. Antwoord: ,6. b. =IRR(A:A8) =,76, dus 7,6%. c. De vergelijking in onderdeel b is een 7 e graads vergelijking: zie pagina 59. d. Ja, want het leningspercentage (6,5%) is kleiner dan IR (7,6%)..35 a. Benodigd bedrag = 8. ( + /,6 + /,6 2 + /,6 3 + /,6 ) = 8.,6 (,6-5 )/,6 = dus 8. b. Stel het jaarlijks in te leggen bedrag T; er moet dan gelden: T,7 (,7 3 )/,7 = 8. geeft T = 795,6. De jaarlijkse termijnen zullen dus circa 795 bedragen..36 a. De schuldrest = (,79-8 )/,79 = euro. b. De voorlaatste schuldrest bedraagt /,79 = ,; het interestbestanddeel van de laatste annuïteit bedraagt ,,79 = 5756,6; het aflossingsbestanddeel van de laatste annuïteit bedraagt dan ,6 ofwel circa euro. c. De nieuwe annuïteit zal zijn: ann (,63-8 )/,63 = dus 73.97; het verschil met de oude annuïteit bedraagt nominaal ofwel.78 per jaar; als we deze bedragen contant maken tegen 6,3% (het heersende rentepercentage) levert dit: euro. De investering (boete) van 5. euro is dus de moeite waard, het levert een contant voordeel op van 3.953; het is dus interessant om tot omzetting over te gaan..37 a.,9% per jaar betekent groeifactor,9 per jaar en groeifactor,9 /2 per maand ofwel,% per maand; eindsaldo is dan (met de aanname prenumerando) 5, (, 2 ) /, = 7.72 euro; aardig in overeenstemming met advertentiegegevens. NB: met postnumerando volgt: b. =NPER(,9;-6;;;) = 2,. Of: 6,9 (,9 n ) /,9 =. geeft n = 2,; er zijn dus ten minste 3 jaarlijkse termijnen van 6,- nodig..38 a. CW = 85. ((,52-8 ) /,52) = euro b. Het rentebestanddeel van de eerstvolgende annuïteit bedraagt 5,2% van ofwel euro; het aflossingsbestanddeel bedraagt dus ofwel euro. c. Aflossingsschema: jaar Interest Aflossing Interest+afl. Schuldrest d. Uitstaande schuld = 8.25 /,55 = 5. euro..39 a.,58 2 =,799 dus 7,2% per jaar. b. Interestbetaling ( rente ) en aflossing (hier: 39,55 interestbetaling en 23,5 aflossing). n,58 c. 55. = 55 a = 55 n,58,58 d. Vul 5 in de vergelijking uit c in: CW is dan 5.96,, iets minder dan 55.. wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk

39 Uitwerkingen van de opgaven p. 39/39 Vul 5 in: antwoord is 55.93,36, iets meer dan 55. (Of: vergelijking in onderdeel c wordt uiteindelijk:,58 -n =,9 dus n = - log,9 / log,58 = 5,6. e. NPER(,58; -55; 55.) = 5,6. a. Zie tijdlijn hieronder b. Annuïteitenlening c. 399 = 3 a 6 p, dus 399 ( + r) = 3 r 6 d. RATE(6;3;-399) =,226;,226 2 =,376 dus 3,8% per jaar (!). e. Kredietvergoeding is = 8 euro.. Eindkapitaal bij %: 2 2 (, ) 2, 25 = 9.96, euro. Eindkapitaal bij %: = 6. euro. Eindkapitaal bij -%: 2 2 (,96 ) 2,96 25 =.7,69 euro..2 a. Enkelvoudige interestvergoeding, want het gemiddelde is berekend door de jaarrentes op te tellen en door te delen (!). b. Bij samengestelde interest zou de gemiddelde groeifactor zijn geweest:,5,25,35 K,,5 =, =,29, dus een gemiddelde jaarinterest van 2,9%. c. Enkelvoudig: = 2.5; samengesteld:.,5,25,35...,5 =.,279 = 2.79,29 wiskunde en financiële rekenkunde Hoofdstuk