Paragraaf 11: Recursieve formules versie 4 18 april
|
|
- Adriaan Meijer
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Paragraaf : Recursieve formules versie 4 8 april Hoe kun je bij sommige rijen een term vinden uit de voorgaande term(en)? Wat zijn recursieve formules? Wat is het nut ervan? Hoe houd je recursieve formules en directe formules uit elkaar? We bekijken de populatiegroei van konijnen en ratten. Groeten Een club van acht leden komt bijeen. Ze geven elkaar allemaal een hand en spreken dan een groet uit. Hoeveel handen worden geschud? Hoeveel keer worden handen geschud? Hoeveel keer wordt een groet uitgesproken?. Probeer bovenstaande vragen te beantwoorden. Uit Pythagoras april 008 Een club van een onbekend aantal leden komt bijeen. We letten weer op: hoeveel keer worden handen geschud? Bij aanwezigheid van twee leden: eenmaal. Er komt een derde lid binnen en deze schudt de handen van de twee al aanwezige leden. Dit geeft een totaal van drie. ( +) Een vierde lid komt binnen en schudt de handen van de eerste drie leden. Dit geeft een totaal van 3 plus 3. Een vijfde lid komt binnen, er zijn al 6 handen geschud. Het totaal bij vier leden wordt uitgebreid met 4. Er ontstaat een volgende rij van getallen:, 3, 6, 0. Bij aanwezigheid van leden wordt eenmaal de handen geschud. We noteren dan: u().
2 Bij aanwezigheid van 3 leden noteren we: u(3) 3. Zo verdergaand ontstaat een rij met startwaarde u () : u(), u(3) 3, u(4) 6, u(5) 0 Bij een zesde lid krijgen we het totaal bij vijf leden u (5) dat vermeerderd wordt met 5. We noteren dan : u(6) u(5) 5=5. Bekijk de volgende formule: u( n) u( n ) n (andere notatie: un un n ). Leg uit binnen de context van de club wat de betekenis er van is. Bij sommige rijen kun je een term vinden uit de voorgaande term(en). Dit heet recursie. De bijbehorende formule heet een recursieve formule. De formule wordt ook wel een recurrente betrekking genoemd. Je kunt de rij alleen maken als je naast de recursieve formule de waarde van één van de termen weet uit de rij. De eerste term van een rij wordt de startwaarde genoemd. Bij een recursieve formule wordt bijna altijd deze startwaarde vermeld! Je kunt ook twee startwaarden hebben of zelfs meer. We bekijken ook daar voorbeelden van. Figuur In de vorige paragraaf heb je de omtrekken berekend van een aantal letters V. De grootste letter V heeft een omtrek van 73,5 cm. De tweede letter V heeft een omtrek van 36,75 cm. Immers de afmetingen zijn gehalveerd zodat ook de omtrek wordt gehalveerd. De derde letter V heeft een omtrek die precies de helft is van de tweede letter V. Zie ook vraag 5b. Deze rij van omtrekken van letters V is een voorbeeld van recursie. Pn ( ) is de omtrek van de e n letter V. 3a. Schrijf de wiskundige notatie op van de startwaarde. 3b. Hoe bereken je de omtrek van een willekeurige letter V uit genoemde rij als je de omtrek weet van de voorgaande letter? 3c. Schrijf in de juiste wiskundige notatie de recursieve formule op. We kunnen ook de rij van de oppervlaktes van de letters V bekijken. De grootste letter V heeft een oppervlakte van ongeveer 47,74 cm. An ( ) is de oppervlakte van de e n letter V. 4a. Hoe bereken je de oppervlakte van een willekeurige letter V uit genoemde rij als je de oppervlakte weet van de voorgaande letter?
3 4b. Schrijf in de juiste wiskundige notatie de recursieve formule op. Hoeveel driehoeken zie je? figuur In begin 00 kwam je de twee plaatjes die je in figuur ziet op veel websites tegen. 5. Hoeveel driehoeken zie je in het linkerplaatje van figuur. En hoeveel in het rechterplaatje? Vraag 5 kun je oplossen door handmatig de driehoeken te tellen. Voor grotere exemplaren wordt het handmatig tellen een stuk lastiger. Probeer het maar eens bij een exemplaar waarbij de onderste rij bestaat uit zes driehoeken met een hoekpunt naar boven gericht. ( rechtopstaande driehoek). 6. Teken genoemd exemplaar en geef het totaal aantal driehoeken. Bij het maken van opgave 6 zal het opgevallen zijn dat het lastig is om direct het totaal aantal driehoeken te geven. Vandaar dat we het probleem eerst gaan vereenvoudigen. We letten voorlopig eerst op de rechtopstaande driehoeken. Exemplaar, die niet is afgebeeld, bestaat uit slechts één (rechtopstaande) driehoek. Exemplaar, zie driehoek links in figuur, bestaat uit ++ rechtopstaande driehoeken. Exemplaar 3, zie figuur 3, bestaat uit rechtopstaande driehoeken. figuur 3 exemplaar 3 grootste driehoek
4 Exemplaar 4 bestaat uit het aantal rechtopstaande driehoeken bij exemplaar 3 vermeerdert met Vul het getal 4 aan. We maken weer gebruik van de rijnotaties: u(), u() 4, u(3) 0, u(4) 0, u (4) is dus het aantal rechtopstaande driehoeken bij exemplaar 4. u(5) u(4) Laat dit zien en bereken u (5). Gebruik zo nodig een plaatje! figuur 4 exemplaar 6 In figuur 4 zie je hoe exemplaar 6 ontstaat uit exemplaar 5. u(6) u(5) a. Schrijf op hoe je het aantal rechtopstaande driehoeken bij exemplaar 6 kunt verkrijgen uit het aantal rechtopstaande driehoeken bij exemplaar 5 en bereken u (6). Om u (00) uit te drukken in u (99) is het handig om de getallen tot met 00 snel op te kunnen tellen. 9b. Waarom? Leg dat uit. Wie dat lukte op jonge leeftijd was Johan Carl Friedrich Gauss. Carl Friedrich Gauss (oorspronkelijk in het Duits met een ß, dus Gauß) (Brunswijk, 30 april 777 Göttingen, 3 februari 855) was een Duits wiskundige en natuurkundige, die een zeer belangrijke bijdrage heeft geleverd aan een groot aantal deelgebieden van de wiskunde en de exacte wetenschappen. 4
5 Anekdote over de jonge Gauss Een beroemde anekdote, die zich tijdens doorvertellen steeds verder heeft ontwikkeld, stelt dat zijn leraar op de basisschool, J.G. Büttner, zijn leerlingen een tijdje bezig wilde te houden door hen de gehele getallen van tot 00 te laten optellen. De jonge Gauss zou het juiste antwoord echter binnen een paar seconden hebben gegeven, dit tot verbazing van zijn leraar en diens assistent Martin Bartels. Gauss besefte, ervan uitgaand dat de op te tellen gehele getallen van tot 00 liepen, dat paarsgewijze optelling van "tegenoverliggende" termen identieke tussenresultaten oplevert: + 00 = 0, + 99 = 0, = 0, enzovoort, de totale som bedraagt dan 50 0 = Hoewel deze methode zeker werkt, is het verhaal waarschijnlijk niet heel aannemelijk. 0. Tel op de manier van de jonge Gauss de getallen bij elkaar op van tot en met 300. Dus +300, +99, enz. Voor het optellen van de eerste n natuurlijke getallen is er de volgende formule: S n( n) S is de som van de getallen tot en met n.. Controleer dit voor de twee voorgaande voorbeelden. Zie dus opgave 0. Terug naar de rechtopstaande driehoeken. Er bestaat voor het aantal rechtopstaande driehoeken een recursieve formule () : u( n) u( n ) n ( n) u() un ( ) is het aantal rechtopstaande rechthoeken van exemplaar n. un ( ) is het aantal rechtopstaande rechthoeken van het voorgaande exemplaar n. Deze recursieve formule kan ook als volgt worden opgesteld: u( n ) u( n) ( n ) ( n) u() un ( ) is het aantal rechtopstaande rechthoeken van exemplaar n. We noemen dit voor het gemak formule () a. Laat zien hoe je deze formule() kunt afleiden uit formule(). Zie bijlage voor hoe deze formules op de GR wordt ingevoerd. b. Bereken het aantal rechtopstaande driehoeken met behulp van de GR voor het zesde exemplaar en daarna voor het honderdste exemplaar. Je kunt un ( ) ook in verband brengen met de term die vooraf gaat aan zijn voorganger un ( ). Voor deze term schrijven we un ( ). Er blijkt dan te gelden: u( n) u( n ) n. De term un ( ) is zijn voorganger vermeerderd met de som van de eerste n termen. 3. Schrijf dit zo kort mogelijk op in de rij-notaties. 5
6 4. Vervang un ( ) door het antwoord bij vraag 3 in de uitdrukking u( n) u( n ) n ( n) en herleid de uitdrukking door het wegwerken van haakjes tot u( n) u( n ) n. Terugblik op " driehoeken tellen". We hebben gezien dat het niet eenvoudig is om bijvoorbeeld bij het achtste exemplaar het totaal aantal opstaande driehoeken direct te geven. Weten we het totaal aantal opstaande driehoeken van het zevende exemplaar dan kunnen we wel direct het totaal aantal rechtopstaande driehoeken berekenen van het achtste exemplaar. We kunnen ook gaan kijken naar het aantal driehoeken met de punt naar beneden. De vraag is: " is er een algemene regel te vinden voor het totaal aantal driehoeken, als het aantal driehoeken op de onderste rij gelijk is aan n?" Zie hiervoor de onderzoeksopgave op het eind van deze paragraaf. Van een rij getallen is gegeven dat: t( n) 3n maar ook t( n) t( n ) 3 5a. Leg uit wat met beide uitdrukkingen wordt bedoeld. 5b. Kun je met de formule t( n) t( n ) 3 direct uitrekenen wat de waarde is van t (00)? Voor een rij getallen geldt a( n ) 53 a( n) waarbij a(49) Bereken a (50) en a (48). 6
7 Fibonaccigetallen Hier volgt een passage uit het ondertussen wereldberoemde boek De Da Vinci Code van Dan Brown uit 004. Wat is er met de getallen? De door elkaar gehusselde Fibonacci-rij is een hint, zei professor Langdon, terwijl hij de foto van agente Sophie Neveu aanpakte. Figuur 5 Voor invoering bij Casio zie bijlage! In figuur 5 zie je hoe de recursieve formule van de Fibonacci-rij is ingevoerd in de grafische rekenmachine. Let op er zijn twee startgetallen: en. 7. Schijf de eerste tien getallen van deze rij in de juiste volgorde op. De Fibonacci-rij was natuurlijk al veel eerder bekend. De rij is voor het eerst beschreven in het rekenboek Liber Abaci uit 0, van de hand van Leonardo Pisano, die beter bekend staat onder zijn bijnaam Fibonacci. 7
8 figuur 6 In het boek komt de volgende opgave voor ( vrij vertaald): Een man plaatst één paar konijnen in een afgesloten ruimte. Vanaf de tweede maand zijn konijnen vruchtbaar. Elk vruchtbaar paar krijgt elke maand een nieuw paar konijnen. Hoeveel konijnenparen zullen er na één jaar in het hok zitten? In figuur 6 zie je van boven naar beneden het aantal konijnenparen voor de eerste zes maanden. 8. Neem figuur 6 over in je schrift en breidt het uit inclusief lijntjes tot en met 8 maanden. Hieronder staat een deel van de Fibonacci-rij waarbij het beginstuk is weggelaten: Schrijf de volgende termen op: die term voorafgaand aan 597 en de twee eerste termen die volgen op Groei van rattenpopulatie Maarten 't Hart (Maassluis, 5 november 944) is een Nederlandse gedragsbioloog en schrijver. Hij werd geboren als oudste zoon van een gereformeerde grafdelver. Hij schreef onder andere het boek "ratten". Zie de volgende passage uit dit boek hieronder. Ook over de hoeveelheid nakomelingen van één rattenpaar in één jaar worden zeer verschillende getallen verstrekt. In het volgende hoofdstuk zal ik de schaarse gegevens van onderzoek over de vruchtbaarheid van ratten in de natuur bespreken, maar het is misschien aardig hier een schatting te maken van het aantal nakomelingen van één paar, uitgaande van de meest optimale omstandigheden. Daartoe gebruik ik de de volgende gegevens. Gemiddeld is het aantal jongen per worp te stellen op zes; van deze zes jongen behoren er drie tot het 8
9 vrouwelijk geslacht. De draagtijd is eenentwintig dagen; het zogen duurt ook eenentwintig dagen. Een vrouwtje kan echter al bevrucht worden op de dag van de bevalling. Gemakshalve stel ik de periode tussen twee bevallingen op veertig dagen. Als nu een vrouwtje op januari bevalt van zes jongen is dat vrouwtje veertig dagen later opnieuw in staat om zes jongen ter wereld te brengen. De vrouwtjes van de eerste worp van zes jongen zijn zelf na honderdtwintig dagen in staat om nakomelingen voort te brengen. Als ik er vanuit ga dat er bij elke worp steeds drie vrouwtjes zijn en als ik dan alle nakomelingen optel van alle vrouwtjes in een jaar kom ik op 808 ratten op januari van het volgende jaar, het oorspronkelijke paar meegerekend. Dit is een fictief getal. Er is sterfte; moeders verwerpen soms hun jongen; vrouwtjes komen soms langere tijd niet in oestrus. Niettemin geeft dit getal enig idee van het leger ratten dat na een jaar ontstaan kan zijn. Maarten 't Hart doet in deze passage een aantal aannames over de groei van ratten. Op basis van die aannames komt hij tot de conclusie dat er, startend met één rattenpaar, een jaar later 808 ratten zijn. De vraag is natuurlijk: " hoe komt hij aan dat getal?" 0a Schrijf die aannames van Maarten overzichtelijk op 0b. Probeer een methode te vinden om het getal 808 te verklaren. We proberen nu de vraag over het getal 808 te beantwoorden met behulp van een recursieve formule. Om deze vraag te beantwoorden zijn er een aantal aanwijzingen die je wellicht bij opgave 0a gevonden hebt: Verdeel het jaar in 9 perioden van 40 dagen. Gebruik 40 dagen als tijdseenheid. Stel januari de datum waarop de eerste bevalling plaats vindt op t 0 Gebruik de notatie Rn ( ) waarbij dit het aantal ratten na n perioden van 40 dagen voorstelt. a. Leg uit waarom R( ) en wat het betekent. b. Leg ook uit waarom R(0) 8 en wat het betekent. c. Bereken nu R() en R() en laat zien dat in de eerste drie periodes er sprake is van lineaire groei. Bij t 3 verandert het groeiproces. a. Leg uit dat je R (3) als volgt kunt vinden uit R () en R (0) : b. Stel zo'n betrekking op voor R (4). R(0) R(3) R() 6 9
10 In tabel staat een nog niet geheel ingevuld overzicht van het aantal ratten over 0 perioden. tabel t R(t) a. Ga na door tabel geheel in te vullen of het getal 808 ook inderdaad klopt. Wellicht heb je het vermoeden gekregen dat vanaf t 3 er een recursieve formule bestaat. 3b. Schrijf deze recursieve formule inclusief de startwaarde(n) op. 3c. Heeft het zin om deze recursieve formule in te voeren op de GR? Welke problemen kom je nu tegen. Terug naar het boek " de Telduivel" Uit de telduivel In de zesde rij staan de machten van twee. 4a. Stel de recursieve formule hiervan op. Denk aan de startwaarde! Bekijk de zevende rij. De negenenzestigste term is een groot getal geschreven in de wetenschappelijke notatie:,7454e98. 4b. Hoe vind je de zeventigste term uit de negenenzestigste term? 4c. Schrijf de recursieve formule op van deze rij. 4d. Beschrijf het verschil tussen beide recursieve formules. 0
11 Van recursieve formule naar directe formule en van directe formule naar recursieve formule Zie figuur voor de van papier gemaakte letters V. Voor zowel de omtrekken als de oppervlakken van de letters V kun je directe formules opschrijven. 5. Stel beide directe formules op. 6. Ga na wat het verschil is tussen een directe formule en een recursieve formule. Gebruik bijvoorbeeld bij je uitleg de rij van de even getallen, 4, 6, 8,... 7 Van een rij is de recursieve formule: u( n) 5 u( n ) u() a. Stel de directe formule op. Van een andere rij is de recursieve formule: u n u n n u() ( ) ( ) ( ) voor n 7b. Stel de directe formule op van deze rij. Nu andersom Van een rij is de directe formule: u( n) 6n voor n 8a. Geef de recursieve formule. Vergeet het startgetal niet! n Van een andere rij is de directe formule: u( n) 8 6 voor n 8b. Schrijf een aantal termen op en formuleer een vermoeden over wat voor veelvouden deze termen zijn. 8c. Geef de recursieve formule van deze rij.
12 Geld van de bank lenen De heer Jansen koopt een tweedehands auto voor 9500 euro. Hij kan contant 4500 euro betalen maar moet bij de bank 5000 euro lenen. Deze lening kost per jaar 8,3% aan effectieve rente. Hij wil weer snel van de lening af en besluit per maand 500 euro af te lossen. De vraag is wat gaat hem die lening kosten? figuur 7 In figuur 7 zie je een stukje uit zijn kredietoverzicht van september 00. Hieruit blijkt dat hij het geld heeft opgenomen op augustus 00. Niet eind augustus maar eind september begint hij met de aflossing van 500 euro. De heer Jansen heeft gekozen voor een kredietlimiet van 0500 euro. Hij beperkt zijn lening echter tot 5000 euro. 9a. Leg uit waarom hij meer dan 0 maanden nodig heeft om zijn schuld af te lossen. De effectieve jaarrente is 8,3 %. De groeifactor per jaar van de lening is dus,083. 9b. Bereken de groeifactor per maand van de lening en het maandelijkse rentepercentage. Waarschijnlijk wijkt jouw maandelijkse rentepercentage afgezien van eventuele rekenfouten iets af met de 0,669% in het overzicht 9c. Geef hier een verklaring voor. De eerste aflossing wordt niet gedaan eind augustus maar op eind september. Zie figuur 7. Het nieuwe saldo op 30 september is 4555,79. 30a Hoe groot is na een maand, dus op 30 oktober het saldo? En hoe groot is het saldo op 30 november? 30b. Stel de recursieve formule op van de restantschuld R(t) met t het aantal maanden na 30 september. Dus R(0) 4555,79. 30c. Bereken na hoeveel maanden hij zijn lening heeft afgelost en hoeveel de lening hem heeft gekost. Verschilrij Hoewel de heer Jansen elke maand 500 euro aflost wordt zijn schuld niet elke maand 500 euro minder. 3a. Leg uit waarom niet. Op 30 oktober is zijn schuld 469,5 euro minder geworden ten opzichte van 30 september. We onderzoeken de afname van de restantschuld en bekijken de volgende rij: v() R() R(0) 4086,3 4555,8 469,5, v() R() R() 47,6, v(3)...enz 3b. Bereken v(3), v(4) en v (5) en schrijf op wat je opvalt bij de schuldafname per maand.
13 Geld van de bank opnemen Een vrouw heeft na haar scheiding een bedrag op de bank staan van euro. Zij is in deze relatie niet de meest draagkrachtige partner en ontvangt daardoor een financiële uitkering ter tegemoetkoming van de kosten van haar levensonderhoud. Voor haar blijkt de uitkering niet voldoende te zijn. Zij besluit, om vijftien jaar lang, elke maand een vast bedrag van de bank op te nemen totdat het geld helemaal op is. De jaarlijkse rente van haar bedrag op de bank is 3 procent. De vraag is welk vast bedrag zij maandelijks van de bank kan afhalen. Veronderstel eerst dat ze niets van de bank haalt. 3a. Bereken na hoeveel jaar zij euro heeft. Geef je antwoord in maanden nauwkeurig. 3b. Laat zien dat het maandelijkse rentepercentage nagenoeg gelijk is aan 0,47 %. Veronderstel dat ze elke maand 600 euro van de bank haalt. Haar bedrag op de bank wordt beschreven door de recursieve formule: B( t),0047 B( t ) 600 met B(0) waarbij Bt () het bedrag op de bank is na t maanden. 3c. Leg uit dat deze recursieve formule juist is. 3d. Bereken de waarden van B(), B(), B(3), B(4) en B (5). 3e. Bereken hoeveel geld ze nog op haar bankrekening heeft staan na 5 jaar. 3f. Zoek uit met je GR welk maandelijks vast bedrag zij van de bank kan afhalen zodat na 5 jaar voor het eerst niets meer staat op haar spaarrekening. Terugblik Een getallenrij is een serie getallen waarbij vaak patronen of regelmatigheden in terug te vinden zijn. De getallen uit een rij heten termen. Voor deze termen hebben we een wiskundige notatie. Bijvoorbeeld de vijfde term van een rij geven we aan met u(5) of u 5. Soms kun je een willekeurige term vinden uit een voorgaande term, dat heet recursie. Bij sommige rijen kun je de waarde van een term direct berekenen met een directe formule. Je moet dus weten wat het verschil is tussen een recursieve formule en een directe formule. Er wordt van jou ook verwacht dat je bij sommige rijen beide formules kunt opstellen. Voorbeeld: Van een rij un ( ) zijn de eerste vijf termen 000, 00, 40, 8 en,6. Een term, behalve de eerste term, krijg je uit de voorgaande term door die term te delen door vijf of te vermenigvuldigen met. 5 3
14 De recursieve formule is u( n) u( n ) 5 u() 000 De directe formule is un ( ) 000 ( ) n 5 In tabel staan gegevens vermeld van vijf rijen. tabel Directe formule Eerste vijf termen in rijnotatie recursieve formule t( n) 7n voor n 0 tn ( )... t() un ( ) 3 4 n u(), u() 48,... a 3, a 9, a 7, a 8, u( n) u( n ) u() u( n ) u( n) u(0) 33a. Neem tabel over en vul met behulp van berekenen de lege hokjes in. In een woordenboek staat voor de betekenis van het woord "recurrent" teruglopend, terugkerend. 33b. Ga na dat deze betekenissen toepasbaar zijn in de wiskundige context. 4
15 Tegels tellen De eerste opgave uit het onderdeel " estafette" van het wiskunde toernooi van de Radboud Universiteit Nijmegen van oktober 00 zie je hieronder. figuur 8a figuur 8b 4 witte tegels aan iedere zijde In figuur 8a zie je een stukje van een tegelvloer. De gehele tegelvloer heeft dit patroon. De vloer heeft de vorm van een regelmatige zeshoek waarbij elke zijde bestaat uit tien naast elkaar liggende witte tegels. De vraag is : Uit hoeveel donkere tegels bestaat de vloer?. Misschien lukt het om het probleem meteen op te lossen. Lukt het niet ga dan verder met opgave Bereken het aantal donkere tegels van de gehele vloer. Als het niet gelukt is om de vraag meteen op te lossen kijk dan naar de volgende aanpak. Neem ergens in het midden een donkere tegel, zie figuur 8b en kijk naar de zes witte tegels die er om heen liggen. We hebben nu een regelmatige zeshoek met precies twee witte tegels aan iedere zijde. Daar omheen liggen zes donkere tegels. Vervolgens krijgen we een regelmatige zeshoek met precies vier witte tegels aan iedere zijde. Deze bevat nu in totaal zeven donkere tegels. Daarom heen liggen donkere tegels. Vervolgens krijgen we een regelmatige zeshoek met zes witte tegels aan iedere zijde. 35a. Bereken het totaal aantal donkere tegels in een regelmatige zeshoek met zes witte tegels aan iedere zijde. We breiden de vloer weer verder uit. Zie tabel 3. Tabel 3 Aantal witte tegels aan iedere zijde Aantal donkere tegels binnen regelmatige zeshoek 7 Toename aantal donkere tegels 6 8 5
16 35b. Neem tabel 3 over en vul de lege hokjes in. 35c. Laat zien dat het totaal aantal donkere tegels in een regelmatige zeshoek met een gelijk aantal witte tegels aan iedere zijde een kwadratisch verband is. Hieronder staat deels opgesteld de bijbehorende recursieve formule: u( n) u( n )... u() waarbij un ( ) het totaal aantal donkere tegels is in de regelmatige zeshoek met n witte tegels aan iedere zijde. 35d. Vul in de recursieve formule de open plaats in. 35e. Onderzoek hoeveel witte tegels je aan een zijde van een regelmatige zeshoek moet kiezen om minstens 00 donkere tegels binnen in te krijgen. In tabel 3 zien we naast de rij van het aantal donkere tegels ook twee andere rijen met een regelmatig patroon. In paragraaf 3 komen we hierop terug. 35f. Schrijf die regelmaat op. 6
17 Onderzoeksopdracht: Hoeveel driehoeken zie je? Na opdracht 4 werd de volgende opmerking gemaakt: We kunnen ook gaan kijken naar het aantal driehoeken met de punt naar beneden. De vraag is natuurlijk is er een algemene regel te vinden voor het totaal aantal driehoeken, als het aantal driehoeken op de onderste rij gelijk is aan n? Met die algemene regel wordt bedoeld: "Vind een recursieve formule voor het totaal aantal driehoeken". Plan van aanpak. Voor de rechtopstaande driehoeken kennen we inmiddels de recursieve formule: u( n) u( n ) n ( n) u() Bekijk nu de rij vn ( ) van de driehoeken met de punt naar beneden. Zie weer figuur. 36a Schrijf de eerste vijf termen op. 36b. Ga na dat geldt: v(4) v(3) 3, v(5) v(4) 4 en v(6) v(5) 53 36c. Stel een recursieve formule op voor het aantal driehoeken met de punt naar beneden. Tenslotte: 36d. Stel een recursieve formule op voor het totaal aantal driehoeken tn. ( ) 7
18 BIJLAGE: Vaardigheid: invoeren van recursieve formule in GR. We bekijken dit voor TI en Casio. Invoering TI: Let op: de startwaarde moet ook worden ingevoerd. Zie ook de afgedrukte tabel. Invoering CASIO Kies MENU RECUR EXE en kies SET (F5) en vul in zoals, EXE EXE geeft de tabel, de somtabel alleen Met TYPE(F3) kun je a n+ instellen, met n.an.. hieronder staat. Kies ook voor a (F) als je met SHIFT MENU in regel Σ Display (F4) krijg je de mogelijkheden voor de functie- op ON (F) zet toetsen in beeld (zie onderstaand plaatje) figuur 5 Casio Kies MENU Recursion Kies Type (F3) a n+ (F3) Kies SET (F5) vul onderstaande in 8
Stoomcursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO ( ) = = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = = ( )
Voorbereidende opgaven VWO Stoomcursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk hem dan
Nadere informatieExamencursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO kan niet korter
Voorbereidende opgaven VWO Examencursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk hem dan
Nadere informatie2.0 Voorkennis. Rekenregels machten: 5) a 0 = 1. p p q p q a p q q. p q pq p p p. Willem-Jan van der Zanden
2.0 Voorkennis Voorbeeld: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = (a +b)(a2 + 2ab + b2) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b +2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Rekenregels machten: p p q pq a pq 1) a a
Nadere informatieKerstvakantiecursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO kan niet korter
Voorbereidende opgaven VWO Kerstvakantiecursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatieRuitjes vertellen de waarheid
Ruitjes vertellen de waarheid Opdracht 1 Van fouten kun je leren Van fouten kun je leren, jazeker. Vooral als je héél goed weet wat er fout ging. Vandaag leer je handige formules begrijpen door kijken
Nadere informatiePraktische opdracht Wiskunde A Formules
Praktische opdracht Wiskunde A Formules Praktische-opdracht door een scholier 2482 woorden 15 juni 2006 5,5 40 keer beoordeeld Vak Wiskunde A Inleiding Formules komen veel voor in de economie, wiskunde,
Nadere informatiePracticum hoogtemeting 3 e klas havo/vwo
Deel (benaderbaar object) Om de hoogte van een bepaald object te berekenen hebben we geleerd dat je dat kunt doen als je in staat bent om een rechthoekige driehoek te bedenken waarvan je één zijde kunt
Nadere informatieVoorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus. Rekenregels voor vereenvoudigen ( ) = = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = = ( )
Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in één van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk hem dan uit tot
Nadere informatie8.0 Voorkennis ,93 NIEUW
8.0 Voorkennis Voorbeeld: In 2014 waren er 12.500 speciaalzaken. Sinds 2012 is het aantal speciaalzaken afgenomen met 7%. Bereken hoeveel speciaalzaken er in 2012 waren. Aantal 2014 = 0,93 Aantal 2012
Nadere informatieBasisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag
Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken
Nadere informatie3 Formules. 8 x 6 = x 3 = 12. r-w-w b-w-w g-w-w r-w-r b-w-r g-w-r r-z-w b-z-w g-z-w r-z-r b-z-r g-z-r 6 x 7 = x 100 = 500.
31 32 1 2 8 x 6 = 48 3 Formules 4 x 3 = 12 r-w-w b-w-w g-w-w r-w-r b-w-r g-w-r r-z-w b-z-w g-z-w r-z-r b-z-r g-z-r 6 x 7 = 42 12 5 x 0 = 500 5 0 12 x 150 = 1800 12 12 x 200 = 2400 1440 : 12 = 120 3 4 29
Nadere informatieHoofdstuk 5 - Recursie
Hoofdstuk 5 - Recursie Een banktegoed waarover je jaarlijks rente krijgt uitgekeerd is een voorbeeld van recursie. Je kunt steeds het nieuwe banktegoed berekenen op basis van het banktegoed van vorig jaar.
Nadere informatie1.1 Rekenen met letters [1]
1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren
Nadere informatieRekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A
Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk
Nadere informatieCombinatoriek groep 2
Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een
Nadere informatie. noemer noemer Voorbeelden: 1 Breuken vereenvoudigen Schrijf de volgende breuken als één breuk en zo eenvoudig mogelijk: 4 1 x e.
Tips: Maak de volgende opgaven het liefst voorin in één van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, werk hem dan uit tot waar je kunt en ga verder met de volgende
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde Aantal onderwerpen
Samenvatting Wiskunde Aantal onderwerpen Samenvatting door een scholier 2378 woorden 4 juni 2005 5,1 222 keer beoordeeld Vak Wiskunde Gelijkvormigheid Bij vergroten of verkleinen van een figuur worden
Nadere informatieKopieer- en werkbladen: de reeks van Fibonacci
1 1 3,14 4 Kopieer- en werkbladen: de reeks van Fibonacci Grote Rekendag 26 www.rekenweb.nl 71 1 1 3,14 4 72 www.rekenweb.nl Grote Rekendag 26 1 1 3,14 4 Het konijnenprobleem Een familie konijnen kan heel
Nadere informatieCombinatoriek groep 1
Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Getallenrijen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een directe formule geeft a n in
Nadere informatieWiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden
Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en tweedegraads verbanden OPLEIDING: Noorderpoort MBO Niveau 4 DOCENT: H.J. Riksen LEERJAAR: Leerjaar 1 - Periode 2 UITGAVE: 2018/2019 Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en
Nadere informatie8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Nadere informatieDe teller geeft hoeveel stukken er zijn en de noemer zegt wat de 5. naam is van die stukken: 6 taart geeft dus aan dat de taart in 6
Breuken Breuk betekent dat er iets gebroken is. Het is niet meer heel. Als je een meloen doormidden snijdt, is die niet meer heel, maar verdeeld in twee stukken. Eén zo n stuk is dan een halve meloen,
Nadere informatieProefToelatingstoets Wiskunde B
Uitwerking ProefToelatingstoets Wiskunde B Hulpmiddelen :tentamenpapier,kladpapier, een eenvoudige rekenmachine (dus geen grafische of programmeerbare rekenmachine) De te bepalen punten per opgave staan
Nadere informatieWillem van Ravenstein
Willem van Ravenstein 1. Variabelen Rekenen is het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken je de bewerkingen machtsverheffen en worteltrekken.
Nadere informatieDeze stelling zegt dat je iedere rechthoekige driehoek kunt maken door drie vierkanten met de hoeken tegen elkaar aan te leggen.
Meetkunde Inleiding We beginnen met het doorlezen van alle theorie uit hoofdstuk 3 van het boek. Daar staan een aantal algemene regels goed uitgelegd. Waar je nog wat extra uitleg over nodig hebt, is de
Nadere informatie2 REKENEN MET BREUKEN 3. 2.3 Optellen van breuken 6. 2.5 Aftrekken van breuken 9. 2.7 Vermenigvuldigen van breuken 11. 2.9 Delen van breuken 13
REKENEN MET BREUKEN. De breuk. Opgaven. Optellen van breuken 6. Opgaven 8. Aftrekken van breuken 9.6 Opgaven 9.7 Vermenigvuldigen van breuken.8 Opgaven.9 Delen van breuken.0 Opgaven. Een deel van een deel.
Nadere informatieBreuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013
Breuken met letters WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers
Nadere informatieHoofdstuk 2: Grafieken en formules
Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde
Nadere informatie2003 De Wageningse Methode. Foto s De Wageningse Methode. Druk/Verkoop Tamminga bv, Postbus 176, 6920 AD Duiven
INHOUDSOPGAVE Routes in Vakhorst 1 Oppervlakte 6 Formules 9 Roosterkwartier 11 Test 15 Op de grens van Roosterkwartier en Vakhorst 16 Met negatieve getallen 18 Formules uit plaatjes 0 Zonder plaatjes Terugblik
Nadere informatieVergelijkingen en hun oplossingen
Vergelijkingen en hun oplossingen + 3 = 5 is een voorbeeld van een wiskundige vergelijking: er komt een = teken in voor, en een onbekende of variabele: in dit geval de letter. Alleen als we voor de variabele
Nadere informatieHieronder zie je hoe dat gaat. Opgave 3. Tel het aantal routes in de volgende onvolledige roosters van linksboven naar rechtsonder.
Groepsopdracht 1: Volledige en onvolledige roosters Voor een volledig rooster kun je de driehoek van Pascal gebruiken om te weten te komen hoeveel routes er van A naar B zijn. Bij onvolledige roosters
Nadere informatieREKENVAARDIGHEID BRUGKLAS
REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS Schooljaar 008/009 Inhoud Uitleg bij het boekje Weektaak voor e week: optellen en aftrekken Weektaak voor e week: vermenigvuldigen Weektaak voor e week: delen en de staartdeling
Nadere informatieParagraaf 12: Rijen met een exponentieel verband en rijen die er op lijken
Paragraaf 12: Rijen met een exponentieel verband en rijen die er op lijken 16 mei versie 4 Hoe herken je een rij met een exponentieel verband? Wat zijn de eigenschappen van zulke rijen? Welke rijen lijken
Nadere informatierekentrainer jaargroep 7 Fietsen op Terschelling. Teken en vul in. Zwijsen naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs
Zwijsen jaargroep 7 naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs Waar staat deze paddenstoel ongeveer? Teken op de kaart. Welke afstand of welke route fietsen de kinderen? naam route afstand Janna
Nadere informatierekentrainer jaargroep 7 Fietsen op Terschelling. Teken en vul in. Zwijsen naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs
Zwijsen jaargroep 7 naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs Waar staat deze paddenstoel ongeveer? Teken op de kaart. Welke afstand of welke route fietsen de kinderen? naam route afstand Janna
Nadere informatie1.1 Lineaire vergelijkingen [1]
1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg
Nadere informatiehandleiding formules
handleiding formules inhoudsopgave inhoudsopgave 2 de grote lijn 3 bespreking per paragraaf 4 applets 4 1 rekenen en formules 4 2 formules maken 4 3 de distributiewet 5 4 onderzoek 5 tijdpad 6 materialen
Nadere informatieInstructie voor Docenten. Hoofdstuk 13 OMTREK EN OPPERVLAKTE
Instructie voor Docenten Hoofdstuk 13 OMTREK EN OPPERVLAKTE Instructie voor docenten H13: OMTREK EN OPPERVLAKTE DOELEN VAN DIT HOOFDSTUK: Leerlingen weten wat de begrippen omtrek en oppervlakte betekenen.
Nadere informatieSyllabus Leren Modelleren
Syllabus Leren Modelleren Januari / februari 2014 Hervormd Lyceum Zuid Klas B1B SCHRIJF HIER JE NAAM: LES 1 Syllabus Modelleren; Les 1: Zoekproblemen Klas B1B Inleiding In de lessen voor de kerstvakantie
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde A1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur
Examen VWO 2008 tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur wiskunde A1,2 Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 82 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten
Nadere informatieKerstvakantiecursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven HAVO kan niet korter
Voorbereidende opgaven HAVO Kerstvakantiecursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk
Nadere informatieHoofdstuk 1: Basisvaardigheden
Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen
Nadere informatieRekenen aan wortels Werkblad =
Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden
Nadere informatieCombinatoriek groep 1 & 2: Recursie
Combinatoriek groep 1 & : Recursie Trainingsweek juni 008 Inleiding Bij een recursieve definitie van een rij wordt elke volgende term berekend uit de vorige. Een voorbeeld van zo n recursieve definitie
Nadere informatieD-dag 2014 Vrijeschool Zutphen VO. D -DAG 13 februari 2014: 1+ 1 = 2. (en hoe nu verder?) 1 = 2en hoe nu verder?
D -DAG 13 februari 2014: 1+ 1 = 2 (en hoe nu verder?) 1 = 2en hoe nu verder? 1 Inleiding Snel machtsverheffen Stel je voor dat je 7 25 moet uitrekenen. Je weet dat machtsverheffen herhaald vermenigvuldigen
Nadere informatie5.1 Lineaire formules [1]
5.1 Lineaire formules [1] Voorbeeld : Teken de grafiek van y = 1½x - 3 Stap 1: Maak een tabel met twee coördinaten van deze lijn: x 0 2 y -3 0 Stap 2: Teken de twee punten en de grafiek: 1 5.1 Lineaire
Nadere informatiekwadratische vergelijkingen
kwadratische vergelijkingen In deze paragraaf: 'exact berekenen van oplossingen', 'typen kwadratische vergelijkingen' en 'de abc-formule en de discriminant'. de abc-formule Voor een tweedegraads vergelijking
Nadere informatie8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Nadere informatieDeel A. Breuken vergelijken
Deel A Breuken vergelijken - - 0 Breuken en brokken (). Kleur van elke figuur deel. Doe het zo nauwkeurig mogelijk.. Kleur van elke figuur deel. Doe het telkens anders.. Kleur steeds het deel dat is aangegeven.
Nadere informatieinhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2
handleiding algebra inhoudsopgave Inhoudsopgave 2 De grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 1 Routes in een rooster 4 2 Oppervlakte in een rooster 4 3 Producten 4 4 Onderzoek 5 Tijdpad 9 Materialen voor
Nadere informatie2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen ( 15 x 3 = 45
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
Nadere informatieWerkblad Cabri Jr. Vermenigvuldigen van figuren
Werkblad Cabri Jr. Vermenigvuldigen van figuren Doel Het onderzoeken van de vermenigvuldigingsafbeelding (homothetie) en het bekijken van de relaties tussen het origineel en het beeld van een meetkundige
Nadere informatieIn de bovenstaande voorbeelden legden Einstein en jijzelf verbanden tussen grootheden. We spreken over een verband als de ene grootheid afhangt van
47 3.0 INTRO Einstein ontdekte de beroemde formule E = m c 2 (in dit hoofdstuk leer je wat de en c 2 betekenen). Dankzij die formule kunnen we kernenergie opwekken en - helaas - atoombommen maken. In hoofdstuk
Nadere informatieUitwerkingen Rekenen met cijfers en letters
Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatieH9: Rijen & Reeksen..1-2. H10: Kansverdelingen..3-4. H11: Allerlei functies.5-6
Oefenmateriaal V5 wiskunde C Voorbereiding op PTA-toets1 wiskunde INHOUDSOPGAVE H9: Rijen & Reeksen..1-2 H10: Kansverdelingen..3-4 H11: Allerlei functies.5- Hoofdstuk 9: Rijen & Reeksen Recursieve formule
Nadere informatie7 a patroonnummer a patroonnummer a h = z
Hoofdstuk 3 FORMULES 3.1 PATRONEN EN FORMULES 3 a 10 22 c? d De beweringen a b = b a en a + b = b + a zijn juist. e 15 a 12 a 18 a f a + 8 10 + a a + 14 b zijde vierkant 3 4 5 6 7 aantal gekleurde hokjes
Nadere informatieZESDE KLAS MEETKUNDE
ZESDE KLAS MEETKUNDE maandag 1. Het vierkant. Eigenschappen. 2. Vierkanten tekenen met passer en lat vanuit zeshoek 3. Vierkanten tekenen met passer en lat binnen cirkel 4. Vierkanten tekenen met passer
Nadere informatieMemoriseren: Een getal is deelbaar door 10 als het laatste cijfer een 0 is. Of: Een getal is deelbaar door 10 als het eindigt op 0.
REKENEN VIJFDE KLAS en/of ZESDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Luc Cielen: Regels van deelbaarheid, grootste gemene deler en kleinste gemeen veelvoud 1 Deelbaarheid door 10, 100, 1000. Door
Nadere informatieDeel C. Breuken. vermenigvuldigen en delen
Deel C Breuken vermenigvuldigen en delen - 0 Sprongen op de getallenlijn. De sprongen op de getallenlijn zijn even groot. Schrijf passende breuken of helen bij de deelstreepjes. 0 Welk eindpunt wordt bereikt
Nadere informatieEen bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende.
Cabri-werkblad Rond het zwaartepunt van een driehoek Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende. Stelling De verbindingslijn van de middens van twee zijden van
Nadere informatie1.3 Rekenen met pijlen
14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij
Nadere informatiedochandl4vmbo_kader_netwerk3e.doc Deel 4 vmbo kader Inhoud deel 4 Wolters-Noordhoff bv
Deel 4 vmbo kader Inhoud deel 4 Hoofdstuk 1 Rekenen Hoofdstuk 2 Lineaire verbanden Hoofdstuk 3 Vlakke meetkunde Hoofdstuk 4 Machtsverbanden Hoofdstuk 5 Statistiek Hoofdstuk 6 Ruimtemeetkunde Hoofdstuk
Nadere informatieWanneer zijn veelvouden van proniks proniks?
1 Uitwerking puzzel 92-1 Wanneer zijn veelvouden van proniks proniks? Harm Bakker noemde het: pro-niks voor-niks De puzzel was voor een groot deel afkomstig van Frits Göbel. Een pronik is een getal dat
Nadere informatieWiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden
Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en tweedegraads verbanden OPLEIDING: Noorderpoort MBO Niveau 4 DOCENT: H.J. Riksen LEERJAAR: Leerjaar 1 - Periode 2 UITGAVE: 2018/2019 Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en
Nadere informatie1 Complexe getallen in de vorm a + bi
Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...
Nadere informatieWiskunde Basis Onderbouw
Onderwijs & Ontwikkeling Wiskunde Basis Onderbouw Voorbeeldexamen en zelftoets Dit voorbeeldexamen is bedoeld voor mensen die het toelatingsexamen Wiskunde Basis Onderbouw moeten halen om aan een opleiding
Nadere informatieklas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf
Checklist 3 HAVO wiskunde klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf 1. Hoofdstuk 1 - lineaire problemen Ik weet dat de formule y = a x + b hoort bij de grafiek hiernaast. Ik kan bij een lineaire formule de
Nadere informatieHoe maak je nu van breuken procenten? Voorbeeld: Opgave: hoeveel procent van de onderstaande tekening is zwart gekleurd?
Procenten Zoals op de basisschool is aangeleerd kunnen we een taart verdelen in een aantal stukken. Hierbij krijgen we een breuk. We kunnen ditzelfde stuk taart ook aangegeven als een percentage. Procenten:
Nadere informatie3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
3.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je
Nadere informatieBij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken.
Rood-wit-blauw werkblad 1 Bij het hele werkblad: Alle rode getallen zijn deelbaar door hetzelfde getal. Elk wit getal is gelijk aan een rood getal + 1, elk blauw getal aan een rood getal + 2 Russisch vermenigvuldigen
Nadere informatie1 Rekenen met gehele getallen
1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9
Nadere informatieTI83-werkblad. Vergelijkingen bij de normale verdeling
TI83-werkblad Vergelijkingen bij de normale verdeling 1. Inleiding Een normale verdeling wordt bepaald door de constanten µ en σ. Dit blijkt uit het voorschrift van de verdelingsfunctie van de normale
Nadere informatieWISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2. maar en hoe nu verder? 29 november 2002
- 0 - WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2 maar en hoe nu verder? 29 november 2002 De Wiskunde B-dag wordt gesponsord door Texas Instruments - 1 - Inleiding Snel machtverheffen Stel je voor dat je 7 25 moet uitrekenen.
Nadere informatieLESFICHE 1. Handig rekenen. Lesfiche 1. 1 Procent & promille. 2 Afronden. Procent of percent (%) betekent letterlijk per honderd.
Lesfiche 1 1 Procent & promille Handig rekenen Procent of percent (%) betekent letterlijk per honderd. 5 5 % is dus 5 per honderd. In breukvorm wordt dat of 0,05 als decimaal getal. Promille ( ) betekent
Nadere informatie4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]
4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats
Nadere informatie1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12
Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal
Nadere informatieGenererende Functies K. P. Hart
genererende_functies.te 27--205 Z Hoe kun je een rij getallen zo efficiënt mogelijk coderen? Met behulp van functies. Genererende Functies K. P. Hart Je kunt rijen getallen op diverse manieren weergeven
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)
Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni 13.30 16.30 uur 20 01 Voor dit examen zijn maximaal 90 punten te behalen; het examen bestaat
Nadere informatieParagraaf 8.1 : Recursieve en directe formule
Hoofdstuk 8 Rijen en veranderingen (V5 Wis A) Pagina 1 van 11 Paragraaf 8.1 : Recursieve en directe formule Les 1 Rijen en recursievergelijking Definities : Wat is een rij Gegeven is de rij u = { 5,10,20,40
Nadere informatieGrofweg zijn er twee typen redeneervraagstukken. A. Gedrag van een formule verklaren. B. Het doorzien van de structuur van de formule.
Redeneren met formules Redeneren met formules is een regelmatig terugkerend onderwerp op examens. Kijk maar eens als extreem voorbeeld naar de opgave Behendigheid uit het examen VWO wiskunde 2012 tijdvak
Nadere informatie1 Basisrekenen en letterrekenen.
Uitwerkingen versie 0 Basisrekenen en letterrekenen. Opgave. Opbouw van getallen. a 605 6 00 + 5 b 3.78 3 000+ 00+ 7 0+ 8 c 56.890 56 000+ 8 00+ 9 0+ 0 d 900.30 900 000+ 00+ 0+ 0 e 3.56.675 3.000.000+
Nadere informatieVergelijkingen met breuken
Vergelijkingen met breuken WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het doorwerken van begin tot einde met behulp van pen en papier. 1 Oplossen van gebroken vergelijkingen Kijk ook nog
Nadere informatieH10: Allerlei functies H11: Kansverdelingen..6-7
Oefenmateriaal V5 wiskunde A Voorbereiding op PTA-toets1 wiskunde INHOUDSOPGAVE H9: Rijen & Reeksen..1-3 H10: Allerlei functies....4-5 H11: Kansverdelingen..6-7 Hoofdstuk 9: Rijen & Reeksen Recursieve
Nadere informatieWiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden
Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en tweedegraads verbanden OPLEIDING: Noorderpoort MBO Niveau 4 DOCENT: H.J. Riksen LEERJAAR: Leerjaar 1 - Periode 2 UITGAVE: 2018/2019 Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en
Nadere informatieDe Wetenschappelijke notatie
De Wetenschappelijke notatie Grote getallen zijn vaak lastig te lezen. Hoeveel is bijvoorbeeld 23000000000000? Eén manier om het lezen te vergemakkelijken is het zetten van puntjes of spaties: 23.000.000.000.000
Nadere informatieLogaritmen. Het tijdstip t waarop S(t) = is op de t-as aangegeven. Dat tijdstip komt niet mooi uit. Dat tijdstip noemen 5,3
5 Logaritmen 1 We bekijken de Shigella-bacterie uit opgave 1 van de vorige paragraaf. Hieronder staat een stukje van de grat fiek van de functie S(t) = 5,. Het tijdstip t waarop S(t) = 100.000 is op de
Nadere informatie1. REGELS VAN DEELBAARHEID.
REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden
Nadere informatieKerstvakantiecursus. wiskunde B. Voorbereidende opgaven VWO. Haakjes. Machten
Voorbereidende opgaven VWO Kerstvakantiecursus wiskunde B Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk
Nadere informatie3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
3.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatie3. Lineaire vergelijkingen
3. Lineaire vergelijkingen Lineaire vergelijkingen De vergelijking 2x = 3 noemen we een eerstegraads- of lineaire vergelijking. De onbekende x komt er namelijk tot de eerste macht in voor. Een eerstegraads
Nadere informatieControle Vul in de vergelijking voor x het antwoord -7 in. Er komt dan te staan: -7 + 2 = 5.
1. Wat is een eerstegraads vergelijking? Een voorbeeld van een vergelijking is + 2 =. Een vergelijking herken je aan het = teken. Wat vóór het = teken staat noemen we het linker lid (de linkerkant) en
Nadere informatieToelichting op de werkwijzer
Toelichting op de werkwijzer NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Birgit van Dalen, Quintijn Puite De opgaven voor de training komen uit het boekje De Nederlandse Wiskunde Olympiade 100 opgaven met hints,
Nadere informatie1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3
HOOFDSTUK 6: RIJEN 1 Limiet van een rij 2 1.1 Het begrip rij 2 1.2 Bepaling van een rij 2 1.2.1 Expliciet voorschrift 2 1.2.2 Recursief voorschrift 3 1.2.3 Andere gevallen 3 1.2.4 Rijen met de grafische
Nadere informatieRijen met de Casio. Tijdgrafieken en webgrafieken Stelsels rijen en fasegrafieken
Rijen met de Casio Met de Casio kun je op diverse manieren rijen in beeld brengen. Verder kun je daarbij ook gemakkelijk somrijen en verschilrijen maken. Je kunt tijdgrafieken en webgrafieken tekenen.
Nadere informatieCompex wiskunde A1-2 vwo 2005-I
Zalm Wanneer van een vissoort te veel gevangen wordt, kan de populatie zich niet herstellen en valt er op den duur niets meer te vangen. Visserijbiologen streven dan ook naar een evenwichtssituatie waarbij
Nadere informatieLereniseenmakkie Werkboek Zelf rijden en pech onderweg - 1
Lereniseenmakkie Werkboek Zelf rijden en pech onderweg - 1 Bij rekenen heb je vast al rijen en rijen met sommen gemaakt! Dat ziet er dan ongeveer zo uit: 324+689=1013 561-256=305 22x34=748 208+593=801
Nadere informatieProcenten 75% 33% 10% 50% 40% 25% 50% 100%
Procenten 50% 75% 25% 100% 10% 40% 50% 33% Uitleg procenten & Hoofdstuk 1A: hele procenten Uitleg : Procent betekent: 1/100 deel Bij procentrekenen werken we met HOEVEELHEDEN Bij een hoeveelheid van iets
Nadere informatieInhoud. 1 Ruimtefiguren 8. 4 Lijnen en hoeken 148. 2 Plaats bepalen 60. 5 Negatieve getallen 198. 3 Rekenen 100
1 BK deel 1 Voorkennis 1 Aan de slag met wiskunde 6 1 Ruimtefiguren 8 1.1 Wiskundige ruimte guren 10 1.2 Vlakken, ribben en hoekpunten 14 1.3 Kubus en vierkant 17 1.4 Balk en rechthoek 24 1.5 Cilinder
Nadere informatie