Dynamische modellen HAVO Petrus Canius College Alkmaar

Transcriptie

1 Dynamische modellen HAVO Petrus Canius College Alkmaar Een dynamisch model?

2 2

3 Colofon De module Dynamische modellen is bestemd voor de lessen Natuur, Leven en Technologie (NLT). De module is nog niet gecertificeerd, maar wordt als testversie gebruikt voor onderwijs in 4 Havo. Hij is gemaakt in opdracht van het Landelijk Ontwikkelpunt NLT. De module is oorspronkelijk ontwikkeld door: Comenius College Hilversum, J.Schouten, S.Elhaidouri, I.Gretna Nuborgh College te Elburg, ir. A.H. Pruim. Aanpassing voor gebruik op het Petrus Canisius College Alkmaar is verricht door drs. M. Smits en dr. R.H.V. Westra. 3

4 4

5 Inhoudsopgave Inleiding...6 Kennismaking met dynamische modellen Bevolkingsgroei Een griep-epidemie Een lekkende emmer / een leeglopende badkuip Evaluatie van de stof...43 Bijlagen

6 Inleiding Het doel van deze NLT-module is dat je zoveel mogelijk zelfstandig ontdekt wat de mogelijkheden zijn van dynamische modellen. Dynamische modellen worden in de praktijk gebruikt om allerlei veranderingsprocessen te onderzoeken en te volgen zoals op het gebied van weer- en klimaatsystemen, overstromingen, populaties, economische processen, etc. Een dynamisch model dient de werkelijkheid van veranderingsprocessen zo goed mogelijk te beschrijven. De computer wordt gebruikt om ingewikkelde berekeningen aan het model uit te voeren. Met een goed model is het mogelijk om veranderende omstandigheden te volgen en voorspellingen te doen. De contexten in deze module zijn gekozen uit de praktijk. Er is gekozen voor de volgende contexten: 1. bevolkings- en populatiemodellen, om de bevolkingsgroei of populatiegroei en samenstelling te beschrijven; 2. griepmodellen, waarmee de uitbraak van een epidemie kan worden beschreven; 3. waterstroommodellen, waarmee de waterhoogte kan worden beschreven; Er worden eerst eenvoudige modellen in stapjes opgebouwd. Daarna worden de modellen aangepast aan meer realistische situaties, waarbij ze ingewikkelder worden. In de laatste paragraaf vind je een evaluatie van wat dynamische modellen nu zijn en wat je ermee kunt. De leerdoelen van deze module zijn dat je: - eenvoudige dynamische modellen in een grafisch modelleerprogramma zoals Powersim kunt maken - variabelen in een model kunt aanpassen en kunt onderzoeken wat het effect daarvan is. - delen van een model kunt veranderen om zodoende de realiteit beter te beschrijven. - meer complexe modellen kunt gebruiken en de uitkomsten daarvan kunt interpreteren en ook kunt onderzoeken in hoeverre deze modellen de werkelijkheid goed beschrijven. - laat blijken dat je het belang inziet van het gebruik van dynamische modellen in de praktijk, om allerlei veranderingsprocessen te volgen en voorspellingen te kunnen doen. De beoordeling van de module bestaat uit een combinatie van de beoordelingen van je werk tijdens de lessen en een (individuele) toets in de toetsweek. Veel succes en plezier met deze module. De auteurs 6

7 Kennismaking met dynamische modellen - In deze module zijn de centrale vragen: - Wat is een dynamisch model? - Welke gegevens heb je nodig om een model te bouwen? - Hoe kun je een model op de computer in stapjes opbouwen? - Wat zijn de voordelen en wat de beperkingen van een dynamisch model? Natuurwetenschappelijk model Een model in de natuurwetenschap is een hulpmiddel bij het beschrijven, verklaren en voorspellen van natuurverschijnselen. In figuur 1 zie je vier modellen. Ga bij elk van die modellen na of het een wetenschappelijk model is.. A. Model van de werking van het lichaam B. Model van een baby Triceratops (dinosarus) (2007) volgens Galenus ( na Chr ) C. Model van een ideale vrouw (2006) D. Model van een DNA molecuul (1954) De robot reageert op 1000 commando s Figuur 1. Vier modellen. In deze module beperken wij ons tot de dynamische modellen. De modellen A, B en D zijn niet dynamisch, maar statisch of stilstaand. Het woord dynamisch geeft aan dat het gaat om veranderingen die in de loop van de tijd optreden. Bij het maken van voorspellingen voor toekomstige ontwikkelingen wordt daarom vaak gebruik gemaakt van dynamische modellen. Neerslagradar Een vrij eenvoudig voorbeeld van het maken van een voorspelling met behulp van een model is de neerslagradar op internet, bijvoorbeeld bij 7

8 Met een tijdstap van 5 minuten worden beelden van het afgelopen uur getoond, en met een tijdstap van 15 minuten wordt een prognose gegeven voor de komende anderhalf uur. Figuur 2. Beelden van de neerslagradar van en 10.55, met een prognose voor uur. 1. Bekijk goed de beelden van de neerslagradar in fig.2. Welke beelden zijn gebaseerd op metingen en welke beelden zijn gebaseerd op een model? 2. De buien in de prognose veranderen niet meer van vorm, ze bewegen alleen nog over het scherm. 3. Welke gegevens gebruikt de computer om de prognose op te stellen? Dynamische modellen Een dynamisch model beschrijft hoe een bepaalde situatie verandert in de loop van de tijd. Het model wordt vaak gebruikt om te voorspellen hoe de variabelen die de situatie beschrijven in de loop van de tijd veranderen. Voordat we verder gaan beschrijven wat een dynamisch model precies is, gaan we eerst in 1-3 enkele situaties uit de praktijk (ook wel contexten genoemd) bestuderen, waarbij dynamische modellen een meerwaarde bieden. In 4 evalueren we en komen we terug op de centrale vragen. 8

9 1 Bevolkingsgroei Wat gaan we doen: - Het belang van bevolkingsmodellen voor de maatschappij verkennen. - Een model met lineaire groei en een model met exponentiële groei onderzoeken. - Een (eenvoudig) bevolkingsmodel in Powersim zelf bouwen. - De invloed van het geboorte- en sterftecijfer op de bevolkingsgroei onderzoeken. Inleiding Dat voorspellingen uit modellen voor bevolkingsgroei (en - samenstelling) van belang zijn voor diverse overheidsinstanties, ligt voor de hand. Neem nu de plaatselijke gemeente; natuurlijk moet die weten of er huizen en scholen moet worden bij gebouwd of juist niet. 4. Noem nog 3 maatregelen die een gemeentebestuur kan/moet nemen bij bevolkingsgroei of -krimp. Ook op landelijke schaal was (en is) bevolkingsgroei of -krimp een belangrijk onderwerp. In Bijlage 1 vind je meer gegevens over bevolkingsgroei in Nederland. Al in de 19 e eeuw werd op grond van een (te) eenvoudig model een ramp voorspeld. 5. In 1800 woonden in Engeland ongeveer 15 miljoen mensen. Malthus voorspelde dat de bevolking elke 25 jaar zou verdubbelen. Neem de onderstaande tabel over in je schrift. De theorie van Malthus In 1798 publiceerde de Britse demograaf en econoom Malthus het pamflet An Essay on the Principle of Population, waarin hij voorspelde dat de bevolkingsgroei van nature exponentieel verloopt, maar de groei van de voedselproductie lineair is. Dit zou uiteindelijk leiden tot de beschikbaarheid van steeds minder voedsel per mens. In 1750 begon de bevolking in Engeland sterk te groeien, doordat er minder epidemieën optraden door verbeterde hygiëne. In dezelfde periode startte de Industriële Revolutie. Malthus rekende uit dat de bevolking sinds 1750 elke 25 jaar verdubbelde. Indien de menselijke bevolking zou blijven groeien met dezelfde snelheid, zou het aantal mensen te groot worden om iedereen van voldoende voedsel te voorzien. Malthus bepleitte door "morele terughoudendheid" te betrachten, bevolkingscontrole te bewerkstelligen, zodat men te sterke bevolkingsgroei kan vermijden a. Vul de 2 e kolom van de tabel in waarin je om de 25 jaar het aantal inwoners uitrekent tot het jaar

10 Jaar Aantal inwoners bij verdubbeling om de 25 jaar Aantal inwoners bij lineaire groei ,5 miljoen 7,5 miljoen miljoen 15 miljoen Groot-Britannië had in werkelijkheid in het jaar 2000 ca. 60 miljoen inwoners. b. Geef 3 redenen waarom dit aantal afwijkt van de voorspelling van Malthus. c. Ga na of een lineaire groei van 7,5 miljoen per 25 jaar een betere voorspelling opleverde. Vul daartoe de 3 e kolom van je tabel in. In Nederland zijn er diverse instanties die zich in de bevolkingsgroei verdiepen, zoals het CBS (Centraal Bureau Statistiek) en het RIVM. In Bijlage 2 vind je achtergrondinformatie over de groei van de Nederlandse bevolking. Op wereldschaal is de bevolkingsgroei anders (geweest) dan op landelijke schaal. In 1804 woonden er 1 miljard mensen op de wereld. In 1927 waren dat er 2 miljard. Eind jaren '50 groeide de wereldbevolking tot 3 miljard personen. Sinds 1999 staat de teller al op meer dan 6 miljard. d. Is er bij de wereldbevolking sprake van lineaire of exponentiële groei? Demografie is de wetenschap die zich bezighoudt met de omvang, de structuur en de spreiding van de bevolking, en hoe de bevolking de in tijd verandert door geboorten, sterfgevallen, migratie en veroudering. Men verricht studie naar de samenstelling van de bevolking zoals leeftijd, geslacht, nationaliteit, etniciteit of beroep. Het gaat ons hier niet zozeer om de gevolgen van veranderingen in de bevolking en de te nemen politieke maatregelen. Wij zijn meer geïnteresseerd in de modellen die men gebruikt voor voorspellingen voor de toekomst; welke factoren dien je in een (eenvoudig) model op te nemen? Waarschijnlijk heb je bij aardrijkskunde de begrippen geboortecijfer en sterftecijfer al besproken en diagrammen over bevolkingssamenstelling (uit een atlas) bestudeerd. In bijlage 1 vind je de benodigde achtergrondinformatie over factoren die de bevolkingsgroei beïnvloeden. Een eenvoudig model voor de bevolkingsgroei In deze module hebben we niet de pretentie een realistisch model voor de wereld- of Nederlandse bevolking te kunnen maken. We proberen een model te maken voor een plaatselijke gemeente. Hiernaast staat een eenvoudig model van de bevolkingsgroei in een kleine stad in Nederland. De stad heeft 5000 inwoners. Elk jaar worden er 150 baby s geboren en sterven er 75 mensen. geboorten bevolking sterfte 10

11 Om zelf een computermodel te kunnen bouwen of aanpassen is het belangrijk om goed met het programma te kunnen werken. Start het modelleerprogramma Powersim. De bevolking wordt weergegeven met een voorraadgrootheid (levelvariabele).? Klik met de linker muisknop op het rechthoekige icoon voor een voorraadgrootheid in de knoppenbalk (helemaal links). Level_1 Plak dit icoontje ergens in het midden bovenaan op het lege witte werkblad. Hernoem de variabele Level_1 naar bevolking door op de naam te gaan staan en één maal te klikken met de linker muisknop. De toename en afname van de bevolking in de gemeente worden met stroomvariabelen weergegeven. Klik op het stroom-icoon in de knoppenbalk. Voeg deze instroom toe aan de linkerkant van de voorraadgrootheid bevolking en sleep naar rechts totdat de stroom contact maakt met de variabele bevolking. Dan licht deze zwart op. Doe hetzelfde voor de uitstroom, maar begin dan in bevolking en sleep naar rechts.? Rate_1? bevolking? Rate_2 De vraagtekens in de drie elementen geven aan dat er nog geen waarden aan de variabelen zijn toegekend. Neem aan dat er al 5000 mensen tot de bevolking behoren. Neem een constante instroom van 75 mensen per jaar en een constante uitstroom van 50 mensen per jaar. Breng deze waarden als volgt in het model: Dubbelklik op het blokje van de variabele bevolking. Je krijgt de eigenschappen te zien. Voer de beginwaarde 5000 in (bij Definition) en de eenheid mensen (bij Unit of Measure). 11

12 Klik op de naam van de instroom en verander deze in geboorten. Dubbelklik op de instroom. Voer de eenheid (mensen) en definitie in (waarde 150) in. Klik ook op de uitstroom en verander deze in sterfte. Dubbelklik op uitstroom. Voer de eenheid (mensen) en definitie (75) in. Voor de onafhankelijke variabele neemt Powersim standaard: de tijd t. In dit geval willen we de verandering per jaar weten. De hoeveelheid berekende gegevens kan worden ingesteld onder het menu Simulate. 12

13 Klik op Simulation Setup en voer (indien nodig) bij de Start Time 0 en bij Stop Time 20 (jaar) in, en neem een tijdstap van 1 (jaar). Standaard voert Powersim 100 tijdstappen uit. De tijdstap is de toename van de tijd waarover elke cyclus van modelberekeningen gedaan wordt. Grafieken en tabellen maken Om te zien hoe de bevolking in de gemeente reageert op de instroom en uitstroom, zetten we enkele diagrammen klaar. Klik op het icoontje voor het diagram. Plaats het diagram rechtsboven. Klik nu op het blokje van de variabele bevolking en sleep dit naar de verticale as van het diagram. Op dezelfde manier kun je diagrammen van de instroom geboorten en de uitstroom sterfte klaarzetten. De Y-as kun je voor een beter leesbare grafiek nog aanpassen door te dubbelklikken op de figuur. Dan ga je naar Value Y-axis, daarna naar Axis en dan kun je de minimum- en maximumwaarden instellen. 13

14 bevolking Time Time 1 2 geboorten sterfte Je kunt behalve een diagram ook een tabel invoegen. Klik daartoe op het icoontje voor tabel. Klik weer op het blokje van de variabele bevolking en sleep dit naar de tabel. Time bevolking Het model uitvoeren Sla het model nu eerst op, b.v. als groei1. Je mag maximaal zes cijfers en /of letters gebruiken. Powersim zelf voegt de extensie sim toe. Als het niet is gelukt een goed bevolkingsmodel te bouwen, vraag dan je docent om raad (hij heeft het bestand groei1.sim achter de hand). 14

15 6 a. Voorspel hoe de grafiek van bevolking eruit zal zien (met een startwaarde voor bevolking van 5000 en een instroom van 150 mensen / jaar en een uitstroom van 75 mensen / jaar). Om te zien wat voor resultaten een model oplevert moet je het laten doorrekenen. Doe dat pas nadat je je model hebt opgeslagen. Als je model een rekenfout bevat en vastloopt, moet je helemaal opnieuw beginnen! Klik op de Run button.. De computer tekent de grafieken, vult de tabel in en ook verschijnt er in de voorraadgrootheid bevolking een grafiekje en een getal dat de waarde aangeeft. b. Teken het diagram van de bevolking tegen de tijd over. Beschrijf hoe de bevolking verandert in de tijd. c. Vergelijk deze uitkomst van het model met je eigen voorspelling. d. Wat is de betekenis van de richtingscoëfficiënt (de helling) van de grafieklijn? Dit model is niet erg realistisch, want er wordt aangenomen dat de geboorten en sterfte in het stadje constante waarden zijn. Dit leidt tot een lineaire groei. In werkelijkheid hangen de geboorten en de sterfte af van de grootte van de bevolking. Daarom gaan we het model aanpassen. Aanpassen van het model: geboorte- en sterftecijfer Meer realistisch is een model waarin het aantal geboorten een percentage is van het aantal inwoners. We noemen dit het geboortecijfer. Dit wordt berekend door de gemiddelde hoeveelheid geboorten per jaar te delen door het gemiddelde bevolkingsaantal in dat jaar. 7a. Bereken het geboortecijfer in het vorige model in het 1 e jaar. In plaats van een getal in procenten gebruiken we het decimale getal (per jaar). Let op: Powersim gebruikt de decimale punt, waar wij meestal een decimale komma gebruiken! Je kunt het geboortecijfer in het model zetten door gebruik te maken van een constante. Selecteer de Constante (ruitje) in de Modelknoppenbalk. Plaats het symbool links onder de instroompijl door te klikken. Geef het de naam geboortecijfer. Je weet dat de instroom aan geboorten afhangt van het geboortecijfer, dus is er een relatiepijl nodig tussen de symbolen geboorten en geboortecijfer. 15

16 geboorten bevolking sterfte geboortecijfer sterftecijfer Selecteer (klik op) het icoon voor de relatiepijl en sleep vanuit de Geboortecijfer totdat de pijl contact maakt met de Geboortestroom. Laat de muis dan los. Het aantal geboorten hangt ook af van de totale bevolking, dus is er ook een relatiepijl nodig van bevolking naar geboorten. Maak deze relatie. Merk op dat bij de variabele geboorten nu een? is te zien. Dat komt omdat de bestaande vergelijking niet meer geldig is. De relatielijnen van bevolking en geboortecijfer naar geboorten geven aan dat in de vergelijking voor geboorten de variabelen bevolking en geboortecijfer moeten voorkomen. Dubbelklik geboorten en herdefinieer deze m.b.v. de formule-editor. Merk op dat je alleen gebruik kunt maken van de variabelen waar vanuit relatielijnen zijn getrokken. 7b. Noteer wat de definitie voor geboortestroom moet zijn. Pas op soortgelijke wijze de Sterftestroom aan. Het sterftecijfer vertegenwoordigt de sterfte van de bevolking. Het Sterftecijfer van de bevolking is (1,5%). 7c. Noteer wat de definitie voor de sterftestroom moet zijn. 16

17 Omdat we hier te maken hebben met hele aantallen (mensen), moeten we de stromen afronden op gehele getallen door gebruik te maken van de ROUND-functie in Powersim. Pas opnieuw het model met de geboorte- en sterftestroom aan. Dubbelklik op geboorten. Zoek dan bij Functions alfabetisch naar ROUND. Zet de definitie tussen haakjes achter ROUND. 8. Sla het model op. Voer het daarna uit. a. Beschrijf hoe de bevolkingsgroei verloopt. b. Wat is de grootte van de bevolking na een tijdsduur van 20 jaar? c. Wat gebeurt er met de bevolking in de situatie dat het geboortecijfer hoger is dan het sterftecijfer? d. Wat gebeurt er met de bevolking in de situatie dat het geboortecijfer lager is dan het sterftecijfer? In het tweede model van bevolkingsgroei zitten twee terugkoppelingen: een positieve en een negatieve. Een positieve terugkoppeling betekent: hoe meer van A, hoe meer van B, en daardoor weer hoe meer van A. Een negatieve terugkoppeling betekent: hoe meer van A, hoe meer van B en daardoor hoe minder van A. 17

18 + A B + + A B - Figuur 3. Positieve terugkoppeling (boven) en negatieve terugkoppeling (boven). 9. Leg uit welke drie variabelen in het model betrokken zijn bij terugkoppeling door soortgelijke tekeningen te maken. Is er sprake van positieve of van negatieve terugkoppeling, of van allebei? Dichtheidsafhankelijke regulatie bij de bevolkingsgroei van dierlijke populaties Bij de groei van dierlijke populaties zijn negatieve terugkoppelingen (groeiremmingen) erg belangrijk. Je kunt het bij bijvoorbeeld konijnen hebben over het aantal (de populatiegrootte), maar op het eerste gezicht lijkt het logisch dat in een twee keer zo groot gebied ook twee keer zoveel konijnen kunnen leven. Het lijkt daarom een goede aanname dat groeiremmende omstandigheden meer afhangen van de dichtheid D dan van de populatiegrootte K op zich. De dichtheid kun je berekenen met de formule: D = K / O waarin O de oppervlakte is van het leefgebied en K de grootte van de populatie konijnen. 10. Noem factoren die ongunstiger worden naarmate de dichtheid toeneemt. Waarop hebben deze factoren de meeste invloed, op het sterftecijfer of het geboortecijfer? 11. Maak een model zoals je tweede model voor bevolkingsgroei. Gebruik voor het geboortecijfer 1.5 en voor het sterftecijfer 0.2. Ga uit van het duingebied van Texel met een oppervlakte van 4800 ha (1 ha = m 2 = 0,01 km 2 ). 18

19 Figuur 4 Het duingebied van Texel. Met behulp van de merk- en terugvangmethode heeft men bepaald dat er nu gemiddeld ongeveer 2 konijnen per ha voorkomen. Bereken hoeveel konijnen er dan zijn op Texel. Voer dit aantal in bij aantal_konijnen (K). Voeg een constante oppervlakte toe in je model met de waarde 4800 (ha). Zet een rekengrootheid dichtheid in je model met daarin de bovenstaande formule. Zorg ervoor dat het model de groei over 20 jaar berekent. Voeg een grafiek in van aantal_konijnen. Het geboorte- en het sterftecijfer kunnen beide variabel zijn onder invloed van de dichtheid. Dat maakt het lastig precies om in de vingers te krijgen wat er met de populatie gebeurt. We kunnen het ook iets vereenvoudigen, zonder dat dit voor het modelresultaat uitmaakt. De groei van de populatie hangt af uiteindelijk alleen af van het verschil tussen geboorte en sterfte. Het maakt dus voor het uiteindelijke resultaat niet uit of je de geboorte laat dalen en de sterfte laat stijgen (figuur 5a) of dat je de geboorte constant houdt en de sterfte iets harder laat stijgen (figuur 5b). sterftesnelheid sterftesnelheid populatie krimpt populatie groeit populatie krimpt populatie groeit geboortesnelheid geboortesnelheid dichtheid dichtheid Figuur 5a Geboorte- en sterftesnelheid beide afhankelijk van dichtheid. Figuur 5b Geboorte- en sterftesnelheid verlopen anders, maar het netto-effect blijft gelijk. 19

20 Uitgaande van figuur 5b zou je het reële sterftecijfer kunnen beschrijven met de volgende formule: s real = s (1 + dichtheid) In je model moet je dan s real toevoegen en de formule invoegen. De sterfte is nu niet meer afhankelijk van s maar van s real. Dus de pijl van s naar sterfte wordt vervangen door een pijl van s real naar sterfte! 12. Voer je model uit en schets het resultaat. 13. Onderzoek het gedrag van dit model voor verschillende waarden van geboortecijfer, sterftecijfer en het oppervlak O (dus van de aanvangsdichtheid). Schets kwalitatief het verloop van de grafiek. Welke constanten en beginwaarden hebben wel invloed op de grootte van de uiteindelijke populatie, welke niet? Je ziet dat de populatie in het model uiteindelijk steeds op een vaste waarde uitkomt die afhankelijk is van geboortecijfer, sterftecijfer en O. Deze vaste waarde noemen we de draagkracht (C van Carrying Capacity) van het gebied. De Belgische wiskundige Verhulst heeft veel onderzoek gedaan aan dit groeimodel, dat ook Intermezzo Afleiding Verhulst model In de voorgaande paragraaf gebruikten we: wel bekend staat onder de naam logistische g = constante groei. Hij schreef de formule iets anders dan wij K hier gedaan hebben. Hij nam de geboorte- en s real = s(1 + ) de sterftecijfers samen tot een nettogroeisnelheid i en hij schreef: De groeisnelheid i van de populatie was O dk/dt = i K dus: waarin: i = (g-s) (1-K/C) Het is niet direct duidelijk dat deze formule overeenkomt met het model dat we hiervoor gebruikt hebben, maar dat blijkt wel zo te zijn als je voor C als waarde kiest (zie wiskundig intermezzo hiernaast voor de liefhebbers!): C = O (g/s -1) De formulering van Verhulst heeft twee belangrijke voordelen: ten eerste kun je in deze formule direct zien dat de groeisnelheid nul wordt als K = C. Ten tweede, en dat was zeker in de tijd van Verhulst nog belangrijker, kun je deze vergelijking met de hand oplossen (zie intermezzo). Wij doen dat echter niet, we werken verder met Powersim. 14. Wat verwacht je dat er gebeurt er als je met een populatiegrootte ver boven de draagkracht begint? Schets de grafiek. 15. Bouw nu het model volgens de formulering van Verhulst in Powersim. Let op: anders dan in het vorige model heb je nu geen uitstroompijl, maar alleen een instroompijl voor de groeisnelheid i. Het sterftecijfer wordt al meteen van het geboortecijfer afgetrokken. Als K i = g s(1 + ) O dat kun je herschrijven tot: sk i = g s O g s sk = g s g s O sk = ( g s) 1 Og ( s) K = ( g s) 1 Og ( s)/ s K i = ( g s) 1 met C = O( g s)/ s C De differentiaalvergelijking voor de groei van het aantal konijnen wordt nu: dk = ik, met K (0) = K 0 dt dk K = ( g s) 1 K dt C De differentiaalrekening levert de volgende oplossing (de grafiek kun je op je grafische rekenmachine bekijken): ( g- s) t C Kt () = K0 e ( g- s) t C+ K e -1 ( ) het sterftecijfer groter wordt dan het geboortecijfer, wordt i negatief. In Powersim gaat de instroom dan tegen de stroom in, zodat aantal konijnen zal afnemen. Vul voor de draagkracht C een waarde van konijnen in. Voeg een grafiek in en laat het model voor een periode van 20 jaar doorrekenen. 20 0

21 Twee evenwichten en chaos De Schotse bioloog Robert May (1936) rekende aan het model van Verhulst. Hij ontdekte dat het verloop van de populatiegroei erg afhankelijk is van de waarde van i, het verschil tussen geboortecijfer en sterftecijfer. Als je het model van Verhulst doorrekent met een i van 1.5, 2.2 of 2.9, zie je zijn ontdekking. 16. Bij welke waarde groeit de populatie naar een stabiel evenwicht, bij welke waarde gaat de populatie regelmatig heen en weer tussen twee evenwichtswaarden en bij welke waarde ontstaat een onregelmatig (chaotisch patroon)? Is dit laatste patroon vooral waarschijnlijk bij de groei van een populatie olifanten of bij een populatie bladluizen? Van een eenvoudig naar een ingewikkeld model voor de bevolkingsgroei Wat gaan we doen? Het eenvoudige model voor bevolkingsgroei aanpassen om het te kunnen toepassen op de verandering van de bevolkingssamenstelling van een gemeente. Daartoe voorzien we het model van meerdere voorraadgrootheden / leeftijdsgroepen (kinderen, jongvolwassenen, oudvolwassenen en ouderen) met voor elke groep andere factoren die de instroom en uitstroom beïnvloeden Leren interpreteren van de uitkomsten en leren onderzoeken in hoeverre het model de werkelijkheid nu goed beschrijft. Het belang inzien van dynamische modellen om de verandering in de bevolkingsamenstelling te monitoren en voorspellingen te kunnen doen Opdeling in leeftijdsgroepen In ons eerste bevolkingsmodellen werd geen rekening gehouden met de leeftijd. De leeftijdsopbouw / bevolkingsamenstelling van een stad/dorp is echter van groot belang. In figuur 6 is een meer realistisch model weergegeven voor de leeftijdsopbouw van de bevolking van de gemeente Noordwijkerhout. 21

22 Dynamisch Model Bevolkingsamenstelling Noordwijkerhout verhuizingen uitstroom instroom stroom_0 kinderen stroom_1 jongvolwassen oudvolwassen ouderen stroom_2 stroom_3 sterfte geboortefactor geboorte sterftefactor Figuur 6 Een model van de bevolking van Noordwijkerhout. Ook dit model is nog steeds een vereenvoudiging van de werkelijkheid. Om het model overzichtelijk te houden is het aantal leeftijdsgroepen beperkt en er zijn enkele aannames gemaakt om het model overzichtelijk te houden. De kenmerken van het model zijn: 1. Er zijn vier leeftijdsgroepen: kinderen 0 t/m 19 jaar jongvolwassenen 20 t/m 39 jaar oudvolwassenen 40 t/m 59 jaar ouderen 60 jaar en ouder 2. Er is sprake van verhuizingen, maar alleen jongvolwassenen verlaten de gemeente, en alleen oudvolwassenen met kinderen vestigen zich in de gemeente. 3. Er is alleen sprake van sterfte onder de ouderen. 4. Er is sprake van geboorte van kinderen, maar alleen jongvolwassenen krijgen kinderen. Het zou te moeilijk zijn bovenstaand model in één keer (na) te bouwen. We doen dat daarom in stapjes. Het aanpassen van het model Open het bestand Bevolking 3. Je ziet dan een deel van het model van Noordwijkerhout.? stroom_0 kinderen? jongvolwassenen? oudvolwassenen stroom_1 stroom_2? geboorte Voeg de voorraadgrootheid ouderen toe (klikken en neerzetten). Noteer ook de naam bij de variabele. Plaats de constanten geboortefactor en sterftefactor. 22

23 Je ziet in deze modellen enkele stroomvariabelen met een wolkje erbij. Dat wolkje stelt het onbeschrevene in het model voor. Het verschijnt automatisch als je een stroomvariabele op een lege plek laat beginnen of eindigen. Plaats alle stroomvariabelen in het model. (Om de stroomvariabelen te plaatsen selecteer je het symbool en daarna trek je de pijl tussen begin- en eindpunt. ) Plaats ook alle relatiepijlen in het model. In het model Bevolking 3 zijn de beginwaarden van de voorraadgrootheden kinderen, jongvolwassenen en oudvolwassenen al ingevuld. 17. Welke beginwaarden hebben deze voorraadgrootheden in dit model? 18. Komen deze beginwaarden ongeveer overeen met de leeftijdsopbouw van Noordwijkerhout in 2004? (zie figuur 7) In totaal wonen er personen in Noordwijkerhout. 19. Welke beginwaarde heeft de voorraadgrootheid ouderen? Figuur 7. De leeftijdsopbouw van Noordwijkerhout in

24 Doorstroming De tijdstap in het model is 1 jaar. De eerste drie leeftijdsgroepen beslaan elk 20 jaar. 20. a. Hoeveel procent van de personen in zo n groep zal een jaar later doorgestroomd zijn naar de volgende groep? b. Stel een formule op om stroom_0 te berekenen en plaats de formule in het model. Plaats ook een formule bij stroom_1 en stroom_2. Geboorte Alleen jongvolwassenen krijgen in dit model kinderen. In Nederland geldt dat een vrouw tijdens haar leven gemiddeld 1,8 kinderen krijgt. Voor dit model betekent dit dat de helft van de jongvolwassenen in een tijdsbestek van 20 jaar 1,8 kinderen krijgt. 21. a. Leg met een berekening uit dat per 1000 jongvolwassenen er elk jaar 45 kinderen geboren worden. b Hoe groot is dus de geboortefactor per jongvolwassene? c Stel een formule op voor de geboorte in dit model en plaats de formule in het model. Sterfte In het model sterven alleen ouderen. In Noordwijkerhout overlijden elk jaar gemiddeld 150 personen. De sterftefactor in het model is de kans op overlijden binnen een jaar 22. a. Welke waarde heeft de sterftefactor voor de groep ouderen in Noordwijkerhout? b Stel een formule op voor de sterfte in dit model, en plaats de formule in het model. Resultaten zichtbaar maken De resultaten van de berekeningen van het model kunnen op verschillende manieren in beeld gebracht worden. 23. Plaats een tabel en sleep daarin de vier toestandvariabelen. Run het model om de resultaten zichtbaar te maken. Een tijdgrafiek is vaak een betere manier om het verloop van resultaten zichtbaar te maken. 24. Plaats een tijd-diagram en sleep daarin de vier voorraadgrootheden / (toestandvariabelen). Bewaar je model onder de naam bevolk4.sim. stroom_0 kinderen jongvolwassen oudvolwassen ouderen stroom_1 stroom_2 stroom_3 sterfte geboorte sterftefactor geboortecijfer Verhuizingen Het grote probleem voor Noordwijkerhout ligt bij de verhuizingen. De woningen in Noordwijkerhout zijn erg duur, daardoor verlaten relatief veel jonge mensen de gemeente. Omdat hun ouders vaak wel in Noordwijkerhout blijven wonen komt er niet bij elke verhuizing een woning vrij. De nieuwkomers in de gemeente zijn meestal gezinnen van oudere volwassenen met kinderen. 24

25 De modelconstante verhuizingen stelt het aantal jongvolwassenen voor dat per jaar de gemeente verlaat. In Noordwijkerhout komen per 100 jongvolwassenen die de gemeente verlaten, 60 oudvolwassenen èn 60 kinderen in de gemeente wonen. 25. Maak de modelconstante verhuizingen en stel deze in op 100. De uitstroom is gelijk aan het aantal verhuizingen a. Noteer de formule voor instroom. Plaats de formules voor instroom en uitstroom in het model. Stroom_0 bestaat uit alle nieuwgeboren kinderen plus de kinderen die door verhuizing in de gemeente zijn komen wonen. b. Stel een formule op voor stroom_0 en plaats de formule in het model. Laat je model doorrekenen. c. Leg uit dat door de verhuizingen in eerste instantie het inwonertal zal stijgen. d. Waardoor zal door de verhuizingen op wat langere termijn het inwonertal toch kunnen dalen? Lange termijn verwachting In het model wordt het totale aantal inwoners van Noordwijkerhout niet zichtbaar. 26. Maak een nieuwe rekenvariabele voor het totaal aantal inwoners, en maak ook die variabele zichtbaar in de tabel. 27. Beschrijf wat er volgens het model de komende 20 jaren met het inwonertal zal gebeuren. De opmaak van het diagram is nogal kaal. Pas de assen (Axis), de lijnen en de titel aan zodat je een grafiek krijgt die er ongeveer uitziet zoals onderstaande figuur Leeftijdsopbouw Noordwijkerhout aantal personen kinderen jongvolwassenen oudvolwassenen ouderen tijd (jaren) Voorbeeld van uitkomsten van het model in een tijd-diagram. Het model heeft een looptijd van 20 jaar. In die tijd blijkt het inwonertal redelijk constant, maar er vindt wel een verschuiving plaats in de samenstelling van de bevolking. Zal Noordwijkerhout op de lange termijn een stabiele samenstelling krijgen? 28. Op welke manier verandert de samenstelling van de bevolking? Kies in menu Simulation voor de Simulation Setup en stel de looptijd van het model in op 100 (jaar). 29. Beschrijf wat het model voorspelt voor de samenstelling op lange termijn. 25

26 Evaluatie en vooruitblik Deze paragraaf 1 had als leerdoelen: - Het belang van bevolkingsmodellen voor de maatschappij verkennen - Het onderzoeken van een model met lineaire groei en een model met exponentiële groei. - Het zelf bouwen van een (eenvoudig) bevolkingsmodel in Powersim. - Onderzoeken hoe het geboorte- en sterftecijfer de bevolkingsgroei beïnvloeden en hoe het verloop van die groei is. - Het bouwen van een realistischer model van een gemeente met verschillende leeftijdsgroepen. Ga na of je bovenstaande leerdoelen hebt gehaald. 26

27 2 Een griep-epidemie Wat gaan we doen / leren: - Het belang van griepmodellen voor de maatschappij verkennen - Het leren bouwen van een (eenvoudig) griepmodel - het bepalen welke gegevens van invloed zijn op de besmetting en genezing bij griep. Inleiding Elk jaar trekt in de herfst en de winter een griepplaag over Noord-Europa. Griep is besmettelijk, dat wil zeggen dat iemand die griep heeft een ander kan aansteken. Als dit grote aantallen mensen treft, spreekt men wel van een griep-epidemie. Elk jaar komt de griep in grotere of kleinere golven, treft sommigen wel en anderen niet. In Nederland wordt het verloop van de griep de laatste jaren bijgehouden via internet. Op de website vind je gegevens over de griep in Nederland. De benodigde informatie uit deze website vind je in bijlage 2. Daarin staat ook de grafiek, die laat zien hoe de (kleine) griepepidemie uit het seizoen verliep. De overheid wil in een vroeg stadium een voorspelling hebben van het verloop van de griepepidemie. 30. Geef twee redenen waarom de overheid vóór de piek een voorspelling wil hebben. Om een voorspelling te maken over een griep-epidemie heb je gegevens nodig over de beginsituatie én over de veranderingen die daarin optreden. Hoe snel verlopen die veranderingen? Welke factoren hebben invloed op die veranderingen? Als je dit allemaal in kaart hebt gebracht kun je dan ook een schatting of berekening maken van de grootte van de verandering? Figuur 8. Kamagurka Uit De Volkskrant, 1 juni 2006 Griepgegevens verzamelen De overheid kan pas een voorspelling laten maken als er voldoende gegevens zijn verzameld over de situatie aan het begin van het griepseizoen. Die griepgegevens komen uit verschillende landen en gaan over vragen zoals: A Welke griepvirussen zijn er gesignaleerd? B Hoe besmettelijk zijn die virussen? C Welk deel van de bevolking is vatbaar voor de ziekte? D Op welke plaatsen is het virus gesignaleerd? E Hoeveel personen zijn er met het virus besmet? F Hoe groot is de kans dat een persoon die ziek is overlijdt aan de griep? 31. Welke van de griepgegevens gaan over de beginsituatie? Bij de beginsituatie horen ook enkele eigenschappen van het virus, die tijdens de griepepidemie meestal niet veranderen. 32. Welke van de griepgegevens gaan over eigenschappen van het virus? 27

28 Het aantal zieke personen verandert in de loop van de tijd. In figuur 9 zie je de griepgolven van de laatste seizoenen. Kenmerkend voor een griepgolf is dat de grafiek eerst langzaam en daarna steeds sneller stijgt. 33. Leg uit waarom er een piek in de grafieken zit. Om een voorspelling te kunnen doen, zou je met een computermodel kunnen berekenen hoe de situatie verandert 34. Welke van de griepgegevens gaan over de snelheid waarmee het aantal zieke personen verandert? Figuur 9. Bron Tijdstap Uitgaande van de beginsituatie en het tempo van verandering kan de computer berekenen wat de situatie een tijdje later zal zijn. Daarbij wordt een tijdstap gekozen van bijvoorbeeld een dag, een uur of een jaar. De computer berekent telkens opnieuw hoe de situatie zal zijn één tijdstap later. Bij een dynamisch model van een griepepidemie is een tijdstap van een week of een maand niet handig omdat er binnen één tijdstap erg veel kan veranderen in de situatie. Het model zou dan erg grof worden. Een tijdstap van een seconde of een minuut zou het model erg nauwkeurig maken, maar daar kleeft een ander nadeel aan. De juiste tijdtap voor een griepmodel zal dus ergens hier tussenin liggen. 35. Welk nadeel kleeft er aan een zeer korte tijdstap bij een griepmodel? En welke tijdstap zal bij een griepmodel wel een logische keuze zijn? Welke gegevens heb je nodig voor een dynamisch model? Een dynamisch model kent altijd een beginsituatie en een veranderingsproces. Het veranderingsproces bestaat meestal uit schattingen of berekeningen waarmee een nieuwe situatie op een later tijdstip berekend kan worden. Voor een dynamisch model is dus de volgende informatie nodig: 1. Wat is de beginsituatie? 2. Welke factoren hebben invloed op de verandering van die situatie? Hoe kan de grootte van de verandering berekend of geschat worden? 3. Welke tijdstap wordt gekozen om een nieuwe situatie te berekenen 28

29 Een eenvoudig model voor een griep-epidemie Je kunt nu een simulatiemodel maken van een griep-epidemie. Het maken van een model met Powersim begint weer met het tekenen van een schema waarin alle variabelen en hun relaties staan weergegeven. Daarna vul je pas de benodigde getallen en formules in. Bij griep kan het basisprincipe als volgt beschreven worden: je bent gezond, je wordt ziek, je wordt beter en dan ben je (een tijdje in ieder geval) immuun voor de ziekte. Dat proces is hieronder in beeld gebracht met behulp van een zogenaamd stroomschema. De rechthoekige symbolen stellen de aantallen gezonde, zieke en immune mensen voor. De beginsituatie gaat uit van 990 gezonde mensen en 10 zieke mensen. In de beginsituatie is nog niemand immuun. De pijlen in het schema geven de veranderingen aan. In deze situatie beginnen we met een heel simpele aanname: - elke dag worden er 10 mensen ziek - van de zieke mensen geneest elke dag 20%? beginsituatie % 10 20% - Een stroomvariabele geeft aan hoeveel personen er per tijdstap (een dag) verhuizen van de ene groep naar de andere groep. na 1 dag % na 2 dagen 10 20% Voor de situatie na 1 dag is het stroomschema is al ingevuld. 36 a. Leg uit dat er na één dag 18 personen ziek zijn. b. Hoeveel personen zijn er na één dag immuun? c. Bereken het aantal personen dat na 2 en 3 dagen gezond, ziek of immuun is. Rond steeds de getallen af op hele aantallen, en noteer de getallen in het schema. d. Bouw het simpele model na; je begint met de beginsituatie en laat je model doorrekenen wat de waarden zijn tot dag 3. Klopt het model met je berekeningen? 18 - De waarde van een voorraad verandert door instroom en uitstroom. 37. Wat is gemiddelde ziekteduur (in dagen) van dit type griepvirus wanneer we uitgaan van de constante genezingskans 20% per dag? Vind je dit een realistische aanname? Gebruik indien nodig de informatie van de website 29

30 Wat is griep? Griep is een acute infectie van de bovenste luchtwegen (neus, keel, longen) en wordt veroorzaakt door het influenza virus. Griep is waarschijnlijk de meest onderschatte ziekte die er is. Ieder jaar krijgt 5 tot 10% van de Nederlandse bevolking griep; dit zijn dus 1 tot 1,5 miljoen mensen. Dit noemen we een epidemie. Het griepvirus ondergaat regelmatig mutaties, veranderingen. De antistoffen die het lichaam het ene jaar aanmaakt tegen het griepvirus, herkennen niet automatisch het virus van het jaar daarop. Hierdoor kan het griepvirus ons afweersysteem steeds opnieuw verrassen en kun je elk jaar opnieuw griep krijgen. Tijd tussen besmetting en begin griepklachten Na het binnenkrijgen van het griepvirus duurt het gewoonlijk 2 3 dagen voordat je ziek wordt,. Dit wordt de incubatietijd genoemd. Ondertussen kun je wel, zonder dat je het weet, weer andere mensen besmetten. Volwassenen zijn besmettelijk vanaf twee dagen voordat de symptomen zich openbaren tot vijf dagen daarna. Hoe lang duurt de griep? Bij griep zijn gezonde mensen al gauw een week ziek. De koorts (38-40 C) is binnen één dag na het begin van de klachten het hoogst en duurt 1 tot 5 dagen. Als je griep hebt, wil je het liefst gewoon in bed blijven. Griep is zeer besmettelijk Via de lucht, maar ook via direct contact (zoenen, hand geven) of indirect contact (via een deurkruk of telefoon bijvoorbeeld) kun je het griepvirus oplopen. Het inademen van maar drie griepvirussen is al genoeg om zelf besmet te raken. Bijvoorbeeld: Als een vliegtuig met één grieppatiënt 3 uur aan de grond staat met een kapot ventilatiesysteem, dan krijgt 72% van de passagiers in de daaropvolgende dagen griep. Informatie van de site Het verloop van de epidemie Het meest simpele model van een griep-epidemie is natuurlijk veel te eenvoudig om voorspellingen mee te doen. Vooral de aanname dat er elke dag 10 personen ziek worden is niet erg realistisch. Immers, dan zou na bepaalde tijd (1000/10=) 100 dagen, het aantal gezonde mensen zelfs negatief worden. Figuur 10 vertoont het verloop van het aantal zieke personen volgens het simpele model. De resultaten die het model levert wijken nogal af van een daadwerkelijke griep-epidemie. Griep-epidemie volgens een simpel model, vergeleken met een werkelijke griepgolf. Griepepidemie Griep-epidemie in Nederland, 50 seizoen personen ziek tijd (dagen) Figuur 10. Het verloop van een epidemie. Volgens het simpele model stijgt het aantal zieke personen de eerste dagen snel stijgt, maar die stijging wordt na verloop van tijd steeds minder snel. Uiteindelijk wordt het aantal zieke personen constant. 38 a. Leg uit waardoor het aantal zieke personen steeds minder snel stijgt. b. Ga met een berekening na dat uiteindelijk constant 50 personen ziek zijn. c. Zal het aantal zieke personen na verloop van tijd ook weer gaan dalen? Wanneer? 39. De vorm van de grafiek van het model lijkt helemaal niet op een grafiek van een echte griepgolf. Het model is kennelijk nog veel te simpel om het verloop van een griepgolf te beschrijven. a. Waardoor stijgt bij een werkelijke griepgolf het aantal zieke personen tijdens het begin van de griepgolf steeds sneller? b. Noem minstens één verbetering voor het model. Gebruik daarvoor indien nodig de onderstaande informatie over griep. 30

31 40. In het model is de aanname gemaakt dat er elke dag opnieuw 10 personen ziek worden. a Geef tenminste één reden waarom dat geen realistische aanname is. Het aantal personen dat op een dag ziek wordt hangt af van zowel het aantal personen dat ziek is als van het aantal personen dat nog niet ziek geweest is. b Leg dit uit. Voorlopig nemen we aan dat iemand die besmet wordt ook direct ziek is. We houden dus nog geen rekening met de zogenaamde incubatietijd. 41. Besmetting kan alleen optreden als zieke en gezonde mensen elkaar ontmoeten. Niet elk contact leidt vanzelf tot besmetting, er is een zekere besmettingskans. Neem aan dat elk persoon elke dag 10 mensen van dichtbij ontmoet, en dat de kans dat een ziek persoon een gezond persoon besmet daarbij 5% is. Op de eerste dag zal dan gemiddeld de helft van de zieke personen een ander persoon ziek gemaakt hebben. a Leg uit dat op de eerste dag ongeveer de helft van de zieke personen een gezond persoon besmet. b Waarom neemt dit na verloop van tijd af? 42. Na verloop van tijd daalt het aantal besmettingen omdat een groot deel van de bevolking immuun geworden is. Op een bepaald moment zijn er 400 gezonde personen, 100 zieken en 500 personen die immuun zijn. Van de 10 personen die een zieke persoon per dag ontmoet is slechts een deel gezond. Bij elke ontmoeting is de kans op besmetting 5%. a Hoeveel gezonde personen komt een ziek persoon per dag tegen? b Bereken hoeveel besmettingen er gemiddeld door één ziek persoon per dag veroorzaakt worden. c Hoeveel besmettingen zullen er die dag plaatsvinden? Conclusie: besmetting en genezing Om het model te verbeteren moet rekening gehouden worden met de volgende verbanden: Het aantal personen dat per dag geneest hangt af van de ziekteduur. Het aantal personen dat per dag besmet raakt hangt af van de besmettelijkheid van het virus, het aantal personen dat ziek is én het aantal personen dat (nog) gezond is. 31

32 Aanpassen van het griepmodel Om het simpele model in Powersim te verbeteren kijken we naar de twee stroomvariabelen die bepalen hoe snel het aantal zieke en gezonde personen verandert. - Het aantal personen dat per dag geneest hangt af van de ziekteduur. - Het aantal personen dat per dag besmet raakt moet afhangen van de besmettelijkheid van het virus, het aantal personen dat ziek is én het aantal personen dat (nog) gezond is. In het volgende model zijn twee nieuwe blokjes te zien die elk een bepaalde constante voorstellen. - de genezingskans is gelijk aan 1 gedeeld door het gemiddelde aantal dagen dat iemand gemiddeld ziek is. - de besmettingsfactor is de kans dat een gezonde persoon bij een contact met een zieke persoon besmet raakt. gezond besmetting ziek genezing immuun besmettingsfactor genezingskans Een betere formule voor besmetting In het eerste model werden elke dag 10 mensen besmet. Het is niet erg realistisch dat het aantal besmettingen constant is. Als er meer zieke mensen zijn zullen er ook meer mensen besmet worden. Besmetting kan alleen optreden als zieke en gezonde mensen elkaar ontmoeten. Niet elk contact leidt vanzelf tot besmetting, er is een zekere besmettingskans, het aantal besmettingen dus ook af van het aantal zieke personen. Na enige tijd is een deel van de bevolking immuun en kan dus niet meer besmet worden. Het aantal besmettingen daalt als het percentage van de bevolking in de categorie gezond afneemt. Een betere formule voor het aantal besmettingen is dan: gezond besmetting = c ziek totale bevolking In deze formule is c de besmettingsfactor (het aantal besmettingen dat een ziek persoon per dag veroorzaakt bij een gezonde bevolking) 43. Bekijk de formule voor het aantal besmettingen. a. Stel dat bij 990 gezonde personen en 10 zieke personen er per dag (eerst slechts) 5 besmettingen zijn, welke waarde heeft c dan? b. In het begin van de epidemie neemt het aantal besmettingen per dag snel toe. Hoe is dat met deze formule te verklaren? c. Hoeveel besmettingen zijn er per dag bij 400 gezonde personen, 100 zieken en 500 personen die immuun zijn? Na verloop van tijd daalt dus het aantal besmettingen per dag. d. Hoe kun je met de formule uitleggen dat op een bepaald moment het aantal besmettingen weer daalt? 32

33 44. Bouw het schema na in Powersim. Bewaar het als b.v. griep1.sim. - Neem voor de genezingskans 0.2 = 1 / gemiddelde ziekteduur van 5 dagen ) - Neem voor de besmettingsfactor 0.05 = c uit de formule voor het aantal besmettingen: gezond besmetting = c ziek totale bevolking Voer het model uit. Indien je problemen hebt, vraag dan je docent om hulp vóórdat je onderstaande vragen gaat beantwoorden. a. Heeft de epidemie na een week het maximum al bereikt? Je kunt met het model verder rekenen tot 100 dagen. b. Maak eerst een voorspelling over de toestand op dag 100 en laat het model het uitrekenen. c. Ga na vanaf welke dag de toestand stabiel is. 45. De hoofdvragen bij het voorspellen van het verloop van een griepgolf zijn: - Hoe hoog is de piek van de epidemie (het grootste aantal mensen dat op een gegeven moment ziek is)? - Hoeveel procent van de bevolking krijgt uiteindelijk griep? Beantwoord de twee hoofdvragen bij de gekozen waarden van dit model. Evaluatie en Vooruitblik Deze paragraaf 2 had als leerdoelen: - Het belang van griepmodellen voor de maatschappij verkennen - Het leren bouwen van een (eenvoudig) griepmodel - het bepalen welke gegevens van invloed zijn op de besmetting en genezing bij griep. Ga na of je deze leerdoelen hebt gehaald. 33

34 3 Een lekkende emmer / een leeglopende badkuip Wat gaan we doen / leren? - Het belang van dynamische modellen met betrekking tot water(stromen) onderzoeken. - Een experimenteel onderzoek uitvoeren m.b.t. de instroom en uitstroom en de waterhoeveelheid. - Een eenvoudig dynamisch model bouwen dat beschrijft hoe een waterhoeveelheid in de loop van de tijd verandert. - Nog eens bepalen dat bij een dynamisch model de uitkomst afhangt van de beginsituatie en van de factoren die de veranderingen (instroom en uitstroom) bepalen. Inleiding Nederland is beroemd vanwege de Deltawerken. Half Nederland ligt onder de zeespiegel! Er zijn dan ook diverse instanties die zich met water bezig houden; bijvoorbeeld: Rijkswaterstaat Ministerie van Verkeer en Waterstaat Waterschappen In deze paragraaf gaat het niet over waterkwaliteit en/of andere aspecten van water, maar wel over waterstromen. Modellen over water(over)stromingen zijn van groot belang voor de diverse instanties. 46. Geef twee redenen waarom de diverse overheidsinstanties belang hebben bij modellen die de waterstand kunnen voorspellen (op korte of lange termijn) De dynamische rekenmodellen die achter deze animaties / computersimulaties zitten die de werkelijkheid zo goed mogelijk proberen na te bootsen, zijn veelal erg complex. In deze eerste paragraaf maken we slechts kennis met eenvoudige modellen die eenvoudige situaties kunnen beschrijven (lekkende emmer, PET-fles). Een lekkende emmer Figuur 11. Ons land zonder dijken en duinen. Als je een lege 10 liter emmer onder een stromende kraan zet, loopt hij vol. Bij een gegeven instroom (in liter/seconde) kun je uitrekenen hoeveel water er op tijdstip t in de emmer zit. Bij een normale kraan stroomt er 9,0 liter water per minuut uit de kraan. 47. Hoeveel liter water stroomt er per seconde uit de kraan? 48. Schets in een grafiek de hoeveelheid water_in_emmer als functie van de tijd bij een instroom van 0,15 L/s. In deze grafiek is de tijd weergegeven in seconden. (Deze emmer lekt nog niet!) 34

35 Als het goed is heb je bij vraag 48 een rechte lijn (totdat de emmer overstroomt). De vraag is of ook het leeglopen een lineair proces is. Stel je een volle emmer voor en een dichtgedraaide kraan. Nu zit er in de bodem van de emmer een rond gaatje. 49. Hoe verloopt de hoeveelheid water? Schets een nieuwe grafiek(lijn) in hetzelfde diagram. 50. Stel nu dat er een constante stroom water uit de kraan komt in de lekkende emmer. Hoe bereken je de toename of afname van de totale hoeveelheid water in de emmer, per seconde? 51. Schets in een nieuw diagram een mogelijke grafieklijn van deze situatie. Het antwoord hangt natuurlijk af van hoe hard de kraan staat en hoe vol de emmer was op t = 0. Schrijf ook op welke instroomsnelheid (kraan) en welke uitstroomsnelheid (lek) je hebt gebruikt. Prakticum PET-fles Om je voorspelling te controleren gebruiken we een PET-fles i.p.v. een emmer. Eventueel kun je ook een emmer gebruiken maar dan is het watergebruik wel erg groot Gebruik een fles waarop een maatverdeling is aangebracht (streepjes per 100 ml) en waarin onderin een gaatje is aangebracht. Eventueel kun je dat ook zelf maken. Maatverdeling maken Neem een PET-fles met (of maak) een klein gaatje in de bodem (of onderaan de zijkant). Vul de fles (met een stop/vinger op het gaatje) met een maatcilinder (100 ml) water en zet een streepje op de zijkant van de PET-fles. Doe dit 15 keer en noteer daarbij steeds de waarde van het watervolume. Werkwijze: Experiment A. Vul de PET-fles met water en laat deze leeglopen (in de wasbak). Meet nu de tijd voor het weglopen van steeds 100 ml. Zet de meetwaarden in een tabel in je schrift. Volume (ml) Tijd (s) t (s) enz. 35

36 Experiment B Zet nu de kraan (zachtjes) aan terwijl de fles leegloopt. Meet nu de tijd voor het vullen van 100 ml. Ga door totdat een evenwichtsniveau is ingesteld. Wanneer de fles overstroomt voordat zich een evenwicht kan instellen, zet dan de kraan zachter. Als zich een evenwicht instelt bij minder dan 200 ml, zet dan de kraan wat harder en start de meting opnieuw. Volume (ml) Tijd (s) t (s) Resultaten: 52. Maak van beide tabellen een diagram van het volume tegen de tijd t. Geef aan bij welk volume (in aantal ml) er een evenwicht is ontstaan. Conclusies: 53. Neem de volgende conclusies over in je schrift met de juiste keuzes. a. De uitstroom is wel/niet afhankelijk van de hoeveelheid water_in _emmer; Hoe kleiner het watervolume hoe groter/kleiner de tijd t voor het uitstromen van 100 ml water, dus hoe groter/kleiner de uitstroomsnelheid. b. Bij een lekkende fles/emmer met een constante instroom stelt zich wel / niet een evenwicht in. c. De uitkomst van het experiment (de grafieklijnen) hangt af van de stand van de kraan; vergelijk daarom je resultaten maar met die van je medeleerlingen. d. Kijk nogmaals naar je antwoorden op vraag 48 en 49 en teken eventueel in een nieuw diagram een verbeterde schets met enkele grafieklijnen van mogelijke uitkomsten. Evaluatie Je hebt nu geschetst hoe het waterpeil in het emmertje verloopt, maar er blijven veel vragen: 54. a. Als de kraan loopt (niet te hard, zodat de emmer niet overstroomt), wat wordt dan het evenwichtsniveau? b. Als de kraan gesloten is, hoe lang duurt het dan voordat de helft van het water weggelopen is? c. Als je eerst dubbel zoveel water in de emmer hebt, duurt het dan net zo lang voordat de hoeveelheid water in de emmer gehalveerd is? Het antwoord op de vragen van de evaluatie hangt natuurlijk af van de instroomsnelheid en de uitstroomsnelheid (die afhangt van de grootte van het gaatje). Om een antwoord te 36

37 krijgen op al deze vragen, is het doen van veel experimenten erg tijdrovend. Het gebruiken van een computersimulatie is dan veel handiger. Het bouwen van een eenvoudig model In deze activiteit maak je weer een dynamisch model in Powersim. We nemen de situatie van een badkuip. Start het modelleerprogramma Powersim De hoeveelheid water in de badkuip wordt weergegeven met een voorraadgrootheid. Klik met de linker muisknop op het rechthoekige icoon voor een voorraadgrootheid in de knoppenbalk (helemaal links). Plak dit icoontje ergens in het midden bovenaan op het lege witte werkblad. Hernoem de variabele Level_1 naar Water_in_bad door op de naam te gaan staan en één maal te klikken met de linker muisknop. De waterstromen in en uit het bad worden met stroomvariabelen weergegeven. Klik op het stroom-icoon in de knoppenbalk. Voeg deze instroom toe aan de linkerkant van de voorraadgrootheid Water_in_bad en sleep naar rechts totdat de stroom contact maakt met de variabele water_in_bad. Doe hetzelfde voor de uitstroom, maar begin dan in de badkuip en sleep naar rechts.? Rate_1? water_in_bad? Rate_2 Neem aan dat er al 10 L water in de badkuip zit. Neem een constante instroom van 4 L per minuut en een uitstroom van 1.5 L per minuut. Voor de onafhankelijke variabele neemt Powersim standaard: de tijd t. In dit geval willen we de verandering per minuut weten. De hoeveelheid berekende gegevens kan worden ingesteld onder het menu Simulate. Klik op Simulation Setup en voer (indien nodig) bij de starttijd 0 en bij Stop Time 100 (min) in, en neem een tijdstap van 1 (min). De tijdstap is de toename van de tijd waarover elke cyclus van modelberekeningen gedaan worden. Grafieken maken Om te zien hoe het volume in de badkuip reageert op de instroom en uitstroom zetten we enkele diagrammen klaar voor water_in_bad, instroom Kraan en uitstroom Afvoer. Het model uitvoeren Als het niet is gelukt een goed badkuipmodel te bouwen, vraag dan je docent om raad (hij heeft het bestand badkuip1.sim achter de hand.) Om te zien wat voor resultaten een model oplevert, moet je het laten doorrekenen. De computer tekent de grafieken en bovendien verschijnt er in de voorraadgrootheid water_in_bad een grafiekje en een getal dat de waarde aangeeft. 55. Leg uit wat de betekenis is van de richtingscoëfficiënt (de helling) van de grafieklijn en hoe je deze berekent met de gegeven informatie voor de instroom en uitstroom. 37

38 56. Bestudeer de grafieken voor verschillende in- en uitstroomsnelheden. Zorg dat de Y-as ook negatieve getallen kan laten zien (bijvoorbeeld -10 liter). a. Wat gebeurt er met het waterniveau in de badkuip als de instroom gelijk is aan 0? b. Wat gebeurt er als de instroom een vaste waarde heeft (zoals 4.0) en de uitstroom is gelijk aan 0? c. Wat ontbreekt er aan het model om het overlopen en leeglopen realistischer te maken? Het model aanpassen In werkelijkheid is de afvoersnelheid niet constant. Bij een afvoeropening geldt dat de afvoersnelheid groter is als er meer water in het bad zit. Dus de uitstroom is een functie van de hoeveelheid water in het bad. Wat de juiste relatie is tussen uitstroomsnelheid, grootte van het gaatje, en de hoeveelheid water in de emmer, weet je nog niet. Voorlopig gaan we er voor ons eerste model vanuit dat de uitstroomsnelheid evenredig is met de hoeveelheid water in de emmer. Dus we veronderstellen dat: Afvoer = constante * Water_in_bad. Maak een relatie tussen de afvoer en de voorraadgrootheid water_in_bad. Zo'n afhankelijkheid geef je in het model aan met een relatielijn. Klik op het icoon van de relatiepijl. Plaats de cursor in de variabele water_in_bad. Versleep de pijl totdat deze contact maakt met de Afvoer. Als je de boog van de lijn niet mooi vindt kun je de vorm naar wens veranderen. Herdefinieer de in- en uitstroom. Neem eerst aan dat de kraan gesloten is. Dubbelklik op Kraan en stel deze in op 0 L/min. Dubbelklik de Afvoer. Vervang de constante waarde door de vergelijking (in het vakje definition) 0.1 * Water_in_bad. 57.Voer je gewijzigde model uit. Houd in de gaten dat je je x- en y-as aanpast zodat de grafiek goed in beeld komt. Schets de uitkomst van het model in een grafiek in je schrift. Verander nu de instroom zodat je na een tijdje een bepaalde constante hoeveelheid water in het bad krijgt (evenwichtswaarde). Dubbelklik op de kraan en stel deze in op realistische waarde (in L/min). 58. Ga met een berekening na of de evenwichtswaarde van water_in_bad in overeenstemming is met de verwachting. Nu gaan we een voorziening bij het badkuipmodel inbouwen om overstromingen realistisch te maken. Neem hierbij aan dat het bad begint te overstromen als er 120 liter in zit. Hiervoor moet je de IF-functie gebruiken in de afvoer. Je gebruikt de IF-functie als volgt: 38

39 IF (Voorwaarde, X1, X2) Als Voorwaarde waar is, dan levert dit X1 op, anders levert dit X2 op. 59. Bedenk wat er met de afvoer moet gebeuren als er meer dan 120 liter water in het bad komt. Bedenk en schrijf de volgende dingen in je schrift: -De voorwaarde, -X1 (wat voor de afvoer moet gelden als de voorwaarde waar is) -X2 (wat voor de afvoer moet gelden als de voorwaarde niet waar is) Pas nu het model aan en voer het model uit. Zorg dat je kunt zien wat er gebeurt bij waarden boven de 120 liter (de Y-as moet minimaal tot 150 liter gaan). Teken de grafiek na in je schrift. Waterstromen Hierboven heb je kennis gemaakt met een eerste model om een lekkende badkuip en/of lekkende emmer mee te beschrijven. Hierin was de instroom (Kraan) constant en de uitstroom (Afvoer) evenredig met de voorraadgrootheid, de waterhoeveelheid. Daarnaast hebben we al wat metingen gedaan aan de PET-fles. Nu gaan we: A. Proberen een model te maken dat de PET-fles proef simuleert. B. Een model te maken met meerdere emmers die in elkaar overlopen. Het uiteindelijke model bij B beschrijft een meer reële situatie, waarbij er sprake kan zijn van overstromingen (van een kelder, een straat, een stuk land). A Een PET-fles model Neem de resultaten van je proef voor je. Je weet nu precies wat de waterstand was op elk moment in de tijd. We proberen een model te bedenken dat (als je het uitvoert) overeenkomt met jouw resultaten. We gaan het model van de badkuip aanpassen zodat het past bij de situatie van de PET-fles. Aanpassingen Hernoem de voorraadvariabele naar water_in_petfles. De afvoer is gelijk aan 0.01 * water_in_petfles (dit pas je later aan) De kraan is in eerste instantie gelijk aan 0 en heeft geen invloed op de afvoer. Verander de Y-as van je grafiek zodat hij bij 1000 begint (mililiters) Verander de X-as zodat hij genoeg tijd bevat voor het hele PET-fles experiment.we werken nu met seconden in plaats van minuten. Werk in tijdstappen van 1 seconde 39

40 en gebruik precies het aantal stappen dat nodig is (volgens jouw experiment) om van 1000 ml naar 100 ml te gaan. 60. In het begin is de hoeveelheid water 1000 ml. Hoe groot is de hoeveelheid uitstroom per seconde als de afvoer gelijk is aan 0.01 * water_in_petfles? 61. Hoe groot is dan de uitstroom per seconde als er 500 ml in zit? En bij 200 ml? We hebben al ontdekt dat het water langzamer stroomt als er minder water is. Dus tot nu toe lijkt dit model te kloppen. Wat we willen weten is of de grafieken die bij het model en bij de werkelijkheid horen, ook hetzelfde zijn. We gaan nu steeds het getal van de afvoer (dat nu 0.01 is) aanpassen, zodat het water in de PET-fles na de simulatie precies op 100 ml. komt. We gaan niet naar 0 ml want de laatste 100 ml zijn extra onnauwkeurig te meten en te modelleren. We noemen het afvoergetal vanaf nu de afvoerconstante. 62. Bij welke afvoerconstante komt het model precies op 100 ml uit op het tijdstip dat jij ook hebt bepaald bij de proef? De tabel Met het knopje links naast de grafiekenknop kun je een tabel maken. Sleep water_in_petfles naar de tweede kolom om een tabel te maken met de tijd en de hoeveelheid water in de petfles. Deze tabel bij je model heeft in de eerst kolom de tijd en in de tweede kolom de hoeveelheid water. Wat we willen is een tabel van 1000 tot 100 ml, met daarbij de bijbehorende tijd in de tweede kolom. 63. Zoek voor alle waarden van je experiment ( ml) de bijbehorende tijd in de tabel van het model. Maak nu een tabel die er als volgt uit ziet. Negeer voor nu de laatste kolom. We maken straks nog een ander model. Volume (ml) Tijd van Proef(s) Tijd van model 1(s) Tijd van model 2 (s) We hebben nu een tabel met daarin alle relevante informatie uit de proef en uit het model. 64. a. Teken een grafiek van het model en van het experiment in één figuur. 40

41 b. Trek je conclusies over de aanname die we hebben gedaan over de grootte afvoer. Een beter PET-fles model Uit de natuurkunde is bekend dat voor de uitstroomsnelheid van water door een gaatje onderin een watervoorraad geldt: v = 2gh. Hierbij is h de hoogte van de waterstand boven het gaatje en g de valversnelling. Het is dus alsof het water naar beneden valt en daardoor snelheid maakt. Hoe hoger het water, hoe sneller het valt. Wij zijn geïnteresseerd in de hoeveelheid water die per seconde het gaatje verlaat, dus dan moeten we vermenigvuldigen met de grootte van het gaatje. De grootte van het gaatje is gelijk aan: A = π r. De hoeveelheid water die we verliezen per seconde is dan: Uitstroom (m 3 /s) = π r 2 2gh = π r 2 2gh h Wij kunnen dit schrijven als: Uitstroom (ml/s) = C h Het maakt niet uit waar de constante C allemaal uit bestaat, zolang al die dingen maar constant zijn. De straal van het gaatje, de valversnelling op aarde en pi zijn allemaal constant. De omrekeningsfactor van m 3 naar ml is ook constant. Omdat geldt dat het volume evenredig is met de hoogte, is die omrekeningsfactor ook weer constant en mogen we deze formule gebruiken. Wij gaan ons model aanpassen, zodat de afvoer nu gegeven is door de bovenstaande formule voor de uitstroom. Powersim gebruikt de functie SQRT (squareroot) voor wortels. 65. Wat is de grootte van de constante waarbij het model precies eindigt op 100 ml in de door jouw gestelde tijd? 66. a. Maak nu de tabel af voor het verbeterde model. b. Trek je conclusie over de resultaten van dit model in vergelijking met de werkelijkheid. Nu we precies weten wat de benodigde constante is die bij de werkelijkheid hoort, kunnen we ook uitvinden welke kraanstand we hebben gebruikt bij het tweede experiment. 67. Verricht alle aanpassingen aan je model, de Simulation setup en de assen van je grafiek, die nodig zijn om het tweede PET-fles experiment te benaderen. 68. Voer meerdere malen je model uit om uit te vinden welke kraanstand bij jouw experiment hoort. Met andere woorden: Hoeveel mililiter per seconde stroomde er uit de kraan? 2 41

42 Een waterkunstwerk van emmers Een lekkende emmer is voor nuttige toepassingen meestal niet zo handig, maar in de kunst kun je er nog van alles mee. Stel dat je drie identieke lekkende emmertjes hebt, dan kun je bijvoorbeeld een getrapte waterval bouwen voor in de tuin. Hiernaast zie je een afbeelding net nadat de kraan is aangezet: 69. Schets je verwachting van de waterstanden in de emmertjes 70. Is de evenwichtstoestand in alle emmertjes even hoog? 71. Wordt de evenwichtstoestand in alle emmertjes tegelijk bereikt? Om je voorspellingen te controleren kun je een computermodel bouwen. We gebruiken als basis, jouw PET-fles model. Het maakt natuurlijk niet uit of je emmers van 10 liters of PET flessen gebruikt. We maken de afvoerconstante 10 keer groter omdat het emmers van 10 liter zijn en we dus voor het gemak een 10 maal groter gat nemen. We beginnen met 0 liter in de emmers. We houden wel in gedachten dat er 10 liter in de emmers kan. - Selecteer het hele model en kopieer het ernaast. - Haal de uitstroom van emmertje één en de instroom van emmertje twee weg. - Vervolgens trek je een nieuwe stroompijl van emmertje één naar emmertje twee en vult de eerder gegeven formule voor uitstroom in. - Voor de derde emmer doe je iets soortgelijks. Het resultaat zou er ongeveer uit moeten komen te zien zoals hieronder. 42

43 72. Laat het model lopen en onderzoek of je verwachtingen klopten. Kies als instroom een waarde waarbij de emmers niet overlopen (b.v L /s). 73. Schets de grafieken van de drie emmers. 74. Komen de resultaten overeen met je verwachtingen? 4 Evaluatie van de stof Wat leren we in deze paragraaf? - Wat zijn nu precies dynamische modellen? - Welke gegevens heb je nodig voor een dynamisch model? - Welke toepassingen zijn er in de praktijk? Wat zijn modellen? Modellen zijn hulpmiddelen om de processen in de wereld om je heen en ook de wereld in jezelf te leren begrijpen. Modelvliegtuigen, een model van de bloedsomloop. Modellen zijn eigenlijk zo oud als de mensheid. Al eeuwen geleden maakte men een klein bootje om uit te proberen voordat een grote werd gebouwd. Het spelen van kinderen is het maken van een model van de wereld van de grote mensen. Wat je bedenkt, plannen die je maakt zijn in feite modellen. Denkmodellen of praatmodellen zijn vaak hulpmiddelen om in gesprek met anderen tot besluitvorming te komen. De wetenschap probeert verschijnselen te beschrijven en te verklaren. Het beschrijven van verschijnselen krijgt vaak de vorm van regels of wetten. Voorbeelden van dergelijke wetten zijn de wetten van Newton voor kracht en beweging. Deze wetten zijn bruikbaar om vrij eenvoudige situaties direct te verklaren. Maar in meer ingewikkelde situaties wordt dat lastiger. Dan gebruikt men modellen als hulpmiddel. 75. a. Waarom zijn alleen wetten en regels onvoldoende? Kun je niet gewoon met de hand/rekenmachine uit te rekenen wat de resultaten zijn van meer realistische situaties zoals de beweging van een optrekkende auto, of de ontwikkeling van de griepepidemie in de tijd? b. Waarom zijn computermodellen dan vaak een uitkomst? 43

44 Een schaalmodel van een havenmonding. Een schaalmodel van een vliegtuig in een windt unnel. Schaalmodellen en rekenmodellen Bij de bovenstaande modellen gaat het om schaalmodellen: verkleinde kopieën van de werkelijkheid. Met zulke schaalmodellen is het stromingspatroon van het water bij een nieuw aan te leggen havenmonding te voorspellen, of de krachten op een nieuw type vliegtuig. Onderzoek aan zo n schaalmodel kan leiden tot verbeteringen in het ontwerp. Voor het testen van zo n verbeterd ontwerp is dan weer een nieuw schaalmodel nodig. In de praktijk worden de schaalmodellen steeds vaker vervangen door rekenmodellen. Het schaalmodel wordt dan als het ware virtueel in de computer gebouwd. Daardoor is zo n schaalmodel vrij gemakkelijk te wijzigen, en is snel na te gaan welk effect die wijziging heeft. Deze rekenmodellen beschrijven vooral verschijnselen waarbij grootheden in de tijd veranderen en/of elkaar beïnvloeden. In deze rekenmodellen wordt gebruik gemaakt van bekende wetten en van gegevens die in het verleden verzameld zijn. De berekeningen die hiermee worden uitgevoerd zijn vaak ingewikkeld. Bovendien gaat het meestal om een zeer groot aantal berekeningen. Maar een computer klaagt niet. Dynamische modellen Bij het maken van voorspellingen voor de toekomst wordt vaak gebruik gemaakt van dynamische modellen. Het woord dynamisch geeft aan dat het gaat om veranderingsprocessen. Bij een dergelijk proces hebben vaak meerdere factoren invloed op de veranderingen in de bestaande situatie. Die factoren zijn bovendien vaak zelf niet constant. Een bekend voorbeeld van een dynamisch model is een model waarmee weersvoorspellingen gemaakt worden. Daarbij maakt de computer gebruik van een enorme hoeveelheid meetgegevens uit een groot gebied. Aan de hand van die gegevens wordt voorspeld wat de situatie een uur later is, en met die gegevens wordt verder doorgerekend voor de situatie over twee uur, drie uur, etc. De huidige computers kunnen het weer voor zeven dagen voorspellen, maar door de complexiteit zit er altijd een zekere onnauwkeurigheid in de voorspelling. Een dynamisch model beschrijft hoe een bepaalde situatie verandert in de loop van de tijd. Het model wordt vaak gebruikt om te voorspellen hoe de variabelen die de situatie beschrijven in de loop van de tijd veranderen. 44 De weerssituatie wordt beschreven door verschillende variabelen.

45 Hierboven wordt de weerssituatie beschreven door verschillende variabelen, zoals de temperatuur en de windsnelheid op verschillende plaatsen. 76. a. Noem nog een variabele die de beginsituatie beschrijft. De weersituatie verandert door bijvoorbeeld aanvoer van warme of koude lucht of door het ontstaan van wolken door verdamping. b. Noem nog een factor die invloed heeft op de verandering van de weerssituatie. Welke gegevens heb je nodig voor een dynamisch model? Een dynamisch model kent dus altijd een beginsituatie en het beschrijft een veranderingsproces. Het veranderingsproces bestaat meestal uit schattingen of berekeningen waarmee een nieuwe situatie op een later tijdstip berekend kan worden. Voor een dynamisch model is dus de volgende informatie nodig: 1. Wat is de beginsituatie? 2. Welke factoren hebben invloed op de verandering van die situatie? Hoe kan de grootte van de verandering berekend of geschat worden? 3. Welke tijdstap wordt gekozen om een nieuwe situatie te berekenen? Voorbeelden van complexe dynamische modellen Zeevismodellen worden gebruikt om de hoeveelheid vis in de zee te voorspellen. In de jaren 70 is één van de grootste haringpopulaties ter wereld, die tussen Noorwegen en IJsland ingestort. Zeebiologen hebben modellen ontwikkeld die de verandering van die populatie zeevissen beschreven en op grond waarvan beheersmaatregelen zijn genomen die tot herstel hebben geleid. 77. a. Met welk(e) getal(len) of gegeven(s) kan de beginsituatie beschreven worden? b. Noem tenminste twee factoren (variabelen of grootheden) die gebruikt worden om de veranderingen te bepalen. Nederlandse zeevissers vissen voornamelijk op de Noordzee, zoals deze trawler waarmee op haring wordt gevist. Bij weersvoorspelling is de tijdstap klein, bijvoorbeeld een uur of een kwartier. Bij zeevismodellen is zo n kleine tijdstap niet zinvol. c. Welke tijdstap denk je dat bij zeevismodellen gebruikt wordt? Leg uit waarom. Bij parachutespringen is het belangrijk om vooraf te weten hoe snel de parachutespringer daalt. De valbeweging van een parachutist is een verschijnsel waarbij grootheden elkaar beïnvloeden en in de tijd veranderen. Met een rekenmodel is na te gaan hoe bijvoorbeeld de snelheid v verandert in de loop van de tijd t. 45

46 De snelheid tijdens een parachutesprong De beginsituatie is hier het moment dat de parachutespringer uit het vliegtuig springt. 78. a. Met welk(e) getal(len) of gegeven(s) kan de beginsituatie beschreven worden? b. Welke factor heeft bij het begin van de sprong de grootste invloed? c. Noem twee factoren die invloed hebben op de eindsnelheid. d. Welke tijdstap denk je dat bij dit parachutemodel gebruikt wordt? Leg uit waarom. Het klimaat op aarde verandert in rap tempo. De gemiddelde temperatuur stijgt en het weer lijkt extremer te worden (meer neerslag en wind, grotere periodes van hitte en droogte of van regen en storm). 79. a. Noem twee gegevens die gebruikt worden om de beginsituatie te beschrijven. b. Noem twee factoren (variabelen of grootheden) die invloed hebben op de veranderingen van het klimaat. c. Welke tijdstap denk je dat bij dit model gebruikt wordt? Leg kort uit. We meten al enkele jaren een geleidelijke stijging van de gemiddelde temperatuur. Die geleidelijke stijging kun je doortrekken om een voorspelling te doen over de temperatuur aan het eind van de eeuw. d. Is een dergelijke voorspelling betrouwbaar? Waarom wel/niet? Wat zou je moeten weten om die voorspelling te verbeteren? Over de oorzaak of oorzaken van de veranderingen zijn wetenschappers het niet met elkaar eens. Dat geldt vooral voor de vraag hoe groot de invloed van elke factor apart is. Daardoor zijn er ook veel verschillende klimaatmodellen. Door een klimaatmodel berekende stijging van de zomer-temperatuur per jaar ( ). 80. Zou je die verschillende klimaatmodellen ook kunnen gebruiken om te bepalen wat de werkelijke of belangrijkste oorzaak van de klimaatverandering is? Hoe zou je dat kunnen aanpakken? Computermodellen in de praktijk Op allerlei terreinen wordt gebruik gemaakt van dynamische modellen en computersimulaties. Modellen worden gebruikt om een voorspelling te doen, om een verschijnsel te verklaren of bestuderen of om de invloed van bepaalde factoren te onderzoeken. Computermodellen hebben grote voordelen. De computer is snel en kan veel verschillende situaties doorrekenen. Computermodellen zijn ook vaak goedkoper dan schaalmodellen. Een nadeel van computermodellen is, net als bij alle andere modellen, dat het nooit een 46

47 exacte weergave van de situatie is. De plaatjes uit de computer lijken heel nauwkeurig, maar schijn bedriegt soms. Evaluatie 4 De leerdoelen van deze paragraaf waren verwoord in de vragen: Wat zijn nu precies dynamische modellen? Welke gegevens heb je nodig voor een dynamisch model? Welke toepassingen zijn er in de praktijk? Ga na of je bovenstaande vragen kunt beantwoorden / de leerdoelen van deze paragraaf hebt gehaald. Meer informatie over studies en beroepen die gebruik maken van modelleren kun je vinden op: 47

48 Bijlagen Bijlage 1 Bevolkingsgroei Bevolkingsomvang in Nederland In 1900 telt Nederland ruim 5 miljoen inwoners. De Nederlandse bevolking is in 1950 gegroeid tot ruim 10 miljoen inwoners. In de periode tot 2000 groeit de bevolking van Nederland tot bijna 16 miljoen. Volgens de CBS Bevolkingsprognose uit 2004 zal rond 2030 de grens van 17 miljoen inwoners worden overschreden. De bevolking zal niet veel verder groeien. Vanaf 2035 kan het positieve migratiesaldo (aantal immigranten minus aantal emigranten) het negatieve geboorteoverschot niet meer compenseren. Daardoor slaat de bevolkingsgroei om in krimp. Bron: NL/menu/themas/bevolking/beschrijving/bevolkingsprognose.htm Figuur 1: Bevolkingsomvang, en prognose bevolkingsomvang met 67%- en 95%-prognose-interval, Het RIVM beschrijft 4 scenario s in het rapport Nationaal Kompas Volksgezondheid die alternatieve toekomsten beschrijven. het scenario Competitieve wereld zal de bevolking in Nederland het meest groeien, tot 20,3 miljoen in 2050 (zie figuur 1). Ook in het scenario Mondiale solidariteit blijft de bevolking voortdurend groeien om in 2050 uit te komen op 19,2 miljoen. In het scenario Zorgzame regio is er sprake van een lichte groei tot 2025 waarna de bevolking gaat krimpen om in 2050 uit te komen op 15,1 miljoen inwoners. In het scenario Veilige regio groeit de bevolking geleidelijk naar 16,8 miljoen in Bron: In 2006 publiceerden het Ruimtelijk Planbureau en het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS) de Regionale Bevolkings- en Allochtonenprognose. De prognose gaat ervan uit dat de Nederlandse bevolking tot 2025 nog met mensen groeit. Volgens de prognose staat Nederland aan de vooravond van grote demografische veranderingen. 48

49 49

50 Factoren die de bevolkingsgroei beïnvloeden De bevolking(samenstelling) verandert in de loop der jaren door vele factoren. In de demografie gebruikt men enkele begrippen om de verandering in bevolking te beschrijven. - Het (bruto) geboortecijfer is het aantal levendgeborenen per 1000 inwoners (in ). Een geboortecijfer van 15 betekent dus 15 levendgeborenen per 1000 inwoners. - Het (bruto) sterftecijfer is het aantal sterfgevallen per 1000 inwoners (in ). In de tekst van deze module wordt het geboorte- en sterftecijfers weergegeven met een percentage (van 1,5%) hoewel dat dus niet gebruikelijk is in de demografie. De bevolkingsgroei is een optelling van het geboorteoverschot en het migratiesaldo. Het geboorteoverschot wordt bepaald door het geboortecijfer en het sterftecijfer en het migratiesaldo wordt bepaald door het vestigingscijfer en het vertrekcijfer. - De relatieve bevolkingsgroei is het aantal levendgeborenen minus het aantalsterfgevallen, plus het aantal geïmmigreerde personen minus het aantal geëmigreerden, per 1000 inwoners. Op de websites van het NIDI en/of die van het RIVM kun je gegevens van je eigen gemeente opzoeken. 50

51 Bijlage 2 Griep-epidemie Feiten over griep Griep is een acute infectie van de bovenste luchtwegen (neus, keel, longen) en wordt veroorzaakt door het influenza virus. Griep is waarschijnlijk de meest onderschatte ziekte die er is. Ieder jaar krijgt 5 tot 10% van de Nederlandse bevolking griep; dit zijn dus 1 tot 1,5 miljoen mensen. Dit noemen we een epidemie. Het griepvirus ondergaat regelmatig mutaties, veranderingen. De antistoffen die het lichaam het ene jaar aanmaakt tegen het griepvirus, herkennen niet automatisch het virus van het jaar daarop. Hierdoor kan het griepvirus ons afweersysteem steeds opnieuw verrassen en kun je elk jaar opnieuw griep krijgen. Incubatietijd: Tijd tussen besmetting en begin griepklachten Na het binnenkrijgen van het griepvirus duurt het gewoonlijk 2 3 dagen voordat je ziek wordt,. Dit wordt de incubatietijd genoemd. Ondertussen kun je wel, zonder dat je het weet, weer andere mensen besmetten. Volwassenen zijn besmettelijk vanaf twee dagen voordat de symptomen zich openbaren tot 5 dagen daarna. Hoe lang duurt de griep? Bij griep zijn gezonde mensen al gauw een week ziek. De koorts (38-40 C) is binnen één dag na het begin van de klachten het hoogst en duurt 1 tot 5 dagen. Als je griep hebt, wil je het liefst gewoon in bed blijven. Griep is zeer besmettelijk Via de lucht, maar ook via direct contact (zoenen, hand geven) of indirect contact (via een deurkruk of telefoon bijvoorbeeld) kun je het griepvirus oplopen. Het inademen van maar drie griepvirussen is al genoeg om zelf besmet te raken. Bijvoorbeeld: Als een vliegtuig met één grieppatiënt 3 uur aan de grond staat met een kapot ventilatiesysteem, dan krijgt 72% van de passagiers in de daaropvolgende dagen griep. Bron 1 Elektronenmicroscopische foto griep. Daarnaast een model van het griepvirus Elk jaar trekt in de herfst en de winter een griepplaag over Noord-Europa. Griep is besmettelijk, dat wil zeggen dat iemand die griep heeft een ander kan aansteken. Als dit grote aantallen mensen treft spreekt men wel van een griepepidemie. Elk jaar komt de griep in grotere of kleinere golven, treft sommigen wel en anderen niet. In Nederland wordt het verloop van de griep de laatste jaren bijgehouden via internet. Op de website vind je gegevens over de griep in Nederland. De onderstaande grafiek laat zien hoe de (kleine) griepepidemie uit het seizoen verliep. 51

52 Figuur1 De griepgolf van het seizoen Figuur 2 - Tijdens de GroteGriepMeting wordt via internet bijgehouden hoeveel procent van de deelnemers verkouden is of de griep heeft. Een eigenschap van het griepvirus is dat het gemakkelijk van uiterlijk kan veranderen. Het lichaam herkent het veranderde uiterlijk van het griepvirus niet. Daardoor gaat het lichaam, wanneer er een nieuw virus binnen is gedrongen, antistoffen maken. Het duurt ongeveer vijf dagen voordat er voldoende antistoffen zijn gemaakt om de griepvirussen op te ruimen. In de tussentijd is het lichaam ziek. Het virus zit in alle delen van het lichaam, ook in speeksel, snot en zweet. Iemand die het virus bij zich draagt hoeft zich nog niet ziek te voelen. Maar hij of zij kan intussen wel andere mensen besmetten. Wanneer deze andere mensen vatbaar zijn, zullen zij ook ziek worden. Gezonde mensen herstellen na ongeveer vijf dagen van griep en zijn vervolgens immuun voor deze vorm van het griepvirus (ze kunnen wel weer ziek worden van een andere vorm van hetzelfde virus!). Een gebruikelijke incubatie tijd voor griep, dat is dus de tijd tussen besmetting en het krijgen van ziekteverschijnselen, is twee dagen, maar kan variëren tussen één en vier dagen. Mensen die besmet zijn met het griepvirus kunnen de dag voordat ze ziek worden andere mensen met griep besmetten. Volwassenen kunnen tussen de drie en vijf dagen het virus verspreiden. Kinderen kunnen tot drie weken lang anderen besmetten. Wanneer iemand immuun is dan kan deze persoon niemand meer besmetten. Informatie van de site De gevolgen van de griep Griep kan gevaarlijk zijn. De Spaanse griep uit het begin van de vorige eeuw eiste ca 50 miljoen slachtoffers. De Aziatische grieppandemie (1957/1958) eiste ca 1 miljoen mensen en de Hongkong griep (1968/1969) kende zo n slachtoffers. Recenter zijn SARS (2003) en de vogelgriep (2003-heden). De normale griepuitbraken zijn vooral voor oudere mensen levensbedreigend en daarom moedigt de overheid ouderen aan om elk jaar een griepprik te halen. Als er een grote griepepidemie dreigt, dan moet de overheid extra maatregelen nemen. Omdat er geen goede medicijnen zijn tegen de griep en een griepprik pas na een dag of tien werkt, is het van belang om bijtijds een goede voorspelling te kunnen maken. De overheid wil daarom van tevoren kunnen voorspellen hoe hoog de piek in de epidemie wordt en hoeveel procent van de bevolking uiteindelijk de griep krijgt. Daarvoor worden 52