Lesmateriaal voor periode 5, Klas 2A en 2E

Transcriptie

1 Lesmateriaal voor periode 5, Klas 2A en 2E

2 Periode : 5 Klas : 2 Sectie Wiskunde College Hageveld Onderwerp : Kwadratische vergelijkingen Lesbrief 0 : Inleiding Tijdens deze periode gaan we niet uit het boek werken, maar met een serie lesbrieven. Deze lesbrieven worden dit jaar voor het eerst gebruikt; dat houdt in dat jullie ook een belangrijke rol spelen in het opsporen van de foutjes die er in geslopen zijn. Natuurlijk hebben we geprobeerd die er zo veel mogelijk uit te halen, maar er zullen er vast wel een paar niet ontdekt zijn. Dat zien we tenslotte ook nog wel eens in het gewone antwoordenboekje. Er is met veel plezier gewerkt aan deze serie lesbrieven; we behandelen dezelfde stof als in het boek, maar we hopen door een andere volgorde het onderwerp logischer uit te kunnen leggen. Daarnaast mogen jullie een aantal lessen met de laptopkar aan de slag om zelf meer te ontdekken over de grafieken die horen bij kwadratische vergelijkingen. Ook laten we jullie aan het einde van een aantal van de lessen de stof voor jezelf op een rijtje zetten. Daar vragen we met name wat jij moeilijk vond, welke fouten jij hebt gemaakt en welke valkuilen jij herkent. In de lesbrieven wordt met kleine tekeningetjes iets verteld over de inhoud. Dat helpt je misschien om te zien wat er belangrijk is en te zien welke opgaves je eventueel kunt overslaan. Wat betekenen die plaatjes: Deze opgaves zijn de startopgaves.. Touwtjespringen is al weer iets lastiger; dus deze opgaves zouden al weer iets lastiger moeten zijn. Niet iedereen beheerst de Fosbury-flop (ruggelings over de lat gaan bij het hoogspringen); dit zijn de lastigste opgaves. Belangrijk, samenvattend. Kwadratische vergelijkingen Inleiding blz. 1

3 Het zoeklicht op een bepaald onderwerp; soms iets nieuws, maar vaak een onderwerp uit het verleden waar we wat dieper, nadrukkelijker of vanuit een ander gezichtspunt naar kijken. Dit zeer beroemde beeld is De Denker van Rodin. Dat is precies wat jij moet gaan doen: nadenken. Over de stof of over jezelf. Wat heb je geleerd, op welke gebieden ben je boos op jezelf? Waar ben je trots op? Welke fouten heb je gemaakt die je wilt verbeteren? Wat heb je nu juist heel goed gedaan? Veel succes en hopelijk ook plezier met deze lessenserie. Sectie Wiskunde Kwadratische vergelijkingen Inleiding blz. 2

4 Periode : 5 Klas : 2 Sectie Wiskunde College Hageveld Onderwerp : Kwadratische vergelijkingen Lesbrief 1 : Oude koeien uit de sloot halen: wat weten we eigenlijk al? En: Wat gaan we deze periode doen? Opening We gaan deze periode kijken naar kwadratische vergelijkingen. In periode 3 hebben we gekeken naar lineaire formules en vergelijkingen: Formule: Vergelijking:. De grafiek daarvan is een rechte lijn.. Deze los je op met de balansmethode. Voor kwadratische formules en vergelijkingen geldt de algemene vorm: Formule:. De grafiek daarvan is een parabool. Vergelijking:. Deze kwadratische vergelijkingen gaan we leren oplossen (althans een deel ervan). Voor kwadratische vergelijkingen zijn er verschillende oplossingsmethodes, afhankelijk van de vorm van de vergelijking (bijv. worteltrekken, schrijven als een product, kwadraat afsplitsen, ABC-formule). We gaan leren hoe we kunnen herkennen welke oplossingsmethode past bij welk type kwadratische vergelijking. In deze periode gaan we heel veel kennis gebruiken die we in eerdere periodes opgedaan hebben. Daarom beginnen we met een les waarin we die kennis weer even boven tafel gaan halen. Er wordt veel behandeld. Maar je hebt eigenlijk alles al gehad. Je hoeft niet alle opgaves te maken. Als je denkt dat je alles nog wel weet: maak een selectie van de lastiger opgaves. Gaan die goed, dan had je gelijk. En anders moet je toch nog iets meer oefenen. Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 1 blz. 1

5 Herleiden In periode 1 (hoofdstuk 1) hebben we de volgende regels voor het herleiden (eenvoudiger schrijven) geleerd. Voor het wegwerken van haakjes: ( ) ( )( ) De merkwaardige producten: ( )( ) (het verschil van twee kwadraten) ( ) ( ) Het herleiden van machten: ( ) ( ) Het herleiden van wortels: ( ) En denk erom dat je wortels zoveel mogelijk moet vereenvoudigen, dus een zo groot mogelijk getal voor het wortel teken moet zetten. Een voorbeeld: Een paar opgaves om dit alles weer even te oefenen: Opgave 1.1 Herleid (schrijf het antwoord zoveel mogelijk in één keer op) a. ( ) g. b. ( )( ) h. c. ( )( ) i. ( )( ) d. ( ) j. e. k. f. l. ( ) Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 1 blz. 2

6 Opgave 1.2 Herleid a. ( )( ) g. ( )( ) b. h. c. ( )( ) ( ) i. ( )( ) d. ( ) ( ) j. ( )( ) e. ( ) ( ) k. ( ) f. ( )( ) l. ( ) ( ) Kijk naar je antwoorden van 1.1 en 1.2. Welke had je fout? Waar kwam dat door? Waar moet je dus op letten? Vul dat hieronder in. Voor kwadratische vergelijkingen is één bepaalde vorm van groot belang: ( )( ) a en b zijn dan getallen. Een voorbeeld is bijvoorbeeld: ( )( ) Als we hier de haakjes gaan wegwerken dan kunnen we dat eigenlijk in één keer doen met de volgende regel: ( )( ) Hierin is: som = a + b en product = a b Kijk maar naar de voorbeelden: ( )( ) ( )( ) Je ziet dat som = = 8 som = = 2 en product = = 15 product = +5-3 = -15 Dit noemen we de som-product-methode. Die komen we over een aantal lessen weer vaak tegen! Ook dit gaan we even oefenen. Opgave 1.3 Herleid (schrijf het antwoord in één keer op) a. ( )( ) e. ( )( ) b. ( )( ) f. ( )( ) c. ( )( ) g. ( )( ) d. ( )( ) h. ( )( ) Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 1 blz. 3

7 Opgave 1.4 Leg uit Kijk nu nog eens naar de merkwaardige producten (kijk ook naar 1.3g en 1.3h). Leg uit waarom je die eigenlijk niet uit je hoofd hoeft te leren, maar waarom die een logisch gevolg zijn van de som-product methode. Kijk naar je antwoorden van 1.3. Welke had je bijna goed? Waar kwam dat door? Waar moet je dus op letten? Lukte opgave 1.4? Vul dat hieronder in. Formules en vergelijkingen Tot nu toe hebben we het vooral gehad over formules. Bij een formule hoort een opdracht herleid. We willen dan niet de waarde van x weten, maar de formule simpeler schrijven. Bij het herleiden mag je dus niets weglaten! Je mag dus niet ergens door delen. Bijvoorbeeld: herleid ( )( ) geeft als antwoord:. Dit laat je zo staan; je deelt niet door 2. We gaan nu kijken naar vergelijkingen: twee formules die je met elkaar gaat vergelijken, die je aan elkaar gelijk gaat stellen. Bij een vergelijking hoort de opgave los op. Als je een vergelijking oplost ben je op zoek naar de waarde van x die dezelfde waarde geeft bij invullen in linkerlid en rechterlid. We kijken nu naar de vergelijking: We kunnen nu met de balansmethode de volgende vergelijking oplossen. Bij de balansmethode mag je steeds bij het linker- en rechterlid hetzelfde optellen, aftrekken of door hetzelfde getal delen en met hetzelfde getal vermenigvuldigen. Nu mag je dus wel delen, zolang je links en rechts maar door hetzelfde getal deelt. De weegschaal (balans) blijft dan steeds in evenwicht: We stellen de twee formules aan elkaar gelijk We trekken links en rechts er van af We tellen er links en rechts 2 bij op We delen links en rechts door 2 We gaan met dit voorbeeld verder bij opgave 1.6. Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 1 blz. 4

8 Opgave 1.5 Leg uit Waarom mag je bij een vergelijking wel en bij een formule niet alles door hetzelfde getal delen? Dus: Los op: mag wel worden: Maar Herleid: is niet goed Vergelijkingen en grafieken Opgave 1.6 Leg uit Kijk nog eens naar de twee formules uit de vergelijking van de vorige bladzijde: en De oplossing van de vergelijking was. a. Vul nu eens -1 in bij de twee formules waar we mee begonnen. Wat valt je op? b. Teken in het assenstelsel de grafieken van beide formules en lees de coördinaten van het snijpunt af. c. Kijk nog eens naar de oplossing van de vergelijking hierboven en de uitkomst van de y-waarde in onderdeel a van deze opgave. Wat valt je op? Wat doe je als je een vergelijking oplost? Als je een vergelijking oplost doe je dus niets anders dan het berekenen van de x-coördinaat van het snijpunt van de grafieken die bij twee formules horen. Die twee formules zijn het linkerlid en het rechterlid van de vergelijking. Het voorbeeld hierboven was een makkelijk voorbeeld. Als ze wat lastiger zijn dan werken we volgens het werkplan: 1. Haakjes wegwerken 2. Breuken door een vermenigvuldiging laten verdwijnen 3. Linker- en rechterlid herleiden 4. Alle termen met x naar de linkerkant 5. Alle termen met alleen getallen naar de rechterkant 6. Deel het linker- en rechterlid door het getal voor de x 7. Tenslotte controleren we ons antwoord door de gevonden x in zowel het linker- als rechterlid in te vullen; de uitkomsten moeten gelijk zijn. Op de volgende bladzijde staat een voorbeeld. Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 1 blz. 5

9 Een voorbeeld: ( ) We hebben de haakjes weggewerkt Door alle termen met 3 te vermenigvuldigen zijn de breuken verdwenen We hebben het linker- en rechterlid herleid Links en rechts 4x er van af gehaald Links en rechts 9 er van af gehaald Links en rechts door -3 gedeeld. En we controleren ons antwoord door links en rechts 6 in te vullen: Links: Rechts: ( ) ( ) Gelukkig, het klopt! Het snijpunt van de twee lijnen is dus (6,5). Opgave 1.7 Los op en bepaal ook de y-waarde die bij de oplossing hoort. a. c. b. d. Opgave 1.8 Bepaal oplossing van vergelijking uit de grafiek Teken voor opgave 1.7a de beide grafieken in één assenstelsel. Lees het snijpunt af. Controleer of de oplossing klopt met wat je in opgave 1.7 gevonden hebt. Doe dit eventueel ook voor 1.7b. Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 1 blz. 6

10 Opgave 1.9 Los op en bepaal ook de y-waarde die bij de oplossing hoort. a. ( ) ( ) b c. 1 ( ) d. ( ) Kijk weer even naar opgaves 1.7, 1.8, 1.9. Wat ging er goed? Wat niet? Welke fouten heb je gemaakt? Hoe kan je dat voorkomen? Wat heb je geleerd? Afsluiting en vooruitblik In de opening hebben we al gezien dat de algemene vorm van een kwadratische formule is: Voor de kwadratische vergelijking is dat We gaan deze periode de volgende situaties onderzoeken: b=0, ofwel c=0, ofwel a,b en c zijn allemaal niet gelijk aan 0. Jullie gaan in een schema invullen wat voor ieder van die situaties de beste oplossingsmethode is en wat de valkuilen zijn. Dit schema zit bij het lesmateriaal. Je docent zal het toelichten in de les. Opgave 1.10 Leg uit Waarom hoeven we de situatie a=0 niet meer te onderzoeken? Wat is dit voor soort vergelijking? Hoe lossen we dit soort vergelijkingen op? Vul dat in het schema in. Welke fouten heb jij daar vaak bij gemaakt? Vul dat in onder Valkuilen Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 1 blz. 7

11 Periode : 5 Klas : 2 Sectie Wiskunde College Hageveld Onderwerp : Kwadratische vergelijkingen Lesbrief 2 : Grafisch onderzoek van de parabool Opening Deze lesbrief kijken we naar vergelijkingen van de vorm, dus de situatie die je krijgt als in. Dit soort kwadratische vergelijkingen kan ook geschreven worden als. We kijken later in de les ook nog naar een bijzondere uitbreiding van deze vorm, namelijk ( ). Die kunnen we op dezelfde manier oplossen als de basisvorm. Opgave 2.1 a) Waar hoort dit soort vergelijkingen thuis in het grote schema van de kwadratische vergelijkingen? b) Een voorbeeld van zo n vergelijking is. Schrijf deze in de vorm. c) Wat is/zijn, denk je, de oplossingen van de vergelijking uit opgave b? De grafiek die hoort bij een kwadratische formule heeft de vorm van een parabool. De meest simpele parabool hoort bij de formule. Deze ziet er zo uit: Een parabool heeft drie eigenschappen die belangrijk zijn: - Een symmetrieas - Een top - Nulpunt(en): snijpunten met de x-as. Nulpunten zijn er niet altijd, zullen we deze les zien. Figuur 1 Grafiek van y x 2 Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 2 blz. 1

12 Opgave 2.2 Onderzoekje Kijk naar de grafiek van in figuur 1. Geef aan: a) Wat de symmetrieas is b) Wat de coördinaten van de top zijn c) Wat voor soort parabool het is d) Of er nulpunten zijn en zo ja, wat daar de coördinaten van zijn. Verticaal verschuivende toppen en nulpunten In opgaves 1.6, 1.7 en 1.8 hebben we gezien dat het oplossen van een vergelijking precies hetzelfde is als het bepalen van het snijpunt van twee grafieken; de ene grafiek hoort bij het linkerlid van de vergelijking, de andere bij het rechterlid. Dit is bij kwadratische vergelijking niet anders; alleen zullen we wel zien dat er een belangrijk verschil is als we kijken naar het aantal oplossingen van de vergelijking. Open het Geogebra bestand Lesbrief 2 Geogebra 1. Je docent heeft je dit bestand per mail gestuurd of zal je vertellen waar je het kunt vinden. In dit bestand zie je een parabool. Rechts bovenin zie je drie schuifknoppen, die horen bij a, c en d. Laat d voorlopig nog even op 0 staan. Daar gaan we later naar kijken. De grafiek die je bij het begin ziet in het bestand hoort bij de waardes a=1 en c=0. Ofwel de meest simpele parabool:. Opgave 2.3 Onderzoekje Teken eerst de lijn in de figuur (doe dit door onderin het scherm in de invoerbalk gewoon in te typen). a) Wat zijn de coördinaten van de snijpunten van de parabool met deze lijn? b) Je hebt met deze snijpunten een vergelijking opgelost! En wel! Wat valt je op als je kijkt naar het aantal oplossingen van deze vergelijking? (kijk eventueel nog even naar opgaves 1.6, 1.7, 1.8). Verwijder de lijn. Zet nu c op de waarde -4 (klik op de schuifknop c en verplaats deze naar -4). c) Wat gebeurt er met de grafiek? Wat is nu de symmetrieas? Wat zijn nu de coördinaten van de top? Deze opgave gaat verder op de volgende bladzijde. Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 2 blz. 2

13 Vervolg van 2.3. Maak twee punten in Geogebra als volgt: kies onder de tweede knop van links de optie Snijpunten van twee objecten. Klik vervolgens op de x-as en op de parabool. Er worden nu twee punten gemaakt (A en B). Dit zijn de nulpunten van de parabool. d) Kijk links op het scherm in het Algebra venster. Daar staan de punten A en B met hun coördinaten. Wat zijn de coördinaten van de twee snijpunten. e) Ook het bepalen van deze nulpunten is eigenlijk het oplossen van een vergelijking. Welke vergelijking is dat? Waarom is dat gewoon dezelfde vergelijking als bij opgave b)? f) Kun je de oplossing verklaren uit je kennis vanuit hoofdstuk 5 (wortels)? Opgave 2.4 Nog wat verder onderzoeken Zet c op de waarde -2. a) Wat is nu de symmetrieas? b) Wat zijn nu de coördinaten van de top? c) Hoeveel nulpunten zijn er? Bij welke vergelijking horen deze nulpunten? Welke oplossingen horen hier bij? Kijk eventueel nog naar opgave 2.3. Zet c op de waarde 0 (weer terug op het startpunt) d) Hoeveel nulpunten zijn er? Wat zijn de coördinaten? Wat valt je op? e) Welke kwadratische vergelijking hoort bij deze situatie? Hoeveel oplossingen heeft deze vergelijking? En als laatste: Zet c op de waarde 4. f) Hoeveel nulpunten zijn er? Wat valt je op in het algebra-venster bij de punten A en B? g) Welke kwadratische vergelijking hoort bij deze situatie? Hoeveel oplossingen heeft deze vergelijking? h) Verklaar dit vanuit je kennis van wortels. Schuif nog wat met c en ontdek het patroon. Als je dat gevonden hebt vat het samen in opgave 2.5. Schuif ook maar wat met a en kijk wat er dan gebeurt met de grafiek. Opgave 2.5 Conclusie Heeft een kwadratische vergelijking altijd één oplossing? Zo nee, hoeveel dan wel? Wat gebeurt er met de grafiek als we de waarde van c gaan veranderen? Beschrijf aan de hand van de symmetrieas, de top en de nulpunten. Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 2 blz. 3

14 Horizontaal verschuivende toppen en nulpunten Opgave 2.6 Horizontale verschuiving. Zet a weer op de waarde 1 en c op de waarde -4. Kijk naar de positie van de grafiek. Zet nu de waarde van d op 1. a) Wat gebeurt er met de grafiek? b) Wat is nu de symmetrieas? c) Wat zijn nu de coördinaten van de top? d) Wat zijn de coördinaten van de nulpunten? e) Hoever liggen de nulpunten van de symmetrieas af? Wat valt je op? Afronding Opgave 2.7 Wat betekent dat voor de vergelijking? Klik in het algebravenster met je rechtermuisknop op de parabool P. Je ziet dan bovenin hoe deze parabool gemaakt is: ( ). a) Wat is er met de nulpunten gebeurd nadat je de waarde van d op 1 gezet had? b) In het algebravenster zelf staat voor de parabool de formule. Leg uit hoe je vanuit komt tot de formule in het scherm (Tip: vul in en herleid). c) Je kan de vergelijking voor de nulpunten schrijven als: ( ) en dus ook als ( ). Hoe zou je deze laatste vergelijking op kunnen lossen zonder de haakjes weg te werken? Gebruik je kennis van wortels weer. Bij iedere vergelijking horen twee grafieken: één voor het rechterlid en één voor het linkerlid. De vergelijkingen van de vorm zijn altijd om te schrijven tot de vorm. Deze vergelijking kan 0, 1 of 2 oplossingen hebben. We hebben zelfs even gekeken naar de vorm: ( ). Als we a, c of d gaan veranderen dan betekent dat voor de grafiek: Schuiven met: a c d Grafiek verandert: Wordt smaller of breder Verschuift naar boven of beneden Verschuift naar links of rechts Symmetrieas verschuift Top verschuift Nulpunten veranderen Nee Nee Ja Nee Ja, verticaal Ja Ja Ja, horizontaal Ja Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 2 blz. 4

15 Periode : 5 Klas : 2 Sectie Wiskunde College Hageveld Onderwerp : Kwadratische vergelijkingen Lesbrief 3 : De oplossing(en) van ofwel Opening In de vorige lesbrief hebben we gezien dat de vergelijking niet altijd hetzelfde aantal oplossingen heeft. Hoeveel oplossingen er zijn is afhankelijk van de waardes van a en c. In deze lesbrief gaan we oefenen met het vinden van die oplossingen en we kijken naar het verschil tussen exact berekenen en bereken / benader. Oplossingen van de vergelijking Iedere vergelijking waarin (na herleiden) alleen maar termen staan met daarin een of alleen getallen is om te schrijven tot de vorm Kijk maar naar de volgende voorbeelden: De vorm kan 0, 1 of 2 oplossingen hebben: : er zijn twee oplossingen: : er is één oplossing: : er zijn geen oplossingen Je ziet boven de vergelijkingen ook steeds de grafische voorstelling. Controleer even waar de oplossingen getekend zijn!! Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 3 blz. 1

16 Opgave 3.1 Schrijf in de vorm a. e. b. f. c. g. d. h. Oplossingen: bereken exact of bereken / benader Als we de eerste drie voorbeelden van de vorige bladzijde willen gaan oplossen dan moeten we bij een aantal van de vergelijkingen even heel goed kijken wat er gevraagd wordt. Kijk maar; we waren gebleven bij: De volgende stap is niet zo moeilijk; er is altijd een oplossing omdat de drie getallen groter dan of gelijk aan nul zijn: Het symbool betekent of. En let op: het tweede antwoord is en niet Als de opdracht was Bereken exact dan zijn we nu klaar: 5 en - 5 zijn exacte getallen! Als de opdracht was Bereken en benader het antwoord met twee decimalen dan moeten we met de rekenmachine nog uitrekenen wat 5 en - 5 in de decimale notatie zijn. Afronden doe je pas zo laat mogelijk! Ook als de vraag is Bereken en rond af of Benader reken je eerst de exacte oplossing uit; pas op het allerlaatste moment ga je benaderen. Controleer nog even in de grafieken op de vorige bladzijde dat de oplossingen van de vergelijkingen inderdaad de x-coördinaten van de snijpunten van de grafieken zijn. Opgave 3.2 Los op. Geef een exact antwoord. a. e. b. f. c. g. d. h. Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 3 blz. 2

17 Opgave 3.3 Los op. Geef een benadering met twee decimalen. a. d. b. e. c. f. In de praktijk Opgave 3.4 Draagkabel van een hangbrug. De Si Du rivier brug is de hoogste brug ter wereld. Deze brug werd in 2009 geopend en ligt boven een vallei. Op het diepste punt van de vallei ligt de brug maar liefst 472 m boven het grondoppervlak. De brug heeft een lengte van meter. De grootste overspanning is de afstand tussen de twee pylonen. Deze pylonen zijn ca. 120m hoog. De hoogte van de draagkabel boven de weg tussen de pylonen wordt berekend met de formule: Hierbij is h de hoogte in meters en x is de afstand van het punt tot het middelpunt van de brug. Bereken hoe groot de afstand tussen de pijlers is. Stel eerst een vergelijking op. Rond je antwoord af op hele meters. Opgave 3.5 It giet oan? Van tijd tot tijd raakt Nederland in de ban van de Elfstedenkoorts. Gaat hij door of niet? Bij de beslissing of de tocht gereden kan worden houdt de organisatie als richtlijn aan dat het ijs overal 15cm dik moet zijn. Vaak wordt de volgende formule gebruikt om te bepalen hoeveel een ijslaag belast kan worden zonder dat er risico is: met L = belasting in kg en D = dikte van ijs in cm. a. Bereken met welk gewicht de organisatie van de Elfstedentocht (die geen enkel risico neemt) rekening houdt. Geef je antwoord in kg. Enthousiaste schaatsers vinden natuurlijk dat de tocht vaker door moet gaan. Daarom vinden zij dat er best een klein risico mag zijn. In dat geval wordt de formule gebruikt. b. Bereken (bij de belasting uit opgave a) hoe dik (in cm) het ijs dan moet zijn. Rond je antwoord af of één decimaal. Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 3 blz. 3

18 Vergelijkingen en grafieken Opgave 3.6 Water door een regenpijp. a. Als je een regenpijp doorsnijdt krijg je een cirkel. Wat is de oppervlakte van deze cirkel (noem de straal r)? b. Leg uit waarom er een kwadratisch verband zal zijn tussen de straal van een regenpijp en de hoeveelheid water die er door heen stroomt De hoeveelheid water W (in liters per seconde) die door een pijp met straal r (in cm) kan stromen is:. c. Teken de grafiek die bij deze situatie hoort. Let er op dat je je assenstelsel zinvol kiest! d. Lees uit de grafiek af hoeveel water per seconde er door een regenpijp met een straal van 5 cm kan stromen. e. We weten dat er door een zekere regenpijp 8 liter/seconde kan stromen. Lees uit de grafiek af hoe groot de straal van de pijp is. Welke vergelijking los je nu op? f. Bereken nu (en rond af op 1 decimaal) hoeveel liter water er in 5 minuten door een regenpijp met een straal van 4 cm kan stromen. g. Bereken (en rond af op 2 decimalen) hoe groot de straal is van een regenpijp waar in 1 minuut 240 liter water kan stromen. Stel een vergelijking op! Controleer in je grafiek of dit (ongeveer) klopt. Kijk nog even naar je antwoorden (vooral bij 3.2 en 3.3). Ging dat allemaal goed? Zo nee, waar moet je op gaan letten? En hoe zit dat bij de opgaves waar je een probleem moet oplossen? Wat vind je daar moeilijk aan? Afronding We hebben gezien dat de vergelijking. Deze laatste heeft altijd - 2 oplossingen als getal > 0-1 oplossing als getal = 0-0 oplossingen als getal < 0 altijd te herschrijven is tot de vorm De meest gemaakte fout bij het oplossen van een vergelijking van deze vorm is dat er vergeten wordt dat er twee oplossingen kunnen zijn. Alleen de positieve oplossing wordt opgeschreven. Let op: als je in een context (verhaaltje) op zoek bent naar iets dat alleen maar positief kan zijn (bijv. lengte, dikte) dan heeft de vergelijking nog steeds twee oplossingen. Maar de vraag waar je een antwoord op zoekt kent maar één oplossing. Bij het oplossen van de vergelijking moet je dan wel beide oplossingen opschrijven; bij het antwoord geven op de gestelde vraag natuurlijk maar één. Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 3 blz. 4

19 Periode : 5 Klas : 2 Sectie Wiskunde College Hageveld Onderwerp : Kwadratische vergelijkingen Lesbrief 4 : : bijzondere situatie en afronding Opening In de eerste les hebben we het gehad over de algemene vorm van een kwadratische vergelijking:. Daarna zijn we begonnen met een aantal bijzondere situaties hiervan: We hebben aan het einde van les 1 heel kort gekeken naar de situatie als a=0: dan is de vergelijking gewoon een lineaire vergelijking. In lessen 2 en 3 hebben we gekeken naar de situatie b=0. Dan kunnen we de vergelijking gaan herschrijven tot. Ook die vergelijking kunnen we dan oplossen (het is ook mogelijk dat er geen oplossingen zijn). Als onze vergelijking er bijvoorbeeld als volgt uitziet: ( ) ( ) dan kunnen we nog niet zo veel met de vergelijking doen. Dit soort vergelijkingen zullen bijna altijd eerst gaan herschrijven tot de vorm om daarna te beslissen hoe we hem gaan oplossen. We doen dus eerst wat voorwerk. Dat hebben we al een beetje gezien in een aantal opgaves van les 3. Opgave 4.1 Laat zien (door te herleiden) dat ( ) ( ) te schrijven is als een kwadratische vergelijking van de vorm. Let op! In deze vergelijking zitten valkuilen van het herleiden. Hoe ziet de vergelijking er na het herleiden uit? In deze les gaan we een uitzondering maken: we gaan kijken naar vergelijkingen waarbij het verstandiger is om niet het voorwerk te gaan doen. We gaan de methode uit les 3 gebruiken voor vergelijkingen die er bijna (maar niet helemaal) hetzelfde uitzien als de vergelijkingen uit les 3. Bijvoorbeeld: ( ) maar ook ( ) ( ). We zullen bij dit soort vergelijking zien dat het beter is om de haakjes even te laten staan. Tenslotte gaan we ook het grote schema aanvullen met wat we in les 3 en 4 geleerd hebben. Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 4 blz. 1

20 Horizontaal verschuivende grafieken In les 2 hebben we al in Geogebra gekeken naar grafieken die horizontaal verschoven worden. Bijvoorbeeld de grafieken: en ( ) Figuur 2 Voor verschuiving Figuur 2 Na verschuiving Als we goed kijken naar de grafieken op de vorige pagina dan zien we dat de nulpunten van de grafiek verschoven zijn van naar. Ze zijn, samen met de hele grafiek, één naar rechts geschoven. Dat kunnen we ook zien als we de twee vergelijkingen naast elkaar zetten en oplossen: ( ) ( ) Voor de tweede vergelijking wordt vaak ook wel gewerkt met een techniek die we substitutie noemen: in plaats van schrijven we dan p. We stellen dan een schaduwvergelijking op met p als variabele in plaats van x. De uitwerking ziet er dan zo uit: ( ) Neem (in plaats van schrijven we p) En nu weer terug naar x. Omdat geldt ook Opgave 4.2 Los op en geeft een exact antwoord a. ( ) e. ( ) b. ( ) f. ( ) ( ) c. ( ) g. ( ) ( ) d. ( ) h. ( ) ( ) Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 4 blz. 2

21 Hoe ging deze opgave? Waar moet je nog op letten? Hoe kan je dit soort vergelijkingen herkennen? Vergelijkingen en grafieken In de praktijk Opgave 4.3 Grafiek bij een vergelijking De vergelijking uit opgave 4.2a ( ) kan herschreven worden tot ( ). Controleer dat. Teken in een assenstelsel deze vergelijking (je moet dus twee grafieken tekenen in één assenstelsel) en geef de oplossingen van de vergelijking aan. Doe dat ook voor opgave 4.2g: ( ) ( ). Deze vergelijking hoef je niet te herschrijven. Ga meteen maar tekenen. Opgave 4.4 Van uitslag naar doos. (Getal en Ruimte VWO 2 H7 no 61) Van een vierkant stuk karton wordt een doos zonder deksel gevouwen met een inhoud met 144 cm 3. Eerst wordt bij elk hoekpunt een vierkant van 9 bij 9 cm verwijderd. Stel de zijde. a. Waarom is het grondvlak van de doos een vierkant met zijden van? b. Hoeveel is de hoogte van de doos? c. Welke vergelijking kun je nu opstellen? d. Los deze vergelijking op. Hoeveel cm is de zijde AB? Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 4 blz. 3

22 Opgave 4.5 De perfecte lob Alweer een krachtmeting tussen Roger Federer en Rafael Nadal. Federer lokt Nadal met een drop-shot naar het net toe en geeft vervolgens een prachtige lob. Die lob is zo mooi dat de baan van de bal een perfecte parabool is. De hoogte van de bal kan als volgt berekend worden: ( ). x is de afstand (in meters) die de bal horizontaal aflegt vanaf het punt waar Federer de bal raakt; h is de hoogte (in meters) van de bal. a. Hoeveel meter boven de grond raakt Federer de bal? b. Waar raakt de bal de grond weer? Stel een vergelijking op en rond je antwoord af op 2 decimalen. c. De bal zal twee keer op een hoogte van 1,5 m hangen. Stel een vergelijking op en bereken waar dat is. Rond je antwoord af op twee decimalen. Opgave 4.6 STOP! Als je auto rijdt moet je rekening houden met je snelheid. Niet alleen om boetes te voorkomen, maar als je harder rijdt moet je ook rekening houden met een grotere remafstand. De remafstand is de afstand die je nog aflegt vanaf het moment dat je het rempedaal intrapt. De formule voor de remafstand bij droog weer is ( ). Hierin is A de remafstand en S je snelheid in km/uur. Bij nat weer geldt de formule ( ). a. Teken in één assenstelsel de grafieken die horen bij deze twee formules. Neem voor de horizontale as stapgrootte 10 (en als maximum 120). b. Lees uit de tekening af hoe lang je remafstand is als je 80 km/uur rijdt. Doe dat zowel voor droog als voor nat weer. c. Je chauffeur houdt 30m afstand tot zijn voorganger. Stel een vergelijking op om de maximale snelheid te berekenen bij zowel droog als nat weer. Hoeveel scheelt dat? Controleer je antwoorden in de grafiek. d. Op weg naar jullie vakantie in Frankrijk begint het opeens te regenen. Jullie reden op dat moment 130 km/uur en hielden precies de juiste afstand tot jullie voorganger. Bereken nu: Hoeveel km/uur je langzamer zou moeten gaan rijden als je dezelfde afstand tot je voorganger wilt houden Hoe groot de afstand tot je voorganger moet zijn als je even hard wilt blijven rijden. Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 4 blz. 4

23 Afronding We ronden niet alleen deze lesbrief af, maar ook de hele groep vergelijkingen met de vorm. We hebben daarvoor een oplossingsmethode gevonden waarbij we de kennis uit hoofdstuk 5 over wortels gebruiken. Opgave 4.7 Schema kwadratische vergelijkingen aanvullen. Kijk even terug in lesbrieven 3 en 4. Vat hieronder samen wat het werkplan wordt voor een vergelijking van de vorm. Maak ook een werkplan voor de vergelijkingen die er net iets anders uitzien maar die we op vrijwel dezelfde manier kunnen oplossen: ( ). Vergeet bij het werkplan niet, dat je soms ook voorbereidend werk moet verrichten. Kijk ook nog even terug naar de opgaves en bedenk je waar je zelf nog moeite mee had. Wat waren voor jou de valkuilen in dit soort vergelijkingen? Schrijf eerst je conclusies hieronder op. Als je er tevreden over bent, verwerk ze dan in het grote schema. Je docent kan daar nog een toelichting op geven. Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 4 blz. 5

24 Periode : 5 Klas : 2 Sectie Wiskunde College Hageveld Onderwerp : Kwadratische vergelijkingen Lesbrief 5 : Vermenigvuldigingen met als antwoord 0. Opening In de lesbrieven 3 en 4 hebben we gekeken naar vergelijkingen van de vorm. Door deze te opnieuw te schrijven als konden we deze vrij makkelijk oplossen. We gaan in deze les nog eens kijken naar deze soort vergelijking. Er is nog een tweede manier om deze soort vergelijkingen op te lossen. Daarbij gebruiken we een merkwaardig product dat we in periode 1 geleerd hebben. Het belangrijke aan deze tweede manier van oplossen is dat deze ons de weg wijst naar een manier om veel meer kwadratische vergelijkingen op te lossen, nl. het ontbinden in factoren. Het merkwaardig product: verschil van twee kwadraten Kijk eens naar de vergelijking:. In de vorige lesbrieven hebben we gezien dat de oplossingen hiervan zijn en. In periode 1 hebben we, bij het wegwerken van haakjes het volgende merkwaardige product geleerd: ( )( ) Andersom geschreven: ( )( ) Omdat kunnen we schrijven als Maar dan moet ook gelden: ( )( ) Dus onze vergelijking wordt dan ( )( ). We hebben onze vergelijking geschreven als het product van twee factoren; we noemen dat het ontbinden in factoren. Opgave 5.1 Schrijf als product van twee of meer factoren (ontbind in factoren) (let goed op of één stap voldoende is!!) a. e. b. f. c. g. d. h. Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 5 blz. 1

25 Let op: de opdracht Ontbind in factoren betekent (net als Herleid) dat je niet een waarde voor x hoeft te bepalen. Er staat geen vergelijking maar een formule, die je anders moet gaan schrijven. Alleen Los op betekent dat je moet gaan berekenen voor welke x de vergelijking klopt. We onze vergelijking herschreven als ( )( ) En waarom volgen de oplossingen en hier uit? We weten dat een vermenigvuldiging waarin één van de factoren 0 is altijd als antwoord 0 heeft: en. Maar andersom geldt ook dat als we een vermenigvuldiging hebben met als antwoord 0, dan MOET tenminste één van de factoren gelijk zijn aan 0: Dus als En als dan geldt dan geldt Maar als ( )( ) dan moet gelden en dus ook en dat zijn gelukkig dezelfde oplossingen als eerder. Opgave 5.2 Los op a. ( )( ) d. ( )( ) b. ( )( ) e. ( ) ( ) c. ( )( ) f. ( )( ) Opgave 5.3 Los op (dmv ontbinden in factoren); geef een exact antwoord a. e. b. f. c. g. d. h. Zoals als gezegd is het ontbinden in factoren een belangrijk hulpmiddel voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen. Als geldt ( ) dan geldt ook (haakjes wegwerken) dus zijn oplossingen van deze vergelijkingen (waarom? en controleer!) En als ( )( ) dan betekent dat ook dat oplossingen zijn van de vergelijkingen (waarom? en controleer!). Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 5 blz. 2

26 Dit laatste gaan we nog even oefenen. In de volgende opgave moet je twee kanten uitwerken: zowel herleiden (dus de haakjes wegwerken) als oplossen (dus de juiste waardes voor x bepalen). Soms moet je wat voorwerk doen (herleiden) om tot een oplosbare vergelijking te komen. Opgave 5.4 Los de volgende vergelijkingen op. Onderzoek ook (door het linkerlid te herleiden) voor welke kwadratische vergelijking dit ook de oplossingen zijn. Voorbeeld: ( )( ) betekent en dus Maar ook door de haakjes weg te werken geldt : ( )( ) en dus zijn ook oplossingen van de vergelijking Natuurlijk werken we de haakjes weg mbv de som-product methode (zie les 1) en schrijven het antwoord zonder tussenstap op!! a. ( ) c. ( )( ) b. ( )( ) d. ( ) ( ) Opgave 5.5 Los op (en rond af op twee decimalen). Begin met te zorgen dat in het rechterlid 0 staat! a. ( )( ) c. ( )( ) b. ( )( ) d. ( ) In de praktijk Opgave 5.6 Hoogte van een toren (naar Getal en Ruimte VWO-2, H7, opg 55) Je kunt de hoogte van een toren als volgt berekenen: Laat een steen van de top van de toren vallen. Meet na hoeveel seconden t de steen op de grond valt. Bereken met de formule de hoogte van de toren (h is hoogte in meters). a. Teken de grafiek van deze formule. Lees af hoe lang het duurt voordat een steen die van een 80m hoge toren valt de grond raakt. b. Welke vergelijking heb je bij opgave a) opgelost? Eigenlijk is de formule hierboven iets te grof. Beter is. c. Als je van de Domtoren in Utrecht een steen laat vallen raakt die na 4,78 seconden de grond. Hoe hoog is de Domtoren ongeveer? Rond af op gehele meters. d. Het hoogste gebouw ter wereld is de Burj Khalifa in Dubai. Het is 828m hoog. Hoe lang duurt het voordat een steen vanaf de top de grond raakt? Rond af op één decimaal. Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 5 blz. 3

27 Vergelijkingen en grafieken Opgave 5.7 Van grafiek naar vergelijking Bereken de twee snijpunten van de twee grafieken in de tekening hiernaast. Stel eerst een vergelijking op. Vergeet niet ook de y-coördinaat van de snijpunten te berekenen!! Wat vind je lastig aan deze les? Welke van de twee methodes voor vind je het makkelijkst? Wat gaat er nog niet helemaal goed? Wat kan je daar aan doen? Afronding In deze les hebben we gezien dat ontbinden in factoren een belangrijk hulpmiddel kan zijn bij het oplossen van kwadratische vergelijkingen. Heel veel kwadratische vergelijkingen zijn te schrijven als een product van een aantal factoren. Als het product van die factoren 0 is, dan moet tenminste één van die factoren gelijk zijn aan 0. Voor de vergelijkingen van het type hebben we nu twee werkschema s: A. Via 1. Trek van het linker- en rechterlid c af (balansmethode) 2. Deel links en rechts door a (balansmethode) 3. Bereken de wortel van het rechterlid (en zet er voor de tweede oplossingen een minteken voor). B. Met behulp van ontbinden in factoren 1. Deel linker- en rechterlid door a (balansmethode) 2. Schrijf het linkerlid als product van twee factoren 3. Ontbind linkerlid in factoren (merkwaardig product: verschil van 2 kwadraten) 4. Stel ieder van de factoren gelijk aan 0 en los deze op. Een voorbeeld: Methode A Methode B ( )( ) (stap B1) Let op: soms is stap B1 (het delen door a) overbodig: bijv. bij te maken hebt met de kwadraten van 2x en 1. kan je zien dat je Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 5 blz. 4

28 Periode : 5 Klas : 2 Sectie Wiskunde College Hageveld Onderwerp : Kwadratische vergelijkingen Lesbrief 6 : Ontbinden in factoren: optie I Buiten haakjes halen Opening De algemene vorm van een kwadratische vergelijking is. In de vorige lessen hebben we al gekeken naar twee bijzondere vormen van deze vergelijking: 1) Als a = 0 dan is de vergelijking ( ) gewoon een lineaire vergelijking, die we kunnen oplossen met de balansmethode 2) Als b= 0 dan kunnen we de vergelijking ( ) oplossen met één van de twee volgende manieren: a. ; door de wortel te trekken uit vinden we de oplossingen (als 0) b. Door de vergelijking te ontbinden in factoren, dwz te schrijven als product In deze les gaan we kijken naar de volgende situatie (de laatste waarin sprake is van twee termen), waarin (misschien niet heel verrassend) geldt : 3) ofwel de vergelijking heeft de vorm ; we gaan deze vergelijkingen oplossen met behulp van buiten haakjes halen. Ontbinden in factoren: buiten haakjes halen In periode 1 hebben we geleerd dat we ( ) anders kunnen schrijven (kunnen herleiden). Er geldt dan: ( ) We gaan dit nu omdraaien; door dit te doen gaan we een vergelijking weer schrijven als het product van een aantal factoren. Een voorbeeld: ( ) want dat kunnen we weer schrijven als ( )( ) Dus nu geldt (je had ook links en rechts mogen delen door 5!!) De eerste is onzin (en heeft geen oplossing; je had ook links en rechts mogen delen door 5) en andere twee kunnen we oplossen. Dit voorbeeld leerde ons nog niet veel nieuws. Anders is dat bij het volgende voorbeeld: ( ) Controleer dat!! Nu is het product van twee factoren gelijk aan 0, dus en dus Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 6 blz. 1

29 Opgave 6.1 Ontbind in factoren a. d. b. e. c. f. Let op: net als bij Herleid mag je bij Ontbind in factoren nooit delen door een getal of door een variabele. Alles moet blijven staan, alleen dan anders gerangschikt. Is je iets opgevallen bij opgave 6.1 e en f? Daar moest je eigenlijk meer dan één factor buiten haakjes halen. Bij e was dat x en daarna nog een keer x; samen wordt dat buiten de haakjes. Bij f was dat eerst 5 en daarna x (andersom mag natuurlijk ook), samen. Als we als opgave krijgen Ontbind in zoveel mogelijk factoren dan gaan we zoveel mogelijk buiten haakjes halen: ( ) ( ) ( ) Opgave 6.2 Ontbind in zoveel mogelijk factoren a. d. b. e. c. f. We kennen nu twee manieren om te ontbinden in factoren: Verschil van twee kwadraten: ( )( ) Buiten haakjes halen: ( ) Opgave 6.3 Ontbind in zoveel mogelijk factoren a. d. b. e. c. f. Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 6 blz. 2

30 Ontbinden in factoren: oplossen van vergelijkingen Wat betekent dit nu voor het oplossen van vergelijkingen? We hebben weer een extra hulpmiddel bij de hand. Kijk maar: ( ) (we hebben 2x buiten haakjes gehaald) (één van de twee factoren moet 0 zijn) (opgelost met de balansmethode, controleer maar) Let op: je mag dus niet door x delen!! Want als je dat doet krijg je de oplossing x = 0 niet als antwoord!! En x = 0 is altijd één van de oplossingen van de vergelijking. Opgave 6.4 Los op (geef een exact antwoord) a. d. b. e. c. f. In de praktijk Opgave 6.5 Parabolen onder de brug Bij de hoogte van de boog van het viaduct hiernaast hoort de formule (x en y zijn in meters). a) Hoe breed is de weg? Bedenk welke vergelijking je moet oplossen. b) De bewoners willen op een hoogte van 3.20m een spandoek ophangen. Hoe lang moet dat spandoek zijn? Vergelijkingen en grafieken Opgave 6.6 Hockeysticks geven parabolen Naomi van As loopt met de bal aan de stick. Er lopen drie tegenstandsters voor haar. Ellen Hoog loopt in de spits maar lijkt onbereikbaar. Maar Naomi weet een oplossing: een mooie lob in de vorm van de volgende parabool: ( ). h is hoogte van de bal in meters, x is de afstand die de bal heeft afgelegd. a) Teken de grafiek. b) Waar zal de bal de grond weer raken? Kan je dit uit de formule aflezen? c) Geef aan in je grafiek waar de bal 1.80m hoog is. Lees af hoeveel m de bal dan heeft afgelegd. d) Welke vergelijking zou je moeten oplossen om te berekenen op welke punten de bal 1.80m hoog is? e) Waar is de bal op het hoogste punt? Dit kun je ook uit de formule van de grafiek aflezen. Zie je hoe? Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 6 blz. 3

31 Verstopte kwadratische vergelijkingen Soms is het niet meteen duidelijk dat we te maken hebben met een kwadratische vergelijking. Deze zit dan verstopt in een vergelijking van een hogere graad. Een voorbeeld: Dit is een vierdegraadsvergelijking ( ) die gesplitst wordt in twee kwadratische vergelijkingen die we allebei makkelijk kunnen oplossen Afronding Opgave 6.7 Los op en geef een exact antwoord: a. d. b. e. c. f. In deze les hebben we een tweede manier gevonden om kwadratische vergelijkingen op te lossen. Deze is bruikbaar als voor de c in geldt. We kunnen dan in ieder geval de x buiten de haakjes halen. x = 0 is dan ook altijd één van de oplossingen van dit soort vergelijkingen. De tweede kan je met de balansmethode oplossen. Wat vind je nog moeilijk aan deze les? Bij welk soort opgaves ga je nog de mist in? Waar moet je extra op letten? Opgave 6.8 Naar het schema Kijk nog eens naar de vergelijking. Hoe kun je zo n soort vergelijking herkennen? Wat is de manier om deze op te lossen? Op welke fouten heb je jezelf het meest betrapt? Vul het schema voor de kwadratische vergelijkingen aan met je opmerkingen en kijk het geheel nog eens door. We schieten al lekker op. Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 6 blz. 4

32 Periode : 5 Klas : 2 Sectie Wiskunde College Hageveld Onderwerp : Kwadratische vergelijkingen Lesbrief 7 : Grafisch onderzoeken van algemene kwadratische vergelijkingen Opening Tot nu toe hebben we al gekeken naar een aantal vormen van de kwadratische vergelijking. Opgave 7.1 Eerst hebben we gekeken naar de situatie. Wat voor soort vergelijking hoorde daar bij? Wat was de oplossingsmethode? (Kijk eventueel nog eens naar lesbrief 1). Daarna keken we naar de situatie. Hoe gingen we die oplossen? Er waren zelfs twee oplossingsmethoden!! Wat was hier de valkuil? (Kijk nog eens naar de lesbrieven 3 t/m 5 als dat nodig is). Eén van de twee oplossingsmethodes konden we ook gebruiken om een bijzondere vorm op te lossen (check lesbrief 5 nog eens). Welke vorm was dat? Wat moesten we bij deze vorm vooral niet doen? En tenslotte keken we (in lesbrief 6) naar de situatie. Welke methode van oplossen gebruikten we hier? Welke eigenschap van de vermenigvuldiging gebruiken we hier? We gaan nu kijken naar de situatie waarin a, b en c allemaal niet gelijk aan 0 zijn. We gaan kijken of we kunnen oplossen. En om het niet te moeilijk te maken beperken we ons in deze periode tot de situatie, ofwel tot de vergelijkingen die er als volgt uit zien:. Opgave 7.2 Leg uit waarom het helemaal niet erg is dat we ons beperken tot de situatie. Sterker nog: iedere kwadratische vergelijking kan zo geschreven worden. Leg uit waarom. Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 7 blz. 1

33 Stoeien met 4 verschillende schrijfwijzen voor Deze lesbrief gaan we weer met Geogebra aan de slag. We gaan kijken naar 4 manieren om de kwadratische formule op te schrijven. Ieder van deze manieren vertelt ons iets over de grafiek van de formule. Het is bedoeling dat jullie met Geogebra gaan onderzoeken wat die bijzonderheden zijn. Eigenlijk ga je steeds de volgende vragen beantwoorden: - Is het een berg- of een dalparabool? - Wat zijn de coördinaten van de top? - Wat zijn de nulpunten (de snijpunten met de x-as)? - Wat is het snijpunt met de y-as? Zijn er punten op de grafiek met dezelfde y-coördinaat? Wat is de x-coördinaat van dit punt? - Wat is de symmetrie-as? Natuurlijk ga je eerst controleren of de verschillende schrijfwijzen inderdaad ook dezelfde formule geven. En als je die kenmerken gevonden hebt, moet je ook kunnen uitleggen hoe je die in de schrijfwijze kunt herkennen. Voor het onderzoek van de grafiek krijg je van je docent een aantal Geogebra-bestanden toegestuurd. De formule die we gaan bestuderen is Opgave 7.3 De basis Open het bestand Geogebra 7.1. Je ziet daar de grafiek van in getekend. Is dat niet het geval, dan kan je makkelijk de schuifknoppen b op -6 en c op 8 zetten. De top, het snijpunt met de y-as en de symmetrieas kun je ook zien. Ga maar wat schuiven met de a, de b en de c; beantwoord per situatie de vragen hierboven (uit het kader). Vat samen wat je kan aflezen uit de formule en vooral hoe je dat kan aflezen. Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 7 blz. 2

34 Schrijfwijze 2: de som-product schrijfwijze De tweede methode geven we maar even de werknaam de som-product schrijfwijze. Dat is geen officiële naam, maar zo kunnen we zelf makkelijker over de verschillende schrijfwijzen praten. Voor onze formule is de som-productschrijfwijze: ( )( ). Er kan nog een getal a voor de haakjes staan. Voor de volgende opgave gaan we uit van of. Opgave 7.4 Som-product Herleid de tweede schrijfwijze en laat zien dat het antwoord dan de oorspronkelijke formule is. Open het bestand Geogebra 7.2. Je ziet daar de grafiek van ( )( ) in getekend. Is dat niet het geval, dan kan je makkelijk met de schuifknoppen p op 2 en q op 4 zetten. De a hoort op 1 te staan. De top en de symmetrie-as kun je ook zien. Ga maar wat schuiven met de a, de p en de q; beantwoord per situatie de vragen uit het kader op de volgende bladzijde. Vat samen wat je kan aflezen uit de formule en vooral hoe je dat kan aflezen. Schrijfwijze 3: de kwadraat-afsplitsen schrijfwijze De tweede methode geven we maar even de werknaam de kwadraat-afsplitsen schrijfwijze. Dat is geen officiële naam, maar zo kunnen we zelf makkelijker over de verschillende schrijfwijzen praten. Voor de formule is de kwadraat-afsplitsen schrijfwijze: ( ). Er kan nog een getal a voor de haakjes staan. Voor de volgende opgave gaan we uit van of. Opgave 7.5 Kwadraat afsplitsen Herleid de derde schrijfwijze en laat zien dat het antwoord dan de oorspronkelijke formule is. Open het bestand Geogebra 7.3. Je ziet daar de grafiek van ( ) in getekend. Is dat niet het geval, dan kan je makkelijk met de schuifknoppen p op 3 en q op -1 zetten. a hoort op 1 te staan. De top en de symmetrie-as kun je ook zien. Ga maar wat schuiven met de a, de p en de q; beantwoord per situatie de vragen uit het kader op de volgende bladzijde. Vat samen wat je kan aflezen uit de formule en vooral hoe je dat kan aflezen. Doet deze schrijfwijze je nog ergens aan denken? (Kijk anders nog even naar les 2 en les 5) Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 7 blz. 3

35 Schrijfwijze 4: de laatste schrijfwijze De laatste manier is voor dit hoofdstuk de minst interessante. We gebruiken de techniek van het buiten haakjes halen om het eerste deel van de formule iets anders op te schrijven: wordt ( ). Er kan nog een getal a voor de x staan. Voor de volgende opgave gaan we uit van of. Afronding Opgave 7.6 Als laatste Herleid de vierde schrijfwijze en laat zien dat het antwoord dan de oorspronkelijke formule is. a) Open het bestand Geogebra 7.4. Je ziet daar de grafiek van ( ) in getekend. Is dat niet het geval, dan kan je makkelijk met de schuifknoppen p op -6 en q op 8 zetten. De top en de symmetrie-as kun je ook zien. Ga maar wat schuiven met de p en de q; beantwoord per situatie de vragen hierboven. b) Vat samen wat je kan aflezen uit de formule en vooral hoe je dat kan aflezen. Jullie hebben vier verschillende manieren om een kwadratische formule te schrijven bekeken. Iedere vorm leverde informatie op over de grafiek. De tweede en derde vorm zijn het meest interessant voor het oplossen van vergelijkingen. Die twee manieren gaan we de komende twee lessen ook uitgebreid bestuderen. Opgave 7.7 Grafiek tekenen zonder nieuwe punten uit te rekenen. Teken een assenstelsel. Verzamel uit de vorige opgaves (7.3 t/m 7.6) alle gegevens over de grafiek van. Als het goed is weet je de top, de nulpunten, de symmetrieas, het snijpunt met de y-as en nog een ander punt. Dat zou voldoende moeten zijn om de grafiek te tekenen. Probeer maar. Opgave 7.8 Kijk nog eens terug naar al je conclusies. Probeer ze samen te vatten. (Maak een schema). Wat kan je bij iedere schrijfwijze aan eigenschappen van de parabool vinden? Begrijp je waarom de tweede schrijfwijze (som-product schrijfwijze) ook wel de nulpunten-formule van de parabool wordt genoemd? En waarom de derde schrijfwijze (kwadraatafsplitsen schrijfwijze) ook wel de top-formule van de parabool wordt genoemd? Hoe zou je de nulpunten bij methode 3 kunnen vinden? Waarom zijn juist die nulpunten interessant? Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 7 blz. 4

36 Periode : 5 Klas : 2 Sectie Wiskunde College Hageveld Onderwerp : Kwadratische vergelijkingen Lesbrief 8 : Som-product methode Opening In de vorige les hebben we gekeken naar 4 verschillende manieren om een kwadratische formule te schrijven. Twee ervan (de som-product schrijfwijze en de kwadraat-afsplits schrijfwijze) kunnen ons helpen om een kwadratische vergelijking op te lossen. Deze les gaan we kijken naar de som-product methode om een kwadratische vergelijking op te lossen. In les 7 hebben we gezien dat deze schrijfwijze ons meteen vertelt wat de nulpunten zijn in de grafiek. Kijk eerst nog even naar les 1: daar hebben we het al even gehad over de som-product methode bij het herleiden. We oefenen nog even: Opgave 8.1 Herleid (en schrijf antwoord in één keer op): a. ( )( ) c. ( )( ) b. ( )( ) d. ( )( ) e. Kijk even naar je antwoorden: het zijn allemaal kwadratische formules van de vorm. Probeer eens voor jezelf te bepalen wanneer is en wanneer (bedenk dat c het product van de twee getallen is). Waar hangt dat van af? Doe dat ook voor of. Waar hangt dat van af? (deze is iets lastiger, bedenk dat b de som van de twee getallen is) Het oplossen van een kwadratische vergelijkingen gaat als volgt: Voorbeeld Werkplan 1) Zoek naar getallen p en q waarvoor geldt ( )( ) 2) Het ontbinden in factoren is gelukt en de oplossing is nu simpel: 3) Eén van de twee factoren moet dus 0 zijn. 4) Klaar!! Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 8 blz. 1

37 De som-product methode bij het ontbinden in factoren Maar hoe weten we nu wat de juiste getallen zijn voor die som-product methode? Weer aan de hand van een voorbeeld: Ontbind in factoren: We kijken eerst naar het product, in dit geval dus 24. Maak eerst een tabel van alle combinaties van twee getallen die als product 24 hebben. Doe dat systematisch: begin bij 1 en zoek het getal dat daar bij hoort: 24. Dan 2: daar hoort 12 bij. En bij 3 hoort 8; bij 4 hoort 6. En dan 5: 24 is niet deelbaar door 5, dus 5 komt niet in de tabel. Dan is 6 aan de beurt: daar hoort 4 bij, maar die hebben we al gehad (want de volgorde maakt niet uit). We lijken onze tabel compleet te hebben. Schrijf nu voor ieder van de combinaties de som van de twee getallen op: Getal 1 Getal 2 Som De oplossing die we zoeken is nu makkelijk te vinden: de getallen moet samen 14 zijn, dus 2 en 12 zijn de juiste. Het herleiden levert dus op: x x (x )(x ) Opgave 8.2 Ontbind in factoren: Maak een tabel als je dat makkelijk vindt, maar probeer het vooral zonder de tabel! a. c. b. d. Los op: e. f. Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 8 blz. 2

38 Toch zijn we bij het eerste voorbeeld (op de vorige bladzijde) niet helemaal compleet geweest in het maken van de tabel. Dat laat ons het tweede voorbeeld zien: Ontbind in factoren: Weer moet het product 24 zijn, maar de som moet nu -14 zijn en niet 14. Maar in de tabel hierboven staat helemaal geen -14! Wat is er misgegaan? We hebben te veel naar alleen maar positieve getallen gekeken. Maar niet alleen is, maar ook geldt er. We moeten onze tabel dus nog uitbreiden: Getal 1 Getal 2 Som De oplossing die we zoeken is nu makkelijk te vinden: de getallen moet samen -14 zijn, dus -2 en - 12 zijn de juiste. Het herleiden levert dus op: x x (x )(x ) Opgave 8.3 Ontbind in factoren: Maak een tabel als je dat makkelijk vindt, maar probeer het vooral zonder de tabel! a. c. b. d. Los op: e. f. Opgave 8.4 Ontbind in factoren: Maak een tabel als je dat makkelijk vindt, maar probeer het vooral zonder de tabel! a. c. b. d. Los op: e. g. f. h. Opgave 8.5 Kijk nog eens naar opgaves 8.2 t/m 8.4: hoe kan je makkelijk zien of je twee negatieve of twee positieve getallen moet hebben? Controleer eventueel je antwoord bij 8.1. Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 8 blz. 3

39 En we zijn nog niet klaar: tot nu toe was het product steeds positief (controleer maar). Hoe zit het als het product negatief is? Dat gaat eigenlijk precies hetzelfde: alleen kijken we naar één positief getal en één negatief getal: Ontbind in factoren: Nu moet het product -24 zijnen de som +10. We beginnen weer bij 1 te inventariseren; daar hoort nu -24 bij. Nu moeten we er alleen aan denken dat niet alleen +1 en -24 samen -24 opleveren, maar -1 en +24 ook! Getal 1 Getal 2 Som Onze tabel wordt dus met 8 combinaties gevuld en we zoeken dan naar de juiste som. De getallen moet samen 10 zijn, dus -2 en +12 zijn de juiste. Het herleiden levert dus op: x x (x )(x ) Opgave 8.6 Ontbind in factoren: Maak een tabel als je dat makkelijk vindt, maar probeer het vooral zonder de tabel! a. c. b. d. Los op: e. g. f. h. En nog alles door elkaar: Opgave 8.7 Ontbind in factoren: a. c. b. d. Los op: e. g. f. h. Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 8 blz. 4

40 Afronding Dat was even een taaie les: veel oefening, veel cijfers en letters. En voor het eerst geen grafieken. Dat gaan we de volgende les weet anders doen. Dan gaan we ook weer meer naar de toepassingen kijken. Nog een paar vragen om de les af te sluiten: Opgave 8.8 Wat vind je moeilijk aan deze methode? Welke fouten heb je vaak gemaakt? Hoe zou je dat kunnen oplossen? Denk ook even na over de logica die bestaat: - Wat is er aan de hand als som en product allebei positief zijn? - En als de som negatief is en het product positief? - En als de som positief is en het product negatief? - En als de som negatief is en het product ook? Hoe kan je je antwoord controleren? Als je twijfelt over je antwoord kan je het op een makkelijke manier controleren. Hoe? Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 8 blz. 5

41 Periode : 5 Klas : 2 Sectie Wiskunde College Hageveld Onderwerp : Kwadratische vergelijkingen Lesbrief 9 : Som-product methode: vanuit de symmetrie Opening De vorige les hebben jullie leren werken met de som-product methode. Voor de formule waarmee we in les 7 op onderzoek gingen werkt deze als volgt: 1) We zien dat het product (+8) positief is, dus de getallen zijn allebei positief of allebei negatief 2) De som (-6) is negatief, dus beide getallen zijn negatief 3) Het tabelletje met twee negatieve getallen dat als product 8 heeft: Getal 1 Getal 2 Som ) We zien makkelijk dat de getallen -2 en -4 moeten zijn, dus we weten: ( )( ). Dit was een klein en simpel tabelletje maar als het product bijv. 144 moet zijn, dan is het opstellen van zo n tabel best nog wat werk. De Babyloniërs wisten 4000 jaar geleden al raad met deze vergelijkingen, zonder een tabel te gebruiken. Blast from the past: de Babylonische methode Deze methode maakt gebruik van de symmetrie van de parabool. Van weten we dat de symmetrieas is: (hoe weten we dat ook al weer? Kijk anders nog even terug naar les 7). We hebben ook al gezien dat de nulpunten zijn. De afstand van die nulpunten tot de symmetrieas is gelijk, nl. Dat laatste is geen toeval, dat geldt altijd: de twee nulpunten liggen altijd even ver van de symmetrieas af. Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 9 blz. 1

42 We gaan nu op de manier van de Babyloniërs de nulpunten bepalen van : 1) Bepaal eerst de symmetrieas: we delen 6 door 2: ofwel 2) We weten nu dat allebei de nulpunten even ver van de symmetrieas afliggen; die afstand noemen we a. Het ene nulpunt zal zijn en de ander. Zie je dat die twee getallen samen gelijk zijn aan 6? 3) We weten ook dat het product van die twee getallen gelijk moet zijn aan 8: ( )( ) eerst maar de haakjes wegwerkn: netjes herleiden: die methode kennen we 4) Weer even terug naar. Als we voor a 1 (of -1, dat maakt niet uit) invullen vinden we de twee getallen: Voorbeeld: Dit was een voorbeeld met een kleine tabel, dus het maakte niet veel uit welke methode je nam. Maar als we kijken naar: dan zijn er in totaal 9 mogelijkheden om een product van 288 te krijgen. Met de Babylonische methode gaat het vrij makkelijk: 1) Symmetrieas is 44 : 2 = 22 2) We zoeken naar en 3) ( )( ) 4) De getallen zijn dus: Opgave 9.1 Ontbind in factoren a. c. b. d. Je mag zelf beslissen welke methode je het makkelijkst vindt. Opgave 9.2 Schema bijwerken Werk het grote schema bij met de som-product methode en de Babylonische variant daar op. Bedenk welke van de twee je het makkelijkst vindt. Misschien zie je de antwoorden altijd al vanzelf en heb je geen tabel of rekenpartij nodig. Sta ook even stil bij wat goed ging, wat beter kon, wat je valkuilen zijn. Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 9 blz. 2

43 Vergelijkingen en grafieken Opgave 9.3 Snijpunten bepalen Bereken de coördinaten van de snijpunten van de twee grafieken in de tekening. a) Welke vergelijking moet je opstellen? b) Los deze vergelijking op. c) Bereken vervolgens de y-coördinaten van de snijpunten d) Geef het antwoord. Opgave 9.4 Snijpunten bepalen Bereken de coördinaten van de snijpunten van de twee grafieken in de tekening. Werk op dezelfde manier als in de opgave hiervoor. Problemen oplossen / modelleren Tot nu toe heb je steeds de formules of vergelijkingen gekregen waar je mee moest gaan werken. Helaas is het leven niet altijd even voorgebakken. Soms moet je die formules en vergelijkingen zelf gaan bedenken. Je moet zelf de werkelijkheid in een wiskundig model gieten, zodat je er mee kunt gaan rekenen. Probeer altijd goed op te schrijven of te bedenken: 1) Wat wordt er gevraagd? Begrijp ik de vraag goed? 2) Wat is er gegeven? 3) Wat is het verband tussen het gegeven en het gevraagde? 4) Kan ik een tekening maken die me helpt om alles op een rijtje te zetten? Opgave 9.5 De afmetingen van een fabriekshal (opgave uit De Wageningse methode h/v 2b, 2009) Van een rechthoekige fabriekshal weten we dat de oppervlakte gelijk is aan 600m 2. We weten ook dat de lengte 10m groter is dan de breedte. Bereken de afmetingen van de fabriekshal. (Maak een schetsje en noem de lengte van één van zijdes x; stel daarna een vergelijking op) Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 9 blz. 3

44 Opgave 9.6 Tegelpad om een zwembad (opgave 7.42 uit Getal en Ruimte, vwo 2b, 2004) Om een zwembad van 5 bij 10 meter ligt aan twee kanten een tegelpad met een breedte van x meter (zie tekening). a) Geef de oppervlaktes van de stukken I, II en III b) Verklaar dat de oppervlakte van het tegelpad gelijk is aan De oppervlakte van het tegelpad is 34m 2. c) Welke vergelijking volgt hier uit? Los deze vergelijking op. d) Hoe breed is het tegelpad? Opgave 9.7 Tegelpad om een zwembad De schets van opgave 9.5 kunnen we nog steeds gebruiken. Alleen is nu de lengte van het zwembad 12 meter en de breedte 8 meter. De oppervlakte van het tegelpad is nu 69m 2. Hoe breed is het tegelpad? (als je er niet uitkomt: kijk bij opgave 9.5 voor de stappen) Opgave 9.8 Babylonische rekenvaardigheden Van twee getallen is de som 17 en het product 72. Wat zijn die twee getallen? (Noem de getallen a en b; gebruik nu wat je weet van die twee getallen). a) Wat weet je van? En van a b? b) Als je b zou weten, hoe zou je dan a kunnen uitrekenen? (gebruik de som) c) Vervang nu a in het product door de formule die je bij b) hebt berekend. d) Los de vergelijking die zo ontstaat op om b te berekenen. e) Je kunt nu ook a berekenen Je zult begrijpen dat dit nog een manier is om de som-product methode uit te rekenen. Afronding Slimme jongens, die Babyloniërs Je hebt deze les een tweede manier geleerd om de getallen te vinden die bij de som-product methode horen. Verder zijn we begonnen met het modelleren: d.w.z. het in een wiskundig modelletje vertalen van een beschrijving van een probleem(pje). Denk weer even na over dat modelleren: probeer te bedenken wat werkte: waardoor lukte een opgave (opeens) wel? Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 9 blz. 4

45 Periode : 5 Klas : 2 Sectie Wiskunde College Hageveld Onderwerp : Kwadratische vergelijkingen Lesbrief 10 : Kwadraat afsplitsen Opening De som-product methode hebben we in de laatste twee lessen behandeld. Je kan die nu zelfs op drie manieren uitvoeren (als het goed is): 1) Met een tabel 2) Volgens de Babylonische methode 3) Door a in het product te vervangen door een functie van b (zie opgave 9.8) En misschien zie je de oplossing wel meteen. Het vervelende van de som-product methode is dat deze niet altijd (makkelijk) werkt. Soms kan je geen gehele getallen vinden; soms lukt het wel om breuken te vinden die samen de som en het product kunnen geven. Maar als de oplossingen zijn dan wordt het vaak toch al wat lastiger. Deze les gaan we kijken naar een manier die altijd werkt, maar waarbij het rekenwerk soms wel wat lastig is: het kwadraat-afsplitsen. Van top-formule naar nulpunten In lesbrief 7 hadden we bij de derde schrijfwijze gezien dat onze formule voor de parabool ook geschreven kon worden als ( ) (kijk anders nog maar even na). Daaruit konden we aflezen dat de top lag bij het punt (3,1). Het mooie is dat we met die formule ook de nulpunten kunnen berekenen, en wel met de methode. Kijk maar: ( ) dat is de vergelijking om de nulpunten op te stellen ( ) nee, we werken niet de haakjes weg!! we bepalen de wortel en schrijven twee mogelijkheden op en we vinden de twee nulpunten die we al eerder zagen Opgave 10.1 Controle Kijk eens naar opgave 4.2: daar heb je gewoon snijpunten of nulpunten bepaald opgave 4.2a: ( ) je berekent de nulpunten van de parabool opgave 4.2b: ( ) de snijpunten van parabool Controleer dat dit inderdaad klopt (herleid het linkerlid) Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 10 blz 1

46 Van gewone formule naar top-formule Dat is wel leuk natuurlijk, maar hoe kom je nu van de gewone formule naar de top-formule. We beginnen weer met ons standaard voorbeeld:. 1) De top ligt altijd op de symmetrieas en die konden we vinden door het getal voor de x door 2 te delen; in dit geval dus -3. 2) De formule wordt dus ( ) 3) Als we ( ) herleiden dan wordt dat ; die 9 stond er eerst niet; die moeten we er dus weer van af halen. 4) De formule wordt: ( ) ( ). De stappen voor het kwadraat afsplitsen zijn: 1) Neem de helft van het getal voor de x. 2) Zet dat (met x ervoor) tussen de haakjes en kwadrateer. 3) Zet achter de haakjes min het kwadraat van het getal dat je bij 1) vond 4) Zet dan het getal dat er al stond nog achter 5) Herleid in het voorbeeld hierboven De helft van -6 is -3 ( ) (het kwadraat van -3 is 9) ( ) (maar er stond ook nog +8 achter) ( ) ( ) Opgave 10.2 Controle Als je iets niet gelooft (of niet direct ziet) is het altijd handig even te controleren. Herleid ( ) en kijk wat er gebeurt! Opgave 10.3 Schrijf in de top-formule: a. c. b. d. Los op (na eerst in de top-formule geschreven te hebben): e. g. f. h. Even terugkijken: Kijk nog eens naar opgave g: die is er niet makkelijker op geworden door kwadraat afsplitsen: liever de som-product methode En naar opgave h: die konden we opeens wel met kwadraat-afsplitsen, maar met de som-product methode was die nooit gelukt. Blijf goed kijken en nadenken! Iedere methode heeft zijn voordelen! Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 10 blz 2

47 Vergelijkingen en grafieken Opgave 10.4 Bepaal de coördinaten van de snijpunten A en B. Rond je antwoord af op twee decimalen. En je zal de top-formule moeten gebruiken! Anders kom je er niet uit. Ben je klaar met rekenen? Kijk vooral in de grafiek of je antwoorden ongeveer kloppen. Helemaal zeker zal je het niet weten maar als je er heel erg naast zit moet je dat kunnen zien. Problemen oplossen Opgave 10.5 De tegelbreedte van een terras (opgave 19.36, wit, uit De Wageningse methode h/v 2b, 2009) We bekijken drie terrassen, betegeld met vierkante tegels. In de plaatjes bij deze opgave is aangegeven hoeveel tegels er langs de randen liggen. Terras a is betegeld met 260 tegels, terras b met 405 tegels en terras c met 168 tegels. Stel bij elk van de terrassen een vergelijking op voor x en los die vergelijking op. a. b. c. Opgave 10.6 De border van het grasveld. Rond een grasveld van 24 bij 16 meter ligt een border van x meter breed. De border heeft een oppervlakte van 129m 2. Bereken de breedte van de border. Maak een schets zodat je een vergelijking kunt opstellen. Voor het oplossen van de vergelijking zul je een kwadraat moeten afsplitsen. Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 10 blz 3

48 Opgave 10.7 Voor een dubbeltje op de eerste rang (opgave 19.36, oker, uit De Wageningse methode h/v 2b, 2009) Bij een voorstelling in de schouwburg Junushoff in Wageningen kost een kaartje 25,-. De schouwburg geeft bij die voorstelling korting aan groepen van meer dan 10 personen. Dat gaat als volgt: Een groep van 11 personen krijgt op elk van de 11 kaartjes 0,50 korting Een groep van 12 personen krijgt op elk van die 12 kaartjes 1,- korting Een groep van 13 personen krijgt op elk van de 13 kaartjes 1,50 korting Zo gaat het door tot een groep van 30 personen. Bij een groep van 30 of meer personen is de korting op elk kaartje 10,- Een groep van 17 personen bezoekt deze voorstelling. a) Bereken de totale entreeprijs van de groep. Een groep van x personen (met ) bezoekt de voorstelling. b) Laat zien dat de totale entreeprijs van de groep gelijk is aan. c) Bereken x als je weet dat de groep in totaal 432,- heeft betaald. Afronding Opgave 10.8 Het schema compleet maken Jullie hebben gehoord over kwadratische vergelijking wat je (voorlopig) moet horen. In klas 3 krijg je er nog een oplossingsmethode bij. Die kan je vooral gebruiken als de a in niet gelijk is aan 1. Vul je schema nog eens aan. Kijk het goed door. Welke methodes gaan je al goed af? Kun je de soorten vergelijkingen al goed uit elkaar houden? Ben je precies bij het herleiden? Waarom gaat het nog wel eens mis bij de opgaves? Deze les hebben jullie geleerd hoe je (door eerst een kwadraat af te splitsen) kwadratische vergelijkingen weer kunt schrijven in de top-formule. Die is handig om de minder prettige combinaties van getallen te vinden. In de laatste twee lessen gaan we alles door elkaar gooien. Houd je schema paraat. Tijdens les 11 mag je nog naar hartenlust opzoeken, maar tijdens les 12 is het eigenlijk de bedoeling dat je het schema al goed kent. Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 10 blz 4

49 Periode : 5 Klas : 2 Sectie Wiskunde College Hageveld Onderwerp : Kwadratische vergelijkingen Lesbrief 11 : En nu allemaal Opening In de afgelopen 10 lessen hebben jullie veel kunnen/moeten leren: - het verband tussen een vergelijking en een tekening met daarin twee grafieken - hoe je de kwadratische vergelijkingen kunt splitsen in een aantal groepen - welke oplossingsmethode bij welke groep hoort - de oplossingsmethode - de oplossingsmethode ontbinden in factoren o verschil van twee kwadraten o buiten haakjes halen o som-product methode (met de Babylonische variant) - de oplossingsmethode kwadraat afsplitsen - jullie hebben geoefend met probleem oplossen en met praktijkopgaves De laatste twee lessen zijn alleen maar bedoeld om alles nog eens een keer te kunnen oefenen. Maar dan niet netjes per onderwerp, maar alles door elkaar. In les 11 is het nog aan te raden om met het schema in de hand te werken. Probeer het type vergelijking te herkennen, kijk welke oplossingsmethode erbij hoort en pas die methode toe. In les 12 is het verstandig om het schema alleen nog maar in noodgevallen te gebruiken. Vergelijkingen oplossen Opgave 11.1 Los op: kijk per vergelijking goed tot welke groep deze behoort. Wees bedacht op verstopte kwadratische vergelijkingen. Geef een exact antwoord. a. d. b. e. c. ( ) f. Opgave 11.2 Los op: kijk per vergelijking goed tot welke groep deze behoort. Wees bedacht op verstopte kwadratische vergelijkingen. Geef een exact antwoord. a. d. ( ) ( ) b. e. ( ) ( ) c. ( ) f. ( )( ) ( )( ) Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 11 blz 1

50 Vergelijkingen en grafieken Opgave 11.3 Bereken de coördinaten van de snijpunten A, B, C en D van de grafieken in de tekening hiernaast. Controleer uiteraard in de tekening of je antwoorden (ongeveer) kloppen! Opgave 11.4 Teken de grafiek van de parabool. Doe dat zonder een tabel te maken maar door de formule om te schrijven naar de drie andere vormen. Hieruit zou je zoveel informatie moeten kunnen halen dat je de grafiek goed genoeg kunt tekenen. Bij de volgende opgave heb je de Stelling van Pythagoras nodig. Als opfrisser (of als kennismaking): deze luidt als volgt: Gegeven is een rechthoekige driehoek ABC. De hoek bij C = 90. We noemen dan BC en AC de rechthoekszijden en AB de schuine zijde. Er geldt dan ofwel de formule die iedereen kent: (kijk naar de tekening om te zien wat a, b en c zijn. Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 11 blz 2

51 Problemen oplossen Opgave 11.5 Onbekend Pythagorisch drietal In een rechthoekige driehoek ABC (zie tekening) geldt het volgende: - de schuine zijde AB is 8 cm langer dan de zijde AC - de schuine zijde AB is 1 cm langer dan de zijde BC Stel AB = x cm. a) Hoe lang (uitgedrukt in x) zijn de zijden AC en BC? b) Gebruik de Stelling van Pythagoras om een vergelijking op te stellen c) Los de vergelijking op en geef aan hoe lang de zijden van de driehoek zijn. Opgave 11.6 Kamers in Heemstede De kamer van Peter is vierkant. Aan één van de zijden van de kamer loopt een balkon. Het balkon is 3m breed. De oppervlakte van het balkon en kamer is samen 40m 2. Wat zijn de afmetingen van de kamer van Peter? Maak een schets van de situatie en kies dan een verstandige x. Opgave 11.7 Kunstzinnige tuinen (Extra opgave 19.5, uit De Wageningse methode h/v 2b, 2009) De bekende tuinarchitect Bob Roelofs heeft een parktuin ontworpen. Een plattegrond van de tuin staat hiernaast. De parktuin is door paden verdeeld in negen vierkante stukken, elk van 16 bij 16 meter. De paden zijn overal even breed en hebben een totale oppervlakte van 400 m 2. Bereken de breedte van de paden. Stel eerst een vergelijking op. In de praktijk Opgave 11.8 Maximale opbrengst Een bedrijf berekent de maandelijkse opbrengst R in euro s met de formule:. Hierin is q het verkochte aantal artikelen per maand. a) Bereken bij hoeveel verkochte artikelen de opbrengst gelijk is aan 0. b) Op basis van je kennis van de vorm van parabolen kan je (met heel weinig rekenwerk) bepalen bij welk aantal verkochte artikelen de opbrengst zo groot mogelijk is. Als je er niet meteen uitkomt, kijk dan naar het rijtje vragen dat je jezelf moest stellen over parabolen (lesbrief 7, blz 2). c) Wat is de maximale opbrengst? Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 11 blz 3

52 Afronding Deze les hebben we je het niet makkelijk gemaakt. Kijk nog even terug naar wat er goed en minder goed ging. Werk eventueel je schema weer even bij. Opgave 11.9 Definitieve schema Maak nu je definitieve schema. Neem de belangrijkste aantekeningen en opmerkingen over van je kladschema. Probeer ook meteen het schema goed in je geheugen te prenten. Bij de volgende les is het de bedoeling dat je zonder schema aan de gang gaat. Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 11 blz 4

53 Periode : 5 Klas : 2 Sectie Wiskunde College Hageveld Onderwerp : Kwadratische vergelijkingen Lesbrief 12 : We zijn er bijna Opening De laatste les over het onderwerp kwadratische vergelijkingen ligt voor je. Heb je het schema bestudeerd? Probeer bij de volgende opgaves (zeker bij 12.1 en 12.2) goed na te denken over het soort vergelijking waar je mee te maken hebt, welke oplossingsmethode daar bij hoort en wat jouw valkuilen daar bij waren. Pas dan ga je aan de slag. Bezint eer ge begint is een oud spreekwoord dat ook bij Wiskunde heel nuttig is. De opgaves in deze les zijn niet zo lastig als die in de vorige. Ze zijn grotendeels geleend uit Getal en Ruimte. Vergelijkingen oplossen Denk eraan: eerst even goed kijken, nadenken en dan pas gaan rekenen. Let ook op wat er gevraagd wordt! Denk aan het verschil tussen herleid en ontbind in factoren enerzijds en los op anderzijds. Opgave 12.1 Ontbind (zo mogelijk) in zo veel mogelijk factoren: a. d. b. e. c. f. Opgave 12.2 Los op: a. ( ) e. ( ) ( ) b. ( ) f. c. ( ) g. ( ) ( ) d. ( )( ) h. Opgave 12.3 Los op: a. d. ( ) b. ( ) e. ( ) c. ( ) f. ( ) Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 12 blz 1

54 Vergelijkingen en grafieken Opgave 12.4 Bereken de coördinaten van de snijpunten A en B van de grafieken in de tekening hiernaast. Controleer uiteraard in de tekening of je antwoorden (ongeveer) kloppen! Opgave 12.5 Bereken de coördinaten van de snijpunten A en B van de grafieken in de tekening hiernaast. Controleer uiteraard in de tekening of je antwoorden (ongeveer) kloppen! Problemen oplossen Opgave 12.6 Borderline Rondom een grasveld van 12 bij 4 meter is een overal even brede border aangelegd. De oppervlakte van deze border is 80m 2. We willen de breedte van de border gaan uitrekenen. a) Maak een schets en kies een goede x (geef aan in de schets). b) Stel een vergelijking op waarmee de breedte van de border berekend kan worden. c) Los de vergelijking op. d) Hoe breed is de border? Opgave 12.7 Getallen raden Jacobien heeft een raadsel: Het product van twee opeenvolgende getallen is tien meer dan vier maal het kleinste getal. a) Stel een vergelijking op bij dit raadsel. b) Welke twee getallen kan Jacobien bedoelen? Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 12 blz 2

55 Opgave 12.8 Terrasafzetting Boudewijn heeft achter het huis een terras aangelegd met een oppervlakte van 130 m 2. Langs drie kanten (de twee korte en één lange zijde) van het terras komt een hek met een totale lengte van 36 meter. We willen de afmetingen van het terras berekenen. a) Maak een schets en kies een goede x. b) Stel een vergelijking op waarmee we x kunnen gaan berekenen. c) Los de vergelijking op. d) Bereken de afmetingen van het terras Opgave 12.9 Parallellogram in een rechthoek. Op de zijden van de rechthoek ABCD met AB = 10 cm en BC = 6 cm liggen de punten P, Q, R en S zo, dat. Zie de figuur. De oppervlakte van het parallellogram PQRS is 36 cm 2. Bereken x door een vergelijking op te lossen. Afronding Dit was het! Verdere oefening kan je natuurlijk nog in je boek vinden, bijv bij de Gemengde Opgaves of bij de D-toets. Succes!! Lesbrief Kwadratische Vergelijkingen no 12 blz 3

56 Antwoorden lesbrief 1 1. a) g) 7 b) h) c) i) d) j) e) kan niet k) f) l) a) g) b) h) c) i) d) j) 24 e) k) f) l) 3. a) e) b) f) c) g) d) h) 4. Bij 1.3g is de som van de twee getallen: +7 7 = 0 en het product -49. Het antwoord wordt dus. Bij 1.3h is de som van 5 en 5 = 10 en het product = 25. De merkwaardige producten volgen gewoon de som-product regel. 5. Als je een formule deelt door een getal, dan zal je bij het invullen van dezelfde een andere waarde voor als antwoord krijgen; je hebt het recept dan veranderd (je kookt als het ware voor minder mensen). Bij (het oplossen van) een vergelijking gaat het om het evenwicht tussen het linkeren rechterlid. Zolang je links en rechts maar hetzelfde doet, blijft die balans in evenwicht. 6. a) De y-waardes zijn dus gelijk als je de oplossing van de vergelijking invult. b) Het snijpunt dat je vindt is (-1,-8) c) De x-coördinaat van het snijpunt is de oplossing van de vergelijking. De y-coördinaat van het snijpunt is de y-waarde die bij die oplossing hoort; zowel voor het linker- als voor het rechterlid van de vergelijking.

57 7. a) c) b) d) 8. a) b) 9. a) c) b) d)

58 Antwoorden lesbrief 2 1. a) In het deel waarvoor geldt. b) c) 2. a) symmetrie-as: b) top (0,0) c) dalparabool d) nulpunt: 3. a) de snijpunten zijn (-2, 4) en (2,4) b) er zijn twee oplossingen; bij lineaire vergelijkingen was er altijd maar één oplossing c) de grafiek verschuift naar beneden; symmetrie-as verandert niet; top wordt (0, -4) d) de snijpunten met de x-as zijn (-2, 0) en (2,0) e) ; is gelijk aan; door links en rechts er 4 bij op te tellen kom je van de eerste naar de tweede vergelijking f) als dan is dus ; dit klopt met de x-coördinaten die we bij opgave a) en e) hebben gevonden. 4. a) nog steeds b) top (0,-2) c) twee nulpunten; de vergelijking is d) één nulpunt, namelijk (0,0); de twee nulpunten die er waren vallen nu samen e) ; heeft maar één oplossing f) er zijn geen nulpunten; A en B zijn niet gedefinieerd g) ofwel ; heeft geen oplossing h) de wortel van een negatief getal bestaat niet 5. Belangrijk is dat je je eigen conclusies trekt. Als je twijfelt: vraag even aan je docent. 6. a) de grafiek schuift één positie naar rechts op, maar houdt dezelfde vorm b) c) top (1, -4) d) nulpunten (-1, 0) en (3,0) e) ze liggen even ver (namelijk 2) van de symmetrieas af. 7. a) die zijn 1 naar rechts opgeschoven; van (-2, 0) naar (-1, 0) en van (2,0) naar (3,0) b) ( ) wordt wordt c) ( ) dus ofwel

59 Antwoorden lesbrief 3 1. a) e) b) f) c) g) d) h) 2. a) e) b) f) c) heeft geen oplossing g) d) h) 3. a) d) b) e) c) f) 4. De pylonen staan ongeveer 894m uit elkaar. 5. a) De Elfstedencommissie houdt rekening met een belasting van ongeveer 1125kg b) Het ijs moet dan ongeveer 10,61 cm dik zijn. 6. a) De formule voor de oppervlakte is b) Hoe groter de oppervlakte van de doorsnee van de pijp, hoe meer water er door heen kan. Er bestaat een kwadratisch verband tussen de straal van de pijp en de oppervlakte van de doorsnee, dus ook tussen de straal van de pijp en de hoeveelheid water. c) je kiest een assenstelsel met alleen positieve waarden omdat een negatieve straal en een negatieve hoeveelheid water niet kunnen. d) aflezen bij r=5 geeft W=4.5 (punt A) e) aflezen bij W=8 geeft (punt B) bijbehorende vergelijking is 8 f) In 5 minuten stroomt 864 liter water door de pijp. g)

60 Antwoorden lesbrief a) e) b) f) c) g) d) h) a) het materiaal is x bij x cm breed; daar gaat voor de opstaande randen 2 maal 9 cm af; blijft over voor het grondvlak b) hoogte is 9 cm c) ( ) d) zijde AB = 22cm 5. a) ; Federer raakt de bal op 70cm hoogte b) Na ongeveer 8,8 m zal de bal de grond weer raken c) De bal is na ongeveer 1,17m en ongeveer 6,83m op 1.50 meter hoogte. 6. a) b) bij droog weer 32m (punt A), bij nat weer 48m (punt B) c) het verschil is 14,3 km/uur (punten E en G) d) je moet 24 km/uur minder snel rijden je remweg bij nat weer en een snelheid van 130km/uur is 126,8m

61 Antwoorden lesbrief 5 1. a) ( )( ) e) ( )( )( ) b) ( )( ) f) ( )( ) c) ( )( ) g) ( )( )( )( )( ) d) ( )( ) h) ( )( ) 2. a) d) b) e) c) f) 3. ontbinding oplossing a) ( )( ) b) ( )( ) c) d) ( )( ) e) ( )( ) f) ( )( ) g) ( )( ) h) ( )( ) 4. a) heeft als oplossingen b) heeft als oplossingen c) heeft als oplossingen d) heeft als oplossingen 5. a) c) b) d) 6. a) de steen raakt na 4 seconde de grond b) de vergelijking is c) de Domtoren is ongeveer 112m hoog d) Na 13 seconde raakt de steen de grond 7) de vergelijking die je moet oplossen is ( )( ) De snijpunten zijn (-3,9) en (3,-3); vergeet de y-waardes niet uit te rekenen!

62 Antwoorden lesbrief 6 1. a) ( ) d) ( ) b) ( ) e) ( ) c) ( ) f) ( ) 2. a) ( ) d) ( ) b) ( ) e) ( ) c) ( ) f) ( ) 3. a) ( ) d) ( )( ) b) ( ) e) ( )( ) c) ( )( )( ) f) ( )( ) 4. a) d) b) e) c) f) 5. a) De weg is 12 m breed b) Het spandoek moet ongeveer 9,68m lang zijn 6. a) b) Na 10m (zie punt A); moet 0 zijn om weer hoogte 0 te krijgen c) Zie de punten B en C; de bal heeft dan ongeveer 1,84m of 8,16m afgelegd d) ( ) e) Hoogste punt is na 5m (punt D); de nulpunten zijn 0 en 10m; een parabool is symmetrisch, dus de top moet midden tussen die twee nulpunten inliggen. 7. a) d) b) e) c) f)

63 Antwoorden lesbrief 7 1. : de vergelijking wordt een lineaire vergelijking, die we met de balansmethode oplossen : de vergelijking krijgt de vorm ; we kunnen deze oplossen door wortel te trekken of door te ontbinden in factoren met het verschil van 2 kwadraten : deze kunnen we oplossen door factoren buiten haakjes te halen; zal in ieder geval één van die factoren zijn 2. kunnen we herleiden tot ; we hebben dan links alle termen door a gedeeld en rechts is natuurlijk gewoon gelijk aan Uit de vorm kan je het volgende aflezen: Het is een dal- of bergparabool De symmetrieas ( ) Het snijpunt met de y-as (dat is (0,c) ) De top ligt op de symmetrieas, dus x-coördinaat is 4. ( )( ) Uit de vorm ( )( ) kan je het volgende aflezen: Het is een dal- of bergparabool De symmetrieas ( ( ) ); en dus ook de x-coördinaat van de top De nulpunten 5. ( ) Uit de vorm ( ) kan je het volgende aflezen: Het is een dal- of bergparabool De symmetrieas ( De top (p, q) ); en dus ook de x-coördinaat van de top 6. ( ) Uit de vorm ( ) kan je het volgende aflezen: Het is een dal- of bergparabool De symmetrieas ( ); en dus ook de x-coördinaat van de top Het snijpunt met de y-as (dat is (0, q) ) en het punt (p, q)

64 Antwoorden lesbrief 8 1. a) c) b) d) e) De getallen De som Het product Zijn allebei > 0 > 0 > 0 Zijn allebei < 0 < 0 > 0 Eén getal > 0, andere getal <0 Waarde achter de + van het getal > 0 is groter > 0 < 0 dan waarde achter de van het getal < 0 Eén getal > 0, andere getal <0 Waarde achter de + van het getal > 0 is kleiner dan waarde achter de van het getal < 0 < 0 < 0 2. a) ( )( ) e) ( )( ) dus b) ( )( ) f) ( )( ) dus c) ( )( ) d) ( )( ) 3. a) ( )( ) e) ( )( ) dus b) ( )( ) f) ( )( ) dus c) ( )( ) d) ( )( ) 4. a) ( )( ) e) ( )( ) dus b) ( )( ) f) ( )( ) dus c) ( )( ) g) ( )( ) dus d) ( )( ) h) ( )( ) dus 5. als som > 0 en product > 0: beide getallen zijn > 0 als som < 0 en product > 0: beide getallen zijn < 0 6. a) ( )( ) e) ( )( ) dus b) ( )( ) f) ( )( ) dus c) ( )( ) g) ( )( ) dus d) ( )( ) h) ( )( ) dus 7. a) ( )( ) e) ( )( ) dus b) ( )( ) f) ( )( ) dus c) ( )( ) g) ( )( ) dus d) ( )( ) h) ( )( ) dus

65 Antwoorden lesbrief 9 1. a) c) b) d) 2. Mag je zelf invullen. 3. a) b) c) d) de snijpunten zijn (0, 0) en (3, 9) 4. de snijpunten zijn (2, 4) en (7, 19) 5. de afmetingen zijn 20m bij 30m 6. a) b) c) met als oplossingen d) het tegelpad is 2m breed 7. het tegelpad is 3m breed 8. a) b) c) ( ) d) e). De getallen zijn dus 8 en 9.

66 Antwoorden lesbrief ( ) ( ) ( ) 2. ( ) 3. a) ( ) e) ( ) met als oplossing b) ( ) f) ( ) met als oplossing 4. c) ( ) g) ( ) met als oplossing d) ( ) h) ( ) met als oplossing 5. a) b) c) 6. De vergelijking is Wordt En dan ( ) De border is 1,5m breed 7. a) De groep van 17 mensen betaalt 365,50 b) De mensen betalen ieder 25,- entree, dus totaal bedrag. Korting: bij 1 persoon meer dan 10: 0,50 per persoon bij 2 personen meer dan 10: 2 x 0,50 per persoon bij personen wordt korting ( ) per persoon en voor de hele groep: ( ) Groep moet betalen ( ) c) Vergelijking: alles met -2 vermenigvuldigen geeft: ( ) Voor een groep van meer dan 30 personen geldt de kortingregeling niet meer. Dus de groep is 24 personen groot.

67 Antwoorden lesbrief a ) d) b) e) c ) f) 2. a) d) geen oplossing b) e) c) f) 3. De punten zijn A( ) ( ) ( ) ( ) 4. De tekening: A en B haal je uit de nulpunten formule; C uit de top-formule; D en E uit de laatste schrijfwijze 5. a) b) Vergelijking: ( ) ( ) c) Oplossing van de vergelijking: is geen goede oplossing want AC zou dan -3cm zijn. Ofwel: 6. Oplossingen. De kamer is 5x5m. 7. Vergelijking: Oplossingen:. De paden zijn 1m breed. 8. a). De opbrengst is 0 als er 2400 artikelen worden verkocht. b) Top ligt midden tussen de nulpunten; dus opbrengst is maximaal bij 1200 verkochte artikelen c) De maximale opbrengst is

68 Antwoorden lesbrief a) ( )( ) d) ( ) b) ( ) e) ( )( ) c) ( )( ) f) ( )( ) 2. a) e) b) f) c) g) d) h) 3. a) d) b) e) c) f) 4. ( ) ( ) 5. ( ) ( ) 6. a) b) vergelijking: c) d) De border is 2 m breed. 7. a) ( ) b) De getallen kunnen zijn: -2 en -1 of 5 en 6 8. a) b) ( ) c) d) Terras is 26 bij 5 m. ( ) ( ) ( ) 9. Vergelijking: ( ) Oplossing:, dus