Parate kennis wiskunde

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Parate kennis wiskunde"

Transcriptie

1 Prte kennis wiskunde (bij nvng vn het vierde middelbr) Sven Mettepenningen Dit document is bedoeld ls smenvtting vn wt ls prte kennis wordt ngenomen bij nvng vn het tweede jr vn de tweede grd ASO voor richtingen met een mjor wiskunde.

2 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Nottie Voorbeeld Benming Som = 8 3 en 5 zijn termen, 8 is de som Verschil 9 5 = 4 9 en 5 zijn termen, 4 is het verschil Product. of.7 = 14 en 7 zijn fctoren, 14 is het product Deling : of Kwdrtering... of ,5 = 7 is het deeltl, is de deler, 3,5 is het quotiënt. 4 = 16 Mchtsverheffing... n 3 5 = 43 4 is het grondtl, is de exponent, 16 is het kwdrt. 3 is het grondtl, 5 is de exponent, 43 is de mcht. Worteltrekking 81 = 9 81 is het grondtl, 9 de vierkntswortel b) Begrippen uit de meetkunde Meetkundige entiteiten Begrip Grfisch Woorden & symbolen Punt Het punt A Lijnstuk Het lijnstuk [ AB ] Hlfrechte De hlfrechte [AB Rechte De rechte AB of rechte r Hoek De hoek β of B of ABC Ligging Grfisch Woorden & symbolen A ligt op r, in symbolen: A r [ AB ] is een deel vn r, in symbolen: [ ] AB r en b zijn evenwijdig, in symbolen: b of // b stt loodrecht op b, in symbolen b Prte kennis wiskunde bij nvng vierde middelbr Vkgroep wiskunde Óscr Romerecollege

3 c) Instructietl Schetsen Binnen wiskunde betekent schetsen iets in grote lijnen tekenen om een idee te krijgen vn een gegeven situtie. Je mkt gebruik vn de gegevens, een definitie, eigenschppen, Een schets hoeft heleml niet nuwkeurig te zijn. Het geeft je enkel een eerste indruk. Om te schetsen volstt een potlood. Je hebt geen lt, psser of geodriehoek nodig. Tekenen Binnen wiskunde betekent tekenen een nuwkeurige voorstelling mken vn een situtie. De nuwkeurigheid is fhnkelijk vn het meetinstrument. Zo teken je een lijnstuk op één millimeter nuwkeurig en teken je een hoek op één grd nuwkeurig. Om te tekenen gebruik je potlood en geodriehoek, en om cirkels te tekenen een psser. Construeren Binnen wiskunde betekent construeren in tekening brengen, met psser en linil. Als de constructie goed is uitgevoerd zou dit moeten leiden tot een nuwkeurige tekening. Je mkt gebruik vn potlood, psser en linil. Bij constructies wordt er zo weinig mogelijk (liefst niet op het gegeven n) gemeten. Definiëren Het duidelijk omschrijven vn een nieuw begrip met behulp vn reeds gekende begrippen. Dit kn zowel in woorden ls in symbolen. Bewijzen Argumenteren wrom een beplde vststelling wr is. Bij het opstellen vn een bewijs kun je steunen op lle eerder geziene begrippen, definities, eigenschppen, stellingen, d) Symbolen en fkortingen Symbool Betekenis Symbool Betekenis = Is gelijk n Is groter dn of gelijk n Is niet gelijk n... De bsolute wrde vn Is bij bendering 1... Het omgekeerde vn < Is kleiner dn... De hoek > Is groter dn Is gelijkvormig met Is kleiner dn of gelijk n Is congruent met e) Elementire verzmelingenleer Gekende verzmelingen N = { 0,1,,3,... }, dit noemen we de ntuurlijke getllen. Z = { 0, 1,1,,,... }, dit noemen we de gehele getllen. { z n z, n } Q = Z N, dit noemen we de rtionle getllen (ook wel breuken genoemd). 0 Prte kennis wiskunde bij nvng vierde middelbr Vkgroep wiskunde Óscr Romerecollege 3

4 R, dit noemen we de reële getllen (bvb.: 0,1,,, 3,... 5 π ). Een onderindex 0 bij een verzmeling wil zeggen dt we het getl 0 weglten uit de verzmeling. Een bovenindex + of wil zeggen dt we enkel de positieve respectievelijk negtieve getllen bekijken. Kwntoren Deze kwntor betekent voor lle. Hij duidt n dt een eigenschp geldt voor lle elementen uit een beplde verzmeling. Deze kwntor betekent er bestt of er bestn. Hij duidt n dt er uit een beplde verzmeling ltijd een element kn gevonden worden zodt een beplde eigenschp geldt. Voorbeeld: Het feit dt elk rtionl getl kn geschreven worden ls een breuk vn gehele getllen kn in symbolen geschreven worden ls q Q: z1, z Z : q = z1 z. Logische opertoren symbool betekenis gebruik en Eist dt twee uitsprken smen gelden of Eist dt één vn twee uitsprken geldt (of lle twee) niet Eist dt een uitsprk niet geldt wruit volgt Als uit een uitsprk een ndere volgt (voldoende voorwrde) ls Als uit een uitsprk een ndere volgt (nodige voorwrde) ls en slechts ls Als twee uitsprken elkr impliceren Enkele voorbeelden:, b R : = b = b b c, b, c R : = 0 ( = 0 b = 0) ( ( c = 0) ) m, n N : m > n m > n f) Letters uit het Griekse lfbet Symbool Lees Symbool Lees Symbool Lees α lf γ gmm ε epsilon β bet δ delt π pi g) Lengte-, oppervlkte- en volumemten Lengtemten Nm kilometer hectometer decmeter meter decimeter centimeter millimeter Afkorting km hm dm m dm cm mm Betekenis 1000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m Oppervlktemten Afkorting km² hm² dm² m² dm² cm² mm² Betekenis m² m² 100 m² 1 m² 0,01 m² 0,0001 m² 0, m² Alterntief h (hectre) (re) c (centire) Prte kennis wiskunde bij nvng vierde middelbr Vkgroep wiskunde Óscr Romerecollege 4

5 Volumemten Afkorting dm³ m³ dm³ cm³ Betekenis 1000 m³ 1 m³ 0,001 m³ 0, m³ Alterntief l (liter). GETALLENLEER ) Tekenregels Som en verschil ( ) ( ) ( ) ( ) + + b = + b + b = b + b = b b = + b Product en quotiënt + ( + ).( + b) = b. = + b b. + = b. = + b b + +. = b. = b b ( ).( b) = b. = b b ( ) ( b) ( ) ( b) b) Mchtsverheffing Definitie n fctoren n R, n N : = R : = 1 (merk op dt niet gedefinieerd is). n 1 R, n N : = n 0 Rekenregels R, m, n Z :. 0 + R, m, n Z : m 0 n, m, n : 0 R Z m. ( ), b, n : m n m n = 0 m n = 0 R Z ( b), b R, n Z : n mn = b R0 c) Vierkntswortels en derdemchtswortels,, n Z : n. =. b n = b b b n n n n n b = Definitie Een vierkntswortel vn een reëel getl is een reëel getl wrvn het kwdrt gelijk is n het gegeven getl. Enkel positieve getllen hebben dus vierkntswortels. De nottie wordt gebruikt voor de positieve vierkntswortel. Toegepst geeft dit dt 3 een vierkntswortel is vn 9, mr dt 9 = 3 en 9 3. Als er in een context sprke is vn de vierkntswortel dn gn we er vn uit dt de positieve wordt bedoeld! n Prte kennis wiskunde bij nvng vierde middelbr Vkgroep wiskunde Óscr Romerecollege 5

6 Een derdemchtswortel vn een reëel getl is een reëel getl wrvn de derdemcht gelijk is n het gegeven getl. Elk reëel getl r heeft een unieke derdemchtswortel, die we noteren met 3 r. Rekenregels + R : ( ) = R +, b R + 0 : b + =, b R : b. =. b b + R : = R : = d) Volgorde vn bewerkingen 1) Berekeningen tussen de hkjes moeten ltijd eerst worden uitgevoerd. ) Dn mchtsverheffing en de vierkntsworteltrekking uitvoeren. 3) Dn vermenigvuldiging en de deling uitvoeren in de volgorde wrin ze voorkomen. 4) Tot slot optellingen en ftrekkingen uitvoeren in de volgorde wrin ze voorkomen : = 90: = 90: = = 43 Voorbeeld: ( ) e) Eigenschppen vn bewerkingen Eigenschp In symbolen 1. Commuttiviteit vn de optelling, b R : + b = b+. Commuttiviteit vn de vermenigvuldiging, b R : b. = b. 3. Associtiviteit vn de optelling, b, c R :( + b) + c = + ( b + c) 4. Associtiviteit vn de vermenigvuldiging, b, c R :( b. ). c =. ( bc. ) 5. Elk getl heeft een (uniek) tegengestelde R ( ) R ( ) : : + = 0 6. Elk getl verschillend vn nul heeft een (uniek) omgekeerde : R R :. = 1 7. Het getl 0 is het neutrl element vn de optelling R : + 0 = 8. Het getl 1 is het neutrl elemnt vn de vermenigvuldiging R :.1 = 9. Distributiviteit vn de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling b c R ( ) De eigenschppen 1, 3, 5, 7 impliceren dt R,+ een commuttieve groep is. De eigenschppen, 4, 6, 8 impliceren dt R,. 0 een commuttieve groep is. Alle eigenschppen smen impliceren dt R, +,. een veld is. f) Evenredigheden Twee grootheden zijn recht evenredig ls hun verhouding constnt is. Twee grootheden zijn omgekeerd evenredig ls hun product constnt is. g) Merkwrdige producten / ontbinden in fctoren A+ B = A + AB + B ( ) A B = A AB + B ( ) ( A+ B)( A B) = A B,, :. b + c = b. + c. Prte kennis wiskunde bij nvng vierde middelbr Vkgroep wiskunde Óscr Romerecollege 6

7 h) Vergelijkingen vn de eerste grd Een vergelijking mg je ls volgt mnipuleren: Bij beide leden eenzelfde getl optellen (of ervn ftrekken). Beide leden vermenigvuldigen met (of delen door) een vn nul verschillend getl. b Algemeen ken je ook het nulpunt vn een eerstegrdsfunctie: x + b = 0 x = (met 0). i) Ongelijkheden vn de eerste grd Een ongelijkheid mg je ls volgt mnipuleren: Bij beide leden eenzelfde getl optellen (of ervn ftrekken). Beide leden vermenigvuldigen met (of delen door) een strikt positief getl. Beide leden vermenigvuldigen met (of delen door) een strikt negtief getl, ermee rekening houdend dt dn het teken omdrit. j) Stelsels vergelijkingen vn de eerste grd De substitutiemethode Hierbij bereken je uit één vergelijking een onbekende en substitueert wt je vindt in de ndere vergelijking(en). Voorbeeld: ( y ) x + 3y = y = 4 11y = y =. x 4y = 9 x = 4y 9 x = 4y 9 x = 1 De combintiemethode Hierbij mk je een lineire combintie vn twee vergelijkingen om zo een onbekende te elimineren. Voorbeeld: x + 3y = y = y =. x 4y = x = 11 x = 1 3. REELE FUNCTIES ) Eerstegrdsfuncties Definitie Eerstegrdsfuncties zijn functies vn de vorm f ( x) = x + b, met R 0 en b R. De grfiek ervn is een rechte. Hierbij noemen we de richtingscoëfficiënt ( rico ) en b de intercept. De richtingscoëfficiënt beplt hoe steil de rechte stijgt ( > 0) of dlt ( < 0). Op de grfiek is dit de verticle toenme (of fnme) bij een horizontle toenme vn één eenheid. De intercept b geeft het snijpunt met de y-s, nmelijk ( 0,b ). Prte kennis wiskunde bij nvng vierde middelbr Vkgroep wiskunde Óscr Romerecollege 7

8 Bespreking Het nulpunt (snijpunt met de x-s) vn een eerstegrdsfunctie f ( x) = x + b vind je door de b bijhorende vergelijking x + b = 0 op te lossen. Het nulpunt is dus,0. Het tekenverloop is een duidelijke tbel wrin je ngeeft wt het teken vn de functiewrden is. Het verloop of stijgen en dlen vn een functie is een duidelijke tbel wrin je ngeeft wr de functie stijgend en dlend is. Voor een eerstegrdsfunctie is dt uiterrd zeer eenvoudig. f x = x. Voorbeeld: We bespreken de eerstegrdsfunctie ( ) 1 Snijpunt met de x-s (nulpunt): ( 1,0 ). Snijpunt met de y-s: ( 0, 1). Tekenverloop: x 1/ + f ( x ) Stijgen en dlen: x + f ( x ) ր Stelsels grfisch oplossen Een stelsel vn twee lineire vergelijkingen kn je ook grfisch oplossen (met of zonder rekenmchine). 4 y x x 3y 4 = + + = 3 3 Voorbeeld:. x 4y = y = x x = 1 Op de grfiek lees je f:. y = Prte kennis wiskunde bij nvng vierde middelbr Vkgroep wiskunde Óscr Romerecollege 8

9 4. MEETKUNDE ) Soorten hoeken Hoek Figuur Beschrijving Rechte hoek Een rechte hoek is een hoek vn 90 Gestrekte hoek Een gestrekte hoek is een hoek vn 180 Nulhoek Een nulhoek is een hoek vn 0 Scherpe hoek Een scherpe hoek is een hoek tussen 0 en 90 Stompe hoek Een stompe hoek is een hoek tussen 90 en 180 b) Verwnte hoeken Verwchtschp Figuur Beschrijving Complementire hoeken Complementire hoeken zijn hoeken wrvn de som 90 is Supplementire hoeken Supplementire hoeken zijn hoeken wrvn de som 180 is Overstnde hoeken Overstnde hoeken zijn hoeken met hetzelfde hoekpunt wrvn de benen in elkrs verlngde liggen Anliggende hoeken Anliggende hoeken zijn hoeken met hetzelfde hoekpunt wrvn twee benen smenvllen, en die n weerszijden vn het gemeenschppelijke been liggen Nevenhoeken Nevenhoeken zijn hoeken die nliggend en supplementir zijn Prte kennis wiskunde bij nvng vierde middelbr Vkgroep wiskunde Óscr Romerecollege 9

10 Specile rechten (in een driehoek) Soort rechte Figuur Beschrijving middelloodlijn De middelloodlijn vn een lijnstuk is de rechte die loodrecht stt op dt lijnstuk en door het midden ervn gt. Bissectrice De bissectrice vn een hoek is de rechte die die hoek in twee gelijke delen deelt. Hoogtelijn (in ) Zwrtelijn (in ) Een hoogtelijn in een driehoek is een rechte die door een hoekpunt gt en loodrecht stt op de overstnde zijde vn dt hoekpunt Een zwrtelijn in een driehoek is een rechte die door een hoekpunt gt en door het midden gt vn de overstnde zijde vn dt hoekpunt c) Soorten driehoeken Soort driehoek Figuur Beschrijving Rechthoekige driehoek Een rechthoekige driehoek is een driehoek wrvn één hoek recht is. Scherphoekige driehoek Een scherphoekige driehoek is een driehoek met drie scherpe hoeken Stomphoekige driehoek Een stomphoekige driehoek is een driehoek met één stompe hoek Gelijkbenige driehoek Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met twee gelijke zijden (en dus ook twee gelijke hoeken) Gelijkzijdige driehoek Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek met drie gelijke zijden (en dus ook drie gelijke hoeken) Voor lle driehoeken geldt de oppervlkteformule: bh. A = Prte kennis wiskunde bij nvng vierde middelbr Vkgroep wiskunde Óscr Romerecollege 10

11 d) Soorten vierhoeken Soort vierhoek Figuur Beschrijving, omtrek en oppervlkte Trpezium Een trpezium is een vierhoek met één pr evenwijdige zijden. B + b A =. h; P = somder zijden. Prllellogrm Rechthoek Een prllellogrm is een vierhoek met twee pr evenwijdige zijden. A = bh. ; P = somder zijden. Eig.: Overstnde hoeken zijn gelijk. Overstnde zijden zijn even lng. Digonlen snijden elkr middendoor. Een rechthoek is een vierhoek met 4 rechte hoeken. A lb. = ; P. ( l b) = +. Eig.: Eigenschppen prllellogrm blijven gelden! Digonlen zijn even lng. Ruit Een ruit is een vierhoek met 4 zijden die even lng zijn. Dd. A = ; P = 4z. Eig.: Eigenschppen prllellogrm blijven gelden! Digonlen stn loodrecht op elkr. Vierknt Een vierknt is een vierhoek met 4 even lnge zijden en 4 rechte hoeken. A = z ; P = 4z. Eig.: Eigenschppen prllellogrm en ruit gelden! e) De cirkel Een cirkel is een verzmeling punten die op vste fstnd (de strl) vn een gegeven punt (het middelpunt) liggen. Een koorde is een lijnstuk dt twee punten die op de cirkel liggen verbindt. Het lijnstuk dt het midden vn een koorde verbindt met het middelpunt vn de cirkel, noemen we het pothem vn die koorde. Een dimeter is een koorde die door het middelpunt gt (de lengte ervn noemen we ook de dimeter d vn de cirkel). Een rechte door het middelpunt noemen we een middellijn vn de cirkel. Verder geldt: = π. en. A r P = π r(met π 3, ). Vbn.: Op de figuur is dus [ AB ] een koorde, met bijhorend pothem [ MD ], en is [ ] PP een dimeter. 1 Prte kennis wiskunde bij nvng vierde middelbr Vkgroep wiskunde Óscr Romerecollege 11

12 f) Ruimtefiguren Ruimtefiguur Figuur Oppervlkte Volume Kubus A = 6z 3 V = z Blk A. ( ld dh hl) = + + V = lhd Prism A = som der zijvlkken V = A. h G Cilinder A = πr + πrh = V πr h Bol A = 4πr V 4 = πr 3 3 g) Twee evenwijdige rechten en een snijlijn Figuur Betekenis Figuur Betekenis Overeenkomstige hoeken zijn gelijk (op de figuur hoeken met dezelfde kleur). Ook overstnde hoeken zijn gelijk (rood-bluw en geelgroen). Verwisselende buitenhoeken zijn gelijk (op de figuur hoeken met dezelfde kleur). Verwisselende binnenhoeken zijn gelijk (op de figuur hoeken met dezelfde kleur). Binnenhoeken (en buitenhoeken) n dezelfde knt vn de snijlijn zijn supplementir (op de figuur groenbluw en rood-geel). Deze eigenschppen worden vk ook omgekeerd gebruikt in de meetkunde om n te tonen dt twee rechten evenwijdig zijn. Prte kennis wiskunde bij nvng vierde middelbr Vkgroep wiskunde Óscr Romerecollege 1

13 h) Congruente driehoeken Twee driehoeken zijn congruent ls en slechts ls lle overeenkomstige hoeken en zijden gelijk zijn. In symbolen: AB = PQ A = P ABC PQR BC QR B Q = = CA = RP C = R Kenmerk Figuur In woorden ZZZ Twee driehoeken zijn congruent ls hun overeenkomstige zijden even lng zijn. ZHZ Twee driehoeken zijn congruent ls twee pr overeenkomstige zijden en hun ingesloten hoek gelijk zijn. HZH Twee driehoeken zijn congruent ls twee pr overeenkomstige hoeken en hun ingesloten zijde gelijk zijn. i) Gelijkvormige driehoeken De drie gelijkvormigheidskenmerken Kenmerk Figuur In symbolen Z Z Z Z Z Z AB BC CA = = ABC ABC AB BC CA Z Z H Z Z BC CA = C = C ABC ABC BC CA Prte kennis wiskunde bij nvng vierde middelbr Vkgroep wiskunde Óscr Romerecollege 13

14 HH B = B C = C ABC ABC De schlfctor Zijn twee driehoeken gelijkvormig ( ABC A B C ) dn noemen we de constnte verhouding vn hun zijden ook wel eens de schlfctor ( AB BC CA = = = k). AB BC CA Belngrijk om weten is dt de verhouding vn de oppervlktes dn gelijk is n k.(dus A A ABC ABC = k ) Zijn twee ruimtefiguren gelijkvormig met schlfctor k, dn is de verhouding vn hun volumes j) De stelling vn Thles De stelling vn Thles zegt: Bij evenwijdige projectie vn een rechte op een ndere rechte blijft de verhouding vn lijnstukken behouden. Op een figuur vertlt deze stelling zich op drie mnieren (rode rechten zijn evenwijdig: 3 k. AB BC CA = = AB BC CA, AB AB = BC BC, BC BC CA CA = en = CA CA AB AB SA SA AA = = SB SB BB SB SB BB = = SC SC CC Ook hier geldt de omgekeerde eigenschp. De bekendste vrint is de volgende: Als een rechte twee zijden vn een driehoek in evenredige stukken verdeelt, dn is die rechte evenwijdig met de derde zijde. In symbolen: AB = AC BC BC AB AC Prte kennis wiskunde bij nvng vierde middelbr Vkgroep wiskunde Óscr Romerecollege 14

15 k) Meetkundige trnsformties Kenmerk Figuur Opmerkingen Verschuiving Bij een verschuiving krijg je ltijd een vector v gegeven. Deze beplt de richting, zin en lengte vn de verschuiving. Verschuivingen beelden figuren f op congruente figuren. Lengtes en hoekgroottes blijven bewrd. Spiegeling Bij een spiegeling krijg je ltijd de spiegels gegeven. Spiegelingen beelden figuren f op congruente figuren. Lengtes en hoekgroottes blijven bewrd. Puntspiegeling Bij een puntspiegeling krijg je ltijd het spiegelpunt gegeven. Puntspiegelingen beelden figuren f op congruente figuren. Lengtes en hoekgroottes blijven bewrd. Driing Homothetie Bij een driing krijg je ltijd een centrum gegeven, lsook een dririchting en hoek wronder gedrid wordt (in het voorbeeld is het centrum S, en de drihoek 50 in wijzerzin). Driingen beelden figuren f op congruente figuren. Lengtes en hoekgroottes blijven bewrd. Bij een homothetie krijg je ltijd een centrum en een schlfctor gegeven (in het voorbeeld is het centrum S en schlfctor 1,5). Homothetieën beelden figuren f op gelijkvormige figuren. Lengtes worden vermenigvuldigt met de schlfctor, hoekgroottes blijven bewrd. l) De stelling vn Pythgors De projectiestellingen Stel dt ABC rechthoekig is in A, en noem D het voetpunt vn BC, dn gelden de volgende stellingen: A op [ ] AB = BD. BC, AC = CD. CB en AD = DB. DC. Noteren we (zols meestl): AB = c, BC =, CA = b, AD = h, BD = c en CD = b, dn krijg je de formules die onder de figuur stn. Deze formules stn bekend ls de projectiestellingen. c = c b = b h = bc Prte kennis wiskunde bij nvng vierde middelbr Vkgroep wiskunde Óscr Romerecollege 15

16 De stelling vn Pythgors In een rechthoekige driehoek geldt: de som vn de kwdrten vn de rechthoekszijden is gelijk n het kwdrt vn de schuine zijde. In symbolen: Als in ABC geldt dt A = 90 dn is = b + c. Ook omgekeerd geldt de stelling: ls in een driehoek geldt dt het kwdrt vn een zijde gelijk is n de som vn de kwdrten vn de ndere zijden, dn is deze driehoek rechthoekig. Driehoeksmeting in rechthoekige driehoeken In een rechthoekige driehoek definiëren we sinus, cosinus en tngens vn een scherpe hoek α ls volgt: overstnde rechthoekszijde sinα = schuine zijde nliggende rechthoekszijde cosα = schuine zijde overstnde rechthoekszijde tnα = nliggende rechthoekszijde Hieruit volgt dt voor elke scherpe hoek α sinα geldt: sin α + cos α = 1 en tnα =. cosα 5. ANALYTISCHE MEETKUNDE Crtesische vergelijking vn een rechte Elke rechte in het (x,y)-vlk kn je voorstellen met een lineire vergelijking: r ux + vy + w = 0. Hierbij zijn u en v niet beide nul. In deze nottie lees je ls : heeft ls vergelijking. We onderscheiden 3 gevllen: u = 0 v 0: De rechte is evenwijdig met de x-s en heeft ook ls vergelijking y =. u 0 v = 0: De rechte is evenwijdig met de y-s en heeft ook ls vergelijking x = b. u u 0 v 0: De rechte snijdt beide ssen, we noemen m = de richtingscoëfficiënt. v Een rechte beplen door twee punten of door een punt met gegeven richtingscoëfficiënt y y1 De vergelijking vn de rechte door P1 ( x1, y 1) en P ( x, y ) is r y = ( x x1 ) + y1. Hierbij is x x de richtingscoëfficiënt m r y y1 =. x x 1 1 De rechte met richtingscoëfficiënt m door P ( x, y ) heeft vergelijking: ( ) r y = m x x + y. 1 1 Het midden en de lengte vn een lijnstuk Het midden vn het lijnstuk [ PP 1 ], met P1 ( x1, y 1) en (, ) P x y is het punt x 1 + x 1, y + M y. De lengte vn dit lijnstuk wordt gegeven door PP ( x x ) ( y y ) = Prte kennis wiskunde bij nvng vierde middelbr Vkgroep wiskunde Óscr Romerecollege 16

17 6. Sttistiek Centrummten Modus: het meest voorkomend element. Medin: het middelste getl vn een ntl geordende getllen. Dit wordt vk genoteerd met Me. Gemiddelde: het getl, gevonden door de som vn lle getllen te delen door het ntl. Dit wordt vk genoteerd ls x. Spreidingsmten. De kwdrtische fwijking vn een gegeven x i ten opzichte vn het gemiddelde x is het getl ( x x ) i. De vrintie is het gemiddelde vn de kwdrtische fwijkingen vn de gegevens ten opzichte vn x. De stndrdfwijking is de vierkntswortel vn de vrintie. Prte kennis wiskunde bij nvng vierde middelbr Vkgroep wiskunde Óscr Romerecollege 17

Parate kennis wiskunde

Parate kennis wiskunde Heilige Mgdcollege Dendermonde Prte kennis wiskunde 4 Lt A Lt B Wet A Wet B Ec C Vkgroep wiskunde Hemco Dit document is edoeld ls smenvtting vn wt ls prte kennis wordt ngenomen ij nvng vn het tweede jr

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symbool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

Formularium Wiskunde 1 ste graad

Formularium Wiskunde 1 ste graad Kls: Nm: Formulrium Wiskunde 1 ste grd Vkwerkgroep Wiskunde T. I. SINT-LAURENS MARIA MIDDELARES Ptrongestrt 51 9060 Zelzte Tel. (09)45 7 1 Fx (09)45 40 65 Internet: http://tislmm.pndor.be E-mil: so.tislmm.zelzte@frcrit.org

Nadere informatie

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I Toets jezelf: herhlingsoefeningen voor emen I - - Overzicht vn wt je moet kennen voor dit emen:. Alger:. Hoofdstuk : Reële getllen. Hoofdstuk : Eigenschppen vn de ewerkingen in R o Optellen, ftrekken,

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overziht eigenshppen en formules meetkunde 1 iom s Rehten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken Op de volgende ldzijden vind je de eigenshppen en formules die je in de eerste grd geleerd het en deze die in

Nadere informatie

INHOUDSTABEL. 1. TRANSFORMATIES (fiche 1) SYMMETRIE (fiche 2) MERKWAARDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6

INHOUDSTABEL. 1. TRANSFORMATIES (fiche 1) SYMMETRIE (fiche 2) MERKWAARDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6 INHOUDSTBEL 1. TRNSFORMTIES (fiche 1)...3 2. SYMMETRIE (fiche 2)...4 3. MERKWRDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6 4. VLKKE FIGUREN: DRIEHOEKEN (fiche 4)...7 5. VLKKE FIGUREN: BIJZONDERE VIERHOEKEN

Nadere informatie

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ...

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ... PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE a) Begrippen uit de getallenleer Bewerking optelling aftrekking vermenigvuldiging Symbool deling : kwadratering... machtsverheffing...

Nadere informatie

Rekenen in Ê. Module De optelling. Definitie

Rekenen in Ê. Module De optelling. Definitie Module 1 Rekenen in Ê 1.1 De optelling Definitie Het resultt vn de optelling vn reële getllen en b noemen we de som vn en b en noteren we met +b. De getllen en b zelf noemen we de termen vn de som. Voorbeelden

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. Hoofdstuk : Bewerkingen in R - 7 Kls:... 1. Optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen in R (oek pg 15): Som: 1. vn twee getllen

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 99 993 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

RATIONALE GETALLEN BREUKSTREEP. Een breuk kunnen we beschouwen als een quotiënt. 3,00 4 4 0 0,75 30

RATIONALE GETALLEN BREUKSTREEP. Een breuk kunnen we beschouwen als een quotiënt. 3,00 4 4 0 0,75 30 Breuken en hun decimle schrijfwijze Benmingen in een breuk Teller Noemer 3 TELLER (dit geeft het ntl gekleurde delen n) BREUKSTREEP NOEMER (dit geeft het totl ntl delen n) Breuk omzetten in deciml getl

Nadere informatie

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c.

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c. Wiskunde voor bchelor en mster Deel Bsiskennis en bsisvrdigheden c 05, Syntx Medi, Utrecht www.syntxmedi.nl Uitwerkingen hoofdstuk 0 0... Voor scherpe hoek α geldt:. sin α = 0,8 α = sin 0,8 = 5, d. cos

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VW 20 tijdvk woensdg 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. chter het correctievoorschrift is een nvulling opgenomen. Dit emen bestt uit 8 vrgen. Voor dit emen zijn miml

Nadere informatie

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2 Formulekrt VWO wiskunde B en B2 De Formulekrt Wiskunde hvo/vwo is gepubliceerd in Uitleg, Gele Ktern nr. 2, CEVO- 98/257. Deze versie vn de Formulekrt is die officiële versie. Vierkntsvergelijking Als

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg 3 Snijpunten Verkennen Meetkunde Snijpunten Inleiding Verkennen Bentwoord de vrgen bij Verkennen. Mk ook de constructie in GeoGebr. Gebruik eventueel het progrmm om de snijpunten voor je te berekenen ls

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VWO 202 tijdvk 2 woensdg 20 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. Dit emen bestt uit 7 vrgen. Voor dit emen zijn miml 8 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exmen VWO 2012 tijdvk 1 woensdg 16 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit exmen hoort een uitwerkbijlge. Dit exmen bestt uit 17 vrgen. Voor dit exmen zijn mximl 78 punten te behlen. Voor elk vrgnummer

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 42 8 5 3 53 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4 24

Nadere informatie

is het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b

is het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b 1 Tweedimensionle Euclidische ruimte 11 Optelling, verschil en sclire vermenigvuldiging = ( b, ) b, is de verzmeling vn lle koppels reële getllen { } Zols we ons de reële getllen kunnen voorstellen ls

Nadere informatie

Voorkennis meetkunde (tweede graad)

Voorkennis meetkunde (tweede graad) Voorkennis meetkunde (tweede graad) 1. Vlakke meetkunde Lengten van de zijden en grootte van de hoeken van driehoeken en vierhoeken - De som van de hoeken van een driehoek is 180 - Bij een rechthoekige

Nadere informatie

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht Hoofdstuk 1 : Hoeken -1 - Complementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken zijn complementair als... van hun hoekgrootten... is. Supplementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken noemen we supplementair als...

Nadere informatie

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5 INHOUDSTABEL 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3 2. TEKENREGELS (fiche 2)... 5 2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) - TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b)... 6 2c. OMGEKEERDE

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 : Hoeken ( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33)

Hoofdstuk 1 : Hoeken ( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33) - 1- Hoofdstuk 1 : Hoeken ( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33) Hoekeenheden (boek pag 1) Hoofdeenheid om hoeken te meten is de grootte van de rechte hoek de graad :...... notatie :... de minuut :...

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde. 1 Vlmse Wiskunde Olymide 1985-1986: Tweede Ronde De tweede ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 unten Per goed ntwoord krijgt hij of zij 4

Nadere informatie

de Wageningse Methode Antwoorden H24 GONIOMETRIE VWO 1

de Wageningse Methode Antwoorden H24 GONIOMETRIE VWO 1 H GONIOMETRIE VWO.0 INTRO 6 km : 0.000 = cm b b Driehoek PQB is gelijkvormig met driehoek VHB, de 00 vergrotingsfctor is 0 = 7. Dus PQ = 680 = 0, dus zeilt ze 0 meter 7 in minuten. Dt is,8 km/u.. HOOGTE

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 987-988 : Eerste Ronde De eerste ronde estt steeds uit 0 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt: een deelnemer strt met 0 punten, per goed

Nadere informatie

Over de tritangent stralen van een driehoek

Over de tritangent stralen van een driehoek Over de tritngent strlen vn een driehoek Dick Klingens mrt 004 Inleiding. Het bijvoeglijk nmwoord 'tritngent' gebruiken we ls we spreken over de incirkel (ingeschreven cirkel) en de uitcirkels (ngeschreven

Nadere informatie

WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK. A.F. Bloemsma M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot

WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK. A.F. Bloemsma M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK A.F. Bloemsm M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot INHOUD: H. : Hkjes wegwerken, ontbinden in fctoren H. : Mchten 0 H. : Het rekenen met breuken (deel

Nadere informatie

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html

Nadere informatie

4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES

4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:

Nadere informatie

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h Een regenton Op het domein [0, ] is de functie r gegeven door r ( ) 5 5 5. W is het vlkdeel dt wordt ingesloten door de -s, de y-s, de grfiek vn r en de lijn h, met 0 h. Zie de onderstnde figuur. figuur

Nadere informatie

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax.

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax. Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De

Nadere informatie

STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie

STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie Euclides van Alexandrië (ca. 265-200 v.chr.) Thales van Milete (ca. 624 v.chr. - 547 v.chr.) INHOUDSOPGAVE Algemene begrippen..blz. 1-3 - Stelling en bewijs

Nadere informatie

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 4 2 8 5 3 5 3 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4

Nadere informatie

Resultatenoverzicht wiskunde B

Resultatenoverzicht wiskunde B Resulttenoverzicht wiskunde B In dit document zijn door dpt Wiskunde lle resultten vn het VWO-eindexmenprogrmm beknopt smengevt m.u.v. het domein Voortgezette Meetkunde. Kijk voor meer informtie op: www.dptwiskunde.nl.

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Examencursus

Voorbereidende opgaven Examencursus Voorbereidende opgven Exmencursus Tips: Mk de voorbereidende opgven voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een opdrcht niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld

Nadere informatie

Analyse. Lieve Houwaer Dany Vanbeveren

Analyse. Lieve Houwaer Dany Vanbeveren Anlyse Lieve Houwer Dny Vnbeveren . Relties, functies, fbeeldingen, bijecties Voor niet-ledige verzmelingen A en B noemen we elke deelverzmeling vn de productverzmeling A x B een reltie vn A nr B. We noemen

Nadere informatie

Verzamelingen. De natuurlijke getallen. = 0 verzameling van de strikt natuurlijke getallen. De gehele getallen

Verzamelingen. De natuurlijke getallen. = 0 verzameling van de strikt natuurlijke getallen. De gehele getallen Verzmelingen De ntuurlijke getllen = {,1,2,3,4,... } = verzmeling vn de strikt ntuurlijke getllen De gehele getllen = {..., 3, 2, 1,,1,2,3,... } = verzmeling vn de strikt gehele getllen + = verzmeling

Nadere informatie

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2 Lijnen en vlkken in Kls N en N Wiskunde perioden Kees Temme Versie . Coördinten in R³.... De vergelijking vn een vlk ().... De vectorvoorstelling vn een lijn.... De vectorvoorstelling vn een vlk... 8.

Nadere informatie

Toetsopgaven vwo B deel 3 hoofdstuk 10

Toetsopgaven vwo B deel 3 hoofdstuk 10 Toetsopgven vwo deel 3 hoofdstuk 10 Opgve 1 In de figuur hiernst zie je 15 kubusjes met ribbe. e punten,, en zijn hoekpunten vn een kubusje, punt is het midden vn een ribbe en de punten en delen een ribbe

Nadere informatie

Cirkels en cilinders

Cirkels en cilinders 5 irkels en cilinders it kun je l 1 middelpunt en strl in een cirkel nduiden 2 de oppervlkte vn vlkke figuren berekenen 3 het volume vn een prism berekenen Test jezelf Elke vrg heeft mr één juist ntwoord.

Nadere informatie

Bijlage 2 Gelijkvormigheid

Bijlage 2 Gelijkvormigheid ijlge Gelijkvormigheid eze bijlge hoort bij het hoofdstuk e krcht vn vectoren juli 0 Opgven gemrkeerd met kunnen worden overgeslgen. Uitgve juli 0 olofon 0 ctwo uteurs d Goddijn, Leon vn den roek, olf

Nadere informatie

Formulekaart VWO 1. a k b n k. k=0

Formulekaart VWO 1. a k b n k. k=0 Formulekrt VWO 1 Formulekrt VWO Knsrekening Tellen n! = n (n 1)... 1 0! = 1 ( ) n n! = k k!(n k)! Binomium vn Newton: ( + b) n = n k=0 ( ) n k b n k k Knsrekening Voor toevlsvribelen X en Y geldt E(X +

Nadere informatie

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 Introductie Analytische Meetkunde

Hoofdstuk 1 Introductie Analytische Meetkunde Hoofdstuk 1 Introductie Anlytische Meetkunde 1.1 Wr ligt de scht? Op een zolder heb je een oude krt gevonden. Op een onbewoond Crïbisch eilnd is een scht begrven. De beschrijving is heel duidelijk: Loop

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2008

UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2008 MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM HEREXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 008 VK : WISKUNE TUM : TIJ : ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B I

Eindexamen vwo wiskunde B I Formules Vlkke meetkunde Verwijzingen nr definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder ndere toelichting. Hoeken, lijnen en fstnden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstnde hoeken,

Nadere informatie

5.1 Hogeremachtswortels [1]

5.1 Hogeremachtswortels [1] 5. Hogeremchtswortels [] De functie x 2 = p heeft twee oplossingen ls p > 0; De functie x 2 = p heeft één oplossing ls p = 0; De functie x 2 = p heeft geen oplossingen ls p < 0; Het bovenstnde geldt bij

Nadere informatie

MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN

MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN III - 1 HOODSTUK 3 MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN De kennis vn het moment vn een krcht is nodig voor het herleiden vn een krcht en een krchtenstelsel, voor het (nlytisch) smenstellen vn niet-snijdende

Nadere informatie

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16 Inhoud Voorwoord v Het metrieke stelsel vii Inhoud ix Trefwoordenlijst x 1 Basis 1.1 1.1 Veel voorkomende berekeningen 1.1 1.2 Van punt tot vlak 1.4 1.3 Oppervlakten berekenen 1.12 1.4 Zelf tekenen 1.16

Nadere informatie

Over de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek

Over de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek Over de lengte vn OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek DICK KLINGENS (e-mil: dklingens@pndd.nl Krimpenerwrd College, Krimpen n den IJssel (Nederlnd pril 2007 1. De lengte vn OH en OZ De punten O,

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-I Eindemen wiskunde B- vwo 007-I Beoordelingsmodel Podiumverlichting mimumscore 3 sin α = r 650 V 650 r r r 650 r = 9 + invullen geeft V = 9 + sin α = r r = 9 + V = 650 650 = 9+ 9+ 9 + mimumscore 5 650 00

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.

Nadere informatie

4.1 Rekenen met wortels [1]

4.1 Rekenen met wortels [1] 4.1 Rekenen met wortels [1] Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A 2 A Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.1 Rekenen met wortels [1] Voorbeeld 3:

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Algerïshe ewerkingen ldzijde 9 V- d e 9 V- 9 V- + + + V- + + 9 d + + + + e + + + + f + g Hoofdstuk - Funties en lger + + + + + + + ldzijde 9 V- + ( + ) + ( )( ) of + of of of ( ) d p p ( p

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord

Nadere informatie

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I Tussen twee grfieken De functie f is gegeven door f ( ) =. In figuur zijn op het intervl [0, ] de grfiek vn f en de lijn = getekend. De grfiek vn f en de lijn = snijden elkr in het punt T. p de lijn =

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Willem-Jan van der Zanden

8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Willem-Jan van der Zanden 8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] 1 8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn. De twee rode hoeken (F-hoeken) zijn gelijk.

Nadere informatie

Rekenregels van machten

Rekenregels van machten 4 Rekenregels vn mchten Dit kun je l 1 mchten met een ntuurlijke exponent berekenen mchten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verbnd met de mchtsverheffing correct gebruiken Test jezelf

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren 141 Eventjes herhalen : Wat is een homothetie? h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor

Nadere informatie

1 Introductie. 2 Oppervlakteformules

1 Introductie. 2 Oppervlakteformules Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus ook weergegeven met XY. Verder zullen we de volgende notatie

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 : De driehoek

Hoofdstuk 5 : De driehoek Hoofdstuk 5 : De driehoek - 89 1. Congruente figuren Figuren die elkaar volkomen kunnen bedekken noemen we congruente figuren. Congruente figuren hebben dezelfde vorm (~ ) en dezelfde grootte (=). Als

Nadere informatie

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2 Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus

Nadere informatie

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

element (of de rol van nul bij opt)

element (of de rol van nul bij opt) Atheneum Wispelerg - Wispelergstrt - 9000 Gent Bijlge - Leerfihes (3 e jr 5uur wiskunde) Eigenshppen vn de ewerkingen in R Nm Kls. - 1 - Leerfihe 1 Eigenshppen vn de optelling in R Nm vn de eigenshp Eigenshp

Nadere informatie

Primitieve en integraal

Primitieve en integraal Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 4 Primitieve en integrl Een motivtie om nr de fgeleide vn een functie f te kijken is het beplen vn de richtingscoëfficiënt vn de rklijn

Nadere informatie

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-II

wiskunde B vwo 2017-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2015-I

wiskunde B pilot vwo 2015-I wiskunde B pilot vwo 05-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t sin t

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Getallenverzamelingen

Getallenverzamelingen Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.

Nadere informatie

Vlakke Analytische Meetkunde

Vlakke Analytische Meetkunde Vlakke Analytische Meetkunde L. Van Maldeghem L. Van Hyfte Handleiding voor 3 Latijn-Wiskunde, 3 Grieks-Latijn 5 3 Moderne Talen-Wiskunde, 3 Economie-Wiskunde 2 Hoofdstuk 1 Vectoren en transformaties 1.1

Nadere informatie

CIRKELS EN BOLLEN. Klas 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme

CIRKELS EN BOLLEN. Klas 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme CIRKELS EN BOLLEN Kls 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme INHOUDSOPGAVE. DE VERGELIJKING VAN EEN BOL.... DE SNIJCIRKEL VAN EEN BOL EN EEN VLAK... 5. DE CIRKEL DOOR PUNTEN... 7. DE BOL DOOR GEGEVEN PUNTEN...

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

4. Wortels van decimale getallen mag je met het RT uitrekenen. Maar voor opgaven met gehele numerieke factoren wordt een exact resultaat

4. Wortels van decimale getallen mag je met het RT uitrekenen. Maar voor opgaven met gehele numerieke factoren wordt een exact resultaat Modelvrgstukken Algebr vn wortelvormen Tenzij expliciet nders vermeld stellen lle letters positieve getllen voor Vereenvoudigen vn enkelvoudige wortels ; Dit is gewoon de bsisregel ) ) 8 ) ; ) Een 8-ste

Nadere informatie

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10 H. 10 Goniometrie 10.1 Bsisegrippen Regelmtig voeren we erekeningen uit, wrin één of meerdere hoeken voorkomen. Voor een sherpe hoek kunnen we 3 goniometrishe verhoudingen definiëren. Deze lten zih het

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

2 Lijnen en hoeken. De lijn

2 Lijnen en hoeken. De lijn 1 Inleiding In het woord meetkunde zitten twee woorden verborgen: meten en kunnen. Deze periode gaat dan ook over het kunnen meten. Meetkunde is een oeroude kennis die al duizenden jaren geleden voorkwam

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 Driehoeken en cirkels uitwerkingen

Hoofdstuk 6 Driehoeken en cirkels uitwerkingen Kern Meetkundige plaatsen a Zie afbeelding rechts. b In het niet-gearceerde deel. c Op de middenparallel. l m 2 a Teken lijn m en lijn n, beide evenwijdig aan l en op een afstand van 3 cm van l. b Punten

Nadere informatie

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken MTKUN 2 Lengte - fstnd - hoeken M7 Lengtemten en meetinstrumenten 186 M8 Lengte en fstnd 187 M9 Gelijke fstnden 194 M10 Hoeken meten en tekenen 198 185 M7 1 Titel Lengtemten en meetinstrumenten 579 Vul

Nadere informatie

Vlakke Meetkunde. Les 1 Congruentie en gelijkvormig

Vlakke Meetkunde. Les 1 Congruentie en gelijkvormig Vlakke Meetkunde Les 1 Congruentie en gelijkvormig (Deze les sluit aan bij het paragraaf 1 van Vlakke Meetkunde van de Wageningse Methode. Vlakke Meetkunde kun je downloaden vanaf de site van de Open Universiteit.

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN

Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1 / 6 H2 Vlakke figuren Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 46-74) 2.1 Herkennen van vlakke figuren In verband met een veelhoek: a) een veelhoek op de juiste wijze benoemen.

Nadere informatie

Meetkundige ongelijkheden Groep A

Meetkundige ongelijkheden Groep A Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 006-007: tweede ronde 1 In een rechthoekige driehoek verdeelt de bissectrice uit een scherpe hoek de overstaande zijde in twee stukken met lengten 4 en 5 (zie figuur) De oppervlakte

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde 1 Vlmse Wiskunde Olympide 000-001: Tweede ronde De eerste ronde estt uit 0 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt: per goed ntwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een lnco ntwoord ezorgt hem

Nadere informatie