Inhoud. 2 Symmetrie Lijnsymmetrie Puntsymmetrie Draaisymmetrie Driehoeken Vierhoeken 28 2.

Transcriptie

1 Wiskun voor 2 vwo Dl 1, Antwoornok Vrsi 2013 Samnstllr

2 2013 Ht autursrht op it lsmatriaal rust ij Stihting Math4All. Math4All is rhalv rhthn zoals ol in hironr vrml rativ ommons linti. Ht lsmatriaal is mt zorg samngstl n gtst. Stihting Math4All aanvaart gn nkl aanspraklijkhi voor onjuisthn n/of onvollighn in moul. Ook aanvaarn z gn nkl aanspraklijkhi voor nig sha, voortkomn uit (ht gruik van) it lsmatriaal Voor z moul glt n Crativ Commons Naamsvrmling-Nit-ommril 3.0 Nrlan Linti. (zi Dit lsmatriaal is opn, gratis n vrij toganklijk lsmatriaal afkomstig van n is spiaal ontwikkl voor ht vak wiskun in ht voortgzt onrwijs. Ht lsmatriaal op wsit is afgstm op krnoln wiskun, tussnoln wiskun n intrmn voor vakkn wiskun A, B n C. Dit lsmatriaal is miumnutraal ontwikkl n op ivrs manirn t kijkn n t gruikn. Voor informati n vragn kunt u ontat opnmn via info@math4all.nl. Ook houn w ons altij aanvoln voor suggstis, vrtringn n/of aanvullingn.

3 Inhou 1 Mahtn n wortls Kwaratn Wortls Rknn mt wortls Mahtn Mnr Van Daln Wtnshapplijk notati Soortn gtalln Totaall 16 2 Symmtri Lijnsymmtri Puntsymmtri Draaisymmtri Drihokn Virhokn Totaall 31 3 Formuls voor omtrk n opprvlakt Opprvlaktformuls Opprvlakt van rihokn Opprvlakt van virhokn Omtrk irkl Opprvlakt irkl Enhn Totaall 46 4 Vrglijkingn Rknshma's Balansmtho Haakjs in formuls Mahtn in formuls Brukn in formuls Totaall 65

4 1Mahtn n wortls 1.1 Kwaratn 1 a 3 3 = 9 m ij 21. Omat j aarvoor n mtr mt n mtr mot vrmnigvulign. J ht us in 2 rihtingn mt n m t makn ij 316 n 317 ij a 7 7 = 49 Als zvn kwaraat. 4 a 6 2 = = 625 PAGINA 2 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

5 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN > MACHTEN EN WORTELS 3,5 2 = 12,25 ( 1 3 )2 = 1 9 2,2 2 = 4,84 f (2 2 3 )2 = Don, ofn z mt n mlrling. 6 a Dat is ht kwaraat van 38, maar an gl oor 10 2 = = u = 2, = = 409 n 23 2 = 529. J kunt it ook latn zin oor n virkant van 23 ij 23 zo op t ln at r n virkant van 20 ij 20 n ntj van 3 ij 3 ontstaan. Er lijvn an tw stukkn ovr. 7 a ( 3) 2 = 9 Ht vrshil zit in rknvolgor. Bij ( 3) 2 rkn j 3 3 n ij 3 2 rkn j 3 3. u = 3 of u = 3. 8 a D zijn van ht virkant lopn sts onr n hok van 45 mt roostrlijnn. Mt lkaar makn zijn i aan lkaar vast zittn us n hok van 2 45 = m 2. J vint ongvr 2,83 m. 9 a Bkijk ht plaatj n zi ho r innn roostrfiguur glijk rhthokig rihokn op roostrlijnn zijn t makn. Van lk rhthokig rihok zijn tw nit-rht hokn samn m 2. J vint ongvr 3,16 m. 10 a 3,3 2 = 10,89 0,9 2 = 0,81 2,7 2 = 7,29 ( 0,1) 2 = 0, = = 56 f (15 13) 2 = 2 2 = 4 a 11 ( 2 5 )2 = 4 25 ( 3 8 )2 = 9 64 ( )2 = (2 2 5 )2 = STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 3

6 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN > MACHTEN EN WORTELS 12 Vrl ht virkant van 1,5 j 1,5 zo at r n virkant van 1 ij 1 n ntj van 0,5 ij 0,5 ontstaan. Er lijvn at tw rhthokn van 1 ij 0,5 ovr. 13 a Bkijk ht plaatj n zi ho r innn roostrfiguur glijk rhthokig rihokn op roostrlijnn zijn t makn. Van lk rhthokig rihok zijn tw nit-rht hokn samn m 2. J vint ongvr 3,61 m. 14 a u = 11 of u = 11. u = 2,1 of u = 2,1. u = 4 3 of u = a 51 2 = = = = = = ,4 2 = ,4 + 0,4 2 = ,16 = 108, J zult zin at 35 2 = 1225, want 3,5 ligt tussn 3 n 4 in n 3 3 = 12. Pror mr gtalln. Om in t zin ho z tru wrkt kun j n virkant tknn van 35 ij 35 n it vrln zo at r n virkant van 30 ij 30 n n virkantj van 5 ij 5 in ontstaan. Nu één van tw ovrlijvn rhthokjs slim vrplaatsn n vrklaring is gvonn Wortls 1 a 2 m 2. 1,41 m. Omat u 2 = 2 gn ghl oplossingn hft. 2 a 64 = 8 ( 7) 2 = 7 3 a 49 = = 12 2,25 = 1,5 4 9 = 2 3 0,64 = 0,08 PAGINA 4 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

7 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN > MACHTEN EN WORTELS f = Tussn 11 n a 64 = = = = 15 2,25 = 1,5 f 6,25 = 2,5 g 0,09 = 0,3 h 0,36 = 0,6 6 a 1 9 = = = = = f = g = h = a Eign antwoor. Eignlijk zou j als antwoor 4 willn gvn, maar ht gaat zo: ( 4) 2 = 16 = 4. Nm ijvoorl 16. J zou als antwoor wlliht 4 willn gvn, maar ht kwaraat van 4 is 16 n nit 16. J kunt j ook gn virkant voorstlln mt n opprvlakt van 16 waar zij an n lngt van 16 zou motn hn. 8 a 4 2 = 16 = = 2 2 = 4. Als j n nit-ngatif gtal rst kwaratrt n an uit ht rsultaat wortl trkt komt ht gingtal r wr uit. Als j uit n nit-ngatif gtal rst wortl trkt n an ht rsultaat kwaratrt komt ook ht gingtal r wr uit. 9 a Ht virkant staat uit 4 halv roostrhokjs. J vint 14 mm. En 1,4 2 = 1,96 2. Ook 1, kan gn ghl gtal zijn want ligt tussn 1 n 1 omat 1 2 = 1 n 2 2 = 4. Dit tknt at 2 ijfrs ahtr komma hft n als j zo n gtal gaat kwaratrn kom j nooit pris op n ghl gtal uit. Waarshijnlijk krijg j 2 = 1, (of nog mr imaln). Druk j mt it gtal in l op kwaraattots an gft j mahin waarshijnlijk 2 als antwoor, howl at ignlijk nit klopt. Knnlijk hft j mahin nog mr imaln in zijn ghugn n an kan ht kwaraat mt afronn toh wl 2, zijn n komt r 2 in l. 10 a Shatting: 1 < 3 < 2 (gruik kwaratn i j uit ht hoof knt). Bnaring: 3 1,7321. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 5

8 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN > MACHTEN EN WORTELS Shatting: 7 < 50 < 8 (gruik kwaratn i j uit ht hoof knt). Bnaring: 50 7,0711. Shatting: 0 < 0,4 < 1. Bnaring: 0,4 0,6325. Shatting: 31 < 1000 < 32 (wl rg nauwkurig, at 1000 tussn 30 n 40 ligt mot j nog wl uit ht hoof kunnn shattn). Bnaring: ,6228. Shatting: 2 < < 3. Bnaring: ,3094. f 21 kun j nit narn. g Shatting: 5 < 21 < 4. Bnaring: 21 4,5826. h Shatting: 4 < 50 5 < 5 (lastig shatting, 50 7 n 5 2). Bnaring: , a 121 = = 14 4,41 = 2,1 0,0025 = 0, = 8 f = g = = 6 h 0,36 = 0,6 12 a 20 m. Tussn 4 n 5, want 4 2 = 16 n 5 2 = 25. Ongvr 4,472 m. 4,472 2 = 19, n us nit pris a Shatting: 2 < 5 < 3. Bnaring: 3 2,2361. Shatting: 9 < 96 < 10. Bnaring: 96 9,7980. Shatting: 0 < 0,0014 < 1. Bnaring: 0,0014 0,0374. Shatting: 40 < 1700 < 50 (ht is nu nit noig om t shattn tussn wlk tw opnvolgn ghl gtalln z wortl ligt, ht gaat vooral om or van groott). Bnaring: ,2311. Shatting: 3 < < 4. Bnaring: ,8987. f Shatting: 24 < 12 5 < 36. Bnaring: , a Nom lngt van lk zij van ht virkant u, an volgt uit A = 25 at u = 5 n us P = 4 5 = 20. Nom lngt van lk zij van ht virkant u, an volgt uit A = 24 at u = 24 n us P = P = 4 A A = ( 1 4 P)2 Bhalv flauw waar A = P = 0 is r ook nog A = P = 16. PAGINA 6 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

9 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN > MACHTEN EN WORTELS 15 a 13 2 = = = = 1 16 a Vrl figuur in virkantn n halv rhthokn. Tkn hm vntul rst zlf na. AB = 20 4,47 Don. 17 Wrk mt n figuur zoals z. Op n gron virkant mt n opprvlakt van 5 ligt n roo virkant mt n opprvlakt van 3. Ht l van ht gron virkant at nog zihtaar is hft n opprvlakt van 2. D zijn van paars omran rhthok zijn nu n 5 3 omat ht paars gklur rhthokj n ht gron rhthokj at nit in paars omran rhthok zit vn groot zijn. D opprvlakt van i paars omran rhthok is aarom pris vn groot als i van all zihtar gron, us Rknn mt wortls 1 a 18 m m = = 9 ( 2) 2 = 9 2 = a 5 m. J maakt an zijn van ht gtkn virkant pris tw kr zo groot. Ht kunt z alli voorstlln als vrgrotingn van n lijnstuk mt lngt a D opprvlakt is = = 4 ( 5) 2 = 4 5 = 20 4 a = 9 = , = 3 5 6, = 4 5 8,94 5 a = = = = STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 7

10 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN > MACHTEN EN WORTELS f = = 7 g = h = a ( 2 3) 2 = = = ( 2) 2 ( 3) 2 = 2 3 = 6 n ( 6) 2 = 6. ( ) = = ( 6) 2 = 6 ( 2) 2 2 = 3 n ( 3)2 = 3. 7 a Waar. Nit waar. Nit waar. Nit waar. Waar, nk at 3 = 9. f Waar. 8 a 7 5 = = 9 = = / 2 = 9 = 3 f 15 / 3 = = a = = = = = 16 = 4 f = 6 14 g 125 / 5 = 25 = 5 h 5 10 / 2 = a 20 roostrnhn. Elk virkant hft n opprvlakt van 10, us lk zij is 10 lang. Dus AD = 10 n AB = = = = a Nit waar. Waar. Waar. Nit waar. 12 a 2 12,5 = 25 = = = 6 36 = 6 6 = 36 f 50 / 5 = = 2 36 = ,5 = 2 6,25 = a AB = 6 n AC = 12 (want opprvlakt van ht grot virkant is 2 kr i van ABCD). PAGINA 8 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

11 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN > MACHTEN EN WORTELS AB = 10 n AC = 20. D iagonaal is 2 8 = 16 = 4. D iagonaal is 2 A = 2A. D iagonaal is 2 u 2 = u = a 8 = 4 2 = 4 2 = 2 2. J vint = 3 2, 12 = 2 3, 32 = 4 2, 40 = 2 10 n 75 = Controlr j antwoorn mt j rknmahin of zok mr imaln van 2 op intrnt. 1.4 Mahtn 1 a = 27 m 2. 5 ij 5 ij 5. Omat j aarvoor n mtr mt n mtr mt n mtr mot vrmnigvulign. J ht us in ri rihtingn mt n m t makn ij 316 n 317 ij a 2 5 = = = 1 3,5 3 = 42,875 ( 1 3 )4 = 1 81 f ( 2 5 )4 = a ( 4) 5 = = = = = 1, 2 3 = 8, 3 3 = 27, 4 3 = 64, 5 3 = 125, 6 3 = 216, 7 3 = 343, 8 3 = 512, 9 3 = 729 n 10 3 = a 3 4 = = = 7 ( 1 2 )4 = 1 16 (2 2 3 )3 = f ( 2 7 )0 = 1 g h i ( 3) 5 = = 48 2 ( 3) 2 = 18 7 a = = = = (3 12 ) 5 = 3 60 (3 15 ) = 3 0 = 1 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 9

12 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN > MACHTEN EN WORTELS 8 a Door r mahtswortl uit inhou t trkkn. 3 8 is lngt van zij van zo n kuus n aar komt 2 uit omat 2 3 = 8. Omat 1 3 = 1 n 2 3 = 8. 9 a 10 a J vint: = = ,375 = 1, = , , , ,37 11 a 4 5 = = 648 ( 2 3 )4 = (1 3 5 )3 = ( 2) 6 = 64 f 3 2 1, = Zi figuur. 13 a 2 16 (2 10 ) 3 = = = 2 0 = 1 (2 20 ) 2 14 a f = = = ,001 = 0,1 3 0, = 0,01 3 0,125 = 0,5 15 a D inhou is 20 m 3. Elk ri is us ,714 m n at is ongvr 271 mm. D total opprvlakt is ,2004 m 2 n at is ongvr mm 2. PAGINA 10 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

13 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN > MACHTEN EN WORTELS 16 a J ot nu rst r maht n an r mahtswortl. Uitkomst: 6. D uitkomst is ook nu 6. In i gvalln vin j 17 als uitkomst. Ja, at glt ook voor ngativ gtalln. D r mahtswortl uit n ngatif gtal wort gwoon wr n ngatif gtal. 17 a Ht aantal lagn vrult sts n 2 8 = = 1024 Daarvoor h j maar 1000 lagn papir noig, us 10 kr vouwn is wl gnog. Daarvoor h j lagn papir noig, us 17 kr vouwn. 18 a Don. J ot it ht hanigst oor sts mt 1,04 t vrmnigvulign ,02 uro. Na 18 jaar. 1.5 Mnr Van Daln 1 a 144 / = 144/ = = 0 J rknmahin maakt r 112 van. Ht gaat tgnwoorig zo: 144 / = = = a Erst 9 n 2 3, an vrmnigvulign n tnslott optlling = = a = 2 27 = /4 = 6/ 4 = 1, = = 7 36 / = 36/ = = = = 7560 f (2 + 3) 4 = 5 4 = a / 16 = = 28 ( ) 2 / = 17 2 / 17 4 = 13 (2 3 2) 3 = = 8 ( 3 2) 3 = 8 2 = 16 6 a 3 4 /(8 5) = 27 7 ( ) /2 3 = 2 (3 3) 2 /( 49 4) = /3 = = 64 8 = = a 3 5 / = = 648 ( ) 3 = 125 = = 4 = 2. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 11

14 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN > MACHTEN EN WORTELS (2 3 15) 3 = /( ) = 6 f ( 2 3 ) 9 1,5 3 = 1 10 a = = = ( 1 3 )3 11 a Corrt, want = = 2 7. Nit orrt, want 2 6 /2 3 = = = 2 3. Nit orrt, want (2 2 ) 3 = (2 2) 3 = = 2 6. Klopt, want 2 1 /2 1 = 2/ 2 = 1 n 2 1 /2 1 = = a 18 = 9 2 = 9 2 = 3 2 n 8 = 4 2 = 4 2 = 2 2. ( ) 2 = (5 2) 2 = 25 4 = 50. ( 75 27) 2 = ( ) 2 = (2 3) 2 = a D aantalln i Sissa op lk vakj wil hn zijn opvolgn mahtn van 2, namlijk 1 = 2 0, 2 = 2 1, 4 = 2 2, 8 = 2 3, nzovoorts. J vint: > 2 0 = 1 > = 3 > = 7 > = 15 > = 31 > = 63 > = 127 All uitkomstn zijn sts 1 minr an volgn maht van 2. Bijvoorl = graankorrls. Dat gtal is t groot voor j rknmahin om ht uit t rknn, mr an (18 triljon) graankorrls. Om pris t zijn graankorrls. Nm ns aan at n graankorrl n kuusj van 1 mm 3 is. In lk m 3 gaan an graankorrls. Dat lijkt vl, maar an h j toh nog m 3. Als j shuur n vloropprvlakt van 1000 m 2 hft (n at is n flink shuur), an mot hij maar lifst 18 miljon mtr hoog zijn. Dat is nog km! PAGINA 12 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

15 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN > MACHTEN EN WORTELS 1.6 Wtnshapplijk notati 1 a Elk km is mm. D omtrk van Aar is aarom = mm = = J vrlist als snl uit ht oog hovl nulln r nou pris staan. Bovnin rknn vrijwl all apparatn mt n prkt aantal ijfrs, vaak n stuk of tin. Dan passn al i nulln nit, n gtal van mr an tin ijfrs kan nit worn wrggvn. 1 miljar is a = ,00001 = = 1 = a 1 miljon is miljar is miljonst is miljarst is miljon is ,5 miljonst is 2, miljar is 4, a Omat ht gtal r an nit gmakklijkr lsaar oor wort = = m/uur = = km/uur. 7 a /1,5 2, ( ) /(2, ) 2, = Ongvr 1, , = 0, = 500 sonn. Dat is ongvr 8,3 minutn. 9 Ongvr = 18 gram. 10 a , us n gtal mt 200 nulln , us n gtal mt 50 nulln , us %. 12 a f a 1, , , , a 1, , = 2, uro. Dat is ongvr 288 miljar uro. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 13

16 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN > MACHTEN EN WORTELS 1, , = 6, uro. Dus ongvr 6,75 miljar uro. 15 a 2, , = 7, kg, us ongvr 76,8 gram /(2, ) 4, mm is 10 6 m. Dus zo n amo is = m. 17 a ,25 /1000 9, km. Dat is ongvr 9, AE. 1, Ongvr 4,36 9, , km van Zon. Omat afstan van Aar tot Zon slhts 1, km is, is r innn gplg afroningn gn vrshil tussn afstan van Zon tot Alpha Cntauri n Aar n Alpha Cntauri. Naar Zon kost ongvr 1, /20000 = 7480 uur. Dat is ongvr 312 agn. Naar Alpha Cntauri kost ongvr 4, / , uur. Dat is ongvr jaar. 18 Eign antwoor, afhanklijk van kuzs i j maakt. En stanaar shoollokaal is 7,2 ij 7,2 ij 3,5 m. 1.7 Soortn gtalln 1 Eign antwoor. In?Uitlg? zi j z nog ns allmaal voorijkomn. Vrglijk wat aar staat mt 2 a IV j ign ovrziht. XXIV MDCCXXIX is f 1999 is MCMXCIX. (Pror zo min moglijk tkns t gruikn, ijvoorl MDCCCCLXXXXIX zou ook kunnn maar hft vl mr tkns.) In n positistlsl (zoals ons tintallig stlsl) hangt waar van n gtal af van zijn plaats. Bijvoorl in 112 is rst 1 glijk aan 100 n tw 1 stlt 10 voor. Bij Romins ijfrs is at nit ht gval: X is altij 10, I is altij 1. (Er is trouwns wl nig afhanklijkhi van plk: IV is 5 1 = 4 n VI is = 6.) D gtalln zijn vaak moilijk t lzn n staan uit vl symoln. Voor lg positis. Bijvoorl 2012 hft gn honrtalln. 3 a Bijvoorl ij hoogtshaln, tmpratuursshaln n rglijk. Bij n shaalvrling waarij j rgns n nulpunt kist n toh i kantn op mot kunnn. Door ling uit t vorn mt han of mt rknmahin. Ja, at kan i. Ja, ijvoorl wortls. 1 4 a Bijvoorl 4. Bij rational gtalln ontstaat r altij rglmaat in imaln, of is r maar n prkt aantal imaln. Bij vl wortls is ht aantal imaln onprkt n zijn imaln onvoorsplaar. Eign antwoor. Dat kan ijvoorl oor sts ht gtal voor komma r van af t trkkn n an mt 10 t vrmnigvulign. Pror maar ns... (Waarshijnlijk krijg j nit mr an tw xtra imaln.) 5 a Als j n rël gtal kwaratrt is uitkomst altij positif. Dan is 1 = i. PAGINA 14 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

17 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN > MACHTEN EN WORTELS 4 = 2 i n 4 = 2 i 6 a Don. 53 7,28 is ht klinst gtal, an komt 12 4 = 3, vrvolgns 2,25 n tnslott = a 16 = 0, = 0, Eign antwoorn, maak staartlingn. 8 a 1234, Nom ht gtal wr u. Nu trk j 100 u n 1 u van lkaar af. J vint u = a Zi figuur. Z motn in volgor 12 4, 5, 1,5, 0, 1, 15, 7 3 n tnslott 16 op juist plk worn gzt. 10 Vor ling mt han uit, j rknmahin laat j waarshijnlijk in stk. J vint 0, Bkijk vntul nog vn ho j it ot in?opgav?. J vint = a N, want ijvoorl 3 5 = 2 n howl 3 n 5 natuurlijk gtalln zijn is 2 at nit. Ja, ht vrshil van tw ghl gtalln is altij wr n ghl gtal. Ja, voor vrmnigvulign wl. Ht prout van tw ghl gtalln is altij wr n ghl gtal. Maar voor ln nit, ijvoorl 7 /3 is gn ghl gtal. D rël gtalln. 13 a D vn gtalln. D onvn gtalln onr 100. J hout all onvn gtalln i nit laar zijn oor 3 ovr. Dat zijn r nog 34. Dat zijn vn gtalln n i zijn al oorgstrpt. D primgtalln onr 100. f Ja, halv misshin 0 n a D lrs van 28 zijn 1, 2, 4, 7 n 14 n tl maar op. J mot wl nagaan at r nit al rr n prft gtal is. Dan krijg j 6 n 28. J krijgt an 120 n som van lrs van it gtal is grotr an ht gtal zlf. Bij u = 4 hoort 496. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 15

18 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN > MACHTEN EN WORTELS 1.8 Totaall 1 a Zi figuur. 7 2,65 2 a Bijvoorl: = 4 7 n = 2 7. Bijvoorl: = 3 14 n 6 18 = 3 9 = Bijvoorl: = = Zi figuur. 4 a Zi figuur ,91 5 a Bijvoorl: = = 5 10 n 5 6 /5 4 = = 5 2. Bijvoorl (5 2 ) 3 = = 5 6. Bijvoorl /2 = /2 = = 49 = 7. Mrk op at lang strp aan ht wortltkn haakjs vrvangt = 1, n 0, = 3, Er zijn: > natuurlijk gtalln 0, 1, 2, 3, nz.; > ghl gtalln 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, nz.; > rational gtalln, all gtalln i j als ruk kunt shrijvn; > rël gtalln, rational n irrational gtalln (zoals 5) samn. 8 a 7 2 = 49. 1,5 2 = 2,25 ( 2 5 )2 = 4 25 PAGINA 16 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

19 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN > MACHTEN EN WORTELS 6,25 = 2, = 2 9 f = g h (3 6) 2 = 54 9 a Di omtrk is 2 ( ) = Door opprvlakts van zs virkantn op t tlln vin j 12 als opprvlakt. Door lngt n rt t vrmnigvulign vin j = 6 4 = 12 als opprvlakt. Tw kr htzlf us. 10 a 2,5 3 = 15,625 m 3. Tussn 3 n 4 m , a 7 4 = = 1 ( 2 3 )4 = ,6 3 = 4, = 5 f ( ) 2 = g 2 = h /25 5 = a = /7 15 = (7 70 ) 7 = = = = 7 6 f = = = = a Aantal inwonrs: 1, Nationaal inkomn: 2, uro. 2, /(1, ) 1, = uro. 7, /(1, ) 4, = 0,464 km Zi figuur. 15 a Gok ijvoorl rst 2, an lvrt stap 2 ht gtal 6 op n stap 3 ht gtal 4. Dit is j niuw gok waarm j stappn 2 n 3 hrhaalt. Rsultaat 3,5. En hirm o j wr stap 2 n 3; rsultaat STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 17

20 3,465. En nog n kr; rsultaat 3,464. Controlr j antwoor mt j rknmahin. Nm ijvoorl ht narn van 12 3,644. Na stappn 1 n 2 h j n rhthok van 2 ij 6 i opprvlakt 12 hft. Dan nm j oor ht miln n niuw zij voor i rhthok. Di zij lvrt wr n niuw rhthok op mt zlf opprvlakt i al mr lijkt op n virkant. Dit pros hrhaal j sts wr. J rhthok wort sts mr n virkant mt opprvlakt 12 n us komt zij sts ihtr ij 12 3,644 t liggn.

21 2Symmtri 2.1 Lijnsymmtri 1 a Don, zi figuur. Don. Di zijn lkaars spigll. Ja. Ook i zijn altij lkaars spigll. 2 a D linkrfoto is ook n ht foto van n prsoon. D anr tw zijn gmaakt oor n hlft van foto t spigln n i ln an aan lkaar t lggn. Vl fotowrkingsprogramma s kunnn at wl voor j. Omat zlfs n ognshijnlijk rglmatig gziht toh nit pris n glijk linkr- n rhtrhlft hft. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 19

22 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > SYMMETRIE Dat is n luk sport... Wi maakt ht mooist (of ijzonrst) rsultaat? 3 a Zi figuur. D n zijn spigll hn n vrshilln klur. Di klur mot j glijk makn n an krijg j ook n lijnsymmtrish logo. Als j n (vlak) spigltj op symmtrias zt n j kijkt r in, an mot j ht omplt logo zin. 4 Zi figuur. 5 a Maak vntul zlf tlkns n tkning. A ( 3, 2), B ( 5, 0) n C ( 1, 4). A (1, 2), B ( 1, 0) n C (3, 4). A (3, 2), B (5, 0) n C (1, 4). 6 a Omat punt H ht l van A is, nzovoorts. D lijn oor (0; 1, 5) n (10; 1, 5). N, nit ij lijnspigling. 7 a Zi figuur. Eign antwoor. 8 Eign antwoor. Laat j figuur ontrolrn. 9 A ( 2, 3), B (0, 5) n C (3, 1). 10 a D u -as. A ( 3, 2) n A ( 1,5; 1) A ( u, u ) D roostrlijn oor o.a. (2, 0) n (2, 5). PAGINA 20 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

23 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > SYMMETRIE A (1, 2) n A (2,5; 1) f g A (4 u, u ) Don. 11 a A (3, 2) n B (1,5; 1) A (u, u ) A (3, 4) n A (1,5; 7) A (u, 6 u ) Don. 12 Zi figuur. 13 Zi figuur. 14 a D lpuntn zijn A ( 2, 2), B ( 4, 2), C ( 2, 3) n D (0, 2). Zi figuur ij. D lpuntn zijn A (2, 2), B (4, 2), C (2, 3) n D (0, 2). Zi figuur. 15 a Don. D spigllijn gaat oor (0, 1) n (1, 3). C (5, 1). 16 a A (u, u ). A (u, 4 u ). A (u, u ). STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 21

24 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > SYMMETRIE 17 a Don, zi onstruti. Als j tw puntn op n irkl tknt h j altij n symmtrish figuur waarvan symmtrias milloolijn van i tw puntn is. Op z symmtrias ligt ook altij ht milpunt van irkl. Tkn j us tw van i milloolijnn n hn z n snijpunt, an is at ht milpunt van irkl. N, puntn mogn nit op één lijn liggn. Nm ri puntn op ran i nit op één lijn liggn. Tkn vrvolgns mt hulp van tw milloolijnn irkl oor i ri puntn. 18 Maak n mooi vrzamling n gf symmtriassn aan. 2.2 Puntsymmtri 1 a N. Ja, maar ht gaat an nit om spigln in n lijn. Eign antwoor. 2 a Van links naar rhts: 1, 3, 2 n 0 symmtriassn. Dus alln ht rhtr logo is nit lijnsymmtrish. Zi figuur. N. Ja, kijk ht rhtr logo maar ns. 3 En irkl. 4 a Maak vntul zlf tlkns n tkning. A ( 3, 2), B ( 5, 0) n C ( 1, 4). A (3, 6), B = C n C = B. A (7, 2), B = B n C (9, 4). 5 a Omat punt F ht l van A is, nzovoorts. Punt (1; 1, 5). K (3, 4), L (1, 4), M (0, 2) n N (3, 1). 6 a Zi figuur. PAGINA 22 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

25 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > SYMMETRIE Eign antwoor. 7 Eign antwoor. Laat j figuur ontrolrn. 8 A (3, 4), B (1, 2) n C (5, 2). 9 a A ( 1, 6) n A (0,5; 7) A (2 u, 6 u ) A (5, 0) n A (6,5; 3) A (8 u, 2 u ) Don. 10 P(1,5; 0) 11 Zi figuur. 12 Zi figuur. 13 a D lpuntn zijn A ( 2, 2), B ( 4, 2), C ( 2, 3) n D (0, 2). Zi figuur ij. D lpuntn zijn A (4, 2), B (2, 2), C (4, 3) n D (5, 2). Zi figuur. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 23

26 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > SYMMETRIE 14 a Don, j vint P(0, 1). C (3, 3). 15 a A ( u, 2 u ). A (6 u, 8 u ). A ( 6 u, 8 u ). 16 a Dat i glijk zijn. Dat i glijk zijn. Dat i lkaar oormin ln. En vligr is nit puntsymmtrish. 17 a Puntsymmtrish zijn (van ht lttrtyp Arial) lttrs C, H, I, N, O, S, X, Z. Lijnsymmtrish zijn (tussn haakjs ht aantal symmtriassn): A(1), C(1), D(1), E(1), H(2), I(2), M(1), O(2), T(1), U(1), V(1), W(1), X(2) n Y(1). Eign antwoor. 2.3 Draaisymmtri 1 a D rhtr. Ook wr alln rhtr, i hft zs symmtriassn. Bij linkrstr lopn r strokn voor lkaar langs. Ja, j kunt z raain n an toh sts zlf figuur zin. 2 a Van links naar rhts: 5, 3, 2 n 0 symmtriassn. Dus alln ht rhtr logo is nit lijnsymmtrish. Zi figuur. Van links naar rhts: 360 /5 = 72, 360 /3 = 120, 180 n 180. PAGINA 24 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

27 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > SYMMETRIE D tw rhtr logo s. 3 Alln als 180 n vlvou van i raaihok is. Dus ijvoorl 180, 90, 45, 22,5, nzovoorts. 4 a Maak vntul zlf tlkns n tkning. A 1 ( 1, 1), B 1 ( 1, 5) n C 1 ( 4, 1). A 2 (1, 1), B 1 (1, 5) n C 2 (4, 2). A 3 (7, 2), B 3 = B n C 3 (9, 4). 5 a P (0, 3) n raaihok is 90. J vint K ( 2, 2), L ( 2, 0), M (0, 1) n N (1, 2). Draaiing om P ovr a Zi figuur. Eign antwoor. 7 Eign antwoor. Laat j figuur ontrolrn. 8 A (6, 1), B (6, 3) n C (0, 1). 9 a A ( 2, 3) n A (1; 1,5) A ( u, u ) A (5, 0) n A (2; 3) A (u, u ) D u -as. 10 P(3, 2) (Hint: Tkn voorln van A n A.) 11 a 360 / N, want klinst raaihok hft gn vlvou at 180 is. Ja, r zijn 13 symmtriassn. 12 a Figuur I: 120 Figuur II: 30 Figuur III: 72 Figuur IV: 90 Figuur V: 45 Figuur VI: 180 D figurn II, IV, V n VI. D figurn I (3 symmtriassn), II (12 symmtriassn), III (5 symmtriassn), IV (4 symmtriassn) n V (8 symmtriassn). 13 Zi figuur. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 25

28 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > SYMMETRIE 14 a J vint A (2, 2), B ( 2, 4), C ( 3, 2) n D ( 2, 0). J vint A ( 2, 2), B (2, 4), C (3, 2) n D (2, 0). 15 a D hlft van 360 /6 = 60 n at is 30. Dit kun j op vrshilln manirn on. Maak gruik van ht fit at hokn van n rihok altij samn 180 zijn n at r rht hokn in figuur voorkomn. D gvraag hokn zijn 30, 30 n a A ( u, u ). A ( u, 2 + u ). 17 a Dat i glijk zijn, allmaal 108. D vijf rihokn mt één hokpunt in ht raaintrum hn immrs all n hok van 72, us tw anr zijn samn 108. Dat i vn lang zijn. Bgin mt n irkl (kis zlf milpunt n straal) n onstrur aar n rglmatig vijfhok in. Tkn iagonaln n zo ht pntagram. ( u ). 18 a 60. Eign antwoor. 19 Eign antwoor. 2.4 Drihokn 1 a D rihokn ABC (1 symmtrias) n KLM (3 symmtriassn). Gn nkl. Alln ΔKLM. 2 a D hokn ij A n ij C. All ri hokn zijn glijk. 3 a ΔABC n ΔKLM ΔKLM Dz uitspraak klopt nit. Ht omgkr wl: lk glijkzijig rihok is automatish ook glijknig. ΔDEF Ja, ijvoorl j gorihok. PAGINA 26 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

29 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > SYMMETRIE 4 Hij mot r zo uit komn t zin als glijkzijig rihok in uitlg. Gruik j passr. 5 a D ri hokn van lk rihok zijn samn 180, us B = = = 9. 6 Tkn rst rhthokszijn van rht hok A. Maak AB pris 6 m. Nm nu 6,5 m tussn passr n irkl it vanuit B om. Punt C is nu ht snijpunt van irkl mt anr rhthokszij. 7 a D ri hokn van lk rihok zijn samn 180 n i asishokn zijn vn groot, us B = ( ) /2 = 55. Don, ht is wl wat gpruts n hlmaal pris lukt ht ook nit. 8 Brkn rst tophok, i is 40 n tkn i tophok. Nm nu 6 m tussn passr n irkl it vanuit tophok om. Nu is j rihok zo klaar. 9 a J kunt it ht gmakklijkst on oor B op één van roostrlijnn oor A t lggn n pris op n roostrpunt. C is an gn roostrpunt. 60 En glijknig rihok. 10 ΔKLM is n glijkzijig rihok. Dat mot wl omat rihokn AKM, KBL n MLC allmaal glijkzijig rihokn zijn mt zijn van 3 m. (En waarom is at zo?) 11 B = 45, C = 45, D = 60, E = 60, F = 60, H = 75, I = 30, A = a ΔBDE is glijknig, ΔABE is rhthokig n ΔBCD is glijkzijig. ABE = 45, EBD = 74 n CBD = 60. Dat is samn ABC = 179. Dus at is nit zo. 13 A = D = 37 S 4 = = 106 S 1 = = E = A = 35 F = = 110 B = /2 = Maak n ign shts van rihok. D rihok is glijknig n shrvn lijn loorht op AB is symmtrias van i rihok. En aaroor zijn tw hokn i ij punt C tgn symmtrias aanzittn glijk. D symmtrias lt C oormin. 16 a Zi figuur ij. Dit lukt nit omat < 5. Zi figuur ij. Er zijn nu tw rihokn moglijk. Zi figuur. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 27

30 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > SYMMETRIE 17 a Bij glijkzijig rihokn ln ri symmtriassn all hokn n all zijn oormin. In n glijknig rihok (i nit ook glijkzijig is) is r maar één symmtrias n wort r us ook maar éé hok n ook maar één zij oormin gl. Don. D isstris gaan allri oor htzlf punt. Don. D ri zwaartlijnn gaan oor htzlf punt. Dat ht ht zwaartpunt van rihok. (Kun j i naam vrklarn?) Don. Z gaan inraa all ri oor htzlf punt. 2.5 Virhokn 1 a Zi figuur. D virhokn I, II, III n IV. Zi figuur ij a. PAGINA 28 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

31 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > SYMMETRIE D virhokn I (90 ), II (180 ), III (180 ) n IV (180 ). 2 a Gf z in figuur op ht wrkla aan. D hokn onr n ovn zijn glijk n hokn links n rhts zijn glijk. Gf z in figuur op ht wrkla aan. D hokn linksonr n rhtsovn zijn glijk n hokn rhtsonr n linksovn zijn ook glijk. Gf z in figuur op ht wrkla aan. D hokn onr n ovn zijn glijk. 3 a Virhok I: virkant. Virhok II: ruit. Virhok III: rhthok. Virhok IV: parallllogram. Virhok V: vligr. Ht trapzium. Dz uitspraak klopt. Ht omgkr nit: n trapzium hoft gn parallllogram t zijn. Dz uitspraak klopt. Ht omgkr nit: n parallllogram hoft gn ruit t zijn want zijn hovn nit all vir vn lang t zijn. Ja, at is n virkant. 4 Don. In voorln kom j z virhokn n hun ignshappn nog tgn. Vrglijk j ign antwoor mt wat j in lk van voorln aantrft. 5 a Alln A n B kun j vrij wgn. Als i tw puntn nmaal hun plk hn an kan C alln nog loorht op AB wgn, want hok ij B mot rht lijvn. Als an C zijn plk hft, an ligt plaats van punt D vast. Doorat rhthok tw symmtriassn hft oor mins van zijn n oor ht snijpunt van iagonaln zijn all vir lijnstukkn AS, BS, CS n DS vn lang. Door punt C t vrshuivn tot all vir zijn vn lang zijn. 6 Tw, ijvoorl lngt n rt. Of lngt van i iagonaln n hok r tussn. Of... 7 a Alln A n B kun j vrij wgn. Als i tw puntn nmaal hun plk hn an kan C alln nog ovr symmtrias wgn. Punt D kun j nu nog wgn, maar an wgt B symmtrish m. In figuur ligt iagonaal AC op symmtrias n puntn B n D lkaars spigll. Dus is AC milloolijn van BD. Door punt C t vrshuivn tot all vir zijn vn lang zijn. J kunt r inraa ook n virkant van makn, want at is n ruit mt rht hokn. 8 a Dri, ijvoorl lngts van tw opnvolgn onglijk zijn n hok tussn i tw zijn. Tw, ijvoorl lngt van zijn n hok tussn tw zijn. 9 a Als lijnstukkn AB n BC vast liggn, an ligt ook D vast als spigll van B ij puntspigling tn opziht van ht min van AC. Don. En ruit, n rhthok n n virkant. 10 a Dri, ijvoorl lngts van tw opnvolgn onglijk zijn n hok tussn i tw zijn. Vir, ijvoorl lngts van ri zijn n n hok tussn tw zijn. (Bnk nu maar ns ho j ht trapzium an kunt tknn. Ht is luk om mrr manirn t kijkn waarop j n STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 29

32 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > SYMMETRIE trtapzium kunt tknn. J zult zin at j altij minstns vir ggvns noig ht.) 11 Virhok I: ruit, anr hokn zijn 50, 130 n 130. Virhok II: parallllogram, anr hokn zijn 60, 120 n 120. Virhok III: vligr (pijlpuntvligr), anr hokn zijn 240, 35 n a Zi figuur. Er ontstaat n ruit mt tw hokn van 38 n tw hokn van 142. Zi figuur. Er ontstaat n vligr mt n hokn van 40, n hok van 100 n tw hokn van a D( 1, 4) E( 3, 2) J kunt op vrshilln manirn n trapzium makn, ijvoorl oor P(1, 4) t kizn. En r zijn nog wl mr puntn P moglijk. Anr soortn ijzonr virhokn zijn htr nit moglijk. 14 a En parallllogram. En strip i iagonaal wort gplaatst. J krijgt an n rihok mt ri ggvn lngts n i kan nit worn vrvorm. En rihok is n starr figuur. Tw hokn van 122 n nog n hok van Linkr figuur: Bij ht milpunt zittn allmaal hokn van 360 /12 = 30. Vanwg raaisymmtri is lk punt n vligr mt n hok van 30 n n hok van 90. D hok mt ht ronj is us (360 ( )) /2 = 120. Rhtr figuur: Bij ht milpunt zittn allmaal hokn van 360 /5 = 72. D ruitn tgn ht milpunt aan hn us hokn van 72 n 108. D ruitn i nit tgn ht milpunt aan zittn hn grootst hokn van = 144 n us zijn hokn mt stip glijk aan D lauw vligrs hn ri hokn van 108 n us ook één van 36. D oranj strrn hn us puntn mt n hok van 36. D anr hokn van strrn zijn a Bgin mt ΔABC n spigl an punt B in lijn AC om punt D t krijgn. Brkn rst A = 140. Nu kun j figuur gmakklijk afmakn. Laat j antwoor ontrolrn. Bnk at ook K = 40. Nu kun j figuur gmakklijk afmakn. Laat j antwoor ontrolrn. 18 a 72 n n ,6 n 352,8. PAGINA 30 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

33 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > SYMMETRIE ( 360 u ) n ( u ). 2.6 Totaall 1 Figuur I: lijnsymmtri, één (vrtial) symmtrias. Figuur II: puntsymmtri, raaisymmtri ovr 180. Figuur III: puntsymmtri, raaisymmtri ovr 90. Figuur IV: puntsymmtri, raaisymmtri ovr Don, j krijgt zoits als in figuur hironr. 3 a A ( u, u ) f A (u, u ) A ( u, u ) A (8 u, u ) A ( u, u ) A (u, u ) 4 Nm tal ovr n vul hm zo in. naam aantal raaisymmtri glijk zijn glijk hokn symmtriassn klinst raaihok rhthokig rihok 0 n 0 0 glijknig rihok 1 n 2 2 glijkzijig rihok 3 ja, , lk 60 5 a DFE n z zijn i 60. D hokn in ΔABC zijn samn 180, us ABC = D rihokn BAE n DFE ΔABC 6 Nm tal ovr n vul hm zo in. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 31

34 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > SYMMETRIE naam aantal raai- glijk zijn glijk hokn vnwijig vn lang iago- symmtriassn symm- zijn iagonaln naln tri ln klinst lkaar raai- oor- hok min virkant 4 ja, 90 all vir all vir 90 2 kr 2 ja ja rhthok 2 ja, kr 2 all vir 90 2 kr 2 ja ja ruit 2 ja, 180 all vir 2 kr 2 2 kr 2 n ja parallllogram 0 ja, kr 2 2 kr 2 2 kr 2 n ja vligr 1 n 2 kr 2 tw n n één wl trapzium 0 n n n tw n n 7 Logo I: raaisymmtrish mt klinst raaihok 120. Logo II: lijnsymmtrish mt één (vrtial) symmtrias. Logo III: nit symmtrish. Logo IV: raaisymmtrish mt klinst raaihok 90 n us ook puntsymmtrish. Logo V: raaisymmtrish mt klinst raaihok 45 n us ook puntsymmtrish. Logo VI: lijnsymmtrish mt één (shuin, van linksonr naar rhtsovn) symmtrias. 8 a Zi figuur. Zi figuur. 9 a En glijknig rihok, want PQ n RQ zijn vn lang (ruit) n us zijn AQ n BQ ( hlftn van i lijnstukkn) at ook. QAB = = 58 n APD = ( ) /2 = 116, zoat PAD = (180 PAGINA 32 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

35 116) /2 = 32. D gvraag hok is BAD = = a D( 4, 0) E( 1,5, 4,1) 11 a P ( u, u ) P (3 u, 2 u ). 12 Brkn rst tw asishokn. Z zijn 80. Nu tkn j asis mt tw asishokn r op aan wrszijn. D rst gaat vanzlf. 13 (Tip: maak rst n shts.) Bgin mt zij van 6 m n zt aar aan wrszijn n hok van 50 op. Pas vanaf ht min van i zij naar i kantn 1,5 m af. J krijgt nu tw puntn op gtkn zij waartussn zij van 3 past. Tkn oor i puntn loolijnn op gtkn zij. Waar i loolijnn anr nn van i hokn snijn liggn anr tw hokpuntn van ht trapzium. Maak figuur af. 14 a Elk glijkzijig rihok is ook glijknig. Er zijn rhthokig rihokn i ook glijknig zijn. Z hn vorm van j gorihok. Zi figuur. 15 a En vlak at n kuus vrl in tw ln i lkaars spigll zijn. 3 D iagonaalvlakkn. Ovr raaisymmtri, ovr raaiing om i symmtrias. D klinst raaihok is 90. f D anr tw symmtriassn oor mins van tgnovr lkaar liggn grnsvlakkn n lihaamsiagonaln. In totaal zijn r 7 symmtriassn. Eign antwoor.

36 3Formuls voor omtrk n 3.1 Opprvlaktformuls opprvlakt 1 a 4 9 = 36 m 2. Pris hlft van opprvlakt van rhthok, us 18 m 2. Z staan op n m-roostr n hokpuntn zijn roostrpuntn. 2 a Omat hij nit op n roostr staat (waarvan j aannmt at roostrlijnn loorht op lkaar staan). Ht is pris hlft van opprvlakt van n rhthok mt zijn van 8,94 ij 4,15 m. D opprvlakt is aarom 1 2 8,94 4,15 = 18,5505 m2. Nom rhthokszijn u (lngt) n u (rt), an krijg j voor opprvlakt 1 2 u u. 3 a Omat hun hokpuntn gn roostrpuntn zijn. J kunt us nit hokjs tlln. PAGINA 34 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

37 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > FORMULES VOOR OMTREK EN OPPERVLAKTE Figuur I: 3,0 5,1 = 15,3 m 2. Figuur II: 2,3 4,6 = 10,58 m 2. Figuur III: 2,82 2 = 7,9524 m 2. Figuur IV: 1 2 3,2 6,4 = 10,24 m2. u u u u u u (u u u hu hu u u ) = 2 u + 2 u als u lngt n u rt van rhthok zijn. Figuur I: 2 3, ,1 = 16,2 m. Figuur II: 2 2, ,6 = 13,8 m. Figuur III: 2 2, ,82 = 11,28 m. J tknt figuur op war groott mt hulp van rht hok n tw rhthokszijn. D zij i j nog nit wt kun j vrvolgns opmtn. Daarna tl j all ri lngts van zijn ij lkaar op. 4 a 4,7 2 = 22,09 mm 2. u 2 = 15 gft u = 15 3,87 mm. Dus ongvr 3,9 mm. u u u u u u (u u u u u u u u ) = 4u 5 a J kunt rhthok nog wr vrln in halv rhthokn, maar vrr is r nauwlijks n anr vrling van figuur moglijk. J maakt r n rhthok van 2,3 ij 1,3 omhn n aar trk j ri halv rhthokn af. D opprvlakt wort 2,3 1, ,3 1, ,3 0, ,3 0,9 = 1,95 m2. 6 J zit hir n moglijk vrling in (halv) rhthokn. (Maar j kunt r ook n rhthok omhn makn n aar halv rhthokn van af trkkn.) D opprvlakt wort 1,83 m 2. 7 Ook nu is n vrling van figuur zlf in (halv) rhthokn nit moglijk. Maar j kunt r n rhthok omhn makn n aar hl n halv rhthokn van af trkkn. D opprvlakt wort 1,09 m 2. 8 a Don, vrl figuur in (halv) rhthokn. Bnar 17 mt hulp van j rknmahin. Don. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 35

38 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > FORMULES VOOR OMTREK EN OPPERVLAKTE 9 a D zij is an u = 35 n omtrk is P = P = P = 4 A. 10 a D A hft n opprvlakt van 31,25 roostrhokjs, us van 781,25 mm 2. D L hft ook n opprvlakt van 30 roostrhokjs, us van 750 mm 2. D zijn van L liggn op roostrlijnn n hokpuntn zijn roostrpuntn. Bij A is i nit ht gval. D omtrk van L is 34 roostrnhn, us 170 mm. 11 Figuur I: = 250. Figuur II: = 75. Figuur III: = 143. Figuur IV: = 60. Figuur V: = 104. Figuur VI: , ,5 8 = 25,5. 12 Elk zij van ht shilrij is 1,44 = 1,2 m lang. Als lijst r omhn zit, an wort at 1,4 m voor lk zij. D opprvlakt is an 1,4 2 = 1,96 m D ruit staat uit vir halv rhthokn mt lngt 1 2 u n rt 1 2 u. D opprvlakt van ruit is aarom A = u 1 2 u = 1 2 u u. 14 J kunt ht grasvl vrln in n rhthok van 5 m ij 10 m n n rhthokig rihok waarvan j één zij wt, namlijk 10 m. J wilt anr zij u rknn, an kun j lngt van hl uknhaag paln. D total opprvlakt is 1,2 am 2 = 120 m 2. D opprvlakt van rhthok is 5 10 = 50 m 2. Voor opprvlakt van rhthokig rihok lijft 70 m 2 ovr. Dus is 1 2 u 5 = 70. Hiruit volgt at u = 14 m. D uknhaag is aarom 34 m lang. 15 a 4 10, , ,8 = 85,6 m raa. 2 10,2 5, ,2 5, ,4 5,8 = 291,12 m 2 karton. 12 6,1 = 73,2 m raa n 6 6,1 2 = 223,26 m 2 karton. 16 Maak vntul rst n tkning van ht prisma. D total opprvlakt is = 360 m Opprvlakt van rihokn 1 a = m2. Pris hlft van opprvlakt van rhthok, us 21 m 2. Omat één zij pris lngt van rhthok r omhn is. N. Dat kan wl. J kunt opprvlakt ijna 0 makn. Maak maar ns n rihok mt één hokpunt in n hokpunt van rhthok n anr tw mt hokpuntn vlak ij ht hokpunt van rhthok at r pris tgnovr ligt. 2 a Zi figuur. PAGINA 36 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

39 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > FORMULES VOOR OMTREK EN OPPERVLAKTE A = 1 2 u u Ja, zo n vrling kun j altij makn, us opprvlakt is altij glijk aan i van halv rhthok. 3 a N, j kunt punt C nog vrplaatsn n zo rihokn mt anr hokn makn. Omat asis n hoogt htzlf lijvn hft lk van i rihokn inraa zlf opprvlakt. u u u (ΔABC) = = 35 Don. 4 u u u (ΔABC) = = 60 u u u (ΔPQR) = ,5 6 = 31,5 5 a u u u (ΔABD) = = 15 m2. Omat r nu gn asis n hoogt op roostrlijnn n tussn roostrpuntn staan. u u u (ΔACD) = = 16,5 m2. AC 6,1 m n afstan van D tot AC is ongvr 5,4 m. u u u (ΔACD) 1 2 6,1 5,4 = 16,47 m2. Bij mot j rst asis n hoogt opmtn n at is onnauwkurig. 6 a u u u (ΔABD) = = 20. Waar j punt C op zij van gron rhthok plaatst, maakt nit uit. Maak vntul n ign shts. D opprvlakt van ΔABC krijg j nu oor van n rhthok van 6 ij 4 n halv rhthok van 6 ij 4 n n halv rhthok van 1 ij 4 af t trkkn. En an kom j wr op n opprvlakt van 20. Zt punt C in n hokpunt van rhthok. D zij BC tlt an als hoogt van rihok. Ga na at opprvlakt ook an 20 is. 7 u u u (ΔKLM) = ,5 = 11,25 u u u (ΔABC) = = 28 8 a Uit 7,5 = CD volgt 5 CD = 15 n us CD = 3. BE is ht lijnstuk vanuit B loorht op AC. Dit lijnstuk stlt gvraag afstan voor n is ook n hoogt van rihok. Dus is 7,5 = 1 2 3,5 BE volgt 3,5 BE = 15 n us BE = 15 /3,5 = Uit 60 = 1 2 QR 12 volgt QR = u u u (ΔABC) = 1 2 6,5 4 = 13 u u u (ΔKLM) = 1 2 4,5 7,2 = 16,2 11 a u u u (ΔABC) = = 6 roostrhokjs. u u u (ΔABD) = = 9 roostrhokjs. u u u (ΔACD) = = 10 roostrhokjs ,2 3, ,2 2,8 = 9,66 m ,1 2,8 = 5,88 m2. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 37

40 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > FORMULES VOOR OMTREK EN OPPERVLAKTE 14 AD is hoogt op asis AC. Omat opprvlakt van z rihok glijk is aan = 30, glt ook: AD = 30. En us is AD = a Tkn mt j passr n rihok mt zijn van 6,2 m, 4 m n 3,6 m. In figuur wort it ongvr 2,1 m. D wrklijk hoogt is us 105 m. Ongvr = m2. Bijvoorl is hoogt op zij van 200 m ongvr 160 m. D opprvlakt wort an ongvr = m2. J zit at ht vrshil toh nog hoorlijk groot is, at liht aan tkning op shaal. 16 a 8 6 = 48 m raa. Maak rst mt hulp van j passr n uitslag. D hoogt van lk rihok wort ongvr 5,2 m. D total opprvlakt (inlusif gronvlak) is us ongvr ,2 = 98,4 m2. 17 Maak vntul rst n tkning van (n uitslag van) ht ttraër, hij staat uit vir glijkzijig rihokn. D total opprvlakt is ongvr ,7 = 174 m Opprvlakt van virhokn 1 a Door r n iagonaal in t tknn. En r zijn tw iagonaln. Zi figuur. J gruikt an iagonaal AC. J tlt opprvlakts van i rihokn op: = 10 m2. J kunt lk virhok mt hulp van n iagonaal in tw rihokn vrln. Als j lngt van i iagonaal wt (of ht gmtn) n hoogts van tw rihokn wt (of ht gmtn) kun j opprvlakt van virhok rknn (of narn). 2 a Zi figuur. J gruikt iagonaal AC n opprvlakt is i van tw glijk rihokn (waarvan r één op kop ligt). D opprvlakt van ht parm is us = 20 m2. PAGINA 38 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

41 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > FORMULES VOOR OMTREK EN OPPERVLAKTE Ga na at halv asis ook hoogt van i rihokn htzlf is als ij a. N, mt hulp van z tw afmtingn ligt figuur nog nit vast. J mot ook ijvoorl BAC wtn. Voor opprvlakt maakt at knnlijk gn vrshil! 3 a N, j kunt lijnstuk CD nog op zlf hoogt vrplaatsn. In rihokn ABD n BCD. Omat asis n hoogt htzlf lijvn hn i rihokn waarin j ht kunt vrln zlf opprvlakt n ht parm us ook. u u u (ABCD) = 7 5 = 35 Don. 4 a N, j kunt lijnstuk CD nog op zlf hoogt vrplaatsn. In rihokn ABD n BCD. Omat asis n hoogt htzlf lijvn hn i rihokn waarin j ht kunt vrln zlf opprvlakt n ht trapzium us ook. u u u (ABCD) = = 25 Don. 5 u u u (I) = 8 4 = 32 u u u (II) = = a u u u (I) = 4 3 = 12 Di hn all ri zlf opprvlakt als parm I. Parm IV, want aarvan zijn tw shuin zijn vl langr an i van anr parmn. 7 u u u (I) = = 3900 u u u (II) = = a J kunt it ijvoorl uitlggn oor r n rhthok omhn t tknn (zi figuur) n an uit t lggn waarom vligr pris halv opprvlakt van i rhthok hft. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 39

42 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > FORMULES VOOR OMTREK EN OPPERVLAKTE Ja, zolang iagonaln van virhok maar loorht op lkaar staan is z formul glig. Hij glt zlfs voor n pijlpuntvligr! 9 a Zi figuur. Nu krijg j rihok ABC mt u u u (ΔABC) = 1 2 1,9 1,3 = 1,235 n rihok ACD mt u u u (ΔACD) = 1 2 1,1 1,3 = 0,715 m2. 10 a Vrl ht trapzium in tw rihokn oor iagonaal BD t trkkn. Dan is u u u (ΔABD) = 1 2 u h n u u u (ΔBCD) = 1 2 u h. Als j z tw opprvlakts optlt, krijg j 1 2 u h+ 1 2 u h = 1 2 (u +u ) h. J vint voor opprvlakt 1 2 (1,9 + 1,1) 1,3 = 1,95 m2. Zi figuur. D opprvlaktformul van a is ook nu glig. 11 u u u (ABCD) = = 143 u u u (KLMN) = = 44 u u u (PQRS) = , ,5 8 = a u u u (I) = 5 20 = 100 m 2. u u u (II) = = 170 m2. u u u (III) = = 80 m2. u u u (IV) = = 400 m 2. D total opprvlakt van vir figurn is 750 m 2, us plank hft n opprvlakt van 1500 m 2. D lngt rvan is aarom 1500 /20 = 75 m. 13 N, ht worn parallllogrammn i allmaal zlf asis hn, maar vrshilln hoogts. Ho plattr ht parallllogram wort, ho klinr hoogt n us opprvlakt. 14 a D( 1, 4) D opprvlakt van ht parm ABCD is 5 7 = 35 roostrhokjs. D( 5, 4) D opprvlakt van ht trapzium ABCD is 1 2 (5 + 9) 7 = 49 roostrhokjs. D(13, 4) D opprvlakt van ht trapzium ABDC is ook 1 2 (5 + 9) 7 = 49 roostrhokjs. D( 3, 2) D opprvlakt van vligr ABCD is = 35 roostrhokjs. PAGINA 40 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

43 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > FORMULES VOOR OMTREK EN OPPERVLAKTE 15 J kunt plaat vrln in tw trapzia. D opprvlakt is 1 2 (109+39) (39+28) 35 = 4798,5 m Mt hulp van asis AD n hoogt BE kun j opprvlakt van it parallllogram rknn: > u u u (ABCD) = AD BE = 7 4 = 28 Omat ABCD n parallllogram is, is CD = AB = 5. D opprvlakt van ht parallllogram is al kn, maar ook uit t rknn mt asis CD n hoogt BF. Dus: > u u u (ABCD) = CD BF = 5 BF = 28 Dit tknt at BF = 28 /5 = 5,6. 17 a Zo n virkant staat uit vir glijknig rhthokig rihokn mt nn van 1 2 u. D opprvlakt van ht virkant is aarom u 1 2 u = 1 2 u 2. 4,5 1 2 u 2 = 32 gft u 2 = 64 n us u = a Ongvr vijf stnn naast lkaar n 17 lagn op lkaar gft 85 van i akstnn. D vijfhok is t vrln n rhthok, n trapzium n n rihok. D total opprvlakt is ( ) = m2 n at is ongvr 32,5 m 2. Er zijn us ongvr 32, stnn noig. J stlt r waarshijnlijk (Howl... r zijn waarshijnlijk ook wl ramn n urn.) 19 D total opprvlakt aan glas is ongvr ( ) = m 2 n at is ongvr 39,5 m Omtrk irkl 1 a Eign antwoorn. Eign antwoorn. J zou n gtal motn vinn tussn 3,1 n 3,2 in. 2 a D omtrk van vijfhok is vl klinr an i van irkl. D zijn zijn kortst afstan tussn tw hokpuntn n at is hir nog vl klinr an ht stuk van irkl tussn i tw hokpuntn. Bij n ahtntwintighok. π 2 6, a π 3, Ongvr 0, a Don. Dat lukt vast wl. π is tot in miljonn imaln wl kn. 2 π 5 31,4 π 25 78,54 2 π ,08 5 a π 20 62,8 m. D omtrk van ht grasprk is 2 π 4 25,1 m, n 25,1 /0,6 41,9. Er zijn ongvr 41 struikjs noig. 6 a Ongvr 31,8 mm. 25 /π 7,96 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 41

44 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > FORMULES VOOR OMTREK EN OPPERVLAKTE D straal is hlft van iamtr us ongvr 3,98 m. 7 a 200 0,55 = 110 m. 110 /π 35,0 m, us straal is 17,5 m. 8 a Ongvr 62,8 mm π 50 99,31 m. 9 a ,55 = 66 m. u + u + 2πu = 66 gft ongvr 8,28 u = 66 n us u 66 /8,28 8,0 m. 10 D irkl van mug hft n omtrk van 2 π ,5 m. D irkl van vlig hft n omtrk van 2 π 10 62,8 m. Ht vrshil is ongvr 126 m. 11 a 68 /π 21,6 m. Ongvr 10,8 m. 12 a D iamtr is /π km. Dus straal van Aar is ongvr 6366 km. 13 a J ht maar ongvr π 2 6,28 m xtra touw noig. 1 4 π 3 2,36 m. Elk ronj is ongvr 9,42 m n uurt 1 uur. D = 8760 ronjs pr jarn lvrn us n afglg wg van ongvr m op n at is minr an 100 km π 2 36,3 m. 15 π mm. 16 D omtrk van aan van Maan is ongvr 2 π km. D snlhi van Maan in zijn aan om Aar is us ongvr /27, km pr ag. Dat is ongvr 3685 km pr uur! 17 D omtrk van zijn wil is π 71 m. D total afstan i Jan aflgt is ongvr m. Zijn trapprs gaan aarom ongvr π kr ron. 18 a D uitslag van zo n ilinrmantl is n rhthok mt n lngt van π 10 m n n rt van 20 m. D opprvlakt is us π ~m 2. u u u (u u u u u u u u u u u u u u ) = 2 π u h D iamtr is ongvr 23,2 /π 7,4 m. D hovlhi lik waaruit mantl staat is ongvr π 7,4 10,8 251 m Opprvlakt irkl 1 a D asis van ht parallllogram is gn lijnstuk, maar n golflijntj. D halv omtrk van irkl, us π 3 m. π 3 3 = 3 2. π 3 3 = ,27 m 2. 2 a Omat asis van n parm n lijnstuk is. En at lijnstuk is nit pris glijk aan golflijn i nu als asis wort gruikt. Door irkl in vl mr (klinr) storn t vrln. π u 2 3 a Bij n nnzvntighok. PAGINA 42 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

45 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > FORMULES VOOR OMTREK EN OPPERVLAKTE Bij n ahtntahtighok. π , a A = π u 2 Omat u = 0,5u is A = π (0,5u ) 2. En it kun j shrijvn als A = 0,25π u 2. 5 a Don. π ,10 m 2. A = 0,25π ,10 m 2. 6 a π ,2 m 2. π 15 2 π a Ongvr 17,8 mm. Nom straal u n iamtr u = 2u, an is u 2 25 = 25 π n us u = π 2,8209 zoat u 1,41. 8 a u = 200 π gft u = π 2,8209 zoat u 7,98 m. π 15,96 50,1 m. 9 a Ongvr 1570,7 mm π ,32 m Dz stor is ht l van n irkl mt straal u. Hiruit volgt: 360 πu 2 = 100. En it lvrt op: u 2 = 360 π, zoat u = 360 π 10,71. D gvraag omtrk is an 2π 10,71 67,3. 11 Ht zwart l is in totaal pris hlft van grot irkl. D opprvlakt is us 1 2 π m D opprvlakt is us π 6 2 π 0, ,3 m Als u straal is, an is π u = 400 n us is u = π D omtrk is an ongvr 2π 11,3 71 m. 11,3 m. 14 Als u iamtr is, an is u π u = 400 n us is u 155,59 m. D opprvlakt is an ongvr π 77, m π mm π mm (3 + 4) 8,5 1 2 π 1,52 26,22 m 2 n at is 2622 mm π ,14 m 2 n at is 8314 mm a D uitslag van zo n ilinrmantl is n rhthok mt n lngt van π 10 m n n rt van 20 m. D opprvlakt is us π m 2. D total opprvlakt van ilinr is aarom π m 2. u u u (u u u u u u u u ) = 2 π u h + 2πu 2 20 a D iamtr is ongvr 23,2 /π 7,4 m. D hovlhi lik waaruit mantl staat is ongvr π 7,4 10,8 251 m 2. D total hovlhi lik is aarom ongvr π 3, m 2. D ovnkant (n us ook onrkant) staat uit π ,14 m 2 n at is 8314 mm 2 lik. D zijkant van ht lik staat uit π ,13 m 2 n at is mm 2 lik. In totaal staat ht likj us uit ongvr mm 2 lik. 1 2 π m 2. D omtrk van i gronirkl is vn groot als lngt van halv irkl waarvan kgl wort gmaakt. Dus 1 2 π 20 m. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 43

46 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > FORMULES VOOR OMTREK EN OPPERVLAKTE D iamtr van gronirkl is an 1 2 π 20 /π = 10 m. D opprvlakt van gronirkl is π ,5 m Enhn 1 a Erst alls omrknn naar m. Ht watr staat 0,42 m hoog op lk 100 m 2, us r ligt 42 m 3 watr op lk m 2. Dat is 42 L/m 2. Pr uur is r gmil 14 L/m 2 ijgkomn. D opprvlakt van n oorsn van z rgnak is π 0,4 2 0,503 m 2. Pr uur is r us ongvr 14 0,503 7 litr watr ijgkomn. 2 Op ht momnt at Bolt finisht hft Griffith 9,58 10, , 325 m afglg. Bolt ligt us ongvr 8,7 m voor. 3 a Dat zou 1 mgagram us 1 miljon gram oftwl 1000 kg motn zijn. 1 miljar mg. 1 mgaton is 1 miljon ton, us 1 miljar kg g. 4 a 0,998 g. 1,011 g. 5 Dat is 3,1 miljonst mm, us 0, mm. 6 a 1 L = 100 m g. 1 m 3 = 1000 m 3 = 1000 L. 1 ha = 100 ar = 100 am 2 = m 2. 1 μm 2 = 0, mm 2. f 1 pf = 1 /1000 nf = 1 / μf = 1 / mf. Dus 1 miljarst μf. In wtnshapplijk notati: 1 pf = nf = μf = mf. 7 a 0,013 m 3 = 13 L 12 nm = 0, m (of 1, m) 3,15 ha = m 2 0,31 hl = m ml = 0, m 3 (of 1, m 3 ) f 0,95 T = M (of 9, M) 8 Don, gf lkaar opgavn op. 9 a 1 Ms = s = min n 40 s = 277 uur, 46 min n 40 s = 11 agn, 13 uur, 46 min n 40 s = ms. 10 a 2000 uur = 83 agn n 8 uur /40000 = 1400 uur. En at is 58 agn n 8 uur. 11 a Ongvr 1234,8 km/uur = km/uur (of 1, km/uur) = m/s (of m/s). 12 a Ook 0,998 g/m kg. PAGINA 44 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

47 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > FORMULES VOOR OMTREK EN OPPERVLAKTE 0,4 ml = 0,0004 L = 0,0004 m 3. Dus ring wgt 19,2 0,0004 = 0,00768 kg n at is ongvr 7,7 gram. 13 a 0,05 L a Ongvr 1 g ,012 = 4,8 m 3. En at is 4800 litr /400 = 12 kg. 15 a Omat 1 ton = 1000 kg = g = m 3 n at is ongvr 32,9 m ,26 = 21,74 ton. 16 a /8 = foto s. 6 agn, 12 uur n 40 minutn. 17 a 3,6 kg/m 3 = 3,6 g/l 12 g/m 3 = 12 kg/l 120 km/h = m/s 12 m/s = 43,2 km/h 270 Mps (Mgayt pr son) = 16,2 G/min (Gigayt pr minuut) 18 a Zijn total tij is 363,32 sonn n at is ongvr 0,101 uur. Hij shaatst 49,5 km/uur. 108 km/h = 30 m/s n at hout hij 500 /30 16,7 s vol. 19 a ,9 = g, us 23,7 kg. 5,2 5,2 120, = 250,208 m 3 hroom wgt 1800 gram. Dus soortlijk massa van hroom is ongvr 7,19 g/m a D opprvlakt van één stn is 0,045 m 2. D t stratn opprvlakt is 34 1,5 = 32,5 m 2. Er zijn us its mr an 722 stnn noig, maar j nmt 10% xtra, at is 794 stnn. Ik zou 800 stnn stlln. 32,5 0,20 = 6,5 n mt 15% xtra wort at ongvr 7,5 kuu zan. 1 1,5 0,4 = 0,6 m 3 watr is 600 litr. 21 a 1, km/uur = 0, m/s. 1,852 km/uur = 0, m/s. Ongvr 120 /1, ,6 mph. 90 1, km/h. Dus at is wl wat harr an in Nrlan is togstaan. 22 a 1,52 AE mln km. Ongvr 500 s, us ongvr 8 minutn n 20 sonn. 9,5 iljon km (us 9, km). Dat is ongvr AE. 41,4 iljon km (us 4, km). Dat is ongvr AE. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 45

48 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > FORMULES VOOR OMTREK EN OPPERVLAKTE 3.7 Totaall 1 a Door opprvlakts van afzonrlijk (halv) rhthokn waarin j figuur kunt vrln op t tlln. Of, oor van opprvlakt van rhthok r omhn opprvlakts af t trkkn van (halv) rhthokn i uitn figuur (maar innn i rhthok) zittn. Tkn n ign voorl voor in j samnvatting. N, tnzij van all zijn van figuur xat lngt kn is. 2 Zi figuur. 3 a P = 2π u Van z irkl is omtrk 2π 3 = 6π 18,8 m. A = π u 2 Van z irkl is opprvlakt π 3 2 = 9π 28,27 m 2. 4 a Omat π u = 100 is u = 100 /π 31,8 m. 100 = π u 2 gft voor straal u 2 = 100 π n us u = 100 π 5,6 m. 5 a Van z irklstor is omtrk π ,5 m π 32 3,77 m 2. u 360 π gft u a 1500 m 3. 0,024 m 198 km/h. 340 g/mm 3. 7 a Opmtn gft ongvr 85 mm. 18 roostrnhn, us 4,5 m 2. 8 a = 143 m 2. PAGINA 46 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

49 9 a = 46 m. 1 2 (8 + 3) 4,5 = 24, = a Figuur I: π 4 12,6 m. Figuur II: π π 4 16,6 m. Figuur I: 4 4 π 2 2 3,4 m 2. Figuur II: π π 22 17,4 m a D omtrk is π 12 37,70 m. D opprvlakt is π ,0973 m 2. π u = 100 gft u = π n us is omtrk 2πu = 2π 100 π 35,45 m. 12 a D opprvlakt van ovnkant van n total uromunt is π 11, ,56 mm 2. Ht innngi hft n opprvlakt i aar hlft van is, us voor straal glt: π u 2 424,56 /2. Dit gft n straal van 8,22 mm n us n iamtr van 16,44 mm. Eht nauwkurig kun j it waarshijnlijk nit namtn, maar ht lijkt r wl op. 13 a 1,6 ha (htar) = m nm = 0, m (ook 1, m). 12,6 g/m 3 = kg/m 3. 1,5 mm/ps = 0, m/s (ook 1, m). 14 D irkloog hft n lngt van 14 m, us storhok u vin j uit u 114,6. u 360 π 14 = 14. Dit gft D opprvlakt van stor is aarom π 72 = 49 m 2 (rkn oor mt all imaln, of hlmaal zonr afroningn). 15 a Rht stukkn mt n total lngt van 4 20 = 80 m (als j vanaf rhtrran van ht vakj START tot ht gin van vak 63 rknt). Allmaal vrshilln halv irkls n één kwart irkl, samn 1 2 π π π π m. Totaal ongvr 221 m π π m D opprvlakt van ht klin la is π 2 2 = 4π m 2. D hlft aarvan is 2π m 2. Ht grot la hft n opprvlakt van π 4 2 = 16π m 2. Omat 4π 16π = 0,125 wort 12,5% van ht grot la oor ht klin kt.

50 4Vrglijkingn 4.1 Rknshma's 1 a 0,13 Zi figuur. u = 0,13 u n u = u 0,13 2 a 5 uro. u = 200 0, = 33, us 33. Zi figuur. PAGINA 48 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

51 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > VERGELIJKINGEN 3 a 0,075 uro pr kopi. 0, uro. Erst rkn j uit n an l j uitkomst oor 0,075. Ga na, at j zlf uitkomst krijgt als in uitlg. 4 a 500 0, = 75 uro. Ht rknshma: Ht trugrknshma: u 0, = 100 J rknt rst = 95 n vrvolgns 95 /0,14 678,57. J krijgt us DKK.678,57. 5 a = 5000 n = u / K Mt ht trugrknshma: 186 / Dus u = 196. u = (K 6000) /20 6 a K = = 44 J mot tw kr ht gtal 250 invorn, zowl ovn als onr rukstrp. J kunt aarom nit van links naar rhts oorrknn vanuit ht gtal 250, j mot ht onrwg opniuw invorn. Mt hulp van n grafik n/of inklmmn. 7 a Erst 10 1,5 = 15 n an = 35. u / 1, L Mt ht trugrknshma: 30 / 1, Dus u = 30. u = (L 50) / 1,5 8 a K = u u = (A 8) 3 9 a u /4 u u = (u + 4) / ,25 7,25 = (u + 4) /4 gft u + 4 = 7,25 4 = 29 zoat u = 29 4 = a L 1, S S = 1,5 L + 2 Gruik ht rknshma of formul. In i gvalln vin j als shonmaat 41. 1,5 L + 2 = 36,5 23 /1,5 34,5 2 36,5 f 1,5 L + 2 = 36,5 tknt 1,5 L = 36,5 2 = 34,5 n us L = 34,5 /1,5 = 23. a 11 C = 5 9 (59 32) = 15 C. J mot oplossn 5 9 (F 32) = 25. Maak rst n rknshma n aarna n trugrknshma. J vint 77 F. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 49

52 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > VERGELIJKINGEN Gruik ht rknshma of formul. In i gvalln vin j 212 F. F = C a En 6,5. u = 10 0,25 u Gruik rknshma s of formul. In i gvalln vin j 18 foutn. 13 a u = = 10. u / u J mot oplossn u = 6,5 Gruik rknshma s of formul. In i gvalln vin j u = , us 31 puntn. 14 a Vir virkantn n 13 luifrs. L = 3 u + 1 J mot oplossn 3 u +1 = 100. Gruik rknshma s of formul. In i gvalln vin j u = 33, us 33 virkantn. 15 a Tussn ht aantal agn waarvoor j vrzkring wort afgslotn u n prmi u in uro. 67,50. f g D grafik is n rht lijn i nit oor O gaat, want prmi ij 0 agn komt op 5,00 uit. u 2, u n 12 2, Dus voor n risvrzkring van 12 agn taal j 35,00 Ht trugrknshma is u /2, u us 16 /2, Dus j taalt 45,00 voor n risvrzkring van 16 agn. u = u 2, J ontrolrt j antwoorn ij n oor ht aantal agn in t vulln n na t gaan of r juist prmi uit rolt. u = (u 5) /2,5. J ontrolrt j antwoorn ij n oor prmikostn in t vulln n na t gaan of r ht juist aantal agn uit rolt. 16 a ,50 = 1038,00, us 1038,00. Nom ht aantal uur u, an is u ,50 = 1120,50. Dz vrglijking kun j oplossn oor slim rknn of mt hulp van n trugrknshma. J vint u = 15,5. Dit antwoor kun j gmakklijk ontrolrn oor invulln. Nom ht aantal m 2 u, an is 12, ,5 u = 973. Dz vrglijking kun j oplossn oor slim rknn of mt hulp van n trugrknshma. J vint u = 63. Dit antwoor kun j gmakklijk ontrolrn oor invulln. PAGINA 50 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

53 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > VERGELIJKINGEN 4.2 Balansmtho 1 Pror n go rnring t vinn. Ht antwoor op vraag is: 68 gram. 2 Als ht gtal u is kom j na all rknwrk op u = u + 10 als u uitkomst van rkning is. 3 a Don. Als ik u t horn krijg, kan ik uit mijn hoof wl uitrknn wat u is gram n j krijgt an 7u = 2u muntn n j krijgt an 5u = 340. u = 340 /5 = 68 gram. D varial komt aan i zijn van ht isglijktkn voor n j kunt us nit n rknshma makn waarij j uitkomst wt n kunt trugrknn vanuit i uitkomst. 4 a Bijvoorl zo (maar ht kan ook in n anr volgor): = = = = Bijvoorl zo (maar ht kan ook in n anr volgor): = = = = 5 a 4u n j krijgt 2u 20 = 4. 2u = 24 u = 24 /2 = 12 6 a = = = = = = = = STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 51

54 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > VERGELIJKINGEN = = = = = = = = 7 a = = = = = = = = 8 Ofn jzlf mt AlgraKIT. Daarin kun j ook antwoorn kijkn n uitlg uitklappn. 9 a = = = = = = = = = = PAGINA 52 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

55 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > VERGELIJKINGEN = = = = = = = = = 10 a Don, loop all stappn van rkning na lkaar oor. (4u u ) /2 = (2u + 20)/ 2 = u + 10, us j krijgt an u + 10 = a Dit gtal is ht klinst gmnshapplijk vlvou van 4, 12 n 6. Zo n j in één kr van all rukn af. = = = = = 12 a = = = = = = = = = STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 53

56 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > VERGELIJKINGEN = = = = = 13 a 12u + 3 = 7u + 18 i zijn 3 12u = 7u + 15 i zijn 7u 5u = 15 i zi u = 2 + 8u i zijn 10 6u = 8 + 8u i zijn 8u 2u = 8 = = = = = = = f Omat onkn u maar aan één kant van ht isglijktkn voorkomt, kun j z vrglijking oplossn mt trugrknn. J zit an in één kr: u = ( ) /15 = (Maak vntul n rknshma n n trugrknshma.) = = = = PAGINA 54 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

57 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > VERGELIJKINGEN g = = = = h = = = = i = = = = j = = = 14 a D shool taalt 150 uro plus u maal 0,075. D inkomstn zijn u maal 0,10. J vint: u = Bij 6000 kopiën zijn inkomstn n uitgavn voor shool glijk. 15 a 20 1,5 u = 5 D onkn u komt maar aan één kant van ht isglijktkn voor. Als j vrglijking oplost, vin j u = 10, us na 10 uur is kaars nog 5 m lang. 16 a u = u D onkn u komt aan i zijn van ht isglijktkn voor. Als j vrglijking oplost, vin j u = 10 /1,75 5,71, us na ongvr 5,7 uur zijn i kaarsn vn lang. 17 D omtrk van linkr figuur is 6u D omtrk van rhtr figuur is 4u Dus mot 6u + 14 = 4u Mt alansmtho vin j u = a = = = = = STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 55

58 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > VERGELIJKINGEN = = = = = = = = = = = = = = = = 19 a 38 u jaar. 38 u 5 = 2u Dz vrglijking los j op mt alansmtho. J vint u = 11. Dus José is 11 jaar n Ahm is 27 jaar. Nm aan at Ito u jaar jongr is an Siomara. Dan volgt uit tkst van ht raasl an 24 u = 12+u. Dz vrglijking kun j mt alansmtho oplossn: u = 6. Dus Ito is 18 jaar. 20 a 1, 15u = , 80u J krijgt u = , litr AtivExtra (afgron op ghln). Vanaf n vrkoop van ongvr litr AtivExtra pr maan. (Gzin ggvns ovr vast kostn hoft it gtal nit vl nauwkurigr t worn ggvn.) PAGINA 56 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

59 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > VERGELIJKINGEN 4.3 Haakjs in formuls 1 a u ,5 u D haakjs zijn noig om aan t gvn at optlling rst mot. Pror maar ns n flink aantal gvalln n ht lijkt sts t kloppn. Kun j nkn waarom z tw formuls zlf antwoorn gvn? 2 u = (u u ) /2 = (2u + 20)/ 2 = u a D ghl rhthok hft n rt van 2 n n lngt van u +7 n us n opprvakt van 2 (u +7). Di rhthok staat uit tw klinr rhthokn, één van 2 ij u n één van 2 ij 7. Hij hft us ook n opprvlakt van 2 u (u + 8) = 3 u = 3 u (u 5) = 2 u 2 5 = 2 u 10 Nm aan at u langr is an 5 n trk n rhthok van 2 ij 5 af van n rhthok van 2 ij u u (u u ) = u u u u = u u + u u 4 a 2 (2u + 1) = 4u (u 2) = 3u 6 2 (u 1) = 2u ( u + 3) = 2u 6 Misshin luk om n paar kr t ofnn. 5 a 2 (u + 3) = 2 u (u 3) = 2 u 12 3 (u + 4) = 3 u 12 4 (u 6) = 4 u a 4 (u + 5) = 4 u = 4u (u 3) = 10u 30 2 (1 2u ) = 2 4u 2 (1 2u ) = 2 1 (1 2u ) = u = 1 + 2u 2(u + u ) (u u ) = 2u + 2u u + u = u + 3u f 4(1 u ) 2(u + 1) = 4 + 4u 2u 2 = 2u 6 7 a = = = = = Mt haakjs uitwrkn: = = = = STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 57

60 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > VERGELIJKINGEN Zonr haakjs uitwrkn: = = = = = = = = = = = = = = 8 a 50 u 1 u + 51 (50 u ) = 1000 D uitwrking: = = = = = 31 kippn n 19 gitn. 9 a 3u + 15 = 3 (u + 5) 6u + 15 = 3 (2u + 5) f 14 21u = 7 (2 3u ) u = 4 (3 u ) 18u 12u = 6 (3u 2u ) 7 7u = 7(1 u ) 10 a u = 4(3 + u ) 12u 6u = 6(2u u ) 9u + 15 = 3(u 5) 35u 21 = 7(5u 3) 5u + 5 = 5(u + 1) PAGINA 58 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

61 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > VERGELIJKINGEN f 6 18u = 6(1 3u ) 11 a 10 (u + 3) = 10u (2 6u ) = 10 30u 6 4 (3u 2) = 6 12u + 8 = 14 12u 3 (2u + 3) (6u 9) = 6u + 9 6u + 9 = 18 6 (4 u ) = u = 2 + u f 5u 2 (u + 2) = 5u 2u 4 = 3u 4 12 a = = = = = = = = = = = = = = = = = 13 a 500 u 3 (500 u ) + 2 u = 1180 Erst haakjs uitwrkn gft: 1500 u = 1180 n us is u = pakkn spritsn n 180 pakkn gvuln kokn. 14 a 250 stuks van soort B. Ht total rag klopt nu htr nit. 15 u + 12 (300 u ) = 4320 Erst haakjs uitwrkn gft: 3u = 4320 n us is 3u = 720 n u = mahins van soort A n 60 van soort B. 15 a Maartj was ri jaar gln u 3 jaar. Arnou is nu 36 u jaar. 36 u = 2 (u 3) Erst haakjs uitwrkn gft:36 u = 2u 6 n us is 42 = 3u n u = 14. Maartj is 14 jaar n Arnou 22. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 59

62 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > VERGELIJKINGEN 16 a 6u 30 = 6 (u 5) 15 6u = 3(5 2u ) 9u 9 = 9(u + 1) 4u + 8u 12 = 4(u + 2u 3) 17 Als rt van ht hk ij A glijk is aan u m, an hft ht hk ij B n rt van 2,20 u n at ij D n rt van 2,00 u. Ht hk ij C is an 1,40 (2,20 u ) = 0,80 + u. D hkkn ij C n ij D zijn vn groot: 2,00 u = 0,80 + u. Dz vrglijking kun j zlf wl oplossn: u = 0,60. D rt van all hkkn paal j nu gmakklijk zlf, ht pa naar shaapskooi wort 1,20 m r. 18 Als u ht nummr van maan is, krijg j rst 5u, an 5u + 6 n vrvolgns 4 (5u + 6). Dit wort na haakjs uitwrkn: 20u Daarna krijg j 20u + 25 n 5 (20u + 25) = 100u En an maak j aarvan 100u u 125 = 100u + u als u ht nummr van ag is waarop j jarig nt. Bn j op 23 novmr jarig an gft 10u + u ht gtal (Ga maar na...) 4.4 Mahtn in formuls 1 a Eign antwoor. 97 ij 103 m. D opprvlakt is an 9991 m 2, us 9 m 2 minr. u 3 ij u + 3 m. D opprvlakt is an (u 3) (u + 3) m 2. Mt hulp van figuur kun j nagaan at (u 3) (u + 3) = u u 9. En us wort zijn lanj altij 9 m 2 klinr. 2 a Op horizontal alk zi j u + 2 n op vrtial alk u + 3. Op ht gron vl zi j u 2, vijf kr n u n zs kr n 1. (u 2)(u + 3) = (u + 2)(u + 3) = u 2 + 3u + 2u + 6 = u 2 + u 6 2u (u + 3) = 2u 2 + 6u (u 2)(u 3) = (u + 2)(u + 3) = u 2 + 3u + 2u + 6 = u 2 + 5u + 6 = u 2 5u a (u + 2)(u + 4) = u 2 + 4u + 2u + 8 = u 2 + 6u + 8 (u + 2)(u 4) = u 2 4u + 2u 8 = u 2 2u 8 u (3u + 1) = 3u 2 + u (u + 2)(u + 3) = u u + 2u + 3u + 6 (u 1)(u 4) = u 2 4u 1u + 4 = u 2 5u + 4 f (u + 4)(u 4) = u 2 4u + 4u 16 = u a Als u u u u = u 4. 3u u 2u 3 = 3 u u 2 u u u = 3 2 u u u u u = 6u 4 u 4u 2 u 3u u 3 = 12u 3 u 4 (u 2 + 3)(2u 2 1) = 2u 4 1u 2 + 6u 2 3 = 2u 4 + 5u a u 2 u 4 = u u u u u u = u 6 (mag ook inns) PAGINA 60 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

63 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > VERGELIJKINGEN 3u 2 6u 2 = 3 6 u u u u = 18u 4 3u 2 6u 2 = 3u 2 (it zijn tw glijksoortig trmn i j van lkaar aftrkt) 6u 4u 3 2u 2 = u u u u u u = 48u 6 5u 4u u 3 = 5 4 u u u u u = 20u u 4 f (3u 2 u ) 3 = 3u 2 u 3u 2 u 3u 2 u = 27u 6 u 3 6 Ofn jzlf mt AlgraKIT. Daarin kun j ook antwoorn kijkn n uitlg uitklappn. 7 a K = 4u 3u 2 = 12u 3 Sustituti van u = 2 gft: K = = 12 8 = 96. K = 3u 3 u u 2u 2 u = 3u 3 u 2u 3 u = u 3 u Sustituti van u = 2 n u = 3 gft: K = = 24. K = (2u ) 3 + u 2 2u = 8u 3 + 2u 3 = 10u 3 Sustituti van u = 2 gft: K = = 80. K = 2u 3u 4u = 6u u 4u Sustituti van u = 2 n u = 3 gft: K = = a (u + 4) (u + 5) = u u + 5u + 4u + 20 = u 2 + 9u + 20 (u 4) (u 5) = u u 5u 4u + 20 = u 2 9u u (u 3) = 5u u 3u = 5u 2 3u (3u + 1) 2 = (3u + 1) (3u + 1) = 9u u + 3u + 3u + 1 = 9u 2 + 6u + 1 2(u + u ) (u u ) = 2u + 2u u + u = u + 3u f (u 2 1) (u 2 + 2) = u 2 u 2 + 2u 2 1u 2 2 = u 4 + u Ofn jzlf mt AlgraKIT. Daarin kun j ook antwoorn kijkn n uitlg uitklappn. 10 a 3u 3 2u 2 = 6u 5 3u 3 + 2u 3 = 5u 3 3u 3 2u 3 = u 3 (3u 3 ) 2 = 9u 6 11 a (u 2) (u + 5) = u 2 + 5u 2u 10 = u 2 + 3u 10 3 (u + 1) (u 4) = 3 (u 2 3u 4) = 3u 2 9u 12 (2u 5) 2 = (2u 5) (2u 5) = 4u 2 10u 10u + 25 = 4u 2 20u u (u 2 7) = 3u 3 21u (u 8) (u + 8) = u 2 + 8u 8u + 64 = u 2 64 f (u 2 1) 2 = (u 2 1) (u 2 1) = u 4 2u a (u + 8) (u 3) = u gft na haakjs uitwrkn: u 2 + 5u 24 = u Dit gft: 5u 24 = 6 n us u = 6. 2u (u + 1) = (2u + 1) (u 2) gft 2u 2 + 2u = 2u 2 3u 2 n us 2u = 3u 2. Dit gft 5u = 2 n u = a u (u + 12) = (u + 4) (u + 5) u (u + 12) = (u + 4) (u + 5) gft u u = u 2 + 9u + 20 n us 12u = 9u Dit gft 3u = 10 n u = = STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 61

64 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > VERGELIJKINGEN 14 a (u 3) (u + 4) = u 2 + u = us 88 m 2. u 2 + u 12 = u 2 gft u = Nm voor ht aantal stoln pr rij in zaal 1 lttr u. In zaal 1 zijn r an u 2 stoln. In zaal 2 is ht aantal stoln (u 4) (u + 5). J mot us oplossn (u 4) (u + 5) = u 2. Dit gft u = 20, us r zittn 400 stoln in lk zaal. 16 Nm voor lftij van man nu u, vrouw is nu 91 u. Vrogr was man 91 u n vrouw 26. Hun lftijsvrshil is nit vranr, us: u (91 u ) = (91 u ) 26. Los z vrglijking op n j vint at man 52 jaar n vrouw 39 jaar ou zijn. 4.5 Brukn in formuls 1 a Maak i rukn rst glijknamig = = = = Mstal trk j in z situati klinst ruk van grootst af. Do j it anrsom an krijg j n ngatif gtal als antwoor = 6 35 Maak i rukn rst glijknamig. 3 5 / 2 7 = / = ( 3 5 )2 + ( 2 7 )2 = = = u 2 a u + u u = u u u u + u u u u = u u +u u u u 2 u + 3 u = 2u u u + 3u u u = 2u +3u u u 2 u 1 2 = 4 2u u 2u = 4 u 2u u u = u 2 2u + 2 2u = u u u 3 a u u u = u u u u 2 u 3 u = 6 u u PAGINA 62 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013