Oefeningen Complexe Analyse

Transcriptie

1 Oefeningen Complexe Analyse Oefening Zij Ω een op gebied in C en f een complexwaardige functie gedefinieerd op Ω. Definieer Ω in IR 2 als volgt Ω = {(x, y) IR 2 ; x + iy Ω}. Definieer achtereenvolgens door en door Tenslotte definiëer door u, v : Ω IR u(x, y) = Re f(x + iy) v(x, y) = Im f(x + iy). f : Ω IR 2 f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)). Laat z = x + iy in Ω zijn. a. Zij α, β, γ en δ in IR en z = z + h + ik in Ω Bewijs : f(z) f(z o ) αh βk iγh iδk h + ik = f(z) f(z o) z z 2 (α iβ + iγ + δ) 2 (α + iβ + iγ δ) z z z z b. Zij f differentieerbaar in (x, y ). Bewijs : lim h+ik f(z) f(z ) αh βk iγh iδk h + ik =, waarbij α = u x (x, y ), β = u y (x, y ), γ = v x (x, y ), δ = v y (x, y ). c. Zij f complex differentieerbaar in z.

2 2 Bewijs : f is differentieerbaar in (x, y ) en f voldoet aan de Cauchy - Riemann voorwaarden: u x (x, y ) = v y (x, y ), u y (x, y ) = v x (x, y ). d. Zij f differentieerbaar in (x, y ) en laat f aan de Cauchy-Riemann voorwaarden voldoen. Bewijs dat f complex differentieerbaar is in z. Oefening 2. Zij Ω een open deel van C. a. Bewijs er bestaat een rij compacte deelverzamelingen {K n ; n IN} zodanig dat i. K n inwendige K n+, ii. K n = Ω. iii. Iedere component van S 2 \ K n bevat component van S 2 \ Ω b. Zij K een compact deel van Ω. Dan bestaat er een ander compact deel K in Ω zodanig dat K inwendige K. c. Als in b, Ω een open cirkelschijf is, dan mogen we voor K ook een cirkelschijf nemen. Bewijs de bewerkingen b en c. Oefening 3. Laat {a n ; n IN {}} en {b n ; n IN {}} rijen in C zijn. Veronderstel dat n= a n < en dat n= b n <. Bewijs dat nj= n= a j b n j absoluut convergeert en dat n a j b n j = a j n= j= j= j= b j. (Dit is de stelling van Fubini voor reeksen). Oefening 4. Laat n= a n z n convergeren voor z < R en laat n= b n z n convergeren voor voor z < R 2. Definieer f op {z C ; z < R } door f (z) = a n z n. n=

3 3 en definieer f 2 op {z C ; z < R 2 } door f 2 (z) = b n z n. Bewijs dat op {z C ; z < min(r, R 2 )} de functie f f 2 gegeven wordt door f (z)f 2 (z) = c n z n, n= n= waarbij n c n = a j b n j. j= Oefening 5. Beschouw de machtreeks Definieer f : C C door n= z n. Bewijs dat deze machtreeks overal op C convergeert. n! f(z) = Deze functie heeft de exponentiële functie. Bewijs dat f de volgende eigenschappen heeft. n= z n n!. a. f = f, b. f(z + z 2 ) = f(z )f(z 2 ) voor alle z, z 2 in C, c. f(z) voor alle z in C, d. f(z) = voor alle z in C met Re z = Definieer de functies cos : IR IR en sin : IR IR door e. Bewijs: Zij π het getal gedefinieerd door cos t = Re f(it), sin t = Im f(it) cos t = ( ) n t2n n= (2n)!, sin t = ( ) n t 2n+ n= (2n + )! π = 2 inf{t, cos t = }. Dan kan bewezen worden dat f(z) = dan en slechts dan als z een geheel veelvoud van 2πi is. Voor f(z) schrijven we meestal f(z) = e z.

4 4 Oefening 6. Probeer door middel van machtreeksen de volgende differentiaalvergelijking op te lossen : f (z) + f(z) = voor z in C. Vergelijk uw resultaat met vorige oefening onderdeel e. Oefening 7. Zij {a n ; n =,, 2,...} een rij getallen waarvoor i. a n+ a n, ii. lim a n =, en zij {b n ; n =,, 2,...} een rij getallen waarvoor N sup b n <. n= Bewijs dat n= a n b n convergeert. Aanwijzing : schrijf B n = n k= b k en vervang b n door b n = B n B n voor n. Oefening 8. a. Bepaal alle complexe getallen z waarvoor ( z) n+ n= n + convergeert b. Bewijs dat de convergentiestraal van deze machtreeks is. c. Zij f : {z C ; z < } C gedefinieerd door ( z) n+ f(z) = n + Bereken de afgeleide f (z) van f voor z <. d. Is het legitiem om f(z) te vervangen door log z voor z <? n=

5 5 Oefening 9. Zij z in C, schrijf z = z e iθ met π < θ π. Dan heet θ het argument van z. Zij z in C en δ >. Definieer voor π α β π, V δ door V δ = {z C ; < z z < δ, α arg(z z ) β} Zij f : V δ C een continue functie waarvoor lim f(z)(z z ) = b. z V δ,z z Zij voor < r < δ de kromme γ r : [α, β] C gedefinieerd door Bewijs. Aanwijzing : Beschouw γ r (ϑ) = z + re iθ. lim f(z)dz = i(β α)b. r γ r f(z)dz γ r γ r b z z dz. Oefening. (Lemma van Jordan). Zij m >. Definieer voor R > de kromme γ R : [, π] C door γ R (θ) = Re iθ. Zij f : {z C ; Im z } C een functie waarvoor lim f(z) =. Bewijs z lim f(z)e imz dz =. R γ R Oefening. Zij R >. Definieer de kromme γ R : [ π, +π] C door γ R (θ) = Re iθ. Zij n ZZ. Bereken γ R f n (z)dz, waarbij f n (z) = z n. Oefening 2. Door e iz in een machtreeks te ontwikkelen, bereken γr e iz dz, zn+ waarbij γ R is als in vorige oefening en waarbij n een geheel getal is. Neem nu n en R =. Bereken de integralen +π π +π π e sin θ cos(cos θ nθ)dθ, e sin θ sin (cos θ nθ)dθ.

6 6 Oefening 3. Zij γ : [ π, +π] C de kromme gedefinieerd door γ (θ) = + + e iθ en zij γ 2 : [, 2π] C de kromme gedefinieerd door γ 2 (θ) = + e iθ. Tot slot zij γ = γ + γ 2. (Voor het aaneenschakelen van krommen zullen we het + teken gebruiken). Bereken voor iedere z C, waarvoor de index gedefinieerd is, ind γ (z). Oefening 4. Zij p >. Bereken π dθ p cos θ. Aanwijzing. Beschouw Ind γ (z) met γ de positief georienteerde eenheidscirkel met middelpunt en z = p p 2

7 7 Oefening 5. Zij Ω C gedefinieerd door Ω = C \ {z C ; Re z, Im z = }. Definieer door Bewijs. log : Ω C log z = [,z] ζ dζ. a. log z = z, z Ω. b. log z = log z + iargz, z Ω. Schrijf z = z e iθ, met π < θ < +π, dan is θ = argz. c. log z = k= ( ) k k (z ) k, voor z <. d. exp (log z) = z, z Ω. e. log (exp(w)) = w, π < Im w < +π. Geldt log z z 2 = log z + log z 2? Oefening 6. Zij Ω als in oefening 5. Zij log z = log a + α n (z a) n n= De machtreeks ontwikkeling van log z in een omgeving van a. Bereken de coëfficienten α n van deze machtreeks. Bereken ook de convergentie straal R a. Zij f a : {z C ; z a < R a } C gedefinieerd door f a (z) = log a + n= α n (z a) n. Is het noodzakelijk waar dat f a (z) = log z voor iedere z in Ω {z C ; z a < F a }? Vergelijk met stelling.6. Oefening 7. Zij f : {z C : Re z > } C gedefinieerd door f(z) = n= n z.

8 8 Bewijs dat f holomorf is en dat f (z) = n=2 log n n z. Aanwijzing : Gebruik Stelling.24. Opmerking : n z is gedefinieerd door e zlog n. Oefening 8. Zij γ de positief georienteerde eenheidscirkel met middelpunt. Bereken de volgende integralen : dz γ e z γ, dz z(e z ) γ, z e z dz. Oefening 9. Bereken Aanwijzing : Integreer z eiz z sin x x dx. langs een geschikte weg. Oefening 2. Bereken π cos2n θdθ voor n =, 2,.... Oefening 2. a. Bewijs dat t dt convergeert en dat e t t π/2 e t dt = 4 cotg θlog cos θdθ c b. Zij < ε < π/2. Schets de zeg γ ε bestaande uit γ : t t, t log sin ε, γ 2 : t log sin ε + it, t π 2 ε, γ 3 : t log cos t + it, π 2 ε t. c. Bewijs : z γ ε dz =. e z d. Bewijs, met behulp van a, door ε naar te laten gaan dat Aanwijzing bij a. Stel t = 2log cos θ. t π2 dt = e t 6.

9 9 Oefening 22 (Stelling van Cauchy m.b.t. de Stelling van Stokes). Zij ω = udx + vdy een differentiaalvorm op een open deel van Ω van IR 2. Zij V een compact deel van Ω, waarvan de rand V een gesloten weg is. Dan geldt, volgens de Stelling van Stokes, mits de orientatie goed gekozen is, udx + vdy = ( v V V x u y )dxdy. Bewijs de Stelling van Cauchy met behulp van de Stelling van Stokes, voor het geval de weg γ de rand is van een gebied in Ω. We veronderstellen dat u en v continu differentieerbaar zijn. Aanwijzing : Associer met f(z)dz de differentiaalvorm f(x + iy)dx + if(x + iy)dy en gebruik de Cauchy-Riemann voorwaarden uit oefening. Oefening 23. Zij Γ : {z C : Re z > } C gedefinieerd door Γ(z) = t z e t dt. a. Bewijs dat Γ goed gedefinieerd is en bewijs dat op het aangegeven gebied holomorf is. b. Bewijs : Γ(z + ) = zγ(z), Rez >. c. Bewijs : Γ (z) = t z log te t dt. Aanwijzing bij a ; Gebruik stelling.24 Oefening 24. Bereken x p dx, > p >. + x Aanwijzing : Integreer z zp z Oefening 25. langs een geschikte weg. Zij B : (, ) x (, ) IR gedefinieerd door IR = IR π/2 B(m, n) = 2 (cos ϕ) 2m (sin ϕ) 2n dϕ.

10 a. Bewijs : B(m, n) = t m ( t) n dt = x n dx. ( + x) m+n Aanwijzing : schrijf t = cos 2 θ, x = tg 2 θ. b. Bewijs : Aanwijzing : schrijf en gebruik poolcoördinaten. c. Bewijs, voor Γ(m)Γ(n) = B(m, n)γ(m + n). Γ(z) = 2 e ξ2 ξ 2z dξ < m < : Γ( m)γ(m) = Aanwijzing : Γ( m)γ(m) = B( m, m)γ() = Oefening 26 Zij < α <. Bereken de integralen cos t t dt α sin t t dt. α π sin πm x m dx, gebruik oefening 24. +x Aanwijzing : Integreer de functie z eiz FIGUUR z α langs de in de figuur aangegeven weg. Bewijs met behulp van vorige oefening onderdeel c, dat cos t t α dt = π 2Γ(α) cos πα/2, sin t t α dt = π 2Γ(α)sin πα/2.

11 Oefening 27 De grote stelling van Picard luidt als volgt : Als f een geisoleerde singulariteit in z heeft en als het beeld onder f van een zekere omgeving van z met daaruit weggelaten z, minstens twee punten uit C weglaat, dan is z een pool of ophefbare singulariteit van f. Met andere woorden : Als f een geisoleerde singulariteit in z heeft, die essentieel is voor f, dan is het beeld onder f van iedere omgeving van z, met z daaruit weggelaten, het hele complexe vlak of het hele complexe vlak met één punt daaruit weggelaten. Laat zien aan de hand van het voorbeeld z e /t dat deze uitspraken kloppen. Oefening 28. Laat Ω een open samenhangend deel van C zijn. Laat f, f n H(Ω) zijn voor n IN. Veronderstel dat f n (z) voor iedere z in Ω en iedere n IN. Veronderstel dat f niet identiek nul is en dat lim f n = f uniform op compacte delen van Ω. Bewijs : f is nergens op Ω. Oefening 29. Zij Ω een open deel van C dat de gesloten eenheidsschijf {z C ; z } bevat. Zij f H(Ω) en neem aan dat f(z) < voor z =. Hoeveel vaste punten heeft f in de eenheidsschijf {z C ; z }? Oefening 3. Zij Ω als in oefening 29. Zij f H(Ω) met f(z) > voor z = en zij f() =. Heeft f nulpunten in de open cirkelschijf {z C ; z < }? Oefening 3. Zij a > e en n N. Bewijs dat er n punten in {z C ; z < } bestaan met az n = e z. Oefening 32. Zij Ω een open samenhangend deel van C en f in H(Ω). Veronderstel dat f één-éénduidig is! Bewijs : f (z) voor iedere z in Ω. Oefening 33. Laat Ω een open deel van cz zijn en u : Ω IR harmonisch. Een functie v : Ω IR heet harmonisch geconjugeerd met u als u + iv holomorf is op Ω. a. Is een harmonisch geconjugeerde, zo deze bestaat, eenduidig bepaald? b. Bestaat er altijd een harmonische geconjugeerde?

12 2 c. Bereken van de volgende functies op het aangegeven gebied een harmonische geconjugeerde. Geef ook een expliciete uitdrukking voor de bijhorende holomorfe functie. i. u(x, y) = x 3 3xy 2, (x, y) IR 2, ii. u(x, y) = e y sin x, (x, y) IR 2, iii. u(x, y) = 2arctg x+ y x 2 +y 2, (x, y) IR2 \ {(x, ); x } iv. u(x, y) = 2 log (x2 + y 2 ), (x, y) IR 2 \ {(, )} Bestaat in alle gevallen een harmonische geconjugeerde, die globaal gedefinieerd is? Aanwijzing : Merk op dat voor (x, y) IR 2, x > de volgende gelijkheid geldt : Oefening 34. 2arctg Zij f : IR IR gedefinieerd door y x + x 2 + y 2 = arctg y x. f(x) = { x <, x >. Bepaal een functie u die continu is op {(x, y) IR 2 ; y } \ {}, die harmonisch is op {(x, y) IR 2 ; y > } en waarvoor geldt u(x, ) = f(x) voor x IR \ {}. Oefening 35. Zij Ω een open deel van C, f H(Ω) en f(ω). Bewijs dat log f harmonisch op Ω is. Oefening 36. Bereken de groep van alle conforme afbeeldingen van het bovenhalfvlak op zichzelf. Oefening 37. Zoek open delen van C, waarop de functie z sin πz, conform is. Oefening 38. Zij Ω de strip Ω = {z C ; < Re z < }. Zoek een expliciete formule voor een éénéénduidige conforme afbeelding f van Ω op de open éénheidscirkel U met f() =. Bereken f ().

13 3 Oefening 39. Zij g de inverse van f uit de vorige oefening. Dan is het reele deel van g begrensd in U en het imaginaire deel niet. Bewijs nu dat er een reële harmonische functie bestaat op U, die uitgebreid kan worden tot een continue functie op U \ {, +} en waarvan de harmonische geconjugeerde niet begrensd is in U. Oefening 4. Zij D het gebied gedefinieerd door D = {z C ; z < } \ {z C ; Im z =, Re z }. Beeld D conform af op het bovenhalfvlak. Oefening 4. Beeld de verzameling C \ {z C ; Re z +} conform af op de verzameling {z C ; z i, Im z > }. Oefening 42. Zij Ω C gedefinieerd door Ω = {z C ; Im z of Im z = en Re z > } = C \ {z C ; Im z =, Re z } Zij g : Ω C gedefinieerd door g(z) = exp (/2log z) met log z als in oefening 5. Zij γ de positief georienteerde eenheidscirkel. Zet g analytisch voort langs γ. De funktie g wordt wel genoteerd met g(z) = z. Oefening 43 Zij Ω een enkelvoudig samenhangend gebied in C en u : Ω IR een harmonische functie. Zij (f, D) een functie element met D Ω en u = Ref in D a. Bewijs : Voor iedere z in Ω bestaat een functie element (f, D ) met z in D en u = Re f in D. b. Bewijs : Het functie element (f, D) kan analytisch worden voortgezet langs iedere kromme, die in D begint. c. Bewijs : Er bestaat een functie g in H(Ω) met u = Re g in Ω.

14 4 Oefening 44. Zij Ω in C gegeven door Ω = C {w C : Re w +, Im w = }. Zij U in C het halfvlak U = {w C ; Re w > }. Definieer g : U C gedefinieerd door g(w) = w 2, met als in oefening 42. Zij U het (open) bovenhalfvlak, U 2 het halfvlak gegeven door U 2 = {z C : Rez < }, U 3 het (open) benedenhalfvlak en tot slot zij U 4 = U. a. Zet g voort langs de keten {U, U, U 2, U 3, U 4 }. b. Bewijs : Er bestaat een functie g in H(Ω) met g(w) = g(w) voor w in U. c. Zij U de open eenheidscirkel. Bewijs : voor iedere w in Ω bevat {z U; z 2 + 2zw + = } precies één punt. Definieer ϕ : Ω C door ϕ(w) = z met z U en z 2 +2zw+ = Bewijs ϕ H(Ω). d. Bewijs : De functie ϕ uit c wordt gegeven door met w in Ω en g als in b. ϕ(w) = w g(w), e. Bewijs : de functie ψ : U \ {} C, gedefinieerd door ψ(z) = 2 (z + ) beeldt U \ {} z conform af op Ω. f. Zoek ook een conforme afbeelding tussen {z C ; z > } en Ω, met Ω als boven. Oefening 45. Zij f(z) = n= a n z n, a n. Veronderstel dat de convergentiestraal van de reeks is. Bewijs dat f een singulierpunt in heeft. Aanwijzing. Schrijf f als een machtreeks in z 2.

15 5 Oefening 46. Bewijs dat z π dθ z cos een holomorfe functie op C \ {z C ; Im z =, Re z +}. Aanwijzing : Gebruik de stelling van de Morera. Bewijs ook met g als in oefening 44. Oefening 47. Zij Γ de functie uit oefening 23. π dθ z cos θ = π g(z), a. Bewijs : Γ(z) = Γ(z + n + ) z(z + )... (z + n), Re z > n IN. b. Breidt de functie Γ uit tot een analytische functie op C \ {,, 2,...}. Noteer deze functie weer met Γ. c. Zijn de singulariteiten van Γ polen? Bereken ook het residu van Γ in n, n =,, 2... Oefening 48. Zij Γ als in oefening 47. Bewijs voor z ZZ Aanwijzing. Zie oefening 25. Oefening 49. Γ(z)Γ( z) = π sin πz. Laat p, q, r en f holomorf zijn op C \{}. Veronderstel dat de functie g : (, ) C gedefinieerd door g(x) = f(x)log x voldoet aan de differentiaalvergelijking. voor x >. Bewijs : voor z C, z, geldt p(x)g (x) + q(x).g (x) + r(x)g(x) =, p(z)f (z) + q(z)f (z) + r(z)f(z) =.

16 6 Oefening 5. Zij Ω = C \ z en zij f : Ω C gedefinieerd door f(z) = π2 sin 2 πz n= a. Bewijs : f is goed gedefinieerd en f is in H(Ω). b. Bewijs : f(z + ) = f(z) voor iedere z in Ω. c. Bewijs : lim sup y x f(x + iy) =. (z n) 2. d. Bewijs : f heeft ophefbare singulariteiten voor punten in ZZ e. Tot slot bewijs dat, voor z ZZ; Oefening 5. π 2 sin 2 πz = m n= m n= (z n) 2. Bewijs door middel van differentieren en gebruik te maken van oefening 5, de gelijkheden, z ZZ, m πcotg πz = lim z n = z + 2z z 2 n. 2 Oefening 52 Bewijs voor < z < de gelijkheid waarbij de functie ζ gegeven wordt door n= πcotg πz = z 2 ζ(2k)z 2k, ζ(s) = k= n= n s, waarbij Re s >. Deze functie heet de zetafunctie van Riemann. Oefening 53. Bewijs : Er bestaan getallen {B k ; k =, 2,...} zodanig dat voor < z < 2π geldt z e z = + k= B k k! zk. De getallen {B k ; k =, 2,...} heten de getallen van Bernoulli

17 Oefening 54. Geef een verband aan tussen de Bernouilli getallen en de zeta-functie. Bewijs ook B 2k+ = voor k in IN. Aanwijzing : πz cotg πz = iπz + 2πiz e 2πiz, z ZZ. Oefening 55. Bereken voor a, x in R, a > x, n ZZ {}, de integraal e (a+ix)2 y 2 y n dy. Aanwijzing. Beschouw Γ e z2 z n dz voor een geschikte weg Γ in C. Bedenk ook dat e x2 x n dx = 2 Γ(n + ). 2 Oefening 56. Bewijs voor x in R en m in IN de gelijkheid e ixt ( + t 2 ) m dt = π m (2m 2 k)! 2 2m 2 k= (m k)!k! (2 x )k e x (m )! m = π 2 2m 2 k= ( 2m 2 k m ) (2 x )k e x k! 7 Oefening 57. Zij a, b, c in C met Re a >. Bewijs e ax2 +bx+c dx = π exp( b2 + 4ac ). a 4a Aanwijzing. Bereken door de functie z e z2 exp a ( x b ) 2 dx, 2a langs een geschikte weg in C te integreren. Oefening 58. Zij a C, Re a >. Bereken e ax dx.

18 8 Oefening 59. Definieer voor n in ZZ de n-de Bessel-functie J n als de coëfficient van z n in de gelijkheid ( exp 2 x(z ) z ) = n= J n (x)z n, x C, z C \ {}. ( ) k a. Bewijs : J n (x) = k= k!(n + k)! (x 2 )n+2k, n IN, x C, J n (x) = ( ) n J n (x), n IN, x C. b. Bewijs : xj x (x) + xj x+ (x) = 2nJ n (x), n ZZ, x C. c. Bewijs : J n (x) J x+ (x) = 2Jn(x), n ZZ, x C d. Bewijs : xj n+ (x) = nj n (x) xjn(x), n ZZ, x C. e. Bewijs : x 2 J n(x) + xj n (x) + (x 2 n 2 )J n (x) =, n ZZ, x C. f. Bewijs : J n (x) = exp ( 2 z )x) dz = 2πi 2π g. Bewijs : J n (x) = 2π z = z = +π π z n+ ) exp ( z x2 4z z n+ ( x 2 ) n, n ZZ, x C. cos(xsin ϑ nϑ)dϑ, n ZZ, x C. Oefening 6. Bewijs : +π sin 2 ϑ 2π π p cos ϑ dϑ = 4(p p 2 ), p >. Oefening 6. Bewijs : t 2 + a 2 (log t) 2 + π dt = 2 2π a(π 2 + 4(log a) 2 ) 2 + a 2 Oefening 62. Definieer de functies H n C C, n =,, 2,... door de gelijkheid e z2 +2xz = π= H n (x) zn n!, z, x C

19 9 A. Bewijs de volgende gelijkheden of beweringen.. H n (x) = ( ) n e x2 ( d dx )n (e x2 ), x C, n =,, 2, H n is een veelterm van graad n, n =,, 2, H n+ (x) = 2xH n (x) H n(x), n =,, 2, H n+(x) = 2(n + )H n (x), n =,, 2, H n+ (x) = 2xH n (x) 2nH x (x), n =, 2, H n(x) = 2xH n(x) + 2nH n (x) =, n =,, 2, H n (x) = 2n (x + iy) n e y2 dy, n =,, 2,... π 8. H n (x)h m (x)e x2 dx = { 2 n n! π, m = n m n B. Heeft de differentiaalvergelijking in vergelijking 6 nog andere oplossingen? Met andere woorden zijn er nog meer functies f n met f n(x) 2x f n(x) + 2nf n (x) =? De functies H n worden Hermite veeltermen genoemd. Oefening 63. De deelverzamelingen Ω, Ω 2 en Ω 2 van C worden achtereenvolgens gedefinieerd door : Ω = C \ {z C : Re z en Im z = }, Ω = {z C : Re z > en Im z > }, Ω 2 = C \ { i, i}. De functie g : Ω 2 C wordt gedefinieerd door g(z) = ( + z 2 ) 2. De functie f : Ω C wordt gedefinieerd door f(z) = lim g(ζ)dζ. T [z,z+t ] () Zij z in Ω en zij z in Ω zodanig dat het interval [z, z] helemaal tot Ω behoort. Bewijs f(z) f(z ) = g(ξ)dξ. [z,z] (2) Zij z in Ω. Bewijs f (z ) = g(z ). (3) Bewijs : f() = πires (g, i) = πires (g, i) = 4 π.

20 2 (4) Zij α >. Bewijs : lim ɛ f( α + i + iɛ) f( α + i iɛ) = π 4 Bewijs ook : lim ɛ f( α i + iɛ) f( α i iɛ) = π 2 dt (5) Bij α > Bewijs : f( iα) = i α (t 2 ). 2 (6) Zij < α < +. Bewijs: f(iα) = 4 π i α (7) Zij V gedefinieerd door dt ( t 2 ) 2. V = {w C : Re w < } {w C : Im w < en Re w < π 4 } Zij Ω de rand van Ω en zij V de rand van V. Bewijs : f( Ω \ {i}) = V \ {}. (Men kan bewijzen dat f een conformiteit is van Ω op V.) (8) Zoek een begrensde harmonische functie u op V met lim u(ξ, η) =, n >, lim u(ξ, η) =, < ξ < π ξ η 4, lim u(ξ, η) =, η <. ξ π/4 Oefening 64. Zij Π + het bovenhalfvlak in IR 2. Dus Π + = {(x, y) IR 2 : y > }. Zij u : Π + IR een harmonische functie. Kies (x, y ) in Π + vast. Definieer de functie v : π 2 IR door v(x, y) = y y D u(x, y)dy x x D 2 u(ξ, y ) dξ, (x, y) Π +. (Met D bedoelen we differentieren naar de eerste plaats en met D 2 is differentieren naar de tweede plaats bedoeld.) (a) Bewijs dat v een harmonisch geconjugeerde is van u. (b) Zij δ >. Veronderstel dat er een constante M(δ) bestaat met Definieer de functie f δ door u(x, y) M(δ) + δy, (x, y) Π + f δ (x + iy) = exp (u(x, y) + cv(x, y) + ig(x + iy)), (x, y) Π +. Bewijs dat f δ analytisch is en dat g δ e M(δ).

21 2 Oefening 65. Zij Π + het bovenhalfvlak in C. Dus π + = {z C : Im z > } Zij F : Π + C een begrensde analytische functie. Bewijs F (z) = y h π F (t + ih) dt, z = x + iy, y > h >. (t x) 2 + (y h) 2 Oefening 66. Zij Π + het bovenhalfvlak in C en zij f : Π + C een analytische functie met de eigenschap dat voor iedere δ er een constante ϱ(δ) bestaat met f(z) ϱ(δ)ϱ δim z, z Π +. Definieer f δ door f δ (z) = f(z)e iδz, z Π +. (a)bewijs f δ (z) = y h f(t + ih)e iδ(t+ih) dt, z = x + iy, y > h >. π (t x) 2 + (y h) 2 (b)bewijs : f(z) = y h f(t + ih) dt, z = x + iy, y > h >. π (t x) 2 + (y h) 2 (c)bewijs : f(z) ϱ(δ)e δh, y > h >, z = x + iy. (d)bewijs : f(z) ϱ(δ), z = x + iy, y >. Het (d) volgt f(z) = inf δ> ϱ(δ). Oefening 67. Zij Π + het bovenhalfvlak in IR 2 en zij u : Π + IR een harmonische functie met de eigenschap dat voor iedere δ > er een constante M(δ) bestaat met Bewijs : u(x, y) inf δ> M(δ). u(x, y) M(δ) + δy, x IR, y >. Aanwijzing. Zij v een harmonisch geconjugeerde van u. Zo n functie v bestaat (Zie oefening 64.). Definieer de functie f op het bovenvermelde vlak door f(z) = e u(x,y)+iv(x,y), z = x + iy, y >. Dan voldoet f aan de hypotheses van oefening 66 met ϱ(δ) = e M(δ), δ >.

22 22 Oefening 68. Zij V = {z C : Re z en Im z 2π} en zij h : V C een continue functie waarvan de beperking tot het inwendige van V holomorf is. Veronderstel ook nog dat h de volgende eigenschappen heeft : (i) h(is) IR, u s 2π; (ii) lim e Re z h(z) =. z V,Re z (a) Bewijs de gelijkheid Im (h(s) + h(s + 2πi)) ds = π e s 2 (h() + h(2πi)) 2π h(is)ds. 2 (b) Bewijs door de functie h geschikt te kiezen de gelijkheden t π2 dt = e t 6 en sin at e t dt = π.e2πa + 2 e 2πa 2a, a >. Oefening 69. (a) Geef een zo groot mogelijk gebied Ω aan waar de functie z 2 i log i + z i z goed gedefinieerd en holomorf is. (b) Bewijs voor z in IR, de gelijkheid 2 i log i + z i z (c) Bewijs voor z in Ω, de gelijkheid Oefening 7. = bgtgz = arctan z. 2 i log i + z i z [,z] = dζ ζ 2 + Zij Ω de open deelverzameling van C gedefinieerd door Ω = {z C : Re z > }U{z C : Im z } Definieer de functie F : Ω C door F (2) = π 2 [z,z+ ] dζ ζ 2 +, z Ω. (a) Zij z in Ω en zij γ z een kromme in Ω die met z verbindt. Bewijs F (z) = γ z dζ ζ 2 +, z Ω.

23 23 (b) Bewijs dat F holomorf is en dat F (z) = z 2 +, z Ω (c) Bewijs F (z) = bgtg z = arctan z, z > (d) Voor welke z in Ω geldt F (z) = π z [z,z+i ] dζ ζ 2 +? (e) Voor welke z in Ω geldt F (z) = π 2 [z,z i ] dζ ζ 2 +? (f) Bewijs F (it) = π i log t +, t > of t <. t (g) Bewijs F (it) = 2 i log + t, < t < +. t (h) Geef een zo groot mogelijk gebied Ω aan in C waar de functie z 2 ilog i + z i z goed gedefinieerd en holomorf is. (i) Bewijs : (j) Bewijs ook: F (2) = 2 ilog i + z i z bgtg x = arctan x = 2 i log i + x i x voor Im z < of Re z >. voor x in IR. Oefening 7. (i) Bewijs : log x log 2 π2 dx = (x 2)x 8. (ii) Bewijs : π/2 log (cost)dt = π log 2. 2 Aanwijzing: bekijk Γ log z log 2 dz, met Γ als in de figuur. (z 2)z

24 24 Oefening 72. Zij Π = {(x, y) IR 2 : y > } en zij u : Π IR een harmonische functie zodanig dat voor iedere h > de uitdrukking sup{ u(x, y) : x IR, y h} eindig is (i) Bewijs voor y > h > en x in IR de gelijkheid u(x, y) = π π/2 π/2 Aanwijzing. Subsitueer t = x + (y h) tan ϑ. (ii) Zij α > Bewijs π/z u(x + (y h) tan ϑ, h)dϑ. (cos ϑ) α cos(αϑ)dϑ = π2 α Aanwijzing. Bekijk u(x, y) = Re ( ix + y) α voor (x, y) = (, 2) (iii) Voor welke andere complexe getallen α geldt de gelijkheid (ii)? Oefening 73. Zij Π = {z C : Im z > } en definieer f : Π C door f(z) = z log z + πi, z Π. Definieer f : IR\{} C door f (t) = lim f(t + ih), t IR\{}i. h { t log t + πi, t > (i) Bewijs f (t) = t log t, t < (ii) Laat z en z tot Π behoren en veronderstel z z. Bewijs f(z) f(z ). (iii) Bepaal f (IR\{}). (iv) Wat zou f(π) zijn? (v) Is f een conformiteit van Π op f(π)?. Oefening 74. Bewijs de volgende veralgemening van de stelling van Rouché. Laat Ω een open gebied in C zijn en laat γ : [α, β] Ω een gesloten kromme in Ω zijn zodanig dat de deelverzameling {z C \γ[α, β] : Ind γ (z) = } helemaal tot Ω be hoort en zodanig dat C \ γ[α, β] = {z C \ γ[α, β] : Ind γ (z) = } {z C \ γ[α, β] : Ind γ (z) = }. Laat f en g tot Hol(Ω) behoren en veronderstel f(z) g(z) < f(z) + g(z) z γ[α, β]. Bewijs dat het aantal nulpunten van γ in Ω gelijk is aan het aantal nulpunten van g in Ω. Hierbij worden multipliciteiten meegerekend.

25 Oefening 75. Zij Ω een samenhangende open deelverzameling van C en laat h, h, h 2 reëelwaardige harmonische functies op Ω zijn. Voorts laat U een niet lege open deelverzameling van Ω zijn. (a) Veronderstel dat h niet constant is. Bewijs dat h geen locaal maximum heeft. (b) Veronderstel h (z) = h 2 (z), z Ω. Aanwijzing bij (b). Pas (a) toe met h = h h 2. Oefening 76. Zij Γ : [α, β] C \{} een continue differentieerbare kromme en zij ψ : [α, β] IR een continue differentieerbare functie zodanig dat Γ(t) = e 2πiψ(t) Γ(t), α t β. 25 (a) Bewijs : 2πi Γ dw w Γ(β) = ψ(β) ψ(α) + log 2πi Γ(α) (b) Veronderstel ook nog dat Γ gesloten is. Bewijs Ind Γ () = ψ(β) ψ(α). (c) Laat nu γ : [α, β] C een andere gesloten kromme zijn zodanig dat C \γ[α, β] = Ω Ω met Ω = {z C \γ[α, β] : Ind γ (z) = } en met Ω = {z C \γ[α, β] : Ind γ (z) = }. Voorts laat Ω een open deelverzameling zijn van C met Ω Ω en laat f in Hol (Ω) zodanig zijn dat Γ = f γ met Γ als boven. Bewijs dat het aantal nulpunten van f in Ω gelijk is aan ψ(β) ψ(α) (zoals steeds worden hier de multipliciteiten meegerekend). Opmerking. Laat Γ zijn als in oefening 76. Men kan bewijzen dat er een continue differentieerbare functie ψ : [α, β] C bestaat met Γ(t) = e 2πiψ(t) Γ(t), α t β. Oefening 77. Zij n in IR en zij f : C C gegeven door f(z) = z 2 n z n. Bewijs dat f precies één nulpunt heeft in de cirkelschijf {z C : z < 2}. Aanwijzing. Pas oefening 74 toe met g = f Oefening 78. Zij Π = {z C : Re z > } en zij f : Π C een begrensde holomorfe functie, waarvoor g(z) = lim n f(n z) bestaat voor alle z Π. Bewijs dat g constant is. Oefening 79. Zij a > en definieer Ω door Ω = ( {z C : Re z > } {z C : z > } ) \[, a].

26 26 (i) Construeer een confirmiteit van Ω op het bovenhalfvlak. (ii) Geef ook aan hoe de rand getransformeerd wordt. Oefening 8. Zij U = {z C : z < } en kies a in U. Bewijs voor z = z e iϑ in U. +π r 2 2π π 2r cos(ϑ t) + r log 2 eit a dt = log āz, z = re iϑ. Oefening 8. Bewijs : n= ( ) (2n + ) 3 = π3 32. Aanwijzing. Bekijk de functie z π (2z + ) 3 sin πz. Oefening 82. Zij γ : [α, β] C een gesloten kromme zodanig dat C \γ[α, β] = Ω Ω met Ω = {z C : Ind γ (z) = } en Ω = {z C : Ind g amma(z) = }. Voorts is Ω een open deel van C met Ω Ω. Laat f : Ω C een holomorfe functie zijn met de volgende eigenschappen : (i) Het aantal nulpunten van f in Ω is precies ; (ii) f (γ([α, β])) {w C : w = }. We gaan bewijzen dat f een conformiteit van Ω op U is. Hierbij is U = {w C : w < }. (a) Bewijs eerst f(ω ) U. (b) Bewijs dan f(ω ) = U. Aanwijzing. Stel f(ω ) U, maar f(ω ) U. Kies w in U\f(Ω ) en bekijk de functie z ( f(z)) w)(w f(z)). (c) Bewijs dat f injectief is. Aanwijzing. Neem a in Ω en vergelijk in de veralgemeende stelling van Rouché de functie f met de functie z (f(z) f(a))( f(a)f(z)). Voor z γ[α, β] geldt dan f(z) f(a) f(z) f(a)f(z) < 2 = f(z) + f(z) f(a) f(a)f(z).

27 27 Oefening 83. Bewijs n= ( ) n (n + a) = π3 + cos 2 aπ 3 2 sin 3 aπ, a ZZ. Oefening 84. (a) Bewijs voor a ZZ de gelijkheid: lim +N N n= N ( ) n n + a = π sin πa. (b) Bewijs voor a C \{}, a <, de gelijkheid ( ) n log n= ( ) a2 n 2 = log ( tan πa ) 2. πa 2 Oefening 85. Zij π < a < +π en zij Ω de open deelverzameling van C gedefinieerd door Ω = {z C : Im z < π}\[ πi, ai]. (a) Construeer een conformiteit van Ω op het open bovenhalfvlak. (b) Geef ook precies aan hoe de rand van Ω getransformeerd wordt. Oefening 86. (a) Construeer een conforme afbeelding van Ω i, i =, 2, 3, 4, 5, 6, 7 op het bovenhalfvlak, waarbij Ω i achtereenvolgens gegeven wordt door : Ω = {z C : Im z > } {z C : z i > }, Ω 2 = {z C : Im z > } {z C : Re z >} {z C : z i > }, Ω 3 = {z C : Im z > } {z C : < Re z < }, Ω 4 = {z C : z > }\[, ], Ω 5 = C \{[, ] [i, i ] [ i, i ]}, Ω 6 = {z C : Re z > } {z C : z i > } {z C : z + i > }, Ω 7 = [{z C : Re z > } {z C : z > }]\[, a], a >. (b) Geef in alle gevallen ook precies aan hoe de rand getransformeerd wordt.

28 28 Oefening 87. Zij Ω een enkelvoudig samenhangend open gebied in C, zij z in Ω en zij U = {w C : w < }. Dan bestaat precies één conforme afbeelding f van Ω op U met f(z ) = i en met f (z ) >. Bewijs deze bewering uitgaande van de afbeeldingsstelling van Riemann. Oefening 88. Zij V = {z C : Re z > } en definieer de functies b en g achtereenvolgens door f(z) = log z2 + t 2 + t dt, g(z) = 2 (a) Bewijs dat f en g goed gedefinieerd zijn op V. 2z 2 bgtg t dt, z 2 + t 2 t z V (b) Bewijs dat f en g holomorf zijn op V. (c) Bewijs : f(z) = πlog (z + ), z V Aanwijzing. Neem eerst z = x in (, ), bedenk lim x f(x) = en bereken f (x), x > (d) Bewijs : f(z) = g(z), z V. Aanwijzing. Neem weer z = x in (, ) en integreer partiëel. Oefening 89. Zij Ω de open deelverzameling van C gedefinieerd door Ω = {z C : z > }\{z C : Re z en Im z = }. Definieer de functies ϕ en ψ van Ω naar C door : ϕ(z) = 2 (z z ), ψ(z) = 2 (z + ), z Ω. z (a) Bewijs dat ϕ een conforme afbeelding is van Ω op ψ(ω). (b) Bewijs evenzo dat ψ de verzameling Ω conform afbeeldt op ψ(ω). (c) Bepaal ϕ(ω) en ψ(ω). Oefening 9. (a) Zij n IN\{}. Bewijs de gelijkheid n ( ) j π 4 j= 2j + = e t ( )n.2πn. e 2t +. dt t 2 + n 2 π 2 Aanwijzing : Integreer de functies z e z (e 2z + ) z. langs een rechthoek met zijden evenwijdig aan de coordinaat tussen en gaande door nπi en +nπi.

29 29 (b) Bewijs : n ( ) j π 4 j 2j + n. Oefening 9. Zij : V = {z C ; Re z > en Im z > } en zij f : V C een continue functie met de volgende eigenschappen (i) f beperkt tot V is holomorf; (ii) f([, ]) IR; (iii) (iv) lim f(z) = ; z V, z ( Re ) zf(tz) exp( 2πitz) dt is eindog voor z in V. Bewijs voor z V, arg z, de volgende gelijkheid : Oefening 92. zf(tz) Re ( exp( 2πitz) )dt = 2 f(t)dt 2 k= f(k) arg z 2π f() (a) Zij V het gesloten eerste kwadraat in het complexe vlak en zij f : V C een continue functie zodanig dat f beperkt tot het inwendige van V holomorf is. Veronderstel dat f de volgende eigenschappen heeft.. f(t) IR, t ; 2. y lim ye πy sup f(x + iy) = ; sx 4 3. lim x sup y x f(x + iy) =. Bewijs : lim n { n k= ( ) k f(k + ) 2 f() n+ 2 } Im f(it) sinh πt dt =. Aanwijzing. Bekijk Re { f(z) 2πi Γ sin πz dz} met Γ als in het plaatje.

30 3 (b) Bewijs sin αt sinh πt dt = e x 2 e x +, x IR (c) Geef nog andere getallen α aan, waarvoor de gelijkheid (b) geldt. Oefening 93. Noem < α, β < + vast. Zij J k = {it : (2k /2)π t (2k + /2)π}, k ZZ, en definieer de deelverzameling Ω van C door Ω = C \ J k k Z Definieer de deelverzameling Ω van C door Ω = {z C : Im z π}\j. Definieer de functies f respectievelijk g door f(z) = e βz, g(z) = ( i( iez + e z )α, z Ω, en definieer de functies F respectievelijk F 2 door F (z) = f(z)g (z), F 2 (z) = f (z)g(z), z Ω. Laat C, en C 2 gesloten krommen in Ω zijn met Ind C (z) = Ind C2 (z) =, z J k, k, Ind C (z) = Ind C2 (z) =, z J. (a) Bewijs dat f en g holomorf en goed gedefinieerd zijn in Ω. Bewijs ook: (b) Bewijs : (c) Bewijs : lim F (z) =. z,z Ω g (z) = α( i iez 2e z + ie z )α. ), z Ω. ( + ie z ) 2 lim (z πi)f z 2 πi, z Ω 2 2(z) = lim (z + πi)f z 2 xi,z Ω 2 2(z) =. (d) Bewijs : F (±πi + log tan ϑ) = 2iαe ±iβπ (tan ϑ) β+ e /2iαπ e 2iαϑ cos 2 ϑ, < ϑ < 2 π. (e) Bewijs : lim ε F 2 (±ε + iϑ) = βe iβϑ (tan( 2 ϑ + 4 π))α e ±iαπ, 2 π < ϑ < 2 π. (f) Bewijs : c F (z)dz = c 2 F 2 (z)dz. (g) Definieer de kromme C in Ω door C : ϑ 2 πi + log tan ϑ, < ϑ < 2 π, C : ϑ πi + log tan ϑ, 2 π > ϑ >, en definieer voor ε > de kromme C 2,ε door C 2,ε : ϑ ε + iϑ, π ϑ π, C 2 2 2,ε : ϑ ε + iϑ, π > ϑ > π. 2 2 Bewijs: C F (z)dz = lim C ε 2,ε F 2 (z)dz (h) Bewijs : 2sin πβ β π/2 e 2 iαπ (tan ϑ) β e 2iαϑ dϑ = sin πα α π/2 π/2 e iβϑ (tan ( 2 ϑ + 4 π )) α dϑ. (i) Zij G(α, β) de functie in (h). Dan geldt G(β, α) = G(α, β).

31 3 Oefening 94. Zij Ω een open samenhangend deel van C. We identificiëren Ω en Ω = {(x, y) IR 2 : x+iy Ω}. Zij z Ω. (a) Zij h : Ω IR harmonisch. Definieer de functie g : Ω C door g(z) = ( h x i h )(z), z Ω. y Bewijs dat g holomorf is in Ω. (b) Veronderstel dat er een f in Hol (Ω) bestaat met f = g en met f(z ) = h(z ). Dan geldt h = Re f in Ω. Bewijs dit. (c) Zo de functie f in (b) bestaat, dan is zij uniek. Bewijs dit. (d) Veronderstel ook nog dat voor iedere z in Ω het interval [z, z] helemaal tot Ω behoort, m.a.w. Ω is stervormig ten aanzien van z. Bewijs dat de functie g uit (a) een primitieve f heeft met f(z ) = h(z ). (e) Veronderstel dat Ω enkelvoudig samenhangend is. Bewijs weer dat de functie uit (a) een primitieve f heeft met f(z ) = h(z ) (f) Zij h een harmonische functie op een cirkelschijf of een halfvlak in C. Bewijs dat h het reële deel is van een analytische functie. Oefening 95. Zij Ω een open deel van C en zij f : Ω Ω een analytische functie. Laat u : Ω IR een 2x continue differentieerbare functie zijn. (a) Bewijs (uof) = (( u) f) f 2. (b) Als u harmonisch is, dan is u f het ook. Bewijs dit. Oefening 96. Zij Ω een samenhangend open deel van C en f in Hol(Ω) zodanig dat voor iedere n in IN er een functie h n Hol(Ω) bestaat met f h 2n n. Veronderstel dat f niet identiek nul is. (a) Bewijs dat f nergens nul is. (b) Bewijs dat er een functie g in Hol (Ω) bestaat met f = e g. Aanwijzing bij (b). Bekijk 2 n γ f (z) dz, waarbij γ een gesloten kromme in Ω is. f(z)

32 32 Oefening 97. Zij Ω = {z C : z < } {z C : z i > } {z C : z + i > }. (a) Construeer een conforme afbeelding van Ω op het bovenhalfvlak. (b) Geef ook aan hoe de rand getransformeerd wordt. Oefening 98. (a) Bewijs voor x + iy (2N + )πi de gelijkheid y dt π ( + e t )(t x) 2 + y = Re ( 2 + e ) + 2y Im x+iy k= ((2k + )πi x) 2 + y 2 (b) Bewijs y dt lim y π ( + e t )((t x) 2 + y 2 ) = + e, x IR x (c) Was het resultaat in (b) te verwachten. Motiveer uw antwoord. Oefening 99. Zij a in C. Laat f en g functies zijn die holomorf zijn in een omgeving van a. Laat f een nulpunt van orde m in a hebben, en laat g een nulpunt van orde n in a hebben. Veronderstel dat de limiet f (z) lim z a g (z) = l bestaat. (a) Bewijs m n en bewijs l = voor m > n. f(z) (b) Bewijs dat lim z a bestaat en dat l = lim g(z) z a f(z) g(z) Oefening. (a) Zij < α < 2 en zij a >. Bewijs de gelijkheid : e αs cos απ ssin απ.π ds = π e 2s + a2 s 2 + π 2 + a aα 2 a cos απlog a + πsin απ (log a) π2 Aanwijzing. Integreer de functie langs een geschikte weg z eαz e z + a 2. z (b) voor welke complexe getallen a en α geldt bovenstaande gelijkheid nog meer?

33 33 Oefening. Zij a > en definieer de open deelverzameling Ω van C door Ω = { z C : z 2 > 2 en z + 2 > } \(, a]. 2 (a) Construeer een conforme afbeelding van Ω op het open bovenhalfvlak. (b) Geef ook aan hoe de rand getransformeerd wordt. Oefening 2. Laat Ω een n-voudig samenhangend open gebied in C zijn. Voorts laat A, A n de begrensde samenhangscomponenten van C \Ω zijn. Kies voor iedere j, j n, een punt a j in A j. (a) Laat g : Ω C een holomorfe functie zijn. Bewijs dat er complexe getallen c,..., c n bestaan tesamen met een holomorfe functie f : Ω C zodanig dat g(z) = f (z) + n j=s c j z a j, z Ω. (b) Laat u : Ω IR een harmonische functie zijn. Bewijs dat er reële constantes c,..., c n bestaan tesamen met een holomorfe functie f : Ω C zodanig dat n u(z) = Re f(z) + c j log z a j, z Ω. j= Aanwijzingen. Bij (a). Kies voor iedere j n een gesloten weg γ j in Ω die A j omringt en definieer de constantes c j, j n, door c j = g(z)dz 2πi γ j Bij (b). Zij g = u x i u y, en definieer c j, j n als in (a). constantes c j reëel zijn. Bewijs dat de Oefening 2 bis. Laat Ω een open samenhangende deelverzameling van C zijn en kies a in Ω. Veronderstel dat er een harmonische functie u : Ω IR bestaat met lim u(z) = log ζ a, ζ z ζ,z Ω Ω.

34 34 Veronderstel tevens dat er een holomorfe functie ϕ : Ω C bestaat met u = Re ϕ. Definieer f : Ω C door f(z) = (z a)e ϕ(z), z Ω. Bewijs : f(ω) U, met U = {z C : z < }. Aanwijzing. Voor de inclusie f(ω) U bewijs eerst f(z), voor z Ω. Voor de inclusie f(ω) U neem w U\f(Ω), zo deze er zou zijn en bekijk de functie Oefening 3. z wf(z) f(z) w, z Ω. Zij L = [, ] en zij de open deelverzameling Ω van C gedefinieerd door Ω = {z C : Re z > } \ { e 4 πi L L e 4 πi L }. Construeer een eenforme afbeelding van Ω op het bovenhalfvlak. Geef ook aan hoe de rand getransformeerd wordt. Oefening 4. Bewijs π sin πz = z + ( ) k 2z z 2 k = lim 2 k= +N IN n= N ( ) n n n, z C \ZZ Oefening 5. Bereken dt (t + )((log t) 2 + π 2 ). Oefening 6. Zij Ω = {w C : < Re w < +} en definieer f : Ω C door f(w) = (a) Bewijs dat f tot Hol(Ω) behoort t w dt, < Re w < + t 2 (b) Bewijs (c) Bewijs f(w) = [,w] f(w) = ie 2 πiw t ζ log t ( dt)dζ, w Ω. t 2 τ w τ z + dτ + πi, w Ω. 2

35 35 (d) Bewijs f(w) = 2 π tan 2 πw, w C. (e) Geef een zo groot mogelijk gebied Ω C aan tesamen met een holomorfe functie f : Ω C met f beperkt tot Ω gelijk aan f en met Ω Ω. (f) Bereken sin (αlog t) dt, t 2 α IR. (g) Bereken dt (t + )((log t) 2 + π 2. Oefening 7. Zij Ω = C \{(, ] {z C : z, Re z }} (a) Construeer een conformiteit van Ω op het bovenhalfvlak (b) Geef ook aan hoe de rand getransformeerd wordt Oefening 8. Zij Ω een samenhangend open deel van C. Laat (f n : n IN) een rij functies zijn op Ω die uniform op compacte delen, naar een functie f convergeert. Veronderstel f n Hol(Ω), n IN, en veronderstel f. Laat z een nulpunt zijn van f. Bewijs dat er een deelrij (f mn : n IN) van de rij (f n : n IN) bestaat tesamen met een rij (z n : n IN) in Ω zodanig dat lim z n = z en zodanig dat f mn (z n ) =. Oefening 9. Laat U een niet leeg open deel zijn van een enkelvoudig samenhangend open deel Ω van C en laat h en h 2 twee reëelwaardige harmonische functies zijn, gedefinieerd op Ω, zodanig dat h U = h 2 U. (a) Bewijs h = h 2 op Ω. (b) Mag men de enkelvoudige samenhang van Ω vervangen door gewone samenhang? Motiveer uw antwoord. (c) Mag men de open verzameling U door een kleinere verzameling vervangen? Motiveer uw antwoord.

36 36 Oefening. Bewijs, voor x in IR en y >, de gelijkheid y π cos t (t x) 2 + y dt = 2 e y cos x. Oefening. Zij Ω = {z C : Im z > }\{z C : Re z en z }. (a) Construeer een conformiteit van Ω op het bovenhalfvlak. (b) Geef ook aan hoe de rand getransformeerd wordt. Oefening 2. Zij Ω = C \(, ] en definieer f : Ω C door : f(z) = log z + [z,z+ ) e s s ds, z Ω. (a) Bewijs dat f goed gedefinieerd is en dat f tot Hol(Ω) behoort. Bewijs ook f (z) = e z, z Ω. z (b) Zij γ de constante van Fuler. Dus γ = (log s)e s ds. Bewijs γ + f(z) = [,z] e s ds, z Ω. s (c) Construeer een functie g, die holomorf is op C, met g = f op Ω. Oefening 3. Laat a,..., a n, n verschillende complexe getallen zijn die niet negatief reëel of nul zijn. Laat f een holomorfe functie zijn op C \{ a,..., a n } met polen van de eerste orde in a,..., a n Veronderstel lim z f(z) z β =, voor alle β <. Zij < α <. (a) Definieer de functie g door g(z) = f( z)z α dan is g holomorf op C \{(, ] {a,..., a n }} en Res (g, a j ) = Res (f; a j )a α j, j n.

37 37 (b) Bewijs de gelijkheid f(t)t α dt = π sin απ n j= Res (f, a j )a α j. (c) Is de gelijkheid in (b) in overeenstemming met oefening 24? Motiveer uw antwoord. (d) Voor welke getallen α geldt de gelijkheid in (b) nog meer? Motiveer uw antwoord, (e) Bedenk een formule voor f(t)t α log tdt (f) Bewijs bvb. met behulp van (b), de gelijkheid f (t)t α dt = απ sin απ n j= Res (f, a j )a α j. (g) Bewijs de gelijkheid f() = n j= Res (f, a j ) a j. Oefening 4. Zij Ω = C \{(, ] [ i, i] [i, i )}. (a) Construeer een conforme afbeelding van Ω op het bovenhalfvlak. (b) Geef ook aan hoe de rand getransformeerd wordt. Oefening 5. Zij Π + = {z C : Im z > } en laat f : Π + C een continue functie zijn met de volgende eigenschappen (i) f beperkt tot Π + is holomorf; (ii) f beperkt tot de reële as is begrensd; (iii) Er bestaat een constante M, met f(z) M( + (z ), Π +. Bewijs dat er een constante e bestaat zodanig dat de functie (x, y) Re f(z) + cy, z = x + iy Π +, een begrensd harmonische functie is. Aanwijzing. Kies een stijgende rij positieve getallen (R j : j IN), met lim j R j =, f(r j z) zodanig dat C(z) := lim bestaat voor z in Π +. Bovendien mogen we, indien nodig, j R j z veronderstellen dat deze limiet uniform op compacte delen van Π + convergeert.

38 38 Oefening 6. Laat a,..., a n complexe getallen zijn en laat f : C \{a,, a n } C een holomorfe functie zijn, veronderstel dat a,..., a n polen van f zijn, veronderstel eveneens dat lim z f(z) = (a) Bewijs dat f een rationale functie is met de eigenschap lim sup zf(z) <. z (b) Bewijs dat de functie f in oefening 3 eveneens bovenstaande eigenschap heeft. Aanwijzing. Laat m, m n de multipliciteiten zijn van de polen a,..., a n. Bekijk voor ζ in C vast naar willekeurig Oefening 7. Γ f(z)dz (a) Bewijs voor a > de gelijkheid Γ f(z) (z a ) m... (z a n ) mn (z ζ) m m n dz. + e s ads s 2 + a 2 = π 2. (b) Voor welke getallen a geldt de gelijkheid in (a) nog meer. Motiveer uw antwoord. (c) Bereken dt + t (log t) 2 + a 2 Vergelijk het een en ander met oefening 98. Oefening 8. Zij Ω = C \ {[ } 2, ) op het bovenhalfvlak. Oefening 9. Bewijs : log ( + s 2 ) ds = ( + s 2 ) n+ {{ 2 eiϑ : ϑ 2 π }}. Construeer een conforme afbeelding van Ω ( ) ( ) π 2n n n + j log 2, n, n IN; 4 n n j= j n j πlog 2, n =.

39 39 Oefening 2. Verifieer de volgende gelijkheden : (a) y π (b) y π log s ds = log x + iy, x IR, y >. y 2 + (s x) 2 log s y 2 + (s x) 2 ds + i y ds = log (x + iy), x IR, y >. y 2 + (s x) 2 Oefening 2. ( Zij Ω = {z C : Re z > } {z C : z2 5 8 > 3 ) 8 } \[, ). a. Geef in een tekening de ligging van Ω aan. b. Construeer een conforme afbeelding van Ω op het bovenhalfvlak. c. Geef ook aan hoe de rand getransformeerd wordt. Oefening 22. Zij V = {z C : Re z en Im z } en zij f : V C een continue functie met de volgende eigenschappen : (a) lim z,z V f(z) z = ; (b) f beperkt tot (, ) is continu differentieerbaar; (c) f(2) IR. Bewijs : Geef voor beelden van zulke functies f Oefening 23. f(x) f(2) π/2 dx = Im f( + itanϑ)ϑ; x(x 2) π π/2 2 f(2) = Re f( + i tan ϑ)dϑ. Zij γ de constante van Fuler. Dus γ = Γ (). Definieer de functie ψ : (, ) IR door ψ(x) = k= x k(k + x) x γ.

40 4 (a) Bewijs : ψ (x) = te tx dt, x >. e t (b) Voor welke complexe getallen x geldt de gelijkheid in (a) nog meer? Motiveer uw antwoord. Opmerking. Men kan bewijzen : ψ(x) = Γ (x), x >, (Γ Gamma-functie). Γ(x) Oefening 24. Zij Ω = C \{,, 2,...} en zij Γ : Ω C de Gamma-functie. Schrijf voor z in een omgeving van (a) Bewijs a = a = a 2 =... =. Γ(z) = a k z k + a k z k, k= k= (b) Bewijs a =, a 2 = e t log t dt = γ. (c) Voor welke complexe getallen z convergeert bovenstaande reeks? Motiveer uw antwoord. Oefening 25. Bewijs : π (π ϑ)ϑ sin ϑ dϑ = 2 (log t) 2 t dt = 2 s 2 2 e 2s e s ds = 7 2 Aanwijzing. Bekijk log z(log z iπ) dz met Γ een geschikte weg. 2πi Γ z 2 Oefening 26. l= l 3. (a) Zij < α < +. Bewijs 2 2 α π (t α )t α t 2 cos απ dt = sin 2απ. (b) Voor welke complexe getallen α geldt de gelijkheid in (a) nog meer? antwoord. Aanwijzing bij (a). Bekijk met Γ een geschikte weg. 2πi Γ (z α e iπα )(z α e iπα ) dt, z 2 Motiveer uw

41 4 Oefening 27. Bewijs de gelijkheid: Aanwijzing : t t 2 dt = 2 log (2π). (t + k) 2 k= t t 2 k= (t + k) dt = ( 2 2 k Z (t + k) 2 t 2 ( t) )(t 2 t2 )dt = π 2 ( 2 sin 2 πt t 2 ( t) )dt 2 (tweemaal partiële integratie) sin πt = log π + log t( t) dt = 2 log (2π). Oefening 28. Bewijs voor p > en ϑ IR de gelijkheid : Oefening 29. +π 2π π Bewijs, voor z C \[ + ] de gelijkheid cos t p cos(ϑ t) dt = { p } cos ϑ p2 π dϑ z + π z cos ϑ = z z +. met w = exp( log w) en log w als in oefening 5. 2 Oefening 3. Zij Ω de deelverzameling van C gedefinieerd door Ω = {z C : Im z > } \ {z C : z en 4 π arg z 3 } 4 π. (a) Geef in een tekening de ligging van Ω aan. (b) Construeer een direct conforme afbeelding van Ω op het bovenhalfvlak π = {z C : Im z > } zodanig dat f(2i) = i en f (2i) >. (c) Geef ook aan hoe de rand getransformeerd wordt

42 42 Oefening 3. Zij Ω de open deelverzameling van C gedefinieerd door ( { Ω = C \ (, ] z C : z 2 = }) 2 en Re z. 2 (a) Geef in een tekening de ligging van Ω aan (b) Construeer een conforme afbeelding van Ω op het bovenhalfvlak Π = {w C : Im w > } met f() = i en met f () >. (c) Geef ook aan hoe de rand getransformeerd wordt Oefening 32. Zij Ω de deelverzameling van C gedefinieerd door Ω = C \ {(, ] {z C : z + 2 = } 2 en Re z 2 }. (a) Geef in een tekening de ligging van Ω aan. (b) Construeer een conforme afbeelding van Ω op het bovenhalfvlak Π + = {w C : Im w > } (c) Geef ook aan hoe de rand getransformeerd wordt Oefening 33. Laat α en β reële getallen zijn, waarvoor < α < + en < β < + (a) Bewijs : 2 t α t β π t 2 dt = tan 2 απ tan 2 βπ. (b) Bewijs : 2 t α log t π t 2 dt = π 2 cos 2 2 απ. (c) Voor welke complexe getallen α en β gelden de gelijkheden in (a) en (b) ook! Motiveer uw antwoord. Aanwijzing. Bestudeer. met Γ een geschikt gekozen weg. 2πi Γ (z α eiπα)(z β e iπβ ) dz, z 2

43 43 Oefening 34. Zij Γ een gesloten kromme in C die het vlak in tweeën verdeelt in de zin dat C \Γ = Ω Ω met Ω = {z C : Ind Γ (z) = } en Ω = {z C \Γ : Ind Γ (z) = }. Veronderstel dat Ω samenhangend is en dat n een natuurlijk getal is waarvoor n tot Ω behoort. Het getal n wordt groter dan of gelijk aan verondersteld. Bewijs dat er een complex getal z = x + iy in Γ bestaat met y = (n + x ) tan( y +kπ ) voor een zeker geheel n getal k. Aanwijzing. Vergelijk de functies z e z en z ( + z n )n en de Stelling van Rouché. Oefening 35. a. Geef een zo groot mogelijk gebied aan waar de functie z log z z(z )(z 2) holomorf is. Geef ook de aard en de ligging van de singulariteiten. b. Bewijs : bg tg s ds + s 2 s = πlog 2 2 Aanwijzing : integreer de functie uit (a) langs een geschikte contour. Oefening 36. a. Bewijs : n Z ( ) n cos hπns = ( ) n n Z sinh((n + /2)π/s), s >. b. Voor welke complexe getallen s geldt de gelijkheid in (a) ook nog? Oefening 37. a. Definieer de functie ϕ : (C \ZZ)x{s C ; Re s > } C door ϕ(a, s) = n Z (n a) s. Ga na dat de functie ϕ op het aangegeven gebied holomorf is (zowel in a als in s). b. Bewijs : n Z (n a) = π s (s )! ( d dz )s cotg πz z=a, s = 2, 3, 4,... c. Heeft de gelijkheid in (b) ook betekenis voor s =?

44 44 Oefening 38. a. Bewijs, voor < α < 2π, de gelijkheid π 2 (cosh πτ) 2 e τα dτ = α 2 sin α 2 b. Voor welke complexe getallen α geldt de gelijkheid in (a) nog meer? c. In het bijzonder, bewijs met behulp van (a), π 2 (cosh πτ) 2 e iτξ dτ = ξ 2 sinh ξ, 2 ξ IR. Oefening 39. Zij f : IR IR een begrensde continue functie. Definieer de functie u door u(τ, s) = cos πs cosh π(τ σ) sin πs f(σ)dσ a. Geef een zo groot mogelijke open deelverzameling van IR 2 waarop u goed gedefinieerd is. b. Bewijs dat u aldaar harmonisch is. Aanwijzing: Bekijk: Im Oefening 4. ie π(τ+is). Laat a, b positieve reële getallen zijn. Zij Ω = { z C : z + a < + a 2 } { z C : z + b < + b 2}. a. Geef in een tekening de ligging van Ω aan. b. Construeer een conforme afbeelding van Ω op het bovenhalfvlak. Oefening 4. Zij ξ een strikt positief getal. Bewijs onderstaande gelijkheden : (a) (b) 2π exp( iξτ) dτ =, t > ; (t + iτ) 2 exp( iξτ) 2π (t + iτ) dτ = 2 ξetξ, voor t <. Wat zijn bovenstaande uitkomsten indien ξ = en t?

45 45 Oefening 42. Definiëer de functie f : {z C : Re z > } C door middel van de integraal : f(z) = log (z 2 + t 2 ) + t 2 dt, waarbij z tot V := {z C : Re z > } behoort. Bewijs de volgende beweringen : (i) De functie f goed gedefiniëerd is op V ; (ii) De functie f is holomorf op V ; (iii) Voor z V geldt f(z) = πlog ( + z). Aanwijzing bij (iii) : Bereken eerst f (x) voor x >. Oefening 43. Zij Ω := { z C : z 2 < {z C : Im z < z }. 2} Wat is het beeld van Ω onder de afbeelding z? Geef ook nauwkeurig aan hoe de rand z van Ω onder deze afbeelding getransformeerd wordt. Oefening 44. Bewijs voor t C \ ZZ de gelijkheid Oefening 45. k= (k + t) 2 = π2 sin 2 πt a. Geef een zo groot mogelijk gebied aan waar de functie z (log z) 2 z(z ) 2 (z 2) holomorf is. Geef ook de aard en de ligging van de singulariteiten. b. Bewijs : (bgtg s) 2 ( log + s 2 ) 2 ( + s 2 ) s 2 ds = π 2 (log 2)2. Aanwijzing : integreer de functie uit (a) langs een geschikte weg.

46 46 Oefening 46. a. Zij Ω het open deel van C gedefinieerd door Ω = {z C : z + i < } \ ( {z C : z + > } {z C : z > } ). Construeer een conforme afbeelding van Ω op het bovenhalfvlak Π := {w C : Im w > }. b. Geef ook precies aan hoe de rand getransformeerd wordt. c. Bestaat er een direct conforme afbeelding van Ω op het bovenhalfvlak? Motiveer je antwoord. d. Schrijf ρ(ϕ) = cos ϕ + sin ϕ 2sin ϕ cos ϕ, ϕ π. Construeer een harmonische 2 functie h : Ω IR met de volgende eigenschappen: () lim r h ( i + re iϕ ) =, π < ϕ < ; (2) lim r h ( i + irρ(ϕ)e iϕ ) =, < ϕ < 2 π; (3) lim r h ( i + rρ(ϕ)e iϕ ) =, < ϕ < 2 π.