4.0 INTRO. Quiz. Als je 2250,- op je spaarrekening zet, heb je dan na twee jaar meer dan 3050? Vraag 9

Transcriptie

1 71

2 4.0 INTRO Quiz We houden een quiz van tien vragen. Op elk van de vragen moet je met ja of nee antwoorden. Waarschijnlijk weet je bij de meeste vragen niet zeker wat het goede antwoord is; dan kies je maar het antwoord dat jou het beste lijkt. Het is dus niet de bedoeling dan je uitgebreide berekeningen maakt. In het vervolg van dit boekje gaan we die berekeningen wel maken. Bij sommige vragen staat bij welke opgave dit gebeurt. Je leraar heeft de goede antwoorden. Een goed antwoord levert 1 punt op, een fout antwoord 0 punten. Vraag 1 (opg.11) Als je 2250,- op je spaarrekening zet, heb je dan na twee jaar meer dan 3050? Vraag 2 Moet je meer dan duizend keer rond trappen om 10 km te fietsen? Vraag 3 (extra 6) Drinkt een gemiddelde Nederlander alles bij elkaar in een jaar minder dan 400 liter? Vraag 4 Weegt een suikerklontje meer dan 10 gram? (opg.29) Vraag 5 Past de breedte van je duim meer dan 20 keer in de lengte van je voet? Vraag 6 (extra 1) Kun je met 1 m³ water meer dan tien keer douchen? Vraag 7 (opg.16) Als je goed door trapt, kun je dan meer dan 4 meter per seconde fietsen? Vraag 8 (extra 10) Is het mogelijk binnen 24 uur tot 1 miljoen te tellen? Vraag 9 (opg.33) Telt de voorgevel van een normaal woonhuis met één verdieping meer dan stenen? Vraag 10 Is het mogelijk dat 500 leerlingen deze vragenlijst allemaal verschillend invullen? Hoeveel punten heb jij gehaald? 72 Hoofdstuk 4 SCHATTEN EN METEN

3 4.1 SCHATTEN 1 Tino doet boodschappen. In zijn winkelwagen heeft hij een fles cola, een zak chips, jam,zes eieren, een fles melk, twee flessen yoghurt en een pond jonge kaas. Je kunt natuurlijk niet weten wat deze artikelen precies kosten, maar misschien heb je toch enig idee in de buurt van welk bedrag de boodschappen in totaal zullen uitkomen. a Welk bedrag denk je dat dat ongeveer is? 1 Schat hoeveel letters er in dit boek staan. En hoeveel woorden. Schrijf ook op hoe je aan je schatting komt. 2 Het plaatje hieronder is een zogenaamd Koch-eiland. De cola kost 0,49, de zak chips 0,65, de eieren 1,29, de jam 0,89, de melk 0,69, een fles yoghurt kost 1,10 en de kaas kost 3,40. Verder moet per fles 0,25 statiegeld betaald worden. Tino haalt bij de kassa twee briefjes uit zijn portemonnee: een van 10 euro en een van 5 euro. b Denk je dat dit genoeg is? Maak een schatting van het bedrag dat Tino moet betalen, niet door het precieze bedrag uit te rekenen, maar door (uit het hoofd) grof met afgeronde bedragen te werken. c Reken met je rekenmachientje uit hoeveel Tino precies moet betalen. Om bedragen precies uit te rekenen werkt een rekenmachine gemakkelijk en snel. In deze paragraaf vragen we je eerst een bedrag te schatten; we willen dan alleen weten hoe groot het bedrag ongeveer is en kunnen dus met afgeronde bedragen werken. Schatten doe je uit je hoofd. Het eiland heeft een erg kronkelige rand, die bestaat uit allemaal driehoekjes. Zo ziet een stukje rand met vier puntjes er sterk vergroot uit: 2 a Zeg - zonder veel rekenen, maar door te schatten - of 9,65 89,3 meer of minder is dan Schrijf ook op waarom. Reken daarna met je rekenmachine het precieze antwoord van 9,65 89,3 uit. Beantwoord zo ook de volgende vragen; eerst zonder rekenen, maar door te schatten. Reken daarna het precieze antwoord uit met je rekenmachine. b Is 31,7 29,2 groter dan 1000? c Is 31,7 : 29,2 groter dan 1? d Is 5503, ,99 groter dan ? e Is 5503, ,99 groter dan ? 3 Anneke krijgt bij Engels elke les een schriftelijke overhoring van tien Engelse woordjes. Elke fout kost een punt. Ze heeft de volgende cijfers gehaald: 2, 8, 8, 7, 6, 5, 7, 6, 6, 4, 7, 8. a Zeg - zonder het gemiddelde uit te rekenen - of Anneke meer of minder dan een 7 gemiddeld heeft. Schrijf ook op hoe je dat kunt zien aan de cijfers. b Reken het precieze gemiddelde uit met je rekenmachine. Schrijf ook op hoe je dat doet. Je zou kunnen tellen hoeveel puntjes het Koch-eiland heeft. Maar dat monnikenwerk is natuurlijk niet de bedoeling. Schat hoeveel puntjes het Koch-eiland heeft. Schrijf ook op hoe je te werk bent gegaan. 3 Op de volgende bladzijde zie je een kaartje van een stuk van Noord Frankrijk, met de rivier de Seine. Zoals je ziet, kronkelt de Seine nogal. Bij het kaartje staat een schaalstok. Daarop kun je zien hoe lang 10, 20, 30, 40 en 50 km op het kaartje zijn. a Schat - zonder te meten - de afstand van hartje Parijs naar de monding van de Seine hemelsbreed (dat wil zeggen rechtstreeks, volgens een rechte lijn). Meet daarna die nauwkeurig afstand op. b Anneke zakt met een bootje de Seine af, van hartje Parijs naar de monding. Schat de afstand die Anneke aflegt. 73

4 4 Een klaslokaal is 7,20 meter lang, 6,45 meter breed en 3,10 meter hoog. a Schat de inhoud van het lokaal (in m³). Kies uit 50, 100, 150 en 200 m³. Reken de inhoud daarna ook precies uit. Een schoolplein is 90 meter lang en 48 meter breed. Het is geplaveid met vierkante betontegels van 30 bij 30 cm. b Schat hoeveel tegels er ongeveer op het schoolplein liggen. Kies uit 500, 5000, , Reken het aantal tegels daarna ook precies uit. 5 Suzanne gaat op vakantie in Zwitserland en heeft dus Zwitserse francs nodig. In het overzicht hieronder zie je dat 1 franc 0,61605 kost. VALUTAKOERSEN De kosten van de buitenlandse valuta in euro s (24 feb. 2007) amerikaanse dollar 0,75953 australische dollar 0,60147 canadese dollar 0,65545 engelse pond 1,49142 japanse yen 0,00627 nieuwzeelandse dollar 0,53646 zweedse kroon 0,10752 zwitserse franc 0,61605 a Suzanne koopt 600 Zwitserse franc. Bereken met je rekenmachientje hoeveel zij hiervoor moet betalen. b Suzanne bedenkt dat 3 franc ongeveer 2 euro is. Ben jij het daarmee eens? Tijdens haar vakantie let Suzanne goed op haar geld. Voordat zij iets koopt wil zij eerst weten of het (te) duur is of niet. Uit het hoofd probeert zij de prijs te schatten in euro s. Ze gebruikt de vuistregel dat 3 franc 2 euro is. c Hoeveel euro bedragen de volgende kosten? De camping kost 15 franc per nacht, een cola kost 1,5 franc, een brood kost 2 franc, een maaltijd in een restaurant kost 36 franc. d Reken met je rekenmachine de precieze kosten uit. Afronden op centen. Controleer of je schattingen redelijk goed waren. Suzanne is zuinig geweest. Aan het eind van haar vakantie houdt zij nog 150 franc over, die zij weer bij de bank gaat terugwisselen. e Hoeveel euro krijgt zij terug? Maak eerst een schatting. Reken daarna met je rekenmachine precies uit hoeveel euro ze terug krijgt. 74 Hoofdstuk 4 Schatten en Meten

5 4.2 PROCENTEN De balk hiernaast is verdeeld in tien even grote stukken. Eén van die stukken is zelf ook weer in tienen gedeeld. Een smal stukje dat je dan gekregen hebt is één procent (1%) van de balk. Eén procent is één honderdste deel. Verdelen 6 De balk hieronder is door een streep in twee stukken verdeeld. Het stuk links van de streep is 40% van de balk, het rechter stuk is 60% van de balk. a Teken net zo n balk (7 cm lang) en verdeel die met een streep in twee stukken. Het stuk links van de streep moet ongeveer 25% van de balk zijn (en het stuk rechts dus 75%). Niet meten, maar op het oog schatten. b Teken nog zo n balk en verdeel die in twee stukken van ongeveer 34% en 66%. Niet meten, maar op het oog schatten. Omdat de balk 70 mm lang is, kun je ook precies berekenen hoe groot de stukken zijn. c Bereken hoe lang 34% van de balk is. Schrijf je berekening op. Meet na of je de streep bij vraag b ongeveer goed gezet had. We gaan de balk nu in drie stukken verdelen. Het linker stuk moet 12% van de balk worden en het rechter stuk 55%. d Teken een balk van 70 mm en verdeel die zo precies mogelijk in drie van zulke stukken. Schrijf ook de berekeningen op die je daarvoor gemaakt hebt. 6 40% van de Nederlanders woont in de stad. Van de stadsbevolking is 20% allochtoon. Van de allochtonen is 30% jonger dan 20 jaar. Hoeveel procent van de Nederlanders woont in de stad, is allochtoon en jonger dan 20 jaar? 7 30% van de leerlingen op school A is meisje en 50% van de leerlingen op school B is meisje. School A is 3 keer zo groot als school B. De scholen fuseren. Hoeveel procent van de nieuwe school is meisje? 8 Een komkommer bestaat voor 94% uit water. Hij ligt een hele dag in de zon en de helft van het water is verdampt. Hoeveel procent van de komkommer bestaat nu nog uit water? 9 20% van de automobilisten is vrouw. Van de vrouwen rijdt 80% te hard, van de mannen rijdt 30% te hard. Hoeveel procent van de snelheidsovertreders is vrouw? 10 Een winkelier verhoogt zijn prijzen met 20%. Een maand later verlaagt hij zijn prijzen met 20%. Is hij nu weer even duur als daarvoor? Wat is het verschil? Voorbeeld Stel dat je 12% van 70 wilt uitrekenen. Dat kan in twee stappen: 1) 1% van 70 is 0,7, 2) 12% is 12 keer zo veel, dus 12 0,7 = 8,4. 7 Bereken: a 13% van 70 b 87% van 70 c 37½% van 400 d 62½% van

6 4.2 PROCENTEN 8 Onder de 875 leerlingen van een school wordt een enquête gehouden over het gemengd gymmen van jongens en meisjes. 48,0% van de leerlingen vindt gemengd gymmen een goed idee, 38,4% is er tegen en de rest heeft geen mening. a Hoeveel procent van de leerlingen heeft geen mening? b Bereken, met je rekenmachine, hoeveel leerlingen voor gemengd gymmen zijn, hoeveel er tegen zijn en hoeveel geen mening hebben. Op de school zitten 425 meisjes en 450 jongens. Van de meisjes was 44% tegen gemengd gymmen, 40% was er voor en 16% had geen mening. c Hoeveel meisjes zijn tegen gemengd gymmen, hoeveel zijn er voor en hoeveel hebben geen mening? d Maak een tabel zoals hiernaast staat. Je hebt al uitgerekend dat er in totaal 420 leerlingen voor gemengd gymmen zijn. Dat aantal is al in de tabel geschreven. Schrijf ook de andere aantallen die je hebt uitgerekend in de tabel. Je kunt nu ook gemakkelijk de aantallen invullen die je nog niet had uitgerekend. Doe dat. 9 Hieronder zijn twee pizza s getekend. Uit de linker pizza is een stuk van 10% gesneden. De rest wordt verdeeld in drie even grote stukken. a Hoeveel procent van de hele pizza is elk van die stukken? b Ook uit de rechter pizza is een stuk gesneden. Hoeveel procent is dat stuk van de hele pizza, schat je: 26%, 46%, 66% of 86%? c Schat hoeveel procent van elk van de volgende pizza s is aangegeven. Dat kun je niet zo heel precies doen. Maar je mag niet meer dan 5% van het juiste antwoord af zitten. 10 Een tuin is verdeeld in vier stukken: een gazon (G), 76 Hoofdstuk 4 SCHATTEN EN METEN

7 een terras (T), bloemperken (B) en een vijver (V). Hieronder is de tuin op schaal getekend. Schat hoeveel procent van de totale oppervlakte in beslag wordt genomen door G, T, B en V. Kies steeds uit 10%, 20%, 30%, 40% of 50%. 11 a Maartje heeft 475 op een spaarrekening staan. Ze krijgt 5% rente per jaar. De rente wordt na een jaar aan de 475 euro toegevoegd. Hoeveel heeft ze over een jaar op haar rekening staan? Je kunt dit bedrag in twee stappen uitrekenen: 1) eerst de rente uitrekenen: 5% van 475 is 5 4,75 = 23,75, 2) en dan de rente bij het oude bedrag optellen: ,75 = 498,75. b Hoeveel heb je na een jaar op je rekening als er nu 680 op staat en je 4,6% rente per jaar krijgt? Pieter heeft 2250 op een spaarrekening staan. Hij krijgt 5,5% rente per jaar. c Hoeveel heeft hij over een jaar op zijn rekening? d En over twee jaar? e Denk je dat er een bank is waar Pieter na twee jaar 3050 zou hebben? Schrijf ook op waarom jij dat denkt. Zie vraag 1 van de quiz. Meer van deze opgaven vind je in het programma Basisvorming 1 van de Wageningse Methode. Kies voor Oefenen met procenten. 77

8 4.3 VERHOUDINGEN Verhoudingstabellen 12 In Duurland worden per 1 november aanstaande alle prijzen met 25% verhoogd. De geldeenheid in Duurland is de florijn. Een pak koffie kostte tot 1 november 3,60 florijnen en daarna 4,50 florijnen. a Maak een tabel zoals hiernaast. oude prijs 3, nieuwe prijs 4, De oude prijs (van voor 1 november) noemen we O, de nieuwe prijs noemen we N. De verhouding tussen O en N is: 4 : 5 (spreek uit: vier staat tot vijf). Dat is een korte manier om te zeggen dat een artikel dat voor 1 november 4 florijn kostte, als nieuwe prijs 5 florijn heeft. Dan weet je automatisch dat een artikel dat voor 1 november 12 florijn kostte, daarna 15 florijn kost. En dat een artikel dat voor 1 november 44 florijnen kostte, daarna 55 florijnen kost. Enzovoort. We bekijken nu een andere prijsverhoging, namelijk met 50 %. b Maak een tabel voor deze prijsverhoging zoals hiernaast. c Wat is nu de verhouding tussen de oude en de nieuwe prijs? Schijf die verhouding met zo klein mogelijke gehele getallen. oude prijs nieuwe prijs Voorbeeld De getallen 12 en 15 verhouden zich als 4 : 5 ; dus 12 : 15 = 4 : 5. Die verhouding kun je niet met nog kleinere gehele getallen zeggen. In de eerste tabel van opgave 12 staat vijf keer dezelfde verhouding: 3,6 : 4,5 = 8 : 10 = 10 : 12,5 = 44 : 55 = 160 : 200. Daarom spreekt men wel van een verhoudingstabel. 13 Schrijf de verhouding van de volgende getallen met zo klein mogelijke gehele getallen. a 11 : 33 b 45 : 75 c 28 : 42 d 4 : 16 : 32 e 8 : 16 : 32 f 5 : 15 : 25 : a Anne, Bart en Crissy hebben samen 17 konijntjes. Ze gaan die verdelen in de verhouding 1 : 2 : 8. Hoeveel konijntjes krijgt ieder? b Schrijf de onderstaande verhoudingen met zo klein mogelijke gehele getallen: 1 : 1 3 : 5 : 14 Mijnheer de Vrij gaat met vakantie in Engeland. Hij wisselt Nederlands geld om in Engels geld. Eén Engelse pond kost (ongeveer) 1,50 euro (wisselkoers van februari 2003). a De Vrij betaalt voor een maaltijd in Londen 22 pond. Hoeveel euro is dat? b Maak een verhoudingstabel voor het wisselen van ponden in euro s. Kies zelf geschikte waarden. 78 Hoofdstuk 4 SCHATTEN EN METEN

9 1 Zweedse kroon is minder waard dan 1 euro; Voor 1 euro krijg je 9 Zweedse kronen. c Maak een verhoudingstabel voor het omwisselen van Zweedse kronen in euro s. Kies zelf geschikte waarden. Iemand heeft een onbekend aantal ponden gewisseld in euro s. Het aantal ponden dat hij wisselde noemen we p en het aantal euro s dat hij daarvoor kreeg noemen we e. d Geef een formule voor e en p. e Geef ook een formule voor e en het aantal kronen k (die hoort bij de tweede tabel). De Londenaar Harold Holiday gaat zijn vakantie doorbrengen in Stockholm. Daarvoor wisselt hij 360 ponden om in kronen. f Hoeveel kronen ontvangt hij? Schrijf ook je berekening op. g Maak een verhoudingstabel voor het omwisselen van ponden in kronen. h Geef een formule voor k en p. Schaal 15 Hiernaast staat een kaartje van een deel van het grensgebied van Nederland en België. Het kaartje heeft schaal 1 : , dat wil zeggen dat 1 cm op het kaartje in werkelijkheid cm is, en dat is 4 km. Een kaartje heeft schaal 1 : betekent dat alle lengtes in werkelijkheid keer zo groot zijn als op het kaartje. Bij Antwerpen is plaats A aangegeven en bij Breda plaats B. Tussen A en B lopen twee wegen: een provinciale weg via Zundert en de grote autoweg A16. De provinciale weg is de kortste. De afstand tussen A en B via die provinciale weg via Zundert is op het kaartje 9,6 cm; meet maar na. a Hoeveel km is die afstand in werkelijkheid. b De autoweg A16 tussen A en B is langer. Hoe lang schat jij dat die weg is? c Maak een verhoudingstabel voor de afstand op het kaartje (in cm) en de afstand in werkelijkheid (in km). op kaartje (cm) in werkelijkheid (km) d De afstand op het kaartje noemen we a (in cm) en de afstand in werkelijkheid b (in km). Geef een formule voor a en b. e We letten nu op de breedte van de grote autoweg A16. Op het kaartje is die ruim 1 mm breed. Hoeveel is dat omgerekend in werkelijkheid? Denk je dat de autoweg echt zo breed is? 79

10 16 Steffanie fietst van Swalmen naar Eijsden. Dat is een afstand van 60 kilometer. Ze doet er drie uur over. a Hoeveel kilometer legt Steffanie per uur af? b Hoeveel minuten doet ze over 1 km? c Na 35 km rijdt Steffanie Beek binnen. Hoe lang is ze dan al onderweg? Hans, de broer van Steffanie, fietst ook van Swalmen naar Eijsden. Hij rijdt 28 kilometer per uur. d Hoe lang doet Hans over de 35 km van Swalmen naar Beek? Je kunt goed gebruik maken van de verhoudingstabel hieronder. afstand (km) tijd (min) e Hans berekent zijn fietstijd zelf als volgt: Ik leg 28 kilometer af in één uur. Op mijn rekenmachine reken ik uit 35 : 28; dat is Ik zal dus 1 uur en 25 minuten onderweg zijn. Welke fout maakt Hans? f Als je een beetje doortrapt, leg je altijd wel 18 km af in een uur. Dat is meter. Hoeveel meter is dat per minuut? En hoeveel per seconde? Zie vraag 7 van de quiz. Meer van deze opgaven vind je in het programma Basisvorming 1 van de Wageningse Methode. Kies voor Oefenen met de rekenmachine. 16 De aarde is bolvormig, maar zij is niet precies een bol. Er zijn namelijk flink hoge bergen op aarde en behoorlijk diepe zeeën. Op de meeste globes merk je daar niets van: die zijn volkomen glad, terwijl er eigenlijk overal deuken en punten op zouden moeten zitten. Laten we eens een globe nemen met een diameter van 64 cm. We gaan uitrekenen hoe hoog bijvoorbeeld de Mount Everest op die globe zou moeten zijn; dat is de hoogste berg op aarde, bijna 9 km hoog. De diameter van de aarde is km. a De globe is een schaalmodel van de aarde: 64 cm op de globe is in werkelijkheid km. Wat is de schaal? b Hoe hoog moet de Mount Everest op de globe zijn? Ook als je afziet van de bergen en zeetroggen is de aarde niet perfect rond: zij is aan de polen afgeplat. De straal (dat is de afstand van het middelpunt van de aarde tot de oppervlakte) is bij de evenaar gemiddeld 6378,3 km en bij de polen 6356,85 km. c Hoeveel hectometer scheelt dat? d Stel dat je bij een globe rekening houdt met de afplatting aan de polen. Hoeveel is de afstand van de Noord- en de Zuidpool, als de evenaar een diameter van 50 cm heeft? 17 We weten niet wie het buskruit heeft uitgevonden, maar men neemt aan dat Berthold Schwarz was, een Duitse monnik, in het begin van de veertiende eeuw. Hij ontdekte dat een zeker mengsel sterk ontplofbaar is: het buskruit. En dat heeft de wereld erg veranderd. a Waarom was de uitvinding van het buskruit zo belangrijk? Misschien weet je dat uit de geschiedenislessen. b Buskruit is een mengsel van salpeter, houtskool en zwavel, in de verhouding 15 : 3 : 2. Wat betekent dat? Anneke heeft een heleboel salpeter en zwavel, maar slechts 12 kilo houtskool. c Maak een verhoudingstabel zoals hieronder. salpeter houtskool zwavel buskruit d Hoeveel kilogram buskruit kan ze maken? 80 Hoofdstuk 4 SCHATTEN EN METEN

11 4.4 HET METRIEKE STELSEL Lengtes meten 18 Machiel en Saskia zijn op vakantie in Tirol. Zij maken daar bergwandelingen. Vandaag hebben ze een grote route uitgekozen. De steilte van het bergpad wisselt nogal. Ze kunnen dan ook niet gelijkmatig wandelen. Machiel heeft langere benen, dus hij kan eerder over grote stenen heen stappen. Gemiddeld zet Machiel dus grotere passen dan Saskia. Machiel en Saskia hebben allebei geteld hoeveel passen ze in 10 minuten zetten: Machiel 580 en Saskia 638. a Laat zien dat het aantal passen dat Machiel zet en het aantal passen dat Saskia zet zich verhouden als 10 : 11. b Maak een verhoudingstabel zoals hieronder. Machiel Saskia 11 c Hoeveel passen zet Machiel ongeveer als Saskia er 1000 zet? d Machiel en Saskia zijn gestart bij hun camping op 300 meter hoogte. Hun wandeling voert naar de Eisseehütte op 2500 meter hoogte. Welk hoogteverschil moeten ze overwinnen? Machiel gaat ervan uit dat hij elke 10 minuten 580 passen zet. Hij heeft berekend dat hij op de hele wandeling ongeveer passen zal zetten. e Hoeveel passen zet Machiel in een uur? Zal de wandeling langer of korter dan 3 uur duren? 19 Hoe groot een bergwandeling is kun je meten in passen, maar ook in uren (hoe lang de wandeling duurt) en ook door het hoogteverschil in meters. Aan elk van de drie manieren kleven bezwaren. a Wat vind jij het nadeel van het meten in passen? b Wat vind jij het nadeel van het meten in uren? c Wat vind jij het nadeel van het meten in meters (het hoogteverschil)? De meter en zijn verwanten Een lichaamsmaat (bijvoorbeeld de pas, de el of de duim) is bij grote mensen anders dan bij kleine mensen. We hebben liever een lengtemaat die voor alle mensen hetzelfde is. Dat is de meter. Het is een kunstmatige maat. Bij Parijs wordt sinds 1798 een platina staaf bij 0 C bewaard waarvan we de lengte 1 meter noemen. De bordliniaal in het wiskundelokaal is ook 1 meter lang; die behoort dus even lang te zijn als de platina staaf. De meter wordt vaak als maat gebruikt. 81

12 4.4 HET METRIEKE STELSEL 20 Schat in meters: a de hoogte van een normale deur, b de lengte van een bus van het streekvervoer, c de hoogte van een huis met twee verdiepingen en een plat dak, d de breedte van een vierbaans autoweg, e de afmetingen van een klaslokaal, f de diameter van een voetbal. De meter is niet geschikt om bijvoorbeeld de dikte van een ruit of de vliegafstand Amsterdam-Brussel in uit te drukken. Daarom zijn er bij de meter kleinere en grotere eenheden gemaakt. decimeter (dm) = één-tiende meter centimeter (cm) = één-honderdste meter millimeter (mm)= één-duizendste meter decameter(dam) = tien meter hectometer (hm)= honderd meter kilometer (km) = duizend meter 20 De omtrek van de aarde is ongeveer km. Stel dat alle mensen op de wereld opgetrommeld worden om elkaar de hand te geven en zodoende samen een lang lint te vormen. Daarmee gaan ze ook door oceanen en over bergketens. Zijn er genoeg mensen om de aarde bij de evenaar te omspannen? 21 Kun jij op een vierkant vel papier van 1 bij 1 meter een (gebroken) lijn tekenen van 1 km lengte? Zo nee, waarom niet. Zo ja, hoe zou je dat precies doen? 21 Schat (kies zelf de geschikte eenheid): a de dikte van een normale ruit, b de vliegafstand Amsterdam-Brussel, c de dikte van je nagel, d de afmetingen van een briefkaart, e de diameter (=breedte) van een euro, f de omtrek van een voetbalveld. 22 Neem over en vul in: 1 hm= cm 1 km= mm 1 km= dam In applet Lengtematen wordt gedemonstreerd hoe de meter, dm en cm met elkaar samenhangen. In applet Oefenen met lengtematen kun je het omrekenen van lengtes verder oefenen. 23 a Een voetbaldoel is 7,32 meter breed. Vul in: dat is 7 meter plus dm plus cm. b De hoogste berg op aarde is de Mount Everest in de Himalaya: 8848 meter hoog. Vul in: dat is km plus hm plus dam plus m. 2,4 m Oppervlaktes meten 24 Hiernaast staat een tekening van een terras achter een woonhuis. De afmetingen staan erbij. Op het terras liggen grindtegels van 40 bij 60 cm. a Hoeveel grindtegels passen er op het terras? 4 m 2 m 3,6 m In de hoek rechtsonder liggen op het terras vier grindtegels. Zij vormen geen vierkant, maar een rechthoek van 120 bij 80 cm. Met zes grindtegels kun je wel een vierkant leggen. b Teken dat vierkant van zes grindtegels op schaal 1 : 40. Wat zijn de afmetingen van dat vierkant? 6 m 2 m 82 Hoofdstuk 4 SCHATTEN EN METEN

13 Je zou kunnen zeggen dat de oppervlakte van het terras 70 grindtegels is. Van terrassen kun je de oppervlakte goed geven door te zeggen hoeveel grindtegels erop passen. Maar wat vind je van de volgende uitspraak: de oppervlakte van Annekes badhanddoek is 6 grindtegels? Toch wel een beetje raar! We hebben liever een oppervlaktemaat die algemeen te gebruiken is. We werken in een rooster waarbij de horizontale en de verticale banen allemaal 1 cm breed zijn. Er zijn vijf echt verschillende figuren van 4 aaneensluitende hokjes; dat wil zeggen zonder gaten: niet zo:, maar zo:. c Kleur deze vijf figuren in een vierkantjesrooster van 1 bij 1 cm. Eén hokje is 1 cm bij 1 cm; de oppervlakte ervan noemen we 1 cm² en spreken dit uit als één vierkante centimeter. De oppervlakte van de figuren die je bij vraag c hebt gekleurd is dus 4 cm². 25 Het zwarte gebied hiernaast is 37 mm². Tel maar na. a Kleur in je werkschrift een gebied van 88 mm², een gebied van 97 mm² en ook een gebied van 1 cm². b Kleur in je werkschrift 350 mm². Hoeveel cm² is dat? 1 cm² (één vierkante centimeter) is de oppervlakte van een vierkant van 1 cm bij 1 cm. 26 Hiernaast staat een vierkant van 1 dm bij 1 dm (iets verkleind). Het is verdeeld in hokjes van 1 cm bij 1 cm. Een van die hokjes is verdeeld in stukjes van 1 mm bij 1 mm. a Vul in: 1 cm²= mm² 1 dm²= cm² 1 dm²= mm² b Vul in: 1 m² = dm² 1 km² = m² 1 km² = dm² Voorbeeld 1 m² = 1 m bij 1 m = 1000 mm bij 1000 mm = mm² In applet Oppervlaktematen wordt gedemonstreerd hoe de m², dm² en cm² met elkaar samenhangen. In applet Oefenen met oppervlaktematen kun je het omrekenen van oppervlakten verder oefenen. 83

14 4.4 HET METRIEKE STELSEL 27 Denk eens aan een woning op de begane grond. Bijvoorbeeld het huis waarin je zelf woont. Als je in een flat woont of in een bovenwoning, neem dan het huis van iemand die je kent. a Probeer een schatting te maken van de totale grondoppervlakte (in m²) van de kavel waarop het huis staat (dus ook de tuin en eventuele garage meetellen). b Hoeveel are is dat? 1 are = 1 dam² 28 Een boer heeft 2,5 hectare tarweland. Hij gaat dat inzaaien. Hij heeft per are 1,25 kg zaaizaad nodig. Dat kost 50,- per 100 kg. a Bereken voor hoeveel geld de boer zaaizaad moet kopen. 1 hectare = 100 are. 27 Het is een zonnige dag en alle 16 miljoen Nederlanders besluiten naar Terschelling te gaan. Terschelling is 30 km lang en is gemiddeld 3 km breed. Elke Nederlander heeft voor zijn badhanddoek 1 m² nodig. Kan elke Nederlander een plaatsje krijgen? 28 Een kubus van 1 bij 1 bij 1 m heeft een oppervlakte van 6 m². We zagen zo n kubus in blokjes van 1 bij 1 bij 1 cm (de zaagsnedes verwaarlozen we). Wat is de gezamenlijke oppervlakte van al die kubusjes? Anneke haakt een tafelkleed van 1,40 m bij 1,20 m. Met een knot katoen kan ze 12 dm² haken. De katoen is vrij duur: 2,25 per knot. b Bereken hoeveel het tafelkleed aan katoen kost. Inhouden meten 29 Suikerklontjes worden verpakt in een doos. Hiernaast zie je in de hoek het laatste klontje zitten. In de lengte passen er 15 klontjes in de doos, in de breedte 5 en in de hoogte 3. a Hoeveel klontjes zitten er in een volle doos? b Op het deksel staat te lezen dat de doos 1 kilogram suiker bevat. Weegt een suikerklontje meer of minder dan 5 gram? Zie vraag 4 van de quiz. Je zou kunnen zeggen dat de inhoud van de doos 225 klontjes is. De suikerklontjesdozen worden bij de supermarkt afgeleverd in grote verpakkingen. In één verpakking zitten 3 suikerklontjesdozen naast elkaar en 4 achter elkaar. Er is maar 1 laag suikerklontjesdozen; ze zitten dus niet boven elkaar. c Hoeveel suikerklontjesdozen zitten er in één verpakking? d Hoeveel suikerklontjes zitten er in één verpakking? Van suikerklontjesdozen kun je de inhoud goed geven door te zeggen hoeveel suikerklontjes er in passen. Maar wat vind je van de volgende uitspraak: De inhoud van een bierflesje is 88 suikerklontjes? Toch wel een beetje raar! We hebben liever een inhoudsmaat die algemeen te gebruiken is. In plaats van suikerklontjes gebruiken we blokjes van 1 cm bij 1 cm bij 1 cm. 30 a Uit hoeveel van zulke blokjes is het kruis hiernaast opgebouwd? En de tweede figuur? b Hoeveel blokjes moet je aan de tweede figuur toevoegen om er een volledige kubus van te maken? 84 Hoofdstuk 4 SCHATTEN EN METEN

15 Een blokje is 1 cm bij 1 cm bij 1 cm; de inhoud ervan noemen we 1 cm³ en spreken dit uit als één kubieke centimeter. c Hoeveel cm³ is dus de inhoud van het kruis van de vorige bladzijde? En van de tweede figuur? 1 cm³ (één kubieke centimeter) is de inhoud van een kubus van 1 cm bij 1 cm bij 1 cm. 31 Hiernaast zijn drie kubussen getekend van 1 cm³. (De ribben zijn groter dan 1 cm getekend, omdat het anders zo n gepruts wordt.) In de eerste kubus is 253 mm³ aangegeven. a Hoeveel mm³ is in de andere twee kubussen aangegeven? b Hoeveel cm³ is 500 mm³? En 1700 mm³? En mm³? 32 Hiernaast staat een kubus van 1 dm bij 1 dm bij 1 dm. Hij is verdeeld in blokjes van 1 cm bij 1 cm bij 1 cm. Een van die blokjes is verdeeld in stukjes van 1 mm bij 1 mm bij 1 mm. a Vul in: 1 cm³ = mm³ 1 dm³ = cm³ 1 dm³ = mm³ b Vul in: 1 m³ = cm³ 1 dam³ = m³ 1 dam³ = cm³ In applet Inhoudsmaten wordt gedemonstreerd hoe de m³, dm³ en cm³ met elkaar samenhangen. In applet Oefenen met inhoudsmaten kun je het omrekenen van inhouden verder oefenen. 33 a Hoe groot schat jij dat de inhoud is van het huis waarin jij woont (in m³)? Hoeveel dam³ is dat? De laadruimte van een vrachtwagen is 10 meter lang, 3 meter hoog en 3 meter breed. Hij wordt volgepakt met kisten van 50 cm bij 50 cm bij 10 cm. b Hoeveel kisten passen er in de laadruimte? Voor een nieuw te bouwen muur van 40 m² bestelt de aannemer een aantal pallets stenen. Een pallet stenen telt 1000 stuks. Het is een luxe rode handvorm waalformaat steen, dat wil zeggen 20 cm lang, 10 cm breed en 5 cm hoog. c Is de inhoud van een pallet stenen meer of minder dan 1 m³? 85

16 De oppervlakte van de zijkant van de steen is 1 dm². Dus zou je voor 1 m² muur 100 stenen nodig hebben. Maar je hebt er veel minder nodig (namelijk maar 75). d Heb je daar een verklaring voor? De voorgevel van een woonhuis is 5 meter breed en 6 meter hoog. Er zit een voordeur in, een groot raam en twee kleinere ramen. e Hoeveel stenen zitten er ongeveer in de voorgevel? Zie vraag 9 van de quiz. 31 Als het erg hard geregend heeft, is het veld onbespeelbaar. Gisteren was het weer heel slecht. De pluviometer in het stadion gaf die dag 80 mm neerslag aan. Hoeveel m³ water is er op de grasmat van 110 bij 80 meter gevallen? 32 Een kubus van 1 bij 1 bij 1 m wordt in blokjes gezaagd van 1 bij 1 bij 1 mm (de zaagsnedes verwaarlozen we). Die blokjes worden op elkaar gestapeld. Hoe hoog wordt de stapel? 33 In maart 2007 stond in de krant het volgende bericht: Genoeg ijs op Mars voor 11 meter zee. Onderzoekers schatten de totale hoeveelheid ijs op de polen van de planeet Mars op 1,6 miljoen kubieke kilometer. Als het allemaal zou smelten, zou Mars 11 meter onder water komen te staan. Wat is de oppervlakte van Mars? 86 Hoofdstuk 4 SCHATTEN EN METEN

17 4.5 EINDPUNT schatten Bij berekeningen is het vaak handig om van tevoren de uitkomst te schatten. Dit doe je door lastige getallen te vervangen door getallen waarmee je gemakkelijk kunt rekenen. Voorbeelden 25,1 3,92 is ongeveer 25 4 = ,1 : 12,5 is ongeveer 25 : 12,5 = 2 25,1 + 75,94 is ongeveer = ,1 0,23 is ongeveer 25 0 = 25 procenten Procent betekent per honderd. 1% is eenhonderdste deel, dus één per honderd. Voorbeeld Stel je wilt weten hoeveel 4,5% van 560 is. Dat kan in twee stappen: 1) 1% van 560 is 5,6, 2) 4,5% is 4,5 keer zoveel, dus 4,5 5,6 = 25,2. het metrieke stelsel Lengtematen 1 km = 10 hm = 100 dam = 1000 m = dm = cm = mm Oppervlaktematen De oppervlakte van een vierkant van 1 cm bij 1 cm is 1 cm 2 (één vierkante centimeter). Voorbeeld 3 m 2 = cm 2. Immers: 1 m 2 = 1 m bij 1 m = 100 cm bij 100 cm = cm 2 Dus 3 m 2 = cm 2. Soms kom je de oppervlaktematen ha en are tegen. Er geldt: 1 ha = 100 are = 100 dam 2. Inhoudsmaten De inhoud van een kubus van 1 cm bij 1 cm bij 1 cm is 1 cm 3 (één kubieke centimeter). Voorbeeld 5 km 3 = m 3. Immers: 1 km 3 = 1 km bij 1 km bij 1 km = 1000 m bij 1000 m bij 1000 m = m 3 Dus 5 km 3 = m 3. verhoudingen Ad fietst 15 kilometer per uur. Hoeveel kilometer Ad aflegt, hangt af van het aantal minuten dat hij fietst. In de tabel zie je dat het onderste getal steeds 4 keer zo groot is als het getal erboven. De verhouding tussen het aantal afgelegde kilometers en het aantal minuten dat Ad fietst, is telkens 1:4. Je spreekt dit uit als: één staat tot vier. Een tabel waarin de verhouding tussen het bovenste getal en het getal eronder steeds hetzelfde is, noemen we een verhoudingstabel. De verhouding blijft gelijk als je in een verhoudingstabel het bovenste getal en het getal eronder met hetzelfde getal vermenigvuldigt of door hetzelfde getal deelt. schaal 2 : 10 : 3 kilometers minuten : 10 : 3 Uit de tabel blijkt dat 15:60=30:120=3:12=1:4. Je kunt de verhouding 15:60 vereenvoudigen tot 1:4. Dus 15 kilometer per uur is 1 kilometer in 4 minuten. Je kunt de verhouding niet met nog kleinere gehele getallen schrijven. Je kunt ook een verhouding hebben van meer dan twee getallen, bijvoorbeeld 12:8:20=3:2:5=21:14:35. Schaal 1 : (één op vijftigduizend) betekent dat een afstand in werkelijkheid maal zo groot is als de afstand op de kaart. Dus: 1 cm op de kaart = 0,5 km in werkelijkheid. Voorbeeld Als een werkelijke afstand van 7 km in een kaart 2 cm is, is de schaal van het kaart: 1 : Een verhoudingstabel kan helpen bij het maken van de schaalberekening. werkelijk 7 km 35 km 3,5 km cm kaart 2 cm 10 cm 1 cm 1 cm 87

18 4.6 EXTRA OPGAVEN 1 Stel je eens 1 m³ water voor. a Hoeveel emmers water zijn dat, schat je? b Hoeveel badkuipen denk je dat je daarmee kunt vullen? c Hoe vaak kun je met 1 m³ water douchen, schat je? d Een emmer water is ongeveer 8 liter, een bad vraagt ongeveer 0,2 m³ water en een douchebeurt 63 liter. Reken met behulp van deze gegevens na of je schattingen goed waren. Zie vraag 6 van de quiz. 2 a Anneke heeft van een 40 cm lange ontbijtkoek een stuk van 15 cm afgesneden. Hoe verhouden zich de lengtes van de twee stukken? b De vijf ontbijtkoeken op je werkblad zijn 8 cm lang. Verdeel ze volgens de verhoudingen 1 : 3, 2 : 3, 3 : 7, 2 : 3 : 5 en 1 : 2 : 3 : 4; schrijf in elk stuk het aantal mm dat het lang is. 3 De auto van mijnheer de Vrij loopt 1 : 16 (dat spreek je uit als 1 op 16). Dat betekent dat hij met 1 liter benzine (gemiddeld) 16 kilometer rijdt. a Hoeveel km rijdt de auto met 4 liter benzine? En met 7 liter benzine? Bij elk aantal liter benzine hoort een aantal km dat de Vrij ermee rijdt. b Maak daarvoor een verhoudingstabel zoals hiernaast. c De Vrij heeft zo juist getankt. We weten niet hoeveel liter. We noemen dat onbekende aantal liter benzine: x. Dat is een variabele. Hoeveel kilometer rijdt de Vrij met x liter benzine? In je antwoord moet je de letter x gebruiken. De auto rijdt op Euro-95, dat is de soort benzine die de Vrij tankt. 1 liter Euro-95 kost 1,4 euro (prijs van februari 2007). d Maak hierbij een verhoudingstabel zoals hiernaast. e Wat is de prijs van x liter Euro-95? Bij een aantal liter Euro-95 hoort een aantal kilometer (namelijk dat de Vrij ermee kan rijden) en ook een bedrag in euro s (namelijk dat hem dat kost). Stel dat de Vrij 120 km moet rijden, de afstand Nijmegen-Amsterdam. f Wat kost hem dat aan benzine? aantal liters aantal km aantal liters 1 5 aantal euro s 1, Op de terugweg heeft de Vrij een heel eind omgereden. De reis van Amsterdam naar Nijmegen kostte hem 14,70 euro aan benzine. g Hoeveel kilometer was de terugweg lang? 88 Hoofdstuk 4 SCHATTEN EN METEN

19 4 De beroemdste toren van Frankrijk is de Eiffeltoren in Parijs. Je ziet hem hiernaast op schaal 1 : a Hoe hoog is de Eiffeltoren in werkelijkheid (inclusief antenne)? b Schat hoe groot de oppervlakte van het gebied is onder de Eiffeltoren. c Schat hoeveel tredes de trap telt naar de top. 5 Jan drinkt een glas bier van 20 cl. Piet drinkt een glas wijn van 10 cl. Klaas drinkt een glaasje jenever van 2,5 cl. In bier zit 5% alcohol. Ze krijgen alledrie evenveel alcohol binnen. a Wat zijn de alcoholpercentages van wijn en jenever? b Als Jan zijn glas half leeg heeft, maakt een grapjas het weer vol door er water bij te gieten. Wat is nu het alcoholpercentage van het verdunde bier? c Als Piet zijn wijnglas half leeg heeft en Klaas zijn glaasje half leeg heeft, giet de grapjas de overgebleven jenever in het wijnglas. Wat is het alcoholpercentage van het mengsel? 6 In het plaatje hiernaast staat de Nederlandse drankconsumptie in liters per jaar per hoofd van de bevolking in Je kunt er bijvoorbeeld in zien dat een Nederlander in 2004 gemiddeld 80 liter melk (of melkproducten) dronk. Van alle soorten drank werd koffie het meest gedronken. a Was dat meer of minder dan 25% van het totaal? b Schat eens hoeveel procent van de drankconsumptie bestaat uit frisdranken. c Hoeveel liter werd er in heel 2004 gemiddeld door een Nederlander alles bij elkaar gedronken? Zie vraag 3 van de quiz. d Bereken precies hoeveel procent van de drankconsumptie uit frisdranken bestond. e Bereken ook precies hoeveel procent van de drankconsumptie uit koffie bestond. f Schat hoeveel koppen koffie een Nederlander gemiddeld per dag dronk. 7 Hiernaast staat een klein kunstwerkje. Het is gemaakt met een stempel (een hondje) waar steeds een andere kleur op is gedaan. a Hoeveel hondjes staan er op dit kunstwerk? (Je mag stukjes hond in gedachten samenvoegen tot een hele.) b Teken een vierkant dat ongeveer de oppervlakte van één hond heeft. Hoe groot zijn de zijden van jouw vierkant? c Je zou kunnen zeggen dat de oppervlakte van het kunstwerk ongeveer 18 hondjes is. Maar een handige eenheid voor oppervlakte is het niet. Geef twee belangrijke redenen waarom niet. 89

20 4.6 EXTRA OPGAVEN 8 Als je een digitale foto hebt gemaakt, kun je er een stukje uit kiezen en op dat stukje inzoomen. Je kunt ook weer een stukje van dat stukje nemen, en nog een keer inzoomen. Op elk van de drie foto s zie je een afbeelding van het kunstwerk, steeds op een andere schaal. a Vergelijk foto 1 met foto 2. In foto 2 zijn alle afmetingen... keer zo groot als in foto 1. Hoeveel keer zo groot? b Vergelijk foto 3 met foto 1. Hoeveel keer zo groot zijn de afmetingen in foto 3 als in foto 1? 9 Afstand wordt soms ook in tijd uitgedrukt. Bijvoorbeeld bij wandelroutes. a De Niet Gedachtroute is 5,5 kilometer lang. Hoeveel kilometer schat jij dan de Balenroute? Leg je antwoord uit. Ook in een reclamecampagne tegen het bumperkleven wordt de afstand in tijd aangeduid. b Hoeveel afstand moet er tussen twee auto s zijn, wanneer die 60 km per uur rijden? c En als ze 80 km/uur rijden? 10 Schat hoe lang je erover doet om tot 1 miljoen te tellen. Ga er maar vanuit dat je non-stop telt, zonder te slapen en te eten, enz. Zie vraag 8 van de quiz. 90 Hoofdstuk 4 SCHATTEN EN METEN

21 11 Elk jaar doet de Tour de France ook de Pyreneeën aan. Een vaste etappe gaat van Tarbes naar Pau. Hiernaast staat het routekaartje uit de krant. De schaal staat niet bij het kaartje vermeld. Wel staat er dat de etappe 189,5 km lang is. Het eerste stuk, van Tarbes naar Bagnères de Bigorre is 17 km lang. a Hoe lang is het tweede stuk, van Bagnères de Bigorre naar Le Tourmalet? b In het kaartje zijn de twee stukken ongeveer even lang, maar in werkelijkheid niet! Heb je daar een verklaring voor? c De start in Tarbes en de finish in Pau liggen hemelsbreed 36 km van elkaar af (dat wil zeggen in een rechte lijn gemeten). Op het kaartje liggen ze 4 cm van elkaar af. Meet maar na. Wat is de schaal van het kaartje? Het parcours gaat over twee zware bergen, de Tourmalet en de Aubisque. Hieronder staat het profiel van de route. De startplaats Tarbes ligt op 330 m hoogte. Vanaf de start moeten de renners 1785 meter klimmen om op de Tourmalet te komen. Na de top van de Tourmalet komt er een grote afdaling. d Schat uit het profiel hoeveel meter de wielrenners daarna weer moeten stijgen om op de top van de Aubisque te komen. In het plaatje zien de bergen er wel erg steil uit, veel steiler dan ze in werkelijkheid zijn! Dat komt doordat er horizontaal een andere schaal gebruikt is dan verticaal. e Bepaal zo ongeveer de schaal die horizontaal is gebruikt. f Bepaal ook zo ongeveer de schaal die verticaal gebruikt is. g Waarom gebruikt men eigenlijk twee verschillende schalen in het profiel, denk je? 12 Hiernaast staat een plattegrond van de dom van Milaan. Het netwerk van lijntjes binnen de muren stelt het gewelf voor. Op het werkblad staat de plattegrond op schaal 1 : a Kleur in de plattegrond in je werkschrift een vierkantje van 1 cm². b Hoeveel van die vierkantjes passen er ongeveer op de plattegrond (binnen de dikkere lijnen)? Dat hoeft niet zo heel precies; we kijken niet op een hokje. c Hoeveel m² is zo n vierkantje in werkelijkheid? d Hoe groot is de vloeroppervlakte van de dom in werkelijkheid? 91

22 92 Hoofdstuk 4 SCHATTEN EN METEN