Leuven op de IMC 2012

Transcriptie

1 Leuven op de IMC juli - 1 augustus 2012 De IMC De International Mathematics Competition for university students wordt sinds 1994 jaarlijks georganiseerd, meestal ergens in Oost-Europa, en trekt deelnemers aan van over de hele wereld. De wedstrijd is individueel en bestaat uit twee sessies van vijf uur lang. Sinds 2009 bestaat elke sessie uit vijf vragen, voordien waren dat er zes. De eerste vraag is doorgaans een weggevertje, maar de moeilijkheid van de andere vragen varieert van tamelijk pittig tot nagenoeg onmogelijk. Op basis van hun totaalscore wordt aan de deelnemers een van de volgende prijzen toegekend: Grand First Prize: First Prize: Second Prize: Third Prize: Honourable Mention: Certificate: de deelnemer(s) die er met kop en schouders bovenuit steekt/steken, ongeveer 1/6 van de deelnemers, ongeveer 1/4 van de deelnemers, ongeveer 1/3 van de deelnemers, ongeveer 1/5 van de deelnemers, ongeveer 1/20 van de deelnemers. Naast het individueel klassement wordt er ook een rangschikking van de teams opgesteld. Een team bestaat meestal uit alle deelnemers van één universiteit. De score van een team is de som van de drie beste teamleden plus de gemiddelde score van heel het team. Het programma van een IMC ziet er doorgaans als volgt uit: Dag 1 Dag 2 Dag 3 Dag 4 Dag 5 Dag 6 Dag 7 Aankomst. Openingsceremonie. De wedstrijdjury komt samen om de vragen te selecteren. Eerste wedstrijddag. De wedstrijd vindt plaats in de voormiddag. In de loop van de namiddag en de avond worden de antwoorden verbeterd, zodat de (voorlopige) resultaten de volgende ochtend al beschikbaar zijn. Tweede wedstrijddag. Het verloop is hetzelfde als bij de eerste wedstrijddag. Toeristische excursie. De jury behandelt aanvragen tot herziening van de punten. Proclamatie. Vertrek. Het programma is niet bepaald druk, waardoor er heel wat tijd is om de gaststad en de andere deelnemers te leren kennen. De interculturele gesprekken die dan plaatsvinden en de contacten die zo gelegd worden, zijn misschien wel het waardevolste van een wedstrijd als de IMC. Het is elk jaar opnieuw een zeer verrijkende ervaring, zowel op wiskundig als op persoonlijk vlak, om met meer dan 300 jonge wiskundigen samen te zijn en ideeën uit te wisselen.

2 IMC 2012 Dit jaar vond de IMC net als de twee vorige jaren plaats in Blagoevgrad, Bulgarije. In totaal waren er 316 deelnemers. Het Leuvense team voor deze editie bestond uit drie studenten: Tom Van den Eynde (eerste bachelor), Erik Lambrechts (derde bachelor) en Mats Vermeeren (derde bachelor). Hun resultaten staan in de tabel hieronder. Elke vraag stond op 10 punten, dus de maximale totaalscore was 100. Deelnemer Dag 1 Dag 2 Totaal Positie Prijs Mats Vermeeren Second Prize Erik Lambrechts Hon. Mention Tom Van den Eynde Hon. Mention Ook de universiteit van Gent stuurde naar goede gewoonte een team, wat aanleiding gaf tot een beetje vriendelijke rivaliteit. De ULB, vorig jaar met een groot team aanwezig, was er dit jaar niet bij. De vijf Gentse deelnemers behaalden drie keer Second Prize (37, 36 en 34 punten) en twee keer Honourable Mention (telkens 24 punten). Bijgevolg is Leuven dit jaar niet het beste Belgische team, maar het feit dat de beste Belg een Leuvenaar is, is een goede eerredder. De resultaten zijn overigens niet de enige reden waarom de KU Leuven trots mag zijn op haar studenten. De tweede vraag van dag twee was namelijk een probleem voorgesteld door KUL-student Christophe Debry, en het opstellen van een interessante vraag is evenzeer een kunst als het oplossen ervan. De Leuvense IMC-geschiedenis Leuven zond in 2008 voor het eerst een team naar de IMC. Door het onverwachte overlijden van Arne Loosveldt telde dit team slechts twee deelnemers. Stijn Vermeeren en Christophe Debry haalden beiden een Third Prize. Ter nagedachtenis van Arne Loosveldt werd een fonds opgericht om studenten die aan wiskundecompetities willen deelnemen te steunen. Desondanks was er in 2009 geen Leuvens team op de IMC. In 2010 werd de draad weer opgenomen en zond de KUL drie studenten. Christophe Debry behaalde een First Prize, Mats Vermeeren en Peter Verreadt behaalden elk een Honourable Mention. In 2011 zond Leuven het grootste team tot nog toe naar de IMC. Ook de resultaten van dat jaar waren een hoogtepunt in de voorlopig korte geschiedenis van Leuven op de IMC. Christophe Debry veroverde opnieuw een First Prize, Hans Baumers een Second Prize, en Mats Vermeeren en Heide Goethals behaalden een Honourable Mention. In het teamklassement eindigde Leuven op plaats 14, ver voor Gent (57 e ), de ULB (30 e ) en Utrecht (21 e ). Kort samengevat zijn dit de resultaten van Leuven tot nu toe: 1st prize 2nd prize 3rd prize Hon. mention Positie in teamklassement n.v.t (van de 90) (van de 77) (van de 68) 3 1 Teams met minder dan 3 deelnemers zijn niet opgenomen in het klassement. 2 Ook teams met slechts 1 of 2 deelnemers zijn opgenomen in klassement. 3 Individuele deelnemers zijn gegroepeerd in het International team of individual participants.

3 Na een enigszins moeizame start met een klein team in 2008 en geen deelnemers in 2009, behaalt Leuven de laatste drie jaar consistent mooie resultaten. Hopelijk zijn er ook de volgende jaren gemotiveerde studenten om gesteund door het Arne Loosveldt Fonds deze lijn verder te zetten. Meer informatie Op staan onder andere problemen, oplossing en uitslagen van alle edities van de IMC. Meer informatie over het Arne Loosveldt Fonds is te vinden op be/nederlands/arneloosveldt.

4 Dag 1 Bijlage: de vragen van IMC 2012 Probleem 1. Noteer voor elk geheel getal n > 0 het aantal manieren om n als som van strikt positieve gehele getallen te schrijven met p(n). Bijvoorbeeld: p(4) = 5 omdat Definiëer ook p(0) = 1. 4 = = = = Bewijs dat p(n) p(n 1) gelijk is aan het aantal manieren om n te schrijven als de som van gehele getallen die strikt groter zijn dan 1. Probleem 2. Zij n > 0 een vast geheel getal. Bepaal de kleinst mogelijke rang van een n n matrix met nullen op de hoofddiagonaal en strikt positieve reële getallen op de andere posities. Probleem 3. Gegeven is een geheel getal n > 1. Noteer met S n de groep van alle permutaties van de getallen 1, 2,..., n. Twee spelers, A en B, spelen het volgende spel. Om de beurt kiezen ze elementen (één element per beurt) uit de groep S n. Het is verboden om een element te kiezen dat al gekozen is. Het spel eindigt wanneer de geselecteerde elementen de groep S n voortbrengen. De speler die het laatste element gekozen heeft, verliest. De eerste beurt is voor A. Welke speler heeft een winnende strategie? Probleem 4. Zij f : R R een continu afleidbare functie die voldoet aan f (t) > f(f(t)) voor alle t R. Bewijs dat f(f(f(t))) 0 voor alle t 0. Probleem 5. Zij a een rationaal getal en n > 0 een geheel getal. Bewijs dat de veelterm X 2n (X +a) 2n +1 irreducibel is in de ring Q[X] van veeltermen met rationale coëfficiënten.

5 Dag 2 Probleem 1. Beschouw een veelterm f(x) = x a 2011 x a 1 x + a 0. Albert Einstein en Homer Simpson spelen het volgende spel. Om de beurt kiezen ze één van de coëfficiënten a 0,..., a 2011 en geven ze die een reële waarde. Albert krijgt de eerste beurt. Eens een bepaalde coëfficiënt een waarde heeft, kan die niet meer veranderd worden. Het spel eindigt wanneer alle coëfficiënten een waarde hebben gekregen. Het doel van Homer is om f(x) deelbaar te maken door een vaste veelterm m(x). Het doel van Albert is om dit te vermijden. (a) Welke speler heeft een winnende strategie als m(x) = x 2012? (b) Welke speler heeft een winnende strategie als m(x) = x 2 + 1? Probleem 2. Definiëer de rij a 0, a 1,... inductief door a 0 = 1, a 1 = 1 2 en a n+1 = na 2 n 1 + (n + 1)a n voor n 1. Bewijs dat k=0 a k+1 a k convergeert en bepaal de waarde ervan. Probleem 3. Is de verzameling van gehele getallen n > 0 zodat n! + 1 een deler is van (2012n)! eindig of oneindig? Probleem 4. Zij n 2 een geheel getal. Vind alle reële getallen a zodat er reële getallen x 1,..., x n bestaan waarvoor x 1 (1 x 2 ) = x 2 (1 x 3 ) =... = x n 1 (1 x n ) = x n (1 x 1 ) = a. Probleem 5. Zij c 1 een reëel getal. Zij G een abelse groep en zij A G een eindige verzameling die voldoet aan A + A ca, waarbij X + Y := {x + y x X, y Y } en Z staat voor de kardinaliteit van Z. Bewijs dat voor elk geheel getal k > 0. } A + A + {{... + A } c k A k maal