Omzetten van eenheden met machten van 10

Transcriptie

1 met machten van 10 Naam : Klas : Nummer : -1-

2 Hoofdstuk 1. Voorvoegsels 1. Voorbeelden Zet de volgende eenheden om. a) 54,3 mm 3 naar kubieke kilometer (km 3 ) b) 13,6 hg/cm 3 naar gram per kubieke meter (g/m 3 ) Je merkt dat de methode die je in de lagere school geleerd hebt (namelijk de komma verschuiven in de tabel) moeilijk of zelfs onmogelijk is voor deze omzettingen. Om die reden zal je in deze cursus een algemenere methode leren die in alle gevallen werkt. De basis van deze methode is de tabel met voorvoegsels. Deze moet je grondig kennen. Alleen als je deze tabel perfect uit het hoofd kent, kan je alle eenheden succesvol omzetten. -2-

3 2. Voorvoegsels Voorvoegsel Naam 10 n Y yotta Griekse octa voor acht Z zetta Latijnse septem voor zeven E exa Griekse hexa voor zes P peta Griekse penta voor vijf T tera Griekse teras voor monster G giga 10 9 Griekse gigas voor reus M mega 10 6 Griekse megas voor groot k kilo 10 3 Griekse kiloi voor duizend h hecto 10 2 Griekse ekatov voor honderd da deca 10 1 Griekse deca voor tien basis d deci 10-1 Latijnse decimus voor tiende c centi 10-2 Latijnse centum voor honderd m milli 10-3 Latijnse mille voor duizend micro 10-6 Griekse mikros voor klein n nano 10-9 Latijnse nanus voor dwerg p pico Italiaanse piccolo van klein f femto Deense femten voor vijftien a atto Deense atten voor achttien z zepto Zie zetta y yocto Zie yotta Er zitten enkele patronen in de tabel. De vergrotende voorvoegsels vanaf mega hebben een hoofdletter als symbool. De verkleinende voorvoegsels hebben een kleine letter. Vanaf zetta en zepto is het voor corresponderende voorvoegsels bovendien dezelfde letter. Vanaf mega en micro eindigen vergrotende voorvoegsels op a en verkleinende op o. Beetje geschiedenis Deze tabel maakt deel uit van het decimale metriek stelsel. Een metriek stelsel is een systeem van uniforme standaardeenheden voor het meten van bijvoorbeeld afstand, gewicht en temperatuur. We gebruiken hiervoor bijvoorbeeld meter, kilogram en graden celsius. Dat is echter niet altijd zo geweest. Vóór de invoering van het decimale stelsel werden verschillende maten gebruikt in verschillende landen en zelfs in verschillende delen van een land. Zo verving bij ons de meter oudere maten als de duim, de el en de voet. Sinds 1960 wordt het Internationale Stelsel van Eenheden (SI-stelsel) gebruikt als internationale metrieke standaard. Dit stelsel is wettelijke verplicht in de hele Europese Unie. Alle eigenschappen en maten van producten die op de markt gebracht worden, moeten uitgedrukt worden in dit stelsel. -3-

4 De invoering van het metriek decimaal stelsel was een verwezenlijking van de Franse Revolutie en het napoleontisch tijdperk. In die periode (rond 1800) voerde Napoleon in zijn rijk o.a. gestandaardiseerde voorvoegsels in. De namen voor de vergrotende voorvoegsels werden ontleend aan het Grieks en voor de verkleinende voorvoegsels aan het Latijn (middelste lijnen van de tabel). Napoleon was niet alleen baas in Frankrijk, maar ook in Vlaanderen. Dus ook hier werden die voorvoegsels verplicht. Nadat hij in 1815 bij Waterloo verslagen werd, bleef het decimale stelsel toch in gebruik. Je hebt misschien al opgemerkt dat onze tijd niet in een decimaal stelsel gemeten wordt. Een dag bestaat uit 24 uur, van elk 60 minuten en een minuut heeft 60 seconden. Tijdens de Franse Revolutie (rond 1793) bestonden er plannen om een decimaal tijdsysteem in te voeren: de week werd vervangen door een decade (10 dagen) en een dag zou worden verdeeld in 10 uur, van elk 100 minuten en een minuut telde 100 seconden. Hiernaast zie je een decimaal uurwerk uit die tijd (met 10 uur en 100 seconden). In tegenstelling tot het decimale metriek stelsel heeft het decimale tijdstelsel nooit succes gehad. Het is na enkele jaren afgevoerd. Napoleon was niet in staat om England te veroveren en om die reden wordt er in dat land (en in Verenigde Staten, een de Britse ex-kolonie) nu nog veel gebruik gemaakt van andere grootheden, zoals yard, mile, feet, pound... De Europese Unie zet, wat dat betreft, het werk van Napoleon verder en verplicht de Britse overheid om de gestandaardiseerde eenheden (zoals meter, kilogram ) te gebruiken. Toen de lijst met voorvoegsels niet meer volstond (omdat er grotere én kleinere eenheden nodig waren), werd in de tweede helft van de twintigste eeuw besloten de lijst met standaardvoorvoegsels uit te breiden. Bovendien werd besloten dat naast de voorvoegsels centi, deci, deca en hecto alleen voorvoegsels voor een macht van duizend (10 3n ) zouden worden gebruikt. De laatste uitbreiding (boven exa en onder zepto) is nog maar in 1991 gebeurd! -4-

5 Hoofdstuk 2. Omzetting bij exponent 1 1. Omzetting naar basis bij exponent 1 Als je een eenheid omzet naar de basiseenheid, dan gebruik je de tabel met voorvoegsels. We demonstreren dat met twee voorbeelden. Voorbeeld 1 Zet 2,3 cm om naar de basiseenheid. De basiseenheid van centimeter is meter. In de tabel zien we dat centi overeenkomt met Je mag de c in de opgave gewoon vervangen door de juiste machte van 10. Zo wordt dus 2,3 cm = 2, m Je zal (terecht) opmerken dat de omzetting met de tabel van de lagere school voor dit voorbeeld eenvoudiger is (namelijk 0,023 m), dan het uit het hoofd leren van de tabel met voorvoegsels. Dat klopt! Maar zoals in het eerste hoofdstuk getoond, werkt die methode niet voor moeilijkere gevallen. De methode die je nu leert (en die in het begin omslachtiger is), zal er uiteindelijk voor zorgen dat je ook de moeilijke gevallen kan oplossen. Voorbeeld 2 Zet 5, Gm om naar de basiseenheid. De basiseenheid van gigameter is meter. In de tabel zien we dat giga overeenkomt met Je mag de G in de opgave gewoon vervangen door de juiste machte van 10. Zo wordt dus 5, Gm = 5, m = 5, m In het vervolg van deze cursus noemen we deze omzetting naar de basiseenheid methode A. Methode A Voor het omzetten naar de basiseenheid: vervang het voorvoegsel door de juiste macht van

6 Oefeningen 1. Zet de eenheden om naar de basiseenheid. a) 42 s = b) 58,7 Em = c) 1,489 mg = d) 3,8 am = e) Pm = f) 7, Ms = g) 10, ym = h) 6, dag = i) kw = j) 0, zs = -6-

7 2. Omzetting van basis bij exponent 1 Je bent nu in staat om een eenheid naar de basis om te zetten met machten van 10. Je moet ook het omgekeerde kunnen: omzetten van een basiseenheid naar een eenheid met voorvoegsel. Dat omzetten verloopt in drie stappen. We bekijken dit aan de hand van twee voorbeelden. Voorbeeld 1 Zet 8,84 m om naar petameter (Pm). 1) Voor de eerste stap val je terug op de tabel (methode A). 1 Pm = m 2) In de tweede stap draai je de omzetting om. Let op: het teken van de exponent verandert! 1 m = Pm 3) Gebruik de vorige stap om de eenheid in de opgave te vervangen. 8,84 m = 8, Pm Voorbeeld 2 Zet 5, s om naar nanoseconde (ns). 1) Voor de eerste stap val je terug op de tabel (methode A). 1 ns = s 2) In de tweede stap draai je de omzetting om. Let op: het teken van de exponent verandert! 1 s = ns 3) Gebruik de vorige stap om de eenheid in de opgave te vervangen en verder uit te rekenen. 5, s = 5, ns = 5, ns In het vervolg van deze cursus noemen we deze omzetting naar de basiseenheid methode B. Methode B Voor het omzetten van de basiseenheid: stap 1 : zet om naar de basiseenheid (methode A) stap 2 : draai de omzetting om (let op het teken!) stap 3: gebruik stap 2 om de eenheid in de opgave te vervangen -7-

8 Oefeningen 2. Zet de basiseenheid om naar de gevraagde eenheid. a) 8,42 m naar Ym b) 63 g naar dg c) 1,4 s naar ns d) 0,51 m naar Tm e) 5, m naar mm f) 7, s naar Gs g) 8, g naar ag h) 0, m naar zm i) 9, s naar s j) 0, m naar nm -8-

9 3. Willekeurige omzetting bij exponent 1 Je bent nu klaar om een willekeurige omzetting te doen. Je zal bij deze techniek terugvallen op methode A en methode B. Het is de bedoeling dat je éérst omzet naar de basiseenheid (methode A) en vervolgens omzet van de basiseenheid (methode B). We bekijken dit opnieuw aan de hand van twee voorbeelden. Voorbeeld 1 Zet 9,6 hg om naar milligram (mg). 1) We zetten hectogram eerst om naar de basiseenheid (methode A). 1 hg = g 2) In de tweede stap zoek je de omzetting van de basiseenheid naar milligram (methode B). 1 mg = g dus 1 g = mg 3) We brengen de twee stappen samen. Eerst vervang je de hectogram door gram (onderlijnd). Daarna vervang je gram door milligram (kader). Tot slot breng je de machten van 10 samen. Voorbeeld 2 9,6 hg = 9, g = 9, mg = 9, mg Zet km om naar picometer (pm). 1) We zetten kilometer om naar de basiseenheid (methode A). 1 km = m 2) In de tweede stap zoek je de omzetting van de basiseenheid naar picometer (methode B). 1 pm = m dus 1 m = pm 3) We brengen de twee stappen samen. Eerst vervang je de kilometer door meter. Daarna vervang je meter door picometer. Tot slot breng je alle exponenten samen km = m = pm = pm -9-

10 In het vervolg van deze cursus noemen we de omzetting van exponent 1 methode C. Methode C Voor het omzetten van exponent 1: stap 1 : zet de gegeven eenheid om naar de basiseenheid (methode A) stap 2 : zet om van de basiseenheid naar de gevraagde eenheid (methode B) stap 3: vervang de eenheid in de opgave met stap 1 én 2 Oefeningen 3. Zet de gegeven eenheden om naar de gevraagde eenheden. a) 21,4 s naar ns b) 98 am naar Mm c) 8,60 Mg naar Yg d) 0,21 zs naar cs e) 5, hm naar pm f) ms naar Gs g) 3, ym naar m h) hg naar ng i) 8, mw naar MW j) 0, dg naar Pg -10-

11 Hoofdstuk 3. Omzetting bij een hogere exponent We hebben tot nu toe enkel de omzetting bij exponent 1 bekeken. In de praktijk zal je natuurlijk ook met hogere exponenten werken. Denk maar aan een oppervlakte, bijvoorbeeld de oppervlakte van een muur. Die wordt uitgedrukt in vierkante meter (m 2 ). Bij volume gebruiken we niet alleen liter, maar ook kubieke decimeter (dm 3 ). In dit hoofdstuk leer je de omzetting van zo n eenheden. Je zal bij deze techniek gebruik maken van methode C. Het is de bedoeling dat je éérst de omzetting doet voor exponent 1 en daarna de berekening uitvoert voor een hogere exponent. We bekijken dit opnieuw aan de hand van twee voorbeelden. Voorbeeld 1 Zet 8, fm 3 om naar kubieke meter (m 3 ). 1) We doen eerst de omzetting van femtometer voor exponent 1. Dit doen we door methode C toe te passen. 1 fm = m 2) In de tweede stap doen we de omzetting voor de juiste exponent. Let op dat je de haakjes goed uitwerkt. Zowel voor de exponent als voor de eenheid! 1 fm 3 = (1 fm) 3 = ( m) 3 = m 3 3) We gebruiken de vorige stap om het eindresultaat te vinden. 8, fm 3 = 8, m 3 = 8, m 3 Probeer dit getal eens met cijfers na komma op te schrijven in plaats van met machten van 10. Je zal merken waarom voor deze gevallen de tabel van de lagere school niet geschikt is. Voorbeeld 2 Zet Tm 2 om naar vierkante hectometer (hm 2 ). 1) We doen eerst de omzetting van terameter voor exponent 1. Dit doen we door methode C toe te passen. We moeten dus eerst omzetten naar de basiseenheid (meter). Daarna zetten we de basiseenheid om naar hectometer. 1 Tm = m = hm = hm -11-

12 2) In de tweede stap doen we de omzetting voor de juiste exponent. Let op dat je de haakjes goed uitwerkt. Zowel voor de exponent als voor de eenheid! 1 Tm 2 = (1 Tm) 2 = ( hm) 2 = hm 2 3) We gebruiken de vorige stap om het eindresultaat te vinden Tm 2 = hm 2 = hm 2 In het vervolg van deze cursus noemen we de omzetting van een hogere exponent methode D. Methode D Voor het omzetten van een hogere exponent: stap 1 : zet de eenheid om voor exponent 1 (methode C) stap 2 : bereken de juiste macht van 10 voor de hogere exponent stap 3: vervang de eenheid in de opgave met stap 2 Oefeningen 4. Zet de eenheden om. a) 85 s 2 naar s 2 b) 4,3 Mm 3 naar m 3 c) 5,89 zg 2 naar g 2 d) 23 am 2 naar cm 2 e) 5, Pm 3 naar m 3 f) 4, Ms 2 naar ks 2 g) 6, fm 3 naar dam 3 h) hg 2 naar yg 2 i) 2, nm 3 naar Gm 3 j) dag 3 naar Tg 3-12-

13 Hoofdstuk 4. Omzetting bij breuken Zoals je uit wetenschappelijk werk weet, bestaan er ook eenheden met breuken. Denk maar aan de eenheid van snelheid: km/h (kilometer per uur). Je leert er dit jaar nog andere eenheden met een breuk kennen. In dit hoofdstuk leren we een methode om dergelijke eenheden om te zetten. Je zal hierbij gebruik maken van technieken uit de vorige hoofdstukken. We bekijken opnieuw twee voorbeelden. Voorbeeld 1 Zet 21,4 pm/ s om naar millimeter per seconde (mm/s). 1) We doen eerst de omzetting van de teller. We zetten dus picometer om naar millimeter. Dit doen we door methode C toe te passen: eerst naar de basiseenheid (meter) en dan naar de gevraagde eenheid (millimeter). 1 pm = m = mm = mm 2) In de tweede stap doen we op dezelfde manier de omzetting van de noemer. 1 s = s 3) We brengen de vorige stappen samen. Hierbij moet je opletten voor de macht van 10 in de noemer. Deze zet je naar de teller en je verandert die van teken (kader). 21,4 pm / s = 21, mm / 10-6 s = 21, mm/s = 21, mm/s Voorbeeld 2 Zet 13, Pg/am 3 om naar kilogram per kubieke centimeter (kg/cm 3 ). 1) We doen eerst de omzetting van de teller. We zetten dus petagram om naar kilogram. Dit doen we door methode C toe te passen: eerst naar de basiseenheid (gram) en dan naar de gevraagde eenheid (kilogram). 1 Pg = g = kg = kg -13-

14 2) In de tweede stap doen we op dezelfde manier de omzetting van de noemer. Hierbij moeten we wel opletten. De exponent van deze eenheid is 3. We moeten dus methode D toepassen: eerst de omzetting voor exponent 1 en dan voor exponent 3 (ook de eenheid). 1 am = m = cm = cm 1 am 3 = (1 am) 3 = ( cm) 3 = cm 3 3) We brengen de vorige stappen samen. Hierbij moet je opletten voor de macht van 10 in de noemer. Deze zet je naar de teller en je verandert die van teken. 13, Pg/am 3 = 13, kg / cm 3 = 13, kg/cm 3 = 13, kg/cm 3 Op deze manier ken je methode E voor het omzetten van breuken. Methode E Voor het omzetten van een breuken: stap 1 : zet de teller om (methode C of D) stap 2 : zet de noemer om (methode C of D) stap 3: breng de twee omzettingen samen (let op het teken van de noemer) -14-

15 Oefeningen 5. Zet de eenheden juist om. a) 4,2 hg/cm 3 naar g/m 3 b) 7,1 mg/dm 2 naar g/m 2 c) 1,5 Tg/Mm 2 naar g/m 2 d) 3,8 ag/mm 3 naar kg/m 3 e) 14, cg/mm 2 naar kg/m 2 f) 7, dag/ m 3 naar Gg/m 3 g) 8, kg/dm 3 naar Tg/km 3 h) 6, zg/fm 2 naar Gg/cm 2-15-