E ectieve weerstand en de Pseudoinverse

Transcriptie

1 S.E. Hurkmans E ectieve weerstand en de Pseudoinverse Bachelorscriptie Scriptiebegeleiders: Dr. J.L. Dorsman, Dr. F.M. Spieksma Datum Bachelorexamen: 2 augustus 26 Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden

2 Inhoudsopgave Inleiding 3 2 Robuustheid en e ectieve weerstand 4 3 De Laplaciaan 6 4 E ectieve weerstand en Laplaciaan pseudoinverse 5 Methode voor een klasse speciale symmetrische matrices 4 6 E ectieve Weerstand en alternatief voor Laplaciaan pseudoinverse 9 7 Toepassing op Amsterdams metronetwerk Het Model De Resultaten Conclusie Vraag : Heeft de aanleg van de Noord-Zuidlijn een positieve invloed op de e ectieve weerstand van het Amsterdamse metronetwerk? Vraag 2: Zou het aanleggen van een lijn tussen Centraal Station en Station Sloterdijk een positieve invloed hebben op de e ectieve weerstand tussen de twee knopen en op de totale e ectieve weerstand van het netwerk? Slotconclusies en mogelijk vervolgonderzoek Appendices 3 A Codes 3 Code 3 Code 2 3 Code 3 32 B Graaf Amsterdams Metronetwerk 33 C Tabellen met procentuele verschillen e ectieve weerstand per knoop 34 2

3 Inleiding Om ons heen zijn veel verschillende soorten netwerken te vinden. Zo zijn er bijvoorbeeld metronetwerken, netwerken van wegen, telefoonnetwerken en elektriciteitsnetwerken. Het is voor deze netwerken van groot belang dat ze goed functioneren, ook als er een deel beschadigd is. Als we een netwerk door een graaf representeren, dan verstaan we onder beschadigen het wegvallen van een tak. Het netwerk functioneert dan nog wel, als alle knopen in het netwerk te bereiken zijn. We zeggen ook wel dat het belangrijk is dat het netwerk robuust is. Hoe minder gevoelig voor storingen, des te robuuster het netwerk is. Om duidelijk te maken wat robuustheid precies is, geven we eerst een definitie. Definitie 2. Robuustheid is het vermogen van een netwerk om te functioneren na een beschadiging aan het netwerk. Om te bepalen hoe robuust een netwerk is of om netwerken te kunnen vergelijken op basis van robuustheid, moeten we robuustheid kwantificeren. Daarvoor is een maat nodig. Er zijn door de jaren heen meerdere maten bedacht waarmee de robuustheid van een netwerk gekwantificeerd kan worden. In deze scriptie beschouwen we de inverse van de totale e ectieve weerstand als maat voor de robuustheid van een netwerk. Deze maat is voorgesteld door D.J. Klein en M. Randić [6]. De keuze voor de e ectieve weerstand als maat van robuustheid lijkt goed overeen te komen met onze intuïtie. In Hoofdstuk 2 introduceren we het begrip e ectieve weerstand als natuurkundig begrip. Hierbij wordt niet diep ingegaan op de natuurkundige achtergronden. In Hoofdstuk 3 introduceren we de zogenaamde Laplaciaan en zijn pseudoinverse en laten we zien hoe we deze kunnen berekenen. In Hoofdstuk 4 bewijzen we dat de Laplaciaan en zijn pseudoinverse gebruikt kunnen worden om de e ectieve weerstand tussen twee knopen en de e ectieve weerstand van het totale netwerk te berekenen. In Hoofdstuk 5 bekijken we een vermoedelijk numeriek stabielere methode, waarbij via vegen een alternatieve pseudoinverse van de Laplaciaan wordt bepaald. Tijdens het onderzoek bleek dat deze methode feitelijk al beschreven staat in [2]. In Hoofdstuk 6 zullen we bewijzen dat we uit de matrix die we met deze alternatieve methode verkrijgen ook de e ectieve weerstand tussen twee knopen en de e ectieve weerstand van het totale netwerk kunnen berekenen. Tot slot behandelen we in Hoofdstuk 7 een toepassing op het Amsterdamse metronetwerk met behulp van de gevonden resultaten. We bekijken of de Noord-Zuidlijn en een extra lijn tussen Centraal Station en Station Sloterdijk een positieve invloed hebben op de robuustheid van het netwerk. Hieruit volgt het opmerkelijke resultaat dat het toevoegen van de lijn tussen Centraal Station en Station Sloterdijk een grotere reductie geeft van de totale e ectieve weerstand dan het toevoegen van de Noord-Zuidlijn. 3

4 2 Robuustheid en e ectieve weerstand Als maat voor robuustheid zullen we de inverse van de e ectieve weerstand gebruiken. In dit hoofdstuk zullen we kort behandelen waarop het begrip e ectieve weerstand gebaseerd is en hoe dit berekend wordt. In latere hoofdstukken zullen alternatieve berekeningswijzen behandeld worden. De e ectieve weerstand is een term die afkomstig is uit de natuurkunde. Het netwerk wordt dan gezien als een elektrisch circuit. Hierbij wordt aan elke tak (i, j) een weerstand r ij toegekend. Er wordt een spanningsbron over een gegeven tweetal knopen uit het netwerk, knoop a en knoop b, gezet en we laten een gegeven stroom lopen van knoop a naar knoop b. Voor het tweetal knopen a en b kunnen we het netwerk van takken tussen de knopen vervangen door één tak (a, b), met behoud van spanning en stroom. De vervangingsweerstand voor de bijbehorende samengevoegde takken, R ab, noemen we de e ectieve weerstand tussen knoop a en knoop b. De e ectieve weerstand kan worden uitgerekend met behulp van wetten voor serie- en parallelschakeling van elektrische circuits. [4] Voor twee weerstanden, met waarden r en r 2, die in serie zijn geschakeld, geldt dat deze weerstanden vervangen kunnen worden door een weerstand met waarde r + r 2. Voor twee weerstanden, met waarden r en r 2, die parallel geschakeld zijn, geldt dat deze vervangen kunnen worden door een weerstand met waarde r +. Zie ter illustratie de onderstaande figuur. [4] r 2 a r r 2 b a r b r 2 R ab = r + r 2 R ab = r + r 2 Figuur : Serie- en parallelschakeling van weerstanden De analyse van het netwerk staat toe, dat de takken van een netwerk gewichten hebben, die het belang van de takken kwantificeren. In het geval dat de gewichten van de takken van het netwerk de afstanden tussen twee knopen aangeven, is de weerstand van een tak gelijk aan de afstand. Dit zorgt ervoor dat langere paden een grotere e ectieve weerstand veroorzaken dan kortere paden. Als de gewichten van de takken de geleiding tussen twee knopen voorstellen, dan is de weerstand gelijk aan de inverse van het gewicht. Zo zorgen we ervoor dat de e ectieve weerstand van in serie geschakelde paden groter is dan de e ectieve weerstand van in parallel geschakelde paden. Het toevoegen van takken of gewichten zorgt er daarmee voor dat de e ectieve weerstand R ab niet toeneemt. [4] 4

5 De bovenstaande methode is echter vooral handig voor kleine netwerken. Hoe groter het netwerk, hoe moeilijker het wordt om voor elk paar knopen deze berekeningen uit te voeren. Daarnaast is het zo dat niet elk netwerk als elektrisch netwerk kan worden geïnterpreteerd. In deze gevallen moet de weerstand echter ook te definiëren zijn. Daarom is een handigere methode gevonden, waarbij de e ectieve weerstand wordt berekenen met behulp van de Laplaciaan. In het volgende hoofdstuk zullen we uitleggen hoe dit werkt. 5

6 3 De Laplaciaan In dit hoofdstuk introduceren we de Laplaciaan en zijn pseudoinverse en laten we zien hoe we deze pseudoinverse kunnen berekenen. Ook laten we zien dat de pseudoinverse van de Laplaciaan een specifieke vorm is van de Moore-Penrose pseudoinverse. In Hoofdstuk 4 zullen we bespreken hoe de Laplaciaan en zijn pseudoinverse kunnen worden gebruikt om de e ectieve weerstand te berekenen. We beperken ons hierbij tot netwerken die worden gerepresenteerd door normale, samenhangende, ongerichte grafen. Definitie 3. Zij G =(V,E) een normale, ongerichte, samenhangende graaf, met V de verzameling knopen en E de verzameling takken. Dan is de Laplaciaan L de n n matrix met de elementen: 8 >< d i als i = j L ij = als (i, j) 2 E >: anders, waarbij d i de graad van de knoop i is. De Laplaciaan heeft dus op de diagonaal de graden van de knooppunten staan en verder een als (i, j) de element wanneer er een tak is tussen knoop i en knoop j. Hieruit volgt dat de rijsommen gelijk zijn aan. De Laplaciaan karakteriseert de graaf waarmee hij geassocieerd is volledig. Dus als de Laplaciaan gegeven is, kunnen we altijd de originele graaf weer reconstrueren. [4] We kunnen ook de Laplaciaan definiëren voor een gewogen, ongerichte, samenhangende graaf met gewichten w (i,j) voor de takken (i, j). Definitie 3.2 Zij G =(V,E) een gewogen, normale, ongerichte, samenhangende graaf met V de verzameling knopen en E de verzameling takken. Laat w (i,j) het gewicht van tak (i, j) zijn,(i, j) 2 E. Dan is de gewogen Laplaciaan L W de n n matrix met de elementen: 8 >< w i = P n L W j= w (i,j) als i = j ij = w (i,j) als (i, j) 2 E >: anders. Als er in een elektrisch netwerk een spanningsbron tussen knoop a en knoop b wordt aangesloten, kunnen we met de stroomwet van Kircho en wet van Ohm de spanning berekenen. Bij gegeven stroom en gegeven weerstanden komt dit neer op het berekenen van de e ectieve weerstand R ab voor elke knoop a en knoop b in een elektrisch netwerk. [4] 6

7 Deze kan als volgt berekend worden: (a) Bepaal x 2 R n met L W x =(e a e b ) (b) R ab = x a x b. Als L W niet-singulier zou zijn, dan zou de oplossing van het bovenstaande stelsel berekend kunnen worden via de inverse van L W. Uit de definitie van de Laplaciaan blijkt echter dat de rij- en kolomsommen van zowel de gewogen als ongewogen Laplaciaan nul zijn. Daardoor is de constante vector gelijk aan een eigenvector bij eigenwaarde. Dus is de Laplaciaan singulier en daarmee niet inverteerbaar. We kunnen echter wel de zogenaamde pseudoinverse van de Laplaciaan berekenen. Deze pseudoinverse kunnen we gebruiken om de e ectieve weerstand van de geassocieerde graaf te bepalen. [4] Definitie 3.3 Zij A een n m reële matrix. De Moore-Penrose pseudoinverse A + van A is de unieke n m matrix met de volgende eigenschappen: (i) A + A =(A + A) > (ii) AA + =(AA + ) > (iii) AA + A = A (iv) A + AA + = A +. Hierbij is B > de getransponeerde van B. [3] Een specifiek geval van de Moore-Penrose pseudoinverse is de pseudoinverse van de Laplaciaan. Definitie 3.4 De pseudoinverse (L W ) + van de Laplaciaan wordt gedefinieerd als de matrix die voldoet aan de volgende eisen [4]:. (L W ) + n =; 2. Voor elke w, v? n geldt dat (L W ) + w = v dan en slechts dan als L W v = w. Met n wordt hier de constante vector gelijk aan met n elementen bedoeld. Merk op dat dit een iets helderder formulering is dan in [4]. De bovenstaande eisen betekenen dus dat de pseudoinverse (L W ) + inverteert op de loodrechtruimte? n = {x 2 R n x >? n =} en n op afbeeldt. 7

8 L W is een symmetrische matrix. Dus L W is diagonaliseerbaar. Het gevolg hiervan is dat L W een orthonormale basis van eigenvectoren heeft. Hieruit volgt dat L W = UDU = UDU >, waarbij U de n n-matrix is met de genormeerde eigenvectoren als kolommen en W 2 D = W n C A, de diagonaalmatrix met de corresponderende eigenwaarden. [4] Met behulp van diagonalisatie volgt dat (L W ) goed gedefinieerd is en uniek is vastgelegd. In het bijzonder geldt dat (L W ) + = UD + U, waarbij D + W 2 = C. A. W n Uit de verificatie van de eigenschappen van de Moore-Penrose pseudoinverse, zie hieronder, volgt met behulp van diagonalisatie dat de pseudoinverse (L W ) + ook een Moore-Penrose pseudoinverse is. (i) (L W ) + L W = UD + U UDU = UD + DU = (U > ) > (D + ) > D > U > = (UDD + U > ) > =(UD + DU ) > = (UD + U UDU ) > = ((L W ) + L W ) > ; (ii) L W (L W ) + = UDU UD + U = UDD + U = (U > ) > D > (D + ) > U > = (UD + DU > ) > =(UDD + U ) > = (UDU UD + U ) > = (L W (L W ) + ) > ; 8

9 (iii) L W (L W ) + L W = UDU UD + U UDU = UDD + DU = U C. A DU = UDU = L W ; (iv) (L W ) + L W (L W ) + = UD + U UDU UD + U = UD + DD + U = U C. A D+ U = UD + U =(L W ) +. De pseudoinverse van de Laplaciaan is dus een Moore-Penrose pseudoinverse. Als gevolg daarvan is het de unieke matrix die voldoet aan Definitie 3.3. Voorbeeld 3. Beschouw de volgende graaf G: c 2 a 2 b De Laplaciaan van G is 3 2 L W 2 4 2A. 2 3 De eigenwaarden van L W zijn =, 2 =6en 3 = 4, met bijbehorende eigenvectoren v A,v 2 2A en v 3 A. 9

10 Dan geldt B U p 3 p6 p 2 p 3 p2 6 p 3 p6 p2 C A en D + 6 A, 4 zodat de pseudoinverse van L W gegeven wordt door (L W ) + = p p6 p B 3 p p2 3 6 C 6 A p p6 p A p p3 p3 3 p p2 p6 6 6 p 2 p2 C A Uit (a) volgt nu dat voor x 2 R n geldt x = (L W ) + (e a e b )+c n met c 2 R. Daarnaast geldt x a x b =(e a e b ) > (L W ) + (e a e b )+(e a e b ) > c n =(e a e b ) > (L W ) + (e a e b ). Met (b) geldt dan dat R ab = x a x b onafhankelijk is van c. Daarmee is R ab de unieke oplossing uit het stelsel vergelijkingen (a) en (b). In het volgende hoofdstuk zullen we zien dat we L W en (L W ) + kunnen gebruiken om de e ectieve weerstand tussen knopen en de e ectieve weerstand van het totale netwerk te berekenen.

11 4 E ectieve weerstand en Laplaciaan pseudoinverse In het vorige hoofdstuk hebben we gezien hoe we een pseudoinverse van L W kunnen vinden. Op grond van elektrische weerstanden kan vervolgens R ab gedefineerd worden voor een algemeen netwerk. Verder zullen we aantonen dat aan de hand van R ab en aan de hand van de Laplaciaan de totale e ectieve weerstand kan berekenen. Definitie 4. Zij G =(V,E) een gewogen, normale, ongerichte, samenhangende graaf met V de verzameling knopen en E de verzameling takken. Laat w (i,j) het gewicht van tak (i, j) zijn,(i, j) 2 E. Zij L W de Laplaciaan van G. Dan geldt dat de e ectieve weerstand R ab tussen knoop a en knoop b gelijk is aan: R ab =(e a e b ) > (L W ) + (e a e b )=(L W ) + aa 2(L W ) + ab +(LW ) + bb () waarbij (L W ) + ij het (i, j)-de element van de pseudoinverse (LW ) + is. Merk op dat dit overeenkomt met de elektrische weerstand zoals in Theorem 4. uit [4]. Gevolg 4. Uit () volgt R ij = R ji en R ii = voor alle i en j. Bewijs R ij =(L W ) + ii 2(L W ) + ij +(LW ) + jj =(LW ) + jj 2(L W ) + ji +(LW ) + ii = R ji. De tweede gelijkheid volgt uit de symmetrie van (L W ) +. R ii =(L W ) + ii 2(L W ) + ii +(LW ) + ii =. De robuustheid van een netwerk moeten we enkel via één getal meten. Dus we moeten de e ectieve weerstand van het totale netwerk weten. Deze is gedefineerd als de som van de e ectieve weerstanden van elk tweetal knopen in het netwerk. Definitie 4.2 [4] De totale e ectieve weerstand is de som van de e ectieve weerstanden over alle knopenparen: R tot = nx nx i= j=i+ R ij. We kunnen de totale e ectieve weerstand ook schrijven als functie van de nietnul eigenwaarden van de Laplaciaan.

12 Stelling 4.(Klein en Randić, 993) [6] De totale e ectieve weerstand is gelijk aan de vergelijking nx R tot = n. W i Bewijs We maken gebruik van het bewijs van Theorem 4.2 uit [4]. Met Gevolg 4. geldt R ii =enr ij = R ji. Dan kunnen we de totale e ectieve weerstand als volgt schrijven: R tot = = 2 = 2 = n nx nx i= j=i+ nx nx i= j= nx R ij R ij i= j=i+ i=2 nx (L W ) + ii 2(L W ) + ij +(LW ) + jj nx (L W ) + ii > (L W ) + i= = ntr((l W ) + ). De laatste gelijkheid volgt uit het feit dat (L W ) + overeenkomt met de nulafbeelding op sp{}. We kunnen nu concluderen dat R tot nx = n, omdat het W i=2 i spoor tr(l W ) + gelijk is aan de som van de eigenwaarden van (L W ) +. Voor de totale e ectieve weerstand geldt het volgende: Stelling 4.2 De totale e ectieve weerstand is strikt dalend als er takken worden toegevoegd of gewichten worden verhoogd. Bewijs Zie het bewijs van Theorem 4.8 uit [4]. In het volgende voorbeeld worden Definitie 4., Definitie 4.2 en Stelling 4. toegepast om de totale e ectieve weerstand te berekenen. 2

13 Voorbeeld 4. We gebruiken dezelfde matrix als in Voorbeeld 3., namelijk L W 2 4 2A met (L W ) A Als we de totale e ectieve weerstand R tot willen uitrekenen met toepassing van Definitie 4. en Definitie 4.2 krijgen we: R 2 = = 3 8, R 3 = = 2, R 23 = = 3 8, zodat R tot = = 5 4. Met toepassing van Stelling 4. krijgen we: R tot =3 ( )= 5 4. De pseudoinverse (L W ) + kan via spectraaldecompositie berekend worden. Het doel is om een e ciëntere, numeriek stabielere methode te vinden. Daarvoor zullen we in het volgende hoofdstuk eerst een bepaald type symmetrische matrices bestuderen, waaraan ook de Laplaciaan voldoet. 3

14 5 Methode voor een klasse speciale symmetrische matrices Zij A een n n symmetrische matrix van rang (n ) waarvoor geldt dat A n =. Merk op dat de Laplaciaan L W uit Hoofdstuk 3 hier ook aan voldoet. Gauss-Jordan eliminatie toegepast op de n 2n matrix (A I) geeft de n 2n matrix (T S). Aangezien A een singuliere matrix is, geldt dat T niet de identiteitsmatrix is. S is dus niet gelijk aan A. Er geldt echter wel dat SA = T, omdat we dezelfde rijoperaties op A uitvoeren als op I, waardoor T respectievelijk S ontstaan. S en T zijn niet uniek. Als echter in de eerste stap van de Gauss-Jordan eliminatie de n de rij wordt gemaakt, levert Gauss-Jordan eliminatie wel de unieke matrices S en T op. Voor dit geval zullen we de structuur van T en S afleiden. Vervolgens zullen we met behulp van S en T een matrix S bepalen die als alternatief voor de Laplaciaan pseudoinverse gebruikt kan worden. Definitie 5. A [i,i 2,...,i k ] is de matrix A zonder de rijen en kolommen met indices i,...,i k Zij A een n n symmetrische matrix van rang (n ) met A n =. Pas Gauss-Jordan eliminatie toe op de n 2n matrix (A I), met als eerste stap het optellen van de eerste (n ) rijen bij de n de rij. Lemma 5. Het resultaat van de bovengenoemde Gauss-Jordan eliminatie is de n 2n matrix (T S) met. T =... B A, S = A [n]. C A en SA = T. Bewijs Door het toepassen van Gauss-Jordan eliminatie op de n 2n matrix (A I), krijgen we als resultaat een n 2n matrix (T S). Hierbij is T de gereduceerde rij-echelon vorm van de matrix A. Het optellen van de eerste (n ) rijen bij de laatste rij, geeft als resultaat dat ( ) de laatste rij van (T S) is. Met deze rij wordt vervolgens verder niks meer gedaan tijdens het vegen. Immers er is gegeven dat A n = n en dat A symmetrisch is, oftewel A = A >. 4

15 Hieruit volgt dat n =(A n ) > = > n A > = > n A. Uit het feit dat T in gereduceerde rij-echelon vorm staat en dat > n A = > n volgt dat de n de rij van T gelijk is aan de nulvector. Aangezien geldt dat n =rang(a) =rang(a > ), volgt dat de rij- en kolomruimte gelijk zijn. Dus de n-de rij van T is de enige nulrij. Stel A [n] is singulier. Dan geldt dat rang(a) apple n 2. Aangezien dit in tegenspraak is met de aanname, geldt dus dat A [n] niet singulier is. Hieruit volgt dat de identiteitsmatrix ontstaat, als we A vegen op de eerste n rijenen kolommen. Dus T [n] = I [n] en S [n] = A [n]. We voeren alleen elementaire rijoperaties uit, dus de eigenschap dat de rijsommen zijn blijft behouden. Wegens het feit dat A rang (n ) heeft en dat T in gereduceerde rij-echelon vorm staat, zijn slechts twee elementen ongelijk per rij i, apple i apple n, namelijk en. Uit het feit dat T [n] = I [n], geldt dat alleen het n-de element van elke rij gelijk kan zijn aan. Dus de n-de kolom van T zieter als volgt uit: N = B. A. Dus T is van de gegeven vorm. Aangezien we dezelfde rij-operaties toepassen op I als op A en we de eerste (n ) rijen optellen bij de n-de rij, bestaat de onderste rij van S uit T n. Er geldt > n A = > n. Dus er wordt in de rijoperaties die gebruikt worden om A naar T te transformeren, geen gebruik gemaakt van de n-de rij van A. Hierdoor wordt de n-de rij van I ook niet gebruikt in de rijoperaties die I naar S transformeren. Aangezien de laatste kolom van I op het n de element na gelijk is aan, geldt nu ook dat alle eerste n elementen van de laatste kolom van S gelijk zijn aan. Hierboven werd al aangetoond dat S [n] = A [n]. Dus ook S is van gegeven vorm. Tot slot weten we dat SA = T, want de rij-opreaties die A naar T transformeren, transformeren I naar S. We willen S gebruiken om R ab en R tot te berekenen. Het is echter niet direct duidelijk hoe we dat kunnen doen. Bijvoorbeeld geldt in het algemeen niet dat tr(s) =tr((l W ) + ) (zie pagina 2). Het doel is nu S te transformeren tot een matrix S met de eigenschap tr(s )=tr((l W ) + ). Dat wil zeggen dat we eisen dat de eigenwaarden van S gelijk zijn aan die van (L W ) +. We zullen hieronder een matrix S met de gewenste eigenschappen construeren. Bovenstaande eis impliceert dat er moet gelden dat: 5

16 . S heeft eigenwaarde x, y? n geldt S y = x, Ax = y. N.B. De eerste eis voor de pseudoinverse van L W uit Definitie 3.4 is verzwakt. Op grond van de berekening van R ab doormiddel van (a) en (b) blijkt deze eis niet nodig te zijn. Laat x? n en y = Ax. SA = T impliceert dan Sy = SAx = Tx. Met de standaardvorm van T, zoals in Lemma 5., geldt nu dat Sy = x x n n. Dit impliceert dat oftewel, Sy = x x n n ( ) X (Sy) i = X x i nx n = nx n i i X X S ij y j = x n, n i j X n j! X S ij y j = x n. ( ) i Uit Sy = x x n n volgt dat S al bijna een pseudoinverse van A is. Er moet echter nog gecorrigeerd worden voor de term x n n. Uit ( ) volgt dat we een matrix krijgen die corrigeert voor de term x n n voor alle vectoren die loodrecht staan op n, als we n maal de som van kolomsommen van S aftrekken van elke rij van S. Definieer dus S := S n n > n S. In Stelling 5. zullen we bewijzen dat S voldoet aan de bovenstaande eisen. We kunnen al het bovenstaande samenvatten in het volgende algoritme: Algoritme 5.. Tel de eerste (n ) rijen van (A I) op bij de n de rij. 2. Bepaal A [n] via het vegen van (A [n] I n ). 3. S = B A [n]. A. 4. S = S n n > n S. 6

17 Met het volgende voorbeeld laten we zien hoe het algoritme wordt toegepast. Voorbeeld 5. Pas Algoritme 5. toe op de matrix A [n] = S A. 4. S A. A. Vergelijk dit met Voorbeeld 3.. Dan geldt inderdaad dat het spoor van S, tr(s) = 5 8, en het spoor van (LW ) +, tr((l W ) + )= 5 2, niet overeenkomen. We zien echter wel dat tr(s )=tr((l W ) + )= 5 2. Duidelijk geldt S 6=(L W ) +. We zullen nu aantonen dat de eigenwaarden van S en (L W ) + altijd overeenkomen. Stelling 5. Laat {, 2,..., n} de eigenwaarden zijn van L W met bijbehorend orthogonaal stelsel van eigenvectoren { n,v 2,...,v n }. Dan heeft S : A. () eigenwaarden i bij eigenvectoren v i met i =2,...,n. (2) eigenwaarde met multipliciteit. Bewijs We bekijken eerst de eigenwaarden 2,..., n. Laat i 2{2,...,n} en x = v i. Dan 7

18 geldt L W v i = i v i en invullen in ( ) geeft dan S i v i = v i (v i ) n n. S iv i = S i v i n n > n S iv i. = v i (v i ) n n n n > n (v i (v i ) n n ) = v i (v i ) n n n ((v i) (v i ) n +(v i ) 2 (v i ) n (v i ) n (v i ) n ) n = v i (v i ) n n n ((v i) +(v i ) (v i ) n n(v i ) n ) n = v i (v i ) n n n ( n(v i) n ) n = v i (v i ) n n +(v i ) n n = v i De vijfde vergelijking volgt uit het feit dat v i? n. Dus geldt S v i = i v i voor i 6=. Dus uitspraak () is bewezen. We bekijken nu het geval =. Er geldt dat > n een linkereigenvector van S is. Namelijk: > n S = > n S n > n n > n S = > n S n n > n S = n = n > n. Aangezien n een linkereigenvector is van S, geldt dat n een rechtereigenvector is van (S ) >. Daarmee geldt dat een eigenwaarde is van (S ) >. Verder geldt er dat det (S ) > I =det (S ) > I > =det (S ) > > ( I) > = det S I > =det(s I). Het karakteristiek polynoom en daarmee de eigenwaarden van (S ) > en S zijn gelijk, dus is ook een eigenwaarde van S. In het volgende hoofdstuk zullen we aantonen dat we de geconstrueerde matrix S ook kunnen gebruiken voor het berekenen van de e ectieve weerstand R ab tussen knoop a en knoop b en de totale e ectieve weerstand R tot. Op dezelfde manier zijn R ab en R tot ook uit te drukken in termen van S. 8

19 6 E ectieve Weerstand en alternatief voor Laplaciaan pseudoinverse In Hoofdtsuk 4 is gebleken dat we met de Laplaciaan en de pseudoinverse van de Laplaciaan de e ectieve weerstand kunnen berekenen. In dit hoofdstuk laten we zien dat we met behulp van de algemene methode voor symmetrische matrices ook de e ectieve weerstand R ab tussen knoop a en knoop b en de totale e ectieve weerstand R tot kunnen berekenen. Uit de combinatie van Stelling 5. en Definitie 4. kunnen we een uitdrukking van R ab in S vinden. Gevolg 6. R ab =(e a e b ) > S (e a e b ). Bewijs Uit Stelling 4. volgt dat S x =(L W ) + x voor alle x? n, omdat? n = sp{v 2,...,v n } waarbij v 2,...,v n de eigenvectoren van L W zijn horende bij de eigenwaarden 2,..., n ongelijk aan. S werkt dus hetzelfde op? n als (L W ) +. Uit het feit dat (e a e b )? n volgt dat S (e a e b )=(L W ) + (e a e b ). Dus uit Definitie 4. volgt dan R ab =(e a e b ) > (L W ) + (e a e b )=(e a e b ) > S (e a e b ). Met Stelling 4. en Stelling 5. kunnen we de totale e ectieve weerstand R tot als functie van het spoor van S, tr(s ), schrijven. Gevolg 6.2 Zij S = S n n > n S. Dan geldt dat R tot = n tr(s ). Bewijs Laat {, W 2,..., W n } de eigenwaarden zijn van L W. Uit Stelling 5. volgt dan dat {, W,... W } de eigenwaarden van S zijn. Dus het spoor van S is gelijk 2 n aan nx tr(s )=+. Uit Stelling 4. volgt dan, dat i=2 R tot = n tr(s ). i 9

20 Met behulp van het bovenstaande gevolg kunnen we de totale e ectieve weerstand R tot ook uitdrukken in S. Gevolg 6.3 R tot = n tr(s) > n S n. Bewijs Uit Gevolg 6.2 geldt R tot = n tr(s ). Verder is het een feit dat S ontstaat uit S door de kolomsommen van de rijen van S af te trekken. Daarmee kunnen we het spoor van S als volgt uitdrukken in S: tr(s )=tr(s) n nx S i i= nx i= S in! = tr(s) n > n S n. Uit het bovenstaande volgt dat R tot = n tr((l W ) + )=n tr(s), n > n S n = n. Uit [5] volgt echter dat alle elementen van (L W [n] ) groter of gelijk zijn aan. Daarmee geldt dat alle elementen van S [n] groter of gelijk zijn aan. Dus alle kolomsommen van S zijn groter dan. Daarmee geldt n > n S n 6= n.dus geldt tr((l W ) + ) 6= tr(s). We zullen nu laten zien dat we de e ectieve weerstand R ab tussen knopen a en b ook kunnen berekenen met behulp van S. We hebben S dus niet nodig voor het berekenen van R ab. Lemma 6. Er geldt R ab = (e a e b ) > S(e a e b ) en in het bijzonder geldt R an = S aa, a =,...,n. Bewijs We hebben S gedefinieerd als S := S n n > n S. Uit volgt R ab =(e a e b ) > S R ab =(e a e b ) > S (e a e b ) n n > n S (e a e b ). 2

21 Oftewel, R ab = (e a e b ) > S = n n > n S (e a e b ) (e a e b ) > S (e a e b ) > n n > n S = (e a e b ) > S (e a e b ) = (e a e b ) > S(e a e b ) = S aa S ab S ba + S bb. (e a e b ) De derde gelijkheid volgt uit het feit dat (e a e b ) >? n. Als we voor b knoop n kiezen, dan geldt dat S an = S na = S nn =. Oftewel dat R an = S aa. Tot slot volgt uit Lemma 6. nog een alternatieve methode om R ab te kunnen berekenen. Hierbij drukken we R ab uit in termen van L W. Stelling 6. R ab = det(lw [a,b] ) det(l W [a] ). Bewijs Kies A = L W. Een gevolg van de regel van Cramer is de volgende stelling [7] : Als B een n n inverteerbare matrix is dan geldt B = adj B, det B waarbij adjb de geadjungeerde van B is. Hieruit kunnen we dan ook concluderen dat B [n] = adjb [n]. det B [n] We hebben dat T en S uit Lemma 5. van de volgende vorm zijn: s s n. T =... B A en S =. B.... s n s n n A. 2

22 Hieruit kunnen we concluderen dat S [n] =(L W [n] ). Dan volgt dat: S aa = (S [n] ) aa = ((L W [n] ) ) aa = det L W (adj L W [n] ) aa [n] = det LW [a,n] det L W. [n] Uit Lemma 6. volgt dat R an = S aa. Dus met het bovenstaande volgt dan R an = det LW [a,n] det L W. [n] Aangezien we te maken hebben met een netwerk, kunnen we via hernummering elke knoop b als knoop n kiezen. De formule is dus onafhankelijk van welke rij en kolom we verwijderen [2]. Stelling 6. is een bekende stelling en is bijvoorbeeld terug te vinden in []. Het bewijs dat hiervoor normaal gesproken wordt gegeven, is een vrij lang bewijs via een energieminimalisatie-argument. Het bovenstaande bewijs is een veel directer, alternatief bewijs voor Stelling 6.. In het volgende voorbeeld worden Gevolg 5.2, Stelling 6.2 en Definitie 4.2 toegepast om de totale e ectieve weerstand te berekenen. Voorbeeld 6. We gebruiken dezelfde voorbeeldmatrix als in Voorbeeld 3., Voorbeeld 4. en Voorbeeld 5., namelijk L W A met S A Door toepassing van Gevolg 5.2 krijgen we: R tot =3 ( )= 5 4. Door toepassing van Stelling 6. en Definitie 4.2 krijgen we: det(3) R 2 = = det 2 3 det(4) R 3 = = det

23 det(3) R 23 = = det 3 R tot = = 5 4. De uitkomsten uit Voorbeeld 4. zijn gelijk aan de bovenstaande uitkomsten. Het is interessant dat er verschillende methoden zijn om de e ectieve weerstand te berekenen. 23

24 7 Toepassing op Amsterdams metronetwerk Aan de hand van de resultaten in de voorgaande secties zullen we de e ectieve weerstand van het metronetwerk van Amsterdam analyseren. We zijn hierbij geïnteresseerd in de volgende twee vragen:. Heeft de aanleg van de Noord-Zuidlijn een positieve invloed op de e ectieve weerstand van het Amsterdamse metronetwerk? 2. Zou het aanleggen van een lijn tussen Centraal Station en Station Sloterdijk een positieve invloed hebben op de e ectieve weerstand tussen de twee knopen en op de totale e ectieve weerstand van het netwerk? We bekijken de volgende vier netwerken: G O : Het oorspronkelijke metronetwerk van Amsterdam. Dit is hoe het huidige Amsterdamse metronetwerk eruit ziet. G NZ : Het metronetwerk van Amsterdam met Noord-Zuidlijn. G CS : Het metronetwerk van Amsterdam zonder Noord-Zuidlijn en met een extra lijn tussen Amsterdam Centraal en Amsterdam Sloterdijk. G NZ,CS Het metronetwerk van Amsterdam met Noord-Zuidlijn en met een extra lijn tussen Amsterdam Centraal en Amsterdam Sloterdijk. Voor elk van de gevallen kijken we naar de totale e ectieve weerstand van het netwerk en naar de e ectieve weerstand tussen knoop Centraal Station en knoop Station Sloterdijk, zodat we deze later kunnen vergelijken. Voor de netwerken G NZ en G NZ,CS bekijken we ook nog de totale e ectieve weerstand van de knooppunten die niet bij de Noord-Zuidlijn horen om te kijken wat voor invloed de Noord-Zuidlijn op de gemeenschappelijke knopen met G O heeft. 7. Het Model Het Amsterdamse metronetwerk met Noord-Zuidlijn kunnen we modelleren als een ongerichte, samenhangende graaf met 57 knopen. Het Amsterdamse metronetwerk zonder Noord-Zuidlijn kunnen we modelleren als een ongerichte, normale, samenhangende graaf met 52 knopen. De knopen corresponderen met de metrohaltes. De matrices die we hebben gebruikt, zijn de gewogen Laplacianen van de verschillende variaties van het metronetwerk dat we bestuderen. Als gewichten op de takken hebben we het aantal lijnen tussen de corresponderende metrohaltes gekozen. Voor de berekening hebben we gebruik gemaakt van drie matlabcodes die in Appendix A zijn opgenomen. In deze codes hebben we gebruik gemaakt van het feit dat S [n] = (L W ) [n] 24

25 zoals in het bewijs van Stelling 6.. Als formules in de eerste twee matlabcodes hebben we R ab =(e a e b ) > S(e a e b )enr an = S aa (zie Lemma 6.) gebruikt. nx nx Verder is gebruik gemaakt van Definitie 4. die zegt dat R tot = R ij. i= j=i+ Met de eerste code kunnen we R tot en R ij met apple i < j apple n tussen de knopen tot en met n berekenen. Aangezien het aantal knopen van de netwerken G NZ en G NZ,CS (n = 57) groter is dan het aantal knopen van G O en G CS (n = 52), kun je de totale e ectieve weerstanden van deze netwerken niet goed vergelijken. Dit is opgelost door in plaats van de totale e ectieve weerstand van G NZ en G CS,NZ de som over de e ectieve weerstanden R ij van de oorspronkelijke knooppunten te nemen. Deze kan wel vergeleken worden met de totale e ectieve weerstand van G O en G CS. Dit kan gedaan worden met behulp van de tweede code. Met de laatste code berekenen we R tot van de vier netwerken. Deze code maakt gebruik van Gevolg 6.3. De code is lager in complexiteit, waardoor deze code significant sneller is voor hele grote netwerken. Als we alleen geïnteresseerd zijn in de totale e ectieve weerstand van een netwerk is het beter om deze code te gebruiken. 25

26 7.2 De Resultaten Hieronder is een weergave van de vier netwerken. In Appendix B is een grafische weergave van het netwerk opgenomen met genummerde knooppunten en gewichten op takken in het geval deze groter zijn dan. Figuur 2: netwerk G O (links) en netwerk G NZ (rechts) Figuur 3: netwerk G CS (links) en netwerk G NZ,CS (rechts) In de onderstaande tabel staan de resultaten weergegeven die met behulp van 26

27 de matlabcodes zijn gegenereerd. Voor alle vier de netwerken is de totale effectieve weerstand R tot en de e ectieve weerstand tussen Centraal Station (C) en Station Sloterdijk (S) berekend. Voor de netwerken G NZ en G NZ,CS hebben we ook de totale e ectieve weerstand van de knopen uit het oorspronkelijke netwerk, R tot 52 = X5 X52 i= j=i+ R ij,berekend. Tabel : Resultaten E ectieve Weerstand Netwerk R tot R52 tot E ectieve Weerstand tussen C en S G O 255 n.v.t.,6 G NZ ,8947 G CS 2 n.v.t.,6825 G NZ,CS ,

28 7.3 Conclusie 7.3. Vraag : Heeft de aanleg van de Noord-Zuidlijn een positieve invloed op de e ectieve weerstand van het Amsterdamse metronetwerk? We vergelijken eerst netwerk G O en netwerk G NZ. Uit de resultaten volgt dat R NZ,tot 2, 9% hoger is dan R O,tot. Dit is in tegenstelling met wat we verwachten, want volgens Stelling 4.2 zou R tot moeten afnemen met het toevoegen takken. De reden voor deze hogere e ectieve weerstand in netwerk G NZ is dat niet alleen takken worden toegevoegd, maar ook knopen. Deze nieuwe knopen zorgen ervoor dat het totale netwerk gevoeliger wordt voor beschadigingen, omdat er bij beschadiging mogelijk geen alternatieve route voor deze nieuwe knopen bestaat. Doordat hieruit niet gelijk duidelijk is wat de invloed van de Noord-Zuidlijn is op de knopen uit het oorspronkelijke netwerk, bekijken we de verandering van R tot van de oorspronkelijke knopen. We zien in de resultaten dat deze 2, 7% lager is dan R O,tot in netwerk G O. Ook hebben we de onderlinge e ectieve weerstand tussen deze 52 knopen berekend. In Appendix C zijn tabellen opgenomen waarin we de procentuele verandering kunnen zien van de e ectieve weerstand tussen tweetallen oorspronkelijke knopen in netwerk G O en in netwerk G NZ. We zien dat voor elk tweetal knopen de e ectieve weerstand R ij met apple i<japple 52 gelijk is gebleven of is gedaald. Er is een grote afname van e ectieve weerstand tussen de tweetallen knopen tot en met 2 en 23 tot en met 27. De grootste procentuele afname is de e ectieve weerstand tussen knoop en knoop 2, namelijk 47, 4%. Dit is precies zoals we zouden verwachten, omdat kortere routes hierbij van grotere toegevoegde waarde zijn. Dit bevestigt dat de e ectieve weerstand een goede maat voor robuustheid is. De totale e ectieve weerstand R NZ,tot is hoger dan R O,tot, dus de Noord-Zuidlijn maakt het totale netwerk minder robuust. Uit het bovenstaande blijkt echter wel dat de Noord-Zuidlijn zorgt voor een robuuster oorspronkelijk netwerk. Het toevoegen van de Noord-Zuidlijn aan het metronetwerk heeft dus een positieve invloed op het oorspronkelijke netwerk Vraag 2: Zou het aanleggen van een lijn tussen Centraal Station en Station Sloterdijk een positieve invloed hebben op de e ectieve weerstand tussen de twee knopen en op de totale e ectieve weerstand van het netwerk? Op basis van de resultaten kan een vergelijking worden gemaakt tussen de verschillende netwerken met betrekking tot de invloed die een lijn tussen Centraal Station en Station Sloterdijk heeft op de robuustheid van het netwerk. Er wordt hierbij gekeken naar de procentuele verschillen van de totale e ectieve 28

29 weerstand, de totale e ectieve weerstand van het oorspronkelijke netwerk en het verschil van de e ectieve weerstand tussen Centraal Station (C) en Station Sloterdijk (S). De uitkomsten worden weergegeven in de onderstaande tabel. Tabel 2: Procentuele verschillen E ectieve Weerstand met lijn tussen Centraal Station en Station Sloterdijk, 4% lager n.v.t. 84, % lager Vergelijking Procentueel Procentueel Verschil Procentueel Verschil Netwerken Verschil R tot R tot 52 E ectieve Weerstand tussen C en S G CS t.o.v. G O G NZ,CS, 9% lager, 9% lager 79, 3% lager t.o.v. G NZ G NZ,CS t.o.v. G O n.v.t 3, 3% lager 79, 3% lager Uit de tabel kunnen we concluderen dat een lijn tussen Centraal Station en Station Sloterdijk het netwerk robuuster maakt, want de e ectieve weerstand daalt in alle netwerken. Een lijn tussen Centraal Station en Station Sloterdijk heeft zelfs een grotere invloed op de daling van de totale e ectieve weerstand van het oorspronkelijke netwerk dan het toevoegen van de Noord-Zuidlijn aan het netwerk Slotconclusies en mogelijk vervolgonderzoek De totale e ectieve weerstand van het oorspronkelijke netwerk daalt zowel met het toevoegen van de Noord-Zuidlijn als met het toevoegen van een lijn tussen Centraal Station en Station Sloterdijk. Dus de robuustheid van het oorspronkelijke netwerk neemt toe. Deze toename van robuustheid is intuïtief logisch, omdat er meerdere alternatieve routes zijn. Dit bevestigt dat de e ectieve weerstand een goede maat voor de robuustheid is. Het is vrij opmerkelijk dat het toevoegen van een lijn tussen Centraal Station en Station Sloterdijk een grotere invloed heeft of de afname van R tot dan het toevoegen van de Noord-Zuidlijn. Dit hadden we in eerste instantie niet verwacht, omdat het slechts één lijn is die toegevoegd wordt tussen Centraal Station en een niet centraal in het netwerk gelegen knooppunt. De Noord-Zuidlijn daarentegen verbindt twee knooppunten die meer centraal in het netwerk liggen (zie Appendix B). Een verklaring kan zijn dat het toevoegen van de Noord-Zuidlijn voornamelijk van invloed is op de knooppunten, 3, 4, 4, 5, en 23 tot en met 27, omdat deze het dichtst in de buurt van de Noord-Zuidlijn liggen. Deze knooppunten hebben allen al een hogere graad in vergelijking tot de meeste knooppunten in het netwerk en daardoor meerdere alternatieve routes. Het 29

30 toevoegen van nog een alternatieve route heeft dan minder invloed op de robuustheid. Het toevoegen van en lijn tussen Centraal Station en Station Sloterdijk lijkt dus een goedkopere oplossing dan het toevoegen van de Noord-Zuidlijn, terwijl het wel een hogere robuustheid oplevert. Dit is een eerste stap in het ontwerp voor een beter netwerk. In toekomstig onderzoek kan overwogen worden om zaken mee te modelleren zoals de fysieke afstand tussen knooppunten, de tijd die het kost om van het ene knooppunt naar het volgende knooppunt te gaan en de kosten van het aanleggen van nieuwe lijnen. 3

31 Appendices A Codes Code % Ik verwijder de n de kolom en rij van matrix A 2 A(n,:) =[]; 3 A(:,n )=[]; 4 5 % S is de inverse van A 6 S = inv(a) ; 7 8 % Creeer een lege nxn matrix voor de effectieve weerstand 9 R = zeros( n ); % Creeer een (n )x (n ) identiteitsmatrix 2 E = eye(n ) ; 3 4 % Voor elk paar knopen vul R met de effectieve weerstand 5 for i= :n 2 6 for j = i +:n 7 R( i, j ) = (E (:, i ) E (:, j )) S (E (:, i ) E (:, j )); 8 end 9 end 2 2 % Vul laatste kolom van R 22 for i= :n 23 R( i, n )=S ( i, i ); 24 end % Som van alle effectieve weerstanden 27 Rtot=sum(sum(R)) Code 2 % Ik verwijder de n de kolom en rij van matrix A 2 A(n,:) =[]; 3 A(:,n )=[]; 4 5 % S is de inverse van A 6 S = inv(a) ; 7 8 % Creeer een lege nxn matrix voor de effectieve weerstand 9 R = zeros( n ); 3

32 % Creeer een (n )x (n ) identiteitsmatrix 2 E = eye(n ) ; 3 4 % Voor elk paar knopen vul R met de effectieve weerstand 5 % Alleen voor de knopen 52 om zo de eff. w. van knopen te negeren 6 for i= :n 6 7 for j = i +:n 5 8 R( i, j ) = (E (:, i ) E (:, j )) S (E (:, i ) E (:, j )); 9 end 2 end 2 22 % Som van alle effectieve weerstanden 23 Rtot=sum(sum(R)) Code 3 %lege vector 2 z=zeros(n,); 3 % Verijderen n de rij en kolom 4 A(:,n )=[]; 5 A(n,:) =[]; 6 %S is de inverse van A 7 S=inv(A) ; 8 % Vullen van vector z met diagonaalelementen van S 9 for i =:n z ( i,)=s( i, i ); end 2 %kolomsommen van S + 3 s=sum( S )+ones (,n ) ; 4 %kolomsommen aftrekken van diagonaalelementen 5 c=z (/n) s ; 6 % totale effectieve weerstand ( met correctie voor verijderde rij/kolom) 7 Rtot=n (sum( c )+ (/n)) 32

33 B Graaf Amsterdams Metronetwerk (Station Sloterdijk(S)) (Amsterdam Centraal (C)) (3) (3) (3) 25 (3) 26 (3) 2 3 (3) 2 (2) 5 (2) (2) 28 (2) (2) (2) (2) (2) 4 2 (2) 2 (2) a (x) b Metrohalte Gewicht x op tak tussen knoop a en b Extra lijn tussen C en S Noord-Zuidlijn

34 C Tabellen met procentuele verschillen e ectieve weerstand per knoop De volgende tabellen geven het procentuele verschil weer tussen tweetallen knopen in Netwerk G O en G NZ. Hierbij is alleen gekeken naar de knopen tot en met 52. Voor de tabellen gelden de volgende opmerkingen: In de tabellen staan alleen R ij met apple i<japple 52 weergegeven. Deze keuze is gemaakt vanwege het overzicht. Aangezien geldt dat R ij = R ji (uit Gevolg 4.), kan de onderste helft van de tabel, die nu gelijk is aan, afgeleid worden uit de bovenste helft. staat is het procentuele verschil verwaarloos- Voor de plekken waar baar klein. 34

35 Tabel 3: E ectieve weerstanden tussen tweetallen knopen t/m 5 en t/m 52 Knopen

36 Tabel 4: E ectieve weerstanden tussen tweetallen knopen 6 t/m 4 en t/m 52 Knopen

37 Tabel 5: E ectieve weerstanden tussen tweetallen knopen 5 t/m 22 en t/m 52 Knopen

38 Tabel 6: E ectieve weerstanden tussen tweetallen knopen 23 t/m 27 en t/m 52 Knopen

39 Tabel 7: E ectieve weerstanden tussen tweetallen knopen 28 t/m 33 en t/m 52 Knopen

40 Tabel 8: E ectieve weerstanden tussen tweetallen knopen 34 t/m 52 en t/m 52 Knopen

41 Referenties [] R.B. Bapat, I. Gutman, and W. Xiao. A simple method for computing resistance distance. Z. Naturforsch, 23. [2] S. Boyd, A. Ghosh, and A. Saberi. Minimizing e ective resistance of a graph. SIAM Review, 5():37 66, 28. [3] R. Bulirsch and J. Stoer. Introduction to numerical analysis. Springer, fourth edition, 993. [4] W. Ellens. E ective resistance. Masterscriptie, Universiteit Leiden, 2. [5] D. Ertiningsih, M.N. Katehakis, L.C. Smit, and F.M. Spieksma. Level product form QSF processes and an analysis of queues with Coxian interarrival distribution. Accepted at Naval Research Logistics, 25. [6] D.J. Klein and M. Randić. Resistance distance. Journal of Mathematical Chemistry, 2:8 95, 993. [7] D.C. Lay. Linear Algebra and its applications. Pearson, 22. 4