Optimaal voorraadbeheer in een fluctuerende markt

Transcriptie

1 UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR Optimaal voorraadbeheer in een fluctuerende markt Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van Master of Science in de Toegepaste Economische Wetenschappen: Handelsingenieur Willem Hendrickx onder leiding van Prof. dr. ir. H. Bruneel Prof. dr. ing. D. Fiems Thesisbegeleiders: Ir. Eline De Cuypere Dr. ir. Wouter Rogiest

2

3 UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR Optimaal voorraadbeheer in een fluctuerende markt Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van Master of Science in de Toegepaste Economische Wetenschappen: Handelsingenieur Willem Hendrickx onder leiding van Prof. dr. ir. H. Bruneel Prof. dr. ing. D. Fiems Thesisbegeleiders: Ir. Eline De Cuypere Dr. ir. Wouter Rogiest

4 PERMISSION Ondergetekende verklaart dat de inhoud van deze masterproef mag geraadpleegd en/of gereproduceerd worden, mits bronvermelding. Willem Hendrickx

5 Woord vooraf Deze masterproef is het sluitstuk van de vijfjarige opleiding Toegepaste Economische Wetenschappen: Handelsingenieur aan de Universiteit Gent. Graag zou ik iedereen willen bedanken die heeft bijgedragen tot de verwezenlijking van dit eindwerk. Vooreerst mijn oprechte dank aan prof. dr. ing. Dieter Fiems, ir. Eline De Cuypere en dr. ir. Wouter Rogiest. Zij hebben mij gedurende de laatste twee jaar met raad en daad bijgestaan en hun raadgevingen en kennis zijn van goudwaarde geweest. Eveneens wil ik mijn dank betuigen aan prof. dr. ir. Herwig Bruneel voor het beschikbaar stellen van dit onderwerp en voor het op zich nemen van de taak van promotor. Ten slotte nog een speciaal woord van dank aan mijn ouders voor de morele steun en aan mijn zus Mieke voor het nalezen van mijn eindwerk. Dank u wel, Willem Hendrickx Gent, 8 augustus 2012 I

6 Inhoudsopgave Woord vooraf Lijst van figuren Lijst van tabellen I IV VI Inleiding 1 1 Probleemstelling Voorraadbeheer Kosten verbonden aan het houden van voorraad Modellen voor voorraadbeheer Specifieke uitdagingen Onderzoeksaanpak Methodologie Markov-ketens Lange-termijn eigenschappen van een Markov-keten Markoviaanse beslissingsprocessen Oplossingsmethodes Lineair programmeren Policy iteration Modified policy iteration Value iteration Gauss-Seidel value iteration Het toepassen van deze theorie doorheen de masterproef Inleidend model met een beperkte toestandsruimte Inleiding Model Markov-ketens Eigenschappen van beide Markov-ketens Markoviaans beslissingsproces Transitiematrices II

7 3.2.5 Kostmatrices Resultaten Invloed van de prijs op het bestelbeleid Invloed van de voorraadkost op het bestelbeleid Invloed van de bestelkost op het bestelbeleid Invloed van de prijsevolutie op het bestelbeleid Vergelijking van de verschillende oplossingsmethodes Model met een uitgebreide toestandsruimte Inleiding Model Markov-keten voorraadniveau Markov-keten prijsniveau Volledige Markov-keten Markoviaans beslissingsproces Resultaten Invloed van de prijs op het bestelbeleid Vergelijking van de verschillende oplossingsmethodes Invloed van de bestelkost op het bestelbeleid Invloed van de disconteringsfactor op het bestelbeleid Invloed van de vraag op het bestelbeleid Invloed van de prijsfluctuaties op het bestelbeleid Model met een onzekere levertermijn Inleiding Model Levertermijn De kost van verloren vraag Resultaten Gevolgen van het invoeren van een onzekere levertermijn Invloed van de kost van verloren vraag op het bestelbeleid Vergelijking van de verschillende oplossingsmethodes Conclusies en verder onderzoek 80 Bibliografie i Appendix A Lijst van de gebruikte symbolen iii III

8 Lijst van figuren 1.1 Relevante voorraad-gerelateerde kosten en de economische bestelhoeveelheid Evolutie in de tijd van het voorraadniveau met de formule van Camp Evolutie van de voorraad in de tijd met constante levertermijn en deterministische vraag Evolutie van de voorraad in de tijd met stochastische vraag en lead time In het policy iteration algoritme voor het oplossen van Markoviaanse beslissingsprocessen is er een continue interactie tussen beleids- en waardefuncties die stopt wanneer hun optimale waardes bereikt worden [20] Geometrische verdeelde vraag Grafische voorstelling van de vraagfluctuaties door middel van een Markov-keten Grafische voorstelling van de prijsfluctuaties door middel van een Markov-keten Grafische voorstelling van de marktfluctuaties door middel van een Markov-keten Mogelijke acties en overgangen in het Markoviaans beslissingsproces Mogelijke transities na het kiezen van actie d Invloed van de prijs op het bestelbeleid Invloed van de voorraadkost op het bestelbeleid Invloed van de bestelkost op het bestelbeleid Voorbeeld van een mogelijk voorraadverloop in het uitgebreide model Grafische voorstelling van de vraagfluctuaties door middel van een Markov-keten Grafische voorstelling van de prijsfluctuaties door middel van een Markov-keten Mogelijke kansverdelingen voor het prijsniveau in functie van α en β Mogelijke kansverdelingen voor het prijsniveau in functie van v Simulatie van de evolutie van het prijsniveau in de tijd voor verschillende waarden van v Mogelijke acties en de gevolgen Invloed van de het prijs- en voorraadniveau op het bestelbeleid Invloed van de prijs op het bestelbeleid in het laagste voorraadniveau Overzicht van de oplossingstijden van de verschillende oplossingsmethodes in functie van het aantal toestanden Invloed van de bestelkost C 0 op het bestelbeleid Invloed van de disconteringsfactor d op het bestelbeleid IV

9 4.13 Invloed van de kans op vraag op het bestelbeleid Invloed van de frequentie van de prijsfluctuaties op het bestelbeleid Invloed van de factor v op het bestelbeleid Kansverdeling van de levertermijn en de gemiddelde levertermijn bij verschillende waarden voor κ Het introduceren van een extra dimensie in voorraadniveau N met als doel het modelleren van een variabele levertermijn Illustratie van het model met levertermijn aan de hand van een voorbeeld Het introduceren van een fictief voorraadniveau 1 in de Markov-keten Effect van het invoeren van een onzekere levertermijn op het bestelbeleid De invloed van de kans op levering κ op de besteldrempel Invloed van de kost van verloren vraag C v op het bestelbeleid Gevolgen op het bestelbeleid van de combinatie van een hoge kost van verloren vraag en een lage kans op levering Overzicht van de oplossingstijden van de verschillende oplossingsmethodes in functie van het aantal toestanden V

10 Lijst van tabellen 1.1 Bijdrage van diverse kostencategorieën tot de totale voorraadkost volgens Richardson (1995) Gebruikte parameters en variabelen in de formule van Camp Gebruikte parameters in het vereenvoudigde model Overzicht van de mogelijke toestanden S i waarin het systeem zich kan bevinden Gebruikte parameters in het vereenvoudigde model Invloed van de prijs op het bestelbeleid Vergelijking van de verschillende oplossingsmethodes Overzicht en definitie van de nieuwe parameters en variabelen in hoofdstuk Volledige toestandsruimte van het uitgebreide model Arbitrair gekozen parameters voor het oplossen van het uitgebreide model Vergelijking van de verschillende oplossingsmethodes in een 4 2, respectievelijk toestandsruimte Overzicht van de gebruikte variabelen en parameters VI

11 Inleiding De probleemstelling van deze masterproef situeert zich in het domein van het voorraadbeheer. Het doel omvat het uitwerken van een wiskundig model dat de uitgesproken dynamiek van een voorraadbeheersysteem kan vatten. Bij klassiek voorraadbeheer zal men de voorraad van een bepaald product aanvullen op vaste tijdstippen of van zodra het voorraadniveau onder een bepaalde drempelwaarde zakt, zoals bij het bekende Economic Order Quantity -model het geval is. Aan de hand van het EOQ-model kan men deze drempelwaarde én de bestelhoeveelheid bepalen die de totale kost verbonden aan het houden van voorraad minimaliseren. Deze klassieke modellen zijn echter niet altijd optimaal. Er worden namelijk een aantal veronderstellingen gemaakt die niet altijd even realistisch zijn, zoals een deterministische omgeving. Het gebruik van dit klassieke EOQ-model in een stochastische en dynamische omgeving levert, ondanks de robuustheid van het model, dan ook weinig accurate resultaten op. Er zijn bijgevolg tal van uitbreidingen terug te vinden in de literatuur, die in min of meerdere mate de dynamiek van een werkelijk voorraadbeheersysteem kunnen vatten. Elk model bevat echter enkele vereenvoudigende veronderstellingen van de werkelijkheid waardoor de praktische toepasbaarheid beperkt wordt tot zeer specifieke situaties. Ook deze masterproef richt zich op een zeer specifieke bedrijfssituatie en bevat belangrijke veronderstellingen die de complexiteit van het model enigszins beperken. De concrete uitdaging die in deze masterproef wordt aangegaan is het integreren van marktfluctuaties in een wiskundig model, en dit in een stochastische omgeving. In het bijzonder wordt een voorraadbeheer-model bestudeerd waarbij het aankoopgedrag niet enkel afhankelijk is van een fluctuerend voorraadniveau, maar ook van een fluctuerende marktprijs. De mogelijkheid om aan een relatief goedkope prijs aan te kopen weegt mogelijk op tegen een hogere voorraadkost. Dit impliceert dat bij iedere mogelijke combinatie van prijs- en voorraadniveau een beslissing moet worden genomen omtrent enerzijds het al dan niet bestellen en anderzijds de bestelhoeveelheid. De invloed van vraagfluctuaties is reeds uitgebreid onderzocht als een uitbreiding van het klassieke EOQ-model. De invloed van prijsfluctuaties daarentegen is nog een wetenschappelijk weinig ontgonnen terrein. Ter verduidelijking, onder de term fluctuaties bedoelen we in deze masterproef korte- of middellange-termijn fluctuaties rond een lange-termijn gemiddelde. Het model is bij- 1

12 gevolg niet van toepassing op continu in prijs dalende of stijgende goederen, zoals bijvoorbeeld hightech producten in de IT sector. Lange-termijn-fluctuaties (conjunctuur) vallen eveneens buiten het bereik van het model. Wat betreft de vraagfluctuaties is dit model hoofdzakelijk toepasbaar op producten in de maturiteitsfase, waar de gemiddelde vraag als constant kan worden verondersteld. In deze masterproef zal een wiskundig voorraadbeheer-model ontwikkeld en besproken worden waarbij een optimaal bestelbeleid wordt uitgewerkt voor de hierboven besproken situatie. Zowel de fluctuerende aankoopprijs als de fluctuerende vraag zullen gemodelleerd worden in een stochastische omgeving, door middel van een discrete, stationaire Markov-keten. Met behulp van de theorie van de Markoviaanse beslissingsprocessen kan vervolgens een optimaal prijs afhankelijk bestelbeleid bepaald worden, waarbij de lange-termijn verdisconteerde kost wordt geminimaliseerd. De belangrijkste kosten waarmee moet rekening gehouden worden, zijn de aankoopkosten, de vaste bestelkosten, de kosten ten gevolge van verloren vraag en de kosten voor het houden van voorraad (opportuniteits- en opslagkosten). Bij het nemen van een beslissing omtrent de bestelhoeveelheid moet steeds een afweging gemaakt worden tussen deze verschillende categorieën van kosten. De theorie der Markoviaanse beslissingsprocessen is een krachtig hulpmiddel voor het optimaliseren van de prestaties van stochastische processen, die kunnen gemodelleerd worden als een discrete tijd Markov-keten. Op basis van de resultaten van dit onderzoek zal getracht worden algemeen geldende kwalitatieve conclusies te formuleren. Zo zullen er bijvoorbeeld verscheidene scenario s bekeken worden wat betreft de prijsfluctuaties. Aangezien de wetten van het voorraadbeheer vrij logisch in elkaar zitten, worden er in deze masterproef evenwel geen baanbrekende resultaten verwacht. Het doel van deze masterproef is echter niet het ontdekken van nieuwe wetmatigheden, maar eerder het ontwikkelen van een model dat toepasbaar is op een specifieke bedrijfssituatie die nog niet besproken werd in de bestaande literatuur. De structuur van deze masterproef ziet er als volgt uit: in hoofdstukken 1 en 2 wordt de theorie aangehaald en uitgelegd die noodzakelijk is om de wiskundige modellen die in het licht van deze masterproef zijn ontwikkeld te kunnen begrijpen. Tevens wordt toegelicht hoe deze theorie zal toegepast worden en welke specifieke situaties zullen besproken worden. In hoofdstuk 1 worden enkele relevante aspecten van het voorraadbeheer besproken. In hoofdstuk 2 worden de methodes uiteengezet die toegepast zullen worden voor het modelleren, oplossen en analyseren van deze probleemstelling. Dit hoofdstuk omvat de theorie omtrent Markov-ketens en Markoviaanse beslissingsprocessen. In hoofdstuk 3 wordt vervolgens op basis van deze theorie en de gemaakte veronderstellingen een eerste eenvoudig model opgesteld waarbij slechts met een beperkte toestandsruimte zal gewerkt worden. In hoofdstuk 4 wordt de toepasbaarheid van het model vergroot 2

13 door deze toestandsruimte sterk uit te breiden. In hoofdstuk 5 wordt de praktische toepasbaarheid nog verder vergroot door het introduceren van een onzekere levertermijn in het model. Er werd gekozen voor deze stapsgewijze opbouw van het model omdat dit de overzichtelijkheid sterk vergroot bij het uiteenzetten van de verscheidene aspecten van het model en omdat op deze manier de negatieve invloed van een onzekere levertermijn op de prestaties van een voorraadbeheersysteem expliciet wordt weergegeven. 3

14 Hoofdstuk 1 Probleemstelling De probleemstelling van deze masterproef situeert zich in het domein van het voorraadbeheer. Bijgevolg wordt in dit eerste hoofdstuk een beknopte uiteenzetting gegeven van de verschillende aspecten van het voorraadbeheer, de kosten die onlosmakelijk verbonden zijn met het houden van voorraad en de bekendste modellen die reeds ontwikkeld zijn in dit domein. Elk model wordt echter gekenmerkt door een aantal beperkende veronderstellingen die ervoor zorgen dat de praktische toepasbaarheid gelimiteerd is tot een aantal specifieke situaties. Het is dan ook van vitaal belang steeds te onderzoeken welke veronderstellingen gelden voor een bepaald bedrijf. Ook in deze masterproef wordt een wiskundig model ontwikkeld dat slechts toepasbaar is in zeer specifieke situaties, maar deze specificiteit brengt ook een grotere nauwkeurigheid met zich mee indien de desbetreffende veronderstellingen een goede representatie zijn van de werkelijkheid. Het vervolg van dit inleidende hoofdstuk heeft de volgende structuur. In sectie 1.1 wordt een korte inleiding gegeven tot het voorraadbeheer alsook enkele belangrijke modellen die als doel hebben dit voorraadbeheer zo efficiënt mogelijk te laten verlopen of met andere woorden om zo laag mogelijke voorraadkosten te bewerkstelligen. In sectie 1.2 wordt vervolgens de specifieke omgeving toegelicht waarin het voorraadbeheermodel in deze masterproef van toepassing is. Hier worden bijgevolg de contextuele veronderstellingen gemaakt die verder zullen worden uitgewerkt in de volgende hoofdstukken. 1.1 Voorraadbeheer In de uiterst competitieve omgeving waarin bedrijven zich vandaag bevinden, is het meer dan ooit van belang dat de ondersteunende processen zoals voorraadbeheer zo efficiënt mogelijk verlopen. Afhankelijk van het type onderneming kan de kost voor het houden van voorraad immers grote proporties aannemen, terwijl deze processen in de meeste gevallen geen toegevoegde waarde brengen. 4

15 Elk bedrijf heeft er dan ook belang bij deze processen zo kostenefficiënt mogelijk te organiseren. Hierbij moet rekening gehouden worden met enkele fundamentele trade-offs, zoals de afweging tussen een lagere voorraadkost en een hogere service level of servicegraad. Een tekort aan voorraad kan immers ook hoge kosten met zich meebrengen, zowel kwalitatief als kwantitatief. Voorraad is prominent aanwezig doorheen de volledige supply chain of toeleveringsketen en ontstaat over het algemeen ten gevolge van een onevenwicht tussen vraag en aanbod, of met andere woorden ten gevolge van een verschil in timing van beide. Niet enkel de onzekere vraag is hier van groot belang, maar vaak is dit onevenwicht ook bewust gecreëerd. Omwille van de bestelkosten is het immers voordeliger om in hoeveelheden groter dan één aan te kopen. Hierbij wordt immers de kost per eenheid gedrukt door gebruik te maken van eventuele schaalvoordelen in de productie of distributie van de goederen. Bovendien vergroot het houden van voldoende voorraad het service level dat kan aangeboden worden aan de klant en ten gevolgde daarvan ook de klanttevredenheid. Het behaalde service level wordt gegeven door de product-beschikbaarheid en wordt vaak gemeten met behulp van de cycle service level 1, de product fill rate 2 of de order fill rate 3 [2, Hoofdstuk 11]. In de beginnende literatuur werd hoofdzakelijk de cycle service level gebruikt, maar in de meer recente literatuur wordt hoofdzakelijk de product fill rate toegepast omdat deze maatstaf een meer realistisch beeld geeft van het service level. Deze maatstaf houdt namelijk ook rekening met de bestelgrootte. In deze masterproef zijn beide maatstaven aan elkaar gelijk aangezien een bestelling steeds bestaat uit één eenheid. Wat betreft schaalvoordelen vermelden Chopra en Meindl [2, Hoofdstuk 10] drie verschillende situaties: 1. De vaste bestelkost, onafhankelijk van de bestelde hoeveelheid 2. Hoeveelheidskortingen als grote hoeveelheden worden aangekocht 3. Korte-termijn prijskortingen In deze masterproef zal enkel rekening gehouden worden met de schaalvoordelen bij het bestellen als gevolg van een vaste bestelkost. Indien ook hoeveelheidskortingen in het model zouden worden opgenomen, zou de bestelhoeveelheid steeds groter zijn dan in het geval deze niet worden opgenomen. Kopers gaan immers gebruik maken van de vermindering in prijs, althans zolang dit voordeel groter is dan het verschil in voorraadkost. Hoeveelheidskortingen kunnen bovendien ook zorgen voor een betere coördinatie tussen de verschillende fases in een supply chain. Vaak is het immers zo dat de optimale bestelhoeveelheid voor de koper verschilt van de optimale bestelhoeveelheid 1 Gedeelte van de voorraadaanvulling-cycli zonder stockout (voorraadtekort) 2 Gedeelte van de vraag waaraan voldaan wordt met de in voorraad aanwezige goederen 3 Gedeelte van de bestellingen waaraan voldaan wordt met de in voorraad aanwezige goederen 5

16 voor de verkoper. Hoeveelheidskortingen of two-part tariffs 4 kunnen er in dit geval voor zorgen dat er besteld wordt in hoeveelheden die de winst in de totale supply chain maximaliseren, dit in tegenstelling tot locale optimalisatie 5. De fundamentele trade-off in voorraadbeheer is deze tussen kostenefficiëntie en flexibiliteit of reactiesnelheid [2, Hoofdstuk 3]. Door het aanhouden van een grote voorraad dicht bij de consument zal het bedrijf sneller kunnen inspelen op de noden van de klanten. Bovendien kan in deze situatie geprofiteerd worden van eventuele schaalvoordelen. Het aanhouden van een kleine voorraad daarentegen brengt minder voorraadkosten met zich mee, maar kan als gevolg hebben dat klanten (intern of extern) gedurende een lange tijd moeten wachten vooraleer aan hun verzoek kan voldaan worden. Afhankelijk van de exclusiviteit van een product bestaat dan ook het risico dat deze klanten elders hetzelfde product gaan inkopen waardoor er vraag verloren gaat. De grote uitdaging in het efficiënt beheren van voorraad is bijgevolg het verminderen van de hoeveelheid goederen in voorraad zonder dat de kosten stijgen of de reactiesnelheid daalt. De flexibiliteit of reactiesnelheid wordt voor een groot deel bepaald door de doorstroomtijd van materialen, een grootheid die weergeeft hoe lang materialen zich in de supply chain bevinden. Volgens de wet van Little (zie formule (1.1)) is deze doorlooptijd bovendien recht evenredig met de hoeveelheid voorraad die aangehouden wordt [2, Hoofdstuk 3]. Een groter aantal eenheden in voorraad zorgt bijgevolg voor een langere doorlooptijd hetgeen de flexibiliteit van een supply chain schaadt. In de wet van Little stelt de throughput het aantal verkochte eenheden per tijdseenheid voor. V oorraad = T hroughput Doorlooptijd (1.1) Ook de product-beschikbaarheid, bijvoorbeeld gemeten door de cycle service level of order fill rate, heeft vanzelfsprekend een belangrijke invloed op zowel de kostenefficiëntie als de flexibiliteit. Een hoge product-beschikbaarheid, als gevolg van het aanhouden van een grote voorraad, heeft een hoge flexibiliteit en reactiesnelheid als gevolg, maar verhoogt ook de kosten aangezien een groot aantal eenheden in voorraad gehouden wordt maar de voorraadrotatie 6 laag is. Een lage productbeschikbaarheid daarentegen verlaagt de kosten voor het aanhouden van voorraad aanzienlijk maar heeft als belangrijk gevolg dat er aan een grotere fractie van de vraag niet kan voldaan worden. Dit brengt dan weer andere kosten met zich mee zoals een eventueel verloren omzet (zie sectie De fundamentele trade-off bij het bepalen van de product-beschikbaarheid, en dus bij het bepalen 4 Bij two-part tariffs rekent de leverancier zijn volledige winst door aan de koper als een vaste kost en verkoopt de goederen aan de productieprijs 5 Bij locale optimalisatie maximaliseert elke schakel in de supply chain haar eigen winst, resulterend in een lagere winst voor de totale supply schain. 6 Voorraadrotatie wordt gedefinieerd als het aantal keer dat de voorraad wordt verkocht in een bepaalde periode 6

17 van de bestelhoeveelheid, is bijgevolg een afweging tussen de kost voor het houden van voorraad en de kosten die plaatsvinden ten gevolge van het niet op tijd kunnen voldoen aan een gedeelte van de vraag. In de literatuur zijn een groot aantal verschillende classificaties van voorraad terug te vinden. Volgens Chopra en Meindl [2, Hoofdstukken 3,10,11] kan de totale voorraad opgesplitst worden in drie verschillende componenten die elk hun eigen trade-offs met zich meebrengen. 1. Cyclische voorraad: De gemiddelde hoeveelheid voorraad nodig om aan de vraag te voldoen. 2. Veiligheidsvoorraad: Voorraad die aangehouden wordt voor het geval de vraag groter is dan verwacht. 3. Seizoensvoorraad: Voorraad die aangehouden wordt om te anticiperen op voorspelbare fluctuaties in de vraag. Aangezien in deze masterproef verondersteld wordt dat de tijd tussen twee opeenvolgende bestellingen geometrisch verdeeld is (zie sectie 1.2) en deze verdeling niet veranderd in de tijd wordt geen seizoensvoorraad opgenomen in het model. In hoofdstuk 3 en 4 is daarenboven ook de veiligheidsvoorraad nog niet van belang. In deze twee modellen wordt immers een lead time 7 of levertermijn gelijk aan nul verondersteld en kan bijgevolg steeds voldaan worden aan de vraag. De trade-off in deze situatie is de afweging tussen een hogere voorraadkost en een hogere bestelkost per eenheid, het laatste in het geval er aangekocht wordt in kleine hoeveelheden. De cyclische voorraad die wordt aangehouden vindt zijn oorsprong in het bestaan van bepaalde schaalvoordelen bij het kopen in grotere hoeveelheden, zoals een lagere bestelkost per eenheid. Een vaste bestelkost per bestelling wordt immers gespreid over een groter aantal eenheden. In hoofdstuk 5 wordt daarentegen wel rekening gehouden met een variabele levertermijn en zal bijgevolg een veiligheidsvoorraad moeten aangehouden worden. Het is in dit model immers onzeker hoeveel goederen zullen verkocht worden gedurende de tijd dat een bestelling geplaatst maar nog niet geleverd is. De bijkomende trade-off in deze situatie bestaat uit een afweging tussen een hogere voorraadkost en het risico dat er niet aan de vraag kan voldaan worden. Dit risico zal worden voorgesteld als de kost van verloren vraag. 7 De lead time wordt in deze masterproef gedefinieerd als de tijd tussen het plaatsen van een bestelling en het ontvangen van de goederen. Meer algemeen is de lead time gelijk aan de verstreken tijd tussen het begin en het einde van een proces 7

18 1.1.1 Kosten verbonden aan het houden van voorraad Zoals reeds eerder vermeld zijn er een aantal belangrijke kosten onlosmakelijk verbonden aan het houden van voorraad en deze kostencategorie kan een aanzienlijk deel van de kostenzijde van een onderneming innemen. In deze sectie wordt een kort overzicht gegeven van de verschillende kosten waarmee rekening moet worden gehouden. Deze kosten kunnen evenwel in twee meer algemene categorieën geclassificeerd worden. De kosten verbonden aan het houden van voorraad kunnen worden opgesplitst in procurementkosten en holdingkosten. Procurementkosten omvatten enerzijds de variabele aankoopkosten of productiekosten en anderzijds de vaste bestelkosten of productiekosten die onafhankelijk zijn van de hoeveelheid goederen die geproduceerd of besteld worden. Deze laatste kostencategorie omvat onder ander de vaste kost die gepaard gaat met de administratieve afhandeling van een bestelling. In het vervolg van deze masterproef zal deze kostencategorie voorgesteld worden door het begrip bestelkosten. De holdingkosten van hun kant zijn opgebouwd uit enerzijds de opportuniteitskosten van het vastgelegde kapitaal en anderzijds de kosten voor de opslag en het interne transport van de goederen. Ook de verouderingskosten van de goederen in voorraad en de huur of aankoop van opslagplaatsen kunnen onder deze categorie geplaatst worden. De opportuniteitskosten geven het rendement weer dat dit kapitaal had kunnen opbrengen indien het niet in de voorraad gevangen zat. In het vervolg van deze masterproef zal deze kostencategorie voorgesteld worden door het begrip voorraadkosten. Paul Durlinger, een specialist in het voorraadbeheer, verdeelde de componenten die van invloed zijn op de kosten van voorraad in drie categorieën [4]. Deze drie r s zijn rente, ruimte en risico. De eerste categorie, de rente, stelt hier de opportuniteitskosten van het vastgelegde kapitaal voor. Bij dit kapitaal wordt een onderscheid gemaakt tussen eigen vermogen en vreemd vermogen. Bij vreemd vermogen wordt over het algemeen de bankrente gebruikt als kost. Voor het eigen vermogen wordt een grotere kost gerekend aangezien aandeelhouders een hoger rendement verwachten op hun investering. Het precieze percentage dat gebruikt wordt voor deze rente is een onderwerp van veel discussie en hangt sterk af van de aard van de onderneming. Mogelijkheden hierbij zijn de bankrente, de Return On Investment en de hurdle rate 8. Zo zal een jong en groei-georiënteerd bedrijf een hogere kost van het eigen vermogen kennen ten opzichte van een matuur en stabiel bedrijf [13]. Een hoger risico gaat immers altijd gepaard met een hoger verwacht rendement, hetgeen bijgevolg gepaard gaat met een hogere opportuniteitskost van het vastgelegde kapitaal in de voorraad. Het meest gebruikte percentage voor het berekenen van deze kostencategorie is de gewogen gemiddelde kosten van het vermogen of WACC 9. Deze gemiddelde kost van het vermogen van 8 het minimaal verwachte rendement gebruikt door private equity investeerders 9 Weighted average cost of capital: de voor een bedrijf gemiddelde kost van eigen en vreemd vermogen 8

19 een onderneming is vaak de belangrijkste factor in de totale voorraadkost [11].Deze kost varieerde de laatste vijfentwintig jaar tussen zes en achttien procent [14]. De tweede categorie, ruimte, heeft betrekking op de ruimte die nodig is voor het opslaan van voorraad en bevat onder andere de afschrijvingen of huur van terreinen en gebouwen, het personeel en de aankoop van infrastructuur. De derde categorie, risico, betreft de risico s die het houden van voorraad met zich meebrengt, zoals het risico dat niet verkochte voorraad verouderd geraakt, niet meer kan verkocht worden en bijgevolg afgeschreven moet worden. In de kledij-industrie bijvoorbeeld kunnen de goederen in voorraad met maar liefst negentig procent in waarde afnemen wanneer de mode verandert [14]. Een ander risico betreft de kans dat de goederen in voorraad in waarde verminderen. Ook het risico op diefstal en de nodige verzekeringen die hiervoor moeten afgesloten worden kunnen onder deze categorie ondergebracht worden. De besproken risico s zijn uiteraard sterk afhankelijk van de aard van de goederen in voorraad. Het risico op waardevermindering bij voedselproducten is bijvoorbeeld veel groter dan bij duurzame goederen. In het logistieke vakgebied wordt voor de totale kost voor het houden van voorraad vaak gebruik gemaakt van een percentage van de totale aankoopkosten of van de waarde van de goederen in voorraad. De vaakst gebruikte vuistregel wat betreft dit percentage is 25 procent per jaar [19], rekening houdend met het belastingtarief. Afhankelijk van de specifieke situatie kan dit percentage zelfs oplopen tot 40 procent of meer. Volgens [11] schatten logistieke experts de voorraadkost tussen 18 en 75 procent per jaar, afhankelijk van het type product en de betreffende industrietak. Tabel 1.1 geeft de bijdrage weer van de verschillende kostencategorieën in de totale voorraadkost, volgens [16]. Deze percentages zijn echter niet wetenschappelijk onderbouwd en zijn hoofdzakelijk gebaseerd op ervaring. Bovendien moet opnieuw rekening gehouden worden met het soort goederen in voorraad. In elk geval illustreert dit hoge percentage het belang van een efficiënt voorraadbeheer-beleid. Ondanks de fundamentele industriële evoluties zoals Just-In-Time, lean manufacturing, ERP etc. blijven de voorraadkosten een belangrijk onderdeel van de kostenzijde van een onderneming Modellen voor voorraadbeheer Bij klassiek voorraadbeheer zal men de voorraad van een bepaald product aanvullen zodra het voorraadniveau onder een bepaalde drempelwaarde is gezakt. Het eenvoudigste model is het Economic Order Quantity (EOQ) model. Deze basis van het voorraadbeheer werd reeds in 1913 door Ford W. Harris [6] ontwikkeld. Met behulp van dit model kan men de bestelhoeveelheid of productiehoeveelheid bepalen die de totale kost van het voorraadbeheer minimaliseert. Hierbij 9

20 Tabel 1.1: Bijdrage van diverse kostencategorieën tot de totale voorraadkost volgens Richardson (1995) Kostencategorie % van de waarde van de goederen in voorraad WACC 6% 12% Belastingen 2% 6% Verzekeringen 1% 3% Magazijnkosten 2% 5% Kosten voor verwerking en intern transport 2% 5% Controle en administratiekosten 3% 6% Verouderingskosten 6% 12% Risico op waardevermindering en diefstal 3% 6% Totaal 25% 55% wordt een afweging gemaakt tussen de bestelkosten en de voorraadkosten. Harris verwoordde dit als volgt: Interest on capital tied up in wages, material and overhead sets a maximum limit to the quantity of parts which can be profitably manufactured at one time; set-up costs on the job fix the minimum. De eenvoudigste formule voor het berekenen van deze optimale of economische bestelhoeveelheid is de formule van Camp of de wet van de economische ordergrootte [8, Hoofdstuk 18]. Deze formule werd eveneens reeds in het begin van de twintigste eeuw ontwikkeld en is zeer belangrijk geweest voor de ontwikkeling van het voorraadbeheer als vakgebied. Deze wet stelt dat we de optimale bestelhoeveelheid kunnen bepalen door de voorraadkosten af te zetten tegenover de bestelkosten. De formule berekent de optimale trade-off tussen deze beide kosten. Indien frequent en in kleine hoeveelheden besteld wordt, zal de gemiddelde bestelkost per eenheid immers hoger zijn dan indien steeds in grote hoeveelheden wordt besteld. Het gemiddelde aantal goederen in voorraad daarentegen zal lager zijn en bijgevolg ook de voorraadkosten. Deze afweging wordt zichtbaar in formule (1.2) waarin de totale kost per jaar voor het houden van voorraad berekend wordt. T K = C 0 D Q + C h Q 2 + P D (1.2) De eerste term in deze formule stelt de bestelkosten voor, de tweede term de voorraadkosten en de derde term de aankoopkosten. Deze kostencategorieën zullen allen worden opgenomen in het model dat in deze masterproef wordt ontwikkeld. De parameters en variabelen gebruikt in formule (1.2) en de formule van Camp worden weergegeven in tabel 1.2: Hierbij wordt het gemiddelde aantal goederen in voorraad weergegeven door Q/2 en is D/Q gelijk aan het aantal bestellingen per jaar. In de oorspronkelijke formule werd de voorraadkost 10

21 Tabel 1.2: Gebruikte parameters en variabelen in de formule van Camp Symbool Q D P C 0 C h = h P h Uitleg Bestelhoeveelheid Jaarlijkse vraag Inkoopprijs van het product Bestelkost per bestelling Voorraadkost per eenheid Voorraadkost als een percentage van de prijs C h voorgesteld als een percentage van de prijs: h P. Zoals reeds eerder vermeld is 25% een vaak gebruikte vuistregel. C 0 is de vaste kost die gerekend wordt bij het bestellen van goederen, onafhankelijk van de hoeveelheid. We veronderstellen hierbij dat deze kost volledig onafhankelijk is van de bestelde hoeveelheid, zelfs indien deze hoeveelheid zeer groot wordt. De formule van Camp wordt vervolgens eenvoudig afgeleid door de totale kost (formule (1.2)) te minimaliseren en op te lossen naar Q. De optimale bestelhoeveelheid Q geeft vervolgens de economische bestelhoeveelheid weer, zoals weergegeven in formule (1.3). Deze bestelhoeveelheid, en daaruitvolgend de cyclische voorraad, is een resultaat van een optimale trade-off tussen de verschillende kostencategoriën. Deze situatie wordt grafisch weergegeven in figuur 1.1. Op deze figuur wordt abstractie gemaakt van de prijs per eenheid die betaald wordt voor het aankopen van de goederen. De formule van Camp geeft immers duidelijk aan dat deze kost geen invloed heeft op de economische bestelhoeveelheid. Indien geen hoeveelheidskortingen worden gehanteerd is de aankoopkost logischerwijze onafhankelijk van de bestelhoeveelheid. EOQ = Q = 2 D C0 C h (1.3) EOQ is echter een sterke vereenvoudiging van de werkelijkheid, is bijna nooit optimaal en is bijgevolg weinig toepasbaar in een complexe bedrijfsrealiteit. Er worden namelijk een aantal veronderstellingen gemaakt die niet altijd even realistisch zijn [18, Hoofdstuk 9]: 1. Elke bestelling wordt in één keer geleverd. 2. Elke bestelling wordt onmiddellijk geleverd. De levertermijn of lead time L is gelijk aan nul. 3. De vraag D is deterministisch. Er is geen onzekerheid in verband met de hoeveelheid vraag en de timing van deze vraag. 4. De vraag is vooraf bekend en constant in de tijd. 11

22 Kosten T otale kost V oorraadkost EOQ Bestelkost Bestelhoeveelheid Figuur 1.1: Relevante voorraad-gerelateerde kosten en de economische bestelhoeveelheid 5. De bestelkost C 0 is constant en onafhankelijk van de grootte van de bestelling. 6. De voorraadkost per eenheid C h is constant en onafhankelijk van het aantal goederen in voorraad. 7. Alle goederen worden afzonderlijk geanalyseerd. Er wordt bijvoorbeeld geen rekening gehouden met de correlatie in de vraag naar twee substitutiegoederen Er zijn geen hoeveelheidskortingen of andere kortingen. 9. Eender welke discrete hoeveelheid goederen kan besteld worden. Naarmate deze veronderstellingen minder gelden in een bepaalde situatie wordt ook de toepasbaarheid van de formule van Camp minder groot. Het model is in zijn meest eenvoudige vorm enkel van toepassing op de situatie afgebeeld in figuur 1.2. Op deze figuur is de situatie weergegeven voor twee verschillende bestelhoeveelheden Q waarbij duidelijk de invloed op de gemiddelde voorraad en bijgevolg ook de voorraadkost blijkt. Hierbij is er bijvoorbeeld enkel sprake van een cyclische voorraad en wordt abstractie gemaakt van een eventuele veiligheidsvoorraad en seizoensvoorraad (zie sectie 1.1). Wel moet vermeld worden dat deze formule vrij robuust is. Dit wil zeggen, indien de bestelhoeveelheid niet te veel afwijkt van de economische bestelhoeveelheid, zal de totale kost slechts weinig veranderen. Het is dan ook vaak beter om een logistiek gezien meer geschikte hoeveelheid te bestellen. Deze robuustheid heeft ook als gevolg dat het EOQ-model vaak gebruikt wordt als een goede vuistregel in het voorraadbeheer. Indien voorraadkosten echter een grote fractie van het kostenplaatje van een onderneming innemen, is het sterk aangeraden een meer specifiek model te gebruiken. Er zijn dan ook tal van uitbreidingen in de literatuur terug te vinden die in min of meerdere mate de dynamiek van een werkelijk voorraadbeheersysteem 10 Indien de vraag naar twee goederen negatief gecorreleerd is of indien deze goederen gemeenschappelijke componenten bezitten, is het voordelig om de voorraadbeslissingen gezamenlijk te nemen (omwille van variability pooling ). 12

23 kunnen vatten. De literatuur in dit vakgebied is voornamelijk deterministisch. V oorraadniveau Q slope = D Q/2 Q/D t Figuur 1.2: Evolutie in de tijd van het voorraadniveau met de formule van Camp In de literatuur zijn tal van versoepelingen terug te vinden ten opzichte van de veronderstellingen die inherent in het EOQ model aanwezig zijn. Wanneer bijvoorbeeld de tweede veronderstelling versoepeld wordt en een constante levertermijn of lead time τ verondersteld wordt, verkrijgen we de situatie zoals weergegeven in figuur 1.3. In plaats van te bestellen op het moment dat de voorraad uitgeput is, zal nu reeds vroeger besteld worden, namelijk op het reorder point of bestelpunt. Dit moment in de tijd komt overeen met een welbepaald voorraadniveau, het reorder level of bestelniveau. De veiligheidsvoorraad wordt vervolgens eenvoudig berekend met behulp van formule (1.4). Hierbij stelt L de levertgermijn voor. V eiligheidsvoorraad = Bestelniveau D L (1.4) V oorraadniveau Bestelpunt Bestelniveau Lead time t Figuur 1.3: Evolutie van de voorraad in de tijd met constante levertermijn en deterministische vraag Een tweede uitbreiding van het EOQ model die leidt tot een betere benadering van de werkelijkheid is het veronderstellen van een variabele, stochastische vraag in tegenstelling tot een determi- 13

24 nistische vraag. Omdat de vraag in deze situatie onzeker is en indien een levertermijn groter dan nul wordt verondersteld, zal een veiligheidsvoorraad worden aangelegd. Hierdoor zal de kans dat niet aan de vraag kan voldaan worden kleiner worden. Indien de levertermijn stochastisch is in plaats van de vraag, zal eveneens een veiligheidsvoorraad moeten aangelegd worden. Deze vorm van onzekerheid situeert zich aan de aanbodzijde. Deze situatie wordt weergegeven in figuur 1.4, waarbij de levertermijn voorgesteld wordt door τ. Indien zowel de vraag als de levertermijn stochastisch zijn of als de onzekerheid groter wordt, dan zal de veiligheidsvoorraad ook groter moeten zijn om een welbepaalde service level te behalen. De kansverdeling van de vraag gedurende de levertermijn wordt immers gegeven door de convolutie (het optellen ) van de kansverdeling van de vraag per tijdseenheid en de kansverdeling van de levertermijn [2]. De situatie weergegeven in figuur 1.4 met fluctuerende vraag en stochastische levertermijn is gelijkaardig aan het meer realistische model dat ontwikkeld wordt in hoofdstuk 5. In dit model zal de tijd tussen 2 opeenvolgende bestellingen echter niet willekeurig en continu zijn zoals in figuur 1.4, maar zal deze geometrisch verdeeld en bijgevolg discreet zijn. Dit wil zeggen dat op elk tijdstip de vraag zal gelijk zijn aan één of afwezig zal zijn, afhankelijk van een bepaalde kans op vraag p. V oorraadniveau Bestelniveau Q Gemiddeldevoorraad Cyclischevoorraad V eiligheidsvoorraad τ 1 τ 2 t 0 t Onzekere toekomst Figuur 1.4: Evolutie van de voorraad in de tijd met stochastische vraag en lead time In de bovenstaande modellen wordt steeds verondersteld dat de voorraad continu gecontroleerd wordt en er besteld wordt van zodra het voorraadniveau een bepaalde drempelwaarde bereikt. Bij deze continue voorraadbeheer-systemen is er een vaste bestelhoeveelheid maar varieert het tijdsinterval tussen twee opeenvolgende bestellingen. Er bestaan echter ook modellen waarbij het dit tijdsinterval vastligt, bijvoorbeeld dagelijks, en ook het maximale voorraadniveau vastligt, maar waarbij de bestelhoeveelheid varieert. Deze modellen worden geclassificeerd als periodieke voorraadbeheer-systemen [2]. Het model in deze masterproef valt strikt gezien onder de continue voorraadbeheer-systemen aangezien er op elk tijdstip een beslissing wordt genomen in verband 14

25 met het bestellen van goederen. In tegenstelling tot de uitbreidingen van het EOQ-model zoals beschreven in deze sectie, wordt er echter niet gewerkt met een vaste bestelhoeveelheid maar hangt deze af van de eenheidsprijs op dat specifieke tijdstip. Dit onderscheid zal belangrijk zijn wanneer in hoofdstuk 2 de methodiek gekozen wordt voor het modelleren van de probleemstelling van deze masterproef. 1.2 Specifieke uitdagingen Het EOQ voorraadmodel veronderstelt een constante, deterministische vraag en een vaste aankoopprijs, alsook een levertermijn gelijk aan nul. Het gebruik van dit klassieke model in een dynamische omgeving levert, ondanks de robuustheid van het model, dan ook weinig accurate resultaten op. De concrete uitdaging die in deze masterproef wordt aangegaan is het integreren van marktfluctuaties in een wiskundig model. Meer specifiek wordt een voorraadmodel ontworpen met betrekking tot goederen die gekenmerkt worden door twee soorten marktfluctuaties. Ten eerste is dit de fluctuatie van de prijs rond een lange-termijn gemiddelde. Ten tweede worden vraagfluctuaties in het model opgenomen. Dit laatste gebeurt door middel van de geometrische verdeling, zoals reeds eerder aangehaald. De invloed van vraagfluctuaties is reeds uitgebreid onderzocht als een uitbreiding van het klassieke EOQ-model, bijvoorbeeld in het Wilson EOQ-model [9]. K. Yan and V. Kulkarni [12] hebben een voorraadsysteem ontwikkeld waarbij de stochastische vraag gemodelleerd wordt aan de hand van een continue-tijd Markov-keten (zie hoofdstuk 2). Hierbij worden echter enkele vereenvoudigende veronderstellingen gemaakt zoals een levertermijn gelijk aan nul en de beperking dat enkel kan besteld worden als de voorraad uitgeput is. Deze situatie is vergelijkbaar met het eenvoudige model uit hoofdstuk 3 met als belangrijk verschil dat hier zal gewerkt worden met een discrete-tijd Markov-keten. Beide vereenvoudigende veronderstellingen in [12] worden vervolgens weggelaten in hoofdstukken 4 en 5, hetgeen leidt tot een meer realistisch model. In figuur 1.4 werd deze situatie reeds voorgesteld, weliswaar met een willekeurige, continue vraag terwijl de vraag in deze masterproef discreet is. In tegenstelling tot vraagfluctuaties is de invloed van prijsfluctuaties nog een wetenschappelijk weinig ontgonnen terrein. Jinn-Tsair Teng et al. [22] hebben een algoritme opgesteld dat naast een veranderende vraag ook een veranderende prijs veronderstelt, maar dit algoritme heeft betrekking op een continue lange-termijn prijsdaling, wat bijvoorbeeld in de IT sector vaak het geval is. Het opnemen van prijsfluctuaties in het model zal de beslissing om een bepaalde hoeveelheid te bestellen niet langer laten afhangen van enkel het voorraadniveau, ook het prijsniveau wordt nu belangrijk. De mogelijkheid om aan een relatief goedkope prijs aan te kopen weegt mogelijk op 15

26 tegen een hogere holding-kost of voorraadkost. Dit impliceert dat bij iedere mogelijke combinatie van prijs- en voorraadniveau een beslissing moet worden genomen over enerzijds het al dan niet bestellen en anderzijds de bestelhoeveelheid. Ter verduidelijking, onder de term fluctuaties bedoelen we in deze masterproef korte-termijn fluctuaties rond een lange-termijn gemiddelde. Het model is dus niet van toepassing op continu in prijs dalende of stijgende goederen, zoals bijvoorbeeld hightech producten in de IT sector. Langetermijn-fluctuaties (conjunctuur) vallen eveneens buiten het bereik van het model. Wat betreft de vraagfluctuaties is dit model hoofdzakelijk van toepassing op producten in de maturiteitsfase waar de gemiddelde vraag als constant kan worden verondersteld. De vraagfluctuaties situeren zich dan rond dit lange-termijn gemiddelde. Dit wordt zoals reeds eerder vermeld voorgesteld met behulp van de geometrische verdeling. Een belangrijk gevolg van de veronderstelling dat de markt op lange termijn stabiel blijft, is dat er kan gewerkt worden met een stationaire Markov-keten (zie hoofdstuk 2). 16

27 Hoofdstuk 2 Onderzoeksaanpak In hoofdstuk 1 werd reeds besproken in welke bedrijfsspecifieke omgeving het model in deze masterproef van toepassing is, of kan zijn mits kleine aanpassingen afhankelijk van de veronderstellingen die gemaakt moeten worden. In dit hoofdstuk wordt de wiskundige theorie uiteengezet waarmee dit probleem zal gemodelleerd en opgelost worden. 2.1 Methodologie In deze masterproef zal de dynamiek van het voorraadbeheer beschreven worden aan de hand van twee Markov-ketens. Met behulp van de theorie van Markoviaanse beslissingsprocessen kan dan een optimaal prijsafhankelijk voorraadbeheer bepaald worden. Het uiteindelijke doel is dus het optimale bestelbeleid te bepalen die in elke toestand van het systeem aangeeft of en hoeveel er moet besteld worden. In secties en wordt een korte theoretische uiteenzetting gegeven over de wiskundige modelleringstechnieken die in deze masterproef zullen worden gebruikt. In sectie wordt verder ingegaan op de eigenschappen van Markov-ketens. Bij het opstellen van de verschillende modellen in hoofdstukken 3, 4 en 5 zal meer uitgebreid aangegeven worden hoe deze theoretische concepten concreet zijn toegepast in deze masterproef. In sectie 2.2 worden enkele veel gebruikte methodes besproken die kunnen gebruikt worden om een Markoviaans beslissingsproces op te lossen. In sectie 2.3 ten slotte wordt aangegeven hoe de theorie in dit hoofdstuk gebruikt zal worden voor het behandelen van de probleemstelling besproken in hoofdstuk Markov-ketens Deze sectie is geschreven op basis van de omschrijvingen en definities in [8, Hoofdstuk 16], [23], [20] en [3]. 17

28 De meeste optimalisatieproblemen zijn in de praktijk stochastisch van aard, ook in het domein van het voorraadbeheer. Dit houdt in dat dergelijke systemen inherent bepaalde onzekerheden in zich hebben, zoals bijvoorbeeld de hoeveelheid vraag of de prijs op een bepaald tijdstip. Op het moment dat men een bepaalde beslissing moet nemen, zoals het plaatsen van een bestelling, beschikt men met andere woorden nog niet over alle relevante en noodzakelijke informatie. Een Markov-keten is een specifieke vorm van een stochastisch proces; het kan eenvoudig beschreven worden als een proces dat op probabilistische wijze evolueert in de tijd en hierbij door een aantal toestanden beweegt. Een stochastisch proces wordt gedefinieerd als een geïndexeerde verzameling van toevalsvariabelen {S i } = {S 0, S 1, S 2,...}, waarbij de index i een element is van een gegeven verzameling I. In het specifieke geval van deze thesis worden respectievelijk het voorraadniveau en de aankoopprijs voorgesteld door een dergelijke grootheid, gemeten op discrete tijdstippen t. Een stochastisch proces kan gebruikt worden voor het beschrijven van het gedrag van een systeem dat evolueert in de tijd, waarbij het systeem zich in een verzameling mutueel exclusieve toestanden S i kan bevinden. De toestand van het systeem wordt vervolgens geobserveerd op discrete tijdstippen t. S t stelt dan de toestand van het systeem voor op tijdstip t, in dit specifieke geval het voorraad- en prijsniveau op tijdstip t. Om deze stochastische processen analytisch te kunnen bestuderen zijn echter veronderstellingen nodig inzake de gezamenlijke verdeling van {S t }. Een Markov-keten is een voorbeeld waarbij een dergelijke veronderstelling gemaakt wordt. Een Markov-keten is namelijk een stochastisch proces dat voldoet aan de Markoviaanse eigenschap. Deze eigenschap vertelt ons dat bij Markov-ketens de voorwaardelijke probabiliteiten of kansen inzake de toekomstige evolutie van het proces enkel afhankelijk zijn van de huidige toestand van het proces en dus onafhankelijk zijn van gebeurtenissen of toestanden in het verleden. In wiskundige termen wordt dit: een stochastisch proces S t voldoet aan de Markoviaanse eigenschap indien: Pr{S t+1 = j S 0 = k 0, S 1 = k 1,..., S t 1 = k t 1, S t = i} = Pr{S t+1 = j S t = i}, (2.1) met t = 0, 1,... Voor het verdere verloop van deze masterproef zullen steeds discrete tijdsintervallen verondersteld worden. We hebben dus te maken met een discrete-tijd-markov-keten, waarbij de toestand van het systeem slechts geobserveerd wordt op discrete tijdstippen in tegenstelling tot het continu observeren. Dit verschil is vanzelfsprekend te verwaarlozen indien deze tijdsintervallen klein genoeg gekozen worden. De keuze voor een discrete-tijd-markov-keten vereenvoudigt de berekeningen echter aanzienlijk. 18