Een passie voor SYMMETRIE
|
|
|
- Victor Bogaert
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Een passie voor SYMMETRIE Jan van de Craats (UvA) NWD, 6 februari 2016
2 Soorten symmetrische patronen en voorwerpen
3 Soorten symmetrische patronen en voorwerpen Rozetpatronen (2 soorten)
4 Soorten symmetrische patronen en voorwerpen Rozetpatronen (2 soorten) Strookpatronen (7 soorten)
5 Soorten symmetrische patronen en voorwerpen Rozetpatronen (2 soorten) Strookpatronen (7 soorten) Behangpatronen (tegelpatronen) (17 soorten)
6 Soorten symmetrische patronen en voorwerpen Rozetpatronen (2 soorten) Strookpatronen (7 soorten) Behangpatronen (tegelpatronen) (17 soorten) Symmetrische voorwerpen (14 soorten)
7 Soorten symmetrische patronen en voorwerpen Rozetpatronen (2 soorten) Strookpatronen (7 soorten) Behangpatronen (tegelpatronen) (17 soorten) Symmetrische voorwerpen (14 soorten) Bolpatronen (14 soorten)
8 Soorten symmetrische patronen en voorwerpen Rozetpatronen (2 soorten) Strookpatronen (7 soorten) Behangpatronen (tegelpatronen) (17 soorten) Symmetrische voorwerpen (14 soorten) Bolpatronen (14 soorten) Elke soort kan worden gekarakteriseerd door een codenaam.
9 Twee soorten rozetpatronen
10 Twee soorten rozetpatronen
11 Twee soorten rozetpatronen Alleen draaisymmetrie
12 Twee soorten rozetpatronen Alleen draaisymmetrie
13 Twee soorten rozetpatronen Alleen draaisymmetrie Draai- en spiegelsymmetrie
14 Twee soorten rozetpatronen Alleen draaisymmetrie Draai- en spiegelsymmetrie
15 Twee soorten rozetpatronen Alleen draaisymmetrie [g(11)] Draai- en spiegelsymmetrie [s(11)]
16 De baan van een punt Alleen draaisymmetrie [g(11)] Draai- en spiegelsymmetrie [s(11)]
17 De baan van een punt Alleen draaisymmetrie [g(11)] Draai- en spiegelsymmetrie [s(11)]
18 De baan van een punt Alleen draaisymmetrie [g(11)] Draai- en spiegelsymmetrie [s(11)]
19 Chiraliteit Een figuur (voorwerp, patroon,...) heet chiraal als de figuur verschilt van zijn spiegelbeeld (zoals een linkerhand verschilt van een rechterhand; het Griekse woord cheir betekent hand ).
20 Chiraliteit Een figuur (voorwerp, patroon,...) heet chiraal als de figuur verschilt van zijn spiegelbeeld (zoals een linkerhand verschilt van een rechterhand; het Griekse woord cheir betekent hand ). Een figuur die niet verschilt van zijn spiegelbeeld heet achiraal.
21 Chiraliteit Een figuur (voorwerp, patroon,...) heet chiraal als de figuur verschilt van zijn spiegelbeeld (zoals een linkerhand verschilt van een rechterhand; het Griekse woord cheir betekent hand ). Een figuur die niet verschilt van zijn spiegelbeeld heet achiraal. De chiraliteit van een figuur kun je gemakkelijk vaststellen met behulp van een spiegel.
22 Wat is symmetrie?
23 Wat is symmetrie? Overal om ons heen zien we symmetrische voorwerpen en patronen. Wiskundigen willen die symmetriepatronen classificeren.
24 Wat is symmetrie? Overal om ons heen zien we symmetrische voorwerpen en patronen. Wiskundigen willen die symmetriepatronen classificeren. Een symmetrie van een figuur (voorwerp, tekening, patroon,...) is een isometrie die de figuur (als geheel) in zichzelf transformeert.
25 Wat is symmetrie? Overal om ons heen zien we symmetrische voorwerpen en patronen. Wiskundigen willen die symmetriepatronen classificeren. Een symmetrie van een figuur (voorwerp, tekening, patroon,...) is een isometrie die de figuur (als geheel) in zichzelf transformeert. Als je een symmetrie toepast, zie je na afloop geen verschil.
26 Wat is symmetrie? Overal om ons heen zien we symmetrische voorwerpen en patronen. Wiskundigen willen die symmetriepatronen classificeren. Een symmetrie van een figuur (voorwerp, tekening, patroon,...) is een isometrie die de figuur (als geheel) in zichzelf transformeert. Als je een symmetrie toepast, zie je na afloop geen verschil. Een isometrie is een transformatie die de afstand van elk tweetal punten onveranderd laat.
27 Wat is symmetrie? Overal om ons heen zien we symmetrische voorwerpen en patronen. Wiskundigen willen die symmetriepatronen classificeren. Een symmetrie van een figuur (voorwerp, tekening, patroon,...) is een isometrie die de figuur (als geheel) in zichzelf transformeert. Als je een symmetrie toepast, zie je na afloop geen verschil. Een isometrie is een transformatie die de afstand van elk tweetal punten onveranderd laat. Voorbeelden: rotaties, spiegelingen, translaties,...
28 Wat is symmetrie? Overal om ons heen zien we symmetrische voorwerpen en patronen. Wiskundigen willen die symmetriepatronen classificeren. Een symmetrie van een figuur (voorwerp, tekening, patroon,...) is een isometrie die de figuur (als geheel) in zichzelf transformeert. Als je een symmetrie toepast, zie je na afloop geen verschil. Een isometrie is een transformatie die de afstand van elk tweetal punten onveranderd laat. Voorbeelden: rotaties, spiegelingen, translaties,... De symmetrieën van een figuur vormen een groep, de symmetriegroep van die figuur.
29 Figuren met een discrete symmetriegroep
30 Figuren met een discrete symmetriegroep Sommige figuren hebben geen symmetrie: hun symmetriegroep is triviaal, dat wil zeggen dat de identieke afbeelding hun enige symmetrie is.
31 Figuren met een discrete symmetriegroep Sommige figuren hebben geen symmetrie: hun symmetriegroep is triviaal, dat wil zeggen dat de identieke afbeelding hun enige symmetrie is. Andere figuren hebben te veel symmetrie, bijvoorbeeld een effen gekleurde bol, cilinder of kegel, of een cirkel in het vlak.
32 Figuren met een discrete symmetriegroep Sommige figuren hebben geen symmetrie: hun symmetriegroep is triviaal, dat wil zeggen dat de identieke afbeelding hun enige symmetrie is. Andere figuren hebben te veel symmetrie, bijvoorbeeld een effen gekleurde bol, cilinder of kegel, of een cirkel in het vlak. De interessantste figuren zijn figuren met een niettriviale symmetriegroep die niet te groot is.
33 Figuren met een discrete symmetriegroep Sommige figuren hebben geen symmetrie: hun symmetriegroep is triviaal, dat wil zeggen dat de identieke afbeelding hun enige symmetrie is. Andere figuren hebben te veel symmetrie, bijvoorbeeld een effen gekleurde bol, cilinder of kegel, of een cirkel in het vlak. De interessantste figuren zijn figuren met een niettriviale symmetriegroep die niet te groot is. De baan (orbit) van een punt P onder de symmetriegroep is de verzameling van alle beelden van P onder de symmetrieën uit de groep.
34 Figuren met een discrete symmetriegroep Sommige figuren hebben geen symmetrie: hun symmetriegroep is triviaal, dat wil zeggen dat de identieke afbeelding hun enige symmetrie is. Andere figuren hebben te veel symmetrie, bijvoorbeeld een effen gekleurde bol, cilinder of kegel, of een cirkel in het vlak. De interessantste figuren zijn figuren met een niettriviale symmetriegroep die niet te groot is. De baan (orbit) van een punt P onder de symmetriegroep is de verzameling van alle beelden van P onder de symmetrieën uit de groep. Een symmetriegroep heet discreet als er bij elk punt P een omgeving van P is die behalve P geen andere punten uit de baan van P bevat.
35 Voorwerpen met een eindige symmetriegroep
36 Voorwerpen met een eindige symmetriegroep Tetraëder, kubus, octaëder, dodecaëder en icosaëder.
37 Voorwerpen met een eindige symmetriegroep Tetraëder, kubus, octaëder, dodecaëder en icosaëder. Gekleurde kubussen:
38 Voorwerpen met een eindige symmetriegroep Tetraëder, kubus, octaëder, dodecaëder en icosaëder. Gekleurde kubussen:
39 Voorwerpen met een eindige symmetriegroep Tetraëder, kubus, octaëder, dodecaëder en icosaëder. Gekleurde kubussen:
40 Voorwerpen met een eindige symmetriegroep Tetraëder, kubus, octaëder, dodecaëder en icosaëder. Gekleurde kubussen:
41 Voorwerpen met een eindige symmetriegroep Tetraëder, kubus, octaëder, dodecaëder en icosaëder. Gekleurde kubussen: Codenamen: [s(3,3,2)], [g(3) s(2)], [g(3,3,2)], [g(4,3,2)]
42 Voorwerpen met een eindige symmetriegroep Gekleurde octaëders:
43 Voorwerpen met een eindige symmetriegroep Gekleurde octaëders:
44 Voorwerpen met een eindige symmetriegroep Gekleurde octaëders: Codenamen: [g(3) s(2)], [g(4,3,2)]
45 Voorwerpen met een eindige symmetriegroep Gekleurde dodecaëders:
46 Voorwerpen met een eindige symmetriegroep Gekleurde dodecaëders:
47 Voorwerpen met een eindige symmetriegroep Gekleurde dodecaëders: Codenamen: [s(5,3,2)], [g(5,3,2)]
48 Symmetrische voorwerpen en bolpatronen
49 Symmetrische voorwerpen en bolpatronen Stelling: Elk voorwerp met een eindige symmetriegroep heeft minstens één vast punt, een punt dat onder alle symmetrieën in de groep op zijn plaats blijft.
50 Symmetrische voorwerpen en bolpatronen Stelling: Elk voorwerp met een eindige symmetriegroep heeft minstens één vast punt, een punt dat onder alle symmetrieën in de groep op zijn plaats blijft. Als O zo n vast punt is, gaat elke bol met middelpunt O onder alle symmetrieën in zichzelf over, want elke symmetrie is een isometrie.
51 Symmetrische voorwerpen en bolpatronen Stelling: Elk voorwerp met een eindige symmetriegroep heeft minstens één vast punt, een punt dat onder alle symmetrieën in de groep op zijn plaats blijft. Als O zo n vast punt is, gaat elke bol met middelpunt O onder alle symmetrieën in zichzelf over, want elke symmetrie is een isometrie. Elk symmetrisch voorwerp kun je dus identificeren met een symmetrisch bolpatroon dat dezelfde symmetriegroep heeft.
52 Symmetrische voorwerpen en bolpatronen Stelling: Elk voorwerp met een eindige symmetriegroep heeft minstens één vast punt, een punt dat onder alle symmetrieën in de groep op zijn plaats blijft. Als O zo n vast punt is, gaat elke bol met middelpunt O onder alle symmetrieën in zichzelf over, want elke symmetrie is een isometrie. Elk symmetrisch voorwerp kun je dus identificeren met een symmetrisch bolpatroon dat dezelfde symmetriegroep heeft. Bolpatronen zijn tweedimensionaal. Dus eenvoudiger te bestuderen.
53 Symmetrische voorwerpen en bolpatronen Stelling: Elk voorwerp met een eindige symmetriegroep heeft minstens één vast punt, een punt dat onder alle symmetrieën in de groep op zijn plaats blijft. Als O zo n vast punt is, gaat elke bol met middelpunt O onder alle symmetrieën in zichzelf over, want elke symmetrie is een isometrie. Elk symmetrisch voorwerp kun je dus identificeren met een symmetrisch bolpatroon dat dezelfde symmetriegroep heeft. Bolpatronen zijn tweedimensionaal. Dus eenvoudiger te bestuderen. Zo is er een verbinding met de studie van symmetrische patronen in het (euclidische) vlak (zelfde methoden, zelfde notaties).
54 Van voorwerp naar bolpatroon [g(5,3,2)] [g(5,3,2)]
55 Voorbeelden van bolpatronen
56 Voorbeelden van bolpatronen
57 Voorbeelden van bolpatronen
58 Voorbeelden van bolpatronen
59 De zeven platonische bolpatronen (1)
60 De zeven platonische bolpatronen (1)
61 De zeven platonische bolpatronen (1) [s(5,3,2)]
62 De zeven platonische bolpatronen (2)
63 De zeven platonische bolpatronen (2) [g(5,3,2)]
64 De zeven platonische bolpatronen (3)
65 De zeven platonische bolpatronen (3) [s(4,3,2)]
66 De zeven platonische bolpatronen (4)
67 De zeven platonische bolpatronen (4) [g(4,3,2)]
68 De zeven platonische bolpatronen (5)
69 De zeven platonische bolpatronen (5) [s(3,3,2)]
70 De zeven platonische bolpatronen (6)
71 De zeven platonische bolpatronen (6) [g(3) s(2)]
72 De zeven platonische bolpatronen (7)
73 De zeven platonische bolpatronen (7) [g(3,3,2)]
74 Intermezzo: op jacht naar de codenaam Hoe vind je de codenaam van een bolpatroon? Eerste poging:
75 Intermezzo: op jacht naar de codenaam Hoe vind je de codenaam van een bolpatroon? Eerste poging: 1. Stel de chiraliteit vast.
76 Intermezzo: op jacht naar de codenaam Hoe vind je de codenaam van een bolpatroon? Eerste poging: 1. Stel de chiraliteit vast. 2. Teken alle spiegelcirkels (zwart).
77 Intermezzo: op jacht naar de codenaam Hoe vind je de codenaam van een bolpatroon? Eerste poging: 1. Stel de chiraliteit vast. 2. Teken alle spiegelcirkels (zwart). 3. Kleur alle rotatiecentra; geef equivalente centra dezelfde kleur (en niet-equivalente centra verschillende kleuren).
78 Intermezzo: op jacht naar de codenaam Hoe vind je de codenaam van een bolpatroon? Eerste poging: 1. Stel de chiraliteit vast. 2. Teken alle spiegelcirkels (zwart). 3. Kleur alle rotatiecentra; geef equivalente centra dezelfde kleur (en niet-equivalente centra verschillende kleuren). 4. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat niet op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in g(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer!
79 Intermezzo: op jacht naar de codenaam Hoe vind je de codenaam van een bolpatroon? Eerste poging: 1. Stel de chiraliteit vast. 2. Teken alle spiegelcirkels (zwart). 3. Kleur alle rotatiecentra; geef equivalente centra dezelfde kleur (en niet-equivalente centra verschillende kleuren). 4. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat niet op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in g(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer! 5. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat wel op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in s(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer!
80 Intermezzo: op jacht naar de codenaam Hoe vind je de codenaam van een bolpatroon? Eerste poging: 1. Stel de chiraliteit vast. 2. Teken alle spiegelcirkels (zwart). 3. Kleur alle rotatiecentra; geef equivalente centra dezelfde kleur (en niet-equivalente centra verschillende kleuren). 4. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat niet op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in g(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer! 5. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat wel op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in s(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer! 6. Klaar???
81 De zeven parametrische bolpatronen (1)
82 De zeven parametrische bolpatronen (1) [g(7,7)]
83 De zeven parametrische bolpatronen (2)
84 De zeven parametrische bolpatronen (2) [s(7,7)]
85 De zeven parametrische bolpatronen (3)
86 De zeven parametrische bolpatronen (3) [g(7) s]
87 De zeven parametrische bolpatronen (4)
88 De zeven parametrische bolpatronen (4) [g(7) x]
89 De zeven parametrische bolpatronen (5)
90 De zeven parametrische bolpatronen (5) [g(7,2,2)]
91 De zeven parametrische bolpatronen (6)
92 De zeven parametrische bolpatronen (6) [g(2) s(7)]
93 De zeven parametrische bolpatronen (7)
94 De zeven parametrische bolpatronen (7) [s(7,2,2)]
95 Hoe vind je de codenaam van een bolpatroon? Het definitieve recept:
96 Hoe vind je de codenaam van een bolpatroon? Het definitieve recept: 1. Stel de chiraliteit vast.
97 Hoe vind je de codenaam van een bolpatroon? Het definitieve recept: 1. Stel de chiraliteit vast. 2. Teken alle spiegelcirkels (zwart).
98 Hoe vind je de codenaam van een bolpatroon? Het definitieve recept: 1. Stel de chiraliteit vast. 2. Teken alle spiegelcirkels (zwart). 3. Kleur alle rotatiecentra; geef equivalente centra dezelfde kleur (en niet-equivalente centra verschillende kleuren).
99 Hoe vind je de codenaam van een bolpatroon? Het definitieve recept: 1. Stel de chiraliteit vast. 2. Teken alle spiegelcirkels (zwart). 3. Kleur alle rotatiecentra; geef equivalente centra dezelfde kleur (en niet-equivalente centra verschillende kleuren). 4. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat niet op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in g(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer!
100 Hoe vind je de codenaam van een bolpatroon? Het definitieve recept: 1. Stel de chiraliteit vast. 2. Teken alle spiegelcirkels (zwart). 3. Kleur alle rotatiecentra; geef equivalente centra dezelfde kleur (en niet-equivalente centra verschillende kleuren). 4. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat niet op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in g(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer! 5. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat wel op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in s(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer!
101 Hoe vind je de codenaam van een bolpatroon? Het definitieve recept: 1. Stel de chiraliteit vast. 2. Teken alle spiegelcirkels (zwart). 3. Kleur alle rotatiecentra; geef equivalente centra dezelfde kleur (en niet-equivalente centra verschillende kleuren). 4. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat niet op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in g(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer! 5. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat wel op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in s(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer! 6. Is het patroon achiraal en zijn er geen spiegelcirkels, dan is de codenaam [g(p) x] voor zekere parameterwaarde p.
102 Strookpatronen en parametrische bolpatronen (1) Strookpatronen kun je identificeren met oneindige parametrische bolpatronen en omgekeerd. Er zijn dus ook precies 7 soorten strookpatronen!
103 Strookpatronen en parametrische bolpatronen (1) Strookpatronen kun je identificeren met oneindige parametrische bolpatronen en omgekeerd. Er zijn dus ook precies 7 soorten strookpatronen! [g(7,7)] [g(, )]
104 Strookpatronen en parametrische bolpatronen (2) [s(7,7)] [s(, )]
105 Strookpatronen en parametrische bolpatronen (3) [g(7) s] [g( ) s]
106 Strookpatronen en parametrische bolpatronen (4) [g(7) x] [g( ) x]
107 Strookpatronen en parametrische bolpatronen (5) [g(7,2,2)] [g(, 2, 2)]
108 Strookpatronen en parametrische bolpatronen (6) [g(2) s(7)] [g(2) s( )]
109 Strookpatronen en parametrische bolpatronen (7) [s(7,2,2)] [s(, 2, 2)]
110 Behangpatronen
111 Behangpatronen Strookpatronen in het vlak zijn discrete patronen met translaties in één richting.
112 Behangpatronen Strookpatronen in het vlak zijn discrete patronen met translaties in één richting. Behangpatronen zijn discrete patronen in het vlak met translaties in verschillende richtingen.
113 Behangpatronen Strookpatronen in het vlak zijn discrete patronen met translaties in één richting. Behangpatronen zijn discrete patronen in het vlak met translaties in verschillende richtingen. Het is welbekend dat er precies zeventien verschillende soorten behangpatronen zijn. Allemaal hebben ze hun eigen codenaam. In die codenamen worden hun symmetrie-eigenschappen weerspiegeld.
114 Behangpatronen Strookpatronen in het vlak zijn discrete patronen met translaties in één richting. Behangpatronen zijn discrete patronen in het vlak met translaties in verschillende richtingen. Het is welbekend dat er precies zeventien verschillende soorten behangpatronen zijn. Allemaal hebben ze hun eigen codenaam. In die codenamen worden hun symmetrie-eigenschappen weerspiegeld. Het is heel gemakkelijk om met de bovenbeschreven methoden de codenaam van een patroon te vinden.
115 De zeventien behangpatronen (1) [O] [s s] [s x] [x x] [g(2,2) s] [g(2,2) x]
116 De zeventien behangpatronen (2) [g(2,2,2,2)] [g(2) s(2,2)] [s(2,2,2,2)] [g(3,3,3)] [g(3) s(3)] [s(3,3,3)]
117 De zeventien behangpatronen (3) [g(4,4,2)] [g(4) s(2)] [s(4,4,2)] [g(6,3,2)] [s(6,3,2)]
118 Wiskundige achtergronden
119 Wiskundige achtergronden Inspiratiebron: John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things, A.K. Peters, Ltd., Wellesley, Massachusetts, 2008
120 Wiskundige achtergronden Inspiratiebron: John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things, A.K. Peters, Ltd., Wellesley, Massachusetts, 2008 Bij deze lezing:
121 Wiskundige achtergronden Inspiratiebron: John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things, A.K. Peters, Ltd., Wellesley, Massachusetts, 2008 Bij deze lezing: JvdC, Symmetrie op de bol en in het vlak, NAW 5/12 nr. 4, december 2011 (Ook te lezen en te downloaden vanaf mijn homepage. )
122 Voor iedereen, met of zonder wiskundige voorkennis:
123 Voor iedereen, met of zonder wiskundige voorkennis:
124 Voor iedereen, met of zonder wiskundige voorkennis: Veel dank!
Symmetrische betegelingen op de bol en in het vlak
Symmetrische betegelingen op de bol en in het vlak Jan van de Craats (UvA) NWD, 4 februari 2012 Symmetrie Symmetrie Inspiratiebron: John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries
Een wiskundige kijk op SYMMETRIE
Een wiskundige kijk op SYMMETRIE Jan van de Craats (UvA) Koninklijk Genootschap Physica, Alkmaar, 5 maart 2018 Symmetrie op het boloppervlak Soorten symmetrische patronen en voorwerpen Soorten symmetrische
OOG VOOR SYMMETRIE. Een wiskundige passie
OOG VOOR SYMMETRIE Een wiskundige passie Jan van de Craats (UvA) Ars et Mathesis, 16 november 2013 Twee soorten rozetpatronen Twee soorten rozetpatronen Twee soorten rozetpatronen Alleen draaisymmetrie
Symmetrie op de bol en in het vlak
Jan van de Craats Symmetrie op de bol en in het vlak NAW 5/2 nr. 4 december 20 24 Jan van de Craats Korteweg-De Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Postbus 94248 090 GE Amsterdam J.vandeCraats@uva.nl
BOEKBESPREKING EEN PASSIE VOOR SYMMETRIE. Chris van der Heijden
BOEKBESPREKING EEN PASSIE VOOR SYMMETRIE Chris van der Heijden Auteur: Jan van de Craats Uitgever: Epsilon Uitgaven, Amsterdam (2014), deel 78 ISBN: 978-90-5041-143-1 (106 pagina s; paperback) Prijs: 20,00
Symmetrie op de bol en in het vlak
Symmetrie op de bol en in het vlak Jan van de Craats Samenvatting In dit artikel beschrijf ik de discrete symmetriegroepen van bolpatronen en patronen in het vlak. In mijn behandeling, die steunt op ideeën
Morenaments Ornamenten met symmetrie. Werkblad vooraf met begeleidende tekst en oplossingen
Morenaments Ornamenten met symmetrie Fien Aelter, Liesje Knaepen en Kristien Vanhuyse, studenten SLO wiskunde KU Leuven Werkblad vooraf met begeleidende tekst en oplossingen Dit werklad is een voorbereiding
Symmetriegroepclassificatie met de orbifoldnotatie
Symmetriegroepclassificatie met de orbifoldnotatie Jos Klarenbeek Bachelorscriptie Begeleiding: prof.dr. Jan van de Craats en dr. Hessel Posthuma KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen,
handleiding pagina s 434 tot Handleiding 1.2 Huistaken huistaak 12: bladzijde Werkboek
week 13 les 5 toets en foutenanalyse handleiding pagina s 434 tot 443 nuttige informatie 1 Handleiding 1.1 Kopieerbladen pagina s 374 en 375: vierhoeken pagina 376: eigenschappen van diagonalen in vierhoeken
Symmetrie in islamitische ornamentale kunst
Symmetrie in islamitische ornamentale kunst Jan van de Craats (UvA, OU) Wie in Andalusië de moorse paleizen en moskeeën, zoals het Alhambra in Granada, het Alcazar in Sevilla of de grote Mezquita-moskee
Bruno Ernst Symposium
Bruno Ernst Symposium Betegelingen en behanggroepen symmetrie in wiskundige termen Jeanine Daems Universiteit Leiden Voorbeelden van symmetrische figuren: wat is symmetrie in de wiskunde? symmetrie
Platonische transformatiegroepen
Platonische transformatiegroepen Luc Van den Broeck 8 augustus 2015 Samenvatting In dit document worden de transformatiegroepen van de platonische lichamen bestudeerd. Zonder te vervallen in algebraïsche
Wiskunde: het mooiste vak!
Wiskunde: het mooiste vak! Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit Nederland Congres van de Vlaamse Vereniging voor Wiskundeleraren Blankenberge, 29 juni 2008 Wiskunde: het mooiste
1. Ik kan vormen en figuren herkennen en gebruiken met bijbehorende wiskundige vaktaal.
LEERLIJN WISKUNDE VMBO-BKTG (Leerjaar 1-periode 1) VMBO BKTG LJ1 Vmbo BKTG Periode 1 Wat ga ik leren? Wanneer? Welke inhoud heb ik nodig? Wat ga ik doen om dit te leren? Hoe bewijs ik dat ik dit geleerd
Kernbegrippen Kennisbasis wiskunde Onderdeel meetkunde
Kernbegrippen Kennisbasis wiskunde Onderdeel meetkunde Aanzicht Een ruimtelijk figuur kun je van verschillende kanten bekijken, je noemt dat aanzichten. Er zijn 5 aanzichten: Vooraanzicht (van voren).
Een ander zijvlak is het regelmatige vijfhoek met aantal zijden P=5. Hierbij moeten Q=3 zijvlakken samenkomen in een hoekpunt van het veelvlak.
Praktische-opdracht door een scholier 1498 woorden 6 juni 2003 6,5 134 keer beoordeeld Vak Wiskunde Deelvraag 1: Wat is de definitie van een Platonische Lichaam / Platonisch Veelvlak? De definitie: Een
Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312
Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312 Je mag de syllabus en aantekeningen gebruiken, maar geen rekenmachine. Je mag opgaven 2.46, 2.49 en 8.13
Rotaties in de ruimte, de ruimte van rotaties
Rotaties in de ruimte, de ruimte van rotaties Roland van der Veen (UvA) Dit is een hands-on inleiding in de wiskunde achter rotaties. De bedoeling is om aan hand van opgaven en puzzels zelf aan de slag
de Leuke En Uitdagende Wiskunde VEELVLAKKEN SAMENSTELLING: H. de Leuw
SAMENSTELLING: H. de Leuw 1. VEELHOEKEN. Een veelvlak is een lichaam dat wordt begrensd door vlakke veelhoeken. Zo zijn balken en piramides wel veelvlakken, maar cilinders en bollen niet. Een veelhoek
Veelvlak. Begrippenlijst
Veelvlakken Tijdens dit project Veelvlakken ga je vooral veel zelf onderzoeken. Je zult veel aan het bouwen zijn met Polydron materiaal. Waarschijnlijk zul je naar aanleiding van je bevindingen zelf vragen
Draaisymmetrie en lijnsymmetrie
Uitdager van de maand Draaisymmetrie en lijnsymmetrie Rekenen Wiskunde, Groep 6 Algemeen Titel Draaisymmetrie en lijnsymmetrie Cognitieve doelen en vaardigheden voor excellente leerlingen Begrijpen wat
handleiding pagina s 1005 tot 1015 1 Handleiding 1.2 Huistaken nihil 2 Werkboek 3 Posters 4 Scheurblokken bladzijden 122, 147, 150 en 156 5 Cd-rom
week 32 les 2 toets en foutenanalyse handleiding pagina s 1005 tot 1015 nuttige informatie 1 Handleiding 11 Kopieerbladen pagina 812: gelijkvormig / vervormen pagina 813: patronen pagina 814: kubus pagina
2. Antwoorden meetkunde
2. Antwoorden meetkunde In dit hoofdstuk zijn de antwoorden op de opgaven over Meetkunde opgenomen. Ze zijn kort en bondig per paragraaf gerangschikt. Dat betekent dat de antwoorden geen uitgebreide uitleg
Caspar Bontenbal april 2015 WISKUNDE & KUNST. Eindverslag
Caspar Bontenbal 0903785 24 april 2015 WISKUNDE & KUNST Eindverslag Table of Contents Les 1 - Introductie wiskunde & kunst... 2 Opdracht 1.1... 2 Opdracht 1.2... 2 Les 2 - Wiskunde met Verve bloemlezing
Discrete symmetriegroepen met Schönflies
faculteit Wiskunde en Natuurwetenschappen Discrete symmetriegroepen met Schönflies Bacheloronderzoek Wiskunde Juli 2010 Student: J. W. Bosman Begeleider:Prof. Dr. J. Top Inhoudsopgave 1. Voorwoord 2 2.
Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Ruimtelijke figuren
Escher in Het Paleis Wiskundepakket Ruimtelijke figuren Ruimtelijke figuren Escher maakt in EEN AANTAL prenten gebruik van wiskundig interessante ruimtelijke vormen, zoals Platonische lichamen en Möbiusbanden.
Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Regelmatige vlakvullingen
Escher in Het Paleis Wiskundepakket Regelmatige vlakvullingen Regelmatige vlakvullingen Een regelmatige vlakvulling is een manier om een vlak te vullen doormiddel van een zich steeds herhalend patroon.
Steekkaart: nummer 5W
Steekkaart: nummer 5W Onderwerp Ruimtefiguren herkennen in voorwerpen in de klas en hun eigenschappen benoemen Leeftijd/Doelgroep 5 e leerjaar Leergebied Wiskunde Organisatie Tijdsduur 50 minuten Beschrijving
Spiegelen en symmetrie
Spiegelen en symmetrie Bedoeling: De leerlingen komen doormiddel van verschillende activiteiten te weten wat spiegelen (en spiegelas) en symmetrie is. Doelen: De leerlingen kunnen - in eigen woorden verwoorden
Op groot blad papier (verticaal of op plat vlak)
OEFENING: TEKENEN IN SYMMETRIE MET BEIDE HANDEN GELIJKTIJDIG Op bord (verticaal) Op groot blad papier (verticaal of op plat vlak) L R L R Ik zie het anders OEFENING: SYMMETRIE L R Oefeningen voor kinderen
MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN
120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een
WETENSCHAPPEN oefeningen perspectief OEFENING 5. Arnout Van Vaerenbergh
WETENSCHAPPEN oefeningen perspectief OEFENING 5 Arnout Van Vaerenbergh vorige oefening: 1/ contextsimulatie - Muziekles van Vermeer 2/ exacte input - objecten tekenen in perspectief 3/ exacte output -
Diktaat Concrete Meetkunde Veelvlakken en alles wat daarbij komt kijken...
Diktaat Concrete Meetkunde Veelvlakken en alles wat daarbij komt kijken... Anieke Brombacher 3230589 Auke Mollema 3233626 Patrick van Stiphout 3223604 24 april 2009 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Regelmatige
Wat verstaan we onder elementaire meetkunde?
Wat verstaan we onder elementaire meetkunde? Er zijn veel boeken met de titel 'Elementaire Meetkunde'. Niet alle auteurs verstaan hieronder hetzelfde. Dit boek behandelt in de eerste 1 hoofdstukken de
Samenvatting van. door Maarten Solleveld
Samenvatting van Periodic cyclic homology of affine Hecke algebras door Maarten Solleveld De afgelopen jaren is mij vaak gevraagd wat ik nou eigenlijk onderzoek. Op deze vraag heb ik inmiddels een voorraadje
Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde
Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Erratum Meetkunde Je vindt hier de correcties voor Handig met getallen 4 (ISBN: 978 94 90681 005). Deze correcties zijn ook bedoeld voor het Rekenwerkboek
Hoofdstuk 6. Dihedrale groepen. 6.1 Definitie
Hoofdstuk 6 Dihedrale groepen 6.1 Definitie Definitie 6.1. De dihaeder groep is de symmetriegroep van een regelmatige n-hoek. Dit is de verzameling van alle transformaties in het vlak die de regelmatige
Figuren door Formules
Figuren door Formules 206 NWD 22 Freudenthal Instituut Universiteit Utrecht - Dit pakketje - voor leerlingen van vwo/havo of hoger - is ontworpen in opdracht van de NWD. Het kan worden gebruikt als voorbereiding
MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN
120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een
Veelvlakken kleuren. Dion Gijswijt
Stel, je wilt de zijvlakken van een veelvlak kleuren, en wel zo dat aangrenzende veelvlakken verschillende kleur krijgen. Hoeveel kleuren heb je dan minimaal nodig? Veelvlakken kleuren Dion Gijswijt De
Stelling 1.5 Geven isometrieën J 1 en J 2 hetzelfde beeld in drie punten die niet op één lijn liggen, dan zijn ze identiek. Bewijs. De isometrie J 1 2
Lesbrief 8 Isometrieën 1 Inleiding Een één-éénduidige afbeelding van het vlak op zichzelf heet een transformatie van het vlak. Als T 1 en T 2 transformaties zijn, wordt de transformatie T 1 gevolgd door
V el v'akk n kl ure. door Dion Gijswijt
door Dion Gijswijt V el v'akk n kl ure Stel, je wilt de zijvlakken van een veelvlak kleuren, en wel zo dat aangrenzende veelvlakken verschillende kleur krijgen. Hoeveel kleuren heb je dan minimaal nodig?
Uitleg van de Hough transformatie
Uitleg van de Hough transformatie Maarten M. Fokkinga, Joeri van Ruth Database groep, Fac. EWI, Universiteit Twente Versie van 17 mei 2005, 10:59 De Hough transformatie is een wiskundige techniek om een
HOOFDSTUK 2 TRANSFORMATIES
HOOFDSTUK 2 TRANSFORMATIES Verschuiven, roteren, spiegelen, vergroten/verkleinen zijn manieren om bij een figuur een 'beeldfiguur' te bepalen. Deze manieren noem je 'transformaties'. 2.1 LIJNSPIEGELING
Exotisch koken met Felix Klein
Exotisch koken met Felix Klein In het bruisende Göttingen van 111 jaar geleden (zie de vorige scoop [3]) bracht Felix Klein grote delen van de wiskunde samen in een hele reeks niet-euclidische meetkunden.
handleiding pagina s 965 tot Handleiding 1.2 Huistaken nihil 2 Werkboek 3 Posters 4 Scheurblokken bladzijden 117, 123, 129, 140 en Cd-rom
week 32 les 2 toets en foutenanalyse handleiding pagina s 95 tot 974 nuttige informatie 1 Handleiding 1.1 Kopieerbladen pagina 444: tangram pagina 754: puzzel geometrische figuren pagina 837: diverse gezichtspunten
Rudi Penne. Karel de Grote-Hogeschool, Antwerp
Nationale Wiskundedagen 7: Projectieve Meetkunde en Mechanica Rudi Penne Rudi.Penne@kdg.be Karel de Grote-Hogeschool, Antwerp p.1/34 Het projectief vlak = euclidisch vlak vanuit perspectief waarnemer :
CWI Syllabi. Managing Editors. Executive Editor. Editorial Board
blanko ii CWI Syllabi Managing Editors A.M.H. Gerards (CWI, Amsterdam) J.W. Klop (CWI, Amsterdam) N.M. Temme (CWI, Amsterdam) Executive Editor M. Bakker (CWI Amsterdam, e-mail: Miente.Bakker@cwi.nl) Editorial
1 Symmetrieën van figuren
1 Symmetrieën van figuren 1.1 Het mysterie van de hoge eik Als je door een met water gevulde reageerbuis heen de woorden DIE HOHE EICHE FÄLLT LANGSAM UM leest, waarbij de eerste drie woorden rood en de
Rinus Roelofs. De natuur weeft niet. nationaal vlechtmuseum noordwolde
Rinus Roelofs De natuur weeft niet nationaal vlechtmuseum noordwolde Weven Basispatronen 2 Draaiing 4 Zwart-wit betegelingen 6 Tegelpatronen 8 Bollen 10 Ringen 12 Weven is door mensen is uitgevonden. Het
Kristallografische groepen
Kristallografische groepen Bernd Souvignier najaar 2005 Hoofdstuk 1 Introductie Het onderwerp van deze cursus Kristallografische groepen zijn in eerste instantie de groepen die in de behandeling van structuren
Imaginary - van bol naar kubus
Imaginary - van bol naar kubus Gommaar Maes en Tania Van Damme SLO Wiskunde - Universiteit Gent en Atheneum Mariakerke Inleiding: coördinaat en vergelijking. Vlak Coördinaat Als we werken binnen een orthonormaal
Kazhdan-Lusztig-Vogan polynomen voor gespleten E 8, een uitzonderlijke berekening voor een exceptionele groep
Kazhdan-Lusztig-Vogan polynomen voor gespleten E 8, een uitzonderlijke berekening voor een exceptionele groep Marc van Leeuwen Laboratoire de Mathématiques et Applications Université de Poitiers 28 november
Inversie. Hector Mommaerts
Inversie Hector Mommaerts 2 Hoofdstuk 1 Definities en constructies 1.1 Definitie We weten hoe we een punt moeten spiegelen rond een rechte. We gaan nu kijken hoe we een punt spiegelen rond een cirkel.
Platonische lichamen en andere reguliere polytopen
Platonische lichamen en andere reguliere polytopen Bernd Souvignier Voorjaar 005 Inhoud De platonische lichamen. Reguliere veelhoeken.......................... Reguliere veelvlakken.........................
Handleiding vierde middag Concrete Meetkunde 2009 Beweging en symmetrie
1 Drie startproblemen Handleiding vierde middag Concrete Meetkunde 2009 Beweging en symmetrie opgave 1. Een klein puntspiegelwonder. Zet drie punten op papier, A, B en C. Kies een ander punt: X 1. Puntspiegel
Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken
Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken Wiskunde & Cultuur 2-3 W.v.Ravenstein 2010-2011 aangepast Vandaag Platonische lichamen Regelmatig, halfregelmatig en andere naamgeving Waarom zijn er maar 5 Platonische
24/11/2008. heel handig hulpvenster past zich voortdurend aan. Engelstalige handleiding van 63 blz. dag van de wiskunde 2e/3e graad 22 nov 2008
Cabri 3D een voorstelling van de mogelijkheden dag van de wiskunde 2e/3e graad 22 nov 2008 Paul Decuypere, VVKSO cahier de brouillon interactif www.cabri.com 1985: eerste versie van Cabri I 1989: eerste
Groepen en behangpatronen
Groepen en behangpatronen Inleiding Als je een keer s nachts niet kunt slapen en je tuurt naar het behang, bedenk je dan eens wat een variatie je hebt in behangpatronen. Je hebt bloemetjes (zie figuur
Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur
Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.
Bio-Organische Chemie
Bio-Organische Chemie Faculteit Diergeneeskunde 1ste Bachelor Diergeneeskunde Academiejaar 2016-2017 Prof. dr. Niek Sanders Prof. dr. Evelyne Meyer (medelesgever) Faculteit Diergeneeskunde Niek.Sanders@UGent.be
5 Inleiding tot de groepentheorie
5 Inleiding tot de groepentheorie Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze groep de viergroep van Klein bezit als deelgroep van index 2. Oplossing
Symmetrie ONDER DE LOEP. 1. Inleiding. Inhoud. Symmetrie en groep
ONDER DE LOEP Symmetrie Inhoud 1. Inleiding 2. Transformaties, isometrieën en symmetrische figuren a. Enkele vlakke transformaties b. Samenstellen c. Isometrieën d. Symmetrische figuren 3. Rozetpatronen
Wiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College
0. Warming Up. Opdracht 0.1 Classificeren. Voor iedereen: leg de juiste figuur op de juiste plaats
0. Warming Up Opdracht 0.1 Classificeren Voor iedereen: leg de juiste figuur op de juiste plaats Workshops Meetkunde Voorbereiding Kennisbasistoets Rekenen Pagina 1 Opdracht 0.2 Classificeren Nog een keer
GEOGEBRA 5. Ruimtemeetkunde in de eerste graad. R. Van Nieuwenhuyze. Oud-hoofdlector wiskunde aan Odisee, lerarenopleiding Brussel
GEOGEBRA 5 Ruimtemeetkunde in de eerste graad R. Van Nieuwenhuyze Oud-hoofdlector wiskunde aan Odisee, lerarenopleiding Brussel Auteur Van Basis tot Limiet en auteur van Nando. roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com
Wiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les : Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist verzicht colleges. College. Goniometrie 2. Vectoren 2. College 2. Matrixen
Exploraties met GeoGebra
23 Strookpatronen 23.1 Inleiding Exploraties met GeoGebra Strookpatronen (friezen) zijn randversieringen met een herhaald motief, voortgebracht door een verschuiving (translatie) volgens een vaste richting
Samenvatting in het nederlands
Samenvatting in het nederlands Wat voorkennis Stel dat van een oppervlak in de ruimte een golffront komt - het kan om licht gaan, of om geluid. Is het oppervlak een ellipsoide en breidt de golf zich uit
Het vermoeden van Poincaré
Het vermoeden van Poincaré Joseph Steenbrink IMAPP, Radboud University Nijmegen 6 februari 2010 Outline 1 Poincaré 2 Het vermoeden 3 Topologie versus meetkunde Henri Poincaré Nancy 1854 - Parijs 1912 Achtergrond
SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN. Prof. dr. Ronald Meester
SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN Prof. dr. Ronald Meester Inleiding In dit college onderzoeken we symmetrie-eigenschappen van ruimtelijke figuren zoals driehoeken, vierkanten, kubussen en andere veelvlakken
Hoofdstuk 1 Spiegelen in lijn en in cirkel. Eigenschappen.
Hoofdstuk 1 Spiegelen in lijn en in cirkel. Eigenschappen. Jakob Steiner (Utzenstorf (kanton Bern), 18 maart 1796 - Bern, 1 april 1863) was een Zwitsers wiskundige. Hij wordt beschouwd als een van de belangrijkste
Polyatheorie. Erik Verraedt 2011-2012
2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding 4 2 Enkele telproblemen 5 2.1 Probleem 1........................................ 5 2.2 Probleem 2........................................ 5 2.3 Probleem 3........................................
2 Wiskunde. 2.1 Bolmeetkunde
1 Inleiding Een centraal probleem in de moderne theoretische natuurkunde is het verenigen van quantumtheorie en zwaartekracht. Een mogelijke aanpak is holografie, bedacht door onze Nobelprijswinnaar Gerard
Sudoku s. Annelies Veen Noud Aldenhoven
Sudoku s Annelies Veen Noud Aldenhoven Vierkant voor Wiskunde Zomerkamp A 2010 Voorwoord Het plaatje op de voorkant is een erg bijzondere puzzel, een soort sudoku. Sudoku s zijn puzzeltjes met hun eigen
3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.
3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld
Hoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden
Hoofdstuk LIJNEN IN Klas N Wiskunde 6 perioden . DE VECTORVOORSTELLING VAN EEN LIJN VOORBEELD. Gegeven zijn de punten P (, ) en Q (, 8 ). Gevraagd: de vectorvoorstelling van de lijn k door P en Q. Methode:
Examen VMBO-KB. wiskunde CSE KB. tijdvak 1 dinsdag 15 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VMBO-KB 2018 tijdvak 1 dinsdag 15 mei 13.30-15.30 uur wiskunde CSE KB Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 26 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 74 punten te behalen.
Don t Try This at Home
Vincent van der Noort Don t Try This at Home De Banach-Tarski Paradox: zwarte magie, maar dan wiskundig. Vrijwel alle wiskunde blijkt toepasbaar te zijn in de natuurkunde. Je kan het als wiskundige zo
DE basis WISKUNDE VOOR DE LAGERE SCHOOL
Inhoud GETALLENKENNIS 13 1 Getallen 13 2 Het decimale talstelsel 14 3 Breuken 16 Begrippen 16 Soorten breuken 16 Een breuk vereenvoudigen 17 4 Breuken, percenten, kommagetallen 18 Breuk omzetten in een
Viervlakken tussen Kunst en Wiskunde Kijkend naar het werk van kunstenaar Henk Verbeek met de blik van een wiskundige.
Artikel uit Euclides, maart 2010, jrg. 85, no. 5, Tijdschrift van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren Viervlakken tussen Kunst en Wiskunde Kijkend naar het werk van kunstenaar Henk Verbeek met
Een Rombicosidodecahedrische diprismatohexacosihecatonicosachoron op het Kottenpark
Een Rombicosidodecahedrische diprismatohexacosihecatonicosachoron op het Kottenpark Deze Rombicosidodecahedrische diprismatohexacosihecatonicosachoron werd op 5 februari 2011 gebouwd door: Ninouk Akkerman,
Naam:... ZELFEVALUATIE WISKUNDE A-STROOM (het 60-puntenplan) WAT KAN IK AL? / WAT MOET IK NOG HERHALEN? / WAT MOET IK NOG INOEFENEN?
ZELFEVALUATIE WISKUNDE A-STROOM (het 60-puntenplan) WAT KAN IK AL? / WAT MOET IK NOG HERHALEN? / WAT MOET IK NOG INOEFENEN? Voor de GETALLENLEER worden concreet volgende doelstellingen nagestreefd: Begripsvorming
HOOFDSTUK 0. = α g1 α g2
HOOFDSTUK 0 Acties van groepen 0.1 Groep-actie Uit de cursus Meetkunde en Lineaire Algebra van 1ste jaar Bachelor Wiskunde ([KI] in de referentielijst) weten we reeds wat een permutatiegroep G op een verzameling
Hoofdstuk 4: Meetkunde
Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair
Afgeknotte dodecahedrische diprismatohexacosihecatonicosachoron
Afgeknotte dodecahedrische diprismatohexacosihecatonicosachoron Deze Afgeknotte dodecahedrische diprismatohexacosihecatonicosachoron werd op 3 en 4 februari 2012 gebouwd door: Jeffrey Hubert, Gijs Beernink,
Dimensies. een ruimtelijke tocht langs onbekende assen. Anne Lotte van der Kooi Jesse Krijthe Roderik Vogels Onder begeleiding van Aad Goddijn
Dimensies een ruimtelijke tocht langs onbekende assen Anne Lotte van der Kooi Jesse Krijthe Roderik Vogels Onder begeleiding van Aad Goddijn Junior College Utrecht, Januari 7 Inhoud. Abstract.... Inleiding...5.
1 Het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman
1 Het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Roland van der Veen, Universiteit van Amsterdam Voorwoord In deze bijdrage geven we een kort overzicht van recente ontwikkelingen in het vakgebied van
De Cantitruncated 600 cel
De Cantitruncated 600 cel Afgeknotte icosahedrische prismatohexacosihecatonicosachoron Paul van de Veen info@vandeveen.nl januari 2013 I. De 5 Platonische lichamen In één dimensie bestaan alleen maar lijnen.
B136. BIJLAGE H De verbinding met het 'On-eindige' vanuit het twaalf-, het ruitendertig- en het twintig-vlak. Het twaalfvlak of dodecaëder
B136 De verbinding met het 'On-eindige' vanuit het twaalf-, het ruitendertig- en het twintig-vlak Het twaalfvlak of dodecaëder Een dodecaëder ligt besloten tussen 6 paren van evenwijdige vlakken. Als die
Stap 1: Ga naar Stap 3: Gebruik de pijltjes om te navigeren tussen de bladzijden.
Stap 1: Ga naar www.wiskundewereld.be/bzl-ruimtemeetkunde.html Stap 2: Klik rechts op de witte knop. Stap 3: Gebruik de pijltjes om te navigeren tussen de bladzijden. Stap 4: Links zie je waar je je in
Werkbladen: Op de versiertoer met symmetrie.
Werkbladen: Op de versiertoer met symmetrie. Opdracht 1: a. Welke isometrieën bewaren dit oneindig lange strookdiagram? Ja / Neen Verschuivingen Spiegelingen t.o.v. horizontale as Spiegelingen t.o.v. verticale
Magidoku s en verborgen symmetrieën
Uitwerking Puzzel 92-6 Magidoku s en verborgen symmetrieën Wobien Doyer Lieke de Rooij Een Latijns vierkant van orde n, is een vierkante matrix, gevuld met n verschillende symbolen waarvan elk precies
Ontdek Polydron en Polydron Frameworks
Ontdek Polydron en Polydron Frameworks Bob Ansell Contactgegevens Polydron Site E,Lakeside Business Park Broadway Lane South Cerney Cirencester Gloucestershire GL7 5XL Tel: +44 (0)1285 863980 Email: headoffice@polydron.com
A 1 Welke vorm? tent tennisbal beker notitieblok ijshoorntje baksteen. Voorwerpen uit de omgeving
A Welke vorm? ** Voorwerpen uit de omgeving ekijk de afgebeelde voorwerpen. Welke geometrische (meetkundige) vormen kun je ontdekken? Zet de juiste letters in de tabel. Welk woord ontstaat er? U U J K
wizprof 2013 21 maart 2013 Veel succes en vooral veel plezier.!! je hebt 75 minuten de tijd rekenmachine is niet toegestaan
www.zwijsen.nl www.e-nemo.nl 21 maart 2013 www.education.ti.com Veel succes en vooral veel plezier.!! Stichting Wiskunde Kangoeroe www.smart.be www.rekenzeker.nl www.sanderspuzzelboeken.nl www.schoolsupport.nl
Werkblad Cabri Jr. Rotaties
Werkblad Cabri Jr. Rotaties Doel Het onderzoeken van de eigenschappen van een rotatie in het platte vlak, in het bijzonder de relatie tussen origineel en beeld. Inleiding Een rotatie is één van de vier
Bedoeling: Doelen: Leerplandoelen wiskunde (VVKBaO):
Bedoeling: De leerlingen leren M.C. Escher en zijn werken kennen. Ze ontdekken ook wat regelmatige vlakvulling is en maken kennis met de drie soorten symmetrie die Escher in zijn werken gebruikt. Na het
Inhoud. 1 Ruimtefiguren 8. 4 Lijnen en hoeken 148. 2 Plaats bepalen 60. 5 Negatieve getallen 198. 3 Rekenen 100
1 BK deel 1 Voorkennis 1 Aan de slag met wiskunde 6 1 Ruimtefiguren 8 1.1 Wiskundige ruimte guren 10 1.2 Vlakken, ribben en hoekpunten 14 1.3 Kubus en vierkant 17 1.4 Balk en rechthoek 24 1.5 Cilinder
a 2 +b 2 =c 2 www.stocs.nl patent pending / rights reserved / info@stocs.nl
Bouwen met touwen spelend leren a 2 +b 2 =c 2 Met S TOCS kunnen kinderen spelenderwijs kennis maken met wiskunde, techniek en architectuur. STOCS bouwwerken bestaan uit lijnen, vlakken en hoeken. Wat zijn