Symmetriegroepclassificatie met de orbifoldnotatie

Transcriptie

1 Symmetriegroepclassificatie met de orbifoldnotatie Jos Klarenbeek Bachelorscriptie Begeleiding: prof.dr. Jan van de Craats en dr. Hessel Posthuma KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam

2 Samenvatting In dit bachelorproject geven we een complete classificatie van de symmetriegroepen die werken op het Euclidische vlak en het boloppervlak. We doen dit door de symmetriegroepen te classificeren aan de hand van hun orbifold. We noemen deze classificatie de orbifoldnotatie en we laten zien dat het een compleet classificatiesysteem is. Gegevens Titel: Symmetriegroepclassificatie met de orbifoldnotatie Auteur: Jos Klarenbeek, Begeleider: prof.dr. Jan van de Craats Tweede begeleider: dr. Hessel Posthuma Einddatum: 23 juni 2010 Korteweg de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Science Park 904, 1098 XH Amsterdam

3 Inhoudsopgave Inleiding 2 1 Symmetrie Symmetriegroepen Symmetriegroepen werkend op het Euclidische vlak Symmetriegroepen werkend op het boloppervlak Symmetriegroepen werkend op het hyperbolische vlak Orbifolds en de orbifoldnotatie De orbifold van een symmetriegroep De orbifoldnotatie Spiegellijnen en spiegelpunten Rotatiepunten De globale topologie van de orbifold Algemene orbifoldnotatie Orbifoldclassificatie en de orbifold Euler-karakteristiek Classificatie van oppervlakken Gesloten oppervlakken Oppervlakken met rand De Euler-karakteristiek Orbifoldclassificatie De orbifold Eulerkarakteristiek De kosten van een orbifoldsymbool De classificatie van symmetriegroepen Behangpatroongroepen Bolpatroongroepen Strookpatroongroepen De hyperbolische groepen Populaire samenvatting 33 1

4 Inleiding We worden in ons dagelijks leven geconfronteerd met allerlei soorten symmetrie. Het menselijke schoonheidsideaal wordt bepaald door symmetrische gezichten en de man wordt geacht zijn stropdas recht te dragen. We associëren symmetrie met rust en orde en zijn daarom sneller geneigd om symmetrie boven asymmetrie te kiezen. Symmetrische patronen, waaronder de regelmatige vlakvullingen, zijn veel om ons heen te vinden. De betegeling op straat en op muren, ruitjespapier en bloemetjesbehang zijn voorbeelden van regelmatige vlakvullingen. Ook zijn er prachtige voorbeelden te vinden van regelmatige vlakvullingen in de Islamitische architectuur en het werk van de graficus M.C. Escher. Symmetrie is een eeuwenoud begrip in kunst, architectuur, en wetenschap. Als we een wiskundige bril opzetten en daarmee een symmetrisch patroon bestuderen, blijkt er meer aan de hand te zijn dan een mooie regelmatige verschijning. We kijken met deze bril dwars door het patroon heen en laten een veel abstractere wereld, die zich achter het patroon bevindt, tevoorschijn komen. We laten de schoonheid even voor wat het is en concentreren ons enkel op de abstracte achterliggende structuren. Als we ons puur op de symmetrieën van het patroon concentreren dan vormen de symmetrieën van het patroon een symmetriegroep. In dit artikel zullen we met name de symmetriegroepen bestuderen van figuren op het platte vlak en het boloppervlak. Verder zullen we een paar voorbeelden bekijken van symmetriegroepen op het hyperbolische vlak. 2

5 Hoofdstuk 1 Symmetrie Wiskundig gezien is een symmetrie niets anders dan een transformatie die ervoor zorgt dat het patroon er na de transformatie exact hetzelfde uitziet.een symmetrie van een patroon heeft dus eigenlijk hetzelfde effect als niets doen. We zullen verderop zien dat symmetrieën een groep vormen, de symmetriegroep van een patroon of figuur. Voordat we een onderscheid maken tussen verschillende soorten symmetriegroepen zullen we eerst de definitie van een symmetrie geven. Definitie 1.1. Zij (S, d) een gegeven metrische ruimte, dan is een isometrie van S een afbeelding f : S S met de eigenschap dat d(f(x), f(y)) = d(x, y) voor alle x, y S. Een isometrie is dus een afbeelding die de afstand tussen ieder tweetal punten behoudt. Definitie 1.2. Zij S een gegeven metrische ruimte. Een figuur 1 F is een niet-lege deelverzameling punten van S. We noemen een figuur F invariant onder een isometrie f : S S als geldt dat f(f ) = F. In dat geval heet f een symmetrie van F. 1.1 Symmetriegroepen Als we bij een gegeven figuur F de verzameling G F := {g : S S g is een symmetrie van F } nemen, dan vormt deze verzameling onder bewerking van samenstelling een groep. We noemen deze groep de symmetriegroep van F. Deze groep voldoet aan de volgende axioma s: 1. (geslotenheid): als g 1, g 2 G F dan g 2 g 1 G F. 2. (associativiteit): voor alle g 1, g 2, g 3 G F geldt (g 1 g 2 )g 3 = g 1 (g 2 g 3 ). 3. (eenheidselement): er bestaat een e G F zodaning dat g G F geldt ge = eg = g. 4. (invertibiliteit): voor alle g G F bestaat g 1 G F met gg 1 = e. 1 Een figuur F kan van alles zijn: een al dan niet begrensd vlakdeel, een paar punten, een al dan niet begrensd patroon. 3

6 Het eenheidselement e van de symmetriegroep is de identieke afbeelding. De identieke afbeelding is een symmetrie voor elk willekeurig figuur in een ruimte. Als voor een gegeven figuur F geldt dat G F = {e} dan noemen we F asymmetrisch. In ieder ander geval noemen we het figuur F symmetrisch. We zeggen dat een symmetrie g G F van orde n is als n het minimale natuurlijke getal is waarvoor g n = e geldt. Als er geen eindig getal bestaat waarvoor deze vergelijking geldt, dan heeft g een oneindige orde. Definitie 1.3. Zij F een figuur en zij G F de symmetriegroep van F. Als X F een deelverzameling is van F dan noemen we G F (X) := {g(x) g G F } de baan van X. Als geldt dat G F (X) = X dan noemen we X een invariante deelverzameling met betrekking tot de symmetriegroep. Definitie 1.4. Zij F een figuur en zij G F de symmetriegroep van F. We noemen G F discreet als voor ieder punt p F een open omgeving O van p te vinden is zodanig dat G F (p) O = {p}. Voorbeeld 1.5. Figuur 1.1 vertoont de drie elementaire vormen van de Bauhaus beweging. De driehoek en het vierkant hebben een discrete symmetriegroep, de cirkel heeft geen discrete symmetriegroep. Figuur 1.1: BAUHAUS We zullen vanaf nu enkel nog discrete symmetriegroepen bestuderen dus we nemen in het vervolg aan dat als we over een symmetriegroep spreken dat deze discreet is. In dit artikel zullen we de symmetriegroepen die werken op de volgende ruimtes onderzoeken: 1. Het Euclidische vlak E 2 2. De eenheidsbol S 2 3. Het hyperbolische vlak H 2 We zullen echter enkel uitgebreid ingaan op de symmetriegroepen die werken op het Euclidische vlak en de eenheidsbol. Het onderzoek naar symmetriegroepen op het hyperbolische vlak gaat op analoge wijze, wij zullen er slechts een opmerking over maken. 4

7 1.1.1 Symmetriegroepen werkend op het Euclidische vlak Zij F E 2 een figuur in het Euclidische vlak. De symmetriegroep G F Isom(E 2 ) kan de volgende symmetrieën bevatten [8]: Lijnpiegeling: Het vlak wordt door een lijnspiegeling gespiegeld in een lijn l E 2. Als s een lijnspiegeling is dan geldt s 2 = e. Rotatiesymmetrie: Het vlak wordt door rotatiesymmetrie gedraaid om een centrum c E 2. Als de symmetriegroep van een figuur niet-triviale rotaties bevat met centrum c dan is er vanwege de discrete conditie een rotatie r met centrum c en minimale positieve rotatiehoek. Deze hoek is gelijk aan 2π n voor zekere n N. De rotaties met centrum c zijn dan van de vorm r i met i {0,..., n 1}. We noemen in dat geval c een n-voudig rotatiecentrum. Translatiesymmetrie: Het vlak wordt door translatie verschoven over een zekere translatieafstand. Als de symmetriegroep van een figuur translatiesymmetrie bevat dan is er vanwege de discrete conditie in elke translatierichting een translatie t met minimale positieve translatieafstand. Elke translatie in die richting is dan te schrijven als t n voor zekere n Z. Glijspiegeling: Glijspiegeling is een spiegeling in een lijn l, gevolgd door een translatie in dezelfde richting als de lijn l. Als g een glijspiegeling is dan geldt g 2 = t voor een zekere translatie t. We maken een onderscheid tussen drie verschillende klassen van symmetriegroepen: Symmetriegroepen van rozetten De symmetriegroep van een rozet bevat geen niet-triviale translatiesymmetrie en kan enkel uit rotaties en spiegelingen bestaan. Deze groep houdt daarom een punt vast onder alle symmetrieën van de groep. Een symmetriegroep van een rozet noemen we een cyclische groep C n als de groep enkel rotatiesymmetrie bevat. Als de groep naast rotatie ook nog spiegeling bevat heet de groep een dihedrale groep D n. De groepen C n en D n zijn de enige eindige ondergroepen van O(2), zie hiervoor [9]. Figuur 1.2: Voorbeelden van rozetten 5

8 Symmetriegroepen van strookpatronen De symmetriegroep van een strookpatroon bevat translatiesymmetrie in één richting, en kan verder nog bestaan uit spiegeling, rotatie en glijspiegeling. Omdat de translaties een oneindige orde hebben bevat een strookpatroongroep oneindig veel elementen. In dit artikel zullen we de volgende stelling gaan bewijzen: Stelling 1.6. Er zijn precies 7 verschillende strookpatroongroepen. Figuur 1.3: Voorbeelden van strookpatronen Symmetriegroepen van behangpatronen Symmetrische figuren die zich in twee of meer verschillende richtingen translaties hebben noemen we regelmatige vlakvullingen of behangpatronen. Behangpatronen zijn in vele variaties om ons heen te vinden. We vinden ze niet alleen letterlijk terug op het behang, maar ook in de betegeling van de straat en onze bakstenen muren zijn meestal behangpatronen. In de oude Egyptische en Islamitische architectuur zijn prachtige voorbeelden van behangpatronen te vinden. Ook de kunstenaar M.C. Escher heeft vele creaties van regelmatige vlakvullingen op zijn naam staan. Figuur 1.4: Voorbeelden van behangpatronen De symmetriegroep van een behangpatroon noemen we een behangpatroongroep. Een behangpatroongroep bevat translatiesymmetrie in minimaal twee verschillende richtingen. Er zijn verschillende manieren om deze behangpatroongroepen te nummeren en te noteren. De kristallograaf E.S. Fedorov bewees in 1891 dat er precies 17 verschillende behangpatroongroepen zijn. Stelling 1.7. Er zijn precies 17 verschillende behangpatroongroepen. 6

9 1.1.2 Symmetriegroepen werkend op het boloppervlak Een symmetriegroep G F Isom(S 2 ) werkend op het boloppervlak kan de volgende symmetrieën bevatten: Spiegeling: Het boloppervlak wordt door spiegeling s gespiegeld in een vlak dat door de oorsprong gaat. De doorsnijding van het boloppervlak met het vlak zorgt voor een spiegellijn (grote cirkel) op het boloppervlak. Ook hier geldt dat s 2 = e. Rotatie: Bij rotatie wordt het boloppervlak geroteerd over een rotatie-as die door de oorsprong gaat. De doorsnijding van het boloppervlak met de rotatieas zorgt voor twee n-voudige rotatiecentra op het boloppervlak. Rotatiespiegeling: rotatiespiegeling is een rotatie gevolgd door een spiegeling waarvan het spiegelvlak loodrecht op de rotatie-as ligt. Het tweemaal uitvoeren van een rotatiespiegeling komt overeen met een rotatie. De symmetriegroep van een figuur op het boloppervlak noemen we een bolpatroongroep. Het bestuderen van deze groepen verschaft ons niet alleen kennis over symmetriegroepen van figuren op het boloppervlak, maar ook over de symmetriegroepen van eindige 3-dimensionale objecten. We kunnen namelijk ieder begrensd 3-dimensionaal object insluiten in een bol en zodanig op het boloppervlak projecteren dat er een patroon op het boloppervlak ontstaat dat dezelfde symmetriegroep heeft. Stelling 1.8. Er zijn precies 14 verschillende klassen van bolpatroongroepen Symmetriegroepen werkend op het hyperbolische vlak Ook in het hyperbolische vlak kan symmetrie optreden. Voorbeelden hiervan zijn de Circle Limits van M.C. Escher. Er zijn oneindig veel symmetriegroepen die werken op het hyperbolische vlak. Figuur 1.5: Voorbeelden van patronen op het hyperbolische vlak 7

10 Hoofdstuk 2 Orbifolds en de orbifoldnotatie In het vorige hoofdstuk hebben we een beeld gekregen van de symmetriegroepen die werken op het Euclidische vlak, het boloppervlak en het hyperbolische vlak. Door de jaren heen zijn er verschillende manieren bedacht om deze groepen te classificeren en te noteren. In dit hoofdstuk zullen we een methode bestuderen die het mogelijk maakt om op een uniforme manier de symmetriegroepen van de drie bovengenoemde ruimtes te classificeren en te noteren. Deze manier van classificeren heet de orbifoldnotatie die zijn naam ontleent aan de orbifold van een symmetriegroep. 2.1 De orbifold van een symmetriegroep Een figuur met een discrete symmetriegroep beschikt over een fundamentaalgebied. Definitie 2.1. Zij F een figuur en zij G F de symmetriegroep van F. Een fundamentaalgebied F F van een symmetriegroep is een samenhangende deelverzameling van het vlak met de volgende eigenschappen: 1. Voor alle x F bestaat er een x F waarvoor geldt dat x = g( x) voor een zekere g G F. 2. Voor alle g G F /{e} geldt inw(f) inw(g(f)) = De 2-dimensionale orbifold van een symmetriegroep verkrijgen we uit een fundamentaalgebied. Als de rand van het fundamentaalgebied nog punten bevat die door een symmetrie op elkaar worden afgebeeld moeten we die punten nog bij elkaar brengen. Dit zullen we verderop uitleggen aan de hand van voorbeelden. Abstract gezien is een 2-dimensionale orbifold de quotiëntruimte van een 2-D variëteit door een discrete groep die erop werkt. De term orbifold nemen we over uit het Engels en is een samenvoegsel van orbit-manifold. Voor de exacte definitie verwijzen we naar [4]. Wij hebben te maken met discrete symmetriegroepen die werken op het Euclidische vlak E 2, het boloppervlak S 2 en het hyperbolische vlak H 2. Omdat de formele definitie vrij abstract is zullen wij de meer informele definitie van John Conway [2] hanteren. Definitie 2.2. Zij S {E 2, S 2, H 2 } en G een symmetriegroep werkend op S. De orbifold van G is de topologische quotïentruimte Q G := S/G. De punten van een orbifold komen overeenkomen met de banen van de groep. 8

11 Een orbifold verkrijgen we door punten als gelijk te beschouwen als ze door een symmetrie uit de groep op elkaar worden afgebeeld. We verkrijgen zo een 2-dimensionale ruimte die overeen kan komen met een 2-D variëteit. Een 2-D orbifold onderscheid zich echter van een 2-D variëteit omdat zij de metriek behoudt van de oorspronkelijke ruimte, wat onder andere betekent dat hoeken gedefiniëerd zijn. In een 2-D variëteit is er voor ieder punt een omgeving te vinden die homeomorf is met het Euclidische vlak. In een 2-D orbifold is er voor ieder punt een omgeving te vinden die homeomorf is met het Euclidische vlak modulo een eindige groep G O(2), dat wil zeggen met: E 2 als G = {e} Een halfvlak als G = D 1 Een sector als G = D n Een kegel als G = C n 2.2 De orbifoldnotatie Het idee om symmetriegroepen te classificeren aan de hand van hun orbifold komt van William Thurston. Zijn visie was dat aangezien we een orbifold eenvoudig kunnen construeren, deze makkelijker mee te werken is dan een abstracte symmetriegroep. De notatie die we nu gaan invoeren heet de orbifoldnotatie, ingevoerd en gepopulariseerd door John Horton Conway. Deze notatie classificeert de symmetriegroepen aan de hand van de topologische eigenschappen van hun orbifold. Omdat ook expliciet hoeken en kegelpunten gedefiniëerd zijn kunnen we de orbifold classificeren aan de hand van haar uiterlijke verschijning. We geven deze weer met een orbifoldsymbool: } {{ } AB }{{... C} hendels kegelpunten } ab..{{. c a b... c } randen met hoekpunten }{{} kruiskappen Het is ook mogelijk de orbifoldnotatie direct uit een gegeven patroon zelf af te lezen, zonder daarbij eerst de bijbehorende orbifold te construeren. De specifieke uiterlijke kenmerken van de orbifold komen namelijk overeen met de symmetrische eigenschappen van het oorspronkelijke patroon. Dit maakt het mogelijk om bij een gegeven patroon het orbifoldsymbool te bepalen door lokaal naar het patroon te kijken. Hoe deze notatie werkt zullen we verduidelijken aan de hand van een aantal voorbeelden. Verder zijn er talrijke voorbeelden te vinden in Conway s boek The symmetries of things [1] Spiegellijnen en spiegelpunten Als de symmetriegroep van een patroon een lijnspiegeling bevat dan beschikt het patroon over één of meerdere spiegellijnen. Een punt op een spiegellijn noemen we een gewoon spiegelpunt als het op één spiegellijn ligt, en een n-voudig spiegelpunt als het een snijpunt is van n (n > 1) spiegellijnen. De spiegelpunten corresponderen met randpunten op de orbifold. Een n-voudig spiegelpunt correspondeert met een hoekpunt op de rand met een hoek van π n. We kennen aan de orbifold de notatie ab... c toe als het een rand heeft met hoekpunten π a, π b... π c, waarbij enkel de cyclische volgorde van de hoekpunten van belang is. In een speciaal geval 9

12 gebruiken we enkel de notatie, wanneer de orbifold over een gladde rand beschikt zonder hoekpunten. We kunnen deze notatie ook direct uit het patroon halen door een spiegelpad te bewandelen over de spiegellijnen. Dit pad kiezen we zo klein mogelijk door enkel spiegelpunten te nemen die geen beeld van elkaar zijn onder een symmetrie van het patroon. Een n-voudig spiegelpunt zorgt ervoor dat het spiegelpad een hoek maakt van π n. Als we het spiegelpad noteren met ab... c waarbij de getallen a, b,..., c overeenkomen met de verschillende doorlopen hoekpunten dan krijgen we dezelfde notatie. Figuur 2.1: In deze figuur zien we een patroon met spiegellijnen. Het kleinst mogelijke spiegelpad doorloopt een 2-voudig, 3-voudig en 6-voudig spiegelpunt. De orbifold is een driehoek met hoekpunten van π 6, π 3 en π 2. Het orbifoldsymbool is

13 Figuur 2.2: In deze figuur zien we wederom een patroon met spiegellijnen. Het kleinst mogelijke spiegelpad doorloopt een 2-voudig spiegelpunt, en twee 4-voudige spiegelpunten. Deze 4-voudige spiegelpunten zijn verschillend van elkaar dus we moeten beide meenemen in de notatie. De orbifold is een driehoek met hoekpunten van π, π en π. Het orbifoldsymbool is Figuur 2.3: We zien hier een basketbal, een figuur op het boloppervlak. Dit figuur bevat drie verschillende spiegellijnen die hoeken van π 2 maken. De orbifold is een sferische driehoek met drie hoeken van π 2. De orbifoldnotatie voor de basketbal is Rotatiepunten Als een patroon rotatiesymmetrie bevat, beschikt het patroon over een rotatiecentrum. Als een rotatiecentrum niet overeenkomt met een n-voudig spiegelpunt (een n-voudig spiegelpunt is automatisch ook een rotatiecentrum) dan spreken we over een n-voudig draaipunt. Een n-voudig draaipunt heeft orde n, dit houdt in dat de kleinste hoek waarover we kunnen roteren gelijk is aan 2π n. Een n-voudig draaipunt correspondeert op de orbifold met een kegelpunt van orde n. Dit houdt in dat de kegelhoek gelijk is aan 2π n. Als de orbifold kegelpunten van orde a, b,..., c bevat dan noteren we dat met de getallen ab... c. Als de orbifold naast kegelpunten beschikt 11

14 over een rand (dus als het oorspronkelijke patroon ook spiegelsymmetrie bevat) dan noteren we deze getallen vóór de. We kunnen deze notatie ook direct uit het patroon halen door ieder n-voudig draaipunt te noteren met het getal n. Merk op dat we twee draaipunten niet dubbel noteren als ze het beeld van elkaar zijn onder een symmetrie van het patroon. Figuur 2.4: In deze figuur zien we een patroon dat wordt voortgebracht door draaisymmetrie. Het heeft geen spiegellijnen maar wel twee 4-voudige draaipunten en één 2-voudig draaipunt. De orbifold is een kussen met drie kegelpunten. Het orbifoldsymbool is

15 Figuur 2.5: In dit patroon zien we de twee bovengenoemde verschijnselen tegelijk. Er is een spiegelpad te vinden van twee 2-voudige spiegelpunten en ook een 2-voudig draaipunt. We zien dat dit resulteert in een kegelpunt en een rand met twee hoekpunten van π. Het orbifoldsymbool is De globale topologie van de orbifold Als we in het patroon een pad kunnen vinden van een deel van de figuur naar een spiegelbeeld van dat deel, zonder daarbij een spiegellijn te doorkruisen dan hebben we te maken met glijspiegeling in het Euclidische vlak of rotatiespiegeling op het boloppervlak. Dit verschijnsel zorgt ervoor dat de orbifold van de symmetriegroep niet-oriënteerbaar is, en dus over een kruiskap beschikt. We noteren de aanwezigheid van een kruiskap met een, die we achteraan noteren. We halen deze notatie ook uit het oorspronkelijk patroon door aan het bovenbeschreven pad een toe te kennen. Als laatste is er nog een mogelijkheid dat in het patroon herhaling voorkomt die niet te verklaren is doormiddel van spiegelsymmetrie, rotatiesymmetrie of glijspiegeling. In dat geval treedt er een paar van twee paden op van een deel van het motief naar twee identieke kopieën van het motief. Dit verschijnsel zorgt ervoor dat de orbifold van de groep beschikt over een hendel. We geven de aanwezigheid van een hendel weer doormiddel van een, die we vooraan noteren. 13

16 Figuur 2.6: Deze figuur zien we dat de spiegellijnen parallel lopen. De spiegellijnen zijn echter het beeld van elkaar onder een verschuiving. We kunnen een pad vinden van een deel van het patroon naar een spiegelbeeld daarvan zonder daarbij een spiegellijn te doorsnijden. Er treedt dus glijspiegeling op. De orbifold is dus een Möbiusband. Het orbifoldsymbool is. Figuur 2.7: In deze figuur zien we een patroon waarvan de groep enkel translatiesymmetrie in twee verschillende richtingen bevat. De orbifold is een torus. De notatie die we gebruiken is daarom. Dit is de enige behangpatroongroep waarin het teken voorkomt. 14

17 2.3 Algemene orbifoldnotatie We hebben gezien dat we bij elke symmetriegroep een orbifold kunnen construeren, en dat we de orbifold kunnen beschrijven aan de hand van randen, randpunten, kegelpunten, kruiskappen en hendels. Door deze uiterlijke kenmerken op de hierboven vermelde manier te noteren, krijgen we bij de orbifold een orbifoldsymbool: AB... C ab... c a b... c. We moeten echter nog aantonen dat we met deze notatie daadwerkelijk elke orbifold van een symmetriegroep uniek kunnen classificeren. In het volgende hoofdstuk zullen we laten zien dat de orbifoldnotatie een compleet classificatiesysteem is. Als we vervolgens alle mogelijke orbifolds kunnen vinden die overeenstemmen met symmetriegroepen van het Euclidische vlak, het boloppervlak en het hyperbolische vlak hebben we een complete classificatie van symmetriegroepen. 15

18 Hoofdstuk 3 Orbifoldclassificatie en de orbifold Euler-karakteristiek In dit hoofdstuk zullen we laten zien dat we met de orbifoldnotatie elke mogelijke orbifold van een symmetriegroep kunnen noteren. We zullen dit doen met behulp van de classificatiestelling van oppervlakken. 3.1 Classificatie van oppervlakken Vanaf nu spreken we af dat we met een oppervlak een 2-dimensionale variëteit bedoelen. Er is bewezen door Tibor Rado in 1925 dat elke compacte 2-dimensionale variëteit trianguleerbaar is. Dit houdt in dat we elk compact oppervlak kunnen beschrijven als een eindige disjuncte collectie driehoeken, waarbij de zijdes van de driehoeken aangeven hoe de driehoeken bij elkaar moeten worden gebracht Gesloten oppervlakken We zeggen dat een compact oppervlak gesloten is als er een triangulatie is zodat alle zijdes in de triangulatie onderdeel zijn van exact twee driehoeken. Stelling 3.1 (Classificatiestelling van gesloten oppervlakken). Zij X een compact gesloten samenhangend oppervlak dan is X homeomorf met één van de volgende ruimtes: 1. het boloppervlak S 2 2. het boloppervlak met n hendels 3. het bolopperlvak met n kruiskappen Er zijn verschillende manieren gevonden om deze stelling te bewijzen. Wij gaan de stelling bewijzen met behulp van de constructie van Stilwell ([6]). Een meer recent en alternatief bewijs is Conway s ZIP-bewijs (Zero Irrelevance Proof) [10]. Voordat we met het bewijs beginnen gaan we kijken hoe we een topologisch probleem kunnen omvormen tot een combinatorisch probleem. Stel we hebben een compact gesloten samenhangend oppervlak X en een willekeurige triangulatie. We beweren nu dat we het oppervlak 16

19 open kunnen knippen langs een aantal zijdes van de triangulatie, zodanig dat we een vlak polygoon P overhouden. Deze polygoon voldoet aan de volgende eisen: 1. Het aantal zijdes op de rand is even. 2. De polygoon is samenhangend. 3. De polygoon is enkelvoudig samenhangend. Als we het oorspronkelijke oppervlak weer terug willen krijgen moeten we iedere zijde op de rand van de polygoon uniek met een andere zijde identificeren. Om deze plakinformatie te coderen kennen we aan de rand een schema toe. Dit houdt in dat we aan iedere zijde op de rand een letter en een richting toekennen, waarbij twee zijdes dezelfde letter krijgen als ze met elkaar worden geïdentificeerd. Om aan te geven in welke richting twee zijdes bij elkaar komen, kennen we aan iedere zijde ook een pijl toe. We kunnen dit schema eenvoudig weergeven in een woord α door in een vaste richting langs de rand te lopen en de letters te noteren, zeg a voor een zijde met de klok mee en a 1 voor een zijde in tegengestelde richting. Als het woord een deelverzameling van de vorm... aba 1 b 1... bevat dan zorgt dit na de identificatie voor een hendel in het gesloten oppervlak. Als het woord een deelverzameling van de vorm... aa... ofwel... a 2... bevat dan resulteert dit na de identificatie in een kruiskap. Figuur 3.1: We zien hier een polygoon met woord bab 1 a 1 als schema voor de torus (het boloppervlak met 1 hendel), en een polygoon met woord aba 1 b als schema voor de fles van Klein (het boloppervlak met 2 kruiskappen). We zijn vrij de polygoon (P, α) te veranderen doormiddel van de volgende operaties: Trek een rechte lijn, geef die een label en richting en snijd de polygoon langs de lijn in twee stukken. Plak twee zijdes met dezelfde letter samen in de juiste richting. We moeten er bij deze operaties wel voor zorgen dat de polygoon samenhangend en enkelvoudig samenhangend blijft. Bij het omvormen van de polygoon ontstaat dan steeds een nieuw polygoon P met een nieuw woord α. Het gesloten oppervlak X dat we na identificatie 17

20 krijgen is homeomorf met het oorspronkelijke oppervlak X. (P, α) identificatie X knip/plak = (P, α ) identificatie X Het bewijs volgt door het correct doorlopen van de volgende constructie, die we overnemen van Stilwell ([6]). Deze constructie laat zien dat ons polygoon altijd te veranderen is in één van de volgende drie vormen: 1. Het boloppervlak, symbolisch weergegeven met aa Het boloppervlak met n hendels, symbolisch weergegeven met a 1 b 1 a 1 1 b a n b n a 1 n 3. Het boloppervlak met n kruiskappen, symbolisch weergegeven met a 2 1 a a2 n. b 1 n. Figuur 3.2 Bewijs. Zij X een compact gesloten samenhangend oppervlak en kies een triangulatie. Knip het oppervlak langs een aantal zijdes van de triangulatie totdat we een vlak samenhangend en enkelvoudig samenhangend polygoon (P, α) hebben. We gaan deze polygoon knippen en plakken met de volgende constructie. Het is eenvoudig na te gaan dat na het uitvoeren van elke stap in de constructie de polygoon samenhangend en enkelvoudig samenhangend blijft. Stap 1: Eliminatie opheffende paren Als de rand van de polygoon een aangrenzend paar in tegengestelde richting bevat... aa 1... dan noemen we dit een opheffend paar. We kunnen dit paar uit het schema verwijderen met de constructie uit figuur 3.3 als de polygoon vier zijdes of meer bevat. We doen dit voor 18

21 alle opheffende paren. Als de rand van de polygoon enkel uit opheffende paren bestaat dan hebben we te maken met het boloppervlak. Figuur 3.3 Stap 2: Eliminatie van verschillende puntklassen We zeggen dat de polygoon een enkel punt heeft als alle punten in de rand van de polygoon samenkomen tot één punt bij het samenvoegen van de zijdes. Enkel het boloppervlak heeft twee verschillende punten omdat het schema als uitzondering enkel uit een opheffend paar bestaat. In ieder ander geval kunnen we de polygoon omvormen tot een polygoon met een enkel punt. Stel de polygoon bevat punten die we in verschillende klassen kunnen onderverdelen. Neem zijde a waar eindpunten P,Q tot verschillende klassen behoren. Door nu de constructie uit figuur 3.4 toe te passen verminderen we het aantal punten in de equivalentieklasse van Q met 1. We moeten dan wel aannemen dat het uiteinde van c geen punt uit de klasse van Q is. We kunnen deze constructie herhalen totdat we één enkel punt in de klasse Q overhouden. We kunnen vervolgens deze klasse totaal elimineren omdat Q bevat is tussen een opheffend paar (zie figuur 3.5). Figuur 3.4 Figuur 3.5 Op dezelfde wijze elimineren we alle andere equivalentieklassen totdat er één klasse overblijft. 19

22 Als we uiteindelijk een polygoon overhouden met één equivalentieklasse, blijft dit de enige klasse als de polygoon verder gaan snijden en plakken. Stap 3: Kruiskap normalisatie We kunnen een paar in dezelfde richting... a... a... vervangen door een aangrenzend paar in dezelfde richting... cc... door de constructie van figuur 3.6 toe te passen. Elk aangrenzend paar blijft onder deze constructie aangrenzend dus we kunnen de handeling herhalen totdat elk paar in dezelfde richting aan elkaar grenst. Figuur 3.6 Stap 4: Hendel normalisatie Als er na stap 2 en stap 3 nog paren voorkomen in tegengestelde richting moeten deze voorkomen als gekruiste paren... a... b... a 1... b 1... in de rand van de polygoon. Stel... a... a 1... is niet gescheiden door een ander paar met tegengestelde richting, dan hebben we het geval van figuur 3.7. Door de handelingen in stap 3 is elke zijde in α is geïdentificeerd met een andere zijde in α, analoog voor de zijdes in β. Maar dan is het onmogelijk voor de uiteinden van a om samen te vallen in één punt, wat in tegenspraak is met stap 2. Figuur 3.7 We kunnen nu twee gekruiste paren van tegengestelde richting vervangen door een hendel met de constructie van figuur 3.8. Het is eenvoudig na te gaan dat ieder ander paar met tegengestelde richting in de rand tegengesteld blijft onder deze constructie, dus we herhalen deze stap totdat we alle gekruiste paren hebben omgevormd tot hendels. Als we na deze stap enkel een polygoon overhouden met paren in tegengestelde richting dan hebben we het boloppervlak met n hendels, schematisch weergegeven in figuur

23 Figuur 3.8 Figuur 3.9 Stap 5: Metamorfose van hendel naar kruiskap In het algemene geval hebben we na het doorlopen van stap 1 tot en met stap 4 een rand met enkel hendels en kruiskappen. De rand moet dan beschikken over minimaal één overgang... aabcb 1 c 1... die we kunnen omvormen tot drie kruiskappen met de constructie van figuur Als we vervolgens in een juiste volgorde stap 3 toepassen dan krijgen we drie kruiskappen na elkaar. Deze constructie laat de gestippelde rand met rust en er zullen geen nieuwe hendels opduiken. Op deze manier kunnen we iedere hendel wegwerken en houden we enkel kruiskappen over. Hieruit volgt dat als de oorspronkelijke polygoon in de rand een paar bevat met dezelfde richting, het altijd in een sfeer met n kruiskappen te vormen is. 21

24 Figuur 3.10 Figuur 3.11 De bovenstaande constructie reduceert ieder samenhangend gesloten oppervlak tot één van de volgende: 1. Het boloppervlak, symbolisch weergegeven met aa Het boloppervlak met n hendels, symbolisch weergegeven met a 1 b 1 a 1 1 b a n b n a 1 n 3. Het boloppervlak met n kruiskappen, symbolisch weergegeven met a 2 1 a a2 n. b 1 n. Figuur

25 3.1.2 Oppervlakken met rand Een compact samenhangend oppervlak met rand is een compact samenhangend gesloten oppervlak met een eindig aantal gaten (een eindig aantal open schijven verwijderd). Een compact samenhangend oppervlak met rand is dus homeomorf met één van de volgende ruimtes: 1. Het boloppervlak met m gaten ( m ). 2. Het boloppervlak met n hendels en m schijven verwijderd ( n m ). 3. Het boloppervlak met n kruiskappen en m schijven verwijderd ( m n ). Figuur De Euler-karakteristiek Definitie 3.2. Zij X een oppervlak, en zij (V, E) een willekeurige kaart op het oppervlak, bijvoorbeeld een triangulatie. We definiëren de Eulerkarakteristiek χ als χ = V E + F waarbij V het aantal punten, E het aantal zijdes, en F het aantal facetten van de kaart is. Het getal χ = V E + F hangt niet af van de gekozen kaart: Als we een zijde verdelen in twee zijdes door toevoeging van een punt, vergroten we V en E allebei met +1. Als we een facet in twee stukken delen door toevoeging van een zijde dan vergroten we E en F allebei met +1. We zien hier ook met behulp van het schema van de het boloppervlak S 2 dat χ = V E + F = = 2. Aangezien de Eulerkarakteristiek onafhankelijk is van de gekozen kaart zien we dat Het toevoegen van een gat ( ) vermindert de Eulerkarakteristiek met 1. 23

26 Het toevoegen van een hendel ( ) vermindert de Eulerkarakteristiek met 2. Het toevoegen van een kruiskap ( ) vermindert de Eulerkarakteristiek met 1. Deze informatie kunnen we gebruiken om in te zien dat de bovengenoemde oppervlakken topologisch verschillend van elkaar zijn. Dit is omdat ( n m ) oriënteerbaar is met χ = 2 m 2n terwijl ( m n ) (n > 0) niet-oriënteerbaar is met χ = 2 m n. 3.2 Orbifoldclassificatie Omdat de onderliggende structuur van een orbifold een oppervlak is kunnen we de bovenstaande informatie gebruiken om de topologische eigenschappen van een orbifold te classificeren. Een orbifold verschilt echter van een oppervlak omdat het lokale eigenschappen kan bevatten die veroorzaakt worden door vaste punten van symmetrieën uit de symmetriegroep. We hebben al gezien dat deze vaste punten enkel overeen kunnen komen met hoekpunten op de rand of kegelpunten. Dit houdt in dat we elke orbifold kunnen classificeren aan de hand van hendels, kruiskappen, randen met hoekpunten en kegelpunten: } {{ } AB }{{... C} hendels kegelpunten } ab..{{. c a b... c } randen met hoeken }{{} kruiskappen De orbifoldnotatie is een compleet classificatiesysteem. We verwijzen naar de literatuur ([4]) om aan te tonen dat twee orbifolds met dezelfde notatie op isotopie na gelijk zijn De orbifold Eulerkarakteristiek We kunnen nu ook de Eulerkarakteristiek van een orbifold bekijken. Ook hier beschouwen we een triangulatie van de orbifold en definiëren we de orbifold Eulerkarakteristiek als χ orb = v e + f, waarbij v het aantal punten, e het aantal lijnen, en f het aantal facetten van de triangulatie is. We nemen hier echter een aantal dingen in acht. Aangezien we hebben aangetoond dat de Eulerkarakteristiek invariant is onder de triangulatie, nemen we aan dat de hoekpunten van de rand en de kegelpunten bevat zijn in de puntenverzameling van de triangulatie. Vervolgens krijgt ieder punt in de triangulatie waarde 1 k als k de orde van de symmetrie is die het punt vasthoudt. Dit houdt dus in dat: Iedere punt en lijn op de rand krijgt waarde 1 2. Ieder kegelpunt van orde n krijgt waarde 1 n. Ieder hoekpunt van grootte π n krijgt waarde 1 2n. Opmerking. Merk op dat de χ en χ orb verschillend van elkaar kunnen zijn. 24

27 Figuur 3.14: Voor het bovenstaande vierkant (notatie 2222) geldt χ = V E + F = = 1 maar χ orb = v e + f = ( ) ( ) + 1 = 0 Stelling 3.3. Zij G een symmetriegroep werkend op het boloppervlak S 2 van orde G. Als Q G de orbifold van G is dan geldt χ orb (Q G ) = 2 G. Bewijs. Neem een kaart met symmetriegroep G op S 2, en zij V, E, F de verzameling punten, lijnen en respectievelijk facetten van de kaart. Aangezien de groep op het boloppervlak werkt is de orde van G eindig. De verzameling punten, lijnen en facetten van de kaart zijn de beelden van de orbifold onder werking van de groep G, dus er geldt V = v G, E = e G en F = f G met v, e en f de verzameling punten, lijnen en facetten van de orbifold. Er geldt V E + F = 2 voor iedere kaart op het boloppervlak dus χ orb (Q G ) = v e + f = V E + F G = 2 G. Stelling 3.4. Zij G een symmetriegroep werkend op het Euclidische vlak, en zij Q G de orbifold van G. Dan geldt χ orb (Q G ) = 0. Voor het bewijs van deze stelling nemen we het bewijs van Conway ([1] p.227) over. Bewijs. Neem een kaart in het vlak met symmetriegroep G, en zij Q G de bijbehorende orbifold. Stel χ orb (Q G ) = v e + f. Neem een cirkel van straal R met R groot genoeg gekozen en verwijder alles wat buiten de cirkel valt. Wikkel de verkregen disk D R van de kaart om een grote bol zodat we een kaart op het boloppervlak krijgen. Als N het aantal kopieën van de orbifold is die compleet bevat zijn in de disk D R, dan komen getallen V,E en F van de kaart op de disk in de buurt van Nv,Ne en Nf. Aangezien het oppervlak van D R gelijk is aan πr 2, zal het getal N ongeveer gelijk zijn aan kr 2 voor een zekere k > 0. De verschillen V Nv, E Ne en F Nf zijn begrensd door veelvouden van R omdat de extra punten lijnen en facetten behoren tot kopieën van de orbifold die buiten de omtrek van de disk liggen. De omtrek heeft lengte 2πR, dus dit aantal kopieën is in verhouding met R. We kunnen daarom stellen dat (V Nv) (E Ne) + (F Nf) < cr voor een zeker getal c, en dus χ orb (Q G ) = v e + f < V E + F + cr N < 2 + cr kr 2. Er geldt dat dus χ orb (Q G ) = 0. lim 2 + cr kr 2 = 0 R 25

28 3.2.2 De kosten van een orbifoldsymbool Hoe kunnen we bij een gegeven orbifold Q de χ orb (Q) bepalen met het orbifoldsymbool? We hebben bewezen dat we elke orbifold kunnen verkrijgen uit het boloppervlak door het toevoegen van gaten, hendels, kruiskappen, hoekpunten en kegelpunten. Er geldt dat χ orb (S 2 ) = 2 en net als bij de gewone Eulerkarakteristiek geldt: het verwijderen van een schijf ( ) vermindert χ orb met 1. het toevoegen van een hendel ( ) vermindert χ orb met 2. het toevoegen van een kruiskap ( ) vermindert χ orb met 1. Als we nu ook de vaste punten in beschouwing nemen zien we dat: als we een punt vervangen door een kegelpunt van orde n, dan houden we nog 1 n punt over, dus we verminderen χ orb met 1 1 n = n 1 n. als we een punt op de rand vervangen door een hoekpunt van π n over dus verminderen we χ orb met n = n 1 2n. dan houden we nog 1 2n Uit deze informatie volgt dat ieder teken in het orbifoldsymbool zijn eigen prijs heeft. Deze prijzen staan overzichtelijk in de onderstaande kostentabel [3]. Om bij een gegeven orbifold Q de orbifold Eulerkarakteristiek te bepalen hoeven we dus alleen maar te kijken naar hoe duur het orbifoldsymbool is, en dit bedrag van 2 af te halen. Tabel 3.1: De kostentabel Symbool Prijs Symbool Prijs 2 of N 1 N 1 N N N 2N We hebben dus bij elke orbifold de volgende kostenformule: χ orb (Q) = 2 kosten 26

29 Hoofdstuk 4 De classificatie van symmetriegroepen In dit hoofdstuk zullen we een classificatie van symmetriegroepen geven. We gaan dit doen door eerst een complete classificatie van de orbifolds te geven. Als we vervolgens kunnen aantonen welke orbifolds de quotiëntruimte van een symmetriegroep zijn hebben we een classificatie van de symmetriegroepen. Uit het vorige hoofdstuk volgt dat χ orb (Q G ) = 2 kosten > 0, χ orb (Q G ) = 2 kosten = 0, voor symmetriegroepen die werken op S 2 en respectievelijk E 2. In het classificeren van de orbifolds Q waarbij χ orb (Q) een gegeven waarde heeft, volstaat het om in eerste instantie te kijken naar de orbifolds waarbij het orbifoldsymbool enkel bestaat uit één of meerdere gevolgd door enkel cijfers, aangezien de volgende degradaties uit tabel 4.1 ([1]) de waarde van χ orb (Q) invariant laten. Enkel in het eerste geval moet AB... C het volledige orbifoldsymbool zijn, en wordt de waarde van χ orb (Q) gehalveerd. De laatste drie behouden de waarde van χ orb (Q) en mogen ook lokaal uitgevoerd worden. AB... C degradatie AB... C promotie (laatste) AA degradatie promotie degradatie promotie degradatie promotie A Tabel 4.1: Promoties en degradaties 27

30 4.1 Behangpatroongroepen Stelling 4.1. Er zijn precies 17 verschillende behangpatroongroepen. Bewijs. Zij G een behangpatroongroep, en zij Q G de orbifold van G. Uit stelling (4.1) en de kostenformule volgt dat χ orb (Q G ) = 2 kosten = 0. Om te kijken welke orbifolds aan deze vergelijking voldoen gaan we kijken welke orbifoldsymbolen exact 2 kosten. Na het uitvoeren van de bovengenoemde degradaties beschouwen we eerst de orbifolds met orbifoldsymbool ab... c. Deze orbifolds voldoen aan de vergelijking χ orb (Q G ) = 2 1 a 1 2a b 1 c 1 = 0, 2b 2c oftewel a 1 + b c 1 = 2. a b 2 De enige oplossingen die hieraan voldoen zijn 632, 442, 333 en Als twee aanwezig zijn, hebben we voor Q G als enige mogelijkheid het symbool, aangezien dit symbool al waarde 2 heeft. Als we vervolgens de promoties uit tabel 4.1 uitvoeren, volgt dat de enige mogelijkheden zijn: Tabel 4.2: De 17 behangpatroongroepen Het enige wat we nu nog moeten inzien is dat elke bovengenoemde orbifold de quotiëntruimte van een behangpatroongroep is. Zie hiervoor figuur 4.1 met visualisaties van de 17 behangpatroongroepen. 28

31 Figuur

32 4.2 Bolpatroongroepen Stelling 4.2. Er zijn precies 14 verschillende klassen van bolpatronen Bewijs. Zij G een bolpatroongroep, en zij Q G de orbifold van G. kostenformule volgt dat χ orb (Q G ) = 2 kosten = 2 G > 0. Uit stelling (4.1) en de Om te kijken welke orbifolds mogelijk zijn moeten we uitzoeken welke orbifoldsymbolen goedkoper dan 2 zijn. Net zoals bij de behangpatroongroepen, beschouwen we eerst de orbifolds met orbifoldsymbool ab... c, en merken we op dat het voor een orbifold van een bolpatroongroep niet mogelijk is om meer dan één in het orbifoldsymbool te hebben. Deze orbifolds voldoen aan de vergelijking χ orb (Q G ) = 2 1 a 1 2a b 1 c 1 > 0, 2b 2c oftewel a 1 + b c 1 < 2. a b 2 De enige mogelijke oplossingen die aan deze vergelijking voldoen zijn 532, 432, 332, 22n en mn, waarbij m = 1 of n = 1 is toegestaan. Echter, een orbifold van een bolpatroongroep kan enkel mn als symbool hebben wanneer m = n. Stel dat m n, dan zou dit betekenen dat de oorspronkelijke bolpatroongroep exact twee vaste punten zou hebben, maar van ongelijke orde. Dit is voor het boloppervlak onmogelijk. Vanuit de 532, 432, 332, 22n en nn volgen nu met behulp van de promoties uit tabel 4.1 de volgende 14 klassen: n nn n n n n nn Tabel 4.3: De bolpatroongroepen Ook hier moeten we aantonen dat alle orbifolds in de tabel overeenkomen met een bolpatroongroep. Ook dit is voor elk afzonderlijk geval na te gaan, ze hiervoor de tabel in figuur Strookpatroongroepen Stelling 4.3. Er zijn precies 7 verschillende strookpatroongroepen. Bewijs. De strookpatronen worden gevormd door de symmetrieën van het vlak, en herhalen zich in één richting. Als we een eindig stuk van een strookpatroon nemen en deze om de evenaar van een bol wikkelen, zien we dat de bijbehorende symmetriegroep overeenkomt met één van de bolpatroongroepen met een variabele n. We verkrijgen de strookpatroongroepen dus uit de 7 mogelijke bolpatroongroepen met een variabele n, door vervolgens de n naar oneindig te sturen. We krijgen dan de volgende groepen: 30

33 Tabel 4.4: De 7 strookpatroongroepen 4.4 De hyperbolische groepen De symmetriegroepen die werken op het hyperbolische vlak zijn op dezelfde manier te classificeren als de symmetriegroepen die werken op het Euclidische vlak of het boloppervlak. Als G een symmetriegroep is die werkt op het hyperbolische vlak dan geldt voor de orbifold Q G dat χ orb (Q G ) < 0. Dit heeft tot gevolg dat er oneindig veel verschillende hyperbolische symmetriegroepen zijn. Figuur 4.3: Dit figuur heeft orbifoldnotatie 237. Er geldt χ orb = =

34 Figuur

35 Populaire samenvatting Om ons heen zijn veel symmetrische objecten en patronen te vinden. Patronen die zich in twee verschillende richtingen voortzetten noemen we behangpatronen. Deze patronen vinden we niet alleen op het behang; ook onze badkamertegelingen, straatbetegelingen en ruitjespapier zijn voorbeelden van behangpatronen. Ze zijn ook rijkelijk aanwezig in kunst en architectuur, bijvoorbeeld in het werk van graficus M.C. Escher en de Islamitische tegelpatronen. Als we met een wiskundige bril naar deze patronen kijken dan zien we dat bijvoorbeeld spiegelingen, rotaties, glijspiegelingen en verschuiving het patroon in zichzelf laten overvloeien. We noemen deze verschijnselen de symmetrieën van het patroon. Een symmetrie is niets anders dan een transformatie die ervoor zorgt dat het patroon er na de transformatie exact hetzelfde uitziet. Een symmetrie van een patroon heeft dus eigenlijk hetzelfde effect als niets doen. Als we alle symmetrieën van een patroon verzamelen dan vormt deze verzameling een groep. We noemen deze groep de symmetriegroep, of ook wel de behangpatroongroep van het patroon. Als we naar de behangpatroongroep kijken dan heeft deze groep oneindig veel elementen omdat het patroon zich oneindig ver kan voortbewegen. We kunnen de behangpatronen classificeren aan de hand van hun symmetriegroep. Een zeer verwonderlijk feit is dat er maar 17 verschillende behangpatroongroepen mogelijk zijn. Als we twee patronen als gelijk beschouwen wanneer ze dezelfde behangpatroongroep hebben dan zijn er dus maar 17 verschillende behangpatronen mogelijk! De orbifoldnotatie Een manier om aan te tonen dat er slechts 17 verschillende behangpatroongroepen zijn, is door ze te classificeren met de orbifoldnotatie. Deze notatie kent aan iedere symmetriegroep een orbifoldsymbool toe. Dit symbool beschrijft met een aantal cijfers en tekens welke symmetrische eigenschappen een bijbehorend patroon heeft. De juiste notatie verkrijgen we door het doorlopen van het volgende stappenplan: Als het patroon lijnspiegeling bevat dan geven we dat weer met een. Het kan voorkomen dat verschillende spiegellijnen elkaar snijden in een punt. We spreken dan van een n-voudig spiegelpunt. Dit punt noteren we met het getal n achter de. 33

36 Als het patroon rotatiesymmetrie bevat, en over een rotatiecentrum beschikt dat niet overeenkomt met een n-voudig spiegelpunt, dan spreken we over een n-voudig draaipunt. We noteren ieder n-voudig draaipunt met het getal n. Als het patroon ook lijnspiegeling bevat dan noteren we dit getal vóór de. Als we in het patroon een pad kunnen vinden van een deel van het patroon naar een spiegelbeeld van dat deel zonder een spiegellijn te doorsnijden dan hebben we te maken met glijspiegeling. We geven dit weer met een, die we achteraan noteren. Als we het patroon enkel kunnen verschuiven, en het patroon dus niet beschikt over spiegeling, rotatie of glijspiegeling dan geven we dat weer met een. Als we het bovengenoemde stappenplan correct doorlopen dan is het mogelijk bij elk behangpatroon aan te geven welke symmetriegroep het patroon heeft. Voorbeelden kunnen we zien in hoofdstuk 2. De prijs van een orbifoldsymbool Om aan te tonen dat er slechts 17 behangpatroongroepen zijn volstaat het om aan te tonen dat er voor ieder patroon maar 17 verschillende symbolen mogelijk zijn. We doen dit door te stellen dat ieder teken en cijfer in het orbifoldsymbool zijn eigen prijs heeft. De totale prijs voor een heel symbool moet uiteindelijk gelijk zijn aan 2. In de onderstaande kostentabel zien we wat de prijzen zijn: Symbool Prijs Symbool Prijs 2 of N 1 N 1 N N N 2N De enige mogelijke combinaties voor een symbool die exact 2 kosten zijn: Om in te zien welke patronen bij deze groepen horen kunnen we kijken naar figuur 4.1 op pagina 27 van dit artikel. Op gelijke wijze als hierboven beschreven is het mogelijk aan te tonen dat er exact 14 verschillende klassen van bolpatronen mogelijk zijn, en exact 7 verschillende strookpatroongroepen. 34

37 Bibliografie [1] John H. Conway, Heidi Burgiel and Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things, 1th edition, AK Peters, Ltd., [2] J.H. Conway and D.H. Huson, The Orbifold Notation for Two-Dimensional Groups, Structural Chemistry, 13, (3/4), 2002, p [3] J.H. Conway, The Orbifold Notation for Surface Groups, In: M. W. Liebeck and J. Saxl (eds.), Groups, Combinatorics and Geometry, Proceedings of the L.M.S. Durham Symposium, July 515, Durham, UK, 1990; London Math. Soc. Lecture Notes Series 165. Cambridge University Press, Cambridge. p [4] W. Thurston, The Geometry and Topology of Three-manifolds, Electronic version 1.1 Princeton University, 2002, p gt3m/. [5] H. Coxeter and W. Moser, Generators and Relations for Discrete Groups, Springer Berlin, [6] J. Stilwell, Classical Topology and Combinatorial Group Theory, Springer Berlin, [7] Slavik V. Jablan, Theory of Symmetry and Ornament, Beograd: Matematički institut, [8] Jan van de Craats, Islamitische Ornamentiek, NAW, 5/6, 2005, p [9] Michael W. Davis, Lectures on orbifolds and reflection groups, Notes for the lectures in the Summer School on Transformations Groups and Orbifolds, Zhejiang University Hongkong, [10] Francis, George K.; Weeks, Jeffrey R, Conway s ZIP Proof American Mathematical Monthly 106 (5), 35