MARKOVIAANSE ANALYSE VAN VOORRAADBEHEER VOOR BEDERFELIJKE GOEDEREN

Transcriptie

1 UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR MARKOVIAANSE ANALYSE VAN VOORRAADBEHEER VOOR BEDERFELIJKE GOEDEREN Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van Master of Science in de Toegepaste Economische Wetenschappen: Handelsingenieur Famke De Ro onder leiding van prof. dr. ir. Dieter Fiems en prof. dr. ir. Herwig Bruneel

2

3 UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR MARKOVIAANSE ANALYSE VAN VOORRAADBEHEER VOOR BEDERFELIJKE GOEDEREN Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van Master of Science in de Toegepaste Economische Wetenschappen: Handelsingenieur Famke De Ro onder leiding van prof. dr. ir. Dieter Fiems en prof. dr. ir. Herwig Bruneel

4 Toelating tot bruikleen De auteur geeft de toelating dit afstudeerwerk voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van het afstudeerwerk te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit dit afstudeerwerk. Famke De Ro 6 augustus 2014 i

5 Woord vooraf Deze masterproef vormt het slotstuk van mijn opleiding tot Handelsingenieur aan de Universiteit van Gent en is mede tot stand gekomen door het toedoen van heel wat personen. Daarom zou ik graag van de gelegenheid gebruik maken om iedereen te bedanken die heeft bijgedragen tot de verwezenlijking van dit eindwerk. Vooreerst wil ik mijn dank betuigen aan prof. Dieter Fiems en prof. Herwig Bruneel voor het aanreiken van dit onderwerp. In het bijzonder wil ik professor Dieter Fiems bedanken voor de begeleiding en feedback die hij me gedurende het afgelopen jaar bood. Verder wil ik mijn ouders bedanken voor hun steun en aanmoedigende woorden die mij doorheen deze uitdaging geholpen hebben. Ook Wouter en Marie verdienen een bijzonder woord van dank voor het nalezen van deze scriptie. Tenslotte bedank ik ook mijn vrienden voor hun onvoorwaardelijke geloof in de goede afloop van deze opdracht en voor het voorzien van de nodige ontspanning. ii

6 Inhoudsopgave Lijst van afkortingen Lijst van figuren Lijst van tabellen Inleiding v viii x xi 1 Voorraadbeheer Het waarom van voorraden Kosten verbonden aan voorraadbeheer Hoofdkenmerken van voorraadsystemen Vraag Levertijd Bevoorradingsbeleid Vraagoverschot Andere factoren Economic Order Quantity model Basis Economic Order Quantity model Uitbreidingen op het EOQmodel Voorraadbeheer bij bederfbare goederen Lost sales Onderzoeksmethodologie Markov-ketens met discrete toestandsruimte Discrete-tijd Markov-ketens Continue-tijd Markov-ketens Simulated Annealing Combinatorische optimalisatieproblemen Oplossingsmethodes iii

7 3 Initieel model Assumpties Vraag Levertijd Voorraadbeheer met continue herziening en vaste ordergrootte Lost sales Bederfbaarheid Kostenmodel Model Inleiding Uitwerking Voorraadkost Numerieke voorbeelden en discussie Invloed van houdbaarheid Voorraadsysteem met Erlang verdeelde levertijden Assumpties Phase-type distributies Erlang verdeelde levertijd Model Inleiding Uitwerking Voorraadkost Numerieke voorbeelden en discussie Invloed van k bij constante waarden van N en T Invloed van k bij variabele bestelgroottes Invloed van k Invloed van houdbaarheid Voorraadmodel met versheidsgradaties Assumpties Bederfbaarheid First In First Out Model Inleiding Uitwerking Voorraadkost Numerieke voorbeelden en discussie Invloed van houdbaarheid Algemene conclusie en verder onderzoek 75 Algemeen besluit Mogelijkheden tot verder onderzoek iv

8 Lijst van afkortingen Hoofdstuk 1: Voorraadbeheer C h C o Holdingkost per eenheid per jaar Bestelkost per bestelling D Jaarlijkse vraag in eenheden d i Variabele vraag gedurende levertijd in bevoorradingscyclus i EOQ Economic Order Quantity L Levertijd P Aankoopprijs per eenheid Q Bestelgrootte in eenheden Q* Optimale bestelgrootte ROP Reorder Point T C Totale kost van bestelpolitiek per jaar Variabele levertijd in bevoorradingscyclus i t i Hoofdstuk 2: Onderzoeksmethodologie π j Ω f M P p n ij P n Q q i q ij T T n X t Steady-state kans voor toestand j Toestandsruimte Waarderingsfunctie Aantal mogelijke toestanden Kans n-staps stationaire overgangswaarschijnlijkhied van toestand i naar j n- staps overgangsmatrix Intensiteitmatrix Overgansintensiteit uit toestand i Overgansintensiteit uit toestand i naar j Tijdsparameter Controleparameter Toestand op tijdstip t v

9 Hoofdstuk 3, 4 en 5 λ A B c b c h c p D H K L P N S T Z Parameter van de exponentiële verdeling van de inter-demandtijd Intensiteitmatrix Totale bestelkost Kost per bestelling Holdingkost per eenheid Kost per vervallen product Inter-demandtijd Totale holdingkost Totale kost van voorraadbeheer Levertijd Totale kost van vervallen producten Maximaal aantal eenheden in voorraad Stock-out kost Drempelwaarde Houdbaarheidsperiode Hoofdstuk 3: Initieel model α β π i n Parameter van de exponentiële verdeling van de houdbaarheidsperiode Parameter van de exponentiële verdeling van de levertijd Steady-state kans voor voorraadniveau i Aantal eenheden in voorraad Hoofdstuk 4: Model met Erlang verdeelde levertijden α Parameter van de exponentiële verdeling van de houdbaarheidsperiode kβ Parameter van de k-erlang verdeling van de levertijd µ i Initiële kans dat het systeem start in toestand i π n,x Steady-state kans dat voorraadniveau n is en bestelling zich in fase k bevindt τ Tijd tot absorptie Ω Toestandsruimte EI Lange-termijn gemiddelde voorraadniveau EL Gemiddelde levertermijn k Aantal fases van Erlang verdeling M Aantal transiënte toestanden n Aantal eenheden in voorraad P H Phase-type V arl Variantie van levertijd x Fase waarin een bestelling zich bevindt vi

10 Hoofdstuk 5: Voorraadmodel met versheidsgradaties α π i,j FEFO FIFO i j Parameter van de exponentiële verdeling van de verse en minder verse periode Steady-state kans op i verse en j minder verse goederen in voorraad First Expired First Out First In First Out Aantal verse producten in voorraad Aantal minder verse producten in voorraad vii

11 Lijst van figuren 1.1 Opbouw totale kost voorraadbeheer EOQ model: evolutie van het voorraadniveau in de tijd EOQ model: verschillende componenten voorraadkost EOQ model: evolutie van het voorraadiveau bij een positieve levertijd EOQ model: stochastische vraag en levertermijn Local Search algoritme Simulated Annealing: hill climbing Visuele representatie initieel model Initieel model: invloed van α op optimale N en T Initieel model: invloed van α op totale kost en deelkosten Initieel model: invloed van α op holdingkost bij constante N en T Initieel model: invloed van α op kost van vervallen goederen bij constante N en T Initieel model: invloed van een wijzing in T op π 0 bij constante N = Initieel model: invloed van een wijzing in N op π 0 bij constante N T = Initieel model: invloed van een wijzing in N op π 0 bij constante T = Initieel model: invloed van een wijzing in N op alle deelkosten bij constante N T = Initieel model: invloed van een wijzing in N op alle deelkosten bij constante T = Erlang verdeling: invloed van k bij constante β = Visuele representatie voorraadmodel met Erlang verdeelde levertijd Model met k-erlang verdeelde levertijd: invloed van k bij constante N en T Model met k-erlang verdeelde levertijd: invloed van k op π n en EI bij constante N en T Model met k-erlang verdeelde levertijd: invloed van k en N T Model met k-erlang verdeelde levertijd: invloed van k op π 0 en EI bij constante N Model met k-erlang verdeelde levertijd: invloed van k op de kosten Model met k-erlang verdeelde levertijd: invloed van k op de bestelgrootte Model met k-erlang verdeelde levertijd: invloed van α op N en T bij k = Model met k-erlang verdeelde levertijd: invloed van α op kosten bij k = Exponentieel verdeelde versus Erlang verdeelde levertijd met k = viii

12 4.12 Model met k-erlang verdeelde levertijd: invloed van N op π 0 bij constante N T = Kostenverschil tussen exponentieel verdeelde en Erlang verdeelde levertijd met k = Model met versheidsgradaties: voorbeeld met N = 5 en T = Model met versheidsgradaties: voorbeeld met N = 2 en T = Model met versheidsgradaties: invloed van α op optimale N en T Model met versheidsgradaties: invloed van α op kost Model met versheidsgradaties: invloed van α op het gemiddelde voorraadniveau Vergelijking deelkosten tussen intiële model en model met versheidsgradaties Vergelijking steady-state kansen tussen initiële model en model met versheidsgradaties Model met versheidsgradaties: invloed α op gemiddelde voorraad minder verse goederen Vergelijking van totale voorraadkost K met initiële model ix

13 Lijst van tabellen 1.1 Notatie en gebruikte symbolen EOQ-model Initieel model: gebruikte symbolen Parameterwaarden sectie Voorraadmodel met Erlang verdeelde levertermijn: gebruikte symbolen Parameterwaarden figuur 4.3 en Parameterwaarden figuur 4.5 en Parameterwaarden figuur 4.7 en Parameterwaarden figuur Model met versheidgradaties: gebruikte symbolen Parameterwaarden sectie x

14 Inleiding Het onderwerp van deze thesis situeert zich in het domein van voorraadbeheer. Tegenwoordig wordt zowat elke organisatie in om het even welke sector met voorraden geconfronteerd en vaak brengen deze voorraden enorme investeringen met zich mee. In de huidige tendens van economische internationalisering en mondialisering spreidt de supply chain van vele producten zich bovendien over de hele wereld uit en hiermee gaat onvermijdelijk een verhoogde belangstelling voor voorraadbeheer gepaard. Het strategisch belang van voorraadbeheer heeft de laatste jaren dan ook sterk aan aandacht gewonnen en elke organisatie dient haar voorraden zo kostenefficiënt mogelijk te organiseren teneinde competitief te blijven. Hierbij moet een trade-off gemaakt worden tussen enerzijds het aangehouden voorraadniveau en anderzijds het beoogde customer service level. Hoge voorraden brengen immers heel wat kosten met zich mee, maar zijn vaak onvermijdelijk wil men een minimale productbeschikbaarheid bieden aan klanten. Anderzijds dringt een laag voorraadniveau de kost van het houden van voorraden terug, maar de eventuele voorraadtekorten die zich in dit geval kunnen voordoen, veroorzaken een daling van het aangeboden service level en van de hieraan gelinkte klantentevredenheid, waardoor op zijn beurt aanzienlijke opbrengsten mislopen worden. Rekening houdende met bovenstaande trade-off werden in het verleden al vele wiskundige modellen uitgewerkt die de optimalisatie van het beheer van voorraden beogen. Eén van de meest gekende voorraadbeheersystemen bij klassiek voorraadbeheer is het Economic Order Quantity EOQ model Harris, Niettegenstaande dit model zich op meerdere veronderstellingen baseert, wordt het omwille van zijn eenvoud nog vaak toegepast in de praktijk. Met behulp van het EOQ model worden zowel de optimale drempelwaarde als de optimale bestelhoeveelheid bepaald. Daalt het voorraadniveau onder deze drempelwaarde, dan wordt een bestelling geplaatst om de voorraad aan te vullen. Hierbij wordt een minimalisatie van de totale kost van voorraadbeheer nagestreefd. De inschatting of berekening van deze totale kost wordt beïnvloed door de veronderstellingen die het model vooropstelt. De gemaakte assumpties stroken dikwijls niet met de werkelijke gang van zaken, wat een verlies aan accuraatheid en bruikbaarheid tot gevolg heeft. Daarom werden reeds vele uitbreidingen op bestaande modellen ontworpen met als doel de dynamiek van een werkelijk voorraadsysteem beter te vatten. Ook in deze masterproef wordt beoogd de werkelijkheid beter te vatten, onder meer door het onzekere karakter van zowel de vraag als de levertermijn in rekening te brengen en deze stochastisch te veronderstellen. Daarenboven wordt de levensduur van producten in beschouwing genomen. Een breed gamma producten denken we bijvoorbeeld aan voedingswaren, xi

15 geneesmiddelen, bloed of cosmetica heeft immers een beperkte levensduur en eenmaal deze producten hun houdbaarheidsdatum overschrijden, verliezen ze hun waarde. Dit impliceert een bijkomende kost voor het beheer van voorraden, de zogenaamde verouderingskost van goederen. Het opstellen van een voorraadbeheersysteem waarin deze kost in rekening gebracht wordt, is uitermate nuttig gezien het grote aantal organisaties die met bederfbare goederen geconfronteerd worden. Niet enkel de meest voor de hand liggende organisaties zoals bijvoorbeeld producenten van voedingswaren, krijgen immers te maken met de beperkte houdbaarheid van producten, maar onder andere ook seizoensgebonden producten vallen onder deze categorie. Voorbeelden hiervan zijn onder meer kerstbomen, wintermantels, trends die slechts kortstondig als modieus beschouwd worden... En ook kranten, dagbladen en magazines zijn voorbeelden van goederen die slechts gedurende een beperkte tijd verkocht kunnen worden en daarna hun waarde verliezen. Zelfs producenten van technologische producten dienen rekening te houden met de beperkte houdbaarheid van hun goederen vermits deze onderhevig zijn aan economische slijtage. Hoewel deze technologische producten technisch gezien vaak lange tijd in staat zijn productieve prestaties te leveren, verliezen ze dikwijls al snel hun economische waarde doordat er nieuwere en meer productieve alternatieven op de markt verschijnen De Cnuydt, 2008, blz Een laatste voorbeeld van een situatie waarin een voorraadmodel voor bederfbare goederen gebruikt kan worden, betreft het geval van vluchtreservaties. De nog beschikbare zitplaatsen op een vliegtuig kunnen namelijk beschouwd worden als bederfbare goederen vermits deze niet meer verkocht kunnen worden nadat het vliegtuig opgestegen is. Voorgaande voorbeelden illustreren hoe een voorraadbeheersysteem rekening houdende met de beperkte houdbaarheid van producten breed toepasbaar is in vele uiteenlopende sectoren. Concreet worden in deze masterproef drie wiskundige voorraadmodellen uitgewerkt, waarin telkens de beperkte houdbaarheid van producten centraal staat. In een eerste model wordt verondersteld dat zowel de inter-demandtijd, de levertermijn als de houdbaarheid van goederen exponentieel verdeeld zijn. Vervolgens onderzoekt het tweede model de impact van de variabiliteit van levertijden op de optimale voorraadsbeslissingen en systeemperformantie. Om hiertoe te komen wordt aangenomen dat de levertermijn een k-erlang verdeling volgt, en wordt de parameter k gevarieerd om meer of minder variabele levertermijnen na te bootsen. Tot slot worden in het laatste voorraadmodel verschillende gradaties van versheid geïntroduceerd voor de aangehouden voorraden en bijgevolg laat dit model toe de voordelen van een First In First Out FIFO voorraadpolitiek te beoordelen. De gebruikte prestatiemaat is in elk van deze modellen de lange-termijn gemiddelde kost, die met behulp van continue-tijd Markov-ketens bepaald wordt. De structuur van deze masterproef ziet er als volgt uit: in hoofdstuk 1 wordt de lezer vertrouwd gemaakt met enkele basisprincipes van voorraadbeheer. Hierbij worden onder andere de verschillende kosten van voorraadbeheer beschreven en worden het eerdergenoemde EOQ model en zijn uitbreidingen toegelicht. Daaropvolgend worden in hoofdstuk 2 de theorie en methodes beschreven waarvan gebruik gemaakt wordt bij de opbouw en analyse van de ontwikkelde voorraadmodellen. Vooreerst worden Markoviaanse ketens gedefinieerd en vervolgens wordt de toepgepaste simulated annealing heuristiek uitgelegd. De daaropvolgende hoofdstukken 3, 4 en 5 bevatten de in deze scriptie opgestelde xii

16 voorraadmodellen en deze hoofdstukken zijn telkens gelijkaardig opgebouwd. Een eerste sectie beschrijft de assumpties waaraan het model onderhevig is. Vervolgens wordt het voorraadsysteem gemodelleerd gebruik makende van de Markoviaanse theorie, en wordt een uitdrukking voor de verwachte voorraadkost uitgewerkt. Tot slot worden numerieke voorbeelden gebruikt om de eigenschappen en het gedrag van de optimale voorraadparameters na te gaan. Hierbij wordt telkens gefocust op de beperkte houdbaarheid van producten en de invloed hiervan op de voorraadkost. xiii

17 Hoofdstuk 1 Voorraadbeheer Deze masterproef beoogt een model op te stellen voor voorraadbeheer bij goederen met een beperkte houdbaarheid. Een grondig begrip van de basisprincipes van voorraadbeheer is dan ook van cruciaal belang. In dit hoofdstuk worden enkele fundamentele aspecten, verbonden aan het beheren van voorraden, ingeleid. Vooreerst wordt in sectie 1.1 uitgelegd hoe organisaties baat hebben bij het aanhouden van voorraden en welke trade-offs hierbij beschouwd dienen te worden. Daaropvolgend wordt in sectie 1.2 een beknopt overzicht gegeven van alle kosten die met voorraadbeheer gepaard gaan. Daarna volgt in sectie 1.3 een opsomming van enkele hoofdkenmerken van voorraadsystemen die voor elk voorraadmodel gespecifieerd dienen te worden. Vervolgens wordt in sectie 1.4 het Economic Order Quantity model besproken. Sectie 1.5 en 1.6 tot slot, gaan dieper in op de concrete context waarbinnen de voorraadmodellen uit deze masterproef zich situeren. Eerst worden in sectie 1.5 enkele inzichten uit de literatuur behandeld omtrent de beperkte houdbaarheid van goederen. Daarna wordt het begrip lost sales toegelicht in sectie Het waarom van voorraden Zowat elke organisatie houdt voorraden aan. Deze voorraden omvatten onder andere grondstoffen, onderdelen en afgewerkte goederen. Maar zoals in sectie 1.2 in detail uiteengezet zal worden, gaat het aanhouden van deze voorraden met aanzienlijke kosten gepaard. Drie hoofdredenen voor het bestaan van voorraden ondanks de veelal hoge kosten die ze introduceren, kunnen naar voor geschoven worden Chopra & Meindl, 2013, hoofdstuk 3. Telkens dient een afweging gemaakt te worden tussen enerzijds de voordelen die het houden van voorraad biedt en anderzijds de extra kost die hierdoor opgelopen wordt. In de praktijk verloopt de vraag naar goederen niet op een constante wijze, maar worden organisaties geconfronteerd met een fluctuerende vraag. Hoewel er reeds een resem aan best practices zoals Every Day Low Pricing 1 gekend zijn om deze fluctuaties te minimaliseren, blijft een volledige eliminatie van de vraagvariabiliteit vaak onmogelijk. Bovendien 1 Every Day Low Price EDLP is een prijsstrategie waarbij retailers hun klanten elke dag lage prijzen garanderen zonder dat er gewacht dient te worden op promoties of andere acties. 1

18 zijn sommige producten seizoensgebonden, wat onvermijdelijk tot piekmomenten en periodes van lage vraag leidt. Het opbouwen van voorraden biedt hier een oplossing en laat organisaties toe om ondanks het bestaan van vraagschommelingen ook in het piekseizoen aan de vraag te voldoen. Deze voorraden die aangehouden worden in anticipatie van voorspelbare fluctuaties, worden seizoensvoorraden genoemd. De basis trade-off waarmee managers in deze context geconfronteerd worden, is deze tussen enerzijds de kost van het aanhouden van extra seizoensvoorraad en anderzijds de kost om een flexibelere productieomgeving tot stand te brengen. Immers, wanneer de productie van goederen dankzij een flexibele omgeving mee kan variëren met de vraag, wordt het aanhouden van een seizoensvoorraad overbodig. Veiligheidsvoorraden vervolgens, worden aangehouden ter compensatie van de onzekerheid die inherent is aan de vraag en de levertermijn. Hoewel er op de markt softwarepaketten te verkrijgen zijn die bedrijven in staat stellen de toekomstige vraag vrij nauwkeurig te voorspellen, bieden deze geen volledige oplossing, gezien het nog steeds voorspellingen betreft die altijd een toevalscomponent en dus een zekere imperfectie omvatten. In deze context vormt de veiligheidsvoorraad een soort buffer die organisaties in staat stelt te voldoen aan de vraag, ook wanneer deze hoger is dan verwacht of voorspeld. De veiligheidsvoorraad dient verder opgebouwd te worden zolang de kost voor het aanhouden van een extra eenheid voorraad lager is dan de kost van een stock-out. Een derde drijfveer voor het aanhouden van voorraden is de exploitatie van schaalvoordelen. Vaak worden hoeveelheidskortingen toegestaan indien de bestelgrootte een bepaalde grens overschrijdt. Dit spoort organisaties aan grotere hoeveelheden aan te kopen per bestelling, wat leidt tot een verhoogde voorraad. Bovendien gaat het plaatsen van een bestelling meestal gepaard met een vaste bestelkost. Bij het plaatsen van een grotere bestelling kan deze kost verdeeld worden over een groter aantal producten, wat leidt tot een lagere totale kost per eenheid. De voorraad die ten gevolge hiervan onstaat, is de cyclische voorraad. 1.2 Kosten verbonden aan voorraadbeheer Zoals in de inleiding reeds vermeld werd, hebben de meeste voorraadmodellen tot doel het beheer van voorraden zo kostenefficiënt mogelijk te benaderen. Ze streven er met andere woorden naar om de totale kost verbonden aan voorraadbeheer te minimaliseren. Deze totale kost voor voorraadbeheer wordt vaak onderverdeeld in drie verschillende deelkosten: holdingkosten, procurementkosten en shortagekosten Kasilingam, 1998, hoofdstuk 5. Figuur 1.1 op pagina 3 geeft deze opbouw visueel weer. Onder holdingkosten verstaat men enerzijds de opportuniteitskost voor geïnvesteerd kapitaal en anderzijds de variabele opslagkosten. Het houden van voorraden brengt immers een hele investering met zich mee en deze geïnvesteerde financiële middelen kunnen niet meer aangewend worden voor andere doeleinden. De hierdoor verloren gegane eventuele opbrengsten noemt men de opportuniteitskost. Voor het bepalen van deze kost baseert men zich op het mogelijke rendement van een alternatieve investering, rekening houdende met het daarmee samengaande financiële risico. Het tweede deel van de holdingkosten 2

19 Shortage kosten Procurementkosten Klassiek voorraadbeheer Holdingkosten Voorraadbeheer bij bederfbare goederen Kost van verlopen goederen Opportuniteitskost voor geïnvesteerd kapitaal Variabele opslagkosten Vaste bestelkosten Variabele aankoop- of productiekosten Kost van neen-verkopen Figuur 1.1: Opbouw totale kost voorraadbeheer omvat alle voorraadkosten die variëren naargelang het voorraadniveau. Deze betreffen onder andere kosten bij beschadiging van producten, opslagkosten en kosten gemaakt voor het intern transporteren of verplaatsen van materialen. Ook kosten voor verzekeringen, belastingen en controles dienen in deze variabele opslagkosten opgenomen te worden. Een alternatieve benadering van de holdingkosten bestaat erin deze op te splitsen over drie R s: rente, ruimte en risico van der Heijden, De rentekost is vergelijkbaar met de hierboven genoemde opportuniteitskost, terwijl de kosten voor ruimte parallel lopen met de opslagkosten. De risicokosten omvatten alle overige variabele opslagkosten die hierboven vermeld werden. Ook de tweede deelkost de procurementkosten kunnen in twee delen opgesplitst worden. Het eerste deel incorporeert alle vaste kosten die gepaard gaan met het plaatsen van een order. Het gaat hier om alle kosten gemaakt door de administratie voor bijvoorbeeld het opmaken van de bestellijsten, het controleren van de bestelling, de betaling van het order etc. Het tweede gedeelte van de procurementkosten bestaat uit de variabele aankoop- of productiekosten. Deze worden meestal uitgedrukt per eenheid product. Tot slot zijn de shortagekosten, ook de kosten van neen-verkopen of de stock-out kosten genoemd, de kosten die ontstaan wanneer een klant naar een product vraagt, maar dit niet geleverd kan worden ten gevolge van een voorraadtekort. In geval van zo een neenverkoop kunnen zich verschillende scenario s voordoen. Indien back-orders toegestaan zijn, omvat deze kost de extra kosten die gemaakt dienen te worden voor de nalevering van de goederen. Dit houdt onder andere toegestane kortingen en extra administratieve kosten in. In het geval van lost sales daarentegen, gaat de bestelling verloren, en dus ook de winst 3

20 die gemaakt had kunnen worden op deze verkoop. In beide gevallen wordt ook de klantentevredenheid aangetast en dit kan op zijn beurt negatieve implicaties hebben voor het aantal toekomstige verkopen. In sectie 1.6 wordt dieper ingegaan op de kost van lost sales. In het geval van voorraadbeheer bij bederfbare goederen dient naast de hierboven vermelde kosten nog een vierde kostencomponent in rekening gebracht te worden, namelijk de kost van verlopen goederen. Deze kost ontstaat doordat producten hun houdbaarheidsdatum overschrijden en bijgevolg niet meer verkocht kunnen worden. Deze kost kan sterk oplopen omdat ze in vele gevallen ook de prijs omvat die organisaties betalen om hun afval te laten ophalen en verwijderen. De kost van vervallen goederen zal samen met de drie andere kostentypes opgenomen worden in de voorraadmodellen die opgebouwd zullen worden in hoofdstuk 3, 4 en Hoofdkenmerken van voorraadsystemen Bij het beheren van voorraden dienen een aantal kenmerken waaraan het voorraadsysteem onderhevig is, gespecifieerd te worden Bijvank & Vis, Deze kenmerken omvatten onder andere het vraagproces, de levertijd, het bevoorradingsbeleid en het beleid met betrekking tot overmatige vraag. Elk van deze factoren wordt hieronder verder toegelicht. Later in deze masterproef, bij het opstellen van voorraadmodellen voor bederfbare goederen, dienen assumpties omtrent ieder van deze kenmerken gemaakt te worden Vraag De vraag naar een product of dienst kan deterministisch of random verondersteld worden. In het eerste geval is exact geweten welke hoeveelheid goederen op welk ogenblik gevraagd wordt. Dit zal bijvoorbeeld het geval zijn in het Economic Order Quantity model dat later in sectie 1.4 beschreven wordt. In de realiteit is de vraag naar goederen of diensten echter zelden exact gekend, maar is ze onderhevig aan een bepaalde onzekerheid. Deze onzekerheid kan in het model vervat worden door een stochastische vraag te veronderstellen, wat zo leidt tot een betere benadering van de werkelijkheid. In dit geval moet een kansverdeling voor de vraag vastgelegd worden, en in de voorraadmodellen die in hoofdstuk 3, 4 en 5 van deze masterproef opgesteld worden, wordt steeds een exponentieel verdeelde vraag verondersteld. In de praktijk wordt een veiligheidsvoorraad opgebouwd om het hoofd te bieden aan de onzekerheid inherent aan het verloop van de vraag. Verder dient met betrekking tot de vraag gespecifieerd te worden of deze uniform verloopt doorheen de tijd of onderhevig is aan fluctuaties, zoals bijvoorbeeld het geval is bij seizoenschommelingen. Ook dient bepaald te worden of de vraag per eenheid of in batches geschiedt Levertijd Ook wat betreft de levertijd zijn verschillende assumpties mogelijk. Vooreerst kan de levertijd als onbestaande beschouwd worden. Dit betekent dat een bestelling onmiddelijk 4

21 na het plaatsen ervan ontvangen wordt. Het is duidelijk dat dit in de werkelijkheid zelden tot nooit het geval is. Daarom is het realistischer een zekere levertijd in het voorraadmodel te incorporeren. Deze levertijd kan net zoals de vraag deterministisch of stochastisch verondersteld worden. Naarmate de onzekerheid omtrent de levertijd toeneemt, neemt de aangehouden voorraad toe om deze onzekerheid op te vangen Bevoorradingsbeleid Het bevoorradingsbeleid betreft beslissingen met betrekking tot het tijdstip waarop en de hoeveelheid die herbesteld dient te worden. In deze context kunnen voorraadsystemen ingedeeld worden op basis van het interval waarop de voorraadpositie herzien wordt. Zo worden er voorraadmodellen met continue en periodieke herziening onderscheiden Chopra & Meindl, 2013, blz Bij continue herziening leidt elke transactie, zoals het ontvangen van een vraag of het plaatsen van een bestelling, tot een aanpassing van de voorraadpositie en bij elk van deze aanpassingen wordt nagegaan of het nodig is om extra goederen te bestellen. In de praktijk wordt de voorraadpositie dus niet daadwerkelijk continu gecontroleerd, maar volstaat het om bij elke transactie de voorraadpositie te verifiëren. Indien bij een herziening van de voorraadpositie vastgesteld wordt dat deze onder een bepaalde drempelwaarde s gedaald is, wordt een nieuwe bestelling geplaatst. In het geval van continue herziening is de grootte van deze bestelling vast en wordt er steeds een bestelling met omvang Q geplaatst. Naar dit systeem wordt ook verwezen als een s, Q-voorraadbeheersysteem. In het geval van periodieke herziening wordt de voorraadpositie gecontroleerd op regelmatige periodieke intervallen. Wanneer geconstateerd wordt dat het voorraadniveau tot onder een drempelwaarde s afgenomen is, wordt een bestelling geplaatst om de voorraad aan te vullen tot een maximumniveau S. In dit geval betreft het dus variabele bestelhoeveelheden. Dit bevoorradingsbeleid wordt ook aangeduid als een een s, S- of minimum-maximumvoorraadmodel Vraagoverschot Wanneer er zich een vraag naar een goed voordoet op het moment dat de voorraad volledig uitgeput is, kan niet aan deze vraag voldaan worden en spreekt men van een vraagoverschot of een neen-verkoop. Voor elk voorraadmodel dient gespecifieerd te worden of deze neenverkoop leidt tot een back-order of tot een lost sale. In het geval van een back-order kan de vraag niet onmiddelijk beantwoord worden, maar wordt het product wel nog nageleverd. Bij lost sales wordt het product daarentegen niet nageleverd en gaat de vraag verloren. In sectie 1.6 worden lost sales grondiger toegelicht Andere factoren Eén van de factoren die onder geen enkele van de voorgaande categorieën valt, maar wel uitermate belangrijk is in deze masterproef, is de bederfbaarheid van producten. Voor elk voorraadmodel dient bepaald te worden of de in voorraad aangehouden producten onderhevig zijn aan veroudering. Indien dit het geval is, dient ook vastgelegd te worden 5

22 of de houdbaarheidsperiode vast is of een stochastisch verloop kent. Bij producten met een deterministische levensduur is de vervaldatum op voorhand gekend, en indien producten niet verkocht worden voor deze vervaldag, worden ze als gedateerd beschouwd en uit de voorraad verwijderd. Producten waarvan de houdbaarheid daarentegen niet op voorhand bepaald kan worden, zijn producten met een willekeurige levensduur. Een voorbeeld hiervan zijn verse ingrediënten Goyal & Giri, Economic Order Quantity model Het Economic Order Quantity EOQ model is een wijd verspreid model voor voorraadbeheer dat in 1915 ontwikkeld werd door F.W. Harris Dit model bepaalt zowel het optimale herbestelpunt als de optimale bestelgrootte van elk order. Het stipuleert met ander woorden op welk ogenblik een nieuwe bestelling geplaatst dient te worden en hoe groot deze bestelling dient te zijn. Hierbij wordt een trade-off gemaakt tussen enerzijds de holdingkosten en anderzijds de kosten voor het plaatsen van een bestelling. Intuïtief is het gemakkelijk aan te voelen dat wanneer er een kleine hoeveelheid goederen besteld wordt per order, er vaker bestellingen geplaatst moeten worden, wat hoge bestelkosten impliceert. Langs de andere kant leidt deze voorraadpolitiek tot een lager gemiddeld voorraadniveau waardoor de holdingkosten lager blijven. De optimale bestelhoeveelheid waarbij de totale kost van voorraadbeheer geminimaliseerd wordt, is de Economic Order Quantity, in het vervolg aangeduid met Q*. In paragraaf wordt het basis EOQ model besproken. Vervolgens worden in sectie bepaalde veronderstellingen uit het basismodel aangepast, wat leidt tot enkele uitbreidingen op het EOQ model Basis Economic Order Quantity model Het eenvoudigste EOQ model vertrekt zoals hierboven reeds aangehaald werd van enkele assumpties. Consistent met sectie 1.3 dienen volgende veronderstellingen vermeld te worden: 1. De vraag D is deterministisch. Dit betekent dat zowel de timing als de grootte van de vraag met zekerheid gekend is. 2. De vraag is uniform gespreid over de tijd. 3. Bestellingen van klanten gebeuren per eenheid. 4. De levertermijn L is constant en gelijk aan nul. Elke levering gebeurt dus onmiddellijk en in één keer. 5. Het betreft een voorraadsysteem met continue herziening. 6. Er zijn geen stock-outs of backorders. 7. Producten zijn niet onderhevig aan veroudering en zijn bijgevolg onbeperkt houdbaar. 6

23 8. Telkens er een nieuwe bestelling geplaatst wordt, wordt er een vaste kost C o opgelopen. Vermits er geen hoeveelheidskortingen van toepassing zijn, is deze bestelkost onafhankelijk van de bestelde hoeveelheid. 9. Het betreft de analyse van één enkel product. Om de totale kost van het aanhouden van voorraden T C te minimaliseren, wordt in het EOQ model rekening gehouden met drie kostencomponenten. De eerste kostencomponent bestaat uit de aankoopkost, de tweede deelkost omvat de voorraadkost en de derde component omsluit de kost voor het plaatsen van bestellingen. Enkel de holding- en procurementkosten uit sectie 1.2 worden dus opgenomen en de kost van neen-verkopen wordt als onbestaande beschouwd. Dit is het gevolg van veronderstelling 6 die vooropstelt dat aan alle vraag voldaan wordt en er geen back-orders of stock-outs toegelaten zijn. De totale voorraadkost T C wordt door volgende formule samengevat: Q T C = DP + C h 2 + C D o Q 1.1 De gebruikte symbolen en hun betekenis worden weergegeven in tabel 1.1. P is de prijs per eenheid die de organisatie aan zijn leverancier dient te betalen. Gegeven dat er per jaar een hoeveelheid D aan klanten verkocht wordt en diezelfde hoeveelheid dus ook aangekocht moet worden bij een leverancier, is de totale prijs die per jaar aan de leverancier betaald wordt gelijk aan DP. Tabel 1.1: Notatie en gebruikte symbolen EOQ-model Notatie Q L D C o C h P T C Q Betekenis Bestelgrootte in eenheden Levertijd Jaarlijkse vraag in eenheden Bestelkost per bestelling Holdingkost per eenheid per jaar Aankoopprijs per eenheid Totale kost van bestelpolitiek per jaar Optimale bestelgrootte Figuur 1.2 geeft het verloop van het voorraadniveau over de tijd weer en wordt ook het zaagtandmodel genoemd. Uit deze figuur blijkt duidelijk dat de gemiddelde voorraad die onder de voorgaande assumpties door een organisitie aangehouden wordt, gelijk is aan Q 2. C h is de jaarlijkse kost om één eenheid product in voorraad aan te houden en bijgevolg is de totale holdingkost op jaarbasis gelijk aan het product van deze twee laatste. Deze holdingkost kan teruggevonden worden in de tweede term van formule 1.1. Figuur 1.3 toont de holdingkosten in functie van de bestelhoeveelheid Q. Er bestaat een duidelijke lineaire relatie: hoe groter Q, hoe groter de gemiddelde aangehouden voorraad en hoe groter de holdingkost. 7

24 Voorraad eenheden Bestelgrootte Q Gemiddelde voorraad Figuur 1.2: EOQ model: evolutie van het voorraadniveau in de tijd Tijd Tot slot wordt er ongeacht de grootte van een bestelling telkens een vaste kost C o aangerekend. Bij een ordergrootte van Q eenheden, geeft D Q het aantal bestellingen per jaar weer, en wordt de totale bestelkost berekend als het product van C o en D Q. Figuur 1.3 toont dat het om een neerwaarts hellende, gebogen relatie gaat. Verder wordt op deze figuur ook de totale kost weergegeven. Deze wordt berekend als de som van de holdingkost en de bestelkost. In de figuur wordt geen rekening gehouden met aankoopkost omdat deze onafhankelijk is van de bestelgrootte en dus geen invloed uitoefent op de optimale bestelhoeveelheid. De totale kost blijkt een convexe functie te zijn, wat betekent dat er een minimum bestaat. Om de optimale bestelhoeveelheid Q* analytisch te bepalen, dient formule 1.1 afgeleid te worden naar Q. Dit geeft het volgende resultaat: Q = 2 D Co C h 1.2 Uit deze formule blijkt nogmaals dat de de economische bestelhoeveelheid onder bovenstaande assumpties niet beïnvloed wordt door de aankoopkost. Jaarlijkse kost Totale kost Holdingkost Bestelkost EOQ Bestelgrootte Figuur 1.3: EOQ model: verschillende componenten voorraadkost 8

25 1.4.2 Uitbreidingen op het EOQmodel Ondanks de vele veronderstellingen waaraan het basis EOQ model onderhevig is, wordt het omwille van zijn eenvoud vaak gebruikt om een initiële schatting te maken van de optimale bestelhoeveelheid. Deze aanpak zal ook in deze masterproef gehanteerd worden. De optimale waarden van het herbestelpunt en de ordergrootte die met behulp van het EOQ model bekomen worden, zullen gebruikt worden als startwaarden voor het simulated annealing proces zie sectie 2.2. In de voorraadmodellen die opgebouwd zullen worden in de komende hoofdstukken wordt echter beoogd om een meer realistisch voorraadbeleid te modelleren. Daarom wordt een positieve levertijd verondersteld en zijn de vraag en levertermijn niet deterministisch, maar stochastisch verdeeld. Dergelijk uitbreidingen bestaan in de literatuur ook voor het EOQ model en deze worden hieronder kort toegelicht Chambers & Johnston, Positieve levertermijn In een eerste mogelijke uitbreiding op het Economic Order Quantity model wordt niet langer verondersteld dat de goederen onmiddelijk geleverd worden. De levertermijn L is met andere woorden niet langer gelijk aan nul, maar deze wordt wel nog steeds verondersteld constant te zijn. Dit heeft tot gevolg dat een bestelling geplaatst dient te worden vooraleer de voorraad volledig uitgeput is, om zo lost sales te vermijden Chambers & Johnston, 2009, blz Idealiter komt de levering precies aan op het moment dat het voorraadniveau nul bereikt. Aangezien de vraag in dit model deterministisch en uniform is, en een bestelling exact na een levertijd L bezorgd wordt, dient de bestelling een periode L voor voorraaduitputting geplaatst te worden. Dit moment wordt het herbestelpunt of reorder point ROP genoemd. De hoeveelheid goederen die zich op dat moment in voorraad bevinden, kan berekend worden zoals in formule 1.3. Hierbij moet de levertijd L uitgedrukt zijn in jaren. ROP = DL 1.3 Voorraad eenheden Bestelgrootte Q Gemiddelde voorraad ROP Levertijd Tijd Figuur 1.4: EOQ model: evolutie van het voorraadiveau bij een positieve levertijd 9

26 Figuur 1.4 toont grafisch aan waar het reorder point zich bevindt. In de modellen die doorheen deze masterproef opgemaakt zullen worden, zal ook steeds een positieve levertermijn verondersteld worden. Stochastische vraag en levertermijn Bovenstaande uitbreiding van het EOQ model veronderstelt nog steeds dat zowel de vraag als de levertermijn perfect voorspelbaar zijn. Zoals in deel en reeds aangehaald werd, is dit doorgaans echter niet het geval. Zowel de vraag als de levertijd vertonen meestal een zekere variabiliteit doorheen de tijd waardoor de voorraad een gelijkaardig verloop kent zoals weergegeven is in figuur 1.5. In deze figuur zijn t 1 en t 2 de variabele levertijden van respectievelijk de eerste en tweede bevoorradingscyclus, en zijn d 1 en d 2 de vraag die plaatsvond gedurende deze twee levertermijnen. In de figuur is te zien dat een stochastisch vraag of levertijd de opbouw van een veiligheidsvoorraad naadzakelijk maakt om stock-outs te vermijden Chambers & Johnston, 2009, blz Deze veiligheidsvoorraad dient bovendien des te hoger te zijn naarmate de onzekerheid groter is en naarmate het gewenste service level hoger ligt Chopra & Meindl, 2013, hoofdstuk 12. Voorraad eenheden Ongekende toekomst Bestelgrootte Q ROP Veiligheidsvoorraad t 1 d 1 t 2 d 2 Tijd Figuur 1.5: EOQ model: stochastische vraag en levertermijn 1.5 Voorraadbeheer bij bederfbare goederen Gezien het frequente voorkomen van bederfbare goederen beoogt deze masterproef naast de assumpties van een stochastisch vraag en levertermijn, een voorraadbeheersysteem te modelleren waarin de beperkte houdbaarheid van producten centraal staat. Het belang hiervan werd reeds aangetoond in de literatuur. Zo toonden Lian & Liu 1999 aan dat indien levertijden nul zijn en backorders toegestaan zijn, de houdbaarheid van een product een grote invloed heeft op de optimale drempelwaarde en bestelhoeveelheid. Deze invloed wordt echter kleiner naargelang de houdbaarheidsperiode langer wordt. Dit impliceert 10

27 dat in bepaalde gevallen wanneer de houdbaarheid groot is in vergelijking met de inter-demandtijd die tussen twee opeenvolgende vragen verloopt de bederfbaarheid van goederen genegeerd mag worden. Wanneer de levertijden nul verondersteld worden, de vraag Poisson verdeeld is en de houdbaarheidsperiode constant is, vond Weiss 1980 dat het s,s-voorraadmodel optimaal is. Zoals reeds gedefinieerd in deel 1.3.3, wordt de voorraad in dit model tot het maximumniveau S aangevuld op het moment dat de voorraadpositie onder het minimumniveau s daalt. In de realiteit kunnen levertijden meestal echter niet verwaarloosd worden en daarom zal de beperkte houdbaarheid in ons model gecombineerd worden met positieve variabele levertijden. Deze combinatie introduceert een extra moeilijkheid omdat de aanwezige voorraad hierdoor een verschillende resterende houdbaarheid kan hebben. Dit noodzaakt het invoeren van extra variabelen Lian & Liu, Lost sales In deze masterproef wordt gefocust op voorraadbeheersystemen die lost sales veronderstellen. Indien een bepaalde vraag naar een product niet beantwoord kan worden ten gevolge van een stock-out, wordt verondersteld dat deze vraag verloren gaat. Dit in tegenstelling tot backorder-modellen waarin naleveringen wel mogelijk zijn. In de literatuur gaat de aandacht voornamelijk uit naar deze laatste. Nochtans blijkt de situatie waarin stock-outs tot lost sales leiden representatief voor vele organisaties. Corsten & Gruen 2003 vonden dat in geval van stock-out slechts 15% van de klanten wacht tot het gewenste product terug in voorraad is. De overige 85 % beslist ofwel een ander product aan te kopen 45%, het product in een andere winkel te zoeken 31% of het product helemaal niet meer aan te kopen 9%. Ook Sloot, Verhoef & Franses 2005 vonden gelijkaardige resultaten. Zij concludeerden dat slechts 23% van de klanten bereid zijn hun aankoop uit te stellen tot het product opnieuw in de winkelrekken ligt. Vooral organisaties die zich in een competitieve markt bevinden, lopen het risico dat klanten zich tot de concurrentie richten om het product aan te schaffen Bijvank & Vis, Hieruit volgt dat voorraadmodellen die lost sales incorporeren vooral van toepassing zijn in een retailomgeving. Dit is ook de sector waarin veel goederen met een beperkte houdbaarheid terug te vinden zijn, denken we bijvoorbeeld aan alle etenswaren in grootwarenhuizen. Er kan dus geconcludeerd worden dat de veronderstelling van lost sales binnen het kader van voorraadmodellen voor goederen met beperkte houdbaarheid, realistisch is. Lost sales impliceren dat een zekere omzet misgelopen wordt. Deze gemiste omzet zal in onze voorraadmodellen opgenomen worden als een opportuniteitskost. Vooreerst bestaat ze uit de verloren gegane opbrengst omdat de klant beslist zijn bestelling te annuleren. Dit vat echter enkel de korte-termijninvloed van stock-outs op de vraag. Ook het langetermijneffect moet beschouwd worden. Anderson, Fitzsimons & Simester 2006 toonden aan dat neen-verkopen de waarschijnlijkheid verkleinen dat een klant in de toekomst hetzelfde product nogmaals aankoopt, resulterende in een lagere lange-termijnwinst. Volgens Gaur & Park 2007 is dit het gevolg van assymetrische leergedrag bij consumenten: door het ervaren van een stock-out schatten consumenten de waarschijnlijkheid van een toekomstige neen-verkoop hoger in, en deze negatieve verwachting zet hen aan het product niet langer te kopen of het bij een andere organisatie aan te kopen. Bovendien hebben 11

28 stock-outs niet enkel invloed op de huidige en toekomstige vraag naar het product dat niet meer op voorraad is, maar beïnvloeden ze ook de vraag naar andere goederen binnen dezelfde bestelling Anderson, Fitzsimons & Simester, Dit is vooral van belang bij retailers die meerdere producten aanbieden. Uit bovenstaande bespreking kan afgeleid worden dat de kost van neen-verkopen groter is dan men initieel zou denken. In vele gevallen weegt deze kost dan ook veel zwaarder door dan de kost die opgelopen wordt doordat goederen hun houdbaarheidsdatum overschrijden. Dit zet bijgevolg vele retailers aan grote voorraden aan te houden, met tot gevolg dat veel goederen in de vuilnisbak belanden wanneer ze niet langer houdbaar zijn. In deze context concludeerden Hall & Porteus 2011 dat het opnemen van de opportuniteitskost van lost sales in voorraadbeheersystemen het optimale voorraadniveau laat stijgen en het aantal out-of-stock situaties laat dalen. Omwille van bovenstaande argumenten wordt de stock-out kost in de voorbeelden die gebruikt zullen worden ter bespreking van de in hoofdstuk 3, 4 en 5 opgebouwde modellen, relatief hoog gekozen in vergelijking met de andere kosten. 12

29 Hoofdstuk 2 Onderzoeksmethodologie Voor het modelleren van het beoogde voorraadbeheerssysteem zal gebruik gemaakt worden van Markov-ketens waarbij de tijdsparameter continu is. In sectie 2.1 volgt een theoretische beschrijving van het concept Markov-keten. Ter inleiding worden in deel Markovketens met een discrete tijdsparameter besproken. Hoewel deze niet expliciet gebruikt zullen worden, reiken ze enkele basisconcepten aan die later in deel aangewend worden bij de uitbreiding naar Markov-ketens met een continue tijdsparameter. 2.1 Markov-ketens met discrete toestandsruimte Een Markov-keten is een systeem dat doorheen de tijd evolueert en zich daarbij in M mogelijke toestanden kan bevinden. Vooraleer dieper in te gaan op het begrip Markov-keten is het aangewezen eerst toe te lichten wat onder een stochastisch proces verstaan wordt, daar een Markov-keten hier een bijzondere vorm van is. Een stochastisch proces is een proces dat op probabilistische wijze evolueert doorheen de tijd en stapsgewijs overgangen vertoont van de ene naar de andere toestand Hillier & Lienerman, 2009, blz Meer specifiek is een Markov-keten een stochastisch proces dat voldoet aan de Markoviaanse eigenschap. Deze eigenschap houdt in dat de voorwaardelijke waarschijnlijkheden omtrent de toekomstige evolutie van het proces enkel afhankelijk zijn van de huidige toestand van het proces, en dus niet afhangen van de weg waarlangs deze huidige toestand in het verleden tot stand gekomen is. Samengevat kan men stellen dat een Markov-keten een wiskundig systeem is dat transities ondergaat van de ene naar de andere toestand, gekenmerkt door een soort geheugenloosheid Hillier & Lienerman, 2009, blz De verzameling van de mogelijke toestanden die het systeem kan bereiken, wordt de toestandsruimte Ω genoemd. In deze masterproef zal verondersteld worden dat de toestandsruimte een eindig aantal waarden kan aannemen, m.a.w. Ω = {0, 1, 2,..., M} met M > 0. Men spreekt van een discrete toestandsruimte. Een stochastisch proces {X t } waarbij t T, kan een discrete of continue tijdsparameter hebben. Indien T = {0, 1, 2...}, dan spreekt men van een discrete-tijd stochastisch proces. Is de tijd daarentegen een continue grootheid, dus T = [0, + [ of T = [0, a] met a > 0, dan is het stochastisch proces een continue-tijd proces. 13