Het Gibbseffect bij Fourier- en Gegenbauerreeksen

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Het Gibbseffect bij Fourier- en Gegenbauerreeksen"

Transcriptie

1 Vrije Universiteit te Amsterdam Bachelorproject Het Gibbseffect bij Fourier- en Gegenbauerreeksen Auteur: Florian Reuter Begeleider: Prof. dr. R.C.A.M. Vandervorst 9 april 8

2 Inhoudsopgave Inleiding Het Gibbseffect bij Fourierreeksen 4. De blokgolf Het Gibbseffect in het algemeen De Gegenbauerpolynomen 8. Orthogonale polynomen in een ruimte met een dichtheid Eigenschappen van de orthogonale polynomen Gegenbauerpolynomen als orthonormaal stelsel Gibbseffect bij de Gegenbauerpolynomen 3 3. De blokgolf Het Gibbseffect in het algemeen Gegenbauerpolynomen als speciaal geval van hypergeometrische functies.. 4 Conclusie 4 Referenties 5

3 Inleiding Als een functie in L (T ) zit, hoeft de functie niet continu te zijn. In deze scriptie gaan wij kijken naar het gedrag van Fourier- en Gegenbauerreeksen van een functie rond de discontinuïteit. In de onderstaande grafiek is de zogenaamde blokgolf te zien met een eindig aantal termen van de Fourierreeks. De blokgolf is negatief voor < < en positief voor < <. Wij zien hier een hevige oscillatie rond de discontinuïteit in. Deze verdwijnt niet bij een groter aantal termen van de Fourierreeks, maar zal alleen meer richting de discontinuïteit schuiven. We gaan laten zien dat de maimale uitwijking naar een vaste waarde convergeert. Dit fenomeen wordt het Gibbseffect genoemd. Dit betekent ook dat de Fourierreeks niet uniform convergent hoeft te zijn, ondanks het feit dat de reeks wel in norm convergeert gibbseffect bij een fourierreeks.5 Het fenomeen is door verschillende mensen waargenomen, voordat het door J. Willard Gibbs wiskundig verklaard werd. De natuurkundige Albert Michelson maakte aan het eind van de negentiende eeuw een machine die na het invoeren van de Fouriercoëfficiënten de reeks kon schetsen. Ook na de toevoeging van meer termen bleef er rond een discontinuïteit een hevige oscillatie. Er werd eerst aan een fout in het apparaat gedacht, maar uiteindelijk zag Gibbs dat het een wiskundig fenomeen was. Hij heeft vervolgens een wiskundige verklaring gegeven. Henry Bôcher heeft in 96 een uitgebreide analyse gegeven en vernoemde het effect naar Gibbs. De Gegenbauerpolynomen, ook wel ultraspherical polynomials genoemd, zijn polynomen die in L µ(t ) een compleet stelsel vormen., waarbij de bijbehorende absoluut-continue maat µ later wordt gedefinieerd. Hier zal ook de bijbehorende Gegenbauerreeks in norm naar de functie in L µ(t ) convergeren. Bij een discontinuïteit is hier ook het Gibbseffect te zien. Het belangrijkste resultaat van deze scriptie is dat er wordt laten zien dat de waarde van de maimale uitwijking voor de Fourier- en Gegenbauerreeksen gelijk is. Dit werd in 5 door Sidi Mahmoud Kaber bewezen. Hij bouwde voort op een resultaat van David Gottlieb uit 977.

4 Voor de Gegenbauerpolynomen wordt er eerst uitgebreid naar algemene orthogonale polynomen gekeken. De herkomst en een aantal eigenschappen worden genoemd. Bij de analyse van het Gibbseffect wordt vervolgens het Gibbseffect bij de blokgolf helemaal uitgewerkt. Met de kennis die hier opgedaan wordt, is het nog een kleine stap naar een algemene discontinue functie in de bijbehorende ruimte. 3

5 Het Gibbseffect bij Fourierreeksen Als een functie f in de ruimte L ( π, π) zit, kan f worden uitgedrukt in een Fourierreeks. Deze reeks convergeert in de L -norm naar f. Dit kunnen wij noteren als f() a + [a n cos n + b n sin n]. n De coëfficiënten van de reeks worden gegeven door a π a n π b n π π π π π π π f()d, f() cos n d, f() sin n d. Dit kan worden uitgebreid naar functies over andere intervallen door transformaties toe te passen, maar voor het gemak wordt hier in het vervolg de Fourierreeks genomen van een functie in L (T ) met T [ π, π].. De blokgolf Voor π < < π bekijken wij de functie S() { < >. De notatie S komt van de signfunctie sgn die, op sgn() na, gelijk is aan de blokgolf. De blokgolf zit in L ( π, π), want het is een stapfunctie. De Fourierreeks van S zal nu in de L -norm convergeren naar S. De functie is oneven, dus zijn de coëfficienten a k π S() cos k d altijd nul. Dit geeft een sinusreeks met coëfficiënten π π b k π S() sin k d π sin k d [ ] π cos k π π π k kπ ( ()k ). De coëfficiënten zijn nul voor even waarden van k, dus alleen de oneven termen dragen bij aan de Fourierreeks van S door S() 4 π sin( + ). + 4

6 de blokgolf met termen van de fourierreeks Bij de grafiek van S en de grafiek van de eerste honderd termen van de reeks zien wij een hevige oscillatie van de reeks rond de discontinuïtiet in S(). Als wij meer termen van de reeks nemen, zullen deze oscillaties alleen opschuiven naar de discontinuïteit. De convergentie geeft dat de afstand (in L -norm) tussen de functie en de reeks naar nul gaat, maar bij een discontinue functie heeft dit een verdichting van de oscillaties als gevolg. Wij gaan nu kijken wat de waarde van de maimale oscillatie is en gebruiken daarvoor dat de afgeleide van de partiële sommen in dat punt nul moet zijn. Voor het gemak wordt de factor 4 uit de reeks weggelaten. De partiële som S π n+() en zijn afgeleide worden gegeven door S n+ () sin( + ), S + n+() cos( + ). De afgeleide kan worden vereenvoudigd met de goniometrische identiteit sin a sin b cos a+b a b sin tot cos( + ) cos( + ) sin sin ( ( + ) + cos sin sin( + ) sin sin ) sin ( ) ( + ) sin(n + ). () sin De functie is oneven, dus wij kunnen ons beperken tot de oscillatie bij >. Voor de waarden < < π heeft de afgeleide nulpunten in m voor m {,..., n + }. 5 mπ (n+)

7 We gaan nu kijken welke uiterste waarde van S n+ ( m ) de grootste is. De noemer van de afgeleide wordt bij toenemende m groter en de teller is nul in de punten m. Dit zijn afwisselend maima en mimima in S n+ ( m ), omdat het teken van de afgeleide tussen de punten afwisselend positief en negatief is. De partiële som S n+ () S n+(t)dt, omdat S n+ (). De afgeleide is tussen twee nulpunten kleiner dan tussen de voorgaande nulpunten, dus moet tussen twee maima van S n+ de eerste groter zijn. Dit geldt voor elk paar maima, dus het eerste maimum moet het grootst zijn. Wij kunnen nu kijken wat er met de waarde van de maimale oscillatie gebeurt, als er meer termen van de Fourierreeks worden genomen. De limiet wordt gegeven door ( ) lim S π n+ n (n + ) ( ) lim S π n+ n (n + ) lim n lim n ( ) sin π + (n+) + Deze som kan herschreven worden tot een Riemannsom. We maken een partitie van [, π] met punten t k kπ voor k,..., n + en middens n+ k t k+t k+ π +. De lengte (n+) van een deelinterval wordt nu t k+ t k π. De limiet van de partïele som kan nu n+ herschreven worden tot ( ) sin π + (n+) lim n + lim n π n + sin k k. π sin k + sin d. In het begin is de factor 4 eruit gelaten. Met deze factor erbij krijgen wij nu de waarde π van de maimale uitwijking. Deze constante wordt ook wel de Gibbsconstante genoemd. G π π sin d

8 . Het Gibbseffect in het algemeen Na het uitvoerig bestuderen van de blokgolf is het eenvoudig om discontinue functies in het algemeen te behandelen. We nemen een willekeurige f in L (T ) met een discontinuïteit in. We introduceren eerst f( +) lim f(), f( ) lim f() en [f] f( +) f( ). Hiermee kan samen met de blokgolf S een nieuwe continue functie geconstrueerd worden: h() f() [f] S( ), met S de blokgolf. h() f() y discontinue functie f met continue functie h Deze h is continu in, want h( ) f( ) [f] f( +)+f( ) en h( +) f( +) [f] f( +)+f( ). De Fourierreeks van f kan nu worden opgevat als een combinatie van de reeksen van h en de blokgolf met als coëfficiënten f n h n + [f] S n. De reeks van h zal geen problemen geven rond, omdat h continu is. Daarom zal de reeks hezelfde gedrag als de blokgolf hebben en zal de sprong naar [f] G convergeren. Dit geeft een uitwijking van ongeveer 9% voor een functie met één discontinuïteit. Wij kunnen hetzelfde argument gebruiken om uit te breiden naar een stuksgewijs continue functie in L (T ). 7

9 De Gegenbauerpolynomen. Orthogonale polynomen in een ruimte met een dichtheid Met de Fourierreeks kunnen de functies in L ( π, π) in norm worden benaderen. In dit geval door een orthonormaal stelsel met het Gram-schmidt-proces te construeren uit de verzameling {, sin, cos, sin, cos,...}. Wij kunnen ook kijken naar de reeks met polynomen als orthogonale functies. Een van de bekendste voorbeelden zijn de Legendrepolynomen. Deze polynomen krijgt men door het Gram-Schmidtproces in L (, ) uit te voeren op de functies uit de verzameling {,,,...}. Zo ontstaat de volgende orthonormale basis p () 3 5, p (), p () 8 (3 ),.... Dit idee kan verder worden uitgebreid door een ruimte L µ(, ) te gebruiken met een maat µ die absoluut-continu is ten opzichte van de Lebesguemaat met een bijna-overal positieve, meetbare dichtheid ρ(). De dichtheid moet bijna-overal positief zijn, omdat de maat µ een R + -waardige functie moet zijn. Voor een functie f betekent dit dat f L µ(, ) f dµ < f() ρ()d <. In het geval van de Legendrepolynomen is µ gewoon de standaard Lebesgue-maat en is ρ(). In de uitgebreidere ruimte kan weer het Gram-Schmidtproces worden uitgevoerd, maar daarvoor moeten wij eerst nog wat werk doen. Ten eerste is de ruimte ook daadwerkelijk een Hilbertruimte met het inproduct (f, g) fgdµ f()g()ρ()d. Ten tweede moeten de functies n in de ruimte zitten. Dat wil zeggen dat n µ(d) < voor elke n N. Dit is ook het geval als µ begrensd is, want dan n µ(d) n ρ()d ρ()d µ ( (, ] ) <. Er is nog een eigenschap van de maat µ die wij verder moeten onderzoeken. Om het Gram-Schmidtproces uit te kunnen voeren, is er een lineair onafhankelijke rij machtsfuncties nodig. Voor de procedure moet elk element uit de rij machtsfuncties onafhankelijk zijn van de voorgaande elementen. Dit betekent dat een polynoom Q() a +a +...+a n n µ-bijna-overal ongelijk aan moet zijn, want anders kan n als combinatie van de andere machtsfuncties geschreven worden en kunnen wij geen onafhankelijke rij maken. Wij 8

10 kunnen de maat echter uitdrukken in de dichtheid door µ(a) ρ()d. Wij hebben A aangenomen dat de dichtheid bijna-overal postitief is, waardoor µ alleen nul kan zijn op een nulverzameling met betrekking tot de standaard Lebesguemaat. Aangezien Q() bijna-overal, geldt dit ook µ-bijna-overal en kan het Gram-Schmidtproces worden uitgevoerd. Wij willen elke functie f in L µ(, ) als een aftelbare combinatie van de orthonormale basisfuncties {f k } k kunnen schrijven, zoals wij dat ook hebben gedaan met de Fourierreeks en de Legendrepolynomen. Precies gezegd willen wij dat lim n f n k a kf k. We gaan hiervoor eerst naar een algemene Hilbertruimte H kijken, om de voorwaarden te bepalen voor de basisfuncties. Een Hilbertruimte betekent een complete inproductruimte, waardoor de limiet van elke Cauchyrij in H bestaat. In ons geval willen wij dat de reeks g n n k a kf k met a k (f, f k ) convergeert naar f. Dat wil zeggen dat voor elke ɛ > er een N is zodat voor elke n N geldt dat f g n < ɛ. Een stelsel {f k } k heet compleet in H als voor elke f in H geldt lim n f n k a kf k. Een voldoende (en noodzakelijke) voorwaarde hiervoor is dat de verzameling {f k } k gesloten is in H. Een orthonormaal stelsel heet gesloten, als alleen voor de functie f kan gelden dat (f, f k ) voor elke k. Deze voorwaarde is voor de orthogonale polynomen in L µ(, ) makkelijk na te gaan. Stelling. In een Hilbertruimte is een orthonormale verzameling {f k } k en alleen als deze gesloten is. compleet als Bewijs. Wij gaan er eerst vanuit dat het orthonormale stelsel gesloten is. Kies een willekeurige f in H en laat g n f a k f k met a k (f, f k ). k Elke g n is een lineaire combinatie van elementen uit H, dus zit elke g n ook in H. Voor de rij (g n ) n N geldt voor n > m dat g m g n km+ km+ lm+ km+ a k f k ( a k f. km+ a k a l (f k, f l ) a k f k, lm+ a l f l ) km+ lm+ a k a l δ kl De laatste ongelijkheid volgt uit de ongelijkheid van Bessel. Aangezien de norm van f eindig is, kunnen wij nu de reeks n km+ a k en daarmee g m g n willekeurig klein maken 9

11 voor n, m groot genoeg. De rij is een Cauchyrij en de limiet van de rij bestaat, omdat H een Hilbertruimte is. Wij hebben nu aangetoond dat lim n f n k a kf k, dus {f k } k is compleet. Wij hebben tevens aangetoond dat de coëfficiënten van de reeks gelijk zijn aan a k (f, f k ). Deze coëfficienten worden ook wel de Fouriercoëfficiënten genoemd. Wij gaan er nu vanuit dat wij een compleet stelsel hebben en willen laten zien dat het stelsel dan ook gesloten is. Stel dat wij een f in H hebben met a k (f, f k ) voor elke k, dan geldt dat door compleetheid lim n f lim n f. ( k f (f, a k f k lim n (f a k f k ) + k k a k f k, f k a k ) a l f l ) l f k a k Hieruit volgt dat f, dus het stelsel is gesloten. De polynomen die met het Gram-Schmidtproces in L µ(, ) kunnen worden verkregen, vormen ook een compleet stelsel. Hiervoor maken wij gebruik van het volgende lemma: Lemma. Als voor een µ-integreerbare functie f en voor elke n N geldt dan geldt f µ-bijna-overal. f() n ρ()d, Bewijs. Voor een willekeurige t R geldt dat f()e it ( it) n µ(d) f() µ(d) n! n ( it) n f() n µ(d) n! n. ( it) n n n! Dus voor elke t R geldt dat f()e it µ(d) f()ρ()e it d. In het bewijs dat de Fourierreeks compleet is, zijn wij deze vergelijking al een keer eerder tegengekomen en hieruit halen wij dat dan fρ bijna overal. Hiermee is ook f µ-bijna-overal. Met dit lemma is het nu te bewijzen dat een compleet orthonormaal stelsel in L µ(, ) geconstrueerd kan worden als de maat begrensd is en de dichtheid bijna-overal positief.

12 Stelling.3 Het orthonormale stelsel dat met het Gram-Schmidtproces geconstrueerd kan worden, is een compleet stelsel in L µ(, ). Bewijs. Wij hebben al eerder aangetoond dat er met het Gram-Schmidtproces een orthonormaal stelsel gemaakt kan worden. Wij hebben in het voorgaande lemma laten zien dat alleen de nulfunctie in L µ(, ) orthogonaal is aan de functies {,,,...}, dus is alleen de nulfunctie orthogonaal aan elke aftelbare lineaire combinatie van {,,,...}. Daarmee is de nulfunctie ook de enige functie die orthogonaal is aan het orthonormale stelsel. Hierdoor is L µ(, ) een gesloten, dus compleet stelsel.. Eigenschappen van de orthogonale polynomen In dit deel gaan wij naar een aantal eigenschappen kijken die wij later nodig zullen hebben. De stellingen worden niet bewezen, daarvoor wordt wel verwezen naar literatuur. De eerste eigenschap is een recurrente betrekking van de orthogonale polynomen. De polynomen uit {p n } n van de vorm p n n a k k voldoen aan de betrekking met p n+ (A n + B n )p n C n p n () A n a n+ a n, B n a n+ ( n+, p n ), C n A n A n, C. Met behulp van deze betrekking kan ook de formule van Christoffel-Darbou worden afgeleid: K n (, y) p k ()p k (y) a [ ] n pn (y)p n+ () p n ()p n+ (y). (3) y a n+ Een andere opmerkelijke eigenschap van de orthogonale polynomen is dat voor de nulpunten,n,..., n,n van polynoom p n () geldt <,n <... < n,n < en k,n R voor elke k n. (4).3 Gegenbauerpolynomen als orthonormaal stelsel In de vorige paragraaf zijn wij al de Legendrepolynomen tegengekomen door de ruimte L (, ) te gebruiken met dichtheid ρ(). Een interessanter voorbeeld zijn de Jacobipolynomen. Hiervoor gebruiken wij als dichtheid ρ (α,β)() ( ) α ( + ) β met α, β >. Deze dichtheid is meetbaar, positief op het interval (, ) en de maat is begrensd door de keuze van α, β >. Met deze maat kan dus een compleet orthogonaal stelsel geproduceerd worden in L µ(, ). Door het kiezen van de juiste waarden van α en β is te zien dat deze klasse een aantal klassieke voorbeelden van orthogonale polynomen omvat.

13 Naam Constantes Dichtheid Legendrepolynomen α β Chebyshevpolynomen van de eerste soort α β ( ) / Chebyshevpolynomen van de tweede soort α β ( ) / Gegenbauerpolynomen α β λ, λ > ( ) λ/ Alle orthogonale polynomen die in de voorgaande tabel staan hebben allemaal een natuurkundige betekenis. Alle polynomen zijn oplossingen van tweede orde differentiaalvergelijkingen, die allemaal zijn te omvatten in een differentiaalvergelijking voor de Jacobipolynomen. Vanuit deze differentiaalvergelijking zijn deze polynomen met de specifieke dichtheid ρ (α,β) () ( ) α ( + ) β ook ontdekt. Wij zullen ons beperken tot de Gegenbauerpolynomen die worden genoteerd als C n (λ) () met dichtheid ρ λ () ( ) λ/. Zij voldoen aan de niet-lineaire differentiaalvergelijking ( ( ) λ+/ [C n (λ) ] () ) + n(n + λ)( ) λ/ C n (λ) (). Deze vergelijking kan herschreven worden tot ( ρλ+ ()[C n (λ) ] () ) + n(n + λ)ρλ ()C n (λ) (). (5) Om het Gibbseffect te kunnen onderzoeken bij de Gegenbauerpolynomen worden eerst een aantal eigenschappen genoemd die nodig zijn om het Gibbseffect te analyseren. Hiervoor zullen de waarden van de polynomen in relevant zijn. Ook de afgeleide en vooral de waarde van de afgeleide in zullen wij nodig hebben. Hier zit immers de discontinuïteit van de blokgolf. Met de recurrente betrekking () kan een fraaie betrekking worden afgeleid voor de Gegenbauerpolynomen met en voor n C (λ) (), C (λ) () { λ λ λ (n + )C n+() (λ) (n + λ)c n (λ) () ( + λ )C n(). (λ) (6) Hieruit kunnen wij gelijk een eigenschap halen. Door de term C n (λ) () zijn de polynomen even functies voor n even en oneven functies voor n oneven.

14 3 Gibbseffect bij de Gegenbauerpolynomen Bij het bestuderen van het Gibbseffect bij Fourierreeksen bleek de blokgolf S de kern van het probleem te bevatten. Hetzelfde geldt voor het Gibbseffect bij de Gegenbauerpolynomen. Als het Gibbseffect van de Gegenbauerreeks van de blokgolf uitgewerkt is, kan daarmee het Gibbseffect van elke discontinue functie in L µ met dichtheid ρ λ worden beschreven. Het gedrag van de reeks in de sprong kan namelijk op dezelfde manier als bij de Fourierreeks in paragraaf. worden omgeschreven naar het gedrag van de blokgolf. In het volgende hoofdstuk wordt ook bewezen dat bij de Chebyshevpolynomen, waar λ, de orde van convergentie van de etreme waarden van de partiële reeks hetzelfde is als bij de partiële Fourierreeks. 3. De blokgolf Hiervoor zal er eerst uitgebreid naar de blokgolf worden gekeken met het voorschrift { < S() >. Deze functie zit in elke ruimte L µ met een begrensde maat, omdat het een stapfunctie is. De Gegenbauerreeks a kc (λ) k () zal dan ook convergeren naar S. De waarden van de coëfficiënten a k kunnen worden bepaald met a k (S, C (λ) k C (λ) C (λ) k ) k ( S() C(λ) k () C (λ) k C (λ) k ()ρ λ()d + ρ λ()d ) C (λ) k ()ρ λ()d. (7) Deze integralen kunnen worden vereenvoudigd met de differentiaal vergelijking (5) voor de Gegenbauerpolynomen. De vergelijking kan worden herschreven tot ( ) ρ λ+ ()[C (λ) k ] () ρ λ ()C (λ) k k(k + λ) (). Met deze herformulering is (7) te herschreven tot ( ) ρ λ+ ()[C (λ) k ] () a k d + k(k + λ) C (λ) k C (λ) k [ ρ λ+ ()[C (λ) k k(k + λ) (λ) [Ck ] () C (λ) k k(k + λ) ] () ] 3 [ ( ρ λ+ ()[C (λ) k ρ λ+ ()[C (λ) k ] () k(k + λ) k(k + λ) ] ] () ) d (8)

15 Bij deze laatste vergelijking wordt er gebruik maakt van ρ λ (±) en ρ λ+ (). De coëfficiënten zijn nog verder te vereenvoudigen met een eigenschap van de afgeleide van de Gegenbauerpolynomen. Door de betrekking te differentiëren onstaat er een betrekking voor de afgeleide. Hiermee kunnen de afgeleiden worden uitgedrukt in de Gegenbauerpolynomen met [C n (λ) ] λ n en [C n () ] C n. () (9) Om de coëfficiënten van de blokgolf te bepalen is de waarde van de afgeleide in nodig. Door de voorgaande eigenschap van de afgeleide is het voldoende om n () te bepalen. Voor deze waarde is de recurrente betrekking (6) te vereenvoudigen tot C n (λ) () n+λ C (λ) n n (). Met C (λ) () en C (λ) () is voor m > de waarde C m() () ()m m en C m() (λ) ()m (λ) m en C (λ) m! m+(). () Hier wordt het Pochhammersymbool (λ) n gebruikt, waarbij { n (λ) n λ(λ + )... (λ + n ) n. Met de afgeleide uitgedrukt in de polynomen en de voorgaande eigenschap is het nog maar een kleine stap naar de helling in. Door te gebruiken dat de afgeleide van een even en oneven functie symmetrisch is om, geldt dat [C m] (λ) () λc m() (λ+) en [C m+] (λ) () C () m() () m λ λ m () ()m (λ) m! m+ λ. Al deze eigenschappen zijn samen te vatten in de volgende stelling. Stelling 3. Voor de coëfficiënten a n van de blokgolf S geldt dat a en a + 4λ () ( + )( + + λ) C (λ) +. Bewijs. Wij hebben in (8) aangetoond dat voor de coëfficiënten geldt a n C (λ) De waarden zijn nul voor n en door () geldt [C (λ) + ] () λ a + (λ) [C n () n ] (). n(n+λ) () waardoor 4λ () ( + )( + + λ) C (λ) +. Het volgende doel voor het bepalen van de maimale uitwijking, is het bepalen van de afgeleide van de partiële som van de blokgolf S N. Hiervoor kan een eigenschap van de norm van de Gegenbauerpolynomen worden gebruikt, die volgt uit de recurrente betrekking (6) 4

16 en de identiteit (z) n Γ(z + n)/γ(z), met de gammafunctie Γ(z). Voor λ en n geldt C n (λ) λ π λ Γ(n + λ) n!(n + λ)(γ(λ)). () Voor de speciale gevallen geldt C () π en C n () π. Deze eigenschap zal van pas n komen in het volgende lemma. Lemma 3. De partiële som van de blokgolf is S N+ () N Bewijs. Door de eigenschap van de norm () geldt ()C (λ) + () λ λ+ λ+ C (λ) + λ π (λ+) Γ( + (λ + ))( + )!( + + λ)(γ(λ)) π λ Γ( + + λ)()!( + λ + )(Γ(λ + )) ( + )Γ( + λ + )(Γ(λ) Γ( + λ + )(Γ(λ + ) ( + )( + λ + ). 4λ Deze laatste gelijkheid komt door het twee keer gebruiken van de eigenschap Γ(z+)/Γ(z) z. Zoals bekend is a, dus voor de partiële som geldt nu, door gebruik te maken van de voorgaande eigenschap, S N+ () N 4λ () ( + )( + + λ) C (λ) C(λ) + () N () C (λ) + λ + (). λ+ Deze som kunnen wij termsgewijs differentiëren, waardoor S N+() N () [C (λ) λ + ] (). λ+ Met eigenschap (9), die de afgeleide van de Gegenbauerpolynomen uitdrukt in de polynomen zelf, is de afgeleide S N+ () te vereenvoudigen tot S N+() N () λ λ () λ+ N () λ+ (). Nu kan, net als bij de partiële Fourierreeks, de som worden weggewerkt. In dit geval door gebruik te maken van de Cristoffel-Darbouformule (3), die voor alle orthonornale polynomen geldt. In dit geval zijn de polynomen ook genormeerd. 5

17 Stelling 3.3 Voor λ > geldt S N+() N + (N + + λ) N λ+ N ()C(λ+) N+ (). Voor het speciale geval λ geldt S N+(cos θ) () N 4 π Bewijs. De Cristoffel-Darbouformule geeft S N+() (λ+) N k (λ+) N+ (λ+) N k (λ+) N+ N+ λ+ N+ λ+ sin (N + )θ. sin θ N+ ()C(λ+) N N+ ()C(λ+) N () C(λ+) N ()C(λ+) N+ () (), (3) omdat N (). De waarde k(λ) n is de coëfficiënt van de term met de hoogste graad van C n (λ) (). Deze waarde kunnen wij uit de recurrente betrekking voor de polynomen halen: (n + )C n+() (λ) (n + λ)c n (λ) () ( + λ )C n(). (λ) Voor de Chebyshevpolynomen, waar λ, geldt dat k () k () geldt k () n n n bepaald door n n C() bepaald door n+λ n en voor hogere termen, doordat in de betrekking de term met de hoogste graad van C() n () wordt n(). Voor het geval dat λ geldt dat de coëfficiënt van n wordt C n() (λ) en geldt er Dit betekent dat k (λ) n n n! (λ) n. en voor λ k (λ+) N k (λ+) N+ N (λ + ) N (N + )! N+ (λ + ) N+ (N)! N + (λ + N + ). k () N k () N+ Door dit te combineren met (3) volgt nu dat N (N + ) N+ N N + N. S N+() N + (N + + λ) N λ+ N ()C(λ+) N+ (). 6

18 Voor het geval dat λ geldt er zelfs S N+() N + N + C () N C () N ()C() N+ () () N π C () N+ () door gebruik te maken van C () N π door () en C() N () ()N door (). Dit speciale geval is om te schrijven naar het Gibbseffect bij de partiële Fourierreeks en zijn de berekeningen rechtstreeks uit te voeren. Om de stelling te bewijzen is het nog nodig om te laten zien dat C () N+ (cos θ) sin (N + )θ. (4) cos θ sin θ Hiervoor kan eerst de recurrente betrekking (6) voor λ worden omgeschreven tot waardoor (n + )C () n+() (n + )C () n () (n + )C () n(), C () n+() C () n () C () n() en dan ( ) C n+() () C n () () C n() () C n () () (4 )C n () () C n(). () ( ) In combinatie met C n() () C () n () + C n () () geeft dit C () n+() (4 )C () n () C () n () + C () n () (4 )C () n () + C () n (). Deze betrekking past nu in een inductiebewijs voor (4). Het is makkelijk na te gaan dat de formule voldoet voor N. Voor de inductiestap zijn de goniometrische identiteiten sin α cos β sin(α β) + sin(α + β) en cos α cos α nodig. Door de betrekking geldt C () N+ (cos θ) (4 cos θ )C () N (cos θ) C() N 3 (cos θ) cos θ sin Nθ cos θ sin θ sin (N )θ cos θ sin θ cos θ ( cos θ sin Nθ sin(n )θ) sin θ cos θ ( sin(n )θ + sin(n + )θ sin(n )θ) sin θ sin(n + )θ cos θ. sin θ, 7

19 Nu geldt S N+(cos θ) () N 4 sin (N + )θ. (5) π sin θ Doordat de afgeleide van de partiële som nu bekend is, kan de maimale waarde van S N+ () bepaald worden in het geval dat λ. De afgeleide (5) heeft nulpunten in θ. Het kleinste positieve nulpunt is dan kπ (N+) ( ) Nπ N cos. (N + ) De maimale uitwijking wordt dan gegeven door S N+ () te integreren van cos( π) Nπ tot N cos( ), omdat S (N+) N+(). De waarde wordt dan S N+ ( N ) N π Nπ (N+) π Nπ (N+) S N+()d () N 4 π () N π N () N 4 π sin[(n + )θ] sin θ sin[(n + )θ] dθ. cos θ sin[(n + )θ] d cos θ sin θ sin θdθ In de laatste vergelijking wordt er gebruik gemaakt van de goniometrische identeit sin θ sin θ cos θ. Met de substitutie φ π θ en de identiteit sin(α β) sin α cos β sin β cos α kan er verder vereenvoudigd worden tot S N+ ( N ) π (N+) () N+ sin[(n + )( π φ)] dφ π sin φ π (N+) N+ sin[(n + )π] cos[(n + )φ] sin[(n + )φ] cos[(n + )π] () dφ π sin φ π (N+) N sin[(n + )φ] () dφ π sin φ 4 π (N+) sin[(n + )φ] dφ. π sin φ Deze laatste uitdrukking is al een keer eerder uitgerekend voor de afgeleide (), want hier staat de partiële som van de blokgolf bij de Fourierreeks met dezelfde grensen. De orde van de convergentie is daarom in beide gevallen hetzelfde. Voor de partiële som bij de Gegenbauerpolynomen geldt dus ook de Gibbsconstante G door lim N S N+( N ) π 8 π sin d G.

20 3. Het Gibbseffect in het algemeen Voor het algemene geval kan de partiële som ook worden herschreven, maar nu rechtstreeks naar de laatste integraal. Hiervoor wordt de notatie (λ) N gebruikt voor het eerste positieve nulpunt van S N+ (), nu de afgeleide van de algemene partiële Gegenbauerreeks van de blokgolf. Stelling 3.4 Voor elke λ > geldt lim S N+( (λ) N ) G. N Bewijs. Zoals bij het geval dat λ drukken wij het kleinste positieve nulpunt (λ) N van S N+ () weer uit in een hoek door (λ) N cos θ(λ+) N,N+. Dan geldt doordat S N+() dat S N+ ( (λ) N ) N + (N + + λ) N λ+ N + (N + + λ) N λ+ d N,λ π θ(λ+) N,N+ N N (λ) () N () π θ(λ+) N,N+ N+ () d N+ (sin θ) cos θdθ sin θ N+ (sin θ) cos θdθ. (6) sin θ Met de substitutie y (N + )θ en door de nieuwe bovengrens te schrijven als ϕ (λ) (N + )( π θ(λ+) N,N+ ) krijgen wij (λ) ϕ S N+ ( (λ) N ) d N N,λ N+ (sin y ) (N+) (N + ) sin y (N+) cos y (N + ) dy. N Voor de bovengrens van de integraal wordt in Lemma 3.5 laten zien dat lim N ϕ (λ) N π. Uit Lemma 3.6 zal volgen dat lim d N,λ N+ (sin y N (N + ) ) sin y. π Om deze limieten te gebruiken moet er eerst vereenvoudigd worden tot (λ) ϕ S N+ ( (λ) N ) N d N,λ N+ (sin y ) [ ] y (N+) (N+) y cos dy. y sin (N + ) y (N+) De term tussen de rechte haken convergeert naar als N door de standaardlimiet en door cos. In combinatie met de limieten uit de lemma s volgt nu lim sin lim S N+( (λ) N ) N π 9 π sin d G.

21 Lemma 3.5 Voor λ > geldt voor de bovengrens ϕλ N π als N. cos θ(λ+) N,N+ nodig. Dit is het eerste positieve. Uit Corollary 3. van [7] kan een benadering gehaald worden voor het Bewijs. Voor de bovengrens is het punt (λ) N nulpunt van N+ nulpunt (λ) n/,n cos θ(λ+) n/,n van Gegenbauerpolynoom C(λ) n. Hier wordt de entierfunctie gebruikt die het grootste gehele getal kleiner dan geeft. De benadering is n/,n n + n/ π n cos (λ) ( π n + n/ n π ), waardoor Dit betekent voor ϕ (λ) N dat π θ(λ) n/,n n + n/ n π. lim N ϕ(λ) N lim N (N + )(π θ(λ+) N,N+ ) lim (N + ) N [ N + ] π + lim N π. π N + π 3.3 Gegenbauerpolynomen als speciaal geval van hypergeometrische functies Om Lemma 3.6 te bewijzen maken wij een uitstapje naar de geometrische functies. Deze polynomen representeren weer een grotere klasse, waarbij de Gegenbauerpolynomen een speciaal geval zijn. De geometrische functies zijn oplossingen van de differentiaal vergelijking z( z)y + [c ( + a + b)z]y aby. Hier kan z een comple getal zijn en is de oplossing weer van de vorm y n k nz n. De coëfficiënten van de reeks voldoen aan de recursievergelijking k n+ (a + n)(b + n) (n + )(c + n) k n.

22 Door a te kiezen kan de betrekking worden omgeschreven tot de directe formule De reeks wordt dan vaak genoteerd als F (a, b; c; z) k n (a) n(b) n n!(c) n. n (a) n (b) n n!(c) n z n. De Gegenbauerpolynomen zijn een speciaal geval van de geometrische functies. Door a, b, c en z handig te kiezen kan de differentiaal vergelijking worden omgeschreven tot de differentiaal vergelijking van de Gegenbauerpolynomen. Voor de Gegenbauerpolynomen geldt C n (λ) () F ( n, n + λ; λ + ; ). In het lemma willen wij de polynomen omschrijven naar de sinusfunctie. Die kan zelf weer in een geometrische functie worden omgeschreven door de Taylorreeks van de sinus te gebruiken sin () k + ( + )! F (.,.; 3 ; 4 ). Hier wordt de geometrische functie zonder a en b gebruikt, waarbij het laatste volgt uit F (.,.; 3 ; 4 ) (3/) k k! ) k ( 4 (3/) k k!4 k ()k + () k + 3/(3/ + )... (3/ + k )k!4 k () k + 3(3 + )... (3 + (k ))(k)!! () k + ( + )!. Met deze gereedschappen kan nu het benodigde lemma worden bewezen. Lemma 3.6 Voor λ > geldt en dan lim n ()n n λ C n+(sin (λ) y ) sin y (7) n lim d N,λ N+ (sin y N (N + ) ) sin y. (8) π

23 Bewijs. Voor de Gegenbauerpolynomen zijn wij al eerder een representatie in geometrische functies tegengekomen. Voor de oneven termen gelden ook de volgende vergelijkingen, zie [6], C n+() (λ) n Γ(n + λ + ) () F ( n, n + λ + ; 3 n!γ(λ) ; ) n Γ(n + λ + ) ( n) k (n + λ + ) k (). n!γ(λ) (3/) k k! Door te gebruiken dat () k ( n) k n!/(n k)!, waardoor ( n) k /n! () k /(n k)!, geldt er C n+() (λ) n Γ(n + λ + ) () k (n + λ + ) k () Γ(λ) (3/) k (n k)!k! en door Γ(n + λ + )(n + λ + ) k Γ(n + λ + k + ) kan er vereenvoudigd worden tot C (λ) n+() () n Γ(λ) () k Γ(n + λ + k + ) (3/) k (n k)!k! Door nu sin y in te vullen en de vergelijking te herschrijven, ontstaat in het linkerlid n de rij waar de limiet van berekend moet worden: () n Γ(λ)n λ C n+(sin (λ) y y ) n sin n n () k Γ(n + λ + k + ) ( sin y ). (9) (3/) k k! (n k)! n Wat rest is te laten zien dat de limiet van het rechterlid gelijk is aan sin y yf (.,.; 3 ; y 4 ) y Voor de term voor de reeks in (9) geldt dat y lim n sin n n lim n (3/) k k! sin y n y n y y ) k ( y. () 4 en ( lim sin y ) ( lim sin y ). () n n n n Voor het asymptotisch gedrag van de gammafunctie gebruiken wij Stelling 3.4- van [8]. Deze stelling zegt dat voor reële a, b en geldt Γ(a + ) lim Γ(b + ) b a. ()

24 Dit betekent dat Γ(n + k + λ + ) (n k)! Γ(n + k + λ + ) Γ(n k + ) Γ(n + k + + λ) Γ(n + k + ) n+λ. (3) Uit () en (3) volgt nu dat lim n () n n λ C n+(sin (λ) y ) sin y waardoor het eerste n deel van het lemma is bewezen. Voor het tweede deel van het lemma moet er laten zien worden dat π d N,λ () N N λ. Het asymptotische gedrag is ook uit () te halen. De coëfficient d N,λ is in (6) gedefinieerd als N + (N + + λ) N λ+ N (). De norm en C (λ) N () kunnen in Gammafuncties worden uitgedrukt, zoals al eerder is laten zien. Door twee keer πγ(z) z Γ(z)Γ(z + ), de verdubbelingsformule van Legendre, toe te passen kan vervolgens met () het gewenste gedrag worden bewezen. Hiermee is het lemma bewezen, dus ook Stelling

25 4 Conclusie In deze scriptie is laten zien dat voor de Fourier- en Gegenbauerreeksen dezelfde Gibbsconstante geldt. De Gegenbauerpolynomen omvatten ook de Legendre- en Chebyshevpolynomen, waardoor het Gibbseffect ook voor de bijbehordende reeksen is bewezen. Bij de Chebyshevpolynomen is de partiële reeks van de blokgolf in de etreme waarden zelfs gelijk aan de partiële Fourierreeks. De vraag is nu of het effect en de constante voor een veel grotere klasse van orthogonale polynomen hetzelfde is. Een goede kandidaat zijn de hypergeometrische functies, want die waren ook nodig voor de Gegenbauerreeks, die omvat worden door de hypergeometrische functies. Een vervolgonderzoek zou kunnen bestaan uit het zoeken naar voorwaarden voor de hypergeometrischereeks voor de aanwezigheid en de grootte van het Gibbseffect. Onderzoek naar het Gibbseffect in orthogonale polynomen is onder andere door Abdul J. Jerri en David Gottlieb en Steven A. Orszag gedaan. Uit onderzoek blijkt dat het Gibbseffect niet bij alle orthogonale polynomen voorkomt, maar wel bij de klasse van Fourier-J -Besselreeksen en J -Hankeltranformaties. Er wordt nog steeds onderzoek naar gedaan en vooral naar manieren om het Gibbseffect te verminderen. Een veelgebruikte methode is de Lanczos-σ-averaging, die vanuit de Fourieranalyse is ontstaan. A.J. Jerri, The Gibbs phenomenon in Fourier analysis, splines and wavelet approimations, 998 David Gottlieb and Steven A. Orszag, Numerical Analysis of Spectral Methods: Theory and Applications, 977 4

26 Referenties [] Vretblad, A., Fourier Analysis and Its Applications, Springer, januari 3. [] Lanczos, C., Discourse on Fourier series, Oliver & Boyd, 966. [3] Khamsi, M.A., Gibbs phenomenon, [4] Hochstadt, H., The Functions of Mathematical Physics, Dover Publications, 986. [5] Kaber, S.M., The Gibbs phenomenon for Jacobi epansions, Université Paris, 5. [6] Szegö, G., Orthogonal Polynomials, American Mathematical Society, Volume XXIII, 939. [7] Elbert, Á en Laforgia, A., Upper Bounds for the Zeros of Ultraspherical Polynomials, Journal of Approimation Theory, 6(), 99. [8] Carlson, B.C., Special Functions of Applied Mathematics, Academic Press, 977. [9] Ismail, M. Mathematical Analysis, wavelets, and Signal Processing, Contemporary Mathematics, 995.

Overzicht Fourier-theorie

Overzicht Fourier-theorie B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van

Nadere informatie

168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN

168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a

Nadere informatie

TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER

TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES

Nadere informatie

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom 8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer

Nadere informatie

Hoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen

Hoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Hoofdstuk : Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Partiële differentiaalvergelijkingen zijn vergelijkingen waarin een onbekende functie van twee of meer variabelen en z n partiële afgeleide(n)

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 30 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 33 Outline 1 2 Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen

Nadere informatie

Aanvullingen van de Wiskunde

Aanvullingen van de Wiskunde 3de Bachelor EIT - de Bachelor Fysica Academiejaar 014-015 1ste semester 7 januari 015 Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven is een lineaire partiële differentiaalvergelijking van orde 1: a 1 (x 1,,

Nadere informatie

Doe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle.

Doe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle. De n-de term van de numerieke rij (t n ) (met n = 0,, 2,...) is het rekenkundig gemiddelde van zijn twee voorgangers. (a) Bepaal het Z-beeld F van deze numerieke rij en het bijhorende convergentiegebied.

Nadere informatie

Tentamen Functies en Reeksen

Tentamen Functies en Reeksen Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking Proeftentamen 3 Functies van één veranderlijke (15126 De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 3 november 0 Normering voor pt vragen andere vragen naar rato): pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Tentamen Gewone Differentiaal Vergelijkingen II

Tentamen Gewone Differentiaal Vergelijkingen II Tentamen Gewone Differentiaal Vergelijkingen II.0.007 Jullie mogen een willekeurige van de vier opgaven als bonusopgave bekijken. (Dus drie opgaven volledig en goed gedaan is al een 10.) Opgave 1 Bekijk

Nadere informatie

Aanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen

Aanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen de Bachelor EIT 2de en de Bachelor Wiskunde Academiejaar 215-216 1ste semester 26 januari 216 Aanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen 1. Gegeven een homogene lineaire partiële

Nadere informatie

Airyfunctie. b + π 3 + xt dt. (2) cos

Airyfunctie. b + π 3 + xt dt. (2) cos LaTeX opdracht Bewijzen en Redeneren 1ste fase bachelor in Fysica, Wiskunde Werk de volgende opdracht individueel uit. U moet hier alleen aan werken. Geef ook geen files door aan anderen. Ingediende opdrachten

Nadere informatie

Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07

Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07 Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30 Auditorium L.00.07 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.

Nadere informatie

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1 WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We

Nadere informatie

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D020. Datum: Vrijdag 26 maart 2004. Tijd: 14.00 17.00 uur. Plaats: MA 1.41 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.10, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 23 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline 1 2 3 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 13 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 41 Outline III.6 The Residue Theorem 1 III.6 The

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Examen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet. dinsdag 5 januari Vraag 1.1. Waar of vals (1pt) Het beginvoorwaardenprobleem

Examen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet. dinsdag 5 januari Vraag 1.1. Waar of vals (1pt) Het beginvoorwaardenprobleem Examen Wiskundige Analyse I ste bach ir wet dinsdag 5 januari 206 Vraag.. Waar of vals (pt) Het beginvoorwaardenprobleem 32x 3 y = (y ) 3, y() = 2, y () = 4 bezit een unieke oplossing, die geldig is in

Nadere informatie

Fourieranalyse. J. Hulshof November 17, 2011

Fourieranalyse. J. Hulshof November 17, 2011 Fourieranalyse J. Hulshof November 7, 0 Inleiding. Dit onderwerp begint met het inzicht dat π-periodieke (reele of complexe) functies f(x) met x IR te schrijven zijn als sommen van de standaard π-periodieke

Nadere informatie

1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE

1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Uiterste inleverdatum dinsdag oktober, voor het begin van het college N.B. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je moet het huiswerk

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (15126) op dinsdag 4 januari 211, 8.45 11.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Inhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen

Inhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt

Nadere informatie

== Hertentamen Analyse 1 == Dinsdag 25 maart 2008, u

== Hertentamen Analyse 1 == Dinsdag 25 maart 2008, u == Hertentamen Analyse == Dinsdag 5 maart 8, 4-7u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent (S Hille, O van Gaans) en je studierichting Geef niet alleen antwoorden, leg elke

Nadere informatie

Examen Complexe Analyse (September 2008)

Examen Complexe Analyse (September 2008) Examen Complexe Analyse (September 2008) De examenvragen vind je op het einde van dit documentje. Omdat het hier over weinig studenten gaat, heb ik geen puntenverdeling meegegeven. Vraag. Je had eerst

Nadere informatie

5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm

5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm 5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm x y + xy + (x ν )y = met ν R (1) heet een Bessel (differentiaal)vergelijking. De waarde van ν noemt men ook wel de orde

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 21 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 32 Outline 1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie

Nadere informatie

1. (a) Formuleer het Cauchy criterium voor de convergentie van een reeks

1. (a) Formuleer het Cauchy criterium voor de convergentie van een reeks Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 7 augustus 2015, 16:30 19:30 (20:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek

Nadere informatie

Inhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie

Inhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft

Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek wi23wbmt Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi23wbmt 1 / 12 Fourierreeksen van even en oneven functies a 2 + (

Nadere informatie

Examen G0O17D Wiskunde II (6sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-12:30 uur

Examen G0O17D Wiskunde II (6sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-12:30 uur Examen GO7D Wiskunde II (6sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Biochemie & Biotechnologie Bachelor hemie, Bachelor Geologie Schakelprogramma Master Biochemie & Biotechnologie en Schakelprogramma Master

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015, Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd

Nadere informatie

Oefeningen Analyse I

Oefeningen Analyse I Oefeningen Analyse I Hoofdstuk 2: Rijen en Reeksen Inleiding Opmerking: In deze tekst kunnen fouten staan. Het zijn meestal oefeningen opgeschreven vanuit de lest, met eventueel zelf gemaakte oefeningen

Nadere informatie

Calculus I, 23/11/2015

Calculus I, 23/11/2015 Calculus I, /11/015 1. Beschouw de functie met a, b R 0. f = a + b + lne a Benoem het domein van de functie f. b Bepaal a en b zodat de rechte y = 1 een schuine asymptoot is voor f. c Voor a = en b = 1,

Nadere informatie

Hoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen

Hoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Hoofdstuk : Partiële differtiaalvergelijking Fourierreeks Partiële differtiaalvergelijking zijn vergelijking waarin e onbekde functie van twee of meer variabel z n partiële afgeleide(n) voorkom. Dit in

Nadere informatie

Opgaven bij Numerieke Wiskunde I

Opgaven bij Numerieke Wiskunde I Opgaven bij Numerieke Wiskunde I 7 november 8 1. (a) Gegeven verschillende interpolatiepunten x, x 1, x [a, b], en getallen y, y 1, y, z 1, toon aan dat er hooguit 1 polynoom p P 3 is met p(x i ) = y i,

Nadere informatie

Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit

Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoewel we reeds vele methoden gezien hebben om allerlei typen differentiaalvergelijkingen op te lossen, zijn er toch nog veel differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Genererende Functies K. P. Hart

Genererende Functies K. P. Hart genererende_functies.te 27--205 Z Hoe kun je een rij getallen zo efficiënt mogelijk coderen? Met behulp van functies. Genererende Functies K. P. Hart Je kunt rijen getallen op diverse manieren weergeven

Nadere informatie

Je mag Zorich deel I en II gebruiken, maar geen ander hulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmachine etc.)!

Je mag Zorich deel I en II gebruiken, maar geen ander hulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmachine etc.)! Tentamen Analyse II. Najaar 6 (.1.7) Toelicting: Je mag Zoric deel I en II gebruiken, maar geen ander ulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmacine etc.)! Als je bekende stellingen gebruikt

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 3 oktober 2007.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 3 oktober 2007. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Algemeen deel. Bij het vermenigvuldigen met van de ongelijkheid moet u rekening houden met twee gevallen, te weten > 0 en < 0 en u moet

Nadere informatie

ax + 2 dx con- vergent? n ln(n) ln(ln(n)), n=3 (d) y(x) = e 1 2 x2 e 1 2 t2 +t dt + 2

ax + 2 dx con- vergent? n ln(n) ln(ln(n)), n=3 (d) y(x) = e 1 2 x2 e 1 2 t2 +t dt + 2 Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NPB 8 januari 3, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering

Nadere informatie

Examen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica

Examen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Examen GO7E Wiskunde II (3sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Auditorium De Molen: A D Auditorium MTM3: E-Se Auditorium MTM39: Sh-Z Naam: Studierichting: Naam assistent:

Nadere informatie

Tuyaux 3de Bachelor Wiskunde WINAK

Tuyaux 3de Bachelor Wiskunde WINAK Tuyaux 3de Bachelor Wiskunde WINAK Eerste Semester 2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Maattheorie 3 2.1 Theorie....................................... 3 2.2 Oefeningen.....................................

Nadere informatie

Inleiding Analyse 2009

Inleiding Analyse 2009 Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn

Nadere informatie

Indicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek

Indicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Indicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat niet alleen voorkennis in de zin dat moet u al gehad hebben en kennen, maar ook in de

Nadere informatie

3 Rijen en reeksen van functies

3 Rijen en reeksen van functies 3 Rijen en reeksen van functies 3.1 Uniforme convergentie van een rij functies Met het oog op latere toepassingen op machtreeksen en Fourierreeksen werken we in het vervolg steeds met complexwaardige functies.

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 4 en raakvlakken collegejaar : 16-17 college : 4 build : 19 september 2016 slides : 30 Vandaag Snowdon Mountain Railway (Wales) 1 De richtingsafgeleide 2 aan een grafiek 3 Differentieerbaarheid

Nadere informatie

Irrationaliteit en transcendentie

Irrationaliteit en transcendentie Hoofdstuk 9 Irrationaliteit en transcendentie 9. Irrationale getallen In dit hoofdstuk zullen we aannemen dat de lezer weet wat reële getallen zijn, hoewel dat misschien niet helemaal gerechtvaardigd is.

Nadere informatie

(b) Formuleer het verband tussen f en U(P, f), en tussen f en L(P, f). Bewijs de eerste. (c) Geef de definitie van Riemann integreerbaarheid van f.

(b) Formuleer het verband tussen f en U(P, f), en tussen f en L(P, f). Bewijs de eerste. (c) Geef de definitie van Riemann integreerbaarheid van f. Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 2 juli 2015, 08:30 11:30 (12:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek Analysis

Nadere informatie

18.I.2010 Wiskundige Analyse I, theorie (= 60% van de punten)

18.I.2010 Wiskundige Analyse I, theorie (= 60% van de punten) 8.I.00 Wiskundige Analyse I, theorie 60% van de punten) Beantwoord elk van de vragen I,II,III en IV op één van de dubbele geruite bladen. Schrijf op elk van die dubbele geruite bladen, bovenaan de eerste

Nadere informatie

Examenvragen Wiskundige Analyse I, 1ste examenperiode

Examenvragen Wiskundige Analyse I, 1ste examenperiode Examenvragen Wiskundige Analyse I, ste examenperiode 24-25 Vraag (op 6pt) Vraag.. Waar of vals (.5pt) De Wronskiaanse determinant van twee LOF oplossingen y en y 2 van de differentiaalvergelijking cosh(x)y

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 6 collegejaar : 8-9 college : 6 build : 2 oktober 28 slides : 38 Vandaag Minecraft globe van remi993 2 erhaalde 3 4 intro VA Drievoudige integralen Section 5.5 Definitie Een rechthoekig blok is

Nadere informatie

Utrecht, 25 november Numerieke Wiskunde. Gerard Sleijpen Department of Mathematics.

Utrecht, 25 november Numerieke Wiskunde. Gerard Sleijpen Department of Mathematics. Utrecht, 25 november 2014 Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ [a, b] R, : [a, b] R Benader f door eenvoudige functies Voorbeelden eenvoudige

Nadere informatie

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18 Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18 Rocco van Vreumingen 29 augustus 2014 1 Inhoudsopgave 1 Hints 1 3 2 Hints 2 4 3 Hints 3 5 4 Hints 4 5 5 Hints 5 6 6 Hints 6 6 7 Hints 7 6 8 Antwoorden

Nadere informatie

Infi A oefententamen ψ

Infi A oefententamen ψ Infi A oefententamen ψ Aanwijzingen Motiveer alle antwoorden. Werk rustig, netjes en duidelijk. Zorg dat je uitwerking maar één interpretatie toelaat. Alle informatie op dit opgavenblad mag bij alle (deel)opgaven

Nadere informatie

Veeltermen om hoeken in stukjes te delen.

Veeltermen om hoeken in stukjes te delen. Veeltermen om hoeken in stukjes te delen. Voetnoot bij het seminarium Geschiedenis van de Wiskunde Maxim Hendriks, Maart 2006 In Van den Circkel gebruikt Ludolph van Ceulen veeltermvergelijkingen om uit

Nadere informatie

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar ste semester 10 januari 2008

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar ste semester 10 januari 2008 ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 007-008 ste semester 0 januari 008 Analyse I. Bewijs de stelling van Bolzano-Weierstrass: elke oneindige begrensde deelverzameling van R heeft minstens

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

n 2 + 2n + 4 3n 2 n + 4n n + 2n + 12 n=1

n 2 + 2n + 4 3n 2 n + 4n n + 2n + 12 n=1 Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 2 NWI-NP004B 6 april 205, 8.00 2.00 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten

Nadere informatie

== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u

== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u == en Tentamen Analyse, WI6 == Maandag januari, 4.-7.u Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI. Gegeven is de functie + e + e arctan,, f = +, >. a Beargumenteer dat f continu is op R. b Bepaal de

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets) Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N

Nadere informatie

Wanneer zijn alle continue functies uniform continu?

Wanneer zijn alle continue functies uniform continu? Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Wanneer zijn alle continue functies uniform continu? Bachelor Project I Stijn Tóth Promotor: Prof. Eva Colebunders Academiejaar 2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding

Nadere informatie

Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur

Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele

Nadere informatie

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele

Nadere informatie

V.4 Eigenschappen van continue functies

V.4 Eigenschappen van continue functies V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt

Nadere informatie

Ter Leering ende Vermaeck

Ter Leering ende Vermaeck Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel

Nadere informatie

Signalen en Transformaties

Signalen en Transformaties Signalen en Transformaties 201100109 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Complexe getallen z D a C bi We definiëren de complex

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden.

Technische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. Technische Universiteit elft Tentamen Calculus TI06M - Uitwerkingen Opmerkingen:. Het gebruik van de rekenmachine is NIET toegestaan.. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. 3. Bij iedere vraag

Nadere informatie

(x x 1 ) + y 1. x x k+1 x k x k+1

(x x 1 ) + y 1. x x k+1 x k x k+1 Les Talor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen

Nadere informatie

Buiging van een belaste balk

Buiging van een belaste balk Buiging van een belaste balk (Modelbouw III) G. van Delft Studienummer: 0480 E-mail: gerardvandelft@email.com Tel.: 06-49608704 4 juli 005 Doorbuigen van een balk Wanneer een men een balk op het uiteinde

Nadere informatie

Hoofdstuk 11: Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie

Hoofdstuk 11: Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie Hoofdstuk : Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie.. Tweepunts randwaardeproblemen. Bij het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen met behulp van de methode van scheiden van variabelen

Nadere informatie

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling TU/e technische universiteit eindhoven Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk

Nadere informatie

e x x 2 cos 2 (sin t) cos(t) dt

e x x 2 cos 2 (sin t) cos(t) dt Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP3B 5 november, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boeken) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering

Nadere informatie

In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies.

In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. 03 college 5: meer technieken In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. Opmerking over de notatie. Net als in het

Nadere informatie

Examenvragen Hogere Wiskunde I

Examenvragen Hogere Wiskunde I 1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies

Nadere informatie

Het uitwendig product van twee vectoren

Het uitwendig product van twee vectoren Het uitwendig product van twee vectoren Als u, v R 3, u = u 1, u 2, u 3 en v = v 1, v 2, v 3 dan is het uitwendig product van u en v gelijk aan een vector in R 3 en wel u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3,

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen

Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen De inhoud van hoofdstuk 3 zou grotendeels bekende stof moeten zijn. Deze stof is terug te vinden in Stewart, hoofdstuk 17. Daar staat alles

Nadere informatie

1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3

1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3 HOOFDSTUK 6: RIJEN 1 Limiet van een rij 2 1.1 Het begrip rij 2 1.2 Bepaling van een rij 2 1.2.1 Expliciet voorschrift 2 1.2.2 Recursief voorschrift 3 1.2.3 Andere gevallen 3 1.2.4 Rijen met de grafische

Nadere informatie

Analyse 1 Handout limieten en continuïteit

Analyse 1 Handout limieten en continuïteit Analyse Handout ieten en continuïteit Rogier Bos Inhoudsopgave Limieten 2. Intuïtief ieten bepalen........................ 2.2 Rekenen aan ieten........................... 4.3 Limieten als spel.............................

Nadere informatie

3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.

3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n. Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij

Nadere informatie

V.2 Limieten van functies

V.2 Limieten van functies V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de

Nadere informatie

De partitieformule van Euler

De partitieformule van Euler De partitieformule van Euler Een kennismaking met zuivere wiskunde J.H. Aalberts-Bakker 29 augustus 2008 Doctoraalscriptie wiskunde, variant Communicatie en Educatie Afstudeerdocent: Dr. H. Finkelnberg

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Machtreeksoplossingen van tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen

Hoofdstuk 5: Machtreeksoplossingen van tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen Hoofdstuk 5: Machtreeksoplossing van tweede orde lineaire differtiaalvergelijking 5.1. Machtreeks. In deze paragraaf word de belangrijkste eigschapp van machtreeks op e rijtje gezet. Zelf doorlez! Zie

Nadere informatie

Wiskunde voor relativiteitstheorie

Wiskunde voor relativiteitstheorie Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College

Nadere informatie

Examen Analyse 2 : Theorie (zonder Maple). (7 januari 2014)

Examen Analyse 2 : Theorie (zonder Maple). (7 januari 2014) Examen Analyse 2 : Theorie (zonder Maple). (7 januari 204). Maclaurin reeksen. Geef met bewijs de Maclaurin reeksontwikkeling van de logaritmische functie ln( + x). Geef ook het convergentie-interval van

Nadere informatie

Bijzondere kettingbreuken

Bijzondere kettingbreuken Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar

Nadere informatie

Vectorruimten en deelruimten

Vectorruimten en deelruimten Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie

Nadere informatie

Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche)

Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche) Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche) De onderwerpen sluiten aan bij het onderzoek in de afdeling Analyse (onderzoeksgroep klassieke analyse) en zijn zo gekozen

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

OF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0

OF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Algemeen kunnen we een eerste orde differentiaalvergelijking schrijven als: y = Φ(x, y) OF (vermits y = dy dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Indien we dan P (x, y) en Q(x, y) kunnen schrijven als P (x,

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00 Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus

Nadere informatie

3 Opgaven bij Hoofdstuk 3

3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 Opgave 3. Voor k beschouwen we de functie f k : x sin(x/k). Toon aan dat f k 0 uniform op [ R, R] voor iedere R > 0. Opgave 3.2 Zij V een verzameling. Een functie f : V C heet

Nadere informatie

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op ,

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op , 1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op 25-11-1998, 9.00-12.00 uur Opgave 1 1. Formuleer de Cauchy-Riemann-vergelijkingen.

Nadere informatie