Hoofdstuk 7. Stoomturbines en hydraulische turbines. 7.1 Axiale stoomturbines met gelijkdrukprincipe

Transcriptie

1 Hoofdstuk 7 Stoomturbines en hydraulische turbines Machines, die arbeid leveren worden turbines genoemd. Ze bestaan, net zoals de pompen en compressoren, uit een rotor met rotorbladen of loopschoepen, die ronddraait in het turbinehuis. Het turbinehuis of statorhuis is meestal voorzien van leischoepen. Afhankelijk van het fluïdum waarvoor ze gemaakt zijn, onderscheiden we hydraulische, stoom- en gasturbines. Turbines worden verder onderverdeeld in volgens hun werkingsprincipe in impuls- en reactieturbines. In een impuls- of gelijkdrukturbine doet de drukval zich enkel voor in de straalpijpen of de leischoepkanalen en niet in de loopschoepkanalen. Ze worden ook wel actieturbines genoemd. Deze turbines worden aangedreven door één of meerdere hoge snelheidsstralen of jets. Elke straal wordt versneld in een straalpijp, die zich buiten het rotorwiel bevindt. Wanneer wrijving en gravitatie verwaarloosd worden, zal de stroming bij doorstroming van de rotorschoepen noch in druk noch in relatieve snelheid veranderen. Op deze wijze zal in een impulsturbine de expansie van hoge naar lage druk volledig plaatsvinden in de straalpijpen. Verder zal het rotorwiel niet volledig vollopen met fluïdum. Een typisch voorbeeld van een impulsturbine is de Laval-turbine (zie figuur 7.1). Deze wordt besproken in de volgende sectie. In overdruk- of reactieturbines, wordt een gedeelte van de drukval gerealiseerd in de rotorof loopschoepen. Een eerste versnelling van de stroming gebeurt in de straalpijpen of statorbladen, waarbij de stroming de geschikte invalshoek meekrijgt om in de rotorschoepen te stromen. Vervolgens vindt een relatieve versnelling van de stroming plaats in de rotorschoepen. De vorm van de loopschoepkanalen wordt zo ontworpen dat de expanderende stoom op de rotorschoepen een kracht uitoefent die vooral gerichts in de omlooprichting. Hierdoor levert de stroming arbeid aan de bladen van de turbine. In de meeste overdrukturbines wordt de fluïdumstraal bij doorstroming door de loopschoepen ook omgebogen, zodat ook door de richtingsverandering arbeid verricht wordt zoals in de gelijkdrukturbine. Typisch voor reactieturbines is dat ze volledig doorstroomd worden met het fluïdum. Daarom produceren ze meestal meer vermogen voor een bepaalde globale grootte van de turbine dan de impulsturbine. 7.1 Axiale stoomturbines met gelijkdrukprincipe De Laval-turbine Werkingsprincipe De turbine van Laval is de meest eenvoudige axiale gelijkdrukturbine. Zij bestaat uit één of meer straalpijpen en één loopwiel of schoepenwiel voorzien van schoepen (zie figuur 7.1). Dit wiel is 185

2 HOOFDSTUK 7. STOOMTURBINES EN HYDRAULISCHE TURBINES 186 vast verbonden met de turbine-as. De stopbussen dichten de stoomruimte af van de omgeving. De as draait in een kussenblok. Figuur 7.1: De Laval-turbine De verse stoom op een druk p 1 stroomt door de straalpijpen. De straalpijpen monden uit in het turbinehuis waar een veel lagere druk p heerst. In de straalpijp wordt de enthalpie van de stoom omgezet in kinetische energie. Vervolgens verricht de stoom arbeid op de schoepen van het loopwiel, waardoor zijn kinetische energie daalt. Het loopwiel waarop de schoepen zijn aangebracht bevindt zich in een stoomatmosfeer op een ongeveer constante druk p. Idealiter wordt de stroming doorheen de turbune reversibel en adiabatisch uitgevoerd. Dit betekent dat de entropie in dat geval constant blijft en de thermodynamische toestand over het loopwiel niet verandert. Typisch voor turbines met gelijkdrukprincipe is daarom dat ook de enthalpie constant blijft doorheen het loopwiel. In het loopwiel wordt bijgevolg kinetische energie omgezet in arbeid. Om de Laval-turbine te analyseren wordt in de volgende paragraaf een snelheidsanalyse gemaakt van het loopwiel. Vervolgens worden de thermodynamische analyses voor straalpijp en schoepenwiel uitgevoerd Analyse van het schoepenwiel Omdat de stoom met grote snelheid langs de schoepen stroomt en de kanalen tussen deze deze schoepen slecths een gering lengte hebben, zal een stoompakketje zich slechts gedurende een korte tijd tussen de schoepen bevinden. Hierdoor kan de krachtwerking van de stoom op de schoepen bestudeerd worden aan de hand van schoepen die met een rechtlijnige beweging (met snelheid u) voorbij glijden. De snelheid c 1 waarmee de stoom de schoepen binnenstroomt, wordt bepaald door de drukval over de straalpijpen. Zij dient voor wat betreft de schoepen als een gegeven beschouwd te worden. De stoom stroomt de schoepen binnen met een relatieve snelheid w 1 en verlaat deze met een snelheid w. Indien er geen wrijving is, zal de druk tussen de rotorschoepen constant zijn.

3 HOOFDSTUK 7. STOOMTURBINES EN HYDRAULISCHE TURBINES 187 Hierdoor is de gemiddelde relatieve snelheid in elke dwarsdoorsnede hetzelfde en moet w constant zijn langs de schoepen. Dit houdt ook in dat de schoepen een zodanige vorm moeten hebben dat de doorsnede van het schoepenkanaal loodrecht op w overal dezelfde doorstroomoppervlakte heeft. Daarom hebben de loopschoepen een vorm zoals aangegeven in figuur 7.1. Omwille van de wrijving is w altijd enigszins kleiner dan w 1. Men stelt: met ψ de snelheidscoëfficiënt, die in de praktijk varieert tussen: w = ψw 1 (7.1) ψ =...0, , 95 (7.) w < w 1 betekent dat de doortocht aan de uittreezijde groter dient te zijn dan aan de intree (β > β 1 of grotere schoephoogte). u c 1 β 1 α1 w 1 α c c n,1 w β c n, u Figuur 7.: Snelheidsdriehoeken van de Laval-turbine Gaat men van een ψ-waarde uit dan blijkt dat de stromingsvoorwaarden in de schoepen volledig bepaald zijn door de keuze van α 1, u en β. Voor gegeven c 1 en ψ is het dan immers mogelijk de snelheidsdriehoeken te tekenen (figuur 7.). Hierbij dient opgemerkt te worden dat de definitie van de schoepenhoek β gewijzigd is ten opzichte van de definitie bij compressoren: men neemt hier nu per conventie de binnenhoek tussen de relatieve snelheid en de sleepsnelheid. De keuze van α 1, u en β bepaalt nu de arbeid die de stoom op de schoepen uitoefent. Per kg stoom bedraagt deze omtreksarbeid l o : l o = u (c 1 cos α 1 + c cos α ) (7.3) In een ideaal schoepensysteem zou de kinetische energie van de stoom volledig in arbeid omgezet worden. De hieraan beantwoordende maximale omtreksarbeid l w is dus: l w = c 1 (7.4) Daarom definieert men het schoepenrendement η s als: η s = l o l w = u (c 1 cos α 1 + c cos α ) c 1 (7.5)

4 HOOFDSTUK 7. STOOMTURBINES EN HYDRAULISCHE TURBINES 188 Ook het schoepenrendement η s is enkel afhankelijk van de keuze van α 1, u en β en kan op basis van de snelheidsdriehoeken expliciet naar deze grootheden uitgeschreven worden: vermits c cos α = w cos β u = ψw 1 cos β 1 cos β cos β 1 u = ψ (c 1 cos α 1 u) cos β cos β 1 u (7.6) Substitutie van vergelijking (7.6) in (7.5) geeft: w 1 cos β 1 = c 1 cos α 1 u (7.7) η s = 1 + ψ cos β cos α 1 u u (7.8) cos β 1 c 1 c 1 Hieruit dient nog β 1 geëlimineerd te worden. Dit kan ook via de snelheidsdriehoeken (zie verder). Echter, in de praktijk zal men β β 1 nemen omdat w w 1 en de doorsnede niet al te sterk kan wijzigen. Voor symmetrische schoepen krijgt men: η s = (1 + ψ) cos α 1 u u (7.9) c 1 c 1 Door de afgeleide van η s volgens (7.8) naar α 1 gelijk aan nul te stellen, verkrijgt men dat de optimale waarde voor α 1 = 0. Dit zou echter betekenen dat er geen debiet door het schoepenkanaal zou stromen. Men kiest daarom in de praktijk waarden voor α 1 van 15 tot 5 zodat cos α 1 weinig van 1 verschilt. De optimale waarde van u wordt dan: u = cos α 1 c 1 (7.10) Immers, de uitdrukking van het schoepenrendement η s vormt een parabool als functie van u/c 1 met nulpunten bij u/c 1 = 0 en u/c 1 = cos α 1. u c 1 wordt dus een weinig kleiner dan 0,5 genomen (u/c 1 = 0,45 tot 0,48). De optimale omtreksnelheid is dus weinig kleiner dan de helft van de stoomsnelheid c 1. In het voorgaande werd ψ constant verondersteld. In werkelijkheid neemt ψ af met grotere ombuiging van de stoomstraal (β 1 en β kleiner). Dit wordt getoond in figuur 7.3 voor symmetrische schoepen. Tenslotte kan ook het schoepenrendement voor asymmetrische schoepen neergeschreven worden. Dit wijzigt echter niets aan de conclusies voor de optimale waarden van alpha 1, β en u/c 1. Voor de volledigheid wordt de afleiding hieronder weergegeven. Vermits:

5 HOOFDSTUK 7. STOOMTURBINES EN HYDRAULISCHE TURBINES 189 Figuur 7.3: Variatie van de snelheidsfactor in loopschoepen als functie van de schoepenhoeken geldt: tan β 1 = w 1 sin β 1 w 1 cos β 1 = c 1 sin α 1 c 1 cos α 1 u = sin α 1 cos α 1 u c 1 (7.11) cos β 1 = = 1 (1 + tan β 1 ) 1/ = sin α 1 cos α 1 u c 1 1/ cos α 1 u c 1 = cos α 1 u c 1 1/ cos α 1 u c 1 + sin α 1 1 u c 1 cos α 1 + u c1 1/ (7.1) Dit leidt tot de uitdrukking: 1/ cos β 1 u η s = 1 + ψ c 1 cos α 1 + u c1 cos α 1 u cos α 1 u u (7.13) c 1 c 1 c 1 of η s = cos α 1 uc1 + ψ cos β 1 u u 1/ cos α 1 + u (7.14) c 1 c 1 c 1 Uit deze uitdrukking blijkt dat de meest optimale waarden van β nul is. Ook dit zou betekenen dat er geen debiet door het schoepenkanaal zou stromen. Daarom neemt men in de praktijk voor β waarden aan kleiner dan Thermodynamische analyse van de straalpijpen Figuur 7.4 geeft de toestandsveranderingen weer die de stoom ondergaat in de Lavalturbine. De toestand A is deze van de stoom vóór de straalpijp (druk p 1 en temperatuur t 1 ). De druk in het turbinehuis is p.

6 HOOFDSTUK 7. STOOMTURBINES EN HYDRAULISCHE TURBINES 190 Figuur 7.4: h-s-diagram voor de expansie van de stoom over de turbine Bij isentropische expansie van de stoom in de straalpijp wordt een eindtoestand 0 bekomen, gekenmerkt door een snelheid c 0 gegeven door (zie figuur 7.4, beginsnelheid wordt verwaarloosd): c 0 = h s h 0 = h t (7.15) Het rechterlid stelt de theoretische enthalpieval voor die in een wrijvingsloze straalpijp integraal in kinetische energie omgezet wordt. De theoretisch beschikbare energie die in de turbine in arbeid kan omgezet worden l t is dus ook: l t = h t (7.16) In werkelijkheid doet er zich wrijving voor in de straalpijp en is de snelheid die men bekomt slechts c 1 = φc 0 met φ tussen de 9 en 97%. De werkelijk beschikbare enthalpieval h w en de daarmee gepaard gaande werkelijk produceerbare arbeid l w in het schoepenwiel bedragen dus: l w = h w = c 1 = φ c 0 = φ h t (7.17) Het enthalpieverlies h p te wijten aan de wrijving in de straalpijpen is dus: h p = h t h w = 1 φ h t = h 1 h 0 (7.18) Het straalpijprendement η p wordt dan gedefinieerd als: η p = l w = c 1 l t c = φ (7.19) 0

7 HOOFDSTUK 7. STOOMTURBINES EN HYDRAULISCHE TURBINES 191 Wat aanleiding geeft tot een omtreksrendement η o van de turbine: η o = l o l t = η p η s = φ η s (7.0) Thermodynamische analyse van het schoepenwiel Door de wrijving in de schoepen geldt dat de relatieve snelheid in het schoepenwiel afneemt (w = ψ 1 w 1 met ψ tussen de 85 en 95%). De stoom aan de uitgang van de schoepen is dus aanwezig bij een enthalpie h. De enthalpie in toestand kan bepaald worden via de energievergelijking in een meeglijdend systeem: h h 1 = w 1 w = 1 ψ w1 (7.1) w 1 dient uiteraard uit de snelheidsdriehoeken bepaald te worden. De enthalpietoename h s te wijten aan de wrijving in de schoepen wordt dus gegeven door: h s = 1 ψ w 1 (7.) De stoom verlaat de schoepen met de absolute snelheid c, die volgt uit de constructie van de snelheidsdriehoeken. De hieraan beantwoordende kinetische energie is in een Lavalturbine nog aanzienlijk. Deze kinetische energie wordt vernietigd en enthalpie van de stoom omgezet in het huis van de turbine na het verlies van de kinetische energie. De toestand 3 van de stoom heeft een enthalpie h 3 gegeven door: h 3 h = c (7.3) Door het vernietigen van de kinetische energie na de schoepenuitlaat ontstaat dus een enthalpietoename h u : h u = h 3 h = c (7.4) De omtreksarbeid l o, die de stoom op de schoepen verricht, wordt met de Eulervergelijking gegeven als: l o = c 1 c + w w 1 = c 0 c 0 c 1 w 1 w c (7.5) of l o = h t h p h s h u = h o (7.6)

8 HOOFDSTUK 7. STOOMTURBINES EN HYDRAULISCHE TURBINES De inwendige arbeid Het is evenwel de inwendige arbeid l i die aan de turbine-as beschikbaar is en niet l o. Het verschil tussen beide is de wrijvingsarbeid omwille van het ronddraaien van het loopwiel en de turbine-as in de stoomatmosfeer. Het inwendig rendement η i van de turbine wordt daarom gedefinieerd als: η i = l i l t (7.7) Het vermogen Lw,v dat verloren gaat door deze wrijvingsarbeid kan met een eenvoudige proef bepaald worden. De wrijvingsarbeid per kg stoom bedraagt dan Lw,v m. Deze arbeid op de stoom in het huis verricht geeft aanleiding tot een enthalpieverhoging van de stoom tot een toestand 4 met: h 4 h 3 = Lw,v m = h w,v (7.8) De toestand 4 kan aldus op het diagramma (figuur 7.4) geïdentificeerd worden. Lw,v dient bij middel van empirische correlaties bepaald te worden. Het is in de toestand 4 dat de stoom de turbine verlaat. Er dient opgemerkt te worden dat in werkelijkheid de wrijving met het loopwiel en de afremming van de stoom na de schoepen zich gelijktijdig voltrekt. Thermodynamisch kan men deze processen evenwel los van elkaar denken. De inwendige arbeid l i wordt dus gegeven door: l i = l o h w,v = h i = h a h 4 (7.9) Omdat de omtrekarbeid l o niet integraal op de as beschikbaar is, maar ook wrijvingsarbeid bevat, die veroorzaakt wordt door het ronddraaien van het loopwiel in de stoomatmosfeer, worden ook de optimale schoepenwaarden licht gewijzigd. De wrijvingsarbeid is evenredig met de derde macht van u. Dit betekent dat de meest optimale u-waarde voor wat betreft de inwendige arbeid l i op de as beschikbaar lager is dan de meest optimale u-waarde voor l o. Globale rendementscurven (voor de exacte definitie van η o zie vergelijking (7.0)), zoals die in figuur 7.5 links, zijn gesteund op de veronderstelling dat de schoepen inderdaad de bij de gekozen u- en α 1 -waarden behorende β 1 -waarden hebben. Voor gegeven c 1 verandert β 1 met u namelijk. Deze figuur werd berekend op basis van het schoep- en straalpijprendement (met φ = 0.95,) in functie van u c 1 rekening houdend met een verloop van ψ, zoals getoond in figuur 7.3 in de veronderstelling van symmetrische schoepen. In een bestaande turbine liggen α 1, β 1 en β uiteraard vast. Indien de omtreksnelheid u verandert, zal in een bestaande turbine niet de curve zoals a van figuur 7.5 rechts gevolgd worden die dezelfde is als de curven voor η o van figuur 7.5 links, maar wel de curve b. De reële rendementscurve ligt lager omwille van de stootverliezen te wijten aan het instromen van de stoom met een hoek β 1 die verschilt van de ingebouwde hoek β 1.

9 HOOFDSTUK 7. STOOMTURBINES EN HYDRAULISCHE TURBINES 193 Figuur 7.5: Rendement η o in functie van relatieve loopsnelheid u c 1 bepaalde turbine (rechts) en invalshoek α 1 (links) en oor een Een figuur zoals 7.5 laat toe de meest optimale omtreksnelheid te bepalen met betrekking tot het rendement van de arbeidsproductie. De meest optimale u-waarde uit oogpunt van de kostprijs van de geproduceerde arbeid kan hiervan merkelijk verschillen. Deze kostprijs houdt ook rekening met de kostprijs van de turbine die met toenemende u-waarden vergroot. Houdt men rekening met de hierboven vermelde wrijvingsverliezen, dan blijkt de meest economische waarde van u c 1 tussen 0,40 en 0,45 te liggen De effectieve arbeid De arbeid l e aan de koppeling van de turbine effectief beschikbaar is kleiner dan l i omdat deze laatste tevens de mechanische verliezen in kussenblokken, regulateurs, dient te dekken. Het mechanisch rendement η m van de turbine houdt hiermee rekening: Voor turbines bedraagt dit tussen 95 en 99 %. η m = l e l i (7.30) Uitdrukking (7.9) kan gebruikt worden om het stoomdebiet van een turbine met een effectief vermogen Le te bepalen: of Le= Li η m = m h i η m = m h t η i η m (7.31) Le m= (7.3) η m η i h t Besluit De samenstelling van de turbine met straalpijp, loopschoepen en wrijvingsfenomenen leidde in de bovengaande secties tot de definitie van de volgende rendementen: - het straalpijprendement η p :

10 HOOFDSTUK 7. STOOMTURBINES EN HYDRAULISCHE TURBINES het schoepenrendement η s : η p = l w = c 1 l t c = φ (7.33) 0 η s = l o l w = u (c 1 cos α 1 + c cos α ) c 1 (7.34) - het omtreksrendement η o : η o = l o l t = η p η s = φ η s (7.35) - het inwendig rendement η i : η i = l i l t (7.36) - het mechanisch rendement η m : η m = l e l i (7.37) Tot besluit dient men te stellen dat het belangrijkste voordeel van de Lavalturbine haar constructieve eenvoud is. Anderzijds vereist het bereiken van een hoog turbinerendement het toepassen van omtreksnelheden die de helft van de stoomsnelheid c 1 aan de uitgang van de straalpijpen bedragen. Voor hoge drukken en temperaturen van de stoom (na te streven omwille van hoge thermische rendementen van het kringproces) aan de ingang van de straalpijpen bekomt men zeer hoge c 1 - en dus u-waarden. De spanningen in het loopwiel, te wijten aan centrifugale krachten, nemen met u toe en worden snel te groot. Men is daarom verplicht met ongunstige stoomvoorwaarden te werken indien men van een Lavalturbine gebruik wenst te maken. Ofwel dient men bij hoge c 1 -waarden u te beperken, maar dit houdt in grote eindsnelheden van de stoom aan de uitgang van de schoepen en dus belangrijke verliezen aan kinetische energie Curtisturbine Werkingsprincipe Gelijkaardig aan de Lavalturbine bestaat de Curtisturbine uit een stel straalpijpen waarin de stoom tot op omzeggens de uitlaatdruk van de turbine expandeert (zie figuur 7.6). De Curtisturbine heeft eveneens één loopwiel dat echter van meerdere schoepenkransen voorzien is. Tussen opeenvolgende loopschoepenkransen bevinden zich telkens keerschoepen. Deze turbine heeft dus meerdere snelheidstrappen. Het werkingsprincipe wordt hier in het kort beschreven voor een tweetraps-curtisturbine. Stoom bij p 1 en t 1 stroomt door de straalpijpen en verlaat deze laatste bij de druk p met een snelheid c 1. Met deze snelheid wordt hij bij de eerste loopschoepen ingeleid. Hij verlaat deze met de snelheid c en onder een hoek α. Met deze richting kan de stoom niet in de tweede reeks loopschoepen binnenstromen om er positieve arbeid te verrichten. De stoom wordt daarom

11 HOOFDSTUK 7. STOOMTURBINES EN HYDRAULISCHE TURBINES 195 Figuur 7.6: Schets van een Curtisturbine

12 HOOFDSTUK 7. STOOMTURBINES EN HYDRAULISCHE TURBINES 196 eerst een gunstige richting gegeven door de keerschoepen. Deze moeten aan de ingang van de keerschoepen een hoek α hebben om stootverliezen te vermijden. De uittreehoek α1 van de keerschoepen zou zo klein mogelijk moeten zijn, vermits hij gelijk is aan de intreehoek van de stoom in de tweede reeks loopschoepen. Vermits de snelheid van de stoom in de keerschoepen op de wrijvingsverliezen na ongeveer constant blijft en men dus een constante doortocht in het leischoepenkanaal dient te verwezenlijken, blijkt α1 weinig van α te kunnen afwijken. De snelheid c 1 aan de uitlaat van de keerschoepen wordt gegeven door: c 1 = ψc (7.38) Met c 1 en onder de hoek α 1 stroomt de stoom de tweede reeks loopschoepen in. Hij verlaat deze na het verrichten van arbeid met een snelheid c die zo klein mogelijk dient te zijn. Hiertoe dient de uittreehoek β van de schoepen zo klein mogelijk gekozen te worden. Ook hier zal deze hoek niet veel verschillend van de intreehoek β 1 kunnen zijn Parameterkeuze Zoals bij de Lavalturbine hebben de gekozen hoeken en de gekozen omtreksnelheid een belangrijke invloed op de geproduceerde arbeid en het rendement. Zoals in een Lavalturbine wordt c 1 bepaald door de stoomvoorwaarden en de straalpijpen. In principe zijn de vrij te kiezen parameters voor een Curtiswiel de omtreksnelheid u, de hoeken α 1, β, α 1 en β. Uit bovenstaande volgt dat in werkelijkheid α 1 de enige vrij te kiezen hoek is. De waarde van de andere worden zo klein mogelijk gekozen, rekening houdend met de debietsvoorwaarde. Neemt men symmetrische schoepen dan zijn u en α 1 de enige parameters. Het is duidelijk dat, zoals in een Lavalturbine, α 1 klein dient gekozen te worden: het eerste loopwiel is immers het loopwiel van een Lavalturbine. Zeer kleine α 1 -waarden geven echter tot kleine ψ-waarden aanleiding. Vermits in een meertrappige Curtisturbine de snelheid in de opeenvolgende trappen gereduceerd wordt en de eindsnelheidsverliezen dus reeds beperkt zijn, laat men voor α 1 steeds grotere waarden toe naarmate het aantal trappen stijgt. De hoeken voor de loop- en keerschoepen die men in de praktijk kiest worden in tabel 7.1 opgesomd voor een -traps en een 3-traps Curtisturbine. Ter vergelijking worden α 1 en β voor de Lavalturbine eveneens in tabel 7.1 opgenomen. Laval Curtis Curtis -traps 3-traps α β α β α β Tabel 7.1: Praktijkwaarden voor de hoeken van loop- en keerschoepen in de reactieturbines

13 HOOFDSTUK 7. STOOMTURBINES EN HYDRAULISCHE TURBINES 197 Vertrekkende van de gekozen waarden voor de parameters α 1 en c 1, dient men nu een optimale omloopsnelheid u te bepalen. Deze dient zodanig gekozen te worden dat het rendement van de arbeidsproductie maximaal is. Voor een -trapswiel wordt de omtreksarbeid gegeven door: l o = u (c 1 cos α 1 + c cos α ) + u c 1 cos α 1 + c cos α (7.39) of in het algemeen, voor meerdere snelheidstrappen: l o = u c cos α (7.40) waarin de sommatie over de in- en uittreesnelheden van elk van de loopschoepen dient uitgevoerd te worden. De theoretische arbeid l t en de maximale omtreksarbeid l w hebben dezelfde uitdrukking als bij de Lavalturbine. Dit is eveneens het geval voor de gedefinieerde rendementen. Het omtreksrendement wordt voor een Curtisturbine dus: η o = u c cos α c 0 = φ u c cos α c 1 (7.41) Beschouwt men een tweetrapswiel met symmetrische schoepen dan geldt: β 1 = β, α = α 1, en β 1 = β (7.4) Neemt men bovendien aan dat ψ dezelfde waarden heeft voor de loop- als de keerschoepen, dan bekomt men de volgende termen in de sommatie van (7.41): c 1 cos α 1 c cos α = w cos β u = ψw 1 cos β 1 u = ψ (c 1 cos α 1 u) u = ψc 1 cos α 1 (1 + ψ) u c 1 cos α 1 = ψc cos α = ψ c 1 cos α 1 ψ (1 + ψ) u c cos α = ψc 1 cos α 1 (1 + ψ) u = ψ 3 c 1 cos α ψ (1 + ψ) u (7.43) Hieruit volgt: c cos α = c1 cos α ψ + ψ + ψ 3 u (1 + ψ) 1 + ψ ψ = (1 + ψ) 1 + ψ c 1 cos α 1 + ψ + ψ u (7.44) Het omtreksrendement wordt dus gegeven door: η o = φ (1 + ψ) + ψ + ψ 1 + ψ + ψ + ψ cos α 1 u c 1 u c 1 (7.45) diagramma is weer een parabool met als nul- De voorstelling van deze betrekking in een η o - u c 1 punten u c 1 = 0 en

14 HOOFDSTUK 7. STOOMTURBINES EN HYDRAULISCHE TURBINES 198 Het maximum van η o wordt bekomen bij: u = 1 + ψ c 1 + ψ + ψ cos α 1 (7.46) u = 1 + ψ cos α 1 c 1 + ψ + ψ (7.47) De maximale waarde van η o is dan: η o,max = φ (1 + ψ) 1 + ψ ( + ψ + ψ ) cos α 1 (7.48) De coëfficiënt van cos α 1 in (7.47) verandert van 0,40 tot 0,46 wanneer ψ van 0,85 tot 0,95 varieert en is gelijk aan 0,5 wanneer ψ = 1. Om dezelfde redenen als deze vermeld bij de Lavalturbine wordt u c 1 in de praktijk enigszins lager gekozen. Een goede gemiddelde waarde blijkt 0,5 te zijn. Er kan dus besloten worden dat de optimale omtreksnelheid in een tweetraps-curtisturbine de helft van de meest optimale snelheid voor de Lavalturbine bedraagt. Dit is een belangrijk voordeel. Uit (7.10) en (7.8) volgt dat het maximale schoepenrendement van een Lavalturbine met symmetrische schoepen gegeven wordt door: of η s,max = 1 + ψ cos α 1 (7.49) voor het maximale omtreksrendement. η o,max = φ (1 + ψ) cos α 1 (7.50) Vergelijkt men (7.50) met (7.48) dan blijkt het maximale rendement van de tweetraps-curtisturbine steeds lager te zijn dan dit van een Lavalturbine voor dezelfde φ en ψ. Dit is het nadeel van de Curtisturbine. Oorzaak hiervoor is het groter wrijvingsverlies dat zich in de opeenvolgende schoepenrijen van de Curtisturbine voordoet. De meest optimale snelheid voor n snelheidstrappen kan als volgt geschat worden. Gaat men ervan uit dat men met symmetrische schoepen te doen heeft en verwaarloost men de wrijvingsverliezen in de schoepen (ψ = 1) dan geldt: en dus l o = u c cos α = un (c 1 cos α 1 nu) (7.51) η s = l o c 1 = 4n cos α 1 n u u (7.5) c 1 c 1

15 HOOFDSTUK 7. STOOMTURBINES EN HYDRAULISCHE TURBINES 199 Het rendement bereikt dus een maximum wanneer: u = cos α 1 c 1 n (7.53) De waarde van het maximale omtreksrendement wordt gegeven door: η s,max = cos α 1 (7.54) Door een groter aantal trappen te kiezen kan de optimale omtreksnelheid dus nog verder gereduceerd worden. Zoals hierboven aangetoond, zullen de wrijvingsverliezen steeds meer het rendement doen dalen. Figuur 7.7 geeft het omtreksrendement weer als functie van de omtreksnelheid rekening houdend met de wrijvingsverliezen en dit voor een Lavalturbine, een tweetraps- en een drietraps-curtisturbine. In een drietrapsturbine blijkt het omtreksrendement reeds een lage waarde bereikt te hebben. Dit is de reden waarom de Curtis-turbine in de praktijk met niet meer dan 3 snelheidstrappen uitgevoerd wordt. Figuur 7.7: Omtreksrendement η o in functie van de relatieve omloopsnelheid u c 0 voor verschillende turbines Een bijkomende reden voor de beperking van het aantal snelheidstrappen is de daling van de arbeid door elk loopwiel naarmate het loopwiel zich verder in de rij van loopwielen bevindt. Heeft men te doen met symmetrische schoepen en verwaarloost men de wrijvingsverliezen dan is de arbeid van het eerste loopwiel: Voor een optimale keuze van u geldt: u (c 1 cos α 1 u) (7.55)

16 HOOFDSTUK 7. STOOMTURBINES EN HYDRAULISCHE TURBINES 00 u (c 1 cos α 1 u) = c 1 cos α 1 n = c 1 cos α 1 c 1 cos α 1 c 1 cos α 1 n n 1 n (7.56) Voor de tweede trap is de arbeid (zie (7.43)): u (c 1 cos α 1 3u) = c 1 cos α 1 n 3 n (7.57) Voor de k-de trap: u (c 1 cos α 1 (k 1) u) = c 1 cos α 1 n (k 1) n (7.58) De omtreksarbeid bij de meest optimale omtreksnelheid volgt uit (7.51) en (7.53): l o,max = c 1 cos α 1 (7.59) Uit (7.58) volgt dus dat de arbeid van de laatste trap slechts het 1/n deel van de totale geproduceerde arbeid bedraagt (1/16 in het geval van een 4-trapsturbine) Thermodynamische studie Figuur 7.8 geeft de thermodynamische stoomvoorwaarden voor een 3 trapsmachine. De toestand refereert naar de uitgang van het eerste loopwiel wat dus tevens de toestand aan de ingang van de eerste keerschoepen is. 3 is de uitgang van deze keerschoepen. 4 is de uitgang van het tweede loopwiel, 5 de uitgang van de tweede keerschoepen en 6 de uitgang van het derde loopwiel. Bij elke schoependoorgang doet zich een wrijvingsverlies voor. Zo zal bijvoorbeeld ten gevolge van het wrijvingsverlies in de keerschoepen de kinetische energie verminderen en de enthalpie stijgen: h s = h 3 h = c c 3 (7.60) De enthalpietoename 6-7 stelt de recuperatie van de eindsnelheid voor en de toename 7-8 komt overeen met het ventilatieverlies tussen het loopwiel en de stoom. Figuur 7.8 geeft de waarden van l o en l i weer. De betekenis van het mechanisch rendement en het inwendig rendement is dezelfde als bij de Lavalturbine. Betrekking (7.38) is hier eveneens geldig. De Curtisturbine heeft als belangrijkste voordeel haar veel kleinere omtreksnelheid. Deze daalt naarmate het aantal snelheidstrappen toeneemt. Anderzijds wordt zij gekenmerkt door een lager rendement dan de Lavalturbine omwille van verhoogde wrijvingsverliezen in de schoepenkanalen. Deze verliezen nemen toe met het aantal trappen. Daarom wordt in de praktijk het aantal trappen beperkt tot 3. Dit laat toe reeds belangrijke enthalpievallen aan stoom te verwerken met een beperkte omtreksnelheid u. Dit wordt getoond in figuur 7.9 die de verwerkbare enthalpieval van

17 HOOFDSTUK 7. STOOMTURBINES EN HYDRAULISCHE TURBINES 01 Figuur 7.8: h-s-diagram voor een 3-trapsmachine

18 HOOFDSTUK 7. STOOMTURBINES EN HYDRAULISCHE TURBINES 0 Figuur 7.9: Haalbaar enthalpieverschil voor verschillende Curtis-turbines de stoom weergeeft in functie van de omtreksnelheid voor optimale omtreksnelheden. Het geval van een Lavalturbine, een tweetraps- en een viertraps-curtisturbine wordt hier weergegeven. De enthalpieval waar in figuur 7.9 naar verwezen wordt is h = c 1 = l w (7.61) Uitvoeringswijzen Omwille van haar eenvoudige en dus goedkope constructie (slechts een stel straalpijpen en een loopwiel) wordt de Curtisturbine in de industrie aangewend waar de kostprijs van de drijfkracht sterk door de kostprijs van de installatie beïnvloed wordt. Figuur 7.10 toont een turbine waarin het principe van de -traps-curtisturbine wordt toegepast. Dit type turbine wordt gekenmerkt door een vliegend loopwiel, t.t.z. de turbine-as wordt slechts aan één zijde van het loopwiel gelagerd. Dit type turbine draait typisch bij toeren per minuut. Het wordt in verschillende groottes met vermogens van 50 kw tot 4 MW geproduceerd. Zij worden kant en klaar door de constructeur geleverd en vergen ter plaatse enkel de aansluiting van de stoomleiding en de belasting.

19 HOOFDSTUK 7. STOOMTURBINES EN HYDRAULISCHE TURBINES 03 Figuur 7.10: -traps-curtisturbine met 1 loopwiel (1: stoominlaat; : regelklep; 3: lagers; 4: stophuis; 5: straalpijp; 6: loopschoepen; 7: loopwiel; 8: snelheidsbegrenzer) De meertrappige axiale turbine (Rateau-Zoelli-turbine) Werkingsprincipe Een meertrappige gelijkdrukturbine is in feite een aaneenschakeling van turbines (zie figuur 7.11). De expansie van de stoom wordt in meerdere stappen uitgevoerd. De einddruk van elke expansie is de begindruk van de volgende. Elke trap van de turbine bestaat uit leischoepen en loopschoepen. De eerste nemen de rol van de straalpijpen over (figuur 7.1). Tussen deze schoepen expandeert de stoom en wordt hij in de gewenste richting naar de loopschoepen gestuurd (figuur 7.1). De leischoepen bewegen niet, zij zijn vast verbonden met het huis van de machine. Enkel in de loopschoepen wordt de kinetische energie van de door de leischoepen gevormde stoomstraal in arbeid omgezet. De leischoepen zijn op wielen gemonteerd die gescheiden zijn van de turbine-as. Over deze wielen heerst een drukverschil. De afdichting leiwiel-as dient zeer verzorgd te worden om stoomlekken te vermijden. De drukverhouding die over elk leiwiel heerst is meestal gering, zodat de leischoepen meestal als vernauwende kanalen kunnen uitgevoerd worden. De leischoepen worden tot segmenten gegroepeerd. Zij vertrekken meestal in een richting loodrecht op het leiwiel en eindigen onder de hoek α 1. De snelheidsfactor φ voor enkel vernauwende kanalen is groter dan deze in vernauwend-verwijdende kanalen. Een principeschets van een meertrapsturbine wordt getoond in figuur Over de loopschoepen en het loopwiel heerst geen drukverschil. Zij zijn in principe identisch met deze van de Lavalturbine. In de stromingsrichting neemt over elk leiwiel het soortelijk volume van de stoom toe. Daarom wordt de hoogte van de lei- en loopschoepen en hun middellijn in de stromingsrichting vergroot.

20 HOOFDSTUK 7. STOOMTURBINES EN HYDRAULISCHE TURBINES 04 Figuur 7.11: Meertrappige axiale turbine Figuur 7.1: Detail van lei- en loopschoepen

21 HOOFDSTUK 7. STOOMTURBINES EN HYDRAULISCHE TURBINES 05 Figuur 7.13: Voorstelling van een axiale meertrapsturbine Parameterkeuze A. Ideale machine Een bijkomende parameter bij de meertrapsturbine is de keuze van de drukken die heersen in de verschillende trappen. De meest optimale keuze kan benaderend gemaakt worden op basis van de volgende veronderstellingen: de omtreksnelheid u is dezelfde voor alle loopschoepen; de snelheid van de stoom aan de ingang van de leischoepen is nul; wielwrijvings- en ventilatieverliezen zijn verwaarloosbaar; er zijn geen lekken over de stopbussen tussen leiwielen en as; de isobaren vormen in het h,s-diagramma congruente curven. Zij h tot de theoretische enthalpieval die de stoom door isentropische expansie van zijn druk en temperatuur (p 1,t 1 ) aan de ingang van de turbine tot op de druk p aan de uitgang van de turbine kan ondergaan. Voor een enkele druktrap, die in werkelijkheid een Lavalturbine uitmaakt, is de meest optimale omtreksnelheid: u = c 1 cos α 1 = φ ( h t ) 1/ cos α 1 (7.6) waarin h t de theoretische enthalpieval in de leischoepen van de trap voorstelt. Vermits u dezelfde waarden heeft voor alle trappen geldt dus voor trappen met gelijkvormige schoepen (zelfde α 1 ) dat de theoretische enthalpieval over elke trap hetzelfde moet zijn. Of dus voor n trappen:

22 HOOFDSTUK 7. STOOMTURBINES EN HYDRAULISCHE TURBINES 06 h t = h tot n (7.63) De meest optimale omtreksnelheid wordt dus voor een turbine met n druktrappen: u = φ ( h tot) 1/ cos α 1 n 1/ (7.64) Tussen de omtreksnelheid u L van een Lavalturbine die over dezelfde h tot werkt en deze van een n-traps-rateau-zoelly-turbine bestaat dus het verband: u = u L n 1/ (7.65) De optimale snelheid u c van een Curtisturbine met n trappen voor dezelfde totale enthalpieval wordt gegeven door: u c = u L n (7.66) Het opdelen in snelheidstrappen is dus voor wat betreft de omtreksnelheid heel wat voordeliger dan het opdelen in een zelfde aantal druktrappen. Elke druktrap van de meertrappige axiale turbine vormt een identieke Lavalturbine. Elke druktrap heeft daarom ook hetzelfde rendement en het totale schoepen- en omtrekrendement van de turbine dient gelijk te zijn aan dat van elke druktrap. Hieruit volgt: η s,1 = η s, =... = η s = (1 + ψ) cos α 1 (7.67) en η o,1 = η o, =... = η o = φ (1 + ψ) cos α 1 (7.68) Het rendement van de turbine met n druktrappen is dus groter dan dit van de machine met n snelheidstrappen. Opdelen in n druktrappen leidt tot hetzelfde rendement als de Lavalturbine indien men uitgaat van bovenvermelde veronderstellingen. Laat men de hoogte van de schoepen recht evenredig toenemen met het soortelijk volume van de damp, dan zijn de snelheidsdriehoeken voor al de trappen identiek. Zoals voor de Lavalturbine gelden nu de betrekkingen:

23 HOOFDSTUK 7. STOOMTURBINES EN HYDRAULISCHE TURBINES 07 c 0 = ( h t ) 1/ c 1 = φc 0 = φ ( h t ) 1/ w = ψw 1 l t = h t = c 0 l w = c 1 = φ h t l o = u (c 1 cos α 1 + c cos α ) = u (w 1 cos β 1 + w cos β ) = c 1 (1 ψ) w 1 c = h t h p h s h u (7.69) De voorstelling voor één trap, in het h-s diagramma is gelijkwaardig aan deze voor een Lavalturbine; evenwel dienen de ventilatieverliezen niet in rekening gebracht te worden. Figuur 7.14 geeft het h-s-diagram weer voor een 5-trapsmachine. B. Werkelijke Machine Aan de veronderstellingen gemaakt in verband met de ideale machine wordt in werkelijkheid slechts benaderend voldaan. Het gevolg hiervan is dat het rendement van een meertrappige turbine merkelijk hoger is dan dit van een ééntrappige Lavalturbine. Het rendement stijgt omwille van de vermindering van straalpijp-, schoepen-, wielwrijvings- en ventilatieverliezen, de benuttiging van de eindsnelheid en de warmterecuperatie (zie verder). Het rendement wordt evenwel nadelig beïnvloed door de lekverliezen tussen opeenvolgende trappen. Dit laatste effect weegt echter niet op tegenover de voorgaande. De straalpijp- en loopschoepenverliezen verminderen omdat de gemiddelde snelheden in de meertrapsmachine kleiner zijn dan in de eentrapsmachine. Hierdoor vergroten φ en ψ. Meestal is de drukverhouding voor elke trap kleiner dan twee en kunnen de leischoepen als vernauwende kanalen uitgevoerd worden, wat aanleiding geeft tot grotere waarden van φ. Het ventilatieverlies ontstaat door wrijving tussen de loopschoepen en de omgevende stoom. Bij een meertrapsmachine worden de straalpijpen vervangen door leischoepsegmenten die langs de omtrek van het loopwiel zijn aangebracht. Een groter aantal loopschoepen wordt door deze segmenten bestreken dan het geval is bij de enkele straalpijpen die in een Lavalmachine voorkomen (grotere bestrijkingsgraad). Daardoor vermindert het aantal loopschoepen dat tot wrijvingsverlies kan aanleiding geven. De wielwrijvingsverliezen, t.t.z. arbeidsverliezen door wrijving tussen loopwiel en omgevende stoom, zijn evenredig met D u 3 waarin D de diameter van het loopwiel voorstelt. Men kan dus ook stellen dat zij evenredig zijn met u 5 n o (7.70) waarin n o het toerental van de machine voorstelt (u = πn o D). Uit (7.64) volgt dat voor een machine die een gegeven totale enthalpieval h tot dient te verwerken het vermogenverlies door wielwrijving per wiel evenredig is met

24 HOOFDSTUK 7. STOOMTURBINES EN HYDRAULISCHE TURBINES 08 h Figuur 7.14: h-s van een 5-traps axiale turbine s

25 HOOFDSTUK 7. STOOMTURBINES EN HYDRAULISCHE TURBINES 09 of voor n loopwielen evenredig met 1 n on 5/ (7.71) 1 n on 3/ (7.7) Dit toont aan dat door het vermeerderen van het aantal trappen de wielwrijvingsverliezen afnemen. Tenslotte wordt het rendement van een n-trapsturbine vergroot door wat de warmterecuperatie genoemd wordt. Aan de basis hiervan ligt het gegeven dat in het h-s-diagram voor stoom de isobaren geen congruente, maar voor hogere enthalpieën divergerende curven zijn. Dit houdt in dat, indien de drukken bepaald werden door de isentrope AZ in gelijke stukken te verdelen (figuur 7.14), de enthalpiedalingen over de verschillende druktrappen niet hetzelfde zouden zijn (en dus ook u zou variëren). Men kan hieraan verhelpen door tastenderwijze A, B, C te zoeken, zodat de reële enthalpievallen over elke trap hetzelfde zouden zijn. De divergentie van de isobaren heeft echter een belangrijk effect op het rendement van de turbine. Het omtreksrendement voor de reële turbine wordt gegeven door: η o = ho h tot (7.73) waarin de sommatie betrekking heeft op de reële enthalpievallen in de verschillende trappen. Het rendement η o van een afzonderlijke trap is η o = h o ho = (7.74) h t ht De sommatie mag uitgevoerd worden vermits alle trappen gelijkvormig zijn en zij dus alle hetzelfde rendement hebben. Uit de laatste twee betrekkingen volgt: η o > η o (7.75) Omwille van de divergentie van de isobaren is het omtreksrendement van een meertrapsturbine groter dan dit van een eentrapsmachine. Door de wrijvingsverliezen en eindsnelheidsverliezen is de enthalpie aan de uitgang der loopschoepen groter dan de isentropische. Dit verlies wordt, door de divergentie van de isobaren, gedeeltelijk gerecupereerd. Dit verschijnsel noemt men de warmterecuperatie. De rendementstoename kan uitgedrukt worden in de vorm: η o = η o 1 + r w 100 (7.76) De warmterecuperatiefactor r w heeft waarden tussen 0 en 10 %, afhankelijk van het aantal trappen en de verliezen in de trappen.