w. Buijze Vraagstukken Elektriciteit

Transcriptie

1 w. Buijze Vraagstukken Elektriciteit

2 Vraagstukken Elektriciteit verzameld door ir. W. Buijze 8ibliotheek TU Delft C " " DELFTSE UITGEVERS MAATSCHAPPIJ j

3 VSSD Eerste druk 1989 Delftse Uitgevers Maatschappij b.v. P.O. Box 2851, 2601 CW Delft, The Netherlands Tel Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. All rights reserved. No part ofthis publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or otherwise, without the prior written permission of the publisher. ISBN cip

4 Voorwoord De hier bijeen gebrachte vraagstukken werden - vaak al vele jaren - gebruikt bij de werkcolleges Elektriciteit voor de eerste twee studiejaren van diverse faculteiten van de TU-Delft Zij zijn in de loop der tijd bedacht en geformuleerd door velen; collega's en oudcollega's. Slechts enkele vraagstukken zijn van mijn hand. De vraagstukken zijn zodanig gegroepeerd, dat het gemakkelijk is daaruit die keuze te maken, die voor een bepaald college gewenst wordt. De indeling in hoofdstukken is dezelfde als die van het theorieboek Inleiding Elektricitiet van mijn hand; een boek dat ook is uitgegeven onder auspiciën van de VSSD bij de Delftse Uitgeversmaatschappij. Achterin de bundel zijn de antwoorden op alle vraagstukken opgenomen. Den Haag, april 1989 w. Buijze

5 5 Inhoud 1. Elektrostatische velden in vacuüm 2. Elektrostatische velden in diëlektrica 3. Elektrische stromen 4. Het magnetische veld van stationaire stromen 5. Stationaire magnetische velden in magnetiseerbare materie 6. Magnetische inductie 7. De vergelijkingen van Maxwell 8. Netwerken en wisselstromen Antwoorden

6 1 Elektrostatische velden in vacuüm Gegeven: a = (3,4,-5) en h = (-1,2,6). Bereken: a. a en b. b. a h. c. De hoek <p tussen a en h. d. a+h. e. a-ho f. axh Gegeven: a + h = (11,-1,5) en a-h = (-5,11,9). Bereken: a. a en h. b. De hoek <p tussen a en a + h Gegeven: een scalaire grootheid V(x,y,z) = xy2 + yx 2 + 3z 2 en -:* a -:*a --- a (a a a) v = 1 ax + J ay + k az' of V = ax' ay, az. a. Bereken de gradiënt van V; grad(v) = VVo b. Bereken de divergentie van VV; div(vv) = V (VV) = div grad(v). c. Bereken de rotatie van VV; rot(vv) = V x (VV) = rot grad(v) Een waterstofatoom is opgebouwd uit een positief geladen kern (proton) en een elektron dat in een cirkelvormige baan om de kern beweegt. In de grondtoestand is de straal van de cirkelvormige baan a = O,53x m. De ladingen van proton en elektron bedragen respectievelijk +e en -e; e = 1,6 x c. a. Bereken de kracht ten gevolge van de elektrostatische wisselwerking waarmee kern en elektron elkaar aantrekken. Vergelijk hiermee de kracht waarmee ze elkaar aantrekken ten gevolge van de gravitationele wisselwerking. De gravitatieconstante is 6,7 x Nm 2 fkg2; ffie = 9,1 x kg; mp = 1836 ffie. b. Bereken de potentiële energie van het elektron in zijn baan. Stel hierbij de potentiële energie nul als het elektron zich op zeer grote afstand van het proton bevindt. c. Hoe groot is de totale energie van het elektron in zijn baan ten opzichte van de toestand waarbij het elektron zich in rust op zeer grote afstand van het proton bevindt? d. Hoe groot is de ionisatie-energie van een waterstofatoom (uitgedrukt in J en in elektronvolt)?

7 8 Vraagstukken Elektriciteit 1.5. Tussen twee concentrische metalen boloppervlakken A en B (stralen RA en RB) bevindt zich ruimtelading; p = ~, waarin a een constante is en RA < r < RB. Bereken de totale ruimtelading tussen de boloppervlakken Een dunne cirkelvormige schijf met straal R is bedekt met lading (aan één zijde). De oppervlakteladingsdichtheid cr is een functie van de afstand r tot het midden van de schijf: cr = a r2, waarbij r:s R. Bereken de totale lading op de schijf Tussen twee zeer lange coaxiale metalen cilindermantels A en B (straal respectievelijk RA en RB) bevindt zich ruimtelading; p = rfu- ' waarin a een constante is en RA < r < RB. Bereken de ruimtelading per lengte 1 tussen de beide cilindermantels Een dunne staaf (lengte I) is uniform geladen. De ladingsdichtheid is A. (> 0). a. Bereken de elektrische veldsterkte Ê in een punt P dat in het verlengde van de staaf ligt op een afstand a van één van de uiteinden van de staaf. b. Bereken de potentiaal in P (stel de potentiaal in het oneindige nul) Een rechte draad is overal even dicht met elektrische lading bedekt, waarvan de grootte per lengte-eenheid A. is. De lengte van de draad is J. a. Bereken de elektrische veldsterkte in een punt P in het middenloodvlak van de draad op de afstand a er vandaan. b. Vereenvoudig de verkregen uitkomst voor het geval dat 1» a is. c. Dezelfde vraag als bij b, maar nu voor het geval dat a» I Een cirkelvormige schijf is overal even dicht met elektrische lading bedekt met de dichtheid cr. De straal van de schijf is R. a. Bereken met behulp van de wet van Coulomb de elektrische veldsterkte El (x) in een punt op de as van de schijf, op de afstand x er vandaan. De schijf is opgesteld in vacuüm. b. Als R» x, wat is dan de veldsterkte? c. Leid uit het resultaat van b af de grootte van de veldsterkte E binnen een vlakke condensator (in vacuüm) waarvan de oppervlakte van de platen S is, terwijl de afstand van de platen klein is ten opzichte van de afmetingen van de platen, als de ladingen van de platen +Q en -Q zijn. d. Leid ook uit het resultaat af dat de platen van een vlakke condensator elkaar in vacuüm aantrekken met de kracht = t QE = t tose2. e. Bereken de potentiële energie van de geladen condensator als functie van de onderlinge afstand x. Doe dit door de potentiële energie van de ene geladen plaat te beschouwen in het veld van de andere. Kies de potentiële energie nul in de toestand waarin de platen samenvallen.

8 Elektrostatische velden in vacuüm In een deel van een luchtledige ruimte bestaat in de omgeving van de oorsprong een elektrostatisch veld. In die buurt kan voor de elektrische veldsterkte worden geschreven: a. Bereken de getallen a, b, c en k, alle ongelijk aan nul. b. Bereken de potentiaal in het punt P met de coördinaten (3,2,0), als de potentiaal in de oorsprong op nul gesteld wordt. Bereken ook de potentiaal in het punt Q met de coördinaten (O,yO,ZO). c. Hoe groot is de ruimteladingsdichtheid in de punten P en Q? Van een elektrische veld is gegeven: Ê = (2ax,2ay,0). a. Toon aan dat dit veld een potentiaalveld is. b. Stel in het punt (0,0) de potentiaal nul. Bereken de potentiaal in een willekeurig punt (x,y). c. Bereken de ladingsdichtheid in een punt (x,y) In een beperkt gebied is een elektrisch veld, waarvan de componenten ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel gegeven zijn door: Ex = ax + by + c, Ey = bx - ay + c, Ez = c (a, b en c zijn positieve constanten). a. Is het veld in dat gebied een potentiaalveld? Verklaar uw antwoord! b. Bevindt zich in dat gebied lading? Verklaar uw antwoord! Zie figuur 1.1. Tussen de platen A en B bestaat een potentiaalverschil V 1 (VA > VB). De afstand tussen de platen is a. Bij P komt een elektron binnen met snelheid vo verkregen doordat het elektron met beginsnelheid nul een potentiaalverschil Vo heeft doorlopen. V a. Toon aan dat als het elektron plaat B juist niet bereikt geldt: V ~ = sin 2 ( cp). B y a A ~=======...::x:...! p Figuur 1.1. Figuur bij vraagstuk 1.14.

9 10 Vraagstukken Elektriciteit b. Toon aan dat in dat geval voor de plaats waar de baan van het elektron plaat Braakt geldt: x = 2a cotg(<p) Tussen twee evenwijdige vlakke metalen platen A en B bevindt zich positieve ruimtelading. De dichtheid van deze lading op een afstand x van A is p = cx 2 De potentialen van A en B zijn beide Vo; de afstand van de platen is a. a. Bereken de potentiaal in de ruimte tussen A en B als functie van x. b. Bereken de dichtheid van de oppervlakteladingen die zich aan de binnenkanten van de platen A en B bevinden Een bepaalde bolsymmetrische ladingsverdeling leidt tot een (bolsymmetrisch) veld rondom een centrum 0, zodanig dat de veldsterkte in een punt P gegeven is door Ë=l(r3_ r)i Eo r. a. Bereken de potentiaal V(r) op een afstand r van het centrum 0 als de potentiaal in het centrum nul is. b. Bereken de waarde re van r waarvoor Veen extreme waarde heeft c. Beredeneer hoe groot de lading is die omvat wordt door een bol met straal re. d. Bereken de lading Q binnen een bol met een willekeurige straal r. e. Bereken de ruimteladingsdichtheid p als functie van r Twee even grote vlakke metalen platen A en B zijn op afstand van 6a tegenover elkaar gezet. Zij zijn verbonden met een spanningsbron met sterkte Uo. A heeft de hoge potentiaal. De oppervlakte van elk van de platen is S. Men verbreekt de verbindingen met de bron en schuift een ongeladen even grote vlakke metalen plaat C tussen A en B. De dikte van C is 2a; de plaat komt op een afstand a van B te staan. De platen hebben elkaar niet geraakt. a «...JS. a. Bereken VA - Veen V c - VB. b. Bereken de arbeid die men op plaat C heeft verricht bij het naar binnen schuiven. Men gaat weer uit van de begintoestand, maar laat de verbindingen met de bron nu bestaan en schuift dan plaat C op dezelfde plaats tussen A en B. c. Hoe groot is nu VA - Vc? d. Bereken de verhouding van de ladingen van plaat A vóór en ná het inschuiven van plaat C. e. Bereken de energie die de spanningsbron aan het stelsel platen heeft toegevoerd. /. Bereken de verandering van de veldenergie. g. Bereken de arbeid die men op plaat C heeft verricht bij het naar binnen schuiven Zie figuur 1.2. Twee zeer lange, rechte en evenwijdige hoogspanningskabels hangen op een afstand 1 van elkaar. De straal van de ronde doorsnede van de koperen kabels is r; r «I. De kabels bevinden zich in lucht (vacuüm). Neem aan dat de ene kabel per meter lengte uniform bezet is met +À. en de andere met -À..

10 Elektrostatische velden in vacuüm 11 I~ ~I ~ I ~w-' -,--~~ @~ I I I I I I I I I I I I,... ~, 2r Figuur 1.2. Figuur bij vraagstuk 1.18.,... ~, a. Bereken de elektrische veldsterkte Ê in het punt P gelegen tussen beide kabels. b. Bereken de capaciteit per meter lengte van het stelsel gevormd door beide kabels Een condensator bestaat uit twee in elkaar geschoven metalen concentrische cilindermantels. De diameters van de cilinders zijn respectievelijk 2Rl en 2R2; R2 > Rl. De lengte van beide cilinders is I; 1» R2. De ruimte tussen de cilindermantels is vacuüm. Bereken de capaciteit van deze condensator. Randeffecten mogen v~rwaarloosd worden Zie figuur 1.3. Een lange coaxiale kabel (lengte I) bestaat uit een koperen kern (straal a) omgeven door een koperen mantel (inwendige straal b). Tussen kern en mantel bevindt zich lucht die wij als vacuüm kunnen beschouwen voor wat betreft Er. 2r Figuur 1.3. Figuur bij vraagstuk 120. a. Bereken de capaciteit per eenheid van lengte voor deze coaxiale kabel. Voorts wordt nu gegeven: o = 8,85 x C 2 /Nm 2 ; de doorslagveldsterkte van lucht is 2,5 x 10 6 Vlm. Het potentiaalverschil tussen de kern en de mantel is 10 kv. Voor de afmetingen geldt: a = 10-2 m en b = 5 x 10-2 m. b. Bereken of er doorslag optreedt of niet Tussen twee coaxiaal opgestelde cilinders bevindt zich ruimtelading. De buitenstraai van de dunne cilinder is R, de binnenstraal van de wijde cilinder is 2R.

11 ~~~~------, 12 Vraagstukken Elektriciteit Hun lengten zijn 1 met 1» R. Tussen de cilinders is de veldsterkte overal even groot en radiaal naar buiten gericht. De grootte is Eo. De buitenste cilinder is geaard. a. Bereken de totale ruimtelading. b. Bereken grootte en teken van de totale lading op de buitenste cilinder. c. Bereken grootte en teken van de totale lading op de binnenste cilinder. d. Hoe groot is de potentiaal van de binnenste cilinder ten opzichte van de aarde? e. Bereken met behulp van de stelling van Gauss de ruimteladingsdichtheid pais functie van de afstand r tot de as. {( Zie figuur 1.4. Twee zeer grote vlakke evenwijdige metalen platen staan op 7(. afstand a van elkaar. Er bevindt zich ruimtelading tussen. Gegeven is dat de potentiaal op afstand x van de linkerplaat (0 ~ x ~ a) wordt gegeven door: U(x) = Uo (tf /3, met Uo > O. a. Bereken de veldsterkte Ê ter plaatse x. b. Bereken de ruimteladingsdichtheid p(x). c. Bereken de oppervlakteladingsdichtheden op de linker- en rechterplaat (let op de tekens!). x K A + x a d Figuur 1.4. Figuur bij vraagstuk 122. Figuur 1.5. Figuur bij vraagstuk Ziefiguur 1.5. Een vacuüm-diode heeft tussen de vlakke geaarde kathode K en de vlakke anode A een ruimtelading p(x) als gevolg van de aanwezigheid van elektronen. De potentiaal in de ruimte tussen K en A voldoet op een bepaald tijdstip aan: Uo (3x- d)x V(x) = 2 ' met Uo > O. 2d

12 Elektrostatische velden in vacuüm 13 Uit de kathode komen enkele elektronen vrij met een beginsnelheid Vo in de x-richting. De massa van een elektron is m. a. Schets het verloop van de potentiaal tussen de platen op dat tijdstip. b. Aan welke voorwaarde moet Vo voldoen opdat de door K geëmitteerde elektronen de anode bereiken? c. De onder b bedoelde elektronen bereiken de anode A met een snelheid VA. Wat is de kleinst mogelijke waarde van v A? d. Bereken p(x) Zie figuur 1.6. In de getekende (denkbeeldige) kubus hangt de elektrische potentiaal van de plaats af volgens V = Voe- x / a + by. De ribbe van de kubus is c. Hoekpunt 0 van de kubus valt samen met de oorsprong. Het grondvlak valt samen met het vlak z = O. z o ~----~----~r y x Figuur 1.6. Figuur bij vraagstuk a. Bepaa1Ê. b. Bepaal de door de kubus omvatte lading Rondom een elektrisch geladen metalen bol (straal R), die zich in vacuüm bevindt, is ruimtelading aanwezig, die bolsymmetrisch is verdeeld ten opzichte van het middelpunt 0 van de bol. Voor de ruimteladingsdichtheid geldt: p = - fn ' waarin a en n positieve constanten zijn (n > 3); r is de afstand tot 0; r> R. Voor de elektrische veldsterkte geldt: - a r E = ---- voor r ~ R. eor 3 r a. Bereken de totale lading omvat door een (denkbeeldige) bol met straal r > R. b. Bereken de oppervlakteladingsdichtheid van de metalen bol.

13 14 Vraagstukken Elektriciteit C. Bereken de ruimtelading binnen een denkbeeldige bol met straal r > R met behulp van het antwoord op de vragen bij a en b. Bereken de ruimtelading ook met behulp van Q = f't P d't, en bepaal zo de waarde van n. d. Bereken de potentiaal van de metalen bol (stel V = 0 voor r ~ 00) Een bolvormige elektronenwolk met een straal R heeft het middelpunt M in de oorsprong. De ruimteladingsdichtheid p is overal binnen de wolk even groot. Men schiet met een snelheid Vo van zeer grote afstand buiten de wolk, een elektron (lading -e, massa m) in de richting van M. De potentiaal in het oneindige stelt men nul. a. Bereken de potentiaal aan de rand van de elektronenwolk. b. Bereken de elektrische veldsterkte voor 0 < r < R; r is de afstand tot M. Bereken vervolgens het potentiaalverschil tussen het middelpunt M en de rand van de elektronenwolk. c. Hoe groot moet de snelheid Vo tenminste zijn, opdat het elektron door de wolk heen kan worden geschoten? Een bolvormig deel van de luchtledige ruimte is uniform gevuld met lading, met een dichtheid p. De straal van de bol is R a. Bereken de veldsterkte E als functie van r (de afstand tot het middelpunt) in de het geval dat r < R en in het geval dat r ~ R. b. Bereken de potentiaal op het oppervlak van de bol. Stel V(oo) = O. c. Beantwoord nogmaals de vraag bij b, maar nu voor het geval dat de lading binnen de bol niet meer uniform is verdeeld, maar gelijkmatig zou zijn uitgesmeerd over het oppervlak van de bol Zie figuur 1.7. In een punt A op afstand z van een zeer grote vlakke, geaarde metalen plaat bevindt zich een positieve puntlading Q. a. Hoe groot is de oppervlakteladingsdichtheid 0' op een afstand x vanaf P? b. Bereken de totale oppervlaktelading binnen een straal x = a. A z p I1 Figuur 1.7. Figuur bij vraagstuk 128.

14 Elektrostatische velden in vacuüm 15 c. Hoe groot is de totale lading op de plaat als deze plaat oneindig groot is? Op een afstand a van het middelpunt van een geleidende bol (straal R) bevindt zich een puntlading Q (a > R). a. Als de potentiaal V van de bol nul is (dat wil zeggen gelijk aan die in het oneindige) dan is het veld van de influentie lading gelijk aan het veld van een puntlading Q'. Leidt af waar Q' zich bevindt en hoe groot deze is. b. Er is nu gegeven dat de bol ongeladen is. Bereken de potentiaal VI van de bol als in het oneindige V = 0 gesteld wordt Een hoogspanningskabel met 1 cm diameter bevindt zich op een constante potentiaal van V ten opzichte van de aarde en op een constante hoogte van 50 m boven de aarde. Beschouw de aarde als een oneindig goed geleidend plat vlak en veronderstel bij de berekeningen dat de lading de kabel uniform bezet. Bereken: a. De lading van de kabel per meter lengte. b. De veldsterkte op aarde recht onder de kabel. c. De kracht die op de kabel per meter lengte wordt uitgeoefend Zie figuur 1.8. Twee puntladingen +Q en -Q zijn op afstand a van elkaar geplaatst. Beide ladingen bevinden zich op afstand b van een zeer grote geaarde vlakke plaat. A a B.~~~ ~~. y +Q -Q b x Figuur 1.8. Figuur bij vraagstuk 131. a. Bereken de x- en y-componenten van de kracht die de lading -Q ondervindt. b. Bereken de potentiële energie van de lading B. De potentiaal is in het oneindige gelijk aan nul Zie figuur 1.9. Men heeft een geaarde, holle metalen bol met straal R en middelpunt M. Een lading q op afstand a van M gebracht ondervindt een aantrekkende kracht. a. Hoe groot is deze aantrekkende kracht? b. Hoe groot zou de kracht op q zijn, indien de lading binnen de bol op afstand b van M geplaatst was?

15 16 Vraagstukken Elektriciteit Aanwijzing: Zoek de beeldlading q' van q buiten de bol die samen met de binnen de bol geplaatste lading q ter plaatse van de bol een equipotentiaalvlak geeft a ~ q (a) (b) Figuur 1.9. Figuur bij vraagstuic In de ruimte is een x-as gedefinieerd, waarop zich twee puntladingen bevinden: +Q ter plaatse x = -a en -2Q ter plaatse x = +a. We stellen de potentiaal V = 0 voor x a. Bepaal de oplossingsverzameling van de vergelijking V(x) = O. b. Bepaal de oplossingsverzameling van de vergelijking E(x) = O. c. Bereken welke arbeid men moet verrichten om een lading van -3Q te verplaatsen van x = +2a naar x = -2a Zie figuur Vier puntladingen Q, -2Q, +3Q en -4Q bevinden zich aanvankelijk op zeer grote afstanden van elkaar. Men brengt deze puntladingen in de hoekpunten van een vierkant met zijden a. Bereken de arbeid die men daartoe moet verrichten. -40 r , +30 Figuur Figuur bij vraagstuic Als men aanneemt dat de totale lading Ze van de atoomkern uniform verdeeld is binnen een bol met straal a, bereken dan: a. De potentiaal op afstand ro ~ a van de kern. Stel V = 0 voor r b. De elektrostatische energie van zo'n kern. -20

16 2 Elektrostatische velden in d i ë I e kt r i ca Zie figuur 2.1. Een polair molecuul met dipoolmoment p ter grootte van 4,8 x coulombmeter bevindt zich op een afstand van 10-8 m van een positief geladen ion met lading +2e (e = 1,6 x C). De plaatsvector r is van het molecuul naar het ion gericht De hoek tussen p en r is 90 0 Figuur 2.1. Figuur bij vraagstuk 2.1. a. Bereken het moment van het koppel dat het molecuul in het veld van het ion ondervindt. b. Bereken de elektrostatische krachten (richting en grootte) die het molecuul en het ion op elkaar uitoefenen. c. Bereken de elektrostatische potentiaal die de dipool ter plaatse van het positieve ion opwekt. d. Het polaire molecuul bestaat nader beschouwd uit twee ladingen -e en +e die zich op een afstand van 3 x m van elkaar bevinden. Tot op welke afstand van het midden van dit molecuul is op de verbindingslijn van -e naar +e van de dipool de potentiaal binnen 1 % correct gegeven door de formule: V = -4 P 2? neor 2.2. In een punt bevindt zich een elektrische dipool waarvan het moment pis. a. Bewijs dat de potentiaal in een punt P op grote afstand r van de dipool gegeven wordt door p.; V _ p cos(9) _ p - 4nEor2-4nEor3. b. Leid uit de formule van de potentiaal af de componenten Er en Ee van E. c. Zie figuur 2.2. Men heeft nu twee dipolen I en II, in één vlak op grote afstand van elkaar gelegen. Hierbij is r de verbindingslijn van de middens der dipolen. De dipoolmomenten zijn PI en fu. Dipool I maakt een hoek Î met de verbindingslijn r, dipool II maakt een hoek <p hiermee. Bereken de grootte en de richting van de veldsterkte die dipool I ter plaatse van dipool II opwekt.

17 18 Vraagstukken Elektriciteit... r Figuur 2.2. Figuur bij vraagstuk 22. d. Bereken de potentiële energie van dipool TI in het veld van dipool I, als fu onder een hoek q> staat met r In een begrensd gebied in de buurt van de oorsprong is een elektrisch veld in een cartesisch coördinatenstelsel gegeven door: a, b en c zijn positieve constanten. a. Is het veld een potentiaalveld? b. Bevindt zich in dit gebied lading? In de oorsprong brengt men een elektrische dipool p, gericht langs de positieve x-as. e. Bereken de componenten van de kracht op deze dipool. d. Bereken de componenten van het krachtmoment op deze dipool. e. Waarom is het beschouwde gebied begrensd? 2.4. Zie figuur 2.3. a. Toon aan dat het middelloodvlak van een elektrische dipool een equipotentiaalvlak is. Daaruit volgt dat de formule voor de potentiaal ten opzichte van het oneindige: V = P4 cos(~) 1teof, ook mag worden gebruikt met dit vlak als nulniveau. b. In een oorspronkelijk uniform elektrisch veld Ëo wordt een elektrische dipool p geplaatst waarvan de richting gelijk is aan die van Êo, Bewijs dat het resulterende veld een potentiaal heeft die op een bepaalde afstand Ra van de dipool constant is. Bereken de straal Ra van dit bolvormig equipotentiaaloppervlak. Figuur 2.3. Figuur bij vraagstuk 2.4.

18 Elektrostatische velden in diëlektrica 19 c. Dezelfde dipool wordt nu geplaatst in het middelpunt van een bolvormige holte met de onder b gevonden straal. De holte bevindt zich in een geleider. Bereken de ladingsdichtheid aan het geleideroppervlak in A en in B, uitgedrukt in p en Ro Een elektrische quadrupooi wordt gevormd door een lading -2e in de oorsprong en de ladingen +e in de punten (±a,o,o). Toon aan dat de potentiaal op een afstand r (r» a) bij benadering is: v = ea 2 (3 cos 2 9-1) ; 41t or 3 e is de hoek tussen r en de verbindingslijn door de ladingen. Wij nemen daarbij aan: limv =0. f-->oo 2.6. (Deze opgave behoort eigenlijk tot hoofdstuk 5, zie opgave 5.14) Zie figuur 2.4. Een lange spoel met straal R en lengte L (» R) heeft per meter lengte n windingen. De stroom door de windingen is Jo. x n , m, -----, p R... ~ -o::;.-o::; Figuur 2.4. Figuur bij vraagstuk 2.6. De grootte van de magnetische fluxdichtheid Bin P, gelegen op de as van de spoel is: a. Toon dit aan. In het punt 0 in het eindvlak x = 0 is een spoeltje geplaatst met N windingen waardoorheen een stroom Is vloeit. Het oppervlak van zo'n winding is S. De afmetingen van dat spoeltje zijn klein ten opzichte van R. b. Hoe groot is de kracht op het spoeltje als het dipoolmoment m daarvan wijst in de positieve richting van de as van de spoel? Hoe is die kracht gericht? c. Dezelfde vraag als bij b, maar nu als het dipoolmoment m in de richting staat loodrecht op de as van de spoel Een dunne schijf van elektrisch isolerende stof is permanent elektrisch gepolariseerd (elektreet) in een richting loodrecht op de schijf. De polarisatie p is uniform en is gericht van zijvlak a. naar zijvlak ~. De dikte van de plaat is a. De schijf heeft geen

19 20 Vraagstukken Elektriciteit vrije oppervlaktelading en er zijn geen ladingen of elektrisch gepolariseerde lichamen in de omgeving. a. Bereken het potentiaalverschil VA - VB tussen twee punten A en B, gelegen in de zijvlakken a en ~, niet te dicht bij de randen. b. Hoe groot is de veldsterkte in een willekeurig punt buiten de schijf, relatief dicht bij het midden van de schijf gelegen? 2.8. Een dunne, planparallelle schijf is loodrecht op de schijf gepolariseerd. De grootte van de polarisatie is Po en de richting is van zijvlak A naar zijvlak B. De schijf is ongeladen. Op de zijvlakken wordt een dunne laag van eenzelfde metaal aangebracht De dikte van de schijf is a. a. Men brengt tussen de metalen lagen een geleidende verbinding aan. Hoe groot is dan de dichtheid van de oppervlaktelading aan de binnenzijde van de metalen laag op A, en welk teken heeft deze lading? Verondersteld wordt dat de polarisatie door het aanbrengen van de platen niet verandert. b. Men verbreekt de geleidende verbinding. Daarna neemt door een of andere oorzaak de polarisatie af tot î Po (de richting blijft ongewijzigd). Hoe groot is nu het potentiaalverschil VA - YB? 2.9. Zie figuur 2.5. Een massieve cilinder van niet-geleidend materiaal is uniform gepolariseerd. De polarisatie P is gericht evenwijdig aan de cilinderas. De lengte van de cilinder is I, de diameter is 2R. Figuur 2.5. Figuur bij vraagstuk a. Bereken Ë in een punt op de as van de cilinder, gelegen op grote afstand r van het midden van de cilinder (r» 1). b. Bewijs dat in een punt A, gelegen in het materiaal, op de as van de cilinder zeer dicht bij een eindvlak, geldt: - -E = -P - ( 1-1) -:;:::.~-==~ a 2VR Bereken ook i5 in punt A.

20 Elektrostatische velden in diëlektrica 21 c. Bereken Ë in punt A', gelegen buiten het materiaal, op de as van de cilinder dicht bij een eindvlak. Voor dit vraagstuk is het nuttig te weten dat op afstand x van een gelijkmatig met elektrische lading bedekte, cirkelvormige, dunne schijf in vacuüm voor de veldsterkte Ê op de as van de schijf geldt: (Dit hoeft u niet te bewijzen!) Zie vraagstuk Een cilindrisch lichaam C (lengte 1 = 1,0 cm; doorsnede S = 0,40 cm 2 ) is permanent gepolariseerd, evenwijdig aan zijn lengte-as. De grootte van de polarisatie P heeft overal in C de waarde 3,0 x 10-8 C/m 2 Er is geen uitwendig veld. a. Bereken de waarde van de grootte van Ë en î5 in een punt op het verlengde van de as, op L = 120 cm van het midden van C. b. Bereken E en D in het midden van C Een dunne vierkante plaat van een diëlektrisch materiaal is uniform gepolariseerd De polarisatievector P is evenwijdig aan één van de lange zijden. De dikte b van de plaat is zeer veel kleiner dan de lengten a van de acht zijden. Bereken Ë en î5 in het centrum van de plaat. Bij de berekening mag gebruik gemaakt worden van het resultaat van vraagstuk 1.9a Zie figuur 2.6. Een massief stuk van een isolerende stof heeft de vorm van een langgerekte omwentelingsellipsoïde. De lengte van de lange as is I; de oppervlakte van de cirkelvormige dwarse doorsnede door het midden is S. Het lichaam is geplaatst in een oorspronkelijk veldvrije, ledige ruimte. Het materiaal is uniform elektrisch gepolariseerd in de richting van de lange as. Het heeft geen vrije lading. De polarisatie is P. In de stof is de veldsterkte overal-o,1 P/Eo. c Figuur 2.6. Figuur bij vraagstuk A, B en C zijn op het oppervlak gelegen punten; A en B liggen op de as en C ligt in het middenvlak. a. Bereken VA - VB. b. Hoe groot is de veldsterkte buiten het lichaam in de onmiddellijke omgeving van C? c. Hoe groot is de veldsterkte buiten het lichaam in de onmiddellijke omgeving van A?

21 22 Vraagstukken Elektriciteit d. Bereken de grootte en het teken van de totale polarisatielading (poissonlading) op de rechterhelft van de ellipsoïde Het gemeenschappelijke grensvlak van twee lineaire en isotrope media I en TI is plat. Op het grensvlak bevindt zich overal even dichte oppervlaktelading. In het diëlektricum I is een uniform elektrisch veld, waarvan de sterkte EI is. De veldlijnen zijn naar het grensvlak gericht en maken een hoek van 30 0 met de normaal op dit vlak. In het diëlektricum TI maken de veldlijnen een hoek van 60 0 met de normaal op het grensvlak. In I is r = 3; in TI is r = 12. a. Bereken de dichtheid van de vrije lading op het grensvlak van de media. b. Bereken de grootte en de richting van de polarisatie in elk van de media. c. Bereken de totale oppervlakteladingsdichtheid van de polarisatieladingen in het grensvlak Wij onderweken het elektrische veld dat wordt veroorzaakt door een permanent uniform gepolariseerde bol (straal R, polarisatie P). Deze bol is dus een eleklreet. De oorsprong van het coördinatenstelsel valt samen met het middelpunt van de bol; de z-as loopt in dezelfde richting als P. We gebruiken voor onze berekeningen het continuüm-model voor de gepolariseerde materie. De ongepolariseerde bol wordt beschouwd als homogeen gevuld met een continu verdeelde positieve lading Q en een continu verdeelde negatieve lading -Q. De gepolariseerde toestand denkt men zich nu ontstaan door een zeer geringe verschuiving à 7 van de centra S en T van de negatieve respectievelijk de positieve ladingscentra ten opzichte van elkaar. Zie figuur 2.7 (waarin à 7 voor de duidelijkheid véél te groot getekend is!). Daardoor ontstaat aan de ene kant (links in figuur 2.7) een uiterst dunne laag "oppervlakte"-lading (negatief) en aan de andere kant een net w dunne laag positieve lading. De dichtheid van die lading is op verschillende afstanden van de z-as uiteraard verschillend. Ons model moet aan de bol een even groot dipoolmoment toekennen als deze in werkelijkheid bezit. Daarom kiest men Q en à 7 zodanig dat: Q á 7 = P r 1tR 3 (= p). x.,...,... "., /' - / {" -! - z Figuur 2.7. Figuur bij vraagstujc Figuur 2.8. Figuur bij vraagstujc 2.14.

22 Elektrostatische velden in diëlektrica 23 De veldsterkte overal in de ruimte kan men nu op twee verschillende manieren berekenen: 1. Door na te gaan welke veldsterkten door de beide oppervlakteladingen worden veroorzaakt. 2. Door uit te rekenen welke veldsterkten door de ladingscontinua, die in dit geval bolvormig zijn, worden veroorzaakt. Methode 1 is in dit vraagstuk alleen bruikbaar voor de berekening van de elektrische veldsterkte in de oorsprong. Methode 2 is in dit vraagstuk te gebruiken voor elk willekeurig punt. a. Ga na dat het veld buiten de bol kan worden beschreven als dat van een dipooltje met een dipoolmoment p, dat zich bevindt in de oorsprong. b. Het veld in de bol is uniform. Om dit te bewijzen, berekenen we in een willekeurig punt A in de bol de veldsterkten Ë_ en Ë+, veroorzaakt door de negatieve, respectievelijk de positieve ladingscontinua. Ziefiguur 2.8. Bewijs dat: C. Ga na dat de totale veldsterkte in een willekeurig punt A binnen de bol is: Ë=-P/3 o. d. Bereken de potentiaal als functie van de plaats (gebruik hiertoe de bolcoördinaten r en a), zowel binnen als buiten de bol (stel V = 0 in het x-y vlak). e. Ga na dat dit (met behulp van het continuüm-model gevonden) veld inderdaad voldoet aan de voorwaarde dat V continu is aan het grensvlak. f. Ga na dat dit veld ook voldoet aan de voorwaarde dat Dn continu is aan het grensvlak. g. Bereken de ladingsdichtheid O'b van de oppervlaktelading als functie van a. h. Bereken de totale positieve oppervlaktelading Q,. Er zijn twee methoden: 1. Integreren over het rechterdeel van het bol-oppervlak. 2. fi (-P) ds berekenen over een geschikt gekozen oppervlak. i. Ga na, welke relatie r = r(a) de veldlijnen buiten de bol beschijft Zie figuur 2.9. Een oneindig lange cilinder is uniform gepolariseerd in een richting loodrecht op de cilinder-as (I» R). Bewijs, door het continuüm-model van vraagstuk 2.14 te gebruiken, dat overal in de cilinder geldt: Ë = -P/2eo Zie figuur Het gebied tussen een metalen bol (met straal R) en lading +Q en een ongeladen concentrisch met A gelegen metalen bol B (straal 3R) vult men voor driekwart met diëlektrisch materiaal met relatieve permittiviteit r op de in figuur 2.10 aangegeven wijze.

23 24 Vraagstukken Elektriciteit Figuur 2.9. Figuur bij vraagstuk Figuur Figuur bij vraagstuk a. Bereken de capaciteit van deze bolcondensator. b. Bereken de dichtheid van de vrije lading in een punt C van de binnenste bol, dat aan gebied I grenst (ook het teken vennelden). c. Idem in punt D van de binnenste bol, dat aan gebied 11 grenst (ook hier het teken vermelden). d. Bepaal de polarisatievector P in gebied I, op afstand r (R < r < 3R) van het midden gelegen. +Q a B Figuur Figuur bij vraagstuk 2.17.

24 Elektrostatische velden in diëlektrica Zie figuur a. Wat is het verband tussen de elektrische veldsterkten aan weerszijden van het grensvlak van een lineair isotroop diëlektrisch materiaal en vacuüm? Op het grensvlak is geen vrije lading aanwezig. Op een afstand a van een puntlading +Q bevindt zich het platte oppervlak van een zeer groot stuk nietgeleidend materiaal (lineair en isotroop) waarvan de relatieve permittiviteit E.r is. b. Bereken de veldsterkte bij B (het voetpunt van de loodlijn uit Q op het oppervlak) onmiddellijk buiten het materiaal Van twee concentrische metalen boloppervlakken A en B zijn de stralen respectievelijk 1 en 1,5 meter. De ruimte tussen de bollen denke men zich eerst opgevuld met een isotroop, lineair polariseerbaar medium waarvan de relatieve permittiviteit r gelijk is aan 3. Men zet op deze condensator een spanning zodanig dat VA - VB = 1000 volt. a. Bereken de lading van A. b. Bereken het elektrisch dipoolmoment per volume-eenheid in een punt van het medium dat op een afstand r van het middelpunt ligt. c. Hoe groot is de dichtheid van de vrije lading op de binnenzijde van B, en welk teken heeft deze lading? De ruimte tussen de bollen denke men zich vervolgens geheel opgevuld met een permanent gepolariseerd medium (elektreet). Men verbindt A en B geleidend. Van het medium is gegeven dat de polarisatie de richting heeft van c, terwijl P = a/r 2. d. Bereken de vrije lading aan de binnenzijde van B, en geef ook het teken. (De functie P is hier zodanig dat de "poissonladingen" alléén op het oppervlak van het medium optreden) Zie figuur Een vlakke plaatcondensator bestaat uit twee vierkante platen met zijden a op onderlinge afstand b (b«a). De condensator is en blijft aangesloten op een spanningsbron met constante spanning Uo. Door een plaat met dikte b kan de ruimte tussen de platen geheel of gedeeltelijk worden opgevuld met een diëlektricum waarvan E.r = 4. a U o + F x Figuur Figuur bij vraagstuk 2.19.

25 26 Vraagstukken Elektriciteit a. Druk de waarde van de elektrische veldenergie Uel van de condensator uit in de gegevens als het diëlektricwn er voor een lengte x insteekt. b. Druk de lading Q op de geleidende platen van de condensator uit in de gegevens in de onder a beschreven situatie. c. Bereken de grootte van de kracht F waarmee het diëlektricwn het veld wordt ingetrokken Van twee concentrische dunne metalen boloppervlakken heeft het binnenste een straal Rl en het buitenste een straal R2. De buitenste bol is geaard (potentiaal nul); de binnenste heeft een lading QI. In de ruimte tussen de bollen bevindt zich een ruimtelading met een overal even grote dichtheid p. Men mag voor de tussenruimte er = 1 stellen. a. Bereken de veldsterkte in de tussenruimte als functie van r. b. Bereken de lading 02 van de buitenste bol. c. De in a berekende veldsterkte is te schrijven als: E= ~ +Br. Bereken de potentiaal van de binnenste bol, uitgedrukt in A, B, Rl en R2. d. Bereken de totale veldenergie (wederom uitgedrukt in A, B, Rl en R2) Zie figuur Een metalen bol (straal R) is omgeven door een bolschil bestaande uit een homogeen, isotroop en lineair polariseerbaar diëlektricum met relatieve permittiviteit er. Die bolschil heeft een buitenstraai 2R. Op de metalen bol bevindt zich een vrije lading +Q. Figuur Figuur bij vraagstuk a. Bereken de totale elektrische veldenergie in de gehele ruimte van 0 ~ r ~ 00. b. Bereken de totale polarisatie-oppervlaktelading die zich bevindt aan de binnenzijde van de bolschil. c. Dezelfde vraag als bij b, maar nu voor de buitenzijde van de bolschil Een diëlektricum is homogeen en isotroop, maar niet lineair. In het diëlektricwn zijn Ê en D dus gelijk gericht. De relatie tussen hun grootten is:

26 J Elektrostatische velden in diëlektrica 27 l-e- AE D = Eo(E + 1 +e- AE Eo). Hierin zijn A en Eo positieve constanten. a. Tot welke verzadigingswaarde nadert de elektrische polarisatie P als de veldsterkte in het medium sterk toeneemt? B Figuur Figuur bij vrfujgstuk 222. b. Zie figuur Binnen het diëlektricum, nabij een punt B van het oppervlak is de grootte van de veldsterkte E = l/a. De richting maakt met d~ naar binnen gerichte normaal in B een hoek 0., tan(a.) = t. Bereken de normale en tangentiële component van de veldsterkte buiten het diëlektricum in de onmiddellijke nabijheid van B Los het probleem van vraagstuk 2.13 nu op, door gebruik te maken van het gegeven dat vanwege de axiale symmetrie zowel buiten als binnen de bol (buiten echter met andere constanten dan binnen) geldt: waarin V(r,O) = LAnflPn{cos(O)} + LBnr-<n+I)Pn{cos(O)}, n=o n=o 1 d n Pn(u) = 2n 'd n (u 2-1)n, met u = cos(o), zodat: n. u Po { cos(o)} = 1, PI {cos(o)} = cos(o) en P2 {cos(o)} = ~3cos2(O) - 1) Los het probleem van vraagstuk 2.14 nu op, door gebruik te maken van het gegeven dat vanwege de cilindersymmetrie zowel buiten als binnen de cilinder (buiten echter met andere constanten dan binnen) geldt: 00 V (p,cp) = Aa + Boln(p) + L pn {Ancos(nq» + Bnsin(ncp)} + n=i 00 + L p-n { Cncos(ncp) + Gnsin(ncp) }. n=i

27 28 Vraagstukken elektriciteit In een oneindig uitgebreid, oorspronkelijk uniform, elektrisch veld (veldsterkte 130) in vacuüm plaatst men een ongeladen massieve rechte cirkelcilinder (lengte 1, straal R «1) van lineair isotroop homogeen diëlektrisch materiaal (relatieve permittiviteit Er), met de as loodrecht op 130. Om het veld buiten de cilinder te kunnen beschrijven, maken we gebruik van cilindercoördinaten, waarbij de z-as samenvalt met de cilinderas. De oorsprong ligt in het midden van de cilinder. De x-as van waar af <p wordt bepaald, loopt in de richting van 130. Zie figuur Figuur Figuur bij vraagstuk Als men zich beperkt tot punten waarvoor p «1 en Izl «1 (zodat men de randeffecten mag verwaarlozen) blijkt de potentiaal aldus van de plaats af te hangen: en v = Apcos(<p) voor p ~ R v = -Eopcos(<p) + ~ cos(<p) voor p ~ R. a. Bewijs dat deze potentiaal een oplossing is van de vergelijking van Laplace. b. Druk A en C uit in Eo en R. c. Bereken de oppervlakteladingsdichtheid crb van de poissonlading op het cilinderoppervlak als functie van <po N.B. In cilindercoördinaten is: Zie figuur In een zeer groot stuk van een homogeen isotroop en lineair diëlektricum bevindt zich een relatief kleine bolvormige holte (waarin Er = 1) met straal R. De relatieve permittiviteit van het diëlektricum is Er. In het diëlektricum bestaat een

28 Elektrostatische velden in diëlektrica 29 elektrisch veld, dat op grote afstand van de holte uniform is en een sterkte Eo heeft. We voeren coördinaten r en 9 in zoals in figuur 2.16 aangegeven. We willen het veld in en bij de holte uitrekenen. Eo Figuur Figuur bij vraagstuk 226. a. 1. Aan welke voorwaarde moet de oplossing voldoen op grote afstand van de holte? 2. Aan welke voorwaarden moet de oplossing voldoen op het grensvlak holtematerie? Voor de potentiaal Vi in de holte geldt de algemene oplossing: Vi = L CnflPncos(9). n=o Voor de potentiaal Vu buiten de holte: Vu = -Eorcos(9) + L Bnr-{n+I)Pncos(9). n=o De functies P ncos(9) zijn legendre-polynomen. Er geldt: Po = 1; PI = cos(9); P2 = i<3cos 2 (O) - 1). b. Gebruik de randvoorwaarden, genoemd in a2, om vergelijkingen op te stellen waaruit de coëfficiënten Bn en Cn opgelost kunnen worden. Verwaarloos de termen Bn en Co voor n ~ 2. c. Druk de veldsterkte in de holte, ~, uit in Er en Eo. d. Schets het verloop van D-lijnen in de omgeving van de holte en daarbinnen.

29 30 Vraags tukken elektriciteit Zie figuur Gegeven zijn de legendre-polynomen: PO{cos(e)} = 1; pdcos(e)} =cos(e); P2{COS(e)} =~3cos2(e)-I). Als e = 0 is Pn {cos(e)} = 1, voor alle n. In het xy-vlak van een cartesisch coördinatenstelsel bevindt zich een dunne ring met een daarover uniform verdeelde lading Q. De straal van de ring is a. Het middelpunt valt samen met de oorsprong van het coördinatenstelsel. y Figuur Figuur bij vraagstuk 227. a. Bereken de potentiaal in een punt (O,O,z) op de z-as door uit te gaan van de uitdrukking voor de potentiaal van een puntlading. b. Geef drie termen van de reeksontwikkeling naar (a/z)2 voor de onder a berekende potentiaal als z > a; dat wil zeggen als a/z zeer klein is. c. Aan welke vergelijking moet de potentiaal in het gebied buiten de ring voldoen? d. Hoe gedraagt zich de potentiaalfunctie voor r -t oo? Op grond van axiale symmetrie van het probleem is de algemene oplossing van de onder c bedoelde vergelijking: 00 V(r,e) = L(An~ + Bnr~n+l»Pn{cos(e)}. n=o e. Geef de oplossing V(r,e) die voor r -t 00 het onder d bedoelde gedrag vertoont.

30 3 Elektrische stromen Door een cilindrische draad met straal R gaat een stroom evenwijdig aan de as; de stroomdichtheid J is een functie van de afstand r tot de hartlijn van de draad: J::: a r waarbij r ~ R. Bereken de stroomsterkte Uit een verwannde metalen plaat A ontsnappen elektronen (beginsnelheid::::: 0) naar een recht tegenover A (op korte afstand I), evenwijdig aan A opgestelde metalen plaat B. De snelheid v van de elektronen blijkt als volgt af te hangen van hun afstand x tot plaat A: v::: ax UJ T, waarin a een positieve constante is en x ~ I; T wijst van A naar B. Per seconde en per m 2 ontsnappen n elektronen uit plaat A; de lading van een elektron is -e. De toestand is stationair. a. Bereken de stroomdichtheid. b. Bereken de ruirnteladingsdichtheid p als functie van x Tussen twee concentrische metalen bollen A en B (RA < RB) vloeit een stationaire elektrische stroom. Bol A zend namelijk N elektronen per tijdseenheid uit die radiaal van A naar B bewegen (de lading van een elektron is -e). a. Bereken de stroomsterkte. b. Bereken de stroomdichtheid als functie van de afstand r tot het middelpunt van de bollen Zie figuur 3.1. Een lange cilindrische metalen draad (straal RI> is omgeven door een (even lange) coaxiale metalen cilindermantel (inwendige straal R2); de ruimte tussen draad en cilindermantel is materievrij. Door verhitting van de draad komen er per tijdseenheid en per lengte-eenheid n elektronen (elk lading -e) vrij, die zich langs de kortste weg naar de cilindermantel begeven. De toestand is stationair R ~ <',""..1 1 i { ) \l. / \. Figuur 3.1. Figuur bij vraagstuk 3.4. a. Bereken de grootte van de stroomdichtheid in de onmiddellijke nabijheid van het oppervlak van de draad. I b. De ruimteladingsdichtheid nabij de draad noemen we PI; de snelheid waannee de

31 32 Vraagstukken Elektriciteit elektronen uit de draad komen is VI; nabij de omhullende cilindermantel is de ruimteladingsdichtheid P2 en de snelheid der elektronen V2. Welke relatie bestaat er tussen PI, P2, vi, v2, Rl en R2? 3.5. In vacuüm bevinden zich, gelijkmatig over de ruimte verdeeld, per volume-eenheid N elektronen (lading -e, gemiddelde snelheid \v 1» en N protonen (lading +e, gemiddelde snelheid \vu). Bereken de stroomdichtheid voor het geval dat \vi) = -\v2) In vacuüm bevinden zich, gelijkmatig over de ruimte verdeeld, per volume-eenheid NI elektronen (lading -e) en N2 positieve ionen (lading q). De gemiddelde snelheid van de elektronen is \vi) en van de ionen \VÛ. a. Bereken de ruimteladingsdichtheid p. b. Bereken de over alle deeltjes gemiddelde snelheid (V). c. Is de stroomdichtheid j = p(v)? 3.7. a. Iemand beweert, voor de stroomdichtheid in een deel van een geleidend medium, waarin een stationaire elektrische stroom loopt, ten opzichte van een cartesisch assenstelsel te hebben gevonden: j = (3x 2,-6xy,z2). Ga na, waarom dit niet juist kan zijn. b. Wel mogelijk is j = (3x 2,-6xy,O). Ga na aan welke vergelijking de stroomlijnen in dit geval voldoen Tussen twee vlakke, evenwijdige platen A en B wordt een stroom van elektronen onderhouden. Voor de snelheid van de elektronen geldt: v = vi waarbij de x-as loodrecht op A en B staat; x = 0 voor plaat A en x = d voor plaat B. Per tijd- en per oppervlakte-eenheid verlaten n elektronen plaat A; de lading van een elektron is -e. Stel dat op zeker tijdstip geldt: j = -(ax 2 + b)i waarin a en b positieve constanten zijn. a. Hoe groot is n op dat ogenblik? b. Men beschouwt de totale ruimtelading, die zich bevindt in een cilindrische ruimte, die begrensd wordt door de platen en een doorsnee ~S heeft, terwijl de as loodrecht op de platen staat. Hoe groot is de toename van de lading per oppervlakte? c. Bereken de toename per tijd van de ruimteladingsdichtheid dp/dt als functie van x voor het bedoelde tijdstip Een gelijkmatig met elektrische lading bedekte, cirkelvormige platte schijf (oppervlakteladingsdichtheid cr, straal van de schijf R) draait met hoeksnelheid co om een as door het middelpunt. De as staat loodrecht op de schijf. a. Hoe hangt de grootte van de oppervlaktestroomdichtheid Ä in een punt van de schijf af van de afstand r tot het middelpunt? [A] = [I][lr l. b. Bereken de totale stroomsterkte door een niet meedraaiende straal.

32 Elektrische stromen Zie figuur 3.2. Een platte ronde doos is van zeer dun metaal gemaakt. De straal van deksel en bodem is a, de hoogte van de doos is h, de dikte van het materiaal is d; d «a en d «h. De soortelijke weerstand is 11. Twee rechte staven, waarvan de doorsneden cirkelvormig zijn met straal b, zijn coaxiaal met de doos op deksel en bodem gelast. De doos is hol. A B a Figuur 3.2. Figuur bij vraagstuk Een elektrische stroom gaat door de ene staaf naar de doos toe en door de andere staaf van de doos af, van A naar B. a. Bereken de gemiddelde stroomdichtheid in de staven. b. Bereken de grootte van de stroomdichtheid j in een punt van het deksel, dat een afstand r tot de as heeft. c. Bereken het potentiaalverschil VA - VB a. Bereken de substitutiegeleiding in de gevallen van figuur 3.3a. Figuur 3.3. a. Figuur bij vraagstuk 3.11a. b. Bereken de substitutieweerstand in de gevallen van figuur 3.3b. Figuur 3.3. b. Figuur bij vraagstuk 3.11 b.

33 34 Vraagstukken elektriciteit QZiefiguur 3.4. Bereken d~ stroomverdeling en bereken de vervangingsweer Qvan het netwerk gezien aan de klemmen a en b. 99V a + Hl \ b ~~4. Figuur bij vraagstuk ~Lie figuur 3.5. Bereken de stroomverdeling. la + 1V Hl e~ 3.5. Figuur bij vraagstuk Figuur 3.6. Figuur bij vraagstuk ie figuur 3.6. Bereken de spanning over en de stroom door elk element in de heling van figuur 3.6; Welk vermogen levert elk der respectievelijke bronnen? Zie figuur 3.7. Bereken U 1 en U2. lv + U 1 2V Figuur 3.7. Figuur bij vraagstuk Figuur 3.8. Figuur bij vraagstuk Zie figuur 3.8. Bereken 11 en 12.

34 Elektrische stromen 35 & Zie figuur 3.9. Bereken de stroomverdeling lv 40 Figuur 3.9. Figuur bij vraagstuk 3.17.

35 36 4 Het magnetische veld van stationaire stromen 4.1. Door een lange cilindrische buis (binnenstraai Rl> buitenstraai R 2 ) gaat een stroom I. De stroomdichtheid is overal even groot. Bereken de magnetische fluxdichtheid in een punt dat op een afstand r van de as van de buis verwijderd is. Onderzoek de gevallen r < Rl, Rl < r < R 2 en r > R 2. Geef grafisch het verloop van de magnetische fluxdichtheid als functie van r Zie figuur 4.1. Door een in de vorm van een cirkel met straal R gebogen metalen draad gaat een stroom I. Op een afstand z van het middelpunt van de cirkel ligt op de as een punt P. tan( <p) = R/z. Figuur 4.1. Figuur bij vraagstuk 42. Bewijs dat in P geldt: Ep = J..4> 2k sin 3 (<p) k Op grote afstand z op de as van de stroomkring van vraagstuk 4.2 kan men schrijven: Bp = Az m. Bereken A en m Leid door het toepassen van de stelling: # E ds = 0 af dat in het geval van de situatie geschetst in vraagstuk 4.2 in het punt Q, op afstand p van de as (z» R, p «z) de component Bp loodrecht op de as gegeven kan worden door: 4.5. Zie figuur 4.2. Door een spoel (lengte I, diameter 2R) die dicht bewikkeld is met n windingen gaat een stroom I. a. Bereken de magnetische flux dichtheid Bp in een punt P ergens op de as van de spoel gelegen. b. Doe hetzelfde als P in het midden van de as van de spoel is gelegen.

36 Het magnetische veld van stationaire stromen 37 Figuur 4.2. Figuur bij vraagstuk 4.5. C. Als we aannemen dat de spoel zeer lang en slank is, wat is dan Bp: 1. in het midden van de spoel; 2. bij één van de uiteinden? 4.6. Door twee evenwijdige lange rechte metalen draden lopen tegengesteld gerichte elektrische stromen. De stroomsterkten zijn 11 en h; de afstand tussen de draden is a. Bereken de kracht die de ene draad op een lengte I van de andere draad uitoefent. Hoe is deze kracht gericht Zie figuur 4.3. Twee zeer lange draden kruisen elkaar loodrecht op een afstand a. Door de ene draad gaat een stroom 11, door de andere h a I, (8) / Figuur 4.3. Figuur bij vraagstuk 4.7. Bereken de kracht en het krachtmoment dat de oneindig lange draad met stroom 11 uitoefent op een stuk 2/ van de andere draad met stroom 12. Het stuk 2/ is zodanig gekozen dat de eerste draad in het middelloodvlak ligt In een uniform magnetisch veld met fluxdichtheid B bevindt zich een willekeurige vlakke gesloten kromme, bestaande uit een metalen draad, waarin een stroom I vloeit. B is evenwijdig met het vlak van de kromme, die een oppervlakte S heeft. Welke kracht en welk krachtmoment wordt op de stroomkring uitgeoefend?

37 38 Vraagstukken Elektriciteit 4.9. Zie figuur 4.4. Een rechte draad AB met lengte I en een zeer lange draad liggen in één vlak en staan loodrecht op elkaar. Het uiteinde A van AB bevindt zich op een afstand a van de lange draad. Door beide draden gaat een stroom I. a A L.I ~----' I B Figuur 4.4. Figuur bij vraagstuk 4.9. a. Hoe groot is de resulterende kracht op AB? b. Hoe groot is het resulterende krachtmoment op AB ten opzichte van A? Zie figuur 4.5. Door een zeer lange, dunne horizontale metalen band (breedte b) loopt een elektrische stroom. De oppervlaktestroomdichtheid A is overal in de band dezelfde (A is in de lengte van de band). Voor de stroomsterkte geldt dus I = Ab. [A] = [I][br 1. P I I I~.. Figuur 4.5. Figuur bij vraagstuk b Bereken hoe groot de magnetische fluxdichtheid B is in een punt P, dat zich op een afstand c recht boven het midden van de band bevindt Men beschouwt een stationaire stroom van elektronen in vacuüm. Men denkt zich ergens in dat deel van de ruimte, waar deze stroom loopt, de oorsprong van een cartesisch coördinatenstelsel. Voor het door de elektronenstroom opgewekte magnetische veld blijkt - in een begrensd gebied rond de oorsprong dat geheel in de elektronenstroom ligt - te gelden:

38 Het magnetische veld van stationaire stromen 39 Bx = -ay - by -V x 2 + y2 ; By = +ax + bx -V x 2 + y2 ; Bz = O. Bereken de stroomdichtheid J = J(x.y.z) in dat gebied In een luchtledige ruimte bewegen elektrische ladingen. De stromen zijn stationair zodat het magnetische veld geen functie is van de tijd. Voor de magnetische fluxdichtheid geldt in een begrensd gebied rond de oorsprong: a. b. c en f zijn constanten. a. Druk c en f uit in a en b. b. Bereken de stroomdichtheid Wij beschouwen in een driedimensionale ruimte alleen dát deel waarvoor x > O. In dat deel van de ruimte geldt - voor niet ál te kleine r - dat de magnetische fluxdichtheid voldoet aan: - r-f Brr) =~- \l r2 r C > 0 en f is de plaatsvector vanuit de oorsprong. a. Wat is de dimensie van de constante C. uitgedrukt in de basisgrootheden massa (M). lengte (L). tijd (T) en stroomsterkte (I)? y Yo z x Figuur 4.6. Figuur bij vraagstujc Zie figuur 4.6. Voorts wordt nu gegeven dat wij een punt P beschouwen met coördinaten (xo.yo,ü) met Yo > O. In het punt P bevindt zich op het tijdstip t = 0 een elektron (massa m. lading --e). Het elektron heeft op dat moment een snelheid v = vok. Wij willen het elektron laten lopen in een cirkelvormige baan met straal yo en met het

39 40 Vraagstukken Elektriciteit middelpunt op de x-as. Om het elektron in die baan te houden is naast het magnetische veld ook nog een uniform elektrisch veld Êo nodig. b. Bepaal de richting van het elektrische veld. c. Bereken de grootte van voo d. Maak een schets van de situatie, met enkele magnetische veldlijnen en geef globaal (zonder berekening) aan welke baan het elektron ongeveer zal doorlopen voor t > 0, als het elektrische veld niet aanwezig is. Beredeneer waarom u de baan zo schetst Wat is de snelheid van een bundel elektronen als de gelijktijdige invloed van een elektrisch veld (E = 3,4x 10 5 Vlm) en een magnetisch veld (B = 2,Ox 10-2 T) (beide loodrecht op de bundel en op elkaar), geen afbuigingen van de elektronen veroorzaakt? Zie figuur 4.7. Een geladen deeltje (massa m, lading q) passeert op t = 0 de oorsprong van een rechthoekig coördinatenstelsel met een snelheid v = (g vo,o'l~ vo). Het deeltje beweegt in een uniform magnetisch veld met een fluxdichtheid B = (O,O,-Bo), Bo > O. y z / / //1- // / B x Figuur 4.7. Figuur bij vraagstuk a. Bereken de kracht F die het deeltje op t = 0 ondervindt. b. De projectie van de baan van het deeltje op het x-y-vlak is een cirkel met straal R. BerekenR. c. Schets de baan van het deeltje voor t> O Een vlakke niet geleidende cirkelvormige schijf, die aan één zijde homogeen met lading bedekt is, wentelt eenparig om een as door het middelpunt en loodrecht op het vlak van de schijf. De oppervlakteladingsdichtheid is cr. De straal van de schijf is R. De hoeksnelheid is ol. a. Bereken de magnetische fluxdichtheid in het middelpunt van de schijf. b. Bereken de magnetische fluxdichtheid in een punt van de as op een afstand x van het middelpunt.

40 Het magnetische veld van stationaire stromen Een stroomdraad is opgerold tot een platte spiraal, zie figuur 4.8. Het aantal windingen (Ilo) is zeer groot, zodat elke omloop kan worden benaderd door een cirkel. Figuur 4.8. Figuur bij vraagstuk De straal van de binnencirkel is a en van de buitencirkel b. Het middelpunt is C. Door de draad loopt een stroom I. Bereken de magnetische fluxdichtheid Be in C In een beperkt deel van een luchtledige ruimte heeft men een uniform elektrisch veld Ë en loodrecht daarop een uniform magnetisch veld B. B = (Bo,O,O) en Ë = (O,Bo,O). a. Een deeltje met massa m en lading q > passeert op t = 0 de oorsprong met snelheid Va = (vo,o,o). Laat zien, dat voor t> 0 geldt: b. Een deeltje met massa m en lading q > voert een eenparige rechtlijnige beweging uit in dit elektromagnetische veld. Ga na, wat zijn snelheid v is. Ga na welke minimumwaarde de snelheid v dan moet hebben In een stationair uniform magnetisch veld B beweegt een geladen deeltje (lading q, massa m) waarvan de snelheid als functie van de tijd ten opzichte van een cartesisch coördinatenstelsel is: v = (vocos(oot),-avosin(oot),bvosin(oot)); 00, a en b zijn constanten, ongelijk aan nul. a. Bereken de componenten Bx, By en Bz van B. Aanwijzing: bedenk dat de drie vergelijkingen die u krijgt voor Bx, By en Bz en die sin(oot) en cos(oot) bevatten, een identiteit zijn voor alle waarden van t. b. Welke relatie bestaat er tussen a en b? Zie figuur 4.9. In een lange rechte geleider met rechthoekige doorsnede vloeit een stroom I. De stroomdichtheid is overal dezelfde. In de geleider bevinden zich n

41 42 Vraagstukken Elektriciteit geleidingselektronen per volume-eenheid. De lading van een elektron is -e; de driftsnelheid er van is v. p -'~ --- Q Figuur 4.9. Figuur bij vraagstuk 420. a. Bereken de snelheid v. Vervolgens brengt men loodrecht op de geleider een uniform magnetisch veld Baan; zie de figuur. Als gevolg van de kracht op de ladingsdragers ontstaat er in de stationaire situatie die zich nu instelt een spanning 1Ussen de klemmen P en Q. Deze liggen recht tegenover elkaar. b. Bereken de grootte van die (hall-)spanning UH. c. Welke klem heeft de hoogste potentiaal? Teneinde een grotere UH te verkrijgen kan men, uitgaande van de situatie van vraagstuk 4.20: a. een stroom van 5A laten gaan door een band met doorsnede 1 bij 10 mm; b. een stroom van 5A laten gaan door een band met doorsnede 0,5 bij 20 mmo In welk geval verkrijgt men een groter UH? Zie figuur Evenwijdig aan elkaar liggen in één plat vlak een zeer lange rechte dunne draad D en een zeer lange platte koperen strip S. De dikte van de strip is h en de breedte is a; h«a. De afstand tussen D en S is a. Door de draad vloeit een stroom I. Door de strip vloeit een stroom i, waarbij de stroomdichtheid Î in de strip overal gelijk is (i «I). In het koper van de strip nemen N vrije elektronen per m 3 deel aan de geleiding. De lading van het elektron is -e; de driftsnelheid van de elektronen is V. a. Bereken vals functie van Î, N en e.

42 Het magnetische veld van stationaire stromen 43 p Q D Figuur Figuur bij vraagstuk 422. a I,.. ~I I b. Bepaal de kracht, die een geleidingselektron in de strip ondervindt tengevolge van het magnetische veld van de draad op de plaats met de c00rdinaat x; zie figuur c. Bereken het potentiaalverschil tussen de punten P en Q (de hall-spanning) in de gegeven situatie. d. Bepaal de kracht, die S per lengte 1 in de gegeven situatie van de stroom in D ondervindt Zie figuur Door een cirkelvormig (straal R) gebogen metalen draad vloeit een stroom 1. Op afstand z vanaf het middelpunt 0 ligt op de as een punt P. a Bp ~L_~ z K p p Bz Figuur Figuur bij vraagstuk 423. Bereken met behulp van B = rot(ä) de magnetische fluxdichtheid in een punt K dat loodrecht boven P ligt (p «z en z» R). Druk Bp en Bz uit in Ilo, I, R, P en z. Bereken Bep. U kunt gebruik maken van het gegeven dat voor een magnetische dipool geldt, mits z» R:

43 44 Vraagstukken Elektriciteit -P Pep1 - Z1... Jlom x r... 1 a a a A = terwijl V x A =- 4m3 ' p ap (Kp az Ap pacp Àz In de situatie van vraagstuk 4.23 met de kringstroom 1 in 0 plaatst men coaxiaal een tweede cirkelvormige kring met straal R in P. Bereken de flux <I> die door de kring met straal R wordt omvat. Ook hier geldt R «z Zie figuur Men heeft twee evenwijdige lange dunne draden, waardoor even grote stromen 1 vloeien. De stroom 11 in de geleider G1loopt in de richting van de positieve z-as, de stroom Iz in de geleider G2 (afstand 00' = R) loopt in de richting van de negatieve z-as. IG II I L L dl (al R z (bl Figuur Figuur bij vraagstuk 425. x dl

44 Het magnetische veld van stationaire stromen 45 a. Bereken Bx, By en Bz door gebruik te maken van de vectorpotentiaal in een punt P(x,y,O), buiten de draden gelegen. Van het punt P is gegeven, dat het ligt in het middelloodvlak van de draden en dat de afstand OP veel kleiner is dan de lengte van de draden. Aanwijzing,' 1. Bereken daartoe eerst de vectorpotentiaal in een punt P (zie figuur 4.12) van stroomdraad G 1 met lengte 2L. 2. Bereken dan de totale vectorpotentiaal van de twee stroomdraden elk met lengte 2L, rekening houdend met de richting van de stroom door elk der draden. Men kan nu aantonen dat voor (x 2 + y2)/i}«1 geldt: b. De gevraagde fluxdichtheid B kunt u op eenvoudiger wijze vinden door toepassing van de circuitregel van Ampère. Ga dit na en controleer hiermee uw antwoord op vraag a.

45 46 5 Stationaire magnetische velden magnetiseerbare materie. In 5.1. Zie figuur 5.1 en 5.2. In een punt A op afstand a van een zeer lange rechte stroomvoerende draad (stroomsterkte I) ligt een zeer kleine vlakke kringstroom, te beschouwen als een magnetische dipool met dipoolmoment m in de z-richting. Kringstroom en draad liggen in het vlak van de tekening. De vector k wijst naar achteren. Voor het magnetisch dipool gelden (op voldoende grote afstand) de volgende formules: met en B = J.Lo 2m cos(s) r 41t r 3 Be = J.Lo m sin(8) 41t r /:1 ~ ~ ;~: :---+--fl--...: e I I I A0 Figuur 5.1. Figuur bij vraagstuk 5.1. B BI Figuur 5.2. Figuur bij vraagstuk 5.1.

46 Stationaire magnetische velden in magnetiseerbare materie 47 - J.loIlla. Bewijs: Bp = - 41t(a 2 + x 2 )3/2. k. b. Bereken de grootte van de kracht op de rechte stroomdraad. c. Beredeneer, welke richting de in b. bedoelde kracht heeft De as van de vlakke cirkelvormige stroomkring (stroomsterkte 1t. straal a) valt samen met de as van een tweede cirkelvormige stroomkring (stroomsterkte 12, straal b). De afstand tussen de middelpunten van beide stroomkringen is c. Beide stromen lopen in dezelfde zin. Omdat b«a en b «c, mag de tweede stroomkring worden opgevat als een magnetische dipool. a. Bereken de grootte van de magnetische fluxdichtheid B in het middelpunt van de eerste kringstroom. b. Bewijs dat de grootte van de kracht, die de kringstromen op elkaar uitoefenen is: 31tllo1l12a2b2c 2(a2 + c2)s!2. N.B.: Voor gegevens omtrent het veld van een magnetisch dipool, zie vraagstuk Zie figuur 5.3. Een cilindervormige magneet is uniform gemagnetiseerd in een met de as evenwijdige richting. De magnetisatie is M. Leid af dat de magnetische veldsterkte Hp in een binnen de magneet en op de as gelegen punt P gelijk is aan (~os(a) + ~os(13) - I} M. I, / ~ ~ ~T~,--, / ~ ~ _ ~ -+M P / / Figuur 5.3. Figuur bij vraagstuk In een uniform gemagnetiseerde massieve cilinder is de magnetisatie M = 10 7 /41t (Nm). De lengte van de magneet is 1 = 10 cm; de oppervlakte van de dwarse doorsnede S = 1 cm 2. a. Bereken de magnetische veldsterkte H in Nm in een punt op het verlengde van de as van de cilinder op L = 1 meter afstand van het centrum. Ilo = 41t (Hlm). b. Bereken de magnetische fluxdichtheid B = Ilo{H + M) in het midden van deze permanente magneet. Merk daarbij op, dat in het midden van de magneet H verwaarloosbaar klein blijkt te zijn ten opzichte van M.

47 48 Vraagstukken Elektriciteit 5.5. a. Bereken voor de magneet van vraagstuk 5.4 de magnetische fluxdichtheid B in een punt vlak bij het midden van een uiteinde van de magneet. b. Bereken met behulp van dit resultaat, de kracht die nodig is om twee van deze magneten, die met tegengestelde polen op uiterst kleine afstand tegenover elkaar liggen, van elkaar weg te trekken. Aanwijzing: Bereken eerst de magnetische veldenergie in de ruimte tussen de twee magneten als deze een zeer smalle pleet is met breedte i\x «R (de straal van de dwarse doorsnede van de magneet) Zie figuur 5.4. Binnen een uniform gemagnetiseerde bol met magnetisatie Mis overal de magnetische veldsterkte H = - tm. De bol bevindt zich in vacuüm. D, I 1 1 /' 1 /' ~~/'_\ ~- A ~ M Figuur 5.4. Figuur bij vraagstuk 5.6. a. Geef de grootte en richting van H en B in de punten A en D uitgedrukt in de magnetisatie M (A en D liggen direct buiten de bol). b. Doe hetzelfde voor een willekeurig punt P juist buiten de bol gelegen Zie figuur 5.5. Twee identieke schijven Pen Q zijn uniform gemagnetiseerd. De straal van de schijven is R, de dikte is h, (h «R). De assen van P en Q vallen samen en de afstand tussen de schijven is R. De magnetisatievector in P èn in Q is M en is in beide schijven gericht in de positieve x-richting. Een punt C van het deel van de as tussen P en Q ligt nog juist buiten de schijf Q. a. Bepaal de magnetiscpe fluxdichtheid B in het punt C. c. Welke richting heeft de magnetische veldsterkte H in een punt van de as juist binnen de schijf Q?

48 Stationaire magnetische velden in magnetiseerbare materie 49 R ~ x Figuur 5.5. Figuur bij vraagstuk 5.7. R Zie figuur p - ~- -:::-:::. Figuur 5.6. Figuur bij vraagstuk 5.8. a. Wanneer door een cirkelvonnige kringstroom met straal r een stroom van de sterkte I gaat, wordt de grootte van de magnetische fluxdichtheid B in een punt op de as op afstand z van het middelpunt van de kringstroom gegeven door: _ ~OIr2. r B /2' Toon dit aan. 2(r + z ) b. Een uniform gemagnetiseerd stuk materiaal heeft de vorm van een afgeknotte kegel. De magnetisatie B is evenwijdig aan de as. De stralen van grond- en bovenvlak zijn respectievelijk Rl en R2. De hoogte is h, en <p is de halve tophoek van de kegel. Bereken de magnetische fluxdichtheid B in de top van de kegel. c. Als Rl en R2 voorgesc~en waarden hebben, hoe groot moet dan h zijn om bij gegeven magnetisatie M in de top P een zo groot mogelijke magnetische fluxdichtheid B te verkrijgen? 5.9. Zie figuur 5.7. Een stalen cilinder (lengte I; straal van de cirkelvormige doorsnede is R «1) is permanent gemagnetiseerd. De magnetisatie hl is uniform en staat loodrecht op de cilinder-as (in het figuur is hl horizontaal).de cilinder is in lucht geplaatst. Volgens het model van Ampère kunnen wij, om B te bereken, de stalen cilinder vervangen denken door een lege huls waarlangs oppervlakte-stromen lopen.

49 50 Vraagstukken Elektriciteit In de getekende situatie lopen die stromen aan de bovenkant van de cilinder naar de lezer toe, en aan de onderkant van de lezer af. Voor een "plak" van de cilinder, met lengte I, breedte 2R sin(q» en dikte dx geldt, dat deze (om 13 te berekenen) kan worden vervangen door een lange rechte stroom lm aan de bovenkant en een lange rechte stroom lm aan de onderkant. Figuur 5.7. Figuur bij vraagstuk 5.9. a. Voor deze stroom geldt: lm = a. M dx waarin a. een constante is. Bereken 0.. b. Bereken, met behulp van dit model de magnetische fluxdichtheid 13 in het midden van de cilinder. Figuur 5.8. Figuur bij vraagstuk 5.9. c. Gegeven is nog, dat het magnetische veld in de cilinder (afgezien van de randeffecten aan de uiteinden) uniform is. Bereken de grootte van de veldsterkte Hp in het punt P, dat onrniddelijk buiten de cilinder ligt (zie figuur 5.8).

50 Stationaire magnetische velden in magnetiseerbare materie In een homogeen stuk paramagnetisch materiaal (relatieve permeabiliteit ~) bestaat een uniform magnetisch veld met veldsterkte Ho. In het materiaal bevindt zich een kleine luchtbel met straal R. Beschouw lucht als een vacuüm. H is alleen Ho, ver van de luchtbel. a. Bewijs dat de veldsterkte in de bel gelijk is aan: ;~=~ b. Bereken de veldenergie in de bel Zie figuur 5.9 In een uniform magnetisch veld (veldsterkte Ho) in de lucht (~ = 1) plaatst men een bol (straal R) die bestaat uit homogeen, isotroop, lineair magnetiseerbaar materiaal (relatieve permeabiliteit Ilr). De bol wordt daardoor uniform gemagnetiseerd (magnetisatie ~1). Voor hl geldt: --+ 3(Jly-l)... M= 2+Jly Ho. (Dit behoeft u niet te bewijzen). y x z Figuur 5.9. Figuur bij vraagstuk Voor de magnetische veldsterkte buiten de bol geldt; en: C Hr = (Ho + -;-) cos(9) r He = (- Ho + C32 ) sin(9). r Hierbij zijn bol-coördinaten gebruikt; 9 = 0 geeft de richting aan van Ho. a. Bereken Cl en C2. Bij het beantwoorden van de volgende vraag kan men Cl en C2 desgewenst als bekend veronderstellen! b. Toon aan, dat het veld binnen de bol kan worden beschreven door de magnetische vectorpotentiaal A = 2' B x r.

51 52 Vraagstukken Elektriciteit Een bolvormige permanente magneet, straal b, is uniform gemagnetiseerd met magnetisatie M. a. Toon aan dat het veld buiten de bol hetzelfde is als dat van een dipool met magnetisch moment m = ~1tb3M. b. Toon ook aan dat H p 2 = (3 cos 2 (9) + I} {Mb 3 j3r 3 }2 voor een punt P buiten de bol. Daarbij is r gemeten vanuit het midden van de bol en is 9 de hoek die r maakt met de richting van de magnetisatie. c. Als a de hoek is, die een veldlijn in een punt aan het boloppervlak maakt met het raakvlak ter plaatse P op het boloppervlak laat dan zien dat tg(a} = 2 cotg(9}. d. Bereken de energie van het magnetische veld binnen de bol. e. Bereken de energie van het magnetische veld buiten de bol. f. Toon aan dat de totale veldenergie 0 is Een toroïde met ijzerkern en met N windingen zonder weerstand wordt, in serie met een weerstand, aangesloten op een gelijkspanning. a. Op een gegeven ogenblik is de stroomsterkte I geworden. De omvatte flux per winding is dan <1>. Neem aan dat <I> als funktie van de tijd bekend is. Hoe groot is dan het vermogen dat de spoel op dit ogenblik opneemt? b. De fluxdichtheid in het ijzer is aanvankelijk nul, en volgt bij dit experiment dus de aanloopkromme (maagdelijke kromme). Neem aan dat deze kan worden beschreven door de vergelijking B = ch 2. Bewijs, met gebruikmaking van a., dat de tot een bepaald ogenblik door de spoel opgenomen energie tin<i> bedraagt, waarin I en <I> stroomsterkte resp. de flux per winding zijn op dat ogenblik Zie opgave 2.6. de waarden van de

52 6 Magnetische inductie Zie figuur 6.1. Een dunne staaf PQ met weerstand R en massa m kan zonder wrijving over twee lange evenwijdige geleidende draden glijden. De afstand van deze draden is 1. Het geheel bevindt zich in een uniform magnetisch veld met magnetische fluxdichtheid E, dat loodrecht op de tekening staat. Op het tijdstip t = 0 worden de draden aangesloten op constante gelijkspanning Uo op de in de figuur aangeduide wijze. Alleen de staaf PQ heeft een weerstand R. De zelfmductie wordt verwaarloosd. s p Q Figuur 6.1. Figuur bij vraagstuk 6.1. a. Bereken de snelheid van PQ en de stroomsterkte daarin, beide als functie van de tijd. b. Hoe groot worden deze na lange tijd? 6.2. Zie figuur 6.2. Van een magnetisch veld hangt de fluxdichtheid E alleen af van de coördinaat x; dus B = B(x). De richting van B is loodrecht op het x-y-vlak in de negatieve z-richting. In het x-y-vlak beweegt een U-vormige geleider PSRQ met een constante snelheid v in de positieve x-richting. PS = QR = 1 en RS = QP = a. a. Geef een uitdrukking voor de spanning ups (x) als de geleider PS zich op een afstand x van de y-as bevindt. Geef vervolgens een uitdrukking voor de sparming upq(x). Let op de tekens! Voorts wordt nu gegeven: B(x) = Bosin(tn), v =l00aen op t = 0 valt PS samen met de y-as. b. Bereken de sparmig upq(t) en bereken de frequentie van die spanning.

53 54 Vraagstukken Elektriciteit vi Q P Lf~~[ IR IS... I I B I I,. ~I a Figuur 6.2. Figuur bij vraagstuk 62. c. Geef één waarde voor de afstand a tussen de geleiders PS en QR zodanig, dat op elk tijdstip geldt UPQ = O. Licht uw antwoord toe! 6.3. Zie figuur 6.3. L -+ x Figuur 6.3. Figuur bij vraagstuk 6.3. De fluxdichtheid van een stationair magnetisch veld is: - 2nx - B(x) = Bo sine L)j.

54 Magnetische inductie 55 In het x-z-vlak beweegt een dunne rechte geleider (lengte I) eenparig in de richting van de positieve x-as. De geleider blijft daarbij evenwijdig aan de z-as. In de tijd T legt de staaf de weg L af. Op t = 0 valt de geleider samen met de z-as. Door de geleider vloeit een wisselstroom iet) met i(t) = -:rosine1tt). k. T a. Hoe is op verschillende plaatsen van het interval 0 < x < L de kracht gericht, die de bewegende geleider in het veld ondervindt? Licht uw antwoord toe! b. Hoe groot is de arbeid die de veldkracht op het traject 0 ~ x ~ L verrricht? 6.4. Zie figuur 6.4. In een vlak door een oneindige lange dunne rechte koperdraad C, waardoor een stroom I in de aangegeven richting loopt, bevindt zich een metalen staaf DE. DE staat loodrecht op de stroomdraad en wordt met een constante snelheid v voortbewogen. De snelheid is evenwijdig aan C en heeft dezelfde richting als de stroom. De lengte van DE is 0,9 1. De afstand van D tot de stroomdraad is 0,1 1. Bereken de spanning tussen de uiteinden van de staaf. Welk einde van de staaf wordt positief? c ~ Figuur 6.4. Figuur bij vraagstuk Een cirkelvormige koperen schijf, waarvan het vlak loodrecht staat op de veldlijnen van een uniform magnetisch veld met fluxdichtheid B, wentelt om zijn as in een richting die "past" bij die van de veldlijnen. De hoeksnelheid van de schijf is 00; de straal is R. Hoe groot is het potentiaalverschil tussen de as en de rand van de schijf? Is de as positief of negatief? 6.6. Zie figuur 6.5. In een verticaal naar boven gericht uniform magnetisch veld B bevindt zich een draaibaar systeem, bestaande uit een metalen as en een aan de as bevestigde metalen brug. Deze brug rust op een vaste horizontale metalen ring met straal a. As en brug zijn weerstandloos. Een deel van de as vormt samen met de rail, de spanningsbron Uo en de weerstand R een circuit. Wanneer de as draait is er tussen de brug en de ring een wrijvingskracht W waarvan de grootte niet afhankelijk is van de hoeksnelheid w. a. Voor welke waarde van de stroomsterkte wordt het moment van de wrijvingskracht W opgeheven door het elektromagnetische krachtmoment?

55 56 Vraagstukken Elektriciteit b. Welke waarde vindt u voor de stroomsterkte bij een willekeurig aangenomen hoeksnelheid? e. Druk de hoeksnelheid voor de stationaire beweging uit in Uo, B, W, a en R. d. Hoe interpreteert u het feit dat de in e. bedoelde uitdrukking ook negatieve waarden voor de hoeksnelheid geeft? I I Figuur 6.5. Figuur bij vraagstuk Binnen een lange cilindrische spoel is een metalen ring zodanig opgesteld dat de as samenvalt met de as van de spoel. De ring bestaat uit twee helften van verschillende materialen. De contactplaatsen van die helften zijn A en B. De weerstand van de ene helft is Rh die van de andere is R2. Door de spoel gaat een veranderde stroom zo, dat de magnetische veldsterkte binnen de spoel evenredig met de tijd toeneemnt. Stel de door de ring omvatte flux <I>(t) = at. De contact-potentiaalsprongen in A en B worden buiten beschouwing gelaten. a. Bereken de stroomsterkte in de ring. b. Bereken het potentiaalverschil tussen A en B. e. Indien de helft met R2 een niet-geleider is, hoe groot is dan het potentiaalverschil tussen A en B? d. Hoe worden de antwoorden op de vragen a en b indien een van de helften supergeleidend is? 6.8. Zie figuur 6.6. Wij bekijken een zeer lange en dunne cilindrische staaf van lineair magnetiseerbaar materiaal: relatieve permeabiliteit J.4. De soortelijke geleiding van dat materiaal is r. 'Y is zeer klein. De staaf is gelijkmatig en dicht bewikkeld met N windingen per lengteëenheid. De aldus gevormde spoel is aangesloten op een

56 Magnetische inductie 57 stroombron met een sterkte i(t) = C t met C constant en > O. De stroom neemt dus lineair met de tijd toe. a. Bereken de magnetische fluxdichtheid B(t) in het materiaal. b. Bereken de elektrische veldsterkte E(r), - op een afstand r van de as van de staafdie bestaat als gevolgvan de elektromagnetische inductie. Daarbij is r 5 ro. e. Bereken de stroomdichtheid J(r) van de in de cilinder geinduceerde stroom. Geef in een figuur duidelijk aan in welke richting J(r) vloeit d. Bereken het vermogen dat in 1 meter lengte van de staaf wordt gedissipeerd. Figuur 6.6. Figuur bij vraagstuk Zie figuur 6.7. Een torus met straal van de hartlijn R, is van binnen hol en die ruimte is luchtledig. Loodrecht op het vlak van de torus staat een niet-uniform cilindersymmetrisch magnetisch veld met een fluxdichtheid die afhangt van de tijd en van de afstand r tot het middelpunt C; dus B(t,r). Ter plaatse van de hartlijn beweegt een elektrisch geladen deeltje met lading q, massa m en snelheid v in een cirkel met straal R B(t,r) Figuur 6.7. Figuur bij vraagstuk 6.9. a. Bereken v. De gemiddelde fluxdichtheid binnen de cirkel met straal R blijkt te zijn: B(t). b. Bereken de door de cirkel met straal R omvatte magnetische flux en bereken de

57 58 Vraagstukken Elektriciteit elektrische veldsterkte E die langs de omtrek van die cirkel bestaat doordat die flux een functie is van de tijd. Deze elektrische veldsterkte versnelt het geladen deeltje zodanig dat dit in de cirkelbaan met straal R blijft bewegen. Daartoe is een bepaalde verhouding vereist tussen B(t) en Bo(t). c. Bereken die verhouding B(t) / Bo(t). Voorts wordt nu gegeven dat Bo(t) = Ct. De beginsnelheid van het deeltje is nul. Cis constant en > O. d. Hoeveel omwentelingen maakt het deeltje in het interval 0 ~ t ~ I? N.B. Het hier gegeven principe om deeltjes te versnellen wordt gebruikt in een toestel dat "bètatron" genoemd wordt Een holle ijzeren torus is gelijkmatig omwonden met 1000 windingen. De straal van de hartlijn van deze toroïde is 0,5 m; de buitenstraai van een dwarse doorsnede is 10-2 m; de wanddikte is 10-3 m. Van het ijzer is ~ = Bereken de zelfmductie van deze spoel Een ijzeren torus met een doorsnede S = m 2 heeft een hartlijn met I = 0,50 m. Om de torus zijn uniform verdeeld N = 400 windingen aangebracht. Bereken de zelfinduktie van de bewikkelde torus, a. Als de torus geheel bestaat uit een ijzersoort met een relatieve permeabiliteit ~r = 800. b. Als de torus bestaat uit twee aan elkaar gelaste ijzeren staven, ieder met een doorsnede van m 2 De ene staaf heeft een lengte van 0,30 m en is gemaakt van een ijzersoort met een relatieve permeabiliteit J..I1- = 600; de andere staaf (lengte 0,20 m) is gemaakt van een ijzersoort met een relatieve permeabiliteit J..I1- = In een ijzeren ring waarvan de hartlijn I = 0,5 m lang is en de oppervlakte van de doorsnede S = n? is, bevindt zich een luchtspleet van 10-3 m breedte. Om de ring zijn, gelijkmatig verdeeld, N = 2000 windingen aangebracht waar een stroom I = 1 A door gaat. De relatieve permeabiliteit J..I1- van het ijzer is 500. a. Bereken de magnetische veldsterkte in de luchtspleet. b. Indien in ~t seconden de luchtspleet tot m verwijd wordt, hoe groot is dan de inductiespanningsstoot die in de windingen opgewekt wordt? Een inductiespanningsstoot is gedefmeerd als: At f Uind dt t=o

58 Magnetische inductie Van een ijzeren torus is de lengte van de hartlijn I; de doorsnede is S en S«1 2 Hij is gelijkmatig bewikkeld met N windingen. Voor het materiaal van de torus geldt: B = JlH. Door de windingen vloeit een stroom I = Ct (t ~ 0). a. Toon aan dat de arbeid die in een tijd t verricht is voor de opbouw van het magnetisch veld gelijk is aan JlSC2N2 t b. Hoe groot is de zelfmduktie van deze toroïde? Zie figuur 6.8. Twee dunne evenwijdige, oneindige lange rechte geleiders met cirkelvormige doorsnede (straal r) liggen met hun hartlijn op een afstand a van elkaar. a»r. Een stroom I loopt als is aangegeven in figuur 6.8. Het systeem bevindt zich in vacuüm., ,. t 2r ---~ a ~~------~ ~--t ~ Figuur 6.8. Figuur bij vraagstuk a. Bereken B(x) op een afstand x (x > r) van de bovenste draad. b. Bereken per meter lengte van het systeem de totale flux ci>, in de ruimte tussen de draden; dus voor r < x < a - r. c. Bereken de zelfmductie van het stelsel per meter lengte Zie figuur 6.9. Een kabel bestaat uit twee platte, dunne banden (één voor de heengaande, één voor de teruggaande stroom I). De breedte is a en de onderlinge afstand is b, b«a. Tussen de banden is vacuüm. De oppervlaktestroomdichtheid is overal dezelfde. a. Omdat b«a mag men aannemen dat het magnetisch veld tussen de banden uniform is en daarbuiten nul. Bepaal op basis van deze veronderstelling met de circuitregel de veldsterkte. b. Bereken de kracht die elke band ondervindt per lengte. c. Bereken de zelfmduktie van de kabel per lengte. d. Toets de veronderstelling t.a.v. de uniformiteit door nu exact het veld te bereken in de hartlijn van de kabel (M in de figuur 6.9).

59 60 Vraagstukken Elektriciteit a Figuur 6.9. Figuur bij vraagstuk Zie figuur 6.1 O. In een horizontaal vlak bevindt zich een rechthoekig draadraam met zijden a en b. De stroom in dat raam is I. Verticaal boven een der zijden met lengte b bevindt zich op een afstand a een zeer lange rechte draad waardoor eveneens een stroom I gaat. Het draadraam kan roteren om de vaste as PQ die door de middens van de zijden a gaat. I I I I a I I ~~~I: ~b~p._ Figuur Figuur bij vraagstuk a. Bereken het krachtmoment (t.o.v. de as PQ), dat op het draadraam werkt. b. Welke is de stabiele evenwichtstand van het draadraam? c. Bereken de wederzijdse inductie van de dráad en raam in de getekende stand Zie figuur Door een klein plat cilindrisch spoeltje S (4 windingen, straal 10-2 m) vloeit een stroom van 2 A. Het middelpunt van een gesloten cirkelvormige draadring (straal 2 m) welke geen stroom voert en waarvan de as samenvalt met die van het spoeltje bevindt zich op 5 m afstand van het midden van het spoeltje.

60 Magnetische inductie 61 s --( m J~m Figuur Figuur bij vraagstuk a. Bereken de grootte van de door de draadring omvatte magnetische flux. b. Bereken de wederkerige inductie Om een torus van magnetiseerbaar materiaal is een spoel gewikkeld met N windingen. De hartlijn van de torus heeft lengte I; de doorsnede van de torus is S. 1 2» S. De stroom door de windingen neemt toe van 0 tot 1. In dit interval geldt voor de magnetisatie M van het isotrope, homogene materiaal: M = (a - I)H + bh 2, waarin a en b positieve constanten zijn ( a> 1). Men wil de energie, nodig om het materiaal tot de bij I behorende waarde van M te magnetiseren berekenen. a. Geef aan, waarom u bij de berekening niet uit mag gaan van de veronderstelling, dat de energiedichtheid van het magnetisch veld îhb zou zijn. b. Druk de energie, nodig om de torus tot de bij I behorende waarde van M te magnetiseren, uit in 1-4>, S, I, a, b en H In een spoel is coaxiaal een supergeleidende ring opgesteld. De wederzijdse induktie van spoel en ring is M. De zelfmduktie van de ring is L. Door de aanvankelijk stroomloze spoel wordt een stroom I gestuurd. Bereken de stroom die daardoor in de supergeleidende ring optreedt Een zeer lange rechte draad ligt in het vlak van een cirkelvormig gebogen draad. De straal van de cirkel is a en zijn middelpunt ligt op de afstand x van de rechte draad (x> a). a. Bereken de mutuele inductie M voor deze configuratie. lt a 2 sin 2 (S),'''''' ;:;:- Gegeven: J ds = 1t(b - "b 2 - a 2 ). ob - acos(s)

61 62 Vraagstukken Elektriciteit b. Als door de rechte draad een stroom 1 1 en door de cirkelvormig gebogen draad een stroom 1 2 gaat, bereken dan de grootte van de kracht die op de rechte draad wordt uitgeoefend. Aanwijzing: Druk eerst de potentiële energie van het stelsel uit in 11,12 en M Van een ijzeren torus is de lengte I van de hartlijn 1 m en de doorsnede S is 10-4 m 2. Hij is gelijkmatig met N = 1000 windingen bewikkeld. Het homogene isotrope ijzer heeft een hystereselus die in de figuur 6.12 is weergegeven. a. Tengevolge van een verandering van de stroom door de windingen gaat het materiaal over van toestand A in toestand B. Bereken de daarbij behorende verandering van de stroomsterkte M. Gebruik de in de grafiek aangegeven numerieke waarden! t H (Nm) Figuur Figuur bij vraagstuk Uitgaande van de magnetiseringsarbeid per volume-eenheid JH'dB, kan men met behulp van de grafiek de onder a. bedoelde overgang van A naar B te leveren magnetiseringsarbeid berekenen. b. Geef irl een figuur aan met welk oppervlak deze arbeid evenredig is. Bereken die arbeid. e. Toon aan dat als het materiaal één kringloop heeft volbracht de daarbij verrichte arbeid evenredig is met de oppervlakte van de hystereselus. d. In welke vorm vindt men deze arbeid terug? e. Als de overgang van A naar B in 1 s plaats vindt en eenparig verloopt bereken dan de irl de torus opgewekte inductiespanning.

62 Magnetische inductie Zie figuur Van een ijzeren torus is de lengte van de hartlijn 0,40 m en de dwarsdoorsnede van het ijzer m 2 ; JlQ = 41t 1O- 7 H/m. De torus is gelijkmatig belegd met 1000 windingen waardoor een stroom van 0,20 A gaat. Voor het ijzer geldt het volgende niet-lineaire verband tussen B en H (zie figuur 6.14). Figuur Figuur bij vraagstuk ,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 B WVb/m 2 ) / V / / / / / V / V H VVm) Figuur Figuur bij vraagstuk 622. a. Bereken de waarde van de magnetische veldsterkte H in het ijzer. b. Hoe groot is de door één winding omvatte magnetische flux? c. Bereken de zelfinductie L van de torus bij I = 0,20 A.

63 64 Vraagstukken Elektriciteit De stroomsterkte wordt vervolgens van 0,20 A op 0,24 A gebracht. d. Blijft hierbij de zelfinductie L constant? Licht dit toe! e. Is de formule voor de magnetische veldenergie Urn = il.12 geldig bij een L die van I atbangt? Zo ja, waarom? Zo nee, waarom niet? f. Bereken de arbeid die verricht moet worden om de stroomsterkte van 0,20 op 0,24 A te brengen.

64 7 De vergelijkingen van Maxwell Een rechte, dunne metalen draad is oneindig lang maar is over een lengte 21 onderbroken (tussen de punten A en B). Overal in de draad loopt gedurende zekere tijd een gelijkstroom I, zodat er opeenhoping van lading plaats vindt in de punten A en B. Gevraagd wordt de grootte van de magnetische fluxdichtheid B in een punt van het middenloodvlak van AB op afstand R van het midden. Voer de berekening uit volgens twee methoden: a. Gebruik de formule van Biot en Savart. b. Gebruik de circuit-regel van Ampère. Beschouw de zich aan de einden ophopende ladingen +Q en -Q als puntladingen In een luchtledig deel van de ruimte bestaat een van de tijd en van de plaats afhankelijke elektrische veldsterkte E(x,t). Deze veldsterkte is alleen afhankelijk van de x-coärdinaat en van de tijd. De richting is die van de positieve y-as: Ê(x,t) = E(x,t)], waarbij E(x,t) = ---..ALe; x+ A en e zijn constanten. In hetzelfde deel van de ruimte bestaat tegelijk een magnetisch veld met een fluxdichtheid B. Van de fluxdichtheid is gegeven dat deze op t = 0 overal nul is. a. Bereken B(t) en laat zien dat B(t) in het beschouwde deel van de ruimte loodrecht --+ staat op E. b. Hebben wij hier te maken met een golfverschijnsel? Licht uw antwoord toe! 7.3. Van een elektromagnetische golf in vacuüm heeft de elektrische veldvector de volgende gedaante: Ê = (Eocos(kz - rot), Eosin(kz - rot), 0), waarin k = ~ en c = ~, oj.1o De bijbehorende magnetische fluxdichtheidsvector is: B = (Bx(z,t), By(z,t), Bz{z,t)) a. Bereken Bx, By, Bz als functie van z en van t, als gegeven is dat alle integratieconstanten nul zijn. b. Bereken de bijpassende vector van Poynting S.

65 66 Vraagstukken Elektriciteit 7.4. Door een cilindrische geleider met eindige weerstand vloeit een gelijkstroom I. Bereken de waarde van de vector van Poynting aan het oppervlak van de draad en laat zien dat de energie die per tijd de draad invloeit juist gelijk is aan het gedissipeerde vermogen aan het oppervlak De aarde ontvangt ongeveer 1300 watt/m 2 aan stralingsenergie van de zon. Als we aannemen, dat die energie tot ons komt in de vorm van een vlakke, lineaire gepolariseerde monochromatische golf en dat deze loodrecht invalt, bereken dan de amplitude van de elektrische en magnetische veldsterkten in wnlicht Zie figuur 7.1. Een zeer lange coaxiale kabel waarvan de cilindervormige geleiders een diameter hebben van respectievelijk 2a en 2b wordt gebruikt als verbinding tussen enerzijds een spanningsbron met constante bronspanning Uo en inwendige weerstand Ri en anderzijds een belastingsweerstand Ru. De kabel is weerstandsloos I ""'-\-----, 1 1 \ 2b 2a, 1 \ Figuur 7.1. Figuur bij vraagstuk ' I I I \ I I \-" \ a. Bereken de stroomsterkte uitgedrukt in Uo, Ri, en Ru. b. Bereken het potentiaalverschil tussen de cilinders. Voor de (radiaal gerichte) electrische veldsterkte tussen de cilinders als funktie van de afstand r tot de as van de cilinders (a ~ r ~ b) geldt: E = Clr, waarin C een constante is. c. Druk de constante C uit in: a, b, Uo, Ri en Ru. d. Bepaal de grootte en richting van H tussen de cilinders op ~stand r van de as. e. Bereken de grootte en richting van de vector van Poynting S tussen de cilinders op afstand r van de as. /. Wat is de fysische betekenis van S! g. Integreer S over het oppervlak van een dwarse doorsnede tussen de cilinders (bepaal dus JS-dS tussen r = a en r = b). h. Bereken het vermogen dat in de uitwendige weerstand in warmte wordt omgezet Zie figuur 7.2. Een bol van isolerend materiaal heeft een straal a. Op de bol is een dunne geleidende laag met dikte b «a aangebracht; de conduktiviteit van de laag is cr. I I

66 De vergelijkingen van Maxwell 67 Met behulp van twee zeer lange cilindrische draden met diameter 2b wordt de geleidende laag in diametraal tegenover elkaar gelegen punten A en B verbonden met een stroombron die een sterkte 1 heeft. We beschouwen op de buitenkant van de geleidende laag een punt P dat zo gelegen is, dat straal CP met de rechte AB een hoek e maakt. z y Figuur 7.2. Figuur bij vraagstuk 7.7. a. Bereken de stroomdichtheid J in de laag als functie van e. b. Bereken de elektrische veldsterkte Ë in de laag als functie van e. c. Bereken de magnetische fluxdichtheid B aan het buiten-oppervlak van de laag als functie van e. Aanwijzing: Let bij de berekening op de symmetrie van het probleem. d. Bereken de vector van Poynting S als functie van e. e. Bereken het door de geleidende laag gedissipeerde vermogen als gegeven is dat: ~ = In I tg(e/2) 1+ C. J sm(e) f. Bereken de weerstand R van de geleidende laag Door een lange rechte draad (cirkelvormige doorsnede; straal a) loopt een elektrische stroom, waarvan de dichtheid uniform is. De stroom vloeit evenwijdig aan

67 68 Vraagstukken Elektriciteit de as van de draad, die wij als z-as kiezen. De stroomsterkte is I. Binnen de draad is de relatieve permeabiliteit 111 en er buiten is die 112. a. Schrijf de differentiaalvergelijking op, waaraan de vectorpotentiaal Ä voldoet. b. Ä kan in principe een plaats-onatbankelijk deel bevatten, d.w.z. dat Ax, Ay en Az op een constante na bepaald zijn. Deze constanten kiezen wij nul voor Ax en Ay. Wat kunt u nu zeggen over de richting van Ä?....'. 2 1 a (a<l» 1 a 2 <1> a 2 <1> c. In cilinder-coordinaten IS V <I> = ~ an P-:I + 2" ' t' t' or P ae az Voor P = a kiezen we Az = O. Bereken nu Ä voor 0 ~ P ~ a. d. In cilinder -coördinaten is: Bereken nu B voor 0 ~ P ~ a. e. Ga na, welke relatie er bestaat tussen limba en limb a. pta p.!.a f. Bereken nu Ä voor P > a.

68 69 8 Netwerken en wisselstromen 8.1. Zie figuur V Figuur 8.1. Figuur bij vraagstuk 8.1. a. Wat gebeurt er met I als de aansluiting van de stroombron wordt omgekeerd? b. Onder welke voorwaarde is I = O? 8.2. Zie figuur 8.2. Bereken de stroomverdeling. 40n 30n 100V + 20n 50 n 3 Figuur 8.2. Figuur bij vraagstuk 82. Los dit vraagstuk op met het superpositiebeginsel 8.3. Zie figuur 8.3. Bepaal thévenin- en nortonequivalent van de volgende schakelingen.

69 70 Vraagstukken elektriciteit 4n 1n 2n + 4V 3n 1n (a) (b) 3V 40n 30n (c) (d) 4V (e) Figuur 8.3. Figuur bij vraagstuk Zie figuur 8.4. Bereken zonder gebruik te maken van het theorema van Thévenin: a. Het vermogen in de belastingsweerstand, Rbel = 8 n. b. Het vermogen van de spanningsbron. Bepaal vervolgens het thévenin-vervangingsschema van de schakeling links van de klemmen a en b. c. Bereken opnieuw het vermogen in Rbel. d. Bereken het vermogen van de thévenin-spanningsbron. e. Verklaar de overeenkomst, resp. het verschil in uw antwoorden.

70 Netwerken en wisselstromen 71 b Figuur 8.4. Figuur bij vraagstuk 8.4. Figuur 8.5. Figuur bij vraagstuk 8.5. b 8.5. Zie figuur 8.5. Bepaal het théveninequivalent links van de klemmen a en b. Bereken het vermogen PR(R) in de belastingsweerstand R voor de volgende gevallen: R=0,5 Q R= IQ R=2Q R=OQ R=oo Schets PR(R). Waar is dit vermogen zo groot mogelijk? 8.6. Zie figuur 8.6. Bereken de stroom I door gebruik te maken van de stelling van Thévenin. a 3V V b Figuur 8.6. Figuur bij vraagstuk 8.6. Figuur 8.7. Figuur bij vraagstuk Zie figuur 8.7. Bereken door gebruik te maken van de stelling van Thévenin de stroom I in de weerstand R voor het geval R = 50 Q. Welk vermogen wordt in R gedissipeerd? Voor welke waarde van R is dat vermogen maximaal? 8.8. Zie figuur 8.8. a. Nadat S een oneindig lange tijd heeft gestaan in stand 1, zet men de schakelaar op t = 0 om naar stand 2. Bereken i(t) en uc(t) voor t > O. U is een gelijkspanning.

71 72 Vraagstukken elektriciteit b. Nadat de vrije trilling is weggedempt schakelt men terug naar stand 1. Bereken opnieuw i en Uc en schets deze. c. Beantwoord dezelfde vragen als hiervoor maar nu met een spoel L in plaats van een condensator. Nu dus voor i en ULo u S 2 R E Figuur 8.8. Figuur bij vraagstuk Zie figuur 8.9. Op t = 0 wordt de schakelaar gesloten. Bereken uc(t) voor t > O V Figuur 8.9. Figuur bij vraagstuk Zie figuur Op t = 0 wordt S gesloten. Cl en C2 zijn dan ongeladen. Bereken i(t) voor t > O. s 20 u 12 V Figuur Figuur bij vraagstuk Figuur Figuur bij vraagstuk Zie figuur 8.l1. S wordt op t = 0 gesloten. Bereken i(t) voor t> O. Schets deze stroom Zie figuur S is steeds gesloten geweest en wordt op t = 0 geopend. Bereken Uab(t) over S voor t > O. Merk op dat Uab(O+) veel groter is dan de bronspanning.

72 a s b 1Q Netwerken en wisselstromen 73 6V 2Q 4H Figuur Figuur bij vraagstuk Zie figuur Een RLC-serieschakeling kan door middel van een schakelaar worden aangesloten op een gelijkspanningsbron U. Voor t < 0 staat de schakelaar open en is de condensator ongeladen. R L u -..,._C Figuur Figuur bij vraagstuk U = 6 V, R = 2 0, L = 1 Hen C = 10 F. Op het tijdstip t = 0 wordt de schakelaar gesloten. Bereken de stroom i(t) in de schakeling voor t ~ O a. Bereken: (1 + 3j) + (3 + j), (2-4j) + (2 + 4j), (4 + 3j) + (4 + 3j), (1 + 3j) (3 + j), (2 + 4j)(2 + 4jt b. Teken in het complexe vlak de volgende getallen: (2 + j), j(2 + j), (2 + j) j a. Rationaliseer: 413j _1_ -1 + j'

73 74 Vraagstukken Elektriciteit b. Schrijf de volgende complexe getallen als een e-macht: 4+3j j j _1_ 1 + j (4 + 3j)* Zie figuur Bepaal de impedantie van de drie volgende tweeklemmennetwerken. L (a) C (b) C C (a) Figuur Figuur bij vraagstuk Zie figuur Onder welke voorwaarde is: IUCII = IUC21? a R Cl L C Figuur Figuur bij vraagstuk Figuur Figuur bij vraagstuk Zie figuur Onder welke voorwaarde is Zab reëel? b

74 Netwerken en wisselstromen Zie figuur Welke betrekkingen bestaan er tussen de elementwaarden als U2 = 0 voor alle O)? Denk aan de brug van Wheatstone! c u, R, L Figuur Figuur bij vraagstuk Zie figuur Onder welke condities is de brug in evenwicht? Figuur Figuur bij vraagstuk Zie figuur Voor welke waarde van R is de impedantie voor alle 0) reëel? Zie figuur Bereken de overdrachtsfunctie H(O)) = ~~~:~ van de gegeven spanningdeler. Voor welke waarde van 0) is H(O)) reëel?

75 76 Vraagstukken elektriciteit R L F '----_u_'_c "'----_----I--r-- c Figuur Figuur bij vraagstuk Figuur Figuur bij vraagstuk Zie figuur Druk de complexe stroom IR uit in I, co, L, R en C. Waaraan moet de hoekfrequentie voldoen opdat UR onafhankelijk zij van de grootte van R? Hoe groot is dan UR? Zie figuur Bereken de faseverschuiving tussen Is en I. Teken (op schaal) het wijzerdiagram van de spanning en van de stromen. + u 50 4j n Figuur Figuur bij vraagstuk Figuur Figuur bij vraagstuk Zie figuur Teken op schaal de wijzerdiagrammen van de spanningen en van de stromen voor de volgende vier schakelingen. 2 2n 2 2/j 0 3 (a) (b)

76 Netwerken en wisselstromen /j j 0 2 (c) Figuur Figuur bij vraagstuk 825. (d) Zie figuur Teken de wijzerdiagrammen van de stroom en de spanningen in de volgende gevallen: a. Ze = -jo b. Ze = -25j. c. Ze = -13j jO c R L c 4 Figuur Figuur bij vraagstuk 826. Figuur Figuur bij vraagstuk Zie figuur Gegeven: Ol = 10 4 rad/s, R = 20 n, lui = 25 V, IU l3 1 = 52 V en IU24 I = 15 V. Bereken de waarden van L en C waarbij aan de gegevens is voldaan Zie figuur Onder welke voorwaarde verschillen UT en U een hoek ~ rad in fase? u Figuur Figuur bij vraagstuk 828.

77 78 Vraagstukken Elektriciteit Zie figuur L is variabel. Ol is vast; Ol::!; o. a R u L -...,...- c Figuur Figuur bij vraagstuk 829. b a. Leid de voorwaarde af onder welke de kring gezien aan de klemmen a en b in faseresonantie is. b. Aan welke voorwaarde moet zijn voldaan opdat slechts voor reële waarden van L faseresonantie bestaat? Zijn de waarden voor L alle realiseerbaar? c. Onder welke conditie zal slechts voor één waarde van L faseresonantie optreden? Geef voor dit geval een uitdrukking voor L en geef ook een uitdrukking voor I Zie figuur Gegeven: u(t) = 4cos(2t), V Bereken: a. UL(t). b. Het gedissipeerde vermogen R c u 2H u, L R Figuur Figuur bij vraagstuk 830. Figuur Figuur bij vraagstuk Zie figuur De hoekfrequentie van de bronspanning is ol. Bereken onder welke voorwaarde U2(t) een hoek van Î in fase verschilt met Ul(t). Is U2(t) dan in fase voor of achter op Ul(t)?

78 Netwerken en wisselstromen 79 Bereken U2(t) als nu gegeven wordt: U1(t) =...[58 sin(iooot), V met R = 200 n, L = 0,1 Hen C = 10-5 F Zie figuur udt) = sin(t). a. Bereken U34(t)(t). b. Teken het wijzerdiagram van de spanningen. 3 R ~~.- ~a uit) + -.,...-- c L 4 ~ ~ ~ ~b Figuur Figuur bij vraagstuk Figuur Figuur bij vraagstuk Zie figuur L = 1 H, R = 10 n, C = 5~ Fen u(t) = 8cos(lOt + ~), V. a. Bereken de spanning Uab(t). b. Hoe moeten op a en baangesloten belastings-impedantie worden gedimensioneerd opdat daarin een zo groot mogelijk vermogen wordt gedissipeerd? Zie figuur Bereken IL, door gebruik te maken van de stelling van Thévenin. Bereken het in de schakeling gedissipeerde vermogen. Gegevens: U = 1 V, I = 1 + j, A en CO = 1 rad/s. 3 n 1 F 3 o Figuur Figuur bij vraagstuk Figuur Figuur bij vraagstuk 8.35.

79 80 Vraagstukken Elektriciteit Zie figuur L = 1 mr, C = 1 mf, R = 1 n, UIO(t) = sin(l000t), V en i(t) = cos(1000t), A. Bereken: a. uzo(t). b. Het vermogen afgegeven door de spanningsbron. c. Het vermogen afgegeven door de stroombron. d. Het in de schakeling gedissipeerde vermogen Zie figuur a. Bepaal de complexe verhouding UzlUl. Voorts wordt nu gegeven: R = 500 n, C = 1 J.1F en Ol = 2000 rad/s. b. Voor welke waarden van L, verschillen UI en Uz, ~ in fase? c. Bepaal de spanning uz(t) voor het geval dat L = th en UI(t) = {TI) sin(2000t), V is. UI R c + L R '-----' Figuur Figuur bij vraagstujc Figuur Figuur bij vraagstujc Zie figuur Het schema bevat twee gelijke weerstanden. Wij beschouwen de impedantie ZIZ, gezien aan de klemmen 1 en 2. a. Welke betrekking bestaat er tussen R, L en C als voor alle (J), de impedantie Z12 reëel is? Voorts wordt nu gegeven: R = 1 n, L = 1 H, C = 1 F en Ol = 2 rad/s. b. Teken het wijzerdiagram van de spannigen. Doe dit op schaal! Zie figuur U12 = 2 V, U34 = (-1 + j) V, Ol = 1 rad/s. a. Bereken IR. b. Bereken het door beide bronnen aan het netwerk afgegeven gemiddelde vermogen P. c. Als nu UIZ(t) = 2sin(t), wat is dan U34(t)?

80 Netwerken en wisselstromen 81 I, 1 H + U a I M I _L_ C 4jn lf 2 b 4 Figuur Figuur bij vraagstuk Figuur Figuur bij vraagstuk In een fabriek is een éénfase-wisselstroommotor in bedrijf. Voor het probleem dat wij onderzoeken mag de motor worden opgevat als een serieschakeling van een weerstand van 3 n en een spoel met impedantie van 4j.Q. Zie figuur 8.37 met weggenomen condensator. De netspanning U is 100 V; wij kiezen U reëel. a. Bereken de complexe stroom IM in de motor. Schets in één wijzerdiagram U en IM. Bereken de cosinus van het faseverschil <p tussen U en IM. Volgens voorschrift van het elektriciteitsbedrijf moet de fasehoek <p tussen de netspanning U en de netstroom I voldoen aan: cos(<p) ~ 0.8. Om aan deze voorschriften te voldoen plaatst de gebruiker een condensator C tussen de klemmen a en b. b. Hoe groot moet de condensatorstroom minstens zijn, opdat aan die voorschriften is voldaan? Bekijk dit aan de hand van het diagram! c. Hoe groot moet men dan C kiezen als de netfrequentie 50 Hz is? Zie figuur Bereken Zl2 1 ~ 1 R ln Figuur Figuur bij vraagstuk Figuur Figuur bij vraagstuk Zie figuur Bereken Zl2.

81 82 Vraagstukken Elektriciteit Zie figuur Bereken Z12. Figuur Figuur bij vraagstuk ~ L, Zie figuur R = 10 n, Ll = 10 H, L2 = 1,6 H, M = 2-{2 H en u(t) = 100 -{2cos(t + ~), V. R uit) z Figuur Figuur bij vraagstuk a. Bepaal het thévenin-equivalent van de schakeling links van de klemmen a en b. b. Hoe moet Z worden gedimensioneerd opdat van vermogensaanpassing sprake is? Zie figuur R = 10 n, L = 10-2 H en C = 1 JlF. Q. Bij welke frequentie is de stroomsterkte maximaal? b. Bij welke frequentie is de stroomsterkte ~ maal zo groot als Illmax? c. Hoe groot is de bandbreedte? -..,.-- c Figuur Figuur bij vraagstuk Zie figuur Bij welke frequentie roo is l in fase met U? Bij welke waarde van R is dan IUcl = 1001UI? I u Figuur Figuur bij vraagstuk 8.45.

82 Netwerken en wisselstromen Een R-L-C-serieschakeling is aangesloten op een wisselspanningsbron met constante bronsterkte van 200 V en met een variabele frequentie. R = 50 n, L = 1 H en C == 1; 10-4 F. De bron levert dan 200 watt. Welke zijn de beide mogelijke hoekfrequenties? Op een R-L-C-serieschakeling staat een wisselspanning U. a. Bereken de spanning Uc over de condensator. b. Voor welke waarde van co is IUcl maximaal? Men spreekt dan van "amplituderesonantie". c. Bewijs dat dan geldt: I QolUI. Q L,/"r 11 1 luc rnax =,waann 0 = R V C. 'V ~ d. Bewijs dat als U en I in fase zijn geldt IUcl = QolUI. e. Schets IUcl als functie van co.

83 84 Antwoorden 1. Elektrostatische velden in vacuüm.. ~~ ~ ~ ~ ~ 1.1. a. a = 7,1; b = 6,4; b. a b = -25; c. q> = 123 ; d. a+b=21 +6J +k; e. a - b = 4T k; f. ax b = 34T k a. a=3t k; b. b=8t -61-2k; c. q> = a. (y2 + 2xy)i + (x 2 + 2xy)1 +6zk. b.2x + 2y + 6. c. O a. 8,12x 10-8 N; gravitatiekracht =:: 4x N; b. -4,31 x J; c. -2,18x J; d. +2,18x J = 13,6 ev ;a {R~-RÁ} ~a R ~a {R~-RÁ}I. 1 8 a --À-. 1. b --À-.In (L±.a.)... 47tEo a(a + I)'. 47teo a' 1.9. a. VÀl ; b. ti ; c. 4~ (WetvanCoulomb). 21teea [2 + 4a2 1t o 1teoa a.,,<;, (1 - x ); b. ;f;- ; c. f:: ; d. -; e. ~ox a.o VR2 + x2 ~ "'IJ a a. a = c = k = 3; b = 1; b. 0; c. O a.rot Ë=O; b.-a(x 2 +y2); c.4aeo a.Ja; b.nul. c(a 3 - x 3 ) ca3 ca a. 12ee x + Vo; b. -12' - 4. r2(2 -r2)... _ a. V(r) = 4Eo ; b. re = 1; c. als re = 1 ~ E = 0, met Gauss volgt Qomsl = 0; d. Q = 4m 3 (r 2-1); e. p(r) = 5r 3-3. I ç-s ç_su a -U' 1 U b "'IJ U , 6" 0,. - 4a 0'. C. 4" 3 U 0, 4" IU' 0, d 2'3'.,. e +~. 2a' EoS 2 eos 2 f. + 4a Uo ; g. - 4a Uo a. ~{;+2x}; b. =:: ln~;jr) ln;%i). 21tEo a. In(b/a) ; b. neen a. 27tEoRLEo; b. -47tEoRLEo; c. +27tEoRLEo; d. EoR; e. Eo;o. A.. 1/3~. 4EoUo x-j/3. 4EoU O a.- 3a Uo(x/a) 1, b.- 9 a4(3' c.o en 3a a. V(~ d) = 0; V(t d) = - ~~ is minimaal; b. vo ~ ~ ~~ ; 5.. I d 3EoUo al look c. Vo ffilmmaa;. - d2' over ge 1J.

84 Antwoorden a. Ê= ~o e-x/at +bt + Ok; b. Eo~c2 {e-c/a_1}. 47ta a a 1.25.a.- r -; b.]"; c.n = 4; d.-- 2eoR 2 R R2p rp R2p A rep a. - 3Eo ; b. - 3Eo en - 6Eo ; c Vo = R'V ë;;ffi' a. 3 rp ; b. R3 3 p ; C. blijft gelijk. Eo Eor 1.28.a.cr=-2 Q 2 Z2 3 /2; b.q{y Z -l}; c.q. 7t (Z + x ) z2 + a2 R R a. Q' = - a Q op afstand x = a van middelpunt bol, aan de kant van Q; b. Q/47tEoa. _ 21tEo V _ -7. ~ a. À. - ln(2h! r l) - 2,81 x 10 CIm, b. - 1tEoh j = -202j N/C; 2 ~"7' 5"7' c. 47tEoh J - -1,4x 10 J NIm a. Q2cos(a) _~; -0: + Q2sin(a) 47tEo(a2 + 4b 2 ) 47tEoa2 41tE o b 2 47tEo(a2 + 4b 2 ) met sin(a) = 2b ; b. _~ + OZ -~. Va2 + 4b 2 41tEo a 41tEo Y a2 + 4b 2 81tEob a. -Raq2 2 2' I b. q ' - - aq R ' met a - R 2/b wordt q ' - - R b q, 47tEo(a 2 - R ) 1 F= brq 2 41tEo(R2 - b 2 ) a. V = 0 voor x = - t a en x = -3a; b. E = 0 voor x = -3a - 2a...J2 ; -3Q2 C. Awij = 27tEoa. 6Q2 l10z.!. (I.\2 ~. 3(Ze) fi' 1.35.a 2 {3- aj}4,b 2Û7t. 7tEoa 7tEoa 7tEoa eoa 2. Elektrostatische velden in diëlektrica 2.1. a. 1,38x ; b. 1,38x ; c. V = 0; d. r > 1,5x lo- io m... 2p cos(o) P sin(o) 2.2. a. Zle de theone; b. Er = 4 3; Ee = 4 3; 7tEOr 7tEOr c. Er is alleen Ee = 4:~3 ter plaatse van dipool IT, de richting valt samen met -PI; d us -E =--; -PI d.-4 PIP2. ()...-+E 3 sm <P =-P2'. 41tEor3 1tEor

85 86 Vraagstukken Elektriciteit 2.3. a. Ja; b. p = 0, overal; c. F=api +bp] + Ok; d. oi -CP] +cpk; --+ e. voor r ~ 00 zou E ~ 00 gaan a. -; b. Ro =;; 4niO E o ; c. crb = 0; cra = 4: b JlonNSIsIo~. JlonNSIsIo ~ 6.a.-,. 2R 1, C.- 4R J. P ~a 2.7. a. VA - VB =-?o-; b. E = O a. (JA = +Po; b. VA - VB = 3 a' _ PR 2 I. ~ _ PI. P I 2.9. a. E - '1~ 3 ' b. D -,j, c. 2,1 a.or 21R2+I2 a IR2+I a. E = 1,25x 10-4 N/C; D = 1,1 x C/m 2 ; b. E = -6,3 x 10-2 N/C; D = 2,44 x IO-S C/m Ë = Pb...J2. ï5 = P(1 - JL...J2). 1tEoa' 1ta a. VA - VB = lb~o ; b. Ec = -lcfe o ; c. E A = lb~ ; d. Qp = p S a. cr v = t EoE--/3; b. PI = 2 oeo; PIl = II EoEo--/3, beide met dezelfde richting als de veldsterkte; c. cr p = - ~ EoE{ a. Gauss => Voor de berekening van het veld buiten de bol mag de lading Q worden vervangen door een puntlading Q in punt T en de lading -Q door een punt- I a d mg -Q' m punt Sb ;.-; c. -; d. B' Innen: V = Prcos(S) 3 ; Eo.. _ PR3cos(S)... _. _ 2. bulten. V ' e. -, f. -, g. crb - Pcos(S), h. Qb - 1tPR, Eor i. Veldlijn: t = r les => r = C sin 2 (S) met C E IR ; 31tR êy ( I ). 1 ( 1 ) a. 2 Eo(3Er + 1); b. + 1tR2 3êy + 1 Q, c. + 1tR2 3êy + 1 Q; d (Er-l)Q..Lr 1t(3Er + 1) r2 r a. Etanl = Etann bij grensvlak en En l = ErEnn; b. E = 41t~a (Er ~ 1) a. QA = 361tEox 10 3 ; b. P = 600c; a ; c. (JB = Eo; d. QB = -41ta. r 2 19 U = aa(a + 3x) y2. b Q = eoa(a + 3x) V' F = 3eo a y2. a. 2b 0" b 0, c. 2b O Ql -r1tr~p p a. E = 41tEof2 + 3eo r; b. Q2 = -(Ql + ~ 1t(~ - Ri)p);

86 Antwoorden 87 A A c. YI =R I - R 2 +2B(R2-RI); d. 21tEo(A 2(R I - i ) + AB(~ - Ri) + t B2(~ - Ri» I 2 Q2 1 -(Er - 1) +(Er - 1) a. 16EQR {I + Er}; b. Er Q; c. Er Q e- I a. P = EoEo; b. Etl = Et 2 = 5" A ; Enl = 5" A + e + 1 5" Eo ; ; a. p ~ R: V 2 y = ta cos(<p) -t A cos(<p) = 0; p ~ R: V2y = -~o cos(<p) + ~o cos(<p) +? cos(<p) -? cos(<p) = 0; C b. Ycontinuvoorp=R ~ A=-Eo+ R2... (1) Dn continu voor p = R ~ (1) ~ C = Er-I EaR2 Er + 1 ' era = -Eo - J:.. R2 + 2E (Er + I)A =-2Eo ~ A=-~I ; Er+ c. crb = Pn = EQ(E r - I)Enin~m = -EQ(Er - I)Acos(<p) 2EQ«Er - I)Eocos(<p) = Er a. Y r - Eor cos(8); Bo = 0; Co = 0, want Y(R) = continu, Dn(R) = continu of Et(R) = continu; b. BI = /+-~ R3EO; Cl = ~:~, de volgende zijn nul; 3ErEo c. Ei = 1 + 2Er ; d.- Q Q (1 1 a 2 3 a 4 ) a. Y = Y ; b. Y = 4-- Z ; 41tEo a2 + z2 1tEo z z 00 c. Laplace: V2y = 0; d. Y ~ 0 voor r ~ 00; e. Y(r,8) = LBnr-{n+I)Pn{cos(8)}; n=o Q a2 Q f. Bo = 41tEo ' BI = 0, B2 = -"2 41tEo ; Y _ ~ (l 1 a2 ;! a 2 cos 2 (8) ) g. - 41tEo r + 4 r3-4 r Elektrische stromen 3.1. I = 21t 3 a R b ne-2/3.. a. -nel;.- -ax.

87 88 Vraagstukken Elektriciteit.. -NeT 3.3. a. I = Ne; b. J=-4 3 voor RA $;r $; RB. 1tr 3.4. a.j = 2~áI ; b. PIVIRI = P2V2R =2Ne(vÛ a. P = -NIe + N2q; b. (VI) = {NI\vI) + N2\v2)} N 1 N ; c. neen. I v 1:1; 0, yx 2 = constant a. n = bie; b. ad2 ~S; c. dpldt = 2ax a... rocrr; b. ~crr2. I I 111 ( h Jnfa)} a. 1tb2 ; b. J = 2md (Alm); c. 1td 2a + -"\b G IG2 G3(GI + G2). b RIR2 R3(RI + Rz).. a. G I + G 2 ' G I + G 2 + G 3 '. Rl + R 2 ' Rl + R 2 + R _22. i 2-, R- 31 Q IA, 2 A en 2 A IR = 0, Pul = +1 W, Pur = '\...1 W, PI = o IV, 2V A, IA lul = IU 2 = IA, IR l = 2A, IR4 = IA. 4. Het magnetische veld van stationaire stromen.. JloI 4.1.0'-2 1tr _I1oIR2 _ 4.3. A - -2-' m JlonI JlonI JlonI JlonI 4.5. a. 2/{cos(<i>2) - COS(<PI)}; b. -1- cos(<pm) ; c ; 2.2/. JloIl ' aantrekkend. 1ta _... Jloll12 L 4.7. F=Oenm= 1t {l-a arctan(a)} 4.8. F= 0, M = BIS. Jlol2 Jlol a. 21t ln(~), b. 21t.{l-ln(~)}. JloI Jl b arctg(2c). I _1--=-2-~ Ilo {2a + 3b \' x + y } k a. divb = 0 ~ f = -b en C = - 2a ; b. -4ayk ~ ecxoyo a. MI TL; b. Eol; c /2 ; d. sprraal naar rechts met 1. steeds m(xo + Yo) grotere straal en 2. steeds grotere spoed.

88 Antwoorden , mis. 12 ~. 12 mvo a. 13 qvoboj, b. 13 Boq' 1 ~O'c.o R2 + 2x a. = 2JloO'c.oR, b. -2-( } - 2x}. (R2 + x 2 ) ~noi \, (b _ a) ln(~) b... ~ EO... k ill k. Eo.. a. -;. v = Cl - Bo ' met C w e eung maar v 2: Bo' B = (0) T + b~c.o T + T k ; b. a 2 + b 2 = v = hb~e ; b.~.~; c. VQ> Vp In geval b. --> ~evi ~vll a. - _J ; b. 2 ( ) ; c ln(2). Ne 1ta+x 1t -te.. Pl pep 1 Z ~IR2p A =ep 3-7 B=op O<p 4r P az 0 pa 0 1 ; Bq> = 0; a. -; b Stationaire magnetische velden in magnetiseerbare materie /loffii --+ ~ 5.1.a.-;b. F= 'la?- ;c.f=fj. 5 2 _& {~ z 11b.. a. B - }. b 2 a + cl ' a. H = 1,27 Nm; b. B = 0,994 "" 1,00 T a. B = 0,50 T; b. F = 40 N a. BA = ~M; HA = 3M; BD = -3Jl.oM en HD = - 3M; b. Bn = ~Mcos(9); Bt = tjlomsin(9); Bp = -VBn2 + Bt 2

89 90 Vraagstukken elektriciteit Hp = B p ; richting tg(<p) =ttg(9). ~o 5.7. a. Be = ~~ (t..j2 + ~); b. in richting negatieve x-as. ~Mcos(<p)sin2(<p) Rl a. -; b. 2 ln(r 2 ); c. h = 2(RI - R2)-{ He 5.9. a. a. = 1; b. B = 2JloM; c. H -2M met nchung tan(y) = H =tan(9) --) y = a. -; b. 6~JJiR3H5 (2!lr + 1)2 2(!lr- I ) 3!lr-I a. Cl = 2 +!lr. HoR, C2 = 2 +!lr HoR a. -; b. -; c. tan(a.) =!e; d. binnen - t/j.om2.~1tb3; buiten idem doch +; r f totaal: o a. NI~; b.-. dt 6. Elektromagnetische inductie Uo Àt Uo Àt B2Z2 Uo 6.1. a. v(t) = BJ<I - e ), l(t) = r met À. = - mr ; b. Bi en O a. Iv (B(x) - B(x - a)}; b. 2Bolvsin((1OO1tt), f = 50 Hz; c. QP = ka met: k = -4, -2, 0, +2, +4, ~ ZLIoBo 6.3. a. F = liobosm (OOt)1 zodat F > 0, \1't; b ~v t ln(lo) en Vo > VB Vr - V as = +trobr2 Uo-!.Booa 2 2aBU -4WR... Ba' R,. B2a3, a 2W.. b 2.c 0 d a. _ (R2 - Rl) a. Rl + R 2 ' b. VA - VB- a(r I + R 2 )' c. 2a, d.~. ~JlrllCr ~JlrllCyr 1ty a. /J.o~rnCt; b. 2 ; c. 2 ; d. 8</J.o~rnC) ro. qrbo(t) R db(t) dv(t) a. v(t) = m ; b. Ene = 2~; c. qene = ~ --) B = 2Bo; qc d. n= 41tm mh a. 64mH; b. 57,5 mh a Nm; b. 81t.1O- 2 VS. ~N2S a.~; b p

90 Antwoorden 91 J.loI.1 _1_ a - r. _Ilo.a a. 21t (x + a _ x), b. 1t ln( r ), c. - 1t ln(r)' H - -a I evenwij "di g aan a,. b.-, J.lo12. L J.lob. d H _ 21 (~) C. - a '. as - arctan h. 2a 1ta a. 3I:t;:0; b. raam en draad in één vlak:; c. M = ~ In(2). 161tJ.lolü a. ei> = 29'fl!J = 4,0 10 Wh, b. 2,0 10 H a. geldt alleen als BaH; b. Jlo/S(2"aH + 3bH ). MI T' a. M = Jlo(x - -V x 2 - a 2 ); b. Urn = JloIII2(X - -V x 2 - a 2 ) --t> - am~ --t> x -:t' met F = -V(Urn) ~ F = -Illz-a 1. F = -JloIII2(1 -,J )1. x x2 -a a. 15 ma; b. 6, J; C. -; d. warmte; e. 3 mv a. 500 Nm; b. 2, Wh; C. L = 1,25 H; d. neen; e. neen;! 0,022 J. 7. De vergelijkingen van Maxwell _J.lol B- 2 R(I- }. 1t VR a. B = At 2 k..1 Ê; b. neen, voldoet niet aan golfvergelijking. (x + C) a. B = (-Eo~ EoJlosin(ro(~ ojlo z - t)}, Eo~ EoJ.LoCos(ro(~ ojlo z - t)}, 0);... ree; 2 b. 5= k'v ~Eo E~ = -2 - = 1300, Eo = 990 Vlm, Ho = 2,62 Nm. J.loc 7.6. a. 1= R.UoR ; b. U = R~oRRu ; c. = R~oRuR (ln~rl; d. H = R.UoR '-2 1 ; 1+ u 1+ u 1+ u 1+ u 1tr UoRu Ru 1 f. h' 11.. h' b' '1' d e. S = 2 '1l'- 2;. nc tmg as en m nc ung stroom mnencl m er (Ri + Ru) In a 1tr (vermogen stroomdichtheid); U~u 'h U~u g.,. ---"'-"'--- (Ri + Ru)2 (Ri + Ru)2.. I JloI 7.7. a. J = es; b. E = = es; c. B = eq>; 21tab sin(8) cr 21tcr ab sin(8) 21ta sin(8)... _ _ L Za.. _1_ Za. d.5-exh- er,e. 1..._ln(b),f b ln(b)' 41t2cra2b sin2(8) 1tuv 1t cr 2... I a. 1. V A = -1l01l1-2k voor 0 ~ p ~ a, V A =0 voor p > a. 1ta

91 92 Vraagstukken elektriciteit 2. div Ä = 0 (Lorentzconditie voor het geval a~ = 0 is zoals hier); IloJl. I I p2... b. richting als k; c. A = 41t (1--;2)k voor 0 $ r $ a;... IloJl.IIp.... Jl.I. d. B = 2 ea; e. limba = -limba; 21ta pta Jl.2 ph f. Ä = - ~~2 I(ln&)k voor a < p «lengte van de draad. 8. Netwerken en wisselstromen 8.1. a. Geen. Superpositie; b. RIR4 = R2~ (Wheatstone) /3 A; 7/3 A; 2 A; 1 A a. 12 V; 1,2 A; 10 Q; b. 4/5 V; 12/11 A; 11/15 n; c. 6/5 V; 18/11 A; 11/15 n; d. 60 V; 18/13 A; 130/3 Q; e. 64/19 V; 32n A; 14/19 n a. 8 W; b. 20 W; c. 8 W; d. 80/9 W; e. geen equivalentie intern! 8.5.8/9; 1; 8/8; 0; O. Als R = RT = 1 n ta. I 8.7. IA; 50/9W; R=40n a. i(t) = - tie-t/rc, uc(t) = U e-t/rc; b. uc(t) = U{ 1 - e-t/rc}, i(t) = ~-t/rc; c. 1. i(t) = ~R xp(-r t), udt) = -Uexp(-R t); L L 2. i(t) = *(l-exp( ~ t)}, UL(t) = UexP(i t) uc(t) = 5(1 - e-t). TT -t/rc C 1 C l(t) = ~ met C = Cl + C 2 ' e-t/ e-t/2, 18 V i(t) = 2e-tsin(3t) a j; 4; 8; loj; 20; b a. fs<4-3j); -t(1 + j); b. 5exp(j<p), tan(<p) = t; 13exp(j<p), tan(<p) = -1f; exp(j~); V2exp(-~); 5exp(-j<p), tan(<p) = l. 1 jool R + jool R + JooL + 'coc; R + 2' 2. J 1-00 LC 1-00 LC + joorc

92 Antwoorden 93 1 R roc I = -JI + 002R2Cr = 0, triviaal; LC = 1 _ Re RIR4 = R2R3 èn L = R2R3C R = ool èn 2R2 = Rl L = R 2 C, netwerk van Zobel joorc, 00 = _1_. (1-002R2C 2 ) + 3jooRC RC I ; 00=_1_; U R =-ji~fl"c' (1-002LC) + joorc vrr V C cp = +arctan(2")' a. inductief; b. capacitief; c. resistief (resonantie) L = 4,8 mh; Cl = 1/330 mf; C2 = 1/630 mf = 2/LC; R = 0 v.n a. L 2 - ~rol + R~ = 0; b. 00 < I!2Rc ~ beide L > 0 dus "ja"; c. L = 2R 2 C, I = U/2R a. 2{2cos(2t + ~) A; b. 1 W LC = 1; in fase voor U2(t) = 2{2sin(loot + cp) met tan(cp) = 5/ a. -cos(t) V; 1 W; b a. 4{2cos(lOt); b. 5 n en t H in serie IL = 1 A; P = 2 W a. cos(iooot); b. 2" W; c. 2" W; d. 1 W. R(1- ro2lc) 1 1 _", a. ; b. 6" Hen 2" H; c. U2(t) ="V 2sm{2000t - arctan(2")}' 2R(1-002LC) + jool a. L = R 2 C; b a.!<3 - lij); b. 13/5 W;.,J2sin(t + ~1t) V a I6j; b. 7j; c. :::: 223 JlF (M2 - LI~) + joolir.. R+joo~ E<1 + 21j) joo(li + L2 + 2M) a. UT(t) = f2sin(t), ZT = ~ + ~j; b. ~ n en ~ F in serie a rad/s; b en rad/s; c rad/s.

93 ..., 94 Vraagstukken elektriciteit roo = 10 4 rad/s; R = 1 Q en 75 rad/s a. U ; b. ro 2 = roo 2 (1 - _1_), roo = _1_; C. -; d. -; e wlc + jrorc 2~ YLC

94

95 De DELFTSE UITGEVERS MAATSCHAPPIJ (DUM) is de uitgever van een reeks belangwekkende studieboeken op technisch-wetenschappelijk terrein. De teksten komen in het algemeen voort uit het onderwijs aan de Technische Universiteit Delft, maar omdat bij de samenstelling en presentatie van de stof een grote rol speelt dat ze ook elders met vrucht gebruikt moeten kunnen worden, blijft de verspreiding niet tot Delft beperkt. De belangstelling voor deze boeken bij andere universiteiten, bij het Hoger Beroeps Onderwijs en ook in het buitenland getuigt ervan dat de auteurs dikwijls in deze opzet slagen. Vele vakgebieden komen in het fonds van de DUM aan bod: computerkunde, elektrotechniek, bedrijfszekerheid, wiskunde (analyse, lineaire algebra en statistiek en stochastiek), theoretische en toegepaste mechanica, materiaalkunde, natuurkunde, fysische chemie, fysische en chemische technologie, landmeetkunde en vastgoedinformatie, en ook enkele werkjes over het schrijven en spreken in het Engels. Met steeds nieuwe edities en nieuwe titels worden de ontwikkelingen in deze vakgebieden gevolgd. Belangstelling? Vraag de fondscatalogus aan bij de. DELFTSE U ITGEVERS MAATSCHAPPIJ, Postbus 2851, 2601 CW Delft, tel

96

97