9 Impuls en impulsmoment

Transcriptie

1 9 Impuls e mpulsmomet De wette va Newto I 687 publceede de Egelse atuukudge Isaac Newto zj baabekede boek Pcpa, ove de bewegg va hemellchame Zj edeeestjl was wskudg Net als de Eucldsche meetkude hateede hj utgagspute: stellge de hj zode bewjs poeede Vaut de stellge gg hj edeee e ekee De utgagspute zj late beked gewode als "de wette va Newto" e hebbe de mechaca (lee va de wette va evewcht e bewegg) Este (905) volledg beheest I hoofdstuk hebbe we hemee kes gemaakt He zulle we ze kot hehale De eeste wet va Newto Als e gee utwedge kacht wekt, bljft ee massa zch eepag echtljg bewege Met adee woode: e s ee kacht odg om de massa te dwge zj costate bewegg te velate Opgave a Hoe zoude de plaete bewege als e gee zo zou zj? b De eeste wet va Newto wodt wel "de taaghedswet" geoemd Vd je dat ee goede aam? Opgave Bj ee touwtekwedstjd zj de zwae joges va Pull Ove goed opgewasse tege de zwae joges va Hakke het Zad I het touw weke twee kachte Wat weet je va de kachte? Newto gg vede deze gedachtegag: klee massa s zj gemakkeljk (doo ee klee kacht) ut hu costate bewegg te bege Bj gote massa s s dat moeljke Hj pecseede dt dee De tweede wet va Newto De vesellg s eveedg met de kacht e omgekeed eveedg met de massa I fomule: = m a Opgave Hoe volgt de eeste wet va Newto ut de tweede wet? Opgave 4 E weke geljktjdg twee kachte op ee lchaam: e, zoals heaast aagegeve a I welke chtg beweegt het lchaam?

2 Als allee zou weke, zou het lchaam twee kee zo stek veseld wode als waee allee zou weke b Ga dat a de tekeg c Is de vesellg u bede kachte weke de kee zo goot, als waee allee zou weke? Opgave 4 Ee vachtwage s te kee zo zwaa als ee pesoewage Ze jde met dezelfde selhed, emme op hetzelfde momet plotselg e staa tegeljk stl a Hoe vehoude zch hu emvetagge? (Dat zj de vesellge te gevolge va het emme) b Hoe vehoude zch hu emkachte? De dede wet va Newto acte = -eacte Peceze: Als ee lchaam ee kacht utoefet op ee ade lchaam, da oefet het adee lchaam ee eve gote kacht ut op het eeste lchaam, e wel tegegestelde chtg Als de twee kachte e zj, geldt dus: + = 0 Opgave 5 Twee mese staa op ee spegelgladde vloe; e s dus gee wjvg tusse hu voetzole e de vloe De mese zette zch tege elkaa af a Beschjf wat e gebeut als de mese eve zwaa zj b Beschjf wat e gebeut als de ee kee zo zwaa s als de ade Opgave 6 Ee astoaut maakt ee umtewadelg Hj zet zch af tege de umtecapsule Wat gebeut e? Zeg dt teme va de dede wet va Newto

3 Gavtate Newto stelde ook het volgede vast (dat s dus ook utgagsput voo zj mechaca): Ee zo tekt ee plaeet aa (e omgekeed) De gootte va de aatekkgskacht s, eveedg met de massa va de zo, eveedg met de massa va de plaeet, omgekeed eveedg met het kwadaat va hu afstad Opgave 7 Mas s,5 kee zo ve va de zo als de aade e heeft ee 0,07 kee zo gote massa Wat weet je va de aatekkgskachte va de zo op bede plaete? Ook deze wet hebbe we al hoofdstuk geze Hj geldt tusse elk tweetal massa s I fomulevom: = G M m /, waabj M e m de massa s zj, de odelge afstad e G de eveedghedscostate De gebukte eehede zj: gavtatekacht N (=ewto) massa kg afstad m De zogeaamde gavtatecostate G s ogevee 6, Nm kg - G s het heelal oveal hetzelfde Daaom speke we va de uvesele gavtatewet e bovestaade fomule zj de legte va vectoe s de gootte va de kacht, e s de vecto va de aatekkede massa aa de aagetokke massa e zj tegegesteld gecht De eveedghedscostate G s postef E geldt: = -G mm m M Opgave 8 a eg ut dat heut de fomule = G M m / volgt b Wat volgt heut ove de chtge va de kacht de M op m utoefet e de vecto va M aa m? Opgave 9 De weegschaal geeft op aade emads gewcht aa: 80 kg Op de maa geeft de weegschaal aa dat dezelfde pesoo maa,5 kg weegt De valvesellg op aade s 9,8 m/s a Wat s de valvesellg op de maa? De staal va de aade s 67 km e va de maa 78 km b Wat ku je heut aflede beteffede de massa s va de aade e de maa? Opgave 0 Ee astoaut maakt ee umtees, staade op ee weegschaal Bj zj vetek op aade geeft de weegschaal 80 kg aa Hoe vede hj va de aade komt, des te lchte wodt hj Op ee gegeve momet geeft de weegschaal og maa kg aa Hoe ve s hj da va het aadoppevlak vewjded?

4 Impuls, mpulsmomet e koppel Bewegg heeft bj Newto et allee met selhed te make, maa ook met massa Hj voet voo de hoeveelhed bewegg het begp mpuls De s eveedg met de massa e met de selhed I fomule p = m v Opgave Ee massa beweegt met ee zekee selhed Ee tweede massa s kee zo goot e gaat kee zo sel Wat weet je va de mpulse va bede bewegge? De twee massa s vome same éé systeem We gaa de mpuls defëe voo dat systeem De ale mpuls p va ee systeem va twee deeltjes met mpuls p especteveljk p wodt gedefeed doo p = p + p Het zwaateput z va twee deeltjes met massa s m e m e postevectoe e s hoofdstuk 4 gedefeed doo z = m m + m + m m + m De mpuls p z va het zwaateput wodt gedefeed doo p z = (m +m ) z Opgave Beschouw ee systeem va twee deeltjes met massa s m e m e postevectoe e de allee odelg kachte op elkaa utoefee De kacht de het eeste deeltje utoefet op het tweede deeltje oeme we e de kacht de het tweede deeltje utoefet op het eeste deeltje oeme we Vawege Newtos dede wet geldt: = - De ale massa va het systeem oeme we m e de ale mpuls p a Too aa dat voo de mpuls p va het eeste deeltje geldt: p =, Evezo geldt: p = b Too doo mddel va dffeetëe aa dat p costat s c Too aa dat z = m + m eepag echtljg beweegt p e laat ze dat heut volgt dat het zwaateput zch d Ga a dat de mpuls va het zwaateput geljk s aa de ale mpuls 4

5 Aaloog aa het geval voo twee deeltjes kue we voo ee systeem va deeltjes met especteveljke massa s m, m,, defëe doo m z = m + m + + m m m massa va het -deeltjessysteem s De ale mpuls p = p + m e postevectoe,,, het zwaateput z, waabj m + p va het -deeltjessysteem wodt gedefeed doo p + + p, waabj p de mpuls va het -de deeltje s = m + m + m de ale Opgave Bekjk ee systeem va 4 deeltjes met massa s m, m, m e m 4 e postevectoe,, e 4 de allee odelg kachte op elkaa utoefee De kacht de deeltje utoefet op deeltje j oeme we j Vawege Newtos dede wet geldt telkes: j = - j De ale massa va het systeem oeme we wee m e de ale mpuls p a Too aa dat ook dt geval de ale mpuls costat s b Ga a dat ook dt geval de mpuls va het zwaateput geljk s aa de ale mpuls Opmekg De tweede wet va Newto zegt dat = m v Je kut dt ook schjve als = p Opmekg Ee lchaam kue we opgespltst deke twee dele Tusse de dele kue odelge kachte weke De dede wet va Newto zegt dat de twee odelge kachte elkaa peces opheffe: hu som s 0 Als dat et zo zou zj, zou het geheel ut zchzelf ee vesellg hebbe Maa daavoo s ee utwedge kacht odg Wet va behoud va mpuls Beschouw ee systeem va deeltjes De kacht de deeltje utoefet op deeltje j oeme we j De 4 4 mpuls va deeltje oeme we p E geldt: Dus: Σ j = 0 Σ p = (Σ p ) = Σ j = 0, 4 Dus: Σ p s costat I woode: de ale hoeveelhed bewegg ee geslote systeem (zode vloede va bute) s costat I het bjzode geldt dat voo het hele heelal Als e eges ege bewegg veloe gaat, eemt eldes de bewegg met exact dezelfde gootte toe E dat s zo vaaf de geboote va de kosmos 5

6 Net allee als ee massa beweegt ove ee echte lj heeft hj ee hoeveelhed bewegg (dat s de (leae) mpuls) Dat s ook het geval als zj daat ee ckelbaa: de hoeveelhed daabewegg s het zogeaamde mpulsmomet Net als de mpuls s het mpulsmomet eveedg met de massa e met de selhed Maa u s de staal ook va belag Als eezelfde massa met de zelfde selhed op ee twee kee zo gote ckel gaat daae s hj moeljke te vetage of te veselle Bovede s ook het mpulsmomet ee vecto Ee bewegg ove ee echte lj vdt plaats de chtg va de lj: zo s de vecto mpuls da ook gecht Ee daag vdt plaats ee vlak (de chtg s u ee vlak) Om het ee va het adee daavlak te odeschede gebuke we ee omaalvecto va het vlak Samegevat: het mpulsmomet bj ee ckelbewegg s ee vecto de eveedg s met de massa, met de selhed, met de staal e loodecht staat op het daavlak Het utpoduct va e p voldoet peces aa deze ese Te heeg: het utpoduct va u e v s: u v = (u v u v, u v u v, u v u v ) Defte Voo ee deeltje met postevecto e mpulsvecto p wodt het mpulsmomet te opzchte va de oospog 0 gedefeed doo = p Het mpulsmomet ka dus wode opgevat als de hoeveelhed daag om de oospog Opmekg Deze defte gebuke we et allee voo ee ckelbewegg Bjvoobeeld ook voo ee bewegg lags ee echte lj De plaatsvecto daat tjdes ee bewegg od de oospog 0 Opgave 4 Beeke elk va de volgede gevalle het mpulsmomet e ga a of costat s Neem hebj aa dat de massa telkes s a Ee deeltje beweegt volges (t) = (+t, t, -+5t) b Ee deeltje beweegt volges (t) = (cos(t), s(t), 0 ) c Ee deeltje beweegt volges (t) = (tcos(t), ts(t), 0 ) d Ee deeltje beweegt volges (t) = (cos(t), s(t), t ) Bj de bewegge va opgave 4a e 4b bljkt het mpulsmomet costat te zj Dt geldt voo elke eepage echtljge bewegg e elke eepage ckelbewegg Dat zulle we de volgede opgave ade bekjke 6

7 Voo twee oafhakeljke vectoe u e v s het utpoduct meetkudg vastgelegd doo: u v staat loodecht op u e op v, u v = u v s α, waabj α de hoek s de de vectoe u e v met elkaa make Dt s de oppevlakte va het paallellogam dat wodt opgespae doo u e v de chtg va u v wodt gegeve doo de kuketekkeegel Opgave 5 Bepaal voo het deeltje ut odedeel b va opgave 4 met behulp va deze meetkudge beschjvg Opgave 6 Ee deeltje met massa m beweegt volges (t) = u + t v, waabj u e v 0 vectoe zj a aat ze dat het mpulsmomet geljk s aa m( u v ) b eg ut dat het mpulsmomet costat s Opgave 7 Ee massa m beweegt met costate selhed v Het put D lgt op afstad d va de baa va de massa a aat ze dat het mpulsmomet te opzchte va D costat s De gootte va het mpulsmomet s de oppevlakte va het paallellogam dat heaast s geteked Tjdes de bewegg veadet de vom va het paallellogam b eg ut dat de oppevlakte va het paallellogam et veadet v d D d D v Dt laatste wodt faa geïllusteed de volgede applet Opgave 8 Ee deeltje met massa m beweegt volges (t) = (cos(ωt), s(ωt), 0 ) Hebj zj e ω posteve getalle aat ze dat het mpulsmomet geljk s aa (0,0, m ω ) Mek op dat ook he het mpulsmomet costat s 7

8 Wet va behoud va mpulsmomet Bj de bewegge va opgave 6 e 8 bljkt het mpulsmomet costat te zj Dat s zo voo elke eepag echtljge bewegg e elke eepage ckelbewegg het xy-vlak met de oospog als mddelput Vedeop zulle we ze dat het mpulsmomet ook costat s voo de bewegg va ee plaeet Het ale mpulsmomet va het -deeltjessysteem wodt gedefeed doo = + + +, waabj de mpulsmomet s va het -de deeltje s Opgave 9 Twee massa s va elk kg zj aa elkaa bevestgd doo ee gewchtloze staaf va mete Het geheel daat met selhed va m/s tege de klok a Beeke het mpulsmomet va het geheel De staaf wodt tjdes het daae vekot mete b Wat wodt da de selhed? Ee kustschaatse maakt ee pouette Hj zet de daag met wjd utgestekte ame Als hj zj ame tekt, wodt de daag veseld Dt s hetzelfde effect als opgave 9 Hetzelfde effect ku je ze als je op ee daastoel zt Neem bede hade ee goot gewcht e stek je ame ut Ga u daae op de daastoel Doo de gewchte aa je toe te tekke wodt de daag veseld Koppel Iemad daat ee moe aa met ee sleutel Hj oefet ee kacht ut doo aa het ed va de sleutel te tekke Het effect va zj spag wodt bepaald doo twee factoe: de kacht de hj utoefet e de legte va de sleutel Bovede s de chtg va de kacht va belag Het beste ka hj de kacht loodecht op de sleutel utoefee; ee kacht de chtg va de sleutel s zloos kacht 8

9 Het effect va zj spag moet ee vecto wode Immes: e s et allee ee gootte, maa e s ook spake va ee vlak waa de daag zal plaatsvde (daa beweegt de sleutel) We kee daaom ee chtg toe aa het effect va zj spag: de staat loodecht op het vlak waa de daag zal plaatsvde Het effect va zj spag heet het koppel De gootte daava s eveedg met de legte va de sleutel e met de gootte va de compoet va de kacht de chtg loodecht op de sleutel Algemee: Oefe ee kacht ut op plaats R OR = Da s het koppel N = Opgave 0 aat ze dat deze defte voldoet aa de gestelde ese het voogaade: - eveedg met de afstad, - eveedg met de gootte va de compoet va de kacht, loodecht op OR, - ee chtg, loodecht op het vlak waa de daag plaatsvdt O R Opgave Ee massa m bevdt zch op ee ckel ee vetcaal vlak De massa s odehevg aa de zwaatekacht a I welke chtg wjst het koppel tov het mddelput? b Als het koppel maxmale gootte 0 heeft, waa op de ckelbaa s de gootte da 5? Opgave Beschouw ee deeltje met mpulsmomet e koppel N s ee utpoduct Om dat te dffeetëe hebbe ee poductegel odg: u = ( v ) a Too aa dat u v + u v = N b eg ut dat costat s, als op het deeltje gee ekele kacht wekt Ee cetaal kachteveld s ee kachteveld, waabj de kachtvecto allemaal aa éé put toe wjze of va éé put af wjze Als we dat cetum als oospog keze, lgt op elke plaats de kachtvecto dus het velegde lgt va de postevecto 9

10 Ee voobeeld va ee cetaal kachteveld s het zwaatekachtveld va bjvoobeeld de aade Op elke plek s de zwaatekacht gecht aa het mddelput va de aade Opgave Het kachteveld waa ee deeltje beweegt s cetaal eg ut dat costat s Het ale koppel N va ee -deeltjessysteem wodt gedefeed doo N = N + N + + N, waabj N het koppel op het -de deeltje s Opgave 4 Too aa dat voo ee systeem va deeltjes geldt: = N Opgave 5 We bekjke ee systeem va ve deeltjes waaop gee extee kachte weke Op het eeste deeltje weke de kachte, e 4 Op het tweede deeltje weke de kachte, e 4 ; op het dede deeltje de kachte, e 4 e op het vede deeltje de kachte 4, 4 e 4 Sommge va deze kachte kue evetueel geljk zj aa de ulvecto Vawege Newtos dede wet geldt voo elk paa,j dat j = - j I odestaade fguu s ee mogeljke stuate weegegeve

11 a Ga a dat ( N te schjve s als ) + ( ) + ( ) + 4 ( ) b Ga a dat dt ka wode heled ( + ) + ( + ) + ( ) + ( + ) + ( ) + ( ) c eg ut dat + = ( ) e dat ( ) = 0 d eg ut dat N = 0 e dat dus costat s Opgave 6 We bekjke ee systeem va ve deeltjes ee cetaal kachteveld Op het eeste deeltje wekt behalve de kachte, e 4 ook de aa de oospog gechte kacht C Op het tweede deeltje weke de kachte,, 4 e, C, 4 e C e op het vede deeltje de kachte 4, 4, 4 deze kachte zj evetueel wee geljk aa de ulvecto a Ga a dat N = ( ( ; op het dede deeltje de kachte e 4 C Sommge va + C ) + ( C ) + ( C ) C ) b eg ut dat ook dt geval geldt dat N = 0 e dat dus costat s Algemee I ee systeem va deeltjes ( ) geldt dat het ale mpulsmomet costat s, als e gee extee kachte weke of als e spake s va ee cetaal kachteveld

12 Baampulsmomet e spmpulsmomet Met behulp va het zwaateput kue we ale hoeveelhed bewegg va ee systeem va deeltjes goed aalysee Ee zwem mugge vlegt kskas om ee put Z (dek aa ee wamtebo op ee zomeavod) Neem eest eve aa dat Z op zj plaats bljft Elke afzodeljke mug heeft ee daamomet te opzchte va Z Als je al de daamomete optelt, kjg je het ale daamomet va de zwem te opzchte va Z Als bovede Z beweegt (de zwem bljft zch om Z bewege), kjgt het daamomet va de zwem og ee tweede compoet, afhakeljk va de baa e de selhed va Z De eeste s de tee compoet va het daamomet va de zwem; de heet het spmpulsmomet De tweede s extee compoet; de heet het baampulsmomet Nu fomeel Defte Voo ee systeem va deeltjes defëe we: het baampulsmomet baa systeem te opzchte va de oospog 0 I fomule: baa het spmpulsmomet s het mpulsmomet va het zwaateput z va het = z p z = z p + z p + + z p = sp te opzchte va het zwaateput z va het systeem z p = s het ale mpulsmomet va alle deeltjes tezame I fomule: = sp z) ( p + z) ( p + + ( z) p = ( z) p = Stellg Voo ee systeem va deeltjes s het ale mpulsmomet geljk aa de som va spmpulsmomet e baampulsmomet I fomule: = Opgave 7 Bewjs deze stellg voo ee systeem va deeltjes Stellg + sp Voo ee systeem va deeltjes waabj op het -de deeltje aast tee kachte j ook ee extee kacht wekt geldt:,ext baa = z, ext = baa Bewjs voo het geval = We oeme de ale massa m Dus m = m + m + m = baa z p z + z p z = +,ext z m z + z m z = 0 + z ( m + m + m ) = z ( (, + ) + (, + ) + (, + ) ) = z ( + +, ext +, ext,ext,ext +, ext )

13 Stellg Ee systeem va deeltjes bevdt zch ee / -gavtateveld te gevolge va ee zwae massa de oospog (de zo) Dat wl zegge dat oveal de kacht omgekeed eveedg s met het kwadaat va de afstad de oospog Veodestel dat de odelge afstade eg kle zj e bljve te opzchte va de afstad de oospog Da s baa 0 e s dus ogevee costat baa Bewjs De extee kacht weked op het -de deeltje s de zwaatekacht als gevolg va de GMm zomassa M Deze s volges de zwaatekachtfomule geljk aa Omdat de odelge afstade eg kle zj, moge we aaeme dat de afstad et echt afhagt va e dus ogevee costat s, zeg geljk aa ee costate Maa da s, GMm GMm GM,ext = = = m GM = cm waabj de costate c = Maa da s baa = z ext =, z cm = Ee dect gevolg va stellg s = z cm z = 0 Stellg 4 Bj ee systeem als geoemd stellg s sp ook ogevee costat Bewjs Dt volgt ut baa ogevee costat s (stellg ) e = + costat s ee / -gavtateveld, wat dt s ee cetaal kachteveld sp baa (stellg ) e

14 Hoekselhed e taaghedsmomet Als ee (sta) lchaam daat om ee zekee as, beschjft ee staal loodecht op de daaas ee hoek de tjd Hoe selle het lchaam daat, hoe gote de hoek de de staal pe secode beschjft De hoekselhed ω va ee eepage ckelbewegg ( adale pe secode) defëe we doo ω = v/, waabj v de selhed s e de staal va de ckelbewegg Ee daag heeft twee aspecte: - de selhed va de daag, - de chtg va de as waaom de daag gebeut Het utpoduct geeft os de mogeljkhed om zowel de selhed als de chtg va de daag éé ekele vecto, de hoekselhedsvecto, same te vatte Voo ee putdeeltje dat eepag om de oospog beweegt, defëe we de hoekselhedsvecto ω als de vecto de wjst dezelfde chtg va de daaas e met gootte v/ Als de bewegg lksom s (zoals het plaatje heaast), keze we ω aa bove, als de bewegg echtsom s, aa beede ω v Opgave 8 Ga a dat v = ω Opgave 9 Ee due staaf lgt zo dat éé va de utede zch de oospog bevdt e daat eepag om dt utede ee vlak doo de oospog a Ga a dat de hoekselhedsvecto voo elk put va de staaf (behalve het daaput) hetzelfde s Ee due ckelvomge plaat waava het mddelput zch de oospog bevdt daat eepag om dt mddelput het vlak waa de plaat lgt b Ga a dat de hoekselhedsvecto voo elk put va de plaat (behalve het daaput) hetzelfde s We kue op dezelfde mae agaa dat de hoekselhedsvecto goed gedefeed s voo elk plat (= tweedmesoaal) lchaam dat eepag daat het vlak waa het zch bevdt Maa hoe zt het met ee sta lchaam dat et plat s e eepag daat od ee as doo de oospog? We kue het stae lchaam opdele putdeeltjes de elk ee eepage bewegg utvoee od dezelfde as We bekjke éé va de putdeeltjes, zeg met poste e selhed v De pojecte va op de daaas oeme we e Da lgt d = e het vlak doo de oospog loodecht op de daaas De hoekselhedsvecto va dt putdeeltje kue we u defëe als de hoekselhedsvecto ω va de pojecte d Maa omdat 4

15 ω = ω d (ze opgave 0), geldt ook u wee dat de hoekselhedsvecto ω de (ueke) vecto s, de wjst de chtg va de daaas e wel zo, dat v = ω Kotom: voo elk putdeeltje va het masseve lchaam vde we op deze mae dezelfde hoekselhedsvecto ω e e geldt telkes v = ω Opgave 0 a Maak ee tekeg bj bovestaade utleg b aat ze dat ω = ω d Opgave Bekjk ee putdeeltje met massa m dat eepag om de oospog daat We oeme de bjbehoede hoekselhedsvecto ω a Ga a dat ω dezelfde chtg wjst als het mpulsmomet = p b Ga a dat = m ω E geldt dus voo het putdeeltje: = m ω Opgave Bekjk ee putdeeltje dat eepag om ee as doo de oospog daat We oeme de bjbehoede hoekselhedsvecto ω We eme e e d zoals hebove het bewjs va stellg 5 a aat ze dat = m( ( ω )) b aat ze dat = m( d ( ω d ) + ( e ( ω d ))) c Too aa dat = m(d ω ( ω e ) d ) Ht: Ga ut va odedeel b e gebuk tweemaal de tpelpoductfomule u ( v w ) = ( u w ) v ( u v ) w Stellg 5 Ee sta lchaam daat om ee as doo de oospog e s symmetsch het vlak doo de oospog loodecht op de as We oeme de bjbehoede hoekselhedsvecto ω Da geldt: = I ω voo zeke getal I Het getal I heet het taaghedsmomet va het lchaam (bj daag om de bewuste as) Bewjs We dele het lchaam op putdeeltjes, de paasgewjs gespegeld lgge te opzchte va het symmetevlak We bekjke eest het systeem bestaade ut éé paa va zulke putdeeltjes De twee massa s zj geljk, zeg m De postevectoe zj te schjve als = d + e e = d e especteveljk, waabj d loodecht staat op ω e e = λω voo ee zeke getal λ Volges opgave c geldt voo de mpulsmomete especteveljk = (d ω ( ω e ) d ) e = m(d ω +( ω e ) d ), zodat + = m d ω Omdat het lchaam s opgebouwd ut zulke odelg symmetsch lggede pae = + = ω putdeeltjes, s = (,, ) = m d = ( m d ) ω = Iω, waabj I = m d = = 5

16 I de volgede opgave bepale we de stappe het taaghedsmomet va ee homogee bol Opgave We bekjke ee due homogee g met staal met massa m I het bewjs va stellg 5 hebbe we voo het taaghedsmomet ee fomule gevode: I = m d = aat ze dat het taaghedsmomet va de g ogevee geljk s aa m Opgave 4 We bekjke ee homogee schjf met staal R e massa m Om zj taaghedsmomet ut te ekee vatte we de schjf op als ee zee goot aatal eve bede, cocetsche ge Va éé g zeg met staal e beedte - s de massa πm / πr a eg dat ut b Wat s het taaghedsmomet va de g? Ht: gebuk opgave Het taaghedsmomet va de hele schjf vd je doo de taaghedsmomete va al de ge op te telle Doo vevolges 0 te R m late adee gaat de som ove de tegaal: d 0 R c aat dat ze d aat ze dat het taaghedsmomet va de schjf geljk s aa mr Opgave 5 We bekjke ee homogee bol met staal R e massa m Om zj taaghedsmomet ut te ekee vatte we de schjf op als ee zee goot aatal eve dkke plakjes va dkte h a Wat s de staal va het plakje op hoogte h bove het mddelput, utgedukt R e h? De massa va het plakje op hoogte h bove het mddelput e va dkte h s πm (R h ) h / 4 πr b Too dat aa Ht: de houd va ee bol met staal R s 4 πr c Wat s dus het taaghedsmomet va het plakje? Het taaghedsmomet va de hele bol vd je doo de taaghedsmomete va al de plakjes op te telle Doo h vevolges 0 te late adee gaat de som ove R m( R h ) de tegaal: 8 dh R R d aat dat ze e aat ze dat het taaghedsmomet va de bol geljk s aa mr 5 h staal R 6

17 Behoud va mpulsmomet bj dubbelplaete Ee dubbelplaeet bestaat ut twee bolvomge masseve lchame de behalve om ee ege as, ook daae om hu gemeeschappeljke zwaateput Deze lchame oeme we voo het gemak plaete I de paktjk zal het ee lchaam ee maa zj e het adee lchaam ee plaeet We moge veodestelle dat de dubbelplaeet zj geheel ee elatef gote ckelbaa om de zo daat Vawege stellg 4 wete we dat het spmpulsmomet va de dubbelplaeet (ageoeg) costat s Dt beteket dat we os kue chte op de elateve postes va de twee plaete te opzchte va hu gemeeschappeljke zwaateput Dt zwaateput keze we da ook als oospog De postevectoe va de ceta va de plaete oeme we e e de bjbehoede massa s m e m I het algemee zulle de twee plaete ellpsvomge bae beschjve od het gemeeschappeljke zwaateput We zulle echte veodestelle dat bede plaete ckelvomge bae od het zwaateput beschjve e deze eepag doolope I de paktjk bljke de ellpsbae ameljk vaak bja ckelvomg te zj Opgave 6 We bekjke ee dubbelplaeet met postevectoe e massa s zoals hebove geoemd m m a eg ut dat + = 0 b eg ut dat ut odedeel a volgt dat bede plaete od het zwaateput daae met dezelfde hoekselhedsvecto ω Stellg 6 Het ale mpulsmomet va de dubbelplaeet te opzchte va het zwaateput s costat e geljk aa I ω + I ω + ( m + m ) ω, waabj ω e ω de hoekselhedsvectoe zj va de daag va de plaete om hu ege as e I e I de bjbehoede taaghedsmomete Bewjs Het ale mpulsmomet te opzchte va het zwaateput s geljk aa het spmpulsmomet te opzchte va de ve wegstaade zo Dt spmpulsmomet s costat, vawege stellg 4 We kue het ale mpulsmomet schjve als +, waabj e de mpulsmomete zj va de plaeet e de maa E geldt: = = I ω,,sp +, sp, baa, baa e = +, sp, baa = m ω, = I, sp ω e Het bewjs wodt afgeod doo het fet dat = m ω, baa We wete dat m + m = 0 We defëe = + Opgave 7 a Ga a dat m = m m b aat ze dat = m + m e m = m + m mm c Too aa dat m + m = m + m 7

18 mm We oeme µ = de geeduceede massa va de dubbelplaeet m + m Stellg 7 Voo ee dubbelplaeet s het ale mpulsmomet geljk aa I Deze utdukkg s costat Dt volgt dect ut stellg 6 e opgave 7c ω + I ω + µ ω Opgave 8 We bekjke ee eepage ckelbewegg va ee putdeeltje met massa m v a aat ze dat de vesellg s: a = = ω b aat ze dat voo de cetpetale kacht geldt: c = mω De volgede stellg zegt hoe de hoekselhed waamee de twee plaete om hu zwaateput daae afhagt va hu massa s e odelge afstad Stellg 8 Voo ee dubbelplaeet hagt de hoekselhed ω op de volgede mae same met de G ( m + m ) afstad tusse bede plaete: ω = Bewjs De beodgde cetpetale kacht voo de eepage ckelbewegg va de ee plaeet s c = m ω Gmm De gavtatekacht tusse de twee plaete s g = Omdat allee de gavtatekacht ka zoge voo de beodgde cetpetale kacht, moet = Waee we m = (ze opgave 7b) vulle c, da volgt heut vj eevoudg (ze opgave 9) m + m dat ω G ( m + m) = Hemee s de stellg beweze g c Opgave 9 aat ze hoe ut g = c volgt dat ω G ( m + m = ) Stellg 8 s ee specaal geval va de dede wet va Keple de ee vebad aageeft tusse de omlooptjd va plaete e hu odelge afstad I het specale geval va ckelvomge bae zegt deze wet dat het kwadaat va de omlooptjd T eveedg s met de dede macht va hu odelge afstad Opgave 40 Too aa dat T = c e bepaal de bjbehoede eveedghedscostate c 8

19 Samevattg hoofdstuk 9 Gavtatekacht: = -G mm Het zwaateput z va twee massa s m e m met postevectoe e s m z = m + m + m m + m p z = (m +m ) z Wet va behoud va mpuls De ale mpuls va ee geïsoleed systeem va ee aatal deeltjes met mpulse p s costat Het koppel N s gedefeed als = N I ee systeem va deeltjes s het ale mpulsmomet costat - als e gee extee kachte weke of - als e spake s va ee cetaal kachteveld = + sp baa baa = z, ext = Bj ee eepage ckelbewegg geldt: v = ω Voo ee putdeeltje dat eepag om de oospog daat, geldt: = m ω Ee sta lchaam daat om ee as doo de oospog e s symmetsch het vlak doo de oospog loodecht op de as Da geldt: = Iω voo zeke getal I, het zg taaghedsmomet va het lchaam (bj daag om de bewuste as) Het taaghedsmomet va ee bol met staal R bj daag om ee mddellj s mr mm Dubbelplaeet: µ = s de geeduceede massa, m + m = I ω + I G ( m + m ω = ) ω + µ ω s het ale mpulsmomet, s de hoekselhed 5 9