DOCENTENHANDLEIDING Februari De telduivel. Mark van den Aarssen Lindenholt College, Nijmegen

Transcriptie

1 DOCENTENHANDLEIDING Februari 005 De telduivel Mark va de Aarsse Lideholt College, Nijmege Herma Alik Dolf va de Hombergh Bart Jordes Elzedaal College, Boxmeer Richard Klei Breteler Jos Wikel Caisius College, Nijmege Raier Kaeders Istituut voor Leraar e School, Radboud Uiversiteit Nijmege & Caisius College, Nijmege

2 Ihoud Ileidig Aabevelige voor de uitvoerig va de praktische opdracht Kopieerbijlage Kopieerbijlage Leerligetekst va De telduivel Atwoorde deel A Appedix I Appedix II Atwoorde deel B Optelsom va m e Appedix III Beschouwige over de rij De AZL groep wiskude De praktische opdracht De telduivel is ee product va de AZL-Werkgroep wiskude i de schooljare De groep beoogt materiaal e maiere te otwikkele om het Actief e Zelfstadig Lere (AZL) va wiskude bij leerlige i de Tweede Fase te bevordere e maakt deel uit va ee groter project met werkgroepe i verschillede vakke, het AZLproject. Met behulp va actieoderzoek eemt de groep de zelf otwikkelde lespraktijk oder de loep e vergaart hierdoor izichte i het actief e zelfstadig lere va wiskude i het Nederlads voortgezet oderwijs. Op dit momet bestaat de groep uit de docete Bart Jordes, Herma Alik, Dolf va de Hombergh (alle drie va het Elzedaal College te Boxmeer), Richard Klei Breteler, Jos Wikel (beide va het Caisius College i Nijmege) e Mark va de Aarsse (Lideholt College i Nijmege). Voorzitter va de groep ames het Istituut voor Leraar e School te Nijmege is Raier Kaeders (Radboud Uiversiteit e Caisius College, Nijmege).

3 Ileidig Getalle ligge te grodslag aa alle wiskude. Zelfs de meest toegepast wiskudige baseert zij stellige e theorieë op getalbegrip dat door alle wiskudige ter wereld wordt gedeeld. Met getalle kue i eerste istatie aatalle maar ook verschille, veelvoude, verhoudige e veel adere objecte worde uitgedrukt e beschreve. Veelvuldig worde de resultate va metige i getalle aagegeve. Hierdoor verschilt het getalbegrip i de atuurweteschappelijke schoolvakke sterk va dat i de wiskude: tusse getalle die bij ee metig als gelijkwaardig worde beschouwd ka wiskudig gezie ee wereld va verschil ligge. Getaltheorie is de diep i oze cultuur verwortelde theorie die zich met de wiskudige eigeschappe va getalle bezig houdt. Volges Carl Friedrich Gauß ( ), de priceps mathematicorum of vorst der wiskudige, is getaltheorie de koigi oder alle wiskudige theorieë. Het is tegewoordig zeer slecht gesteld met het getalbegrip va oze Nederladse leerlige op de middelbare school i Nederlad. Fudametele begrippe zoals deelbaarheid e priemgetalle, die eigelijk op de basisschool thuis hore, zij hu structurele plaats i het Nederladse wiskudeoderwijs kwijtgeraakt, waardoor bijvoorbeeld het rekee met breuke, wortels, decimale e adere voorstellige va getalle tot i de hoogste klasse va het VWO tot probleme leidt. Wij zie hier ee voorbeeld va atididactische omissie: wiskudig didactische probleme zij opgelost door ze cosequet uit de weg te gaa. Dit is de uitgagssituatie. Wij wille met deze opdracht iet de wereld of late we zegge Nederlad verbetere. Wel wille we i tijde waar we bij leerlige auwelijks og getalbegrip moge verwachte de allerergste gebreke probere te verhelpe e hu iet meer da ee idee geve va het bestaa va zoiets als getaltheorie. Getalbegrip is ee deel va wiskude. Dat beteket voor os, dat wij iet aa getalbegrip kue werke zoder tegelijkertijd de leerlige keis te late make met de maier va deke i wiskude. Zij lere oderscheide tusse ware, bija ware, bedrieglijk waar uitziede e klaarblijkelijk foute uitsprake. E hierva ku je elkaar overtuige op ee maier die ieder weldeked mes moet kue acceptere. Vaak is het oodzakelijk om eerst gemeeschappelijk e helder vast te legge wat je bedoelt voor dat je het waarheidsgehalte va ee uitspraak oder de loep gaat eme. Dit komt iet altijd overee met de dagelijkse ervarig va leerlige i veel adere vakke e vaak ook iet met het eerder geote wiskudeoderwijs. Wij kieze da ook voor ee voorzichtige, iet formele, maar wel ihoudelijk prikkelede beaderig. Bijvoorbeeld oderzoeke leerlige de gelijkheid va twee getallerije door de begiwaardes e de verschilrije te bekijke zoder dat wij hiervoor ee algemee otie va volledige iductie verwachte. Die zou a afloop va deze opdracht moete worde otwikkeld. Ee tweede voor os belagrijk aspect is dat deze praktische opdracht de mogelijkheid geeft om i wiskude creatief bezig te kue zij. Wij hatere hier het oderscheid tusse divergete creativiteit (het vrije scheppe va ieuwe dige) e covergete creativiteit (het creatief oplosse va gegeve opgave). Voor divergete creativiteit moet het idividu voldoede ruimte hebbe voor origiele eige scheppige. Dit is bijvoorbeeld iet het geval bij discovery learig ( verstopte paaseiere, H. Freudethal). Het idee va de telduivel, wiskude met veel fatasie uit te legge, komt os goed va pas om leerlige ook og bij gevorderde wiskude creatief te kue late zij.

4 De praktische opdracht i het kader va de getaltheorie is i eerste istatie geschreve voor leerlige i 5 VWO met Wiskude B of Wiskude B,, maar zou ook gedeeltelijk al i 4 VWO uit te voere zij (zie hieroder i De uitvoerig va de praktische opdracht). De praktische opdracht bestaat uit drie dele. Deel A laat leerlige adeke over allerlei aspecte va de getaltheorie aa de had va dertie bewerige. De adruk ligt i dit deel op het bewijze. Dit deel biedt al zoveel aakopigspute dat het zou kue diee als zelfstadige praktische opdracht (zie hieroder i De uitvoerig va de praktische opdracht). Deel B bestaat uit het leze va twee hoofdstukke uit het boek De telduivel e beatwoorde va ee aatal vrage over de wiskudige achtergrod hierva. I Deel C kieze leerlige zelf ee oderwerp om te oderzoeke e schrijve hierover ee ieuw hoofdstuk i de stijl va De telduivel. Hier kue leerlige hu creativiteit i diest stelle va de wiskude. I Appedix II e III kut u zie hoe docete die de praktische opdracht gegeve hebbe, bezig zij geweest met ee aatal oderwerpe. Wellicht zult u, aast het aabiede va deze kat-e-klare praktische opdracht, mogelijk bezig wille blijve met deze stof. We bevele u daarvoor oder adere de volgede boeke aa: Marti Aiger, Güter M. Ziegler, Proofs from the Book, Spriger-Verlag; d corr. prit editio, 998, ISBN: Frits Beukers, Getaltheorie voor Begiers, Epsilo-Uitgave, e druk, 000, ISBN Ebbighaus, H.D., Hermes, H., Hirzebruch, F., Koecher, M., Maizer, K., Neukirch, J., Prestel, A., Remmert, R., Zahle, Spriger-Verlag, 3. verb. Aufl., 99, XIV, ISBN: Sigh, Simo, Het laatste raadsel va Fermat, 998, De Arbeiderspers, Amsterdam, ISBN Wells, D. The Pegui Dictioary of Curious ad Iterestig Numbers. Middlesex, Eglad: Pegui Books, 986. Bij het otwikkele va deze opdracht hebbe wij zelf veel wiskude bedreve e er veel plezier aa beleefd. Voor os is dit zeer belagrijk om ethousiasme voor os vak uit te kue strale. Wij moedige u bij deze dus aa om zelf ethousiast met de stof aa de slag te gaa, veel ieuwe dige te lere, de opdracht uit te bouwe e hem uiteidelijk tot uw eige opdracht te make. Wij wese u e uw leerlige veel plezier met De telduivel. De AZL-groep wiskude

5 De uitvoerig va de praktische opdracht De praktische opdracht is i verschillede vorme te gebruike. Hieroder volgt ee aatal mogelijkhede. Zoals u hem aatreft i Kopieerbijlage bestaat de praktische opdracht uit drie gedeelte. U deelt de gehele praktische opdracht i éé keer uit (dus Deel A, B e C iclusief het beoordeligsformulier). Hierdoor hebbe de leerlige overzicht over wat he te wachte staat e hoe ze beoordeeld worde. I het bijzoder het vooraf uitdele va het beoordeligsformulier is va belag, omdat dat leerlige ook op het goede spoor zet va de verdelig va de tijd. Het voorkomt dat leerlige te lag bezig zij met oderdele die weiig pute oplevere. De AZL-groep vod Deel C het belagrijkst, dus dat krijgt de meeste pute. De uitwerkig va Deel A moet a éé week igeleverd worde. Hierdoor gaa leerlige sel e gemotiveerd aa de slag e wachte iet tot de deadlie waarop het hele werkstuk igeleverd moet worde. Bij het akijke - aa de had va het scoreformulier ziet u wat leerlige kue e i de abesprekig kut u evetuele hiate wegwerke. Bovedie is er da gelegeheid accete te legge op wat u belagrijk vidt e graag terug zou wille zie i de uitwerkig va Deel B e C. I Kopieerbijlage vidt u voorbeelduitwerkige die u ka uitdele bij de besprekig va Deel A. Mogelijk dat u tijdes het begeleide de leerlige iets wil vertelle over volledige iductie. De AZL-groep heeft er bewust voor gekoze om hierover iets i de praktische opdracht op te eme, omdat het hier ook goed zoder ka. Vervolges gaa de leerlige aa de slag met Deel B e C. I pricipe ka dit allemaal buite de les gebeure, verspreid over bijvoorbeeld drie weke. Appedix I ka helpe bij het akijke va Deel B. Deel C is de belagrijkste opdracht. Deze is ope e biedt de leerlige de mogelijkheid hu creativiteit i te zette i diest va de wiskude. Ee adere maier va gebruik va de praktische opdracht is Deel A i 4 VWO als éé geheel te geve e Deel B e C als vervolg i 5 VWO. Daartoe diet u zelf het scoreformulier aa te passe. Ee laatste idee is Deel A, et als ee A-lympiade, op éé dag te late make.

6 Kopieerbijlage

7 De telduivel Ee slaapverwekkede opdracht voor iederee die va wiskude durft te drome Ee praktische opdracht voor leerlige va 5 VWO met wiskude B

8 DE TELDUIVEL Ileidig Wiskude? Hou op zeg! Voor veel mese is wiskude ee warboel va getalle, somme e obegrijpelijke berekeige. Ook Robert, de joge i de blauwe pyjama, moet er iks va hebbe. Tot hij bezoek krijgt va ee telduivel e twaalf achte lag met getalle aa het goochele is. Da blijkt dat wiskude ee spaed e grappig spel is dat Robert e ook de lezers gee ekele moeite kost. Wiskude is iet moeilijk. Zodra het telduiveltje met zij toverstok zwaait, verdwijt de agst voor getalle als seeuw voor de zo. Tot zover de tekst op de achterkat va het boek De telduivel, ee hoofdkusseboek voor iederee die bag voor wiskude is va Has Magus Ezesberger (De Bezige Bij, Amsterdam, 999, ISBN ). Deze praktische opdracht bestaat uit drie dele. I het eerste deel maak je keis met wiskudige uitsprake, vermoedes e bewijze. I het tweede deel ga je twee hoofdstukke va De telduivel leze. Daar krijg je ee aatal vrage over, die je i je groepje schriftelijk beatwoordt. I het derde deel schrijf je i hetzelfde groepje ee ieuw hoofdstuk bij dit boek: De dertiede acht. Deel A Deze praktische opdracht gaat over getalle e met ame over gehele getalle. Dat zij allereerst de atuurlijke getalle 0,,, 3, 4 maar ook hu tegegestelde: -, -, -3, -4, de egatieve gehele getalle. Deze getalle ku je optelle e vermeigvuldige. Je weet al sids de basisschool dat sommige getalle uiteevalle i kleiere getalle. Bijvoorbeeld: 6=+++++ of 6= 3. Het uiteevalle i meerdere getalle die worde opgeteld is uiteidelijk saai wat je eidigt altijd met ee rij ée. Het uiteevalle te opzichte va de vermeigvuldigig daaretege is metee spaed: sommige getalle valle uitee zoals: 4 =, 6 = 3, 8 =, 9 = 3 3, ez. e adere doe dat iet:, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, Deze laatste getalle hebbe ee aam. Defiitie Ee atuurlijk getal groter da dat iet het product is va twee kleiere atuurlijke getalle oeme wij ee priemgetal. Hoe vid je zulke priemgetalle? Hoe weet je of je met ee priemgetal te make hebt? Hoeveel priemgetalle zij er? Op hoeveel maiere kue getalle uiteevalle? Komt het vaker voor dat twee priemgetalle twee verschille, zoals e 3 of 7 e 9? Ku je elk eve getal schrijve als som va twee priemgetalle? Dit zij vrage waarop de atwoorde soms al ruim 300 jaar beked zij maar waar ook deels og vadaag de dag gee mes het atwoord op weet. Ee groot deel va de wiskude draait al duizede jare om het beatwoorde va zulke vrage over getalle. De vrucht va deze zoektocht va otelbaar veel mese oeme we getaltheorie volges de wiskudige Carl Friedrich Gauß ( ) de koigi oder alle wiskudige theorieë. Tegewoordig wordt getaltheorie veelvuldig toegepast. Dit is eigelijk gee woder wat zodra je het met getalle te make hebt, kome atuurlijk ook hu fudametele eigeschappe kijke. Boze toge oder wiskudige vertelle wel ees de mop dat voor ee atuurkudige elk oeve getal ee priemgetal is: 3 is er ee, 5 is er ee, 7 is er ee, 9 is ee meetfout, is er ee, 3 is er ee, 5 is ee meetfout, 7 is er ee e 9 is er ook ee. Dus blijkt uit ege metige dat de bewerig klopt tot op twee meetfoutjes a. Dit lijkt er dus op dat er zeer verschillede maiere va verschillede kwaliteit bestaa om ee bewerig aa te toe. Wij wiskudige wille het eerst zeker wete voordat wij ee bewerig acceptere. I dit eerste deel krijge jullie ee aatal bewerige voorgeschoteld waarva jullie zelf moete uitmake of deze bewerige kloppe of iet. De coclusies die je door goede e valide argumete te oderbouwe. Jullie moete zelf uitvide, hoe. Je krijgt pas pute als je dat op ee overtuigede

9 maier lukt. Voor berekeige mag je uiteraard je grafische rekemachie izette. Om ee aatal va deze bewerige te kue formulere voere wij og sel ee otatie i. Soms wil je het bij ee atuurlijk getal over de cijfers hebbe die eri voorkome. Bijvoorbeeld 47 heeft de cijfers c 3 = 4, c = 7, c =, c 0 =. Het probleem echter is dat de weergave i letters dubbelziig ka zij. Als je bijvoorbeeld schrijft: c 3 c c c 0 met cijfers c i tusse 0 e 9 zou dat kue staa voor c c 0 + c 0 + c maar ook voor c 3 c c c 0. Om hier gee misverstade te late otstaa, gebruike wij de volgede otatie. Notatie Als wij i het tietallige stelsel de cijfers va ee atuurlijk getal door letters aa wille geve, da schrijve wij: = c k c k- c c 0 met de k cijfers c k, c k-,, c, c 0 vaaf 0 tot e met 9 waarbij het eerste cijfer iet ul is, dwz. c k >0, wat aders zoude we het ook weg kue late. Gegeve de cijfers c k,, c 0, da vid je het getal terug via: = c c c k- 0 k- + c k 0 k. Bijvoorbeeld 47= 4 7 = Geloge of iet? Probeer er u achter te kome of de volgede bewerige waar zij of iet.. Als ee oeve atuurlijk getal gee priemgetal is da is het wel door 3, 5, 7, of 3 deelbaar.. Het getal 003 is het kleiste atuurlijke getal dat op twee verschillede maiere te otbide is i priemgetalle: 003 = e 003 = Ee atuurlijk getal = c k c k- c c 0 is deelbaar door 3 da e slechts da als c k +c k- + +c 4 +c 3 +c +c +c 0 deelbaar is door Ee atuurlijk getal = c k c k- c c 0 is deelbaar door da e slechts da als c 0 c +c c 3 +c 4 c 5 c k deelbaar is door. 5. Ee atuurlijk getal = c k c k- c c 0 is door 7, of 3 deelbaar da e slechts da als c k c k- c 4 c 3 c c c 0 deelbaar is door 7, of 3. (Bereke 7 3.) 6. De kwadratische rij (dwz. de verschilrij is ee rekekudige rij) waarva de eerste terme worde gegeve door 4, 43, 47, 53, 6, 7, 83, bestaat uitsluited uit priemgetalle. 7. Er bestaa slechts eidig veel priemgetalle. Het grootste priemgetal is ee voorbeeld va ee Mersee-priemgetal e werd op december 003 gevode. 8. Voor alle atuurlijke getalle >0 geldt: + + = Voor elk atuurlijk getal geldt: ( ) = Elk va de getalle i de rij 3, 33, 333, 3333, 33333, , , , is ee priemgetal.. Het repeterede decimale getal 0, is gelijk aa.. De som va de eerste k oeve atuurlijke getalle is het kwadraat va ee atuurlijk getal is te schrijve als breuk, of aders gezegd, er bestaa gee twee gehele getalle m e zodat geldt m = 0.

10 Deel B Lees de tekst va De derde acht door e beatwoord de volgede vrage.. Vergelijk de defiitie va ee priemgetal uit het boek met oze defiitie bove. Leg uit.. I deze acht worde drie wiskudige vermoedes verteld. Formuleer deze vermoedes zo auwkeurig mogelijk. 3. Probeer a te gaa (bijvoorbeeld door wiskudige te raadplege of iformatie te zoeke op iteret) of deze vermoedes odertusse beweze stellige zij, of dat het og obeweze vermoedes zij. Misschie zij er wel tegevoorbeelde gevode, zodat beweze is dat ze iet waar zij. Deel B Lees de tekst va De vijfde acht e beatwoord de volgede vrage. Deel C 4. I deze droom worde twee wiskudige formules aaemelijk gemaakt. Schrijf deze formules op. 5. Geef ee wiskudig bewijs voor deze formules. I het boek De telduivel is elke droom va Robert gemotiveerd door ee wiskudige achtergrod. Achter bija elk detail e elke keuze die de auteur heeft gemaakt verschuilt zich ee wiskudig aspect. Schrijf u zelf de dertiede acht. Kies hiervoor ee wiskudig oderwerp e schrijf het verhaal over ekele wiskudige aspecte erva. Laat je gerust door het oderwerp uitdage. Je hoeft er iet metee alles va te begrijpe e je mag ook zijspore va je oderwerp bewadele. Licht i ee apart stuk al je keuzes e ideeë uit je verhaal wiskudig toe. Ga iets verzie dat volledig los staat va je wiskudig oderwerp. Zorg dat je verhaal i diest staat va de wiskude die je uit wil legge. Probeer jouw oderwerp i het verhaal op ee eevoudige, maar ook eerlijke maier recht te doe. I de keuze va het oderwerp be je i pricipe vrij, maar je kut ook uit de oderstaade oderwerpe kieze. Je mag éé oderwerp kieze uit t/m 9 óf drie oderwerpe uit 0 t/m 6 (die zij wat kleier va omvag).. Pythagoreïsche drietalle.. Waarom is er bij de decimale schrijfwijze va breuke sprake va (op de duur) repetetie? 3. Tovervierkate. 4. Wat zoude vijfhoeks getalle, zeshoeks getalle of -hoeks getalle kue zij? Ku je formules voor zulke vijfhoeks getalle, zeshoeks getalle of -hoeks getalle geve? Ee oplossig zou kue zij: ½( + ), ½( 0), ½((3 ), ½(4 ), ½(5 3) ez.. 5. Op hoeveel ulle eidigt 000!? (Atwoord 49) E op hoeveel ulle eidigt!? 6. Syracuserij: Als eve da deel door, als oeve da 3+. Voorbeeld: begi je met da krijg je: Eidigt dit altijd op? 7. Het Kaprekargetal. Voorbeeld = 79; = 693; = 594; = 495. Dit oeme we het Kaprekargetal bij getalle va 3 cijfers. Bestaat er ook ee Kaprekargetal va 4 cijfers? E va 5 cijfers? 8. Wat is het grootste getal dat je iet kut schrijve i de vorm 7 + m? Hierbij zij m e atuurlijke getalle. Meer i het algemee: a + bm? 9. Repuits. R() =, R() =, R(3) =, dus R() =. ( ee). Zitte hier priemgetalle bij? Beschrijf de priemdelers va repuits. Kwadrate? Waeer zij R() e R(m) oderlig odeelbaar? Neem ees de kwadrate va R(4) e va R(0).

11 0. Leid regels af hoe je uit de cijfers va ee getal i het drietallig stelsel de deelbaarheid door bepaalde delers kut zie.. GGD e KGV. Wat is het verbad tusse GGD(a,b) e KGV(a,b)? E wat tusse GGD(a,b,c) e KGV(a,b,c)?. Hoe ku je sel zie dat ee getal zeker gee kwadraat is? 3. Zoek priemdelers va repuits. 4. Ku je elk getal schrijve als ee breuk? 5. De uiciteit va de otbidig i priemfactore. 6. De verdelig va damstee. 7. Perfecte getalle e Mersee priemgetalle. 8. Staafjes op ee ruiterechthoek. 9. Stapelgetalle Kleiere oderwerpe waarva je er drie ka kieze: 0. Het aatal delers va ee getal. Bijvoorbeeld welk getal va 4 cijfers heeft de meeste delers? (Dit zij er twee l e 940. Beide hebbe 64 delers.). Hoe te zie dat ee getal deelbaar is door, 3, 4,.,,, 3?. Voorbeelde: 47 x 43 = 0 (4 x 5 = 0 e 7 x 3 = ) e 38 x 3 = 6 (3 x 4 = e 8 x = 6). Hoe werkt dit? 3. Rekespelletjes make zoals: Iemad doet i stilte de volgede berekeig: -eem ragummer va je geboortemaad -vermeigvuldig dat getal met -tel hier 5 bij -vermeigvuldig het resultaat met 50 -tel teslotte je leeftijd erbij Laat het resultaat hardop oeme, trek er i gedachte 50 af e oem vervolges zij leeftijd Geef met haakjes verdrijve ee algemee bewijs va de werkig va dit spelletje. 4. Otdek ee aatal maiere om sel ee kwadraat te kue uitrekee. 5. Leg de werkig va de volgede boerevermeigvuldigig uit: 35 x 7 = 470 x 36 =940 x8 =880 x 9 =3760 x 4= 750 x = 5040 x dus =690 is de uitkomst. 6. Er is maar ee atuurlijk getal waarva de wortel gelijk is aa de som va de cijfers. Welk getal is dat? Zij er og adere zulke eigeschappe te bedeke waarmee ekele getalle uit kue blike? Daaraast bevele wij als mogelijke broe aa: Het wiskudetijdschrift Pythagoras voor jogere. Zoek ook op: The O-Lie Ecyclopedia of Iteger Sequeces De website voor ispirerede computerapplets over getalbegrip.

12 AANVULLENDE TOELICHTING ad. Pythagoreïsche drietalle Drietalle, die aa de stellig va Pythagoras voldoe, oeme we pythagoreïsche drietalle. Ee voorbeeld: (3, 4, 5) is ee pythagoreïsch drietal omdat 3² + 4² = 5². We zoeke aar echte pythagoreïsche drietalle. Daarmee bedoele wij drietalle, die oderlig priem zij, dus gee gemeeschappelijke delers hebbe. Weer ee voorbeeld: (6, 8, 0) is ook ee pythagoreïsch drietal, maar deze kue we gemakkelijk vide uit os eerste voorbeeld (3, 4, 5) door elk getal met te vermeigvuldige e zo is (6, 8, 0) eigelijk hetzelfde pythagoreïsch drietal als (3, 4, 5). Twee recepte om pythagoreïsche drietalle te krijge zij de volgede: (i) Neem ee oeve getal bijvoorbeeld 3, kwadrateer dit getal e verdeel dit kwadraat zo eerlijk mogelijk. Dus 3² = 9 e 9 = We vide dus de getalle 4 e 5, e (3, 4, 5) is ee pythagoreïsch drietal. Neme we 7, da verdele we het kwadraat va 7 (=49) i 4 e 5 e (7, 4, 5) is ee pythagoreïsch drietal. Neme we 9, da verdele we het kwadraat va 9 (=8) i 40 e 4 e (9, 40, 4) is ee pythagoreïsch drietal. (ii) Of eem ee oeve kwadraat ( k +) da is de som va alle oeve getalle die kleier zij da ( ) k + weer ee kwadraat. Als je deze twee kwadrate optelt krijg je ee derde kwadraat e zodoede ee pythagoreïsch drietal. Ku je dit bewijze? Zo vide we alle echte pythagoreïsche drietalle, of iet soms? ad 7. Het Kaprekarproces We eme ee getal va 3 verschillede cijfers, bv. 89. We make hierva twee ieuwe getalle, waarbij bij de ee de cijfers i stijgede (89) e bij de adere de cijfers i dalede (98) volgorde staa. Deze getalle trekke we va elkaar af, de kleiste va de grootste (98 89 = 79). Dit proces herhale we. I os voorbeeld: = 693; = 594; = 495. Hier eidigt het proces e het getal 495 wordt het Kaprekargetal va 3 cijfers geoemd. Probeer maar ees ee ader getal va 3 cijfers. De vraag u is: hoe zit dit? Trouwes: is er ook ee Kaprekargetal va 4 of va 5 cijfers? ad 8. Mutstelsel We wille ee ieuw mutstelsel ivoere met ee miimum aatal verschillede mutstukke. We deke hierbij aa twee mutstukke, met ieder ee waarde va mistes 5. Als voorbeeld eme we mutstukke met ee waarde va 5 e ee waarde va 8. Hiermee gaa we betale. Bijvoorbeeld ee bedrag va 47 betale we met 3 mute va 5 e 4 mute va 8. Maar u is iet elk bedrag met deze twee mutsoorte te betale, zeker kleie bedrage iet, eem maar ees bijvoorbeeld 9. De vraag is: welke bedrage zij wel uit te drukke i mute va 5 e 8 e welke iet? Is er ee grootste bedrag dat iet te betale is met deze twee mutsoorte? Hoe zit het met de twee mutsoorte a e b, waarbij a e b allebei mistes 5 zij e a e b oderlig priem? ad 9. Repuits Repuits zij getalle, die uit louter ee bestaa. De rij repuits R() ziet er als volgt uit: R() = R() = R(3) = R(4) = R() =. i het totaal ee. Je kut je da va alles afvrage, bijvoorbeeld: zitte er i de rij repuits ook priemgetalle? Hoe zie die eruit? Bekijk ees de kwadrate va bijvoorbeeld R(4) of R(0). Waeer zij R() e R(m) oderlig odeelbaar?

13 ad 5. Bewijs va de stellig over uieke factorotbidig Aa de had va de volgede opgave ku je zelf het bewijs vide. Hierbij maak je veelvuldig gebruik va dele met rest. Daarmee bedoele wij bijvoorbeeld: 00 is 7 maal 3 met rest 9. Door herhaaldelijke delig met rest (het zogeaamde algoritme va Euclides) ku je de grootste gemeeschappelijke deler (GGD) va twee gegeve getalle bepale. Kijk op de Ratiosite (. Passe,.3) voor meer uitleg, applets e illustraties hierover. Opgave: I deze opgave ga je bewijze dat elk atuurlijk getal op ee uieke maier i priemgetalle uiteevalt. Oderbouw de volgede drie uitsprake zo goed mogelijk met argumete. Probeer eerst met getalle. (i) Gegeve twee atuurlijke getalle s e t. De GGD va s e t oeme we d. Da is d ee deler va s e t die tegelijkertijd ka worde geschreve als d=m s+ t met gehele getalle m e. (Hit: Stel s>t. Als je s deelt door t met rest r, da is ook de rest r deelbaar door d maar kleier da zowel s als ook t. Als je vervolges t deelt door r krijg je ee og kleiere rest die og steeds ee veelvoud is va d. Als je zo doorgaat eidig je automatisch ee keer op rest d. Als je u i je berekeig terugloopt vid je gehele getalle m e zodat d=m s+ t.) (ii) Laat zie dat ee priemgetal p dat ee product a b deelt, al éé va de twee getalle, a of b, deelt. Gebruik hiervoor (i) met s=p e t=a. De GGD va p e a is of p. (iii) Laat zie dat elk atuurlijk getal op ee uieke wijze te otbide is i priemgetalle. Beschrijf hoe deze uiciteit is te verstaa. ad 6. Verdele va damstee Je eemt 0 damstee e verdeelt deze i ee willekeurig aatal stapeltjes; als voorbeeld eme we 5 e 5. We eme u va elk stapeltje éé stee af e vorme met deze stee ee ieuwe stapel. Dit procédé herhale wij. I os voorbeeld krijge we: Begi: 5 5 Eerste stap: 4 4 Tweede stap: Derde stap: 4 Zo gaa we door. Er blijkt op de duur ee stabiele situatie te otstaa. Nu ee aatal vrage. a. Stel we begie met ee adere verdelig va deze 0 stee b.v. drie stapels va stee, stee e 7 stee- kome we da ook op deze stabiele situatie uit? E geldt dit voor elke verdelig? b. Stel we begie met ee ader aatal damstee, b.v.. Krijge we da op de duur ook ee stabiele situatie? Hagt dit ook af va de begiverdelig? c. Bij welke aatalle stee krijge we ee stabiele situatie? d. Bewijs dat je bij de oder c gevode aatalle ee stabiele situatie krijgt. e. Ka het zij dat je bij elk ader aatal gee stabiele situatie krijgt, maar i ee loop terecht komt? Leg uit. ad 7. Perfecte getalle e Mersee priemgetalle Ee perfect getal is ee getal dat gelijk is aa de som va al zij delers. Bijvoorbeeld 6=++3 of 8= zij beroemde perfecte getalle. Niemad weet tot hede of er ook oeve perfecte getalle zij. Ook weet iemad hoeveel eve perfecte getalle bestaa. Mersee priemgetalle zij priemgetalle va + de vorm voor ee atuurlijk getal. Het zoeke aar ieuwe Mersee priemgetalle is og steeds i volle gag. Het lijkt bija ee woder, ook al wete we va beide soorte getalle zeer weiig, ku je late zie dat er et zoveel eve Mersee priemgetalle als perfecte getalle zij. Dit doe je als volgt: + a. Bewijs dat geldt: als = p ee Mersee priemgetal is, da is A = p ee perfect getal. b. Als omgekeerd A = q ee perfect getal is, da moet q = + zij e q is ee priemgetal. Schets: Omdat wij veroderstelle dat A ee perfect getal is geldt (de som is over alle delers va q): (*) A = q + q + q + L + q + ( d + d + d + L + d). d / q

14 + Hieruit ku je afleide dat geldt: q = ( ) q' waarbij q' = + de delers va A = q = ( ) q' is da vid je A = ( ) q' = ( ) q ' + ( )( ) q' + ( ) volgt dat + d / q d. Als je u, et als i (*), de som va opschrijft zo expliciet als dat vauit deze otbidig mogelijk d d / q d + ( ), e q de eige delers zij va q, waaroder zich dus ook moet bevide. q'. Hieruit ad 8. Staafjes op ee ruiterechthoek Stellig: Gegeve ee rechthoek met afmetige m waarbij m e atuurlijke getalle zij. Stel ou dat deze rechthoek ka worde overdekt met staafjes va de legte k voor ee atuurlijk getal k. Da deelt k ee va de getalle m of. a. Probeer ee rechthoek va 9 keer 0 te overdekke met staafjes va keer 6. b. Ku je ee bewijs va de stellig geve? Behulpzaam zou hierbij kue zij dat je aa de vakjes i ee rechthoek de getalle tot e met k toeket. Let erop welke getalle door de staafjes worde afgedekt. Ku je de getalle zo toekee dat er oder elk va de staafjes steeds alle getalle tot e met k kome te ligge? ad 9. Stapelgetalle Ee getal dat geschreve ka worde als de som va twee of meer positieve, gehele, elkaar opvolgede getalle, oeme we stapelbaar. Voorbeelde: 40 = , dus 40 is stapelbaar; 4 = , dus 4 is stapelbaar. I bovestaade voorbeelde oeme we 4 e 70 het begi va ee stapel. Ee stapel die begit met oeme we ee basisstapel. Voorbeeld: 0 = We zegge i zo geval dat 0 ee basisstapel heeft. Ee stapel die uit ee eve aatal getalle bestaat oeme we ee eve stapel. Vrage:. Zij alle oeve getalle stapelbaar?. Welke eve getalle zij iet stapelbaar? 3. Laat zie dat voor de som S va ee stapel die begit bij a, e bestaat uit getalle geldt: S = ½ (+a-). 4. Geef ee beschrijvig va de getalle die ee basisstapel hebbe. Ee positief geheel getal is altijd te schrijve op éé maier als product va priemgetalle, bijvoorbeeld = Hoeveel delers heeft het getal 5400? 6. Welke getalle hebbe slechts éé stapel? 7. Hoe ku je aa ee getal zie dat het ee eve stapel heeft? 8. Hoeveel stapels heeft het getal 004? 9. Ku je ee getal vide met precies 004 stapels? Zie ook: Dave Odegard, Stapel, Pythagoras, November 004 ad 0. Vermeigvuldige Rekee e dus ook vermeigvuldige is tegewoordig blijkbaar lastig. Als we bijvoorbeeld moete uitrekee 67 x 63 da gaat dat als volgt: 67 63x Dus 67 x 63 = 4. Maar dit ka veel eevoudiger. Kijk maar: Va de beide zesse hoge we er ee op e vermeigvuldige we ze met elkaar: 6 x 7 = 4. De 3 e de 7 vermeigvuldige we met elkaar: 3 x 7 =. Deze twee getalle zette we achter elkaar e we krijge het juiste atwoord: 4. Nog ee voorbeeld: 48 x 4. We eme 4 x 5 = 0 e 8 x = 6 dus 48 x 4 = 06. Waarom hebbe ze os dit ooit eerder verteld? Zij er meer va deze trucjes?

15 De telduivel Beoordelig praktische opdracht Groepslede: Oderdeel Max Score Opmerkige A 3 A 3 A3 3 A4 3 A5 3 A6 3 A7 3 A8 3 A9 3 A0 3 A 3 A 3 A3 3 Uitwerkig 5 Éé of meerdere A-oderdele zij op ee verrassede e wiskudig correcte wijze aagepakt e opgelost B Defiitie priemgetal B 5 Formulerig 3 vermoedes derde acht B3 5 Iformatie 3 vermoedes derde acht B4 4 formules vijfde acht B5 5 Bewijs formules vijfde acht C Vrije deel 5 Creatief, authetiek, volledig, wiskudig correct Cosmetica 5 Uiterlijk, lay-out, overzichtelijk Tijd 5 Tijdig igeleverd (plaig) Totaal Cijfer = Totaal / 0 =

16 Kopieerbijlage

17 DE TELDUIVEL ANTWOORDEN DEEL A. Als ee oeve atuurlijk getal gee priemgetal is da is het wel door 3, 5, 7, of 3 deelbaar. NIET WAAR! Neem bijvoorbeeld 7 9=33. Dit is ee oeve getal, gee priemgetal e iet deelbaar door 3, 5, 7, e 3.. Het getal 003 is het kleiste atuurlijke getal dat op twee verschillede maiere te otbide is i priemgetalle: 003 = e 003 = NIET WAAR! Er geldt: 003= Dus 589=9 3 e 57=7 3 zij gee priemgetalle. De bewerig ko ook iet waar zij vawege de Hoofdstellig va de rekekude: Elk atuurlijk getal is op uieke wijze te otbide i priemfactore. 3. Ee atuurlijk getal = c k c k- c c 0 is deelbaar door 3 da e slechts da als c k +c k- + +c 4 +c 3 +c +c +c 0 deelbaar is door 3. WAAR! Schrijf daarvoor =c k c k- c c 0 uit als c c c k-.0 k- + c k.0 k. Dat is c 0 +c.(9+)+c.(99+)+c 3.(999+)+ +c k.( ) ofwel c 0 +9c +c +99c +c +999c 3 +c c k +c k. Nu zij 9c,99c,999c 3,..., c k allemaal 3-voude. Dus als we wille wete of deelbaar is door 3, da kue we die weglate (we kijke modulo 3). Het is dus odig e voldoede om te kijke of c 0 + c +c +c c k deelbaar is door Ee atuurlijk getal = c k c k- c c 0 is deelbaar door da e slechts da als c 0 c +c c 3 +c4 c 5 c k deelbaar is door. WAAR! Schrijf daarvoor =c k c k- c c 0 uit als c c c k-.0 k- + c k.0 k. Dat is c 0 +c.(-)+c.(99+)+c 3.(00-)+c 4.(9999+)+c 5.(0000-)+... ofwel c 0 +c c +99c +c +00c 3 c c 4 +c c 5 c Nu zij c, 99c, 999c 3, 00c 3, 9999c 4, 0000c 5,... allemaal -voude. Dus als we wille wete of deelbaar is door, da kue we die weglate (we kijke modulo ). Het is dus odig e voldoede om te kijke of c 0 c +c c 3 + c k deelbaar is door. 5. Ee atuurlijk getal = c k c k- c c 0 is door 7, of 3 deelbaar da e slechts da als c k c k- c 4 c 3 c c c 0 deelbaar is door 7, of 3. WAAR! We berekee eerst 7..3=00. Dit getal is bijzoder, omdat het verschilt va 000. Schrijf = c k c k- c c 0 als c k.0 k +c k-.0 k c c.0 +c.0 +c Da zie we =(c k c k- c 4 c 3 ) (c c c 0 ). Dat is (c k c k- c 4 c 3 ).(00-) + (c c c 0 ) = (c k c k- c 4 c 3 ).00-(c k c k- c 4 c 3 ). + (c c c 0 ). Als we hier alle alle 00-voude afhale (i het bijzoder zij dit dus 7-, -, e 3-voude), da houde we -(c k c k- c 4 c 3 ) + (c c c 0 ) over. Nu blijkt dus dat deelbaar is door 7, of 3 precies da als -(c k c k- c 4 c 3 ) + (c c c 0 ) dat is. Maar da kue we et zo goed kijke aar (c k c k- c 4 c 3 )-(c c c 0 ). 6. De kwadratische rij (dwz. de verschilrij is ee rekekudige rij) waarva de eerste terme worde gegeve door 4, 43, 47, 53, 6, 7, 83, bestaat uitsluited uit priemgetalle. NIET WAAR! Deze rij hoort bij de formule y=x -x+4. Het idee dat het om ee kwadratisch verbad gaat, ku je krijge vawege de costate toeame i de verschilrij. Je ka de formule vide door bijvoorbeeld de eerst 3 terme va de rij i te vulle i de algemee vorm y=ax +bx+c. Dus y()=4, y()=43 e y(3)=47. Dat geeft het stelsel vergelijkige a+b+c=43, 4a+b+c=43 e 9a+3b+c=47. Oplosse va dit stelsel geeft de geoemde formule. Deze formule levert opvalled geoeg tot e met x=40 priemgetalle, maar voor x=4 is de uitkomst duidelijk deelbaar door Er bestaa slechts eidig veel priemgetalle. Het grootste priemgetal is het zogeaamde Merseepriemgetal e werd op december 003 gevode. NIET WAAR! Het geoemde getal is ee priemgetal, maar gevode op 7 ovember 003. Bovedie heeft Euclides beweze dat er oeidig veel priemgetalle zij. 8. Voor alle atuurlijke getalle >0 geldt: + + = NIET WAAR! Voer i de GR i Y =X Cr 4 + X Cr + X Cr 0 e Y =^(X-). Kijk i Table e zie dat het voor X=6 bijvoorbeeld al iet klopt: Y =3 e Y =3. Dat is dus ee tegevoorbeeld.

18 9. Voor elk atuurlijk getal geldt: ( ) = WAAR! Defiieer de rije = ( ) e = Duidelijk is dat 3 a a = () = () = b. We gaa u late zie dat voor elke de toeame b b. Da zij beide rije dus gelijk. Er geldt: + b a + a gelijk is aa de toeame a + = ( ) = (( ) + ( + )) = ( ) +.( ).( + ) + ( + ) 3...( ).( ) ( ).( ) ( ) ( ).( ) ( ) = a = a = a = a + + Daaraast geldt: b = ( + ) = b + ( + ) Klaar Elk va de getalle i de rij 3, 33, 333, 3333, 33333, , , , is ee priemgetal. NIET WAAR! Het getal met de acht 3-e is deelbaar door 7, amelijk /7= Het repeterede decimale getal 0, is gelijk aa. WAAR! Er zij meerdere bewijze voor te geve. Bijvoorbeeld: 0 0, = 9, , = 0, , = 9 e dus 0, =. E er moet ook duidelijk worde gemaakt wat 0, beteket.. De som va de eerste k oeve atuurlijke getalle is het kwadraat va ee atuurlijk getal. WAAR! Kijk maar aar het plaatje rechts. Als wij de verschilrij va de rij va kwadrate a k = k met k = 0,,, uitrekee vide wij de rij va oeve getalle: a ( k + ) k = ( k + )( ) = k + ak = k Er bestaa twee gehele getalle m e zodat m =0. NIET WAAR! We itroducere ee fuctie N die aa ee atuurlijk getal de legte N() toeket va de aaee geslote reeks ulle die dit getal mogelijk op het eide va zij decimale voorstellig heeft. I het kort: N ( ) = "# ulle op het eide va ". Bijvoorbeeld: N(000)=3, N(000)=3 e N(000300)=. Het is eevoudig a te gaa dat geldt: N(0 ) = N()+ e N( ) = N(). Als m =0 zou zij da zou N toegepast aa beide kate hetzelfde resultaat op moete levere. Maar we vide liks N(m) e rechts N()+, waarva het eerste getal eve e het tweede oeve is. m m Als er gehele m e zoude bestaa zodat = 0, da levert kwadratere aa beide kate = 0.

19 Appedix I De telduivel Atwoorde bij deel B e C Deel B Vraag Defiitie i de opgave: Ee atuurlijk getal groter da dat iet het product is va twee kleiere atuurlijke getalle oeme we ee priemgetal. Defiitie i het boek: Ee priemgetal is ee getal dat iet i gelijke dele te verdele is zoder dat er ee rest overblijft. Deze twee defiities kome overee, wat: Als ee getal iet het product is va twee kleiere atuurlijke getalle, da is het iet te verdele i gelijke dele. E: Als ee getal iet i gelijke dele te verdele is, da is het ook iet het product va twee kleiere atuurlijke getalle. Deel B Vraag Eerste vermoede: voor elk atuurlijk getal > is er mistes éé priemgetal p met < p <. Tweede vermoede: voor elk eve atuurlijk getal > zij er priemgetalle p e q met = p + q. Derde vermoede: voor elk oeve atuurlijk getal > 5 zij er priemgetalle p, q e r met = p + q + r. Deel B Vraag 3 Eerste vermoede: Is odertusse ee beweze stellig! Staat beked als het pricipe va Bertrad. I 845 geopperd door Bertrad e i 85 beweze door Chebyshev. Tweede vermoede: Oopgelost probleem! Staat beked als het Vermoede va Goldbach e is ee va de oudste oopgeloste probleme i de wiskude. Dit vermoede dat elk eve getal groter da ka geschreve worde als de som va twee priemgetalle (ee priemgetal mag hierbij twee keer gebruikt worde) werd geuit i ee brief die Christia Goldbach i 74 aa Leohard Euler schreef. Dit vermoede is door veel theoretici oderzocht e door computers gecotroleerd voor eve getalle tot Veel wiskudige gelove dat het vermoede waar is, gebaseerd op statistische overwegige va de waarschijlijkheidsverdelig va de priemgetalle: hele grote eve getalle kue meestal op zeer vele maiere als de som va priemgetalle worde geschreve.

20 Derde vermoede: Obeweze! I 937 is door de Rus I.M. Viogradov beweze dat als ee oeve getal 'voldoede groot' is, het de som is va 3 priemgetalle. Me weet echter og iet hoe groot. Het voorwerk voor dit bewijs was rod 9 gedaa door twee befaamde getaltheoretici, Hardy e Littlewood. Zij gige echter uit va ee veroderstellig die ze iet kode bewijze, de zogeaamde hypothese va Riema. De geoemde Rus had voor zij bewijs over de priemgetalle deze Riemahypothese iet odig. Idie het zogeaamde 'vermoede va Goldbach' waar is, dá is elk priemgetal groter da 7 de som va 3 oeve priemgetalle. Deel B Vraag 4 Eerste formule: i i= = ( + ) Tweede formule: (i ) = Deel B Vraag 5 i= Bewijs eerste formule: Noem S = Da:. S = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = ( + ) + (+ ) ( + ) + ( + ) =.( + ) Dus : S =..( + ) Bewijs tweede formule: Noem S. S = = Da: = ( ) + ( ) + (3 ) ( ) = ( ). =..( + ). Dus : S =.( + ) = Deel C ad 6 Ee aatal oplossige: a. Ja. b. Nee. Nee. c. Dit lukt allee voor de driehoeksgetalle (3, 6, 0, 5,,..). d. Stel, er is ee stabiele situatie met N stee e stapels. Da moet er éé stapel zij waarop stee ligt (we gaa er va uit dat N>0 e >0). Na ee rode komt er amelijk ee ieuwe stapel, dus moet er ook verdwije. I de ieuwe situatie moet er echter ook weer precies stapel zij met stee, om dezelfde rede. Deze stapel had dus i de oorsprokelijke situatie stee (of als N = =, da is het duidelijk). Omdat er a rode zeker ee stapel met stee is (de ieuwe stapel waar va elke stapel ee stee komt), moet er i de oorsprokelijke toestad ook al ee stapel met stee zij geweest. Met het doorzette va deze argumete (er moet ook ee stapel met - stee zij geweest, wat a stappe is de stapel die a rode otstod op - stee aagekome e omdat het ee stabiele situatie is, moest er oorsprokelijk al zo stapel zij) zie je dat er ee stapel va, ee stapel va,.., ee stapel va - e ee stapel va stee moet zij. Het totaal aatal stee is dus e. Wij hebbe hier og gee bewijs gevode.

21 Appedix II Optelsom va m e Defiitie Gegeve twee atuurlijke getalle m e. Wij zegge dat ee derde atuurlijke getal k ka worde geschreve als optelsom va m e als er iet-egatieve gehele getalleα, β bestaa met k = α m + β. Stellig Gegeve twee atuurlijke getalle m e met ggd(m,)=. Da is het grootste getal dat je iet kut schrijve als optelsom va m e gelijk aa: m-m Opmerkig: Voor het vide va ee bewijs dat elk getal vaaf m-m-+ ka worde geschreve als optelsom va m e zou het volgede behulpzaam kue zij. Zet elke combiatie r m + s als put eer i ee rooster bij de coördiate (r m, s ) e kijk vervolges aar de lije x+y=costat atuurlijk getal. De vraag is u vaaf waar ligt er éé va de roosterpute op elke va deze lije? Bewijs: Wij kijke aar de gate tusse (k-) m e k m voor zekere k. Als wij ee va deze gate hebbe gevuld met optelsomme va m e, da zij ook alle volgede gate gevuld. Als wij deze gate helemaal wille vulle da moete we dit zeker ook modulo m kue doe. Wij kijke aar de rij 0,,, 3,. Modulo m worde de gate precies gevuld met 0,,, 3,, (m-), wat modulo m zij deze m getalle allemaal verschilled: uit i j mod m voor 0 i, j m- volgt ( i j) = tm voor ee gehele t. Elke deler va m zit dus i (i-j) e hieruit volgt dat i e j verschille met ee veelvoud va m waaruit weer volgt: i=j. I het bijzoder kijke wij u aar alle s m+(m-) met s 0 e de kleiste optelsom va m e hieroder is: 0 m + (m-). Het getal (m-) m kue we iet meer schrijve als optelsom va m e. Als amelijk ( m ) m = α m + β da is ( α + ) m + β e daarmee ( α +)m als ook ( α +) ee positief veelvoud va. Schrijf α = i e wij vide α =. We bewere dat alle getalle vaaf (m-)-m+ tot e met (m-) als iet-egatieve lieaire combiatie va m e kue worde geschreve. Bij (m-) is dit duidelijk. Alle adere getalle 0,,, 3,, (m-) zij kleier e je kut ee veelvoud va m erbij optelle zodat zij tusse (m-)-m+ e (m-), ee iterval met legte m, kome te ligge. Vaaf (m-)-m+ ka elk getal worde geschreve als optelsom va m e. Bij (m-)-m lukt dit zeker iet zoals we bove hebbe late zie. Q.E.D.

22 Appedix III Beschouwige over de rij De rij 3, 33, 333, 3333, 33333, bestaat uitsluited uit priemgetalle. Ee wiskudige gecofroteerd met deze bewerig heeft omiddellijk het idee dat deze rij iet uitsluited uit priemgetalle ká bestaa. Aders zou zij hele wereldbeeld i elkaar storte. Maar laat dat ees zie. Wat door, 3 e 5 is zeker gee va deze getalle deelbaar. Zelfs door 7, of 3 is gee va deze getalle deelbaar zoals je kut zie als je gebruikt dat 7 3 = 00. Maar hoe da verder? Natuurlijk, ee gewelddadige aapak met ee rekemachie levert uiteidelijk ee uitkomst maar daar is ee echte wiskudige toch wel terecht ee beetje vies voor. Wat is u ee uitkomst i vergelijkig met ee mooi probleem? Laat ees kijke, wat kue we er wiskudig va make? I eerste istatie merk je op dat + 0 geldt: =. De vraag is dus u of er ee priemgetal p bestaat waarvoor geldt: 0 mod p. Maar dit is gelijkwaardig aa de bewerig: 0 7mod p. Je 3 ziet direct dat dit voor p =, 3, 5, 7 iet ka e ook voor p = is het duidelijk omdat 0 mod p. Bij p = 3 moet je echt gaa rekee e je vidt dat de machte va tie op veelvoude va 3 a gelijk zij aa 0, 9,, 3, 4, e dus iet 7. Pas bij p = 7 is de eerste deler gevode. Ee berekeig levert: de machte va tie modulo 7 zij: 0, 5, 4, 4, 6, 9, 5, 6, 7,, 3, 3,, 8,, e iderdaad, er is ee 7. Dus is deelbaar door 7. Veel slimmer is het probleem terug te brege tot de zogeaamde kleie stellig va Fermat: Voor ee priemgetal p e ee willekeurig atuurlijk getal a geldt: a p mod p. De cetrale opmerkig is: = Het is dus voldoede om te wete of = deelbaar is door 3, dwz. de vraag 9 0 luidt: Is er ee waarvoor 0 mod 3 oftewel 0 0 mod 3? 9 Ja, zo ee is er. Dat zegt de kleie stellig va Fermat. Voor = 30 beschikke wij u over het izicht dat: deelbaar is door 3. Trouwes, de kleiste met 0 0 mod 3 is de legte va de periode va 0, =, dus = 5, wat 0 5 ( ) ( ) = Zelfs het bewijs va de kleie stellig va Fermat i dit verbad ku je zo geve. Hieruit lere we dus dat zelfs al deelbaar is door 3 e dat je ooit met bruut geweld ee wiskudig probleem moet bekijke. Dit idee is afkomstig va mevrouw Margriet Kops, Caisius College, Nijmege.