Analyse module 1. Contents

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Analyse module 1. Contents"

Transcriptie

1 Analyse module 1 Contents College Inverse functies logaritme goniometrie... 3 College D-toets moeilijke vraag bespreken... 5 Differentieren... 5 Kettingregel... 5 Impliciet differentieren... 6 College Orthogonale functies... 7 Differentialen & Lineaire approximaties... 7 Taylorreeks... 8 College Integralen... 9 College Substitutieregel... 1 College Partiele integratie College Oneigenlijke integralen College Vergelijkingsstelling Modelleren met differentiaalvergelijkingen College Seperabele differentiële vergelijkingen Mengprobleem differentiaalvergelijking College Lineaire differentiaalvergelijkingen College Coordinaatsystemen Inwendige product College Uitwendig product... 19

2 Triple product... 2 College Koppel bij vectoren Vergelijkingen van lijnen en vlakke Vector vgl lijn: Vector vlak vgl... 21

3 College 1 Inverse functies logaritme goniometrie Y = f(x) Inverse f -1 x = f -1 (y) Bij y = e x Domein: oneindig Bereik: y > Bij de inverse van y = e x geldt nu Domein: y > Bereik: oneindig x = ln(y) Ln(e a ) = a ln(e b ) = b ln(e a + b ) = a + b Ln(x + y) = ln(x) + ln(y) Ln(1/x) = ln(1) ln(x) = -ln(x) Ln(x r ) = r ln(x) Y= sin(x) inverse: x = arcsin(y) of x= sin -1 (y) Bij de sinus neem je altijd een waarde tussen -.5π en.5 π om de x en y waarde bij te bepalen om de inverse functie te krijgen. Y = cos(x) Inverse; x = arccos(y) of x = cos -1 (y) Bij de cosinus neem je altijd een waarde tussen - en π om de x en y waarde bij te bepalen om de inverse functie te krijgen. Y = tan(x) Inverse : y = arctan(x)

4 Y = tan(arcsin(1/3)) lomoarcpsd

5 College 2 D-toets moeilijke vraag bespreken Sin(x+y) = sinx*cosy + cosx*siny Cos(x+y) = cosx*cosy sinx*siny Cos 2 x + sin 2 x = 1 Cos(2a) = cos 2 a sin 2 a = 2cos 2 a 1 Tan(arcsin(x)) arcsin(x) = a -> sin(a) = x tan(a) = sin(a)/cos(a) = x/( (1-x 2 )) -π/2 =< a =< π/2 sin(arctan(x)) arctan(x)= a -> tan(a) = x Sina = x/ (1+x 2 ) Differentieren Kettingregel Differentieren is kijken hoeveel je omhoog gaat als je naar rechts gaat = du/dx.= g (x) = lim dx-> du/dx Stel y = f(u) = f(g(x)) = F(x) F (x) = dy/dx = (dy/du) * (du/dx) = f (u) * g (x) = f (g(x)) *g (x) Opdracht: y = F(x) = ln(cosx) u = cos(x) du/dx = -sin(x) y = ln(u) dy/dx = 1/u samen nemen geeft afgeleide is -sin(x)/cos(x)

6 Impliciet differentieren X 2 + Y 2 = 25 (impliciet) y = (25-x 2 ) (expliciet) Impliciet differentieren doe je door links en rechtes te differentieren naar X. d/dx *Y 2 + d/dx * X 2 = d/dx * 25 (d/dx*y 2 ) + 2x = (d/dx*y 2 ) = 2Y * dy/dx (kettingregel) of (Y 2 ) * (Y) dy/dx = -2x/2y = -x/y (= -x/( 25-x 2 ) = 2Y * Y Impliciete afgeleide = -x/y + 2x = X 3 + Y 3 = 6XY impliciete afgeleide = 3X 2 + 3Y 2 *(Y) = 6Y * 1 + 6X + Y Y = (6Y 3X 2 ) / (3Y 2 6X) De helling op y=x gaat door de coördinaten (3;3), bereken je door y uit te rekenen. Dat geeft y (3) = -1 Y = arcsin(x) sin(y) = x diff naar x: cos(y) * y = 1 y = 1/cosy = 1/ (1-x 2 )

7 College 3 Orthogonale functies Als 2 functies elkaar snijden in een punt waarvan de raaklijnen in een hoek van 9 graden elkaar snijden, noemen we die functies orthogonaal. Opgave 13. 4cos(x)*sin(y) = 1 impliciet differentieren geeft: 4(-sin(x))*sin(y) + 4cos(x)*cos(y)*y = 4cosx*cosy * y = 4sinx*siny y = (4sinx*siny) / (4cosx*cosy) Opgave 64 Y = arctan(x- (1+x 2 )) tan(y) = x - (1+x 2 ) Differentieren naar x y / cos 2 (y) = 1 x/( (1+x 2 ) Z = 2 (x 2 +1) * ( (x 2 +1)-x) Cos(y) = 1/z z = 1/cos(y) Y = 1 / (2*(1+x 2 ) Opgave 65 C: X 2 + y 2 = r 2 -> y = r - x M: ax + by = -> by = -ax De 2 grafieken zijn loodrecht op elkaar, als de 2 richtingscoëfficiënten keer elkaar -1 zijn. M : -a/b C : 2x + 2y*y = y = -2x/2y = -x/y R m * R c = -a/b * -x/y = ax/by By = -Ax dus ax/by = -1 Differentialen & Lineaire approximaties Lineaire approximatie (benadering). dy/dx lukt niet, dan neem je de raaklijn van de functie, en daar dy/dx van. L(x) = f(a) + f (a) * (x-a) Deze formule is de lineaire approximatie van y=f(x) in x=a Voorbeeld: y = (x+3) met a = 1 Y(1) = 2 Y (x) = 1/2 (x+3)

8 Y (1) = 1/4 L(x) = 2 + ¼ * (x-1) dy/dx = f(x) dy = f(x)*dx (dy is de lengte van de hoogte, dx van de breedte, en je noemt dit de differentialen) Voorbeeld: Volume bol: V(r) = 4/3 pi * r 3 R = 1 met fout maximaal.1m V(1) = 4/3 pi * 1m 3 = 4189m 3 V (r) = 4pi * r 2 dv = V (r)dr = 4pi r 2 dr (dv is de fout) dv = 4 pi * 1 2 *.1 = 4pi = 125m 3 Relatieve fout = dv/v = 3dr/r = 3*.1m / 1m = 3/1 OF relatieve fout = 125/4189 =. Taylorreeks k! betekent!faculteit. 1! = 1*1 2! = 1*2 3! = 1*2*3 4! = 1*2*3*4

9 College 4 Integralen Hoofdstuk 5 calculus. b f(x)dx a Je kunt de oppervlakte van een grafiek mbv de riemannsom oplossen. Je deelt het oppervlak op in stukken, en neemt een willekeurig punt waar je de y-waarde uitrekent, zodat je een rechthoek krijgt waarvan je de oppervlakte kan uitrekenen. x Als f(x) continu is op [a,b], dan is g(x) = f(t)dt a continu op de [a,b] en g(x) =f(x) g(x) = d/dx * y(x) = ( g(x+h)-g(x) ) / h = ( h*f(x) ) / h = f(x) limh-> Bijvoorbeeld: Afgeleide van g(x) = (1 + t 2 )dt a f(x) = (1+x 2 ) = g (x) Moeilijker voorbeeld: (opgave 57) x2 b F(x) = e t2 dt = x e t2 dt - e t2 dt F (x) = 2x*e x^4 e x^2 x

10 College 5 Substitutieregel g(x) = u Voorbeeld f(g(x)) g (x) dx = f(u) du = F(u) + C 4 2x + 1dx 1 =.5 u du = 1 3 u3 2 = 1 3 (2x + 1)3 2 = = Nieuwe regel om sneller te rekenen: b g(b) f(g(x))g (x)dx = f(u) du U = g(x) [Arctan(x)] = 1/(1+x 2 ) Moeilijke opgave`: 86: gegeven Uitwerking (u = x 2 ) f(3) f() 9 a g(a) f(x)dx = 4 en x(f(x))dx 1 2 f(u)du 9 = 1 f(u)du 2 = f(x)dx = 2

11 College 6 Partiele integratie Productregel: (fg) = f(g) *(f) g u = f(x) du = f (x)dx dv = g (x)dx v = g(x) f(x)g (x)dx = f(x) g(x) f (x)g(x)dx udv = uv vdu De ene functie binnen het integraal ga je differentieren (f (x) in de bovenstaande situatie), en de andere ga je integreren (g(x) in de bovenstaande situatie). Voorbeeld: xsin(x)dx Bij deze formule makt het niet zo veel uit of je de sin(x) differentieert/integreert, want ze zijn allebei makkelijk. Maar de primitieve van x = ½x 2, terwijl de afgeleide van x = 1, met 1 is makkelijk rekenen. U = x du = 1dx dv = sin(x) v = -cos(x) xcos(x) cos(x) dx = xcos(x) + cos(x) dx = xcos(x) + sin(x) + C Controleren door het antwoord te differentieren: -x (-sin(x)) + - 1cos(x) + cos(x) = xsin(x) Voorbeeld 2: Deze functie kun je met 1 vermenigvuldigen. U = ln(x) du = (1/x) * dx dv = 1dx v = x ln(x) dx 1 ln (x) dx 1 ln (x) dx = xln(x) x ( 1 ) dx = xln(x) x + C x College 7 Opgave 17 hoofdstuk 7.5 π π t (cos(t)) 2 dt = t ( 1 2 cos(2t) ) dt = 1 2 tcos(2t) + 1 t dt 2 π 1 2 tcos(2t)dt [1/4t 2 ]->pi = 1/4pi 2 π + 1 t dt = 2 π π 1 2 tcos(2t)dt π 1 2 tcos(2t)dt + [ 1 4 t2 ] π

12 u =.5t du =.5*dt dv = cos(2t)dt v =.5sin(2t) [ 1 2 t 1 sin(2t)] (van pi) 2 π 1 2 sin(2t) 1 2 dt = [ 1 2 t 1 2 sin(2t)] (van pi) + [1 cos(2t)] (van pi) 8 Oneigenlijke integralen 1. Integratie interval is oneindig 2. Functie heeft verticale asymptoot VB: y = 1/x 2 t 1 x 2 dx = [ 1 1 x ] (1 t) = 1 t + 1 = 1 1 t oneindig t 1 x 2 dx = lim(t oneindig) 1 1 x 2 dx = lim(t oneindig) (1 1 phi t ) = 1 Definitie van het oneigenlijke integraal: t f(x)dx = lim(t ) a f(x)dx a b Of: f(x)dx = lim(t ) f(x)dx b t a Of: f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx a Voor willekeurige a Als deze limiet bestaat heet de integraal convergent, anders divergent.

13 College 8 Vergelijkingsstelling Voorbeeld: Convergent of Divergent? g(x) = x/(x 3 +1) f(x) = 1 op [,1] en f(x) = 1/x 2 op [1, ] x x dx 1dx + 1 x 2 dx = t dx (lim t ) = x2 1 1 Modelleren met differentiaalvergelijkingen Voorbeeld 1 Populatie Populatie in P met P > tijd in t k is de groeifactor Groei van de populatie: P = dp/dt = kp P(t) = C * e^(k*t) C is een constante P (t) = C*k*e^(k*t) P = k*p

14 Complexer voorbeeld Populatie dp/dt = kp * (1-P/M) M = maximale populatie Groei als P toeneemt, als P > kp(1-p/m) > kp(1-p/m) > als P < M De populatie is constant als deze niet groeit P = Dan P =, of P = M Voorbeeld 2 Massa veer Kracht F = -k*x x = uitrekking, k = veerconstante Kracht F = m*a = -kx Kracht F = m*x = -kx 1 e orde differentiaalvergelijking y (x) = f(y,x) Y = xy Ga na dat y(x) = C*e.5x^2 een oplossing is van Y =xy y = C*e.5x^2 * X = yx lomoarcpsd

15 College 9 H9.2.1 Y = xcos(pi*y) Als y =.5, dan cos(.5pi) =, dus loopt de lijn horizontaal. Voor de waarden van 1,2,3 wordt de helling steeds iets stijler. Seperabele differentiële vergelijkingen Dy/dx = g(x)f(y) x 2 y = 1 y=1/x 2 dy/f(y) = g(x)dx h(y) = 1/f(y) h(y)dy = g(x)dx h(y)dy = g(x)dx Want als je hier de afgeleide van neemt krijg je: d dy ( h(y)dy ) dy dx = g(x) h(y) dy dx = g(x) 1 f(y) dy dx = g(x) Voorbeeld: dy/dx = x 2 /y 2 y 2 dy = x 2 dx 1 3 y3 = 1 3 x3 + C y 3 = x 3 + 3C (3C = k) y = x 3 + k Beginwaarde gegeven: Y() = 2 k = 8 Voorbeeld 2: y = k*y dy/dx = k*y dy/y = k*dx ln(y) = kx + C e ln(y) = y = e kx+c = e C e kx = M e kx dy y = kdx 3 Dit geldt als y >, en M> Voor y < geldt y = M*e kx y = -M*e kx en voor y = geldt: M = *e kx Y(x) = B * e kx Met B is groter, kleiner of gelijk aan nul.

16 Mengprobleem differentiaalvergelijking Stel je hebt een tank met 1L pekel, met een instroom van 25L/minuut aan de bovenkant, en er gaat ook 25L/minuut uit. De instroom bevat.3kg/l pekel. Z() = 25kg dz/dt = 25L/m *.3kg/L - 25L/m * (Z(t) / 1L) =.75 kg/m - (1/4)*Z(t) kg/m = ¾ -Z/4 1/4 *(3-Z) = dz/dt Teken veranderen: dz/dt = -1/4 * (-3+Z) dz/(z - 3) = -1/4 dt ln Z-3 = -1/4 t + C Z-3 = e^(-t/4) * e^c = K * e^(-t/4) Z() = 25kg 25-3 = K*e^ = K = -5 Z(t) = 3-5e^(-t/4)

17 College 1 Lineaire differentiaalvergelijkingen Een lineaire differentiaalvergelijking gaat dit jaar over de 1 e orde. Dat ziet er uit als: y + P(x)y = Q(x). Een voorbeeldje: xy + y = 2x is een lineaire dv omdat je hem anders kunt schrijven, namelijk: y + (1/x)*y = 2 Er zijn 2 methoden om dit op te lossen. De snelle methode: stel (f(x)y) = f y + fy Neem f(x) = x xy = 2x = x 2 + C y(x) = x + C X Langere methode: Bij standaardvorm, bepaal (integrerende factor) I(x) zodat I(x)y + I(x)P(x)y = (I(x)y(x)) = I(x)Q(x) Regel: I(x) = e P(x)dx 1. Breng dv op standaardvorm (y vrijmaken) 2. Bereken P(x)dx 3. Bereken I(x) = e P(x)dx 4. Vermenigvuldig dv met I(x) 5. Bepaal I(x)Q(x)dx (= I(x)y(x)) Voorbeeldje xy + y = 2x 1. Y + (1/x)*y = 2 2. Integraal 1/x = ln(x) 3. I(x) = e^ln(x)+c = x 4. xy + y = 2x 5. x*y = 2xdx = x 2 + C 6. y = x + C/x Voorbeeld 2: x 2 y + xy = 1 1. y +1/x *y = 1/x^ dx = ln (x) x 3. I(x) = e ln(x) = x 4. Xy + y = 1/x 5. (xy) = 1/x xy = 1 dx = ln(x) + C x 6. Y(x) = (ln(x)+c)/x College 11 Coordinaatsystemen In 3D kun je een punt in de ruimte aangeven mbv 3 coördinaten. P (x,y,z) Bij drie dimensies kun je de wortel nemen van de verandering van x in het kwadraat, plus de verandering in y in het kwadraat plus de verandering van de z in het kwadraat.

18 (X1 X2) 2 + (y1 y2) 2 + (z1 z2) 2 Dit geeft de afstand tussen het punt P 1 (x1,y1,z1) en het punt P 2 (x2,y2,z2) Bij 2 vectoren kun je de x coördinaten van beide vectoren, en de y coördinaten van beide vectoren bij elkaar optellen, zo krijg je de resultante vector van de 2 vectoren. Inwendige product Een hoek tussen 2 vectoren in driedimensionale omgeving is vrij moeilijk uit te rekenen. Daarom heb je de dot product (inwendig product). dit werkt als volgt: A = <1,2,3> B = <4,5,6> Dan A B = a1b1 + a2b2 + a3b3 = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32 Dus de hoek is 32 graden Eigenschappen : a*b = b*a & a*a = a 2

19 College 12 Uitwendig product Hierbij reken je de normaalvector uit. Definitie: A * B = <a 2 b 2 -a 3 b 2, a 3 b 1 a 1 b 3, a 1 b 2 a 2 b 1 > Vb: i = <,1,> j = <,1,> i * j = <,,1> = k De lengte van k = a * b = a * b * Sin(th) (th = hoek tussen vector a en b) De definitie van het uitwendig product krijg je door: In beide bovenstaande gevallen pak je een bovenste getal, vermenigvuldig je met de rijen die niet verticaal of horizontaal van dat getal staan. VB: Bepaal (j k) x (k i) mbv uitproduct met hetzelfde principe als hierboven uitgewerkt. (j k) x (k i) = k x (j-k) (j-k)x(-i) = j x k k x k [j x (-i) k x (-i) = i [k (-j)] = I k - j

20 Triple product (a x b) * c V = Opperverlakte grondvlak * hoogte = a x b * h = a x b * c cos(th) = (a x b) * c VB: P(1,,1), Q(-2,1,3), R(4,2,5) Bepaal een niet nul vector die loodrecht op het vlak waarin de punten P,Q,R liggen. En bepaal d oppervlakte van de driehoek PQR. Dit is de normaalvector, die bepaal je mbv het uitproduct van 2 punten. PQ = <-,1,3> - <1,,1> = <-3,1,2> PR = <4,2,5> - <1,,1> = <3,2,4> Uitproduct: PQ x PR = I j k = I(4-4) - j(-12-6) + k(-6-3) = 18j 9k -18j 9k is de normaalvector, loodrecht op het vlak waarin de driehoek PQR. PQ x PR = oppervlakte parallellogram P. (dat is 2x de driehoek). PQ x PR = <,18,-9> PQ x PR = ( ).5 = 9*(5).5 Dus de driehoek is de helft: 9/2 * 5.5

21 College13 Koppel bij vectoren t = r x F = r F sin(th) t is het Koppel in Nm. Vergelijkingen van lijnen en vlakke Vector vgl lijn: Vanuit de oorsprong een lijn naar punt r, en door r een lijn L met vector v. dan krijg je r = r + t*v met t = willekeurig getal, en v is de afstand per t die vector r aflegt vanuit het punt r v kun je beschouwen als r 1 r, op lijn L. De vectoren van lijn L zijn dus uit te rekenen via r 1 r. v = r 1 r L: r = r + t(r 1 r ) r = <x, y, z > v = <a, b, c> parametische vgl: x = x + t*a y = y + t*b z = z + t*c Symetrische vgl: t = (x-x )/a = (y-y )/b = (z-z )/c Vector vlak vgl n * (r - r ) = n is de normaalvector op het vlak. n = <a,b,c> P = (x,y,z) P = (x,y,z ) n * P n * P a(x-x ) + b(y-y ) + c(z-z ) =

Analyse 1 November 2011 Januari 2011 November 2010

Analyse 1 November 2011 Januari 2011 November 2010 WI1330CT/CT1135-1/CTB1001-1 Januari 2013 November 2012 Januari 2012 Analyse 1 November 2011 Januari 2011 November 2010 Tentamenbundel Civiele Techniek Het Gezelschap "Practische Studie" TU DELFT, 2010

Nadere informatie

1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.

1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0. Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en

Nadere informatie

3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.

3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n. Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op maandag 4 januari 2, 8.45.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,

Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013, Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.

Nadere informatie

Inhoud college 6 Basiswiskunde

Inhoud college 6 Basiswiskunde Inhoud college 6 Basiswiskunde 4.0 Taylorpolynomen (slot) Zie college 5: Vanaf 4.0 Voorbeeld 4 3. Inverse functies 3.2 Exponentiële en logaritmische functies 3.3 De natuurlijke logaritme en de exponentiële

Nadere informatie

TENTAMEN ANALYSE 1. dinsdag 3 april 2007,

TENTAMEN ANALYSE 1. dinsdag 3 april 2007, TENTAMEN ANALYSE. dinsdag april 2007, 4.00-7.00. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste vijf opgaven gaan over de stof van het eerste gedeelte van het college. De laatste vijf opgaven gaan

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /37 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Newton s method Hoe vinden we een nulpunt: f.x/ D 0 Stel

Nadere informatie

CALCULUS 2. najaar Wieb Bosma (naar aantekeningen van Arno van den Essen) Radboud Universiteit Nijmegen

CALCULUS 2. najaar Wieb Bosma (naar aantekeningen van Arno van den Essen) Radboud Universiteit Nijmegen 0 CALCULUS 2 najaar 2008 Wieb Bosma (naar aantekeningen van Arno van den Essen) Radboud Universiteit Nijmegen college 1: integratie Centrale vraag: hoe bereken je de bepaalde integraal Algemeen idee: b

Nadere informatie

stap voor stap; zonder GR-functies; tussen- en eindantwoorden mogen benaderd worden genoteerd (wel doorrekenen met exacte antwoorden).

stap voor stap; zonder GR-functies; tussen- en eindantwoorden mogen benaderd worden genoteerd (wel doorrekenen met exacte antwoorden). Samenvatting door Sterre 1437 woorden 5 mei 2018 7.8 3 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde B Getal en ruimte Vocabulair Algebraïsch stap voor stap; zonder GR-functies; tussen- en eindantwoorden mogen

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden.

Technische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. Technische Universiteit elft Tentamen Calculus TI06M - Uitwerkingen Opmerkingen:. Het gebruik van de rekenmachine is NIET toegestaan.. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. 3. Bij iedere vraag

Nadere informatie

2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen?

2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen? Vraag Een vloeistoftank met onbeperkte capaciteit, bevat aanvankelijk V liter zuiver water. Tijdens de eerste faze stroomt water, dat zout bevat met een concentratie van k kilogram per liter, de tank binnen

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking Proeftentamen 3 Functies van één veranderlijke (15126 De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x))

15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x)) 5.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( x) a f '( x) 0 n f ( x) ax f '( x) nax n f ( x) c g( x) f '( x) c g'( x) f ( x) g( x) h( x) f '( x) g'( x) h'( x) p( x) f ( x) g( x) p'( x)

Nadere informatie

2012 I Onafhankelijk van a

2012 I Onafhankelijk van a 0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as

Nadere informatie

(g 0 en n een heel getal) Voor het rekenen met machten geldt ook - (p q) a = p a q a

(g 0 en n een heel getal) Voor het rekenen met machten geldt ook - (p q) a = p a q a Samenvatting wiskunde h4 hoofdstuk 3 en 6, h5 hoofdstuk 4 en 6 Hoofdstuk 3 Voorkennis Bij het rekenen met machten gelden de volgende rekenregels: - Bij een vermenigvuldiging van twee machten met hetzelfde

Nadere informatie

Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie

Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie Inleiding In dit pakket wordt zeer kort de definitie van onbepaalde integralen herhaald evenals het verband tussen bepaalde en onbepaalde integralen.

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 2 oktober 200, 3.45 6.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Samenvatting. TI1106M Calculus Samenvatting colleges 2014 Door: David Alderliesten. Disclaimer

Samenvatting. TI1106M Calculus Samenvatting colleges 2014 Door: David Alderliesten. Disclaimer Samenvatting TI1106M Calculus Samenvatting colleges 2014 Door: David Alderliesten Disclaimer De informatie in dit document is afkomstig van derden. W.I.S.V. Christiaan Huygens betracht de grootst mogelijke

Nadere informatie

Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek

Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen worden beschikbaar gesteld op de dinsdagavond voorafgaande aan het volgende college

Nadere informatie

11.0 Voorkennis. Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + 4a 3 = 7a 3. Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen: (a 5 ) 4 = a 20

11.0 Voorkennis. Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + 4a 3 = 7a 3. Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen: (a 5 ) 4 = a 20 .0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor machten: Vermenigvuldigen is exponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + a 3 = 7a 3 Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen:

Nadere informatie

Hertentamen Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y vrijdag 6 november 2015; uur

Hertentamen Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y vrijdag 6 november 2015; uur Hertentamen Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y vrijdag 6 november 2015; 9.00-12.00 uur Naam: (Leids) studentnummer: Een rekenmachine en het formuleblad bij deze cursus mogen gebruikt worden. Laat duidelijk

Nadere informatie

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde voor B. 1 Eenvoudige operaties en functies. 1. De bewerkingen optellen aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen worden

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op dinsdag 26 augustus 28, 9. 2. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus C (2WCB1) op zaterdag 25 januari 2014, 9:00 12:00 uur

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus C (2WCB1) op zaterdag 25 januari 2014, 9:00 12:00 uur TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Calculus C (WCB) op zaterdag 5 januari 04, 9:00 :00 uur Maak dit vel los van de rest van het tentamen. Vul uw naam etc. in op

Nadere informatie

Primitieve functie Als f : R --> R continu is op een interval, dan noemt men F : R --> R een primiteive functie of

Primitieve functie Als f : R --> R continu is op een interval, dan noemt men F : R --> R een primiteive functie of Enkelvoudige integralen Kernbegrippen Onbepaalde integralen Van onbepaalde naar bepaalde integraal Bepaalde integralen Integratiemethoden Standaardintegralen Integratie door splitsing Integratie door substitutie

Nadere informatie

Samenvatting wiskunde B

Samenvatting wiskunde B Samenvatting wiskunde B Dit is een samenvatting van het tweede deel van Getal en Ruimte VWO wiskunde B. In deze samenvatting worden hoofdstuk 5, 6 en 7 behandeld. Ik hoop dat deze samenvatting je zal helpen!

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op donderdag 23 oktober 28, 9. 2. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft

Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek wi2030wbmt Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 1 / 15 Even voorstellen... Dr. Roelof Koekoek Gebouw

Nadere informatie

Tentamen Calculus 2 25 januari 2010, 9:00-12:00 uur

Tentamen Calculus 2 25 januari 2010, 9:00-12:00 uur Tentamen Calculus 5 januari 00, 9:00 -:00 uur Je mag geen rekenapparaat gebruiken. De opgaven t.e.m. 6 tellen allemaal even zwaar. Vermeld op elk papier dat je inlevert je naam en je studentnummer. Geef

Nadere informatie

Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal

Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal Les 1 : De eenheidscirkel Definities Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 } cos(θ)

Nadere informatie

Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Machten en differentiëren

Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Machten en differentiëren Uitwerkingen bij _0 Voorkennis: Machten en differentiëren 3(x ) 6 3 6 (x ) 6 6-3 x 3 5 x - 6 43 x 6 x 3x 4 3 x 4 x 6 " $% & ' " $% & (& &( & ' " $% &( &&(& ' ) * '*, *-, *-, *-,, - VWO B deel 3 Analyse_

Nadere informatie

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar ste semester 12 januari 2010

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar ste semester 12 januari 2010 ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 9- ste semester januari Analyse I. Formuleer en bewijs de formule van Leibniz voor de n-de afgeleide van het product van twee functies f en g.. Onderstel

Nadere informatie

1 Oppervlakteberekeningen

1 Oppervlakteberekeningen Oppervlakteberekeningen. Oppervlakte ellips of een deel ervan.. Zonder gebruik te maken van parametervergelijkingen We berekenen de oppervlakte in het eerste kwadrant, achteraf vermenigvuldigen we het

Nadere informatie

integreren is het omgekeerde van differentiëren

integreren is het omgekeerde van differentiëren Integraalrekening Als we een functie f(x) differentiëren is het resultaat de eerste afgeleide f (x). Dezelfde functie f(x) kunnen we ook integreren met als resultaat de zogenaamde primitieve functie F(x).

Nadere informatie

Tentamen Functies en Reeksen

Tentamen Functies en Reeksen Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy

Nadere informatie

Oefenexamen 2 H1 t/m H13.2 uitwerkingen. A. Smit BSc

Oefenexamen 2 H1 t/m H13.2 uitwerkingen. A. Smit BSc Oefenexamen H t/m H3. uitwerkingen A. Smit BSc Een bewegend vierkant (naar methode Getal en Ruimte) De baan van een punt P wordt gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen: ቐ x P t = sin t y P t

Nadere informatie

Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017, 13:30 16:30 uur

Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017, 13:30 16:30 uur Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017, 13:30 16:30 uur Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Mathematics Naam: Groep (omcirkel): (Leids) studentnummer: A (Keijzer)

Nadere informatie

ax + 2 dx con- vergent? n ln(n) ln(ln(n)), n=3 (d) y(x) = e 1 2 x2 e 1 2 t2 +t dt + 2

ax + 2 dx con- vergent? n ln(n) ln(ln(n)), n=3 (d) y(x) = e 1 2 x2 e 1 2 t2 +t dt + 2 Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NPB 8 januari 3, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 201300130 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Horizontale asymtoten Gedrag van de functie voor grote

Nadere informatie

Paragraaf 2.1 : Snelheden (en helling)

Paragraaf 2.1 : Snelheden (en helling) Hoofdstuk De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf.1 : Sneleden (en elling) Les 1 Benadering van de elling tussen twee punten Definities Differentiequotiënt = { Gemiddelde elling } Differentiequotiënt

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde

Nadere informatie

IJkingstoets Deel 1. Basiskennis wiskunde. Vraag 1 Het gemiddelde van de getallen 1 2, 1 3 en 1 4 is 1 (A) 27 (B) 13 4 (C) 1 3 (D) 13 36

IJkingstoets Deel 1. Basiskennis wiskunde. Vraag 1 Het gemiddelde van de getallen 1 2, 1 3 en 1 4 is 1 (A) 27 (B) 13 4 (C) 1 3 (D) 13 36 4 IJkingstoets 08 Deel. Basiskennis wiskunde Vraag Het gemiddelde van de getallen, en 4 is (A) 7 (B) 4 (C) (D) 6 Vraag Beschouw de functie f met voorschrift f(x) = f ( g ( )) gelijk? en g met voorschrift

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 4 november 2013

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 4 november 2013 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 4 november 0 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato): 4pt pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNICHE UNIVERITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functies van meer variabelen (DE6) op maandag augustus 5, 4. 7. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Paragraaf 2.1 : Snelheden (en helling)

Paragraaf 2.1 : Snelheden (en helling) Hoofdstuk De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf.1 : Snelheden (en helling) Les 1 Benadering van de helling tussen twee punten Definities Differentiequotiënt = { Gemiddelde helling }

Nadere informatie

Calculus I, 19/10/2015

Calculus I, 19/10/2015 Calculus I, 9/0/05. a Toon aan dat de rationale functie f = 3 + 3 + voor alle 0 bekomen wordt via volgende procedure: Start met een gelijkbenige rechthoekige driehoek OAB, met B het punt, 0 op de -as,

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening 307 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http:users.telenet.betoelating) . Inleiding Dit oefeningenoverzicht

Nadere informatie

== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u

== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u == en Tentamen Analyse, WI6 == Maandag januari, 4.-7.u Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI. Gegeven is de functie + e + e arctan,, f = +, >. a Beargumenteer dat f continu is op R. b Bepaal de

Nadere informatie

Hertentamen Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y vrijdag 7 november 2014; uur

Hertentamen Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y vrijdag 7 november 2014; uur Hertentamen Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y vrijdag 7 november 2014; 9.00-12.00 uur Naam: (Leids) studentnummer: Een rekenmachine en het formuleblad bij deze cursus mogen gebruikt worden. Laat duidelijk

Nadere informatie

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =

Nadere informatie

WI1708TH Analyse 3. College 5 23 februari Challenge the future

WI1708TH Analyse 3. College 5 23 februari Challenge the future WI1708TH Analyse 3 College 5 23 februari 2015 1 Programma Vandaag Richtingsafgeleide (14.6) Gradiënt (14.6) Maximalisatie richtingsafgeleide (14.6) Raakvlak voor niveauoppervlakken (14.6) 2 Richtingsafgeleide

Nadere informatie

college 6: limieten en l Hôpital

college 6: limieten en l Hôpital 126 college 6: ieten en l Hôpital In dit college herhalen we enkele belangrijke definities van ieten, en geven we belangrijke technieken om ieten van functies (eigenlijk en oneigenlijk) te bepalen. In

Nadere informatie

Hertentamen Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y vrijdag 11 november 2016; uur

Hertentamen Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y vrijdag 11 november 2016; uur Hertentamen Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y vrijdag 11 november 2016; 9.00-12.00 uur Naam: (Leids) studentnummer: Een niet-grafische rekenmachine en het formuleblad bij deze cursus mogen gebruikt worden.

Nadere informatie

Vergelijkingen oplossen met categorieën

Vergelijkingen oplossen met categorieën Vergelijkingen oplossen met categorieën De bewerkingen die tot de oplossing van een vergelijking leiden zijn niet willekeurig, maar vallen in zes categorieën. Het stappenplan voor het oplossen maakt gebruik

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

WI1708TH Analyse 3. College 2 12 februari Challenge the future

WI1708TH Analyse 3. College 2 12 februari Challenge the future WI1708TH Analyse 3 College 2 12 februari 2015 1 Programma Vandaag Partiële afgeleiden (14.3) Hogere orde partiële afgeleiden (14.3) Partiële differentiaal vergelijkingen (14.3) 2 Functies van twee variabelen

Nadere informatie

Wiskunde voor relativiteitstheorie

Wiskunde voor relativiteitstheorie Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College

Nadere informatie

OEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE 1 (COLLEGE NAJAAR 2006). (z + 2i) 4 = 16. y 4y + 5y = 0 y(0) = 1, y (0) = 2. { 1 + xc 1 voor x > 0.

OEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE 1 (COLLEGE NAJAAR 2006). (z + 2i) 4 = 16. y 4y + 5y = 0 y(0) = 1, y (0) = 2. { 1 + xc 1 voor x > 0. OEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE (COLLEGE NAJAAR 6).. Bepaal alle oplossingen van de vergelijking (z + i) 4 = 6 in het complee vlak. a. Schrijf het getal i in poolcoördinaten. b. Bereken de rechthoekige

Nadere informatie

Voorbeeldtoets. Het gebruik van een rekenmachine of een formulekaart is niet toegestaan.

Voorbeeldtoets. Het gebruik van een rekenmachine of een formulekaart is niet toegestaan. Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Voorbeeldtoets Lees zorgvuldig onderstaande punten door Deze toets is bedoeld om een idee te krijgen van

Nadere informatie

Naam: Studierichting: Naam assistent:

Naam: Studierichting: Naam assistent: Naam: Tussentijdse Toets Wiskunde I ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, Master Chemie donderdag 4 november

Nadere informatie

Zelftest wiskunde voor Wiskunde, Fysica en Sterrenkunde

Zelftest wiskunde voor Wiskunde, Fysica en Sterrenkunde In onderstaande zelftest zijn de vragen gebundeld die als voorbeeldvragen zijn opgenomen in de bijhorende overzichten van de verwachte voorkennis wiskunde. Naast de vragen over strikt noodzakelijke voorkennis,

Nadere informatie

13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0.

13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0. Gegeven is de functie.0 Voorkennis Deze functie bestaat niet bij een van. Invullen van = geeft een deling door 0. De functie g() = heeft als domein R en is een ononderbroken kromme. Deze functie is continu

Nadere informatie

Doe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle.

Doe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle. De n-de term van de numerieke rij (t n ) (met n = 0,, 2,...) is het rekenkundig gemiddelde van zijn twee voorgangers. (a) Bepaal het Z-beeld F van deze numerieke rij en het bijhorende convergentiegebied.

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren:

K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( ) a f '( ) 0 n f ( ) a f '( ) na n f ( ) c g( ) f '( ) c g'( ) f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) ( som regel) p( ) f ( ) g( ) p'( ) f '( )

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar ste semester 10 januari 2008

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar ste semester 10 januari 2008 ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 007-008 ste semester 0 januari 008 Analyse I. Bewijs de stelling van Bolzano-Weierstrass: elke oneindige begrensde deelverzameling van R heeft minstens

Nadere informatie

x a k of.x 1 a 1 / 2 + ::+.x n a n / 2 k 2 bol om a, straal k

x a k of.x 1 a 1 / 2 + ::+.x n a n / 2 k 2 bol om a, straal k Punten, Vectoren in de R n Punten: a =.a 1 ; a 2 ; : : : ; a n / ; b =.b 1 ; b 2 ; : : : ; b n / Vectoren: a = a 1 ; a 2 ; : : : ; a n ; b = b 1 ; b 2 ; : : : ; b n lengte van a : a = a 2 1 + : : : + a2

Nadere informatie

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10 FORMULARIUM wwwbasiswiskundebe Inhoudsopgave Algebra 2 2 Lineaire algebra 4 3 Vlakke meetkunde 5 4 Goniometrie 7 5 Ruimtemeetkunde 0 6 Reële functies 2 7 Analyse 3 8 Logica en verzamelingen 6 9 Kansrekening

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 191512600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/60 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Een functie f W A! B is injectief of one-to-one als

Nadere informatie

12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0.

12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0. 12.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0. Dit is in de punten (1,0) en (-1,0) (1,0) heeft draaiingshoek 0 (-1,0) heeft

Nadere informatie

Eindexamen havo wiskunde B pilot 2013-I

Eindexamen havo wiskunde B pilot 2013-I Beoordelingsmodel Tornadoschalen maximumscore 80 km/u komt overeen met 77,8 m/s v = 77,8 invullen in de formule geeft F, Dus de intensiteit op de Fujita-schaal is maximumscore 4 De waarde van F is dan

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Examen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica

Examen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Examen GO7E Wiskunde II (3sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Auditorium De Molen: A D Auditorium MTM3: E-Se Auditorium MTM39: Sh-Z Naam: Studierichting: Naam assistent:

Nadere informatie

20 OKTOBER y 2 xy 2 = 0. x y = x 2 ± 1 2. x2 + 8,

20 OKTOBER y 2 xy 2 = 0. x y = x 2 ± 1 2. x2 + 8, UITWERKINGEN TENTAMEN DIFFERENTIËREN EN INTEGREREN 20 OKTOBER 2008. a) f(x) < is equivalt aan < f(x)

Nadere informatie

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling TU/e technische universiteit eindhoven Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Wiskunde voor relativiteitstheorie

Wiskunde voor relativiteitstheorie Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les : Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist verzicht colleges. College. Goniometrie 2. Vectoren 2. College 2. Matrixen

Nadere informatie

Opgave a. We berekenen eerst een normaal v van V en een normaal w van W. v = (b a) (c a) = ((2)(1) ( 2)( 2), ( 2)( 1) ( 1)(1), ( 1)( 2) (2)( 1))

Opgave a. We berekenen eerst een normaal v van V en een normaal w van W. v = (b a) (c a) = ((2)(1) ( 2)( 2), ( 2)( 1) ( 1)(1), ( 1)( 2) (2)( 1)) Calculus 3. Uitwerking opgav 1 april. Opgave a. We berek eerst e normaal v van V e normaal w van W. Dus b a = 2, 4, 1 3, 2, 1 = 1, 2, 2, c a = 2,, 2 3, 2, 1 = 1, 2, 1, v = b a c a = 21 2 2, 2 1 11, 1 2

Nadere informatie

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)

Nadere informatie

1.1 Differentiëren, geknipt voor jou

1.1 Differentiëren, geknipt voor jou 1.1 Differentiëren, geknipt voor jou Je hebt leren omgaan met hellings of, wat hetzelfde is: s. We frissen de begrippen en rekenmethoden die hierbij horen nu wat op. Stel dat je met een (gewone) schaar

Nadere informatie

n 2 + 3n + 6 4n 3 3 n + 8n n + 3n + 16 n=1 Indien convergent, bepaal dan ook de waarde van de reeks.

n 2 + 3n + 6 4n 3 3 n + 8n n + 3n + 16 n=1 Indien convergent, bepaal dan ook de waarde van de reeks. Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP004B januari 05,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 3 november 0 Normering voor pt vragen andere vragen naar rato): pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2. BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 .0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)

Nadere informatie

Paragraaf 12.1 : Gonio vergelijkingen en herleidingen

Paragraaf 12.1 : Gonio vergelijkingen en herleidingen Hoofdstuk 12 Goniometrische Formules (V5 Wis B Pagina 1 van 8 Paragraaf 12.1 : Gonio vergelijkingen en herleidingen Les 1 Gonio vergelijkingen oplossen met herleidregels Definitie Er zijn een aantal omschrijfregels

Nadere informatie

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden 7.0 Voorkennis Bij bepaalde aantallen graden hebben de sinus, cosinus en tangens een exacte oplossing. In deze gevallen moet je de exacte oplossing geven: hoek 30 45 60 sinus cosinus 2 tangens 3 3 3 2

Nadere informatie

1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen

1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1.1 Algemene begrippen Een (gewone) differentiaalvergelijking heeft naast de onafhankelijke veranderlijke (bijvoorbeeld genoteerd als x), eveneens een onbekende functie

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 15 september 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 15 september 2014: algemene feedback IJkingstoets 5 september 04 - reeks - p. /0 Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 5 september 04: algemene feedback In totaal namen 5 studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel

Nadere informatie