1. Tellen en verdelen

Transcriptie

1 1. Tellen en verdelen Getallen worden op veel verschillende manieren gebruikt, onder andere om te tellen of een afstand weer te geven. Er volgen nu eerst drie instapproblemen waarbij verschillende eigenschappen van getallen aan bod komen. Bedenk zelf een handige manier om de vragen te beantwoorden. Probleem 1 huizen langs de Lindelaan Langs de Lindelaan staan aan de ene kant huizen met even nummers (2, 4, 6,...) en aan de andere kant huizen met oneven nummers (1, 3, 5,...). De Lindelaan heeft geen bochten en de afstand tussen twee huizen, van deur tot deur gemeten, is steeds twintig meter. Je hebt een folderbaantje en in de Lindelaan bezorg je alleen bij de oneven huisnummers 15 tot en met 51. > Hoeveel folders bezorg je in de Lindelaan? Probleem 2 juwelier Toermalijn Juwelier Toermalijn heeft een partij edelstenen opgekocht die bestaat uit 45 agaten en 135 barnstenen. Toermalijn wil deze steentjes verkopen in doosjes. In ieder doosje moet dezelfde hoeveelheid van elk soort steentjes (bijv. in ieder doosje zitten 2 agaten en 3 barnstenen). > Hoeveel doosjes kan Toermalijn met deze steentjes vullen zó dat hij geen enkel steentje overhoudt? (onderzoek welke mogelijkheden er zijn) Probleem 3 het snoeptrommeltje van Tanja Tanja heeft drie vriendinnen uitgenodigd voor een spelletjesavond. Aan het begin van de avond krijgt ieder (ook Tanja) evenveel snoepjes uit een trommeltje, er mogen geen snoepjes over blijven. Tanja weet nog niet of iedereen komt. Toch wil ze vooraf zoveel snoepjes in het trommeltje doen, dat ze er zeker van is dat de snoepjes eerlijk verdeeld kunnen worden. > Hoeveel snoepjes moet Tanja ten minste in het trommeltje doen? Getalbegrip 1 september 2009

2 1.1 Tellen: plus of min één? De afstand tussen twee stippen is steeds 1 cm. De afstand tussen A en B is 6 cm. Er liggen 5 stippen tussen A en B. Het totaal aantal stippen, met A en B meegerekend, is 7 (de afstand + 1). Oplossing van huizen langs de Lindelaan = 36; omdat je alleen folders bij oneven nummers bezorgt, bezorg je die bij = 19 huizen. 1.2 Delers, priemgetallen en de grootste gemene deler Je hebt een zakje met 24 steentjes. Met hoeveel personen kun je de steentjes delen zodat iedereen evenveel steentjes krijgt? Het getal 3 is een deler van 24, want met 3 personen kun je 24 steentjes eerlijk delen in even grote, gehele aantallen. Het getal 24 is een veelvoud van 3 en dus is 24 gedeeld door 3 een geheel getal (8). Delers van 24 zijn: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24. Van het getal 30 zijn de delers: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. De gemeenschappelijke (gemene) delers van 24 en 30 zijn 1, 2, 3 en 6. De grootste gemene deler, afgekort ggd van 24 en 30 is 6. Notatie: ggd( 24, 30) = 6. Priemgetallen zijn getallen die maar twee delers hebben: zichzelf en 1. Bijvoorbeeld 5 en 13 zijn priemgetallen. Het getal 24 is duidelijk geen priemgetal, het heeft naast 24 en 1 nog andere delers. Het kleinste priemgetal is 2. Oplossing van juwelier Toermalijn In elk doosje moeten steentjes komen in de verhouding 45 :135 ( : betekent hier staat tot ). De getallen zijn deelbaar door 5, dus het is dezelfde verhouding als 9: 27. Deze getallen zijn weer deelbaar door 3. Dus de verhouding is dezelfde als 3:9. En dat is weer dezelfde verhouding als 1: 3. Verder gaat het niet. We hebben de oorspronkelijke getallen gedeeld door = 45 en dat veranderende niets aan de verhouding van de aantallen steentjes. Zo bleek 45 de grootste gemene deler van de twee getallen. De juwelier kan 45 doosjes vullen in de verhouding 1: 3, dus 1 agaat en 3 barnstenen. Maar er zijn dus ook andere mogelijkheden: 15 doosjes met 3 agaten en 9 barnstenen, of 5 doosjes met 9 agaten en 27 barnstenen. Opgaven 1. Aantallen Bereken het aantal gehele getallen a. tussen 8 en 15 (dus 8 en 15 niet meegerekend!). b. groter dan 13 maar niet groter dan 21. c. in de reeks 15, 16, 17 tot en met 25. d. groter dan 32 maar kleiner dan of gelijk aan 100. Getalbegrip 2 september 2009

3 2. Op vakantie Je gaat op vakantie van 11 t/m 26 juli. Hoeveel dagen en hoeveel nachten is dat? 3. Artikelen a. In een schoenenwinkel zijn kinderschoenen te koop van maat 29 tot en met 38. Hoeveel verschillende hele maten kinderschoenen zijn er in deze winkel? b. Dezelfde schoenenwinkel verkoopt damesschoenen van maat 36 tot en met 44. Bij de 1 damesschoenen zijn ook de tussenliggende halve maten, bijvoorbeeld maat 39, aanwezig. 2 Hoeveel verschillende maten damesschoenen kun je in deze winkel kopen? c. Voor elke prijs tussen 5 en 10 hebben wij een artikel adverteert de winkelketen Diverta. Prijzen in deze winkels zijn afgerond op 5 eurocent. Voor een moederdagcadeau heeft Lieselot 10 te besteden. Uit hoeveel artikelen kan zij zeker kiezen in een winkel van Diverta? 4. Bereken Bereken het aantal delers van 20, 45, 13, 31, 1 en Bereken a. ggd (28, 105) b. ggd (20, 45) c. ggd (54, 18) d. ggd (35, 81, 270) e. ggd (336, 133, 791) Getalbegrip 3 september 2009

4 1.3 Het kleinste gemene veelvoud Veelvouden van 8 zijn 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 108, 116,... Veelvouden van 14 zijn 14, 28, 42, 56, 70, 84, 108, 122,... Je ziet dat 56 en 108 gemeenschappelijke (gemene) veelvouden van 8 en 14 zijn (er zijn er natuurlijk veel meer). 56 is het kleinste gemene veelvoud, afgekort kgv. Notatie kgv( 8, 14 ) = 108. Oplossing van het snoeptrommeltje van Tanja Er moet eerlijk verdeeld worden onder 1 (niemand komt), 2, 3 of 4 personen, dus het aantal snoepjes moet een veelvoud zijn van 2, 3 en 4. We zoeken nu het kgv van 2, 3 en 4. Veelvouden van 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18,... Veelvouden van 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18,... Veelvouden van 4: 4, 8, 12, 16,... Het kgv van 2, 3 en 4 is dus 12. Tanja moet minimaal 12 snoepjes in het trommeltje doen. Hoeveel vriendinnen er ook komen. Twaalf snoepjes zijn goed te verdelen: 12 = 2 6 = 3 4 = Deelbaarheidtests deelbaarheid door 3 en 9 Er zijn tests om te zien of een getal deelbaar is door 3. Dit gaat zo: tel alle cijfers van het getal bij elkaar op. Als de som van de cijfers deelbaar is door 3, dan is het getal zelf ook deelbaar door 3 (en andersom: is de som niet deelbaar door 3 dan het getal ook niet). Bijvoorbeeld: 2757 is deelbaar door 3, want = 24 is deelbaar door 3. Op dezelfde manier kun je zien of een getal deelbaar is door 9. Het getal 2757 is wel deelbaar door 3 maar niet door 9 want de som van cijfers (24) is niet deelbaar door 9. deelbaarheid door 11 Voor 3 ken je nu een deelbaarheidstest. Voor 2 en 5 kun je die test zelf wel bedenken. Er is helaas geen test voor deelbaarheid door het volgende priemgetal: 7. Er is er wel een voor 11: tel de cijfers om en om bij elkaar op, en neem het verschil van deze twee getallen. Het oorspronkelijke getal is alleen deelbaar door 11 als dit verschil deelbaar is door 11. Bijvoorbeeld: 1749 is deelbaar door 11 want = 5 en = 16 en het verschil 16 5 = 11 is deelbaar door 11. Wonderbaarlijk!?! Getalbegrip 4 september 2009

5 Opgaven 6. Bereken ggd en kgv van de volgende getallen a. 6 en 9 b. 20 en 45 c. 36 en 120 d. 84 en 35 e. 12 en 35 f. 10, 11 en 12 g. Bereken het product van ggd en kgv van bovenstaande getallen en vergelijk dat met het product van de getallen zelf. Wat valt je op? 7. het snoeptrommeltje van Tanja: het vervolg Twee zussen van Tanja willen ook meedoen met de spelletjesavond. Ze zijn dus met 3, 4, 5 of 6 meisjes. In het trommeltje gaan niet meer dan 50 snoepjes. Kan Tanja nu zoveel snoepjes in het trommeltje doen dat ze met zekerheid de snoepjes eerlijk kan verdelen? 8. juwelier Toermalijn: het vervolg Stel de juwelier heeft 57 agaten en 76 barnsteentje in voorraad. Bereken, met behulp van het kgv, hoeveel doosjes hij nu met gelijke aantallen steentjes van iedere soort zal kunnen vullen, zodat hij alle steentjes gebruikt. 9. deelbaarheid a. Hoe zie je aan een getal of het deelbaar is door 25? En door 50? En door twee miljoen? b. Honderd is deelbaar door 4, want 4 25 = 100. Om na te gaan of een getal deelbaar is door 4 is het daarom voldoende om naar de laatste twee cijfers te kijken. Welke getallen zijn deelbaar door vier: 28, 34, 82, 143, 576, 2898? c. Ga voor elk getal na of het deelbaar is door 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11: 294, 2375, 45986, , Getalbegrip 5 september 2009

6 1.5 Keuzestof De negenproef Voordat rekenmachines en computers hun intrede deden, moest men administratieve berekeningen met potlood en papier maken en natuurlijk werden er wel eens foutjes gemaakt. Het was belangrijk dat berekeningen werden gecontroleerd en een veel gebruikte controle was de negenproef. De negenproef is gebaseerd op rekenen modulo 9. Bij de negenproef nemen we van elk getal de som van de cijfers en bepalen dan de rest bij deling door 9. Bijvoorbeeld, van is de som van de cijfers =23 en 23 modulo 9 = 5 (want 23=2 9+5). Dan is ook modulo 9 = 5. Stel, je vermenigvuldigt de getallen en Hiernaast zie je de uitwerking zoals die vroeger gedaan werd, met daarnaast de negenproef. Wanneer je bij deze vermenigvuldiging had gevonden dan gaf de negenproef 3 en je zag dat je een rekenfout had gemaakt. Maar was je antwoord dan was er geen fout ontdekt. Welke soort fouten kan de negenproef niet ontdekken? De negenproef is in onbruik geraakt maar sommige computers werken nog steeds met een soortgelijke foutdetectie die de parity check heet (letterlijk: evenproef of tweeproef ). 10. controleer met de negenproef Bob Cratchit was boekhouder op het kantoor van Ebenezer Scrooge. Cratchit berekende de winst op het boek a Chrismas Carol van C. Dickens met de volgende vermenigvuldiging: ,37 = Cratchit controleerde de berekening met de negenproef. Zag hij dat de berekening fout was? Maak de berekening zelf en controleer deze met de negenproef. Priemgetallen en de Zeef van Eratosthenes Hiernaast zie je een rooster waarmee je alle priemgetallen tussen 0 en 100 kunt bepalen. Dit doe je zo: begin bij het eerste priemgetal (2), omcirkel dat en streep alle veelvouden van 2 door (dus 4, 6, 8, 10, 12, enz.) Neem nu het kleinste niet omcirkelde nietdoorgestreepte getal. Omcirkel dit getal want het is priem, en streep vervolgens alle veelvouden door. Ga zo door tot je alle getallen gehad hebt. Hoeveel priemgetallen heb je gevonden? De methode die hier is gebruikt heet de Zeef van Eratosthenes, een Griekse wiskundige uit de 3 e eeuw v. Chr. 11. Zeven Is 87 een priemgetal? Getalbegrip 6 september 2009

7 Het algoritme van Euclides Euclides, een Grieks wiskundige en tijdgenoot van Eratosthenes, heeft een methode bedacht om de ggd van twee getallen te bepalen. Hij baseerde zijn algoritme (een recept) op het feit dat als een getal d deler is van twee getallen a en b, het ook deler is van het verschil a b en de som a + b. Neem bijvoorbeeld 6, dat is een deler van 234 (= 6 39) en 36 (= 6 6), dus ook deler van het verschil = 198 en van de som = 270. Ga maar na, 198 en 270 zijn allebei deelbaar door 6. Hiermee kon hij aantonen dat je voor het bepalen van de ggd van twee getallen, van het grootste getal een aantal keren het kleinste mag aftrekken. Dat verandert de ggd niet. Je kunt zelfs het grootste getal delen door het kleinste, en dan in plaats van het grootste getal, de rest van de deling nemen. In het voorbeeld: we zoeken de ggd van 234 en : 36 = 6 rest 18 (dat betekent: = 18), dus ggd (234, 36) = ggd (18, 36). Nu is 36 : 18 = 2. De deling heeft geen rest, dan is het kleinste getal (18) een deler van het grootste en van zichzelf, het is de ggd van die twee getallen en dus ook van de twee begingetallen. Kortom, volgens het algoritme van Euclides geldt: ggd (234, 36) = het algoritme van Euclides a. ggd (72, 54) b. ggd (187, 255) Het grootste priemgetal? Het is een hele klus om te ontdekken of een groot getal priem is. Op universiteiten maken ze er een hele sport van om steeds grotere priemgetallen te vinden en om computerprogramma s hiervoor te maken. Op 23 augustus 2008 werd door een Amerikaanse universiteit een priemgetal gevonden dat bestaat uit cijfers! Als je ervan uit gaat dat een schrift 50 bladzijden heeft, met op elke bladzijde 30 lijntjes met daarop 90 cijfers, dan kun je cijfers in een schrift kwijt. Om het grootste tot nu toe (in 2009) bekende priemgetal op te schrijven heb je ongeveer 100 schriften nodig. Zal ooit het grootste priemgetal gevonden worden? Nee. Er is geen grootste priemgetal en dat is al duizenden jaren bekend. Euclides heeft aangetoond dat er oneindig veel priemgetallen zijn en dat er dus geen grootste priemgetal kan zijn. Dat deed hij als volgt. Als er een eindig aantal priemgetallen zou zijn, vermenigvuldig ze dan allemaal met elkaar. Dit getal, dat we N noemen, is dan een veelvoud van elk priemgetal. Tel nu 1 op bij N. Als je nu N+1 deelt door een willekeurig priemgetal, dan zul je als rest 1 overhouden. Dus is N+1 door geen enkel priemgetal deelbaar. Maar dat betekent dat N+1 alleen deelbaar is door 1 en zichzelf, en dus een nieuw priemgetal moet zijn, groter dan `alle priemgetallen`, en dat kan niet. De aanname dat het aantal priemgetallen eindig zou zijn klopt niet. Dan moeten er wel oneindig veel priemgetallen zijn. We noemen dit bewijs van Euclides een bewijs uit het ongerijmde, het is een bewijsmethode die in de wiskunde veel wordt toegepast. 13. Pincodes Een bankfiliaal in een woonwijk heeft klanten. Iedere klant heeft een pincode van 4 cijfers. Bewijs dat ten minste twee klanten dezelfde pincode hebben. Getalbegrip 7 september 2009

8 2. Notatie en nauwkeurigheid Probleem 1 tellen Sjeng en Steve doen een praktische opdracht en ze moeten tellen hoeveel auto s in een uur passeren. > Hoe doen ze dit met pen en papier? Probleem 2 pizza Carel zit in een groep van 13 personen, ze hebben 10 pizza s besteld. De groep van Corné is met 17 personen. Corné bestelt voor zijn groep zoveel pizza s dat in zijn groep per persoon ongeveer evenveel te eten is als in de groep van Carel. > Hoeveel pizza s bestelt Corné? Probleem 3 rapportcijfer Joice heeft voor haar proefwerken Duits de volgende cijfers behaald: 4,1 6,4 5,1 6,3. Alle proefwerken wegen even zwaar. Op het rapport staan de cijfers afgerond op één decimaal. Tijdens de rapportvergadering wordt gekeken naar het aantal onvoldoendes en daarvoor wordt per vak het gemiddelde afgerond op een geheel getal. > Welk cijfer krijgt Joice op haar rapport voor Duits? Heeft Joice een onvoldoende voor Duits? Keuzeprobleem 4 grote getallen Het zonlicht heeft ongeveer 8 minuten en 19 seconden nodig om de aarde te bereiken. De lichtsnelheid is meter per seconde. > Bereken met je rekenmachine de afstand van de Aarde tot de zon in kilometers nauwkeurig. Getalbegrip 8 september 2009

9 2.1 Van turven en tellen naar cijfers en getallen Om aantallen bij te houden kun je turven: tellen door streepjes te zetten. Hiernaast zie je het getal 23 geturfd. Het is een oude en eenvoudige manier om een getal te noteren. We gebruiken in ons moderne talstelsel (onze manier van getallen noteren) niet alleen het streepje, de 1, maar nog negen andere cijfers. Een cijfer is een teken of symbool voor een getal maar niet voor elk getal is er een cijfer... In een talstelsel worden cijfers gebruikt om getallen te noteren. Onze huidige manier van noteren is afkomstig uit India en via de Arabieren in Europa ingevoerd. Er zijn in de loop van de geschiedenis ook andere talstelsels ontstaan en sommige worden nog steeds gebruikt. Romeinse cijfers Op oude gebouwen in Europa worden jaartallen soms geschreven met Romeinse cijfers. Je ziet ze ook op wijzerplaten van klokken en horloges. Romeinse cijfers moeten bij elkaar opgeteld worden om het getal te bepalen, behalve als een cijfer wordt gevolgd door één met een hogere waarde. Want dan moet het cijfer er juist van worden afgetrokken. Zie hiernaast, bijvoorbeeld IX, XIV, XC. I =1 XI = 11 XXX = 30 CCXXIV = 224 II =2 XII = 12 XL = 40 CCC = 300 III =3 XIII = 13 L = 50 CD = 400 IV =4 XIV = 14 LX = 60 D = 500 V =5 XV = 15 LXX = 70 DC = 600 VI =6 XVI = 16 LXXX = 80 DCC = 700 VII =7 XVII = 17 XC = 90 DCCC = 800 VIII =8 XVIII = 18 C = 100 CM = 900 IX =9 XIX = 19 CXI = 111 M = 1000 X =10 XX = 20 CC = 200 MM = 2000 Een belangrijke ontdekking in de geschiedenis van de talstelsels is het getal nul, dat in het Romeinse talstelsel nog niet voorkomt. De tekens voor de cijfers 1 t/m 9 waren in India meer dan tweeduizend jaar geleden uitgevonden. Ze komen voor vanaf de 3 e eeuw voor Chr. De nul komt pas voor vanaf de 5 e eeuw na Chr. Het is een bijzonder getal, het wordt niet gebruikt om te tellen maar wel om een aantal aan te geven. Bijvoorbeeld, het aantal bomen langs een weg kan nul zijn, maar het is onzin om te spreken van de nulde boom. Ons positiestelsel heeft het grondtal tien omdat er slechts tien cijfers gebruikt worden. Positie wil zeggen dat de plaats van een cijfer in het getal een bepaalde waarde vertegenwoordigt, namelijk, van rechts naar links gelezen: 1, 10, 100, 1000,... Het getal 349 ( ) is daardoor een heel ander getal dan 493 ( ). Met de tien cijfers 0 tot en met 9 is elk willekeurig natuurlijk getal te schrijven. Bij grote getallen van meer dan vier cijfers kunnen groepjes van drie cijfers worden gescheiden door een spatie of een punt. De groepering is steeds van rechts naar links, bijvoorbeeld In sommige landen gebruikt men een komma als scheidingsteken, bijvoorbeeld 2,360,000. Dit kun je ook op rekenmachines aantreffen. Getalbegrip 9 september 2009

10 Opgaven 14. Turven Schrijf in de turfnotatie de getallen 17 en 11. Hoe kun je deze twee getallen handig optellen met de turfnotatie? 15. Romeinse cijfers Op de gevel van een huis staat een jaartal, zie de foto. Let op de bijzondere schrijfwijze van een M: CIƆ en een D: IƆ. In welk jaar is dit huis gebouwd? Op een ander huis staat het jaartal CIƆ IƆ C C X C I V. Hoe oud is dit huis? 16. Posities a. In het Romeinse talstelsel is XC een ander getal dan CX, dus de plaats van de cijfers ten opzichte van elkaar is van belang. Toch is dit geen positiestelsel. Waarom niet? b. Waarom is het cijfer 0 voor de positionele notatie noodzakelijk? 17. Twaalftalligheid a. Wat is de betekenis van de woorden dozijn en gros? b. In welke situaties is het rekenen in het twaalftallig stelsel gebruikelijk? c. Hoe zou dit twaalftallig rekenen ontstaan zijn? 18. Taligheid a. Schrijf in woorden de volgende getallen in het Nederlands, Duits, Engels en Frans: 12, 13, 14, 15, 25, 52, 73, 86, 97. Schrijf achter ieder woord de cijfers in de volgorde waarin ze in dat woord voorkomen. (schrijf voor bijvoorbeeld twintig/zwanzig/twenty/vingt een 2). Welke getallen in welke taal geven problemen? Wat merk je op ten aanzien van de volgorde van de cijfers en het gebruik van het grondtal? b. Schrijf in woorden de volgende getallen (alleen in het Nederlands): c. Wat wordt in Amerika bedoeld met: This car costs $ 24,500? Wat voor soort auto koop je in Nederland voor 24,50? Getalbegrip 10 september 2009

11 2.2 Breuken en kommagetallen Als je twaalf muntjes verdeelt onder vier personen krijgt ieder drie muntjes. Het quotiënt (de uitkomst van de deling, 3) is een geheel getal, de deling gaat mooi op. Als je twee pizza s eerlijk deelt met zes personen gaat dat niet zo mooi. Ieder krijgt pizza. De uitkomst is niet een geheel maar een gebroken getal dat wordt geschreven als een breuk. Breuken worden rationale getallen genoemd omdat ze een verhouding (ratio) aangeven tussen twee getallen (de teller en de noemer). 3 Elk rationaal getal is als een breuk te schrijven, ook een geheel getal, bijvoorbeeld 3 1. Je kunt teller en noemer door hetzelfde getal delen om een breuk te vereenvoudigen, bijvoorbeeld Je kunt ook eerst teller en noemer schrijven als producten van priemfactoren en dan delen door de gemeenschappelijke factoren (de ggd). Om breuken te vergelijken of bij elkaar op te tellen, is het nodig om ze gelijknamig (de noemers gelijk) te maken. Daarvoor heb je een gemeenschappelijk veelvoud van de noemers nodig. Bijvoorbeeld Hier is als nieuwe noemer 12 gekozen omdat dit het kgv van en 4 is. Het is natuurlijk ook mogelijk om het product van de twee noemers te nemen (6 4 = 24 en 24 is dus zeker een veelvoud van 4 en van 6). Kommagetallen zijn een uitbreiding op het positiestelsel doordat posities voor 1 10, , 1000, enz. zijn toegevoegd. Bijvoorbeeld: 71, Percentages zijn een bijzonder soort kommagetallen. Het procentteken % is waarschijnlijk ontstaan als een slordige schrijfwijze van N o /c. N o is een afkorting van numero (getal) en c staat voor cent 5 (honderd). Dus 5% is eigenlijk de breuk 5/100 of 100 en dat is weer, als kommagetal geschreven: 0,05. Naast percentage er is ook het promillage : per mille. Oplossing van het pizza-probleem In de groep van Carel krijgt men gemiddeld pizza. Corné heeft dus pizza s nodig. Hij zal er waarschijnlijk dus 13 bestellen. Getalbegrip 11 september 2009

12 Opgaven 19. Helen eruit halen Als de teller van een breuk groter is dan de noemer, dan noemt men dit een onechte breuk omdat het mogelijk is om helen er uit te halen. Bijvoorbeeld Als de helen er uit gehaald zijn spreekt men van een echte breuk en heb je beter een idee waar het getal zich op de getallenlijn bevindt. Schrijf de volgende getallen als echte breuken: 7, , 54, Vereenvoudigen Vereenvoudig de breuk a b c Van breuken naar kommagetallen a. Schrijf als kommagetal: 1 4, 2 5, 3 100, 2 3, 12 20, b. Is iedere breuk als kommagetal te schrijven? 22. Van kommagetallen naar breuken a. Schrijf als breuk: 0,75 ; 0,125 ; 0,6 ; 0,07. b. Is ieder kommagetal als breuk te schrijven? 23. De getallenlijn Teken een getallenlijn va 0 tot 5 en laat zien waar de volgende getallen liggen: 0,9 ; ; 20 5 ; ; 2,25 ; 3,09 ; 3,1 ; 4,75 ; anderhalf Getalbegrip 12 september 2009

13 Afronden Afronden is een manier om een getal met veel cijfers kleiner te schrijven zonder dat belangrijke informatie verloren gaat. Bijvoorbeeld, op 1 januari 2009 telde Nederland, volgens het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS), inwoners. Zo n getal wordt meestal afgerond: Nederland telde 16 miljoen inwoners, of 16,5 miljoen inwoners. Let op dat je afgeronde getallen niet nog eens mag afronden: 16,5 miljoen nog eens afgerond op een heel aantal miljoenen wordt 17 miljoen, en dat is niet juist. De meest gebruikelijke manier van afronden is als volgt. Zet een streepje achter het laatste cijfer dat je wilt behouden. Staat daar een 5 of hoger achter, dan rond je af naar boven door 1 op te tellen bij dat laatste cijfer. Vervolgens mag je de cijfers die achter de stippellijn of het streepje staan door nullen vervangen (of je laat ze weg als ze achter de komma staan). Bijvoorbeeld: , op 2 decimalen afgerond is ,87 en afgerond op een honderdtal Oplossing van de rapportcijfers Het gemiddelde cijfer is (4,1 + 6,4 + 5,1 + 6,3) : 4 = 5,475. Afgerond op één decimaal is dit een 5,5 en dat krijgt Joice op haar rapport te zien. Tijdens de rapportvergadering wordt haar cijfer voor Duits wel als een tekortpunt geteld, want afgerond op een geheel getal is haar cijfer een 5. Echter, op sommige scholen wordt de 5,5 afgerond naar een 6 en dan niet als een onvoldoende geteld. Dit is rekenkundig onjuist omdat het oorspronkelijke getal (5,475) dichter bij 5 is dan bij 6. Let op: men spreekt hier van cijfers omdat het vroeger gebruikelijk was met gehele getallen van 1 tot en met 10 te beoordelen (een tien was een hoge uitzondering). De beoordeling werd dus meestal in een enkel cijfer uitgedrukt. In bijvoorbeeld het Engels heeft men een ander woord voor deze afwijkende betekenis van het woord cijfer (figure in plaats van digit). Getalbegrip 13 september 2009

14 Opgaven 24. Afronden Rond de volgende getallen af op 3 decimalen. a. 0,43726 b. 43,72694 c. 0,00084 d. 23, Afronden a. Rond de volgende getallen af op een duizendtal: 43726, , b. Rond de volgende bedragen af op 5 cent: 0,43 ; 12,36 ; 24,68 ; 8,256 ; 9, Altijd netjes afronden? Een goederenlift heeft een draagvermogen van 370 kg. Een metselaar wil zoveel mogelijk zakken cement van 25 kg met de lift naar boven brengen. Hoeveel zakken cement kunnen er in de lift? Getalbegrip 14 september 2009

15 2.4 Keuzestof Voor heel erg grote (of kleine) getallen is er de scientific of wetenschappelijke notatie. Daarvoor worden machten van 10 gebruikt. In de wetenschappelijke notatie wordt een getal geschreven als een kommagetal met maar één cijfer (geen nul, dus het meest significante cijfer) voor de komma. Zo nodig wordt dit kommagetal vermenigvuldigd met een macht van tien. Bijvoorbeeld, in de wetenschappelijke notatie wordt 2345 geschreven als 2, Op een rekenmachine kan dit er zo uitzien: Praktisch gezien betekent E3 dat de komma 3 plaatsen naar rechts moet schuiven. Het kan ook voorkomen dat de komma naar links moet: Hier zie je dat 0,00068 gelijk is aan 6, (de E 4 betekent dat de komma 4 plaatsen naar links moet). Een groot aantal cijfers kan een verkeerde indruk geven van de nauwkeurigheid. Bijvoorbeeld, op een verkeersbord staat dat de afstand Apeldoorn Vaassen 6 km is, de snelheidsmeter op je fiets laat zien dat je vrijwel constant 24 km/uur fietst. Dan kun je berekenen dat je 15 minuten over de fietstocht zult doen. Maar de afstand van 6 km had ook 6,4 km kunnen zijn (verkeersborden geven geen cijfers na de komma) en dan komt je berekening uit op 6, minuten. Dit verschijnsel heeft te maken met significantie. Het gaat daarbij om het aantal significante (betekenisvolle) cijfers in getallen. Nederland heeft 16,5 miljoen inwoners betekent niet dat er precies mensen in Nederland wonen. Het aantal is afgerond op 0,1 miljoen en daardoor zijn er drie significante cijfers (1, 6 en 5). Oplossing van het Aarde-zon probleem Aan het begin van dit hoofdstuk stond het probleem grote getallen. Voor de oplossing moet je de 8 minuten en 19 seconden omrekenen naar seconden: dat is = 499 seconden. De berekening van de afstand Aarde Zon met een rekenmachine zie je hieronder. De onderste regel is rekenmachinetaal voor 1, , wat gelijk is aan 1, keer een 1 met 11 nullen, dus de gevraagde afstand is 1, meter, dat is ongeveer km. Afronden is hier nodig omdat de tijd 8 minuten en 19 seconden ook ongeveer was. Getalbegrip 15 september 2009

16 Opgaven 27. Hoe precies? a. Een auto heeft een gewicht van 967 kg. De vier banden wegen elk 6,2 kg. Bereken het gewicht van de auto zonder de banden. b. Het aantal inwoners in Apeldoorn op 1 januari 2008 is Hiervan is 43,7 % ongehuwd. Bereken het aantal ongehuwde Apeldoorners op 1 januari Herschrijven a. Schrijf de volgende getallen, die hier in wetenschappelijke notatie staan, als een kommagetal: 5, ; 2, ; 1, ; 7, b. Schrijf de volgende getallen in wetenschappelijke notatie: ; 0,0098 ; 7985, Engineering Veel rekenmachines kennen naast de normale en scientific notatie ook de engineering (ingenieurs)notatie, die iets afwijkt van de wetenschappelijke notatie. Zoek uit waar dit verschil in zit. Andere talstelsels De Maya s vormden vóór Columbus een van de grootste culturen in Centraal Amerika. Tegenwoordig leven ongeveer 8 à 9 miljoen Maya s in Mexico en Midden Amerika, de meesten in Guatemala. De Maya cultuur kent een positioneel talstelsel met grondtal 20. Zij hadden dus 20 cijfers die op zich weer opgebouwd waren twee soorten symbolen: liggende streepjes en punten. Een speciaal symbool was er voor de nul: een lege schelp. De Maya s noteerden getallen in een positioneel stelsel, zoals wij dat ook doen. De cijfers schrijven ze niet achter elkaar, maar boven elkaar: het cijfer met de hoogste waarde staat boven. Zie de figuur hiernaast. fig. Maya cijfers Van enkele andere oude culturen is eveneens bekend hoe men getallen noteerde en hoe er gerekend werd. Er is hierover veel te lezen in bibliotheken en op internet, zie bijvoorbeeld In de informatica wordt veel gerekend in andere positionele talstelsels dan ons decimaal stelsel. Sommige rekenmachines, bijvoorbeeld, de rekenmachine die met het softwarepakket MS Office geleverd wordt (zie hiernaast), kennen een instelling voor deze talstelsels. Het meest elementaire talstelsel is het tweetallig of binaire stelsel, dat maar twee cijfers kent: 0 en 1. Het cijfer 1 in het binaire getal 100, betekent dan dus niet , maar (en het binaire 100 is dus vier). Voor het getal tien zijn in het tweetallig stelsel vier cijfers nodig: tien = acht+twee = = Getalbegrip 16 september 2009

17 Er zijn 10 soorten mensen, mensen die wel en mensen die niet binair kunnen tellen. Opgaven 30. Mayarekenen Schrijf in de Maya notatie de getallen 37 en 29. Tel deze getallen bij elkaar op en schrijf de som in de Maya notatie. Hoe zou een Maya de som hebben uitgerekend? 31. Cijfers en letters In het zestientallig stelsel is er een tekort aan symbolen voor de cijfers. Hoe heeft men dit opgelost? (zie de afbeelding van de rekenmachine) 32. Andere talstelsels Het rekenen met hoeken werd vroeger gedaan in een zestigtallig stelsel, waarbij een graad was verdeeld in 60 minuten en een minuut in 60 seconden. Noem een andere toepassing van dit talstelsel. Ken je meer situaties waarin een afwijkend grondtal wordt gebruikt? Getalbegrip 17 september 2009