Wiskunde. Uitwerkingen. voor het hoger onderwijs. Deel. en extra, praktijkgerichte vraagstukken

Transcriptie

1 C.A.G. Koolen Th.M. van Pelt R.B.J. Pijlgroms W.V. Smeets J.L. Walter Wiskunde voor het hoger onderwijs Uitwerkingen en extra, praktijkgerichte vraagstukken Deel 2 Zesde druk

2

3 Wiskunde voor het hoger onderwijs Deel 2 Uitwerkingen

4

5 Wiskunde voor het hoger onderwijs Deel 2 Uitwerkingen C.A.G. Koolen Th.M. van Pelt R.B.J. Pijlgroms W.V. Smeets J.L. Walter Noordhoff Uitgevers Groningen/Houten Zesde druk

6 Ontwerp omslag: G2K designers Groningen Omslagillustratie: Photodisc Eventuele op- en aanmerkingen over deze of andere uitgaven kunt u richten aan: Noordhoff Uitgevers bv, Afdeling Hoger Onderwijs, Antwoordnummer 3, 97 VB Groningen, info@noordhoff.nl / Noordhoff Uitgevers bv Groningen/Houten, the Netherlands. Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 6B Auteurswet 92 j het Besluit van 2 juni 974, St.b. 35, zoals gewijzigd bij het Besluit van 23 augustus 985, St.b. 47 en artikel 7 Auteurswet 92, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan de Stichting Reprorecht, Postbus 36, 23 KB Hoofddorp. Voor het overnemen van een of enkele gedeelten uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 6 Auteurswet 92) dient men zich tot de uitgever te wenden. All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or otherwise, without the prior written persmission of the publisher. ISBN (ebook) ISBN NUR 2

7 Woord vooraf In deze zesde druk van Uitwerkingen bij het leerboek Wiskunde voor het hoger onderwijs, deel 2 zijn zoals gewoonlijk praktisch alle uitwerkingen van de opdrachten en vraagstukken opgenomen. Waar geen uitwerking is opgenomen is dit vermeld (geen uitwerking), is slechts het antwoord gegeven (veelal in de toetsen na leereenheden en in de eindtoets van een hoofdstuk). De auteurs houden zich aanbevolen voor het ontvangen van op- en aanmerkingen en suggesties van gebruikers ter verbetering van de inhoud. We hopen dat ook deze druk zijn weg zal vinden in het wiskundeonderwijs. De auteurs, zomer 23

8 Studiewijzer Beste student(e), Een boek vol met uitwerkingen! Dat lijkt erg handig, maar je moet er wel verstandig mee omgaan. Wij denken dat dat het beste als volgt kan. Ga ervan uit dat je het meeste leert door zelf de opdrachten en vraagstukken uit het boek te maken. Van de fouten die je daarbij maakt leer je veel over de stof en over jezelf. Maak die fouten dan ook eerst en bekijk daarna pas de uitwerkingen. Lees dus nooit de uitwerkingen van te voren door, want dan leer je zelf niet genoeg. De uitwerkingen in dit boek zijn slechts een onderdeel van de aanpak voor het oplossen van een vraagstuk. Bij het oplossen van ingewikkelde vraagstukken moet meer gebeuren dan in het uitwerkingenboek staat. Je zult altijd eerst moeten nagaan wat er precies gevraagd wordt en wat de gegevens in het vraagstuk zijn. Het gevraagde zul je daarna vaak in verband moeten brengen met de gegevens, door gebruik te maken van de in het hoofdstuk behandelde begrippen en definities. De uitwerkingen in dit boek zijn slechts het zichtbare deel van de omgekeerde oplossingsroute: de weg van de gegevens naar het gevraagde. Het denkwerk vooraf (van het gevraagde naar de gegevens) staat er niet altijd bij, maar dat moet je wel altijd eerst uitvoeren. Na afloop van je berekening of oplossing moet je ook altijd bekijken of de antwoorden ergens op lijken ; of de uitkomst de orde van grootte heeft die je verwachtte: of het antwoord nog vereenvoudigd kan worden; of het antwoord klopt met dingen die je al wist; enzovoort. Als je vastgelopen bent of geen begin kunt maken met de oplossing, kijk dan even kort naar de uitwerking, waardoor je vaak al snel een idee krijgt hoe je het vraagstuk moet aanpakken (hoe de oplossingsroute begint). Probeer het daarna weer zelf. Als je op deze manier, door vallen en weer opstaan, een vraagstuk hebt opgelost, gooi dan jouw uitwerking weg en probeer het nog eens helemaal zelf. Als dat lukt heb je echt iets geleerd! Een voordeel van deze aanpak is ook dat, als je iets uit de uitwerking niet begrijpt, je je docent(e) of mede-student(e) precies kan aanwijzen wat je niet snapt. Je kunt daarna waarschijnlijk weer zelf verder. De voorbeelden uit het leerboek laten je zien hoe de aanpak van een vraagstuk, de oplossingsroute en de uitwerkingen eruitzien. Bekijk die voorbeelden dus goed en ga bij elke stap na of je begrijpt waarom juist die stap gezet wordt. In het volgende schema staan de aanwijzingen voor het oplossen van vraagstukken nog eens in het kort bij elkaar. Pak dit schema er overigens alleen bij als je een vraagstuk of berekening niet direct kunt oplossen. Als je door hebt hoe een vraagstuk moet worden aangepakt, ga dan gewoon je eigen weg.

9 Analyse Oplossingsroute Uitwerking Terugblik (zelf doen) (zelf doen) (uitwerkingen- (zelf doen) boek, ter controle) Bekijk goed wat Hoe kun je van- Als het verband Bekijk jouw oper gevraagd uit het ge- tussen het ge- lossing kritisch: wordt. vraagde terug vraagde en de - Klopt hij met de Onderzoek redeneren naar gegevens verwachtingen daarna grondig de gegevens? (bijna) duide- uit de analyse? wat er gegeven Welke behan- lijk is, probeer - Klopt hij met is. delde begrip- dan een uitwer- de uitwerking Welke formules pen, definities king op te in het uitweren definities en formules schrijven kingenboek? kun je gebrui- leggen verband Loop je toch - Waar ben je ken? tussen het ge- vast, omdat een vastgelopen? Heb je al eerder vraagde en de schakeltje ont- - Waarom ben je zoiets berekend gegevens? breekt of omdat vastgelopen? en opgelost? Waar wijkt dit je rekenfouten Maak het vraag- Heb je in de vraagstuk af hebt gemaakt, stuk nog een voorbeelden van de voor- kijk dan nog keer helemaal iets soortgelijks beelden in het even in het zelf. gezien? boek? Wat is er uitwerkingen- Maak nog een Bedenk wat het anders, waar boek. vraagstuk van antwoord onge- moet je speciaal Ga daarna weer hetzelfde type veer moet zijn op letten? zelfstandig en leg ergens (schatting, welk Kom je er nu door. vast dat je soort formule nog niet uit, voor het tentawordt ge- kijk dan in het men nog een vraagd, enzo- uitwerkingen- van dit type voort). boek. moet gaan maken. Nog een tip: De meest gebruikte computeralgebrapakketten in het hbo zijn Derive en Maple. Het pakket Mathematica wordt in veel mindere mate gebruikt. De uitwerkingen van de computeralgebravraagstukken in dit boek zijn óf in Derive óf in Maple gegeven, en slechts een enkele keer in Mathematica. Als de uitwerking niet gegeven is in het pakket dat jij gebruikt, dan nog kun je veel aan die uitwerking hebben. Om te beginnen is het antwoord gegeven. Ook zal de oplossingsroute in jouw pakket niet veel anders zijn. De gebruikte syntax zal slechts hier en daar wat afwijken. De benodigde syntax is altijd terug te vinden via de Help-functie van je pakket. Veel succes met je (wiskunde)studie!

10 Inhoud Woord vooraf V Studiewijzer VI Hoofdstuk Lineaire algebra Leereenheid. Vectoralgebra 2 Praktijksituatie 2.. Introductie van het vectorbegrip 3..2 Eenvoudige bewerkingen met vectoren 4..3 Lengte van een vector 6..4 Hoek tussen vectoren 6..5 Uitwendig product 8..6 Afhankelijkheid en onafhankelijkheid van vectoren 9..7 Toepassingen met computeralgebra Toets Leereenheid.2 Matrixrekening 2 Inleiding 2 Praktijksituatie 2.2. Introductie van het begrip matrix Optellen en scalair vermenigvuldigen Matrixvermenigvuldiging De inverse matrix Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Toepassingen met computeralgebra 2 Toets 22 Leereenheid.3 Determinanten, eigenwaarden, eigenvectoren 26 Praktijksituatie Introductie van het begrip determinant De determinanten van een 3 x 3- en van een n x n-matrix Regel van Cramer Eigenwaarden en eigenvectoren Toepassingen met computeralgebra 36 Toets 39 Eindtoets hoofdstuk 4

11 Hoofdstuk 2 Differentiaalvergelijkingen 45 Leereenheid 2. Basisbegrippen Classificatie van differentiaalvergelijkingen Meetkundige betekenis van differentiaalvergelijkingen Oplossen van eenvoudige differentiaalvergelijkingen Twee praktijkproblemen Het gebruik van computeralgebra 49 Toets 55 Leereenheid 2.2 Oplossingsmethoden voor eerstegraads-, eerste-orde-differentiaalvergelijkingen 58 Praktijksituatie Scheiden van variabelen Exacte differentiaalvergelijkingen Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde Het gebruik van computeralgebra 66 Toets 7 Leereenheid 2.3 Lineaire differentiaalvergelijkingen van hogere orde 74 Praktijksituatie Homogene, lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten Niet-homogene, lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten Toepassingen met computeralgebra 8 Toets 84 Eindtoets hoofdstuk 2 87 Hoofdstuk 3 Het numeriek oplossen van gewone differentiaalvergelijkingen 9 Leereenheid 3. De methode van Euler 92 Praktijksituatie Problemen bij differentiaalvergelijkingen Het principe van de methode van Euler De methode van Euler in Derive De methode van Euler in Maple De methode van Euler in Mathematica Foutenanalyse van de methode van Euler 27 Toets 35 Leereenheid 3.2 De trapeziumregel, de methode van Heun 38 Praktijksituatie Het principe van de methode van Heun Foutenanalyse van de methode van Heun De methode van Heun in Derive De methode van Heun in Maple De methode van Heun in Mathematica 46 Toets 46 IX

12 Leereenheid 3.3 De methode van Runge-Kutta 53 Praktijksituatie Het principe van de methode van Runge-Kutta Foutenanalyse van de methode van Runge-Kutta De methode van Runge-Kutta in Derive De methode van Runge-Kutta in Maple De methode van Runge-Kutta in Mathematica Geneste Runge-Kutta-schema s en een glijdendestapmethode 58 Toets 6 Leereenheid 3.4 Hogere-orde-differentiaalvergelijkingen en eersteorde-stelsels 6 Praktijksituatie Differentiaalvergelijkingen van hogere orde Een algemeen eerste-orde-stelsel Stelsels oplossen met behulp van Derive Stelsels oplossen met behulp van Maple Stelsels oplossen met behulp van Mathematica 66 Toets 66 Eindtoets hoofdstuk 3 68 X

13 Lineaire algebra Veel wat van tevoren moeilijk leek, blijkt achteraf verrassend eenvoudig.. Vectoralgebra 2.2 Matrixrekening 2.3 Determinanten, eigenwaarden, eigenvectoren 26 Eindtoets hoofdstuk 4

14 Leereenheid. Vectoralgebra Praktijksituatie 2.. Introductie van het vectorbegrip 3..2 Eenvoudige bewerkingen met vectoren 4..3 Lengte van een vector 6..4 Hoek tussen vectoren 6..5 Uitwendig product 8..6 Afhankelijkheid en onafhankelijkheid van vectoren 9..7 Toepassingen met computeralgebra Toets Praktijksituatie Opdracht Langs de positieve X-as: S 2 cos 45, langs de negatieve X-as: S sin 3. Langs de positieve Y-as: S cos 3, langs de negatieve Y-as: S 2 sin 45. Opdracht 2 horizontaal evenwicht: 2 S + 2 S 2 2 verticaal evenwicht: 2 S 3 2 S 2 2 Opdracht 3 Uit S + 2 S 2 volgt S = S Ingevuld in de tweede vergelijking geeft dit 2 S S 2 2 =, dus: S 2 = 93,9 N en S = 2 732, N

15 .. Introductie van het vectorbegrip Opdracht 4 In figuur. zie je hoe beide snelheden waarmee de boot zich verplaatst kunnen worden samengesteld tot de werkelijke snelheid. De grootte van deze snelheid is te berekenen met behulp van de stelling van Pythagoras en is gelijk aan 3. Figuur. 3 2 Opdracht 5 Snelheid = (2,) + (,3) = (2,3). Opdracht 6 De afgelegde weg naar rechts is 2 m. De te varen afstand in de richting 3 van de verplaatsing van de boot is: = 2,85. Met een snelheid van 3 m/s doet Piet hier 33 3 seconde over. Opdracht 7 Omdat F 2 AF = geldt: AF R = Volgens de cosinusregel geldt: R 2 = F 2 + F 2 2 2F F 2 cos ( ) Omdat cos ( ) = cos () volgt hieruit: R 2 = F 2 + F F F 2 cos () en dus: R = F 2 + F F s F 2 co() Opdracht 8 a + c = (,9,) a b = ( 4,3, 2) 2a 4c = (4, 6,6) a + 2b c = (9,5,8) Vraagstuk. a a + 2 b 4c = (,4,) + (3,, 2 ) (4,4,24) = (,, 25 2 ) b 3(a 2b) + 2c = 3((,4,) (4,, 2)) + (2,2,2) = ( 9,2,6) + (2,2,2) = ( 7,4,8) Vraagstuk.2 a 2x = (2,75, ), zodat x = (,87 2, 5) b y = a + b + c + d = (2,75, ), zodat y = ( 2, 75,) c y = a b + c d = (28,25,5), zodat y = ( 28, 25, 5) Vraagstuk.3 a = (a, a 2, a 3 ) = (,,) = o. Vectoralgebra 3

16 Vraagstuk.4 (,,) + (y, y 2, y 3 ) = (2,, ), dus: + y = 2 y = + y 2 =, dus y 2 =, ofwel y = (,, ), zie ook fig y 3 = y 2 = Figuur.2 III x_ II I y_ (2,, -)..2 Eenvoudige bewerkingen met vectoren = 3 e 5 e e e 4 2 = b = = e + e 2 e 3 e 4 + e 5 en c = e e 6 Opdracht (a b) = = 34 Opdracht 9 a = Opdracht In de definitie wordt gesproken over het inwendig product van twee vectoren. Het inwendig product van drie vectoren is niet gedefinieerd. Opdracht 2 Bijvoorbeeld a + b + c of (a + c a 3b) Opdracht 3 (a b) = a b + a 2 b a n b n is element van. 4 Lineaire algebra 2 (a b) = a b + a 2 b a n b n = b a + b 2 a b n a n = (b a) 3 Met c = (c, c 2,..., c n ) krijgen we: ((a + b) c) = (a + b )c + (a 2 + b 2 )c (a n + b n )c n (haakjes uitwerken) = a c + b c + a 2 c 2 + b 2 c a n c n + b n c n (herschikken) = a c + a 2 c a n c n + b c + b 2 c b n c n = (a c) + (b c) 4 ( a b) = a b + a 2 b a n b n ( buiten haakjes halen) = (a b + a 2 b a n b n ) = (a b)

17 Opdracht 4 Geen uitwerking. 5 (a a) = a 2 + a a n 2 >, omdat minstens van de componenten van a ongelijk nul is en omdat kwadraten altijd groter dan nul zijn. Vraagstuk.5 De bewering is niet juist, 4 k = ( ) k e k = Vraagstuk.6 a = ( ) e + ( ) 2 e 2 + ( ) 3 e ( ) n e n = e + e 2 e ± e n = = ± ± Vraagstuk.7 a = (2) e + (2) 2 e 2 + (2) 3 e (2) n e n = = 2e + 4e 2 + 8e n e n = 2 n 2 n Vraagstuk.8 Nee, (b c) is een scalair en je kunt van een vector en een scalair geen inwendig product berekenen. Vraagstuk.9 a (a e k ) = a + a a k a n = a k b n (a e k )e k = n a k e k = a e + a 2 e a n e n = a k = k = Vraagstuk. Bijvoorbeeld a = (,,,,) en b = (2,,3,, ) Vraagstuk. Twee vectoren liggen in elkaars verlengde als de ene vector keer zo groot is als de ander, dus als: (a,2) = (4,a) ( ) Dus a = 4 2 = a Uit de eerste vergelijking volgt = 4 a Gesubstitueerd in de tweede vergelijking geeft dit: 2 = 4 a a a 2 = 8 a = ± 2 2 Vraagstuk.2 a (a b) = = 2 (b c) = = 4 3(a b) 5(b c) = = 26 b a + b = (3,4, ) en a c = (,3, 6), dus ((a + b) (a c)) = 8. Vectoralgebra 5

18 Vraagstuk.3 Als i j is (e i e j ) Als i = j is (e i e j ) = Vraagstuk.4 a F = (, ) en s = (,). Nemen we s 2 = (2, ) en s 3 = (, 2), dan berekenen we de arbeid W als volgt: W = (F s ) + (F s 2 ) + (F s 3 ) = ( ) + (2 + ) + ( + 2) = 4 b F = (, ) en s = (2, 2), dus W = (F s) = = 4..3 Lengte van een vector Opdracht 5 v = x 2 + y 2 = x x + y y = (v v) Vraagstuk.5 a = = 25 = 5 b = ( ) = 4 = 2 Vraagstuk.6 De resultante van de vectoren a = (2, ) en b = (,3) is (3,2). De lengte hiervan is 3. c = 2a 3b = (, ). De lengte hiervan is 22. Vraagstuk.7 (,x) + (3, 2) = (4,x 2 = 6 x + ( 2) 2 = xx = 5, dus x 2 4x + 2 = 25. Hieruit volgt x 2 4x 5 (x 5)(x + ) x = 5 of x =..4 Hoek tussen vectoren Opdracht 6 W is positief als cos > en negatief als cos <, dus W is positief als 2 < < 2 en negatief als 2 < < 3 2. Er wordt door F geen arbeid verricht als cos, dus als = 2 of als =. Met andere woorden: als de kracht F 2 loodrecht staat op de af te leggen weg, wordt er geen arbeid verricht. Opdracht 7 a = ( ) = 5 b = = 25 ((,2) (4,2)) cos = = 5 25 Opdracht 8 a Twee vectoren staan loodrecht op elkaar als hun inwendig product is. ((,) (3,3)), dus deze twee vectoren staan loodrecht op elkaar. b ((3, 2a) (,a)) 3 2a 2 a = 6 of a = ( a b) Opdracht 9 p = b cos = b = (a b) a b a ((,4,2) (,,)) Vraagstuk.8 a cos = = = Lineaire algebra

19 b De projectie van a op b: p = (a b) b = (,,) = ( 5 b b 3 3 3,5 3,5 3 ) De projectie van b op a: p = (a b) a = (,4,2) = a ( a 2,2 2, 2 ) Vraagstuk.9 a ((,,) ( 2,,2)), dus loodrechte stand. b ((,2,3) (9,, 3)) ((,2,3) (, 5,3)), dus de vectoren staan twee aan twee loodrecht op ((9,, 3) (, 5,3)) elkaar. c ((,,) (,,)), dus loodrechte stand voor willekeurige en. d ((,,) (,,)) ((,,) (,,)) =, dus deze vectoren staan niet twee aan twee lood- ((,,) (,,)) = recht op elkaar. Vraagstuk.2 a (a + b) (a b) = (a a) + (b a) (a b) (b b) = (a a) (b b), dus a + b en a b staan loodrecht op elkaar. b Figuur.3 II b_ a_ + b_ a_ O I a_ b_ Vraagstuk.2 ((,,) (2,2,3)) ((,,) (2,,)) 2 + Dit stelsel vergelijkingen heeft oneindig veel oplossingen, omdat er meer onbekenden dan vergelijkingen zijn. Een combinatie die voldoet is bijvoorbeeld: =, = 2 en = 2. Vraagstuk.22 ((,,2) (2,,)) ((,,2) ( 2,4,)), dus de vectoren staan twee aan twee loodrecht op ((2,,) ( 2,4,)) elkaar. De bewering is juist. Vraagstuk.23 ((,p,3) (p, p,2)) p p (p + 3)(p 2) p = 3 of p = 2. De bewering is niet juist.. Vectoralgebra 7

20 ..5 Uitwendig product Opdracht 2 e e : het parallellogram dat door e en e 2 2 wordt opgespannen, heeft een oppervlakte gelijk aan. De vector die loodrecht staat op e en e 2, een lengte heeft en een richting zoals in fig..7 van het leerboek is e 3. e e : het parallellogram dat door e en e wordt opgespannen, heeft een oppervlakte gelijk aan. De vector die loodrecht staat op e 2 en e 3, een lengte heeft en een richting zoals in fig..7 van het leerboek is e. e e : het parallellogram dat door e en e 3 3 wordt opgespannen, heeft een oppervlakte gelijk aan. De vector die loodrecht staat op e 3 en e, een lengte heeft en een richting zoals in fig..7 van het leerboek is e 2. Opdracht 2 a b en b a hebben dezelfde grootte, omdat het gaat om de oppervlakte van hetzelfde parallellogram. Vanwege de kurkentrekkerregel hebben ze echter een tegengestelde richting, dus: a b = b a a a is een vector met grootte. Deze vector noteren we met o. Opdracht 22 a b = (3 4 ( 2) 2, ( 2) 4, 2 3 ) = (6, 4,2) Opdracht 23 De oppervlakte van het parallellogram opgespannen door F en OA is gelijk aan de oppervlakte opgespannen door F en d. De vectoren OA F en d F zijn gelijk gericht. Het moment M kan dus zowel door OA F als door d F worden voorgesteld, want OA F en d F hebben dezelfde grootte en richting. Opdracht 24 Gebruik eigenschap 4 van het uitwendig product. Vraagstuk.24 a Het uitwendig product van (3,3, ) en (, 2,4) is (,, 3). De vectoren (,, 3) met in \{} staan dus loodrecht op (3,3, ) en (, 2,4). b Het uitwendig product van (2,2,3) en (2,,) is (2,4, 4). De vectoren (2,4, 4) met in \{} staan dus loodrecht op (2,2,3) en (2,,). Vraagstuk.25 Een vector (,2,3) en (,,2) kan worden voorgesteld door: ((,2,3) (,,2)) = (, 2,) De gevraagde vector moet lengte hebben, dus: 2) 2 + ( = 6 2 = ± 6 = Hieruit volgt voor : = ± 6 ( 6 6, 2 6 6, 6) 6 en ( 6 6, 2 6 6, 6) 6 6. De gevraagde vectoren zijn dus: Vraagstuk.26 Volgens eigenschap 6 van het uitwendig product geldt: a (b c) + b (c a) + c (a b) = (a c)b (a b)c + (b a)c (b c)a + (c b)a (c a)b Met eigenschap 2 van het inwendig product volgt dan: a (b c) + b (c a) + c (a b) = o 8 Lineaire algebra

21 ..6 Afhankelijkheid en onafhankelijkheid van vectoren Vraagstuk.27 a Uit (2,7, ) + 2 (3,2,) = o volgt: b c d e Hieruit volgt en 2 als enige oplossing. Het stelsel is dus onafhankelijk. Uit (,,7) + 2 (,2,) + 3 (,3,) = o volgt: Behalve, 2 en 3 voldoet bijvoorbeeld ook =, 2 = 2 en 3 = 3. Het stelsel is dus afhankelijk. Uit e + 2 e e (e e 2 + e 4 ) = o volgt: Hieraan voldoen uitsluitend, 2, 3 en 4, dus het stelsel is onafhankelijk. {(,,2,2), (,,3,2), (,,2,), (6,,4,)} is een onafhankelijk stelsel. {(3,,2,3,5), (,6,2,,3), (4,,5,,7)} is een onafhankelijk stelsel. Vraagstuk.28 De vectoren (,,), (,, + ) en (,,) vormen een onafhankelijk stelsel als: (,,) + 2 (,, + ) + 3 (,,) = o alleen voor, 2 en 3. Ofwel: ( + ) alleen voor, 2 en 3 Is het stelsel onafhankelijk dan moet zeker ( + ) (dan is immers 2 ; volgt uit derde vergelijking). En moet (dan zal zeker nul zijn, dit volgt uit de tweede vergelijking). Uit de eerste vergelijking volgt dan 3. Wil 3 gelijk nul zijn, dan moet ongelijk zijn aan nul. Samengevat: het stelsel is onafhankelijk als + en en. Vraagstuk.29 Uit (,,) + 2 (3, 4,) + 3 (,,) = o volgt: Hieruit volgt uitsluitend, 2 en 3. Dus het is een onafhankelijk stelsel, zodat de bewering niet juist is.. Vectoralgebra 9

22 ..7 Toepassingen met computeralgebra Vraagstuk.3 a De coördinaten van C zijn: (4, 2 2, 2 2 b S = 2. Met behulp van de coördinaten van C schrijven we voor de spankracht: S = 4 2 (2 ) 2 2 (2 2 3 ) ) c Volgens de formule van het moment geldt: M = d S (zie fig..9 van het leerboek). Voor d geldt: d = ( 4,,), zodat we (met behulp van een computeralgebrapakket) voor M vinden: In Maple: > with(linalg): > c: =vector([4,2.5,2.5*sqrt(3)]); > S: =2*c/norm(c,2); > d: =vector([ 4,,]); > M: =crossprod(d,s); Het resultaat is [, , ] In Derive: # c:=[4,2.5,2.5*sqrt(3)] #2 S:=2*c/ABS(c) #3 d:=[ 4,,] #4 CROSS(d,S) Het resultaat is: [, 2 23, 2 4 ]. 4 4 Toets a 2a + 3b c = ( 2,6, 4) + (6, 9,5) (,2, 3) = (3, 5,4) b (a b) = 2 9 = 2 (b c) = = 9 c a = 4 b c = (, 5,8) = 3 d a c = ( 5, 5, 5) b c = (,,7) e In Maple: > with(linalg): > a := vector([, 3, 2]): > b := vector([2, 3, 5]): > c := vector([, 2, 3]): > evalm(2*a+3*b c); [3, 5, 4] > dotprod(a,b); 2 Lineaire algebra

23 > dotprod(b,c); 9 > norm(a, 2); 4 > norm(b c, 2); 3 > crossprod(a,c); [ 5, 5, 5] > crossprod(b,c); [,, 7] 2a Stel x = (x, x 2 ). Er moet dan gelden: x 2 + x 2 2 = 9 x 2 + x 2 2 = 9 3x + 4x 5x 2 = 2 3x + 4x 2 = 5x 5x 2 5x x 22 + x 22 x 2 + x 2 2 = 9 2 x = 9 x = 3, x 2 = 9 { 3x = x 2 x = 3, x 2 = 9 b De projectie van a op b: 2 25 ( 5) = ( 4) 2 5 De projectie van b op a: 2 25 ( 3 4) = cos = = a Uit (2,,) + 2 (,4, 2) + 3 (, 2,) = o volgt: Behalve, 2 en 3 voldoen bijvoorbeeld ook, 2 = en 3 = 2. Het stelsel is dus afhankelijk; de gestelde bewering is juist. b Uit (2, 4,3) + 2 (,4, 2) + 3 (, 2,) = o volgt: Behalve, 2 en 3 voldoen bijvoorbeeld ook, 2 = en 3 = 2. Het stelsel is dus afhankelijk; de gestelde bewering is juist.. Vectoralgebra

24 Leereenheid.2 Matrixrekening Inleiding 2 Praktijksituatie 2.2. Introductie van het begrip matrix Optellen en scalair vermenigvuldigen Matrixvermenigvuldiging De inverse matrix Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Toepassingen met computeralgebra 2 Toets 22 Inleiding Opdracht Geen uitwerking. Praktijksituatie Opdracht 2a De totale voorraad spijkerbroeken van merk B is = 6. b De totale voorraad spijkerbroeken in maat 52 is = 2. c De totale voorraad spijkerbroeken is de som van alle matrixelementen (= 72). 3a De nieuwe voorraad spijkerbroeken van merk C in maat 48 is b De nieuwe voorraad spijkerbroeken van merk B is ( ) + ( ) = 32. c De nieuwe voorraad spijkerbroeken in maat 52 is ( ) + ( ) = 46. d De nieuwe voorraad spijkerbroeken is = 78.

25 Opdracht 4 a 3 = 8 en a 2 = 9.2. Introductie van het begrip matrix Opdracht 5 A T 9 = 3, B T = a = a 2 a of a = Vraagstuk.3 Voor = c c b = b b Vraagstuk.32 ( ij ) met i,j in {,...,p} is een p p-matrix met enen op de hoofddiagonaal (want daar zijn i en j gelijk) en voor de rest nullen (want daar zijn i en j niet gelijk aan elkaar). Daarom is ( ij ) = I. Vraagstuk.33 Ja, deze bewering is juist. Vraagstuk.34 (a ij ) is een matrix en a ij is een element van een matrix..2.2 Optellen en scalair vermenigvuldigen Opdracht 6 3A 2B = = Vraagstuk.35 Neem bijvoorbeeld: A = 3 5, B 2 3 en C = dan geldt: (A + B) + C = = A + (B + C) = = Hier staat de associatieve wet voor de optelling voor matrices. Dit is direct het gevolg van het feit dat de optelling voor getallen associatief is. Vraagstuk.36 (A + B) T = a + b a 2 + b 2 T = a + b a 2 + b 2 a 2 + b 2 a 22 + b 22 a 2 + b 2 a 22 + b 22 A T + B T geeft precies hetzelfde resultaat..2 Matrixrekening 3

26 .2.3 Matrixvermenigvuldiging Opdracht = = Opdracht 8a In de eerste kolomvector staan de prijzen per merk, in de tweede kolomvector staan de prijzen per maat. b In de eerste kolomvector staan de prijzen per maat, in de tweede kolomvector staan de prijzen per merk. Vraagstuk.37 a = b 4 4 = c d = = Vraagstuk.38 Alleen van de producten AB in de vraagstukken.37 a en b bestaat ook het product BA: a = b 4 4 = Vraagstuk.39 AI = A en IA = A. Vraagstuk.4 Ix = x. De uitdrukking xi bestaat alleen als p =. Vraagstuk.4 b a 2 2 a + b + = 2 a = 3 a 2 a + = 4 b = 2 a 4 b = 4 Lineaire algebra

27 Vraagstuk.42 Neem bijvoorbeeld: Vraagstuk.43 A 2 = A = 3 5 en B 2 3, dan geldt: AB = 2 34, (AB) T A T B T = B T A T = Aan de gekozen getallenvoorbeelden is te zien dat (AB) T = B T A T. Dit is geen toeval, maar een regel (die we niet bewijzen). Er geldt dus in het algemeen ook (AB) T = B T A T. Vraagstuk.44 A + B = en A B = 2 A 2 = 2 en B 2 (A + B)(A B) = 2 = A 2 B 2 = 2 Dus (A + B)(A B) A 2 B De inverse matrix Vraagstuk.45 We volgen de methode van het voorbeeld en gaan dus uit van: 2 A Trek de tweede kolom af van de derde kolom: 2 A Trek de derde kolom af van de eerste kolom:.2 Matrixrekening 5

28 = Deel de eerste kolom door 2: 2 A 2 A = en zet de kolommen op de goede plaats: 2 A Dus de inverse is: A = Vraagstuk.46 a O heeft een inverse A als geldt: O A = I, maar O A is altijd gelijk aan O, dus O heeft geen inverse. b Voor de eenheidsmatrix geldt: I I = I, dus I = I. Vraagstuk.47 a A 2 Trek 2 de eerste kolom af van de tweede 3 4 = kolom: A 2 Deel de tweede kolom door 2: 3 2 = A Trek 3 de tweede kolom af van de eerste kolom: 3 2 A 2 2 = 3 2, dus 2 A = b A 2 Trek de tweede kolom af van de derde kolom: 2 A 2 Deel de eerste kolom door 2: 2 A Trek de derde kolom af van de eerste kolom: 2 A = en zet de kolommen op de juiste plaats: 6 Lineaire algebra

29 2 2 A =, dus A = 2 c A = d A = Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen 2 x Opdracht 9 Het gaat dus om het stelsel x 2 = 2, ofwel x 3 3 2x = x + x 3 = 2 x 2 + x 3 = 3 a We lossen eerst vergelijking op, daarna vergelijking 2 en ten slotte vergelijking 3. Het resultaat is: x = 2 x 3 3 = 2 x 2 = 3 2 b In vraagstuk.45 hebben we gevonden: A = 2 = x 2 2 x = 2 x = , dus 2 Opdracht We bepalen de inverse van de coëfficiëntenmatrix A = 2 3 A 2 3 A 2 3 Trek de eerste kolom af van de tweede kolom: Vanwege de nullen in de tweede kolom kunnen we de matrix niet omzetten in de eenheidsmatrix, zodat A geen inverse heeft: A is singulier..2 Matrixrekening 7

30 Vraagstuk.48 Volgens de wetten van Kirchhoff geldt voor het elektrisch netwerk uit fig..9: I = I 2 + I 3 R I R I + R 3 (I I 2 ) = E + R I 3 3 = E R2 R I 2 R 3 (I I 2 ) = E 2 2 I 2 R 3 I 3 = E 2 (R + R 3 ) I R 3 I 2 = E R3 I + (R 2 + R 3 ) I 2 = E 2 Dit is in matrixnotatie: (R + R 3 ) R 3 I E R 3 (R 2 + R 3 I2 = E2 x + 2x 2 + x 3 = 4 Vraagstuk.49 a We herschrijven het stelsel tot x + 2x 2 + 2x 3 = 3, x + 6x 2 + x 3 = 2 x 4 zodat de matrixnotatie wordt: x = 3 6 x 3 b A = x c x 2 = = x = Vraagstuk.5 a A 2 Trek de tweede kolom af van de eerste kolom: A = Trek de derde kolom af van de eerste kolom: A = Vanwege de nullen in de eerste kolom kunnen we de linker matrix niet omzetten in de eenheidsmatrix, zodat A geen inverse heeft. Dus A is singulier. x + x 2 = b b Als we het stelsel Ax = b uitschrijven tot 2x + x 2 + x 3 = b 2, x + x 3 = b 3 8 Lineaire algebra

31 Vraagstuk.5 a c dan zien we, dat voor wat betreft de linkerleden, vergelijking en vergelijking 3 samen vergelijking 2 opleveren. Als dit ook voor de rechterleden geldt (dus als b 2 = b + b 3 ), dan hebben we te maken met een stelsel met oneindig veel oplossingen. Geldt dit voor de rechterleden niet, dan hebben we te maken met een strijdig stelsel. Een b waarvoor het stelsel geen oplossing heeft is bijvoorbeeld b = (,,). Een b waarvoor het stelsel oneindig veel oplossingen heeft is bijvoorbeeld b = (,,). 2x + 3x 2 x 3 = 5 4x + 4x 2 3x 3 = 3 Pas partial pivoting toe op de eerste kolom: 2x 3x 2 + x 3 = 4x + 4x 2 3x 3 = 3 2x + 3x 2 x 3 = 5 2x 3x 2 + x 3 = Veeg de eerste kolom onder de hoofddiagonaal schoon: 4x + 4x 2 3x 3 = 3 x 2 + x 2 3 = 3 Pas partial pivoting toe op de tweede kolom: 2 5x x 3 = 2 2 4x + 4x 2 3x 3 = 3 5x x 3 = 2 2 Veeg de tweede kolom onder de hoofdx x 3 = 3 diagonaal schoon: 2 4x + 4x 2 3x 3 = 3 5x x 3 = 2 2 x 3 = 3 Uit de terugsubstitutie volgt: x 3 = 3, x 2 = 2 en x =. b x + x 2 4x 3 = 2 2x + 2x 2 = 4 Pas partial pivoting toe op de eerste kolom: 3x + 3x 2 + 2x 3 = 2 3x + 3x 2 +2x 3 = 2 2x + 2x 2 = 4 Veeg de eerste kolom onder de hoofddiagonaal schoon: x + x 2 4x 3 = 2 3x + 3x 2 + 2x 3 = 2 x = Pas partial pivoting toe op de tweede kolom: 2x x 3 = x + 3x 2 + 2x 3 = 2 2x x 3 = x 3 = Matrixrekening 9

32 Terugsubstitutie levert: x 3 = 2, x 2 = 2 en x = 4. c x + 2x 2 + x 3 = 3 3x + 5x 2 + 2x 3 = Pas partial pivoting toe op de eerste kolom: 2x + 3x 2 + x 3 = 5 3x + 5x 2 + 2x 3 = x + 2x 2 + x 3 = 3 2x + 3x 2 + x 3 = 5 Veeg de eerste kolom schoon: 3x + 5x 2 + 2x 3 = x x 3 3 = x x 3 = 4 3 We zien dat de tweede en de derde vergelijking strijdig zijn met elkaar: het stelsel heeft geen oplossingen. Vraagstuk.52 We gebruiken de eliminatiemethode van Gauss en beginnen met het schoonvegen van de eerste kolom onder de hoofddiagonaal: (p + 2) x 2x 2 = 3x (p + ) x 2 = p 2 (p + 2) x 2x 2 = 6 2 ) x 2 = p 2 3 p + 2 ( (p + ) + p + p 2 3 p + 2 x 2 = = ( (p + ) + 6 p + 2 ) p 3 + 2p 2 3 = = p 2 3p +4 p 2 (p + 2) 3 (p + )(p + 2) + 6 (p 2 + 3p + 3)(p ) (p + 4)(p ) Voor p 4 of p bestaat x 2 (en ook x ) en heeft dit stelsel precies één stel oplossingen. Voor p = zijn er oneindig veel oplossingen en voor p = 4 zijn er geen oplossingen..2.6 Toepassingen met computeralgebra Voorbeeld vakwerk De nullen hebben betrekking op knopen die niet bij het element behoren. Opdracht Het volgende stelsel vergelijkingen gaan we oplossen: 2 Lineaire algebra

33 F x F y u 2x EA = u 2 5l F 3x F 3y y De oplossing hiervan luidt: u 2x, u 2y = 2 5l en 32EA F x = 375 N, F y = 5 N, F 3x = 375 N en F 3y = 5 N. Opdracht 2 De matrixvergelijking is: 4 2 M A M B M C 2 4 M D 6 Met Maple: De momenten vinden we met: > with(linalg): > A := matrix(4,4,[4, 2,,, 2, 8, 2,,, 2, 8, 2,,, 2, 4]); > x := vector([48, 96, 8, 6]); > Ainv := inverse(a); > y := evalm(&*(ainv,x)); Het resultaat is: M A = 22, M 5 B =, 6 5 M = 34 C en M 5 D = 58 5 De hoekverdraaiingen vinden we als volgt: > h := vector([4/(6*ei), 4/(3*EI),, ]); > phiba := dotprod(h, y)-6*4^3/(24*ei); > h2 := vector([, 4/(6*EI), 4/(3*EI), ]); > phicb := dotprod(h2, y)-6*4^3/(24*ei); 4 6 Het resultaat is: Q BA = en Q 5 EI BC = 5EI Vraagstuk.53 a Element (, s, c =, l = 3): S = E A Element 2 (s = 4, c = 5 3, l = 5): S = EA Element 3 ( =, s =, c, l = 4): S = 2 3 E A 4.2 Matrixrekening 2

34 b De stijfheidsmatrix van de constructie wordt dan: EA S = c De beide verplaatsingen in knoop zijn nul, dus: u x = u y. De verticale verplaatsing in knoop 2 is nul, dus: u 2y. De uitwendige horizontale belasting in knoop 3 is kn, dus: F 3x en F 3y. De horizontale reactiekracht in knoop 2 is nul, dus: F 2x. d De horizontale verplaatsing van knoop 2 en de beide verplaatsingen van knoop 3 zijn onbekend, evenals de beide reactiekrachten in knoop en de verticale reactiekracht in knoop 2. e De oplossing van het stelsel vergelijkingen: F x 5 5 F y u 2x EA F 2y= u 3x u 3y kan worden gevonden met een computeralgebrapakket. Het resultaat hiervan is: 3 u 2x =, u3x = 2 6, u E A E4 A 3y = 3 EA F x =, F y = 4, F 3 2y = 4 3 Toets 2x + x 2 = 3 5x 2x 2 + x 3 = 5 3x 2 + 5x 3 x 4 = 2 x 3 + x 4 = Pas partial pivoting toe op de eerste kolom: 5x 2x 2 + x 3 = 5 2x + x 2 = 3 Veeg de eerste kolom onder de hoofddiagonaal schoon: 3x 2 + 5x 3 x 4 = 2 x 3 + x 4 = 22 Lineaire algebra

35 3x 5x 2x 2 + x 3 = 5,8x 2,4x 3 = x 3 x 4 = 2 x 3 + x 4 = Pas partial pivoting toe op de tweede kolom: 5x 2x 2 + x 3 = 5 3x 2 + 5x 3 x 4 = 2 Veeg de tweede kolom onder de hoofddiagonaal schoon:,8x 2,4x 3 = 5 x 3 + x 4 = 5x 2x 2 + x 3 = 5 3x 2 + 5x 3 x 4 = 2 Veeg de derde kolom onder de hoofddiagonaal schoon: 3,4x 3 +,6x 4 = 3,8 x 3 + x 4 = 5x 2x 2 + x 3 = 5 3x 2 + 5x 3 x 4 = 2 3,4x 3 +,6x 4 = 3,8,77x 4 = 2,7 Via terugsubstitutie vinden we: x 4 =,8, x 3 =,8, x 2 = 2,6 en x,2 In Derive: # A:= #2 b:= [3 5 2 #3 x:= A^ b [ 5, 3, 4 5 5,9 5] 2 We passen de eliminatiemethode van Gauss toe: x x 2 + (p + ) x 3 = x + (p 5) x 2 + 5x 3 = p 3 (p + 2)x 6x 2 + 6x 3 = 2 Veeg de eerste kolom onder de hoofddiagonaal schoon:.2 Matrixrekening 23

36 x x 2 + (p + ) x 3 = (p 4) x 2 + (4 p) x 3 = p 4 (p 4) x 2 (p + 4)(p ) x 3 = p Veeg de tweede kolom onder de hoofddiagonaal schoon: x x 2 + (p + ) x 3 = (p 4) x 2 + (4 p) x 3 = p 4 p (p + 2) x 3 = 2p + 4 3a b 2p + 4 2( p 2) Uit de terugsubstitutie blijkt: x 3 = = p(p + 2) p ( p + 2) Voor p 2 bestaat x 3 (en ook x 2 en x ) en heeft dit stelsel vergelijkingen precies één stel oplossingen, voor p en p = 2 zijn er geen oplossingen. 2 x x = 6 x 3 4 We bepalen de inverse van A met behulp van de veegmethode: 2 A 2 2 Trek de eerste kolom 2 af van de tweede 6 kolom: 2 A 2 Deel de tweede kolom door 4: 4 2 A 2 4 Trek de tweede kolom af van de eerste en van de derde kolom: A 2 = Trek 2 2 A = 4 4 Trek A = 4 4 Zet de eerste kolom af van de derde kolom: de derde kolom af van de eerste kolom: de kolommen op de juiste plaats: 24 Lineaire algebra

37 A = 4, dus A = Ten slotte berekenen we de oplossingen m.b.v. x = A b: 2 x x = x = dus x = 9, x 2 = en x 3 = 9. 4 We gebruiken de eliminatiemethode van Gauss: x + py + z = px + y + z = p Veeg de eerste kolom onder de hoofddiagonaal schoon: x + y + z = 2 x + py + z = ( p 2 ) y + ( p) z ( p) y = Uit de derde vergelijking volgt nu al: y = p De bewering is dus niet juist..2 Matrixrekening 25

38 Leereenheid.3 Determinanten, eigenwaarden, eigenvectoren Praktijksituatie Introductie van het begrip determinant De determinanten van een 3 x 3- en van een n x n-matrix Regel van Cramer Eigenwaarden en eigenvectoren Toepassingen met computeralgebra 36 Toets 39 Eindtoets hoofdstuk 4 Praktijksituatie Opdracht x = (,95,2 )( ) = (,97 ),5,98,3 x 2 = (,95,2 )(,97 ) = (,942 ),5,98,3,58 x 3 = (,95,2 )(,942 ) = (,96 ),5,98,58,84 Opdracht 2 Het gaat om het volgende stelsel vergelijkingen:,95l +,2g = l,5l +,2g, ofwel,5l +,98g = g,5l,2g Dit is een afhankelijk stelsel, waaruit we kunnen concluderen: g =, 5 l of ook g =, 2 l 5 2 Op den duur zal dus 2 7 deel van x vloeistof zijn en 5 deel gas. 7

39 .3. Introductie van het begrip determinant Opdracht 3 sin cos = sin cos cos sin = sin ( ) sin cos (met behulp van de som/verschil-formules uit de goniometrie) Opdracht 4 sin cos = sin 2 + cos 2 = cos sin Vraagstuk.54 Eigenschap 2 Als A = ( a a 2 ), dan is a 2 a 22 det (a a 2 + a ) = a a 2 + a a 2 a 22 + a 2 = a (a 22 + a 2 ) a 2 (a 2 + a ) = a a 22 + a a 2 a 2 a 2 a 2 a = a a 22 a 2 a 2 = det (a a 2 ) Evenzo kun je bewijzen dat det (a a 2 ) = det (a + a 2 a 2 ). Eigenschap 3 Als A = ( a a 2 ), dan is A = ( a 2 a 22 ), dan geldt: a 2 a 22 a a 2 det (A) = a a 22 a 2 a 2 en det (A) = a 2 a 2 a a 22 = (a a 22 a 2 a 2 ) = det (A) Eigenschap 4 Als A = ( a a 2 ) en B = ( b b 2 ), dan is: a 2 a 22 b 2 b 22 AB = ( a b + a 2 b 2 a b 2 + a 2 b 22 a 2 b + a 22 b 2 a 2 b 2 + a 22 b 22 ) Hieruit volgt: AB =(a b + a 2 b 2 )(a 2 b 2 + a 22 b 22 ) (a b 2 + a 2 b 22 )(a 2 b + a 22 b 2 ) = a b a 2 b 2 + a b a 22 b 22 + a 2 b 2 a 2 b 2 + a 2 b 2 a 22 b 22 a b 2 a 2 b a b 2 a 22 b 2 a 2 b 22 a 2 b a 2 b 22 a 22 b 2 De eerste en de vijfde term vallen tegen elkaar weg, evenals de vierde en de achtste, zodat: AB = a b a 22 b 22 + a 2 b 2 a 2 b 2 a b 2 a 22 b 2 a 2 b 22 a 2 b = a b a 22 b 22 a b 2 a 22 b 2 + a 2 b 2 a 2 b 2 a 2 b 22 a 2 b = (a a 22 a 2 a 2 )(b b 22 b 2 b 2 ) = A B Vraagstuk.55 a = 2 8 = 6.3 Determinanten, eigenwaarden, eigenvectoren 27

40 b Vraagstuk.56 a A = b ( 8) = det (A) = 2, det (A ) = 2 c Er geldt: AA = I, dus det (AA ) = det (I). Met behulp van eigenschap 4 krijgen we: det (A) (A ) = det (I), dus det (A det ( I) ) = d et ( A) Omdat det (I) = (ga na!) vinden we dus: det (A ) = det (A) Opdracht 5 A 24 =.3.2 De determinant van een 3 3- en van een n n-matrix , A = 5 en A 2 = Opdracht = = ( 6 4) 2( 6) + ( 2 ) = 22 Opdracht = = = ( ) 2(8 ) = Vraagstuk.57 a 6 2 = = ( 4) = (ontwikkeld naar de derde kolom) 2 3 b 2 7 = 7 = 7 ( ) = 7 (ontwikkeld naar de derde kolom) 28 Lineaire algebra

41 c = (ontwikkeld naar de eerste kolom) 2 2 = (in de eerste determinant: trek de derde rij van de eerste rij af; in de tweede determinant: trek de tweede kolom 2 van de eerste kolom af en van de derde) 2 2 = ( ) ( ) 3 = ( ) + ( ) 4 = 4 d = 6 3 = = 6 7 = = 26 (steeds naar de eerste kolom ontwikkeld) Vraagstuk.58 a = a 3 () a = = 75 (25 + 3) = b a 7 = 4 = a 2 = 2a a 2 (): trek de eerste rij van de tweede en van de derde rij af x x Vraagstuk.59 2x 4 x 2x 4 x(4 2x 2 ) 2 3 x x of x = 2 of x = 2 a + b c + d () (2) Vraagstuk.6 b + c d + a = c a a c = a c c + a b + d c b b c b c.3 Determinanten, eigenwaarden, eigenvectoren 29

42 (): trek de derde kolom a + b keer van de eerste kolom af en c + d keer van de tweede kolom (2): tel de tweede kolom op bij de eerste kolom x + x 2 x 2 + x 3 x + x 3 () x 3 x x 3 x 2 (2) x 3 x x 2 x x 3 x 2 x 3 x x 3 x 2 x 3 (): trek de derde rij x + x 2 keer af van de eerste rij en x 3 keer af van de tweede rij (2): tel de tweede rij op bij de eerste rij Vraagstuk.6 Stel det (A) = det (a a 2... a n ), dan is: det (A) = det (a a 2... a n ) = det (a a 2... a n ) = 2 det (a a 2... a n ) =... = n det (a a 2... a n ) = n det (A) Vraagstuk.62 a A T = 53 en A = 53 b Vraagstuk.63 A I = (7 ) 2 3 (7 )((3 ) 2 4) (7 )( ) (7 )( )( 5) = 7 of = of = 5 Vraagstuk.64 We herschrijven het stelsel allereerst tot de vorm Ax = b: x + x 2 + (k 5) x 3 = 2 x x 2 2x 3 = x + (k + ) x 2 + kx 3 = k 3 Vervolgens berekenen we de determinant van de coëfficiëntenmatrix: k 5 () k k k = k + 2 2k 5 k + k k + 2 2k 5 = ( 4k + ) (3 k)(k + 2) = k 2 5k + 4 = (k )(k 4) (): trek de eerste rij af van de tweede rij en tel hem op bij de derde rij Voor k = en voor k = 4 is de coëfficiëntenmatrix singulier en heeft het stelsel geen of oneindig veel oplossingen. 3 Lineaire algebra

43 () g 2 Vraagstuk.65 a g = g 2 = 2 = 2g b c d (): trek de eerste rij af van de tweede rij en van de derde rij Voor g is het stelsel singulier, zodat het stelsel voor g geen of oneindig veel oplossingen heeft. h kan een willekeurig reëel getal zijn. We gebruiken de eliminatiemethode van Gauss: x + x 2 + x 3 = 2 x + x 2 + x 3 = 2 x + gx 2 x 3 = (g ) x 2 2x 3 = x +2x 2 + 3x 3 = h x 2 + 2x 3 = h 2 x + x 2 + x 3 = 2 x 2 + 2x 3 = h 2 (g ) x 2 2x 3 = x + x 2 + x 3 = 2 x 2 + x 3 = h 2 x 3 = gh 2g h +3 2g 2gx 3 = gh + 2g + h 3 x 2 = h 2 2x 3 = h 2 2 gh 2g h +3 = h 3 2g g x = 2 x 2 x 3 = 2 h 3 gh 2g h +3 = 3 h + 6g gh g 2g 2g.3.3 Regel van Cramer Vraagstuk () x = = (2) = Determinanten, eigenwaarden, eigenvectoren 3

44 4 4 (3) 3 ( ) 6 = 6 3 ( ) 2 3 ( ) 2 8 = = = 2 3 ( ) 2 8 (): ontwikkel beide determinanten naar de vierde kolom (2): trek in alle determinanten de tweede kolom af van de derde kolom (3): ontwikkel alle determinanten naar de derde kolom Op analoge wijze vinden we: x 2 = 2, x 3 = 3 en x 4 = 4. Vraagstuk.67 De bewering is niet juist. We berekenen x met behulp van de regel van Cramer: () a a 2 5 a a 2 6 x = = 2 2 a 2 5 a 2 6 (2) 2 2 a + (a 2 6) 3 2 = (a 2 6) 2 2 = 2 a a 6 ( a + 2 6) (): in de teller: trek de tweede kolom af van de derde kolom; in de noemer: trek de eerste kolom af van de derde kolom (2): ontwikkel beide determinanten naar de derde kolom Voor a = 6 is de noemer gelijk aan nul, maar de teller ongelijk nul; dus het stelsel heeft geen oplossingen. Opdracht 8 Geen uitwerking..3.4 Eigenwaarden en eigenvectoren Vraagstuk.68 a We bepalen eerst de eigenwaarden uit det (A I) : = ( ) 2 2 = ( )( )(2 ) Dus de eigenwaarden zijn: =, 2 = en 3 = 2. Bij elke eigenwaarde bepalen we de eigenvector(en) met behulp van (A I) u = o. Bij vinden we: 32 Lineaire algebra

45 u u 2 2 u 2 2u 2 u 3 u 3 Dus met u willekeurig en u 2 = u 3 schrijven we: u = met in. We kiezen: u = Bij 2 vinden we: 2 u 2 2u 2 + u 22 22= 3u 32 3 u 32 u Dus met u 22 = 2u 2 en u 32 schrijven we: u 2 = 2 met in. We kiezen: u 2 = 2 Ten slotte bij 3 : u 3 3 u 23 u 33 u3 u 3 3u 23 Dus met u 3 = u 23 en u 33 willekeurig schrijven we: u 3 = met in. We kiezen: u 3 = 2 3 () b (2) = ( 5 ) + ( + 2) 2 3 (): trek 2 de derde kolom af van de eerste kolom (2): ontwikkel de determinant naar de eerste kolom ( 5 )((3 )( ) 2) + ( + 2)(2 3 (3 )) ( 5 )( ) + ( + 2)(3 7) ( )( + 2)( 6) Dus de eigenwaarden zijn =, 2 = 2 en 3 = 6. Vervolgens berekenen we de bijbehorende eigenvectoren. Allereerst de eigenvector bij :.3 Determinanten, eigenwaarden, eigenvectoren 33

46 2 3 u 2u 2 +3u u 2 2u + 2u 2 + u u 3 3u + 2u 2 Dus met 2u 2 = 3u 3 en 2u 2 = 3u krijgen we: 2 2 u = 3 met in. We kiezen: u = Op analoge wijze vinden we bij 2 : u 2 = en bij 3 : u 3 = c Als eigenwaarden vinden we: =, 2 = 6 en 3 =. De bijbehorende eigenvectoren zijn: 8 3 u =, u 2 = 2 en u 3 = 3 5 vraagstuk.69 a = ( ) Lineaire algebra = ( ) ( ) (2 ) Hieruit volgt: =, 2 = en 3 = 2. u Bij de eigenwaarde : 2 u 2 u 3 Dus met u 2 = u 3 en u willekeurig vinden we als eigenvector: 2 u 2 Bij de eigenwaarde 2 : u 22 3 u 32 Dus met u 32 en u 22 = 2u 2 vinden we als eigenvector: 2 u 3 Bij de eigenwaarde 3 : 3 u 23 u 33 Dus met u 3 = u 23 en u 33 willekeurig vinden we als eigenvector:

47 b A = c 2 De eigenwaarden van A zijn:, en. De bijbehorende eigenvectoren 2 zijn respectievelijk, 2 en Wat opvalt is dat de eigenwaarden het omgekeerde zijn van de eigenwaarden van A en dat de bijbehorende eigenvectoren dezelfde zijn als die van A. Vraagstuk.7 De eigenwaarden bepalen we uit de vergelijking: cos sin sin cos Hieruit volgt: cos sin ( sin cos = ( )((cos ) 2 + sin 2 ) ( )( 2 2 cos + cos 2 + sin 2 ) ( )( 2 2 cos + ) = of 2 2 cos + Als er meer dan één (reële) eigenwaarde moet zijn, moet de vergelijking 2 2 cos + minstens één (reële) eigenwaarde hebben. Dus moet de discriminant van 2 2 cos + groter dan of gelijk zijn aan nul. Dus: 4 cos 2 4 Hieraan voldoet: cos = of cos =, waaruit volgt: = + 2k of + 2k Vraagstuk.7 De matrix uit de praktijksituatie is A = (,95,2 ),5,98 Eigenwaarden bepalen we uit det (A I), dus:,95,2,5,98 (,95 )(,98 ),2,5,93,93 + 2, 2,93 +,93 ( )(,93) = of,93 We bepalen de eigenvector bij = :,5,2 u 2 (,5,2 )( u2) = ( ),5u,2u 2 5u = 2u 2.3 Determinanten, eigenwaarden, eigenvectoren 35

48 We nemen als eigenvector: u = 2 5 We bepalen de eigenvector bij,93:,2,2 u (,5,5 )( u2) = ( ),2u +,2u 2 u + u 2 u = u 2 We nemen als eigenvector: u =.3.5 Toepassingen met computeralgebra Opdracht 9 De vleermuizen uit klasse 3 komen voort uit klasse 2 en 3. Van de vleermuizen uit klasse 2 overleeft 57% het eerste jaar en daarvan 57% het tweede jaar. Dus na twee jaar is de fractie overlevenden uit klasse 2 gelijk aan,57,57,3249. Voor de overlevenden uit klasse 3 geldt hetzelfde. In formule: x 3 (k + ) x (k) +,3249 x 2 (k) +,3249 x 3 (k) Opdracht x (k + ),35,35 x x 2 (k + ),596 x 2 x 3 (k + ),3249,3249 x 3 (k) (k) Opdracht Met Maple maken we eenvoudig een rij uitkomsten met het seq( )-commando. > with(linalg): > L := matrix(3,3,[,.35,.35,.596,,,,.3249,.3249]): > x_init := vector([5,, ]): > seq(evalm(l^i &*x_init),i =.. 4); [, 79.8, ], [7.73,, ], [35.477, , ], [ , , ],... [ , , ], [ , , ] > seq( [2*i,trunc( dotprod((l^i&*x_init),[,, ]) )],i =.. 4); [2, 79], [4, 33], [6, 6], [8, 48], [, 28], [2, 9], [4, 2], [6, 8], [8, 5], [2, 3], [22, 2], [24, ], [26, ], [28, ] Met Derive gaat het via: # vector(l^k*x,k,,4) De som per periode bepalen we met: # vector(sum(l^k*x,k,,4) 36 Lineaire algebra

49 Opdracht 2 > eigenvals(l); , , Opdracht 3 We bepalen een vector die dezelfde richting heeft als de eigenvector die hoort bij de dominante eigenwaarde en met som der componenten gelijk aan 5. We noemen deze stabieleverdeling. > eigenvectors(l); 7 7 [-.393,, {[-.9, , ]}], [ ,, {[ , , ]}], [ ,, {[ , , ]}] > %[3][3]; {[ , , ]} > k:=op(%); k := [ , , ] > k[]; > som:=sum(k[j],j=..3); som := > stabieleverdeling:=evalm((5/som)*k); stabieleverdeling := [ , , ] > seq([2*i,trunc(dotprod((l^i&*stabieleverdeling),[,,]))],i =..4 ); [2, 327], [4, 24], [6, 4], [8, 9], [, 59], [2, 39], [4, 25], [6, 6], [8, ], [2, 7], [22, 4], [24, 3], [26, 2], [28, ] > rij:=seq([2*i,evalm(l^i &*stabieleverdeling)],i =.. 4); rij := [2, [ , , ]], [4, [ , , ]], [6, [ , , ]], [8, [ , , ]],... [2, [ , , ]], [22, [ , , ]], [24, [ , , ]], [26, [ , , ]], [28, [ , ,.23348]].3 Determinanten, eigenwaarden, eigenvectoren 37

50 > rij[2][2][]/rij[][2][]; rij[2][2][2]/rij[][2][2]; > rij[4][2][]/rij[3][2][]; rij[4][2][3]/rij[3][2][3]; Opdracht 4 > L_new := matrix(3,3,[,.35,.35,.32,,,,.64,.64]): > eigenvectors(l_new); [ ,, {[ , , ]}], [ ,, {[ , , ]}], - -9 [ ,, {[.4, , ]} ] Vraagstuk.72 a i, i 2 i 3,3 i 4= R 5 R 7 R 8 i 5 R 4 R 6 R 7 i 6 R R 2 R 4 i 7 R 2 R 3 R 5 i 8 b A = A = c/d De oplossing luidt: i,833, i 2,8333, i 3,833, i 4,6667, i 5,6667, i 6,58333, i 7,8333 en i 8,5833 e Geen uitwerking. 38 Lineaire algebra

51 Toets a b c De bewering is niet waar, want uit d e f = 4 volgt: g h i d e f 2d 2e 2f 2d 2e 2f a g h i g h i a b c b c = 4 a b c = 8 g h i = 8 2d 2e 2f 2d 2e 2f g h i = 8 g h i = 24 a b c 3a 3b 3c 2d 2e 2f g h i = 24 3a + 5g 3b + 5h 3c + 5i 2 De bewering is niet waar, want: a 3 a22 a 22 a 23= a 3 a3 a 32 = a 3 a 22 a 3 a 3 a 32 a 33 3 De bewering is niet waar, want volgens de regel van Cramer geldt: p p p p (p ) 2 y = = = p p (p ) p p p = (p ) = 2 (p ) p y = = = = = De bewering is waar; zie ook vraagstuk.6 uit deze leereenheid. 6 De bewering is niet waar, want: A 3 = 2 3 = 4 = = 2 (2 2) = 2 Met Maple: > A3 := matrix(3,3,[2, -3, 4, 2,, 3,, -2, 3]): > det(a3); 2.3 Determinanten, eigenwaarden, eigenvectoren 39

52 7a De eigenwaarden zijn 2, en. De bijbehorende eigenvectoren zijn en 2 b A = c De eigenwaarden zijn, en. De bijbehorende eigenvectoren 2 zijn en 2 d De eigenwaarden van A zijn de inverse van die van A ( respectievelijk /); de eigenvectoren zijn dezelfde als die van A. e > A := matrix(3,3,[,,,, 2,, -,, 2]): > Ainv:=inverse(A); > eigenvals(a); > eigenvals(ainv); > eigenvects(a); [ 2 - ] Ainv := [-3/2 /2 /2] [ ] 2,, /2,, [, 2,{[, -2, ]}], [2,,{[,, ]}] > eigenvects(ainv); [/2,,{[,, ]}], [, 2,{[, -2, ]}] 4 Lineaire algebra

53 Eindtoets hoofdstuk a Er geldt: x 2 + x x 3 2 en 2x + x 2 + 2x 3 3x 2 = 2 3x + x 2 3 3x 2 + x x x 2 Omdat x 3 kunnen we dit vereenvoudigen tot x 2 + x 2 2 2x + x 2 3x 2 en =. Hieruit volgt x 2 + x x 2 + x 22 3x + x 22 en x = x 2, zodat x = ± 52 en x 2 = ± De oplossing is dus: x =52of x = b De projectie van x op a is: p = of p = a Kolom en 2 staan loodrecht op elkaar voor elke. Kolom en 3 staan loodrecht op elkaar voor elke. Kolom 2 en 3 staan loodrecht op elkaar als + 2, dus als of als =. b M heeft geen inverse als det (M), dus als ( 3 ), 3a ofwel als of = of = 2 ± i3. 2 Als x eigenvector is van A (met onbekende eigenwaarde ), a 2 moet gelden: 2. Hieruit volgt: 2 b a + 4 = = 2 = 4, a =, b = b = 2 b A = = 2 2 Uit det (A I) volgt: