Circuits and Signal Processing ET2405-d2

Transcriptie

1 Circuits and Signal Processing ET405d e college Arie van Staveren en Wouter A. Serdijn ET045d / e college 1 Leerdoelen Na afloop van dit college kan je: het principe en de modellering van thermische ruis uitleggen; NortonThevenin, Eshift en Blakesley toepassen voor ruistransformaties; de begrenzingen in signaalniveaus in filters aangeven; het DR van een geïdealiseerde integrator bepalen; twee methoden van DR optimalisatie voor filters uitleggen; Een filter m.b.v. nullors, weerstanden en capaciteiten implementeren ET045d / e college 1

2 Dynamisch Bereik Dynamisch Bereik Signaalniveau Signaal veroorzaakt teveel distorsie Dynamisch Bereik DR Signaal verdrinkt in de ruis Ruis Uitsturing maximaal signaalvermogen SNR = ruisvermogen hetzelfde tijdstip ET045d / e college 3 Thermische Ruis Thermische Ruis i R u R Stroom als gevolg van spanning en vrije ladingsdragers wet van Ohm... ET045d / e college 4

3 u R =0 V Ladingsdragers bewegen willekeurig t.g.v. thermische energie Ruisstroom (duale situatie, i R =0 A, ruisspanning) Gemiddelde waarde = 0 A Momentane waarde 0 A ET045d / e college 5 i n t i n = 0 i ( n t ) = random Ruis bepaalt minimaal signaalniveau ET045d / e college 6 3

4 Modellering thermische ruis Modellering thermische ruis Hoe te modelleren? Momentane waarde onbekend! Gemiddelde waarde nul! Maak gebruik van vermogen of effectieve waarde : i 4 n = ktb R ej i n i n k : Constante van Boltzmann 3 ( J / K) T : Absolute temperatuur [K] B : Bandbreedte [Hz] R : Weerstand [Ω] Vermogen wordt afgeleid van het vermogensdichtheidsspectrum (S). ET045d / e college 7 F H I K Circuitmodel R i n Ruisvrije weerstand (R) Stroombron (i n ) Vermogen v.d. bron : 4kTB/R ET045d / e college 8 4

5 Vermogensdichtheidspectrum = vermogen per hertz (Hz) bandbreedte Vermogen : 4kTB/R Vermogendichtheidspectrum : S i (f)=4kt/r Thermodynamica S f Witte ruis: vlak spectrum ET045d / e college 9 S versus P S versus P S f 1 f f =z f P S( f ) df f 1 Over welke band integreren? ET045d / e college 10 5

6 Equivalente ruisbron Equivalente ruisbron i n1 v n1 Stap 1: bepaal equivalente bron i = i H i H v H v H neq n1 1 n 3 n1 n 4 i neq H 1 H Ruisvrij H 3 H 4 Stap : bepaal equivalente vermogen ineq in1 1 in 3 vn1 vn S = S H S H S H S H 4 i n v n (Bronnen ongecorreleerd) Hoe H 1 t/m H 4 te bepalen? Rechtstreeks Netwerktransformaties ET045d / e college 11 Rechtstreeks Bijvoorbeeld door middel van MNA methode Netwerktransformaties 1. Norton Thevenin R i n v n R v n =i n R ET045d / e college 1 6

7 . Eshift I v n,1 1 v n 4 III II v n,1 = v n, = v n v n, Blakesley i n,1 i n, 1 i n i n,1 = i n, = i n ET045d / e college 13 Correlatie I Correlatie I v n1 v n v n3 Stochastische bronnen: gebruik vermogensbeschrijving Ongecorreleerde bronnen: geen onderlinge relatie vermogens 100% gecorreleerde bronnen: hebben expliciete relatie ET045d / e college 14 7

8 Voorbeeld v n1 av n1 v n Bepaal equivalente bron en het equivalente vermogen. ET045d / e college Bepaling equivalent bron: De spanningen worden gewoon opgeteld. Bepaling equivalent vermogen: Twee ongecorreleerde termen: v n1 en v n Tel vermogens(dichtheidspectra) op S = S ( 1 a) S v v v eq 1 ET045d / e college 16 8

9 Oefening Gegeven: R 1 R i n1 i n Bepaal: R 1 R i neq en S neq i neq ET045d / e college Ken (willekeurige) richting aan bronnen toe. R 1 R i n1 i n. NortonThevenin op afzonderlijke weerstanden 3. NortonThevenin op geheel: bepaal R open R = open R 1 R i n1 R 1 R 1 R i n R R open ET045d / e college 18 9

10 4. Bepaal i kortsluit i n1 R 1 R 1 R i n R i = i R1 R R i kortsluit n1 n 1 R R R 1 i kortsluit H 1 H 5. Equivalente bron R 1 R i neq = i kortsluit i neq ET045d / e college Equivalent vermogendichtheidspectrum: S = S H S H neq R1 1 R 7. Invullen van S R1 en S R, H 1 en H : F HG kt S = 4 R1 4kT neq R R R R 1 1 kt R = 4 R R R b g 1 1 I KJ F HG 4kT = R R 1 R R R 1 I KJ ET045d / e college 0 10

11 Maximaal signaal Maximaal signaal Maximaal signaal : distorsieniveau bereikt specificatie Sterke distorsie (Clipping distorsie) Zwakke distorsie ET045d / e college 1 Clipping distorsie Clipping distorsie V CC v uit V CC v in v uit v in Maximale uitgangsspanning opamp is V CC (Verzadiging) Duaal is er ook een maximale uitgangsstroom. ET045d / e college 11

12 Zwakke distorsie Zwakke distorsie Werkelijke overdracht wijkt enigszins af van de bedoelde overdracht. out Bijv. : bedoeld een lineaire overdracht, gerealiseerd een zwak nietlineaire overdracht in ET045d / e college 3 Bovengrens signalen Bovengrens signalen Ingangssignaal niveau bij clipping distorsie kan als bovengrens gebruikt worden. Waarom? ET045d / e college 4 1

13 Dynamisch Bereik Dynamisch Bereik DR = Bovengrens Ondergrens Statespace filter bestaat uit gekoppelde integratoren 1. DR integrator. Relatie DR integrator DR filter ET045d / e college 5 DR van een integrator DR van een integrator 1 x 1 (t) 1/s u(t) 1/s x (t) y(t) Wat is dimensie van een integratoroverdracht? ET045d / e college 6 13

14 Eenvoudige integrator Eenvoudige integrator i in v uit Wat is hier de dimensie? Komt niet overeen met wat nodig is! Oplossing? ET045d / e college 7 UU integrator UU integrator v in R i in v uit v z z uit in in uit 1 C i dt 1 = = ( RC v v ) dt Over een paar weken een classificatie van mogelijkheden. ET045d / e college 8 14

15 Ruis van de integrator Ruis van de integrator v nin R i in Ruisvermogen aan de uitgang van de integrator ET045d / e college 9 Bepaling v n,uit v n bevindt zich aan de ingang van de integrator. V nuit = H( s) V nin 1 H( s) = 1 src V nuit Vn in = 1 src Wat valt er op aan H(s)? ET045d / e college 30 15

16 Bepaling S n,uit S = H( s) S nuit nin Sn uit = 4 1 1R C ktr ω Bepaling P n,uit 1z 4kT Pn = Sn dω = arctan( ωrc) uit uit 0 0 π πc 4kTLπ O = 0 πc P n uit = kt C NM QP Ruisvermogen hangt alleen van C af! ET045d / e college 31 Dynamisch Bereik Dynamisch Bereik R v nuit i in P n uit = kt C DR =? ET045d / e college 3 16

17 DR van een actieve integrator DR van een actieve integrator C v in R V CC v uit v uit 1z = RC v dt in ET045d / e college 33 C v in R V CC v uit Bij deze integrator kunnen we het DR alleen aan de ingang bepalen. Voor lage frequenties wordt de versterking van de Integrator zeer groot ( voor f=0). Integrator in principe niet los te zien van het volledige filternetwerk. Veronderstelling doen voor de ruisbandbreedte ET045d / e college 34 17

18 Sn in = 4kTR B = 1 πrc kt Pn in = πc Versterking van integrator = 1, (bandbreedte van filter) Maximale peaktopeak ingangssignaalzwaai is: V V P smax V = 8 CC in max = peak peak CC Dynamisch Bereik: Ps max DR = = P n max π VCCC 16kT ET045d / e college 35 Voorbeeld VCC = 5 V C = 10 pf v in R C V CC v uit Ps V C max CC DR = = = P 16kT nmax π 10 10log( DR) = db 88.3 db voor V CC = 1. V ET045d / e college 36 18

19 Relatie DR integrator DR filter Relatie DR integrator DR filter Teken uitgaande van een implementatie van het derdeorde laagdoorlaat Butterworth filter (B=1Hz): 1 u(t) ω c /s ω c /s ω c /s y(t) x 3 (t) x (t) x 1 (t) ET045d / e college 37 Implementatie 3e orde Butterworth Implementatie 3e orde Butterworth 0.5Ω 0.5Ω.159 F.159 F.159 F v in v out ET045d / e college 38 19

20 3 e orde filter, ongeschaald 3 e orde filter, ongeschaald V(8) uitgang 3 e integrator (filter) V(6) uitgang e integrator V(4) uitgang 1 e integrator ( f c = 1 Hz) Is dit een optimaal ontwerp? ET045d / e college 39 Optimalisatie Dynamisch Bereik Optimalisatie Dynamisch Bereik Niet alle integratoren worden optimaal benut ET045d / e college 40 0

21 Schaling op maximale uitsturing Schaling op maximale uitsturing Schaal filter z.d.d. alle integratoren dezelfde maximale uitsturing hebben. 1 1/s 1 a>1 Waarom niet a<1? a 1/s 1/a Wat is het effect op topologie? Voor sinusvormige signalen ET045d / e college 41 Oefening 1 Pas schaling toe op dit filter u(t) ω c /s ω c /s ω c /s y(t) x 3 (t) x (t) x 1 (t) zodat alle integratoren dezelfde maximale uitsturing hebben. V ( 4) = V ( 6) = 0. 73V (8) max max max ET045d / e college 4 1

22 Schaling I Schaling I ET045d / e college 43 Schaling II Schaling II Waarom niet? ET045d / e college 44

23 Schaling III Schaling III Pas schaling toe op onderstaande implementatie 0.5Ω 0.5Ω.159 F.159 F.159 F v in v out ET045d / e college 45 Geschaalde implementatie Geschaalde implementatie 0.73Ω 0.5Ω 0.5Ω 0.73Ω.159 F.159 F 1.37Ω.159 F v in v out Waarom de capaciteiten niet wijzigen? ET045d / e college 46 3

24 Geschaalde toestanden Geschaalde toestanden ET045d / e college 47 Vermogensschaling Voor witte spectra: maak vermogen a.d. uitgang v.d. integratoren gelijk. F f1 F = I A B G J = 1 bs g f H n I K F geeft de overdrachten ingangfilter naar uitgangintegratoren ET045d / e college 48 4

25 D 1 1 sx X B 1/s C 1 1 n n n n 1 1 n A n 1 H( s) = C( si A) B D ET045d / e college 49 z 0 1 Vermogensoverdrachten: K = FF * dω π (K : controllability Gramian matrix) Diagonaal elementen geven vermogensoverdrachten van ingang filter naar de uitgang van de n integratoren. c f f, f f,, f f * * * 1 1 n n h ET045d / e college 50 5

26 1 ( ω = c π) u(t) ω c /s ω c /s ω c /s x 3 (t) x (t) x 1 (t) y(t) 3 x1 y ω c = = = u u s ω s ω s ω x u x u c c c x s / ω c sω c = = 3 3 u s ω s ω s ω 1 c c c x s / ω c ω cs = = 3 3 u s ω s ω s ω 3 c c c f f f * 1 1 = ω ω 6 c 6 6 c ω (vergl. Butterworth poly.) ET045d / e college 51 1z π f1 f * 1 dω = π 3 0 1z f f dω π * = π 3 0 1z π f3 f * 3 dω = π 3 0 Tweede integrator vereist vermogensschaling met factor u(t) ω c /s 1.4 ω c /s 0.7 ω c /s y(t) x 3 (t) x (t) x 1 (t) ET045d / e college 5 6

27 K s s: integratie Toestanden ET045d / e college 53 Schaling van ruisoverdrachten Schaling van ruisoverdrachten Voor witte ruisspectra: maak ruisbijdragen integratoren a.d. uitgang v.h. filter gelijk. 1 b 1 ng b g G = g g = C si A G geeft de overdrachten ingangintegratoren naar uitgangfilter ET045d / e college 54 7

28 D 1 1 sx X B 1/s C 1 1 n n n n 1 1 n A n 1 H( s) = C( si A) B D ET045d / e college 55 z 0 1 Vermogensoverdrachten: W = GG * dω π (W : observability Gramian matrix) Diagonaal elementen geven overdrachten van (ruis)vermogen a.d. ingang van de integratoren naar de uitgang v.h.filter. Minimaliseren ruis via W en maximaliseren uitsturing via K vereist wijziging topologie! ET045d / e college 56 8

29 Fundamentele limiet Fundamentele limiet Optimale verdeling beschikbare capaciteit Maximalisatie uitsturing integratoren Minimalisatie ruisbijdrage integratoren ruis integratoren DR opt = Vmax C kt Q f ( H ( j ω)) 4 ξ V max : voedingsspanning C : totale capaciteit Q : kwaliteitsfactor filter H( jω) : filteroverdracht ξ : Ruisfactor ET045d / e college 57 9