Kegelsneden in het affiene vlak. Poolcoördinaten. Meetkundige plaatsen in het polair vlak

Transcriptie

1 gsnn in ht in vk Mtkunig ptsn in ht rtsish vk oooörintn Mtkunig ptsn in ht poir vk Lon Lnrs

2 EGELSNEDEN IN HET AFFIENE LA Coörintntrnsormtis ij vrptsing vn ht ssnsts Trnsti vn ht ssnsts in : o( (, in : o( (, in : o(o (, O Trnstiormus O Uit trnsti vogt : OE O E n OE O E ( Dn is OO OE OE O OE OE O O E O E Uit O OO O vogt n OE OE OE OE O E O E ( OE ( ( OE n us o Rotti vn ht ssnsts in : o( (, in : o( (, Rottiormus Uit!! rotti vogt! : E Eos Esin!! π! π E Eos( Esin(!! Esin Eos!!!!!!! E E E E Eos E!! ( os sin E ( sin os E O!! sin ( E sin E os

3 Dn is us os sin sin os o os sin sin os o [ ] [ ] os sin sin os Mn kn trnsti n rotti tgijkrtij uitvorn mt vogn ormus : os sin sin os o os sin sin os n [ ] [ ] os sin sin os Agmn vrgijking vn n kgsn D gmn vrgijking vn n kgsn is (,,,, (, ( mt o [ ], ( (kuish mtrivorm o o [ ] [ ] [ ] [ ] (kwrtish mtrivorm Δ wort kuish trminnt gnom δ wort kwrtish trminnt gnom

4 oor nonik vrgijkingn gt : [ ] C B A C B A E mt δ > A n B hn us htz tkn Inin C ook htz tkn ht s A n B is ips g (AΔ > Inin C ht tgngst tkn ht vn A n B hn w n (nit-g ips (AΔ < Inin C is ips één punt o (, ; Δ : ips is ontr [ ] C B A C B A H mt δ < A n B hn us ht tgngst tkn Inin C is hproo uni vn rhtn oor oorsprong ; Δ : hproo is ontr o [ ] [ ] p p p p p p Inin p hn w n (nit-ontr proo Inin p is proo uni vn vnwijig (smnvn rhtn ; Δ : proo is ontr Cnonik mkn vn n vrgijking vn n kgsn Mt vogn tw ignshppn kn mn gmn vrgijking vn nit-ontr kgsnn nonik mkn W zun ntonn t wr vn kwrtish trminnt δ n vn kuish trminnt Δ hirij nit zun vrnrn Eignshp D trmn vn rst gr vn vrgijking vn n kgsn kunnn vrwijnn oor n gpst trnsti vn ht ssnsts St n O( o, o is niuw (nog onkn oorsprong

5 Mt trnstiormus vinn w ( ( ( ( ( ( ( ( Om niuw oorsprong O( o, o t vinn motn w ht sts opossn Dit kn shts s δ, us voor ips n hproo Dz niuw oorsprong nomn w ht mipunt vn kgsn D ips n hproo worn rom mipuntskgsnn gnom D niuw vrgijking vn wort n (, (hrttring voor n! Mrk op t kwrtish mtri n us ook kwrtish trminnt nit vrnr is Eignshp D trm in vn vrgijking vn n kgsn kn vrwijnn oor n gpst rotti vn ht ssnsts St [ ] [ ] mt W pssn rottiormus to : os sin sin os os sin sin os os sin sin os [ ] [ ] D niuw kwrtish mtri wort (w pn nk niuw os sin sin os os sin sin os os sin sin os os sin os sin os sin sin os

6 os sin os sin os sin os sin sin os os sin D niuw ( os sin (os sin Dz is nu os ( sin tn π Hiruit kn mn gpst rottihok rknn (inin is rottihok Mrk op t kwrtish trminnt nit vrnr is, wnt os sin sin os os sin sin os Mrk op t kuish trminnt nit vrnrt ij trnsti, rotti o ij i trnsormtis : [ ] wort os sin os sin [ ] sin os sin os n mn kn gmkkijk ngn t niuw kuish trminnt gijk is n n us gijk is n oorspronkijk trminnt Bij n ips n hproo vorn w rst n trnsti nr ht mipunt uit n rn n rotti ovr gshikt hok Bij n proo vorn w rst rotti uit Omt hirij wgvt, z ook o wgvn (δ Drn vorn w trnsti zo uit t vrgijking nonik wort (voig kwrt mkn

7 oorn Mk vogn vrgijkingn nonik : 7 Oningn Mk vogn vrgijkingn nonik : 7 Mk vogn vrgijkingn nonik : 7 Bp voor k vn vogn pron oörint vn top, rnpunt, vrgijking vn s n vrgijking vn rihtijn: 7 7 Bp vrgijking vn proo s top T(, n rnpunt B(-, top T(, n rnpunt B(, top T(, n rihtijn top T(,, rihtijn oor (-, n rnpunt op -s rnpunt B(, n rihtijn

8 7 7 Bp voor k vn vogn ipsn oörint vn toppn, rnpuntn, vrgijking vn ijhorn rihtijnn, vrgijkingn vn ssn n ntriitit: E E E E E E Bp vrgijking vn ips s (, n (-, toppn zijn n kin s ng is n top op (, igt, n rnpunt op (,- n ht mipunt op (, rnpuntn (, n (-, zijn n ntriitit,7 is toppn op (, n (-, iggn n n rnpunt op (-, rihtijnn n - zij, n hoos - is n ntriitit,7 7 Bp voor k vn vogn hpron oörint vn toppn, rnpuntn, vrgijking vn ijhorn rihtijnn, vrgijkingn vn ssn n ntriitit: 7 H H H H H H Bp vrgijking vn hproo s (, ht mipunt is, (, n top n (, n rnpunt (, ht mipunt is, (,- n rnpunt n is (, ht mipunt is, (, n top n n smptoot is (-, ht mipunt is, (-, n top n, (-7, n (, toppn zijn n - n smptoot is Rht n kgsn Oningn Bp onring igging vn kgsn mt rht : 7 7

9 Bp onring igging vn kgsn mt rht : Bsprk onring stn vn kgsn n rht in unti vn Bp vrgijking vn rkijn in ht punt vn kgsn (, (, (, (, (, (, Bp vrgijkingn vn (vntu rkijnn uit ht punt n kgsn (, (, (, (, (, (, Cssiiti vn kgsnn δ > n Δ > is n nit-ontr g ips δ > n Δ < is n nit-ontr nit-g ips δ > n Δ is n ontr ips (punt δ < n Δ is n nit-ontr hproo δ < n Δ is n ontr hproo ( snijn rhtn δ n Δ is n nit-ontr proo δ n Δ is n ontr proo : vnwijig rhtn, i kunnn smnvn o n g proo

10 oorn oorn Bp r vn vogn kgsnn Oningn Bp r vn vogn kgsnn j i h g Bpn vn omponntn vn n ontr kgsn En ontr kgsn (Δ kn stn uit tw rhtn, i vntu vnwijig kunnn zijn o uit n punt o {D} ( Om vrgijkingn t vinn vn z omponntn n t vinn gn w vrgijking vn ontr kgsn shrijvn s n som o vrshi vn kwrtn vn rstgrsvtrmn Bij n vrshi krijgn w n uni vn tw rhtn; ij n som hn w n oorsn vn tw rhtn, us n punt

11 Inin, n is één vn oëiiëntn, o ook nu n n igt ontining voor hn oorn Oningn D vogn kgsnn zijn ontr Contror Zok vrgijkingn vn omponntn k j i h g 7 gsnnuns D gmn vrgijking vn kgsn is (,,,, (, ( mt rmits z vrgijking shts op n vvou n p is, kn één vn oëiiëntn sts gijk gst worn n Om kgsn vst t ggn, motn us nog oëiiëntn p worn D kgsn is us voig p oor (onr nr puntn Door puntn kunnn us nog oninig v kgsnn gn, z vormn smn n un vn kgsnn

12 Bp vrzming vn kgsnn i oor puntn A(,, B(,, C(-, n D(,- gn Opossing W isn t {A, B, C, D} n vinn ( ( - ( - - ( Uit ( n ( vogt t n t ( ( wort - - ( ( wort ( Dus - - n uit ( - - Dit vun w in in gmn vrgijking ( n vinn ( ( ( ( n mt p n q wort it p ( q( D vrzming vn kgsnn i oor ggvn puntn gn, kunnn w us shrijvn s n inir ominti vn tw kgsnn n mt { p q ; p R}, q is gvrg vrzming vn kgsnn i oor opggvn puntn gn W nomn z vrzming n un vn kgsnn, p oor tw kgsnn n Dz tw kgsnn nomt mn sismprn vn un, nr kgsnn nomt mn (gwon mprn

13 Eignshppn Ek pr vrshin mprn vn n un is n pr sismprn Ek punt t tot tw sismprn vn n un hoort, is n mnt vn k mpr vn un W nomn it n vst punt vn un Er is juist één mpr vn un t oor n (wikurig nit-vst punt vn un gt En kgsnnun, i minstns één nit-ontr kgsn vt, vt minstns één n hoogstns ri ontr mprn Bwijs St n rmits minstns één mpr nit-ontr is, nmn w ijvoor Δ oor nr kgsnn vn un kunnn w shrijvn: k mt mtri M km M n trminnt k k k Δ k k k k k k is ontr s n shts s Δ Door topssing vn ignshppn vn trminntn vinn w n vogn rgrsvrgijking : k³ mt Δ Dz vrgijking ht minstns één n hoogstns ri rë opossingn Mt z k- wrn orrsponrn n één, tw o ri mprn vn un, vrshin vn Door één vn z ontr mprn ( rhtn t pn, kn mn snijpuntn pn vn z rhtn mt n sismpr vn un Zo kn mn us (hoogstns vst puntn vn kgsnnun pn Topssing : ht pn vn snijpuntn vn tw kgsnn W pn n inir ominti i n ontr kgsn opvrt W ontinn it ontr mpr in zijn omponntn n pn t snijpuntn vn rht(n mt n vn tw ggvn kgsnn Dit zijn n ook snijpuntn vn tw ggvn kgsnn

14 Oning Bp vst puntn vn kgsnnuns mt vrgijking ( ( ( ( ( ( ( ( 7 ( ( q p q p q p q p q p Bp snijpuntn vn kgsnn mt vogn vrgijkingn 7 j i h g

15 Mtkunig ptsn Antish mtho Ggvn tw puntn n Q vn ht vk Zok mtkunig pts vn puntn vn ht vk, wrvn ht vrshi vn ht kwrt vn stn tot n punt mt ht kwrt vn stn tot n punt Q ( Q gijk is n n zijn tw rhtn vn ht vk zot n {O} A n B n A B is n rht oor punt A, is n rht oor punt B {C} n {D} zot O ht min is vn [CD] Zok mtkunig pts vn S s {S} Ggvn vst puntn A n B Bp mtkunig pts vn ht vrnrijk punt zot A B Ggvn tw puntn n Q vn ht vk Zok mtkunig pts vn puntn vn ht vk, wrvn ht som vn kwrtn vn stnn tot ht punt rsptivijk tot ht punt Q ( Q gijk is n Ggvn tw puntn n Q vn ht vk Zok mtkunig pts vn puntn vn ht vk, wrvn vrhouing vn stnn tot ht punt rsptivijk tot ht punt Q (Q gijk is n Ggvn tw puntn (, n Q(-, vn ht vk Zok mtkunig pts vn puntn vn ht vk, wrvn ht prout vn stnn tot ht punt rsptivijk tot ht punt Q ( Q gijk is n 7 Ggvn tw snijn rhtn Bp mtkunig pts vn puntn wrvn som vn kwrtn vn stnn tot z tw rhtn onstnt is

16 Mtho vn gssoir krommn oor z oningn zijn ppts uitgwrkt : zi kwrttnt : Mtkunig ptsn n zijn tw rhtn vn ht vk zot n {O} A n B n A B is n rht oor punt A, is n rht oor punt B {C} n {D} zot O ht min is vn [CD] Zok mtkunig pts vn S s {S} Drihok OAB is rhthokig in O n n vrnrijk rht, vnwijig mt OA, snijt zijn OB n AB in rsp C n D Bp mtkunig pts vn ht snijpunt S vn AC n OD Bp mtkunig pts vn mins vn koorn vn n irk wrvn rgrs oor n ggvn punt, uitn irk, gn Ggvn n rihok ABC D rht // AB snijt BC in D n AC in E Bp mtkunig pts vn ht snijpunt S vn AD n BE s zih vnwijig vrptst Ggvn n rht OD Mn shouwt irks i in D rkn n OD n rhtn i O n ht mipunt M vn ir irk vttn Bp mtkunig pts vn snijpuntn vn ir rht mt ovrnkomstig irk Op (ht vrng vn zij BC vn rihok ABC nmt mn puntn Q n R zot C ht min is vn [QR] Mn vrint Q mt A n R mt ht min S vn [AC] Bp mtkunig pts vn ht snijpunt vn RS n QA 7 Bshouw ht punt A(, n ht punt (p, in n orthonorm sis Construr ooijn in op A Dz ooijn snijt -s in B Construr ht ijnstuk [BC] zonig t ht min is vn [BC] Bp mtkunig pts vn puntn C s -s ooroopt En rihok QR ht n vst sis [Q] Bp mtkunig pts vn ht hokpunt R s hok [R [RQ onstnt is En rihok QR ht n vst sis [Q] Bp mtkunig pts vn ht hokpunt R s ht vrshi vn sishokn [Q [R n [Q [QR onstnt is En ijnstuk [AB] ht n onstnt ngt n wgt zo t inpuntn tot tw ggvn orthogon rhtn horn Bp mtkunig pts vn n punt AB s (A,B, -k Ggvn tw snijn rhtn p n q n n punt L p, L q En vst rht i L vt snijt p n q rsp in n Q En vrnrijk rht m i L vt snijt p n q rsp in R n S Bp mtkunig pts vn ht snijpunt M vn S n RQ s m ron L wntt

17 Ggvn n rihok QR En trnsvrs snijt Q, QR, R rsp in S,T,U Bp mtkunig pts vn ht snijpunt N vn T n SR s zih vnwijig vrptst En rihok QR ht tw vst hokpuntn n Q, trwij ht hokpunt R zih vrptst op n vst rht vnwijig mt Q Bp mtkunig pts vn ht hoogtpunt H vn z rihok Ggvn n rihok QR Door n wikurig punt D QR trkt mn DE // R n DF // Q Bp mtkunig pts vn ht snijpunt S vn igonn vn ht progrm EDF Ggvn tw snijn rhtn p n q n n punt M p, M q En rht i M vt snijt p n q rsp in n Q D rhtn i rsp n Q vtttn n vnwijig zijn mt rsp q n p, hn S s snijpunt Bp mtkunig pts vn S s ron M wntt Ggvn tw rhtn p n q mt p q En orhtogon rhtnpr {,} mt snijpunt p wntt om snijt q in Q Bp mtkunig pts vn ht snijpunt S vn mt rht QR, wrij R p 7 Op tw orthogon rhtn p n q mt p q {O} nmt mn rsp puntn n Q zot s( s(q k Bp mtkunig pts vn ht tw snijpunt S vn irk omgshrvn n rihok OQ mt rht i O vt n vnwijig is n Q Tw irks C n C rkn kr uitwnig in O [O] is n koor vn C n [OQ] is n koor vn C wrij O OQ Bp mtkunig pts vn ht min M vn [Q] s ht rhtnpr {O,OQ} ron O wntt

18 7 oooörintn r (, (ϕ,r ϕ O O is poo is poos ϕ is poohok o ht rgumnt r is vorstr D poohok is p op n vvou vn π n oor poo is r n ϕ is onp D vorstr mg ngti zijn : ( ϕ, r ( ϕ π, -r n poooörint nr rtsish oörint rosϕ rsin ϕ n rtsish oörint nr poooörint r ϕ Bg tn s > ; ϕ π Bg tn s < rgijkingn in poooörintn vn krommn Rht oor poo ϕ ϕ Rht, nit oor poo r osϕ r sinϕ r osϕ sinϕ Dz vrgijking is onhnig 7

19 En nvouigr vrgijking krijgt mn s rht p wort oor n normvtor D rht wort p oor ht punt N(ϕ,r n ON N O oor k punt (ϕ,r gt : r r ros( ϕ ϕ r os( ϕ ϕ oor L X gt oor L // X gt r r o r osϕ r r r o r π sinϕ os( ϕ D spir S : r ϕ Opmrking Nit oörintn vn n punt vn S voon n poovrgijking Ht punt (π,π hoort tot spir, mr nr poooörintn vn htz punt voon nit n vrgijking, ijvoor (π,π En irk mt ht mipunt in poo : r r oovrgijkingn vn nit-ontr kgsnn (gn irks W vinn nvouigst vrgijking s w n rnpunt s poo nmn n rihtijn oorht op poos nmn Q O B (, B { ; } is kgsn mt rihtijn, rnpunt B n ntriitit (,

20 St -k, n vinn w ( ϕ, r (, B (, r Q r rosϕ k r ± ( r osϕ k k k r o r osϕ osϕ Mt (ϕ,r (ϕ π,-r gt tw vrgijking ovr in rst vrgijking, wnt k k k k r r r r osϕ os( ϕ π osϕ osϕ Dus : ( ϕ, r k r osϕ Rkijn in n punt vn n kromm mt ggvn poovrgijking t β (ϕ,r O ϕ St : r (ϕ rosϕ ( ϕosϕ Ht sts is n n sts prmtrvrgijkingn vn rsinϕ ( ϕsinϕ ϕ rsinϕ rosϕ Uit ns wtn w t tn n rosϕ r sinϕ ϕ r sinϕ r osϕ sinϕ tn tnϕ r osϕ r sinϕ osϕ tn β tn( ϕ tntnϕ r sinϕ r osϕ sinϕ r osϕ r sinϕ osϕ r wruit vogt t voor n wikurig punt (ϕ,r gt t tn β mt β is hok r tussn rkijn n kromm in ht punt n vorstr vn

21 Oningn (, is oörint vn n punt in n orthogon sis Bp poooörint ( ϕ, r s O s poo n OE s poos gkozn wort (, (, (, (, (, (-, (, (-, (, (, g (, (, (, (, h (, (-, Bp rtsish oörint (, in n orthonorm sis s ( ϕ, r ggvn is mt O s poo n OE s poos π π ( ϕ, r (, ( ϕ, r (, ( ϕ, r ( π 7π, ( ϕ, r (, ( ϕ, r ( π, g ( ϕ, r ( π Bg tn, π ( ϕ, r (, h ( ϕ, r ( Bg tn, Shrij vogn vrgijkingn in poooörintn Shrij vogn vrgijkingn in rtsish oörintn r os ϕ r osϕ π ϕ r os( ϕ π r g r ( osϕ r sin ϕ h r os ϕ sin ϕ Shrij vrgijking in poooörintn vn rht oor ht punt ( π, n oorht op vorstr oor ips mt rnpunt in poo, mt rihtijn π proo mt rnpunt in poo n top in (, n ntriitit osϕ hproo mt rnpunt in poo, mt rihtijn osϕ n

22 Bp hok gvorm oor vorstr n rkijn n in nggvn puntn π π r Rosϕ (, R Q(, R osϕ (, Q( π, π os (, π r ϕ Q(, π r sin ϕ osϕ (, Q(, ϕ r (, Q(, π π osϕ (, Q(, M (, N( π,

23 Mtkunig ptsn in poooörintn oor z oningn zijn ppts uitgwrkt : zi kwrttnt Mtkunig ptsn Ggvn n irk C mt str n n rkijn t in n punt T vn C En hv rht mt oorsprong O, tgnpunt vn T op C, i nit vnwijig is mt t, snijt C n tw m in M n snijt t in N Op i hv rht [OM nmn w n punt zot O MN Bp mtkunig pts vn ht punt s hv rht ron O wntt Ggvn n rht n n punt O D rht i O vt n mt orthogon is, snijt in D En hv rht mt oorsprong O, i mt nit vnwijig is, snijt in M Op [OM nmn w ngs i kntn vn M puntn n Q zot M MQ DM Bp mtkunig pts vn puntn n Q s hv rht [OM ron O wntt Ggvn irk C(M, D hv rht mt oorsprong O C snijt C n tw m in S Op [OS nmn w ngs wrskntn vn S puntn n Q wrij S SQ Bp mtkunig pts vn puntn n Q s hv rht [OS ron O wntt Ggvn tw puntn (, n Q(π, vn ht vk Zok mtkunig pts vn puntn vn ht vk, wrvn ht prout vn stnn tot ht punt rsptivijk tot ht punt Q ( Q gijk is n Ggvn n rht OD Mn shouwt irks i in D rkn n OD n rhtn i O n ht mipunt M vn ir irk vttn Bp mtkunig pts vn snijpuntn vn ir rht mt ovrnkomstig irk Ggvn n punt O n n rht mt O En rht i O vt snijt in D Op nmn w puntn n Q mt D DQ Bp poovrgijking vn mtkunig pts vn puntn n Q s ron O wntt Li hiruit rtsish vrgijking 7 Ggvn n punt O n n rht mt O En rht, i O vt, snijt in D n rht p, i O vt, snijt in C Op nmn w n punt zo t O CD Bp poovrgijking vn mtkunig pts vn ht punt s ron O wntt Li hiruit rtsish vrgijking Ggvn tw rhtn n m mt m n m {O} En vrnrijk rht snijt n m rsp in L n M zot LM Bp poovrgijking vn mtkunig pts vn orthogon projti vn O op Li hiruit rtsish vrgijking Ggvn n vst rht OM n n rht i O vt D orthogon projti vn M op is Q Bp poovrgijking vn mtkunig pts vn orthogon projti op vn ht smmtrish punt R vn Q tov s ron O wntt Li hiruit rtsish vrgijking Bp mtkunig pts vn mins vn koorn vn n kgsn, i oor n rnpunt vn i kgsn gn