Modelleren C Appels. 1 Inleiding. Inhoudsopgave. 2 Probleembeschrijving. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both.

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Modelleren C Appels. 1 Inleiding. Inhoudsopgave. 2 Probleembeschrijving. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both."

Transcriptie

1 1 Inleiding Inhoudsopgave Modelleren C Appels Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both 18 mei Inleiding 2 2 Probleembeschrijving 2 3 Data 3 4 Aanpak 4 5 Deterministische aanpak Populariteit van producten Beste bingrootte per product Minimaal benodigde ruimte Maximaal benodigde ruimte Oppervlakte bepalen Stochastische aanpak Productanalyse Simulatie Resultaten 10 8 Conclusie 12 Iedereen loopt wel eens tegen een ruimteprobleem aan, soms zonder dat je je er in eerste instantie van bewust bent. Stel dat je net een nieuwe kast hebt gekocht bij IKEA. De kast bestaat uit twee zijsteunen en een aantal planken die op elke gewenste hoogte in de kast geplaatst kunnen worden. Een mogelijkheid is dat je de planken op gelijke afstand van elkaar in de kast plaatst, maar is dit wel de beste oplossing? Je kiest ervoor om dit te doen en op het moment dat de kast gevuld is merk je dat je ruimte te kort komt voor je spullen. Je nieuwste bordspel past er niet meer in. Aan de andere kant heb je ook loze ruimte die niet gevuld is, maar daar past dat spel niet meer bij. Als je de indeling van de planken aanpast, bestaat er dan een oplossing zodat wél al je spullen in de kast passen? In dit project zullen we gaan kijken hoe we grote aantallen appels kunnen opslaan in een distributiecentrum. Net als bij het kastenprobleem lopen we hier tegen een ruimtegebrek aan dat we mogelijk op kunnen lossen met een andere indeling. Allereerst zal er een beschrijving van het probleem gegeven worden. Hierna zal er een aanpak voor het probleem gegeven worden en daarna zal worden toegelicht wat er tot nu toe onderzocht is. Vervolgens worden de behaalde resultaten weergegeven en de conclusies worden toegelicht. Ook zal er een schatting worden gegeven van de benodigde ruimte die voor de gegeven data nodig is. 2 Probleembeschrijving Een bedrijf runt een distributiecentrum met een groot aantal verschillende soorten appels. Een distributiecentrum is een grote hal waar producten volgens een aanvoerproces binnenkomen en er volgens een bestelpatroon weer uitgaan. In dit verslag wordt er dan ook gesproken over de aanvoer en de afvoer. Volgens de huidige indeling blijkt het distributiecentrum te klein om alle aanvoer op te slaan. Omdat uitbreiding erg kostbaar is, komt het bedrijf met de volgende hoofdvraag. Wat is de meest ruimte-optimale binindeling van het distributiecentrum, zodanig dat men alle producten kwijt kan gegeven het aan- en afvoerproces? Er zal zo uitgelegd worden wat er precies wordt bedoeld met een bin. Een antwoord op de hoofdvraag kan gevonden worden door naar een aantal deelvragen te kijken: 1. In hoeverre is er sprake van snellopende (populaire) producten? 2. In wat voor bin kan een bepaald product het beste worden geplaatst? 3. Hoe verhouden de aankomst- en vertrekprocessen van elk product zich ten opzichte van elkaar? 4. Wat is de minimale ruimte die benodigd is om de producten kwijt te kunnen? 5. In welke ordegrootte zal de maximaal benodigde ruimte moeten liggen? 6. Hoe kunnen we uit een binindeling de benodigde ruimte bepalen? De aan- en afvoer over een bepaalde periode uit het verleden zijn bekend. Aan de hand van deze gegevens zal er een indeling gemaakt moeten worden. De aan- en afvoer van producten 1 2

2 wordt gegeven in aantal pallets. Een pallet hoeft niet helemaal vol te staan, men gaat uit van positief, reeël aantal pallets. De pallets worden in het magazijn vervolgens opgeslagen in bins. Een bin is opslagruimte waarvan de grootte van tevoren is bepaald. Het is een verzameling palletplaatsen bij elkaar. De grootte van een bin is een natuurlijk getal en kan variëren van grootte 1 tot grootte 5. Een product dat op een bepaalde dag binnenkomt, wordt opgeslagen in één of meerdere bins. In deze bins mogen geen andere producten opgeslagen worden zolang er nog producten liggen. Hierbij geldt één uitzondering: twee dezelfde producten die op dezelfde dag binnenkomen mogen wel bij elkaar in dezelfde bin gestopt worden, in alle andere gevallen dienen we gebruik te maken van een lege bin. Voor de afvoer van de producten geldt het FIFO principe (First-In = First-Out). Dit houdt in dat de producten die het langste in het magazijn aanwezig zijn als eerste moeten worden geleverd. Aanvoer die bestaat uit meer dan één pallet mag onbeperkt worden opgesplitst in kleinere hoeveelheden. Daarnaast dient het magazijn zowel een ingang als een uitgang te bevatten. Voor elke bin dient tevens een ruimte aanwezig te zijn zodat een vorkheftruck ruimte heeft om de producten te verplaatsen. Wij zullen ons probleem beperken tot het geval van vierkante pallets met een vaste grootte. 3 Data De aanvoer en de afvoer is bekend over een periode van 100 dagen. Elke dag wordt gewerkt van ongeveer 6 uur s ochtends tot 8 uur s avonds. De data is opgesplitst in een aanvoerbestand en een afvoerbestand. Beide bestanden hebben een gelijkwaardige opbouw met de volgende gegevens: Tijdstip van levering/bestelling (in seconden vanaf dag 1, 0:00) Tijdstip van levering/bestelling (werkelijke tijd, in minuten) ProductID/artikelnummer van het product dat wordt geleverd of besteld(7 cijferige productcode) De grootte van de levering/bestelling in pallets (positief reel getal) Het magazijn heeft daarnaast de volgende eigenschappen: Elke pallet heeft een grootte van 1 bij 1 meter. Vóór elke bin is een ruimte van 2 vierkante meter nodig om producten te kunnen verplaatsen. De grootte van een bin kan variëren van 1 tot en met 5 pallets. De aanvoer is gegeven in een txt-file en bestaat uit leveringen. De afvoer is ook gegeven in een txt-file en bestaat uit bestellingen. Merk op dat in de data de tijd gewoon doorloopt op het momenten dat er niet wordt gewerkt (vanaf 8 uur s avonds tot 6 uur s ochtends op de volgende dag). In onze berekeningen zullen wij hier wel rekening mee houden. 4 Aanpak We zullen het probleem van twee kanten benaderen. We beginnen met een deterministische aanpak. Gegeven een dataset zullen we een oplossing bieden voor het probleem. Daarnaast zullen we het probleem stochastisch benaderen. Bij deze aanpak weten we niet precies wat de aanvoer en afvoer is, maar we weten wel de patronen. Ook hiervoor zullen wij een oplossing bieden. Wij zullen voor beide gevallen een zo optimaal mogelijke oplossing moeten bepalen. Om het probleem overzichtelijk te houden zullen we eerst een oplossing gaan zoeken door alleen gebruik te maken van bins ter grootte één. Hiermee bepalen we dan een bovengrens voor de ruimte die wij met grotere bins omlaag willen krijgen. Zo kunnen we bekijken of het gebruiken van grotere bins wel nut blijkt te hebben. 5 Deterministische aanpak Van het probleem is veel data gegeven, hieruit vallen verschillende dingen af te lezen. We zullen deze onderdelen volgens de deelvragen behandelen. 5.1 Populariteit van producten Deelvraag 1 heeft betrekking op de populariteit van de producten. Om de populariteit van producten vast te stellen zullen we hier kijken naar de gemiddelden en standaardafwijkingen. Later zullen we (bij de stochastische aanpak) ook gebruik maken van het aantal bestellingen per product. Om het gemiddelde en de standaardafwijking te bepalen, kijken we naar de aanvoer en afvoer per product. We selecteren daartoe steeds alle data van één product. Dit doen we door de aan- en afvoer bij elkaar te voegen tot één groot databestand. Dit bestand wordt dan gesorteerd op productnummer. Zo kan er per product het gemiddelde aantal pallets dat per levering aankomt en het aantal pallets dat per order wordt uitgevoerd berekend worden. Dit gemiddelde wordt berekend door van de aanvoer alle pallet-groottes bij elkaar op te tellen en te delen door het aantal aankomsten van dat product. Het gemiddelde voor de afvoer wordt analoog berekend. Voor de standaardafwijking van de pallet-grootte wordt de volgende formule gebruikt (de steekproefstandaardafwijking): s = 1 n (x i µ) n 1 2 (1) In deze formule staat n voor het aantal leveringen/orders van dat product, x i voor de grootte in het aantal pallets dat per levering wordt aangevoerd of het aantal pallets dat per order wordt uitgevoerd. De µ in de formule is het gemiddelde aantal pallets dat per levering wordt aangevoerd of het aantal pallets dat per order wordt uitgevoerd. Uit deze berekeningen volgen dus vier parameters: de gemiddelde grootte en de standaardafwijking van een pallet die aankomt en de gemiddelde grootte en standaardafwijking van een pallet die wordt uitgevoerd. Dit levert ons de volgende grafiek. i=1 3 4

3 In het geval dat we alleen bins ter grootte 1 willen gebruiken volstaan we met 5 bins, want 2 leveringen van hetzelfde product mogen niet in dezelfde bin worden geplaatst. In het geval dat we alleen bins ter grootte 2 of 3 gebruiken hebben we 3 bins nodig. In het geval van bins ter grootte 4 of 5 hebben we aan 2 bins genoeg. Figuur 1: Een weergave van de gemiddelde en standaardafwijking van de aanvoer en afvoer per product. Veruit de meeste producten staan linksonder in de grafiek, deze producten hebben een laag gemiddelde en daarom een lage populariteit. Een aantal producten met een veel hogere populariteit springen er wel duidelijk uit. Merk hierbij op dat er bij de aanvoer een (lineair) verband bestaat tussen het gemiddelde en variantie van een product. Voor de afvoer bestaat er geen duidelijk verband, wel valt op dat bij veruit de meeste producten sprake is van hele kleine uitvoer met daarbij vaak ook een kleine variantie. 5.2 Beste bingrootte per product We zullen nu verder gaan met het bepalen van de beste bingrootte per product (deelvraag 2). Bij deze aanpak gaan we er vanuit dat we elk product in één soort bins gaan stoppen. Deze aanname zal het probleem drastisch beperken, maar nog steeds tot betrouwbare resultaten leiden. Om het meest gunstige aantal bins te bepalen voeren we een simulatie uit aan de hand van de data. We bekijken voor elk product hoeveel bins van 1 tot en met 5 er nodig zullen zijn om alles te kunnen verwerken. We zullen voor dit proces een voorbeeld geven. Stel dat we een product X hebben met de volgende aanvoer en afvoer. Tijdstip Soort Grootte 1 Aanvoer Afvoer Aanvoer 3.1 Tabel 1: Aanvoer en afvoer van een fictief product X 5 Nu moeten we bepalen welk van de 5 bins gezien de benodigde ruimte optimaal is. Hiervoor hebben we van elke bin het effectieve gebruik bepaald. Bij elke bin hebben we een gangpad nodig van 2 meter breed, ongeacht de bingrootte die we gebruiken. Voor een bin ter grootte 1 betekent dit dat maar 1 3 van de ruimte effectief gebruikt wordt. Zetten wel al deze fracties in een tabel, dan krijgen we de volgende resultaten. Bingrootte Effectief gebruik Tabel 2: Fracties van het magazijn die effectief worden gebruikt We moeten nu bepalen welk van de 5 bins het beste presteert voor dit product. Dit doen we door totale aantal bins te delen door de factor die aangeeft hoeveel ruimte er effectief wordt gebruikt. Dit levert voor het voorbeeld de volgende resultaten. Bingrootte Benodigde oppervlakte 1 = 15 1 = 12 3 = 15 2 = 12 5 = Tabel 3: Voorbeeld van een berekening om de optimale bingrootte te bepalen In dit geval zijn bins ter grootte 2 en 4 dus het meest effectief. Wij zullen in dit geval voor het kleinste getal kiezen, aangezien kleinere bins makkelijker te gebruiken zijn voor andere producten. Later zullen we bij de stochastische aanpak de aanvoer- en afvoerprocessen verder bestuderen (deelvraag 3). 5.3 Minimaal benodigde ruimte Naast de analyse per product is ook de volledige dataset onderzocht. Aan de hand van de data kunnen we een ondergrens en een bovengrens bepalen voor het aantal bins dat gedurende de 100 dagen nodig is in het magazijn. We zullen twee bovengrenzen en twee ondergrenzen bepalen zodat we een idee krijgen van het totale aantal bins in het magazijn. We beginnen met het bepalen van een ondergrens (deelvraag 4). De eerste ondergrens die we zullen bepalen is de beginsituatie. De geleverde dataset begint halverwege een proces en vertelt niets over de producten die op dat moment in het magazijn aanwezig zijn. Aan de hand van een bestand waar we de aanvoer en afvoer samen hebben gevoegd kunnen we bepalen welke producten een tekort hebben en dit tekort kunnen we gebruiken als beginsituatie. Dit tekort bepalen we als volgt: We doorlopen het bestand aan de hand van de tijd. In het begin stellen we voor elk artikel een initiële situatie in van 0 benodigde pallets. Bij elke aanvoer tellen we het aantal pallets bij dit getal op en bij een afvoer trekken we het aantal pallets van dit getal af. Voor elk product houden we nu het minimum bij (wat 0 is of een negatief getal). Zodra we het bestand hebben doorlopen, weten we de minimale waarde die wordt bereikt. De absolute waarde hiervan nemen we als beginsituatie voor dit product. We geven ter illustratie nog een klein (fictief) voorbeeldje met 2 artikelen. 6

4 Tijdstip Soort Artikel Grootte 1 Afvoer Aanvoer Afvoer Aanvoer Tabel 4: Aanvoer en afvoer van twee fictieve producten Hierbij is de minimale waarde die voor product 1 wordt bereikt -1.8 en voor product 2 is de minimale waarde We nemen daarom als beginsituatie voor product 1 en 2 respectievelijk 1.8 en 1.5. Bij dit proces moet worden opgemerkt dat er in de beginsituatie geen rekening wordt gehouden met het FIFO principe. Hier kunnen we ook geen rekening mee houden, omdat wij geen informatie beschikken over hoe de aanwezige producten zijn aangevoerd. De beginopstelling is geen goede ondergrens, daarom bepalen we nog een betere ondergrens. Hierbij maken we gebruik van de beginopstelling. Het bestand wordt gesorteerd op tijd. Er wordt nu niet meer gekeken naar de aan- en afvoer per product, maar alleen naar de tijd. Er wordt op elk tijdstip gekeken hoe groot het totaal aantal pallets is, dat in het magazijn ligt. Nadat het hele bestand doorlopen is wordt van deze aantallen pallets het maximum gekozen, zeg dat dit het geval is op tijdstip T max. Dan wordt er voor dit maximum bepaald, hoeveel pallets er voor ieder product aanwezig zijn. Deze aantallen worden afgerond, aangezien een bin een gehele grootte heeft. Deze afgeronde getallen worden bij elkaar opgeteld. In formulevorm betekent dit het volgende: Totaal aantal producten Ondergrens = Ceil(Aantal pallets van product i op tijdstip T max ) (2) i Hierbij is Ceil een functie die de waarde afrond naar boven. 5.4 Maximaal benodigde ruimte Om een beter beeld te krijgen van het aantal bins in het magazijn worden er ook twee bovengrenzen bepaald. De eerste bovengrens bepalen we door de producten afzonderlijk te bekijken. We doorlopen voor elk product het hele aan- en afvoerproces aan de hand van de tijd. Hierbij zullen we ook rekening houden met het FIFO principe. We beginnen voor elk product met de beginsituatie zoals bepaald in de vorige sectie. Daarna zullen wij het hele aan- en afvoerproces simuleren door alles artikelen in bins te plaatsen. Vervolgens kijken we op welk tijdstip gedurende dit proces het aantal benodigde bins maximaal is, dit doen we voor elk product. Deze maxima tellen we vervolgens op. Ter verduidelijking zullen we ook hiervan een voorbeeld geven. We gebruiken weer de gegevens uit Tabel 4. Hierbij hebben we eerder als beginsituatie voor product 1 en 2 respectievelijk 1.8 en 1.5 bepaald. In de beginsituatie zijn voor elk product dus 2 bins nodig. We houden nu voor elk product bij wat de maxima zijn na iedere aanvoer (na iedere afvoer worden de maxima nooit groter, om rekentijd te besparen kijken we hier dan ook niet naar). Dit levert ons de volgende resultaten op. 7 Tijdstip Soort Artikel Grootte Bins product 1 Bins product 2 0 Beginsituatie Afvoer Aanvoer Afvoer Aanvoer Tabel 5: Aanvoer en afvoer van twee fictieve producten Merk op dat na tijdstip 2 precies 2.0 pallets van product 2 aanwezig zijn. Omdat het twee verschillende leveringen betreft mogen deze producten niet bij elkaar staan en wordt het binaantal dus 3. In dit voorbeeld vinden we als maxima voor de producten respectievelijk 3 en 3 bins. Als bovengrens nemen we nu = 6 bins. Deze bovengrens is natuurlijk een veel te grote bovengrens, aangezien niet alle maxima van het aantal bins op hetzelfde tijdstip aanwezig zijn. Daarom wordt er nog een bovengrens bepaald. Bij de vorige bovengrens hielden we van elk product afzonderlijk bij hoeveel bins er voor dit product nodig waren, nu houden we van alle producten tegelijk bij hoeveel bins er nodig zijn. Na elke aanvoer tellen we nu de aantallen bins van alle producten op. Toepassen op Tabel 5 levert het volgende resultaat op.. Tijdstip Bins product 1 Bins product 2 Som van het aantal bins Tabel 6: Totaal aantal aanwezige bins in het magazijn Het maximale aantal aanwezige bins is in dit geval dus 4. Dit is een aanzienlijke verbetering ten opzichte van de vorige bovengrens van 6. Enig punt waar we bij deze berekeningen nog geen rekening mee hebben gehouden is de uitzondering dat twee leveringen van één product op dezelfde dag wél bij elkaar gezet mogen worden. Deze bovengrens kunnen wij in de toekomst daarom nog iets nauwkeuriger maken. 5.5 Oppervlakte bepalen We hebben nu voor een gegeven dataset bepaald hoeveel bins van één we nodig hebben. We willen nu nog weten welke oppervlakte we nodig hebben om alles in het magazijn kwijt te kunnen. Dit komt neer op het bepalen van een functie f(x 1,x 2,x 3, x 4,x 5 ) waarbij x i het aantal benodigde bins is ter grootte i. Het resultaat van de functie zal de totale benodigde oppervlakte zijn. We kunnen voor de totale oppervlakte een redelijk nauwkeurige benadering geven. Voor elke bin weten we wat de benodigde oppervlakte is: de grootte van de bin zelf in vierkante meters plus 2 vierkante meter aanvoer. De oppervlakte die we hiermee krijgen is een ondergrens, want de kans is groot dat we de bins niet netjes verdeeld krijgen over de gangen. Vanwege de onregelmatigheden die hierbij optreden zal het magazijn net iets groter worden. De benadering zoals wij die hebben berekend blijft echter aanvaardbaar, want we kunnen het middenpad verplaatsen zodat bij de onregelmatigheden zo weinig mogelijk ruimte verloren gaat. Merk wel op dat voor kleine magazijnen deze onregelmatigheden wel van belang zijn. 8

5 Bij elkaar levert dit de volgende formule op als benadering voor de oppervlakte in vierkante meters: f(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ) = x x x x x 5 7 Nu hebben we de oppervlakte voor de gangen samen met de bins benaderd. Wat we nog niet weten is de oppervlakte die verloren gaat aan het middenpad. De lengte van het gangpad is sterk afhankelijk van de breedte van het magazijn, we zullen de functie hiervoor aan moeten passen in f(x 1,x 2,x 3, x 4,x 5,n) waarbij n een gegeven breedte van het magazijn is. Omdat het gangpad 4 meter breed dient te zijn, kunnen we de lengte hiervan bepalen met de volgende formule: berekend is, kunnen deze parameters gebruikt worden om een aan- en afvoer proces van verschillende producten te simuleren. 7 Resultaten We hebben hiervan het aantal bins tegen de tijd uiteengezet in de volgende grafiek over een periode van ongeveer 24 dagen. f(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,n) = f(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ) + f(x 1,x 2, x 3,x 4,x 5 ) 4 n 4 Hierbij ronden we f(x1,x2,x3,x4,x5) n 4 naar boven af, zodat we op een rechthoekig magazijn uitkomen. 6 Stochastische aanpak We zullen nu op een meer stochastische manier gaan onderzoeken wat de optimale indeling is voor een aantal producten. We zullen dit doen aan de hand van een simulatie. Hiervoor is het eerst van belang om de gegeven data verder te gaan onderzoeken. De gegeven data kan dan gebruikt worden bij de simulatie. 6.1 Productanalyse Dankzij de deterministische aanpak weten we nu in grote lijnen wat voor producten er in het magazijn liggen. We willen nu verder gaan onderzoeken (zie deelvraag 3) wat voor bingrootte er het beste bij elk product gebruikt kan worden. Aan de hand van de data hebben we al bepaald wat gegeven de volledige dataset de beste bingrootte is om voor een product te gebruiken. Wij willen dit proces nu nog verder vereenvoudigen. In plaats van een volledige simulatie willen wij voor een bepaald product direct kunnen zeggen wat voor bingrootte hier het beste voor te gebruiken is. We willen dit achterhalen aan de hand van het gemiddelde en standaardafwijking van de aanvoer en afvoer van een product. Deze parameters zullen worden gebruikt om de invoerparameters van de simulatie te schatten. Verder speelt ook de tijd een rol. Hiervan kan ook het gemiddelde en de variantie van de tussenaankomst- en tussenafvoertijd berekend worden. Het gemiddelde van de tussenaankomsttijd wordt berekend door alle tijden tussen twee opeenvolgende aankomsten van één product bij elkaar op te tellen en te delen door het aantal aankomsten minus 1 (dat is dus het aantal tussenaankomsttijden). De variantie hiervan wordt ook weer met formule (1) berekend. 6.2 Simulatie Nu het gemiddelde en de variantie van het aantal pallets dat aankomt en wordt afgevoerd bekend is en ook het gemiddelde en de variantie van de tussenaankomst- en tussenafvoertijden 9 Figuur 2: Een plot van het aantal benodigde bins t.o.v. de tijd. De zwarte lijn geeft de grootste waarde en dus de bovengrens aan. Elke stip geeft een tijdstip aan waar producten zijn aangevoerd. Na elke aanvoer zijn alle aanwezige bins omhoog afgerond en vervolgens bij elkaar opgeteld. Bij deze grafiek moet worden opgemerkt dat de schommelingen, die zich elke twee dagen herhalen, zeer opvallend zijn. Dit laat zien dat er de om de dag relatief veel aanvoer is, en de andere dagen relatief veel afvoer. Voor de data-analyse hebben we een programma geschreven in zowel Java als Pascal. Deze keuze is bewust gemaakt omdat binnen het projectgroepje de ervaring met deze programmeertalen verdeeld lag. Eerst wordt de data uit de aan- en afvoer samengevoegd tot één tekstbestand. Omdat vooraf het aantal producten dat zich in de data bevindt niet bekend was, bepalen wij eerst dit aantal. Het blijkt dat er 198 verschillende producten aanwezig zijn. Controle op de aparte aan- en uitvoerbestanden geeft aan dat er zowel in de aanvoer als in de afvoer 198 producten aanwezig zijn (wat een logisch resultaat is). Vervolgens bepalen we de beginopstelling. Het programma leest het tekstbestand in met alle aan- en afvoer van alle producten die gesorteerd zijn op productnummer. De totale bingrootte van de beginsituatie in het magazijn is 432 bins. Hierbij is rekening gehouden met de verschillende producten door eerst de aantallen per product omhoog af te ronden en vervolgens pas op te tellen. Met andere woorden, als er alleen maar bins ter grootte 10

6 één aanwezig zijn, dat moeten er minstens 432 bins in het magazijn klaarstaan. Zoals beschreven wordt ook de tweede ondergrens bepaald. Deze is gebaseerd op het moment dat de meeste pallets in het magazijn aanwezig zijn. Het blijkt dat die ondergrens 699 bins bedraagt. Verder berekent het programma wat het maximum aantal pallets per product is over de hele periode van 100 dagen. Door deze aantallen bij elkaar op te tellen krijgen we de eerste bovengrens. Deze bovengrens heeft een totale grootte van 1534 bins. De nauwkeurigere bovengrens, waarbij rekening is gehouden dat niet al deze maxima tegelijk optreden, bedraagt 809 bins (zie figuur 1). Met de laatst bepaalde bovengrens kunnen we een magazijn creëren waarin alle bestellingen verwerkt kunnen worden. We kunnen 809 bins verdelen over 18 gelijke rijen met 45 artikelen per rij. Om 18 rijen met artikelen te maken hebben we 9 gangen nodig met elk 4 meter gangpad. Ook moet een middengang worden meegenomen van 4 meter breed, zodat het magazijn een ingang en uitgang heeft. In totaal komen we daarmee uit op een magazijn van 9 (4 + 2) = 54 bij = 49 meter. Een schematische weergave van het magazijn is te vinden in figuur 3. Met het programma worden verder de gemiddeldes en de varianties berekend. Ook zorgt dit programma voor een afvoer, die gebruikt kan worden om in Excel enkele grafieken te laten tekenen. In de volgende tabel zijn het aantal bestellingen, het gemiddelde en de variantie van het aantal pallets te vinden voor zowel de aanvoer als de afvoer. Er is gekozen om alleen de informatie van de eerste 10 producten weer te geven, aangezien de tabel voor alle 198 producten ongeveer 4 pagina s in beslag neemt. ProductID Aanvoer Afvoer # Bestellingen Gemiddelde σ # Bestellingen Gemiddelde σ Tabel 1: Gemiddelde en Variantie eerste 10 producten 8 Conclusie Met behulp van data-analyse weten we dat er 198 verschillende soorten appels aanwezig zijn en wat per product de gemiddelde grootte is per aanvoer/afvoer en de variantie. We hebben een beginopstelling bepaald om te zorgen dat er geen tekorten optreden in de periode van 100 dagen. Deze beginopstelling bestaat uit 432 bins van 79 verschillende soorten producten. Ook hebben we een onder- en bovengrens bepaalt voor de grootte van het magazijn. De ondergrens bedraagt 699 bins van grootte één en de bovengrens 809 bins van grootte één. In het geval dat we alles in bins ter grootte 1 willen plaatsen hebben we in dit geval een magazijn nodig met een grootte van 54 bij 49 meter. Figuur 3: Het magazijn met 810 bins. De middengang moet 4 meter breed zijn, alle gangen moeten 4 meter tussenruimte hebben en elke bin is 1 bij 1 meter groot

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 2 april 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 3

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 2 april 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 3 Modelleren C Appels Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both 2 april 2010 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Probleembeschrijving 2 3 Data 3 4 Aanpak 3 5 Data-analyse 4 5.1 Data-analyse: per product.............................

Nadere informatie

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 15 juni 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 4

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 15 juni 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 4 Modelleren C Appels Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both 15 juni 2010 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Probleembeschrijving 2 3 Data 3 4 Aanpak 4 5 Deterministische aanpak 4 5.1 Populariteit van

Nadere informatie

Warehousing. Richard Both, Tom Slenders 22 oktober 2009

Warehousing. Richard Both, Tom Slenders 22 oktober 2009 Warehousing Richard Both, Tom Slenders 22 oktober 2009 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Probleemstelling 2 3 Aannames 2 4 Strategieën en hypotheses 3 4.1 Unity picking.......................................

Nadere informatie

Containers stapelen. M.L. Koning april 2013

Containers stapelen. M.L. Koning april 2013 Technische Universiteit Eindhoven 2WH03 - Modelleren C Containers stapelen L. van Hees 0769244 M.L. Koning 0781346 2 april 2013 Y.W.A Meeuwenberg 0769217 1 Inleiding De NS vervoert dagelijks grote hoeveelheden

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Vrijdag 4 mei 13.30 16.30 uur 0 0 Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen; het examen bestaat uit 18

Nadere informatie

Uitwerkingen oefenopdrachten or

Uitwerkingen oefenopdrachten or Uitwerkingen oefenopdrachten or Marc Bremer August 10, 2009 Uitwerkingen bijeenkomst 1 Contact Dit document is samengesteld door onderwijsbureau Bijles en Training. Wij zijn DE expert op het gebied van

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde A1,2

Examen HAVO. Wiskunde A1,2 Wiskunde A1,2 Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei 13.30 16.30 uur 20 00 Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een

Nadere informatie

Examen VWO-Compex. wiskunde A1,2

Examen VWO-Compex. wiskunde A1,2 wiskunde A1,2 Examen VWO-Compex Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit examen zijn maximaal 90 punten te behalen; het examen bestaat uit 22 vragen.

Nadere informatie

Introductie. Een magazijn van binnen

Introductie. Een magazijn van binnen Les 2. Magazijnen Introductie Als de pennen klaar zijn, slaat Pennenland bv de pennen tijdelijk op in een magazijn. Pennenland heeft ervoor gekozen om geen eigen magazijn te bouwen, maar om ruimte te huren

Nadere informatie

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden. 1 Formules gebruiken Verkennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-b Werken met formules Formules gebruiken Inleiding Verkennen Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

Populaties beschrijven met kansmodellen

Populaties beschrijven met kansmodellen Populaties beschrijven met kansmodellen Prof. dr. Herman Callaert Deze tekst probeert, met voorbeelden, inzicht te geven in de manier waarop je in de statistiek populaties bestudeert. Dat doe je met kansmodellen.

Nadere informatie

Beoordelingsmodel wiskunde B1 VWO 2006-I. Sauna. Maximumscore e t = 100. het tijdstip 17:02 uur 1. Maximumscore 4

Beoordelingsmodel wiskunde B1 VWO 2006-I. Sauna. Maximumscore e t = 100. het tijdstip 17:02 uur 1. Maximumscore 4 Beoordelingsmodel wiskunde B VWO 006-I Antwoorden Sauna 0,9 00 0 e t = 00 beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden de oplossing t,07 het tijdstip 7:0 uur 0,9t S () t = 0 0,9 e S () 39, 06

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2002-I

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2002-I Eindexamen wiskunde B1 vwo 00-I Verschuivend zwaartepunt Een kubusvormige bak met deksel heeft binnenmaten 10 bij 10 bij 10 cm en weegt 1 kilogram. Het zwaartepunt B van de bak ligt in het centrum van

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2

Examen VWO. wiskunde B1,2 wiskunde B,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 2 juni 3.30 6.30 uur 20 06 Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen; het examen bestaat uit 8 vragen. Voor

Nadere informatie

1 Binaire plaatjes en Japanse puzzels

1 Binaire plaatjes en Japanse puzzels Samenvatting Deze samenvatting is voor iedereen die graag wil weten waar mijn proefschrift over gaat, maar de wiskundige notatie in de andere hoofdstukken wat te veel van het goede vindt. Ga er even voor

Nadere informatie

G0N11a Statistiek en data-analyse: project Eerste zittijd Modeloplossing

G0N11a Statistiek en data-analyse: project Eerste zittijd Modeloplossing G0N11a Statistiek en data-analyse: project Eerste zittijd 2007-2008 Modeloplossing Opmerking vooraf: Deze modeloplossing is een heel volledig antwoord op de gestelde vragen. Om de maximumscore op een vraag

Nadere informatie

Hoofdstuk 26: Modelleren in Excel

Hoofdstuk 26: Modelleren in Excel Hoofdstuk 26: Modelleren in Excel 26.0 Inleiding In dit hoofdstuk leer je een aantal technieken die je kunnen helpen bij het voorbereiden van bedrijfsmodellen in Excel (zie hoofdstuk 25 voor wat bedoeld

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1. tijdvak 1 maandag 25 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde A1. tijdvak 1 maandag 25 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2009 tijdvak 1 maandag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde A1 Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 22 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

Examen VWO-Compex. Wiskunde A1 (nieuwe stijl)

Examen VWO-Compex. Wiskunde A1 (nieuwe stijl) Wiskunde A1 (nieuwe stijl) Examen VWO-Compex Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 27 mei 13.30 16.30 uur 20 03 Voor dit examen zijn maximaal 86 punten te behalen; het examen bestaat

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2004-I

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2004-I Machten van een derdegraadsfunctie Gegeven is de functie 3 2 1 3 4 4 f ( x) x x op het domein [0, 3]. 4p 1 Toon algebraïsch aan dat het maximum van f gelijk is aan 1. V is het gebied ingesloten door de

Nadere informatie

Vermogen snelheid van de NXT

Vermogen snelheid van de NXT Vermogen snelheid van de NXT Inleiding In deze meting gaan we op zoek naar een duidelijk verband tussen de vermogens die je kunt instellen op de LEGO NXT en de snelheid van het standaardwagentje uit het

Nadere informatie

Inleiding statistiek

Inleiding statistiek Inleiding Statistiek Pagina 1 uit 8 Inleiding statistiek 1. Inleiding In deze oefeningensessie is het de bedoeling jullie vertrouwd te maken met een aantal basisbegrippen van de statistiek, meer bepaald

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde A1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur Examen VWO 2008 tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur wiskunde A1,2 Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 82 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten

Nadere informatie

Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur.

Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur. Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur. Deze opdracht bestaat uit vier onderdelen; in elk onderdeel wordt gevraagd een Matlabprogramma te schrijven. De vier bijbehore bestanden stuur

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 18 juni 13.3 16.3 uur 2 3 Voor dit examen zijn maximaal zijn 88 punten te behalen; het examen bestaat

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 19 juni 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen; het examen bestaat uit 20

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek I Tjing Opgave 1. Het aantal hoofdstukken in de I Tjing correspondeert met het totale aantal

Nadere informatie

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER

Nadere informatie

S n = tijdstip van de n-de gebeurtenis, T n = S n S n 1 = tijd tussen n-de en (n 1)-de gebeurtenis.

S n = tijdstip van de n-de gebeurtenis, T n = S n S n 1 = tijd tussen n-de en (n 1)-de gebeurtenis. VERNIEUWINGSPROCESSEN In hoofdstuk 3 hebben we gezien wat een Poisson proces is. Definitie van een Poisson proces: Een Poisson proces met intensiteit λ (notatie P P (λ)) is een stochastisch proces {N(t),

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/.

Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/. Softmaths 1 Softmaths Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/. De code kan je bekomen op de school. Goniometrie en driehoeken Oplossen van driehoeken - Start van het programma:

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur Eamen VWO 008 tijdvak woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B1 Dit eamen bestaat uit 18 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 84 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

Meten en experimenteren

Meten en experimenteren Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 3 oktober 006 Deel I Toevallige veranderlijken Steekproef Beschrijving van gegevens Histogram Gemiddelde en standaarddeviatie

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1 (nieuwe stijl) wiskunde B1 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit examen zijn maximaal 86 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Inleveren: 12 januari 2011, VOOR het college Afspraken Serie 1 mag gemaakt en ingeleverd worden in tweetallen. Schrijf duidelijk je naam, e-mail

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde A1,2

Examen HAVO. wiskunde A1,2 wiskunde A1,2 Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 2 juni 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen; het examen bestaat uit 21 vragen. Voor

Nadere informatie

Publieke Database. Verslag modelleren 4 (2H144) Finbar Bogerd (s474580) & Judy van Sambeek (s476368)

Publieke Database. Verslag modelleren 4 (2H144) Finbar Bogerd (s474580) & Judy van Sambeek (s476368) Publieke Database Verslag modelleren 4 (2H144) Finbar Bogerd (s474580) & Judy van Sambeek (s476368) Technische Universiteit Eindhoven Faculteit: Technische Wiskunde & Informatica 28 augustus 2002 Inhoudsopgave

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 1 dinsdag 19 mei 13.30-16.30 uur

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 1 dinsdag 19 mei 13.30-16.30 uur Examen HAVO 2009 tijdvak 1 dinsdag 19 mei 13.30-16.30 uur wiskunde A Dit examen bestaat uit 22 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II Pompen of... Een cilindervormig vat met een hoogte van 32 dm heeft een inhoud van 8000 liter (1 liter = 1 dm 3 ). figuur 1 4p 1 Bereken de diameter van het vat. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, uur

Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, uur Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, 14.00 17.00 uur Het tentamen bestaat uit 15 meerkeuzevragen 2 open vragen. Een formuleblad wordt uitgedeeld. Normering: 0.4 punt per MC antwoord

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2008-II

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2008-II Een eponentiële functie De functie f is gegeven door f( ) = e. is het snijpunt van de grafiek van f met de y-as. B is het snijpunt van de raaklijn aan de grafiek van f in met de -as. Zie figuur 1. figuur

Nadere informatie

Statistiek: Spreiding en dispersie 6/12/2013. dr. Brenda Casteleyn

Statistiek: Spreiding en dispersie 6/12/2013. dr. Brenda Casteleyn Statistiek: Spreiding en dispersie 6/12/2013 dr. Brenda Casteleyn dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 2 1. Theorie Met spreiding willen we in één getal uitdrukken hoe verspreid de gegevens zijn: in hoeveel

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 2012 tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.. Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A 1-2 havo 2005-I

Eindexamen wiskunde A 1-2 havo 2005-I Er zijn nog drie wachtenden voor u Een callcenter verleent telefonische diensten voor bedrijven, zoals het opnemen van bestellingen of het afhandelen van vragen. Het telefoontjes en de gespreksduur per

Nadere informatie

VB: De hoeveelheid neemt nu met 12% af. Hoeveel was de oorspronkelijke hoeveelheid? = 1655 oud = 1655 nieuw = 0,88 x 1655 = 1456

VB: De hoeveelheid neemt nu met 12% af. Hoeveel was de oorspronkelijke hoeveelheid? = 1655 oud = 1655 nieuw = 0,88 x 1655 = 1456 Formules, grafieken en tabellen Procenten - altijd afronden op 1 decimaal tenzij anders vermeld VB: Een hoeveelheid neemt met 12% toe to 1456. Hoeveel was de oorspronkelijke hoeveelheid? Oud =? Nieuw =

Nadere informatie

EXCEL. Een paar handigheden Vertikaal / horizontaal zoeken Een draaitabel

EXCEL. Een paar handigheden Vertikaal / horizontaal zoeken Een draaitabel EXCEL Een paar handigheden Vertikaal / horizontaal zoeken Een draaitabel Een paar handigheden wellicht handig om te gebruiken Nummeren van rijen Breedte van kolommen aanpassen Cellen absoluut maken Opmaak

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 19 juni 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

1.1 Lineaire vergelijkingen [1]

1.1 Lineaire vergelijkingen [1] 1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg

Nadere informatie

III.2 De ordening op R en ongelijkheden

III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.

Nadere informatie

en-splitsingen: een aantal alternatieven worden parallel toegepast, of-splitsingen: van een aantal alternatieven wordt er één toegepast,

en-splitsingen: een aantal alternatieven worden parallel toegepast, of-splitsingen: van een aantal alternatieven wordt er één toegepast, Kansrekening voor Informatiekunde, 25 Les 8 Proces analyse Veel processen laten zich door netwerken beschrijven, waarin knopen acties aangeven en opdrachten langs verbindingen tussen de knopen verwerkt

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-II

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-II Drinkbak In figuur staat een tekening van een drinkbak voor dieren. De bak bestaat uit drie delen: een rechthoekige, metalen plaat die gebogen is tot een symmetrische goot, een voorkant en een achterkant

Nadere informatie

LES: Vergroting. BENODIGDHEDEN Per leerling werkblad Hoe vaak past het? (zie p. 5) rood kleurpotlood en gum AFBEELDING SPELLETJE

LES: Vergroting. BENODIGDHEDEN Per leerling werkblad Hoe vaak past het? (zie p. 5) rood kleurpotlood en gum AFBEELDING SPELLETJE LES: Vergroting DOEL oefenen van het toepassen van sommen in een rechthoekstructuur (bijv. vier rijen met elk vier kleine foto's); een eerste verkenning van het berekenen van oppervlakte met lengte breedte

Nadere informatie

wiskunde A havo 2016-II

wiskunde A havo 2016-II BMI, hoger dan je denkt Jarenlang nam in Nederland de gemiddelde lengte van volwassen mannen en vrouwen toe. Ook aan het einde van de vorige eeuw was dat nog zo: op 1 januari van het jaar 1981 waren Nederlandse

Nadere informatie

ICT en grote datasets havo wiskunde A en vwo wiskunde A/C

ICT en grote datasets havo wiskunde A en vwo wiskunde A/C ICT en grote datasets havo wiskunde A en vwo wiskunde A/C Workshop Noordhoff wiskundecongres 19 november 2015 Matthijs van Maarseveen, Stijn Voets en Mark Haneveld Opbouw workshop 1. Demonstratie Exceltabellen

Nadere informatie

De stamboom!!!!!!! voor de docent! Hoeveel voorouders heb je als je teruggaat in de tijd?

De stamboom!!!!!!! voor de docent! Hoeveel voorouders heb je als je teruggaat in de tijd? De stamboom voor de docent Hoeveel voorouders heb je als je teruggaat in de tijd? Vooraf.. Je hebt twee ouders. Beiden hebben ze ook twee ouders: je opa en oma. Ook zij hebben weer ouders: je overgrootouders.

Nadere informatie

Statistiek: Herhaling en aanvulling

Statistiek: Herhaling en aanvulling Statistiek: Herhaling en aanvulling 11 mei 2009 1 Algemeen Statistiek is de wetenschap die beschrijft hoe we gegevens kunnen verzamelen, verwerken en analyseren om een beter inzicht te krijgen in de aard,

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A 1-2 havo 2009 - I

Eindexamen wiskunde A 1-2 havo 2009 - I Autobanden Er bestaan veel verschillende merken autobanden en per merk zijn er banden in allerlei soorten en maten. De diameter van de band hangt af van de diameter van de velg en de hoogte van de band.

Nadere informatie

Humans In Space Handleiding

Humans In Space Handleiding Humans In Space Handleiding UrbanScouts: René den Hertog 4015878 Joren Paridaens 3991601 Pim van de Ven 4018613 Zeger-Jan van de Weg 3717259 25 januari 2013 Inhoudsopgave 1 De Room-Editor 2 1.1 Objecten

Nadere informatie

Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem

Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem PLANETENSTELSELS - WERKCOLLEGE 3 EN 4 Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem In de vorige werkcolleges heb je je pythonkennis opgefrist. Je hebt een aantal fysische constanten ingelezen,

Nadere informatie

Maak van je tabel een database. Handleiding van Helpmij.nl

Maak van je tabel een database. Handleiding van Helpmij.nl Maak van je tabel een database. Handleiding van Auteur: CorVerm September 2008 handleiding: Maak van je tabel een database. Database in Excel. Zoals alle vorige afleveringen is ook deze aflevering weer

Nadere informatie

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter 25 februari, 2008 Hans Maassen 1. Inleiding Het Kalman filter schat de toestand van een systeem op basis van een reeks, door ruis verstoorde waarnemingen. Een meer

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2004-II

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2004-II Brandstofverbruik Een schip maakt een tocht over een rivier van P naar Q en terug. De afstand tussen P en Q is 42 km. Van P naar Q vaart het schip tegen de stroom in (stroomopwaarts); op de terugreis vaart

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Eamen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 2 juni 13.3 16.3 uur 2 1 Voor dit eamen zijn maimaal 9 punten te behalen; het eamen bestaat uit 19 vragen.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 24 juni uur

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 24 juni uur Examen VWO 2009 tijdvak 2 woensdag 24 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een

Nadere informatie

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] 1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1,2 Compex. Vragen 10 tot en met 17. In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer wel wordt gebruikt.

Examen VWO. wiskunde A1,2 Compex. Vragen 10 tot en met 17. In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer wel wordt gebruikt. Examen VWO 29 tijdvak 1 maandag 25 mei totale examentijd 3 uur wiskunde A1,2 Compex Vragen 1 tot en met 17 In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer wel wordt gebruikt. Het gehele

Nadere informatie

Voor de beoordeling zijn de volgende passages van de artikelen 41, 41a en 42 van het Eindexamenbesluit van belang:

Voor de beoordeling zijn de volgende passages van de artikelen 41, 41a en 42 van het Eindexamenbesluit van belang: wiskunde B Correctievoorschrift VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs 0 06 Tijdvak Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels 3 Vakspecifieke regels Beoordelingsmodel

Nadere informatie

Ook de volledige spiraal van de stroken van lengte 1, 3, 5,, 99 past precies in een rechthoek.

Ook de volledige spiraal van de stroken van lengte 1, 3, 5,, 99 past precies in een rechthoek. Een spiraal In deze opgave bekijken we rechthoekige stroken van breedte en oneven lengte:, 3, 5,..., 99. Door deze stroken op een bepaalde manier aan elkaar te leggen, maken we een spiraal. In figuur is

Nadere informatie

Netwerk Interfacing Data Logging.

Netwerk Interfacing Data Logging. Handleiding Netwerk Interfacing Data Logging. EduTechSoft.nl 2009-2010 H.O.Boorsma. Pagina - 2 - Netwerk Interfacing Data Logging Pagina - 3 - Inhoud Inleiding.... 4 Beschrijving van het programma....

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1

Examen VWO. wiskunde B1 wiskunde B Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Woensdag juni 3.30 6.30 uur 0 06 Voor dit eamen zijn maimaal 84 punten te behalen; het eamen bestaat uit 9 vragen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2

Examen VWO. wiskunde B1,2 wiskunde B1,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.

Nadere informatie

Compex wiskunde A1-2 vwo 2004-I

Compex wiskunde A1-2 vwo 2004-I KoersSprint In deze opgave gebruiken we enkele Excelbestanden. Het kan zijn dat de uitkomsten van de berekeningen in de bestanden iets verschillen van de exacte waarden door afrondingen. Verder kunnen

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1. tijdvak 1 vrijdag 1 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde A1. tijdvak 1 vrijdag 1 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2007 tijdvak 1 vrijdag 1 juni 13.30-16.30 uur wiskunde A1 Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Examen VMBO-KB. wiskunde CSE KB. tijdvak 1 woensdag 17 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VMBO-KB. wiskunde CSE KB. tijdvak 1 woensdag 17 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VMBO-KB 2017 tijdvak 1 woensdag 17 mei 13.30-15.30 uur wiskunde CSE KB Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 27 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 74 punten te behalen.

Nadere informatie

Opgave 1 - Uitwerking

Opgave 1 - Uitwerking Opgave 1 - Uitwerking Om dit probleem op te lossen moeten we een zogenaamd stelsel van vergelijkingen oplossen. We zetten eerst even de tips van de begeleider onder elkaar: 1. De zak snoep weegt precies

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B,2 (nieuwe stijl) Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak 2 Woensdag 9 juni 3.30 6.30 uur 20 02 Voor dit eamen zijn maimaal 84 punten te behalen; het eamen bestaat uit 6 vragen.

Nadere informatie

Les 20: gelijknamige breuken, gelijkwaardige breuken en breuken vereenvoudigen

Les 20: gelijknamige breuken, gelijkwaardige breuken en breuken vereenvoudigen Getallenkennis Target 1 Les 1: getalbegrip to 10 000 000 wb. p. 1+2, sb 1 Les 5: kommagetallen tot 0,001 wb. p. 8-9, sb 5 Les 12: breuken vergelijken en sorteren wb. p. 15-16, sb 10 Les 13: breuk als operator,getal,verhouding,

Nadere informatie

SMART-finale Ronde 1: 5-keuzevragen

SMART-finale Ronde 1: 5-keuzevragen SMART-finale 2015 Ronde 1: 5-keuzevragen Ronde 1 bestaat uit 16 5-keuzevragen. Bij elke vraag is precies één van de vijf antwoorden juist. Geef op het antwoordformulier duidelijk jouw keuze aan, door per

Nadere informatie

Afbeelding 12-1: Een voorbeeld van een schaakbord met een zwart paard op a4 en een wit paard op e6.

Afbeelding 12-1: Een voorbeeld van een schaakbord met een zwart paard op a4 en een wit paard op e6. Hoofdstuk 12 Cartesische coördinaten 157 Hoofdstuk 12 CARTESISCHE COÖRDINATEN In dit hoofdstuk behandelen we: Het Cartesisch coördinatenstelsel De X-as en de Y-as De commutatieve eigenschap van optellen

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde A1,2. Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs. Tijdvak 2 Woensdag 21 juni uur

Examen HAVO. wiskunde A1,2. Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs. Tijdvak 2 Woensdag 21 juni uur wiskunde A1,2 Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 21 juni 13.3 16.3 uur 2 6 Voor dit examen zijn maximaal 8 punten te behalen; het examen bestaat uit 22 vragen. Voor elk

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 14 Donderdag 28 Oktober 1 / 37 2 Statistiek Indeling: Hypothese toetsen Schatten 2 / 37 Vragen 61 Amerikanen werd gevraagd hoeveel % van de tijd zij liegen. Het gevonden

Nadere informatie

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong Hoofdstuk 4 Verloop van functies Met DERIVE is het mogelijk om tal van eigenschappen van functies experimenteel te ontdekken. In een eerste paragraaf onderzoeken we het verband tussen de grafieken van

Nadere informatie

Project Paper: Tiling problem

Project Paper: Tiling problem Project Paper: Tiling problem Groep 11: Said Hattachi, Ismael el Hadad Hakim, Muttalip Küçük Januari 015 Abstract Dit artikel beschrijft een heuristiek waarmee een veld op een systematische wijze gevuld

Nadere informatie

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 3.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1 (nieuwe stijl) wiskunde B1 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 2 juni 1.0 16.0 uur 20 04 Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen; het examen bestaat uit 18

Nadere informatie

Meten en experimenteren

Meten en experimenteren Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 6 oktober 009 Catherine De Clercq Statistische verwerking van gegevens Kursus statistiek voor fysici door Jorgen D Hondt

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 havo 2002-II

Eindexamen wiskunde B1 havo 2002-II Pompen of Een cilindervormig vat met een hoogte van 32 decimeter heeft een inhoud van 8000 liter (1 liter = 1 dm 3 ) en is geheel gevuld met water. Aan de kraan onder aan het vat (zie figuur 1) wordt een

Nadere informatie

Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM)

Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM) Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM) CPM (Critical Path Method) Activiteiten met afhankelijkheden en vaste duur zijn gegeven. CPM bepaalt de minimale doorlooptijd van het project. PERT (Program

Nadere informatie

Compex wiskunde A1-2 vwo 2003-I

Compex wiskunde A1-2 vwo 2003-I Epidemie Men spreekt van een epidemie als in korte tijd minstens 2% van de bevolking een besmettelijke ziekte oploopt. Een voorbeeld van zo n ziekte is griep. Rond 930 hebben twee Schotse wiskundigen,

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde A1. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2008 tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur wiskunde A1 Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 20 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Examen HAVO en VHBO. Wiskunde A

Examen HAVO en VHBO. Wiskunde A Wiskunde A Examen HAVO en VHBO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Vooropleiding Hoger Beroeps Onderwijs HAVO Tijdvak 1 VHBO Tijdvak 2 Donderdag 25 mei 13.30 16.30 uur 20 00 Dit examen bestaat uit 19 vragen.

Nadere informatie

In de handel is het gebruikelijk om korting te geven als een klant veel exemplaren van een bepaald product bestelt.

In de handel is het gebruikelijk om korting te geven als een klant veel exemplaren van een bepaald product bestelt. Korting In de handel is het gebruikelijk om korting te geven als een klant veel exemplaren van een bepaald product bestelt. Kwantumkorting Een manier om klanten korting te geven, is de kwantumkorting.

Nadere informatie

Werkbladen 3 Terugzoeken

Werkbladen 3 Terugzoeken Werkbladen Terugzoeken We keren nu de vraag om. Bij een gegeven percentage (oppervlakte zoeken we de bijbehorende grenswaarde(n. Als voorbeeld zoeken we hoe groot een Nederlandse vrouw anno 97 moest zijn

Nadere informatie

Een formule is een berekening die jij zelf maakt in Excel. Een formule begint met het isgelijkteken en bevat celverwijzingen.

Een formule is een berekening die jij zelf maakt in Excel. Een formule begint met het isgelijkteken en bevat celverwijzingen. Formules Een formule is een berekening die jij zelf maakt in Excel. Een formule begint met het isgelijkteken en bevat celverwijzingen. Figuur 1. Elke formule begint met = Stappen bij het maken van een

Nadere informatie

Basistechnieken Microsoft Excel in 15 minuten

Basistechnieken Microsoft Excel in 15 minuten Basistechnieken Microsoft Excel in 15 minuten Microsoft Excel is een rekenprogramma. Je kan het echter ook heel goed gebruiken voor het maken van overzichten, grafieken, planningen, lijsten en scenario's.

Nadere informatie