De 'echte' toets lijkt hierop, alleen is de vormgeving anders. De uitwerkingen vind je voor de toetsweek terug op

Transcriptie

1 De 'echte' toets lijkt hierop, alleen is de vormgeving anders. De uitwerkingen vind je voor de toetsweek terug op Geef je niet exacte antwoorden in 4 decimalen nauwkeurig Opgave 1 De afwas Gert-Jan, Ellemieke en Pieter beslissen elke avond met een dobbelsteen wie van hen moet afwassen. Ellemieke heeft de meeste tijd, Gert-Jan het minst. De afspraak is daarom dat bij 1,2 of 3 ogen Ellemieke afwast en bij 4 of 5 Pieter. Gert-Jan wast alleen af als er een zes wordt gegooid. In de praktijk is gebleken dat de kans dat Ellemieke en Gert-Jan iets breken bij het afwassen voor elk gelijk is aan 0,05. Terwijl de kans dat Pieter iets breekt gelijk is aan 0,2 a. Bereken de kans dat er op een willekeurige avond bij het afwassen iets wordt gebroken Kans is: = b. Op een avond klinkt er tijdens het afwassen een luid gerinkel uit de keuken. Pa moppert vanachter zijn krant: "Dat zal Pieter wel weer wezen!". Hoe groot is de kans dat hij deze verzuchting terecht slaakt? Gevraagd wordt: wat is de kans op 'Pieter wast af' onder voorwaarde 'er is iets gebroken'. 2 Die kans is: de kans dat Pieter iets breekt (= 0.2 ) gedeeld door de kans dat er 6 4 sowieso iets gebroken wordt (=0.1, zie opgave a) Die kans is dus 6 Opgave 2 SE1Herk-2003-opg4 Busmaatschappij Een busmaatschappij probeert haar ritten zo stipt mogelijk uit te voeren. Voor wat betreft de vakantiereizen blijkt dat 80% van de bussen op tijd vertrekt. De maatschappij hanteert dit percentage van 80 als de norm en probeert die norm dag in dag uit te halen. Op een dag zijn 30 vakantieritten gepland. Het aantal ritten dat op een dag op tijd vertrekt noemen we X. a. Bereken de kans dat er op die dag precies 23 ritten op tijd vertrekken. Rond af op drie decimalen. Het is een Bin(30,0.80) X= het aantal ritten dat op tijd vertrekt. P(X=23)=binompdf(30,0.8,23) b. Bereken P(X 29). Rond af op drie decimalen. P(X 29)=1 - P(X 28) 0.011

2 c. Bereken de kans dat op een dag hoogstens 2 ritten niet op tijd vertrekken. Hoogstens 2 niet op tijd. Ga uit van Bin(30,0.2) Kans op 'niet op tijd' is 20%. Y=aantal ritten 'niet op tijd'. P(Y 2)=binomcdf(30,0.2,2) Opgave 3 SE3-A opg1 REM-slaap Mensen die onder normale omstandigheden leven, slapen ongeveer acht uur per dag. Tijdens deze slaap is er een fase waarin de slaap zeer intensief is, de zogenaamde REM-slaap (Rapid Eye Movement). Bij de mens duurt deze REM-slaap gemiddeld 1 uur en 45 minuten met een standaardafwijking van 10 minuten. De duur van de REM-slaap blijkt normaal verdeeld te zijn. a. Bepaal de kans dat de REM-slaap langer duurt dan 2 uur. Geef je antwoord in 3 decimalen nauwkeurig. Verdeling is Norm(105,10) In minuten, je kunt ook Norm(1.75,1/6) gebruiken: in uren uitgedrukt. Kans op langer dan twee uur normalcdf(120,10000,105,10) Bij 20 studenten is de nacht voor een belangrijk tentamen gemeten hoe lang bij hen deze REM-slaap duurde. Dit bleek gemiddeld 1 uur en 39 minuten te zijn. b. Toets met een significantie van α = 0.01 of bij deze studenten het slaapgedrag afwijkt van normaal. Het gaat om een GEMIDDELDE wortel-n wet! Verdeling is nu Norm(105,10/ 20) Norm(105,2.236) H 0 : µ=105 H 1 : µ 105 Tweezijdig, er wordt onderzocht of het AFWIJKT. Dat kan naar boven of beneden zijn! α=0.01 dus als P(X 99) kleiner is dan wordt H 0 verworpen. normalcdf(-10000,99,105,2.236) < Conclusie: deze uitkomst is zó onwaarschijnlijk dat H 0 verworpen wordt. Het slaapgedrag van deze groep wijkt dus WEL af van normaal. Opgave 4 SE3-A opg2 Becel Pro Actief De fabrikant van de bekende margarine Becel Pro Actief beweert dat het gebruik van deze margarine het cholesterolgehalte in het bloed verlaagt. We besluiten tot een test met 45 personen, die elk gedurende een maand uitsluitend deze margarine gebruiken. Als de uitkomst van de test significant is dan raden we het gebruik van deze margarine aan. Aan het begin en aan het eind van deze maand wordt het cholesterolgehalte in het bloed gemeten. Bij 25 personen bleek het cholesterolgehalte in het bloed gedaald. Bij 3 personen werd geen verschil gemeten. Bij de anderen was het cholesterolgehalte gestegen.

3 a. Formuleer het toetsingsprobleem. Omschrijf nauwkeurig de hypotheses, toetsingsgrootheid en de kansverdeling van de toetsingsgrootheid. 45 testen, waarvan 25 'positief', 3 'neutraal' en 17 'negatief'. Tekentoets gebruiken. Bin(42,0.5) H 0 : p=0.5 Het is afhankelijk van het toeval of het cholesterolgehalte stijgt of daalt H 1 : p>0.5 Becel werkt positief op het cholesterolgehalte (de fabrikant) Wat is de kans op een uitkomst van 25 of meer met een positief effect bij Bin(42,0.5) b. Is de uitkomst significant als het significantieniveau 5% is? X=aantal positieve resultaten P(X 25)=1-P(X 24) = 1 - binomcdf(42,0.5,24) 0.14 Dit is GROTER dan α=0.05.dat betekent dus: er is geen aanleiding om H 0 te verwerpen. Dit resultaat kan optreden als 'verhoging' of 'verlaging' volkomen toevallig is. c. Beredeneer of we Becel Pro Actief wel of niet aan moeten raden. Het blijkt uit de steekproef dat Becel in ieder geval geen VERSLECHTERING veroorzaakt. Baat het niet dan schaadt het niet. We hebben geen reden het af te raden, maar ook niet echte aanleiding om het aan te raden. In dit geval: het is geen medicijn, maar gewoon iets dat je dagelijks kunt gebruiken. Maar: de test geeft géén significante verbetering: NIET aanraden dus. Opgave 5 SE2-A opg4 Penalty's nemen Een voetbalteam telt volgens de coach vijf spelers die geschikt zijn om een penalty te nemen. Deze vijf zijn misschien geschikt maar niet allemaal even goed. De kansen op het benutten van penalty zijn voor de betrokken spelers Ari, Ben, Cor, Dik en ,,, Ed respectievelijk en 10. Tijdens een wedstrijd beslist de coach wie een eventuele penalty neemt. Tijdens een wedstrijd moet het team een penalty nemen. De coach kiest aselect iemand uit de vijf geschikte spelers en laat de penalty door die speler nemen. a. Teken een kansboom en laat zien dat de kans dat de penalty in een treffer resulteert gelijk is aan 18 = 0, Kansboom is een boomdiagram met alle kansen bij de takken erin. Ik teken dat hier niet. Voor elke speler is de kans dat hij gekozen wordt 1/5. Alle kansen 1/5 en dan optellen: = b. In de loop van de competitie komt het 22 keer voor dat er een penalty moet worden genomen, terwijl de coach dezelfde procedure volgt als beschreven bij opgave 16. Hoe groot is de kans dat minstens de helft van de penalty s in een doelpunt wordt omgezet? Geef je antwoord in vier decimalen. Het gaat om een Bin(22,0.72) verdeling. X=aantal gescoorde penalty's P(X 11)=1-P(X 10)=1-binomcdf(22,0.72,10) De coach is na afloop van de competitie niet tevreden over het resultaat van genomen penalty s en draagt Ari op om te gaan oefenen. Na een oefenperiode mag hij weer penalty s nemen als hij bij een test bestaande uit 10 penalty s minstens 8 treffers produceert.

4 c. Bereken de kans dat Ari voor de test slaagt als zijn kans op een treffer bij het nemen van een penalty nog steeds 10 5 is. Geef je antwoord in vier decimalen. Verdeling is Bin(10,0.5) X=aantal gescoord P(X 8)=1 - P(X 7) = 1 - binomcdf(10,0.5,7) d. Hoe groot moet de kans op een treffer per penalty zijn wil zijn slaagkans bij het afleggen van de test ongeveer 95% zijn? Geef je antwoord in twee decimalen. Gevraagd wordt hoe groot p moet zijn zodanig dat P(X 8) 0.95 Invoeren bij Y1=1-binomcdf(10,X,7) en vervolgens in de tabel zoeken naar een uitkomst van ongeveer 0.95: Dat is bij een kans van 0.91 (net onder 95%) of 0.92 (net boven 95%) Opgave 6 Voetbal a. 3) Hoeveel wachtwoorden van 6 letters kun je maken met de letters van het woord voetbal als je de letters meerdere keren mag gebruiken? Je moet 6 keer een letter kiezen uit de 7 beschikbare letters. Er zijn 7 6 = mogelijkheden. b. 4) Hoeveel 6 letter-wachtwoorden kun je maken als je iedere letter maar één keer mag gebruiken? Nu mag een letter niet nogmaals gebruikt worden: =5040 mogelijkheden c. 5) Een trainer heeft 12 spelers tot zijn beschikking. Hij zet er één op de reservebank, één in het doel, 4 achterin, 3 voor en 3 in het midden. Hoeveel verschillende opstellingen kan hij maken. R(eserve) 1 uit de 12, D(oel) 1 uit de 11, A(chterin) 4 uit de 10, V(oorin) 3 uit de 6 en M(idden) 3 uit de 3 12nPr1 11nPr1 10nPr4 6nPr3 3nPr3= = mogelijke opstellingen als je er vanuit gaat dat de keuze ook bepaalt op welke plaats de spelers in het veld komen (linksvoor, middenvoor of rechtsvoor bijvoorbeeld) Is dat niet zo, dan is het aantal mogelijke opstellingen: 12nCr1 11nCr1 10nCr4 6nCr3 3nCr3= = d. 6) Een wedstrijd eindigt met de stand 3-2. Op hoeveel manieren kan de score van deze wedstrijd zijn verlopen. Er is 5 keer gescoord, waarvan 3 door de thuisploeg en 2 door de uitploeg. Dat kan op 5 =5nCr3=10 manieren. 3 Met opmaak: Verlaagd met 15 pt Opgave 7 SE1-A opg1 Astronauten Kandidaat astronauten worden aan een zware lichamelijke en psychologische test onderworpen voordat zij worden toegelaten tot een verdere opleiding. De kans dat een kandidaat slaagt voor de eerste test is 10%.

5 Voor kandidaten die de eerste test niet hebben gehaald, volgen nog maximaal twee herkansingen. Iedere keer opnieuw met dezelfde slaagkans. Als de kandidaat de derde keer opnieuw niet aan de eis voldoet, is hij definitief afgewezen. Neem aan dat de testresultaten onafhankelijk van elkaar zijn. a. Hoeveel procent is de kans dat een willekeurige kandidaat wordt afgewezen? Afgewezen worden kan op onoverzichtelijk veel verschillende manieren. Met een boomdiagram kun je dat wel uitrekenen, maar een boomdiagram is altijd lastig te tekenen. Er zijn overzichtelijk weinig manieren om WEL te slagen. Gebruik de complementaire kans: eerste test geslaagd; kans = 0.1 eerste test gezakt, tweede geslaagd; kans = =0.09 eerste en tweede gezakt, derde geslaagd; kans = =0.081 Kans op slagen= =0.271 De kans om afgewezen te worden is dan = (Als je het wel in één keer wilt uitrekenen: afwijzen-afwijzen-afwijzen heeft een kans van = Maar dat moet je wel zien ) b. Wat is de verwachtingswaarde van het aantal tests dat een willekeurige kandidaat zal moeten ondergaan? Bij elk mogelijk aantal tests de bijbehorende kans bepalen. Neem X=aantal tests. X kan de waarden 1,2 of 3 aannemen. P(X=1)=0.1 De kandidaat slaagt meteen voor de eerste test P(X=2)= =0.09 Zakt-slaagt P(X=3)=Alle andere gevallen=1 ( )=0.81 E(X)= =2.71 c. Hoe groot is de kans dat bij een keuring van een groep van twintig kandidaten er bij de eerste test één slaagt, bij de tweede test nul en bij de derde test weer één? Met de GR: binompdf(20,0.1,1)+binompdf(19,0.1,0)+binompdf(19,0.1,1) d. Uit een groep van 50 kandidaten slaagde er slechts één bij de eerste test. Op grond van dit resultaat vermoedde iemand dat de slaagkans kleiner was dan 10%. Is dit vermoeden juist wanneer men een significantieniveau van 2.5% aanneemt? H 0 : p=0.1 (slaagkans=0.1) H 1 : p<0.1 (slaagkans<0.1) X=aantal geslaagden Het gaat hier om een Bin(50,0.1) verdeling Als P(X 1)<0.025 dan wordt H 0 verworpen ten gunste van H 1. P(X 1)=binomcdf(50,0.1,1) > Conclusie: H 0 wordt NIET verworpen. De slaagkans van 0.1 wordt met dit resultaat geaccepteerd met een significantieniveau van 2.5%. (NB: bij een significantieniveau van 5% zou H 0 wèl verworpen worden!) Opgave 8 Leuker kan het niet

6 Bij de bekende televisie quiz "Leuker kan het niet" moeten de deelnemers met dobbelstenen werpen. Op de zes zijvlakken staan de letters L,E,U,K,E en R. Afhankelijk van de uitkomst van de worp krijgen de deelnemers een beloning. In de eerste ronde moeten de deelnemers met zes dobbelstenen gooien. Wie daarbij precies 2 maal een E gooit mag door naar de volgende ronde. a. Hoe groot is de kans dat een deelnemer door gaat naar de tweede ronde? Laat heel precies zien hoe je dit ook zonder rekenmachine zou kunnen berekenen. X=aantal gegooide 'E'-s. Kans op (E)= 6 2 Er wordt met 6 dobbelstenen gegooid. Het is een Bin(6,2/6) verdeling P(X=2)= = 15 = (Met de GR: binompdf(6,2/6,2) ) In de tweede ronde gooien zij nogmaals met zes dobbelstenen. Wie daarbij een of meer keer een L gooit is de l.. en mag niet door naar de volgende ronde. b. Hoe groot is de kans dat een deelnemer die de tweede ronde bereikt heeft door mag naar de derde ronde? Door naar ronde 3 als je géén 'L' gooit. Kans op 'L' is 6 1 en met alle dobbelstenen moet je géén 'L' gooien. Kans daarop is = Wie de derde ronde heeft bereikt, staat al met één been in de finale. Je moet echter nog één keer gooien met die dobbelsteen. Als je een K gooit dat is K.., want je mag dan niet naar de finale. Dertig deelnemers hebben de derde ronde bereikt c. Hoe groot is de kans dat van die deelnemers er minstens 25 in de finale komen? Verdeling is Bin(30,5/6) want de kans dat je doorgaat is de kans dat je geen 'K' gooit. X=aantal personen dat doorgaat naar de finale Minstens 25 in de finale betekent: P(X 25)=1 P(X 24)=1 binomcdf(30,5/6,24)