Reguliere talen: overzicht

Transcriptie

1 Reguliere talen!!reguliere grammatica: versimpelde Contextvrije grammatica!!finite-state Automaton: andere manier om een taal te beschrijven!!reguliere Expressie nog een andere manier Alle drie kunnen ze dezelfde talen beschrijven Reguliere talen: overzicht NFA Stelling 12 RG onmogelijk triviaal CFG Definitie 4 +6 triviaal Stelling 13 triviaal Stelling 7 ZRG Definitie (11) Definitie 8 +9 Stelling 11 Stelling 16 Definitie DFA Definitie 1 +3 Stelling 17 RE Definitie 14+15

2 Drie reguliere talen L1 L3 S! a X " X! c X Y Y! b S " (a (c*) b)* L2 S b a a c X Y c Publieksvraag: welke talen zijn gelijk aan elkaar? Geef een DFA en een reguliere expressie voor L1!! Drie reguliere talen L1 L3 S! a X " X! c X Y Y! b S " (a (c*) b)* L2 ac zit in L1, maar niet in L2 of L3 L2 en L3 beschrijven dezelfde taal (gebruik stelling 7+17) S b a a c X Y c Geef een reguliere grammatica voor L2 en L3

3 Abu Ja'far Muhammad ibn Musa al-khwarizmi al-kitab al-mukhtasar fi Hisab al-jabr w al-muqabala over Algoritmi de numero Indorum het getal van de Indiërs boek Liber algebrae et almucabala 1140 rekenen Abu Ja'far Muhammad ibn Musa al-khwarizmi al-kitab al-mukhtasar fi Hisab al-jabr w al-muqabala uit Khiva het boek uitgebreid over herstellen vergelijken

4 Recursieve functies op lijsten product :: [Int]! Int product [ ] = 1 product (x:xs) = x * product xs and :: [Bool]! Bool and [ ] = True and (x:xs) = x && and xs sum :: [Int]! Int sum [ ] = 0 sum (x:xs) = x + sum xs Generalisatie: lijst-totalisator foldr :: (a!a!a)! a! [a]! a zo combineren neutrale waarde foldr (#) e [ ] = foldr (#) e (x:xs) = e x # foldr (#) e xs

5 Specialisatie van de generalisatie!!als foldr de generalisatie is van sum, product, en and...!!... dan zijn sum, product, en and speciale gevallen van foldr product = foldr (*) 1 and = foldr (&&) True sum = foldr (+) 0 or = foldr ( ) False concat = foldr (++) [ ] Zelfgemaakt datatype voor lijsten data List a = Cons a (List a) Nil!!Met functies foldlist som :: :: List ( Int a!b!b! Int, b )! List a! b som and (Cons :: List x Bool xs)! = Bool x + som xs foldlist som and length (Cons Nil (c,n):: x (Cons List xs) a x =! = xs) 0 x Int && and xs and length Nil (Cons x = xs) c = x True = (foldlist 1 + length (c,n) xs xs) foldlist length (c,n) Nil Nil = n = 0

6 Zelfgemaakt datatype voor bomen data Tree a = Bin (Tree a) (Tree a) Leaf a!!met functies foldtree :: (b!b!b(, a!b)!tree a! b foldtree (b,lf) (Bin = f le where ri) = b f (foldtree (Bin le ri) (b,lf) = b (f le) le) (foldtree ri) (b,lf) ri) foldtree f (Leaf (b,lf) x) (Leaf = lf x) x = lf x Functies op bomen foldtree :: ( b!b!b, a!b )! Tree a! b!!specialisaties: countleafs :: Tree a! Int countleafs = foldtree ( (+), \x!1 ) sumleafs :: Tree Int! Int sumleafs = foldtree ( (+), \x!x ) listleafs :: Tree a! [a] listleafs = foldtree ( (++), \x![x] )

7 De essentie van Tree-functies type TreeAlgebra a b = ( b!b!b, a!b ) countleafsfuns :: ( TreeAlgebra Int!Int!Int a, Int a!int ) countleafsfuns = ( (+), \x!1 ) countleafs :: Tree a! Int countleafs = foldtree ( countleafsfuns (+), \x!1 ) Tree, TreeAlgebra en functie foldtree data Tree a = Bin (Tree a) (Tree a) Leaf a type TreeAlgebra a b = ( b!b!b, a!b ) foldtree :: TreeAlgebra a b!tree a! b foldtree (b,lf) = f where f (Bin le ri) = b (f le) (f ri) f (Leaf x) = lf x

8 Voorbeelden van TreeAlgebra type TreeAlgebra a b = ( b!b!b, a!b ) countleafsfuns :: TreeAlgebra a Int countleafsfuns = ( (+), \x!1 ) sumleafsfuns :: TreeAlgebra a Int sumleafsfuns = ( (+), \x!x ) listleafsfuns :: TreeAlgebra a [a] listleafsfuns = ( (++), \x![x] ) Definitie een algebra!!een algebra voor een datatype bestaat uit carrier set "!een type dat het resultaat is van een fold, die "!functies in een tupel semantiek neerzet in plaats van constructorfuncties van dat datatype countleafsfuns :: TreeAlgebra a Int countleafsfuns = ( (+), \x!1 )

9 Voorbeelden van algebras data Tree a = Bin (Tree a) (Tree a) Leaf a data List a = Cons a (List a) Nil type TreeAlgebra a b, a! b ) type ListAlgebra a b = ( a! b! b, b ) data Par = Match Par Par Empty type ParAlgebra, b ) b Voorbeelden van algebras data Tree a = Bin (Tree a) (Tree a) Leaf a Var String type TreeAlgebra a b, a! b ), b! b! b! b, Int! b ), String! b )

10 Gebruik van ExprAlgebra, b! b! b, Int! b ) evalexpr :: Expr! Int evalexpr = foldexpr evalexpralgebra evalexpralgebra :: ExprAlgebra Int evalexpralgebra = ( (+), (*), id ) Definitie van foldexpr, b! b! b, Int! b ) foldexpr :: ExprAlgebra b! Expr! b foldexpr (a,m,c) = f where f (Add e1 e2) = a (f e1) (f e2) f (Mul e1 e2) = m (f e1) (f e2) f (Con n) = c n

11 Taal: syntax en semantiek * 5 parseexpr = start p where p = < > <*> Add (Con 3) (Mul (Con 4) (Con 5)) 23 evalexpr = fold a where a = (,,, ) Syntax en semantiek van expressies met variabelen Var String, b! b! b! b, Int! b ), String! b ) * 5 Add (Con 3) (Mul (Con 4) (Con 5)) * x Add (Con 3) (Mul (Con 4) (Var x ))

12 Uitrekenen van expressies met variabelen Var String, b! b! b! b, Int! b ), String! b ) evalexpr :: Expr [(String,Int)]!! Expr! Int evalexpr = env foldexpr = foldexpr evalexpralgebra where where evalexpralgebra :: ExprAlgebra Int evalexpralgebra = ( (+), (*), id,) (env?????) ) ) ((v,w):vws)? q v==q = w otherwise = vws? q Syntax en semantiek van expressies met definities, b! b! b, Int! b Var String, String! b ) Def String Expr Expr, String!b!b! b ) * x let 3 + x=5*2 4 * x in where x=5*2 * x Add (Con 3) (Mul (Con 4) (Var x )) Def x (Mul (Con 5) (Con 2)) ( Add (Con 3) (Mul (Con 4) (Var x )))

13 Uitrekenen van expressies met definities Var String Def String Expr Expr, b! b! b, Int! b, String! b ), String!b!b! b ) evalexpr :: Env! Expr! Int evalexpr env = foldexpr evalexpralgebra where evalexpralgebra :: ExprAlgebra Int evalexpralgebra = ( (+), (*), id, (env?) ), bind ) bind x d e = e maar dan in een environment waarin x aan d gebonden is Uitrekenen van expressies, poging #2 Var String, b! b! b, Int! b, String! b ) evalexpr :: Expr Env! Env Expr! Int Int evalexpr env exp = foldexpr exp env = = foldexpr ealgebra ealgebra exp where env where where ealgebra :: ExprAlgebra (Expr!Int) (Env!Int) ealgebra = ( (+) add, (*) mul,, id con, (env?), var ) )

14 Uitrekenen van expressies, poging #2 Var String Def String Expr Expr, b! b! b, Int! b, String! b, String!b!b! b ) evalexpr :: Expr! Env! Int evalexpr = foldexpr evalexpralgebra where evalexpralgebra :: ExprAlgebra (Env!Int) evalexpralgebra = ( add, mul, con, var, def ) add :: (Env!Int) b! (Env!Int) b! (Env!Int) b! add f g e = f e + g e Uitrekenen van expressies, poging #2 add :: b! b! b add f g e = f e + g e (Env!Int) (Env!Int) (Env!Int)! mul :: (Env!Int) b! (Env!Int) b! (Env!Int) b! mul f g e = f e * g e con :: Int Env!! Int b con n e = n con = const var :: String! b var x e = e? x Env! Int var = flip (?) def :: String!(Env!Int) b! (Env!Int) b! (Env!Int) b! def x f g e = g ( (x, f e ): e ) def = (<:=>)

15 Compositionaliteit!!Een semantiek is compositioneel als de betekenis van een geheel een functie is van de betekenissen van de delen eval (Add x y) = add (eval x) (eval y) Compositionaliteit!!Een compositionele semantiek kun je schrijven als fold over de expressie waarbij een algebra vervangingen geeft voor de constructoren = eval :: Expr! Int eval = foldexpr alg alg :: ExprAlgebra Int alg = (,,, )