1 Recurrente betrekkingen De torens van Hanoi Vlakverdeling Het Josephus-probleem... 9

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "1 Recurrente betrekkingen De torens van Hanoi Vlakverdeling Het Josephus-probleem... 9"

Transcriptie

1 Wisundige technieen in de informatica Inhoudsopgave Recurrente betreingen 3. De torens van Hanoi Vlaverdeling Het Josephus-probleem Recurrente betreingen 2 2. Fibonacci Euclides AVL Mergesort Algemene oplossing Sommatie De sigma-notatie Sommatiefactor Quicsort Reenregels Differentiereening en reesen 3 4. Delta Differentie-sommatiestelling Analoga Reesen Afronden en afappen Floor en ceiling Geheeltallige deling Sommatie Complexe getallen Definitie Reenregels Poolcoördinaten Nulpunten Deelbaarheid Deelbaarheid Priemgetallen Congruenties

2 Wisundige technieen in de informatica Euler RSA Vectoren Vectoren Lineaire combinaties Lijn en vla Norm en inproduct Matrixreening Vergelijingen Matrixvermenigvuldiging Determinant Lineaire afbeeldingen Eigenwaarden Binomiaalcoëfficiënten 8 0. Definitie Identiteiten De binomiaalstelling Producten Newtonreesen Voortbrengende functies 90. Repertoire Convolutie Recurrente betreingen Goedhaase expressies Kansreening Kansruimten Variantie Kansvoortbrengende functies Asymptotie Asymptotie Reesontwielingen O-manipulatie Bootstrapping Grafen 7

3 Wisundige technieen in de informatica 3 4. Grafen Paden Bomen Planariteit Recurrente betreingen. De torens van Hanoi De torens van Hanoi Edouard Lucas, 884: Gegeven 3 pinnen en 64 schijven van verschillende grootte. Startsituatie: 64 op linerpin, geordend naar grootte. Opgave: verplaats ze alle naar rechterpin. Regel : er mag maar schijf tegelij worden verplaatst. Regel 2: nooit mag een grotere schijf rusten op een leinere. Generalisatie en naamgeving Generalisatie: beschouw het geval met n schijven. Naamgeving: zij T n het minimale aantal bewegingen dat het probleem oplost. Beschouw leine gevallen: T 0 = 0, T =, T 2 = 3. Recurrente betreing Stel dat we weten hoe we n schijven unnen verplaatsen, unnen we het dan oo met n? Observatie: als de grootste schijf wordt verplaatst, an dat alleen naar een lege pin.

4 Wisundige technieen in de informatica 4 Het bereien van die toestand ost op zijn zuinigst T n verplaatsingen. Daarna moeten de n overige schijven worden verplaatst. Dat ost oo minimaal T n stappen. Conclusie: T n = 2T n + voor n > 0 dus T 0 = 0, T =, T 2 = 3, T 3 = 7, T 4 = 5, T 5 = 3,... Programma Java-methode die n schijven verplaatst void move(n, Pin source, Pin destination, Pin auxiliary) { if (n > 0) { move(n-, source, auxiliary, destination); moveone(source, destination); move(n-, auxiliary, destination, source); } } Dit is de efficiëntst mogelije methode (in aantal verplaatsingen). Het genereerde aantal verplaatsingen is T n, de (tijd)complexiteit van dit programma is daarmee evenredig. Mer op: dit is een recursieve methode, een methode die zichzelf aanroept. Zorg ervoor dat zoiets niet tot een oneindige rees aanroepen leidt. Dat gaat hier goed omdat 0 n < n. Output voor n = 8. Verplaats schijf van lins naar rechts 2. Verplaats schijf van lins naar midden 3. Verplaats schijf van rechts naar midden 4. Verplaats schijf van lins naar rechts 5. Verplaats schijf van midden naar lins 6. Verplaats schijf van midden naar rechts 7. Verplaats schijf van lins naar rechts 8. Verplaats schijf van lins naar midden 9. Verplaats schijf van rechts naar midden 0. Verplaats schijf van rechts naar lins Verplaats schijf van rechts naar lins 25. Verplaats schijf van midden naar lins 252. Verplaats schijf van rechts naar midden 253. Verplaats schijf van lins naar rechts 254. Verplaats schijf van lins naar midden 255. Verplaats schijf van rechts naar midden Vermoeden Java-methode die T n uitreent int T(int n) { if (n==0) return 0; return 2*T(n-)+; }

5 Wisundige technieen in de informatica 5 Dit programma bereent T n door middel van de recurrente betreing: T 0 = 0, T n = 2T n + voor n > 0. De output is: 0,, 3, 7, 5, 3, 63, 27, 255, 5, 023, 2047, 4095, 89, 6383, 32767, 65535, 307, 26243, ,... Vermoeden: T n = 2 n voor n 0 Hoe unnen we nagaan of dit inderdaad altijd waar is? Inductiebewijs Een algemene manier om te bewijzen dat een zeere uitspraa P n geldt voor alle n met n 0, bestaat uit twee onderdelen:. Basis: Bewijs dat P 0 geldt. 2. Stap: Bewijs dat voor ele n met n > 0 waarvoor P n geldt oo P n geldt. In ons geval is P n de uitspraa T n = 2 n. Er geldt T 0 = {recurrente betreing} 0 = {reenen} 2 0 waarmee we de basis hebben bewezen. Inductiestap Neem aan n > 0 en T n = 2 n (de inductiehypothese). Dan T n = {recurrente betreing} 2T n + = {inductiehypothese} 2(2 n ) + = {reenen} 2 n dus we hebben oo de inductiestap bewezen. Conclusie: T n = 2 n voor n 0

6 Wisundige technieen in de informatica 6 Hint calculus Manier van opschrijven van wisundige bewijzen, geïntroduceerd door de informatici Edsger W. Dijstra en Wim Feijen rond 980. Oo erg geschit voor het construeren van (vooral functionele) programma s. Bewijs dat A = D door een afleiding van de vorm A = {uitleg waarom A = B } B = {uitleg waarom B = C } C = {uitleg waarom C = D } D Dit wert oo voor langere bewijzen en voor relaties zoals of. Voordeel: de lezer hoeft de uitleg niet zelf te verzinnen, en er wordt expliciet waar wel gegeven is gebruit. Alternatief bewijs: coördinatentransformatie Introduceer de notatie U n = T n +. Dan U 0 = en voor n > 0 U n = {definitie van U n } T n + = {recurrente betreing voor T n } (2T n + ) + = {reenen} 2(T n + ) = {definitie van U n } 2U n Dus voor n > 0 is U n = 2U n. Daaruit zien we meteen in dat Moraal: gebrui geschite coördinaten. U n = 2 n voor n 0 Mathematica Invoer: Uitvoer: RSolve[{T[n] == 2T[n ] +, T[0] == 0}, T[n], n] {{T[n] + 2 n }}

7 Wisundige technieen in de informatica 7.2 Vlaverdeling Vlaverdeling met rechte lijnen Jacob Steiner, 826: In hoeveel delen an het platte vla worden verdeeld door middel van een gegeven aantal rechte lijnen? Naamgeving: Noem het grootste aantal stuen dat met n lijnen an worden gemaat L n. Kleine gevallen: L 0 =, L = 2, L 2 = 4. Eerste vermoeden: L n = 2 n. Helaas: L 3 = 7. Recurrente betreing Stel er zijn al n lijnen geteend. Het teenen van de n -de lijn vergroot het aantal stuen maximaal als die alle voorgaande lijnen snijdt. Dit unnen we inderdaad bereien, door deze niet evenwijdig aan de voorgaande te iezen. Er worden dan n nieuwe vladelen afgesneden. Conclusie: L 0 = L n = L n + n voor n > 0 Vermoeden L n = {recurrente betreing} L n + n = {recurrente betreing} L n 2 + (n ) + n = {recurrente betreing} L n 3 + (n 2) + (n ) + n = {recurrente betreing}. = {recurrente betreing} L (n 2) + (n ) + n = { L 0 = ; noteer S n = + + n } + S n

8 Wisundige technieen in de informatica 8 Vermoeden Het voorgaande is niet echt een bewijs, omdat we het gebrui van stippeltjes niet unnen vermijden. In wezen is dit een analogieredenering! (Valuil: wat is de graad van het polynoom (x a)(x b) (x z)?) De redenering leidt wel tot het stere vermoeden dat L n = + S n voor n 0 waar S n het n de driehoesgetal + + n is. Driehoesgetallen Argument van Carl Friedrich Gauss (786, 9 jaar oud!): S n = {per definitie} (n ) + n = {verdubbeling} 2 (( (n ) + n) + ( (n ) + n)) = {omering volgorde in de tweede helft} 2 (( (n ) + n) + (n + (n ) )) = {twee aan twee samennemen van termen} (( + n) + (2 + (n )) + + ((n ) + 2) + (n + )) 2 = {in totaal n termen, die alle n + groot zijn} n(n + ) 2 Oo dit is nog geen echt bewijs (stippeltjes), maar het an daartoe wel worden omgevormd als we sommen ( n = ) in ons repertoire van standaardoperaties opnemen. Dan zijn wel reenregels voor omeren en samennemen nodig. Zie volgend college! Inductiebewijs Vermoeden: L n = + n(n + ) 2 Basis: L 0 = en oo + 20(0 + ) =. Stap: neem aan n > 0 en L n = + 2 (n )n (inductiehypothese). Dan L n = {recurrente betreing} L n + n = {inductiehypothese} + 2 (n )n + n = {haal factor 2n buiten haajes} + 2n(n + 2) = {reenen} + 2n(n + )

9 Wisundige technieen in de informatica 9 Conclusie Hiermee is echt bewezen dat Gevolg: L n = + n(n + ) voor n 0 2 L n 2 n2 voor grote waarden van n Mathematica Invoer: Uitvoer: RSolve[{L[n] == L[n ] + n, L[0] == }, L[n], n] {{L[n] 2 (2 + n + n2 )}}.3 Het Josephus-probleem Het Josephus-probleem Flavius Josephus (ca ), Joods geschiedschrijver van de oorlog tegen de Romeinen: 4 personen staan in een cirel. Ele tweede wordt gedood totdat er maar één over is. Vraag: wie is de laatste overlevende? Beschouw het algemene probleem voor n personen, voor n. Zij J(n) het nummer van de laatste overlevende. (We schrijven J(n) in plaats van J n omdat we stras een ingewielde expressie als index rijgen. Dit vereist helderziendheid...) Kleine gevallen: J() =, J(2) =, J(3) = 3, J(4) =, J(5) = 3, J(6) = 5,... Er dient zich geen vermoeden aan. Het valt op dat J(n) altijd oneven lijt te zijn. Reden: alle mannen met even nummer zijn gedood in de eerste rondgang. Recurrente betreing Hoe is de situatie na de eerste rondgang? Beschouw het geval n = 2. Nog in leven zijn de nummers, 3, 5,..., 2. Dat is gelij aan de uitgangssituatie met personen maar met el nummer t vervangen door 2t, dus het nummer van de laatste overlevende is 2J(). Beschouw het geval n = 2 +. Nog in leven zijn de nummers 3, 5, 7,..., 2 +. Dat is gelij aan de uitgangssituatie met personen, maar met el nummer t vervangen door 2t +, dus het nummer van de laatste overlevende is 2J() +. Recurrente betreing: J() = J(2) = 2J() voor J(2 + ) = 2J() + voor

10 Wisundige technieen in de informatica 0 (Mathematica ondersteunt vergelijingen van dit type niet!) Programma Java-methode die J(n) uitreent int J(int n) { if (n==) return ; int = n/2; if (n%2==0) return 2*J()-; return 2*J()+; } Mer op dat dit programma heel efficiënt is: per aanroep wordt het argument van J minstens gehalveerd. Vermoeden Uitvoer: J() =, J(2) =, J(3) = 3, J(4) =, J(5) = 3, J(6) = 5, J(7) = 7, J(8) =, J(9) = 3, J(0) = 5, J() = 7, J(2) = 9, J(3) =, J(4) = 3, J(5) = 5, J(6) =, J(7) = 3, J(8) = 5, J(9) = 7,... Vermoeden: J(n) = 2l + waar n = 2 m + l en 0 l < 2 m Bewijs met inductie De recurrente betreing was J() = J(2) = 2J() voor J(2 + ) = 2J() + voor We bewijzen het vermoeden met inductie naar m. J(n) = 2l + waar n = 2 m + l en 0 l < 2 m Basis: ingeval m = 0 geldt l = 0 en dus n = ; de uitspraa reduceert tot J() =, wat uit de recurrente betreing volgt.

11 Wisundige technieen in de informatica Bewijs met inductie De recurrente betreing was J() = J(2) = 2J() voor J(2 + ) = 2J() + voor Stap: zij m > 0 en J(n) = 2l + voor n = 2 m + l en 0 l < 2 m. Zij nu n = 2 m + 2p met 0 p < 2 m. Dan J(n) = { n = 2 m + 2p } J(2 m + 2p) = {recurrente betreing met = 2 m + p } 2J(2 m + p) = {inductiehypothese met l = p } 2(2p + ) = {reenen} 2(2p) + Hiermee is de stap bewezen voor even n. Bewijs met inductie De recurrente betreing was J() = J(2) = 2J() voor J(2 + ) = 2J() + voor We veronderstellen nog steeds m > 0 en J(n) = 2l + voor n = 2 m + l en 0 l < 2 m en beschouwen nu een oneven n, zeg n = 2 m + (2p + ) met 0 p < 2 m. Dan J(n) = { n = 2 m + 2p + } J(2 m + 2p + ) = {recurrente betreing met = 2 m + p } 2J(2 m + p) + = {inductiehypothese met l = p } 2(2p + ) + Hiermee is de stap oo bewezen voor oneven n. Alternatief bewijs zonder reenen. Als n even is, dan is na de eerste rondgang het aantal personen gehalveerd en persoon nog in leven. 2. Dus als n een macht van 2 is, zeg 2 m, dan is na m rondgangen het aantal personen gereduceerd tot en persoon nog in leven.

12 Wisundige technieen in de informatica 2 3. Zij nu n = 2 m + l met 0 l < 2 m. Na l dodingen zijn er 2 m personen nog in leven, en we zijn in de rondgang geomen tot aan nummer 2l+. Door hernummering blijt dat deze in leven blijft. Binaire representatie We hebben nu bewezen J(n) = 2l + waar n = 2 m + l en 0 l < 2 m In de computer worden getallen binair gerepresenteerd. Noteer n = (b m b m... b b 0 ) 2 als aforting voor n = b m 2 m + b m 2 m + + b 2 + b 0 waar ele b i de waarde 0 of heeft, en b m =. Dan n = (b m b m 2... b b 0 ) 2 l = (0b m b m 2... b b 0 ) 2 2l = (b m b m 2... b b 0 0) 2 Dus 2l is de zogenaamde left-shift van n. 2 Recurrente betreingen 2. Fibonacci De getallen van Fibonacci Fibonacci (= Leonardo van Pisa), 202: Bereen het aantal paren onijnen na één jaar, als. er na maand paar pasgeboren onijnen is 2. er geen onijnen sterven 3. onijnen zich vanaf 2 maanden voortplanten 4. vervolgens uit el paar ele maand een nieuw paar geboren wordt Noteer met f n het aantal paren onijnen na n maanden. Dan is f 0 = 0 f = f n = f n + f n 2 voor n 2

13 Wisundige technieen in de informatica 3 Programma Java-methode die f n uitreent int f(int n) { if (n <= ) return n; return f(n-) + f(n-2); } Dit programma is heel inefficiënt: het aantal aanroepen van f groeit exponentieel. (Voor het uitreenen van ele waarde zijn twee nieuwe waarden nodig. De recurrente betreing die het aantal aanroepen van f bepaalt, is afgezien van de startwaarden dezelfde als die voor f n.) Beter programma Java-methode die f n efficiënter uitreent int f(int n) { int f0 = 0; int f = ; for (int =0; <n; ++) { //f0 = f(), f = f(+) int f2 = f + f0; f0 = f; f = f2; } return f0; } Uitvoer: 0,,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55,... Quotiënt van opeenvolgende termen:.00, 2.00,.50,.67,.60,.63,.62,.62,.62,... Dit suggereert de aanwezigheid van een overheersende term.62 n. Probeeroplossing Zoe naar oplossingen van de recurrentie f n = f n + f n 2 die van de vorm f n = x n zijn, waar x 0. Er geldt f n = f n + f n 2 {probeer f n = x n voor alle n } x n = x n + x n 2 {als x 0 } x 2 = x + {reenen} x 2 x = 0 {vierantsvergelijing} x = ( ± 5)/2

14 Wisundige technieen in de informatica 4 Beginwaarden Zij φ = ( + 5)/2 en ^φ = ( 5)/2. Dan zijn f n = φ n en f n = ^φ n oplossingen van de recurrentie f n = f n + f n 2. Dat geldt dan oo voor de lineaire combinatie f n = C φ n + D ^φ n We zoeen nu C en D zodanig dat aan de startcondities is voldaan. Substitutie van f 0 = 0 geeft C + D = 0 dus D = C. En ad f : f = {probeer f n = C φ n + D ^φ n } C φ + D ^φ = { D = C } C (φ ^φ) = { φ = ( + 5)/2 en ^φ = ( 5)/2 } C 5 dus f = geeft C = / 5. Expliciete formule De Fibonaccigetallen f n worden gegeven door f n = φn ^φ n 5 voor n 0 waar φ = ( + 5)/2 en ^φ = ( 5)/2. Het getal φ =, heet de Gulden Snede. De letter φ verwijst naar Phidias, beeldhouwer van de Aropolis.

15 Wisundige technieen in de informatica 5 Mathematica Invoer: Uitvoer: RSolve[{f[n] == f[n ] + f[n 2], f[0] == 0, f[] == }, f[n], n] f(n) ( ) n ( ) n Eigenschappen van Fibonaccigetallen Jean-Dominique Cassini, 680: f n+ f n f 2 n = ( ) n voor n > 0 Puzzel (Lewis Carroll): neem f n f n schaabord en verdeel het als volgt in vier stuen: Je houdt dan vierantje over of omt er teort (bijv. 8 8 = 5 3 ). 2.2 Euclides Algoritme van Euclides Nu laten we een toepassing van Fibonaccigetallen in de informatica zien. De grootste gemene deler van getallen a en b is het grootste positieve getal x zodanig dat zowel a als b zonder rest door x deelbaar zijn. Eigenschappen: gcd(a, 0) = a gcd(a, b) = gcd(b, a mod b) Java-programma voor bereening van gcd(a, b) int gcd(int a, int b) { //pre a >= b while (b!=0) { int x=b; b=a%b; a=x; } return a; }

16 Wisundige technieen in de informatica 6 Complexiteit van Euclides algoritme Nummer de achtereenvolgende waarden van b vanaf het laatste, dus b 0 = 0 en b (anders was de herhaling al eerder gestopt). Verder steeds b i = b i+2 mod b i+ dus b i+2 b i + b i+ Vergelijing met de recurrente betreing voor de Fibonaccigetallen geeft b i f i Als de startwaarde a aanleiding geeft tot n iteraties, geldt dus a f n φ n / 5, dus n φ log( 5a) log a 2.3 AVL AVL-bomen Een binaire boom bestaat uit een wortel en twee subbomen die leeg zijn of zelf weer een binaire boom vormen. Binaire bomen zijn geschit als datastructuur, in het bijzonder als we lins van de wortel alleen elementen leiner dan dat in de wortel opnemen en rechts alleen groter. We spreen dan van een zoeboom. De efficiëntie van het zoeen in een zoeboom hangt af van de diepte, dat is het langste pad. Adelson-Velsii en Landis, 962: een AVL-boom is een zoeboom waarin de diepte van liner- en rechtersubbomen steeds niet meer dan verschillen. Maximale diepte van een AVL-boom Zij M i het minimale aantal elementen in een AVL-boom van diepte i. Dan is M =, M 2 = 2.

17 Wisundige technieen in de informatica 7 Beschouw het geval i 2. Een van de subbomen van de wortel heeft dan diepte i, de andere diepte ten minste i 2. Als we deze vervangen door minimale AVL-bomen van diepte i respectievelij i 2, zal het aantal elementen niet toenemen. Dus M i = M i + M i 2 + Dit lijt op de recurrente betreing voor Fibonaccigetallen, en we unnen het op dezelfde manier aanpaen. Maar we unnen oo ons oude resultaat hergebruien. Definieer L i = M i +. We leiden een recurrente betreing voor L i af. Coördinatentransformatie L i = {definitie} M i + = {recurrente betreing} (M i + M i 2 + ) + = {reenen} (M i + ) + (M i 2 + ) = {definitie} L i + L i 2 Verder L = 2 = f 3 en L 2 = 3 = f 4, dus M i L i = f i+2 φ2 5 φ i Dus als n elementen zijn opgeslagen in een AVL-boom van diepte, geldt n φ2 5 φ ofwel 5 φ log(n φ 2 ).44 2log n Mergesort Mergesort Sorteren van een lijst a op recursieve wijze: sorteer twee helften afzonderlij en voeg ze samen. Mergesort void mergesort(int[] a, int l, int r) { int m = (l + r) / 2; if (l < m) { mergesort(a, l, m); int[] b = new int[m-l]; System.arraycopy(a,l,b,0,m-l); mergesort(a, m, r); int[] c = new int[r-m]; System.arraycopy(a,m,c,0,r-m);

18 Wisundige technieen in de informatica 8 } } int i = 0; int j = 0; int = l; while (i < m-l && j < r-m) if (b[i] < c[j]) a[++] = b[i++]; else a[++] = c[j++]; System.arraycopy(b, i, a,, m-l-i); System.arraycopy(c, j, a, +m-l-i, r-m-j); Recurrente betreing We introduceren M n als een bovengrens voor het aantal vergelijingen dat nodig is om een lijst van n elementen te sorteren met Mergesort. Uit de programmatest blijt dat we unnen iezen M = 0, en voor M 2 = 2M + 2 M 2+ = M + M Noteer met L n het leinste getal i waarvoor 2 i n. (Dan L n 2 log n.) We zullen bewijzen dat M n = nl n 2 Ln + voor alle n, met inductie. Basis: de bewering geldt voor n =. Stap: zij n > en veronderstel dat de bewering geldt voor alle voorgangers van n. Zij n = 2 of n = 2 + ; we zullen de bewering in het bijzonder voor en + gebruien. Als n = 2, is zeer L n = L +. Als n = 2 +, onderscheiden we twee aparte gevallen:. is geen macht van 2 ; dan L n = L + + = L + 2. is een macht van 2 ; dan L n = L + + = L + 2 Complexiteit van Mergesort: eerste geval Zij n = 2. Dan M n = { n even; recurrente betreing} 2M + 2 = {inductiehypothese voor } 2(L 2 L + ) + 2 = { n = 2, dus L = L n } 2((L n ) 2 Ln + ) + 2 = {reenen} 2L n 2 Ln + = { 2 = n } nl n 2 Ln +

19 Wisundige technieen in de informatica 9 Complexiteit van Mergesort: tweede geval Zij n = 2 +, geen macht van 2. Dan M n = { n oneven; recurrente betreing} M + M = {inductiehypothese voor en + } (L 2 L + ) + (( + )L + 2 L + + ) + 2 = { geen macht van 2, dus L = L + = L n } ((L n ) 2 Ln + ) + (( + )(L n ) 2 Ln + ) + 2 = {reenen} (2 + )L n 2 Ln + = { 2 + = n } nl n 2 Ln + Complexiteit van Mergesort: derde geval Zij n = 2 +, een macht van 2. Dan M n = { n oneven; recurrente betreing} M + M = {inductiehypothese voor en + } (L 2 L + ) + (( + )L + 2 L + + ) + 2 = { een macht van 2, dus L = L n 2, L + = L n } ((L n 2) 2 Ln 2 + ) + (( + )(L n ) 2 Ln + ) + 2 = {reenen} (2 + )L n 3 2 Ln 2 + = {reenen} (2 + )L n 2 Ln + 2 Ln 2 + = { een macht van 2, dus = 2 L = 2 Ln 2 } (2 + )L n 2 Ln + = { 2 + = n } nl n 2 Ln + Complexiteit van Mergesort: conclusie Sorteren van een rij van n getallen met Mergesort ost nl n 2 Ln + n 2log n vergelijingen. Voorbeeld: voor n = 000 is L n = 0, dus er zijn =8977 vergelijingen nodig. Dit is resultaat is niet essentieel te verbeteren: beschouw sorteren als het zoeen van de uniee stijgende permutatie. Ele vergelijing halveert de zoeruimte van mogelije permutaties. In totaal zijn er n! permutaties, dus er zijn vergelijingen nodig. L n! n 2log n

20 Wisundige technieen in de informatica Algemene oplossing Homogene lineaire betreingen van orde 2: reële oplossingen Beschouw de recurrente betreing Drie gevallen: t n = At n + Bt n 2 voor n 2. De vergelijing x 2 Ax B = 0 heeft twee verschillende reële wortels p en q. Dan is de algemene oplossing t n = Cp n + Dq n De coëfficiënten C en D worden bepaald door t 0 en t (zie Fibonacci). 2. De vergelijing x 2 Ax B = 0 heeft een enele reële wortel p. Dan is de algemene oplossing t n = Cp n + Dnp n Wederom worden de coëfficiënten C en D bepaald door t 0 en t. Homogene lineaire betreingen van orde 2: complexe oplossingen 3. De vergelijing x 2 Ax B = 0 heeft geen reële wortels. Dan is de algemene oplossing van de vorm t n = Cr n cos(nφ) + Dr n sin(nφ) Voor het bepalen van r en φ hebben we complexe getallen nodig: de complexe wortels van de vergelijing zijn r cos φ ± ir sin φ. Vervolgens worden de coëfficiënten C en D weer bepaald door t 0 en t. Inhomogene lineaire betreingen Beschouw de recurrente betreing t n = A t n + A 2 t n A t n + f(n) voor n met gegeven startwaarden t 0,..., t. De oplossing is als volgt te vinden:. Vind een particuliere oplossing p n (d.w.z. een rij die aan de recurrente betreing maar misschien niet aan de startwaarden voldoet) 2. Bepaal de algemene oplossing a n van het homogene probleem (dus f(n) door 0 vervangen) 3. De algemene oplossing van het inhomogene probleem is de som p n + a n 4. Bepaal de waarden van de constanten die in deze algemene oplossing vooromen uit de gegeven startwaarden

21 Wisundige technieen in de informatica 2 Inhomogene lineaire betreingen:voorbeeld Beschouw de recurrente betreing t n = 2t n 2 + 3n met t 0 = 4, t = 2. Particuliere oplossing: Probeer p n van dezelfde gedaante als de dwangterm: p n = an + b. Substitutie in de recurrente betreing geeft p n = 2p n 2 + 3n { p n = an + b } an + b = 2(a(n 2) + b) + 3n {reenen} ( a 3)n + (4a b) = 0 {coëfficiënten nul stellen} a 3 = 0 4a b = 0 {reenen} a = 3 b = 2 dus een particuliere oplossing is p n = 3n 2. Inhomogene lineaire betreingen:voorbeeld Algemene oplossing van de homogene betreing: de homogene vergelijing is t n = 2t n 2 Beschouw de vergelijing x 2 2 = 0 ; deze heeft als oplossing x = ± 2. De algemene oplossing van de homogene betreing is daarom t n = (C + D( ) n )( 2) n De algemene oplossing van het inhomogene probleem is dus Substitutie van t 0 = 4 en t = 2 geeft t n = (C + D( ) n )( 2) n 3n 2 C + D 2 = 4 (C D) 2 5 = 2 ofwel C = D = Mathematica Invoer: RSolve[{t[n] == 2t[n 2] + 3n, t[0] == 4, t[] == 2}, t[n], n]

22 Wisundige technieen in de informatica 22 Uitvoer: 2n 3( ) n + 3( ) 2n 2n + 5 2n + 2n 7( ) n 2 n n ( ) n 2 n/2 52 n/2 + 3( ) 2n + 6( ) 2n t(n) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) Invoer: Uitvoer: FullSimplify[%, n Integers] {{ ( t(n) 2 n ( 2 + ( ) n 32 7 )) }} 2 3(n + 4) 3 Sommatie 3. De sigma-notatie De sigma-notatie De notatie is ambigu: bedoelen we n of n + 2 n n n? En heeft dit oo beteenis als n =, of als n = 0? Om dubbelzinnigheid uit te sluiten, introduceerde Joseph Fourier in 820 de notatie n = Hierin heet a de term, en n de onder- en bovengrens, en de gebonden variabele. De naam moet in de context nog geen beteenis hebben, maar is verder irrelevant. a De Iverson-conventie Met de sigma-notatie unnen we goed onderscheid maen tussen en 2 n = n 2 j j=0

23 Wisundige technieen in de informatica 23 Maar soms willen we oo sommeren over een niet-aaneengesloten gebied. In de literatuur zie je vaa iets als p + q, n p 2 +q 2 n f(n)=0 Nadelen: veel en belangrije informatie moet in het onderschrift worden geperst, en het is niet altijd duidelij wat de gebonden variabele is. Liever schrijven we n [p 2 + q 2 n], [f(n) = 0]n p + q p= n De Iverson-conventie Kenneth Iverson, 962: Voor een conditie ( boolean expressie ) p noteren we { als p [p] = 0 als niet p Daarbij hanteren we de afspraa dat [p ]a = 0 als p onwaar is, zelfs als a dan ongedefinieerd is. Voorbeeld: 0 [i 5] i 5 = 0 i=0 De notatie is erg handig voor transformatie van de gebonden variabele: de transformatie 99 geeft [0 < n]a = [0 99 < n]a 99 = [99 n < 99]a Sommatiefactor Recurrente betreingen met niet-constante coëfficiënten Beschouw een recurrente betreing van de vorm Kies nu s n zó dat a n T n = b n T n + c n s n b n = a n s n Met S n = s n a n T n is de recurrente betreing dan equivalent met dus de algemene oplossing is ofwel S n = S n + s n c n S n = S 0 + n s c = ( T n = s b T 0 + s n a n ) n s c =

24 Wisundige technieen in de informatica 24 Sommatiefactor a n T n = b n T n + c n heeft dus de algemene oplossing ( ) T n = n s b T 0 + s c s n a n waarin = s n b n = a n s n dus s n = a n s n b n = a n a n 2 s n 2 b n b n = = a n a n 2... a b n b n... b 2 Deze s n heet de sommatiefactor. 3.3 Quicsort Quicsort Quicsort void quicsort(int[] a, int l, int r) { if (l < r-) { int t, v, i, j; v = a[r-]; i = l-; j = r-; do { do i++; while (a[i] < v); do j--; while (a[j] > v); t = a[i]; a[i] = a[j]; a[j] = t; } while (i < j); a[j] = a[i]; a[i] = a[r-]; a[r-] = t; quicsort(a, l, i); quicsort(a, i+, r); } } Quicsort Idee achter Quicsort: ies een waarde v in de lijst, en herschi de waarden zo dat lins van v alleen termen v en rechts alleen termen v staan. Dan zijn verder alleen nog permutaties binnen het liner- en rechterstu nodig! Pas dan quicsort opnieuw toe op die twee stuen.

25 Wisundige technieen in de informatica 25 Hoeveel vergelijingen heeft Quicsort nodig om n verschillende elementen te sorteren? Noem C n het aantal vergelijingen dat daarvoor gemiddeld nodig is. Dan is C 0 = 0 en C n = n + + n n (C j + C n j ) j= De term met index j correspondeert met het geval dat er j elementen leiner dan v en n j elementen groter dan v in de lijst vooromen. Alle waarden j met j n zijn even waarschijnlij. Complexiteit van Quicsort n j= (C j + C n j ) = {termsplitsing} n j= C j + n j= C n j = {dummytransformatie j n j + } n j= C j + n j= C j = {beide sommen zijn identie} 2 n j= C j De gebruite reenregels moeten we nog nader onderzoeen... Dit geeft de vereenvoudigde recurrente betreing: C 0 = 0 en C n = n n n C j voor n > 0 j= Complexiteit van Quicsort C n = n n n j= C j voor n > 0 {vermenigvuldig beide leden met n } nc n = n(n + ) + 2 n j= C j voor n > 0 {dummytransformatie n n } nc n = n(n + ) + 2 n j= C j voor n > 0 (n )C n = (n )n + 2 n j= C j voor n > 0 {tre tweede vergelijing van eerste af} nc n (n )C n = 2n + 2C n voor n > {breng alle termen met C n naar rechts} nc n = (n + )C n + 2n voor n > {formule geldt oo voor n = omdat C 0 = 0 en C = 2 } nc n = (n + )C n + 2n voor n > 0 Deze recurrente betreing laat een sommatiefactor toe: s n = (n ) (n 2)... (n + ) n... 3 = 2 n(n + )

26 Wisundige technieen in de informatica 26 Harmonische getallen De algemene oplossing van de recurrente betreing voor de (gemiddelde) complexiteit van Quicsort is n C n = 2(n + ) + Vaa vooromende grootheid: het n -de harmonische getal H n is gedefinieerd als H n = n =. We unnen C n uitdruen in H n : er geldt C n = 2(n + )H n 2n. Aan het eind van dit college zullen we zien dat H n ln(n + ) ; voor grote n is ruwweg H n ln n. = Harmonische getallen C n = {algemene oplossing} 2(n + ) n = + = {dummytransformatie } 2(n + ) n+ =2 = {voeg toe =, gebrui n 0 } 2(n + ) n+ = 2(n + ) = {splits af = n +, gebrui n 0 } 2(n + ) n = + 2 2(n + ) = {definitie H n ; reenen} 2(n + )H n 2n 3.4 Reenregels Reenregels Distributie van vermenigvuldiging over optelling: c a = ca Termsplitsing: Domeinsplitsing: Leeg domein: (a + b ) = a + a a = a + A B A B a = 0 b als A B =

27 Wisundige technieen in de informatica 27 Reenregels Eenpuntsregel: Constante term: Monotonie: a Dummytransformatie p() : a = A p() A a = a p {p} c = c #A A b a p() als a b voor alle als p permutatie van Z (Een permutatie van Z neemt ele gehele waarde precies eenmaal aan. Voorbeelden: p() = c +, p() = c.) Reenundige rijen Formalisering van argument van Gauss uit het eerste college: n =0 (a + b) = {verdubbeling} 2 ( n =0 (a + b) + n =0 (a + b)) = {dummytransformatie n } 2 ( n =0 (a + b) + n =0 (a + b(n ))) = {termsplitsing} 2 ( n =0 (a + b + a + b(n ))) = {reenen} (2a + bn)) 2 ( n =0 = {constante term} (n + )(2a + bn) 2 Afsplitsen van een term Afgeleide regel: q =p a = {domeinsplitsing, Iverson} [p q q]a + [p q = q]a = {vereenvoudiging domeinen} [p q ]a + [p q = q]a = {mits p q } q =p a + q =q a = {eenpuntsregel} q =p a + a q

28 Wisundige technieen in de informatica 28 dus De voorwaarde is nodig! q q a = a + a q =p =p als p q Meetundige rijen Voor S n = n =0 ax is S n+ = {definitie} n+ =0 ax = {splits af = 0, gebrui 0 n + } a + n+ = ax = {dummytransformatie + } a + n =0 ax+ = {distributie van vermenigvuldiging over sommatie} a + x n =0 ax = {definitie} a + xs n Meetundige rijen We hebben afgeleid S n+ = a + xs n. Maar oo S n+ = {definitie} n+ =0 ax = {splits af = n +, gebrui 0 n + } n =0 ax + ax n+ = {definitie} S n + ax n+ dus S n + ax n+ = a + xs n, waaruit volgt S n = a xn+ x als x Dubbelsommen Verwisselen van sommatie: [P(j, )]a j, = j [P(j, )]a j, Simpel geval: als de domeinen voor j en onafhanelij zijn. Dan j J K a j, = K j j J a j,

29 Wisundige technieen in de informatica 29 Interessant geval: als het domein voor afhangt van j. Bijvoorbeeld n n n a j, = j= =j = j= a j, Dubbelsommen n n j= =j a j, = {Iverson} j [ j n] [j n]a j, = {distributie} j [ j n][j n]a j, = { [P][Q] = [P Q] ; transitiviteit van } j [ j n]a j, = {verwisselen van sommatie} j [ j n]a j, = { [P][Q] = [P Q] ; transitiviteit van } j[ n][ j ]aj, = {distributie} [ n] j [ j ]a j, = {Iverson} n = j= a j, Ongelijheid van Chebyshev n n j= =j+ (a a j )(b b j ) = ( {verdubbeling} n n 2 j= =j+ (a a j )(b b j ) + n ) n j= =j+ (a a j )(b b j ) = ( {dummytransformatie j,, j } n n 2 j= =j+ (a a j )(b b j ) + n ) n = j=+ (a j a )(b j b ) = {verwisselen van sommatie} n =j+ (a a j )(b b j ) + n ) j j= = (a j a )(b j b ) 2 ( n j= = {domeinsplitsing; splits af = j } 2 n j= n = (a a j )(b b j ) = {termsplitsing; dummytransformatie j,, j } n j= n = a b n j= n = a jb = {constante term; distributie} n n = a b ( n j= a j)( n = b ) Ongelijheid van Chebyshev

30 Wisundige technieen in de informatica 30 Conclusie: n n n n n ( a j )( b ) = n a b (a a j )(b b j ) j= = = j= =j+ dus n n n ( a j )( b ) n a b j= = = als a a 2 a n en b b b n, en n n n ( a j )( b ) n a b j= = = als a a 2 a n en b b b n. Sommen en integralen Stel dat we n =0 2 willen bereenen. We ennen wel een integraal die erop lijt, namelij n En we unnen oo het verschil bereenen: n =0 2 n 0 x2 dx = {integratie is additief} n = ( 2 ) x2 dx = {primitieve van x 2 is x 3 /3 } n = ( 2 ( 3 /3 ( ) 3 /3) ) = {reenen} n = ( 3 ) = {termsplitsing; constante term} n = n 3 = {reenundige rij} n(n+) 2 n 3 0 x 2 dx = n3 3 Sommen en integralen Conclusie: n =0 2 = {vergelij met integraal} n 0 x2 dx + n =0 2 n 0 x2 dx = {voorgaande} n n(n+) 2 n 3 = {reenen} 2n 3 +3n 2 +n 6

31 Wisundige technieen in de informatica 3 Sommen en integralen Voor het harmonische getal H n unnen we als volgt een afschatting bereenen. n dx x = {domeinsplitsing} n = + dx x { x voor x + } n + = dx = {constante term} n = = {splits af = n } n = n = {per definitie} H n n maar de beschouwde integraal is ln n, dus H n ln n + n. Sommen en integralen Evenzo n + = { x n = + dx x + voor x + } dx + = {constante term} n = + = {dummytransformatie } n =2 = {splits af = } n = = {per definitie} H n Conclusie: ln n + n H n ln n + Voor grote n unnen we dus zeggen dat H n ln n. 4 Differentiereening en reesen 4. Delta Differenties Differentiereening bestudeert de differentie-operator, gedefinieerd door f(x) = f(x + ) f(x)

32 Wisundige technieen in de informatica 32 Vergelij dit met differentiaalreening: de afgeleide-operator D is gedefinieerd door De belangrijste eigenschap van D is Df(x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h D(λx x m ) = λx mx m Er is een analoge eigenschap voor differenties: waarin (λx x m ) = λx mx m m x m = (x j) voor m 0 (Dit is een generalisatie van de faculteitfunctie, want n! = n n.) j=0 Differenties Afleiding van de differentieformule voor x m : voor m is (λx x m ) = {definitie van } λx ((x + ) m x m ) = {definitie ( van x m } m λx j=0 (x + j) ) m j=0 (x j) = {dummytransformatie ( j j + } m 2 λx j= (x j) ) m j=0 (x j) = {afsplitsen j = in eerste product, j = m in tweede} λx ((x + ) (x m + )) m 2 j=0 (x j) = {reenen; definitie van x m } λx mx m Voor m = 0 is x m =, zodat de formule oo dan opgaat. Slordigheidshalve wordt de λx uit dit soort bereeningen wel eens weggelaten, maar eigenlij is dat niet goed: wert op functies, niet op getalwaardige expressies. 4.2 Differentie-sommatiestelling Verband met sommatie De formule heeft een analogon b Differentie-sommatiestelling a g(x)dx = f(b) f(a) als g(x) = Df(x)

33 Wisundige technieen in de informatica 33 b g(x)δx = f(b) f(a) als g(x) = f(x) a Hierin is Toepassing: b b g(x)δx = g() a =a n x m δx = xm+ m + 0 n 0 = nm+ m + Sommen van machten n =0 = {notatie} n 0 x δx = {differentie-sommatiestelling} = n 2 2 {definitie n m } n(n ) 2 en n =0 2 = { x 2 = x(x ) + x = x 2 + x } n 0 (x2 + x )δx = {differentie-sommatiestelling} n n2 2 = {definitie n m } n(n )(n 2) 3 + n(n ) 2 Negatieve exponenten We hebben x 3 = x(x )(x 2) x 2 = x(x ) x = x x 0 = Als we de opeenvolgende quotiënten beijen, lijt het redelij om verder te gaan met x = x + x 2 = (x + )(x + 2) x 3 = (x + )(x + 2)(x + 3)

34 Wisundige technieen in de informatica 34 dus algemeen x m = m j= x + j Vermenigvuldigingswet Algemene regel: Bewijs ingeval 0 m + n < m : x m+n = x m (x m) n x m (x m) n = {definitie; m > 0 en n < 0 } m j=0 (x j) n = x m+ = {dummytransformatie m j } m j=0 (x j) m j=m+n x j = {domeinsplitsing; termsplitsing} m+n j=0 (x j) = {definitie; m + n 0 } x m+n en analoog in de andere gevallen. 4.3 Analoga Harmonische getallen We unnen verifiëren dat b x m δx = xm+ m + a b a voor m oo geldt voor negatieve m. Maar wat als m =? Voor de corresponderende integraal is b a x dx = ln x b a Harmonische getallen Er geldt (λx H x ) = {definitie van } λx (H x+ H x ) = {definitie ( van H x } x+ λx j= j ) x j= j

35 Wisundige technieen in de informatica 35 = {splits af j = x + } λx x+ = {definitie van x } λx x dus volgens de differentie-sommatiestelling is b a x δx = H x b a Kort gezegd: H x is het discrete analogon van ln x. De exponentiële functie De functie exp = (λx e x ) heeft de enmerende eigenschap D exp = exp. Is er een discreet analogon, m.a.w. is er een functie dexp waarvoor dexp = dexp? dexp(x) = dexp(x) {definitie van } dexp(x + ) dexp(x) = dexp(x) {reenen} dexp(x + ) = 2dexp(x) En van die recurrente betreing is eenvoudig een oplossing te vinden: dexp(x) = 2 x. Differentie van een product Is er een analogon van D(uv) = udv + vdu? (uv)(x) = {definitie van } u(x + )v(x + ) u(x)v(x) = {op weg naar factor u(x + ) u(x) } u(x + )v(x + ) u(x)v(x + ) + u(x)v(x + ) u(x)v(x) = {factoren buiten haajes halen} v(x + )(u(x + ) u(x)) + u(x)(v(x + ) v(x)) = {definitie van } v(x + ) u(x) + u(x) v(x) dus waarin (uv) = u v + Ev u Ev(x) = v(x + )

36 Wisundige technieen in de informatica 36 Partiële sommatie Uit de formule voor de differentie van een product leiden we af Partiële sommatie u v = uv Ev u Dit an worden gebruit om een som te transformeren naar een gemaelijer te bereenen som. Voorbeeld: Partiële sommatie n =0 2 = {notatie} n+ 0 x2 x δx = {exponentiële functie dexp(x) = 2 x ; dexp = dexp } n+ 0 x dexp(x)δx = {partiële sommatie} x dexp(x) n+ 0 n+ 0 Edexp(x) (λx x)(x)δx = {substitutie van grenzen; definitie van E ; (λx x) = (λx ) } (n + )dexp(n + ) n+ 0 dexp(x + )δx = {differentie-sommatiestelling} (n + )dexp(n + ) dexp(x + ) n+ 0 = {definitie dexp ; substitutie van grenzen} (n + )2 n+ (2 n+2 2) = {reenen} (n )2 n+ + 2 Partiële sommatie n =0 H = {notatie} n 0 xh xδx = { (λx x2 2 ) = (λx x) ; partiële sommatie} n n (x+) (λx H x )(x)δx H x x 2 2 = { (λx H x ) = (λx x ) } n H 2 n 2 n (x+) x δx = {vermenigvuldigingswet: x +2 = x (x ( )) 2 } n H 2 n 2 n 0 x 2 δx = {differentie-sommatiestelling} n H 2 n 2 n Reesen Reesen

37 Wisundige technieen in de informatica 37 Gegeven een oneindige rij a 0, a, a 2,... unnen we de rij van partiële sommen a 0, a 0 + a, a 0 + a + a 2,... beschouwen. Dit noemen we een rees. De rees heet convergent als de partiële sommen een limiet hebben, en we schrijven dan a = lim =0 n a n =0 Meetundige reesen Voorbeeld: voor x < is =0 ax = {per definitie} lim n n =0 ax = {meetundige rij, zie college 3} lim n a xn+ x = {eigenschappen van lim } a x ( lim n x n+ ) = { x < } a x De osten van tellen Bij het verzetten van een teller, bijvoorbeeld de ilometerteller van een auto, verspringen steeds een of meer cijfers. Meestal maar één, maar soms (bijvoorbeeld bij de overgang van naar 73000) meer. Hoeveel cijfers verspringen gemiddeld? De eenhedenteller verspringt bij ele overgang, en draagt dus bij aan het gemiddelde. De tientallenteller verspringt een op de 0 eer, en draagt dus 0 bij. De honderdtallenteller draagt op dezelfde manier 00 bij, enzovoort. Het gemiddelde aantal cijfers dat verspringt, is dus 0 = = =0 Absolute convergentie Absolute convergentie Als =0 a convergeert, dan convergeert oo =0 a. Bovendien geldt in dat geval voor ele permutatie p van N 0 a = =0 =0 a p()

38 Wisundige technieen in de informatica 38 In het geval van absoluut convergente reesen unnen we dezelfde regels voor het manipuleren van sommen gebruien die we voor eindige sommen geleerd hebben. Voor nietabsoluut convergente reesen geldt dat niet: een niet-absoluut convergente rees an ele gewenste som rijgen door de volgorde van de termen te veranderen, en zo zelfs divergent worden. Termen van een convergente rees Termen van een convergente rees Als =0 a convergeert, geldt lim a = 0 De voorwaarde lim a = 0 is niet voldoende voor convergentie. Beij de rees De partiële sommen zijn n = waaruit volgt dat de rees niet convergeert. = = H n ln n Machtreesen Een rees van de vorm heet een machtrees in x. a x =0 Convergentiestraal Bij ele machtrees is een ρ [0.. ] zodanig dat de rees absoluut convergeert voor ele x met x < ρ. De grootste ρ met deze eigenschap heet de convergentiestraal. Ingeval bestaat en eindig is, geldt R = lim a + a ρ = als R = 0 ρ = R als R 0

39 Wisundige technieen in de informatica 39 Differentiëren van een machtrees Differentiëren van een machtrees Laat de machtrees =0 a x convergentiestraal ρ > 0 hebben. Voor alle x met x < ρ is dan de functie f(x) = =0 a x differentieerbaar, en Df(x) = ( + )a + x =0 Differentiëren van een machtrees Voorbeeld: de machtrees geldt =0 x Df(x) = {differentiëren van een machtrees} (+)x =0 (+)! = {reenen} =0 x! = {per definitie} f(x) In feite geldt f(x) = exp x.! heeft convergentiestraal, en voor de som f(x) Taylorrees Een functie die door een machtrees an worden voorgesteld heet analytisch in 0. Herhaald differentiëren geeft: Taylor-MacLaurin Voor ele functie f die analytisch in 0 is, geldt f(x) = =0 D f(0) x! Deze rees heet de Taylorrees van de functie. Benaderingen van functies zoals exp en sin die we vanuit een programmeertaal aanroepen, worden meestal bereend met behulp van de Taylorrees. Fourierrees In een machtrees probeer je een functie te schrijven als som van termen, x, x 2, x 3,.... In een Fourierrees probeer je dat in termen van, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, cos 3x, sin 3x,... 2

40 Wisundige technieen in de informatica 40 op het segment [ π, π]. Een Fourierrees heeft dus de vorm a (a cos x + b sin x) = Vrijwel alle interessante functies blijen als Fourierrees te schrijven te zijn, bijvoorbeeld ( ) e x = eπ e π ( ) + 2 2π 2 (cos x sin x) + = Fourierrees Als een functie f een Fourierreesontwieling heeft, dan zijn de coëfficiënten te bepalen als a = π b = π π π π π f(x) cos xdx f(x) sin xdx Benaderingen van f worden weer gevonden door een beginstu van de Fourierrees te gebruien. Als de functie een beeld (bijvoorbeeld.jpg) of geluid (bijvoorbeeld.mp3) voorstelt, heeft dat het voordeel dat de hogere frequenties door het menselij oog en oor niet goed unnen worden waargenomen. Het verschil tussen de benadering en het origineel is dan niet merbaar. 5 Afronden en afappen 5. Floor en ceiling Floor en ceiling Conversiefuncties van reële getallen naar gehele getallen. x = het grootste gehele getal m met m x x = het leinste gehele getal m met m x

41 Wisundige technieen in de informatica 4 Uitspraa: x als floor x of entier x, en x als ceiling x. Verband met typeconversie in Java: { x als x 0 (int)x = x als x < 0 Grafie Reenregels Voor x R en n Z geldt x < x x x < x + x x = [x Z] x = x x = x x = n n x < n + x = n x < n x x = n n < x n x = n x n < x + x + n = x + n x + n = x + n Reenregels Voor x R en n Z geldt x < n x < n n < x n < x x n x n n x n x Bewijs (van de eerste equivalentie):

42 Wisundige technieen in de informatica 42 x < n { x x } x < n {beide leden geheeltallig} x n { x < x } x < n {tel op bij beide leden} x < n Geheeltallige logaritme Linear search int ilg(int n) { int = 0; int t = ; // invariant t = 2 while (t < n) { t*=2; ++; } // minimaal met 2 n return ; } Dit programma bereent 2 log n. Aantal bits Noem bits(n) het aantal bits in de binaire voorstelling van een getal n. Omdat geldt ( } {{ } ) 2 = 2 m () m bits(n) m {()} n 2 m {tel bij beide leden op} n + 2 m {monotonie van 2 log } 2 log(n + ) m {eigenschap } 2 log(n + ) m

43 Wisundige technieen in de informatica 43 dus bits(n) = 2 log(n + ) Wortel van floor = x. Bewijs: voor gehele niet- Te bewijzen: voor reële niet-negatieve x is negatieve m is x < m {eigenschap van } x < m {monotonie van wadrateren} x < m 2 {eigenschap van } x < m 2 {monotonie van wadrateren} x < m {eigenschap van } x < m x Integers in een interval Gegeven een interval tussen de reële getallen α en β, de eindpunten al dan niet daarbij ingesloten, hoeveel gehele getallen bevat dit? Voor α < β en gehele n geldt n [α.. β] {per definitie} α n β {eigenschap van en } α n β dus het aantal gehele getallen in [α.. β] is β α +. Evenzo: [α.. β) β α (α.. β] β α (α.. β) β α Roulette Een getal n met n 000 heet een winnaar als 3 n \n. Het aantal winnaars is 000 n= [ 3 n \n] = {introduceer teller, eenpuntsregel},n [ = 3 n ][\n][ n 000] = {introduceer teller m, eenpuntsregel},m,n [ = 3 n ][n = m][ n 000] = {splits af n = 000 }

44 Wisundige technieen in de informatica 44 +,m,n [ = 3 n ][n = m][ n < 000] = {eigenschap van } +,m,n [3 n < ( + ) 3 ][n = m][ n < 000] = {eliminatie teller n, eenpuntsregel} +,m [3 m < ( + ) 3 ][ m < 000] = {herordenen dubbelsom, mer op 3 < 000 alss < 0 } +,m [ < 0][2 m < ( + ) 3 /] = {aantal integers in interval} + [ < 0]( ( + ) 3 / 2 ) Roulette Het aantal winnaars is + [ < 0]( ( + ) 3 / 2 ) = { ( + ) 3 / = / } + 9 = (3 + 4) = {reenundige rij} = {reenen} 72 Asymptotische roulette Vervang 000 in het voorgaande door N. Dan is het aantal winnaars,m [3 m < ( + ) 3 ][ m N] = {herordenen dubbelsom, noem K := 3 N },m [ < K][2 m < ( + ) 3 /] + m [K2 m N/K] = {eerste som als voorheen; tweede via aantal integers in interval} K = (3 + 4) + ( N/K K 2 + ) = {reenundige rij; K 2 Z } 2 (7 + 3K + )(K ) + ( N/K K 2 + ) = {reenen} 2 K K 3 + N/K Hierin is, voor grote waarden van N, als benadering N/K N 2/3 en 2 K2 2 N2/3, terwijl de andere termen van de orde van grootte van N /3 of minder zijn. We schrijven het aantal winnaars als 3 2 N2/3 + O(N /3 ) Recurrente betreingen Veel recurrente betreingen unnen worden vereenvoudigd worden door floor en ceiling te gebruien. In college 2 zagen we als formule voor M n, het aantal vergelijingen

45 Wisundige technieen in de informatica 45 nodig voor het sorteren van n elementen met Mergesort, M 2 = 2M + 2 M 2+ = M + M Dit an eenvoudiger worden geschreven (en opgelost!) als M n = M n/2 + M n/2 + n In college hadden we de recurrente betreing voor het Josephus-probleem J(2) = 2J() J(2 + ) = 2J() + wat eenvoudiger is te schrijven als J(n) = 2J( n/2 ) ( ) n 5.2 Geheeltallige deling Geheeltallige deling Voor willeeurige x en y 0 noteren we x mod y = x y x/y Uitspraa: x modulo y. Dit is voor positieve gehele x en y de rest bij deling van x door y, in Java genoteerd als x%y. Bijvoorbeeld 5 mod 3 = 2 5 mod 3 = 5 mod 3 = 5 mod 3 = 2 (Mer op dat in Java 5%(-3) == 2 en (-5)%3 == -2, dus bij negatieve operanden stemmen de definities niet overeen.) Voor de volledigheid definiëren we nog x mod 0 = x Reenregels 0 x mod y < y als y > 0 0 x mod y > y als y < 0 x = x + x mod c(x mod y) = (cx) mod (cy)

46 Wisundige technieen in de informatica Sommatie Test in olommen Gegeven een test van n regels die we in m olommen willen verdelen. Dan zijn er n mod m lange olommen, ter lengte n/m. En er zijn m n mod m orte olommen, ter lengte n/m. Test in olommen Laat lopen over het gebied 0 < m. Dan n m = {zij q := n/m en r := n mod m } qm+r m = {reenen} q + r m = {eigenschap van, gebrui q geheel} ( q + r ) m = {termsplitsing, constante term} qm + r m = { 0 r < m } qm + [ < r] = {domeinsplitsing, constante term} qm + r = {definitie van q en r, definitie van mod } n Mer op: n m is de lengte van olom in het voorgaande probleem. Som van wortels Stilzwijgend laten we en m alleen over niet-negatieve gehele getallen lopen. [ < n] = {introduceer teller m ; eenpuntsregel},m m[ < n][m = ]

47 Wisundige technieen in de informatica 47 = {eigenschap },m m[ < n][m < m + ] = {monotonie wadrateren},m m[ < n][m2 < (m + ) 2 ] = {domeinsplitsing},m m[m2 < (m + ) 2 n] +,m m[m2 < n < (m + ) 2 ] = {zij a := n },m m[m2 < (m + ) 2 ][m + a] +,m m[m = a][a2 < n] Som van wortels De eerste som geeft,m m[m2 < (m + ) 2 ][m + a] = {constante term} m m ( (m + ) 2 m 2) [m + a] = {reenen} m m(2m + )[m < a] = {zie ( college 4} m 2m 2 + 3m ) [m < a] = {notatie} a ( 0 2m 2 + 3m ) δm = {differentie-sommatiestelling} 2 3 a a2 = {definitie van a i } 2 3 a(a )(a 2) + 3 2a(a ) = {reenen} 2 3 a3 2 a2 6 a Som van wortels De tweede som geeft,m m[m = a][a2 < n] = {eenpuntsregel} a[a2 < n] = {constante term} a(n a 2 ) Conclusie: n = na 3 a3 2 a2 6 a =0 waarin a = n. Asymptotisch dus 2 3 n3/2.

48 Wisundige technieen in de informatica 48 6 Complexe getallen 6. Definitie Reenen met paren De vergelijing x 2 + = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierantsvergelijing met negatieve discriminant). We definiëren nu een grotere verzameling waarin deze vergelijing wel opgelost an worden. Op de verzameling R R van geordende paren van reële getallen definiëren we een optelling en vermenigvuldiging door (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) Voor paren van de vorm (a, 0) omen de optelling en vermenigvuldiging met de gewone overeen: (a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0) (a, 0) (c, 0) = (ac, 0) Een paar (a, 0) identificeren we met het reële getal a. Het getal i Voor het paar (0, ) iezen we de notatie i. Dan geldt i 2 = {definitie van i } (0, ) (0, ) = {definitie van vermenigvuldiging} (, 0) = {identificatie van reële getallen met paren} dus i 2 = De complexe getallen Voor reële a en b geldt a + ib = {identificatie van reële getallen met paren} (a, 0) + (b, 0) (0, ) = {definitie van vermenigvuldiging} (a, 0) + (0, b) = {definitie van optelling} (a, b)

49 Wisundige technieen in de informatica 49 In plaats van (a, b) schrijven we voortaan gewoonlij a + ib. De getallen a + ib heten de complexe getallen. De verzameling van alle complexe getallen wordt aangegeven met C. In C heeft de vergelijing x 2 + = 0 wel een oplossing, namelij x = i. 6.2 Reenregels Reenregels Optelling en vermenigvuldiging in C zijn associatief ( u(vw) = (uv)w etc.) en commutatief ( uv = vu etc.). Vermenigvuldiging distribueert over optelling: u(v + w) = uv + uw Er is één nulelement: u + v = u v = 0 Er is één eenheidselement: voor u 0 geldt uv = u v = Tegengestelde en inverse El element heeft één tegengestelde: u + v = 0 u = v waarin (a + ib) = ( a) + i( b) El element 0 heeft één inverse: uv = u = v waarin (a + ib) = a a 2 + b 2 + i b a 2 + b 2 Modulus en geconjugeerde Voor een complex getal z = a + ib, waar a en b reëel, noteren we Rz = a Iz = b z = a 2 + b 2 z = a ib Men noemt z de modulus of absolute waarde van z, en z de complex geconjugeerde van z. Eigenschappen:

50 Wisundige technieen in de informatica 50 z R z = z u + v = u + v uv = u v uv = u v u + v u + v z z = z 2 z + z = 2Rz z z = 2iIz Grafische representatie Een complex getal z an eenvoudig grafisch worden voorgesteld door het punt in het platte vla met x -coördinaat Rz en y -coördinaat Iz. Dan stelt z de afstand van dit punt tot de oorsprong voor, en z de gespiegelde ten opzichte van de x -as. Optelling van complexe getallen correspondeert met optelling van vectoren. 6.3 Poolcoördinaten Poolcoördinaten Voor een complex getal z definiëren we arg(z) als de uniee ϕ in ( π.. π] met Rz = z cos ϕ, Iz = z sin ϕ In de grafische voorstelling is ϕ de hoe tussen de vector z en de positieve x -as. Dit vereenvoudigt de vermenigvuldiging: uv = {zij ϕ := arg(u), ψ := arg(v) } ( u cos ϕ + i u sin ϕ)( v cos ψ + i v sin ψ) = {reenen} u v ((cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ) + i(cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ))

51 Wisundige technieen in de informatica 5 = {goniometrie} u v (cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)) dus arg(uv) arg(u) + arg(v) (mod 2π) Complexe e -macht Definieer, voor reële ϕ, e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ Deze definitie is zo geozen dat de Taylorreesontwieling e z = =0 oo voor complexe z geldt. Oo belangrije eigenschappen als z! e u e v = e u+v D(λz e z ) = λz e z blijven dan gelden voor complexe waarden van de variabelen. Ieder complex getal z met z 0 is eenduidig te schrijven in de vorm re iϕ (0.. ) en ϕ ( π.. π] (namelij via de euze r = z en ϕ = arg(z) ). met r Complexe e -macht Voorbeelden: 3 + i 3 = 2 3(cos π 6 + i sin π 6 ) = 2 3e i π i 2 = 2(cos π 4 + i sin π 4 ) = 2ei π 4 i = 0 + i = (cos π 2 + i sin π 2 ) = ei π 2 = + i 0 = (cos π + i sin π) = e iπ (De formule e iπ = werd in een recente enquête als de mooiste formule uit de wisunde geozen.) Goniometrie Goniometrische formules unnen via complexe e -machten eenvoudig worden afgeleid (en hoeven dus niet meer van buiten geleerd of opgezocht te worden). Bijvoorbeeld:

52 Wisundige technieen in de informatica 52 sin(α + β) = {definitie complexe e -macht} Ie i(α+β) = {reenregel} I(e iα e iβ ) = {definitie complexe e -macht} I ((cosα + i sin α)(cosβ + i sin β)) = {reenen} sin α cos β + cos α sin β 6.4 Nulpunten Eenheidswortels Onderzoe de vergelijing z n = voor complexe z en natuurlije n. z n = {zij r := z, ϕ := arg(z) } (re iϕ ) n = {reenen} r n e inϕ = {modulus en argument afzonderlij beschouwen} r = nϕ 0 (mod 2π) {reenen} r = ϕ 0 (mod 2π n ) { π < ϕ π } r = n < 2 n ϕ = 2π n {eigenschappen van en } r = n 2 < n 2 ϕ = 2π n Het aantal oplossingen is dus n 2 + n 2 = n. Grafisch zijn dit de hoepunten van een regelmatige n -hoe, ingeschreven in de eenheidscirel. Eenheidswortels

53 Wisundige technieen in de informatica 53 Hoofdstelling van de algebra Hoofdstelling van de algebra Ieder polynoom f(z) = z n + a n z n + + a z + a 0 (met complexe coëfficiënten en graad n ) is te factoriseren als f(z) = (z ω )(z ω 2 )... (z ω n ) en heeft dus precies n nulpunten ω,... ω n. De nulpunten ω j hoeven niet allemaal verschillend te zijn. Mathematica Invoer: Uitvoer: Solve[x 3 + 2x 2 + 3x + 2 == 0, x] {{ ( x )} 254, {x ( + i 3 ) ( i ) } 254, 6 {x ( i 3 ) ( + i ) }} 254 6

54 Wisundige technieen in de informatica 54 Toepassing: recurrente betreing Beschouw de recurrente betreing t n = 2t n 2t n 2 voor n 2 met t 0 = 2, t = 3. De vergelijing x 2 2x + 2 = 0 heeft twee verschillende complexe wortels 2 ± 4 8 = ± i 2 Omdat ± i = 2e i π 4 is de algemene oplossing van de recurrente betreing van de vorm Substitutie van de begincondities geeft dus de gezochte oplossing is t n = C( 2) n cos n π 4 + D( 2) n sin n π 4 C = 2 C + D = 3 t n = 2( 2) n cos n π 4 + ( 2) n sin n π 4 Mathematica Invoer: RSolve[{t[n] == 2t[n ] 2t[n 2], t[0] == 2, t[] == 3}, t[n], n] Uitvoer: {{ ( ( nπ t(n) 2 n/2 2 cos 4 ) ( nπ + sin 4 ))}} Toepassing: Fractalen Beschouw de recurrente betreing z n = z 2 n + C voor n z 0 = 0 De Mandelbrot-fractaal is de verzameling van punten C waarvoor de rij λn z n begrensd blijft, met andere woorden: waarvoor er een M bestaat zodanig dat voor alle n geldt z n M. (Vergelij practicumopdracht van Imperatief Programmeren!)

55 Wisundige technieen in de informatica 55 Breusplitsing Breusplitsing Laten f en g polynomen zijn, met de graad van f leiner dan de graad van g. Schrijf g in de vorm n g(z) = (z ω j ) m j j= waar de ω,..., ω n de verschillende complexe nulpunten van g zijn. Dan zijn er constanten c j, met f(z) n m g(z) = j c j, (z ω j ) j= = Breusplitsing: voorbeeld Zij f(z) = 3z +, g(z) = z 2 + z 6. Er geldt g(z) = (z 2)(z + 3) dus volgens de stelling zijn er a en b met Bereening van a en b : 3z + z 2 + z 6 = a z 2 + b z + 3 b z+3 z z 2 z 3 3z+ z 2 +z 6 = a z 2 + {vermenigvuldig met z 2 + z 6 } z z 2 z 3 3z + = a(z + 3) + b(z 2) {polynomen met oneindig veel nulpunten zijn overal nul} z 3z + = a(z + 3) + b(z 2) {in het bijzonder z = 2 en z = 3 } 7 = 5a 8 = 5b {reenen} a = 7 5 b = 8 5 Integreren van rationale functies Breusplitsing is nuttig omdat we hieruit zien dat 3z+ z 2 +z 6 dz = {breusplitsing} 7 dz 5 z dz z+3 = {elementaire integralen} 7 5 ln(z 2) ln(z + 3) + C

56 Wisundige technieen in de informatica 56 Mathematica Invoer: Uitvoer: Apart[(3z + )/((z 2)(z + 3))] 8 5(z + 3) + 7 5(z 2) 7 Deelbaarheid 7. Deelbaarheid Deelbaarheid Voor geheeltallige d en n met d > 0 zeggen we dat d een deler is van n, en oo dat n deelbaar is door d, als n d een geheel getal is. Notatie: d\n : Z n = d (Meer gebruielij, maar onhandiger, is de notatie d n.) Eigenschappen: n\n voor n > 0 (reflexiviteit) d\m m\n d\n (transitiviteit) d\m d\n d \ am + bn Grootste gemene deler De grootste gemene deler van m en n is het grootste natuurlije getal dat op beide deelbaar is. gcd(m, n) = max{d d\m d\n} Eigenschappen: gcd(m, n) = gcd(n, m) gcd(0, n) = n voor n > 0 gcd(m, n) = gcd(n mod m, m) De laatstgenoemde twee eigenschappen leiden tot de algoritme van Euclides, die eerder al behandeld is. Lineairecombinatiestelling Belangrije eigenschap: voor alle m en n a, b gcd(m, n) = am + bn Bewijs: inductie naar m. Basis: gcd(0, n) = n = 0 m + n. Stap:

57 Wisundige technieen in de informatica 57 gcd(m, n) = {eigenschap van gcd } gcd(n mod m, m) = {inductiehypothese, gebrui n mod m < m } a(n mod m) + bm = {definitie van mod } a(n n/m m) + bm = {reenen} (b a n/m )m + an Karateristering van deelbaarheid d\ gcd(m, n) {definitie van gcd } d\ max{ \m \n} {transitiviteit van \ } d\m d\n {ies a en b volgens lineairecombinatiestelling} d \ am + bn { gcd(m, n) = am + bn } d\ gcd(m, n) dus d\ gcd(m, n) d\m d\n Deze araterisering van de functie gdc is handiger in het gebrui dan de definitie. 7.2 Priemgetallen Priemgetallen Een priemgetal is een natuurlij getal met precies twee delers (namelij en het getal zelf). De rij priemgetallen begint met 2, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 23, 29, 3, 37, 4,... Stelling El natuurlij getal is te schrijven als een product van priemgetallen. Bewijs: inductie. De basis, n =, is flauw: is een leeg product. Stap: als n een priemgetal is, zijn we laar. Zo niet, dan is n = ab met < a < n en < b < n. Volgens de inductiehypothese zijn a en b het product van priemgetallen, dus n oo.

58 Wisundige technieen in de informatica 58 Uniciteit van factorisatie Stelling De ontbinding in priemgetallen is unie. Bewijs: inductie. De basis, n =, is flauw: an alleen een leeg product zijn. Stap: zij n > en veronderstel n heeft twee verschillende priemfactorisaties: n = p p 2... p m = q q 2... q Kies de naamgeving zo dat p p m en q q. We gaan bewijzen uit het ongerijmde dat p = q. Zo niet, ies de naamgeving zo dat p < q. Uniciteit van factorisatie Omdat p en q priemgetallen zijn, is gcd(p, q ) =. Dus volgens de lineairecombinatiestelling zijn er a en b met ap + bq = {vermenigvuldig met q 2... q } ap q 2... q + bq q 2... q = q 2... q { q... q = p... p m } ap q 2... q + bp p 2... p m = q 2... q { p omt in beide termen linerlid voor} p \q 2... q {inductiehypothese, gebrui q 2... q < n } p = q 2... p = q { q q 2 q } p q en dit is in tegenspraa met de veronderstelling p < q. Dus inderdaad p = q. Deel deze factor weg; wegens de inductiehypothese zijn de overige factoren gelij. Mathematica Invoer: Uitvoer: Dat wil zeggen: FactorInteger[ ] {{2, 2}, {3, }, {547, }, {03, }} =

59 Wisundige technieen in de informatica 59 Het aantal priemgetallen Stelling (Euclides) Er zijn oneindig veel priemgetallen. Bewijs: uit het ongerijmde. Stel er zijn maar eindig veel priemgetallen, p,..., p. Beschouw het getal M = p... p + El priemgetal is een deler van M, dus niet van M. Dat is in tegenspraa met de stelling dat el natuurlij getal het product van priemgetallen is. Het grootst beende priemgetal is nu , een getal van cijfers, gevonden in december Het aantal priemgetallen Geef met π(x) het aantal priemgetallen x aan. Priemgetalstelling π(x) x ln x, x (Notatie: beteent f(x) g(x), x f(x) lim x g(x) = ) Dit werd als vermoeden uitgesproen door Legendre in 796. Het bewijs werd in 896 geleverd, onafhanelij van elaar, door Hadamard en de la Valle-Poussin. In beide gevallen gaat het om een zeer ingewield bewijs dat gebruimaat van complexe analyse. Een nog ingewielder maar elementair bewijs, ter lengte van een heel boe, werd pas in 949 geleverd. Onbewezen vermoedens Tweelingvermoeden, ca 300 v.c.: Er zijn oneindig veel n zo dat n en n + 2 beide priem zijn. Vermoeden van Goldbach, 742: El even getal groter dan 2 is te schrijven als som van twee priemgetallen. Ontdeen van priemgetallen Er bestaat geen formule die gebruit an worden om priemgetallen te genereren. Programmatuur die priemgetallen moet produceren, wert daarom altijd als een zeef : uit een verzameling getallen worden door opeenvolgende tests alle getallen geëlimineerd die geen priemgetal zijn. De beendste van deze methoden is de zeef van Eratosthenes (ca. 200 v.c.). De wering is als volgt:

60 Wisundige technieen in de informatica 60. Schrijf de natuurlije getallen van 2 tot een zeere grens N op, noem dat de andidatenlijst. 2. Schrap alle veelvouden van 2 uit de andidatenlijst, te beginnen bij Het leinst overgebleven getal waarvan we de veelvouden nog niet hebben geschrapt, zeg n, is een priemgetal. 4. Schrap alle veelvouden van n uit de andidatenlijst, te beginnen bij n n. N 5. Klaar als n. Herhaal anders vanaf stap 3. De zeef van Eratosthenes Java-methode die alle priemgetallen < limit uitreent void Eratosthenes(int limit) { boolean[] struc = new boolean[limit]; for (int i = 2; i < limit; i++) struc[i] = false; for (int n = 2; n*n < limit; n++) if (!struc[n]) for (int i = n*n; i < limit; i += n) struc[i] = true; for (int n = 2; n < limit; n++) if (!struc[n]) System.out.print(n + ); } Animatie: Onderling ondeelbare getallen Natuurlije getallen m en n heten onderling ondeelbaar of relatief priem als gcd(m, n) =. Notatie: m n. Eigenschappen: m gcd(m,n) n gcd(m,n) m n p ɛ p (m)ɛ p (n) = 0, waarin ɛ p (n) de exponent van p in de priemfactorontbinding van n voorstelt m n mn m n a, b am + bn =

61 Wisundige technieen in de informatica Congruenties Congruenties modulo m Zij m een vast natuurlij getal. Beschouw de binaire relatie m, gedefinieerd door a m b a mod m = b mod m De relatie m is een equivalentierelatie: reflexief, symmetrisch en transitief. Een gemaelijer hanteerbare araterisering is a m b m \ a b In plaats van a m b schrijven we traditioneel a b (mod m) Het voordeel is dat de toevoeging mod(m) op een hele formule en alle equivalenties daarin an slaan. Reenen met congruenties Eigenschappen: a b c d a + c b + d (mod m) a b c d a c b d (mod m) a b c d a c b d (mod m) a b a n b n (mod m) ad bd a b (mod m) als d m Chinese reststelling Chinese reststelling (Sun Tsu, 350) Als m n, geldt a mn b a m b a n b Toepassing: multiprecisie-arithmetie in computers. Als we willen reenen in een een interval [0.. (p p 2... p )) met p,..., p priem, dan unnen we in plaats daarvan de bereening separaat uitvoeren voor de resten modulo ele p i. Die laatste unnen met de gewone integer-arithmetie worden afgehandeld als ele p i daarvoor lein genoeg is. 7.4 Euler De functie van Euler Definieer Eigenschappen: φ(n) = #{d 0 d < n d n}

62 Wisundige technieen in de informatica 62 φ(n) n φ(n) = n n priem φ is multiplicatief, d.w.z. φ(m)φ(n) = φ(mn) als m n n φ(m) (mod m) als m n Expliciete formule voor φ(p ) Multiplicatieve functies worden volledig bepaald door hun waarde op de primaire getallen, d.w.z. getallen van de vorm p. Mer eerst op dat voor p priem en d < p geldt d p (p\d) dus φ(p ) = p p Expliciete formule voor φ(n) Schrijf n = p\n pep. Dan φ(n) = {ontbinding n } φ( p\n pep ) = { φ is multiplicatief} p\n φ(pep ) = {formule voor φ(p ) } p\n (pep p ep ) = {reenen} p\n pep ( p ) = {termsplitsing; ontbinding n } n p\n ( p ) Sommatie van φ -waarden Beschouw de verzameling van breuen m n met 0 m < n. Hun aantal is n. In el van deze breuen unnen we teller en noemer delen door gcd(m, n). De breu rijgt dan de vorm c d met c d ; en ele breu van deze vorm met d\n is zo verregen (uit de oorspronelije m n, waar m = c n d ). Het aantal zule breuen met noemer d is φ(d). Hieruit zien we n = φ(d) d\n

63 Wisundige technieen in de informatica RSA RSA RSA is een algoritme voor public-ey encryption, bedacht in 977 door Ron Rivest, Adi Shamir en Len Adleman (MIT). Dit is een methode om versleutelde berichten zodanig te verzenden dat geen geheime overdracht van sleutels nodig is. Ele gebruier van RSA iest twee sleutels. De openbare sleutel wordt door de buitenwereld gebruit om berichten aan de gebruier te versleutelen, de privésleutel wordt door de gebruier gebruit om die berichten te ontsleutelen. Genereren van sleutels. Kies twee verschillende grote priemgetallen p en q 2. Bereen n = pq 3. Bereen φ(n) = (p )(q ) 4. Kies een e met < e < φ(n) met e φ(n) 5. Kies d met de (mod φ(n)) De openbare sleutel bestaat uit n en e (van encryptie), de privésleutel uit d (van decryptie). Encryptie en decryptie Gegeven een bericht m (van message), met 2 m < n. Daaruit wordt de versleutelde vorm c (van ciphertext) bereend door c = m e mod n Omgeeerd wordt uit c een boodschap m bereend door m = c d mod n Encryptie en decryptie Claim: m = m. Bewijs: m = m { 0 m < n en 2 m < n } m n m {definitie van m } c d n m {definitie van c } (m e ) d n m {Chinese reststelling, n = pq en p q } m ed p m m ed q m

64 Wisundige technieen in de informatica 64 Encryptie en decryptie Voor de termen in de laatste regel geldt m ed p m { ed φ(p) } m m φ(p) p m {vermenigvuldiging van congruenties} m p 0 m φ(p) p {eerder genoemde eigenschappen van p resp. φ } p\m p m en dit laatste is inderdaad het geval omdat p een priemgetal is. Dezelfde redenering geldt voor q. 8 Vectoren 8. Vectoren Vectoren Een vector met dimensie 2 is een olom bestaande uit twee reële getallen, bijvoorbeeld [ 2 3 We unnen deze meetundig interpreteren als een pijl in het platte vla van de oorsprong naar het punt (2, 3). De verzameling van alle vectoren met dimensie 2 geven we aan met R 2. Analoog definiëren we R 3, meetundig te interpreteren als een pijl in de driedimensionale ruimte. ] Toepassingen in de natuurunde: snelheden, versnellingen, rachten. Vectoren Meer algemeen unnen we R n beschouwen als de verzamelingen van olommen van n reële getallen. Er is dan geen aanschouwelije meetundige interpretatie. Analoog oo C n. Toepassing: een muziestu van 80 seconden met een samplerate van 4400/s is een punt in R

65 Wisundige technieen in de informatica 65 Optellen van vectoren De som van twee vectoren wordt bereend door het optellen van de overeenomstige componenten, bijvoorbeeld = Meetundig is dit de diagonaal van het parallellogram opgespannen door de twee vectoren. Dit stemt overeen met de natuurundige interpretatie van de resultante van verschillende rachten, en is analoog aan de optelling van complexe getallen. (In het muzievoorbeeld: digitaal mixen van muzie.) Deze optelling is commutatief: x + y = y + x. 2 Scalair product Voor een reëel getal α en een vector x definiëren we het scalaire product α x door ele component van x met α te vermenigvuldigen, bijvoorbeeld = (In het muzievoorbeeld is dit de volumeregelaar.) Eigenschappen: α( x + y) = α x + α y (α + β) x = α x + β x α(β x) = (αβ) x In plaats van ( ) x schrijven we x. In plaats van 0 x schrijven we 0, de nulvector. Eigenschappen: x + x = 0 x + 0 = x Lineaire combinaties Lineaire combinaties Een lineaire combinatie van de vectoren x,..., x m is een uitdruing van de vorm α x + α 2 x α m x m De vectoren x,..., x m heten onafhanelij als de nulvector niet te schrijven is als een niet-triviale lineaire combinatie ervan, dus als α x + α 2 x α m x m = 0 α = α 2 = = α m = 0

66 Wisundige technieen in de informatica 66 Voorbeeld: de vectoren 0 0, 0 0, zijn afhanelij. Meetundige interpretatie: de drie pijlen liggen in één vla. 0 Bases Een stel vectoren x, x 2,..., x m uit R n heet een stel voortbrengers van R n als iedere vector uit R n te schrijven is als lineaire combinatie ervan. Een stel vectoren x, x 2,..., x m uit R n heet een basis van R n als geldt. x, x 2,..., x m is een stel voortbrengers van R n 2. x, x 2,..., x m is onafhanelij Een basis voor R 2 is [ 0 ] [ 0, Dit heet de standaardbasis, gewoonlij aangeduid als e, e 2. ] Lineaire vergelijingen Om te onderzoeen of [ ] [, een basis vormt van R 2, moeten we laten zien dat de vergelijing [ ] [ ] [ ] 0 α + β = 0 alleen de nuloplossing heeft, en dat de vergelijing [ ] [ ] [ u α + β = v voor ele u, v een oplossing heeft. ] ] Lineaire vergelijingen Het eerste stelsel is te schrijven als α + β = 0 α β = 0 Optellen geeft 2α = 0 dus α = 0. Substitutie in de eerste vergelijing geeft β = 0. Het tweede stelsel is te schrijven als α + β = u α β = v Optellen geeft 2α = u + v dus α = 2 (u + v). Aftreen geeft 2β = u v dus β = 2 (u v). Door substitutie zien we dat hiermee aan beide vergelijingen is voldaan.

67 Wisundige technieen in de informatica 67 Alternatieve basis Conclusie: [ is oo een basis van R 2. ] [, Toepassing: Deze basis wordt gebruit in FM-stereo-uitzendingen, waar niet het lineren rechtergeluid apart worden verzonden, maar een monosignaal M = L + R en een stereoverschilsignaal S = L R. (Deze signaaldefinitie zorgt namelij voor compatibiliteit tussen mono- en stereoapparatuur.) ] Dimensie Stelling Een stel vectoren x, x 2,..., x m uit R n is een basis van R n als geldt. m = n 2. x, x 2,..., x m is onafhanelij Alle bases van de ruimte hebben dus evenveel elementen. Dit aantal heet de dimensie van de ruimte. 8.3 Lijn en vla Vectorvoorstelling van een lijn Als l een lijn door de oorsprong is en v een vector waarvan het eindpunt op l ligt, dan is iedere vector x waarvan het eindpunt op l ligt (maar niet 0 is) te schrijven in de vorm x = α v, en omgeeerd. We noemen x = α v een vectorvoorstelling van de lijn l. Zij nu m een lijn die niet door de oorsprong gaat. Beschouw de lijn l door de oorsprong evenwijdig aan m. Laat x = α v de vectorvoorstelling van l zijn. Zij p een vector waarvan het eindpunt op m ligt. Dan is ele vector x waarvan het eindpunt op m ligt te schrijven in de vorm x = p + α v We noemen v in deze vectorvoorstelling de richtingsvector en p de steunvector.

68 Wisundige technieen in de informatica 68 Vectorvoorstelling en vergelijing Beschouw de lijn m in het platte vla met vergelijing x + 3y = 4. Twee oplossingen zijn (, ) en (4, 0). De vectoren [ ] [ ] 4, 0 [ ] 3 hebben dus hun eindpunt op m, en hun verschil is evenwijdig met m. Een vector- voorstelling van m is dus bijvoorbeeld x = [ ] [ 3 + α ] Vectorvoorstelling van een vla Als het vla V door de oorsprong gaat en u, v een stel onafhanelije vectoren is waarvan de eindpunten in V liggen, dan is ele vector met eindpunt in V te schrijven als lineaire combinatie van u en v. Een vectorvoorstelling van V is dan x = α u + β v Zij nu W een vla dat niet door de oorsprong gaat. Beschouw het vla V door de oorsprong evenwijdig aan W. Laat x = α u + β v een vectorvoorstelling van V zijn. Zij p een vector waarvan het eindpunt op W ligt. Dan is ele vector x waarvan het eindpunt op W ligt te schrijven in de vorm x = p + α u + β v We noemen u en v hierin de richtingsvectoren. (Als u en v afhanelij zijn (maar niet 0 ), beschrijft deze vectorvoorstelling op nodeloos ingewielde wijze een lijn.) 8.4 Norm en inproduct Norm is De norm van een vector x in R n, genoteerd x, is als volgt gedefinieerd: de norm van x. x n n Bijvoorbeeld [ ] 2 = 3 i= x 2 i = 3 In de meetundige interpretatie is dit de lengte van de pijl. (In de natuurundige interpretatie de grootte van de snelheid, racht etc. met verwaarlozing van de richting.)

69 Wisundige technieen in de informatica 69 Inproduct Het inproduct van vectoren x, y in R n, genoteerd x y, is als volgt gedefinieerd: x y n.. = x i y i x n y i= n Gevolg: Meetundige interpretatie: x = x x x y = x y cos φ waar φ de hoe tussen de vectoren x en y is. Inproduct Uitleg van de meetundige interpretatie: x y 2 = {definitie van norm} i (x i y i ) 2 = {reenen} i (x2 i + y2 i 2x iy i ) = {termsplitsing} i x2 i + i y2 i 2 i x iy i = {definitie van norm en inproduct} x 2 + y 2 2 x y Anderzijds, wegens de cosinusregel, x y 2 = x 2 + y 2 2 x y cos φ Mathematica Invoer: Norm[{, 5, 2}] Uitvoer: 70

70 Wisundige technieen in de informatica 70 Invoer: Uitvoer: {, 5, 2}.{2,, 2} 27 Bereenen van de hoe tussen vectoren Gevraagd de hoe te bereenen tussen de vectoren x =, y = 0 0 Oplossing: x = = 3 y = = x y = = dus voor de gevraagde hoe φ geldt cos φ = 3 Mathematica: invoer ArcCos[/ 3]/Degree//N geeft uitvoer , dus de gevraagde hoe is graden. Toepassing: ISBN Het ISBN (Internationaal Standaard BoeNummer) bestond tot januari 2007 uit 0 cijfers, sindsdien uit 3 cijfers. Het laatste cijfer is een controlecijfer. Voor een boe dat al een tiencijferig ISBN had, is de 3-cijferige versie gelij aan 978 gevolgd door de eerste negen cijfers van het oude ISBN. Het controlecijfer wordt in beide gevallen echter anders bereend. Voor de 0-cijferversie gaat de bereening van het controlecijfer als volgt. Zij x in R 9 de vector met de eerste 9 cijfers van het ISBN als componenten. Zij y de vaste vector Formeel is dus y = [i] 9 i=. 2. 9

71 Wisundige technieen in de informatica 7 Toepassing: ISBN Defininieer n = ( x y) mod Dan is het laatste cijfer gelij aan n als 0 n < 0, aan X als n = 0. Voorbeeld: ISBN ? geeft in Mathematica invoer en uitvoer 5. Mod[{0, 2, 0,, 5, 5, 8, 0, 2}.{, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, ] Toepassing: ISBN Voor de 3-cijferversie is de bereening als volgt. Zij a in R 2 de vector met de eerste 2 cijfers van het ISBN als componenten. Zij b de vaste vector Formeel is b = [ + 2((i ) mod 2)] 2 i=. Nu is het laatste cijfer gelij aan 3 3. (0 ( a b) mod 0) mod 0 Voorbeeld: ISBN ? geeft in Mathematica invoer en uitvoer 9. Mod[0 Mod[{9, 7, 8, 0, 2, 0,, 5, 5, 8, 0, 2}.{, 3,, 3,, 3,, 3,, 3,, 3}, 0], 0] (Al voor de officiële invoering van ISBN-3 werd dezelfde formule gebruit voor de bereening van het controlecijfer in de streepjescodes die op veel boeen worden afgebeeld.) Normaalvectoren Twee vectoren staan loodrecht op elaar als en alleen als hun inproduct 0 is. Een vector die loodrecht staat op de richtingsvectoren van een vla of lijn heet een normaalvector daarvan. Beschouw de lijn in het platte vla met vergelijing 2x + 3y = 0. Deze vergelijing is te schrijven als [ ] [ ] 2 x = 0 3 y De [ punten ] (x, y) op de lijn [ worden ] dus gearateriseerd door de uitspraa dat de vector x 2 loodrecht staat op. Dus laatstgenoemde is een normaalvector van de lijn, en y 3 als richtingsvector unnen we een vector loodrecht daarop iezen, bijvoorbeeld [ 3 2 ].

72 Wisundige technieen in de informatica 72 9 Matrixreening 9. Vergelijingen Stelsels lineaire vergelijingen Een stelsel van m lineaire vergelijingen in de n onbeenden x, x 2,..., x n is een stelsel vergelijingen van de vorm We unnen dit verort opschrijven als waarin a, x + a,2 x a,n x n = b a 2, x + a 2,2 x a 2,n x n = b 2 a m, x + a m,2 x a m,n x n = b m x = en A de matrix van coëfficiënten is. x. x n A x = b, b = b. b m. Matrices De matrix A noteren we als a, a,2... a,n a 2, a 2,2... a 2,n. a m, a m,2... a m,n of ort als [a i,j ] m,n i,j=,. We spreen van een m n -matrix (eerst de rij-index, dan de olom-index). Product van een matrix en een vector Het product van een matrix [a i,j ] m,n i,j=, en een vector [x j] n j= m n a i,j x j j= i= is gedefinieerd als de vector (Mer op: sommatie over dubbel vooromende index (Einstein-conventie).) Met andere woorden: a, a,2... a,n a 2, a 2,2... a 2,n. a m, a m,2... a m,n x x 2. x n = a, x + a,2 x a,n x n a 2, x + a 2,2 x a 2,n x n. a m, x + a m,2 x a m,n x n

73 Wisundige technieen in de informatica 73 Met deze afspraa is het oorspronelije stelsel vergelijingen inderdaad te schrijven als A x = b. 9.2 Matrixvermenigvuldiging Matrixvermenigvuldiging We unnen een vector opvatten als een matrix met breedte. Het product van een matrix en een vector is dan te generaliseren tot willeeurige matrices. Het product AB van twee matrices is gedefinieerd als de breedte van A gelij is aan de hoogte van B, en wel als volgt: als A = [a i,j ] m,n i,j=, en B = [b j,] n,l j,=,, dan geldt m,l n AB = a i,j b j, j= i,=, Mer op dat het element op plaats i, in AB het inproduct van rij i in A en olom in B is. Matrixvermenigvuldiging Voorbeeld: [ 3 ] [ 4 ] = [ {matrixvermenigvuldiging} ] 3 ( ) ( ) ( ) ( ) = [ {reenen} ] Mathematica: invoer (vergeet infix dot niet!): {{3, }, {2, 0}}.{{, 4, 0}, {2,, 5}} Uitvoer: {{,, 5}, { 2, 8, 0}} Eigenschappen van vermenigvuldiging Matrixvermenigvuldiging is niet commutatief! [ ] [ ] [ ] = [ ] [ ] [ = ]

74 Wisundige technieen in de informatica 74 Matrixvermenigvuldiging is wel associatief: voor een (m n) -matrix A, een (n l) - matrix B en een (l ) -matrix C geldt (AB)C = A(BC). De vermenigvuldiging van vierante matrices van dimensie n heeft als eenheidselement de matrix I n = [[i = j]] n,n i,j=,. D.w.z. voor een (n n) -matrix A is AI n = I n A = A. De vermenigvuldiging van vierante matrices van dimensie n heeft als nulelement de matrix 0 n = [0] n,n i,j=,. D.w.z. voor een (n n) -matrix A is A0 n = 0 n A = 0 n. Matrixinversie Voor ele (n n) -matrix A bestaat er ten hoogste één (n n) -matrix B met AB = BA = I n We unnen zelfs iets sterers bewijzen: als AB = CA = I n, dan B = C. Immers, B = C { I n is eenheidselement van vermenigvuldiging} I n B = CI n { AB = I n en CA = I n } CAB = CAB De matrix B wordt, als hij bestaat, aangegeven met A en de inverse matrix genoemd. 9.3 Determinant Determinant van een 2 2 -matrix [ ] a b Voor een 2 2 -matrix A = definiëren we de determinant als c d det A = ad bc Dan geldt: A heeft een inverse als en alleen als det A 0, en de inverse is gelij aan [ d ] b det A c a Determinant van een 2 2 -matrix Voorbeeld: beschouw de matrix A = [ ] 3 5 De inverse is dus A =. 2 [ ]. De determinant is det A = =. We unnen de inverse matrix gebruien om stelsels lineaire vergelijingen snel op te lossen. Het stelsel vergelijingen 2x + 5x 2 = x + 3x 2 = 6

75 Wisundige technieen in de informatica 75 an worden geschreven als A x = [ 6 ]. Oplossen van vergelijingen met matrixinversie [ ] De vergelijing A x = heeft als oplossing 6 x = {vermenigvuldig [ ] de vergelijing lins met A } A 6 = [ {substitueer ] [ A ] } = [ {matrixvermenigvuldiging} ] 3 + ( 5) 6 ( ) = [ {reenen} ] 3 Oplossen van vergelijingen door vegen De voorgaande methode helpt alleen als we de inverse matrix ennen. Bij 2 2 -matrices is die gemaelij uit te reenen, bij hogere dimensie is het echter niet minder wer dan het rechtstrees oplossen van de vergelijingen door successieve eliminatie tenzij we Mathematica gebruien. De oplossingsmethode door successieve eliminatie an in matrixnotatie compact worden genoteerd. We spreen dan van vegen. [ ] [ ] 2 5 x = 3 6 [ {vegen ] met [ tweede ] rij} 0 x = 3 6 [ {vegen ] met [ eerste ] rij} 0 x = 0 3 {matrixvermenigvuldiging} x = 3 x 2 = Inverse van een n n -matrix Voor een n n -matrix A = [a i,j ] n,n i,j=, voeren we de volgende notatie in: A i,j is de (n ) (n ) -matrix die ontstaat door uit A de i -de rij en de j -de olom weg te laten.

76 Wisundige technieen in de informatica 76 Met deze notatie unnen we de determinant definiëren als det A = n ( ) i+ a i, det A i, i= Indien det A 0, is de inverse A = [ ( ) i+j det A ] n,n j,i det A i,j=, Dit stemt met de eerdere regels overeen voor n = 2 als we de determinant van een - matrix [a] gelijstellen met a. We wijzen erop dat bovenstaande expliciete formule voor de inverse matrix niet een efficiënte manier vormt om de inverse matrix uit te reenen. Determinant van een 3 3 -matrix 2 3 det = {definitie [ van ] determinant} [ ] [ det ( ) det + 2 det = {determinant van de 2 2 -matrices} (0 5 3 ) ( ) ( ) + 2 (2 0 3) = {reenen} 2 Dit heet ontwieling naar de eerste olom. We zullen zien dat ontwieling naar een andere olom of een rij oo an. Later zullen we een andere methode, vegen, zien om de determinant uit te reenen. ] Mathematica Invoer: Uitvoer: Invoer: Uitvoer: Invoer: Det[{{, 2, 3}, {, 0, }, {2, 3, 5}}] 2 Inverse[{{, 2, 3}, {, 0, }, {2, 3, 5}}] {{ 3 2, 2, }, {7 2, 2, 2}, { 3 2, 2, }} TraditionalForm[%]

77 Wisundige technieen in de informatica 77 Uitvoer: Mathematica Invoer: m = {{, 2, 3}, {, 0, }, {2, 3, 5}}; LinearSolve[m, {2, 2, 4}] Uitvoer: Dit is equivalent met invoer: {0, 2, 2} Solve[{x + 2y + 3z == 2, x + z == 2, 2x + 3y + 5z == 4}, {x, y, z}] Uitvoer: {{x 0, y 2, z 2}} Eigenschappen van de determinant De determinant verandert van teen als twee olommen (of twee rijen) worden verwisseld, bijvoorbeeld det = det Gevolg: ontwielen naar een andere olom dan de eerste an oo. De determinant verandert niet als de matrix wordt gespiegeld, bijvoorbeeld det = det Gevolg: ontwielen naar een rij in plaats van een olom an oo. De determinant wordt met een factor α vermenigvuldigd als een olom dat wordt, bijvoorbeeld det 3 8 = 3 det

78 Wisundige technieen in de informatica 78 Eigenschappen van de determinant De determinantfunctie is multiplicatief: det (AB) = (det A)(det B) det I =, en als A bestaat, geldt dus det (A ) = /det A Wordt een olom van de matrix gesplitst als som van twee nieuwe olommen, dan is de oorspronelije determinant de som van de zo ontstane nieuwe determinanten, bijvoorbeeld det = det det Wegens de spiegeleigenschap geldt hetzelfde voor rijen De determinant is 0 als en alleen als de olommen van de matrix afhanelij zijn det A = 0 v v 0 A v = 0 De waarde van de determinant verandert niet als bij een olom een veelvoud van een andere olom wordt opgeteld ( vegen ), bijv det 3 8 = det Bovendriehoesmatrices Een matrix [a i,j ] n,n i,j=, heet een bovendriehoesmatrix als i, j j < i n a i,j = 0 een bovendrie- Met volledige inductie naar n unnen we bewijzen: als A = [a i,j ] n,n hoesmatrix is, geldt n det A = i= a i,i i,j=, (dus de determinant is het product van de termen op de diagonaal). Ele matrix an door vegen in een bovendriehoesmatrix worden omgezet. Bovendriehoesmatrices Voorbeeld: 2 3 det = {vegen met eerste rij} 2 3 det

79 Wisundige technieen in de informatica 79 = {vegen met tweede rij} 2 3 det = {bovendriehoesmatrix} 2 Luma Geleurde bitmaps, voor televisie en computermonitoren, worden in eerste instantie uitgedrut door per beeldpunt de leurintensiteit in de componenten rood, groen en blauw uit te druen. (Rood, groen en blauw zijn de leuren van de afzonderlije monitorelementen en oo de afzonderlije leuren die ons oog rechtstrees an zien. Andere leuren ontstaan door menging.) Voor gecomprimeerde afbeeldingen (JPEG, HDTV) wordt gebrui gemaat van een andere leurcodering: we definiëren bijvoorbeeld Y = 0.299R G + 0.4B Cb = B Y Cr = R Y De reden is dat voor de indru van scherpte vrijwel alleen de Y -component (luma genaamd) verantwoordelij is. Daarom an in de Cb - en Cr -componenten ongestraft het aantal pixels worden gereduceerd (downsampling). Luma In matrixvorm unnen we schrijven Y Cb Cr = R G B

1 Recurrente betrekkingen

1 Recurrente betrekkingen WIS1 1 1 Recurrente betrekkingen 1.1 De torens van Hanoi De torens van Hanoi Edouard Lucas, 1884: Gegeven 3 pinnen en 64 schijven van verschillende grootte. Startsituatie: 64 op linkerpin, geordend naar

Nadere informatie

2 Recurrente betrekkingen

2 Recurrente betrekkingen WIS2 1 2 Recurrente betrekkingen 2.1 Fibonacci De getallen van Fibonacci Fibonacci (= Leonardo van Pisa), 1202: Bereken het aantal paren konijnen na één jaar, als 1. er na 1 maand 1 paar pasgeboren konijnen

Nadere informatie

5 Afronden en afkappen

5 Afronden en afkappen WIS5 1 5 Afronden en afkappen 5.1 Floor en ceiling Floor en ceiling Conversiefuncties van reële getallen naar gehele getallen. x = het grootste gehele getal et x x = het kleinste gehele getal et x Uitspraak:

Nadere informatie

Differentiequotiënten en Getallenrijen

Differentiequotiënten en Getallenrijen Lesbrief 4 Binomiaalcoëfficiënten, Differentiequotiënten en Getallenrijen Binomiaalcoëfficiënten Het is beend dat (a + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 en dat (a + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3. In het algemeen

Nadere informatie

Universiteit Leiden, 2015 Wiskundewedstrijdtraining, week 14

Universiteit Leiden, 2015 Wiskundewedstrijdtraining, week 14 Universiteit Leiden, 0 Wisundewedstrijdtraining, wee Wee : reesen Een rees is een speciaal soort rij, dus: den altijd eerst na over convergentie! bijzonder: monotone, begrensde rijen convergeren In het

Nadere informatie

Examen G0U13 - Bewijzen en Redeneren,

Examen G0U13 - Bewijzen en Redeneren, Examen G0U13 - Bewijzen en Redeneren, 2010-2011 bachelor in de Wisunde, bachelor in de Fysica, bachelor in de Economische Wetenschappen en bachelor in de Wijsbegeerte Vrijdag 4 februari 2011, 8u30 Naam:

Nadere informatie

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1 WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We

Nadere informatie

Oplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen met behulp van de methode van Leibniz-MacLaurin

Oplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen met behulp van de methode van Leibniz-MacLaurin Oplossen van lineaire differentiaalvergelijingen met behulp van de methode van Leibniz-MacLaurin Calculus II voor S, F, MNW 7 november 2005 1 De n-de afgeleide van het product van twee functies Voor we

Nadere informatie

NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN

NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN II NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN Iedereen ent getallen: de natuurlije getallen, N = {0,1,2,3,...}, gebruien we om te tellen, om getallen van elaar af te unnen treen hebben we de gehele getallen,

Nadere informatie

Uitwerkingen Tentamen Wat is Wiskunde (WISB101) Donderdag 10 november 2016, 9:00-12:00

Uitwerkingen Tentamen Wat is Wiskunde (WISB101) Donderdag 10 november 2016, 9:00-12:00 Uitweringen Tentamen Wat is Wisunde (WISB101) Donderdag 10 november 2016, 9:00-12:00 Docenten: Barbara van den Berg & Carel Faber & Arjen Baarsma & Ralph Klaasse & Vitor Blåsjö & Guido Terra-Bleeer Opgave

Nadere informatie

Overzicht Fourier-theorie

Overzicht Fourier-theorie B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van

Nadere informatie

Opgaven Bewijzen en Inductie 1 mei 2019, Datastructuren, Werkcollege.

Opgaven Bewijzen en Inductie 1 mei 2019, Datastructuren, Werkcollege. Opgaven Bewijzen en Inductie mei 09, Datastructuren, Wercollege. Gebrui deze opgaven, naast die uit het boe, om de stof te oefenen op het wercollege. Cijfer: Op een toets rijg je meestal zes tot acht opgaven..

Nadere informatie

4.1 Rijen. Inhoud. Convergentie van een reeks. Reeksen. a k. a k = lim. a k = s. s n = a 1 + a 2 + + a n = k=1

4.1 Rijen. Inhoud. Convergentie van een reeks. Reeksen. a k. a k = lim. a k = s. s n = a 1 + a 2 + + a n = k=1 Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-0 Reesen en Machtreesen Inhoud. Rijen 2. Reesen Definities en enmeren Reesen met niet-negatieve termen Reesen met positieve en negatieve termen 3. Machtreesen

Nadere informatie

Groepen, ringen en velden

Groepen, ringen en velden Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:

Nadere informatie

OEFENOPGAVEN OVER REEKSEN

OEFENOPGAVEN OVER REEKSEN OEFENOPGAVEN OVER REEKSEN Opgave. Bereen n=0 ( 3 n + 6n 7 n ) (antwoord 0). Opgave. Ga voor de volgende reesen na of ze convergent of divergent zijn: a) (convergent); (ln ) b) c) d) e) f) g) h) 5 5 3 +

Nadere informatie

102 < 11. Je kunt ook snel na 102 < 10, 5 ( = 110, 25).

102 < 11. Je kunt ook snel na 102 < 10, 5 ( = 110, 25). DE FORMULE VAN MACLAURIN. Inleiding: de wortel uit 0. Als je nou eens geen reenmachine had, hoe bereen je dan de wortel uit 0? Met proberen om je een heel eind. 0 > 0 omdat 0 > 0 en 0 < omdat reenen dat

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 22 februari 2009 INDUCTIE & RECURSIE Paragrafen 4.3-4.6 Discrete Structuren Week 3:

Nadere informatie

Tweede college complexiteit. 12 februari Wiskundige achtergrond

Tweede college complexiteit. 12 februari Wiskundige achtergrond College 2 Tweede college complexiteit 12 februari 2019 Wiskundige achtergrond 1 Agenda vanmiddag Floor, Ceiling Rekenregels logaritmen Tellen Formele definitie O, Ω, Θ met voorbeelden Stellingen over faculteiten

Nadere informatie

Combinatoriek groep 1 & 2: Recursie

Combinatoriek groep 1 & 2: Recursie Combinatoriek groep 1 & : Recursie Trainingsweek juni 008 Inleiding Bij een recursieve definitie van een rij wordt elke volgende term berekend uit de vorige. Een voorbeeld van zo n recursieve definitie

Nadere informatie

4 Differentierekening en reeksen

4 Differentierekening en reeksen WIS4 4 Differetierekeig e reekse 4. Delt Differeties Differetierekeig bestudeert de differetie-opertor, gedefiieerd door f(x) = f(x + ) f(x) Vergelijk dit met differetilrekeig: de fgeleide-opertor D is

Nadere informatie

Convexe functies op R (niet in het boek)

Convexe functies op R (niet in het boek) Convee uncties op R (niet in het boe Een unctie : R R heet conve, als voor alle, R en ele λ [0,] geldt dat (λ + (-λ λ( + (-λ(. Voor een unctie op R beteent dit dat als je twee willeeurige punten op de

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 30 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 33 Outline 1 2 Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen

Nadere informatie

Combinatoriek groep 2

Combinatoriek groep 2 Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een

Nadere informatie

1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3

1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3 HOOFDSTUK 6: RIJEN 1 Limiet van een rij 2 1.1 Het begrip rij 2 1.2 Bepaling van een rij 2 1.2.1 Expliciet voorschrift 2 1.2.2 Recursief voorschrift 3 1.2.3 Andere gevallen 3 1.2.4 Rijen met de grafische

Nadere informatie

7 Deelbaarheid. 7.1 Deelbaarheid WIS7 1

7 Deelbaarheid. 7.1 Deelbaarheid WIS7 1 WIS7 1 7 Deelbaarheid 7.1 Deelbaarheid Deelbaarheid Voor geheeltallige d en n met d > 0 zeggen we dat d een deler is van n, en ook dat n deelbaar is door d, als n d een geheel getal is. Notatie: d\n k

Nadere informatie

1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen

1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1.1 Algemene begrippen Een (gewone) differentiaalvergelijking heeft naast de onafhankelijke veranderlijke (bijvoorbeeld genoteerd als x), eveneens een onbekende functie

Nadere informatie

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D2. Datum: dinsdag 29 april 28. Tijd: 14: 17:. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie

Volledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen.

Volledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen. Hoofdstuk 7 Volledige inductie Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen we het volgende: (i) 0 V (ii) k N k V k + 1 V Dan is V = N. Men ziet dit als

Nadere informatie

ax + 2 dx con- vergent? n ln(n) ln(ln(n)), n=3 (d) y(x) = e 1 2 x2 e 1 2 t2 +t dt + 2

ax + 2 dx con- vergent? n ln(n) ln(ln(n)), n=3 (d) y(x) = e 1 2 x2 e 1 2 t2 +t dt + 2 Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NPB 8 januari 3, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering

Nadere informatie

Vierde college algoritmiek. 23/24 februari Complexiteit en Brute Force

Vierde college algoritmiek. 23/24 februari Complexiteit en Brute Force Algoritmiek 2017/Complexiteit Vierde college algoritmiek 23/24 februari 2017 Complexiteit en Brute Force 1 Algoritmiek 2017/Complexiteit Tijdcomplexiteit Complexiteit (= tijdcomplexiteit) van een algoritme:

Nadere informatie

Genererende Functies K. P. Hart

Genererende Functies K. P. Hart genererende_functies.te 27--205 Z Hoe kun je een rij getallen zo efficiënt mogelijk coderen? Met behulp van functies. Genererende Functies K. P. Hart Je kunt rijen getallen op diverse manieren weergeven

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Kunnen we elke integraal oplossen? Z e x x dx Z e x2 dx

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dystra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 12 februari 2008 INLEIDING Discrete Structuren Wee1: Inleiding Onderwerpen

Nadere informatie

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1 WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit

Nadere informatie

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling aansluitingscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de Aansluitingscursus staan. Die onderwerpen zijn: complexe getallen en volledige

Nadere informatie

Tentamen Calculus 2 25 januari 2010, 9:00-12:00 uur

Tentamen Calculus 2 25 januari 2010, 9:00-12:00 uur Tentamen Calculus 5 januari 00, 9:00 -:00 uur Je mag geen rekenapparaat gebruiken. De opgaven t.e.m. 6 tellen allemaal even zwaar. Vermeld op elk papier dat je inlevert je naam en je studentnummer. Geef

Nadere informatie

6 Ringen, lichamen, velden

6 Ringen, lichamen, velden 6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x 2 + 2x + 2 irreducibel is in Z 3 [x]. Oplossing 6.1 Aangezien de veelterm van graad 3 is,

Nadere informatie

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D020. Datum: Vrijdag 26 maart 2004. Tijd: 14.00 17.00 uur. Plaats: MA 1.41 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 21 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 32 Outline 1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Universiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr.

Universiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr. Universiteit Gent Academiejaar 2001 2002 Discrete Wiskunde 1ste kandidatuur Informatica Collegenota s Prof. Dr. Frank De Clerck Herhalingsoefeningen 1. Bepaal het quotiënt en de rest van de deling van

Nadere informatie

Bijzondere kettingbreuken

Bijzondere kettingbreuken Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar

Nadere informatie

3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.

3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n. Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.

Nadere informatie

Getallensystemen, verzamelingen en relaties

Getallensystemen, verzamelingen en relaties Hoofdstuk 1 Getallensystemen, verzamelingen en relaties 1.1 Getallensystemen 1.1.1 De natuurlijke getallen N = {0, 1, 2, 3,...} N 0 = {1, 2, 3,...} 1.1.2 De gehele getallen Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1,

Nadere informatie

Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015

Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015 Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen

Nadere informatie

Tentamen Numerieke Wiskunde (WISB251)

Tentamen Numerieke Wiskunde (WISB251) 1 Tentamen Numeriee Wisunde WISB51 Maa één opgave per vel en schrijf op ieder vel duidelij je naam en studentnummer. Laat duidelij zien hoe je aan de antwoorden omt. Onderstaande formules mag je zonder

Nadere informatie

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002 RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan

Nadere informatie

-- III De variatiemethode berust voor de grondtoestand op het volgende theorema:

-- III De variatiemethode berust voor de grondtoestand op het volgende theorema: -- III - 1 - HOOFDSTUK III VARIATIEREKENING Alleen voor enele zeer eenvoudige systemen an de Schrödinger Vergeliing exact worden opgelost, in alle andere gevallen moeten benaderingen worden toegepast.

Nadere informatie

1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.

1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0. Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en

Nadere informatie

Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen

Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking Proeftentamen 3 Functies van één veranderlijke (15126 De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk

Nadere informatie

V.4 Eigenschappen van continue functies

V.4 Eigenschappen van continue functies V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt

Nadere informatie

Getallen, 2e druk, extra opgaven

Getallen, 2e druk, extra opgaven Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in

Nadere informatie

Tentamen Functies en Reeksen

Tentamen Functies en Reeksen Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy

Nadere informatie

Examen Complexe Analyse (September 2008)

Examen Complexe Analyse (September 2008) Examen Complexe Analyse (September 2008) De examenvragen vind je op het einde van dit documentje. Omdat het hier over weinig studenten gaat, heb ik geen puntenverdeling meegegeven. Vraag. Je had eerst

Nadere informatie

Combinatoriek groep 1

Combinatoriek groep 1 Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Getallenrijen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een directe formule geeft a n in

Nadere informatie

Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07

Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07 Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30 Auditorium L.00.07 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 9 februari 2009 INLEIDING

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie   9 februari 2009 INLEIDING Discrete Structuren Piter Dystra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 9 februari 2009 INLEIDING Discrete Structuren Wee1: Inleiding Onderwerpen Elementaire

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

4051CALC1Y Calculus 1

4051CALC1Y Calculus 1 4051CALC1Y Calculus 1 College 1 2 september 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/

Nadere informatie

(x x 1 ) + y 1. x x k+1 x k x k+1

(x x 1 ) + y 1. x x k+1 x k x k+1 Les Talor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen

Nadere informatie

Inleiding Analyse 2009

Inleiding Analyse 2009 Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies.

In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. 03 college 5: meer technieken In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. Opmerking over de notatie. Net als in het

Nadere informatie

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2 Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van

Nadere informatie

Bestaat er dan toch een wortel uit 1?

Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

Infi A oefententamen ψ

Infi A oefententamen ψ Infi A oefententamen ψ Aanwijzingen Motiveer alle antwoorden. Werk rustig, netjes en duidelijk. Zorg dat je uitwerking maar één interpretatie toelaat. Alle informatie op dit opgavenblad mag bij alle (deel)opgaven

Nadere informatie

3.2 Vectoren and matrices

3.2 Vectoren and matrices we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,

Nadere informatie

Het uitwendig product van twee vectoren

Het uitwendig product van twee vectoren Het uitwendig product van twee vectoren Als u, v R 3, u = u 1, u 2, u 3 en v = v 1, v 2, v 3 dan is het uitwendig product van u en v gelijk aan een vector in R 3 en wel u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3,

Nadere informatie

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 2 Gröbnerbases 1. Vragen We hebben gezien dat de studie van stelsels polynoomvergelijkingen in meerdere variabelen op natuurlijke manier leidt

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

Verwachtingswaarde en spreiding

Verwachtingswaarde en spreiding Les 3 Verwachtingswaarde en spreiding 3.1 Stochasten In een aantal voorbeelden hebben we gezien dat we bij een experiment vaa niet zo zeer in een enele uitomst geïneteresseerd zijn, maar bijvoorbeeld wel

Nadere informatie

7.1 Het aantal inverteerbare restklassen

7.1 Het aantal inverteerbare restklassen Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo

Nadere informatie

Mathematical Modelling

Mathematical Modelling 1 / 95 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 21-08-08 Last adapt: 30-08-09 2 / 95 Overzicht 1 Inleiding 2 Complexe getallen: rekenen 3 Complexe getallen: iets meer dan rekenen alleen 3 /

Nadere informatie

168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN

168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a

Nadere informatie

Verwachtingswaarde en spreiding

Verwachtingswaarde en spreiding Les 13 Verwachtingswaarde en spreiding 13.1 Stochasten In een paar voorbeelden hebben we al gezien dat we bij een experiment vaa niet zo zeer in een enele uitomst geïneteresseerd zijn, maar bijvoorbeeld

Nadere informatie

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10 FORMULARIUM wwwbasiswiskundebe Inhoudsopgave Algebra 2 2 Lineaire algebra 4 3 Vlakke meetkunde 5 4 Goniometrie 7 5 Ruimtemeetkunde 0 6 Reële functies 2 7 Analyse 3 8 Logica en verzamelingen 6 9 Kansrekening

Nadere informatie

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Signalen en Transformaties

Signalen en Transformaties Signalen en Transformaties 201100109 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Complexe getallen z D a C bi We definiëren de complex

Nadere informatie

Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, mei 2007

Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, mei 2007 Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, mei 007 Opgave. a. Een beslissingsboom beschrijft de werking van het betreffende algoritme (gebaseerd op arrayvergelijkingen) op elke mogelijke invoer. In

Nadere informatie

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds

Nadere informatie

n 2 + 2n + 4 3n 2 n + 4n n + 2n + 12 n=1

n 2 + 2n + 4 3n 2 n + 4n n + 2n + 12 n=1 Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 2 NWI-NP004B 6 april 205, 8.00 2.00 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten

Nadere informatie

(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1

(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1 Les Taylor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen

Nadere informatie

Combinatoriek groep 1

Combinatoriek groep 1 Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsweek, juni 009 Stappenplan homogene lineaire recurrente betrekkingen Even herhalen: het stappenplan om een recurrente betrekking van orde op te lossen: Stap 1. Bepaal

Nadere informatie

The bouncing balls and pi

The bouncing balls and pi The bouncing balls and pi naar een idee van Dir Dancaert 9 september 05 Samenvatting Wisundecollega Dir Dancaert ontdete onlangs een merwaardig filmpje op het internet (https://wwwyoutubecom/user/numberphile

Nadere informatie

Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,

Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013, Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.

Nadere informatie

Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen

Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Maandag 4 januari 216, 1: - 13: uur 1. Beschouw voor t > de inhomogene singuliere tweede orde vergelijking, t 2 ẍ + 4tẋ + 2x = f(t, (1 waarin f

Nadere informatie

compact weer te geven (ken ook een waarde toe aan n).

compact weer te geven (ken ook een waarde toe aan n). 1 HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 2 - Oplossingen Opgave 1: Er geldt n 3 en we hebben de compacte uitdrukking y i a r i x r, waarbij we gebruik maken van de Einsteinsommatieconventie. a Schrijf

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.10, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 23 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline 1 2 3 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie

Nadere informatie

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3. ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie