Dynamische modellen VWO Een lesmodule voor Wiskunde en Natuur, Leven & Technologie

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Dynamische modellen VWO Een lesmodule voor Wiskunde en Natuur, Leven & Technologie"

Transcriptie

1 Dynamische modellen VWO Een lesmodule voor Wiskunde en Natuur, Leven & Technologie Ook geschikt als startmodule voor modelleren bij natuurkunde en/of biologie Versie 1.2 september 2008 Werkgroep Dynamische Modellen Gecertificeerde NLT module voor vwo

2 Colofon Foto voorpagina: La condition Humaine1935 De module Dynamisch Modelleren is bestemd voor de lessen Natuur, Leven en Technologie (NLT). De module is op 11 oktober 2007 gecertificeerd door de Stuurgroep NLT voor gebruik op het vwo in domein B (Fundament van wetenschap en technologie). Het certificeringsnummer van de module is VB. De originele gecertificeerde module is in pdf-formaat downloadbaar via Op deze website staat uitgelegd welke aanpassingen docenten aan de module mogen maken, voor gebruik in de les, zonder daardoor de certificering teniet te doen. Deze module is ontwikkeld door Kees Hooyman (auteur, docent Bonifatius College, Utrecht) Elwin Savelsbergh (adviseur, vakgroep Modelleren bètafaculteit UU) Alice Veldkamp (redacteur) Aangepaste versies van deze module mogen alleen verspreid worden, indien in dit colofon vermeld wordt dat het een aangepaste versie betreft, onder vermelding van de naam van de auteur van de wijzigingen. Versie 1.2 bevat tov versie 1.1 de volgende wijzigingen: toegevoegde figuren: 5.16 blz 110 en 5.39 blz 129 Bij het ontwikkelen van de module is dankbaar gebruik gemaakt van het werk van Paul Drijvers en Carel van de Giessen. Voor bronvermeldingen en copyrights: zie docentenhandleiding Materialen die leerlingen nodig hebben bij deze module zijn beschikbaar via het vaklokaal NLT: Deze module is niet ontwikkeld in opdracht van het Landelijk Ontwikkelpunt NLT. De module is derhalve niet geredigeerd en opgemaakt op de wijze van LOP-NLT modules Versie 1.2 Het auteursrecht op de module berust bij SLO. SLO is derhalve de rechthebbende zoals bedoeld in de hieronder vermelde creative commons licentie. De auteurs hebben bij de ontwikkeling van de module gebruik gemaakt van materiaal van derden en daarvoor toestemming verkregen. Bij het achterhalen en voldoen van de rechten op teksten, illustraties, enz. is de grootst mogelijke zorgvuldigheid betracht. Mochten er desondanks personen of instanties zijn die rechten menen te kunnen doen gelden op tekstgedeeltes, illustraties, enz. van een module, dan worden zij verzocht zich in verbinding te stellen met SLO. De module is met zorg samengesteld en getest. Landelijk Ontwikkelpunt NLT, Stuurgroep NLT en SLO aanvaarden geen enkele aansprakelijkheid voor onjuistheden en/of onvolledigheden in de module. Ook aanvaarden Landelijk Ontwikkelpunt NLT, Stuurgroep NLT en SLO geen enkele aansprakelijkheid voor enige schade, voortkomend uit (het gebruik van) deze module. Voor deze module geldt een Creative Commons Naamsvermelding-Niet-commercieel-Gelijk delen 2.5 Nederland Licentie René Magritte 2

3 Wat gaan we doen? Beste leerlingen, Bij vrijwel al het wetenschappelijk onderzoek wordt gebruik gemaakt van computermodellen. In veel gevallen zijn dat dynamische modellen. Dit zijn modellen waarbij een situatie in de loop van de tijd verandert. In deze module maak je kennis met enkele eenvoudige modellen en leer je om zelf modellen te bouwen. Daarbij komt natuurlijk ook aan bod hoe die modellen werken. Daarbij blijkt de wiskunde een belangrijke rol te spelen. Opbouw van de module Hieronder een kort overzicht van de inhoud van de hoofdstukken. 1. Een eenvoudig model Kennismaking met modellen en dynamische modellen. Met een eenvoudig model simuleer je met een griepepidemie. Na enkele rondes testen, evalueren en aanpassen blijkt zo n eenvoudig model een griepepidemie redelijk na te bootsen. 2. Hoe werkt een model? Hierbij wordt gekeken naar de manier waarop de computer de berekeningen uitvoert en de manier waarop de verschillende variabelen invloed op elkaar hebben. 3. Zelf modellen bouwen Hier leer je hoe je zelf ingewikkelder modellen bouwen, testen en verbeteren. 4. De wiskunde in een model Om een model te bouwen is natuurlijk wat wiskunde nodig, maar ook in de resultaten van het model valt veel wiskunde te ontdekken. 5. Toepassingen Twee belangrijke gebieden waar modellen gebruikt worden zijn allerlei bewegingen (denk aan sport en verkeer) en populatiedynamica (denk aan het voorspellen van bevolkingsgroei of het uitsterven van diersoorten). Werkwijze tijdens de module Bij een groot gedeelte van de opdrachten in een computer nodig. Daarbij wordt meestal in tweetallen gewerkt. Op sommige plaatsen bestaat de mogelijkheid van differentiatie of keuzeopdrachten. Na hoofdstuk 3 en/of 4 is er een (voortgangs)toets. Hoofdstuk 5 bestaat uit keuzeopdrachten die als een praktische opdracht gebruikt kunnen worden. Leerdoelen Het beschrijven van een realistische/natuurwetenschappelijk verschijnsel met behulp van een rekenen/of computermodel. Daarbij leer je: 1. Problemen te herkennen die opgelost kunnen worden met behulp van een computermodel 2. Verschijnselen te modelleren in termen van toestandsvariabelen, stroomvariabelen, rekengrootheden en beïnvloedingsrelaties. 3. Modellen te schetsen en te bouwen in de modelleeromgeving Powersim 4. De gekozen modelvariabelen en -relaties in te vullen met waarden en formules 5. Het model door te rekenen en de juiste instellingen (tijdstap) te kiezen om bruikbare modeluitkomsten te krijgen 6. De uitkomsten te interpreteren en het model te testen door vergelijking met de werkelijkheid. (Om daarna eventueel het model te verbeteren en verder te gaan bij 2.) 7. De beïnvloedingsrelaties binnen een model te beschrijven als een recursieve betrekking en daarbij de tijdstap te betrekken. 8. De invloed van modelvariabelen op het resultaat te verklaren aan de hand van de beïnvloedingsrelaties. 9. De invloed van terugkoppeling op het proces te herkennen en te beschrijven. 3

4 10. De begrippen helling en oppervlakte te gebruiken om de relatie tussen de grafieken van de toestandsvariabelen en de stroomvariabelen te beschrijven. 11. Met behulp van differentiaalrekening het modelgedrag te verklaren en voorspellen aan de hand van de modelrelaties. 12. De beïnvloedingsrelaties binnen een model te schrijven als een differentiaalvergelijking. 13. Bij een proces van continue en evenredige groei de differentiaalvergelijking te gebruiken om een exacte oplossing te vinden. 14. Een algemeen model voor bewegingen te gebruiken om verschillende situaties te modelleren. Ook krijg je zicht op de vele studies en beroepen waarin wordt gemodelleerd. Meer informatie over modelleren in studie en beroep, kun je vinden op: Bij deze module hoort ook digitaal lesmateriaal. Vraag je docent waar deze voor jou ter beschikking staat. Noteer dat hier Voorkennis In deze module wordt de volgende kennis bekend verondersteld: - Verbanden en formules kunnen interpreteren als evenredigheid (of omgekeerd evenredigheid) en omgekeerd een eenvoudige relatie kunnen beschrijven als een formule - Basiskennis over kwadratische en exponentiële verbanden. - De afgeleide van een functie bepalen en de betekenis van de afgeleide als veranderingsgetal.toepassen. - Eenvoudig gebruik van Excel - Keuzeopdrachten mechanica: kracht, versnelling, snelheid, grafieken, (lucht)weerstand. (om de ontbrekende voorkennis bij te werken: zie bijlage 1) - Bij de keuzeopdrachten populatiedynamica wordt de benodigde voorkennis in de opdracht zelf beschreven. Voor leerlingen die geen biologie in hun vakkenpakket hebben, is op de laatste bladzijde een verklarende woordenlijst met biologische begrippen opgenomen. Succes en plezier met deze module, De auteurs 4

5 INHOUDSOPGAVE Hoofdstuk 1 Kennismaken met dynamische modellen 1.1 Wat is een dynamisch model? Model voor een griepepidemie Het model verbeteren Griep met een modelleerprogramma Een realistischer griepmodel 28 Hoofdstuk 2 De toestand en de verandering 2.1 Hoe rekent het model? Herhaald optellen; rekenen volgens recept Grafiek van toestand en verandering 43 Hoofdstuk 3 Modellen bouwen in een systeemdynamische modelleertaal 3.1 Waterstromen als voorbeeld Meer doen met waterstromen De toestand en de verandering 60 Hoofdstuk 4 De wiskunde in een model 4.1 Tijdstap, helling en oppervlakte De helling en de afgeleide Het gedrag voorspellen Differentiaalvergelijkingen Differentiaalvergelijkingen oplossen 91 Hoofdstuk 5 Toepassingen van dynamische modellen 5.1 Modelleren in studie en beroep Een beweging onderzoeken Een algemeen model voor bewegingen Keuze-opdrachten bij bewegingen Bevolkingsgroei in Noordwijkerhout Biologen en modelleren De vrije val van de lemming 151 Bijlage I Herhaling van de theorie van bewegingen 154 Bijlage II Verklarende woordenlijst biologische begrippen 156 Bijlage III Overzicht knoppen op de taakbalk Powersim 158 5

6 6

7 Hoofdstuk 1 Kennismaken met modellen 1.1 Wat is een dynamisch model? Wat gaan we doen? Deze module gaat over dynamische modellen. Met name over dynamische modellen waarbij de computer gebruikt wordt om berekeningen aan het model uit te voeren en om met het model voorspellingen te kunnen doen. In hoofdstuk 1 wordt in drie stapjes een model opgebouwd om een groepepidemie te voorspellen. Het is een voorbeeld van de manier waarop modellen gebouwd, getest en verbeterd worden. In de eerste paragraaf zijn de centrale vragen: Wat is een dynamisch model? Welke gegevens heb je nodig om een model voor een griepepidemie te bouwen? Inleiding Wetenschappers werken aan vragen zoals: Zijn hersenen van jongeren geschikt voor planningstaken? Is te voorspellen hoe het nieuwe vogelgriepvirus eruit zal zien? En of deze variant voor mensen gevaarlijk is? De wetenschap probeert verschijnselen te beschrijven, te verklaren en te voorspellen. Het beschrijven van verschijnselen krijgt vaak de vorm van regels of wetten. Voorbeelden van dergelijke wetten zijn de wetten van Newton voor kracht en beweging. Deze wetten zijn bruikbaar om vrij eenvoudige situaties direct te verklaren. Maar in meer ingewikkelde situaties wordt dat lastiger. Dan gebruikt men modellen als hulpmiddel. Modellen zijn hulpmiddelen om de processen in de wereld om je heen en ook de wereld in jezelf te leren begrijpen. Figuur 1.1 Een schaalmodel van een havenmonding. Schaalmodellen en rekenmodellen Bij de modellen in figuur 1.1 en 1.2 gaat het om schaalmodellen; verkleinde kopieën van de werkelijkheid. Met zulke schaalmodellen is het stromingspatroon van het water bij een nieuw aan te leggen havenmonding te voorspellen, of de krachten op een nieuw type vliegtuig. Onderzoek aan zo n 7

8 schaalmodel kan leiden tot verbeteringen in het ontwerp. Voor het testen van zo n verbeterd ontwerp is dan weer een nieuw schaalmodel nodig. Figuur 1.2 Een schaalmodel van een vliegtuig in een windtunnel. In de praktijk worden de schaalmodellen steeds vaker vervangen door rekenmodellen. Het schaalmodel wordt dan als het ware virtueel in de computer gebouwd. Daardoor is zo n schaalmodel vrij gemakkelijk te wijzigen, en is snel na te gaan welk effect die wijziging heeft. Deze rekenmodellen beschrijven vooral verschijnselen waarbij grootheden in de tijd veranderen en/of elkaar beïnvloeden. In deze rekenmodellen wordt gebruik gemaakt van bekende wetten en van gegevens die in het verleden verzameld zijn. De berekeningen die hiermee worden uitgevoerd zijn vaak ingewikkeld. Bovendien gaat het meestal om een zeer groot aantal berekeningen. Door het gebruik van computers zijn rekenmodellen veel realistischer geworden. Ontwerpers willen computers verbeteren door ze informatie te laten verwerken zoals hersenen dat doen. Hersenmodellen zijn hiervoor helaas nog niet gedetailleerd genoeg. Natuurwetenschappelijk model Een model in de natuurwetenschap is een hulpmiddel bij het beschrijven, verklaren en voorspellen van natuurverschijnselen. 1 Ga bij elk van de onderstaande modellen na of het een wetenschappelijk model is.. I. Model werking lichaam van Galenus II. Model baby Triceratops (2007) ( na Chr ) III. Model ideale vrouw (2006). IV. Model DNA molecuul (1954) De robot reageert op 1000 commando s 8

9 Dynamische modellen En dan nu de weersverwachting voor morgen, overwegend zonnig.. Bij het maken van voorspellingen voor de toekomst wordt vaak gebruik gemaakt van dynamische modellen. Het woord dynamisch geeft aan dat het gaat om veranderingsprocessen. Bij een dergelijk proces hebben meer factoren invloed op de veranderingen in de bestaande situatie. Die factoren zijn bovendien vaak zelf niet constant. Neerslagradar Een vrij eenvoudig voorbeeld van het maken van een voorspelling met behulp van een model, is de neerslagradar. Deze is op internet te vinden op Figuur 1.3 Beelden van de neerslagradar van 10.25, en uur 2 De beelden laten eerst de neerslag van het afgelopen uur zien, met een tijdstap van 5 minuten. Daarna verschijnt een prognose van de neerslag voor het komende anderhalf uur met een tijdstap van 15 minuten. a. Bekijk de beelden van de neerslagradar op internet. Welk verschil zie je tussen de beelden van de metingen en de beelden van de prognose? De buien in de prognose veranderen niet meer van vorm, ze bewegen alleen nog over het scherm. b. Welk gegeven gebruikt de computer om de prognose op te stellen? In figuur 1.4 wordt de weerssituatie beschreven door verschillende variabelen zoals de temperatuur en de windsnelheid op verschillende plaatsen. c. Noem twee andere variabelen die de beginsituatie bepalen. De weerssituatie kan veranderen door bijvoorbeeld aanvoer van warme of koude lucht. d. Noem twee andere factoren die invloed kunnen hebben op de verandering van de weerssituatie. Figuur 1.4 De weerssituatie wordt beschreven door verschillende variabelen. De huidige computers kunnen het weer voor zeven dagen voorspellen, maar door de vele variabelen zit er altijd een onnauwkeurigheid in de voorspelling. 9

10 Dynamische modellen Een dynamisch model beschrijft hoe een bepaalde situatie verandert in de loop van de tijd. Het model wordt vaak gebruikt om te voorspellen hoe de variabelen die de situatie beschrijven in de loop van de tijd veranderen. Op allerlei terreinen wordt gebruik gemaakt van dynamische modellen en computersimulaties. Een nadeel van computermodellen is, net als bij alle andere modellen, dat het nooit een exacte weergave van de situatie is. De plaatjes uit de computer lijken heel nauwkeurig, maar schijn bedriegt. De jaarlijkse griepgolf: een dynamisch model in praktijk Afgelopen winter werd in een gerespecteerd tijdschrift het volgende advies gegeven: Alle docenten met een mondkapje voor de klas bij dreiging van een griepepidemie! Helpt zo n maatregel effectief tegen verspreiding? Hoe verloopt een epidemie eigenlijk? Welke factoren spelen een rol? Dynamische modellen worden gebruikt om dit soort vragen te beantwoorden. De overheid gebruikt ze om te voorspellen hoe de jaarlijkse griepgolf verloopt. Jaarlijks overlijden er in Nederland namelijk mensen aan het griepvirus. De overheid wil in een vroeg stadium weten hoe ernstig de situatie kan worden, zodat er nog maatregelen genomen worden. Figuur Kamagurka, Volkskrant 1 juni 2006 Opdracht: bouw een griepmodel In dit hoofdstuk ontwikkel je een computermodel dat een realistische voorspelling doet voor het verloop van een griepgolf. Na een oriëntatie op het verschijnsel griep wordt een zeer eenvoudig model gebouwd. Het model wordt steeds getest en verbeterd totdat een realistisch model ontstaat. 3 Welke vragen wil je beantwoord hebben voordat je een model van griep kunt bouwen? Noteer een aantal vragen. Oriëntatie op de ziekte griep en het griepvirus Je model is een vereenvoudigde beschrijving van de werkelijkheid, die je kunt gebruiken voor het maken van een voorspelling. Het bouwen van een computermodel begint dan ook meestal met een oriëntatie op het verschijnsel, in dit geval griep. Markeer in de teksten op de volgende pagina de informatie die je nodig hebt voor je model. Fig 1.6 Elektronenmicroscopische foto griep. Daarnaast een model van het griepvirus 10

11 Van griepgolf tot epidemie Elk jaar komt de griep in grotere of kleinere golven, treft sommigen wel en anderen niet. Gemiddeld krijgt ongeveer 10% van de mensen jaarlijks griep. In Nederland wordt het verloop van de griep de laatste jaren bijgehouden via internet. Op de website vind je gegevens over de griep in Nederland. De onderstaande grafiek laat zien hoe de griepgolf uit het seizoen verliep. Het hoogste punt in de grafiek noemt men de piek. piek op 10 februari ,6% heeft de griep Figuur Tijdens de GroteGriepMeting wordt via internet bijgehouden hoeveel procent van de deelnemers verkouden is of de griep heeft dag Figuur 1.7 De griepgolf van het seizoen Hij heeft een griepje. Het klinkt onschuldig. Griep kan levensgevaarlijk zijn. Een variant van het griepvirus heeft in het begin van de vorige eeuw miljoen slachtoffers geëist. Meer slachtoffers dan in WOI. Er wordt gesproken van een epidemie wanneer het aantal gevallen van griep in een bepaald gebied gedurende een bepaalde periode veel hoger is dan gebruikelijk. Voor Nederland is dat bij een aantal van meer dan 6 per inwoners. Buiten een griepepidemie hebben er gemiddeld 3 op de mensen griep in Nederland. Een pandemie, zoals de Spaanse griep van , is niets meer dan een epidemie die zich afspeelt in een groot gebied. Maar wat is groot? Enkele landen samen? Een heel werelddeel? Meer werelddelen? Pandemie is dus een wat vage term voor een fikse epidemie. Mogelijke maatregelen Er zijn antivirale middelen op doktersrecept te krijgen. Ze worden maar weinig gebruikt. Het werkt vaak maar bij één type griepvirus. Met welke type virus je besmet bent, is met het blote oog niet te zien. Dit laten onderzoeken duurt te lang. De middelen moeten namelijk binnen uur na de eerste ziekteverschijnselen ingenomen worden. Alleen dan verkorten ze de ziekte met (gemiddeld) 1 dag. Sommige mensen, bijvoorbeeld ouderen, krijgen jaarlijks een oproep voor de griepprik. Dit is een vaccin dat ingespoten wordt. Het werkt na ongeveer 10 dagen. Kortom, voorkomen is beter dan genezen! 4 De overheid wil in een vroeg stadium een voorspelling hebben van het verloop van een griepepidemie. a. Geef twee redenen waarom de overheid bijtijds een voorspelling wil hebben. 11

12 Een voorspelling van het verloop van een griepepidemie zal verschillende gegevens opleveren. b. Noem twee gegevens waarin de overheid geïnteresseerd zal zijn. Griepgegevens verzamelen De overheid kan pas een voorspelling laten maken als er voldoende gegevens zijn verzameld over de situatie aan het begin van het griepseizoen. Die griepgegevens komen uit verschillende landen en gaan over vragen zoals: I. Welke type griepvirussen zijn er gesignaleerd? II. Hoe snel verandert het virus? (Oftewel hoe snel veranderen de antigenen?) III. Hoe besmettelijk zijn de virussen? IV. Welk deel van de bevolking is het meest vatbaar voor de ziekte? V. Op welke plaatsen is het virus gesignaleerd? VI. Hoeveel personen zijn er met het virus besmet? VII. Hoe groot is de kans dat een persoon die ziek is, overlijdt aan de griep? 5 Bij het begin van een griepgolf worden verschillende gegevens over de bevolking verzameld. a. Welke van de bovenstaande griepgegevens hebben betrekking op de beginsituatie van de bevolking? Noteer de nummers. Bij de beginsituatie horen ook enkele eigenschappen van het virus, die tijdens de griepepidemie meestal niet veranderen. b. Welke van de bovenstaande griepgegevens hebben betrekking op de beginsituatie met betrekking tot het virus? Noteer de nummers. Grafiek van een griepgolf Het model moet voorspellen hoe snel het aantal zieken verandert. Het aantal zieke personen verandert in de loop van de tijd. In figuur 1.9 zie je de griepgolf van het seizoen Kenmerkend voor een griepgolf is dat de grafiek eerst langzaam en daarna steeds sneller stijgt. Figuur Bij een griepepidemie neemt het aantal zieken steeds sneller toe. 12

13 6 De grafiek van een griepgolf heeft een karakteristieke vorm; zie fig.1.9. a. Beschrijf en verklaar de vorm van de grafiek. Gebruik de begrippen besmettingen en zieken. Voor een voorspelling berekent het computermodel hoe de situatie verandert. b. Welke van de griepgegevens hebben invloed op de snelheid waarmee het aantal zieke personen verandert? Tijdstap Bij een computermodel hoort ook een tijdstap. Dat is vaak de periode waarover de computer de verandering moet berekenen, uitgaande van de beginsituatie en het tempo van verandering. De computer berekent telkens opnieuw hoe de situatie zal zijn één tijdstap later. De tijdstap wordt door de bouwers van het model zo gekozen dat het past bij het onderwerp. 7 Bij een dynamisch model van een griepepidemie is een tijdstap van een maand niet handig omdat er binnen één tijdstap erg veel kan veranderen in de situatie. Een tijdstap van een seconde of een minuut zou het model erg nauwkeurig maken, maar daar kleeft een ander nadeel aan. a. Welk nadeel kleeft er aan een te kleine tijdstap in je griepmodel? b. En welk nadeel aan een te grote? c. Welke tijdstap is voor je griepmodel een logische keuze. Licht kort toe. Leerdoelen Wat heb je nu geleerd? Na deze paragraaf moet je een antwoord kunnen geven op de volgende vragen: Wat is een dynamisch model? Welke twee soorten gegevens heb je nodig om een dynamisch model te bouwen? 13

14 Kennismaken met modellen 1.2 Een model voor een griepepidemie Wat gaan we doen? Met enkele gegevens over de griep kan een eerste model voor het verloop van de epidemie gebouwd worden. Dit eenvoudige model laat ook zien op welke manier het rekenwerk in een model loopt. In de eerste paragraaf zijn de centrale vragen: Hoe kan een eenvoudig model voor de griep gebouwd worden? Op welke manier rekent het model? Een simpel griepmodel Het bouwen van een model begint meestal met een zeer simpel model dat het basisprincipe weergeeft. Dat model wordt vervolgens net zolang verbeterd totdat de resultaten van het model redelijk overeen komen met de werkelijke resultaten uit het verleden. Dat biedt overigens nog niet de garantie dat het model goede voorspellingen voor de toekomst kan maken. Bij griep kan het basisprincipe als volgt beschreven worden: je bent gezond, je wordt ziek, je wordt beter en dan ben je, voor korte of langere termijn, immuun voor de ziekte. Dat proces is hieronder in beeld gebracht met behulp van een zogenaamd stroomschema. elke dag worden 10 mensen ziek elke dag geneest 20% van de zieken beginsituatie gezond ziek immuun na 1 dag gezond ziek immuun na 2 dagen gezond ziek immuun na 3 dagen gezond ziek immuun Figuur 1.10 Een simpel griepmodel De aantallen in de mandjes stellen de gezonde, zieke en immune mensen voor. De beginsituatie gaat uit van 990 gezonde mensen en 10 zieke mensen. Er is nog niemand immuun. 14

15 Veranderingen Een dynamisch model wordt beschreven door de veranderingen vanuit de beginsituatie. De pijlen in het schema geven deze veranderingen aan. In deze situatie beginnen we met een heel simpele aanname: - elke dag worden er 10 mensen ziek - van de zieke mensen geneest elke dag 20% 8 Met dit simpele griepmodel valt de situatie op de volgende dagen uit te rekenen. Voor de situatie na 1 dag is het stroomschema deels ingevuld. a. Leg uit dat er na één dag 18 personen ziek zijn. b. Lees af hoeveel personen na één dag immuun zijn. c. Bereken voor de situatie na 2 en 3 dagen het aantal personen dat gezond, ziek of immuun is. Reken door met de niet afgeronde getallen. Noteer de afgeronde getallen in het schema (figuur 1.10). Het verloop van een griepgolf berekenen De berekeningen bij het simpele model voor griep kunnen vrij eenvoudig gedaan worden door een programma als Excel. Figuur Let op: Excel geeft de afgeronde getallen weer, maar rekent door met de niet afgeronde getallen. 9 Bij de kolommen gezond, ziek en immuun zijn op dag 0 de aantallen voor de beginsituatie ingevuld. De aantallen op de volgende dagen worden berekend met behulp van formules. a. Open het Excel-bestand Simpel griepmodel. b. Welke inhoud (formule) staat er in cel B6, gezond op dag 1? Vul de formule in: B6 = De inhoud van elke cel is zichtbaar in de formulebalk. c. Leg uit dat je de formule voor gezond op dag 1 ook kunt lezen als: gezond(1) = gezond(0) - besmetting 15

16 d. Kopieer de inhoud van gezond op dag 3 naar beneden, naar de andere cellen van de kolom. Gebruik de vulgreep (zie fig. 1.12) of de combinatie Ctrl-C en Ctrl-V. Het model bevat 50 dagen. De inhoud van elke cel wordt berekend uit de vorige situatie. In de wiskunde wordt zoiets een recursieve betrekking genoemd. e. Noteer de formule voor het aantal gezonde personen op dag n+1 als een recursieve betrekking gezond(n+1) = Fig.1.12 Met de vulgreep kun je een formule snel naar beneden kopiëren. Klik hiervoor de cel aan, pak de rechterhoek vast en sleep deze naar beneden. 10 De variabele immuun heeft beginwaarde 0. De variabele neemt toe doordat zieke personen genezen en daarna immuun zijn geworden. a. Welke inhoud staat er in cel D6, voor immuun op dag 1? D6 = D5 + b. Schrijf deze formule op dezelfde manier als hierboven: immuun(1) = immuun(0) c. Kopieer op dezelfde manier de inhoud van ziek op dag 3 naar beneden, naar de andere cellen van de kolom, zie fig d. Kopieer op dezelfde manier de inhoud van immuun op dag 3 naar beneden, naar de andere cellen van de kolom, zie fig Ook hier is sprake van een recursieve betrekking. e. Vul aan: immuun(n+1) = immuun(n) Het aantal zieke personen groeit door besmetting van gezonde personen, maar neemt af door genezing. a. Welke inhoud staat er in cel C6, voor ziek op dag 1? C6 = C5 + b. Schrijf deze formule op dezelfde manier als hierboven: ziek(1) = ziek (0) Ook hier is sprake van een recursieve betrekking. c. Vul aan: ziek (n+1) = 16

17 Werken met het Excel-model 12 Met Excel is het eenvoudig om een grafiek van de resultaten te maken. Figuur 1.13 Selecteer de cellen voor de grafiek. Selecteer met de muis alle cellen (dag 0 t/m 50) waarmee je een grafiek wilt maken. a. Kies onder Invoegen voor Grafiek. b. Selecteer bij Grafiektype voor een Spreidingsgrafiek. c. Kies steeds voor Volgende tot de grafiek op het scherm staat. d. Bij welke variabele is de grafiek een rechte lijn (vanaf het begin)? Figuur 1.14 Kies een spreidingsgrafiek met als subtype een vloeiende lijn door de punten. e. Waardoor loopt de grafiek van ziek vanaf een bepaald moment horizontaal? Wat is er dan aan de hand? f. Waardoor loopt de grafiek van immuun in het begin niet recht? 13 Met het model in Excel kan worden onderzocht wat er verandert als er sprake is van een meer besmettelijke griep of een griep waarbij mensen langer ziek zijn. a. Verander het aantal besmettingen per dag in 20. Wat zie je nu veranderen aan de tabel en aan de drie grafieken? b. Verander vervolgens het genezingspercentage in 10%. Welke grafiek verandert niet als het genezingspercentage verandert? c. Opnieuw zie je dat het aantal zieken na verloop van tijd constant wordt. Bij welk aantal zieken is dit? Licht je antwoord met een berekening toe. 17

18 Model testen en evalueren 14 Hoe realistisch is je griepmodel? Modellen worden getoetst aan de werkelijkheid. We wachten niet op de volgende griep, maar gebruiken de grafiek van het seizoen ; zie figuur Figuur 1.15 Griepepidemie in Nederland, seizoen Als je deze grafiek vergelijkt met de grafiek zieken in jouw model dan zijn er twee opvallende verschillen te zien. a. Noem deze twee verschillen. b. Geef een biologische verklaring voor de (bijna) exponentiële stijging in grafiek c. Na het hoogtepunt van de griepepidemie is een daling zichtbaar (grafiek 1.15). Geef twee biologische oorzaken van deze daling. De voorspelling van je model is niet realistisch genoeg. Het model is te simpel. Om het model te verbeteren, kunnen een aantal variabelen preciezer beschreven worden. d. Noem 2 variabelen die je preciezer zou beschrijven om je model betrouwbaarder te krijgen. Leerdoelen Wat heb je nu geleerd? Na deze paragraaf moet je een antwoord kunnen geven op de volgende vragen: Hoe kan een eenvoudig model voor de griep gebouwd worden? Wat is een recursieve betrekking? Op welke manier berekent een model de toestand in de nieuwe situatie? 18

19 Kennismaken met modellen 1.3 Het model verbeteren Wat gaan we doen? Het eerste model is te eenvoudig om een griepgolf na te bootsen. In deze paragraaf wordt het model aangepast door de formules waarmee de veranderingen berekend worden te verbeteren. In deze paragraaf is de centrale vraag: Hoe kun je de formules in een model verbeteren? Genezingsfactor Om het simpele model te verbeteren kijken we als eerste naar de genezing, de stroomvariabele die bepaalt hoe snel het aantal zieke personen afneemt. Fig Het genezingsproces in het model bepaalt hoe snel zieke mensen weer beter worden. In het model is de aanname gemaakt dat elke dag 20% van de zieke mensen geneest en dus immuun geworden is. De genezingsfactor is het deel dat een dag later genezen is. a. Hoe groot is de genezingsfactor? Noteer het antwoord als een decimaal getal. b. Hoe lang is iemand dan gemiddeld ziek? c. Vind je dit een realistische aanname? Gebruik indien nodig de informatie van de website Wat is griep? Griep is een acute infectie van de bovenste luchtwegen (neus, keel, longen) en wordt veroorzaakt door het influenza virus. Griep is waarschijnlijk de meest onderschatte ziekte die er is. Ieder jaar krijgt 5 tot 10% van de Nederlandse bevolking griep; dit zijn dus 1 tot 1,5 miljoen mensen. Het griepvirus ondergaat regelmatig mutaties, veranderingen. De antistoffen die het lichaam het ene jaar aanmaakt tegen het griepvirus, herkennen niet automatisch het virus van het jaar daarop. Hierdoor kan het griepvirus ons afweersysteem steeds opnieuw verrassen en kun je elk jaar opnieuw griep krijgen. Tijd tussen besmetting en begin griepklachten Na het binnenkrijgen van het griepvirus duurt het gewoonlijk 2 3 dagen voordat je ziek wordt,. Dit wordt de incubatietijd genoemd. Ondertussen kun je wel, zonder dat je het weet, weer andere mensen besmetten. Volwassenen zijn besmettelijk vanaf twee dagen voordat de symptomen zich openbaren tot 5 dagen daarna. Hoe lang duurt de griep? Bij griep zijn gezonde mensen al gauw een week ziek. De koorts (38-40 C) is binnen één dag na het begin van de klachten het hoogst en duurt 1 tot 5 dagen. Als je griep hebt, wil je het liefst gewoon in bed blijven. Griep is zeer besmettelijk Via de lucht, maar ook via direct contact (zoenen, hand geven) of indirect contact (via een deurkruk of telefoon bijvoorbeeld) kun je het griepvirus oplopen. Het inademen van maar drie griepvirussen is al genoeg om zelf besmet te raken. Bijvoorbeeld: Als een vliegtuig met één grieppatiënt 3 uur aan de grond staat met een kapot ventilatiesysteem, dan krijgt 72% van de passagiers in de daaropvolgende dagen griep. Informatie van de site 19

20 Een beter formule voor besmetting De volgende variabele die we bekijken is besmetting. In het eerste model worden elke dag 10 mensen besmet. Het is niet erg realistisch dat het aantal besmettingen constant is. Een meer realistische aanname is dat elke zieke voor nieuwe besmettingen zorgt. Als er meer zieke mensen zijn, zullen er ook meer mensen besmet worden. De besmettingsfactor geeft weer hoeveel nieuwe besmettingen er per dag en per zieke plaatsvinden (gemiddeld). 16 De recursieve betrekkingen voor de variabel gezond in het model wordt dan: gezond(n+1) = gezond(n) ziek(n) besmettingsfactor Figuur 1.17 Gedeelte Excel-bestand a. Open het Excel-bestand Verbeterd Griepmodel b. Noteer in de cellen C6 en D6 de formules voor ziek en immuun op dag 1 in de tabel met behulp van deze recursieve betrekking (de besmettingsfactor $F$5, de genezingsfactor is $F$6). Noteer de formules hieronder. C6 = D6 = c. Kopieer de formules voor gezond, ziek en immuun naar de cellen eronder tot dag In dit model spelen de besmettingsfactor en de genezingsfactor een vergelijkbare rol. Met Excel kan de invloed van deze factoren op de epidemie onderzocht worden. Verbeterd Griepmodel 6000 personen ziek, gezond of immuun tijd in dagen gezond ziek immuun Figuur 1.18 Grafieken van de aantallen voor gezond, ziek en immuun Bekijk de grafiek met de aantallen voor gezond, ziek en immuun. Het model explodeert, de lijnen lijken op exponentiële functies. a. Kies een andere waarde voor de besmettingsfactor. Bij welke waarde(n) explodeert het model niet meer? 20

Dynamische modellen VWO Een lesmodule voor Wiskunde en Natuur, Leven & Technologie

Dynamische modellen VWO Een lesmodule voor Wiskunde en Natuur, Leven & Technologie Dynamische modellen VWO Een lesmodule voor Wiskunde en Natuur, Leven & Technologie Ook geschikt als startmodule voor modelleren bij natuurkunde en/of biologie Versie 1.4 februari 2012 Werkgroep Dynamische

Nadere informatie

Dynamische modellen VWO Een lesmodule voor Wiskunde en Natuur, Leven & Technologie

Dynamische modellen VWO Een lesmodule voor Wiskunde en Natuur, Leven & Technologie Dynamische modellen VWO Een lesmodule voor Wiskunde en Natuur, Leven & Technologie Ook geschikt als startmodule voor modelleren bij natuurkunde en/of biologie Versie 1.4G januari 2012 Werkgroep Dynamische

Nadere informatie

Dynamische modellen Een lesmodule voor Wiskunde D en Natuur, Leven en Technologie

Dynamische modellen Een lesmodule voor Wiskunde D en Natuur, Leven en Technologie Dynamische modellen Een lesmodule voor Wiskunde D en Natuur, Leven en Technologie Hoofdstuk 1 Kennismaken met dynamische modellen (Coach versie) Versie 1 oktober 2006 bron: Inleiding gedeeltelijk uit module

Nadere informatie

3 Veranderende krachten

3 Veranderende krachten 3 Veranderende krachten B Modelleren Een computermodel van bewegingen in SCYDynamics NLT-module Het lesmateriaal bij deze paragraaf vormt een onderdeel van de NLT-module Dynamische Modellen VWO. Wat gaan

Nadere informatie

Dynamische modellen Subdomein 1: Dynamische Systemen Experimenteel lesmateriaal Wiskunde D vwo

Dynamische modellen Subdomein 1: Dynamische Systemen Experimenteel lesmateriaal Wiskunde D vwo Dynamische modellen Subdomein 1: Dynamische Systemen Experimenteel lesmateriaal Wiskunde D vwo Hoofdstuk 3 De wiskunde in een model (Coach-versie) Versie 1 oktober 2006 CTWO-werkgroep Dynamische Modellen

Nadere informatie

Grafieken veranderen met Excel 2007

Grafieken veranderen met Excel 2007 Grafieken veranderen met Excel 2007 Hoe werkt Excel? Eerste oefening Hieronder zie je een gedeelte van het openingsscherm van Excel. Let op hoe we alle onderdelen van het werkblad noemen! Aantal decimalen

Nadere informatie

Voorbeeld lesplan: Modelleren van de glucose-insuline regulatie

Voorbeeld lesplan: Modelleren van de glucose-insuline regulatie - DOCENTMATERIAAL - Voorbeeld lesplan: Modelleren van de glucose-insuline regulatie 1 Organisatie Domein Onderwerp Aansluitend bij Leerjaar / niveau Voorkennis Lesomschrijving Leerdoelen Biologie Modelleren

Nadere informatie

HANDLEIDING MODEL EDITOR

HANDLEIDING MODEL EDITOR HANDLEIDING MODEL EDITOR Mei 2012 Yvonne Mulder en Ard Lazonder Universiteit Twente HOOFDSTUK 1: EEN MODEL SCHETSEN Met deze handleiding leer je werken met de SCYDynamics Model Editor. Dat doe je in 2

Nadere informatie

Griepepidemie. Modelleren B. Javiér Sijen. Janine Sinke

Griepepidemie. Modelleren B. Javiér Sijen. Janine Sinke Javiér Sijen Janine Sinke Griepepidemie Modelleren B Om de uitbraak van een epidemie te voorspellen, wordt de verspreiding van een griepvirus gemodelleerd. Hierbij wordt zowel een detailbenadering als

Nadere informatie

Een model voor een lift

Een model voor een lift Een model voor een lift 2 de Leergang Wiskunde schooljaar 213/14 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Inleiding... 5 Model 1, oriëntatie... 7 Model 1... 9 Model 2, oriëntatie... 11 Model 2... 13

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen.

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

Significante cijfers en meetonzekerheid

Significante cijfers en meetonzekerheid Inhoud Significante cijfers en meetonzekerheid... 2 Significante cijfers... 2 Wetenschappelijke notatie... 3 Meetonzekerheid... 3 Significante cijfers en meetonzekerheid... 4 Opgaven... 5 Opgave 1... 5

Nadere informatie

Maken van een practicumverslag

Maken van een practicumverslag Natuur-Scheikunde vaardigheden Maken van een practicumverslag Format Maken van een tabel met word 2010 2 Havo- VWO H. Aelmans SG Groenewald Maken van een diagram Inleiding. Een verslag van een practicum

Nadere informatie

Hoofdstuk 26: Modelleren in Excel

Hoofdstuk 26: Modelleren in Excel Hoofdstuk 26: Modelleren in Excel 26.0 Inleiding In dit hoofdstuk leer je een aantal technieken die je kunnen helpen bij het voorbereiden van bedrijfsmodellen in Excel (zie hoofdstuk 25 voor wat bedoeld

Nadere informatie

Praktische opdracht: modelleren met Coach

Praktische opdracht: modelleren met Coach Praktische opdracht: modelleren met Coach VWO 5 wiskunde B Mei 00 Hieronder zie je een ketting waaraan vijf gelijke gewichten hangen. Daarnaast een schematische tekening van ketting en gewichten. Aan de

Nadere informatie

Basisvaardigheden Microsoft Excel

Basisvaardigheden Microsoft Excel Basisvaardigheden Microsoft Excel Met behulp van deze handleiding kun je de basisvaardigheden leren die nodig zijn om meetresultaten van een practicum te verwerken. Je kunt dan het verband tussen twee

Nadere informatie

Basisvaardigheden Microsoft Excel

Basisvaardigheden Microsoft Excel Basisvaardigheden Microsoft Excel Met behulp van deze handleiding kun je de basisvaardigheden leren die nodig zijn om meetresultaten van een practicum te verwerken. Je kunt dan het verband tussen twee

Nadere informatie

Basistechnieken Microsoft Excel in 15 minuten

Basistechnieken Microsoft Excel in 15 minuten Basistechnieken Microsoft Excel in 15 minuten Microsoft Excel is een rekenprogramma. Je kan het echter ook heel goed gebruiken voor het maken van overzichten, grafieken, planningen, lijsten en scenario's.

Nadere informatie

SNELLE INVOER MET EXCEL

SNELLE INVOER MET EXCEL SNELLE INVOER MET EXCEL Naam Nr Klas Datum Het is de bedoeling dat je de gegevens van een tabel op efficiënte wijze invoert, dat betekent: correct en snel! Microsoft Excel biedt verscheidene mogelijkheden

Nadere informatie

Informatica College Blaucapel/KS Handelingsdeel IV. Basis Excel

Informatica College Blaucapel/KS Handelingsdeel IV. Basis Excel blaucapel Basis Excel Excel is een rekenprogramma: een elektronisch rekenvel. Het wordt ook wel een spreadsheet (een verspreid veld) genoemd. Wat kun je bijvoorbeeld maken met excel: Prijsberekeningen

Nadere informatie

Stoeien met Statistiek

Stoeien met Statistiek Stoeien met Statistiek Havo 4: Statistiek op grote datasets 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Docentenhandleiding... 5 Inleiding voor leerlingen... 6 Opdracht 1... 7 Opdracht 2... 8 Opdracht 3...

Nadere informatie

Grafieken maken met Excel

Grafieken maken met Excel Grafieken maken met Excel Mooie plaatjes met Microsoft Excel 4 HAVO en 5 VWO Grafieken maken met Excel. Inleiding. Bij de practica moet je regelmatig een grafiek tekenen. Tot nu toe deed je dat waarschijnlijk

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde

Nadere informatie

6. Absolute en relatieve celadressering

6. Absolute en relatieve celadressering 6. Absolute en relatieve celadressering In deze module leert u: - Wat absolute en relatieve celadressering is; - De relatieve celadressering toepassen; - De absolute celadressering toepassen; - De absolute

Nadere informatie

Wiskunde D assignment problem. Hier stonden ooit namen

Wiskunde D assignment problem. Hier stonden ooit namen Wiskunde D assignment problem Hier stonden ooit namen Inhoud Wat? Pagina Het probleem 2 Probleem analyse 3 4 Oplossing adjacency assignment 5 6 Oplossing gerneral assignment via hungarian algorithm Oplossing

Nadere informatie

Compex wiskunde A1-2 vwo 2005-I

Compex wiskunde A1-2 vwo 2005-I Zalm Wanneer van een vissoort te veel gevangen wordt, kan de populatie zich niet herstellen en valt er op den duur niets meer te vangen. Visserijbiologen streven dan ook naar een evenwichtssituatie waarbij

Nadere informatie

Een grafiek maken in Excel

Een grafiek maken in Excel Een grafiek maken in Excel [Paul De Meyer] 1 Microsoft Excel starten Ga naar start en kies in Alle programma s voor Microsoft Excel of Dubbelklik op het bureaublad het icoontje Microsoft Excel Automatisch

Nadere informatie

Leerlinghandleiding allergie, 2014 1

Leerlinghandleiding allergie, 2014 1 Leerlinghandleiding allergie, 2014 1 Colofon Documenttitel: Leerlinghandleiding allergie Auteur: Deelnemer van het DOT 2013/2014 van Bètasteunpunt Wageningen: Annemieke Gemmink, Christelijk Lyceum Veenendaal

Nadere informatie

5. Functies. In deze module leert u:

5. Functies. In deze module leert u: 5. Functies In deze module leert u: - Wat functies zijn; - Functies uitvoeren; - De verschillende functies van Calc kennen. - Naar een ander werkblad verwijzen. U kunt eenvoudige berekeningen, zoals aftrekken,

Nadere informatie

Module 5: docentenhandleiding. Experimenteel lesprogramma nieuwe economie

Module 5: docentenhandleiding. Experimenteel lesprogramma nieuwe economie Module 5: docentenhandleiding Experimenteel lesprogramma nieuwe economie Verantwoording 2010, Stichting leerplanontwikkeling (SLO), Enschede Het auteursrecht op de modules voor Economie berust bij SLO.

Nadere informatie

Werkblad 3 Bewegen antwoorden- Thema 14 (NIVEAU BETA)

Werkblad 3 Bewegen antwoorden- Thema 14 (NIVEAU BETA) Werkblad 3 Bewegen antwoorden- Thema 14 (NIVEAU BETA) Theorie In werkblad 1 heb je geleerd dat krachten een snelheid willen veranderen. Je kunt het ook omdraaien, als er geen kracht werkt, dan verandert

Nadere informatie

Excel reader. Beginner Gemiddeld. bas@excel-programmeur.nl

Excel reader. Beginner Gemiddeld. bas@excel-programmeur.nl Excel reader Beginner Gemiddeld Auteur Bas Meijerink E-mail bas@excel-programmeur.nl Versie 01D00 Datum 01-03-2014 Inhoudsopgave Introductie... - 3 - Hoofdstuk 1 - Databewerking - 4-1. Inleiding... - 5-2.

Nadere informatie

Docentenhandleiding. AaBeeCee-Digitaal. Rekenen met Excel

Docentenhandleiding. AaBeeCee-Digitaal. Rekenen met Excel Docentenhandleiding AaBeeCee-Digitaal Rekenen met Excel 2005-2012 Instruct, Postbus 38, 2410 AA Bodegraven Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een

Nadere informatie

2.6 Spreadsheets met Excel

2.6 Spreadsheets met Excel 2.6 Spreadsheets met Excel LEERDOEL Het beheersen van de basisprincipes van werken met spreadsheets. Werken met spreadsheets leer je alleen maar door daadwerkelijk achter een computer te gaan zitten. Deze

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Het Excel Dashboard* 2010

Hoofdstuk 1: Het Excel Dashboard* 2010 Hoofdstuk 1: Het Excel Dashboard* 2010 1.0 Introductie Excel helpt om data beter te begrijpen door het in cellen (die rijen en kolommen vormen) in te delen en formules te gebruiken om relevante berekeningen

Nadere informatie

Examen VWO-Compex. Wiskunde A1 (nieuwe stijl)

Examen VWO-Compex. Wiskunde A1 (nieuwe stijl) Wiskunde A1 (nieuwe stijl) Examen VWO-Compex Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 27 mei 13.30 16.30 uur 20 03 Voor dit examen zijn maximaal 86 punten te behalen; het examen bestaat

Nadere informatie

Module 12: docentenhandleiding. Experimenteel lesprogramma nieuwe economie

Module 12: docentenhandleiding. Experimenteel lesprogramma nieuwe economie Module 12: docentenhandleiding Experimenteel lesprogramma nieuwe economie Verantwoording 2010 Stichting leerplanontwikkeling (SLO), Enschede Het auteursrecht op de modules voor Economie berust bij SLO.

Nadere informatie

Basis Excel cursus 2013

Basis Excel cursus 2013 Basis Excel cursus 2013 Learnit Training Gratis cursus Excel 2013 Deze Learnit cursus is ontwikkeld om u een indruk te geven van het rekenprogramma Excel 2013 en haar mogelijkheden. In zes lessen leert

Nadere informatie

Het maken van grafieken met Excel

Het maken van grafieken met Excel Het maken van grafieken met Excel Hoe vaak gebeurt het niet dat je bij een natuurkunde practicum een hele reeks meetgegevens verzameld hebt en dat je deze in een tabel en een grafiek in je verslag wilt

Nadere informatie

Inhoudsopgave Voorwoord 9 Nieuwsbrief 9 De website bij het boek 9 Introductie Visual Steps 10 Wat heeft u nodig? 11 Hoe werkt u met dit boek?

Inhoudsopgave Voorwoord 9 Nieuwsbrief 9 De website bij het boek 9 Introductie Visual Steps 10 Wat heeft u nodig? 11 Hoe werkt u met dit boek? Inhoudsopgave Voorwoord... 9 Nieuwsbrief... 9 De website bij het boek... 9 Introductie Visual Steps... 10 Wat heeft u nodig?... 11 Hoe werkt u met dit boek?... 11 Uw voorkennis... 12 Bonushoofdstukken...

Nadere informatie

ICT en grote datasets havo wiskunde A en vwo wiskunde A/C

ICT en grote datasets havo wiskunde A en vwo wiskunde A/C ICT en grote datasets havo wiskunde A en vwo wiskunde A/C Workshop Noordhoff wiskundecongres 19 november 2015 Matthijs van Maarseveen, Stijn Voets en Mark Haneveld Opbouw workshop 1. Demonstratie Exceltabellen

Nadere informatie

Statistiek met Excel. Schoolexamen en Uitbreidingsopdrachten. Dit materiaal is gemaakt binnen de Leergang Wiskunde schooljaar 2013/14

Statistiek met Excel. Schoolexamen en Uitbreidingsopdrachten. Dit materiaal is gemaakt binnen de Leergang Wiskunde schooljaar 2013/14 Statistiek met Excel Schoolexamen en Uitbreidingsopdrachten 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Schoolexamen Wiskunde VWO: Statistiek met grote datasets... 5 Uibreidingsopdrachten vwo 5... 6 Schoolexamen

Nadere informatie

Grafieken en reken oefeningen in Excel. De boekhouding van je. bedrijf kun je goed doen in Excel. Nog beter leren. omgaan met Word

Grafieken en reken oefeningen in Excel. De boekhouding van je. bedrijf kun je goed doen in Excel. Nog beter leren. omgaan met Word Grafieken en reken oefeningen in Excel. omgaan met Word De boekhouding van je Nog beter leren bedrijf kun je goed doen in Excel. Informatiekunde Omgaan met Excel College De Heemlanden 2005. Informatiekunde

Nadere informatie

Experiment: massadichtheid

Experiment: massadichtheid Inleiding In deze workshop willen we aan de hand van een praktijkvoorbeeld voor de lessen fysica in het derde jaar aangeven hoe de TI-83 plus een handig hulpmiddel kan zijn bij het verwerken van meetresultaten.

Nadere informatie

Examen VWO - Compex. wiskunde A1

Examen VWO - Compex. wiskunde A1 wiskunde A1 Examen VWO - Compex Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 25 mei totale examentijd 3 uur 20 05 Vragen 14 tot en met 21 In dit deel staan de vragen waarbij de computer

Nadere informatie

Handleiding aanpassen Cito-excelbestanden

Handleiding aanpassen Cito-excelbestanden Handleiding aanpassen Cito-excelbestanden M. van den Berg GION Februari 2015 Analyse Cito-opgaven 1) Neem het blad Analyse Cito-toetsopgaven voor u; 2) Pak de Cito-toets die u wilt invoeren voor u; 3)

Nadere informatie

Het csv bestand gaan we nu inlezen in Coach. Open Coach; log in als docent; kies nieuwe activiteit ; meten. (Je hoeft geen meetpaneel te kiezen.

Het csv bestand gaan we nu inlezen in Coach. Open Coach; log in als docent; kies nieuwe activiteit ; meten. (Je hoeft geen meetpaneel te kiezen. Data analyse HiSPARC Analyse met Coach C.G.N. van Veen 1 Inleiding Dit werkblad helpt leerlingen en docenten om data analyse van HiSPARC met het software pakket Coach (6 of 7) te doen. Coach (6 of 7) is

Nadere informatie

Willem van Ravenstein 2007

Willem van Ravenstein 2007 Inhoud van ruimtelijke figuren Inhoud van omwentelingslichamen Lengte van een kromme Differentiaalvergelijkingen Richtingsvelden Standaardtypen differentiaalvergelijkingen Losse eindjes, tips & truuks

Nadere informatie

Een formule is een berekening die jij zelf maakt in Excel. Een formule begint met het isgelijkteken en bevat celverwijzingen.

Een formule is een berekening die jij zelf maakt in Excel. Een formule begint met het isgelijkteken en bevat celverwijzingen. Formules Een formule is een berekening die jij zelf maakt in Excel. Een formule begint met het isgelijkteken en bevat celverwijzingen. Figuur 1. Elke formule begint met = Stappen bij het maken van een

Nadere informatie

SNEL WERKEN MET EXCEL

SNEL WERKEN MET EXCEL SNEL WERKEN MET EXCEL 2013 Computertraining voor 50-plussers PC50plus computertrainingen Eikbosserweg 52 1214AK Hilversum tel: 035 6213701 info@pc50plus.nl www.pc50plus.nl Snel werken met Excel C O M P

Nadere informatie

Hoofdstuk 14: Datum & Tijdfuncties

Hoofdstuk 14: Datum & Tijdfuncties Hoofdstuk 14: Datum & Tijdfuncties 14.0 Inleiding Twee van de meest voorkomende en belangrijke velden in databases, logboeken, projectmanagement bestanden etc. zijn datums en tijden. Excel kan deze datums/tijden

Nadere informatie

Hoofdstuk 20: Wiskundige functies

Hoofdstuk 20: Wiskundige functies Hoofdstuk 20: Wiskundige functies 20.0 Introductie Er is een uitgebreid aanbod aan wiskundige functies in Excel, variërend van het simpele + teken tot de esoterische statistiek functies voor een correlatie

Nadere informatie

Uit De Ophaalbrug, werkmateriaal bij de overstap basisonderwijs voortgezet onderwijs, sept. 2003

Uit De Ophaalbrug, werkmateriaal bij de overstap basisonderwijs voortgezet onderwijs, sept. 2003 Uit De Ophaalbrug, werkmateriaal bij de overstap basisonderwijs voortgezet onderwijs, sept. 2003 REKENEN-WISKUNDE VERSLAG Samenstelling De BOVO-kwaliteitsgroep rekenen-wiskunde bestond uit: Sira Kamermans,

Nadere informatie

www.digitalecomputercursus.nl 6. Reeksen

www.digitalecomputercursus.nl 6. Reeksen 6. Reeksen Excel kan datums automatisch uitbreiden tot een reeks. Dit betekent dat u na het typen van een maand Excel de opdracht kan geven om de volgende maanden aan te vullen. Deze voorziening bespaart

Nadere informatie

Grafieken tekenen met de computer

Grafieken tekenen met de computer Grafieken tekenen met de computer Inleiding In de natuurwetenschappen doe je vaak onderzoek. Je meet dan bepaalde dingen op en zet deze in een tabel. Van jou wordt dan meestal verwacht dat je er een grafiek

Nadere informatie

Spreadsheets (Excel 2003)

Spreadsheets (Excel 2003) Spreadsheets (Excel 2003) 14 Toevoegen paragraaf 14.5 14.5 Subtotalen, draaitabellen en ALS In deze paragraaf bespreken we een aantal aanvullende functies in Excel. We beginnen met de subtotalen. Een subtotaal

Nadere informatie

GRIEPVACCINATIE 2012. Waardoor komt het? Wat zijn de verschijnselen? Adviezen

GRIEPVACCINATIE 2012. Waardoor komt het? Wat zijn de verschijnselen? Adviezen GRIEPVACCINATIE 2012 De griepprik zal dit jaar op woensdag 14 november worden gegeven, tussen 15 en 18 uur. Mensen die ervoor in aanmerking komen krijgen ongeveer 2 weken van tevoren een uitnodiging toegestuurd.

Nadere informatie

Grieppandemie. Wat moet u weten over een grieppandemie (wereldgriep)?

Grieppandemie. Wat moet u weten over een grieppandemie (wereldgriep)? Grieppandemie Wat moet u weten over een grieppandemie (wereldgriep)? Grieppandemie 2 Wat leest u in deze folder? Deze folder gaat over een grieppandemie (wereldgriep). U leest de antwoorden op 10 belangrijke

Nadere informatie

Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429)

Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429) Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429) - een lijst met operationele en concrete doelen van de lessenserie, indien mogelijk gerelateerd

Nadere informatie

HP Prime: Spreadsheet App

HP Prime: Spreadsheet App HP Prime Graphing Calculator HP Prime: Spreadsheet App Meer over de HP Prime te weten komen: http://www.hp-prime.nl De Spreadsheet-App op de HP Prime Misschien heb je al eens gewerkt met een spreadsheet,

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1,2 Compex. Vragen 11 tot en met 17. In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer wel wordt gebruikt.

Examen VWO. wiskunde A1,2 Compex. Vragen 11 tot en met 17. In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer wel wordt gebruikt. Examen VWO 2008 tijdvak 1 maandag 19 mei totale examentijd 3 uur wiskunde A1,2 Compex Vragen 11 tot en met 17 In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer wel wordt gebruikt. Bij dit

Nadere informatie

Wiskundige vaardigheden

Wiskundige vaardigheden Inleiding Bij het vak natuurkunde ga je veel rekenstappen zetten. Het is noodzakelijk dat je deze rekenstappen goed en snel kunt uitvoeren. In deze presentatie behandelen we de belangrijkste wiskundige

Nadere informatie

Leren werken met Excel en Tabellen maken

Leren werken met Excel en Tabellen maken Leren werken met Excel en Tabellen maken Loek Halman & Josja Rokven I. Leren werken met Excel Instructie Excel is een van de meest gebruikte programma s. Het is bijna onmisbaar voor iedereen de veel met

Nadere informatie

Examen HAVO. biologie Compex. Vragen 32 tot en met 46. In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer wel wordt gebruikt.

Examen HAVO. biologie Compex. Vragen 32 tot en met 46. In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer wel wordt gebruikt. Examen HAVO 2007 tijdvak 1 vrijdag 25 mei totale examentijd 3,5 uur biologie Compex Vragen 32 tot en met 46 In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer wel wordt gebruikt. Bij dit examen

Nadere informatie

Dynamische modellen havo v1.1

Dynamische modellen havo v1.1 Dynamische modellen havo v1.1 geboorten bevolking sterfte gecertificeerde NLT module voor havo Colofon De module Dynamische modellen havo is bestemd voor de lessen Natuur, Leven en Technologie (NLT). De

Nadere informatie

II. ZELFGEDEFINIEERDE FUNCTIES

II. ZELFGEDEFINIEERDE FUNCTIES II. ZELFGEDEFINIEERDE FUNCTIES In Excel bestaat reeds een uitgebreide reeks van functies zoals SOM, GEMIDDELDE, AFRONDEN, NU enz. Het is de bedoeling om functies aan deze lijst toe te voegen door in Visual

Nadere informatie

09 H7 Dubbele implicaties. CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie.

09 H7 Dubbele implicaties. CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. Auteur Its Academy Laatst gewijzigd Licentie Webadres 29 November 2014 CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie http://maken.wikiwijs.nl/46161 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijsleermiddelenplein.

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten

Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

Grafieken in Word. Soort 1 2 5 10 12 15 20 30 Leven 4,8 4,9 5,1 5,5 5,6 5,8 6,0 6,2 Annuïteiten 4,9 5,1 5,3 5,7 5,8 6,0 6,2 6,5

Grafieken in Word. Soort 1 2 5 10 12 15 20 30 Leven 4,8 4,9 5,1 5,5 5,6 5,8 6,0 6,2 Annuïteiten 4,9 5,1 5,3 5,7 5,8 6,0 6,2 6,5 Les 16 Grafieken in Word In deze les leert u hoe u gegevens weergeeft in de vorm van een grafiek. Ook past u het uiterlijk, de schaal en het type grafiek aan. Een grafiek maken Eén plaatje zegt meer dan

Nadere informatie

Handleiding voor de leerling

Handleiding voor de leerling Handleiding voor de leerling Inhoudopgave Inleiding blz. 3 Hoe pak je het aan? blz. 4 Taken blz. 5 t/m 9 Invulblad taak 1 blz. 10 Invulblad hoofd- en deelvragen blz. 11 Plan van aanpak blz. 12 Logboek

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B1. tijdvak 1 dinsdag 20 mei 13.30-16.30 uur

Examen HAVO. wiskunde B1. tijdvak 1 dinsdag 20 mei 13.30-16.30 uur Examen HAVO 2008 tijdvak 1 dinsdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B1 Dit examen bestaat uit 20 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met

Nadere informatie

Vermogen snelheid van de NXT

Vermogen snelheid van de NXT Vermogen snelheid van de NXT Inleiding In deze meting gaan we op zoek naar een duidelijk verband tussen de vermogens die je kunt instellen op de LEGO NXT en de snelheid van het standaardwagentje uit het

Nadere informatie

Examen VWO 2015. wiskunde C. tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2015. wiskunde C. tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2015 tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur wiskunde C Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 22 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Modelleren. universiteit Twente. Wiskunde in wetenschap vwo D

Modelleren. universiteit Twente. Wiskunde in wetenschap vwo D Wiskunde in wetenschap vwo D Modelleren Startmodule wiskundig modelleren 1. Modelleren, wat is dat? 2. Modelleercyclus 3. Jezelf vragen leren stellen 4. Enkele modelsituaties Bijlage: Mogelijke hulpvragen

Nadere informatie

Praktische toepassing van functies

Praktische toepassing van functies Excellerend Heemraadweg 21 2741 NC Waddinxveen 06 5115 97 46 richard@excellerend.nl BTW: NL0021459225 ABN/AMRO: NL72ABNA0536825491 KVK: 24389967 Praktische toepassing van functies De laatste twee functies

Nadere informatie

3. Een dia met een grafiek met Excel 2007

3. Een dia met een grafiek met Excel 2007 1 3. Een dia met een grafiek met Excel 2007 In een presentatie zullen uw toehoorders snel de draad kwijtraken wanneer u sheets vol getallen en tabellen laat zien. Een grafiek is dan vaak een stuk overzichtelijker.

Nadere informatie

Een toekomst voor ieder kind. www.altra.nl

Een toekomst voor ieder kind. www.altra.nl Een toekomst voor ieder kind www.altra.nl Excel Tips en trucs Knippen/kopiëren Kolommen verplaatsen Het is handig om de kolommen met de module en locatie als eerste twee in het overzicht te hebben. Selecteer

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 19 juni 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden

Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen

Nadere informatie

Handicom. Symbol for Windows. Image Manager. (Versie 4) Handicom, 2011, Nederland

Handicom. Symbol for Windows. Image Manager. (Versie 4) Handicom, 2011, Nederland Handicom Symbol for Windows Image Manager (Versie 4) Handicom, 2011, Nederland Inhoud Inleiding... 2 1. Image Manager hoofdscherm...3 1.1 Onderdelen van het venster...3 1.2 Het scherm veranderen...3 1.2.1

Nadere informatie

vwo: Het maken van een natuurkunde-verslag vs 21062011

vwo: Het maken van een natuurkunde-verslag vs 21062011 Het maken van een verslag voor natuurkunde, vwo versie Deze tekst vind je op www.agtijmensen.nl: Een voorbeeld van een verslag Daar vind je ook een po of pws verslag dat wat uitgebreider is. Gebruik volledige

Nadere informatie

Inhoud. Inleiding 7. 1. Medische achtergrondkennis 9 - Anatomie en fysiologie 10 - Ziektebeelden 17

Inhoud. Inleiding 7. 1. Medische achtergrondkennis 9 - Anatomie en fysiologie 10 - Ziektebeelden 17 Inhoud Inleiding 7 1. 9 - Anatomie en fysiologie 10 - Ziektebeelden 17 2. Zorgvraag verhelderen 23 - Recepten 24 - Zelfzorgvragen 30 3. Geneesmiddelen 37 - Medicijnen tegen griep en verkoudheid 38 - De

Nadere informatie

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm Functies Verdieping 6N-p 01-014 gghm Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de bijbehorende grafiek. Je mag de GRM hierbij gebruiken. Y f ( x)

Nadere informatie

Afdrukken in Calc Module 7

Afdrukken in Calc Module 7 7. Afdrukken in Calc In deze module leert u een aantal opties die u kunt toepassen bij het afdrukken van Calc-bestanden. Achtereenvolgens worden behandeld: Afdrukken van werkbladen Marges Gedeeltelijk

Nadere informatie

REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS

REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS Schooljaar 008/009 Inhoud Uitleg bij het boekje Weektaak voor e week: optellen en aftrekken Weektaak voor e week: vermenigvuldigen Weektaak voor e week: delen en de staartdeling

Nadere informatie

Compex wiskunde A1-2 vwo 2004-I

Compex wiskunde A1-2 vwo 2004-I KoersSprint In deze opgave gebruiken we enkele Excelbestanden. Het kan zijn dat de uitkomsten van de berekeningen in de bestanden iets verschillen van de exacte waarden door afrondingen. Verder kunnen

Nadere informatie

Netwerk 3 basis docentenhandleiding. Docentenhandleiding deel 3A en 3B basis. Inhoud deel 3A. Inhoud deel 3B

Netwerk 3 basis docentenhandleiding. Docentenhandleiding deel 3A en 3B basis. Inhoud deel 3A. Inhoud deel 3B Docentenhandleiding deel 3A en 3B basis Inhoud deel 3A Hoofdstuk 1 Plaatsbepalen Hoofdstuk 2 Grafieken en tabellen Hoofdstuk 3 Rekenen Hoofdstuk 4 Informatieverwerking Hoofdstuk 5 Tekenen en rekenen Computer

Nadere informatie

5 FORMULES EN FUNCTIES

5 FORMULES EN FUNCTIES 72 5 FORMULES EN FUNCTIES Dit hoofdstuk behandelt één van de belangrijkste aspecten van spreadsheet programma s: het rekenen met formules en functies. 5.1 Formules invoeren Bij dit onderwerp gebruikt u

Nadere informatie

3 Het Foto Elektrisch Effect. CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. http://maken.wikiwijs.nl/51931

3 Het Foto Elektrisch Effect. CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. http://maken.wikiwijs.nl/51931 Auteur Its Academy Laatst gewijzigd Licentie Webadres 08 May 2015 CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie http://maken.wikiwijs.nl/51931 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijsleermiddelenplein.

Nadere informatie

IMMUUN WORDEN EN BLIJVEN

IMMUUN WORDEN EN BLIJVEN IMMUUN WORDEN EN BLIJVEN Gezond zijn vinden we belangrijk. Je merkt het misschien niet, maar we komen veel ziekteverwekkers tegen in ons dagelijks leven. Het lichaam heeft allerlei manieren om die ziekteverwekkers

Nadere informatie

Verkoudheid; virale infectie; respiratoir syncytieel virus; vaccins; antivirale middelen

Verkoudheid; virale infectie; respiratoir syncytieel virus; vaccins; antivirale middelen Niet-technische samenvatting 2015107 1 Algemene gegevens 1.1 Titel van het project Dierstudies in het kader van ontwikkeling van medicijnen voor het behandelen en voorkomen van virale infecties aan de

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 = e 5,00 e 3,70 e,58 = e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 + e 3,9) = e 5,00 3 e 5, = e 5,00 e 0,8 = e,7 V-a 3 = 3 9 = 7 b 9 (5 ) = 9 (5 ) = 9 = c 0 3 = 000 3 =

Nadere informatie

vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 14 Algebraïsche vaardigheden 15 Toetsen van hypothesen 16 Toepassingen van de differentiaalrekening

vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 14 Algebraïsche vaardigheden 15 Toetsen van hypothesen 16 Toepassingen van de differentiaalrekening vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 13.1 Kansberekeningen 13.2 Kansmodellen 13.3 De normale verdeling 13.4 De n -wet 13.5 Discrete en continue verdelingen 13.6 Diagnostische toets 14 Algebraïsche

Nadere informatie