Wiskunde Olympiade. Quintijn Puite 19 maart 2009 Bachelorcolloquium (TU/e) / department of mathematics and computer science 1/55

Transcriptie

1 Wiskunde Olympiade Quintijn Puite 19 maart 2009 Bachelorcolloquium (TU/e) / department of mathematics and computer science 1/55

2 De Wiskunde Olympiade in het kort Jaarlijkse wiskundewedstrijd, bestaande uit eerste ronde (de voorrondes) op de scholen tweede ronde (de finale) op de TU/e internationale ronde in het buitenland Cyclus van twee jaar Doelgroep: middelbare scholieren met aanleg voor en plezier in wiskunde / department of mathematics and computer science 2/55

3 Doelstellingen Sinds... Belangstelling voor de wiskunde wekken Leerlingen kennis laten maken met opgaven die iets laten zien van ongebruikelijke, leuke en speelse wiskunde Ontdekken van toptalent Internationale Wiskunde Olympiade sinds 1959 Nederlandse Wiskunde Olympiade sinds 1962 Sinds 1969 ook deelname aan de IMO Sinds 1979 scholenprijs / department of mathematics and computer science 3/55

4 Andere Nederlandse wiskundewedstrijden Pythagoras-olympiade (elk nummer) Nijmegen Wiskunde Toernooi (september) Wiskunde A-lympiade en Wiskunde B-dag (november) Kangoeroe-wiskunde wedstrijd (maart/april) Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade (LIMO) (juni) / department of mathematics and computer science 4/55

5 Andere Olympiades Natuurkunde Olympiade Scheikunde Olympiade Biologie Olympiade Informatica Olympiade Aardrijkskunde Olympiade Taalkunde Olympiade / department of mathematics and computer science 5/55

6 De organisatie Stichting Nederlandse Wiskunde Olympiade: 6 bestuursleden Opgavencommissie: 7 personen Trainer en assistent-trainers (oud-deelnemers): 7 personen Teamleider en vice-teamleider IWO: 2 personen Assistentie bij tweede ronde door het oude team / department of mathematics and computer science 6/55

7 Sponsors De Nederlandse Wiskunde Olympiade wordt mede mogelijk gemaakt door de volgende sponsors: TU/e - Technische Universiteit Eindhoven: Faculteit Wiskunde en Informatica Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap DIAMANT - Discrete Interactive and Algorithmic Mathematics Algebra and Number Theory DIAMANT is één van de drie NWO clusters voor wiskundeonderzoek in Nederland, een samenwerkingsverband tussen de universiteiten van Eindhoven, Leiden, Nijmegen en het CWI in Amsterdam. NOCW - Nederlandse Onderwijs Commissie Wiskunde KWG - Koninklijk Wiskundig Genootschap CITO - Centraal Instituut Toets Ontwikkeling / department of mathematics and computer science 7/55

8 Sponsors (vervolg) ORTEC ORTEC is een onafhankelijke en toonaangevende organisatie op het gebied van consultancy en ontwikkeling van geavanceerde systemen voor resource-planning en -optimalisatie. Hierbij speelt wiskunde een doorslaggevende rol. FORTIS Saen Options BV Saen Options biedt werk aan handelaren op de financiële markten; daarbij spelen wiskunde en wiskundigen een belangrijke rol. TDTF - The Derivatives Technology Foundation TDTF stimuleert de samenwerking tussen de academische wereld en de wereld van de handel in financiële derivaten, waar wiskundige modellen op grote schaal gebruik worden. Transtrend BV Bij Transtrend ontwikkelen vindingrijke bèta s systematische handelsstrategieëen waarmee het vermogen van professionele beleggers wordt beheerd. / department of mathematics and computer science 8/55

9 Sponsors (vervolg) Stichting Compositio Mathematica Compositio Mathematica is het wiskundetijdschrift dat de vooraanstaande Nederlandse wiskundige L.E.J. Brouwer in 1935 heeft opgericht, en dat nog steeds topklasse wiskunde publiceert. Universiteit Utrecht, Mathematisch Instituut Nederlandse Vereniging voor Wiskundeleraren Epsilon Uitgaven Natuurwetenschap & Techniek CAN Wolfram Research (bekend van Mathematica) Nederlandse Spoorwegen / department of mathematics and computer science 9/55

10 Een probleem Is het mogelijk om de 62 hokjes van dit rooster te bedekken met 31 dominosteentjes? 31 / department of mathematics and computer science 10/55

11 Een eenvoudiger probleem Is het mogelijk om de 14 hokjes van dit rooster te bedekken met 7 dominosteentjes? 7 / department of mathematics and computer science 11/55

12 Een eenvoudiger probleem Is het mogelijk om de 14 hokjes van dit rooster te bedekken met 7 dominosteentjes? 7 Poging: / department of mathematics and computer science 12/55

13 Het oorspronkelijke probleem Is het mogelijk om de 62 hokjes van dit rooster te bedekken met 31 dominosteentjes? 31 / department of mathematics and computer science 13/55

14 Het oorspronkelijke probleem Is het mogelijk om de 62 hokjes van dit rooster te bedekken met 31 dominosteentjes? / department of mathematics and computer science 14/55

15 Problem solving Gebruikte strategieën in dit geval: Eenvoudiger geval eerst bekijken (4 4-bord) Extra structuur toevoegen (schaakbordpatroon) Nuttige technieken: Volledige inductie Ladenprincipe Inclusie/exclusie Extremumprincipe Invariantie... Stelling: Wiskunde is probleemoplossen? / department of mathematics and computer science 15/55

16 Nog een probleem Is het mogelijk een rechthoek van 9 16 vakjes te onderverdelen in 24 stenen van 1 6? 24 Bron: Mijn Mooiste Mathe van Leon van den Broek (zie ook Pythagoras, jrg 44, nr. 5 (2005)). / department of mathematics and computer science 16/55

17 We brengen weer een kleuring aan... Is het mogelijk een rechthoek van 9 16 vakjes te onderverdelen in 24 stenen van 1 6? / department of mathematics and computer science 17/55

18 ... en gaan goed tellen Is het mogelijk een rechthoek van 9 16 vakjes te onderverdelen in 24 stenen van 1 6? Generalisatie: met 1 n stenen kun je alleen maar flauwe rechthoeken leggen: de lengte of breedte van die rechthoek moet een n-voud zijn. / department of mathematics and computer science 18/55

19 Contents 1 Eerste ronde 20 2 Tweede ronde 25 3 Training november - juni 32 4 Internationale Wiskunde Olympiade 46 / department of mathematics and computer science 19/55

20 1. Eerste ronde Tijdstip: eind januari Plaats: op de aangemelde scholen in Nederland Tijdsduur: 2 uur 8 A-opgaven: in meerkeuzevorm (2 punten) 4 B-opgaven: open opgaven met een getal als antwoord (5 ptn) totaal 36 punten Dit jaar (vrijdag 30 januari 2009) 230 (vorig jaar: 201) scholen aangemeld 4379 (vorig jaar: 3004) leerlingen uit 5-vwo (44%), 4-vwo (34%), 1e/2e/3e (14%), 4-h (5%) en 5-h (3%) / department of mathematics and computer science 20/55

21 Opgave A6 Wouter gaat lopend van zijn huis naar zijn sportclub. Hij had ook zijn racefiets kunnen pakken; daarmee gaat de tocht zeven keer zo snel. Maar die liet hij thuis staan. Na 1 km is hij op een punt aangekomen dat het in tijd niets uitmaakt of hij verder doorloopt of juist naar huis terugloopt om alsnog met zijn racefiets te gaan. Hoeveel km is hij op dat moment nog verwijderd van zijn sportclub? (A) 8 7 (B) 7 6 (C) 6 5 (D) 5 4 (E) 4 3 / department of mathematics and computer science 21/55

22 Opgave A6 Oplossing (35% goed): Noem tijd die Wouter over de eerste kilometer gedaan heeft voor het gemak een kwartier. Noem x de gevraagde afstand. Hij is dus al een kwartier aan het lopen over die ene km. Doorlopen kost hem dan x kwartier. Teruggaan naar huis en dan op de fiets kost eerst weer 1 kwartier lopen en dan 1+x 7 kwartier fietsen; de fiets gaat immers 7 keer zo snel. Dan moet dus wel x = x 7, dus 7x = 7 + (1 + x), oftewel 6x = 8. Conclusie: x = 8 6 = 4 3. / department of mathematics and computer science 22/55

23 Opgave A Op de zijden van een gelijkzijdige driehoek worden drie vierkanten getekend. De zijden van de vierkanten die evenwijdig zijn met de zijden van de driehoek worden verlengd tot ze elkaar snijden. De drie snijpunten vormen weer een gelijkzijdige driehoek. De lengte van de zijde van de oorspronkelijke driehoek is 1. Wat is de lengte van de zijde van de grote gelijkzijdige driehoek? (A) (B) (C) 3 2 (D) (E) 2 6 / department of mathematics and computer science 23/55

24 Opgave A7 Oplossing (41% goed): In ABC is A de helft van 60, dus 30. Verder is BC = 1. A 2 3 B C 1 C recht, dus ABC is een driehoek met Het is dus de helft van een gelijkzijdige driehoek met lengte van de zijden 2: AB = 2. De lengte van AC berekenen we nu met Pythagoras: AC = = 3. Dus de gevraagde lengte is / department of mathematics and computer science 24/55

25 2. Tweede ronde Tijdstip: half september Plaats: op de TU/e Tijdsduur: 3 uur 5 open opgaven die moeten worden uitgewerkt totaal 50 punten Afgelopen jaar (vrijdag 12 september 2008) 123 leerlingen die bij de eerste ronde minstens 26 of 22 of 18 (/36) punten hadden 10 leerlingen van de Kangoeroe-wedstrijd en de Pythagorasolympiade Resultaat: de 10 prijswinnaars hadden 36,..., 50 punten / department of mathematics and computer science 25/55

26 Tweede Ronde Training Nieuw sinds Voor alle ca. 130 leerlingen die voor de tweede ronde worden uitgenodigd. Drie trainingsdagen van 11:00-16:00. UvA (Amsterdam) TU/e (Eindhoven) UL (Leiden) RU (Nijmegen) UT (Twente) UU (Utrecht) / department of mathematics and computer science 26/55

27 Tweede Ronde Training Onderwerpen: Inductie en priemgetallen Getaltheorie (delers, deelbaarheidscriteria, ggd en kgv) Meetkunde (driehoeken, vierhoeken, congruentie, gelijkvormigheid) Bewijsmethoden (ongerijmde, extremenprincipe, ladenprincipe) / department of mathematics and computer science 27/55

28 Opgave 2 Bepaal alle paren positieve gehele getallen (m, n) waarvoor geldt 3 2 n + 1 = m 2. / department of mathematics and computer science 28/55

29 De vergelijking laat zich herschrijven tot 3 2 n = (m 1)(m +1). Vanwege n > 0 is 3 2 n even, dus m 1 of m + 1 is even, dus beide zijn even. Omdat het verschil tussen m 1 en m + 1 slechts 2 is, kunnen ze niet beide meer dan één factor 2 bevatten, dus bevat één van de twee factoren m 1 en m + 1 precies één factor 2. Deze ene factor bevat al dan niet ook de factor 3 en is dus gelijk aan 2 of 6; de andere factor is 2 hoger of juist 2 lager. Als de ene factor 2 is, dan moet de andere factor dus 0 of 4 zijn, wat in beide gevallen geen oplossing geeft (want de andere factor moet van de vorm 3 2 n 1 zijn). Als de ene factor 6 is, dan is de andere 4 of 8, en beide mogelijkheden leiden tot een oplossing (want de andere factor moet nu van de vorm 2 n 1 zijn). We concluderen dat er precies twee oplossingen zijn: (m, n) = (5, 3) en (m, n) = (7, 4). / department of mathematics and computer science 29/55

30 Opgave 3 Gegeven zijn 756 willekeurige verschillende gehele getallen tussen 1 en 2008 (waarbij 1 en 2008 ook mee mogen doen). Deze verzameling gekozen getallen noemen we S. Bewijs dat er twee verschillende gehele getallen a en b zijn in S waarvoor geldt dat a + b deelbaar is door 8. / department of mathematics and computer science 30/55

31 V 1 = {1, 9,..., 2001},..., V 8 = {8, 16,..., 2008}. Uit het ongerijmde. Stel dat er geen twee verschillende getallen a en b bestaan zodat a + b deelbaar is door 8. Omdat de som van twee achtvouden deelbaar is door 8, zit er hoogstens één getal uit S in V 8. Omdat de som van een achtvoud plus 4 en een achtvoud plus 4 deelbaar is door 8, zit er ten hoogste één getal uit S in V 4. De som van een getal dat in bakje V 1 zit en een getal dat in bakje V 7 zit, is ook altijd deelbaar door 8, dus in minstens één van deze twee bakjes zitten geen getallen van S. In elk bakje zitten ten hoogste 251 getallen uit S, dus bevatten de bakjes V 1, V 2, V 3, V 5, V 6, V 7 samen ten hoogste = 753 getallen uit S. De bakjes V 1 tot en met V 8 bevatten daarom ten hoogste 755 getallen uit S. Tegenspraak, want er zitten 756 getallen in S en elk getal moet ergens in een bakje zitten. / department of mathematics and computer science 31/55

32 3. Training november - juni Deelnemers: 30 leerlingen (10 prijswinnaars + nog 20; ca. 10 per klas 4-vwo, 5-vwo, 6-vwo) Trainingsweekend begin november en begin februari (Valkenswaard) Drie trainingsdagen (december, januari, maart) (op TU/e of bij Transtrend) Trainingsweek begin juni (na CE) (Valkenswaard) Wekelijks lesbriefopgaven en inleveropdrachten / department of mathematics and computer science 32/55

33 Onderwerpen Onderwerpen: Algebra Combinatoriek Getaltheorie Meetkunde / department of mathematics and computer science 33/55

34 Algebra Ongelijkheden (de gemiddeldes; Cauchy-Schwarz; herschikking; Jensen;...) Polynomen (fundamental theorem of algebra); Vieta; Eisenstein; symmetrische polynomen Recurrente betrekkingen Functievergelijkingen / department of mathematics and computer science 34/55

35 Combinatoriek inclusie/exclusie binomiaalcoëfficiënten ladenprincipe / department of mathematics and computer science 35/55

36 Getaltheorie Euclidisch algoritme; priemontbinding; Chinese reststelling kleine stelling van Fermat; Euler-Fermat; Primitieve wortels; Pell s vergelijking / department of mathematics and computer science 36/55

37 Meetkunde rechte van Wallace; bissectricestelling; Appolonius; driehoeken: hoogtepunt H, middelpunt omcirkel O, middelpunt incirkel I, zwaartepunt G, rechte van Euler(H- -G-O); Ceva; Menelaos; Desargues; Pascal (Pappus); Brianchon; Ptolemaeus (koordenvierhoeken) inversie / department of mathematics and computer science 37/55

38 Opgave uit de wekelijkse training Bepaal op hoeveel nullen 1000! eindigt. / department of mathematics and computer science 38/55

39 Opgave uit de wekelijkse training Bepaal op hoeveel nullen 1000! eindigt. Oplossing: Het gaat om factoren 10 = 2 5, dus 2 en 5. Eerst 5: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,..., 23, 24, 25, 26, 27,..., 1000 Aantal 5-vouden: = 200 Aantal 25-vouden: = 40 Aantal 125-vouden: = 8 Aantal 625-vouden: = 1, dus 249 maal priemfactor Aantal factoren 2: =994 Dus aantal factoren 10 is 249 / department of mathematics and computer science 39/55

40 Opgave uit de wekelijkse training Bewijs dat geen priemgetal is en geef minstens drie priemfactoren ervan. / department of mathematics and computer science 40/55

41 Opgave uit de wekelijkse training Bewijs dat geen priemgetal is en geef minstens drie priemfactoren ervan. Oplossing: a 2 1 = (a + 1)(a 1) dus = ( )(2 64 1) = = ( )( )( )( )( )( )(2 2 1) ( ) = 17, ( ) = 5 en (2 2 1) = 3 / department of mathematics and computer science 41/55

42 Opgave uit de eindtoets begin juni Als we een verzameling punten in de ruimte hebben, mogen we een punt van de verzameling spiegelen in een ander punt van de verzameling en het beeld hiervan toevoegen aan de verzameling. Als we beginnen met een verzameling bestaande uit zeven van de acht hoekpunten van een kubus, kunnen we dan het achtste hoekpunt in de verzameling krijgen na een eindig aantal stappen? / department of mathematics and computer science 42/55

43 Opgave uit de eindtoets begin juni Als we een verzameling punten in de ruimte hebben, mogen we een punt van de verzameling spiegelen in een ander punt van de verzameling en het beeld hiervan toevoegen aan de verzameling. Als we beginnen met een verzameling bestaande uit zeven van de acht hoekpunten van een kubus, kunnen we dan het achtste hoekpunt in de verzameling krijgen na een eindig aantal stappen? Oplossing: x spiegelen in een punt y op de getallen lijn geeft spiegelbeeld S y (x) = y (x y) = 2y x In de ruimte: S (y1,y 2,y 3 )(x 1, x 2, x 3 ) = (2y 1 x 1, 2y 2 x 2, 2y 3 x 3 ) Pariteit van de coördinaten is invariant 8 kleuren Bekijk kubus (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1) / department of mathematics and computer science 43/55

44 Opgave uit de eindtoets begin juni Zij R >0 de verzameling van positieve reële getallen. Laat a R >0 gegeven zijn. Vind alle functies f : R >0 R zodanig dat f (a) = 1 en x, y R >0 : f (x) f (y) + f ( a x ) f (a y ) = 2 f (xy). / department of mathematics and computer science 44/55

45 Opgave uit de eindtoets begin juni Zij R >0 de verzameling van positieve reële getallen. Laat a R >0 gegeven zijn. Vind alle functies f : R >0 R zodanig dat f (a) = 1 en x, y R >0 : f (x) f (y) + f ( a x ) f (a y ) = 2 f (xy). Oplossing: x = a en y = 1 geeft f (1) = 1 y = 1 geeft f (x) f (1) + f ( a x ) f (a 1 ) = 2 f (x 1), dus f (x) = f (a x ) dus f (x) f (y) = f (xy) f (x) f (x) = f (x) f ( a ax x ) = f (x ) = f (a) = 1 dus voor elke x R >0 geldt f (x) = 1 of f (x) = 1 f (x) = f ( x x) = f ( x) f ( x) = (±1) 2 = 1 f : R >0 R: x 1 voldoet ook daadwerkelijk / department of mathematics and computer science 45/55

46 4. Internationale Wiskunde Olympiade Tijdstip: half juli Nederlands team: 6 leerlingen ca. 100 landen, ca. 500 deelnemers Plaats: Slovenië (2006), Viëtnam (2007), Spanje (2008), Duitsland (2009), Kazachstan (2010), Nederland (2011) 2 3 open opgaven die moeten worden uitgewerkt Tijdsduur: uur totaal 42 punten / department of mathematics and computer science 46/55

47 49ste IMO in Madrid, Spanje, juli juli aankomst juryleden 14 juli aankomst deelnemers 15 juli openingsceremony 16 en 17 juli de wedstrijd 21 juli sluitingsceremony 22 juli vertrek Resultaat: 8, 10, 16, 16, 22, 22 punten 2 bronzen medailles; 2 zilveren medailles Nederland 33ste van de 97 (met 94 punten) Beste landen China (217), Rusland (199), USA (190) / department of mathematics and computer science 47/55

48 Opgaven dag 1: opgave 1 Zij gegeven een scherphoekige driehoek ABC met hoogtepunt H. De cirkel door H met middelpunt het midden van de zijde BC snijdt de lijn BC in A 1 en A 2. De cirkel door H met middelpunt het midden van de zijde C A snijdt de lijn C A in B 1 en B 2 en de cirkel door H met middelpunt het midden van de zijde AB snijdt de lijn AB in C 1 en C 2. Bewijs dat A 1, A 2, B 1, B 2, C 1 en C 2 op een cirkel liggen. (meetkunde) / department of mathematics and computer science 48/55

49 Opgaven dag 1: opgave 2 (a) Bewijs dat voor alle reële getallen x = 1, y = 1 en z = 1 die voldoen aan xyz = 1 de volgende ongelijkheid geldt: x 2 (x 1) 2 + y 2 (y 1) 2 + z2 (z 1) 2 1. (b) Bewijs dat er gelijkheid geldt voor oneindig veel rationale getallen x = 1, y = 1 en z = 1 die voldoen aan xyz = 1. (algebra) / department of mathematics and computer science 49/55

50 Opgaven dag 1: opgave 3 Bewijs dat er oneindig veel positieve gehele getallen n zijn zodanig dat n een priemfactor groter dan 2n + 2n heeft. (getaltheorie) / department of mathematics and computer science 50/55

51 Opgaven dag 2: opgave 4 Vind alle functies f : R >0 R >0 die voldoen aan ( ) 2 ( ) 2 f (w) + f (x) f ( y 2) + f ( z 2) = w2 + x 2 y 2 + z 2 voor alle positieve reële getallen w, x, y, z met wx = yz. (algebra) / department of mathematics and computer science 51/55

52 Opgaven dag 2: opgave 5 Laat n > 0 en k > 0 positieve gehele getallen zijn met k n en k n even. We hebben 2n lampen gelabeld van 1 tot en met 2n; elke lamp kan aan of uit zijn. In het begin zijn alle lampen uit. We bekijken rijtjes van stappen: bij elke stap wordt een lamp die aan is uitgezet of een lamp die uit is aangezet. Zij N het aantal van zulke rijtjes van k stappen die eindigen in de toestand: de lampen 1,..., n zijn aan en de lampen n + 1,..., 2n zijn uit. Zij M het aantal van zulke rijtjes van k stappen die eindigen in de toestand: de lampen 1,..., n zijn aan en de lampen n + 1,..., 2n zijn uit, maar waarbij geen van de lampen n + 1,..., 2n ooit werd aangezet. Bepaal het quotiënt N/M. (combinatoriek) / department of mathematics and computer science 52/55

53 Opgaven dag 2: opgave 6 Zij ABC D een convexe vierhoek met B A = BC. Noem de ingeschreven cirkels van driehoeken ABC en ADC respectievelijk ω 1 en ω 2. Stel dat er een cirkel ω bestaat die raakt aan de halfrechte B A voorbij A en aan de halfrechte BC voorbij C en aan de lijnen AD en C D. Bewijs dat de gemeenschappelijke uitwendige raaklijnen van ω 1 en ω 2 elkaar snijden op ω. (meetkunde) / department of mathematics and computer science 53/55

54 Vragen? Opmerkingen? Algemene site Wiskunde Olympiade: Trainingssite: gpuite/lesbrief Quintijn Puite / department of mathematics and computer science 54/55

55 Huiswerkopdrachtje Beschrijf in een a4-tje waarom, naar je eigen mening, Olympiades wel of niet een essentieel deel van de wiskundewereld zijn. Welke wiskundekennis en wiskundevaardigheden uit je opleiding komen van pas bij Olympiadeproblemen? Is er ook iets wat je mist? / department of mathematics and computer science 55/55