Maximum: 100 points. In case you attended the guest lecture you get 10 bonus points extra.

Transcriptie

1 Exercises in English Maximum: 100 points. In case you attended the guest lecture you get 10 bonus points extra. 1. Chapter 2 of Luenberger (1998) You can score 25 points. 1. a) Explain the difference between a discretely compounded semiannual rate of 6% andacontinuouslycompoundedquarterlyrateof3%. [Hint: 1+r = (1+r/m) m and lim m (1+r/m) m = e r.] b) Transform a discretely compounded semiannual interest rate of 6% into a continuously compounded quarterly rate. 2. Consider a project with the following cash flow in Euros: ( 800, 200, 1000). Calculate the internal rate of return of this cash flow stream. Given that the prevailing interest rate is 20%, should you consider an investment in this project? (4 points) (7 points) 3. Alice has finished her bachelor in Econometrics and Operations Research and now has to make a choice between enrolling in a two-year Master s program or immediately starting to work. The only goal she has is maximizing the net present value of her total life income. Assume an interest rate of 5%. If she starts to work now, she can earne40,000 a year (paid at the end of each year) for the next 45 years. a) What is the net present value of her life income if she starts to work now? (5 points) If she enrolls in the Master s program, she first has to spend two years studying full time, paying a tuition fee ofe2,000 at the beginning of each year. However, if she has finished her studies, she can earne45,000 a year. b) What is the net present value if she enrolls in the Master s program and afterwards starts to work? What will be her final decision? (7 points) 2. Chapter 3 of Luenberger (1998) You can score 25 points. 1. A debt of $30,000 is to be amortized over 10 years at 6% (annual) interest. What value of monthly payments will achieve this? [Hint: A = r(1+r)n P (1+r) n+1 1.] (5 points) 1

2 2. Mike is contemplating the purchase of an automobile and has narrowed his choice down to two cars: Car A costs $25,000, has expected maintenance cost of $1,500 per year (payable at the end of each year after the first year) with a useful mileage life translating into 5 years. Car B costs $20,000 and has expected maintenance cost of $1,000 per year (payable at the end of each year after the first year) and a useful life of 4 years. Consider an interest rate of 10%. (a) Calculate the present value for both options. (b) Find the annual worths of the two options, and determine which is preferable (according to the annual worth method). (3 points) 3. Consider a 10% bond with 5 years to maturity, a yield of 9% and a face value of 100. Assume one coupon payment per year. (a) What is the price of this bond? (b) Consider two 5-year bonds: One is the same bond as in the previous exercise. The other is a 9% bond selling for with a face value of 100. Find the price of a 5-year zero coupon bond. (4 points) 4. Briefly explain the concept of Value-at-Risk (at level α = 0.01) of a company. (5 points) 3. Chapter 6 of Luenberger (1998) You can score 25 points. Assume assets A and B with the following properties: σ r A 10% 5% B 20% 10% Here, σ denotes the standard deviation and r the mean rate of return, both annualized. Moreover, assume that the correlation between these two assets is 0.3 and that an investor can also invest in a risk free asset with an annual rate of return of 2%. 1. Suppose an investor has invested 20% of her capital in A and 80% in B. (a) Compute the mean rate of return and the standard deviation of this portfolio. (3 points) (b) Present assets A and B, and this portfolio in a mean standard deviation diagram. (3 points) 2

3 2. The investor wants to invest in a mean variance portfolio. Recall that the asset weights (w mv r ) of the risky assets of such a portfolio can be written as w mv r = γ 1 Σ 1 r (r r r f 1), where Σ r is the covariance matrix and r r is the vector of returns on risky assets, r f is the return on the risk-free asset, 1 is a vector with ones (of appropriate dimension), and γ is the risk aversion parameter. (a) Compute the optimal portfolio weights of as a function of γ. (b) Determine γ in the case that the investor invests half of her capital in the risk free asset. (c) Compute the investor s mean return using the computed γ. (5 points) (3 points) 3. Minimum variance portfolio question: (a) Formulate the minimum variance problem (in general terms). (b) Graphically illustrate the difference between the minimum variance portfolio and the mean variance portfolio in a mean standard deviation diagram. (c) Derive a general formula for the weights in the minimum variance problem. Hint: use the Lagrangean. 4. Chapter 7 of Luenberger (1998) You can score 25 points. 1. The Capital Asset Pricing Model (CAPM) is an equilibrium model that makes a particular prediction in terms of the Market Portfolio. What is the definition of the Market Portfolio? What is the prediction of the CAPM in terms of the Market Portfolio? 2. What do we mean by the Capital Market Line and the Security Market Line? What is the link between these two lines? 3. Let r it denote the return on asset i in time period t, let r Mt denote the return on the market portfolio in time period t, and let r f denote the return on the risk free asset. Consider the linear regression r it r f = α i +β i (r Mt r f )+ǫ it, with E(ǫ it ) = E(ǫ it (r Mt r f )) = 0. The CAPM predicts r i r f = β i (r M r f ), where r i denotes the mean return of asset i. What is the link with the parameter α i in the linear regression? How to test the CAPM? (7 points) 3

4 4. Supposeassets1, 2, and3havethesametotalrisk(measuredbythevariance), butfor asset 1 the regression of subquestion 3 yields R 2 = 0.65, for asset 2 we find R 2 = 0.71, and for asset 3 we have R 2 = What can you say about their systematic and idiosyncratic risks? 4

5 Opgaven in het Nederlands Maximum: 100 punten (ptn). In geval je het gastcollege hebt bijgewoond, krijg je 10 bonuspunten extra. 1. Hoofdstuk 2 van Luenberger (1998) Deze opgave geeft maximaal 25 ptn. 1. a) Leg het verschil uit tusen een discretely compounded semiannual rate van 6% en een continuously compounded quarterly rate van 3%. [Hint: 1+r = (1+r/m) m en lim m (1+r/m) m = e r.] b) Transformeer een discretely compounded semiannual interest rate van 6% in een continuously compounded quarterly rate. 2. Bezie een project met de volgende kasstroom in Euros: ( 800, 200, 1000). Bereken de internal rate of return van deze kasstroom. Stel dat de rentevoet 20% bedraagt, zou je dan een investering in dit project overwegen? (4 ptn) (7 ptn) 3. Alice heeft haar bachelor in Econometrie en Operations Research voltooid en moet nu een keuze maken tussen verder studeren (een tweejarig Master s programma) of direct beginnen met een baan. Haar enige doel is het maximaliseren van de netto contante waarde ( net present value ) van haar totale levensinkomen. Ga uit van een rentevoet van 5%. Als ze direct met werken begint, kan zee per jaar verdienen (betaald aan het einde van het jaar) gedurende de komende 45 jaar. a) Wat is de net present value van haar levensinkomen als ze nu begint met werken? (5 ptn) Als ze eerst verder studeert in het Master s programma, moet ze eerst twee jaar voltijds studeren, waarvoor ze collegegeld van e2.000 per jaar moet betalen aan het begin van elk jaar. Als ze haar studie heeft voltooid, kan zee per jaar verdienen (uit te betalen aan het einde van elk jaar). b) Wat is de net present value als ze eerst twee jaar het Master s programma volgt en daarna begint te werken? Wat zal haar beslissing zijn? (7 ptn) 2. Hoofdstuk 3 van Luenberger (1998) Deze opgave geeft maximaal 25 ptn. 1. Een schuld van $ dient te worden geamortiseerd over een periode van 10 jaar tegen een (jaarlijkse) rente van 6%. Welke waarde van maandelijkse betalingen kan hiervoor zorgen? [Hint: A = r(1+r)n P (1+r) n+1 1.] (5 ptn) 5

6 2. Mike overweegt de koop van een auto en heeft zijn keuzemogelijkheden teruggebracht tot twee auto s: Auto A kost $25.000, heeft verwachte onderhoudskosten van $1.500 per jaar (tebetalen an het einde vanelk jaar na het eerste jaar) met een gebruiksduur van 5 jaar. Auto B kost $20.000, heeft verwachte onderhoudskosten van $1.000 per jaar (te betalen aan het einde van elk jaar na het eerste jaar) en een verbruiksduur van 4 jaar. Ga uit van een rentevoet van 10%. (a) Bereken de contante waarde ( present value ) voor beide opties. (b) Bepaal de annual worths van de twee opties en bepaal welke de voorkeur verdient (volgens de annual worth method ). (3 ptn) 3. Beschouw een 10% obligatie met looptijd van 5, een yield van 9% en een face value van 100. Ga uit van één couponbetaling per jaar. (a) Wat is de prijs van deze obligatie? (b) Beschouw twee 5-jaars obligaties: De eerste is dezelfde als in de vorige opgave. De andere is een 9% obligatie met een prijs van 96,14 en een face value van 100. Bepaal de prijs van een 5-jaars zero coupon bond. (4 ptn) 4. Leg kort het concept Value-at-Risk (at level α = 0.01) van een bedrijf uit. (5 ptn) 3. Hoofdstuk 6 van Luenberger (1998) Deze opgave geeft maximaal 25 ptn. Ga uit van activa A en B met de volgende eigenschappen: σ r A 10% 5% B 20% 10% σ is de standard deviation en r de mean rate of return, beide annualized. Veronderstel vervolgens dat de correlatie tussen beide assets 0,3 is en dat de investeerder ook kan beleggen in een risicovrij asset met een jaarlijkse rate of return van 2%. 1. Veronderstel dat een investeerder 20% van haar kapitaal heeft geïnvesteerd in A en 80% in B. (a) Bereken de gemiddelde rate of return en de standard deviation van deze portefeuille. (b) Presenteer activa A en B en deze portefeuille in een mean standard deviation diagram. (3 ptn) (3 ptn) 6

7 2. De investeerder wil investeren in een mean variance portefeuille. De activa-gewichten (w mv r ) van de risicovolle activa van zo n portefeuille kun je schrijven als w mv r = γ 1 Σ 1 r (r r r f 1), met Σ r de covariantiematrix en r r de vector met verwachte rendementen van de risicovolle activa, r f het rendement op het risicovrije activum, 1 een vector met enen (van geschikte dimensie) en γ de risico-aversie parameter. (a) Bereken de optimale portefeuillegewichten als functie van γ. (b) Bepaal γ in het geval dat de investeerder de helft van haar kapitaal investeert in het ricicovrije activum. (c) Bereken het gemiddelde rendement van de investeerder gebruikmakend van de berekende waarde van γ. (5 ptn) (3 ptn) 3. Vraag over de Minimum variance portfolio : (a) Formuleer het minimum variance probleem (in algemene termen). (b) Illustreer in een figuur het verschil tussen de minimum variance portfolio en de mean variance portfolio gebruikmakend van een mean standard deviation diagram. (c) Bepaal een algemene formule voor de gewichten van het minimum variance probleem. Hint: gebruik de Lagrangiaan. 4. Hoofdstuk 7 van Luenberger (1998) Deze opgave geeft maximaal 25 ptn. 1. Het Capital Asset Pricing Model (CAPM) is een evenwichtsmodel dat een specifieke voorspelling doet in termen van de Marktportefeuille. Wat is de definitie van de Marktportefeuille? Wat is de voorspelling van het CAPM in termen van de Marktportefeuille? 2. Wat bedoelen we met de Capital Market Line en de Security Market Line? Wat is de link tussen deze twee lijnen? 3. Zij r it het rendement op activum i gedurende de tijdsperiode t, zij r Mt het rendement op de marktportefeuille gedurende de tijdsperiode t en zij r f het rendement op het risicovrije activum. Beschouw de lineaire regressie r it r f = α i +β i (r Mt r f )+ǫ it, met E(ǫ it ) = E(ǫ it (r Mt r f )) = 0. Het CAPM voorspelt r i r f = β i (r M r f ), waarbij r i het gemiddelde rendement van activum i aangeeft. What is de link met de parameter α i in de lineaire regressie? Hoe kun je het CAPM toetsen? (7 ptn) 7

8 4. Veronderstel dat activa 1, 2 en 3 hetzelfde totale risico hebben (gemeten met behulp van de variantie), maar dat in geval van activum 1 de regressie van subvraag 3 resulteert in R 2 = 0,65, in geval van activum 2 in R 2 = 0,71 en in geval van activum 3 in R 2 = 0,45. Wat kun je zeggen over de systematische en idiosyncratische risico s? 8