Hand-out Workshop Zebrareeks

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Hand-out Workshop Zebrareeks"

Transcriptie

1 NWD 9, februari 03 Han-out Workshop Zebrareeks Mariken Barents Marjan Botke Peter Kop Rob van Oor In eze han-out staan e opgaven ie tijens e workshop zijn uitgeeel aan e eelnemers. Omat er in e workshop ook een activerene werkvorm wer aangeboen, speeaten genaam, zijn voor elk boekje rie tot vier versies opgaven gemaakt. Via een voor ieere eelnemer verschillene route, SomSom genaam, wer achtereenvolgens in stees wisselene rietallen aan een opgave gewerkt. Bij het oplossen van e opgaven kon ook gekozen woren om een Tip of extra Hulp op te vragen. Bij het vaststellen van het einresultaat woren voor het aanboren van Tip en/of Hulp punten afgetrokken. Voor e snelle werkers was er nog een Bonus opgave met iets meer uitaging. De opgaven gaan over elen van e boekjes uit e Zebrareeks van e Vereniging: Kattenais 4 De Gulen Snee Schuiven met auto s, munten en bollen 0 Babylonische Wiskune 3 Meester Luolph s Koorenvierhoek De collega s ie e workshop hebben gegeven zien graag at stees meer collega s in hun lespraktijk gebruik gaan maken van e inspirerene en uitagene boekjes uit eze unieke reeks. In e workshop corresponeeren e versie met kleuren. versie = geel, versie = blauw, versie 3 = groen, versie 4 = zalm

2 Speeate vraag voor zebraboekje Kattenais NWD 9, februari 03 Versie We gaan uit van twee steekproeven uit twee verschillene populaties katten. De eerste groep zijn zwerfkatten ie op straat zijn gevonen. De tweee groep zijn katten ie naar een ierenasiel zijn gebracht uit een huishouen. Bij beie groepen is gekeken of ze besmet zijn met kattenais. Dit is een virus zorgt er voor at het immuunsysteem van katten niet meer goe werkt. besmet niet besmet totaal Gevonen Gebracht Totaal 73 Kun je op basis van bovenstaane gegevens volgene conclusie trekken? De kans op kattenais bij gevonen katten is even groot als bij gebrachte katten. Neem als onbetrouwbaarhei %. Versie We gaan uit van twee steekproeven uit twee verschillene populaties katten. De eerste groep zijn zwerfkatten ie op straat zijn gevonen. De tweee groep zijn katten ie naar een ierenasiel zijn gebracht uit een huishouen. Bij beie groepen is gekeken of ze besmet zijn met kattenais. Dit is een virus zorgt er voor at het immuunsysteem van katten niet meer goe werkt. besmet niet besmet totaal Gevonen Gebracht Totaal 73 Kun je op basis van bovenstaane gegevens volgene conclusie trekken? De kans op kattenais bij gevonen katten is even groot als bij gebrachte katten. Neem als onbetrouwbaarhei %. Versie 3 We gaan uit van twee steekproeven uit twee verschillene populaties katten. De eerste groep zijn zwerfkatten ie op straat zijn gevonen. De tweee groep zijn katten ie naar een ierenasiel zijn gebracht uit een huishouen. Bij beie groepen is gekeken of ze besmet zijn met kattenais. Dit is een virus zorgt er voor at het immuunsysteem van katten niet meer goe werkt. besmet niet besmet totaal Gevonen Gebracht Totaal 73 Kun je op basis van bovenstaane gegevens volgene conclusie trekken? De kans op kattenais bij gevonen katten is groter an bij gebrachte katten. Neem als onbetrouwbaarhei %. Versie 4 We gaan uit van twee steekproeven uit twee verschillene populaties katten. De eerste groep zijn zwerfkatten ie op straat zijn gevonen. De tweee groep zijn katten ie naar een ierenasiel zijn gebracht uit een huishouen. Bij beie groepen is gekeken of ze besmet zijn met kattenais. Dit is een virus zorgt er voor at het immuunsysteem van katten niet meer goe werkt. besmet niet besmet totaal Gevonen Gebracht Totaal 73 Kun je op basis van bovenstaane gegevens volgene conclusie trekken? De kans op kattenais bij gevonen katten is groter an bij gebrachte katten. Neem als onbetrouwbaarhei %.

3 Bonusvraag We gaan uit van twee steekproeven uit twee verschillene populaties katten. De eerste groep zijn zwerfkatten ie op straat zijn gevonen. De tweee groep zijn katten ie naar een ierenasiel zijn gebracht uit een huishouen. Bij beie groepen is gekeken of ze besmet zijn met kattenais. Dit is een virus zorgt er voor at het immuunsysteem van katten niet meer goe werkt. besmet niet besmet totaal Gevonen Gebracht 4 n 4 + n Totaal n Neem als onbetrouwbaarhei % Voor welke waaren van n kunnen we e volgene conclusie trekken bij e gegeven ata: De kans op kattenais bij gevonen katten is even groot als bij gebrachte katten. Tip algemeen Het aantal katten met kattenais in e steekproef is binomiaal vereel voor beie populaties. Omzetten naar een normale vereling. Stel een hypothesetoets op waarbij e verwachtingswaare van e populatiefractie van e eerste populatie gelijk is aan e verwachtingswaare van e populatiefractie van e tweee populatie, us waarbij je uitgaat van het verschil van e populatiefracties met een verwachtingswaare 0. Bereken e overschrijingskans van het verschil van e steekproeffracties. Let er bij je conclusie op of het een éénzijige of tweezijige toets betreft. Hulp algemeen Om e twee steekproeven te vergelijken, gaan we ze omzetten naar een normale vereling. De verwachtingswaare is gelijk aan e populatiefractie De stanaarafwijking is gelijk aan populatiefractie Verer hebben we e volgene gegevens Populatiefractie = q Populatiefractie = q Steekproefomvang = n, steekproeffractie = P Steekproefomvang = n, steekproeffractie = P n populatiefractie P is bij benaering normaal vereel met verwachtingswaare q en stanaarafwijking s P is bij benaering normaal vereel met verwachtingswaare q en stanaarafwijking s P P is an normaal vereel met verwachtingswaare q Helaas zijn q en q onbeken. We weten alleen P en P. q en stanaarafwijking P P is bij benaering normaal vereel met verwachtingswaare P We krijgen an het gestanaariseere verschil in e steekproeffracties Z met P en stanaarfout Z is bij benaering stanaar normaal vereel en kan als toetsingsgroothei woren gebruikt. Z s s q q n q n q q q q q n n P P P P n n P P q q P P P P n n Als Z 0 an is e overschrijingskans P Z z. Als Z 0 an is e overschrijingskans P Z z. Bij een tweezijige toets moet e overschrijingskans woren vergeleken met, en bij een eenzijige toets met. Als we willen toetsen of twee populatiefracties gelijk aan elkaar zijn, an gelt oner e nulhypothese at q q 0

4 Antwoor versie ,0445 0,0445 Z 3,3 [moet zijn ] ,0346 0, P Z 3,3 0, ; 0, ,005 ; We verwerpen H 0. We geloven at e kans op kattenais bij gevonen katten niet even groot is als bij gebrachte katten. Antwoor versie Z ,30 0, ,0 0,0633,30 P Z ; 0,0968 0,005 ; We verwerpen H 0 niet. We geloven at e kans op kattenais bij beie populaties even groot is. Antwoor versie ,0445 0,0445 Z 3,3 [moet zijn ] ,0346 0, P Z 3,3 0, ; 0, ,0 ; We verwerpen H 0. We geloven at e kans op kattenais bij gevonen katten groter is an bij gebrachte katten. Antwoor versie 4 Z ,30 0, ,0 0,0633,30 P Z ; 0,0968 0, 0; We verwerpen H 0 niet. We geloven at e kans op kattenais bij gevonen katten niet groter is an bij gebrachte katten. Antwoor bonusvraag , n Z 4 n n 4n 0, n 4 n 4 n n Voor welke z gelt: P Z z 0, 005 =>.576 Voor n 86 gelt Z,576 Voor n 86 gelt Z,576 3 Voor welke Z gelt: P Z z 0, 005 => Voor n 4 gelt Z,576 Voor n 4 gelt Z,576 Voor alle waaren van n van 4 t/m 86 kunnen we e conclusie trekken: De kans op kattenais bij gevonen katten is even groot als bij gebrachte katten.

5 Speeate vragen voor zebraboekje 4 De Gulen snee NWD 9, februari 03 Versie In eze workshop kijken we naar e regelmatige vijfhoek. In een regelmatige vijfhoek gelt o.a. at DAB =7 0 en e iagonalen snijen elkaar volgens e Gulen Snee. Dit hout in at gelt at DF : AF = AD : DF met anere wooren: grootste eel van lijnstuk staat tot kleinste eel van het lijnstuk is gelijk aan gehele lijnstuk staat tot grootste eel van lijnstuk. Hieruit volgt at in bovenstaane regelmatige vijfhoek gelt at verhouing DF : AF = : (= ( 5) : ). Bewijs, uitgaane van e regelmatige vijfhoek ABCDE, at DAB =7 0 en at e verhouing DF : AF = : (= ( 5) : ) Tip versie Geef aan hoe groot alle getekene hoeken zijn in e regelmatige vijfhoek en zoek gelijkvormige riehoeken Versie In eze workshop kijken we naar e regelmatige vijfhoek. In een regelmatige vijfhoek gelt o.a. at DAB =7 0 en e iagonalen snijen elkaar volgens e Gulen Snee. Dit hout in at gelt at DF : AF = AD : DF. Met anere wooren: het grootste eel van het lijnstuk staat tot kleinste eel van het lijnstuk is gelijk aan gehele lijnstuk staat tot grootste eel van lijnstuk. Hieruit volgt at in bovenstaane regelmatige vijfhoek gelt at verhouing DF : AF = : (= ( 5) : ). Construeer met passer en liniaal e vereling van een lijnstuk volgens e Gulen Snee. Tip versie Construeer eerst een rechthoekige riehoek met rechthoekszijen en. Vervolgens 5 Vereel rechthoekzije met lengte in twee stukken: 5 en ( 5 )

6 Versie 3 In eze workshop kijken we naar e regelmatige vijfhoek. In een regelmatige vijfhoek gelt o.a. at DAB =7 0 en e iagonalen snijen elkaar volgens e Gulen Snee. Dit hout in at gelt at DF : AF = AD : DF met anere wooren: grootste eel van lijnstuk staat tot kleinste eel van het lijnstuk is gelijk aan gehele lijnstuk staat tot grootste eel van lijnstuk. Hieruit volgt at in bovenstaane regelmatige vijfhoek gelt at verhouing DF : AF = : (= ( 5) : ) 3. Construeer met passer en liniaal een regelmatige vijfhoek. Tip versie 3 Construeer eerst een rechthoekige riehoek met rechthoekszijen en. Bestueer vervolgens onerstaane constructie. Versie 4 In eze workshop kijken we naar e regelmatige vijfhoek. Gegeven e regelmatige vijfhoek ABCDE. In een regelmatige vijfhoek gelt o.a. at DAB =7 0 en e iagonalen snijen elkaar volgens e Gulen Snee. Dit hout in at gelt at DF : AF = AD : DF met anere wooren: grootste eel van lijnstuk staat tot kleinste eel van het lijnstuk is gelijk aan gehele lijnstuk staat tot grootste eel van lijnstuk. Hieruit volgt at in bovenstaane regelmatige vijfhoek gelt at verhouing DF : AF = : (= ( 5) : )

7 Een lijnstuk kun je verelen volgens e Gulen Snee oor bijvoorbeel e volgene constructie: 4. Construeer met passer en liniaal een regelmatige vijfhoek in een gegeven cirkel. Tip versie 4 Trek nu cirkel (S,AS) en cirkel (B,AS) om hoeken van 7 0 te krijgen. Bonusvraag Hieroner zie je een constructie van een regelmatige vijfhoek in een gegeven cirkel. B Analyseer eze constructie en bewijs at eze constructie juist is.

8 Antwoor versie In e regelmatige vijfhoek zijn e hoeken van e vijfhoek 08 o. Bewijs. De rie hoeken bij hoekpunt B zijn alle rie 36 o. Bewijs. (bekijk bijv. gelijkbenige riehoek BAE ie congruent is met AE is evenwijig aan BD) DCB; gebruik Of teken in Δ ABD mielpunt M van e cirkel om e vijfhoek en e stralen AM, BM en DM. ΔABD, ΔAMB, ΔAMD, ΔBMD zijn alle gelijkbenig. Nu is AMB = / o = 7 o, us AMD = BMD = 44 o. Dan is AMC = 8 o (ook BMC = 8 o ), us ADB = 36 o, us DBF = 36 o (ΔDBF is gb). DBA = 7 o (ΔABD is gb), us ABF = DBA DBF = 7 o 36 o = 36 o. Tenslotte is ook CBD = ABC ABD = 08 o 7 o = 36 o. ABF gelijkvormig met BDA (bewijs) Verhouing van zijen met AB = en AF = geeft Antwoor versie Bestueer e volgene constructie: AC = 5 ; us AD = AS = 5 ; BS = ( 5 ) = AS : BS = ( 5 ) ( 5 ) Antwoor versie 3 Figuur Uitleg figuur : AB is een iagonaal van e vijfhoek. Nu moet ΔABG een gulen riehoek woren, zorg at BG = FG = FA via omcirkelen van FA. Figuur 3 Uitleg figuur 3: BG is een zije van e vijfhoek. Omcirkelen vanuit A, B en G geeft e hoekpunten H en F. Of start met het mielpunt van een cirkel en gebruik e mielpuntshoeken van 7 0.

9 Antwoor versie 4 Uitleg figuur : AB is een iagonaal van e vijfhoek. Nu moet ΔABG een gulen riehoek woren, zorg at BG = FG = FA via omcirkelen van FA. Figuur Start met het mielpunt van e cirkel en gebruik e hoek van 7 0 om vijf mielpuntshoeken van 7 0 te tekenen. Antwoor Bonusvraag Start met een x rechthoek ADFE ie is aangepast aan e gegeven cirkel. O is snijpunt van AF met BC. Maak cirkel met mielpunt O en straal snijpunt met verlenge CB is P. Maak vervolgens cirkel met mielpunt A en straal OA 5 ; AP ( 5 ) 5 (zie APB ). Deze AP is e lengte van e zije van e regelmatige vijfhoek als e straal van e cirkel is. Gebruik cosinus-regel in FCD in e cirkel hiernaast met straal : 0 DC FD FC. FD. FC.cos(7 ) 0 0 en cos(7 ).cos (36 ) 0 iagonaal en cos(36 ) ( 4 5 4) zije (zie BCD in figuur en e gulen verhouing van e regelmatige vijfhoek); eze zaken combineren leit tot DC 5 Via DC FD FC 0. FD. FC.cos(7 ) DC DC DC DC.(.cos (36 ) ) cos (36 ) ( 5 ) (AP zoals hierboven geconstrueer is gelijk aan DC) Zie ook en

10 Speeate vragen voor zebraboekje Schuiven met auto s, munten en bollen NWD 9, februari 03 Versie Een aantal even grote bollen wort gestapel oor e onerste laag in een vierkant van n bij n bollen te leggen. Vervolgens wort e volgene laag in e (n-) holletjes ie tussen e bollen zitten geleg, enzovoorts. Een stapel bollen van acht lagen. Hoeveel bollen heb je noig om een stapel met acht lagen te maken? De formule van het aantal bollen in n lagen is een eregraas polynoom in n: a n 3 + b n + c n +. Bereken e coëfficiënten a, b, c en van een van eze stapeling. Tip versie. e onerste laag heeft 8x8 = 64 bollen. het verschil tussen T(n), het aantal van n lagen, en T(n ) is n² Hulp versie. 8² + 7² + 6² + + ² =. a n 3 + b n + c n + (a (n ) 3 + b (n ) + c n + ); haakjes uitwerken; antwoor moet n² zijn Versie = Versie 4 Een aantal even grote bollen wort gestapel oor e onerste laag in een gelijkzijige riehoek te leggen. Het aantal bollen in e onerste laag is bijvoorbeel n + (n ) + (n ) + (n 3) Het totaal aantal bollen in eze laag wort het n-e riehoeksgetal genoem. In e ½ (n ) n holletjes ie tussen e bollen zitten wort een volgene laag bollen geleg, enzovoorts. Elke laag heeft een aantal bollen at gelijk is aan een riehoeksgetal. Een stapel bollen van zeven lagen. Toon aan at e formule voor het n-e riehoeksgetal gelijk is aan ½n (n+).. Hoeveel bollen heb je noig om een stapel met zeven lagen te maken? De formule van het aantal bollen in n lagen is een eregraas polynoom in n: a n 3 + b n + c n + 3. Bereken e coëfficiënten a, b, c en van een van eze stapeling. Tip versie. tel achtereenvolgens twee even grote riehoeksgetallen hanig bij elkaar op; kijk naar e antwooren. e onerste laag heeft ½ 7 8 bollen 3. het verschil tussen D(n), het aantal van n lagen, en D(n ) is ½n (n+) Hulp versie. b.v = 4 (4+) = 3. a n 3 + b n + c n + (a (n ) 3 + b (n ) + c n + ); haakjes uitwerken; antwoor moet ½ n²+½ n zijn

11 Versie 3 Een aantal even grote bollen wort gestapel oor e onerste laag in een vierkant van n bij n bollen te leggen. Vervolgens wort e volgene laag in e (n-) holletjes ie tussen e bollen zitten geleg, enzovoorts. Een stapel bolle van acht lagen. Hoeveel bollen heb je noig om een stapel met acht lagen te maken? Neem e straal van een bol gelijk aan (m).. Maak een formule van e exacte hoogte van n lagen van eze stapeling. Tip versie 3. e onerste laag heeft 8x8 = 64 bollen. teken een verticale warsoorsnee over e iagonaal van een stapel van twee of rie lagen; maak eerst wat stapels met tennisballen om te begrijpen hoe ie warsoorsnee er uit ziet Hulp versie 3. 8² + 7² + + =. Hiernaast zie je een tekening van een schuine warsoorsnee van een stapeling met een vierkante gronlaag. Alle lagen zitten op e zelfe manier in elkaar verzonken. Bonusvragen Een aantal even grote bollen wort gestapel oor e onerste laag in een gelijkzijige riehoek te leggen. Een stapel bollen van zeven lagen Neem e straal van een bol gelijk aan (m).. Maak een formule van e exacte hoogte van n lagen van eze stapeling. Een tennisbal heeft een iameter van 6,5 cm.. Hoeveel tennis ballen heb je noig om een stapel te maken ie net zo hoog is als jij lang bent? Tip Bonusvragen. Beschouw e posities van e mielpunten van e bollen.. iameter is 6,5 cm, us e straal is Hulp Bonusvragen. De mielpunten van e bollen zitten op e hoekpunten van tetraëers met zijen (r) ; bereken e hoogte van een tetraëer m.b.v. een verticale oorsnee oor een hoekpunt en e top. Als je b.v. 80 cm lang bent, an moet je e ongelijkhei 6 r ( n ) > 80 oplossen 3

12 Tweee bonusvraag Een aantal even grote bollen wort gestapel oor e onerste laag in een rechthoek te leggen. gestapele kanonskogels met een rechthoekige boem Neem aan at er een eregraas verban is tussen n en x(n), (bij een veronerstelling van een tweeegraas verban loop je vast), an krijg je met x(n) = an 3 + bn + cn + B Bereken a, b c en in het geval e rechthoeken afmeting n bij n+4 hebben. Tip B het verschil tussen R(n), het aantal van n lagen, en R(n ) is n (n+4) Hulp B a n 3 + b n + c n + (a (n ) 3 + b (n ) + c (n ) + ); haakjes uitwerken; antwoor moet n²+4 n zijn Antwooren versie. 04. / 3 n 3 + ½ n + / 6 n Antwooren versie = versie 4. via volleige inuctie: het n-e riehoeksgetal heeft formule ½n(n + ); n= geeft het eerste riehoeksgetal, at klopt met ½ = voor het (n+)-ste riehoeksgetal komt er nog een rij van n+ bollen bij; ½n(n + ) + (n +) = ½ n² + ½n + n + = ½n² + ½n + = ½(n²+3n+) = ½(n+) (n+); it is ezelfe formule voor het (n+)-ste riehoeksgetal / 6 n 3 + ½ n + / 3 n Antwooren versie (n-) r + r; elke volgene laag wort r hoger Antwoor B a n 3 +b n +c n + (a (n 3 3n + 3n ) + b (n n + ) + c (n ) + ) = n (n + 4) 3a n 3a n + a + b n b + c = n + 4n geeft 3a n + (-3a+b) n + (a-b+c) = n + 4 n als 3a = en -3a+b = 4 en a-b+c=0; a = / 3, b = ½, c= / 6 //it klopt in e tabel met n= geeft 5=5; n= geeft 5+ 6=5+=7; n=3 geeft 7+3 7=7+=38; enz.

13 Speeate vragen voor zebraboekje 0 Babylonische vierkantsvergelijkingen NWD 9, februari 03 Versie In e huiige wiskunemethoes woren grofweg twee methoes gebruikt om een vierkantsvergelijking op te lossen. De ene is met behulp van ontbinen in factoren en e anere is met behulp van e abc-formule. Bij het ontbinen in factoren zoeken we stees twee getallen waarvan e som en het prouct beken is. De Babyloniërs maakten ook gebruik van een methoe ie lijkt op e som/prouct methoe bij het ontbinen in factoren. Zij maakten gebruik van e eigenschappen van een bijzoner prouct: x x x. Zij haen het volgene vraagstuk: Van een rechthoek is het volgene beken: e oppervlakte is gelijk aan 65 en e som van e lengte en e breete is gelijk aan 8. Hoe groot zijn e lengte en e breete? Neem nu: x 9 en y 9 Dan volgt aaruit x y 8 Nu wort e vergelijking met e volgene stappen opgelost: 8 65, 6, 6 4 Dan komen we op x en y Los op eze manier op: x y = 74, x + y = 58. Welke kwaratische vergelijking hoort bij: x y = 74, x + y = 58? 3. Los op: x y = 864, x + y = 0 4. Los e vergelijking x 8x + 3 = 0 op e Babylonische manier op. Tip versie. Neem x 9 en y 9. Substitueer y 58 x in x y = x + y = 60, neem nu x 30 en y x (8 x) x y en x y 8 Hulp versie. (9 )(9 + ) = 74; haakjes uitwerken. x (58 x) = 74; haakjes uitwerken 3. (30 )(30 + ) = 864; haakjes uitwerken 4. x = 4 en y = 4 + geeft ( 4 )(4 ) 3; haakjes uitwerken Versie In e huiige wiskunemethoes woren grofweg twee methoes gebruikt om een vierkantsvergelijking op te lossen. De ene is met behulp van ontbinen in factoren en e anere is met behulp van e abc-formule. Bij het ontbinen in factoren zoeken we stees twee getallen waarvan e som en het prouct beken is. De Babyloniërs maakten ook gebruik van een methoe ie lijkt op e som/prouct methoe bij het ontbinen in factoren. Zij maakten gebruik van e eigenschappen van een bijzoner prouct: x x x. Zij haen het volgene vraagstuk: Van een rechthoek is het volgene beken: e oppervlakte is gelijk aan 65 en e som van e lengte en e breete is gelijk aan 8. Hoe groot zijn e lengte en e breete? Neem nu: x 9 en y 9 Dan volgt aaruit x y 8 Nu wort e vergelijking met e volgene stappen opgelost: 8 65, 6, 6 4 Dan komen we op x en y De Babylonische wiskune kene ook sommen waarbij het verschil van twee getallen en hun prouct beken is. Bijvoorbeel het verschil is 0 en het prouct is 459. Ze losten het probleem op oor x m 5 en y m 5 te nemen. Dan is het verschil y x gelijk aan 0.. Los op e Babylonische manier op: x y = 459, y x = 0. Welke kwaratische vergelijking hoort bij: x y = 459, y x = 0? 3. Los op: x y = 780, y x = 4. Los e vergelijking x + 0x 064 = 0 op e Babylonische manier op?

14 Tip versie. Neem x m 5 en y m 5. Substitueer y 0 xin x y = x y = 95, neem nu x m en y m 4. x ( x 0) x y 056 en y x 0 Hulp versie. (m 5)(m + 5) = 459; haakjes uitwerken. x (x+0) = (m )(m + ) = 95; haakjes uitwerken 4. x = m 0 en y = m + 0 geeft (m 0)(m + 0) = 056; haakjes uitwerken Versie 3 In e huiige wiskunemethoes woren grofweg twee methoes gebruikt om een vierkantsvergelijking op te lossen. De ene is met behulp van ontbinen in factoren en e anere is met behulp van e abc-formule. Bij het ontbinen in factoren zoeken we stees twee getallen waarvan e som en het prouct beken is. De Babyloniërs maakten ook gebruik van een methoe ie lijkt op e som/prouct methoe bij het ontbinen in factoren. Zij maakten gebruik van e eigenschappen van een bijzoner prouct: x x x. Zij haen het volgene vraagstuk: Van een rechthoek is het volgene beken: e oppervlakte is gelijk aan 65 en e som van e lengte en e breete is gelijk aan 8. Hoe groot zijn e lengte en e breete? Neem nu: x 9 en y 9 Dan volgt aaruit x y 8 Nu wort e vergelijking met e volgene stappen opgelost: 8 65, 6, 6 4 Dan komen we op x en y Een manier om een aner type opgaven op te lossen gaat als volgt: Tel bij e oppervlakte van een rechthoek het (positieve) verschil van lengte en breete op, e uitkomst is 83. De lengte en breete zijn opgetel 7. Het probleem wort opgelost oor als eerste e twee vergelijkingen op te tellen: x y x y 83 x y 7 Je krijgt an xy x 0 Met x buiten haakjes kun je het probleem nu herleien tot het stanaarprobleem van gegeven prouct en som. Neem x ( y ) 7 9 en 4 en 4. x y. Los verer op e Babylonische manier op: x y + x y = 83, x + y = 7. Welke kwaratische vergelijking hoort bij: x y + x y = 83, x + y = 7 3. Los op e Babylonische manier op: x y + x y = 69, x + y = 6 Tip versie 3. Het is nu prouct van x en y+ en e som van x en y+ geworen. Substitueer 7 3. x y 95 y x in x y + x y = 83 of in x ( y ) 0 Hulp versie 3. (4½ )(4½ + ) = 0; haakjes uitwerken. x (9 x) = 0 3. x + (y+) = 8; x = 4 en y+ = 4 geeft (4 )(4 = ) = 95; haakjes uitwerken

15 Versie 4 In e huiige wiskunemethoes woren grofweg twee methoes gebruikt om een vierkantsvergelijking op te lossen. De ene is met behulp van ontbinen in factoren en e anere is met behulp van e abc-formule. Bij het ontbinen in factoren zoeken we stees twee getallen waarvan e som en het prouct beken is. De Babyloniërs maakten ook gebruik van een methoe ie lijkt op e som/prouct methoe bij het ontbinen in factoren. Zij maakten gebruik van e eigenschappen van een bijzoner prouct: x x x. Zij haen het volgene vraagstuk: Van een rechthoek is het volgene beken: e oppervlakte is gelijk aan 65 en e som van e lengte en e breete is gelijk aan 8. Hoe groot zijn e lengte en e breete? Neem nu: x 9 en y 9 Dan volgt aaruit x y 8 Nu wort e vergelijking met e volgene stappen opgelost: 8 65, 6, 6 4 Dan komen we op x en y De Babylonische wiskune kene ook sommen waarbij het verschil van twee getallen en hun prouct beken is. Bijvoorbeel het verschil is 0 en het prouct is 459. Ze losten het probleem op oor x m 5 en y m 5 te nemen. Dan is het verschil y x gelijk aan 0.. Los op e Babylonische manier op: x y = 459, y x = 0 De Babyloniërs konen ook e volgene problemen oplossen: Zeven keer e zije van een vierkant opgetel bij elf keer zijn oppervlakte is gelijk aan 6,5. Je krijgt an e volgene vergelijking: x 7x 6 4 De Babyloniërs vermenigvuligen e hele vergelijking met en nemen vervolgens y x Dan krijgen we 3 x 7( x ) 68 4 Met y x krijgen we an 3 y 7y Los op e Babylonische manier op: 3. Los op ezelfe manier op: Tip versie 4. Neem x = m 5 en y = m + 5. z=y+7 geeft y z = 68½ 3. y=5x en z=y+8 3 y 7y x 8x 5 Hulp versie 4. (m 5)(m + 5) = 459; haakjes uitwerken. neem y = m 3½ en z = m + 3½, us z y = 7 3. neem y = m 9 en z = m + 9, us z y = 8 Bonus vragen. Geef op e Babylonische manier e algemene oplossing voor: ax bx c. Waar lijkt e algemene oplossing uit opgave. op? Wat is er aners en hoe komt at? Tip Bonusvragen. y=ax en z=y+b. ax bx c 0 met abc - formule Hulp Bonusvragen. y m b en z m b, zoat z y b. De Babylonische methoe begint met ax² + bx = c

16 Tweee Bonusvraag Het Babylonische talstelsel werkt met machten van 60 (sexagesimaal stelsel) en het getal 0 beston niet in hun systeem. Zo kunnen we het getal 705 schrijven als 60 5 De Maya Inianen hanteeren een positiestelsel met als basis het getal 0 (vigesimaal stelsel). In computertaal wort het binaire stelsel gebruikt. Geef e volgene getallen in e verschillene stelsels op e juiste wijze weer: ecimaal sexagesimaal vigesimaal binair = = = = = = 9 Antwooren versie. x=9 en y=39. x 58x x=4 en y=36 4. x 4 3 en y 4 3 Antwooren versie. x=7 en y=7. x 0x x=3 en y=5 4. x=4 en y=34 Antwooren versie 3. x =4 en y+=5, us y=3; e anere oplossing is x=5 en y=. x 9x x 3 6 en y 6 Antwooren versie 4. x=7 en y=7. z, y 5 en x 3. z 43, y 5 en x 5 Antwooren Bonusvragen b ( b) ac b b 4ac. x a a. Het is ezelfe formule als e abc-formule, alleen met +4ac i.p.v. 4ac; Dat komt omat e startvergelijking niet met = 0 begint maar met = c, na op nul herleien wort ie vergelijking an ax² + bx c = 0 ipv ax² + bx + c = 0 Antwoor Tweee bonusvraag ecimaal sexagesimaal vigesimaal binair = = =

17 Speeate vraag voor zebraboekje 3 Meester Luolph s koorenvierhoek NWD 9, februari 03 Versie = Versie 4 In it boekje gaat het om het construeren van een koorenvierhoek met vier gegeven lijnstukken. Een koorenvierhoek is een vierhoek waarvan e hoekpunten op een cirkel liggen. De zijen van e vierhoek zijn us kooren van ie cirkel. Voor het begrijpen van e antwooren op eze vraag moet je e stelling van Ptolemaeus kennen. Die zegt: Bij een koorenvierhoek (ABCD) met zijen a (AB), b (BC), c (CD) en (DA), en iagonalen p (BD) en q (AC) gelt: a c + b = p q Zie figuur. Om e stelling van Ptolemaeus te bewijzen moet je gebruik maken van gelijkvormighei van riehoeken en e stelling van e constante hoek. Die zegt: Bij een koore (AB) van een cirkel is e hoek (ACB) met als hoekpunt een willekeurig punt (C of C ) op e cirkelboog (AB) aan een kant van e koore (AB) en als benen e verbiningslijnstukken van at punt met e uiteinen (A en B) van e koore altij even groot, constant us. Zie figuur. Daarin gelt us at ACB = AC B De stelling van Ptolemaeus kan nu bewezen woren oor hulplijnstuk BE te tekenen, waarvan punt E op AC ligt zoat ABE = DBC. Zie figuur.. Bewijs e stelling van Ptolemaeus. Tip versie Bewijs at ABE DBC en at ABD EBC. Hulp versie Uit e gelijkvormighei van ABE en DBC volgt at AB : AE = DB : DC ; Uit e gelijkvormighei van ABD en EBC volgt at AD : BD = EC : BC; Schrijf e verhouingen als proucten met e letters a, b, c, en p; Tel e twee vergelijkingen op en beenk at AE + EC = q Versie In it boekje gaat het om het construeren van een koorenvierhoek met vier gegeven lijnstukken. Een koorenvierhoek is een vierhoek waarvan e hoekpunten op een cirkel liggen. De zijen van e vierhoek zijn us kooren van ie cirkel. Voor het begrijpen van e antwooren op eze vraag moet je e stelling van Ptolemaeus kennen. Die zegt: Bij een koorenvierhoek (ABCD) met zijen a (AB), b (BC), c (CD) en (DA), en iagonalen p (BD) en q (AC) gelt: a c + b = p q Zie figuur. In wooren: e som van e proucten van beie paren overstaane zijen van een koorenvierhoek is even groot als het prouct van e iagonalen. Wanneer het mogelijk is om met vier lijnstukken a, b, c en een koorenvierhoek te maken, an kunnen met iezelfe vier lijnstukken rie wezenlijk verschillene koorenvierhoeken gemaakt woren, allemaal op een even grote cirkel. Als je in e bovenstaane figuur e riehoek BCD, met zijen b, c en p, gespiegel op e iagonaal BD plakt,.w.z. riehoek BCD uitknippen, spiegelen, en punt B op punt D van riehoek ABD plakt en punt D op punt B van riehoek ABD, an is uielijk at punt C ook weer op e zelfe cirkel terecht komt.

18 Van elk van ie rie koorenvierhoeken komt een van e iagonalen ook als iagonaal voor in een van e anere rie. Er kunnen met e stelling van Ptolemaeus us rie verbanen woren opgeschreven tussen e zijen a, b, c en en twee van e mogelijke iagonalen p, q en r. Een aarvan is staat hierboven genoem.. Schrijf e anere twee verbanen op en lei uit e rie verbanen een uitrukking voor p af uitgerukt in a, b, c en. Tip versie Teken eerst eens alle mogelijke koorenvierhoeken met a, b, c en. Welke iagonalen zijn telkens gelijk? Hulp versie Dit zijn in feite e rie verschillene koorenvierhoeken. Gebruik e stelling in wooren om e rie verbanen op te schrijven; vermenigvulig e twee verbanen waar p in staat en eel oor het verban met q en r. Je krijgt an een uitrukking voor p², us ook voor p. Versie 3 In it boekje gaat het om het construeren van een koorenvierhoek met vier gegeven lijnstukken. Een koorenvierhoek is een vierhoek waarvan e hoekpunten op een cirkel liggen. De zijen van e vierhoek zijn us kooren van ie cirkel. In e figuur zie je een van e rie mogelijke koorenvierhoeken ie je kunt construeren met e lijnstukken a, b, c en. In alle mogelijke koorenvierhoeken met eze vier zijen komen twee van rie mogelijke iagonalen voor. Noem e lengte van e iagonalen p, q en r. De stelling van Ptolemaeus zegt voor e getekene situatie at a c + b = p q ; Uit e anere twee mogelijke koorenvierhoeken komen e verbanen a b + c = p r en a + b c = q r Door hanig combineren kun je b.v. iagonaal p uitrukken in a, b, c en : a c b a b c p. a b c Volgens meester Luolph kan eze formule ook geschreven woren als b a a c b p ( c ). b a b a ( )( ) c c 3. a Lei uit e rie gegeven verbanen e bovenste formule van p af b Laat vervolgens zien at beie formules gelijk zijn. Tip versie 3 a Vermenigvulig e formules van p q en p r b Breng van e tweee formule e factor b a ) oner het wortelteken. ( c Hulp versie 3 a Deel het prouct van e formules van p q en p r oor e formule van q r. Je hebt an een formule voor p². b a b Breng e breuken en oner een noemer. c b a c Bonusvragen In it boekje gaat het om het construeren van een koorenvierhoek met vier gegeven lijnstukken. Een koorenvierhoek is een vierhoek waarvan e hoekpunten op een cirkel liggen. De zijen van e vierhoek zijn us kooren van ie cirkel. In e figuur zie je een van e rie mogelijke koorenvierhoeken ie je kunt construeren met e lijnstukken a, b, c en. Alle mogelijke koorenvierhoeken met eze vier zijen liggen op een zelfe cirkel. In elk ervan komen twee van rie mogelijke iagonalen voor. Noem e lengte van e iagonalen p, q en r.

19 De stelling van Ptolemaeus zegt voor e getekene situatie at a c + b = p q ; Uit e anere twee mogelijke koorenvierhoeken komen e verbanen a b + c = p r en a + b c = q r a c b a b c Door hanig combineren kun je b.v. iagonaal p uitrukken in a, b, c en : p. a b c Om bij gegeven lengten a, b, c en e lengte van p te construeren wort gebruik gemaakt van e constructie van e mienproportionaal (e mielevenreige) van twee lijnstukken (getallen). De constructie van e mielevenreige van x (DE) en y (EG) gaat als volgt: Teken een (halve) cirkel met als miellijn DG = DE + EG = x + y. Teken in het aansluitpunt E van x en y op e miellijn een loolijn EF. Met behulp van eze constructie kan voor alle combinaties x en y een zije met lengte (x y) geconstrueer woren. Als je b.v. e lijnstukken (a c) en (b ) hebt geconstrueer, an kan met behulp van e stelling van Pythagoras een lijnstuk met lengte (a c + b ) = (( (a c))² + ( (b ))²) woren geconstrueer. In e figuur zie je e constructie van 48 (lijnstuk FE in e halve cirkel), e mielevenreige van 6 en 8, = (6 8). Meester Luolph gebruikt als voorbeel van e gezochte koorenvierhoek zijen met lengte a=6, b=8, c=9 en =8. In e figuur zie je hoe hij aarmee e iagonaal q (N = 69 5 / 9 ; it is een zetfout van 69 5 / 7 ) construeert. Bonusvragen a Bewijs at EF = 48. b Hoe kan met behulp van e lijnstukken in e linker figuur e iagonaal p geconstrueer woren? c Als je e waare van p eerst uitrekent, an kan p ook meteen als mielevenreige van twee getallen woren geconstrueer. Welke twee getallen ( ) woren beoel? Antwoor versie = versie 4 a c = p AE en b = p EC geeft a c + b = p AE + p EC = p (AE + EC) = p q Antwoor versie pq = ac + b, pr = ab + c, qr = a + bc; pq pr geeft (ac + b)(ab + c); pq pr = p² qr, us als je (ac + b)(ab + c) eelt oor a + bc, an heb je een uitrukking voor p²; an is p a c Antwoor versie 3 a p ( p q) ( q ( p r) b a r) a b b c ( a c c b ) ( a ( a b b c) ( c c ) b oner het wortelteken valt een factor b a ) weg, an na het oner een noemer brengen krijg je p ( a b c c ( a c ( b c a c b ) ; hieruit volgt e eerste formule van p ) Antwooren Bonusvragen a Teken e straal (7) vanuit het mielpunt; met Pythagoras krijg je an EF² = MF² - EM² = 49 = 48 b HE = ( (6 8))² + ( (9 8))²) = (48 + 6) = 0 = (a b + c ); zo is HI = (b c + a ) en LM = (a c + b ) p = HE LM / HI geeft b.v. p : HE = LM : HI; via gelijkvormighei kan nu p geconstrueer woren uit e bekene lijnstukken HE, HI en LM. In e tweee figuur is ie constructie uitgevoer voor q = HI LM / HE met b.v. p : HI = LM : HE c Het boekje begint met e constructie van 3 = ( ); als je p uitrekent an is at precies 3.

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-II

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-II Reistij figuur 1 rivier Een boot vaart op een rivier van naar en terug. De afstan tussen en is 10 km. De boot vaart altij met een snelhei van 20 km/u ten opzichte van het water. De rivier stroomt in e

Nadere informatie

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 4 les 1

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 4 les 1 Wiskune D Online uitwerking 4 VWO blok 4 les aragraaf. Opgave a et e stelling van thagoras volgt at (, ) ( ) + ( ) ( 3 ) + ( ) + 3 3 b De roosterpunten met afstan 3 tot liggen op e cirkel met als mielpunt

Nadere informatie

de Wageningse Methode Antwoorden H26 RECHTE LIJNEN HAVO 1

de Wageningse Methode Antwoorden H26 RECHTE LIJNEN HAVO 1 H6 RECHTE LIJNEN HAVO 6.0 INTRO a km kost,0: =,0 b rankje kost : =,0, us e entree is,0,0 = 0,-. Nee, als je bij e onerste lijn naar rechts gaat ga je omhoog, us als je naar rechts zou gaan, zou je omhoog

Nadere informatie

8 a. x K (in euro s) x K (in euro s)

8 a. x K (in euro s) x K (in euro s) Hoofstuk 6 RECHTE LIJNEN 6.0 INTRO b, =, km c k = l a km kost,0: =,0 b rankje kost : =,0, us e entree is,0,0 = 0,-. Nee, als je bij e onerste lijn 8 naar rechts gaat ga je omhoog, us als je naar rechts

Nadere informatie

H15 GELIJKVORMIGHEID VWO

H15 GELIJKVORMIGHEID VWO Hoofstuk 5 Gelijkvormighei VWO 5 Vergroten en verkleinen a 5 a 9 riehoekjes, zie plaatje: a 0,5:,9, en :, ij 9 inh 7 0,5,57 m ij 7 5 5,9 5,95 m 6,9 0,7 m 9 e 6 a a Die van ij Die van 0 ij 0, ie van 8 ij

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-1a / V-2a e Voorkennis Zie e figuur hieroner. Zie e figuur hieroner. De lijn n en het punt P kunnen ook aan e anere kant van lijn l liggen. Zie e figuur hieroner. P Zie e figuur hieroven. In vierhoek

Nadere informatie

a 90 b 30 c 10 d 6 a,b

a 90 b 30 c 10 d 6 a,b Hoofstuk 8 HOEKEN 8.0 INTRO a 5 De grote riehoek heeft even grote hoeken als een kleine riehoek:, en. Halverwege komen e hoeken met nummers, en samen. a 90 0 0 6 a, Dezelfe antwooren als ij en. a Die vormen

Nadere informatie

Voorkennis. Hoekmeting

Voorkennis. Hoekmeting Hoekmeting Hoeken meten we in graen of in raialen. Hiernaast zie je e eenheiscirkel in het vlak (e cirkel met straal en e oorsprong als mielpunt) waarop e beie verelingen zijn aangegeven. Een volleige

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 HOEKEN. 4 a 90 b 45 c 22,5. 5 a 90 1 a

Hoofdstuk 8 HOEKEN. 4 a 90 b 45 c 22,5. 5 a 90 1 a Hoofstuk 8 HOEKEN 8.0 INTRO 4 a 90 45 22,5 5 a 90 1 a De grote riehoek heeft even grote hoeken als een kleine riehoek: 1, 2 en 3. Halverwege komen e hoeken met nummers 1, 2 en 3 samen. 30 10 a 7 a 0, 120,

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - Afstanden

Hoofdstuk 2 - Afstanden Hoofstuk - fstanen. e afstan vanuit een punt lazije a riehoek R is een rehthoekige riehoek met R 5 en R, us gelt R + R 5 + 9 9 59, en R liggen eien in het vlakeel. R an is R R + 5 + 8 89. r gelt at R met

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Lijnen en cirkels

Hoofdstuk 1 - Lijnen en cirkels Lijn en vlak lazije a Die kun je aflezen van e oëffiiënten van x en y Dus is een normaalvetor 7 x invullen in e vergelijking van l geeft y en aarmee vin je (, ) y invullen in e vergelijking van l geeft

Nadere informatie

WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT3 - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 03 1.doc 1/11

WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT3 - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 03 1.doc 1/11 VAK: WISKUNDE - HWTK Set Proeftoets AT WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 0.oc / DIT EERST LEZEN EN VOORZIEN VAN NAAM EN LEERLINGNUMMER! Beschikbare tij: 00 minuten Uw naam:...

Nadere informatie

Voorkennis + lijst met standaardintegralen

Voorkennis + lijst met standaardintegralen Scheien van variabelen een oplosmethoe voor eerste ore-ifferentiaalvergelijkingen WISNET-HBO NHL upate mei 2009 Inleiing Het met pen en papier berekenen van e analytische oplossing van een eerste ore ifferentiaalverglijking

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 12 Extra oefening - Basis B-1a Vul k = 65 in, at geeft e vergelijking 25u + 15 = 65. 25u = 50 us u = 2. Er is 2 uur gewerkt ij mevrouw Groen. c 25u + 15 = 58,75 25u =,75 u =,75 : 25 us u = 1,75. B-2a De

Nadere informatie

Blok 6B - Vaardigheden

Blok 6B - Vaardigheden B-a Etra oefening - Basis Eigenschap C is ook een definitie van een rechthoek. A: Als de diagonalen wel even lang zijn maar elkaar niet middendoor delen, is de vierhoek geen rechthoek. Denk ijvooreeld

Nadere informatie

Bewijzen onder leiding van Ludolph van Ceulen

Bewijzen onder leiding van Ludolph van Ceulen Bewijzen onder leiding van Ludolph van Ceulen 1540 1610 Margot Rijnierse Inleiding In de tijd van Ludolph van Ceulen hadden de meetkundige geleerden belangstelling voor de geschriften van de oude Grieken,

Nadere informatie

d = 8 cm 2 6 A: = 26 m 2 B: = 20 m 2 C: = 18 m 2 D: 20 m 2 E: 26 m 2

d = 8 cm 2 6 A: = 26 m 2 B: = 20 m 2 C: = 18 m 2 D: 20 m 2 E: 26 m 2 H17 PYTHAGORAS 17.1 INTRO 1 b c d 1 4 4 = 8 cm 6 A: 6 1 5 1 4 = 6 m B: 6 1 4 4 = 0 m C: 6 1 3 3 4 = 18 m D: 0 m E: 6 m 7 a A:, cm B: 5,0 cm C: 3, cm D: 4,1 cm b Voor elke zijde geldt dat het de schuine

Nadere informatie

1 Cartesische coördinaten

1 Cartesische coördinaten Cartesische coördinaten Verkennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Analytische Meetkunde Cartesische coördinaten Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er

Nadere informatie

Een bol die raakt aan de zijden van een scheve vierhoek

Een bol die raakt aan de zijden van een scheve vierhoek Een bol die raakt aan de zijden van een scheve vierhoek Dick Klingens Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel oktober 005 We bewijzen allereerst de volgende hulpstelling: Hulpstelling 1 De meetkundige

Nadere informatie

Meetkunde 2 - Omtrek 2 - Cirkels. Versie 2a - donderdag 29 maart 2007

Meetkunde 2 - Omtrek 2 - Cirkels. Versie 2a - donderdag 29 maart 2007 eetkune 2 - Omtrek 2 - Cirkels Versie 2a - onerag 29 maart 2007 De cirkel is een verzameling punten op een vaste afstan van één punt (het mielpunt ). Je kunt een cirkel tekenen met een passer. De afstan

Nadere informatie

6 A: 6 2 2 1 5 1 4 = 26 m 2 B: 6 2 2 1 4 2 4 = 20 m 2 C: 6 2 1 2

6 A: 6 2 2 1 5 1 4 = 26 m 2 B: 6 2 2 1 4 2 4 = 20 m 2 C: 6 2 1 2 Hoofdstuk 17 PYTHAGORAS HAVO 17.1 INTRO 1 b c 6 A: 6 1 5 1 4 = 6 m B: 6 1 4 4 = 0 m C: 6 1 3 3 4 = 18 m D: 0 m E: 6 m 7 a A:, cm B: 5,0 cm C: 3, cm D: 4,1 cm b Voor elke zijde geldt dat het de schuine

Nadere informatie

1 Coördinaten in het vlak

1 Coördinaten in het vlak Coördinaten in het vlak Verkennen Meetkunde Coördinaten in het vlak Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er niet uitkomt, ga je gewoon naar de Uitleg, maar bekijk het probleem

Nadere informatie

Cabri-werkblad. Driehoeken, rechthoeken en vierkanten. 1. Eerst twee macro's

Cabri-werkblad. Driehoeken, rechthoeken en vierkanten. 1. Eerst twee macro's Cabri-werkblad Driehoeken, rechthoeken en vierkanten 1. Eerst twee macro's Bij de opdrachten van dit werkblad zullen we vaak een vierkant nodig hebben waarvan alleen de beide eindpunten van een zijde gegeven

Nadere informatie

wiskunde A vwo 2017-I

wiskunde A vwo 2017-I Zonnepanelen maximumscore 3 Na t jaar is e prijs met een factor, 05 t vermenigvulig De vergelijking, 05 = moet woren opgelost 5 (jaar) ( 4 (jaar)) ( nauwkeuriger) maximumscore 4 De opbrengst per jaar is

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales

Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales - 127 1. Projectie op een rechte (boek pag 175) x en y zijn twee... rechten. We trekken door het punt A een evenwijdige rechte met de rechte y en noemen het

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Inleiding

Hoofdstuk 1: Inleiding Hoofstuk 1: Inleiing 1.1. Richtingsvelen. Zie Stewart, 9.2. 1.2. Oplossingen van enkele ifferentiaalvergelijkingen. Zelf oorlezen. 1.3. Classificatie van ifferentiaalvergelijkingen. Differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

de Wageningse Methode Antwoorden H17 PYTHAGORAS VWO 1

de Wageningse Methode Antwoorden H17 PYTHAGORAS VWO 1 Hoofdstuk 17 PYTHAGORAS VWO 17.0 INTRO 1 b C: 3, cm D: 4,1 cm b Voor elke zijde geldt dat het de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 3 en 4 cm is. Dus alle vier de zijden

Nadere informatie

1.4 Differentiëren van machtsfuncties

1.4 Differentiëren van machtsfuncties . Differentiëren van machtsfuncties De inmiels bekene regel voor het ifferentiëren van machtsfuncties luit: n n [ ] n (n,,, ) Deze regel kun je vrij gemakkelijk herontekken met behulp van e (uitgebreie)

Nadere informatie

Vlakke Meetkunde. Les 1 Congruentie en gelijkvormig

Vlakke Meetkunde. Les 1 Congruentie en gelijkvormig Vlakke Meetkunde Les 1 Congruentie en gelijkvormig (Deze les sluit aan bij het paragraaf 1 van Vlakke Meetkunde van de Wageningse Methode. Vlakke Meetkunde kun je downloaden vanaf de site van de Open Universiteit.

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-1a De punten op een afstan van 3 m van lijn l liggen op twee lijnen evenwijig aan l. De punten op een afstan van 5 m van punt liggen op een irkel met straal 5 en mielpunt. De vier snijpunten

Nadere informatie

werkschrift driehoeken

werkschrift driehoeken werkschrift driehoeken 1 hoeken 11 Rangschik de hoeken van klein naar groot. 14 b Teken een lijn l met daarop een punt A. Teken met je geodriehoek een lijn die l loodrecht snijdt in A. c Kies een punt

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv lazije a - De inhou van e afgeknotte piramie is 70,% van e inhou van e hele piramie. De inhou van e hele piramie is : I 0 m Inhou afgeknotte piramie: I afgeknot 0, 70 0, 7 m a - - h ELM EJK ELM h h h ELM

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-1a / 52 V-2a e Voorkennis Zie e figuur hieroner. Zie e figuur hieroner. De lijn n en het punt P kunnen ook aan e anere kant van lijn l liggen. Zie e figuur hieroner. P m l Zie e figuur hieroven. In vierhoek

Nadere informatie

Uitwerkingen toets 8 juni 2011

Uitwerkingen toets 8 juni 2011 Uitwerkingen toets 8 juni 0 Opgave. Vind alle paren (x, y) van gehele getallen die voldoen aan x + y + 3 3 456 x y. Oplossing. Omdat links een geheel getal staat, moet rechts ook een geheel getal staan.

Nadere informatie

Wiskunde AEO V. Afdeling Kwantitatieve Economie. Uitwerking tentamen 6 januari 2010

Wiskunde AEO V. Afdeling Kwantitatieve Economie. Uitwerking tentamen 6 januari 2010 Afeling Kwantitatieve Economie Wiskune AEO V Uitwerking tentamen 6 januari 00 Een stelling ( punten) Laat c een ifferentieerbare kromme zijn, ie op een niveauverzameling van een ifferentieerbare functie

Nadere informatie

Calculus I, 20/10/2014

Calculus I, 20/10/2014 Calculus I, 20/0/20. Gegeven e kromme yx waarvoor arctan y x = 2 lnx2 + y 2 a Bereken e afgeleie y voor een punt x,y at voloet aan het functievoorschrift. b Gebruik e gevonen uitrukking voor e afgeleie

Nadere informatie

Blok 4 - Keuzemenu. Verdieping - Driehoeksmetingen. 1092,33 3, meter = 4,118 km De afstand is ongeveer 4,1 km.

Blok 4 - Keuzemenu. Verdieping - Driehoeksmetingen. 1092,33 3, meter = 4,118 km De afstand is ongeveer 4,1 km. 1a a 3a Verieping - Driehoeksmetingen 109,33 3,77 4118 meter = 4,118 km De afstan is ongeveer 4,1 km. 45 L 4,1 km Z Zoetermeer Voorshoten is 68 mm Leien Voorshoten is 94 mm In e tekening is 1 km geteken

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Extra oefening - Basis B-a 5x + 6 7x + e 4x + 6 x + 6 x + 3x + 6 4 x 3x 5 x 4 : dus x x 5 : 3 dus x 5 b 9x + 0 34 + x f 8x + 5x + 38 8x + 0 34 3x + 38 8x 4 3x 6 x 4 : 8 dus x 3 x 6 : 3 dus x c 4x + 9 7x

Nadere informatie

STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie

STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie Euclides van Alexandrië (ca. 265-200 v.chr.) Thales van Milete (ca. 624 v.chr. - 547 v.chr.) INHOUDSOPGAVE Algemene begrippen..blz. 1-3 - Stelling en bewijs

Nadere informatie

Spelen met passer en liniaal - werkboek

Spelen met passer en liniaal - werkboek Spelen met passer en liniaal - werkboek Basisconstructie 1: het midden van een lijnstuk (de middelloodlijn) Gegeven: lijnstuk AB. Gevraagd: het midden van lijnstuk AB. Instructie Teken (A, r) en (B, r)

Nadere informatie

Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen

Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Les 0 (Extra) Aant. Voorkennis: Hoeken en afstanden Theorie A: Sinus, Cosinus en tangens O RHZ tan A = A RHZ O RHZ sin A = SZ A RHZ cos A = SZ Afspraak: Graden afronden

Nadere informatie

Voorbereiding : examen meetkunde juni - 1 -

Voorbereiding : examen meetkunde juni - 1 - Voorbereiding : examen meetkunde juni - 1 - De driehoek : Congruentiekenmerken van een driehoek kennen Soorten lijnen in een driehoek kennen Bissectricestelling kennen Stelling van het zwaartelijnstuk

Nadere informatie

14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:

14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: 14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64

Nadere informatie

Uitwerkingen toets 9 juni 2010

Uitwerkingen toets 9 juni 2010 Uitwerkingen toets 9 juni 2010 Opgave 1. Zij ABC een scherphoekige driehoek met de eigenschap BAC = 45. Zij D het voetpunt van de loodlijn vanuit C op AB. Zij P een inwendig punt van het lijnstuk CD. Bewijs

Nadere informatie

2.1 Cirkel en middelloodlijn [1]

2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] 2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] Hiernaast staat de cirkel met middelpunt M en straal 2½ cm In het kort: (M, 2½ cm) Op de zwarte cirkel liggen alle punten P met PM = 2½ cm In het rode binnengebied liggen

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

4 A: = 10 B: 4 C: 8 D: 8

4 A: = 10 B: 4 C: 8 D: 8 Hoofdstuk OPPERVLAKTE VWO 0 INTRO A: + 6 = 0 B: C: 8 D: 8 DE OPPERVLAKTE VAN EEN PARALLELLOGRAM Als voorbeeld de oppervlakte van D: De donkerblauwe rechthoek heeft oppervlakte 5 = 0 Daar gaan twee halve

Nadere informatie

7.0 Voorkennis. Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden.

7.0 Voorkennis. Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden. 7.0 Voorkennis Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden. Voorbeeld definitie: Een gestrekte hoek is een hoek van 180 ; Een rechte hoek is een hoek van 90 ; Een parallellogram is een vierhoek

Nadere informatie

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Exacte waarden bij sinus en cosinus

Exacte waarden bij sinus en cosinus Exacte waaren ij sinus en cosinus In enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus exact oplossen. Welke gevallen zijn at? Hieroven zie je grafieken van f(x) = sin x en g(x) = cos x. a Hoe

Nadere informatie

De maximale waarderingscijfers van de opgaven verhouden zich als 30:30:20:20 deel cijfer=score./10

De maximale waarderingscijfers van de opgaven verhouden zich als 30:30:20:20 deel cijfer=score./10 Universiteit Twente, Werktuigbouwkune Vak : Programmeren en Moelleren Datum : 0 oktober 20 Tij : 08.45-0.5 uur TOETS Deze eeltoets bestaat uit 4 opgaven. Geef niet alleen e antwooren maar toon ook e geane

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-1a 20 e f Voorkennis De autosnelweg loopt van noor naar zui. De Sloterplas loopt van nooroost naar zuiwest. Osorp ligt vanaf station msteram Lelylaan gezien in het westen. Het Sloterpark ligt vanaf station

Nadere informatie

Notatieafspraken bovenbouw, wiskunde B

Notatieafspraken bovenbouw, wiskunde B Notatieafspraken bovenbouw, wiskune B Bewaar it ocument zorgvulig Het wort slechts éénmaal verstrekt Dit ocument bevat afspraken voor e correcte notatie volgens e gehele sectie wiskune van het Steelijk

Nadere informatie

Oefeningenexamen Projectieve Meetkunde: oplossingen

Oefeningenexamen Projectieve Meetkunde: oplossingen Oefeningenexamen Projectieve Meetkune: oplossingen 2e bachelor Wiskune acaemiejaar 2011-2012 1 Eerste zittij Oefening 1.1. Een {, m}-boog in PG(2, q) is een verzameling van m 1 punten zoat ieere rechte

Nadere informatie

4.1 Rekenen met wortels [1]

4.1 Rekenen met wortels [1] 4.1 Rekenen met wortels [1] Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A 2 A Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.1 Rekenen met wortels [1] Voorbeeld 3:

Nadere informatie

Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende.

Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende. Cabri-werkblad Rond het zwaartepunt van een driehoek Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende. Stelling De verbindingslijn van de middens van twee zijden van

Nadere informatie

IMO-selectietoets I woensdag 5 juni 2013

IMO-selectietoets I woensdag 5 juni 2013 IMO-selectietoets I woensdag 5 juni 201 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Vind alle viertallen (a, b, c, d) van reële getallen waarvoor geldt ab + c + d =, bc + d + a = 5, cd

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 - Verbanden herkennen

Hoofdstuk 5 - Verbanden herkennen V-a V-a Hoofstuk - Veranen herkennen Hoofstuk - Veranen herkennen Voorkennis O A B De grafiek ij tael A is een rehte lijn, want telkens als in e tael met toeneemt neemt met toe. Het startgetal is en het

Nadere informatie

Uitwerkingen toets 18 maart 2011

Uitwerkingen toets 18 maart 2011 Uitwerkingen toets 8 maart 20 Opgave. Alle positieve gehele getallen worden rood of groen gekleurd, zodat aan de volgende voorwaarden wordt voldaan: Er zijn zowel rode als groene getallen. De som van drie

Nadere informatie

Extra oefeningen: de cirkel

Extra oefeningen: de cirkel Extra oefeningen: de cirkel 1. Gegeven een cirkel met middelpunt M en straal r 5 cm en. De lengte van de raaklijnstukken PA PB uit een punt P aan deze cirkel bedraagt 1 cm. Bereken de afstand PM. () PAM

Nadere informatie

Estafette. De langste zijde wordt in twee ongelijke stukken verdeeld. Laat x de lengte van het ene stuk zijn, dan is het andere stuk 25 x.

Estafette. De langste zijde wordt in twee ongelijke stukken verdeeld. Laat x de lengte van het ene stuk zijn, dan is het andere stuk 25 x. 7 e Wiskundetoernooi Estafette 08 Uitwerking opgave e langste zijde wordt in twee ongelijke stukken verdeeld. Laat x de lengte van het ene stuk zijn, dan is het andere stuk 5 x. x 5 x at de twee rechthoeken

Nadere informatie

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2 Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras

Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras Benamingen afspraken ( boek pag 53) - 49 We spreken van een rechthoekige driehoek als... We zeggen dat in de rechthoekige ABC de grootte van de hoek A 90 o is We

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Zomercursus Wiskune Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rekenregels voor het berekenen van afgeleien (versie 27 juni 2008) Inleiing De afgeleie van een functie f in een punt R is e helling (richtingscoëfficiënt)

Nadere informatie

Voorbereiding : examen meetkunde juni - oplossingen Naam:. Klas:...

Voorbereiding : examen meetkunde juni - oplossingen Naam:. Klas:... - 1 - Opmerking: Maak ook steeds oefeningen uit toets jezelf! uit je boek. Hermaak ook de oefeningen uit je map Etra opgaven: Nr. Opgave Wegens welk congruentiekenmerk zijn volgende driehoeken congruent?

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

dan liggen C en D op dezelfde cirkelboog AB (constante hoek) dus A, B, C en D liggen op één cirkel, dus ABCD is een koordenvierhoek

dan liggen C en D op dezelfde cirkelboog AB (constante hoek) dus A, B, C en D liggen op één cirkel, dus ABCD is een koordenvierhoek . Omtrekshoeken en middelpuntshoeken Opgave : ACB is constant Opgave : a. * b. * c. ACB AMB Opgave 3: a. * b. de drie cirkels gaan door één punt c. de drie lijnstukken gaan door één punt Opgave 4: a. Teken

Nadere informatie

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:

Nadere informatie

Antwoordmodel - Vlakke figuren

Antwoordmodel - Vlakke figuren Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.

Nadere informatie

5 a 90. b 30 c 10 d. 6 ab. 10 a hoek A = 360 : 3 = 120 hoek B = 360 : 5 = 72 b hoek C = ( ) : 2 = 135

5 a 90. b 30 c 10 d. 6 ab. 10 a hoek A = 360 : 3 = 120 hoek B = 360 : 5 = 72 b hoek C = ( ) : 2 = 135 Hoofdstuk 8 HOEKEN 5 a 90 8.0 INTRO 1 a De grote driehoek heeft even grote hoeken als een kleine driehoek: 1, 2 en 3. c Halverwege komen de hoeken met nummers 1, 2 en 3 samen. d 6 a 30 c 10 d 7 a 60, 120,

Nadere informatie

PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET

PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET Van onderzoekend leren naar leren onderzoeken in de tweede en derde graad Luc Gheysens DPB-Brugge 2012 PROBLEEM 1 Stelling van Pythagoras en gelijkvormige driehoeken Hieronder

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 - Integreren

Hoofdstuk 4 - Integreren Hoofstuk - Integreren Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel Voorkennis: Oppervlakten lazije 98 V-a BC Oppervlakte ABC Driehoek ABC is gelijkvormig met riehoek ADB us AC AB waaruit volgt at BC BD us BD BD c

Nadere informatie

uuur , DF en DB met kentallen. b) Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige uuur

uuur , DF en DB met kentallen. b) Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige uuur 4 Van D naar 3D Verkennen Van D naar 3D Inleiding Verkennen Bekijk de applet. Met de rechter muisknop kun je het assenstelsel om de oorsprong draaien en de fig van alle kanten bekijken. Beantwoord nu de

Nadere informatie

Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000

Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000 Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000 VBO en MAVO Klas 3 en 4 Vragen 1 t/m 10: voor elk goed antwoord +3 punten, voor elk fout antwoord -¾ punt. 1. Hiernaast zie je drie aanzichten (voor, boven, links)

Nadere informatie

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] 12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Stelling van de constante hoek: Voor de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB geldt: ACB = ADB. Omgekeerde stelling van de constante hoek: Als punt D aan dezelfde

Nadere informatie

2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β.

2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β. 1 Synthetische RM 1. (a) Geef de definitie van de loodrechte stand van twee vlakken. (b) Geen stellingen die voorwaarden uitdrukken opdat twee vlakken orthogonaal zijn. (c) Steun op 1a of 1b om te bewijzen

Nadere informatie

1 Introductie. 2 Oppervlakteformules

1 Introductie. 2 Oppervlakteformules Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus ook weergegeven met XY. Verder zullen we de volgende notatie

Nadere informatie

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] 9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 989-990: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination -

Nadere informatie

Paragraaf 4.1 : Gelijkvormigheid

Paragraaf 4.1 : Gelijkvormigheid Hoofdstuk 4 Meetkunde (V4 Wis B) Pagina 1 van 8 Paragraaf 4.1 : Gelijkvormigheid Les 1 : Gelijkvormigheid Definities sin( A) = Overstaande Schuine cos( A) = Aanliggende Schuine = O S = A S tan( A) = Overstaande

Nadere informatie

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Beschouw de 4 termen: x y, x, 6, 9x Voor welke waarden van x en y vormen deze termen een rekenkundige rij? x 9x x, 6, 9 x : RR 6 0x x 0,9 0,9 y ;,9 ; 6 ; 8,,

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv er s v Voorkennis e f V-2a e autosnelweg loopt van noor naar zui. e Sloterplas loopt van nooroost naar zuiwest. Osorp ligt vanaf station msteram Lelylaan gezien in het westen. Het Sloterpark ligt vanaf

Nadere informatie

4.2.6 I. Betreft opgave 4.2.2: a. B f = {a, b } d. B f = {a, b, c } = C f II. Betreft opgave 4.2.4: e. B f e = IR + 0 = IR. f. B f f. g.

4.2.6 I. Betreft opgave 4.2.2: a. B f = {a, b } d. B f = {a, b, c } = C f II. Betreft opgave 4.2.4: e. B f e = IR + 0 = IR. f. B f f. g. g. x=2y+1 2y = x - 1 y = 1 2 x- 1 2 Duielijk zal zijn at bij elke x-waare precies één y-waare hoort, ofwel: bij elk origineel hoort precies één beel. Het is us een functie. (N.B.: als het coomein geen

Nadere informatie

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

6.1 Rechthoekige driehoeken [1]

6.1 Rechthoekige driehoeken [1] 6.1 Rechthoekige driehoeken [1] In het plaatje hiernaast is een rechthoekige driehoek getekend. Aan elke zijde van deze driehoek ligt een vierkant. Het gele vierkant heeft een oppervlakte van 9 hokjes;

Nadere informatie

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde Oppervlkte vn riehoeken Verkennen Opgve 1 Je ziet hier twee riehoeken op een m-rooster. Beie riehoeken zijn omgeven oor eenzelfe rehthoek. nme: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg file: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg Hoeveel

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - Differentiëren

Hoofdstuk 6 - Differentiëren Havo D eel Uitwerkingen Moerne wiskune Hoofstuk - Differentiëren Blazije a Het water steeg het harst op e tijstippen waarij e grafiek het steilst loopt. Dat is om ongeveer 7 uur s ohtens en om 7 uur s

Nadere informatie

De constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.

De constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer. Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 Goniometrie

Hoofdstuk 6 Goniometrie Opstap Tangens O-1a EF!1044 32,3 m zije kwaraat zije kwaraat KL 30 m 900 ST 20 m 400 LM 15 m 225 TW? 225 KM? 1125 SW 25 m 625 KM!1125 33,5 m TW!225 15 m O-2a Driehoek PQR is een rehthoekige riehoek omat

Nadere informatie

Blok 3 - Vaardigheden

Blok 3 - Vaardigheden Blok - Vaarigheen lazije 6 a Je moet e vergelijking ( )( ) oplossen. Je ziet nu meteen wat e oplossingen zijn. ( )( ) of of Je moet nu e vergelijking ( )( ) oplossen. e De methoe van onereel gelt alleen

Nadere informatie

De vergelijking van Antoine

De vergelijking van Antoine De vergelijking van Antoine Als een vloeistof een gesloten ruimte niet geheel opvult, dan verdampt een deel van de vloeistof. De damp oefent druk uit op de wanden van de gesloten ruimte: de dampdruk. De

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

Cabri-werkblad Negenpuntscirkel

Cabri-werkblad Negenpuntscirkel Cabri-werkblad Negenpuntscirkel 0. Vooraf - Bij dit werkblad wordt kennis verondersteld van de eigenschappen van parallellogrammen, rechthoekige driehoeken en van de elementaire eigenschappen van de koordenvierhoek.

Nadere informatie

Afgeleiden berekenen met DERIVE

Afgeleiden berekenen met DERIVE /09/007 Afgeleien met DERIVE.fw 18:48:0 Afgeleien berekenen met DERIVE In DERIVE zijn alle regels ingebouw waarmee je ook op papier afgeleien berekent: lineariteit, prouct- en quotiëntregel, kettingregel.

Nadere informatie