DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN"

Transcriptie

1 Inleiding DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN Stefaan Poedts Centrum voor mathematische Plasma-Astrofysica, KU Leuven Oefeningen Bruno, Liebrecht en Simon Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 3

2 Inleiding Motivatie Doelstellingen Belangrijke opmerking Differentiaalvergelijkingen: intro Motivatie Differentiaalvergelijkingen zijn belangrijk! fundamentele natuurwetten kunnen uitgedrukt worden als differentiaalvergelijkingen, bv. - gravitatie (wet van Newton) - quantum-mechanica (de Schrödingervergelijking) - elektromagnetisme (wetten van Maxwell) - relativiteit (wetten van Einstein) - de beweging van gassen en vloeistoffen (de Navier-Stokes vgln.) de bewegingen van planeten, computers, elektromagnetische straling (o.a. licht), de werking van GPS, het weer, enz. worden allemaal beschreven door differentiaalvergelijkingen Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 4

3 Inleiding Motivatie Doelstellingen Belangrijke opmerking Differentiaalvergelijkingen: intro Doelstellingen het leren opstellen van eenvoudige wiskundige modellen voor diverse problemen die met differentiaalvergelijkingen kunnen beschreven worden het bespreken van de eigenschappen van oplossingen van deze differentiaalvergelijkingen het voorstellen van enkele methoden die geschikt blijken voor het vinden van oplossingen of, in sommige gevallen, benaderingen ervan niet alleen geïnteresseerd in de oplossingen, ook in - eigenschappen en structuur van deze oplossingen - de manier waarop eigenschappen worden bepaald - de manier waarop eigenschappen worden toegepast om inzicht te krijgen in bepaalde problemen om ze op te lossen of gefundeerde voorspellingen te doen, zijn minstens even leerrijk Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 5

4 Inleiding Motivatie Doelstellingen Belangrijke opmerking Differentiaalvergelijkingen: intro Belangrijke opmerking wetenschappelijk onderzoek of een wetenschappelijke aanpak van een probleem begint én eindigt met wiskundige modellering dat is zo voor alle exacte en toegepaste wetenschappen, en dus ook voor bio-ingenieurswetenschappen De meeste wiskundige modellen zijn gebazeerd op differentiaalvergelijkingen In de opleiding tot bio-ingenieur komen Dvgln bijgevolg voor in nagenoeg alle andere cursussen, tenminste voor zover die een wetenschappelijke aanpak uitdragen Het BELANG van deze cursus is dus nauwelijks te overschatten! Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 6

5 Inleiding Motivatie Doelstellingen Belangrijke opmerking Differentiaalvergelijkingen: intro Differentiaalvergelijkingen Theorie 26 uren (2 weken: 2 2 uren/week + 9 weken: 1 2 uren/week) cursus: Differentiaalvergelijkingen, bij ACCO (uitgave 2010!) Oefeningen 26 uren (1 x 2 uren/week, vanaf volgende week!) opgaven uit cursus assistenten: Bruno, Liebrecht en Simon Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 7

6 Inleiding Motivatie Doelstellingen Belangrijke opmerking Differentiaalvergelijkingen: intro Differentiaalvergelijkingen: intro Examens en zo... Januari 2013: open boek examen: cursus en ook het gebruik van een PORTFOLIO toegestaan! Dit portfolio bevat: - vademecum van belangrijke formules - oplossingsmethoden en -strategieën (gestructureerd) - eventueel type- of voorbeeld-oplossingen van gemaakte opgaven door ieder van jullie ZELF samengesteld en handgeschreven! samenstelling: vijf opgaven - 1 of 2 theorie - of inzichtsvragen - 3 of 4 oefeningen voorbeeldvragen: zie cursus (appendix), lessen & Toledo! Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 8

7 Inleiding Motivatie Doelstellingen Belangrijke opmerking Differentiaalvergelijkingen: intro Differentiaalvergelijkingen : inhoud 1 Algemene inleiding 2 Complexe getallen en complexe analyse 3 Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste en tweede orde 4 Lineaire differentiaalvergelijkingen van hogere orde 5 Reeksoplossingen van tweede-orde differentiaalvergelijkingen 6 Stelsels van eerste orde differentiaalvergelijkingen 7 Lineaire integraaltransformaties 8 Differentievergelijkingen en numerieke methoden 9 Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourier-reeksen Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 9

8 Wiskundige modellen bouwen Motivatie : wiskundige modellering onderliggende principes (of wetten ) van het gedrag van onze natuurlijke omgeving betreffen vaak verbanden aangaande de snelheid (tempo, ritme) van gebeurtenissen bij wiskundig vertaling: - de verbanden worden vergelijkingen - de snelheden worden afgeleiden differentiaalvergelijkingen nodig om beter inzicht te krijgen en problemen op te lossen aangaande - de beweging van vloeistoffen en gassen - dissipatie van hitte in vaste voorwerpen - de voortplanting van seismische golven - de toename en afname van populaties, enz. differentiaalvergelijking die fysisch proces beschrijft = wiskundig model Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 10

9 Wiskundige modellen bouwen Motivatie : wiskundige modellering belangrijkste reden voor oplossen Dvgl is vaak iets te leren over het onderliggende fysische proces eerder geïnteresseerd in het wiskundige model zelf! - gevonden oplossing is vaak aanzet om model te verbeteren - nieuwe vergelijking oplossen en evtl. opnieuw aanpassen wiskundige model wordt steeds beter, maar ook ingewikkelder belang van Dvgln schuilt in het feit dat zelfs de meest eenvoudige vergelijkingen overeenstemmen met nuttige fysische modellen (vb. exponentiële groei en afname, veer-massa systemen,... ) inzicht in complexe natuurlijke processen wordt meestal verkregen door combinaties van basismodellen grondige kennis basismodellen aangewezen: vergelijkingen en oplossing(en) belangrijk voor oplossing van meer complexe problemen Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 11

10 Wiskundige modellen bouwen stel de tijd voor door t en de snelheid door v v zal functie zijn van t, m.a.w. v = afhankelijke variabele en t = onafhankelijke variabele keuze van eenheden is vrij arbitrair (meestal SI) we nemen aan dat v positief is in neerwaartse richting 2de wet van Newton: massa (m) versnelling (a) = netto kracht (F ) wiskundig: ma = F (m in kg, a in m/s 2, F in Newton) versnelling is de afgeleide van de snelheid zodat: F = m dv dt (1) Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 12

11 Wiskundige modellen bouwen krachten die op het vallende voorwerp ingrijpen: - gravitatiekracht = mg, met g = 9, 8 m/s 2 - kracht ten gevolge van de luchtweerstand, stel = γv (γ = weerstandscoëfficiënt) gravitatie altijd neerwaarts (in de positieve richting) weerstandskracht in opwaartse (negatieve) richting zodat: vergelijking (1) wordt: F = mg γv(t) m dv dt = mg γv(t) (2) Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 13

12 Wiskundige modellen bouwen m dv dt = mg γv(t) dit is een wiskundig model voor een vallend voorwerp in de atmosfeer dit model bevat drie constanten, nl. m, g, en γ - m en γ sterk afhankelijk van vallende voorwerp = parameters - waarde van g is dezelfde voor elk voorwerp oplossing: vind een functie v = v(t) die voldoet aan deze vgl. cf. vorig jaar: methode van scheiding van de veranderlijken (opgave!) voor m = 10 kg en γ = 2 kg/s Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 14

13 Wiskundige modellen bouwen Opgave 1: een vallend voorwerp DVGL: 10 dv = 98 2v(t) dt dv scheiding van de veranderlijken: 9, 8 0, 2 v = dt d( 0, 2v) integreren (substitutie): 5 9, 8 0, 2 v = dt uitwerken: ln 9, 8 0, 2 v = t/5 + C exponent nemen: herschrijven (met C = 5 e C ): 9, 8 0, 2 v = e C e t/5 v = 49 + C e t/5 Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 15

14 Wiskundige modellen bouwen m dv dt = mg γv(t) dit is een wiskundig model voor een vallend voorwerp in de atmosfeer dit model bevat drie constanten, nl. m, g, en γ - m en γ sterk afhankelijk van vallende voorwerp = parameters - waarde van g is dezelfde voor elk voorwerp oplossing: vind een functie v = v(t) die voldoet aan deze vgl. cf. vorig jaar: methode van scheiding van de veranderlijken (opgave!) voor m = 10 kg en γ = 2 kg/s: v(t) = 49 + C e t/5 (3) Maple-demo (ode-vb1.mws) Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 16

15 Wiskundige modellen bouwen 80 v t Vijf verschillende oplossingen van vgl. (2) voor m = 10 kg, γ = 2 kg/s en v(0) respectievelijk gelijk aan -20, 10, 30, 70 en 90. Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 17

16 Wiskundige modellen bouwen beschouw populatie veldmuizen in een bepaald landbouwgebied als geen roofdieren tempo groei populatie dieren (gebruikelijke beginhypothese in populatiedynamica) t = tijd, p(t) = dieren in populatie met r de groeisnelheid dp dt = rp(t) (4) als t in maanden en r = 0, 5/maand elk lid in muizen/maand Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 18

17 Wiskundige modellen bouwen bijkomende complicatie: in zelfde gebied leven ook verschillende uilen stel: uilen eten samen 15 muizen per dag term toevoegen aan de differentiaalvergelijking : dp dt = 0, 5p(t) 450 (5) Merk op: roofterm = -450 ( 15 wegens t in maanden (30 d)) met scheiding van de veranderlijken (opgave!): Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 19

18 Wiskundige modellen bouwen Opgave 2: veldmuizen en uilen DVGL: scheiding van de veranderlijken: integreren (substitutie): 2 dp dt = p(t) dp p(t) = dt dt dp/2 p(t) = uitwerken: ln p(t) 450 = t/2 + C 2 exponent nemen: p(t) = ec e t/2 herschrijven (met C = 2 e C ): p = C e t/2 Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 20

19 Wiskundige modellen bouwen p(t) = C e t/2 (6) met C willekeurige (integratie-)constante, te bepalen via BVW p(0) meer algemene vorm van deze vergelijking : dp dt met r = groeisnelheid en k = roofsnelheid = rp(t) k, (7) evenwichtsoplossing van vgl. (7) is natuurlijk p = k/r Maple-demo (ode-vb2.mws) Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 21

20 Wiskundige modellen bouwen p t 1000 Vijf verschillende oplossingen van vgl. (5) voor p(0) respectievelijk gelijk aan 800, 850, 890, 910 en 950. Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 22

21 Wiskundige modellen bouwen Opmerkingen vgl. (7) lijkt sterk op vgl. (2) in beide gevallen is er een evenwichtsoplossing die toenemende oplossingen scheidt van afnemende oplossingen cf. Maple demo s: in vb 1: andere oplossingen convergeren naar evenwichtsoplossing in vb 2: andere oplossingen divergeren weg van evenwichtsoplossing evenwichtsoplossing komt in praktijk nooit voor! toch is de evenwichtsoplossing erg belangrijk om te begrijpen hoe de oplossingen van de differentiaalvergelijkingen zich gedragen! Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 23

22 Wiskundige modellen bouwen Opmerkingen beide modellen hebben natuurlijk hun beperkingen: - eerste model (2) is enkel geldig zolang het voorwerp een vrije val uitoefent, zonder botsingen, wind, enz. - populatiemodel (5) voorspelt negatieve aantallen muizen als p(0) < 900 en enorm grote aantallen als p(0) > 900 beide oplossingen worden na korte tijd onrealistisch, zodat deze modellen vrij snel onaanvaardbaar worden Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 24

23 Wiskundige modellen bouwen Wiskundige modellen bouwen om andere modellen op te stellen moet je begrijpen dat elk probleem anders is het construeren van een bevredigend wiskundig model is vaak het moeilijkste deel van het probleem stappen die (vaak) deel uitmaken van dit proces: Identificeer de afhankelijke en onafhankelijke variabelen en geef ze een naam (letter). De tijd is vaak de onafhankelijke veranderlijke. Kies eenheden om elke variabele te meten. Deze keuze is eigenlijk arbitrair maar sommige keuzes kunnen handiger zijn dan andere. Beklemtoon het onderliggende basisprincipe van het probleem, bv. een herkenbare fysische wet (zoals de wet van Newton) maar ook een meer speculatieve aanname gebazeerd op je eigen ervaring of op waarnemingen. Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 25

24 Wiskundige modellen bouwen Wiskundige modellen bouwen stappen die (vaak) deel uitmaken van dit proces (vervolg): Druk het principe of de natuurwet uit de vorige stap uit in termen van de variabelen die je gekozen hebt in stap 1. Dit is makkelijker gezegd dan gedaan! Het kan zijn dat je hiervoor fysische constanten moet invoeren (zoals in vb 1) en er benaderende waarden voor moet bepalen; hulpveranderlijken... Controleer of elke term in je vergelijking dezelfde eenheden heeft. Indien dit niet het geval is, is je vergelijking fout! Als dit wel het geval is, kan er natuurlijk nog iets anders fout zijn. In de problemen die we hier bespraken, was het resultaat van stap 4 een enkele vergelijking die het begeerde wiskundige model bepaalde. Voor meer complexe problemen kan het mathematische model echter ingewikkelder zijn en bijvoorbeeld zelfs uit meerder differentiaalvergelijkingen bestaan... zie later Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 26

25 Wiskundige modellen bouwen 5 min. PAUZE The whole point of mathematics is to solve differential equations! [from an electrical engineer (but former mathematician) [1986]] Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 27

26 Def.: Een differentiaalvergelijking, en meer bepaald een gewone differentiaalvergelijking is een vergelijking waarin een reële of complexe functie y van één reële veranderlijke x optreedt, samen met een aantal afgeleiden van deze functie. Ook x, de onafhankelijke variabele genoemd, mag voorkomen in de vergelijking. t (voor tijd ) vaak gebruikt als onafhankelijke variabele (cf. vbn) andere voorbeelden van differentiaalvergelijkingen : y (x) + 2y (x) + y(x) = 0, y (x) y(x) + cos(x) y(x) = sin(x), y (3) (x) + y (x) y(x) x = 1. Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 28

27 algemene vorm: φ(y (n) (x), y (n 1) (x),..., y (x), y(x), x) = 0, (8) waarbij φ een reële functie is van n + 2 veranderlijken de hoogste orde afgeleide n van y die optreedt = de orde als y (n) (x) expliciteerbaar, dan alternatieve vorm voor (8): y (n) (x) = F (y (n 1) (x),..., y (x), y(x), x), (9) = de normale vorm van vgl. (8) F is een functie van n + 1 veranderlijken Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 29

28 Voorbeeld: de normale vorm van y (x) y(x) + cos(x) y(x) = sin(x) y (x) = sin(x) y(x) cos(x) hier enkel differentiaalvergelijkingen die in normale vorm kunnen geschreven worden zoniet dubbelzinnigheden mogelijk, bv. is leidt tot de twee vergelijkingen y 2 (t) + t y (t) + 4y(t) = 0, y (t) = t + t 2 16y(t) 2 of y (t) = t t 2 16y(t) 2 Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 30

29 bedoeling = vgl. (8) of (9) oplossen, d.w.z. - alle oplossingen zoeken, d.w.z. alle y die voldoen aan vgl. (8) = algemene oplossing van de differentiaalvergelijking - één oplossing van de Dvgl vinden = particuliere oplossing - één (unieke!) oplossing, die ook nog aan bepaalde extra voorwaarden moet voldoen, meestal beginvoorwaarden, i.e. VWn van de vorm y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,..., y (n 1) (x 0 ) = y n 1, waarbij x 0, y 0,..., y n 1 R Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 31

30 Voorbeeld y (x) = y(x) heeft als algemene oplossing y(x) = ce x, waarbij c C als volgt interpreteren: - de algemene oplossing = {y(x) = ce x c C} - een particuliere oplossing is y(x) = e x - als we echter eisen dat y(0) = 2, dan vinden we dat y(x) = 2e x Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 32

31 fundamentele vraag: kunnen we elke differentiaalvergelijking wel oplossen? - m.a.w. kunnen we altijd een oplossing vinden? - en kunnen we altijd alle oplossingen vinden? antwoord is positief, onder lichte voorwaarden op de vergelijking... Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 33

32 Bestaans- en éénduidigheidsstelling Stelling 1.1 : Als in de differentiaalvergelijking y (n) (x) = F (y (n 1) (x),..., y (x), y(x), x) de functie F en haar partiële afgeleiden F y, F y,..., F bestaan en y (n 1) continu zijn in een zeker open deel D van R n+1, en als (y n 1,..., y 1, y 0, x 0 ) een punt is van D, dan bestaat er één en juist één oplossing y(x) van y (n) (x) = F (y (n 1) (x),..., y (x), y(x), x) die voldoet aan de beginvoorwaarden y(x 0 ) = y 0 y (x 0 ) = y 1... y (n 1) (x 0 ) = y n 1. Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 34

33 Bestaans- en éénduidigheidsstelling Opm.: Partiële afgeleiden F y, F y,..., F als volgt interpreteren: de y (n 1) functie F is een functie van n + 1 veranderlijken. Noemen we deze (u 1,..., u n, u n+1 ), dan moeten F, F,..., F continu zijn. u 1 u 2 u n Voorbeeld: Bekijk de differentiaalvergelijking y (x) = y(x)y (x) + x 2, dan is dus F (y (x), y(x), x) = y(x)y (x) + x 2. In de veranderlijken (u 1, u 2, u 3 ) geeft dit F (u 1, u 2, u 3 ) = u 1 u 2 + u3 2 F. F is continu en ook = u 2 en F = u 1 u 1 u 2 zijn continu. Dus voldoet F aan de eisen van Stelling 1.1. Merk op: over F wordt niets geëist. u 3 Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 35

34 Bestaans- en éénduidigheidsstelling Dvgl van de n-de orde oplossen n integraties uitvoeren n integratieconstanten voorbeeld: y (n) (x) = 0 algemene oplossing: y(x) = c 1 x n c n 1 x + c n voor particuliere oplossing: integratieconstanten bepalen via BVWn Bijvoorbeeld BVWn : y(0) = 1, y (0) = 0,..., y (n 1) (0) = 0 c n = 1 en c 1 =... = c n 1 = 0 particuliere oplossing: y(x) = 1 Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 36

35 Gewone en partiële differentiaalvergelijkingen Systemen van differentiaalvergelijkingen De orde van differentiaalvergelijkingen Lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen voornaamste doelstellingen van deze cursus : - het leren opstellen van eenvoudige wiskundige modellen voor diverse problemen die met Dvgln kunnen beschreven worden - het bespreken van de eigenschappen en de structuur van de oplossingen - het voorstellen van enkele (evtl. benaderende) oplossingsmethoden voor beter overzicht : eerst classificatiemethoden Dvgln Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 37

36 Gewone en partiële differentiaalvergelijkingen Systemen van differentiaalvergelijkingen De orde van differentiaalvergelijkingen Lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen Gewone en partiële differentiaalvergelijkingen onbekenden in Dvgln kunnen reële of complexe functies zijn van één of van meerdere onafhankelijke variabelen - één onafhankelijke variabele enkel gewone afgeleiden in Dvgl gewone differentiaalvergelijking, cf. VBn begin les - meerdere onafhankelijke variabelen partiële afgeleiden in Dvgl partiële differentiaalvergelijking 2 u(x, t) vb.: golfvergelijking: t 2 = v 2 2 u(x, t) x 2, met v 2 fys. const. u(x, t) vb.: warmtevergelijking: = α 2 2 u(x, t) t x 2 met α 2 fys. const. Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 38

37 Gewone en partiële differentiaalvergelijkingen Systemen van differentiaalvergelijkingen De orde van differentiaalvergelijkingen Lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen Sytemen van differentiaalvergelijkingen er kunnen meerdere onbekende functies voorkomen in een Dvgl ook classificatie volgens het aantal afhankelijk veranderlijken mogelijk twee of meer onbekende functies meer Dvgln nodig systeem van differentiaalvergelijkingen vb.: Lotka-Volterra systeem of de roofdier-prooi vergelijkingen: dx dt (t) = ax(t) αx(t)y(t), (10) dy (t) dt = cy(t) + γx(t)y(t), met x(t) en y(t) de resp. populaties van prooi- en roofdieren - constanten a, α, c en γ bepaald via empirische waarnemingen - hangen af van de specifiek bestudeerde soorten Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 39

38 Gewone en partiële differentiaalvergelijkingen Systemen van differentiaalvergelijkingen De orde van differentiaalvergelijkingen Lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen De orde van differentiaalvergelijkingen de orde van een Dvgl is de orde van de hoogste afgeleide die in de vergelijking voorkomt voorbeelden: de twee voorbeelden in begin les waren van de eerste orde warmtevergelijking en golfvergelijking zijn partiële Dvgln van de tweede orde vergelijking y (t) + 2e t y (t) + y(t)y (t) = t 4 is een Dvgl van de derde orde voor y(t) Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 40

39 Gewone en partiële differentiaalvergelijkingen Systemen van differentiaalvergelijkingen De orde van differentiaalvergelijkingen Lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen Lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen cruciale classificatie van Dvgl : lineair of niet-lineair de gewone Dvgl φ(y (n) (x), y (n 1) (x),..., y (x), y(x), x) = 0, is lineair als φ een lineaire functie is van de variabelen y, y,..., y (n) voor partiële Dvgln geldt een gelijkaardige definitie de algemene lineaire gewone Dvgl is dus van de vorm a 0 (t)y (n) (t) + a 1 (t)y (n 1) (t) + + a n (t)y(t) = g(t) ( ) cf. de meeste voorbeelden tot nu toe: - de twee voorbeelden aan het begin van deze les - de golfvgl. en de warmtevgl. zijn lineaire partiële Dvgln Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 41

40 Gewone en partiële differentiaalvergelijkingen Systemen van differentiaalvergelijkingen De orde van differentiaalvergelijkingen Lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen Lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen een vgl. die niet van de vorm ( ) is, is een niet-lineaire vgl. voorbeelden: - y (t) + 2e t y (t) + y(t)y (t) = t 4 - oscillerend pendulum : hoek θ dat een oscillerend pendulum van lengte L maakt met de verticale richting voldoet aan de vergelijking d 2 θ dt 2 (t) + g sinθ(t) = 0 (11) L voor kleine θ(t) geldt : sinθ(t) θ(t) d 2 θ dt 2 (t) + g θ(t) = 0 (12) L = linearizatie van vgl. (11), goede benadering voor kleine θ(t)-waarden Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 42

Differentiaalvergelijkingen Wi1909TH. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 november 2018

Differentiaalvergelijkingen Wi1909TH. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 november 2018 Differentiaalvergelijkingen Wi1909TH, 12 november 2018 Inleiding van Mourik Broekmanweg 6, kamer 3.W.700 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Inleiding

Hoofdstuk 1: Inleiding Hoofdstuk 1: Inleiding 1.1. Richtingsvelden. Zie Stewart, 9.2. 1.2. Oplossingen van enkele differentiaalvergelijkingen. Zelf doorlezen. 1.3. Classificatie van differentiaalvergelijkingen. Differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

Examen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet. dinsdag 5 januari Vraag 1.1. Waar of vals (1pt) Het beginvoorwaardenprobleem

Examen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet. dinsdag 5 januari Vraag 1.1. Waar of vals (1pt) Het beginvoorwaardenprobleem Examen Wiskundige Analyse I ste bach ir wet dinsdag 5 januari 206 Vraag.. Waar of vals (pt) Het beginvoorwaardenprobleem 32x 3 y = (y ) 3, y() = 2, y () = 4 bezit een unieke oplossing, die geldig is in

Nadere informatie

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm college 3: differentiaalvergelijkingen Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we y = y (t) of y (1) = y (1) (t) voor de afgeleide dy dt, en y = y (t) of y (2) = y (2) (t) voor de tweede afgeleide

Nadere informatie

1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen

1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1.1 Algemene begrippen Een (gewone) differentiaalvergelijking heeft naast de onafhankelijke veranderlijke (bijvoorbeeld genoteerd als x), eveneens een onbekende functie

Nadere informatie

Hoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen

Hoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Hoofdstuk : Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Partiële differentiaalvergelijkingen zijn vergelijkingen waarin een onbekende functie van twee of meer variabelen en z n partiële afgeleide(n)

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen

Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen De inhoud van hoofdstuk 3 zou grotendeels bekende stof moeten zijn. Deze stof is terug te vinden in Stewart, hoofdstuk 17. Daar staat alles

Nadere informatie

OF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0

OF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Algemeen kunnen we een eerste orde differentiaalvergelijking schrijven als: y = Φ(x, y) OF (vermits y = dy dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Indien we dan P (x, y) en Q(x, y) kunnen schrijven als P (x,

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft

Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek wi2030wbmt Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 1 / 15 Even voorstellen... Dr. Roelof Koekoek Gebouw

Nadere informatie

5 Lineaire differentiaalvergelijkingen

5 Lineaire differentiaalvergelijkingen 5 Lineaire differentiaalvergelijkingen In veel toepassingen in de techniek en de exacte wetenschappen wordt gewerkt met differentiaalvergelijkingen om continue processen te modelleren. Het gaat dan meestal

Nadere informatie

Oefeningentoets Differentiaalvergelijkingen, deel 1 dinsdag 6 november 2018 in lokaal 200M van 16:00 tot 18:00u

Oefeningentoets Differentiaalvergelijkingen, deel 1 dinsdag 6 november 2018 in lokaal 200M van 16:00 tot 18:00u Oefeningentoets Differentiaalvergelijkingen, deel 1 dinsdag 6 november 2018 in lokaal 200M 00.07 van 16:00 tot 18:00u Beste student, Deze oefeningentoets bevat twee oefeningen betreffende het tweede deel

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Inleiding

Hoofdstuk 1: Inleiding Hoofstuk 1: Inleiing 1.1. Richtingsvelen. Zie Stewart, 9.2. 1.2. Oplossingen van enkele ifferentiaalvergelijkingen. Zelf oorlezen. 1.3. Classificatie van ifferentiaalvergelijkingen. Differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN Stefaan Poedts Centrum voor mathematische Plasma-Astrofysica, KU Leuven Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 1 Hoofdstuk 7 : Lineaire integraaltransformaties - Definities

Nadere informatie

Stelsels differentiaalvergelijkingen

Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels homogene differentiaalvergelijkingen We bekijken in deze paragraaf stelsels homogene differentiaalvergelijkingen: x (t x (t x (t x (t x n(t A Voorbeeld x +

Nadere informatie

7. Hamiltoniaanse systemen

7. Hamiltoniaanse systemen 7. Hamiltoniaanse systemen In de moleculaire dynamica, maar ook in andere gebieden zoals de hemelmechanica of klassieke mechanica, worden oplossingen gezocht van het Hamiltoniaanse systeem van differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

Types differentiaal vergelijkingen

Types differentiaal vergelijkingen 1ste Bachelor Wiskunde/Natuurkunde Types differentiaal vergelijkingen Dit semester hebben we veel types differentiaalvergelijkingen gezien. In de WPO sessies was de rode draad: herken de type differentiaalvergelijking

Nadere informatie

Analyse, Deel III Samenvatting Martijn Boussé

Analyse, Deel III Samenvatting Martijn Boussé Analyse, Deel III Inhoudsopgave I Lineaire Differentiaalvergelijkingen... 2 I.I Algemene theorie... 2 I.II Lineaire differentiaalvergelijkingen constante coëfficiënten... 3 I.III Lineaire differentiaalvergelijking

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking Proeftentamen 3 Functies van één veranderlijke (15126 De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk

Nadere informatie

Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017, 13:30 16:30 uur

Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017, 13:30 16:30 uur Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017, 13:30 16:30 uur Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Mathematics Naam: Groep (omcirkel): (Leids) studentnummer: A (Keijzer)

Nadere informatie

Wiskunde D: Modellen en Dynamische Systemen. Ferdinand Verhulst Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht

Wiskunde D: Modellen en Dynamische Systemen. Ferdinand Verhulst Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Wiskunde D: Modellen en Dynamische Systemen Ferdinand Verhulst Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht NWD, februari 2009 1 Waar gaat het over? Filosofie van de tekst modelleren (vergelijkingen opstellen)

Nadere informatie

Stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen (homogeen)

Stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen (homogeen) Stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen (homogeen) Voorbeeld Voorbeeld ( 7., Opgave 22) Op t = 0 bevatten de vaten respectievelijk 25 en 5 oz (ounces) zout. 3 september 206 Onderzoeken we hoeveel

Nadere informatie

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde voor B. 1 Eenvoudige operaties en functies. 1. De bewerkingen optellen aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen worden

Nadere informatie

Programmeren en Wetenschappelijk Rekenen in Python. Wi1205AE I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 6 mei 2014

Programmeren en Wetenschappelijk Rekenen in Python. Wi1205AE I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 6 mei 2014 Programmeren en Wetenschappelijk Rekenen in Python Wi1205AE, 6 mei 2014 Bijeenkomst 5 Onderwerpen Het maken van een model Numerieke integratie Grafische weergave 6 mei 2014 1 Voorbeeld: sprong van een

Nadere informatie

Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek

Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen worden beschikbaar gesteld op de dinsdagavond voorafgaande aan het volgende college

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij

Nadere informatie

Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen

Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Maandag 4 januari 216, 1: - 13: uur 1. Beschouw voor t > de inhomogene singuliere tweede orde vergelijking, t 2 ẍ + 4tẋ + 2x = f(t, (1 waarin f

Nadere informatie

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Donderdag 8 juli 4. Tijd: 14. 17. uur. Plaats: MA 1.44/1.46 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je

Nadere informatie

Examenvragen Wiskundige Analyse I, 1ste examenperiode

Examenvragen Wiskundige Analyse I, 1ste examenperiode Examenvragen Wiskundige Analyse I, ste examenperiode 24-25 Vraag (op 6pt) Vraag.. Waar of vals (.5pt) De Wronskiaanse determinant van twee LOF oplossingen y en y 2 van de differentiaalvergelijking cosh(x)y

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

Aanvullingen van de Wiskunde

Aanvullingen van de Wiskunde 1ste semester 23 januari 2007 Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven zijn twee normen 1 en 2 op een vectorruimte V. Wanneer zegt men dat de 1 fijner is dan 2? Wat is dan het verband tussen convergentie

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Modelleren 1A, TW1050-A

Modelleren 1A, TW1050-A Modelleren 1A, TW1050-A Probleemstelling Conclusies Valideren Modelvorming Rekenmethode Vandaag: Wat is modelleren? Organisatie practicum College stelsels differentiaalvergelijkingen Eerste college Modelleren

Nadere informatie

Toegepaste wiskunde. voor het hoger beroepsonderwijs. Deel 2 Derde, herziene druk. Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 7.

Toegepaste wiskunde. voor het hoger beroepsonderwijs. Deel 2 Derde, herziene druk. Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 7. Drs. J.H. Blankespoor Drs.. de Joode Ir. A. Sluijter Toegepaste wiskunde voor het hoger beroepsonderwijs Deel Derde, herziene druk herhalingsopgaven hoofdstuk 7 augustus 009 HBuitgevers, Baarn Toegepaste

Nadere informatie

WI1708TH Analyse 2. College 1 10 november Challenge the future

WI1708TH Analyse 2. College 1 10 november Challenge the future WI1708TH Analyse 2 College 1 10 november 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015, Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd

Nadere informatie

34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 1.11 Vraagstukken Vraagstuk 1.11.1 Beschouw het beginwaardeprobleem = 2x (y 1), y(0) = y 0. Los dit beginwaardeprobleem op voor y 0 R en maak een

Nadere informatie

Examen Analyse 2 : Theorie (zonder Maple). (7 januari 2014)

Examen Analyse 2 : Theorie (zonder Maple). (7 januari 2014) Examen Analyse 2 : Theorie (zonder Maple). (7 januari 204). Maclaurin reeksen. Geef met bewijs de Maclaurin reeksontwikkeling van de logaritmische functie ln( + x). Geef ook het convergentie-interval van

Nadere informatie

Vandaag. Uur 1: Differentiaalvergelijkingen Uur 2: Modellen

Vandaag. Uur 1: Differentiaalvergelijkingen Uur 2: Modellen Vandaag Uur 1: Differentiaalvergelijkingen Uur 2: Modellen Diferentiaalvergelijkingen Wiskundige beschrijving van dynamische processen Vergelijking voor y(t): grootheid die in de tijd varieert Voorbeelden:

Nadere informatie

MODELBOUW eindopdrachten 6 november 2006

MODELBOUW eindopdrachten 6 november 2006 MODELBOUW eindopdrachten 6 november 2006 Stefan problemen voor het bevriezen van water Als stilstaand water van een bepaalde constante temperatuur T m > 0 in een meer plotseling (zeg op tijdstip t = 0)

Nadere informatie

Introductie. Wiskunde in actie : Bungeejumpen met een rugzak!

Introductie. Wiskunde in actie : Bungeejumpen met een rugzak! Introductie Wiskunde in actie : Bungeejumpen met een rugzak! Kees Lemmens, Email: C.W.J.Lemmens@Ewi.TUDelft.nl, Faculty of Electrotechnical Engineering, Mathematics and Computer Science, Delft University

Nadere informatie

ax + 2 dx con- vergent? n ln(n) ln(ln(n)), n=3 (d) y(x) = e 1 2 x2 e 1 2 t2 +t dt + 2

ax + 2 dx con- vergent? n ln(n) ln(ln(n)), n=3 (d) y(x) = e 1 2 x2 e 1 2 t2 +t dt + 2 Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NPB 8 januari 3, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering

Nadere informatie

3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.

3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n. Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 3 november 0 Normering voor pt vragen andere vragen naar rato): pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft

Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek wi23wbmt Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi23wbmt 1 / 12 Fourierreeksen van even en oneven functies a 2 + (

Nadere informatie

Aanvullingen van de Wiskunde

Aanvullingen van de Wiskunde 3de Bachelor EIT - de Bachelor Fysica Academiejaar 014-015 1ste semester 7 januari 015 Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven is een lineaire partiële differentiaalvergelijking van orde 1: a 1 (x 1,,

Nadere informatie

Wiskundige Technieken

Wiskundige Technieken 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen 1ste Bachelor Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 014-015 1ste semester 1 oktober 014 Wiskundige Technieken 1. Beschouw een scalaire functie f : R R en een vectorveld

Nadere informatie

TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER

TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES

Nadere informatie

Wiskundige functies. x is het argument of de (onafhankelijke) variabele

Wiskundige functies. x is het argument of de (onafhankelijke) variabele Wiskundige functies Een (wiskundige) functie voegt aan ieder getal een ander getal toe. Bekijk bijv. de functie f() = 2 1 Aan het getal 2, d.w.z. = 2, wordt het getal 3 toegevoegd, want f(2) = 2 2 1 =

Nadere informatie

Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit

Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoewel we reeds vele methoden gezien hebben om allerlei typen differentiaalvergelijkingen op te lossen, zijn er toch nog veel differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

Lineaire gewone & partiele 1ste en 2de orde differentiaalvergelijkingen

Lineaire gewone & partiele 1ste en 2de orde differentiaalvergelijkingen Lineaire gewone & partiele 1ste en de orde differentiaalvergelijkingen Basisbegrippen Een differentiaalvergelijking is een vergelijking waarin minstens een afgeleide van een onbekende reeelwaardige functie

Nadere informatie

Hoofdstuk 11: Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie

Hoofdstuk 11: Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie Hoofdstuk : Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie.. Tweepunts randwaardeproblemen. Bij het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen met behulp van de methode van scheiden van variabelen

Nadere informatie

BIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing

BIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing 1 ste jaar Bachelor BIOMEDISCHE WETENSCHAPPEN Academiejaar 006-007 BIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing 1 Opgave 1 Een blokje met massa 0, kg heeft onder aan een vlakke helling een snelheid van 7,

Nadere informatie

11.0 Voorkennis. Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + 4a 3 = 7a 3. Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen: (a 5 ) 4 = a 20

11.0 Voorkennis. Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + 4a 3 = 7a 3. Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen: (a 5 ) 4 = a 20 .0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor machten: Vermenigvuldigen is exponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + a 3 = 7a 3 Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen:

Nadere informatie

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, d.w.z. dv s van de vorm a 0 y + a 1 y + a

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00 Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 6 Maandag januari, 9- Faculteit EWI Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven Alle antwoorden dienen beargumenteerd te worden Normering: punten

Nadere informatie

Doe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle.

Doe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle. De n-de term van de numerieke rij (t n ) (met n = 0,, 2,...) is het rekenkundig gemiddelde van zijn twee voorgangers. (a) Bepaal het Z-beeld F van deze numerieke rij en het bijhorende convergentiegebied.

Nadere informatie

Klassieke Mechanica a (Tentamen 11 mei 2012) Uitwerkingen

Klassieke Mechanica a (Tentamen 11 mei 2012) Uitwerkingen Klassieke Mechanica a (Tentamen mei ) Uitwerkingen Opgave. (Beweging in een conservatief krachtenveld) a. Een kracht is conservatief als r F =. Dit blijkt na invullen: (r F) x = @F z =@y @F y =@z = =,

Nadere informatie

Hertentamen Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y vrijdag 7 november 2014; uur

Hertentamen Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y vrijdag 7 november 2014; uur Hertentamen Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y vrijdag 7 november 2014; 9.00-12.00 uur Naam: (Leids) studentnummer: Een rekenmachine en het formuleblad bij deze cursus mogen gebruikt worden. Laat duidelijk

Nadere informatie

Snelle glijbanen. Masterclass VWO-leerlingen juni Emiel van Elderen en Joost de Groot NWD Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde

Snelle glijbanen. Masterclass VWO-leerlingen juni Emiel van Elderen en Joost de Groot NWD Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde Masterclass VWO-leerlingen juni 2008 Snelle glijbanen Emiel van Elderen en Joost de Groot NWD 2009 1 Technische Universiteit Delft Probleemstelling Gegeven: een punt A(0,a) en een punt B(b, 0) met a 0.

Nadere informatie

WISB134 Modellen & Simulatie. Lecture 11 - Dynamica van lineaire differentiaalvergelijkingen in twee dimensies

WISB134 Modellen & Simulatie. Lecture 11 - Dynamica van lineaire differentiaalvergelijkingen in twee dimensies WISB134 Modellen & Simulatie Lecture 11 - Dynamica van lineaire differentiaalvergelijkingen in twee dimensies Overzicht van ModSim Meeste aandacht (t/m 1 apr.) Basisbegrippen dynamische modellen Definities

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen

Differentiaalvergelijkingen GDV.nb Differentiaalvergelijkingen Andr Heck 00 AMSTEL Instituut, Universiteit van Amsterdam Differentaalvergelijkingen beschrijven continue veranderende processen. In dergelijke vergelijkingen komen afgeleides

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 Beweging in beeld. Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal

Hoofdstuk 1 Beweging in beeld. Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal Hoofdstuk 1 Beweging in beeld Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal 1.1 Beweging vastleggen Het verschil tussen afstand en verplaatsing De verplaatsing (x) is de netto verplaatsing en de

Nadere informatie

Zomercursussen Wiskunde en Chemie 2016

Zomercursussen Wiskunde en Chemie 2016 FACULTEIT INDUSTRIËLE INGENIEURSWETENSCHAPPEN Campus Geel Zomercursussen Wiskunde en Chemie 2016 Voor de opleidingen Industrieel Ingenieur: Bachelor en Master in de biowetenschappen Bachelor en Master

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Monitoraatssessie Wiskunde

Monitoraatssessie Wiskunde Monitoraatssessie Wiskunde 1 Overzicht van de cursus Er zijn drie grote blokken, telkens voorafgegaan door de rekentechnieken die voor dat deel nodig zullen zijn. Exponentiële en logaritmische functies;

Nadere informatie

Oefenopgaven wi3097: Numerieke methoden voor differentiaalvergelijkingen

Oefenopgaven wi3097: Numerieke methoden voor differentiaalvergelijkingen Oefenopgaven wi3097: Numerieke methoden voor differentiaalvergelijkingen 1 Introductie Taylor polynoom, floating point getal, afrondfout Orde symbool Landau 1. Laat f(x) = x 3. Bepaal het tweede orde Taylor

Nadere informatie

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar ste semester 12 januari 2010

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar ste semester 12 januari 2010 ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 9- ste semester januari Analyse I. Formuleer en bewijs de formule van Leibniz voor de n-de afgeleide van het product van twee functies f en g.. Onderstel

Nadere informatie

x(t + T ) = x(t) Voorbeeld 1. Beschouw het niet-lineaire autonome stelsel . (1) y x + y y(x 2 + y 2 )

x(t + T ) = x(t) Voorbeeld 1. Beschouw het niet-lineaire autonome stelsel . (1) y x + y y(x 2 + y 2 ) 97 Periodieke oplossingen en limit ccles We beschouwen weer autonome stelsels van de vorm x (t) = f(x(t)), waarbij het rechterlid dus niet expliciet van t afhangt We gaan onderzoeken wanneer er periodieke

Nadere informatie

Tentamen Functies en Reeksen

Tentamen Functies en Reeksen Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy

Nadere informatie

ENKELE VOORBEELDEN UIT TE WERKEN MET ICT

ENKELE VOORBEELDEN UIT TE WERKEN MET ICT Differentiaalvergelijkingen kunnen we ook oplossen met behulp van ICT. In dit geval zijn de oplossingen uitgewerkt met behulp van Derive. dy De differentiaalvergelijking = ky, met k een reëel getal Voorbeeld

Nadere informatie

2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen?

2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen? Vraag Een vloeistoftank met onbeperkte capaciteit, bevat aanvankelijk V liter zuiver water. Tijdens de eerste faze stroomt water, dat zout bevat met een concentratie van k kilogram per liter, de tank binnen

Nadere informatie

Uitwerking Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie. Galileitransformaties. versie 1.3, januari 2003

Uitwerking Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie. Galileitransformaties. versie 1.3, januari 2003 Uitwerking Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Galileitransformaties versie 1.3, januari 003 Inhoudsopgave 0.1Galileitransformatie 0.1.1 Twee inertiaalsystemen...................... 0.1. Een paraboolbaan.........................

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 2 oktober 200, 3.45 6.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Examen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica

Examen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Examen GO7E Wiskunde II (3sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Auditorium De Molen: A D Auditorium MTM3: E-Se Auditorium MTM39: Sh-Z Naam: Studierichting: Naam assistent:

Nadere informatie

10.6. Andere warmteproblemen. We hebben warmteproblemen bekeken van de vorm. 0 < x < L, t > 0. w(0, t) = 0, w(l, t) = 0, t 0. u(x, 0) = f(x), 0 x L,

10.6. Andere warmteproblemen. We hebben warmteproblemen bekeken van de vorm. 0 < x < L, t > 0. w(0, t) = 0, w(l, t) = 0, t 0. u(x, 0) = f(x), 0 x L, .6. Andere warmteproblem. We hebb warmteproblem bekek van de vorm α 2 u xx = u t, < x u(, t) =, u(, t) =, t u(x, ) = f(x), x, waarbij de temperatuur aan de beide uiteind constant bovdi gelijk is.

Nadere informatie

Inleiding tot de dynamica van atmosferen Krachten

Inleiding tot de dynamica van atmosferen Krachten Inleiding tot de dynamica van atmosferen Krachten P. Termonia vakgroep wiskundige natuurkunde en sterrenkunde, UGent Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.1/35 Inhoud 1. conventies: notatie 2. luchtdeeltjes

Nadere informatie

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 2018: algemene feedback

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 2018: algemene feedback IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica september 8 - reeks - p. IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 8: algemene feedback Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen

Nadere informatie

Eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen

Eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen Eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen Vakgroep Differentiaalvergelijkingen 1995, 2001, 2002 1 Eerste orde golf-vergelijking De vergelijking au x + u t = 0, u = u(x, t), a ɛ IR (1.1) beschrijft

Nadere informatie

4051CALC1Y Calculus 1

4051CALC1Y Calculus 1 4051CALC1Y Calculus 1 College 20 20 oktober 2014 1 Programma Vanmorgen Integrerende factor (8.4) Vanmiddag Populatiemodellen (8.5) 2 Herhaling Als de differentiaal vergelijking wordt gegeven door dy dx

Nadere informatie

Opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek

Opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Inhoudsopgave 1 Nav Sessie 1 en 2: Elektromagnetisme en licht 2 1.1 Zwaartekracht binnen de aarde.................

Nadere informatie

Proeftoets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober (Leids) studentnummer: A (Keijzer) / B (Kooij) / C (Weber) / D (van den Dries)

Proeftoets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober (Leids) studentnummer: A (Keijzer) / B (Kooij) / C (Weber) / D (van den Dries) Proeftoets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017 Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Mathematics Naam: Groep (omcirkel): (Leids) studentnummer: A (Keijzer) / B

Nadere informatie

In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies.

In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. 03 college 5: meer technieken In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. Opmerking over de notatie. Net als in het

Nadere informatie

5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm

5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm 5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm x y + xy + (x ν )y = met ν R (1) heet een Bessel (differentiaal)vergelijking. De waarde van ν noemt men ook wel de orde

Nadere informatie

WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH OIMDERWUS LOTHAR PAPULA. deel 2. 2e druk ACADEMIC 5 E R V I C

WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH OIMDERWUS LOTHAR PAPULA. deel 2. 2e druk ACADEMIC 5 E R V I C WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH OIMDERWUS deel 2 LOTHAR PAPULA 2e druk > ACADEMIC 5 E R V I C Inhoud 1 Lineaire algebra 1 1.1 Vectoren I 1.2 Matrices 4 1.2.1 Een inleidend voorbeeld 4 1.2.2 Definitie

Nadere informatie

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni Nummer vragenreeks: 1

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni Nummer vragenreeks: 1 IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni 206 Nummer vragenreeks: IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 29 juni 206 - reeks - p. /0 Oefening Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen Hoorcollege 11

Differentiaalvergelijkingen Hoorcollege 11 Differentiaalvergelijkingen Hoorcollege 11 Partiële differentiaalvergelijkingen: De Eendimensionale Golfvergelijking; De Tweedimensionale Laplacevergelijking A. van der Meer DV HC11 p. 1/17 De eendimensionale

Nadere informatie

Overgangsverschijnselen

Overgangsverschijnselen Hoofdstuk 5 Overgangsverschijnselen Doelstellingen 1. Overgangsverschijnselen van RC en RL ketens kunnen uitleggen waarbij de wiskundige afleiding van ondergeschikt belang is Als we een condensator of

Nadere informatie

Ijkingstoets 4 juli 2012

Ijkingstoets 4 juli 2012 Ijkingtoets 4 juli 2012 -vragenreeks 1 1 Ijkingstoets 4 juli 2012 Oefening 1 In de apotheek bezorgt de apotheker zijn assistent op verschillende tijdstippen van de dag een voorschrift voor een te bereiden

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Schriftelijk evalueren: een praktijkvoorbeeld

Schriftelijk evalueren: een praktijkvoorbeeld Schriftelijk evalueren: een praktijkvoorbeeld Dirk Keppens KULeuven, FIIW, Technologiecampus Gent Studiedag rond evalueren 31 mei 2013 1 / 14 Welk praktijkvoorbeeld? Welk praktijkvoorbeeld? Schriftelijk

Nadere informatie

Primitiveren. Omgekeerd differentiëren (primitieve bepalen)

Primitiveren. Omgekeerd differentiëren (primitieve bepalen) Primitiveren WISNET-HBO update april 2006 Inleiding Soms moet je juist de functie bepalen waarvan de afgeleide bekend is. Dit omgekeerd differentiëren (de primitieve bepalen) heet in het Engels de antiderivative.

Nadere informatie

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D2. Datum: dinsdag 29 april 28. Tijd: 14: 17:. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Tentamen Gewone Differentiaal Vergelijkingen II

Tentamen Gewone Differentiaal Vergelijkingen II Tentamen Gewone Differentiaal Vergelijkingen II.0.007 Jullie mogen een willekeurige van de vier opgaven als bonusopgave bekijken. (Dus drie opgaven volledig en goed gedaan is al een 10.) Opgave 1 Bekijk

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Wiskunde Vraag 1. Vraag 2. Vraag 3. Vraag 4 21/12/2008

Wiskunde Vraag 1. Vraag 2. Vraag 3. Vraag 4 21/12/2008 Wiskunde 007- //008 Vraag Veronderstel dat de concentraties in het bloed van stof A en van stof B omgekeerd evenredig zijn en positief. Als de concentratie van stof A met p % toeneemt, dan zal de concentratie

Nadere informatie

5. Vergelijkingen. 5.1. Vergelijkingen met één variabele. 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking

5. Vergelijkingen. 5.1. Vergelijkingen met één variabele. 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking 5. Vergelijkingen 5.1. Vergelijkingen met één variabele 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking Probleem : We willen x oplossen uit de lineaire vergelijking p x+q=r met p. Maxima biedt daartoe in

Nadere informatie