Hoeveel is oneindig minus oneindig?

Transcriptie

1 Hoeveel is oneindig minus oneindig? Just because something is infinite, doesn t mean it s zero! (Pauli) Vakantiecursus 2012: De exacte benadering Jeroen Spandaw ( j.g.spandaw@tudelft.nl) September 19, Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica

2 ? September 19,

3 Feynman en Schwinger Soms geldt September 19,

4 Euler en Casimir En soms geldt 1 12 September 19,

5 Is there a method in this madness? September 19,

6 Er zijn methodes, maar verschillende methoden kunnen verschillende antwoorden geven! Gaan enkele methodes bekijken. September 19,

7 Nicolas Oresme (ca ) September 19,

8 Euler ( ) ? September 19,

9 Euler ( ) September 19,

10 Meer Euler 0! 1! 2! 3!? September 19,

11 Meer Euler 0! 1! 2! 3! September 19,

12 Meer Euler t e 0! 1! 2! 3! dt t 0 September 19,

13 De droom van Euler Ich glaube, dass jede Reihe einen bestimmten Wert haben müsse September 19,

14 Voorbeeld 1 Als dan dus dus S := , S = 1 ( ), S = 1 S, S = 1/2. September 19,

15 Goed of fout? September 19,

16 Twee problemen 1. Je gaat ervan uit dat de som bestaat 2. en voldoet aan de gebruikelijke rekenregels. September 19,

17 Divergente reeksen in wiskunde? Niels Abel ( ): Divergente reeksen zijn een uitvinding van de duivel en het is een schande om hen te gebruiken in een wiskundig bewijs. September 19,

18 De noodzaak van definities Opvatting Euler: De som bestaat. Hoe kunnen we hem uitrekenen? Moderne opvatting: Je moet de som eerst definiëren. Resultaat kan van de definitie afhangen. September 19,

19 Sommatiemethode van Abel en Euler Gegeven (divergente) reeks, neem bijbehorende machtreeks en substitueer x = 1 (Euler) of neem limiet voor x 1 (Abel). September 19,

20 Voorbeeld 1 (opnieuw) S = machtreeks f (x ) = 1 x + x 2 x 3 + f (x ) = 1 / (1 + x ) voor -1 < x < 1 dus S = f (1) = ½ (Abel en Euler). Compatibel met eerder gevonden antwoord! September 19,

21 Bewijs was correct, mits Als dan dus dus S := , S = 1 (1 1 + ), S = 1 S, S = 1/2. Dit argument is correct, als S wordt opgevat in zin van Abel of Euler. September 19,

22 Voorbeeld 2: eerste poging S := machtreeks f (x ) = x + 2x 2 + 3x 3 + f (x ) = x / (1 x ) 2 voor -1 < x < 1 dus S = f (1) = 1 / 0 2 = (Abel en Euler). Euler: Ich glaube, dass jede Reihe einen bestimmten Wert haben müsse September 19,

23 Voorbeeld 2: eerste poging S := machtreeks f (x ) = x + 2x 2 + 3x 3 + f (x ) = x / (1 x ) 2 voor -1 < x < 1 dus S = f (1) = 1 / 0 2 = (Abel en Euler). Euler: Ich glaube, dass jede Reihe einen bestimmten Wert haben müsse September 19,

24 Voorbeeld 2: tweede poging S := f (x ) = x + 2x 2 + 3x 3 + = x / (1 x ) 2 Substitueer x = e -a x 1, dus a 0. Ontwikkelen in a : f (x ) = 1 / a 2 1/12 + O(a 2 ). Dus S = f (1) = 1 / 0 2 1/12 = 1/12. September 19,

25 = 1/12 Wat hebben we er aan? September 19,

26 Casimir-effect Hendrik Casimir ( ) September 19,

27 Casimir-effect = 1/12 September 19,

28 Casimir-effect = 1/12 gebruikt in afleiding druk = 2 c 240d 4 September 19,

29 Casimir-effect = 1/12 gebruikt in afleiding druk = 2 c 240d Experimenteel bevestigd! 4 September 19,

30 Oneindig in de natuurkunde Just because something is infinite, doesn t mean it is zero! Wolfgang Pauli ( ) September 19,

31 Succesvolste natuurkunde: overeenstemming theorie met experiment in 10 decimalen! Magneetsterkte van electron Vele Nobelprijzen, waaronder t Hooft en Veltman (1999) September 19,

32 Magneetsterkte van electron is machtreeks in fijnstructuurconstante = 1 / (eenheidsloos!) Slechts paar termen gebruikt voor Meer termen gebruiken voor nauwkeuriger resultaat? NEE! September 19,

33 Asymptotische benadering Dyson: Reeks divergeert voor x = =1/ ! Asymptotische ontwikkeling: Benadering wordt oneindig slecht bij oneindig aantal termen! September 19,

34 Voorbeeld asymptotische benadering t 0 e 1 xt dt n 0 n ( 1) n! x Neem x = 0.1 Integraal = Reeks divergent, want convergentiestraal = 0. n Beste benadering van integraal is S 9 met fout Fout bij S 100 is 10 58! September 19,

35 Convergentie naar ? n = 1 t/m 9: (beste!) n = 10, 20, 30,, 100 : September 19,

36 Decimalen van September 19,

37 Reeks voor Convergeert erg langzaam! Afkappen bij 1/n fout ongeveer 4 ½ 1/n = 2/n September 19,

38 Slechte benadering van S : n = Dus benadering ongeveer te klein. Inderdaad: = September 19,

39 Voorbij de 6 e decimaal = S = Na foute 6e decimaal weer vele correcte decimalen! Na foute 17e en 18e decimaal idem! Na foute 29e decimaal idem! September 19,

40 Verklaring Borwein, Borwein & Dilcher: S n n n 3 n 5 n 7 n = invullen Syllabus: deze ontwikkeling is asymptotisch September 19,

41 Samenvatting Er bestaan methoden die aan sommige divergente reeksen toch een eindige waarde toekennen. In de natuurkunde kunnen die eindige waarden belangrijk en experimenteel te controleren zijn. Asymptotische ontwikkeling: divergente reeks waarvan eerste deelsommen nuttige benaderingen van een gezochte waarde leveren. September 19,

42 Is there a method in this madness? September 19,

43 Probleem Euler: Ich glaube, dass jede Reihe einen bestimmten Wert haben müsse Heeft Euler gelijk? Zo ja, wat is dan ? September 19,

44 Errata Syllabus, p.10, r.1: f (x) = 1 2x + 3x 2 - Syllabus, p.10, r.13/14: voldoet i.p.v. voldoen Euler gebruikte het Latijnse woord series in plaats van het (moderne) Duitse woord Reihe. Nederlandse vertaling: reeks Ik weet niet zeker of het citaat Just because something is infinite, doesn t mean it is zero! inderdaad van Pauli is. September 19,