Geven we decimale getallen als invoer, dan past Maxima zich onmiddellijk aan en geeft ook decimale getallen als resultaat:

Transcriptie

1 3. Rekenkunde 3.1. Rekenmachine Maxima kan als een zakrekenmachine gebruikt worden voor het uitvoeren van eenvoudige en ingewikkelde berekeningen. Maxima rekent exact met gehele getallen, breuken en wortelvormen met gehele getallen. Geven we decimale getallen als invoer, dan past Maxima zich onmiddellijk aan en geeft ook decimale getallen als resultaat: Stel we willen Maxima het product ( 53,81) ( 19,312) 0,4142 laten uitrekenen, dan kan dat als volgt: Hint: De vermenigvuldiging moeten we dus door het symbool ( * ) aangeven en in kommagetallen moeten we de komma vervangen door een punt. Opgave 3.1 Bereken met behulp van Maxima: 3,87 0, ,2 2,13 7, ,

2 Opmerking: De tweedemachtswortel wordt met behulp van de opdracht sqrt (Square root) genoteerd. Wortels van een hogere graad moeten met behulp van m de exponentiële notatie ingevoerd worden: n m n a = a Voorbeeld: Het berekenen van verloopt in Maxima als volgt Na het gebruik van de toetscombinatie CTRL-F krijgen we het volgende numerieke resultaat: Hint: Als u na afloop van een berekening de toetscombinatie CTRL-F gebruikt, dan wordt de standaard exacte berekening benaderd door een decimaal getal met een default-nauwkeurigheid van 16 decimalen Opgave 3.2 Bereken met behulp van Maxima: Nauwkeurigheid: Voorbeeld: De Maximavariabele fpprec controleert de nauwkeurigheid waarmee Maxima rekent. Met behulp van de opdracht bfloat(<kommagetal>) wordt een kommagetal omgezet in een lang floating-point getal, in overeenstemming met de waarde van fpprec. fpprec:40; bfloat(%pi); toont de waarde van pi in 40 decimalen nauwkeurig 2

3 Via het menu Maxima Change 2d display kan de weergave van grote getallen worden gevarieerd: xml Lange getallen worden in 3 stukken opgedeeld: beginstuk wordt nauwkeurig weergegeven, middengedeelte (alleen vermelding van het aantal plaatsen), het einde wordt weer nauwkeurig weergegeven; xml is de default instelling ascii Lange getallen worden volledig aangegeven, via een backslash (\) wordt de overgang naar een volgende regel aangegeven none Lange getallen worden volledig aangegeven zonder overgang naar een volgende regel Hier gaat het nog verder Opgave 3.3 Bereken met behulp van Maxima elk van de volgende uitdrukkingen: a. b. c , ,215 11, ,4 3 6,28 1,235 2,764 12, ,73 6,25 4,98 2,

4 3.2. Variabelen Toekennen van een waarde aan een variabele In Maxima beginnen de namen van variabelen altijd met een letter; deze letter mag gevolgd worden door meerdere letters en/of cijfers. Maxima maakt hierbij onderscheid tussen hoofdletters en kleine letters. Voorbeelden van verschillende namen: a, aap, A1, A2, Aap, a1x, AeX, z, Z, zus, ZUSenzo. Om een waarde aan een variabele toe te kennen, typen we de naam van de variabele, gevolgd door de operator : en de toe te kennen waarde. Via het menu Maxima Show variables of de opdracht values kunnen we een overzicht krijgen van de gebruikte gebonden variabelen. Gebonden varaibelen zijn variabelen die een waarde hebben gekregen. Hint: Maxima onthoudt de namen en de waarden van de variabelen, ook nadat deze in het algebravenster gewist zijn Substitutie van variabelen 1, 2a 2,5a + 0,8a Veronderstel, u wilt in de formule a 3 2 5,1a + 4.2a In Maxima voeren we eerst de formule in: voor a de waarde 4,2 invullen. Via het commando subst(4.2, a, form); kunnen we dan de substitutie uitvoeren : 4

5 Belangrijkste opdrachten betreffende substituties: vervang elk voorkomen b in de expressie c door de waarde a. subst(a,b,c) (Voorbeeld: subst(5, b,3*b); geeft 15 als resultaat) via equ (een vergelijking) wordt de substitutie vastgelegd subst(equ,c) (Voorbeeld: subst(a=5,3*a); geeft 15 als resultaat). evalueert expr via de argumenten arg1, arg2, ev(expr, arg1, arg2,...) (Voorbeeld: ev(3*a-b, a=5, b=7); geeft 8 als resultaat) evalueert expr via de arglijst ev(expr, arglijst) (Voorbeeld: ev(x^2, x=[1,2,3,4]) geeft de volgende lijst met resultaten [1, 4, 9, 16] Opgave 3.4 Bereken de waarde van , 2a 2,5a + 0,8a a 3 2 5,1a + 4.2a voor a=1, a=2 en a=3. Hint: Meerdere variabelen kunnen in de vorm subst( equ, expressie ) met vierkante haken in een lijst worden samengevat! Voorbeeld : a-2b+3c met a=1, b=2, c=3 kan als volgt worden ingevoerd worden : subst ([a=1, b=2, c=3], a-2b+3c); en geeft als resultaat 6. Opgave 3.5 Bereken de waarde van x + y+ z voor x = 2.1, y = 7.2 en z = 3.6 Opgave 3.6 Bereken de waarde van 5 5x 4 3 3y + 12z voor x = -10.1, y = 2.1 en z = Beperking van het getallenbereik voor variabelen Stel dat we willen weten hoe de functie f( x) 2 ax = zich gedraagt voor grote waarden van x, m.a.w. wat kunnen we zeggen van lim 2 ax? x Als u het niet weet zou u het aan Maxima kunnen vragen: Kennelijk moet Maxima eerst weten of de parameter a positief, negatief of nul is. Stel dat we weten dat a negatief moet zijn, dan antwoorden we uiteraard negative : 5

6 Dus als a<0, dan geldt lim 2 ax = 0 x Als we weten dat a negatief is, dan kunnen we dat ook vooraf aan Maxima bekend maken: Indien we nu opnieuw vragen lim 2 ax limiet uitrekenen : x uit te rekenen, dan zal Maxima zonder vragen deze Via assume en declare kunnen aan variabelen en uitdrukkingen beperkingen worden opgelegd. Voorbeelden : assume(k<0)$ abs(k) geeft -k als resultaat ; immers k = k als k<0 assume(unequal(k,-1)) k is ongelijk aan -1 declare(var,prop) wijst aan de variabele var bepaalde declaraties toe. Mogelijke waarden voor prop: constant (symbolische constante), integer (geheeltallig), even, odd (even of oneven gehele getallen), rational (breuk), real (reëel getal),etc.. Hint: Met forget kunnen beperkingen, die met assume getroffen zijn, weer ongedaan gemaakt worden. Opmerking: Door middel van de functie is (expr) kunnen we nagaan of de bewering expr bewezen kan worden op basis van de gegevens in de assumedatabase. Hieronder een Maximasessie waarin een en ander nader geïllustreerd wordt: 6

7 De functie is (expr) tracht te bepalen of de bewering expr bewezen kan worden op basis van de gegevens in de assume database. Enkele voorbeelden ter toelichting: 7

8 8

9 3.3. Beginselen getaltheorie Functies in de getaltheorie Met Maxima kunnen we ook getaltheorie bedrijven en bijvoorbeeld grootste gemene delers en kleinste gemene veelvouden berekenen. Voor sommige functies moeten we eerst het pakket functs laden via load ( functs ). Hieronder geven we de belangrijkste functies uit de getaltheorie. Voor de argumenten van de functies in onderstaande tabel geldt: - m, m1, m2,..., n zijn natuurlijke getallen! - a en b zijn gehele getallen - x is een reëel getal GGD = gcd(m1, m2) KGV = lcm(m1, m2) grootste gemene deler van m1 en m2 kleinste gemene veelvoud van m1 en m2 mod(m, n) m modulo n (niet-negatieve rest bij deling van m door n) floor(x) ceiling(x) floor(a/b) primep(m) next_prime(m) prev_prime(m) factor(m) retourneert het grootste gehele getal dat kleiner of gelijk is aan x. retourneert het kleinste gehele getal dat groter of gelijk is aan x naar beneden afgeronde waarde van de geheeltallige deling van a door b controle, of m een priemgetal is het kleinste priemgetal groter dan m het grootste priemgetal kleiner dan m ontbinden van een getal in priemgetallen 9

10 De volgende Maximasessie illustreert het gebruik van een aantal van deze functies: Opgave 3.7 Bereken de grootste gemeenschappelijke deler van 3465, 924 en 462 en bepaal ook hun gemeenschappelijke delers. Opgave 3.8 Hoeveel uur u (bij een dagindeling van 24 uur) is het "1000 uur na middernacht"? Hoeveel dagen d zijn er dan verstreken? Opgave 3.9 n Mersennegetallen zijn getallen van de vorm m = 2 1 met n 23 Ga na of het Mersennegetal m = 2 1een priemgetal is. Bepaal het eerstvolgende en het vorige priemgetal. Ga tevens na wat de volgende Maximaopdracht zal doen (%i35) for n:1 thru 400 do ( if primep(2^n-1) then print (n,2^n-1) ); Opgave 3.10 Reken een tijdsduur t = 9724 sec om naar uren (u), minuten (m) en seconden (s) en controleer uw antwoord. 10